132 Geometriaanalttica

4.14.1 Ponto que Divide um Segmento de Reta ao Meio

No caso de o ponto P dividir o segmento de reta P1P2 ao meio (Fig. 4.14-c), deve-seter: \~ .

isto , r = -1.

z

y

x Figura 4.14-c

Neste caso:

_ Xl + Xzx----2

y=Yl+YZ2

z, + Z2z=---2

Nota

o estudo da reta no plano no ser feito neste livro por pertencer ao currculo do 21?grau.

4.15 Problemas Propostos

d Verificarse os pontos P1(5, -5, 6) e P2 (4, -1, 12) pertencem retax-3=y+l

r: T 2z-2=---2

A reta 133

/ Determinar o ponto da reta

lX=2_tr: y=3+tz = 1 - 2tque tem abscissa 4. -!.

Determinar m e n para que o ponto P(3, m.m) pertena reta

Ix= 1 - 2ts: y=-3-tz = -4 + tx-3 _y+l z

Determinar os pontos da reta r: -2- - --=-r- = -=2 que tm (a) abscissa 5; (b) orde-nada 4; (c) cota 1.

o ponto P(2,y,z)Calcular P.

pertence reta determinada por A(3,-1,4) e 8(4,-3,-1).

Determinar as equaes reduzidas, com varivel independente x,-+ --+ --+ ---+

ponto A(4,O,-3) e tem a direo dovetor v =2i +4j +5k.da reta que passa pelo

Estabelecer as equaes reduzidas (varivel independente x) da reta determinada pelospares de pontos:

a) A(1, -2, 3)

b) A(-I, 2,3)

e 8(3,-1,-1)

e 8(2,-1,3)

Determinar as equaes reduzidas, tendo z como varivel independente, da reta que passapelos pontos Pl(-I,O,3) e P2(1,2,7).

,q?/:f Mostrar que os pontos A(-1,4,-3), 8(2,1,3) e C(4,-1,7) socolineares.1 Qual deve ser o valor de

pertenam mesma reta?m para que os pontos A(3,m,I), 8(1,1,-1) e C(-2,10,-4)-

13) Representar graficamente as retas cujas equaes so:

\

T

134 Geometria analtica

..p-eCitar um ponto e um vetor dIT"O< de cada uma das seguintes retas:a) Ix; 1 z~ 3

y=1

b) Ix =2yz =3

n0c) Ix =2t

~jC) Y =-1

z =2 - t

d) Iy=3z =-1

e) Iy=-xL/ z=3+x

f) x=y=z

it@ Determinar as equaes das seguintes retas:j')~ reta que passa por A(l, -2,4) e paralela ao eixo dos x ;

b) reta que passa por B(3, 2,1) e perpendicular ao plano x~z; ')

c) reta que passa por A(2, 3, 4) e ortogonal ao mesmo tempo aos eixos dos x e dos y;

~ ~d) reta que passa por A(4, -1, 2) e tem a direo do vetor i - j ;

e) reta que passa pelos pontos M(2,-3,4) e N(2,-1,3).

Ix=- 1+, Ix=-1 +, 1'=2Ya) y =-10 + 5t d) y=3-t g)z =9 - 3t x=3z =2tIx=4+2' 1'=31'=2X h)

b) y=3 e) y=-4z =3

z =-5 - 5t

1'=-3IY =-3x + 6 Iy=3 i)c) . f) z =2x z =4

z =-x + 4

A reta 135

~ Determinar o ngulo entre as seguintes retas:

a) r:

b) r:

c) r:

1x ==-~ 2t

v= 2tz ==3 - 4t

j

1

e x y+6 z-ls: 4 == -2- ==-2-

y ==-2x - 1

e S .L== z+ 1. x==2. 3 - 3 'z==x+2

x==l+V2t

{

x==Os:

y==Oy ==t e

z ==5 - 3t-"

x ==1,,I Jd) r: { x_- 4 _ y _ z + 1 e~-----=2 y + 1 z-2

4 - -3-

_l6:,l}?;yY Determinar o valor de n para que seja de 30 o ngulo entre as retasr: s: ( y ==nx + 5

z ==2x - 2e

,1~ Calcular o valor de n para que seja de 30 o ngulo que a reta

Iy ==nx + 5r: z ==2x - 3forma com o eixo dos y.

17) A reta

r: I.. + 2tz==3-t

forma um ngulo de '600 com a reta determinada pelos pontos A(3, 1, -2) e B(4, O,m).Calcular o valor de m.

