Pilar 05-teórico

Sumário I

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CAD/Pilar Manual Teórico

Sumário

2.1. Modelo da viga contínua considerando pilares .................................................. 6 2.2. Excentricidades geométricas ............................................................................. 7 2.3. Consideração dos momentos externos ............................................................... 9

2.3.1. Acumulam-se os momentos externos ......................................................... 9 2.3.2. Propagam-se os momentos externos ......................................................... 11 2.3.3. Acumula/Propaga percentualmente os mom. externos ............................. 15

2.4. Tratamento de Cargas Verticais pelo CAD/Pilar ............................................. 16

4.1. Esforços devido a cargas horizontais - Fornecimento direto ........................... 19 4.2. Esforços devido a cargas horizontais - Processo simplificado sem vigas ........ 20

4.2.1. Cálculo em função do momento de inércia dos pilares ............................ 20 4.2.2. Cálculo em função da área dos pilares ..................................................... 23 4.2.3. Cálculo em função da carga nos pilares ................................................... 24

4.3. Esforços proveniente do cálculo de Pórtico Espacial ...................................... 25 4.4. Pressão do Vento ............................................................................................. 26

5.1. Considerações gerais sobre flambagem ........................................................... 30 5.2. Efeitos locais de 2ª ordem – NBR 6118:2003 ................................................. 31

5.2.1. Métodos aproximados .............................................................................. 32 5.2.2. Pilar-padrão com 1/r aproximada ............................................................. 33 5.2.3. Pilar-padrão com aproximada................................................................ 34 5.2.4. Pilar-padrão acoplado a diagramas N, M, 1/r ........................................... 35 5.2.5. Resumo ..................................................................................................... 37 5.2.6. Método geral ............................................................................................. 38 5.2.7. Resumo geral ............................................................................................ 45

5.3. A determinação do e esforços no ponto médio ............................................. 46 5.4. Índice de esbeltez > 80 ................................................................................. 48

1. Introdução ............................................................................................................... 1 2. Consideração de solicitações externas verticais ................................................... 6

3. Estabilidade horizontal dos edifícios ................................................................... 17 4. Ação de cargas horizontais .................................................................................. 19

5. Flambagem e Efeitos de 2ªordem ........................................................................ 29

II


12.1. Dimensionamento pela NBR-6118 ................................................................ 59 12.2. Dimensionamento pela NB-1/60 (Processo ) .............................................. 60

13.1. Hipóteses adotadas ......................................................................................... 62 13.2. Processo de análise ........................................................................................ 67

6. Pilares de seção genérica ...................................................................................... 51 7. Imperfeições geométricas locais – NBR 6118:2003 ............................................ 53 8. Excentricidades e montagem dos carregamentos – NBR 6118:1980 ................ 54 9. Predimensionamento de pilares ........................................................................... 55 10. Alojamento das armaduras ................................................................................ 56 11. Armaduras transversais ..................................................................................... 58 12. Determinação das armaduras longitudinais - Compressão simples ............... 59

13. Determinação de armaduras longitudinais - Dimensionamento a Flexão Composta Normal e Oblíqua ................................................................................... 62

14. Desenho de Pilares .............................................................................................. 73 15. Bibliografia .......................................................................................................... 74

Introdução 1


1. Introdução Fornece-se, neste manual, explicações gerais sobre os conceitos utilizados pelo sistema CAD/Pilar, para as normas NBR6118:2003; NBR6118:1980 e NB1/60, envolvendo: - Consideração de solicitações externas verticais (peso próprio + cargas acidentais) - Cargas verticais centradas - Cargas verticais excêntricas, originadas de: - Viga + pilares - Excentricidade geométrica do pilar - Excentricidade geométrica do ponto de aplicação da carga - Consideração dos momentos externos - Distribuição de momentos fletores nos pilares - Ação do vento - Sem ação do vento - Parâmetro de instabilidade - Esforços de cargas horizontais - fornecimento direto - Esforços de cargas horizontais - processo simplificado - Esforços de cargas e/ou verticais horizontais - pórtico espacial

2 CAD/Pilar - Manual Teórico


- Flambagem e Efeitos de 2ª ordem local NBR 6118:2003 - 1 < 90 - 90 < 140 - 140 < 200 NBR 6118:1980 e NB1/60 - Pilares curtos: 40 - Pilares médios: 40 < 80 - Pilares esbeltos: > 80 - Pilares de seção genérica - Montagem das diversas condições de carregamentos - Predimensionamento - Configuração de armaduras - Armaduras transversais - Armaduras longitudinais - Dimensionamento a compressão - Armaduras longitudinais - Dimensionamento à flexão composta normal e oblíqua - Desenho de pilares No manual explicativo dos Critérios de Projeto do CAD/Pilar, já foram descritos, com detalhes, diversos conceitos teóricos utilizados pelo CAD/Pilar. Recomendamos a leitura desta documentação antecipadamente, pois diversos ítens deste manual teórico farão referência a partes deste manual de critérios de projeto.

Introdução 3


Como o CAD/Pilar é integrado ao sistema CAD/Formas, especialmente no que se refere à determinação das solicitações do modelo de pórtico espacial, recomendamos também a leitura deste manual específico para uma melhor compreensão da origem das solicitações que serão aqui tratadas. O CAD/Pilar pode tratar diversas situações:

- um pilar isolado, retangular, sob o efeito apenas de uma carga centrada. - um pilar de seção transversal genérica, sob efeito de diversos

carregamentos provocando uma flexão composta oblíqua. - um conjunto de pilares, com seções retangulares e/ou genéricas, formando

um pórtico simplificado para efeito de cargas horizontais. - um conjunto de pilares, com seções retangulares e/ou genéricas, a serem

dimensionadados com esforços provenientes do processamento do Pórtico espacial.

- efeitos locais de 2ª ordem pelos 4 métodos preconizados pela

NBR6118:2003 (aproximados e exatos) e efeitos localizados para pilares-parede (seção retangular e genérica).

Evidentemente, para cada um dos casos acima, deveremos fornecer um conjunto de dados diferentes, com menor ou maior quantidade de informações. O usuário do CAD/Pilar deve ter a noção de que, para a solução de um caso simples, poucos dados são necessários e, para a solução de um caso completo, muitos dados de entrada são necessários. A abrangência do sistema é necessária devido ao propósito do CAD/Pilar que é o de resolver casos de edificações complexas. A documentação do CAD/Pilar é razoavelmente extensa devido a este escopo geral do sistema e, este fato, não deve ser considerado como um fator inibidor e confundido com uma complexidade na utilização. Para o usuário que deseja apenas calcular pilares retangulares com carga centrada, a maioria dos critérios de projeto existentes não tem significado prático. Neste caso, basta ao usuário configurar o arquivo de critérios para a situação desejada mas, salientamos, o sistema CAD/Pilar está disponível para o cálculo completo dos pilares conforme a NBR-6118:2003 e submetidos a flexão composta oblíqua, seção qualquer.



Uma diretriz importante do CAD/Pilar, é o de obter o desenho final das armaduras dos pilares, a partir do fornecimento inicial do mínimo de informações alfanuméricas. Todo o processo de montagem de carregamentos, distribuição de armaduras, dimensionamento, detalhamento e desenho é automático. Assim, foram criados inúmeros critérios que governam este processo automático para que o desenho final seja o mais próximo possível do desejado. Caso isto não ocorra, são oferecidas ao usuário, ferramentas computacionais para alteração dos desenhos de modo interativo e/ou gráfico. Dois importantes conjuntos de informações alfanuméricas são necessários para o processamento dos pilares: Dados gerais dos pilares contendo, resumidamente:

- Identificação do projeto e obra - Numero de pilares, pavimentos e pés-direitos - Localização dos pilares na planta - Dimensões dos pilares - Cargas verticais e momentos fletores atuantes nos pilares - Dados gerais para aplicação de cargas horizontais - etc.

Critérios gerais de projeto contendo, resumidamente:

- Características dos materiais - Coeficientes de majoração de cargas e minoração dos materiais - Critérios para dimensionamento das armaduras - Bitolas de armaduras longitudinais e transversais - Configurações de distribuição de armaduras - Fatores para combinação de carregamentos - Determinação de esforços devido a cargas horizontais - Seleção de bitolas ao longo do pilar - Traspasse de armaduras - Representação dos desenhos - etc.

Cabe aqui lembrar que, utilizando os sistemas CAD/TQS de forma integrada, os dados referentes às informação dos pilares são criados automaticamente pelo sistema CAD/Formas (à exceção de alguns dados dos pilares genéricos) e, os critérios de projeto são selecionados uma única vez e válidos para todos os demais projetos. Portanto, na forma integrada, a manipulação dos inúmeros dados do CAD/Pilar fica muito simplificada.

Introdução 5


Para o CAD/Pilar, os diversos pilares não necessariamente iniciam no primeiro pavimento e terminam no último pavimento mas, podem ser interrompidos ao longo da edificação, "nascer" ou "morrer" em pisos intermediários, isto é, são aceitos os pilares correspondentes aos pavimentos de transição.



2. Consideração de solicitações externas verticais Trataremos neste item dos seguintes tópicos relativos as cargas verticais (peso próprio + cargas acidentais): - Cargas verticais centradas - Cargas verticais excêntricas devido ao: - Cálculo de vigas + pilares - Excentricidade geométrica do pilar - Excentricidade geométrica do ponto de aplicação das cargas - Consideração de momentos externos - Distribuição de momentos fletores nos pilares A determinação dos esforços solicitantes nos pilares devido a cargas verticais é bastante polêmica. Se por um lado, todo projetista tem a maior facilidade em determinar a força vertical atuante no pilar, por outro, aparecem inúmeras dúvidas sobre os momentos fletores que atuam nos pilares devido a presença desta carga vertical.

