Descrio de um fluido em Movimento:

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1. Equao Geral do Balano

O campo dos Fenmenos de Transporte ocupa-se basicamente com a predio das variaes de temperatura, concentrao e velocidade dentro de um meio. Para obter estes perfis, empregam-se dois conjuntos de equaes.

a. Equaes de Balanos (ou de conservao)

b. Equaes de Taxas ou Leis de FluxoA equao geral do balano para um determinado sistema :

Taxa de entrada - Fluxo que entra no sistema atravs de suas fronteiras.

Taxa de sada - Fluxo que sai do sistema atravs de suas fronteiras.

Taxa de transformao - Toda produo ou consumo no interior do sistema.

Taxa de variao - Taxa de variao da quantidade total de massa, energia ou quantidade de movimento do sistema.

1.1Equao Geral do Balano na Forma Integral:

(Balano Geral, Balano Macroscpico)Considerando-se no sistema um volume de controle fixo no espao (sistema aberto, mtodo Euleriano) e que

( = Fluxo de uma quantidade (QM, Massa ou Energia) [Quantidade/rea.Tempo]

( = Concentrao de uma quantidade (QM, Massa ou Energia) [Quantidade/Volume]

(t = Gerao de uma quantidade (QM, Massa ou Energia) [Quantidade/Tempo.Volume]

Ento, para a figura a seguir,

A taxa de transferncia de quantidade de movimento, energia ou massa atravs de dA dada por:

o vetor normal que aponta para fora da superfcie de controle

a componente de perpendicular a dA

EMBED Equation.3Integrando-se sobre a rea, obtm-se o fluxo lquido de quantidade de movimento, energia ou massa que atravessa a superfcie de controle.

O elemento de volume dV contm unidades de quantidade de movimento, calor ou matria. Portanto, o volume de controle contm unidades de quantidade de movimento. A taxa de variao de uma dessas quantidades no volume de controle, ser portanto:

para um volume de controle fixo no espao, pode-se escrever tambm que

Desta forma,

Para o elemento de volume dV a taxa de transformao . Conseqentemente para o volume de controle esta taxa ser:

Substituindo as equaes (2), (5) e (6) em (1) obtm-se a equao geral do balano na forma integral, a volume de controle fixo.

1.2 Equao Geral do Balano na Forma Diferencial:

(Balano Microscpico)Pelo teorema da divergncia de Gauss, sabe-se que

Substituindo a equao (8) na (7) tem-se:

Como o volume de controle arbitrrio e as funes so contnuas, pode-se escrever:

A equao obtida a equao geral do balano na forma diferencial.

2. Equaes de Fluxo

As equaes que descrevem os fluxos moleculares e convectivos so respectivamente:

Obs.:

Se considerarmos que

onde o fluxo total da propriedade ( e o fluxo devido a outros mecanismos alm de difusivo e convectivo (ex.: radiao), pode-se escrever que:

3. Combinao entre as Equaes de Balano e as de Fluxo

3.1 Forma Integral:Substituindo-se a equao para o fluxo total (14) na equao geral EGBI (7) obtm-se:

onde mantido na notao original para facilitar a anlise integral.

3.2 Forma Diferencial

Substituindo-se a equao para o fluxo total (14) na EGBD (10) obtm-se:

desenvolvendo,

Como

e para ( constante

ento, pode-se escrever a equao (17) na seguinte forma:

As equaes (15) e (20) so bsicas no estudo dos fenmenos de transporte conforme veremos a seguir.

Obs.: O produto escalar de

4. Balano Integral (Global, Macroscpico) de Massa:

Aplicaremos agora a equao (15) para conservao global de massa. Neste caso ( = ( = [massa total/volume] e portanto,

O primeiro termo desta equao representa a taxa de variao temporal da massa total contida no volume de controle e ser representado por . O segundo termo desta equao representa a taxa lquida de massa que atravessa a superfcie de controle por conveco. Para sistemas de um nico componente ou com contradifuso mssica (fluxo mssico da espcie A = - fluxo mssico da espcia B) no h fluxo lquido de massa devido ao transporte molecular () e portanto o terceiro termo nulo.

Se no existirem outros mecanismos no balano de massa integral, e o quarto termo nulo, o quinto termo nulo independentemente da presena de qualquer reao qumica. O termo (t diferente de zero apenas na presena de raees nucleares que convertem massa em energia.

Se tanto e forem nulos, ento a equao (21) assume a seguinte forma:

Para escoamento incompressvel (( ( constante), tem-se

Exemplo 1: Considerando escoamento em regime permanente atravs do seguinte reservatrio, realize um balano global de massa no volume de controle indicado pelas linhas tracejadas. O restante da superfcie de controle chamamos de A3.