136 Geometria.analttica

I x=-3ta) r: y=3+tz =4{

x = 2 - 3t

b) r: y =3

z =rnt

18) Calcular o valor de m para que os seguintes pares de retas sejam paralelas:

ex+5_y-l

s: -6- - m ;z =6

e x-4_z-1s: " y=7-6- - -5-

17 19) A reta r passa pelo ponto A(1,-2,1) eparalelareta

) Ix=2+ts: y =-3tz =-tSe P(-3, m, n) E r, determinar m e n.

20) Quais as equaes reduzidas da reta que passa pelo ponto A( -2, 1, O) e paralela reta

r:z=x-1

r:

A reta que passa pelos pontos A(-2, 5, 1) e B(l, 3, O) paralela reta determinadpor C(3, -1, -1) e D(O, y, z). Determinar o ponto D.

A reta

y=mx4

ortogonal reta determinada pelos pontos A(l, O,m) e B(-2, 2m, 2m). Calcular (valor de m.

23) Calcular o valor de

A reta 137

a) ) :: 1 y =2x + 3z = 3x - 1

, 1x=-l

y=3b)

Y~;~;r2;=6 e

m~~

~ Calcular o ponto de interseo das retas

') [ y = 3x - 1JIY r: e17' z = 2x + 1

c) r:

b) r:

. c) r:.1 y=2x-3z =4x - 10

. d) ,I:~l.:~ Dadas as retas

r: y - 3 = z + 1 ; x = 2,2 :-2

h: { ~: ~t

z =t,

e

e

1y =4x - m

s:z=x

!

[

y:dQ./Xs: (\

z =t3rx 0/

['Y =4x - 2s:z =3x

e{

X=S+t

s: y=2-t

z = 7 - 2t

e s:y-7 z-12x=--=---3 -7

ex-1,~

s: -2- ~-3 ; y=-5

1y=2x

s:z =x -; 3

e

138 Geometria analftica \L IL.,10)

!@ Em que ponto a reta que passa por A(2, 3, 4) e B(l, 0, -2) intercepta o plano xy?27) Sejam as retas

{

x=2+ 3t

r: y=4+St

z =mt

e{

y=2x+l

s:x 3

z=---2 2

a) calcular o valor de m para que r e s sejam concorrentes;

b) determinar, para o valor de m, o ponto de interseo de r e s.

+Q Estabelecer as equaes pararntrcas da reta que passa pelo ponto' A(3, 2,1) e V' simultaneamente ortogonal s retas

! x=3r: ~~'"Oz = 1 e !y =-2x + 1s: z =-x - 3* .~ Estabelecer as equaes da reta que passa pela origem e simultaneamente ortogonalt]' s retas

e s:! y=3.X-l

z =-x +4

30) Determinar as equaes pararnetricas da reta que contm o ponto A(2, O, -I) e simultaneamente ortogonal reta

r:y-3_z+1-----;x=12 -I

e ao eixo dos y.

31) Estabelecer

~~retas

!)o? "X_2=Y;I=;as equaes paramtricas da reta que passa pelo ponto de interseo das

e !X=I-Ys: z =2 + 2ye , ao mesmo tempo, ortogonal a r e s.

A reta 139

32) A reta

r:

paralela reta que passa pelo ponto A(-I, 0, O) e simultaneamente ortogonal sretas

jx =-t

ri: y=-2t+3

z = 3t-le

r !z =2xy=xCalcular a e b.

~ Dados os pontos Pi(7,-1,3) e P2(3,0,-12), determinar:

~o ponto P, que divide o segmento Pi P2 na razo ~ ;

b) o ponto Q, que divide o segmento PlP2 ao meio.

34) O p?nto P(9, 14,7) divide o segmento PlP2 na razo ~ .

Determinar P2, sabendo que Pl(l, 4, 3).

35) Seja o tringulo de vrtices A(I, 0, -2), B(2, -1, -6) e C(-4, 5,2).

Estabelecer as equaes paramtricas da reta suporte da mediana do tringulo ABC relativaao lado BC.