2.1. Modelo da viga contínua considerando pilares Tudo se inicia no cálculo da simples viga contínua, engastada nos pilares superiores e inferiores como no exemplo abaixo:

Consideração de solicitações externas verticais 7


Pilares

Viga

Momento

A resolução do modelo acima fornece, nos pilares inferiores e superiores, momentos fletores devido a cargas verticais. Estas solicitações estão presentes nos pilares extremos e também nos pilares internos. Estas solicitações devem ou não ser consideradas? O CAD/Pilar pode ou não considerá-las, dependendo do critério de projeto adotado pelo usuário. Sob o ponto de vista teórico, este é um modelo adequado pois não se pode esquecer, do ponto de vista da Resistência dos Materiais, da presença dos pilares superiores e inferiores. Nota: A viga contínua com os apoios tratados como articulados e resistentes a apenas cargas verticais não vai introduzir momentos fletores nos pilares. Este é um modelo utilizado durante décadas por centenas de projetistas de concreto armado em todo o Brasil.

2.2. Excentricidades geométricas Quando um pilar muda de seção transversal de um pavimento ao outro, pode ocorrer a existência de uma excentricidade entre os baricentros nos dois lances contíguos como é apresentado no desenho abaixo:



Viga

e

N

Pilar

NN

= =

= =

É evidente que esta excentricidade provocará um momento fletor nos pilares e nas vigas adjacentes. Estes momentos devem ser considerados ou não? Valem as mesmas observações apresentadas acima no caso de viga contínua. Outro caso interessante é a introdução das cargas verticais das vigas, nos pilares de dimensões elevadas. É muito comum, nas atuais edificações, que estes pilares recebam cargas concentradas de vigas nas extremidades como a figura apresenta abaixo:

e

= =

PP

A A

Viga

Viga

Pilar

Pilar

PLANTA CORTE A-A



Estas cargas, quando transportadas para o baricentro dos pilares, provocam também momentos fletores elevados que não podem ser desprezados. Como considerar adequadamente estes momentos nos diversos pilares? Esta é uma tarefa para os diversos critérios de projeto do CAD/Pilar de tal forma que, se possa conciliar as normas de projetos distintas de diversos usuários e que abordaremos no item abaixo. Vale aqui uma importante observação: diversos projetistas com grande experiência profissional, e com centenas de obras de grande porte projetadas, salvo algumas exceções, praticamente desprezam estes momentos fletores nos pilares devido a cargas verticais. A alegação é a de que o efeito conjunto dos elementos de vigas + pilares + lajes, todos solidários e trabalhando em conjunto, minimizam os efeitos destes momentos fletores que podem ser praticamente desprezados. Esta é uma posição que pode ser adotada por profissionais de extrema experiência. Há algumas décadas passadas, não existiam ferramentas computacionais adequadas para tratamento destes problemas e, por esta razão, soluções simplificadoras mas, seguras, eram adotadas baseadas na experiência profissional. Atualmente com os recursos computacionais oferecidos, recomenda-se que estes efeitos sejam analisados convenientemente e, quando for o caso, podem ser desprezados. Apresentaremos a seguir uma alternativa existente no CAD/Pilar para tratamento destes momentos fletores de forma um pouco mais adequada. A solução final aconselhada e, tecnicamente correta nestes casos, é a análise da edificação pelo modelo de pórtico espacial para cargas verticais. Este recurso, que até pouco tempo atrás era extremamente trabalhoso, pode ser agora ser tratado de forma simples e prática pelo sistema CAD/Formas - opção Pórtico Espacial.

2.3. Consideração dos momentos externos A simples acumulação dos momentos fletores, devido a excentricidade geométrica da seção transversal e do ponto de aplicação das cargas, ao longo de todos os lances da edificação, geralmente resulta em superdimensionamento das armaduras pois estes momentos na prática se redistribuem ao longo dos diversos lances. Neste item, trataremos como esta distribuição de momentos pode ser realizada pelo CAD/Pilar. 2.3.1. Acumulam-se os momentos externos



Pilares rígidos que acumulam os momentos fletores ao longo da edificação, isto é, pilares que se deslocam na direção horizontal com a absorção destes momentos fletores. Pilares flexíveis que redistribuem os momentos fletores no próprio pavimento e no lance imediatamente superior e inferior do lance em estudo, isto é, pilares que giram, sem deslocamento horizontal e que não absorvem estes momentos fletores na sua integridade. Esquematicamente podemos mostrar como esta propagação de momentos é realizada ao longo dos lances do pilar. - Acumulo de momentos: Momentos aplicados Momentos calculados nos pisos i, i-1 e i-2 nos pisos i, i-1 e i-2

Me i Mc i,i Mc i,s

Me i-1 Mc i-1,i Mc i-1,s


temos: - para o lance i:



Mc i,i = Me i

Mc i,s = Me i - para o lance i-1: Mc i-1,i = Me i + Me i-1

Mc i-1,s = Me i + Me i-1

- para o lance i-2: Mc i-2,i = Me i + Me i-1 + Me i-2

Mc i-2,s = Me i + Me i-1 + Me i-2

Este cálculo é realizado para todos os pilares/lances da edificação e todos os momentos nos pilares são acumulados. Note que para o pilar deslocável, estes momentos devido às excentricidade são acumulados do topo para a base. 2.3.2. Propagam-se os momentos externos - Propagação de momentos: Momentos aplicados Momentos calculados nos pisos i, i-1 e i-2 nos pisos i, i-1 e i-2

Me i Mc i,i Mc i,s





Por hipótese, o pilar é considerado engastado no lance superior e inferior. Assim a propagação dos momentos para o topo do lance superior e base do lance inferior é feita com o coeficiente 0.5. Sendo: r i = rigidez do pilar no lance i = I i / L i

r i-1 = rigidez do pilar no lance i-1 = I i-1 / L i-1

r i-2 = rigidez do pilar no lance i-2 = I i-2 / L i-2 temos: - para o momento Mei:

- para o lance i: M1 t,i = Mei

M1 b,i = Mei 0.5

- para o lance i-1: M1 t,i-1 = 0



M1 b,i-1 = 0


M1 b,i-2 = 0 - para o momento Mei-1: - para o lance i:

M2 t,i = Mei-1

1

0.5

ii

i

rr

r

M2 b,i = Mei-1

1 ii

i

rr

r

- para o lance i-1:

M2 t,i-1 = Mei-1

11

ii

i

rr

r

M2 b,i-1 = Mei-1

11

0.5

ii

i

rr

r


M2 b,i-2 = 0 - para o momento Mei-2: - para o lance i: M3 t,i = 0

M3 b,i = 0

- para o lance i-1:



M3 t,i-1 = Mei-2

21

1

0.5

ii

i

rr

r

M3 b,i-1 = Mei-2

21

1

ii

i

rr

r

- para o lance i-2:

M3 t,i-2 = Mei-2

21

2

ii

i

rr

r

M3 b,i-2 = Mei-2

21

2

0.5

ii

i

rr

r

E os momentos finais de cálculo são obtidos: - para o lance i: Mci , s = M1 t,i + M2 t,i +M3 t,i Mci , i = M1 b,i + M2 b,i +M3 b,i

- para o lance i-1: Mci-1 , s = M1 t,i-1 + M2 t,i-1 +M3 t,i-1

Mci-1 , i = M1 b,i-1 + M2 b,i-1 +M3 b,i-1 - para o lance i-2: Mci-2 , s = M1 t,i-2 + M2 t,i-2 +M3 t,i-2

Mci-2 , i = M1 b,i-2 + M2 b,i-2 +M3 b,i-2

Este cálculo é realizado para todos os pilares/lances da edificação e todos os momentos nos pilares são acumulados. Note que para o pilar indeslocável, estes momentos devido às excentricidade não são acumulados do topo para a base.



2.3.3. Acumula/Propaga percentualmente os mom. externos Na edificação, nem todos os pilares terão os momentos externos acumulados ou propagados. Geralmente o que ocorre é um misto da presença destes pilares. No CAD/Pilar, permite-se que o usuário defina o quanto o pilar é flexível e o quanto o pilar é rígido através de uma porcentagem. Assim, o projetista de posse da planta de formas, analisando criteriosamente a disposição e rigidez dos pilares, vai arbitrar para cada um dos pilares um valor de acumulo e/ou propagação. Com estes valores a parcela dos momentos externos são distribuídos nos pilares conforme as expressões mostradas acima, com todos os seus efeitos combinados. Esta é uma maneira aproximada mas, de boa confiabilidade para não desprezar, simplesmente, estes momentos. Por exemplo, num edifício convencional onde um pilar "parede" tem grandes dimensões perante os demais e recebe reações de vigas nas suas extremidades, podemos assumir que 90% deste irá trabalhar acumulando os momentos externos e 10% propagando. Neste mesmo exemplo, para os pilares de dimensões reduzidas que não colaborarão na rigidez da edificação, podemos assumir que estes pilares trabalharão como 100% de propagação. Sendo:

Me - momento total no nó i. MeD - momento para o sistema considerado deslocável MeI - momento para o sistema considerado indeslocável

f - fator para distribuição dos momentos Me (Propagação) temos:

MeD = Me (1 - f)

MeI = Me f Após esta distribuição, o roteiro para cálculo dos momentos finais seguem os mesmos roteiros apresentados antes, especificamente para cada "sistema" em separado, e depois são somados os momentos em cada extremidade do lance.



Observação importante: Dependendo do critério K10, a apresentação destes resultados poderão diferir quando ao conteúdo. Quando é usado K10=Nao, é tomado o maior dos momentos no lance para efeito de cálculo. Caso contrário, são tomados em separado. No INICIA.LST, na parte de carregamentos, são listados estes valores, bem como no "rodapé" de cada pilar as condições de acumulo ou propagação dos momentos externos do pilar, permitindo ao usuário uma completa visualização da situação. Note que fazendo f = 0, equivale ao caso de pilar deslocável, e com f = 1, ao do pilar onde os momentos serão acumulados.

2.4. Tratamento de Cargas Verticais pelo CAD/Pilar O CAD/Pilar respeita os critérios usuais do usuário e não faz imposição rígida do modo de projetar. Não cabe ao sistema CAD/Pilar, determinar qual o método é o mais correto para esta determinação de solicitações. Cabe ao projetista a seleção do critério que julgar mais adequado ao seu projeto e, acompanhando a técnica usual e consagrada sob o ponto de vista prático e teórico da arte de projetar.

