1

Alex Nunes Barbosa Cunha

Música

Uma Ferramenta Interdisciplinar Para o Ensino de Matemática

Orientador: Prof. Ms. Leandro de Oliveira Pereira

Duque de Caxias

Julho / 2011

Monografia apresentada à Universidade do

Grande Rio “Escola de Ciências,

Educação, Letras, Artes e Humanidade”,

como parte dos requisitos parciais para a

obtenção do grau de licenciatura em

Matemática.

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Alex Nunes Barbosa Cunha

Música

Uma Ferramenta Interdisciplinar Para o Ensino de Matemática

Aprovada em ________de _____________________ de ________

Banca Examinadora

Monografia apresentada à Universidade do

Grande Rio “Escola de Ciências,

Educação, Letras, Artes e Humanidade”,

como parte dos requisitos parciais para a

obtenção do grau de licenciatura em

Matemática.

3

A minha mãe que sempre me deu

força, ânimo, sua credibilidade e seu orgulho.

4

AGRADECIMENTOS

A Deus que me deu forças e sabedoria.

Aos meus pais que sempre acreditaram no meu potencial.

Aos meus amigos de um modo geral e especialmente a Guilherme Pereira e Elzilane Silva.

Aos meus professores que contribuíram diretamente e indiretamente para minha formação

acadêmica.

5

“O homem que dedilha Bach ou

Beethoven dedilha sobre logaritmos.”

(Prof. Luiz Barco).

6

RESUMO

Este estudo é resultado de um desafio que todo professor de matemática enfrenta ao

iniciar sua carreira profissional quando se depara com um grande grupo de estudantes

desestimulados em aprender, dificultando o ensino e a aprendizagem dessa disciplina. Este

trabalho não apresenta uma solução para esse problema mais trás uma ferramenta de trabalho,

utilizar a música de uma maneira interdisciplinar tornando mais viável, pra o aluno, o

aprendizado de matemática. Este trabalho trás algumas propostas de como a música pode ser

utilizado no ensino da matemática, tais como: uma aula, ministrada pelo autor, mostrando a

aplicação dos logaritmos na música e sugestões de oficinas de Matemática e Música.

Palavras chave: matemática - música – interdisciplinaridade - ensino

7

ABSTRACT

This study is the result of a challenge that faces every teacher of mathematics to begin

his professional career when faced with a large group of discouraged students in learning,

making teaching and learning of that discipline. This work does not present a solution to this

problem back one more tool, using the music of an interdisciplinary way making

it feasible for the student, the learning of mathematics. This work back some proposals

for how music can be used in teaching Mathematics, such as a class, taught by the author,

showing the application of logarithms in music workshops and suggestions of

Mathematics and Music.

Keywords: Mathematics - Music - Interdisciplinary - Teaching

8

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO...................................................................................................................... 9

1.1 OBJETIVO........................................................................................................................ 10

1.1 O ENSINO DE MÚSICA NAS ESCOLAS .................................................................... 10

1.2 MATEMÁTICA E MÚSICA ........................................................................................... 11

1.3 - MONOCÓRDIO............................................................................................................. 12

1.3.1 AS RELAÇÕES ENCONTRADAS POR PITÁGORAS ........................................... 13

1.4 CRAVO BEM TEMPERADO......................................................................................... 15

1.4.1 AS RELAÇÕES MATEMÁTICAS DENTRO DO CRAVO BEM TEMPERADO16

2 FUNDAMENTAÇÕES TEÓRICAS.................................................................................. 18

2.1 O SOM ............................................................................................................................... 18

2.2 ALTURA ........................................................................................................................... 19

2.3 INTENSIDADE................................................................................................................. 20

2.4 TIMBRE ............................................................................................................................ 21

2.5 LOGARITMOS ................................................................................................................ 22

2.5.1 DEFINIÇÕES DE LOGARITMO ............................................................................... 23

2.5.2 PROPRIEDADES DO LOGARITMO ........................................................................ 24

2.5.3 MUDANÇA DE BASE .................................................................................................. 25

2.6 EQUAÇÃO DA ESCALA MUSICAL TEMPERADA ................................................. 26

2.6.1 FORMA GENÉRICA.................................................................................................... 27

5 CONCLUSÃO ...................................................................................................................... 29

6 SUGESTÕES DE TRABALHO FUTURO ....................................................................... 30

7 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS............................................................................... 33

9

1 Introdução

A principal função da escola é preparar os alunos para o futuro, para a vida adulta e

suas responsabilidades, oferecendo-lhe uma Educação como formação do caráter. Uma

instituição de ensino precisa promover meios para oferecer estes benefícios aos jovens de

forma a estimulá-los a crescer. Mas existe a possibilidade de o aluno entender a vida

acadêmica como um processo desagradável e amargo que ele precisa passar para assegurar

um futuro bem sucedido.