Em regime permanente o BGM dado pela equao (23).

para fluidos incompressveis, resulta que

Exemplo 2: Considere o caso do escoamento incompressvel no qual a rea do escoamento circular e o perfil de velocidade parablico, variando de acordo com a expresso:

vmx ( velocidade no centro do tubo

r ( raio qualquer

R ( raio do tubo

Atravs de um BGM determine a velocidade mdia do fluido escoando no tubo.

5. Balano Global de Quantidade de MovimentoO balano global de quantidade de movimento BGQM obtido pela substituio da concentrao ( da equao (15) por . Observe que neste caso ( e que um tensor de 2a ordem.

Analisa-se a seguir cada termo da equao (15).

Sistema para BGQM

( fluxo ; ( ( concentrao ()

O primeiro termo desta equao representa a taxa de variao temporal da quantidade de movimento no interior do volume de controle que ser representado por P. Observe que P tem as unidades de [QM/tempo] que so equivalentes a unidades de fora.

O segundo termo da equao (25) separado em duas integrais. Uma sobre A1 e outra sobre A2 (a integrao sobre A3 resultar em fluxo nulo). Portanto,

O terceiro termo da equao (25) surge devido as entradas e sadas de quantidade de movimento do sistema por transporte molecular. Existem trs contribuies para este termo: a primeira devida ao atrito entre as paredes estacionrias e o fluido em movimento(conhecida como atrito viscoso); a parcela mais significativa do fluxo molecular lquido que ser representada por .

Nesta anlise a fora que o fluido exerce sobre a superfcie slida. A segunda contribuio ao fluxo molecular devida a presso na entrada e sada do sistema. Ela expressa na seguinte forma.

A presso tambm contribui com um tipo de atrito (conhecido como arraste de forma) nas superfcies internas do sistema, este atrito ser includo em .

A terceira contribuio no transporte molecular est associada as foras viscosas na entrada e sada do volume de controle. Esta contribuio normalmente desprezvel, ento o terceiro termo da equao (25) torna-se:

Nesta equao a tenso cisalhante (tensor de segunda ordem). O produto escalar de resulta em um vetor como os demais termos da equao.

O quarto termo da equao (25) nulo porque no existem outras formas de transporte de quantidade de movimento para o sistema em questo.

O quinto termo, a transformao de quantidade de movimento, causada pela ao de foras externas sobre o fluido como por exemplo a fora da gravidade (neste caso, o campo gravitacional age como gerador de quantidade de movimento). Estes efeitos sero designados por . Se apenas foras gravitacionais so consideradas, .

Substituindo os resultados anteriores no Balano Global de Movimento a equao (25), obtm-se finalmente:

Realizando as integraes como no balano de massa, tem-se:

Obs.:

e

Observando-se o volume de controle as seguintes relaes so vlidas para a direo x.

n1x = cos (180( - (1) = -cos (1

n2x = cos (2

v1x = v1cos (1

v2x = v2cos (2

Portanto, para a direo x o BGQM assume a seguinte forma:

O balano global de quantidade de movimento na direo y obtido diretamente da equao anterior substituindo os cosenos pelos senos dos ngulos em questo.

6. Balano Global de Energia(Integral, Macroscpico)

Considere o seguinte sistema:

A energia total desse sistema consiste de 3 contribuies:

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3Onde cada termo est dado em energia por unidade de massa. Desta forma, ((.E) energia/volume ou uma concentrao de energia. O balano global de energia obtido fazendo-se ( = ( E , na equao (15):

O primeiro termo desta equao a taxa de variao de energia E, dado em unidades de Joules/s no volume de controle.

O segundo termo

(no h fluxo convectivo atravs de outras reas)

O terceiro termo (entrada sada por transporte molecular) est associado ao fluxo lquido de energia ( q/A = [J/m2s]; ) que entra no sistema atravs da superfcie de controle. Quando integrado, este termo equivalente a taxa de variao de energia devido ao fluxo de calor e ser representado por Q [J/s].

O quarto termo representa o transporte de energia por outros meios atravs da superfcie de controle, ou seja, o trabalho que ser positivo se realizado pelo sistema.

O sistema recebe calor e realiza trabalho. Pela 1a lei da Termodinmica, a energia do universo constante. Portanto,

Existem trs tipos de trabalho que devem ser considerados: o primeiro o trabalho de eixo WS (ex.: bomba centrfuga atando sobre o volume de controle). O segundo tipo o trabalho de escoamento, W( que o trabalho feito sobre as vizinhanas para superar os esforos normais na superfcie de controle onde h escoamento. O terceiro tipo de trabalho um trabalho realizado para superar os esforos cisalhantes na superfcie de controle, designado como W(. Portanto, a taxa lquida de trabalho, W dada por:

Os esforos normais so causados por efeitos devido a presso e esforos viscosos:

Tanto o trabalho viscoso devido a tenses normais como o devido tenses cisalhantes representam uma perda de energia mecnica do sistema para superar os efeitos do atrito viscoso e sero agrupados em um nico termo, W(. Desta forma, W composto por:

que para o sistema em anlise, assume a seguinte forma:

O quinto termo, a transformao de energia, pode ser desprezado a menos que contribuies eltricas ou nucleares existam. A energia associada a reaes qumicas includa como uma variao da energia interna u que uma parte da energia total.