Estabilidade horizontal dos edifícios 17


3. Estabilidade horizontal dos edifícios Embora a grande ênfase no lançamento dos pilares na edificação seja para a resistência de cargas verticais, atenção muito especial deve ser dada a estabilidade horizontal da edificação de tal forma que os pilares possam resistir a estes esforços horizontais. Estes esforços horizontais tem sua origem principal na ação do vento sobre a edificação mas, não pode ser desprezada também a ação das cargas verticais que produzem deslocamentos horizontais (balanços exagerados, excentricidades nos pilares, etc.). Geralmente, nem todo edifício possui a geometria totalmente simétrica e carregamentos absolutamente simétricos. Por esta razão, solicitações horizontais podem surgir mesmo devido a cargas verticais. Assim, é fundamental que se faça a análise da estabilidade global da edificação em qualquer situação. Embora, nas normas brasileiras atuais esta não seja uma imposição categórica (deverá ser na próxima edição da norma de concreto armado), grande parte dos problemas encontrados nos projetos das edificações, está associada a não verificação da estabilidade e/ou contraventamento da edificação. Toda edificação, independente do número de pavimentos, pilares e dimensões, deve ser verificada quanto à estabilidade global e ter seu sistema de travamento adequadamente definido e dimensionado. Os sistemas CAD/TQS oferecem aos usuários uma importante ferramenta para esta verificação, que é o sistema computacional denominado Pórtico Espacial, integrado ao CAD/Formas. Neste sistema, de forma simples e prática, a partir dos dados da forma de concreto armado de cada pavimento e das características básicas da atuação do vento na edificação, são calculados os parâmetros de estabilidade da edificação, (alfa) e z (gama z) em cada direção. Para maiores informações sobre estes dois coeficientes, consultar no Manual de Interface e Processamento de Pórticos Espaciais do CAD/Formas, o capítulo 'Verificação de instabilidade global'. A partir destes parâmetros, o usuário pode analisar se o sistema de contraventamento está adequado ou não. Com estes valores, pode-se decidir se a estrutura deve ser considerada de nós fixos ou nós deslocáveis, se os efeitos de 2ª ordem necessitam ou não ser verificados. Não basta o dimensionamento puro e simples dos elementos estruturais sob o efeito das solicitações provocadas pelas cargas verticais e horizontais. É absolutamente necessário analisar, previamente, se a edificação possui efeitos de 2ª ordem ou não. Esta análise é obtida através dos parâmetros de instabilidade anteriormente citados.



Da mesma forma, não basta que os parâmetros de instabilidade estejam dentro dos limites pré-estabelecidos por normas. Além do atendimento a estes parâmetros, é absolutamente necessário o dimensionamento dos elementos estruturais às solicitações de cargas verticais e também das cargas horizontais. Resumidamente, os parâmetros de instabilidade, abaixo de determinados valores limites, permitem que os lances dos pilares do edifício possam ser isolados do conjunto total da estrutura para efeitos de dimensionamento, detalhamento e desenho (considerando a flambagem localizada de cada lance). Para maiores detalhes sobre os parâmetros de instabilidade da edificação recomendamos a leitura do manual do Pórtico Espacial, integrado ao CAD/Formas.

Ação de cargas horizontais 19


4. Ação de cargas horizontais Ao analisar os pilares da edificação, devem ser considerados os efeitos devido a atuação das cargas horizontais, geralmente originários da ação do vento. Para esta análise, o CAD/Pilar permite a utilização de diversos processos que são listados abaixo:

- Não consideração da ação do vento - Esforços devido a cargas horizontais - fornecimento direto - Esforços devido a cargas horizontais - processo simplificado - Esforços devido a cargas horizontais - pórtico espacial

A não consideração dos efeitos de cargas horizontais deve ser realizada criteriosamente não dispensando, enfatizando mais uma vez, a análise da estabilidade global da edificação.

4.1. Esforços devido a cargas horizontais - Fornecimento direto As solicitações devido às cargas horizontais podem ser, em último caso, ser fornecidas diretamente pelos usuários no arquivo de dados, em cada lance da edificação. Este é um caso necessário quando a análise das solicitações não for realizada por um dos sistemas CAD/TQS. A grande dificuldade nesta opção é o enorme volume de informações a serem introduzidas pois, para cada lance/pilar/carregamento devem ser fornecidos 3 grandezas no topo e 3 grandezas na base de cada elemento (pilar/lance). Para uma generalização completa dos casos abrangidos pelo CAD/Pilar, esta opção está atualmente presente.



4.2. Esforços devido a cargas horizontais - Processo simplificado sem vigas Este processo se baseia na distribuição de forças normais e momentos fletores de forma proporcional a rigidez dos pilares e sua distância ao baricentro da edificação, sem considerar a rigidez real das diversas vigas que unem os vários pilares (faz-se uma estimativa de que o momento fletor resultante se distribua igualmente para as vigas e os pilares). Este é um cálculo simplificado que deve ser utilizado apenas quando não for possível o acesso a métodos mais exatos. Neste caso, assume-se como hipótese básica a existência de lajes em cada pavimento, com espessura reduzida e de dimensões tais que elas podem ser consideradas como rígidas nas direções do seu plano, assegurando que os deslocamentos horizontais dos vários pilares sejam os mesmos nas duas direções do plano a menos do movimento de corpo rígido (translação e rotação). O momento fletor total em cada piso da edificação, é determinado adotando-se a simplificação de tratar o modelo do edifício de forma unifilar reduzido a uma barra em balanço com o eixo passando pelo ponto G (baricentro) do pavimento e calculado em função da distribuição e das seções dos pilares na planta. Cada momento fletor total Mj de um piso j é distribuído proporcionalmente a certas grandezas dos pilares para manter o equilíbrio entre os esforços externos e os esforços internos (força normal e momento fletor) nos diversos pilares. 4.2.1. Cálculo em função do momento de inércia dos pilares Para melhor ilustrar este cálculo, é assumindo um sistema de coordenadas X', Y' com origem no canto inferior esquerdo da planta dos pilares e paralelos aos eixos X, Y globais. O sistema U, V passa pelo baricentro dos pilares, ponto G, e é paralelo aos eixos X e Y. A figura abaixo mostra os dois sistemas de referência:



O eixo que passa pelo ponto G, é calculado em função dos momentos de inércia dos pilares como sendo:

n

i

y

n

iiy

iJ

xiJ

GX

1

1

n

i

x

n

iix

i

i

J

yJ

GY

1

1

sendo:

Jxi e Jyi - os momentos de inércia do pilar i nas direções x e y

respectivamente. xi e yi - as coordenadas do pilar i no sistema x, y.



Sendo Mxj e Myj os momentos fletores totais na base do lance j no ponto G do piso, os momentos em cada pilar i no lance j são calculados pela expressão:

M iJ i M C i

Jxk

nxx x j v

k

1

M iJ i M C i

Jyk

nyy y j v

k

1

onde:

Cvi - relação entre a rigidez do pilar e a rigidez das vigas a ele conectados.

Adota-se por exemplo o valor 0.5 aproximadamente.

Mxj e Myj - diferenças dos momentos nos pisos consecutivos

(Mxj = Mx - Mx+1, Myj= Myi - Myi+1). A força normal no lance j do pilar i é dada pela fórmula:

n

kk

x

x

V

iViMiN

1

2

n

kk

y

y

U

iUiMiN

1

2

onde :

Mxj e Myj - momentos totais na base do lance j. Uj e Vj - coordenadas do pilar i no sistema (U, V), sistema paralelo a (X, Y),

passando pelo ponto G.



Neste método, são computados para os pilares os esforços de força normal e momento fletor para cada direção. 4.2.2. Cálculo em função da área dos pilares O eixo da barra que passa pelo ponto G é calculado em função das áreas dos pilares como sendo:

n

k

n

i

kA

ixiA

GX

1

1

n

k

n

i

kA

iyiA

GY

1

1

onde :

Aj - área do pilar i xj e yj - coordenadas do pilar i no sistema (X, Y).

Determinam-se os eixos principais de inércia (U, V) no ponto G para o conjunto total de pilares. Os momentos MUj e MVj no ponto G, na base do lance j, são determinados a partir dos momentos Mxj e Myj. Determinam-se os esforços normais no pilar i por :

N iM Ai

JUi

M AiJ

VixUx

U

Vx

V

N iM Ai

JUi

M AiJ

ViyVx

U

Vy

V

sendo:



Ju e Jv - momentos principais de inércia do conjunto de pilares. Uj e Vj - coordenadas dos pilar i no sistema (U, V).

Neste método, são adicionados aos pilares apenas os esforços de força normal para cada direção. 4.2.3. Cálculo em função da carga nos pilares O eixo da barra passa pelo ponto G, é calculado em função das cargas nos pilares como sendo:

n

k

n

i

kPt

ixiPt

GX

1

1

n

k

n

i

kPt

iyiPt

GY

1

1

sendo :

Pti - carga do pavimento em estudo no pilar i xi e yj - coordenadas do pilar i no sistema (X , Y)

O momento de "inércia" do conjunto em função das cargas dos pilares é dado pela expressão:

n

iU

n

iiPtGYxJJiyiPtxJ

1

2

1

2

n

iV

n

iiPtGXyJJixiPtyJ

1

2

1

2



onde :

Ui e Vi - momentos de "inércia" em função da carga em relação aos eixos (U,

V), eixos paralelos aos eixos (X, Y) e passando pelo ponto G. Sendo MUj e MVj, os momentos totais na base do lance j no ponto G do piso, a força normal em cada pilar i é calculada pela fórmula

N iMV Ui Pti

JVjx

i

N iMU Vi Pti

JU jy

i

onde:

Ui e Vi - coordenadas do pilar i no sistema de coordenadas (U, V). Neste método, são adicionados aos pilares apenas os esforços de força normal para cada direção.

4.3. Esforços proveniente do cálculo de Pórtico Espacial Este é o modelo mais adequado para a análise dos efeitos de cargas horizontais nos edifícios. As simplificações acima são tratadas corretamente pelo modelo espacial criado. Algumas vantagens na utilização deste modelo:

- As excentricidades devido às variações da seção do pilar são consideradas.

- As excentricidades devido a introdução de cargas excêntricas nos pilares são consideradas.

- Os vãos das vigas são tratados considerando os trechos rígidos pertencentes

ao interior dos pilares.

- Os pilares são considerados segundo os eixos centrais de inércia.



- Os efeitos do "giro" do edifício segundo seu eixo vertical é automaticamente computado.

