obmnivel1

SISTEMA ANGLO DE ENSINO 1 ANGLO VESTIBULARES

exerccios propostos:1. (OBM) Corte 10 algarismos do nmero 1234512345123451234512345, para que o nmero restante seja o maior

possvel.

2. (OBM) Na multiplicao a seguir a, b, c e d so algarismos.

Calcule b + c + d.

3. (OBM) Anos bissextos so mltiplos de 4, exceto aqueles que so mltiplos de 100 mas no de 400. Quantos anosbissextos houve desde a Proclamao da Repblica, em 1889, at hoje?

4. (Adaptado) Um nmero de dois algarismos tem o algarismo das dezenas igual ao dobro do das unidades. Ao inverter-mos a posio dos dois algarismos, o das dezenas fica no lugar do das unidades e vice-versa, obtemos um novo n-mero que 36 unidades menor que o anterior. Encontre o nmero original.

5. (OBM) Um edifcio muito alto possui 1000 andares, excluindo-se o trreo. Do andar trreo partem 5 elevadores:O elevador A pra em todos os andares. O elevador B pra nos andares mltiplos de 5, isto , 0, 5, 10, 15, O elevador C pra nos andares mltiplos de 7, isto , 0, 7, 14, 21, O elevador D pra nos andares mltiplos de 17, isto , 0, 17, 34, 51, O elevador E pra nos andares mltiplos de 23, isto , 0, 23, 46, 69, a) Mostre que, excetuando-se o andar trreo, no existe nenhum andar onde param os 5 elevadores.b) Determine todos os andares onde param 4 elevadores.

6. (OBM) O nmero 1000........02 tem 20 zeros. Qual a soma dos algarismos do nmero que obtemos como quo-ciente quando dividimos esse nmero por 3?

7. (OBM) A soma de dois nmeros primos a e b 34 e a soma dos primos a e c 33. Quanto vale a + b + c?

8. (Adaptada) Quantos quadrados perfeitos existem entre 90 000 e 810 000 que so mltiplos simultaneamente de4, 5 e 7?

9. (OBM) Qual o maior inteiro positivo n tal que os restos das divises de 154, 238 e 334 por n so iguais?

10. (OBM) Qual o menor inteiro positivo que o dobro de um cubo e o quntuplo de um quadrado?

11. (OBM) Quais nmeros inteiros positivos menores que 120 podem ser escritos como soma de duas ou mais potnciasdistintas de base 3 e expoente positivo? Por exemplo, 12 = 32 +31 um nmero deste tipo mas 18 = 32 + 32 no .

12. (OBM) Quantas vezes aparece o algarismo 9 no resultado da operao 10100 2003?

13. (OBM) Quantos nmeros inteiros maiores do que 20032 e menores do que 20042 so mltiplos de 100?

14. (OBM) Pedro distribuiu 127 moedas de 1 real em sete caixas e colocou em cada uma delas uma etiqueta dizendo onmero de moedas da caixa. Essa distribuio foi feita de forma que qualquer quantia de R$1,00 a R$127,00 pudesseser paga entregando-se apenas caixas fechadas. De que maneira Pedro fez essa distribuio?

45a3

3bcd

angloSISTEMA DE ENSINO Aulas 1 a 4

Prof- Maria Teresa M. DiasNVEL 1, NUMERAO


15. (OBM) O ano 2002 palndromo, ou seja, continua o mesmo se lido da direita para a esquerda.a) Depois de 2002, quais sero os prximos quatro anos palndromos?b) O ltimo ano palndromo, 1991, era mpar. Quando ser o prximo ano palndromo mpar?

16. (OBM) Se a n-sima OBM realizada em um ano que divisvel por n, dizemos que esse ano super-olmpico.Por exemplo, o ano 2001, em que foi realizada a 23- OBM, foi super-olmpico pois 2001 = 87 23 divisvel por23. Determine todos os anos super-olmpicos, sabendo que a OBM nunca deixou de ser realizada desde sua primeiraedio, em 1979, e supondo que continuar sendo realizada todo ano.

CONCEITOS E PROPOSIES RELACIONADASRepresentaes importantes:Nmeros Naturais IN = { 0, 1, 2, 3, ..........} Nmeros Inteiros Z= { ....., 3, 2, 1, 0, +1, +2, +3,...... }

Considerando um nmero qualquer natural n nmero par 2n nmero mpar 2n + 1 consecutivo n + 1 consecutivo par n + 2 consecutivo mpar n + 2

Todo nmero n pode ser escrito como: 2k, 2k + 13k, 3k + 1, 3k + 24k, 4k + 1, 4k + 2, 4k + 3, assim por diante, com k Z. (1)

Nmero de dois algarismos a b n = 10a + b

Nmero de trs algarismos: a b c n = 100a + 10b + c

Nmero de quatro algarismos: a b c d n = 1000a + 100b + 10c + d

Nmero n escrito na base b: n = ak bk + ak 1 bk 1 + ............... + a1b + a0Nmero n escrito na base 10: n = ak 10k + ak 1 10k 1 + ............... + a110 + a0

PalndromosSo numerais que, lidos tanto da esquerda para a direita como da direita para a esquerda, representam o mesmo

nmero.Ex: 33, 77, 121, 575, 1331, 23 432, 978 5879, etc...

Classificao dos naturais quanto aos divisores: nmero 1 possui apenas um divisor primos so os nmeros que possuem apenas dois divisores: ele mesmo e a unidade 1 compostos so os nmeros que possuem mais de dois divisores

O nmero de divisores de um nmero composto obtido pelo produto dos sucessores dos expoentes dos fatoresprimos do nmero dado.

Ex: 360 = 23 x 32 x 51 n- de divisores: 4 3 2 = 24 Concluso: 360 tem 24 divisores

Nmeros congruentes so nmeros que deixam o mesmo resto quando divididos por um nmero n. A condiopara que isso ocorra que a diferena entre eles seja um mltiplo de n.

Ex. 52, 73 e 101 so cngruos entre si, mdulo 7, pois 52 : 7 = 7(resto3) 73 : 7 = 10(resto3) 101 : 7 = 14(resto3)

Com 101 73 = 28 (mltiplo de 7) 101 52 = 49 (mltiplo de 7) 73 52 = 21 (mltiplo de 7)

tarefa1. (OBM) Corte 9 algarismos do nmero 567895678956789, para que o nmero restante seja o menor possvel.


2. (OBM) Na multiplicao a seguir, a, b e c so algarismos:

Calcule a + b + c.

3. (OBM) Quantos anos bissextos houve desde a Independncia do Brasil, em 1822 at o ano em que o Brasil se consa-grou pentacampeo de futebol, em 2002 ?

4. (OBM) Um nmero de dois algarismos tem o algarismo das unidades igual ao triplo do das dezenas. Ao invertermos aposio dos dois algarismos, o das dezenas fica no lugar do das unidades e vice-versa, obtemos um novo nmero que 36 unidades maior que o anterior. Encontre o nmero original.

5. (OBM) O nmero 7000........05 tem 18 zeros. Qual a soma dos algarismos do nmero que obtemos como quocien-te quando dividimos esse nmero por 5?

6. (OBM) Quantos quadrados perfeitos existem entre 40000 e 640000 que so mltiplos de 3, 4 e 5, simultaneamente?

7. (OBM) Apresente todos os nmeros inteiros positivos menores do que 1000 que tm exatamente trs divisores positi-vos. Por exemplo: o nmero 4 tem exatamente trs divisores positivos: 1, 2 e 4.

8. (OBM) Seja n o nmero inteiro positivo dado por n = 12 + 22 + 32 + 42 ++ (196883)2 . Qual o algarismo dasunidades de n ?

9. (OBM) Qual o maior nmero natural menor que 100 cuja soma dos divisores positivos mpar?

10. (OBM)

a) possvel dividir o conjunto {12, 22,,72} em dois grupos A e B de modo que a soma dos elementos de A sejaigual soma dos elementos de B? Justifique.

b) possvel dividir o conjunto {12, 22, 32,,92} em dois grupos C e D de modo que a soma dos elementos de C sejaigual soma dos elementos de D? Justifique.

exerccios propostos:1. (OBM) As peas de um jogo chamado Tangram so construdas cortando-se um quadrado em sete partes, como

mostra o desenho:

dois tringulos retngulos grandes, um tringulo retngulo mdio, dois tringulos retngulos pequenos, um quadrado e um paralelogramo.

Se a rea do quadrado grande 1, qual a rea do paralelogramo?

1 a bb 3 x

* * ** * *

1 c c 0 1

Aulas 5 a 8NVEL 1, Geometria e medidas


2. (OBM) No retngulo abaixo, a base o triplo da altura e o permetro igual a 16m. Calcule a rea do tringulo sombreado, em cm2.

3. (OBM) Considere o retngulo ABCD e os seguintes dados:

a) seus lados medem 6 cm e 8 cm;b) P,Q, R e S so os pontos mdios dos lados.

Determine e considere ainda os pontos:O como a interseco das diagonais AC e BD eM como a interseco das diagonais AO e PS do retngulo APOS.Determine a rea do quadriltero PQOM.

4. (OBM) Quanto mede o ngulo entre os ponteiros do relgio quando ele marca:a) 1 hora?b) 3 horas?c) 3h 30mim? Explique seu raciocnio.

5. (OBM) Dois satlites percorrem rbitas circulares num mesmo plano, tendo a Terra como centro.O satlite A dista 37500km da Terra; o satlite B dista 49400km. Pergunta-se:a) a distncia mnima possvel entre os dois satlites.b) a distncia mxima possvel entre os dois satlites.