4.15.1 Respostas dos Problemas Propostos

~1) Apenas P

2) (4, 1,5)

3) m =-2, n =-5

14) (5,-2,-2),(-7,4,10) (2, -2,1)

140 Geometria analtica

e 5z=-x-132

5) P(2, 1,9)

6) y = 2x - 8

7) a)! y = ~ -+z=-2x+5

b)IY = -x + 1z =3

10) m=-5

12) a)!Y=-2z=4

b)!X=3z = 1

c) !x =2y=3

14) a) 60

b) 30

!Z=2d) x=-y+3

c) 30

2d) 8 = are cos (-3) == 48 ll'

15) 7 ou 1

16) v'IT

17) -4

A reta 141

a) -2;

~m=lO e li = 5

Y=4x + 9 e z =-x - 2

D(O, 1, O)

1 3ou -2

:!3) a) 4 0!)-= 73c)-2

_4) a) (1,2,3)-,

b)(4,3,9)

c) (2, 1, -2)

d) (1, -5, 5)

_5) a) (2,4, -1)-v'3

, b) e = are eo -/'6

(~ ,1; O)

a) m=2 ~

(-1, -1, -2)~ ,lr

r x~3-ty=2

z = 1 - t

19) y=O

x =z

30) y=O

z =-1

142 Geometria analtica

31) IX"2+'y=-1-5tz =3t

32) !a" 14b =-10

a) P05, -3, 33)1 9

b) Q(5, -T' -2)

34) P2(-3, -1,1)

35) rI +2,y=-2t

z =-2

Seja a equao:

2x + 3y + Z - 6 = O

1801 Geometriaanalttica

Exemplo

ou:2x + 3y + Z = 6

Dividindo ambos os membros por 6, vem:

o plano 181

~) mediador do segmento de extremos A(l, -2, 6) e B(3, O, O);/

rfJ mediador do segmento de extremos A(5,-1,4) e B(-I,-7,1);

:!i)paralelo' ao fixo dos}ft que contm os pontos A(O, 3, l) e B(2, O, -I); V COO,., j17) paralelo ao eixo dos~ que contm os pontos A(-2, O, 2) e' B(O, -2, 1);

8) paralelo ao eixo dosy e que contm os pontos A(2, 1, O) e B(O, 2, 1);

,) .paralelo ao plano xOy e que contm o ponto A(5, -2,3); ,j tNVvt'0'-I9'J

, O)

O) perpendicular ao eixo dos y e que contm o ponto A(3, 4, -1),

Nos problemas 11 a 14, escrever a equao geral do plano determinado pelos pontos:

I) A(-I,2,0), B(2,-I,I) e C(1,I,-I).

2) A(2, 1, O), B(-4, -2,-1) e C(O, 0,1).

3) A(O, O, O), B(O, 3, O) .e C(O, 2, 5).

~A(2, 1,3), B(-3, -1, 3__)_e_C_(_4_,2_,-..3)_,_------------~--------

5) Determinar o valor de a para que os pontos A(a, -1, 5), B(7,2,I), C(-I, -3, -1) eD(I, O, 3) sejam coplanares.

Nos problemas de 16 a 19, determinar a equao geral do plano nos seguintes casos:

~ . - -+-+6~ O plano passa pelo ponto A(6, O, -2) e paralelo aos vetores ~ e -2j + k .

. ' -+ - -+O plano passa pelos pontos A(-3,I,-2) e B(-I, 2,1) e paralelo ao vetor v = 2i - 3k.

O plano contm os pontos A(l;-2,2)e B(-3,I,-2) e perpevdicular ao plano11': 2x + y - z + 8 = O.

O plano contm o ponto A(4, I, O) e perpendicular aos planos 11'1: 2x - y - 4z - 6 = O e11'2: x + y + 2z - 3 = O.

182 Geometria analttica-

Nos Problemas 20 a 23, determinar a equao geral do plano que contm os seguintes paresde retas:

20)

!y=2x-3

!x - 41 . z -.f,-- =--,

e s: 3 5r:z = -x + 2 y =-1\

2I) x-I = y+2 z-3 x-I _y+2_z-3r: -2- 3 -1e s: ~ ---=1- -2-

22)

{x = -3 + t

r: y= -t e s: !X+2=Y-Ioz=o2 -2'z=4

23)

r: x=z; y=-3 e s:

z = 2 - t

Nos problemas 24 a 28, determinar a equao geral do plano que contm o ponto e a retadados:

8A(3, -1, 2) e j x=tr: y=2-tz = 3+ 2t25)

A(3, -2,-1) e r: ! x + 2y + z - 1 = Ot 1.. \2x + Y- z + 7 = O\\.. $o- \i

U26) A(I, 2, 1) e a reta interseo do plano 1T: x - 2y + z - 3 = O com o plano yOz.

t- 27) A(I, -1, 2) e o eixo dos z.28) A(I, -2, 1) e o eixo dos x.