Da substituio dos resultados anteriores na equao (33) obtm-se:

A equao (32) utilizada para eliminar E na equao (34). Aps realizarmos as integraes, o resultado :

Em termos de vazo mssica , a equao anterior torna-se:

para o estado estacionrio e ; tambm da termodinmica sabe-se que:

Desta forma a equao (36) reescrita como:

A equao acima o balano global de energia para o sistema no estado estacionrio. O termo equao (37) pode ser substitudo por , onde ( o termo de correo da energia cintica, definido como:

ento, a equao (37) assume a seguinte forma:

Usualmente assume-se que ( = 1. No entanto isto nem sempre verdade. A figura abaixo mostra o grfico de ( X Re para o escoamento em um tubo. Observe que para escoamento laminar ( = . Enquanto que para escoamento turbulento ( = 0,88 em baixos Reynolds e aproxima-se de 0,96 a medida que o perfil de velocidade se achata em altos Reynolds.

Exemplo 1: Calcule o coeficiente de correo da energia cintica (, para o escoamento de gua entre duas placas paralelas quando a placa superior se move a velocidade de 1 m/s e a placa inferior estacionria. Admita regime permanente.

Soluo: para este escoamento o perfil de velocidade dado por v/v0 = y/y0 onde v0 ( velocidade da placa superior.

EMBED Equation.3Tambm,

EMBED Equation.3

Portanto, da equao (38) tem-se que

Exemplo 2: Um eixo est girando com uma velocidade angular constante ( no mancal apresentado na figura a seguir. O dimetro do eixo d e a tenso cisalhante (. Obtenha a taxa na qual a energia deva ser removida do mancal para o leo lubrificante entre o eixo e a superfcie estacionria no mancal permanea a temperatura constante.

Soluo: o volume de controle escolhido consiste de uma unidade de comprimento de fluido envolvendo o eixo como mostra a figura acima. O BGE para o volume de controle :

A partir da figura observa-se o seguinte:

1) o fluido no atravessa a superfcie de controle.

2) Nenhum trabalho de eixo atravessa a superfcie de controle

3) O escoamento estacionrio.

Ento,

(Todo o trabalho viscoso usado para superar as tenses cisalhantes)

Onde er e e( so os vetores unitrios nas direes r e ( respectivamente. O sinal resultante consistente com o conceito de trabalho positivo quando realizado pelo sistema sobre as vizinhanas. Como v( = (d/2, ento:

Que a taxa de transferncia de calor necessria para manter o leo a temperatura constante. Se o calor no removido do sistema ento Q = 0 e portanto:

Como somente a energia interna do leo aumenta com o tempo, ento

e portanto,

ou com o calor especfico a volume constante,

Integrando obtm-se a variao da temperatura com o tempo. Observe que:

1) o termo de trabalho viscoso envolve grandezas apenas na superfcie de controle.

2) Quando a velocidade na superfcie de controle zero o termo de trabalho viscoso nulo (W( = 0)

Exemplo 3: Na expanso brusca apresentada na prxima figura a presso que atua na seo1 considerada uniforme com o valor p1. Obtenha a variao da energia interna entre as sees 1 e 2 para um escoamento estacionrio e incompressvel. Despreze as perdas por atrito nas paredes e expresse U2 e U1 em termo de v1, A1 e v2. O volume de controle est indicado pela linha tracejada.

(Escoamento atravs de uma expanso brusca)

Soluo:

a)BGM:

Se a seo 2 escolhida numa distncia relativamente afastada a jusante, ento o balano global de massa para o escoamento estacionrio e fluido incompressvel assume a seguinte forma:

Como ( constante ento,

b) BGQM:

Admitindo-se ( = 1, resulta:

Para a direo x:

Tambm,

Desta forma:

ou

c) BGE:

A partir da equao (36), tem-se:

Admitindo-se ( = 1, essa equao assume a seguinte forma para regime permanente e escoamento incompressvel:

Os resultados dos 3 balanos (equaes (i), (ii) e (iii)), podem ser combinados para determinar-se (U; substituindo-se a equao (ii) para (p/( e a equao (i) para v2 e observando que z1 = z2, obtm-se:

A equao (39-a) fornece a variao da energia interna em uma expanso brusca. A variao de temperatura que corresponde a essa variao de energia interna insignificante, mas da equao (iii) pode-se observar que a variao na carga total igual a variao de energia interna. Portanto a variao da energia interna em um escoamento incompressvel designada como uma perda de carga hL e a equao da energia em escoamento estacionrio, adiabtico e incompressvel em um tubo escrita como:

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