Os profissionais da educação estão sempre buscando meios de tornar o ambiente

escolar mais alegre e atrativo para o estudante, pois “propiciar uma alegria que seja vivida no

presente é a dimensão essencial da pedagogia, e é preciso que os esforços dos alunos sejam

estimulados, compensados e recompensados por uma alegria que possa ser vivida no

momento presente” (SNYDERS, 1992, p. 14).

Uma grande massa de estudantes vive, na sua vida escolar, um desconforto no ensino

da matemática. Tornar atrativo o aprendizado dos números tem sido um grande desafio para o

professor dessa disciplina. Como contextualizar o abstrato? Os educadores da área das exatas

tentam buscar uma solução para esse problema.

De acordo com os PCN – Parâmetros Curriculares Nacionais, o papel das Ciências

Naturais é o de colaborar para a compreensão do mundo e suas transformações, situando o

homem como indivíduo participante e integrante do Universo. Apesar de os PCN

apresentarem como proposta o estudo das Ciências Naturais em quatro blocos temáticos

(Ambiente, Ser humano e Saúde, Recursos tecnológicos, Terra e Universo), estes não se

encontram dissociados em suas abordagens. Os temas visam facilitar o tratamento

10

interdisciplinar das Ciências Naturais, considerando-os a partir do contexto social e da

vivência cultural da comunidade escolar. Partindo do pressuposto que o homem encontra-se

mergulhado num universo sonoro e que os estudos dos fenômenos acústicos são do domínio

das Ciências, encontra-se a pertinência do estudo interdisciplinar da Música e das Ciências.

1.1 Objetivo

O objetivo deste trabalho é criar mecanismos de ensino de matemática de forma

contextualizada e interdisciplinar usando a música, fornecendo sugestões de oficinas,

atividades e montagem de aula.

Para alcançar o objetivo proposto foram traçadas as seguintes estratégias:

Criar uma proposta de aula e aplicar em uma turma.

Formular um questionário sobre as concepções trabalhadas em aula.

Indicar sugestões de atividades e oficinas de matemática e música.

1.1 O Ensino de Música nas Escolas

Em 1971, a música passou a fazer parte de um ensino interdisciplinar, com base no

artigo 7º da Lei 5692 de 1971. Com esta reforma, a Educação Artística foi introduzida nos

currículos escolares dos Ensinos Fundamental e Médio, trazendo problemas para o ensino da

música. A partir de 1971, o professor de Educação Artística ficou responsável por uma prática

pedagógica versátil. Conseqüentemente, a formação universitária dos professores foi

11

desconsiderada e os profissionais que tinham formação em música acabavam ministrando

aulas de outras disciplinas, como artes plásticas. E os professores não graduados em música

não supriam a necessidade dessa disciplina e davam aulas para outras áreas.

Assim, foi abolida a oferta do ensino de música nos anos 70.

O parágrafo 6 da LDB 9394/96, acrescido pela Lei nº 11.769 de 18 – 8 – 2008 torna

obrigatório o ensino da música enquanto componente curricular do ensino de artes.

Porém o art. 3º da Lei nº 11.769, de 18-8-2008, determina que os sistemas de ensino

tenham três anos letivos para se adaptarem a essa exigência.

Este incentivo dado pela legislação em favor do ensino da música propõe

modificações nos currículos das escolas estaduais e municipais, e ainda, das escolas

particulares que poderá adotar a música como ferramenta interdisciplinar principalmente para

o ensino de matemática.

1.2 Matemática e Música

Em alguns povos da antiguidade (romanos, egípcios, árabes, hindus, etc.)

encontravam-se manifestações da matemática e da musica separadamente. Na mitologia grega

a arte musical já dava seus sinais, através do canto acompanhado de lira. Desde tempos mais

remotos a matemática já se fazia presente, por exemplo, na contagem de coisas e logo a

matemática começa tomar consistência a partir da necessidade de se equacionar e solucionar

problemas, no sentido de buscar fundamentos científicos capaz de justificar alguns conceitos.