29) Estabelecer as equaes dos planos bissetores dos ngulos formados pelos planos xOze yOz.

o plano 183

Representar graficamente os planos de equaes:

a) x + y - 3 = O

b) z:;:;-2

c) 2y + 3z - 6 = O

d) 3x + 4y + 2z - 12 = O

31) Dada a equao geral do plano 1T: 3x - 2y -:z - 6 = O, determinar um sistema de equaesparamtricas de 1T.

32) Estabelecer equaes paramtricas do plano determinado pelos pontos A(l ,-1,O), B(2, 1,3)e C(-1,-2,4).

~33) eterminar o ngulo entre os seguintes planos:

Ja) 1T1:X+2y+z-1O=0 e 1T2:2x+y-z+l =0

b) 1Tt:2x-2y+l=0 e 1T2: 2x - y - z = O

c) 1Tt:3x + 2y - 6 = O e 1T2: plano xOz

d). 1T1: 3x + 2y - 6 = O e 1T2 : plano yOz.

eterminar o valor de m para que seja de 30 o ngulo entre os planos

1Tt : x + my + 2z - 7 = O e1T2 : 4x + Sy + 3z - 2 = O.

~ Determinar a e b, de modo que o, planos

1Tl : ax + by + 4z - 1 = O e. 1TZ: 3x - Sy - 2z + 5 = O

sejam paralelos.

Determinar m de modo que os planos

1T1 :2mx + 2y - z :;:;O e

1TZ: 3x - my + 2z - I = O

sejam perpendiculares.

184 Geometria analftica

37) Determinar o ngulo que a reta

r'l x - 2 =L = z + I. 3 -4 5forma com o plano 11": 2x - y + 7z - 1 = O.

38) Determinar o ngulo formado pela reta

I y = -2xr: i = 2x + 1e o plano 11": x - y + 5 = O.

39) Determinar as equaes reduzidas, em termos de x, da reta r que passa pelo pontoA(2, -1,4) e perpendicular ao plano 11": x - 3y + 2z - I = O.

40) Determinar as equaes paramtricas da reta que passa pelo ponto A(-I, O, O) e paralelaa cada um dos planos

11"1: 2x - y - z + I = O e 11"2: x + 3y + z - 5 = O.

Gseja o paraleleppedo de dimenses 2, 3 e 4, representado a seguir.~ Determinar: z

a) as equaes da reta que contm o segmento AF;

b) as equaes da reta que contm o segmento AB;

c) as equaes da reta que contm o segmento EF;

d) as equaes da reta que contm o segmento AC;

e) as equaes da reta que passa pelos pontos O e F;

3 C

I1

D~----:~:--------fIlIIo ~ __ 1 __ __

/../

2 /E

g) a equao do plano que contm a face ABCD;

f) as equaes pararntricas da reta que contm o segmento OA;

h) a equao do plano que contm a face ABGF.

G

F

o plano 185

42) Mostrar que a reta

paralela ao plano tr: x + 2y + Z + 3 :: O.

43) Mostrar que a reta.! x-I::..L!"J... z= Or. I -2'

est contida no plano 1T: 2x + y - 3z - I = O.

44) Calcular os valores de m e n para que a reta

I y = 2x - 3r: z = -x + 4esteja contida no plano 1T: nx + my - z - 2 = O.

Nos problemas 45 e 46, estabelecer as equaes reduzidas, sendo x a varivel independente,da reta interseo dos planos:

~ 1Tl: 3x - y + z - 3 :: O e 1T2:x + 3y + 2z + 4 = O

46) 1Tl:3x-2y-z-l::Q e 1T2: x + 2y - z - 7 == O

Nos problemas 47 e 48, determinar as equaes paramtricas da reta interseo dos planos:

~ 1Tl: 2x - y - 3z - 5:: O e

48) 1T1 : 2x + y - 2 = O e

Nos problemas 49 a 51, determinar o ponto de interseo da reta r com o plano tr nosseguintes casos:

56) A(-l, 2, O), 1T1.:2x-y=0 e 1T2 : x + y - z - 4 = O.