6. (OBM) Considere um cubo como o da figura1. O cubo ser cortado por uma serra eltrica plana. Por exemplo, aserra pode cort-lo passando pelo meio das arestas AD, BC, EH e FG. O corte obtido ser um quadrado como mostraa figura 2.

a) Se a serra passar pelos vrtices D, B, F e H, o corte ser um polgono de quantos lados? Esses lados tero o mes-mo tamanho? Por que?

b) Se a serra passar pelos vrtices D, B, e G, o corte ser um polgono de quantos lados? Esses lados tero o mesmotamanho? Por que?

c) Se a serra passar pelos pontos mdios das arestas AB, BF, FG, GH, HD e DA, o corte ser um polgono de quantoslados?

A B

D C

H

E

G

F

A B

F

Fig. 1 Fig. 2

A

D

S

B

C

Q

P

R


7. (OBM) Quer-se construir tringulos com permetro igual a 12 palitos de fsforo (todos de mesmo comprimento) semquebrar nenhum.

Repare que alguns tringulos no podem ser construdos.Por exemplo, o tringulo acima no fecha.Mostre, com desenhos ou dando os comprimentos dos lados, todos os tringulos que podem ser construdos com os12 palitos.

8. (OBM) Quantos tringulos existem cujos lados esto sobre alguns dos segmentos traados na figura ao lado?

9. (OBM) Numa corrida de 110 metros com barreiras, as regras so: as barreiras tm, cada uma, 1,067m de altura; a primeira barreira est a 13,72m da linha de partida e a ltima a 14,02m da linha de chegada; h 10 barreiras, igualmente espaadas.Qual a distncia entre uma barreira e a seguinte?

10. (OBM) Na figura, os tringulos ABC e EGF so eqilteros. O permetro do tringulo ABC 132cm e, alm disso,AE = EC BD = DC EF = FC DG = GE

a) Qual o permetro da rea sombreada?b) Que frao da rea do tringulo ABC representa a rea sombreada?

11. (Adaptada) Seja um polgono estrelado inscrito num quadrado. Considerando os dados numricos da figura,determine a rea daestrela.

2 2

2

2

10

10

B

A C

D

E F

G


12. (OBM) No desenho, os quadrilteros ABCD, EFAG e IAJH so retngulos e H ponto mdio de AE.

Calcule a razo entre a rea do retngulo ABCD e o tringulo AHI.

13. (OBM) Um fazendeiro resolveu repartir sua fazenda para seus cinco filhos. Odesenho ao lado (fora de escala) representa a fazenda e as partes dos herdeiros,

que so da forma triangular, de modo que, BD = AE = DF = e

EG = GC. O filho mais novo recebeu o terreno representado pelo tringuloescuro, de 40 alqueires.Quantos alqueires tinha a propriedade original?

14. (OBM) Na malha quadrada abaixo, h 8 quadrados de lado 1cm. Determine a razo entre a rea sombreada e a reatotal.

15. (OBM) No desenho abaixo, o tringulo ABC retngulo e os lados do polgono (regio escura) so paralelos oucoincidem com algum dos catetos do tringulo.

Calcule x de modo que a rea do polgono seja igual do tringulo.

16. (OBM) O retngulo ao lado est dividido em 9 quadrados, A, B, C, D, E, F, G, H e I. O quadrado A tem lado 1 e oquadrado B tem lado 9.

Qual o lado do quadrado I?

A H

C

D

E

F

G

I

B

A

B C

2

x

5 10

DC2

AC3

BC4

A B

D C

EG

JH

I F

A

B CD

E

F

G


CONCEITOS E PROPOSIES RELACIONADASPolgonos: quadrilteros e tringulos. Elementos: lado, vrtice e diagonal.Permetro: soma das medidas dos lados.rea:

Para que exista um tringulo, a medida do maior lado tem que ser menor que a soma das medidas dos outros doislados.Todos os tringulos com bases e alturas, respectivamente,com mesmas medidas, tm a mesma rea.

Figuras equivalentes tem a mesma rea.Razo entre medidas de lados kRazo entre medidas de reas k2

ngulos: reto = 90 raso ou de meia volta = 180 de volta completa = 360Tringulo retngulo: possui um ngulo reto.

Circunferncia: raio e dimetro. C = 2 r (contorno = comprimento) Crculo: A = r2

Poliedros: cubo e paraleleppedo. (6 faces, 8 vrtices e 12 arestas)

tarefa1. (OBM) Usando palitos de fsforo, construa figuras como a ilustrada ao lado, com 3 palitos na altura e compri-

mento varivel.

a) Se a figura tiver 10 palitos no comprimento, quantos palitos ela ter no total?b) Se a figura tiver n palitos no comprimento, quantos palitos ela ter no total?

2. (Adaptada) Determine a rea da regio sombreada.

22

3

2

4

4

5

4

38

4 4

19

9

aresta aV = a3

Dimenses: a, b, cV = a b ca

bc

tringuloA = metade da rea

do retngulo demesma base emesma altura h

b

A = b x h2

A = base x alturaA = b h

retngulo

h

b

A = l2 l

quadrado

b

h


3. (Adaptada) Uma folha de papel quadrada foi dobrada duas vezes ao longo de suas diagonais, conforme as ilustra-es, obtendo-se um tringulo issceles. No tringulo obtido foi feito um corte paralelo base, pelos pontos mdiosdos outros dois lados.

Determine a razo entre a rea do buraco e a rea da folha original.

4. (Adaptada) Seja o quadrado ABCD e os pontos mdios de seus lados, I, J, K e L como ilustra a figura ao lado.Escreva as retas que representam eixos de simetria desse quadrado.

5. Um cubo tem 1dm de aresta. Em quanto diminui seu volume, se suas arestas forem todas reduzidas em 9cm cadauma?

6. Determinar a rea da regio sombreada da figura abaixo.

7. Foram desenhados quatro crculos concntricos de raios: 1, 2, 3 e 4, respectivamente. Em seguida, foram colori-das a maior e a menor a maior coroas circulares.

Determinar a rea da regio colorida.

8. Determinar a rea da regio sombreada, sabendo que os crculos maiores tem raio 2 e os menores tem raio 1.

6

3

3

A B

D CK

I

L J


9. Um retngulo ABCD est dividido em quatro retngulos menores. As reas de trs deles esto na figura ao abaixo.Pergunta-se:

a) Qual a rea do retngulo ABCD?b) Qual o permetro do retngulo interno, cuja rea no aparece na figura?

10. Traando segmentos, podemos dividir um quadrado em dois quadradinhos congruentes, quatro trapzios congruentese dois tringulos congruentes, conforme indica o desenho abaixo, esquerda. Eliminando algumas dessas partes,podemos montar o octgono representado direita. Que frao da rea do quadrado foi eliminada?

exerccios propostos:1. (OBM) Dizemos que um nmero natural teimoso se, ao ser elevado a qualquer expoente inteiro positivo, termi-

na com o mesmo algarismo. Por exemplo, 10 teimoso, pois 102, 103, 104, ..., so nmeros que tambm terminamem zero. Quantos nmeros naturais teimosos de trs algarismos existem?

2. (OBM) O grfico abaixo mostra o faturamento mensal das empresas A e B no segundo semestre de 2004. Combase nesse grfico, responda:

a) Houve um ms em que o faturamento da empresa A foi o dobro do faturamento da empresa B?b) Qual o ms em que ocorreu a maior diferena de faturamentos das duas empresas?c) Qual das empresas sofreu queda de faturamento em dois meses consecutivos?d) No semestre, qual empresa teve o maior faturamento?e) Qual a diferena entre os faturamentos totais do semestre?

3. (OBM) A mdia de cinco inteiros positivos diferentes 11. Determine o maior valor possvel para o maior doscinco inteiros.

jul

ago

set

ou

t

nov dez

100120140160180200

milh

es

de

reai

s

A

B

A B

D C

16

12 27

Aulas 9 a 12NVEL 1, Contagem


4. (OBM) A grande atrao do OBM Parque uma roda gigante (a figura mostra uma roda gigante similar, porm comum nmero menor de cabines). As cabines so numeradas com 1, 2, 3,, no sentido horrio. Quando a cabine25 est na posio mais baixa da roda-gigante, a de nmero 8 est na posio mais alta. Quantas cabines tem aroda-gigante?

5. (OBM) Pintamos de vermelho ou azul 100 pontos em uma reta. Se dois pontos vizinhos so vermelhos, pintamoso segmento que os une de vermelho. Se dois pontos vizinhos so azuis, pintamos o segmento de azul. Final-mente, se dois pontos vizinhos tm cores distintas, pintamos o segmento de verde. Feito isto, existem exatamente20 segmentos verdes. O ponto na ponta esquerda vermelho. possvel determinar com estes dados a cor do ponto na ponta direita?Em caso afirmativo, qual a cor deste ponto?

6. (OBM) Na populao de uma espcie rara de 1000 aves da floresta amaznica, 98% tinham cauda de cor verde.Aps uma misteriosa epidemia que matou parte das aves com cauda verde, esta porcentagem caiu para 95%.Quantas aves foram eliminadas com a epidemia?

7. (OBM) Esmeralda, de olhos vendados, retira cartes de uma urna contendo inicialmente 100 cartes numeradosde 1 a 100, cada um com um nmero diferente. Qual o nmero mnimo de cartes que Esmeralda deve retirarpara ter certeza de que o nmero do carto seja um mltiplo de 4?