- Os deslocamentos horizontais devido as cargas verticais são tratados.

- Se necessário, as deformações axiais dos pilares podem ser analisadas.

- Pode-se analisar a edificação com a aplicação de cargas horizontais de

vento em quaisquer direções.

- Análise dos esforços devido a atuação de outras cargas horizontais como empuxo, protensão, etc.

- Pode-se fazer o processamento de carregamentos independentes e combiná-

los para efeitos de obtenção de envoltórias de carregamentos para cargas verticais e horizontais.

Para maiores detalhes, consultar o manual do Pórtico Espacial, integrado ao CAD/Formas. Um ponto importante a ressaltar é o controle da transferência dos esforços provenientes de pórtico espacial para o sistema CAD/Pilar. Como a filosofia dos sistemas CAD/TQS é dar a maior flexibilidade possível ao usuário, deixamos por conta do projetista o fornecimento das variáveis que governam esta transferência. Assim, o projetista determina a combinação de carregamentos desejada, quais carregamentos serão transferidos ao CAD/Pilar, quais as reduções de cargas horizontais que deverão ser feitas antes da transferência, etc. Capítulo específico sobre este assunto é apresentado no manual de Critérios de Projeto, capítulo 'Carregamentos', que se recomenda a leitura atenta antes da utilização desta facilidade do sistema.

4.4. Pressão do Vento As cargas horizontais que o CAD/Pilar aplica no cálculo pelo processo simplificado são definidos conforme a norma NB-599/78 ou NBR-6123, 'Efeitos do vento em edificações'. Veja como realizar tais definições no manual de entrada dados do CAD/Pilar.



Nos dados de entrada são fornecidas as informações sobre a velocidade básica do vento (Vo), o fator topográfico (S1), a rugosidade do terreno e as dimensões da edificação, o fator estatístico (S2) e o coeficiente de arrasto (Ca ) para a ação do vento nas direções X e Y. Para a determinação do fator S2, que depende da rugosidade do terreno, dimensões da edificação e altura sobre o terreno, a altura da edificação é dividida em partes correspondentes a cada pavimento da edificação. De posse destes dados determina-se:

- Velocidade característica do vento:

Vk = Vo S1 S2 S3

- Pressão do vento:

qVk

2

16

- Força de arrasto na direção do vento :

Fa = Ca q Ae

onde:

Ae - área frontal efetiva perpendicular a direção do vento Ca - coeficiente de arrasto para o vento na direção estudada

Ocasionalmente, pode-se aplicar uma pressão de vento imposta (q) ao longo da edificação, por exemplo, para simular o emprego de antigas normas de vento, em cálculos de verificação. Para isto, a velocidade básica Vo deve ser fornecida como igual a 0 (zero). Se os coeficientes de arrasto Ca não são fornecidos nos dados de entrada, a pressão do vento (q ) é majorada pelo parâmetro de forma C determinado conforme a seguir:

C = 1.2 para HL 4.5

C = 0.4 HL para 4.5 < HL 5.5 C = 1.6 para HL > 5.5



onde :

yx L,Lmine

L

HH

He - altura da edificação Lx e Ly : dimensões das faces da edificação

Flambagem e Efeitos de 2ªordem 29


5. Flambagem e Efeitos de 2ªordem NBR-6118:2003 O CAD/PILAR trata os efeitos de 2ª ordem local de um pilar em função do seu índice de esbeltez (), conforme preconizado pela NBR-6118:2003:

a) 1

Neste caso nenhum efeito de 2ª ordem local é considerado. O valor de 1 é calculado, para cada caso de carregamento, conforme o item 15.8.2 da NBR-6118:2003:

b

h

e

1

1

5.1225 sendo que 35 1 90

b) 1 < 90

Neste caso os efeitos de 2ª ordem local do pilar devem ser considerados. São utilizados os métodos aproximados conforme os itens 15.8.3.3.2 e 15.8.3.3.3 da NBR-6118:2003: método do pilar-padrão com curvatura aproximada método do pilar-padrão com kapa aproximado

c) 90 < 140

Neste caso os efeitos de 2ª ordem local do pilar devem ser considerados. Nesta situação o método utilizado é, conforme o item 15.8.3.3.4 da NBR-6118:2003, o do pilar-padrão acoplado a diagramas M,N,1/r. d) 140 < 200 Neste caso os efeitos de 2ª ordem local do pilar devem, obrigatoriamente, ser considerados utilizando o Método Geral, conforme o item 15.8.3.1 da NBR-6118:2003.



NBR-6118:1980 e NB1/60 No CAD/Pilar, a flambagem é tratada diferentemente segundo as três classificações abaixo ( é o lambda, índice de esbeltez do pilar):

a) 40

Neste caso o pilar é tratado como curto e nenhum efeito de flambagem é considerado.

b) 40 < 80

Neste caso o pilar é considerado como médio e o efeito de 2ª ordem ou flambagem deve ser considerado. O tratamento teórico é o processo simplificado apresentado na NBR 6118, item 4.1.1.3.C.

c) > 80

Neste caso o pilar é considerado como esbelto e os efeitos de 2ª ordem devem ser considerados obrigatoriamente. No CAD/Pilar, oferecemos um programa específico, que realiza o estudo destes pilares, através de verificações iterativas. Os efeitos da 2ª ordem, tanto a não linearidade geométrica como a física são analisados.

Estes pilares geralmente são anti-econômicos e devem ser evitadas pelo excesso de armadura resultante do dimensionamento.

5.1. Considerações gerais sobre flambagem Na antiga NB-1/60, o limite máximo do para a não consideração dos efeitos de 2ª ordem de forma rigorosa era o valor 100. Na NBR6118:1980 essa exigência passou para > 80. Na norma NBR6118:2003 a exigência para processos mais rigorosos passaram a ser 90 (pilar-padrão acoplado a diagramas M,N,1/r) e 140 (Método Geral), sempre inferiores a 200.



Por esta razão, o arquivo de critérios do CAD/Pilar permite a alteração dos limites para a consideração da 2ª ordem e dos métodos a serem utilizados. Cabe a cada usuário a adoção dos critérios mais convenientes. Não cabe ao CAD/Pilar o mérito do acerto ou não destes critérios. Cabe a cada usuário a adoção do limite do que for mais adequado ao seu processo de projeto. O código modelo MC-78 do CEB/FIP também considera valores diferentes das adotadas pela NB-1/78.

5.2. Efeitos locais de 2ª ordem – NBR 6118:2003 A NBR 6118:2003 permite o uso de 4 métodos para análise local de 2ª ordem. São eles: Pilar-Padrão com 1/r aproximada Pilar-padrão com rigidez aproximada Pilar-padrão acoplado a diagrama N, M, 1/r Método Geral

Os três primeiros métodos são considerados processos aproximados e são descritos no item 15.8.3.3 da NBR 6118:2003, enquanto que o Método geral (item 15.8.3.2 da NBR 6118:2003), como a própria nomenclatura já deixa meio evidente, é um processo mais abrangente e sofisticado. Vale lembrar que na extinta NBR 6118:1980 havia apenas um método disponível, o pilar-padrão com curvatura aproximada, cuja formulação era praticamente similar à atual. Cada um desses métodos possui limitações próprias, e por isso, podem ser aplicados desde que a esbeltez do pilar esteja dentro de um certo patamar. Evidentemente, os processos aproximados possuem uma limitação maior.

Esbeltez limite

Os métodos do pilar-padrão com 1/r aproximada e pilar-padrão com aproximada podem ser utilizados em pilares com esbeltez máxima igual a 90, segundo a NBR-6118:2003. O método do pilar-padrão acoplado a diagrama N, M, 1/r é limitado para uma esbeltez máxima de 140. O método geral, por sua vez, pode ser usado até um limite de 200.



Acima desse valor, a norma não permite o uso de nenhum método, a não ser em casos de postes onde a força normal de compressão é baixa. O CAD/Pilar não faz o processamento de pilares com esbeltez maior que 200. 5.2.1. Métodos aproximados Antes mesmo de iniciar o estudo da formulação de cada um dos métodos aproximados, pela própria nomenclatura dos mesmos é possível tirar algumas conclusões prévias. Note que os três processos aproximados fazem o uso de um termo comum: “pilar-padrão”.

O que é pilar-padrão?

Conforme já sabemos, o cálculo da deformada do lance de um pilar à medida que o carregamento é aplicado sobre o mesmo, é um dos desafios presentes na análise local em 2ª ordem. Como tratar a não-linearidade geométrica num lance de pilar? O método do pilar-padrão consiste numa aproximação que pressupõe que a deformada final do pilar será representada por uma curva senoidal. Existem inúmeros estudos que comprovam a eficiência dessa simplificação, válida até um determinado limite de esbeltez.

Uma vez definida a forma final do lance do pilar (senóide), é possível então chegar a uma solução analítica para o problema da não-linearidade geométrica, obtendo-se expressões relativamente simples que podem ser utilizadas no cálculo do pilar. Dessa forma, conclui-se que os três processos aproximados presentes na NBR 6118:2003, tratam a não-linearidade geométrica (NLG) de forma idêntica.



O que diferencia um método aproximado do outro é justamente as diferentes maneiras de considerar a outra não-linearidade, a física (NLF).

5.2.2. Pilar-padrão com 1/r aproximada

Aplicabilidade

Esse método pode ser empregado apenas para pilares com ≤ 90, seção constante e armadura simétrica e constante ao longo de seu eixo.

Não-linearidade geométrica

Admite-se que a deformação da barra seja senoidal (pilar-padrão).

Não-linearidade física

A rigidez do lance do pilar é obtida por meio da definição de uma curvatura aproximada na seção crítica.

Formulação

A formulação é extremamente simples e possibilita o cálculo manual. O momento total (1ª ordem + 2ª ordem) máximo no pilar é calculado pela seguinte expressão:

Ade

dAdbtotd Mr

lNMM ,1

2

,1,

1.

10.. , sendo

hhr

005,0

)5,0.(

005,01

onde:



cdc

Sd

fA

N

. e míndAd MM ,1,1

O momento de 2ª corresponde à parcela Nd.(le

2/10).(1/r). Note que não é necessário conhecer previamente a armadura do pilar para aplicar as fórmulas acima.