12

A música para muitos autores é considerada uma prática cultural. Atualmente

civilizações ou agrupamentos possuem “uma manifestação musical própria” podemos dar

como exemplo o Brasil que tem o samba.

Cultura ou ciência? É licito afirmar que é uma ciência maravilhosa que levou muitos

anos de estudos para se alcançar uma coesão em relação às técnicas da música como:

harmonia, melodia e ritmo. Hoje quando se escuta uma orquestra tocando achamos gracioso

por causa da quantidade de instrumentos, “falando uma mesma linguagem” em relação aos

parâmetros harmoniosos contidos entre eles.

As escalas musicais, uma série de notas de um determinado tom, nem sempre foram

organizadas como nos dias de hoje. Johann Sebastian Bach, compositor e instrumentista,

ajuntou todo seu conhecimento musical e nos deixou uma herança, sistema lógico de

composição (as escalas), que desfrutamos até atualidade.

1.3 - Monocórdio

De acordo com o vídeo educativo (Matemática e Música), produzido pelo

departamento de Arte e Matemática da TV Cultura, No século VI a.C. surge uma relação

muito intima entre a matemática e a música, quando Pitágoras iniciou seus estudos

envolvendo as relações numéricas com os sons desenvolvendo o monocórdio, isto é,

ilustrando as propriedades matemáticas das vibrações sonoras. A figura 1 ilustra um

monocórdio e suas partes.

Figura 1. Visualização esquemática de um

monocórdio.

13

1.3.1 As Relações Encontradas Por Pitágoras

No monocórdio quando o fio está esticado produz uma vibração numa freqüência

particular, quando o comprimento da corda é dividido ao meio e tocado, produz um tom uma

oitava mais alta, e vibra a uma freqüência duas vezes maior que a original (2:1). As metades

desse comprimento irão produzir um tom duas oitavas mais alto que o original, A sua

freqüência (4:1) e assim por diante.

Pitágoras realiza, no fio tensionado, sucessivas divisões e as notas musicais vão se

comportando de maneira aritmética, veja na figura 2.

ESSA DIVISÃO CONTINUA SUCESSIVAMENTE...

Se observarmos, sonoramente, a vibração da nota da corda tensionada será a mesma

nota dessa corda divida ao meio sendo a diferença na altura, ou seja, ela solta dará uma nota

1

2

3

4

Figura 2. Visualização esquemática das divisões

feitas por Pitágoras no monocórdio.

14

grave e dividida ao meio a mesma nota sendo aguda. Os nossos ouvidos interpretam essa

variação como sons equivalentes, por exemplo: Dó (262 Hz) e um Dó uma oitava acima (523

Hz).

A partir dessas equivalências sonoras deu inicio a um novo estudo que é: fracionar

esse intervalo. A divisão mais comum foi em sete partes onde se partia de uma nota qualquer

até chega a essa nota de novo mais aguda isso se o nome de oitava, intervalo fechado de um

conjunto de sete notas. Pelos os estudos de Pitágoras não era garantido que o próximo grupo

de nota, uma oitava acima, seria igual ao primeiro. Esse fenômeno nos da uma estrutura

(escala) espiralada para as notas musicais, como mostra a figura 3.

Um povo que se destacou foi os chineses promovendo uma divisão em seis partes

igual chegando a uma nota muito parecida com a de partida e resolveram tira essa nota

chegando à razão de cinco notas conhecidas e usadas até hoje como escala penta tônica.

Figura 3. Demonstração das escalas musicais nos

estudos de Pitágoras.

15

1.4 Cravo Bem Temperado

“Johann Sebastian Bach nasceu no dia 21 de março de 1685, em Eisenach, uma

pequena cidade da Turíngia, no centro da Alemanha. Era descendente de uma família de

músicos profissionais, que desde os tempos de Martinho Lutero (início do século XVI) viviam

de seus trabalhos e transmitiam de geração em geração os segredos da arte musical”.

(http://caraipora2.tripod.com/assuntos.htm).