8. (OBM) De quantos modos podemos sombrear quatro casas do tabuleiro ao lado, de modo que em cada linha eem cada coluna exista uma nica casa sombreada?

9. (OBM) Trs amigas foram para uma festa com vestidos azul, preto e branco, respectivamente. Seus pares desapato apresentavam essas mesmas trs cores, mas somente Ana usava vestido e sapatos de mesma cor. Nem ovestido nem os sapatos de Jlia eram brancos. Marisa usava sapatos azuis. Descreva a cor do vestido de cada umadas moas.

10. (OBM) No jogo pega-varetas, as varetas verdes valem 5 pontos cada uma, as azuis valem 10 pontos, as amarelasvalem 15, as vermelhas, 20 e a preta, 50. Existem 5 varetas verdes, 5 azuis, 10 amarelas, 10 vermelhas e 1 preta.Carlinhos conseguiu fazer 40 pontos numa jogada. Levando em conta apenas a quantidade de varetas e suas cores,de quantas maneiras diferentes ele poderia ter conseguido essa pontuao, supondo que em cada caso fosse poss-vel pegar as varetas necessrias?


11. (Adaptada) No rodzio de automveis decretado em So Paulo para combater a poluio, a regra seguida era:

12. (OBM) Esmeralda, a digitadora, construiu uma tabela com 100 linhas e 100 colunas, preenchendo uma casa com1, se o nmero da linha da casa divide o nmero da coluna e com 0, caso contrrio. Assim, por exemplo, a casada linha 2 e da coluna 4 foi preenchida com 1, porque 2 divide 4 e a casa na linha 3 e da coluna 7 foi preenchidacom 0.

1 2 3 4 5 6 99 100

1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 0 1 0 1 0 1 0 1

3 0 0 1 0 0 1 1 0

4

100 0 0 0 1

a) Qual a soma dos nmeros escritos na linha 5?b) Qual a soma dos nmeros da coluna 60?

13. (OBM) De quantas maneiras diferentes podemos construir um paraleleppedo usando exatamente 24 blocoscbicos de medidas 1 1 1?

Obs: Blocos de dimenses 2 3 4 e 2 4 3 devem ser considerados iguais.

14. Cinco estudantes A, B, C, D e E vo formar grupos de trabalho com 3 componentes em cada grupo. Escreva osgrupos que podem ser formados sabendo-se que:a) A e C esto brigados e no devem fazer parte do mesmo grupo;b) C e D esto namorando e precisam ficar no mesmo grupo.

15. (OBM) Existem vrios nmeros naturais de trs algarismos, tais que, o produto dos seus algarismos seja 24. a) D cinco exemplos de nmeros com essa propriedade.b) No total, quantos desses nmeros existem?

16. (OBM) Uma urna contm bolas pretas e outra urna contm bolas brancas. Toma-se um certo nmero de bolas daprimeira urna e coloca-se na segunda; a seguir, retira-se o mesmo nmero de bolsas da segunda urna e coloca-se na primeira. Pergunta-se: depois dessas operaes, o nmero de bolas brancas na primeira urna maior ouigual ao nmero de bolas pretas da segunda urna? Justifique sua resposta.

CONCEITOS E PROPOSIES RELACIONADASPara a resoluo de situaes e problemas de contagem, vamos usar, intuitivamente o Princpio Fundamental da

Contagem, atravs de situaes como os exemplos:1. Sejam as cidades A, B e C. Existem 3 rodovias diferentes ligam A e B e existem 2 rodovias que ligam B e C.

Partindo de A e passando por B, existem 3 2 = 6 maneiras diferentes para chegarmos em C, como ilustradoabaixo.

2. Quantos nmeros de dois algarismos podemos escrever com os algarismos 7, 8 e 9?O nmero procurado do tipo ab, onde a pode ser qualquer um dos trs algarismos e b ser tambm qualquer umdos trs algarismos. Portanto: 3 3 = 9 nmeros.

A B C

Os automveis que no circulavam nas sextas feiras eram30% do total. Os restantes estavam igualmente distribudosentre os outros dias.Em So Paulo havia, na ocasio, 4 milhes de automveis.Na primeira segunda feira, 90% dos motoristas dos carrosque no podiam circular obedeceram a regra.Nessa segunda feira, quantos foram os infratores?

Dia Final da placa queno podem circular

Segunda-feira 1 e 2

Tera-feira 3 e 4

Quarta-feira 5 e 6

Quinta-feira 7 e 8

Sexta-feira 9 e 0


3. Quantos nmeros de dois algarismos distintos podemos escrever com os algarismos 7 , 8 e 9?O nmero procurado do tipo ab, onde a pode ser qualquer um dos trs algarismos e b ter de ser qualquer umdos dois outros disponveis. Portanto: 3 2 = 6 nmeros.

4. Uma moeda lanada 3 vezes, qual o nmero de seqncias possveis de cara e coroa?Indicando por C o resultado cara e K para coroa, seguem as seqncias possveis:KKK, KKC, KCK, CKK, CCC, CKC, CCK , KCC, totalizando 8 ou 2 possibilidades para a 1- moeda, 2 possibilidadespara a 2- moeda, e 2 possibilidades para a 3- moeda, 2 2 2 = 8 possibilidades.

Mdia: dados n nmeros n1, n2, n3,........nn, a mdia entre eles dada por:

tarefa1. (OBM) O senhor Marcelo e sua esposa acertaram os dois relgios de sua casa, o da sala e o da cozinha, num mesmo

instante. Em pouco tempo perceberam que o relgio da sala adiantava 15 segundos por dia e o da cozinha atrasava30 segundos por dia. Aps alguns dias, o casal entrou em casa no instante que o relgio da sala marcava 16h 24min30s e o da cozinha 16h 17min.a) Esse instante aconteceu quantos dias aps o acerto dos relgios?b) Qual era a hora certa no instante que o casal entrou?

2. (OBM) Para imprimir um texto de 65 pginas usando um computador, um usurio inexperiente apertou as teclas..... e ENTER.

Na tela apareceu e o computador imprimiu apenas as pginas 1 e 65.No era isso o que o usurio queria, mas como no conhecia outro procedimento, resolveu imprimir todo o textodessa maneira. Digitou ento porque podia digitar 8 caracteres no mximo.

Apertou ENTER e imprimiu mais 4 pginas. Procurando de cada vez imprimir o maior nmero possvel de p-ginas.Pergunta-se:a) Quantas vezes o usurio apertou a tecla ENTER para imprimir todo o texto?b) Quantas teclas ele apertou em todo o processo?

3. (Adaptada) Antes, a moa do YaKult entregava na minha casa, regularmente, 3 frascos nas segundas-feiras, 3frascos nas quartas-feiras e 4 frascos nas sextas-feiras. Agora ela entrega, regularmente 3 frascos em diasalternados. Em mdia, ela entregava mais YaKult antes ou est entregando mais agora? Quanto a mais, emmdia?

4. (OBM) Distribuir 400 cadeiras em 3 salas A, B e C de modo que o nmero de cadeiras da sala B seja 3/2 donmero de cadeiras da sala A e que a sala C tenha 32 cadeiras a menos que a sala B. Quantas cadeiras tercada sala?

5. (OBM) Considere os nmeros obtidos repetindo sucessivamente 1988:1988; 19881988; 198819881988, etc. Em que passo aparece pela primeira vez, um mltiplo de 126?

6. (OBM) Para cada uma de 31 galinhas, preparou-se um decalitro de comida por semana. Isto foi feito supondoque o nmero de galinhas fosse invarivel. Como diminua uma galinha por semana, a comida durou o dobro dotempo planejado. Que quantidade de comida foi preparada a para quanto tempo foi planejada?

7. (OBM) Determinar um nmero natural com quatro algarismos consecutivos em ordem crescente, que admitauma permutao para a qual o nmero resultante seja um quadrado perfeito.

8. Quantos quadrados h na figura ao lado? Mostre como voc pensou.

46,4,3,2

56,1

56,1

n n n nn

n1 2 3+ + + +


exerccios propostos:1. (OBM) Sabe-se que trs meses consecutivos de um determinado ano, no bissexto, possuem cada um exata-

mente quatro domingos. a) Estes meses podem ser janeiro, fevereiro e maro?b) Podem ser agosto, setembro e outubro?

2. (OBM) Um estudante, com muito tempo livre e muita curiosidade, resolveu fazer o seguinte: a cada minuto, aomudar o horrio em seu relgio digital, marcava em seu caderno um X para cada algarismo 7 que aparecia no vi-sor. Assim, se seu relgio mostrava 02:07 ele marcava X e quando seu relgio mostrou 07:17 ele marcou XX.Comeou a fazer isso quando seu relgio mostrava 01:00 e parou quase doze horas depois, quando o relgiomostrava 12:59.Calcule a metade da quantidade de X que ele marcou em seu caderno.

3. (OBM) Desejamos escrever os inteiros de 1 a 10 nas casas do desenho ao lado de tal forma que quaisquer qua-tro nmeros alinhados aparecem em ordem crescente ou decrescente.a) Mostre uma maneira de dispor os nmeros respeitando estas condies.b) Quais nmeros podem aparecer nas pontas da estrela?c) Quais nmeros podem aparecer nas outras cinco posies?