186 Geometria analtica

49)2z - 3

f" X = 2y - 3 = --. 3

50)

{x==l+t

r: y= 2t e

z==5

e 1T: 2x - y + 3z - 9 = O

1T:x=3

51)

(

Y ==2x - 3r:

z = -x + 2

x==t

Y = 1 - 2t e 1T: 2x + Y - z - 4 = O

cm os planos coordenados.

Determinar os pontos de interseo. do. plano.

1T: 2x + 4y - z - 4 == O~i; 'fIZ:)

com s eixos coordenados e, tambm, a reta interseo. deste plano. com o. plano. xOy.

. .54) Determinar o. ponto de interseo. das retas

r: (

3x + Y + 6z + 13 = O

9x + 3y + 5z = Oe

s: ( x = 1

4x + Y - z - 9 = O

Nos problemas 55 e 56, determinar a equao geral do plano. que contm o. ponto. A e areta interseo. dos planos 1T1 e 1T2.

55) A(2,0,1), 1Tl:2x-3y- 5z=0 e 1[2: x - y = O.

57) Seja a reta

o plano 187

I x=3+tr: y = 1 - 21z = -1 + 2ta) quais as equaes reduzidas da projeo de r sobre o plano xOy? E sobre o plano xOz?

b) qual o ngulo que r forma com o plano xOy?

58) Estabelecer as equaes simtricas da reta que passa pelo ponto> A(3, 6, 4), intercepta oeixo Oz e paralela ao plano

1T: x - 3y + 5z - 6 = O.

59) O plano 1T: x + y - Z - 2 = O intercepta os eixos cartesianos nos pontos A, B e C. Calculara rea do tringulo ABC.

60) Calcular o volume do tetraedro limitado pelo plano 3x + 2y - 4z - 12 = O e pelos planoscoordenados.

1) a) (4, 3, -2)

b)(I,9,2)

Respostas de Problemas Propostos. /~ ')d k=-2~/

d) (O, -2, -1)

5.9.1

2) 2x - 3y - z - 9 = O L . 9)~

3) 2x + y - z - 1 = O 10) LS4) x +y - 3z + 8 = O 11) 4x + 5y + 3z - 6 = O

5) 4x + 4y + 2z + 3 = O 12) x - 2y = O

6) 3X+~~ 13) x=O, ..~

7) y- 2z+4:=0 V 14) z=3-q-8) x + 2z - 2 = O 15) a =-3

188 Geometria analtica

16) y + 2z +4 = O 33) a) 60

b) 3017) 3x - 12y + 2z + 25 = O 2

c) are eos y'I31318) x - 12y - lOz - 5 = O

319) 2x - 8y + 3z = O d) are cos v'I3. 13

20) 5x - 4y - 3z - 6 = O 34) 1 ou 7

21) 5x - 2y + 4z - 21 = O 35) a =-6

b = 1022) 2x + 2y + Z + 2 = O

36) 123) 2x+y-2z+3=0 2

24) x+y-2=0 37) 60

25) 2x + 3y + Z + 1 = O38) 45

26) 6x - 2y + Z - 3 = O39) I y = -3x + 527) x+y=O z = 2x

28) y+2z=0 40)

{x = 2t - 1

29) x+y=O x-y=Oy= -3t

ez = 7t

31) Existem infinitos sistemas. Um deles :41)

a) I x=2r"t y=4y=-hz = -6 + 2h + 3t; h, t ~ IR

b) I y=4{

z=332) x = 1 + h - 2t

Y= 1 - 3t c) Ix=2z = 3h + 4t z=O

o plano 189

d) IX" 21 49) (1,2,3)y = 4t 50) (3,4,5)z=3

51) (3, -5, -3)e) ( x= 21 3 1

y == 4t 52) (2, 1, O), (2' O,2)' (O, -3,2)

z=O53) (2, O, O), (O, 1, O), (O, O, -4)

b Ix = 211'=0y = 4t

y=-;X + 1z = 3t

g) z=3 54) (1,2, -3)

h) y=455) 5x - 7y - 10z = O

/'

44) m=-256) 2x - 7y + 4z + 16 = O F

n=357) a) IY = -2x + 7 Iz=2x-7

e45) ( y=x-2 z=O y=Oz = -2x + I ..;s

( y=lx +1-b) are eos -3-

46)2 2

z = 2x - 4 58) x y z - 1-=-= - ou1 2 1

47) ! x = 4t x-3 =~ =z-41 2 1Y= 1 - tz = -2 + 3t 59) 2..j3 u.a.>48) I x=t 60) 12 u.v.y = 2 - 2tz=3