Bach colaborou bastante para a estruturação da música como ciência quando criou o

cravo bem temperado (Figura 4), instrumento que deu a possibilidade de sair da dissonância,

trítono, conhecido como o diabo da música, para consonância, relações de sons agradáveis ao

ouvido; deixando uma herança universal que é usada até hoje por músicos de todo o mundo

que são as escalas temperadas.

Figura 4. Reprodução, em preto e branco, da foto

de Bach tocando o Cravo Bem Temperado.

16

1.4.1 As Relações Matemáticas Dentro do Cravo Bem Temperado

Após as descobertas de Pitágoras, em ralação a música, muitas nações e povos

continuaram seus estudos baseado no monocórdio dentro da relação de ½, conhecida como

oitava nos dias de hoje. A figura 5 ilustra a freqüência de uma nota e a sua oitava.

Tomando a nota Dó como exemplo tem: um intervalo fechado de Dó (262 Hz) até

outro Dó (523 Hz) agudo com quase o dobro da freqüência do anterior, primeira relação do

monocórdio de ½, a questão agora seria: Dividir esse intervalo em quantas partes? Os

chineses dividirão em seis os indianos já fizeram duas divisões que foram em 22 é 24 partes.

Nenhuma divisão, feitas por estudiosos musicais de todo mundo, atingiu que J. S. Bach

descobriu, o tempero das notas musicais onde se podia tocar uma música em qualquer tom

tanto maior como menor sem fugir da consonância.

Bach dividiu em doze partes esse intervalo. Dentro de estudo mais aprofundado

fazendo uma ligação de Pitágoras e Bach, no que eles pesquisaram, vamos achar uma relação

Figura 5. Demonstração gráfica de uma oitava.

17

entre a Progressão Aritmética (Pitágoras) e Progressão Geométrica (Bach) que conhecida

como logaritmo, desenvolvida por John Napier em 1614.

18

2 Fundamentações Teóricas

2.1 O Som

“O som se propaga tridimensionalmente, em formas de ondas ou compressão

mecânica, em apenas meios materiais, como o ar ou a água. Elas não se propagam no vácuo,

já que se transmitem através de vibrações moleculares e as moléculas precisam de um maio

material, o que não acontece no vácuo”. (FERRARO, 1998).

Para que este fenômeno ocorra é necessário que aconteçam compressões e rarefações

em propagação do meio conforme mostra a figura 6a.

Graficamente, esse movimento de compressão e rarefação pode ser representado por uma

onda, ilustrado na figura 6b, onde a parte de cima do eixo horizontal representa a compressão

e a parte de baixo à rarefação:

Figura 6a. Demonstração das ondas de um alto

falante.

Figuras 6b. Representação gráfica da propagação do

som

19

A maioria dos sons acaba sendo obtido através de objetos que estão vibrando, como é o

caso do alto-falante. Quando as variações de pressão chegam aos nossos ouvidos, os tímpanos

tentam imitar esta vibração causando sensações da fisiológica do som.

Nos estudos realizados por Wilson Carron, autor do livro Física Básica, o ouvido do

homem não é capaz de registrar ondas sonoras menores que 20 Hz (infrassons) e nem maiores

que 20.000 Hz (ultra-sons). Dentro desse intervalo o ser humano é capaz de individualizar as

ondas sonoras identificando de onde elas estão sendo produzidas e o meio que elas estão

sendo conduzidas onde se cria uma percepção sonora na qual conseguimos identificar quando

um pássaro esta cantando ou quando um instrumento musical esta sendo tocado e até mesmo

distinguir quando uma voz é masculina ou feminina.

O som é a “matéria prima da musica”, pois foi através da percepção sonora que se

começou o estudo da musica. Pitágoras de Samos, filósofo e matemático, observou, ao passar

em frente a uma oficina de ferreiros, que o bater de cinco martelos numa bigorna produziam

uma harmonia, aja visto que cada martelo, com seu tamanho desigual, produziam sons

diferentes e quando se martelavam juntos combinavam muito bem apesar do barulho forte. A

partir dessa experiência, com os sons, Pitágoras inicia os estudos musicais.

2.2 Altura

“A altura é uma qualidade que nos permite classificar os sons em graves ou agudos.

Quanto menor for à freqüência mais grave o som e quanto maior for à freqüência mais agudo

e som.” (FERRARO, 1998). Podemos observar o fenômeno na figura 7.