4. (OBM) Carlinhos faz um furo numa folha de papel retangular. Dobra a folha ao meio e fura o papel dobrado; emseguida, dobra e fura novamente o papel dobrado. Ele pode repetir esse procedimento quantas vezes quiser,evitando furar onde j havia furos. Ao desdobrar a folha, ele conta o nmero total de furos feitos. No mnimo,quantas dobras dever fazer para obter mais de 100 furos na folha?

5. (OBM) Encontre o menor tabuleiro quadrado que pode ser ladrilhado usando peas com o seguinte formato:

Obs: Ladrilhado significa completamente coberto, sem superposio de peas, e de modo que nenhum ponto forado tabuleiro seja coberto por alguma pea.

Aulas 13 a 16NVEL 1, Raciocnio lgico


6. (OBM) Nas casas de um tabuleiro 8 8 foram escritos nmeros inteiros positivos de forma que a diferena entrenmeros escritos em casas vizinhas (quadrados com um lado comum) 1. Sabe-se que numa das casas est es-crito 17 e, em outra, est escrito 3. Desenhe um tabuleiro 8 8, preencha-o segundo essas regras e calcule asoma dos nmeros escritos nas duas diagonais do tabuleiro.

7. (OBM) Juntando cubinhos de mesmo volume mas feitos de materiais diferentes (cada cubo branco pesando 1grama e cada cubo cinza pesando 2 gramas), formou-se um bloco retangular, conforme mostrado na figuraabaixo. Qual a massa, em gramas, desse bloco?

8. (OBM) O jogo de domin formado por 28 peas retangulares distintas, cada uma com duas partes, com cadaparte contendo de 0 a 6 pontinhos. Por exemplo, veja trs dessas peas:

Qual o nmero total de pontinhos de todas as peas?

9. (OBM) Em um dado comum a soma dos pontos sobre faces opostas sempre 7. Beatriz construiu uma torre com4 dados comuns iguais, colando as faces como mostrado na figura. Qual o menor nmero de pontos que Beatrizpode obter somando todos os pontos das dezoito faces da superfcie da torre?

10. (OBM) Mostre que possvel, usando apenas duas cores, pintar os pontos de uma circunferncia de tal formaque no exista tringulo retngulo inscrito na circunferncia com vrtices em pontos da mesma cor.

11. (OBM) Os pontos da rede quadriculada abaixo so numerados a partir do vrtice inferior esquerdo seguindo ocaminho poligonal sugerido no desenho. Considere o ponto correspondente ao nmero 2001.Quais so os nmeros dos pontos situados imediatamente abaixo e imediatamente esquerda dele?

1 2 9 10

4

5 6

3 8

7

11

12

13


12. (OBM) Perguntou-se a um granjeiro quantos ovos as galinhas haviam posto naquele dia. Ele respondeu: no sei,mas, contando de dois em dois sobra um, contando de trs em trs sobra um; contando de cinco em cinco sobraum; porm, contando de sete em sete no sobra nenhum.Qual o menor nmero possvel de ovos que as galinhas haviam botado?

13. (OBM) Vera e Ana foram ao Mec Ronaldo. Vera comprou 5 Biglanches, Ana comprou 3 e foram para casa lanchar.No caminho, encontraram Luiza e as trs resolveram dividir os sanduches e as despesas igualmente entre si.Sabendo que a despesa de Luiza foi de R$ 16,00, responda:a) Qual era o preo de cada sanduche?b) Quanto Vera recebeu de Luiza? Explique seu raciocnio.

14. (OBM) Numa festa, Aline, Bruno e Carla, receberam um brinde cada um. Esse brinde era a uma caixa contendoum carrinho e um amuleto de boa sorte. Agora, ateno para as pistas!1) As 3 caixas e os 3 carrinhos tinham cores diferentes.2) A figa e o carrinho verde estavam na mesma caixa.3) O p de coelho estava na caixa azul.4) Aline recebeu a ferradura de boa sorte.5) Carla recebeu o carrinho laranja.6) O carrinho vermelho no estava na caixa branca.Agora responda qual a cor da caixa que Bruno ganhou e o que ela continha?

15. (OBM) Quando o avio do vo Madri-Jerusalm sai de Madri, o relgio de aeroporto marca 12hs. Quando esseavio chega em Jerusalm, o relgio do aeroporto marca 16hs. O vo de regresso sai s 18hs local e quandochega em Madri, o relgio do aeroporto est marcando 18hs. Qual a durao do vo Madri Jerusalm?

16. (OBM) Nove peas diferentes de domin esto sobre uma mesa, parcialmente cobertos por um pedao de papel.Os domins se tocam de modo que 1 ponto vizinho a 1 ponto, 2 pontos so vizinhos a 2 pontos, etc. Qual o totalde pontos escondidos pelo papel?

tarefa1. (OBM) O senhor Silva dispe de exatamente 3 horas para passear e quer, ao mesmo tempo, fazer algum exerc-

cio fsico. Ele sai do hotel numa charrete que percorre 12Km a cada hora planejando, aps algum tempo, saltarda charrete e voltar a p para o hotel. Sabendo que a p ele percorre 4Km a cada hora, responda:a) aps quanto tempo na charrete ele deve saltar?b) Quais sero as distncias percorridas na charrete e a p?

2. (OBM) Qual dos seis nmeros da seqncia: 279, 558, 1116, 2232, 3865, 4464 o intruso e porque?

3. (OBM) Com os algarismos 2, 3, 4 e 5, sem repet-los, quantos nmeros de 4 algarismos podemos escrever? Qual o maior deles? E o menor? Colocando-os em ordem crescente, qual deles ocupa a 11- posio?

4. (OBM) Paulo tem dois relgios de areia de tamanhos diferentes. O primeiro leva 1 minuto para escoar os 1cm3 deareia que contm. O segundo leva 3 minutos para escoar a mesma quantidade de areia. Os dois levam o mesmo tem-po para escoar toda areia do seu interior. Qual o volume de areia do segundo relgio se o primeiro contm 27cm3 deareia?


Manual do ProfessorEsse curso foi preparado com questes inditas e problemas propostos nas ltimas Olimpadas Brasileiras de Matem-

tica e programado para dezesseis aulas de 50 minutos, agrupadas em quatro dias de quatro aulas. Cabe ao professor deci-dir qual a melhor maneira de trabalhar com suas turmas: aulas de 50 minutos com pequenos intervalos entre uma e outra ouduas de 100 minutos com um nico intervalo.

A idia propor os problemas de classe e resolv-los com os alunos, a partir das sugestes dadas por eles e ir justifi-cando atravs de definies, propriedades ou teoremas sobre o assunto em questo.

As fundamentaes tericas para cada dia, cujos temas so: Numerao, Contagem, Geometria e Raciocnio Lgico,esto em seguida aos exerccios propostos para as aulas.

Como os alunos do curso so dedicados, possvel que resolvam os exerccios com rapidez e se forem esgotados osproblemas das aulas, avanar para os das tarefas.

Se no houver tempo para a correo das tarefas, as resolues podem ser disponibilizadas para os alunos copiadas apartir deste manual.

Os conceitos e proposies apresentadas foram escritas em linguagem prpria para os alunos da 5- e 6- sries, sem le-var em considerao o rigor matemtico de definies e teoremas.

(1) o teorema conhecido como algoritmo da diviso que nos permite escrever os nmeros dessa forma. Seu enun-ciado: Dados dois nmeros inteiros a e b com b 0, existe um nico par de inteiros q e r tais que a = b q + re 0 r |b|. Nesse curso vamos nos ater apenas expresso a = b q + r obtida do algoritmo da diviso, da oprprio nome do teorema.

a b

r q

Em seguida esto as resolues e respostas de todos os exerccios propostos.

AULAS 1 a 4Exerccios propostos:1. O maior nmero restante 553451234512345. Para ver isto, podemos supor que os cortes so feitos da esquerda

para a direita. Se deixarmos de cortar todos os quatro primeiros algarismos, o nmero que resta comear por 1, 2, 3ou 4. Logo, menor que o nmero acima. Feito isto, se deixarmos de cortar a segunda seqncia 1234, o nmero queresta ter na primeira ou segunda casa, da esquerda para a direita, 1, 2, 3 ou 4. Ainda menor que o nmero acima.Os dois primeiros 5 devem permanecer, pois retirando-se um deles, completamos 9 retiradas e a algum algarismo daterceira seqncia 1234 aparecer na 1- ou na 2- casa. Finalmente devemos cortar a seqncia 12, que ocupa a 11-e 12- posio.

2. No produto 45 a3 = 3bcd, imediato concluir que d = 5, isto , 45 a3 = 3bc5. Fazendo uma estimativa de a,vemos que as possibilidades so duas: 45 73 = 3285 e 45 83 = 3735 de onde se conclui que para a = 7temos b = 2 e c = 8, e para a = 8 temos b = 7 e c = 3. Portanto, b + c + d = 2 + 8 + 5 = 7 + 3 + 5 = 15

3. Os anos bissextos so 1892, 1896, 1904, ..., 2005 (note que 1900 no bissexto, pois mltiplo de 100 mas no de 400; por outro lado, 2000 bissexto, pois mltiplo de 100 e de 400).De 1904 a 2005 h (2004 1904) : 4 + 1 = 26 mltiplos de 4. Portanto, o nmero de anos bissextos desde 1889 atagora 28.

