PecasComprimidas_SzücsETtal.pdf

8/21/2019 PecasComprimidas_SzcsETtal.pdf

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Estruturas de madeira___________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

77

9. DIMENSIONAMENTO DE PEAS COMPRIMIDAS

9.1. ESTADOS LIMITES LTIMOS

Nas barras comprimidas axialmente os estados limites ltimos se configuram

pelo esmagamento das fibras, como nas barras denominadas de curtas, ou por

instabilidades associadas a efeitos de segunda ordem provocados por flambagem

tpica de Euler, tambm conhecida como flambagem por flexo, no caso das peas

esbeltas e semi-esbeltas.

9.1.1. Peas curtas: 40

Uma pea denominada de curta quando apresenta ndice de esbeltez menor

ou igual a 40. A forma de ruptura caracteriza-se por esmagamento da madeira e a

condio de segurana da NBR 7190/97 expressa por:

dc

W

ddc f

A

N,0,0 ,

(9.1)

onde c0,d a tenso de clculo devida solicitao dos esforos de compresso; Aw

a rea bruta da seo transversal; Nsdo esforo normal solicitante de clculo; fc0,d a

resistncia de clculo aos esforos de compresso paralela s fibras.

O ndice de esbeltez de barra de barra comprimida definido por

min

0

r

L,

(9.2)

onde o ndice de esbeltez; L0 o comprimento de flambagem; rmn o raio de

girao mnimo.

O comprimento de flambagem L0 igual ao comprimento efetivo da barra, no

se permitindo redues em peas com extremidades indeslocveis, no caso de peas

engastadas em uma extremidade e livres na outra L0= 2L

9.1.2. Peas semi-esbeltas: 40 < 80

A forma de ruptura das peas medianamente esbeltas pode ocorrer por

esmagamento da madeira ou por flexo decorrente da perda de estabilidade.


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_____________________________________________________________________________

78

A NBR 7190/97 no considera, para peas medianamente esbeltas, a

verificao de compresso simples, sendo exigida a verificao de flexo-compresso

no elemento mesmo para carga de projeto centrada. um critrio que estabelece a

considerao de possveis excentricidades na estrutura, no previstas no projeto. A

verificao deve ser feita isoladamente nos planos de rigidez mnima e de rigidezmxima do elemento estrutural.

A condio de segurana relativa ao estado limite ltimo de instabilidade impe

a relao para o ponto mais comprimido da seo transversal, aplicada isoladamente

nos planos de rigidez mnima e mxima do elemento estrutural.

1,0,0 dc

Md

dc

Nd

ff,

(9.3)

onde Nd o valor de clculo da tenso de compresso devida fora normal de

compresso e Md o valor de clculo da tenso de compresso devida ao momento

fletor Md, calculado pela excentricidade edprescrita pela norma.

nd definido como sendo o valor de clculo da tenso devido ao esforo normal

de compressow

sd

A

N.

Md definido como sendo o valor de clculo da tenso de compresso devido

ao momento fletor W

Md , expresso por

ddd eNM , (9.5)

onde ed definida como sendo a excentricidade de clculo expressa por

dE

Ed

NN

Nee 1 ,

(9.6)

e e1 a excentricidade de primeira ordem, expressa por

ai eee1 , (9.7)

sendo ea uma excentricidade acidental em virtude das imperfeies geomtricas dabarra, com valor mximo dado por

303000 hLea ,

(9.8)

e eiuma excentricidade decorrente dos valores de clculo M1de Nd;

301 h

Nd

Me di .

(9.9)


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79

h a altura seo transversal na direo referente ao plano de verificao.

Figura 38: Pea comprimida

NE a fora crtica de Euler expressa por

20

,2

L

IEN

efco

E ,(9.10)

sendo I o momento de inrcia da seo transversal da pea relativo ao plano de flexo

em que se est verificando a condio de segurana.

