CMCG/2012 – 1º Ano EMNota de aula 01 – Matemática – Professor Miguel

Noções básicas de lógica

ProposiçãoProposição é toda oração declarativa, com sentido completo, podendo ser

classificada como Verdadeira (V) ou Falsa (F).Os símbolos V e F são chamados valores lógicos.

Características: Sendo oração, tem sujeitado e predicado; É declarativa (não é exclamativa nem interrogativa); Tem somente um valor lógico, isto é, ou é Verdadeira (V) ou Falsa (F).

Princípios básicos das proposições:Princípio da não contradição: uma proposição não pode ser verdadeira ou falsa simultaneamente.

Princípio do terceiro excluído: toda proposição ou é verdadeira ou é falsa; não existe um terceiro valor lógico.

a) 69 > (Proposição, Verdadeira).b) 23 −>− (Proposição, Falsa).

c) ?2 Q∈ (Não é proposição, oração interrogativa).

d) 1113 =−x (Não é proposição, não pode ser classificada como verdadeira ou falsa).

Proposição simples: uma proposição poderá ser simples, se não contém nenhuma outra proposição como parte integrante de si mesma.

Ex.: Matemática é uma disciplina legal.

Proposição composta: uma proposição será denominada composta se for formada pela combinação de duas ou mais proposições simples.

Ex.: Matemática é uma disciplina legal e o professor é exigente.

Negação de uma proposiçãoA partir de uma proposição p qualquer, sempre podemos construir outra,

denominada negação de p e indicada com o símbolo ~p.Podemos sintetizar o valor lógico da proposição ~p na seguinte tabela,

denominada tabela verdade da proposição ~p.p ~pV FF V

ConectivosA partir de proposições dadas podemos construir novas proposições

mediante o emprego de dois símbolos lógicos chamados conectivos:Conectivo Lê-se

∧ e

∨ ou

Conectivo ∧Colocando o conectivo “ ∧ ” entre duas proposições p e q, obtemos uma

nova proposição, qp ∧ , denominada conjunção das sentenças p e q.

Exemplos:

a) 02: >p (V)

12: ≠q (V)

12 e 02: ≠>∧ qp (V)

b) 57: ≠p (V)

22 )1()2(: −<−q (F)

22 )1()2( e 57: −<−≠∧ qp (F)

c) :p um quadrado de lado a tem diagonal medindo a2 . (F)

:q um quadrado de lado a tem área 2a . (V)

:qp ∧ um quadrado de lado a tem diagonal medindo a2 e área 2a .

(F)

d) :p 2 é ímpar. (F):q 10 é múltiplo de 3. (F)

:qp ∧ 2 é ímpar e 10 é múltiplo de 3. (F)

Postula-se o seguinte critério para estabelecer o valor lógico (V ou F) de uma conjunção a partir dos valores lógicos das proposições p e q:

Tabela verdade da conjunção qp ∧p q qp ∧V V VV F FF V FF F F

Conectivo ∨Colocando o conectivo “ ∨ ” entre duas proposições p e q, obtemos uma

nova proposição, qp ∨ , denominada disjunção das sentenças p e q.

Exemplos:

a) :p uma circunferência de raio r tem comprimento medindo rπ2 . (V)

:q um círculo de raio r tem área 2rπ . (V)

:qp ∨ circunferência de raio r e um círculo de mesmo raio têm

comprimento medindo rπ2 ou área 2rπ . (V)

b) :p o elefante é um mamífero. (V):q a vaca voa. (F)

:qp ∨ o elefante é um mamífero ou a vaca voa. (V)

c) :p 2 é ímpar. (F):q 8 é múltiplo de 4. (V)

:qp ∨ 2 é ímpar ou 8 é múltiplo de 4. (V)

d) :p 134 > (F)

:q 924 =⋅ (F)

:qp ∨ 134 > ou 924 =⋅ (F)

Postula-se o seguinte critério para estabelecer o valor lógico (V ou F) de

uma disjunção a partir dos valores lógicos das proposições p ou q ( qp ∧ ):

Tabela verdade da disjunção qp ∨P q qp ∨V V VV F VF V VF F F

CondicionaisA partir de proposições dadas podemos construir novas proposições

através do emprego de outros dois símbolos lógicos chamados condicionais:Condicional Lê-se

→ se ... então

↔ ... se, e somente se, ...