4. O nmero procurado ab de dois algarismos representado por 10a + b, mas como o algarismo das dezenas o dobrodo das unidades, a = 2b, ficando ento 20b + b = 21b. O segundo nmero, com os algarismos invertidos representa-do por 10b + a ou 10b + 2b = 12b. Como a diferena entre o primeiro e o segundo 36 unidades, 21b 12b = 36, 9b = 36 e b = 4, ento a = 8. O nmero procurado 84.

ResoluesNVEL 1


5. a) O elevador B pra nos mltiplos de 5.O elevador C pra nos mltiplos de 7.O elevador D pra nos mltiplos de 17.O elevador E pra nos mltiplos de 23.Como 5, 7, 17 e 23 so nmeros primos, para que todos parem num mesmo andar, este tem que ser mltiplo de5 7 17 23 = 13 685 e o prdio s tem 1000 andares.

b) Para que num andar parem exatamente quatro elevadores, devem parar A, que pra em todos, e trs dos restantes.B, C e D param nos mltiplos de 5 7 17 = 595B, C e E param nos mltiplos de 5 7 23 = 805B, D e E param nos mltiplos de 5 17 23 = 1955C, D e E param nos mltiplos de 7 17 23 = 2737Logo, os andares onde param 4 elevadores so o 595 e o 805.

6. O quociente da diviso de 102 por 3 34, de 1002 por 3 334, de 10002 por 3 3334, etc. Assim, o quociente da divi-so de 10.......02, com vinte algarismos zero, por 3, igual a 33...34, com vinte algarismos trs. Logo a soma dos alga-rismos do quociente 20 3 + 4 = 64.

7. a + b = 34 e a + c = 33 logo b c = 1. Como b e c so primos, conclumos que b = 3 e c = 2. Dessa forma a = 34 b = 34 3 = 31, de onde vem a + b + c = 31 + 2 + 3 = 36.

8. Estamos procurando nmeros n2 satisfazendo 90000 n2 810000 tal que n2 seja mltiplo de 4, 5 e 7. Ento

vamos procurar n satisfazendo 300 n 900 com n mltiplo de 2, 5 e 7, ou mltiplo de 2 5 7 = 70. So eles: 5 70 = 350; 6 70 = 420;...........; 11 70 = 770 e 12 70 = 840. So ao todo, 12 5 + 1 = 8 nmeros.

9. Dois nmeros deixam o mesmo resto quando divididos por n se e s se sua diferena mltipla de n. Logo, as diferen-as 238 154 = 84; 334 238 = 96 e 334 154 = 180 so todas mltiplas de n. Como n o maior possvel, conclu-mos que n deve ser o maior divisor comum de 84 , 96 e 180 que 12.

10. Decomponha n em primos = 2a23a3

5a5...

Dobro de um cubo quer dizer que todos os ai so mltiplos de 3 exceto a2 que deixa resto 1 na diviso por 3.Quntuplo de um quadrado quer dizer que todos os ai so pares exceto a5.Os menores expoentes possveis so ento a2 = 4; a5 = 3 e os outros a3 = a7 =...= 0.

Resposta: n = 2453 = 2000.

11. Temos 31 = 3, 32 = 9, 33 = 27, 34 = 81 mas 35 = 243 (no serve). Assim, os nmeros obtidos de acordo com ascondies do problema so:

3 + 9 = 12, 3 + 27 = 30, 3 + 81 = 84, 9 + 27 = 36, 9 + 81 = 90, 27 + 81 = 108,3 + 9 + 27 = 39, 3 + 9 + 81 = 93, 3 + 27 + 81 = 111, 9 + 27 + 81 = 117.

Note que o nmero 3 + 9 + 27 + 81 = 120 no serve.

12. 10100 2003 = 1000...000 2003 = 999...97997. Dos cem algarismos do resultado, dois so o 7; portanto o nmero

de algarismos 9 no resultado 98.

13. 20032 = 4012009 e 20042 = 4016016. Os mltiplos de 100 so: 4012100 = 40121 100, 4012200 = 40122 100,4012300 = 40123 100, ................, 4016000 = 40160 100.O nmero de mltiplos de 100 , ento, 40160 40120 = 40.

14. Basta distribuir as moedas em 7 caixas contendo respectivamente 1, 2, 4, 8, 16, 32 e 64 moedas. Para outros paga-mentos Pedro pode fazer 3 = 1 + 2, 5 = 1 + 4, 6 = 2 + 4, 7 = 1 + 2 + 4. Assim j pode pagar as quantias de 1 a 7 reaiscom o contedo das caixas. Somando-se a parcela de 8 a estas somas chega-se nas somas de 9 at 15. Somando-sea parcela de 16 s 15 somas assim formadas obtm-se somas de 17 a 31. A estas acrescenta-se a parcela de 32. E fi-nalmente a parcela de 64, obtendo-se assim todas as somas de 1 a 127 = 1+ 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64.

15. a) Os palndromos entre 2000 e 3000 so da forma 2aa2, onde a um algarismo. Logo os prximos quatro sero2112, 2222, 2332 e 2442.

b) Como o primeiro algarismo igual ao ltimo, um palndromo mpar maior que 2002 deve comear e terminar porum nmero mpar maior ou igual a 3. Logo o prximo ser 3003.

1442443 1442443100 zeros 100 algarismos


16. Observando que no ano n realizada a (n 1978)-sima OBM, temos que o ano n super-olmpico se, e somentese, n 1978 divide n. Assim, n 1978 divide n (n 1978) = 1978. Como os divisores positivos de 1978 so 1, 2,23, 43, 46, 86, 989 e 1978, os anos super-olmpicos so 1979, 1980, 2001, 2021, 2024, 2064, 2967 e 3956.

Tarefa1. O menor nmero restante 555678. Para ver isto, vamos fazer os cortes da esquerda para a direita, eliminando

os algarismos de maior valor absoluto. Se cortarmos o primeiro algarismo, o nmero que resta comear por umalgarismo maior que o anterior. Repetimos o procedimento at completarmos 9 eliminaes.

2. b multiplicado por 3 d um nmero terminado em 1, logo b = 7. Como 7 3 = 21, conclumos que a multiplicadopor 3, mais 2, ao somar com 9, deve resultar um nmero terminado em 0, ou seja, 3a + 2 + 9 = 0, ou seja a = 3.Desta forma temos a = 3, b = 7 e c = 0, de onde vem a + b + c = 10.

137 73

411959

10001

3. Os anos bissextos so: 1824, 1830,.. a 2000 (menos 1900 que no bissexto, pois mltiplo de 100 mas no de 400). De 1824 a 2000 h (2000 1824) : 4 + 1 = 45 mltiplos de 4. Portanto, o nmero de anos bissextos desde1822 at 2002 44 pois 1900 no foi bissexto.

4. O nmero procurado ab de dois algarismos representado por 10a + b, mas como o algarismo das unidades otriplo do das dezenas, b = 3a, ficando ento 10a + 3a = 13a. O segundo nmero, com os algarismos invertidos representado por 10b + a ou 30a + a = 31a. Como a diferena entre segundo e o primeiro 36 unidades, 31a 13a = 36, 18a = 36 e a = 2, ento b = 6. O nmero procurado 26.

5. O quociente da diviso de 705 por 5 141, de 7005 por 5 1401, de 70005 por 5 14001, etc. Assim, o quocien-te da diviso de 70.......05, com 18 ou qualquer nmero de algarismos zero, tem como soma de seus algarismos1 + 4 + 1 = 6.

6. Estamos procurando nmeros n2 satisfazendo 40000 n2 640000 tal que n2 seja mltiplo de 3, 4 e 5. Entovamos procurar n satisfazendo 200 n 800 com n mltiplo de 2, 3 e 5, ou mltiplo de 2 x 3 x 5 = 30. So eles:7 30 = 210; 8 30 = 240;........; 25 30 = 750 e 26 30 = 780. So ao todo, 26 7 + 1 = 20 nmeros.

7. Sabemos que todos os nmeros inteiros maiores do que 1 admitem pelo menos um divisor (ou fator) primo.Dessa forma, se n tem dois divisores primos p e q ento 1, p, q e pq so divisores de n; logo n tem mais que trs divisores; se n primo, ento tem somente dois divisores: 1 e n; se n uma potncia de um primo p, ou seja, da forma ps, ento 1, p, p2, ..., ps so os divisores positivos de

n. Para que n tenha trs divisores s dever ser igual a 2, isto , n = p2. Assim, os inteiros menores que 1000com trs divisores so: 4, 9, 25, 49, 121, 169, 289, 361, 529, 841, 961.

8. Os algarismos das unidades dos quadrados dos nmeros de 1 a 10 so, respectivamente, 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1e 0. Ora, a soma dos nmeros formados por esses algarismos 45.

Portanto, a soma 12 + 22 + 32 + 42 + + 102 tem como algarismo das unidades o nmero 5. De 11 a 20, osalgarismos das unidades dos nmeros se repetem na mesma ordem; portanto, o algarismo das unidades da somade seus quadrados tambm 5. Conseqentemente, a soma dos quadrados dos nmeros de 1 a 20 tem 0 comoalgarismo das unidades.

Logo a soma 12 + 22 + 32 + 42 + ... + n2 tem zero como algarismo das unidades se n mltiplo de 20.Como n = 12 + 22 + 32 + 42 + ... + 1968832 = 12 + 22 + 32 + 42 + + 1968802 + 1968812 + 1968822 + 1968832,conclumos que o algarismo das unidades de n o mesmo do nmero 0 + 1 + 4 + 9 = 14, ou seja, 4.