9.1.3. Peas esbeltas: > 80

A forma de ruptura das peas esbeltas ocorre por flexo causada pela perda de

estabilidade lateral. Neste caso, a condio de segurana relativa ao estado limite

ltimo de instabilidade impe a relao

1,0,0 dc

Md

dc

Nd

ff,

(9.11)

definindo-se

dE

Eefdd

NNNeNM ,1 , (9.12)

onde e1ef a excentricidade efetiva de 1a ordem, expressa por

caicef eeeeee 1,1 , (9.13)

ea a excentricidade acidental mnima com valor h/30 ou L0/300; ec a

excentricidade suplementar de primeira ordem que representa a fluncia da madeira,

expressa por:


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_____________________________________________________________________________

80

1exp21

21

qkgkE

qkgk

aigcNNN

NNeee ,

(9.14)

121 , com 1e 2 da tabela Tabela 14.

gd

dg

ig

N

Me

,1

Ngke Nqkso valores caractersticos da fora normal devidos s cargas permanentes e

variveis, respectivamente; M1g,d o valor de clculo do momento fletor devido apenas

s aes permanentes; o coeficiente de fluncia relacionado s classes de

carregamento e de umidade, exposto na Tabela 17.

Tabela 17: Coeficientes de fluncia

Classes de Umidade

Classes de Carregamento 1 e 2 3 e 4Permanente ou de Longa Durao 0,8 2,0

Mdia Durao 0,3 1,0Curta Durao 0,1 0,5

9.2. EXEMPLOS

9.2.1. Verificao de barra esbelta retangular

Verificar, para a combinao ltima normal, se a barra do banzo da trelia de

comprimento de flambagem L0= 169 cm e com seco transversal de 6 cm x 16 cm(Figura 39), construda em local de classe de umidade 1, suficiente para resistir a

uma solicitao devida carga permanente de grande variabilidade de -2400 daN,

carga de vento de presso de -564 daN. A madeira usada uma dicotilednea de

classe C60 e sem classificao visual.

16

6 Figura 39 : Seco transversal do banzo de trelia


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_____________________________________________________________________________

81

Inicialmente, determinar-se-o as combinaes ltimas normais de clculo das

aes s quais o banzo est submetido. A norma NBR 7190, define a combinao

ltima normal pela Eq.

kQjoj

n

j

KQQkgigi

m

i

d FFFF ,2

,1,

1

Para as aes apresentadas, existe somente uma ao varivel, a qual ser

considerada principal. No existe ao varivel secundria. Para a situao normal de

projeto, os coeficientes de majorao da ao permanente de grande variabilidade G

=1,4, e da ao varivel Q=1,4. A ao do vento a principal e de curta durao,

portanto ela pode ser multiplica por um coeficiente de reduo de 0,75. Assim sendo, a

ao ao qual o banzo est subetido de

daNFd 39525644,175,024004,1

necessrio calcular as propriedades mecnicas da madeira. Para isso, sabe-

se que a madeira macia e de classe C60. A resistncia de clculo compresso

paralela s fibras dada por

c

kc

dc

fkf ,0

mod,0 ,

sendo kmoddado por

3mod,2mod,1mod,mod kkkk .

kmod,1 funo da ao varivel principal e classe de carregamento, kmod,2 funo da

classe de umidade e tipo de material e kmod,3 devido categoria da madeira.

A classe de carregamento para a combinao ltima normal sempre considerada de

longa durao, portanto kmod,1 =0,70. Para obras em madeira serrada e inseridas em

locais com classe de umidade 1, kmod,2 = 1,0. Madeira sem classificao visual

considerada de 2 categoria, portanto kmod,3= 0,8.

56,08,00,17,0modk .

A madeira classe C 60 apresenta fc0,k= 600 daN/cm2e c =1,4. Assim sendo,

2

2

,0 2404,1

60056,0

cm

daNcm

daN

f dc

O mdulo de elasticidade efetivo dado por

22,,0 13720024500056,056,0

cm

daN

cm

daNEE mcoefc


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_____________________________________________________________________________

82

A fim de se determinar o critrio de segurana a ser empregado para a

verificao da seguraa da pea comprimida, deve ser calculado o ndice de esbeltez

da mesma nas duas direes, visto que, segundo a NBR 7190, a verificao deve ser

feita nas duas direes independentemente.

rL fl ,

A

Ir .