5.2.3. Pilar-padrão com aproximada

Aplicabilidade

O método do pilar-padrão com rigidez aproximada pode ser adotado na análise de pilares retangulares com ≤ 90, com armadura simétrica e constante ao longo de seu eixo.



Não-linearidade física1

A não-linearidade física no lance do pilar é considerada por meio de uma expressão aproximada para rigidez, cuja dedução foi obtida durante a tese de doutoramento do prof. Ricardo França. O valor da rigidez é tomado de forma adimensional e é denominado de rigidez (“kapa”).

Formulação

Assim como o método do pilar-padrão com 1/r aproximada, a formulação do pilar-padrão com aproximada é simples e possibilita o cálculo manual. Segundo a formulação apresentada na NBR 6118:2003, o cálculo do momento total máximo MSd,tot deve ser realizado de forma iterativa em função da rigidez adimensional , de acordo com as seguintes fórmulas:



/.1201

.2

,1,

AdSb

totSd

MM

..

.51.32 ,

Sd

totSd

Nh

M

O momento de 2ª ordem é calculado por uma amplificação da 1ª (b.MS1d,A). Note que não é necessário conhecer previamente a armadura do pilar para aplicar as fórmulas acima.

5.2.4. Pilar-padrão acoplado a diagramas N, M, 1/r

Aplicabilidade

Esse método pode ser empregado apenas para pilares com ≤ 140.




A não-linearidade física é considerada por meio da obtenção da rigidez no diagrama N, M, 1/r proposto pela NBR 6118:2003, conforme mostra a figura a seguir. Note que há uma relação entre a rigidez secante EIsec e a rigidez adimensional .



Muito embora tenha o mesmo nome da rigidez adimensional calculada no método do pilar-padrão com rigidez aproximada, essa rigidez obtida pelo diagrama (rigidez acoplada ao diagrama N, M, 1/r) é mais precisa. Poderíamos dizer que se trata de uma rigidez “mais refinada e real”.

Formulação

O momento total máximo MSd,tot é calculado exatamente pela mesma fórmula do método do pilar-padrão com rigidez aproximada:

/.1201

.2

,1,

AdSb

totSd

MM

No entanto, deve-se ficar bem claro que o valor da rigidez a ser utilizado na fórmula é o obtido pelo diagrama normal-momento-curvatura, e não a rigidez aproximada. Quando se faz o uso do coeficiente f3, a fórmula para obtenção do momento total fica assim:

/..1201

.

3

2

,1,

f

AdSbtotSd

MM



Duas observações muito importantes com relação ao método do pilar-padrão acoplado ao diagrama N, M, 1/r: Trata-se de um método que, na prática, somente é viável com o uso de um

computador, pois como vimos no início deste curso, a montagem do diagrama N, M, 1/r é extremamente complicada de ser realizada manualmente.

É necessário que a armadura existente no lance do pilar seja previamente

conhecida, pois não há diagrama N, M, 1/r sem armadura definida! Ou seja, o processo de dimensionamento é realizado por um processo iterativo de verificações.

5.2.5. Resumo

A tabela a seguir apresenta um resumo das principais características de cada um dos métodos aproximados.

Pilar-padrão com 1/r aproximada

Pilar-padrão com rigidez

aproximada

Pilar-padrão acoplado a diagrama

N, M, 1/r

Item da NBR 6118

15.8.3.3.2 15.8.3.3.3 15.8.3.3.4

NLG Pilar-padrão Pilar-padrão Pilar-padrão

NLF hhr

005,0

)5,0.(

005,01

..

.51.32 ,

Sd

totSd

Nh

M

cdc fhA

EI

.. 2sec

Esbeltez limite ≤ 90 ≤ 90 ≤ 140

Cálculo manual Sim Sim Não

Necessita As conhecido

Não Não Sim



5.2.6. Método geral

No item anterior, foram apresentados três métodos aproximados para análise dos efeitos locais de 2ª ordem. Agora, vamos estudar um processo mais abrangente e sofisticado, usualmente chamado de Método Geral (item 15.8.3.2 da NBR 6118:2003).

NBR 6118:2003

O método geral é definido na NBR 6118:2003, item 15.8.3.2, por apenas uma única frase: “Consiste na análise não-linear de 2a. ordem efetuada com discretização adequada da barra, consideração da relação momento-curvatura real em cada seção, e consideração da não-linearidade geométrica de maneira não aproximada.” Nesse item, não existe nenhuma formulação definida, e muito menos uma descrição detalhada de como aplicar o método. Somente existe a definição acima, e nada mais. Dessa frase, podemos extrair as seguintes informações principais: Discretização adequada Relação Momento-Curvatura NLG não aproximada

Aplicabilidade

O método geral pode ser empregado apenas para pilares com ≤ 200 e é obrigatório para pilares com > 140. Acima desse último limite (140), não se pode aplicar nenhum dos processos aproximados estudados anteriormente.


As deformações ao longo lance do pilar devem ser analisadas por processo refinado. Não se pode adotar a aproximação por uma curva senoidal (pilar-padrão).



Existem diferentes maneiras para considerar a não-linearidade geométrica de forma refinada. Uma primeira alternativa é a partir do diagrama de momentos fletores no lance do pilar, obter as curvaturas (1/r) por meio da rigidez EI, as rotações () e deslocamentos (d) por meio de integrações sucessivas, e depois, com esses incrementar os momentos de 2ª ordem nos esforços originais. Esse cálculo é repetido inúmeras vezes até o acréscimo de esforços ou deslocamentos tender a zero. Uma outra forma de tratar o problema é utilizar modelos numéricos que possibilitem a análise em 2ª ordem (equilíbrio na posição deformada), como por exemplo, o cálculo de um pórtico espacial por meio de uma análise P-. Seja qual for o processo empregado, a informação principal que se busca é a posição final de equilíbrio do lance do pilar, de tal forma a definir a magnitude total dos efeitos locais de 2ª ordem.



A busca dessa posição de equilíbrio é sempre iterativa. E, por isso, é fundamental que sejam consideradas tolerâncias que controlem a convergência dos processos de forma eficiente e segura. Usualmente, esses valores são definidos em “deltas máximos de deslocamentos ou esforços”.

Instabilidade local

Ao empregar um processo aproximado (pilar-padrão com 1/r aproximada, pilar-padrão com aproximada, pilar-padrão acoplado a diagrama N, M, 1/r), a única resposta final que temos é se o lance de pilar passa ou não em relação à resistência última da seção crítica (ruptura). Já, no método geral, além dessa informação (ruptura da seção crítica), pode-se flagrar se o lance é estável ou instável, pois a busca pela posição de equilíbrio do mesmo é iterativa.



Ao adotar o método geral no cálculo de um pilar demasiadamente esbelto, por exemplo, pode-se se chegar numa situação de instabilidade quando o número máximo de iterações definido na análise é alcançado. Nesse caso, o processo não converge pois os acréscimos de deslocamentos a cada iteração são superiores à tolerância adotada. Esse resultado independe do nível de solicitação da seção crítica em relação à sua resistência.


A não-linearidade física é considerada por meio da obtenção da rigidez no diagrama N, M, 1/r. Essa rigidez pode ser definida das seguintes formas: Pela rigidez secante EIsec obtida pela linearização do diagrama (reta), e que pode

ser estendida para todas as seções do lance. É a forma mais recomendável de se obter a rigidez, pois está a favor de segurança bem como facilita a análise (desacoplamento das duas direções).

Pela rigidez secante EI obtida pela curva para cada seção do lance de acordo com a sua solicitação atuante. Trata-se de um procedimento válido somente para casos de flexão composta normal.



Pela rigidez secante oblíqua em que considerem simultaneamente os esforços

solicitantes em ambas as direções dos pilares.

Discretização adequada

No método geral, é fundamental que o lance do pilar seja discretizado adequadamente, de tal forma a obter as respostas em várias seções.



Ao contrário dos processos aproximados em que a definição da seção crítica entre o topo e a base do lance do pilar era realizada de forma simplificada pelo coeficiente b, no método geral essa seção é definida de forma bem mais realista. Em lances de pilares de edifícios usuais, a discretização em 10 trechos é suficiente.

Coeficiente f3

Pode ser considerada a formulação de segurança em que se calculam os efeitos de 2ª ordem das cargas majoradas de f/f3, que posteriormente são majorados de f3.



Processo de verificação

O método geral é essencialmente um processo de verificação, pois é necessário conhecer previamente a armadura ao longo do lance do pilar para calcular os esforços de 2ª ordem. Dessa forma, assim como no método do pilar-padrão acoplado a diagrama N, M, 1/r, o processo de dimensionamento pelo método geral é iterativo. Define-se uma armadura e analisa-se o pilar sucessivamente, até a obtenção de uma armadura necessária.



Cálculo manual

Calcular manualmente um lance de pilar pelo método geral é inviável, visto que é necessário considerar tanto a não-linearidade física como a geométrica de forma refinada. Na prática, o emprego do método geral somente é realizado com o uso de um computador. Cabe ao Engenheiro de Estruturas conhecer a teoria que envolve o método, de tal forma a poder interpretar os resultados obtidos de forma segura.

5.2.7. Resumo geral

Até o momento, estudamos com detalhes todos os processos presentes na NBR 6118:2003. Através de exemplos, foi possível perceber as particularidades e simplificações inerentes de cada método. O gráfico a seguir traz um resumo com relação à aplicabilidade de cada um dos métodos.