20

O gráfico 1 representa um som grave: observe que em um segundo foram concluídos três

ciclos (f = 3Hz).

O gráfico dois representa um som agudo: observe que em um segundo foram concluídos

10 ciclos (f = 10 Hz).

2.3 Intensidade

“A intensidade, também chamada de sonoridade, é uma propriedade do som que

permite ao ouvinte distinguir se o som é fraco ou se o som é forte e ela está relacionada à

Gráfico 1

Gráfico 2

Figura 7. Representação gráfica de Altura.

21

energia de vibração da fonte que emite as ondas sonoras. Ao se propagar, as ondas sonoras

transmitem energias que se espalham em todas as regiões. Quanto maior é a energia que a

onda transporta, maior é a intensidade do som que o nosso ouvido percebe. A intensidade e

medida em unidade chamada bel. No entanto se usar um submúltiplo dessa unidade que é

decibéis: 1 decibel = 1db = 0,1 bel. A figura 8 ilustra a intensidades das ondas em alguns

casos.” (FERRARO, 1998).

2.4 Timbre

“É a qualidade que permite diferenciar sons de mesma altura emitidos por fontes

diferentes. O timbre depende da forma da onda.” (FERRARO, 1998).

Figura 8. Representação da intensidade das ondas

sonoras.

22

Esse desenho da onda e comumente de harmônico, uma função seno ou cosseno que se

movimenta com velocidade constante e com mesmo período. Na figura 9 verifica-se que cada

instrumento produz ondas com formas diferentes, isso faz com que o ser humano reconheça o

instrumento que o envia.

2.5 Logaritmos

“O primeiro registro sobre logaritmo foi feito em 1614 pelo matemático escocês Jonh

Napier, conhecido também como o descodificador do logaritmo natural (ou neperiano).

Quatro anos após o livro Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio, escrito por Napier, se

divulgado muitos cálculos, antes impossíveis de serem resolvidos, passam a ter soluções.”

(MURAKAMI, 1977).

Figura 9. Representação gráfica de alguns

timbres.

23

Napier formou a palavra logaritmo, para significar um número que indica uma razão:

λoγoς (logos) que significa razão, e αριθμoς (arithmos) significando número. Napier escolheu

dessa forma porque a diferença entre dois logaritmos determina a razão entre os números dos

quais eles são tomados, de forma que uma série aritmética de logaritmos corresponde a

uma série geométrica de números.

2.5.1 Definições de Logaritmo

Sendo a e b números reais positivo, com b ≠ 1, chamamos de logaritmo de a na base b

o expoente real x a qual se eleva b para obter a:

log𝑏 𝑎 = 𝑥 → 𝑏𝑥 = 𝑎, 𝑐𝑜𝑚 𝑎 > 0, 𝑏 > 0 𝑒 𝑏 ≠ 1

Para que log𝑏 𝑎 = 𝑥 tenha significado, para todo x real, precisamos impor b > 0, b ≠ 1

e a > 0. A essa restrição chamamos condição de existência do logaritmo.

Na igualdade log𝑏 𝑎 = 𝑥, a é o logaritmo ou antilogaritmo de x (a = antilog𝑏 𝑥), b, a

base e x, o logaritmo.

log2 16 = 4

LOGARITIMANDO (𝑎𝑛𝑡𝑖log2 4)

LOGARITIMO

BASE

24

2.5.2 Propriedades Do Logaritmo

Como corolário das propriedades, decorre:

Todas as propriedades seguem as condições para qualquer base 𝒂 (0 < 𝑎 ≠ 1).

Em símbolos:

0 < 𝑎 ≠ 1, 𝑏 > 0 𝑒 𝑐 > 0.