9. A soma dos divisores mpar quando o nmero de divisores mpares mpar. Isto acontece quando, por exem-plo, o nmero tem somente um divisor primo mpar de expoente par, na sua decomposio. Tomando os nmerosmenores do que 100, temos 99 = 32 11 que tem 6 divisores todos mpares, cuja soma par mas 98 =2 72 tem6 divisores (1, 7, 49, 2, 14, 98), trs pares e trs mpares, portanto de soma mpar.


6. a) A soma total dos elementos : 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + 49 = 140.Logo, cada um dos grupos deve conter elementos que somem 70. Examinando as parcelas, vemos que49 + 1 + 4 +16 = 70. Assim podemos escrever, por exemplo, A = {12, 22, 42, 72} e B = {32, 52, 62}.

b) Como 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 + 82 + 92 = 140 + 64 + 81 = 285 mpar, impossvel dividir em doisgrupos de mesma soma.

AULAS 5 a 8Propostos Para as Aulas1. Cada tringulo retngulo grande tem rea 1/4. Dois tringulos mdios formam um tringulo grande. Logo o tringulo

mdio tem rea 1/8. Dois tringulos retngulos pequenos formam um tringulo mdio; logo cada um tem rea 1/16.O quadrado equivale a dois tringulos pequenos; logo sua rea igual a 1/8. Portanto, a soma das reas de todas aspeas, exceto o paralelogramo, 2 1/4 + 1/8 + 1/8 + 2 1/16 = 7/8. Assim, resta rea 1/8 para o paralelogramo.

2.

Permetro: 3h + h + 3h + h = 16 8h = 16 h = 2m

A base b = 3 2 = 6mA rea do tringulo sombreado a metade da rea do retngulo, logo A = ( 2 6 ) : 2 = 6 m2 = 60 000cm2

3. A rea pedida a metade da rea de PBQO mais da rea de APOS, isto :

rea =

4. Como uma volta completa do ponteiro dos minutos 360, o ngulo formado entre um nmero e o seguinte 30, ento:a) 360 : 12 = 30b) 3 x 30 = 90 c) s 3h e 30min, o ponteiro pequeno j se afastou da marca do 3. O ngulo mede menos que 90. Como o pon-

teiro pequeno percorre 30 em uma hora, em meia hora vai percorrer 15, portanto o ngulo procurado mede90 15 = 75

5. a) A menor distncia ocorre quando os satlites tomam as posies A e B ouqualquer outros dois pontos alinhados com o centro das rbitas, representadopor T. Nesse caso, a distncia entre eles

TB TA= 49400 37500 = 11900Kmb) A maior distncia ocorre quando os satlites tomam as posies Ae B ou

qualquer outros dois pontos diametralmente opostos.Nesse caso, a distncia entre eles :

TB+ TA = 37500 + 49400 = 86900Km

A B

D C

S QM

O

R

P

3 42

3 44

9 2

+ = cm

14

3h

3h

h h

TA B

A

B


6. a) O corte ser um polgono de 4 lados, nem todos do mesmo tamanho pois dois deles sero arestas e dois se-ro diagonais das faces do cubo original. Ser um retngulo como mostra a Fig. I.

b) Ser de 3 lados todos do mesmo tamanho pois sero diagonais das faces do cubo original. Ser um tringuloeqiltero como mostra a Fig. II.

c) Ser de 6 lados, um hexgono, como mostra a Fig. III.

7. Analisando todas as possibilidades, conclui-se que 3 tipos de tringulos podem ser construdos: com lados de 3,4 e 5 palitos; com lados de 4, 4 e 4 palitos e com lados de 2, 5 e 5 palitos.

8. Podemos contar o nmero de tringulos segundo o diagrama abaixo:

O nmero total de tringulos 1 + 2 + 2 + 2 + 3 + 3 + 3 + 1 = 17

9. A distncia entre a primeira e a ltima barreira dada por: 110 13,72 14,02 = 82,26. H os espaos iguaisentre uma barreira e a seguinte (pois so 10 barreiras no total): 82,26 : 9 = 9,14.

Portanto, entre uma barreira e a seguinte h 9,14m.

10. PABC = 132cm AB = BC = AC = 44cm AE = EC = 11cm e BD= DC = 22cm

a) PABDGFEA = 2 44 + 3 11 = 121cm

b) Sendo S a rea do tringulo ABC, S =

11. A figura destacada um polgono estrelado e pode ser decomposto em 8 tringulos equivalentes, como mostra afigura. Cada um desses tringulos tem 3cm na base OP e 5cm na altura AM pois M ponto mdio do lado AB.

SAPO = =

A rea procurada 8x = 60cm2152

152

.5 3

2

34

S14

14

S1316

S+ =

1 tringulo 2 tringulos 2 tringulos 2 tringulos

3 tringulos 3 tringulos 3 tringulos 1 tringulo

A B

D

H G

FE

C

Fig. I

A B

D

H G

FE

C

Fig. II

A B

D

H G

FE

C

Fig. III

2 2

2

2

5

3

O

P

A M


12. A rea retngulo ABCD = 4 rea retngulo AFEG erea retngulo AFEG = 4 rea retngulo AIHJ, logorea retngulo ABCD = 16 rea retngulo AIHJ. Masrea retngulo AIHJ = 2 rea tringulo AHI. Portanto

rea retngulo ABCD = 32 rea tringulo AHI = 32

13. Seja S a rea do tringulo ABC.

Se BD = ento (ABD) =

Se AE = ento (AED) = = = =

Se DF = ento (DEF) = = =

Se EG = EC, ento (GFC) = = =

Como (GFC) = 40 temos = 40 S = 320 alqueires.

14. A rea sombreada pode ser determinada retirando-se da rea total 8, as reasde trs tringulos: um com rea 3, outro de rea meio e outro de rea 1,5. Ento

a rea sombreada 8 5 = 3. A razo dessa rea e a total dada por .

15. O polgono consiste na reunio de dois retngulos: um deles tem largura 10 e altura 2 e o outro tem largura 5 ealtura x + 2; o tringulo tem catetos de medidas 15 e x + 2. Como a rea do polgono igual rea do tringulo, temos

16. O quadrado A medida de lado 1cm enquanto que o quadrado B tem medida de lado 9cm. Da que as medidasdos lados dos quadrados restantes so:C = 10cm E = 8cmF = 7cm G = 4cmD = 14cm I = 18cm

Tarefa1. a) So 4 fileiras de 10 palitos e 11 colunas de 3 palitos, totalizando 40 + 33 = 73 palitos.

b) O total de palitos : 4n + (n + 1) 3 = 7n + 3 palitos.

2. A regio sombreada dever ser decomposta em retngulos e quadrados, e a rea ser dada por:A = (22 9) 16 4 4 3 8 + 9 3 + 2 9 + 4 4A = 229

22

3

2

4

4

5

4

38

4 4

19

9

10 2 5 215 2

240 10 20 15 30 5 30 6 + + =

++ + = + = = ( )

( )x

xx x x x

38

S8

S8

.S

3

2

S4

( )EFC

2

S4

.S

S4

S4

2

+

(DEC)

2DC2

,

S4

.

3S43

S S4

3(ADC)

3AC3

,

S4

.BC4

,

rea retngulo ABCDrea tringulo AHI


3. Aps o corte e desdobramento, a figura obtida a ilustrada ao lado.

A rea da folha original S. A rea do tringulo obtido aps a segunda dobra

A rea do tringulo retirado pelo corte . O buraco tem 4 vezes essa rea,

portanto, a razo entre a rea do buraco e a rea da folha

4. As retas que representam eixos de simetria desse quadrado so: AC, DB, KI e LJ.

5. O cubo com 1dm de aresta tem a = 10cm e V = 1000cm3

O cubo tinha 10cm de aresta, pela reduo, cada aresta passou a ter 1cm e volume de 1cm3.Portanto, a diminuio no volume foi de 999cm3.

6. A figura pode ser vista dentro de um retngulo com 18 de rea e decomposta em 8 pequenos quadrados.A rea sombreada metade da rea do retngulo, portanto, 9.

7. A rea da maior coroa obtida pela diferena das reas dos crculos de raios 4 e 3. A = 16 9 A = 7A rea da menor coroa: 4 1 = 3A rea colorida 10.

8. Se analisarmos bem a figura percebemos a equivalncia entre as partes sombreadas e elas podem ocupar aposio ilustrada. Isso nos leva rea do crculo maior, ou seja, 4.

6

3

3

A B

D CK

JL

I

14

.

14 4 16

=

S S

S4

.


9. A rea de cada retngulo indicado pode ser representada por:a b = 16 temos a possibilidade de 4 4 ou 2 8a c = 12 se a = b = 4 c = 3c d = 27 pela hiptese acima, d = 9 , todos os valores satisfazem as condies da figura, ento:

a) a rea do retngulo ABCD 16 + 12 + 27 + 36 = 91 b) O permetro do retngulo interno, cuja rea no aparece na figura : 9 + 9 + 4 + 4 = 26.

10. O quadrado original pode ser decomposto em 9 quadradinhos e 18 trngulos como ilustra a figura. A rea do qua-drado originial tem 18 tringulos e a rea do octgono tem 14 tringulos. A razo entre a rea eliminada e a rea do

quadrado original .

AULAS 9 a 12Resoluo dos exerccios propostos em aulas. 1. So teimosos apenas os nmeros que terminam em 0,1, 5 e 6. A quantidade de nmeros teimosos de 3 alga-

rismos 9 10 4 = 360 (na casa das centenas podemos escrever qualquer algarismo de 1 a 9, na casa das de-zenas podemos escrever qualquer algarismo de 0 a 9 e na casa das unidades podemos escrever um dos quatroalgarismos acima).