Os momentos de inrcia nas direes x e y so dados por

12

3hbI ,

43

204812

166cm

cmcmI x .

43 28812

616 cmcmcmI y

Os raios de girao em torno das direes x e y so dados por

cmcm

cm

A

Ir xx 62,4

96

20482

4

e

cmcm

cm

A

Ir

y

y 73,196

2882

4

.

Os ndices de esbeltez so

6,3662,4

169cm

cm

r

L

x

fl

x e

7,9773,1

169

cm

cm

r

L

y

fl

y .

Assim sendo, em torno do eixo x o banzo considerado uma pea curta (critrio

para pea curta) e em torno do eixo y considerado esbelto 807,97y .

Verificando a segurana em torno do eixo x, tem-se que

dcdc

f,0,0

A

Fddc ,0

22,0 17,41

96

3952

cm

daN

cm

daNdc .

22,0 24017,41

cm

daN

cm

daNdc .


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_____________________________________________________________________________

83

A segurana atendida em torno do eixo x, porm necessrio verifica-la em

torno do eixo y. Em torno desse eixo, como a pea considerada esbelta, a condio

de segurana dada por

1,0,0 dc

Md

dc

Nd

ff

,

Onde

A

Fddc ,0

I

yM ddc,0 .

dE

Eefdd

NN

NeNM ,1 .

caicef eeeeee 1,1

A tenso normal devida ao esforo axial j foi calculada anteriormente e

2,0 17,41

cm

daNdc .

necessrio calcular as tenses normais devidas flexo oriunda da excentricidade. A

carga crtica de Euler dada por

2

2

fl

EL

EIN ,

daNcm

cm

cm

daN

NE 4,13654169

288137200

2

4

2

2

Os valores das excentricidades a serem consideradas so

ei=0

ea= L0/300 =0,56 cm

1eeee caigc

qkgkE

qkgk

NNF

NNc

21

21

18,05642,00240013654

5642,0024008,0c

11,0ce

cme ef 67,011,056,00,1

cmdaNM d ., 372639521365413654

6703952


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_____________________________________________________________________________

84

239

cm

daNMd

A verificao da segurana em torno do eixo y, dada pela relao abaixo,mostra

que o banzo est seguro.

133,024039

24041

9.2.2. Verificao de pilar curto de seco retangular

Qual a fora mxima acidental que pode ser aplicada no pilar de peroba rosa da

Figura 40 em situao normal de projeto, sabendo que a fora permanente vale Ngk=

16.000 daN? Considere que a extremidade superior do pilar est impedida de se

deslocar nas direes x e y, a madeira usual, a classe de umidade do local da

construo 2 e as cargas permanentes so de grande variabilidade. fc0,k = 295

daN/cm2(peroba rosa)

Figura 40: Pilar de peroba rosa

O critrio de segurana a ser empregado para a verificao da segurana de

peas comprimidas determinado em funo do ndice de esbeltez das mesmas. E a

verificao da segurana, segundo a NBR 7190, deve ser efetuada nas duas direes

independentemente. Assim sendo, devem ser calculados, inicialmente, os ndices de

esbeltez em torno do eixo x e y, sendo estes expressos por:

r

L fl ,


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_____________________________________________________________________________

85

A

Ir .

Os momentos de inrcia nas direes x e y, respectivamente, so dados por:

12

3hbI ,

43

1000012

2015cm

cmcmI x .

43

562512

1520cm

cmcmI y .


cmcm

cm

A

Ir xx 77,5

300

100002

4

e

cmcm

cm

A

I

r

y

y 33,4300

56252

4

.


5,2977,5

170

cm

cm

r

L

x

fl

x e

3,3933,4

170

cm

cm

r

L

y

fl

y .

Em torno dos dois eixos, a pea considerada curta (critrio para pea curta)

pois 40. O critrio de segurana para pea curta

dcdc f ,0,0 , sendo

A

Fddc ,0 .