Condicional → (se ... então)

Colocando o condicional “ → ” entre duas proposições p e q, obtemos

uma nova proposição, qp → , que se lê: “se p então q”.

Exemplos:

a) :p a bananeira é um vegetal. (V):q a galinha é um animal. (V)qp → : se a bananeira é um vegetal, então a galinha é um animal. (V)

b) :p 64)4( 3 −=− (V)

:q N∈− 3 (F)

qp → : 64)4( 3 −=− → N∈− 3 (F)

c) :p a gaivota é um peixe. (F):q a baleia é um mamífero. (V)qp → : se a gaivota é um peixe, então a baleia é um mamífero. (V)

d) :p 10010 > (F)

:q 1000100 > (F) qp → : 10010 > → 1000100 > (V)

Tabela verdade do condicional qp →p p qp →V V VV F FF V VF F V

Condicional (bicondicional) ↔ (... se, e somente se, ...)

Colocando o (bi)condicional “ ↔ ” entre duas proposições p e q, obtemos

uma nova proposição, qp ↔ , que se lê: “p se, e somente se, q”.

Exemplos:

a) :p o golfinho vive no mar. (V):q a arara-azul tem penas. (V)qp ↔ : o golfinho vive no mar se, e somente se, a arara-azul tem penas.

(V)

b) :p 8134 = (V)

:q 753 =+ (F)

qp ↔ : 8134 = ↔ 753 =+ (F)

c) :p 283 =− (F)

:q 5|5| =− (V)

qp ↔ : 283 =− ↔ 5|5| =− (F)

d) :p a Terra é plana. (F)

:q o sal é doce. (F)

qp ↔ : a Terra é plana se, e somente se, o sal é doce.(V)

Tabela verdade do condicional qp ↔p q qp ↔V V VV F FF V FF F V

Implicação lógicaDadas as proposições p e q, dizemos que “p implica q” quando

condicional qp → for verdadeira.

Quando p implica q, indicamos qp ⇒

Exemplos:

a) 514 =+ ⇒ 22 5)14( =+podemos usar o símbolo ⇒ , pois a condicional

514 =+ (V) → 22 5)14( =+ (V) é verdadeira.

b) Não podemos escrever que 8525 >⇒> , pois a condicional:

25 > (V) → 85 > (F) é falsa.

Equivalência lógicaDadas as proposições p e q, dizemos que “p equivale a q” quando a

proposição condicional qp ↔ é verdadeira.

Quando p equivale a q, indicamos qp ⇔ .

Exemplos:

a) 23 > ⇔ 22 23 >podemos usas o símbolo ⇔ , pois a proposição bicondicional:

23 > (V) ↔ 22 23 > (V) é verdadeira.

b) Não podemos escrever 43 −>− ⇔ 22 )4()3( −>− , pois a

bicondicional:

43 −>− (V) ↔ 22 )4()3( −>− (F) é falsa.

Dizemos também que “p é equivalente a q”, quando p e q têm tabelas-verdade iguais, isto é, quando p e q têm sempre o mesmo valor lógico.

Sentenças abertasExpressões como:

a) 2x+3=11b) 5x-2=13c) x²+x=0

que têm variáveis cujos valores lógicos (V ou F) dependem dos valores atribuídos a esta variável são denominadas funções proposicionais ou sentenças abertas.

Contudo existem duas formas de transformar sentenças abertas em proposições:

1. Atribuir valor às variáveis. 2. Utilizar quantificadores.

QuantificadoresQuantificador Universal

É indicado pelo símbolo ∀ que se lê: “qualquer que seja”, “para todo”.

Exemplos:

a) )0)(( 2 ≥∀ xx , “qualquer que seja x , temos 02 ≥x ” (Verdadeira)

b) )75)(( =+∀ xx , “qualquer que seja x , temos 75 =+x ” (Falsa)

Quantificador Existencial

É indicado pelo símbolo ∃ que se lê: “existe”, “existe pelo menos um”.