Logaritmo do Produto

Sendo a, b e c números reais positivos, a ≠ 1, temos:

log𝑎(𝑏 .𝑐) = log𝑎 𝑏 + log𝑎 𝑐

DEMONSTRAÇÃO

log𝑎 𝑏 = 𝑥 → 𝑎𝑥 = 𝑏 (1)

log𝑎 𝑐 = 𝑦 → 𝑎𝑦 = 𝑐 (2)

log𝑎(𝑏 .𝑐) = 𝑧 → 𝑎𝑧 = 𝑏𝑐 (3)

Substituindo (1) e (2) em (3), temos:

𝑎𝑧 = 𝑎𝑥 . 𝑎𝑦 → 𝑎𝑧 = 𝑎𝑥 +𝑦 → 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 → log𝑎(𝑏 .𝑐) = log𝑎 𝑏 + log𝑎 𝑐

Logaritmo do Quociente

Sendo a, b e c números reais positivo, a ≠ 1, temos:

log𝑎𝑏

𝑐= log𝑎 𝑏− log𝑎 𝑐

25

DEMONSTRAÇÃO

log𝑎 𝑏 = 𝑥 → 𝑎𝑥 = 𝑏 (1)

log𝑎 𝑐 = 𝑦 → 𝑎𝑦 = 𝑐 (2)

log𝑎𝑏𝑐

= 𝑧 → 𝑎𝑧 = 𝑏

𝑐 (3)

Substituindo (1) e (2) em (3), temos:

𝑎𝑧 = 𝑎𝑥

𝑎𝑦 → 𝑎𝑧 = 𝑎𝑥 −𝑦 → 𝑧 = 𝑥 − 𝑦 → log𝑎

𝑏

𝑐= log𝑎 𝑏− log𝑎 𝑐

Logaritmo da Potência

Sendo a e b números reais positivos, a ≠ 1, e m um número real, temos:

log𝑎 𝑏𝑚 = 𝑚. log𝑎 𝑏

DEMONSTRAÇÃO

log𝑎 𝑏 = 𝑥 → 𝑎𝑥 = 𝑏 (1)

log𝑎 𝑏𝑚 = 𝑦 → 𝑎𝑦 = 𝑏𝑚 (2)

Substituindo (1) em (2) temos:

𝑎𝑦 = (𝑎𝑥 )𝑚 → 𝑎𝑦 = 𝑎𝑚𝑥 → 𝑦 = 𝑚𝑥 → log𝑎 𝑏𝑚 = 𝑚. log𝑎 𝑏

2.5.3 Mudança de Base

As propriedades operatórias dos logaritmos são validas na mesma base. Vejamos

como transformar o logaritmo de uma base em outra.

26

Sendo a > 0, b > 0, b ≠ 1, c > 0, c ≠ 1, temos:

log𝑏 𝑎 = log𝑐 𝑎

log𝑐 𝑏

DEMONSTRAÇÃO

log𝑏 𝑎 = 𝑥 → 𝑏𝑥 = 𝑎

log𝑐 𝑎 = 𝑦 → 𝑐𝑦 = 𝑎

log𝑐 𝑏 = 𝑧 → 𝑐𝑧 = 𝑏 (2)

Substituindo (2) em (1), temos:

(𝑐𝑧)𝑥 = 𝑐𝑦 → 𝑐𝑧𝑥 = 𝑐𝑦 → 𝑧𝑥 = 𝑦 → 𝑥 =𝑦

𝑧 → log𝑏 𝑎 =

log𝑐 𝑎

log𝑐 𝑏

2.6 Equação da Escala Musical Temperada

Observe a figura:

𝑏𝑥 = 𝑐𝑦 (1)

Figura 10. Ilustra uma oitava de teclado musical.

27

Toda nota musical tem uma freqüência;

Uma oitava (DÓ1 a Dó2, por exemplo) e dado pelo quociente 2

1.

Isto posto podemos escrever que:

1.i.i.i.i.i. ... .i = 2

Assim temos:

𝑖 12 = 2 → 𝑖 = √212

→ 𝑖 = 1.0594631

OBS.: Nas escalas bem temperadas os intervalos são iguais.

Conhecendo o valor de i da escala temperada como se calcula as freqüências das notas

musicais?

Verifique que as freqüências das escalas estão em progressão geométrica de razão

igual a 1.0594631.

2.6.1 Forma Genérica

Dados duas freqüências 𝑓1 𝑒 𝑓2 onde seus intervalos e dado por 𝑓2

𝑓1. Isto posto podemos

escrever:

𝑓1.i.i.i.i.i. ... .i = 𝑓2

i multiplicado 12 vezes

i multiplicado 12 vezes

28

Exemplo de intervalo de uma oitava de Lá2 a Lá3 como mostra a figura 11.