2. Analisando o grfico:a) Em nenhum dos meses A faturou o dobro de B.b) No ms de outubro, ocorreu a maior diferena de faturamento onde B faturou 90 milhes de reais a mais que A.c) A empresa B sofreu queda de faturamento em novembro e dezembro seguidamente.d) No semestre, a empresa que teve o maior faturamento foi A.e) A diferena entre os faturamentos totais do semestre foi de 10 milhes de reais.

3. Sejam a, b, c, d, e os cinco nmeros. Temos . Um desses nmeros,

digamos a, o maior possvel se, e somente se, a soma dos demais for a menor possvel. Isto ocorre para b + c + d + e = 1 + 2 + 3 + 4 = 10, de onde vem que a = 55 10 = 45

4. Se as cabines de nmeros 8 e 25 esto em pontos diametralmente opostos na circunferncia, ento, de cadalado do dimetro existem 25 8 1 = 16 cabines. Logo o nmero total de cabines da roda gigante 2 16 + 2 = 34.

5. Temos que os segmentos verdes dividem os pontos da reta em conjuntos de pontos com cores iguais, sendo queo primeiro conjunto esquerda contm pontos vermelhos, o segundo conjunto contm pontos azuis, o terceiroconjunto contm pontos vermelhos, e assim por diante. Como h 20 segmentos verdes, temos 21 conjuntos depontos.Assim, como o 21- conjunto contm pontos vermelhos, o ponto na ponta direita vermelho.

6. Inicialmente existiam 980 aves com cauda verde e 20 das demais. Aps a epidemia, estas 20 aves correspondema 5%, donde o total de aves agora 20 x 20 = 400 (sendo 380 de cauda verde). Portanto, morreram 600 aves.

7. De 1 a 100, existem 25 mltiplos de 4; logo, 75 cartes no contm mltiplos de 4. No pior caso possvel, Esme-ralda tiraria todos esses cartes antes de sair algum carto com mltiplo de 4. Assim, para ter certeza de que onmero tirado seja mltiplo de 4, Esmeralda deve retirar todos eles e mais um, ou seja, 76 cartes.

a b c d ea b c d e

+ + + += + + + + =

511 55

418

29

=

A B

D C

16

12 27

da

b

c

a d


8. Podemos comear pintando uma casa da primeira linha, depois uma da segunda linha, em seguida uma da terceirae, finalmente, uma da quarta. O nmero de possibilidades para primeira linha 4, para a segunda 3 (pois umadas casas no pode ser pintada, j que a coluna com esta casa s pode ter essa casa pintada), para a terceira 2e para a quarta 1. O nmero total de maneiras pelas quais podemos pintar o tabuleiro 4 3 2 1 = 24.

9. Como os sapatos de Marisa eram azuis, e nem o vestido nem os sapatos de Jlia eram brancos, conclui-se queos sapatos de Jlia eram pretos e portanto os sapatos de Ana eram brancos.O vestido de Ana era branco, pois era a nica que usava vestido e sapatos da mesma cor; conseqentemente, ovestido de Jlia era azul e o de Marisa era preto.

10. (OBM) A soma dos pontos 40. Segundo as regras do jogo, as possibilidades so:

11. Os carros correspondentes aos dias de segunda a quinta so 70%. Divididos por 4, obtm-se 17,5% a cada dia.Como 4000000 x 0,175 so 700 000 e, destes, 10% foram os infratores, num total de 70 000.

12. a) Cada linha apresenta 1 nas colunas cujos nmeros so mltiplos do nmero da linha. Assim, a linha 5 tem 1nas colunas 5, 10, 15, etc. At 100, existem 20 mltiplos de 5, logo a soma dos nmeros na linha 5 igual a 20.

b) Cada coluna apresenta 1 no cruzamento com as linhas cujos nmeros so divisores do nmero da coluna.Assim, a soma dos nmeros da coluna 60 igual ao nmero de divisores de 60. Como 60 = 22 3 5,conclumos que 60 tem 3 2 2 = 12 divisores. Logo, a soma dos nmeros da coluna 60 12.

13. Sejam a b c as dimenses do paraleleppedo. Temos que a, b, c N* e abc = 24.Como abc a a a a3 24, temos a 2, ou seja a = 1 ou a = 2.Se a = 1, bc = 24. As possibilidades para b e c so b = 1 e c = 24; b = 2 e c = 12; b = 3 e c = 8; b = 4 e c = 6. Se a = 2,bc = 12. As possibilidades para b e c com b 2 so b = 2 e c = 6, b = 3 e c = 4. Assim, h 6 maneiras de cons-truirmos o paraleleppedo.

14. a) Como A e C no podem ficar no mesmo grupo, as equipes sero: ABD, ABE, ADE, BCD, BCE, BDE e CDE.b) Como C e D querem ficar juntos, ento ao grupos podem ser: ACD, BCD e CDE.

15. a) Cinco deles: 138, 318, 813, 614, 262.b) Consideram-se todos os produtos iguais a 24, obtidos com trs fatores cada um dgito. Em seguida,

permutam-se esses fatores:com 1, 3, 8 138, 183, 318, 381, 813, 831 (6 nmeros); com 1, 4, 6 146, 164, 416. 461, 614, 641 (6 nmeros); com 2, 3, 4 234, 243, 324, 342, 423, 432 (6 nmeros) e com 2, 2, 6 226, 262, 622 (3 nmeros), totalizando 21 nmeros.

15 10

5 5

15 10 10 5

5 5 5

5 5 5 5 5

15 +15 + 10 (6)

15 +15 + 5 + 5

15 +10 + 10 + 5

(7)

(8)

15 +10 + 5 + 5 + 5 (9)

15 +5 + 5 + 5 + 5 + 5 (10)

20 15 5

20

1010

5 5

5 5 5 5

20 + 20

20 +15 + 5

20 +10 + 1020 +10 + 5 + 5

20 +5 + 5 + 5 + 5

(1)

(2)

(3)(4)

(5)

10 1010 10 + 10 + 10 + 10 (11)

5 5 5 5

10 5 5 5 5 5 5 5 no d, pois h apenas 5 varetas verdes.

5 5 10 + 10 + 10 + 5 + 5 (12)

10 + 10 + 5 + 5 + 5 + 5 (13)


16. As operaes feitas no mudaram o nmero total de bolas em cada uma das urnas (se n bolas foram tiradas daprimeira urna na primeira operao, n bolas foram colocadas nela na segunda operao).Portanto, se, ao terminar, a primeira urna contiver k bolas brancas, estas estaro substituindo as k bolas pretas queestaro na segunda urna. Os nmeros so iguais.

Resolues dos Exerccios da Tarefa1. A diferena entre as marcaes nos dois relgios de 7min 30s = 450s. Essa diferena aumenta 45s por dia.

a) Os relgios foram acertados h 10 dias (450 : 45 = 10)b) A hora certa era 16h 22min. Na cozinha marcava 16h 17min, mas como atrasou 30s por dia, em 10 dias,

atrasou 300s ou 5min. ( 16h 17mim + 5min = 16h 22min).

2. O usurio j havia impresso as pginas 1, 65, 2, 3, 4 e 64.Ento da para diante ordena:5, 6, 7, 63 || 8, 9, 10 ||11, 12, 13 ||14, 15, 16 ||.... ||59, 60, 61 || 62 a) 22 vezes.b) 186 teclas foram digitadas.

3. Para duas semanas: antes 2 (3 + 3 + 4) = 20, depois 3 7 = 21a) Em mdia, ela est entregando mais agora.b) Em mdia, entrega agora 1 frasco a mais a cada duas semanas.

4. A sala A ter x cadeiras, B ter x e C ter 32 cadeiras.

A ter 108 cadeiras, B 162 e C ter 130.

5. Como 126 = 2 32 7 e 1988 = 22 7 71, todos os nmeros da sucesso so mltiplos de 2 e 7 e o problema seresume a encontrar o primeiro mltiplo de 32 = 9. Usando o critrio de divisibilidade por 9, somando osalgarismos, obtemos 26, 52, 78, ..... No nono passo aparece pela primeira vez um mltiplo de 126.

6. Seja x decalitros de comida para 31 galinhas em y semanas, ento x = 31y1- semana: 31 decalitros2- semana: 30 decalitros3- semana: 29 decalitros

ltima semana: (31 2y +1) decalitrosx = 31y = 31 + 30 + 29 + + (31 2y + 1),

7. Seja N = abcd um nmero tal que: b = a + 1, c = a + 2 e d = a + 3.Considere a permutao: Np = bacd = 1000(a + 1) + 100a + 10(a + 2) + a + 3

Np = 1111a + 1023 = 11(101a + 93)

Para que Np = n2 , 101a + 93 = 11p (99 + 2)a + (99 6) = 11p

99(a + 1) + 2a 6 = 11p

Para a = 3 tem-se N = 3456 e Np =4356 = (11 6)2

8. O nmero de quadrados da figura dado por:1 formado pelos 16 quadradinhos;4 formados por 9 quadradinhos cada um;9 formados por 4 quadradinhos cada um e 16 formados por 1 quadradinho cada um, totalizando 30 quadrados.