Exemplos:

a) )51)(( =+∃ xx , “existe x tal que 51 =+x ” (Verdadeira)

b) )25)(,( 2 =∈∃ xNxx , “existe pelo menos um x , x elemento de N ,

tal que 252 =x ” (Verdadeira)

c) )0)(( 2 <∃ xx , “existe x tal que 02 <x ” (Falsa)

Obs. É também utilizado outro quantificador |∃ que se lê: “existe um único”.

Exemplo:

a) )93)(!( =+∃ xx , “existe um único x tal que 93 =+x ” (Verdadeira)

Construindo tabelas verdadeDadas as proposições p e q, podemos determinar os valores lógicos de:

a) p~ , q~ , qp ∧ , )(~ qp ∧ e )(~)(~ qp ∨ .

p Q p~ q~ qp ∧ )(~ qp ∧ )(~)(~ qp ∨V V F F V F FV F F V F V V F V V F F V VF F V V F V V

(A)

b) p~ , q~ , qp ∨ , )(~ qp ∨ e )(~)(~ qp ∧

p Q p~ q~ qp ∨ )(~ qp ∨ )(~)(~ qp ∧V V F F V F FV F F V V F F F V V F V F FF F V V F V V

(B)

c) p~ , q~ , qp ~∧ , qp → , )(~ qp → e

p Q p~ q~ qp ~∧ qp → )(~ qp → )~(~ pq →V V F F F V F VV F F V V F V FF V V F F V F VF F V V F V F V

(C)

Negação de uma proposiçãoPara proposições simples já foi visto que a partir de uma proposição p

qualquer sempre podemos construir outra, denominada negação de p e indicada com o símbolo ~p.Exemplo:

a) 57: ≠p (V)

57:~ =p (F)

Negação de uma conjunção

Pode-se verificar, em (A), que )(~)(~)(~ qpqp ∨⇔∧ , assim sendo a

negação da proposição qp ∧ é a proposição )(~)(~ qp ∨ .

Exemplo: determinar a negação de:

a) 23 = e 128 < .

p: 23 = (F)

q: 128 < (V)

~p: 23 ≠ (V)

~q: 128 ≥ (F)

)(~ qp ∧ : 23 ≠ ou 128 ≥ (V)

b) A pomba voa e o gato late.p: a pomba voa (V)q: o gato late. (F)~p: a pomba não voa (F)~q: o gato não late (V)

)(~ qp ∧ : a pomba não voa ou o gato não late. (V)

Negação de uma disjunção

Pode-se verificar, em (B), que )(~)(~)(~ qpqp ∧⇔∨ , assim sendo,

a negação as proposição qp ∨ é a proposição )(~)(~ qp ∧ .

Exemplos: determinar a negação de:

a) 08 ≠ ou 22 ≠p: 08 ≠ (V)

q: 22 ≠ (F)

~p: 08 = (F)

~q: 22 = (V)

)(~ qp ∨ : 08 = e 22 = (F)

b) Matemática é interessante ou fascinante. p: Matemática é interessante (V)q: Matemática é fascinante (V)~p: Matemática é desinteressante (não é interessante) (F)~q: Matemática não é fascinante. (F)

)(~ qp ∨ : Matemática é desinteressante e não é fascinante. (F)

Negação de um condicional simples

Pode-se verificar, em (C), que )~()(~ qpqp ∧⇔→ , assim sendo, a

negação da proposição qp → é a proposição )~( qp∧ .