5.3. A determinação do e esforços no ponto médio A aplicação deste item é aplicável para projetos processados pela NBR6118:1980. a )- Determinação do em função do carregamento Em muitos casos, as solicitações atuantes nos diversos pilares são compostas por uma força normal e dois momentos fletores. Principalmente quando estas solicitações são devidas ao modelo de pórtico espacial, a linha neutra resultante do dimensionamento da seção transversal, geralmente, não é paralela ao um dos eixos principais de inércia. Por esta razão foi criado um critério no CAD/Pilar, critério K6 do Manual de Critérios de projeto, item 3.9, 'Consideração dos momentos de 2ª ordem', que permite o cálculo do em função desta linha neutra com uma aproximação, que é considerar a linha neutra paralela ao plano de atuação dos momentos fletores. Com isto, muitos pilares aparentemente esbeltos, passam a ter o índice de esbeltez menor, pois o nesta direção é menor que o calculado na direção da maior esbeltez, podendo serem considerados como pilares curtos. Este é um critério que reduz as armaduras nos pilares e deve ser criteriosamente selecionado pelo usuário. b )- Esforços de 2ª ordem no ponto médio do lance. O CAD/Pilar realiza, para os pilares esbeltos, o dimensionamento da seção transversal do pilar para os valores das solicitações no topo e na base do lance. Para o ponto médio do lance, onde se estudam os efeitos da 2ª ordem, principalmente quando os esforços são provenientes de cálculo do modelo de pórtico espacial, encontra-se uma dificuldade pois o plano de atuação do momento resultante no topo do pilar não coincide com o plano de atuação do momento resultante na base do pilar. Neste caso, dois critérios estão disponíveis para a escolha do usuário:

b.1)- No topo e na base do pilar, os momentos são projetados segundo os eixos principais de inércia, x e y, e os momentos de 2ª ordem são determinado no ponto médio do pilar para estas direções x e y. Posteriormente, é calculado o momento no ponto médio como resultante entre estes dois momentos determinados. A figura abaixo ilustra estes valores de momentos.



Mmx Mm2x

Mm2y

Mty

MtxMt

Mby

Mbx

Mb

Mmy Mm

x

y

Mm2

onde:

Mt é a resultante do momento no topo Mb é a resultante do momento na base Mtx e Mty são projeções de Mt nos eixos x e y Mbx e Mby são projeções de Mb nos eixos x e y Mmy é o valor do momento no ponto médio, direção y Mmx é o valor do momento no ponto médio, direção x Mm2x é o valor de Mmx com efeito de 2a. ordem, direção x Mm2y é o valor de Mmy com efeito de 2a. ordem, direção y Mm2 é a resultante dos momentos Mm2x e Mm2y

b.2)- No topo e na base do pilar, os momentos não são projetados nos eixos principais de inércia e a análise é feita tomando-se como plano válido, o plano que contém o maior momento. O momento menor na outra extremidade é projetado neste plano inicial adotado. Temos 2 casos a considerar. Se a diferença angular entre estes dois planos projetados num plano vertical for 15º, os dois momentos são considerados coplanares.



Mt

x

MtP

MmMm2

Mb

y

Caso (a) Caso (b)

Mt

x

MtP

y

Mb

Mm Mm2

MtB

onde:

Mt é a resultante do momento no topo, e é maior, em módulo, que Mb Mb é a resultante do momento na base MtP é o momento Mt projetado na base MbP é o momento Mb projetado no plano de Mt e MtP Mm é o valor do momento no ponto médio do plano Mt e MbP Mm2 é o valor de Mm com efeito de 2a. ordem é o ângulo formado entre os dois planos verticais que contém os

momentos Mt e Mb.

No caso (a), se o ângulo for 15º, o momento Mb será considerado como atuando no mesmo plano do momento Mt, isto é, serão coplanares os momentos. Caso o ângulo for > 15º, o momento Mb será considerado como não atuando no plano vertical que contém o momento Mb.

Para maiores detalhes sobre o cálculo das excentricidades, consultar o item sobre o critério K73 no Manual Teórico.

5.4. Índice de esbeltez > 80 A aplicação deste item é aplicável para projetos processados pela NBR6118:1980.



Neste caso, a verificação do esgotamento da capacidade da seção transversal do pilar por ruptura ou por instabilidade geral é feita através da consideração da relação momento - curvatura da seção transversal do pilar em diversos pontos do lance. É considerado neste método a não linearidade física dos materiais através dos diagramas tensão - deformação para o aço e para o concreto. A não linearidade geométrica do pilar é considerada através dos efeitos da posição deformada do eixo do pilar sob a atuação das cargas verticais e horizontais. Este é um cálculo singular, interativo, que deve ser realizado apenas para alguns pilares especiais onde os efeitos de 2ª ordem não podem ser analisados por outros processos. O processo adotado é o de verificação da estrutura e, por esta razão, deve-se fornecer a dimensão da seção e as armaduras ao longo do pilar. O pilar pode ter, inclusive, seção transversal com variação nas suas dimensões ao longo do lance. O cálculo é baseado no método dos deslocamentos. O pilar é discretizado em diversos segmentos conectados aos nós da estrutura.

M1F1

F2

F3

F4

F5

P2

P3

P4

P5

P1

6

5

4

3

1

22

Em cada segmento as características dos materiais são consideradas constantes. Permite-se a definição de vínculos elásticos nos extremos do pilar e as cargas atuantes nas 3 direções (3 forças e 3 momentos) nos nós do modelo estrutural. A armadura do pilar deve ser fornecida através da definição da porcentagem (da armadura total) existente em cada face da seção. Apenas seções retangulares e circulares (cheias ou vazadas) estão disponíveis. O calculo é interativo. Os seguintes passos são adotados:



- Determinação da posição deformada do pilar sob o efeito da 1ª ordem. - Solicitações nos diversos segmentos. - Alteração da geometria da estrutura para a nova posição deformada. - Nova rigidez dos segmentos em função das solicitações e dos materiais. - Na próxima iteração o carregamento da estrutura atuará na posição

deformada. - Determinação da posição deformada do pilar sob o efeito da 2ª iteração. - Solicitações nos diversos segmentos. - Alteração da geometria da estrutura para a nova posição deformada. - Nova rigidez dos segmentos em função das solicitações e dos materiais.

O processo se repete até que a posição deformada entre uma iteração e outra seja menor que uma certa tolerância e, não tenha sido atingido o esgotamento da capacidade resistente das seções transversais do pilar. Como resultado do processamento é emitida mensagem se o pilar é estável ou não (houve convergência entre esforços externos e internos em cada seção considerando todos os efeitos de 2a. ordem), para o carregamento dado. Também são impressos os deslocamentos, reações de apoio e esforços solicitantes nos diversos segmentos (barras) do pilar nas 3 direções (3 forças e 3 valores de momentos). Pela singularidade da análise, este processo de verificação, embora geral, está disponível para a verificação isolada de pilares e não está integrado aos dados gerais e armaduras determinadas automaticamente pelo CAD/Pilar.

Pilares de seção genérica 51


6. Pilares de seção genérica Um dos pontos importantes do CAD/Pilar, é o tratamento dos pilares não retangulares ou vulgarmente denominados pilares de seções genéricas ou pilares quaisquer. Este é um ponto importante do sistema pois, este tipo de pilar ocorre na maioria das edificações funcionando como estrutura de contraventamento e, portanto, absorvendo momentos fletores devido a ação de cargas horizontais. Devido a sua natural generalidade, a definição do contorno do pilar e dos pontos principais de armadura e dos estribos e grampos deve ser feita diretamente pelo usuário, de forma interativa utilizando os editores gráficos. O tratamento destes pilares, internamente, pelo CAD/Pilar obedece aos seguintes passos:

- São determinados os eixos principais de inércia da seção. - As solicitações são projetadas nas direções destes eixos principais de

inércia. - As excentricidades acidentais são determinadas em função das dimensões

de um retângulo envolvente da seção genérica, retângulo este com os lados paralelos aos eixos centrais de inércia.

- As armaduras são calculadas em função destes eixos centrais de inércia.



V

Mx

My

MuMv

G

A

B

C

D

X

Y

U

y

x

onde:

- G é o baricentro da seção transversal - X, Y são os eixos globais da seção - x, y são os eixos paralelos aos eixos X e Y passando por G. - U, V são os eixos principais de inércia - Mu é a projeção de Mx e My no eixo principal U - Mv é a projeção de Mx e My no eixo principal V

- Pontos A, B, C e D são os vértices do retângulo envolvente Todas estas grandezas calculadas são impressas em relatórios específicos do CAD/Pilar e podem ser verificadas e validados pelo usuário.

53


7. Imperfeições geométricas locais – NBR 6118:2003 A norma NBR 6118:2003, em seu item 11.3.3.4.2, preconiza que, para a verificação de um lance de pilar, deve ser considerado o efeito do desaprumo ou da falta de retilineidade do eixo do pilar (figura abaixo). Ainda segundo este item da norma, nos casos usuais, apenas a consideração da falta de retinilineidade ao longo do lance do pilar é suficiente.

O item 11.3.3.4.3 da norma NBR 6118:2003 permite que o efeito das inperfeições locais nos pilares acima apresentado, pode ser substituído em estruturas reticuladas pela consideração do momento mínimo de 1ª ordem dado conforme formulação abaixo: M1d,mín = Nd (0.015 + 0.03h) Onde: h : altura da seção transversal na direção considerada, em m Ainda segundo este item, para as estruturas reticuladas usuais, pode-se admitir que o efeito da imperfeições locais esteja atendido se for respeitado esse valor total de momento mínimo, sendo que a esse momento mínimo acima apresentado, devam ser acrescentados os momentos de 2ª ordem da seção 15 da NBR 6118:2003, quando for o caso.



8. Excentricidades e montagem dos carregamentos – NBR 6118:1980 Conforme prescrições da NBR-6118, para cada seção transversal do pilar a ser dimensionada, é necessário acrescentar os efeitos das excentricidades acidentais em três direções (dois eixos principais e eixo de aplicação dos momentos). No manual que descreve o arquivo de critérios, é explicado com detalhes como estas excentricidades acidentais podem ser consideradas nos pilares. Esta generalização leva a necessidade do dimensionamento das seções para inúmeras situações como podemos observar pela descrição abaixo:

- Para cálculo de modelo espacial, no mínimo, são adotados 3 condições de carregamentos básicas, isto é, carga vertical, carga vertical + vento x e carga vertical + vento y.

- Para as excentricidades acidentais, são necessários 3 situações de novos

carregamentos.

- Para verificação dos efeitos de 2a. ordem no ponto médio, duas situações de carregamentos são necessárias para cada lance.