3131 31 2 1 2

263 2 16y

y yy y y=

+ += =

( )( )

x x x x x+ + = = =32

32

32 400 4 432 108

32

x32


AULAS 13 a 16Resoluo dos Problemas Propostos1. Se o dia primeiro de janeiro for Segunda-feira, e o ano no for bissexto, ento os meses de janeiro, fevereiro e maro

tero 4 domingos cada. Pelo mesmo raciocnio, iniciando setembro numa segunda feira, este ms ter 4 domingose em seguida, outubro tambm. Porm, novembro ter 5 domingos.

2. Quando o numerador das horas mostrar 01, 02, ..., 12, o marcador dos minutos apresentar o algarismo 7 nasseguintes situaes: 07, 17, 27, 37, 47 e 57, totalizando 12 6 = 72 exibies no marcador de minutos. Ocorreque o algarismo 7 tambm aparece no marcador das horas nas situaes 07:00, 07:01, etc, ou seja, devem sercontadas mais 60 exibies do 7. O nmero total de vezes em que aparece o 7 72 + 60 = 132 e metade dessenmero 66.

3.

1) 1 e 2 ocupam pontas vizinhas. fcil ver que colocando o 2 no meio ou em uma ponta oposta a 1 oproblema no tem soluo.

2) 9 e 10 ocupam pontas vizinhas. Pelo mesmo raciocnio anterior.3) Uma vez que 1 e 2 esto colocados o 3 est no meio, entre o 1 e o 2. Observe que colocar o 3 em

qualquer outra posio leva a um absurdo.4) Uma vez que 1, 2 e 3 esto colocados, fica claro que o 4 vizinho ao 3. 5) Se 1, 2, 3 e 4 j esto colocados, 5 pode estar no meio ou em uma ponta, e o mesmo ocorre

com o 6. (ver figuras) Quando um deles est numa ponta, o outro est no meio.6) O 7 est no meio.

Respostas:a) Ver figurasb) 1, 2, 9 e 10 obrigatrios mais 5 ou 6.c) 3, 4, 7, 8 obrigatrios mais 5 ou 6.

4. Ao furar aps a primeira dobra, Carlinhos faz 2 furos; aps a segunda dobra, faz 4 furos, aps a terceira dobra,faz 8 furos, etc. Assim, ao desdobrar a folha, ele ir contar 1 + 2 + 4 + 8 + furos. Notando que:

1 + 2 = 22 1 (aps a primeira dobra)1 + 2 + 4 = 23 1 (aps a segunda dobra)1 + 2 + 4 + 8 = 24 1 (aps a terceira dobra), etc

Basta encontrar o menor k tal que 2k 1 maior ou igual a 100 2k 1 100 k 7Assim, o menor k vale 7. Isso corresponde a 6 dobras.

5. O menor tabuleiro do tipo 10 10 coberto com 20 peas, como mostrado, por exemplo, pela figura abaixo, esquerda.

Com efeito, o nmero de casas do tabuleiro um quadrado perfeitomltiplo de 5. Logo 25, 100, 225 ou ... etc. Mas um tabuleiro 5 5no pode ser coberto com peas deste tipo, pois ao tentarmos com-pletar uma lateral do tabuleiro, seremos conduzidos a uma das duasfiguras direita, as quais no se deixam completar pelas peas paraformar todo o tabuleiro.

101

2

3

4

6

7

8

9

5

101

2

3

4

5

7

8

9

6


6. Como a diferena entre o 17 e o 3 14, esses nmeros devem estar em posies afastadas de 14 casas,contadas na horizontal ou vertical.Portanto 17 e 3 devem ocupar as extremidades de uma das diagonais do tabuleiro.A partir disso, o preenchimento das diagonais feito de maneira nica. E uma maneira de se preencher o tabulei-ro a seguinte:

a soma dos nmeros escritos nas diagonais : 8 10 + (3 + 5 +...+ 17) = 160.

7. Da frente para o fundo, a primeira, a terceira e a quinta camadas verticais tm 18 cubos brancos e 17 cuboscinzas. A segunda e a quarta camadas tm 17 brancos e 18 cinzas. Logo, o nmero total de cubos brancos 3 18 + 2 17 = 88 e o nmero total de cubos cinzas 3 17 + 2 18 = 87.Portanto, a massa total do bloco, em gramas, 1 88 + 2 87 = 262

8. Cada tipo de pontuao aparece 8 vezes dentre as 28 peas do domin. Portanto o nmero total de pontos :8 (0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = 168.

9. As faces laterais em cada dado compem-se de dois pares de faces opostas, logo nelas a soma sempre 7 + 7 = 14.Temos liberdade de escolher os nmeros que vo ficar na face superior e na face inferior, pois h 4 dados napilha. Para minimizar a soma, escolhemos o 1 para figurar nessas duas faces.Portanto a soma mnima 2 + 4 14 = 58.

10. preciso saber que: se um tringulo retngulo estiver inscrito numa circunferncia, ento sua hipotenusa serum dimetro.Seja AB um dimetro da circunferncia. Com uma das cores pintamos A e uma das semi-circunferncias dedimetro AB. Com a outra cor pintamos B e a outra circunferncia. Assim, todas as extremidades de dimetrostero vrtices de cores distintas.

11. Os pontos correspondentes aos quadrados perfeitos pares e mpares esto sobre os lados vertical e horizontaldo quadriculado, respectivamente. Os quadrados perfeitos mais prximos de 2001 so 1936 = 442 e 2025 = 452.Como 2001 est mais prximo de 2025, o ponto correspondente est no segmento vertical descendente quetermina em 2025. Logo o ponto imediatamente abaixo dele corresponde ao nmero 2002. Para achar o nmerodo ponto imediatamente esquerda, consideramos o quadrado perfeito mpar anterior, que 432 = 1849. Oponto desejado est no segmento ascendente que comea em 1850 e situado mesma distncia que o ponto2001 est de 2025. Logo o nmero correspondente : 1850 + (2025 2001) = 1850 + 24 = 1874.

12. O nmero n de ovos um mltiplo de 2 mais 1 um mltiplo de 3 mais 1 um mltiplo de 5 mais 1Ento, n 1 um mltiplo de 2 3 5 = 30. Os menores mltiplos de 30 so: 30, 60, 90, 120, 180, ..... Portanto,n igual a 31, 61, 91, 121, ..... O menos desses nmeros que divisvel por 7 91.

1874 2001

24 24

1849 1850 2025

10

9

8

7

6

5

4

3

11

10

9

8

7

6

5

4

12

11

10

9

8

7

6

5

13

12

11

10

9

8

7

6

14

13

12

11

10

9

8

7

15

14

13

12

11

10

9

8

16

15

14

13

12

11

10

9

17

16

15

14

13

12

11

10


13. a) Como Luiza pagou R$ 16,00 e as outras pagaram, cada uma, a mesma quantia, o total pago foi R$ 48,00.Como so 8 sanduches, cada um custou R$ 6,00.

b) Vera comprou 5 sanduches, tendo ento, pago R$ 30,00, por isso, recebeu R$ 14,00 de Luiza.

14. Bruno recebeu a figa e o carrinho verde. Esses dois objetos estavam juntos; Aline no os recebeu porque ganhoua ferradura e Carla tambm no, porque ganhou o carrinho laranja.Bruno recebeu a caixa branca. A caixa azul, com o p de coelho, foi para Carla, pois Aline ganhou a ferradura. Acaixa branca no foi para Aline, pois no continha o carrinho vermelho.

15. Entre os dois pases existe diferena de fuso horrio. Na ida, a diferena de horrio foi 16 12 = 4hs.Na volta, a diferena foi 0hs. Chamando de v o tempo de vo, e d a diferena de fuso horrio,na ida v + d = 4hsna volta v d = 0hs conclumos que 2v = 4 ou v = 2 horas.

16. Seja x o nmero de pontos que deve aparecer nas metades das peas do domin conforme o desenho abaixo:

Temos x 0 (pois j foi usada a pea 0:3), x 1 e x 4 (j foi usada a pea 4:1), x 2 (j foi usada a pea 2:1),x 5 (j foi usada a pea 5:1) e x 6 (j foi usada a pea 6:2). Portanto, x = 3 (verifica-se que este caso possvel) e a soma dos pontos 3 + 4 + 1 + 2 + 4 3 = 22.

Resolues dos Exerccios da Tarefa1. Num mesmo intervalo de tempo, a charrete anda o triplo do que anda o Sr. Silva a p. Assim, ele deve andar um

certo tempo de charrete e o triplo desse tempo a p. Podemos, ento, dividir o tempo total por 4.a) 3h : 4 = 45min. Ele deve andar 45 minutos de charrete.b) 45min = 3/4 de hora. Em 3/4 de hora ele percorre de charrete 9km. A p, em 135min = (2 + 1/4) de hora, ele

tambm percorre 9Km.

2. A seqncia construda com o dobro do nmero anterior. O nico que foge a essa regra o 3865.

3. Os nmeros so do tipo abcd, onde a pode ser qualquer um dos quatro algarismos, b pode ser qualquer um dostrs disponveis, c pode ser um dos dois que sobram e d ser o ltimo que sobrar Ento, 4 3 2 1 = 24 nme-ros ao todo. O maior 5 432 e o menos 2 345. Colocando-os em ordem crescente, 3524 ocupa a 11- posio.

4. O primeiro leva 1min para escoar 1cm3.O segundo leva 3min para escoar 1cm3. Como o primeiro tem 27cm3, o segundo dever ter um tero dessevolume, 9cm3.

X X X

X

obmnivel1

Documents

Transcript of obmnivel1