O esforo de clculo para situao normal de projeto, para estado limite ltimo, dado

por

FFFF kQjkQQm

kGiGid

n

j j

i,,1,

2 0

1

,

Sendo que a ao permanente de grande variabilidade Ngk = 16.000 daN e o

coeficiente de ponderao correspondente g= 1,4 para a combinao normal. Aao varivel mxima deve ser determinada, sendo o coeficiente de ponderao para

ao varivel igual a ( q= 1,4).

NNN qkqgkgd

NN qkd daN 4,1160004,1 .


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_____________________________________________________________________________

86

necessrio determinar a resistncia de clculo compresso paralela s fibras. Dada

por :

c

kco

dco

fkf

,

mod, ,

onde 3mod,2mod,1mod,mod .. kkkk . Para madeira serrada e carregamento de longa durao

(para situao normal de projeto, o carregamento sempre considerado de longa

durao), 7,01mod,k ; para madeira serrada e classe de umidade igual a 2, 0,12mod,k

e para madeira de 2acategoria (no submetida a ensaio especfico), 8,03mod,k . Logo,

56,08,00,17,0modk .

Dessa forma

22

, /1184,1

/29556,0 cmdaNcmdaNf dco .

Aplicando-se o critrio da NBR7190/97, tem-se:

2300

)000.16(4,1

,0 cm

NdaN

A

N qkddc

,

fdcdc ,0,0

,

2daN/cm118300

)16000(4,1 qkN,

daN7,9285qkN .

A carga acidental mxima 9285,7 daN.

9.2.3. Verificao de pilar medianamente esbelto de seco quadrada

Verificar, para a situao normal de projeto, o pilar de peroba rosa da Figura 41,

sabendo que a ao permanente vale Ngk= 2080 daN e a ao varivel causada pelo

efeito do vento vale Nqk= 520 daN. Considere que a extremidade superior do pilar tem

deslocamento impedido nas direes x e y, a madeira usual sem qualquer

classificao, a classe de umidade do local da construo 2 e as cargas permanentes

so de grande variabilidade. A resistncia e a rigidez da madeira so: fc0,k = 295

daN/cm2Ec0,m =146.740 daN/cm2.


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_____________________________________________________________________________

87





independentemente. Porm, como seco transversal do pilar quadrada e apresentaa mesma vinculao nos planos xz e yz, suficiente efetuar a segurana somente uma

vez. Assim sendo, deve ser calculado, inicialmente, o ndice de esbeltez expresso por:

r

L fl ,

A

Ir .


12

3

hbI ,

43

7,26312

5,75,7cm

cmcmI x .

O raio de girao em torno de x dado por

cmcm

cm

A

Ir xx 16,2

25,56

7,2632

4

e

O ndice de esbeltez do pilar nas duas direes

9,7316,2

160cmcm

rL

x

flx .

Logo, a pea considerada medianamente esbelta pois 8040 x . O critrio de

segurana a ser usado o de pea medianamente esbelta.

1,0,0 dc

Md

dc

Nd

ff,

onde


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_____________________________________________________________________________

88

A

Fddc ,0

I

yM ddc,0 .

ddd eNM .

dE

Ed

NNNee 1

ai eee1

O esforo de clculo para situao normal de projeto, para estado limite ltimo,

dado por

FFFF kQjkQQm

kGiGid

n

j j

i,,1,

2 0

1

,

sendo que a ao permanente de grande variabilidade Ngk = 3458 daN e o

coeficiente de ponderao correspondente g= 1,4 para a combinao normal. A

ao varivel causada pela ao do vento Nqk = 520 daN tem o coeficiente de

ponderao igual a q= 1,4, porm como uma ao de curta durao e atua como

ao preponderante (ou principal) deve ser multiplicada por 0,75,.

NNN qkqgkgd 75,0

daNdaNNd 5204,175,020804,1 .

daNNd 3458 .

A resistncia de clculo compresso paralela s fibras dada por

c

kco

dco

fkf

,

mod, ,





56,08,00,17,0modk .

Dessa forma

22

, /1184,1

/29556,0 cmdaN

cmdaNf dco .

E o mdulo de elasticidade efetivo compresso paralela s fibras dado por:


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_____________________________________________________________________________

89

mcoefco EkE ,mod, .