Assim para uma edificação com 20 pilares e 15 pavimentos teremos, em média, o seguinte número de carregamentos:

20 pilares 15 lances 3 carregamentos do pórtico 3 excentricidades 2 efeitos de 2ª ordem = 5.400 dimensionamentos de seções transversais

Além do elevado número de operações que o sistema deve realizar, ocorre uma transferência de inúmeras informações entre os diversos programas do CAD/Pilar. Ressaltamos que é absolutamente necessário que a validação dos resultados obtidos pelos usuários. Para tanto, listagens são emitidas pelo CAD/Pilar contendo, em cada situação da montagem dos carregamentos e da consideração de excentricidades, todos os passos adotados e considerações realizadas até a determinação final dos carregamentos efetivos para dimensionamento. O usuário, que economizará grande parte do seu tempo pelo não tratamento numérico das grandezas envolvidas deve dedicar 10% deste tempo para, obrigatoriamente, analisar, conferir, comparar e validar os resultados emitidos pelo sistema.

Predimensionamento de pilares 55


9. Predimensionamento de pilares Em função do que foi já apresentado nesta documentação, pode-se expor agora a filosofia do CAD/Pilar para a não realização de um predimensionamento expedito de pilares. Devido às naturais dificuldades na determinação das solicitações nos diversos pilares (analise conjunta de todos os pilares), devido à necessidade da redução das dimensões dos pilares por imposições arquitetônicas e, devido principalmente ao extenso tratamento numérico necessário ao correto dimensionamento dos pilares, é praticamente inviável a introdução de qualquer processo aproximado para o predimensionamento dos pilares. Este processo, se adotado, seria útil apenas em pouquíssimas edificações e sujeito a incorreções em edificações de grande importância e responsabilidade. Por estas razões, sugerimos aos usuários o dimensionamento completo dos pilares pelo processo exato, após o arbítrio das dimensões, apenas pela verificação da carga concentrada vertical (muito fácil de ser realizada intuitivamente) e posterior verificação e acerto das dimensões dos pilares que "não passam" ou que resultem em excesso de armaduras.



10. Alojamento das armaduras Os alojamentos das armaduras nas seções transversais dos pilares são feitos por critérios contidos no arquivo de critérios de projeto e governados pelo usuário. A hipótese básica é a de que as armaduras nas seções transversais são simétricas na seção, para pilar de seção retangular e circular e de disposições quaisquer nas seções genéricas. Estão disponíveis aos usuários, para pilares de seção retangular, diversos tipos de configurações de armaduras. Estes tipos diferem, principalmente, em função da amarração dos ferros longitudinais para proteção contra a flambagem das barras. Selecionado um tipo básico pelo usuário, o próprio CAD/Pilar, se encarrega de montar todos os alojamentos possíveis de armaduras naquela seção, para cada bitola selecionada como desejável para o dimensionamento. Estes alojamentos ou arranjos dependem principalmente de algumas grandezas fornecidas também no arquivo de critérios e abaixo apresentadas:

- Espaçamento mínimo entre as barras. - Espaçamento máximo entre as barras. - Porcentagem máxima de armadura na seção - Porcentagem mínima de armadura na seção - Porcentagem máxima de armadura na região de traspasse.

Portanto, para cada lance do pilar, diversos arranjos de armaduras para diversas bitolas estão disponíveis para o dimensionamento. O resultado do dimensionamento informará quais arranjos "passam" e quais arranjos não "passam". Para o detalhamento final dos pilares, basta a seleção das bitolas desejadas, de alto a baixo do pilar, dentro do rol das soluções possíveis previamente analisadas. Critérios para esta seleção de bitolas também estão disponíveis no arquivo geral de critérios de projeto.

Alojamento das armaduras 57


Para pilares de seção genérica, o processo é semelhante com a exceção no item relativo aos arranjos padrões de armaduras. Pela diversidade de forma da seção genérica, os pontos principais de presença de armaduras e a disposição dos estribos genéricos são fornecidos explicitamente pelo usuário. O CAD/Pilar se encarregará de preencher o intervalo entre estas armaduras principais com mais barras de aço, respeitando os espaçamentos mínimos e máximos entre as barras e as taxas máximas de armaduras fornecidas.



11. Armaduras transversais Conforme explicado no item acima, as armaduras transversais são selecionadas em função do tipo de configuração de armadura que o usuário pretende fornecer. Estão disponíveis configurações com:

- Estribos fechados apenas - Estribos abertos - Misto de estribos fechados / abertos e grampos - Grampos nas direções x e y da seção do pilar - Grampos em forma de < e/ ou >.

Exemplos de configurações para seção transversal retangular são apresentados no Manual do Arquivo de Critérios, item 7 - 'Alojamento de armaduras longitudinais e transversais na seção retangular'. Para os pilares de seções genéricas, os estribos são definidos diretamente pelos usuários, na forma desejada, podendo ser estribos fechados ou abertos ou grampos. O diâmetro da armadura transversal utilizada também é definido no arquivo de critérios de projeto em função da bitola longitudinal adotada para dimensionamento.

Determinação das armaduras longitudinais - Compressão simples 59


12. Determinação das armaduras longitudinais - Compressão simples Embora este caso na prática inexista, algumas simplificações em função das solicitações atuantes permitem o dimensionamento das seções transversais apenas à compressão. Este dimensionamento é realizado para a NBR-6118 e também para a antiga NB-1/60 (processo ômega ou ).

12.1. Dimensionamento pela NBR-6118 A expressão adotada é a seguinte:

AsNk -0.85 fcd Acf yd -0.85 fcd

f

onde: f = Coeficiente de majoração das cargas

Nk = Força normal característica ou de serviço

fcd = Resistência de cálculo a compressão ( = fck / c )

fck = Resistência característica do concreto a compressão

c = Coeficiente de minoração da resistência do concreto na compressão

Ac = Área de concreto da seção do pilar

fyd = Resistência de cálculo do aço a tração: ( = fyk / s )

Para os seguintes tipos de aço, com s = 1,15, temos:

CA-40B - fyd = 3,6 tf/cm²

CA-50B - fyd = 4,0 tf/cm²

CA-50A e CA-60B - fyd = 4,2 tf/cm²

fyk = Resistência característica do aço à tração

s = Coeficiente de minoração do aço



A armadura efetiva detalhada obedecerá aos critérios de alojamento de armaduras anteriormente descritos, em função da bitola selecionada, espaçamentos máximos e mínimos, etc.

12.2. Dimensionamento pela NB-1/60 (Processo ) A expressão adotada é a seguinte:

AsN - Ac

-

'

' '

f r

e r

onde: = Coeficiente fictício de majoração da carga conforme a esbeltez

f = Coeficiente de majoração dos esforços na compressão

N = Força normal atuante

r' = Tensão admissível do concreto ( = rKc )

r = Resistência característica do concreto

Kc = Coeficiente de redução da resistência do concreto na compressão (geralmente igual a 0,75)

Ac = Área de concreto da seção do pilar

e' = Tensão admissível no aço. Para os seguintes tipos de aço, temos:

CA-40B e' = 3,6 tf/cm²

CA-50B e' = 4,0 tf/cm²

CA-50A e CA-60B e' = 4,2 tf/cm²

Neste processo, o parâmetro depende do índice de esbeltez. Temos:

Se b 1

Se b c

p

p1

2

Se

cp

p3

4

3

Determinação das armaduras longitudinais - Compressão simples 61


onde:

b = Índice de esbeltez limite inferior a partir do qual considera-se o fator de majoração

de cargas conforme a fórmula acima. Normalmente este valor é igual a 50. c = Índice de esbeltez limite inferior a partir do qual considera-se o fator de

majoração de cargas conforme a fórmula acima. Usualmente o valor de c é igual a 100.

Os parâmetros p1 a p4 são usados para determinação do fator . Normalmente, tem os seguintes valores:

p1 = 100

p2 = 150

p3 = 2

p4 = 1.000.000 A armadura efetiva detalhada obedecerá aos critérios de alojamento de armaduras anteriormente descritos, em função da bitola selecionada, espaçamentos máximos e mínimos, etc.



13. Determinação de armaduras longitudinais - Dimensionamento a Flexão Composta Normal e Oblíqua Este é o caso mais comum e seu tratamento no CAD/Pilar é o mais genérico possível. Será feita uma exposição do dimensionamento da seção submetida a flexão composta oblíqua que é o caso geral. O dimensionamento da flexão composta normal é um caso particular da flexão composta oblíqua. O que será exposto a seguir é o tratamento realizado pelo CAD/Pilar tanto para pilares retangulares e pilares de seções genéricas.

13.1. Hipóteses adotadas a)Diagramas tensão - deformação dos materiais - Concreto

A relação entre tensões e deformações no concreto é representada por uma parábola de 4º grau:

c

c

1

(-)

(-)

0.85fck

3.5

Determinação de armaduras longitudinais - Dimensionamento a Flexão Composta Normal e Oblíqua 63


onde a curva é representada pela seguinte formula:

ikfckc 10.85

onde:

4

0.00351

c

i

Ek

- Aço Para os aços da classe B, apresentamos, abaixo, o diagrama tensão - deformação com temos o diagrama de Para os aços da classe B temos o seguinte diagrama tensão - deformação com a simplificação permitida pela NBR-6118 para a curva do aço:

s

sooo

(+)

(+)yd yd 2 /

1

2

3.5 2

+ 2 10

fyk

fyd

0.7fyd

fydc

fykc

0.7fyd



onde:

= arctg Es

f ydf yk

s

f ycdf yck

s

e o trecho é dado pela equação abaixo, conforme item 7.2 da NBR-6118:

2

0.745

1

ydfsd

sEsd

s

com Es = 2.1 106

Para o trecho , a expressão é a mesma acima, mas com o termo fyd substituído por fydc.

Para os aços da classe A temos o seguinte diagrama tensão/deformação :



s

s

(+)

(+)

yd yk 10

3.5

fyk

fyd

fydc

fykc

onde:

= arctg Es

f ydf yk

s

f yck f yk

f ycd f yd

b) Seções planas Admite-se válida a hipótese das seções planas ou seja, as seções transversais permanecem planas e normais ao eixo da peça após as deformações.



c) Esgotamento da capacidade resistente da seção A resistência de uma seção transversal é limitada pela ocorrência de uma deformação considerada excessiva na armadura, ou então, um encurtamento relativo no concreto que produza o seu esmagamento. Limita-se o alongamento relativo na armadura em 10 o/oo (zona I). Considera-se que o esmagamento do concreto ocorre quando o seu encurtamento relativo atinge 3.5 o/oo em seções parcialmente comprimidas (zona II), ou (3.5 o/oo - 0.75i) em seções totalmente comprimidas (zona III). O valor i representa o encurtamento na fibra inferior da seção.