Exemplos: determinar a negação de:

a) Se Q∈1 então R∈1 .

p: Q∈1 (V)

q: R∈1 (V)

~q: R∉1 (F)

)(~ qp → : Q∈1 e R∉1 (F)

b) Se matemática é fácil então eu sou feliz.p: matemática é fácil (V)q: eu sou feliz (V)~q: não sou feliz (F)

)(~ qp → : matemática é fácil e eu não sou feliz (F)

Negação de proposições quantificadasUma sentença quantificada com o quantificador universal, do tipo

))()(( xpx∀ , é negada assim: substitui-se o quantificador universal pelo

existencial e nega-se )(xp obtendo: ))()(~( xpx∃

Exemplos:

a) p: )par é )(( xx∀ (F)

~p: )par é não )(( xx∃ (V)

b) p:Todo homem é mortal. (V)~p: Existe um homem que é imortal (não é mortal). (F)

Uma sentença quantificada com o quantificador existencial, do tipo ))()(( xpx∃ , é negada assim: substitui-se o quantificador existencial pelo

universal e nega-se )(xp obtendo: ))()(~( xpx∀

Exemplos:

a) p: )195)(( =+∃ xx (V)

~p: )195)(( ≠+∀ xx (F)

b) p: Existe um triângulo de três lados iguais que não é eqüilátero. (F)~p: Todo triângulo de três lados iguais é eqüilátero. (V)

Exercícios

1) Quais das sentenças abaixo são proposições? No caso das proposições, classifique como F ou V?

a) 2045 =⋅ b) 5-3=3

b) 2+7.3=5.4+3 d) 5(3+1)=5.3+5.1

c) 1+3 ≠ 1=6 f) 35 )2()2( −≥−d) 3+4>0 h) 11-4.2

2) Classificar em V ou F cada uma das seguintes proposições compostas:a) 3>1 e 4>2b) 3>1 ou 3=1

c) 756 )2(2 e 1)1( −<−=−d) 5 é número par e 5 é numero ímpar.e) 5 é numero par ou 5 é número impar.f) 4 é número ímpar ou 4 é múltiplo de 3.g) 6 é número par e 6 é múltiplo de 3.

3) Dizer qual a negação de cada proposição abaixo:

a) ( ∀ x)(x+3=5)

b) ( ∀ x)(x(x+1)=x²+x)

c) ( ∃ x)(x=x)

d) ( ∃ a) )( 31

21 ≥+a

e) ( ∃ a) )( 1 Ra ∈f) Todo losango é um quadrado.g) Todo número inteiro primo é ímpar.

4) Usando a equivalência )(~)(~)(~ qpqp ∧⇔∨ , escreva a negação da sentença “5 é numero par ou 5 é diferente de 3”.

5) Escreva a negação da sentença “ Carlos foi viajar ou foi à escola”.

6) Usando a equivalência )(~)(~)(~ qpqp ∨⇔∧ , escreva a negação da sentença “José casou-se e foi viajar”.

7) Dadas as proposições p e q, construir e comparar as tabelas verdades de qp → e pq ~~ → .

8) Classifique como V ou F cada uma das sentenças:

a) Sendo x um número, tem-se ( ∀ x)(x>0)

b) Sendo x um número, tem-se ( ∃ x)(x>0)

c) Sendo x um número, tem-se (x)(x>0)

d) Sendo x um número, tem-se ( ∀ x)(x+2=2+x)

9) Numa sentença do tipo qp → , o condicional → só pode ser substituído

pela relação de implicação ⇒ quando a sentença qp → for

verdadeira. Substitua, quando for possível, o símbolo → por ⇒ :

a) 5>3 → 3+1=4

b) 6>5 → 3<2

c) 3<2 → 6>5

d) 3+2=6 → 5<1

10) Numa sentença do tipo qp ↔ , o bicondicional ↔ só pode ser

substituído pelo símbolo de equivalência ⇔ quando a sentença qp ↔

for verdadeira. Substitua, quando for possível, o símbolo ↔ por C:

a) 9+1=10 ↔ 5>2 c) 3<5 ↔ 3-1=6

b) 6+1=5 ↔ 6+1=7 d) 6<1 ↔ 3+1=0

11) Usando a equivalência pp ⇔)(~~ , dê uma sentença equivalente a “ Não é verdade que Márcia não voltou”.

Referências

Fundamentos de matemática elementar, Gelson Iezzi [e outros] – São Paulo: Ed. Atual, 1977.

Matemática, Manoel Rodrigues Paiva – São Paulo: Moderna, 1995.