22, 8217414674056,0

cm

daN

cm

daNE efco

Para calcular as tenses normais devidas flexo oriunda da excentricidade

necessrio calcular a excentricidade de clculo, a qual funo da carga crtica de

Euler dada por

2

2

fl

EL

EIN ,

daNcm

cmcm

daN

NE 2,8354160

7,26382174

2

4

2

2

As excentricidades a serem consideradas so: ei, excentricidade inicial, e ea, a

excentricidade acidental. A excentricidade inicial dada por

,1

d

di

N

Me

para casos em que ei difente de zero, deve ser adotado um valor mnimo dado por

30

hei ,

sendo h a altura da seo transversal referente ao plano de verificao. No presente

caso, M1d nulo, pois no existe momento aplicado, porm a excentricidade mnima

deve ser atendida. Dessa forma

cmcmh

ei 25,030

5,7

30.

A excentricidade acidental dada por

cmcmL

ea 53,0300

160

3000

,

a qual deve atender a condio de excentricidade mnima acidental dada por

cmh

ea 25,030

.

cmcmcmeee ai 78,053,025,01 .

A excentricidade de clculo dada por

dE

Ed

NN

Nee 1

cmdaNdaN

daNcmed 28,1

34582,8354

2,835475,0 .


14/19


_____________________________________________________________________________

90

cmdaNcmdaNM d .24,442628,13458

De posse das solicitaes internas, determinam-se as tenses devidas ao esforo axial

e ao momento oriundo da excentridade.

2

2

/5,615,7

3458cmdaN

cm

daN

A

NdNd

,

24 9,62

7,263

2

5,724,4426

.

cm

daN

cm

cmdaNcm

I

yM

x

d

Md

1,0,0

ffdc

Md

dc

Nd

105,1

118

9,62

118

5,61

2

2

2

2

cm

daNcm

daN

cm

daNcm

daN

No atende ao critrio de segurana. Para que a coluna atenda o critrio de

segurana da norma brasileira preciso aumentar a seo transversal.

9.2.4. Verificao de pilar esbelto de seco retangular

Verificar a segurana, para situao normal de projeto, do pilar de peroba rosa

engastado-rotulado nos planos xz e yz e submetido s cargas ilustradas na Figura 42.Considerar a madeira usual, a classe de umidade do local da construo 2 e as

cargas permanentes so de grande variabilidade. A resistncia e a rigidez da madeira

so: fc0,k =295 daN/cm2; Ec0,m =146740 daN/cm2; Ngk=1300 daN (ao permanente);

Nqk= 340 daN (ao varivel devida ao uso)



15/19


_____________________________________________________________________________

91




independentemente. Assim sendo, devem ser calculados, inicialmente, os ndices de

esbeltez em torno do eixo x e y, sendo estes expressos por:

r

L fl ,

A

Ir .


12

3hbI ,

43

204812

166

cm

cmcm

I x .4

3

28812

616cm

cmcmI y .


cmcm

cm

A

Ir xx 61,4

96

20482

4

e

cmcm

cm

A

Ir

y

y 73,196

2882

4

.


4,4361,4

200

cm

cm

r

L

x

fl

x e

6,11573,1

200

cm

cm

r

L

y

fl

y .

Logo, em torno do eixo x, o pilar considerado medianamente esbelto, pois

8040 x e, em torno do eixo y, considerado esbelto, pois 14080 x .

O critrio de segurana tanto na direo x quanto na dirao y dado por

1,0,0

ffdc

Md

dc

Nd .

A NBR 7190 prescreve que a segurana deve ser verificada nas duas direes

independentemente. Neste exemplo, ser ilustrada somente a verificao em torno do

eixo y devendo o aluno efetuar a verificao da segurana em torno do eixo x, para o

critrio de pea medianamente esbelta, como atividade domiciliar.


16/19


_____________________________________________________________________________

92

Para a verificao em torno do eixo y (critrio de pea esbelta),

dE

Eefdd

NN

NeNM ,1. ,

onde NE a carga crticade Euler ; e1,ef excentricidade efetiva.