Alongamento Encurtamento

3 h

7

h d

(Tracao) (Compressao)

10 2 3.5

Se o programa computacional não conseguir, em um certo número limitado de iterações, atingir o equilíbrio de esforços externos e internos, obedecendo aos limites acima definidos e, desde que os parâmetros de convergência forem escolhidos convenientemente, concluímos também que a capacidade resistente da seção está esgotada. d) Carregamentos Considera-se que as cargas externas (N, Mx e My), são aplicadas no baricentro da seção de concreto e os eixos X e Y são os eixos centrais de inércia da seção. e) Discretização da seção transversal



Devido ao caráter geral que se pretende dar ao programa, eliminamos a restrição da possibilidade da aplicação do programa somente a determinados tipos de seções com determinados tipos de armaduras, considerando, no tratamento numérico como se as seções fossem constituídas por uma série finita de pontos, para o aço e concreto assim determinados:

- Pequenos retângulos representando o concreto, identificados por um ponto de coordenadas x, y e respectiva área.

- Pequenos círculos representando as barras de aço, identificados por um

ponto de coordenadas x, y e a área da barra. Neste processo de dimensionamento, com a consideração exata da posição das barras da armadura na seção, é importante observar que a exatidão dos resultados leva a resultados muitas vezes não coincidentes com alguns ábacos existentes no mercado. Devido as hipóteses de armaduras distribuídas dos ábacos, dimensionado uma seção de largura reduzida sem a consideração da posição exata das barras de ferro leva a resultados diferentes do que os obtidos pelo CAD/Pilar onde a posição exata da armadura é considerada. Como a posição da barra de ferro considera o cobrimento da armadura, o estribo e o próprio diâmetro da barra, o braço de alavanca entre as armaduras diminui. Com isto, muitos pilares "passam" pelos ábacos mas "não passam" pelo CAD/Pilar. Os resultados do CAD/Pilar são resultados precisos para o dimensionamento da seção transversal considerando as posições das barras na sua exata localização.

13.2. Processo de análise a) Variáveis do problema - Flexão Composta Oblíqua O equilíbrio dos esforços externos e internos para as seções transversais submetidas a flexão composta oblíqua é governado por 3 variáveis (duas rotações e uma translação) interdependentes entre si, representadas esquematicamente como abaixo:



L

N

Ga

b

x

y

x'

y'

z

d

Na figura acima temos:

- O ponto G é o baricentro da seção. - Os eixos X, Y são os eixos principais de inércia

- O eixo Z forma o sistema de coordenadas X, Y e Z.

Supondo que, nesta seção genérica o equilíbrio entre os esforços internos e externos foi alcançado pela deformação da seção com a linha neutra passando pela reta denominada, na figura, por L N e que a inclinação deste plano deformado com o plano da seção original assume o valor do ângulo temos:

- O ângulo é a inclinação da LN com o eixo x - O eixo x' passa pelo ponto G formando um ângulo com o eixo x - O eixo y' é ortogonal ao eixo x' passando por G - A distância d segundo o eixo y', é a medida entre o ponto G e a linha neutra

LN. Rebatendo a figura no plano y' z temos:



1

2

z

y'

G

a

d

L N

b

- O ângulo é a inclinação do plano deformado com o plano original da seção.

As três variáveis e incógnitas do problema são:

- Ângulo - Ângulo - Distância d

Todo o problema se resume em determinar estas três variáveis de tal forma que os esforços externos sejam equilibrados pelos esforços internos da seção a menos de uma certa tolerância. b) Esforços resistentes na seção. Como a seção foi discretizada em pontos, com cada ponto representando pequenos retângulos (concreto) e círculos (aço), o problema da determinação dos esforços resistentes na seção, para uma determinada linha neutra, se resume a:

- Determinação da deformação do ponto com relação a LN da seção. - A partir da deformação do ponto, e do diagrama tensão - deformação do

material, determina-se a tensão no ponto.



- Com a tensão acima determinada e da área do elemento, determina-se a

força resistente neste ponto. - Para todos os pontos da seção, representando a aço e concreto, faz-se a

integração abaixo para a obtenção dos esforços finais resistentes.

A figura abaixo ilustra as variáveis de integração:

L

N

x

y

z

G

idxdy

A força normal resistente é calculada como:

N F FaiRI cii

n

i

nc a

1 1

sendo nc = nº de pontos dos retângulos do concreto

ns = nº de pontos correspondente ao número das barras de aço Fci = força no ponto i do concreto Fai = força no ponto i da barra de aço Nri = resultante da força normal interna na seção.

Os momentos fletores resistentes são calculados como:

M F d Fai dRIx cii

n

yii

n

yi

c a

1 1



M F d Fai dRIy cii

n

xii

n

xi

c a

1 1

onde:

dxi = distância do ponto i considerado ao eixo x dyi = distância do ponto i considerado ao eixo y

MRIx = momento fletor resistente interno no eixo x

MRIx = momento fletor resistente interno no eixo y

c) Processo de convergência Como as variáveis que estão envolvidas no problema não são lineares, o processo de convergência é iterativo. Todo o problema se resume à resolução de um sistema de 3 equações a 3 incógnitas para cada iteração. Cada solução do sistema de equações induz a uma aproximação da solução desejada. Assumindo que a profundidade da linha neutra (d) afeta principalmente a força normal, a rotação afeta principalmente o momento em torno do eixo x e a rotação afeta principalmente o momento fletor em torno do eixo y podemos montar o sistema das 3 equações como o representado abaixo:

a11d + a12 + a13 = N

a21d + a22 + a23 = Mx

a31d + a32 + a33 = My

Para a obtenção dos coeficientes aij, basta aplicar a cada uma das três variáveis que

governam o problema (d, e ), uma variação unitária e calcular as diferenças (como se fossem as derivadas) dos valores dos esforços internos. Estas variações já são os próprios coeficientes. O roteiro para encontrar a solução desejada pode ser descrito como sendo:

1) Escolhe-se o ponto de partida das variáveis que podem ser os valores zerados (LN coincidindo com eixo principal e seção sem giro ).



2) Aplicam-se variações unitárias a d, e e encontram-se os valores para aij.

3) Resolve-se o sistema das 3 equações com a primeira aproximação para d,

e . 4) Verifica-se se para os valores encontrados de d, e , os esforços internos

coincidem com os externos a menos de uma tolerância. 5) Adota-se como origem a nova posição encontrada de d, e . 6) Aplica-se variações unitárias a d, e e encontram-se novos valores para

aij.

7) Resolve-se o sistema das três equações com nova aproximação para d, e

. 8) Verifica-se se para os valores encontrados de d, e , os esforços internos

coincidem com os externos a menos da tolerância. 9) Repete-se o ciclo de operações do item 5) ao 8) até que a solução final seja

encontrada.

Ao final do processo de convergência podemos ter 2 situações:

- A solução foi encontrada dentro das tolerâncias e do número de iterações estabelecidos. Este é o caso em que a seção, a priori, "passa".

- A solução não foi encontrada dentro das tolerâncias e do número de

iterações estabelecidos. Este é o caso em que a seção "não passa". d) Verificação final Obtida a solução para as variáveis d, e , de tal forma que os esforços externos coincidam com os internos, calculam-se as deformações extremas da seção transversal. Uma última verificação final deve ser realizada para a validade das deformações extremas conforme as deformações admissíveis para os materiais aço e concreto.

Desenho de Pilares 73


14. Desenho de Pilares O CAD/Pilar cria, automaticamente, figuras representativas dos desenhos de pilares, particionados por pilar e com subdivisões em conjunto de lances, de tal maneira que, conforme a escala vertical fornecida pelo usuário, a dimensão da figura criada se ajusta na altura da folha de desenho no formato desejado. No lance, fornecida a escala transversal, pelo arquivo de critérios, fica fixada a dimensão do desenho do pilar/lance a ser representada em papel. Se a dimensão resultante da seção na maior escala fornecida não couber no desenho, o desenho da seção transversal poderá ser reduzido com mensagem de aviso emitida ao usuário. O desenho geral criado, composto por um conjunto de lances e, por pilar, pode ser editado graficamente para sua adequação a qualquer necessidade do usuário antes de ser emitido em impressora ou traçador gráfico. Para efeitos de redução do volume de desenhos, os pilares iguais podem ser agrupados em um único pilar com fator de repetição. Da mesma forma, lances idênticos podem ser agrupados, reduzindo-se o trabalho de emissão de desenhos. A correta locação dos desenhos dos pilares na folha de desenho pode ser feita através da utilização de programa específico para edição de plantas. Comum a todos os programas dos Sistemas Integrados CAD/TQS. A representação dos símbolos utilizados para as barras dos pilares nos desenhos das seções transversais, são definidas em Critério de desenho. Inúmeros critérios de representação e desenho governam o programa que, efetivamente, realiza o desenho dos pilares. Estes critérios estão completamente descritos no manual Critérios de Projeto. Feita a locação dos desenhos dos pilares em planta, são calculadas e emitidas também as tabelas de ferros para cada planta.



15. Bibliografia Associação Brasileira de Normas Técnicas - ABNT

NBR-6118 (antiga NB-1/1978) Projeto e Execução de obras de concreto armado

NBR-6123 (antiga NB-599/1978) Efeitos de vento em edificações

NB-1/1960 Projeto e Execução de obras de concreto armado

NB-5/1961 Cargas para o cálculo de estruturas de edifícios

Prof. Dr. Eng.º Lauro Modesto dos Santos

Cálculo de Concreto Armado - vol. 1 e 2 LMS Editora

Prof. Dr. Eng.º José Carlos Sussekind

Curso de Concreto Armado - vol. 1 e 2 Editora Globo

Curso de Analise Estrutural - vol. 3 (Método de Deslocamentos) Editora Globo

Eng.º Alio Ernesto Kimura

Curso de Cálculo de pilares de concreto Armado (NBR6118:2003) Apostila Fevereiro-Março de 2008

TQS Informática Ltda R. dos Pinheiros, 706 c/2 São Paulo SP 05422-001 Tel (011) 3083-2722 Fax (011) 3083-2798 [email protected] www.tqs.com.br

Pilar 05-teórico

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