NOÇÕES DE LÓGICAProfessor: Renilson

CONCEITOS DE LÓGICAProposição:

é uma frase declarativa — afirmativa ou negativa — com sujeito e predicado, à qual se pode atribuir um dos valores lógicos verdadeiro (V) ou falso (F).

Ex.:O céu é azul.O mar não está para peixe.A Lua é uma estrela.3 + 4 = 78 + 4 ≠ 4 + 8

CLASSIFICAÇÃO DAS PROPOSIÇÕESProposições simples: são aquelas que não podem ser

decompostas em duas ou mais proposições.Indicaremos uma proposição por uma letra minúscula.

Exemplosp: O Brasil é um país tropical.q: 5 < 3.

Proposições compostas: são aquelas que podem ser decompostas em duas ou mais proposições simples.

Exemplosp: Na Argentina fala-se o espanhol e no Brasil fala-se o português .q: 5 ≥ 3 ( Cinco é maior que três ou cinco é igual a três )

Princípios básicos das proposições

Sentença

Toda frase declarativa é chamada de sentença.

Exemplo

A frase “Melancia é a fruta mais saborosa que existe” é declarativa e, portanto, é uma sentença. Note, porém, que essa sentença não é uma proposição, pois não pode ser classificada como verdadeira (V) ou falsa (F), já que não é um conceito universal.

Sentença aberta

Exemplo:

a) x + 3 = 9

b) Fulano é presidente do Brasil.

Conectivos lógicos

Ligando as proposições p: “Luís é professor” e q: “Luís cursou faculdade de Filosofia” por meio dos conectivos lógicos, podemos formar novas proposições. Por exemplo:

~p (lê-se “não p”): Luís não é professor;

p^q (lê-se “p e q”): Luís é professor e Luís cursou faculdade de Filosofia;

p v q (lê-se “p ou q”): Luís é professor ou Luís cursou faculdade de Filosofia;

p q (lê-se “se p, então q”): Se Luís é professor, então Luís cursou faculdade de Filosofia;

p q (lê-se “p se, e somente se, q”): Luís é professor se, e somente se, Luís cursou faculdade de Filosofia.

Operações com proposiçõesNegação de uma proposição (~)

Podemos representar os valores lógicos de p e ~p pela tabela a seguir, chamada de tabela verdade.

Exemplosa) p: 7 ≠ 6 (V) ~p: 7 = 6 (F)

b) q: 6 < 4 (F) ~q: 6 ≥ 4 (V)

Conjunção de duas proposições (^)Podemos representar os valores lógicos de p, q e p ^ q pela tabela verdade a seguir.

Disjunção de duas proposições ( v )

Podemos representar os valores lógicos de p, q e p v q pela tabela verdade a seguir.

Condicional entre duas proposições ( )

Podemos representar os valores lógicos de p, q e p q pela tabela verdade a seguir.

Bicondicional entre duas proposições ( )

Podemos representar os valores lógicos de p, q e p q pela tabela verdade a seguir.

Quantificadores

Nesse item, mostraremos que é possível transformar uma sentença aberta em uma proposição sem atribuir um valor à variável, bastando acrescentar à sentença aberta uma expressão lógica chama da quantificador.

I. Quantificador universalO quantificador universal é a expressão “Qualquer

que seja” (ou “Para todo”), que é simbolizado por .

II. Quantificadores existenciaisOs quantificadores existenciais são as expressões:

• “Existe pelo menos um”, que é simbolizado por ;

• “Existe um único”, que é simbolizado por |.

Exemplo:Sentença aberta:

“x é um número par.”

Acréscimo dos quantificadores: Qualquer que seja o numero x, x é um número

par. Existe pelo menos um número x tal que x é par. Existe um único numero x tal que x é par.

Negação de uma proposição contendo quantificador

EXEMPLO:Escrever a negação de cada uma das proposições a seguir.

p: x tem-se x + 2 = 6~p: x | x + 2 ≠ 6

q: x tal que 2x > 7~q: x, tem-se 2x ≤ 7