O esforo de clculo para situao normal de projeto, para estado limite ltimo,

dado por

FFFF kQjkQQm

kGiGid

n

j j

i,,1,

2 0

1

,

sendo que a ao permanente de grande variabilidade Ngk = 1300 daN e o

coeficiente de ponderao correspondente g= 1,4 para a combinao normal. A

ao varivel causada pela ao do vento Nqk = 340 daN tem o coeficiente de

ponderao igual a q= 1,4.

NNN qkqgkgd

daNdaNNd 3404,113004,1 .

daNNd 2296 .

A resistncia de clculo compresso paralela s fibras dada por

c

kco

dco

fkf

,

mod, ,





56,08,00,17,0modk .

Dessa forma

22

, /1184,1

/29556,0 cmdaNcmdaNf dco .

E o mdulo de elasticidade efetivo compresso paralela s fibras dado por

mcoefco EkE ,mod, .

22, 8217414674056,0

cm

daN

cm

daNE efco


17/19


_____________________________________________________________________________

93

Para calcular as tenses normais devidas flexo oriunda da excentricidade,

necessrio calcular a excentricidade de clculo, a qual funo da carga crtica de

Euler. Como a vinculao nas duas direes a mesma, a carga critca de Euler ser

obtida com o menor momento de inrcia.

2

2

fl

EL

EIN ,

daNcm

cmcm

daN

NE 4,5839200

28882174

2

4

2

2

As excentricidades a serem consideradas so: ei, excentricidade inicial; ea, a

excentricidade acidental e a excentricidade devida fluncia ec. A excentricidade inicial

dada por

d

dd

d

di

NMM

NMe qg ,1,1,1 ,

M1g,d o valor de clculo do momento fletor devido s aes permanentes; M1q,d o

valor de clculo do momento fletor devido s aes variveis. Para casos em que ei

difente de zero, deve ser adotado um valor mnimo dado por

30

hei ,

sendo h a altura da seo transversal referente ao plano de verificao. No presente

caso, M1d nulo, pois no existe momento aplicado, porm a excentricidade mnimadeve ser atendida. Dessa forma

cmcmh

ei 20,030

6

30.

A excentricidade acidental dada por

cmcmL

ea 67,0300

200

3000

,

a qual deve atender a condio de excentricidade mnima acidental dada tambm por

cmhea 25,030

.

A excentricidade devida fluncia dada por

1caigc eeee com

qkNgkNN

qkNgkNcE 21

21 ,


18/19


_____________________________________________________________________________

94

gd

g

gN

Me

d,1i ,

sendo 1 2 1; Ngk valor caracterstico da fora normal devida s cargas

permanentes (sem a majorao); Nqkvalor caracterstico da fora normal devida s

cargas variveis. Para a classe de umidade 2 e carregamento de longa durao,

8,0 . Para as aes variveis, 3,01 e 2,02 .

27,021

21

qkNgkNEFqkNgkNc

cm21,01e)67,00(1eeee 27,0caigc

A excentricidade efetiva dada por

cmcmcmcmeeee caief 08,121,067,020,0,1 .

A excentricidade de clculo dada por

dE

Ed

NN

Nee 1

cmdaNdaN

daNcmed 78,1

22964,5839

4,583908,1 .

cmdaNcmdaNM d .88,408678,12296 .

De posse das solicitaes internas, determinam-se as tenses devidas ao

esforo axial e ao momento oriundo da excentridade.

A

Fddc ,0

22,0 92,23

96

2296

cm

daN

cm

daNdc .

24 57,42

288

2

688,4086

.

cm

daN

cm

cmdaNcm

I

yM

x

d

Md.

Substituindo na equao da condio de segurana, tem-se:

105,1118

57,42

118

92,23

2

2

2

2

cm

daNcm

daN

cm

daNcm

daN

0,156,0 .

A coluna de peroba rosa nas condies indicadas satisfaz o critrio de

segurana de estado limite ltimo da norma brasileira em torno da direo y. Deve ser

efetuada a verificao tambm em torno do eixo x.


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