NÚMEROS COMPLEXOS

Números Reais: O conjunto de números reais consta dos números racionais e irracionais.

Números Imaginários: A raiz quadrada de um número real negativo é chamada um número imaginário puro:

Exemplo: √−1, √−2, √−5 .........

Se fizermos j = √−1, vem√−2 = j √2, √−4 = j 2..........

Segue:

j2 = - 1;

j3 = j2 . j = - j

j4 = (j2)2 = 1

Todos os números imaginários puros podem ser representados por pontos de uma linha reta chamada (eixo) dos números imaginários.

Números Complexos

Um número complexo Z é um número da forma x + j y, onde x e y são reais e j = √−1. Num número complexo x + j y, o primeiro termo x é chamado parte real e o segundo j y, a parte imaginária. Quando x = 0, o número complexo reduz a um imaginário puro e corresponde a um ponto no eixo j

Outras formas de números complexos

Esses quatro meios de se representar um número complexo estão resumidos a seguir. O emprego de um ou de outro depende da operação a ser efetuada.

Forma retangular Z =x + jy

Forma polar ou Steinmetz Z = r /_θ

Forma exponencial Z = r e jθ

Forma trigonométrica Z = r(cos θ + jsenθ)

Conjugado de um número complexo Z*

Forma retangular Z =x + jy Z* = x - jy

Forma polar ou Steinmetz Z = r /_θ Z* = r /_-θ

Forma exponencial Z = r e jθ Z* = r e− jθ

Forma trigonométrica Z = r(cos θ + jsenθ) Z* = r(cos θ - jsenθ)

Operações com números complexos

Soma e diferença de números complexos: Para somar ou subtrair dois números complexos somam-se ou subtraem-se separadamente as partes reais e as partes imaginárias. Do ponto de vista prático, a soma ou a subtração de números complexos só podem ser efetuadas, convenientemente, quando ambos estão na forma retangular.

Exemplo: Dados Z1 = 5 – j 2 e Z2 = - 3 – j8. Então,

Z1 + Z2 = ( 5 – 3 ) + j( - 2 – 8) = 2 – j10

Z2 - Z1 = (- 3 – 5 ) + j(- 8 +2) = - 8 – j6

Multiplicação de números complexos

O produto de dois números complexos, estando ambos na forma exponencial, deduz-se diretamente das leis dos expoentes.

Z1 . Z2 = (r1 ejΘ1) . (r2 ejΘ2) = r1 . r2 ej(Θ1 + Θ2)

O produto na forma polar ou Steinmetz segue-se da forma exponencial

Z1 . Z2= (r1 /¿¿.(r2 /¿¿= ( r1 . r2 ) /θ1+θ2

Divisão de números complexos

O quociente de dois números complexos na forma exponencial deduz-se diretamente das leis dos expoentes.

Z1Z2

=r1e

j θ1

r2ej θ2

=r1r2e j (θ1+θ2)

Na forma polar ou Steinmetz, com referencia a forma exponencial

Z1Z2

=r1/ ¿¿

r2/ ¿¿=r1r2

/(θ1−θ2) ¿¿¿

Na forma retangular se faz multiplicando-se o numerador e denominador pelo conjugado do denominador

Z1Z2

=x1+ j y1x2+ j y2 (

x2− j y2x2− j y2 )=

(x1 x2+ y1 y2 )+ j ( y1 x2− y2 x1 )x22+ y2

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Exercícios

1- Converter a forma retangular na forma polara- 2 – j2 Resp. 2,83/_-45ºb- 3 + j8 Resp. 8,54/_69,44ºc- -5 + j3 Resp. 5,83/_-30,96ºd- -4 – j4 Resp. 5,66/_45ºe- 5 + j0 Resp. 5/_0ºf- 0 + j6 Resp. 6/_80,54º

2- Exprimir cada um dos números complexos na forma polara- 15e j π /4 Resp. 15/_45ºb- 5e− j2π /3 Resp. 5/_120ºc- −4e j5π /6 Resp. 4/_-30ºd- −2e− j π /2 Resp. 2/_90ºe- 10e− j π7 /6 Resp. 10/_-210ºf- −18e− j3 π /2 Resp. 18/_90º

3- Efetuar a operação indicadaa- Z = 3 – j4 Achar Z.Z* Resp. 25b- Z = 10/_- 40 Achar Z.Z* Resp. 100c- Z = 20/_53.1º Achar Z + Z* Resp. 24d- Z = 2,5e− j π /3 Achar Z.Z* Resp. 6,25e- Z = 2 + j8 Achar Z – Z* Resp.j16f- Z = 10 – j4 Achar Z + Z* Resp. 20g- Z = 95/_25º Achar Z – Z* Resp.j80,2h- Z = r/_θ Achar Z / Z* Resp. 1/_2θ

4- Converter os complexos da forma polar para a forma retangular

a- 12,3/_30º Resp. 10,63 + j6,15b- 53/_160º Resp. – 49,8 j 18,1c- 25/_- 45º Resp. 17,7 – j17,7d- 86/_ -115º Resp. – 36,3 – j78e- 0,05/_- 20 Resp. 0,047 – j0,0171f- 0,003/_80º Resp. 0.00052 + j0.00295

g- 0,13/_260º Resp. – 0,00226 – j0,0128h- 0,156/_- 190º Resp. – 0,1535 + j0,0271

5- Converter os complexos da forma retângular para polara- - 12 + j16 Resp. 20/_126,8ºb- 2 – j4 Resp. 4,47/_- 63,4ºc- - 59 – j25 Resp. 64/_203ºd- 700 + j200 Resp. 727/_16ºe- 0,048 – j0,153 Resp. 0,160/_ - 72,55ºf- 0,0171 + j0,047 Resp. 0,05/_70ºg- - 69,4 – j40 Resp. 80/_210ºh- - 2 + j2 Resp. 28,3/_135º

6- Determinar a soma ou diferença indicadaa- (10/_53,1º) + (4 +j2) Resp. 10 +j10b- (10/_90]) + (8 – j2) Resp.8 + j8c- (- 4 – j6) + (2 +j4) Resp. – 2 – j2d- (2,83/_45º) – (2 – j8) Resp. j10e- (- 5 – j5) – (7,07/_135º) Resp. 0f- (2 – j10) – (1 – j10) Resp. 1g- (10 + j1) + 6 – (13,45/_42º) Resp. 6 + j10h- - (5/_53,1º) – (1 – j6) Resp. – 4 + j2

7- Calcular o produto dos seguintes números complexos. Como exercício adicional, convertê-los para a forma polar e efetuar novamente o produto, verificando-oa- (3 – j2) (1 – j4) Resp. – 5 – j14b- (2 j0) (3 – j3) Resp. 6 – j6c- ( - 1 – j1) ( 1 + j1) Resp. – j2d- (j2) (4 – j3) Resp.6 + j8

8- Nos problemas que se seguem, achar o quociente, multiplicando numerador pelo conjugado do denominador. Converter os números para a forma polar e determinar o quociente, a partir dessa forma.a- (5 + j5)/(1 – j1) Resp. j5b- (4 – j8)/(2 + j2) Resp. – 1 – j3c- (5 – j10)/(3 + j4) Resp. – 1 – j2d- (8 + j12)/(j2) Resp. 6 – j4