Assim, para calcular um intervalo genérico, temos:

𝑓1𝑥 = 𝑓2

Aplicando o logaritmo, temos:

log 𝑓1𝑥 = log 𝑓2 → 𝑥 log 𝑓1 = log 𝑓2 → 𝑥 =

log 𝑓2

log 𝑓1

→ 𝑥 = log𝑓2

𝑓1

Figura 11. Quadro ilustrativo tirado dos estudos realizado pelo professor Luiz Neto.

29

5 Conclusão

Quando falamos de interdisciplinaridade no ensino, não podemos deixar de considerar

a contribuição dos PCN. Uma análise mais cuidadosa desses documentos nos revela a opção

por uma concepção instrumental. (BRASIL, 2002, p. 34-36).

Esse instrumento de ensino, a interdisciplinaridade, não é uma solução para o

aprendizado de matemática mais é uma ferramenta importante e bem eficaz para o professor

que dentro de vários conhecimentos ou um saber útil, no caso desse trabalho foi utilizado à

música, levando os estudantes ao concreto e conseqüentemente o faz compreender a

matemática.

30

6 Sugestões de Trabalho Futuro

A sugestão a seguir foi selecionada e tirada do trabalho dos alunos do curso de pós-graduação

da Universidade Federal do Espírito Santo do ano de 2009.

Oficinas de Matemática e Música

Pitágoras e a Música

1º Momento: exibir a imagem (figura 13) e comentar a respeito da mesma. Logo após,

direcionamos um debate com a apresentação dos participantes e algumas perguntam a respeito

da experiência de cada um com a matemática e a música.

2º Momento: demonstrar a escala de Pitágoras e as relações matemáticas existente.

Figura 13. Ilustração de Franchi nus Gafurius (Theo rica Musicae, 1492). Imagem usada para representar a descoberta de Pitágoras das proporções das consonâncias.

31

ATIVIDADE 1

Pedir aos participantes para definirem fração, razão, proporção, intervalo musical e escala

musical.

ATIVIDADE 2

Complete o quadro abaixo com as notas da Escala Pitagórica, percorrendo a escala por quintas

ascendentes e transpondo as notas obtidas à oitava de referência em caso de ultrapassagem

desse intervalo.

NOTAS DÓ RÉ MÍ FÁ SOL LÁ SÍ DÓ

RAZÃO 1 3

4 1

2

Música na Idade Média

Figura 12. Ilustração do livro De Musica de Boécio. Manuscrito possivelmente da primeira metade do século XII, escrito em pele de animal.

32

Exibir o vídeo: A Matemática da Música produzida pelo Ministério da Educação e

Cultura. Aborda a matemática presente em diversas áreas do universo musical. Mostra como a

matemática auxilia na formação das escalas e como pode estar em padrões rítmicos de uma

escola de samba, no jazz e blues ou nas complexas sinfonias criadas por grandes autores

clássicos. Menciona fatos e personagens históricos que ajudaram a fundamentar a música

como ciência.

ATIVIDADE 1

Pedir aos participantes que definissem os conceitos de média aritmética, média harmônica,

freqüência, consonância, dissonância e batimento.

ATIVIDADE 2

Tomando como ponto de partida as notas musicais de hoje atribua hipoteticamente o

comprimento 1 (um) ao Do e ache:

Quarta (Fá) – Média Aritmética entre 1ª e 8ª

Quinta (Sol) – Média Harmônica entre 1ª e 8ª

Terça (Mí) – Média Harmônica entre 1ª e 5ª

Segunda (Ré) – Média Harmônica entre 1ª e 4ª

33

7 Referências Bibliográficas

IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo, MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de

Matemática Elementar: Logaritmos – 3º edição. São Paulo: Atual Editora, 1977.

DANTE, Luiz Roberto. MATEMÁTICA: Ensino Médio – 1º edição. São Paulo:

Ática, 2004.

FERRARO, Nicolau Gilberto; SOARES, Paulo Antonio de Toledo Soares. Física

Básica. São Paulo: Atual Editora, 1998.

CARRON, Wilson; GUIMARÃES, Osvaldo. As Faces da Física. São Paulo: Editora

Mode, 1997.

ABDOUNUR, Oscar João. Matemática e Música: O pensamento analógico na

construção de significados - 2ª Edição. São Paulo: Editora Escrituras, 2002.

SNYDERS, Georges. A Escola Pode Ensinar as Alegrias da Música? São Paulo:

Editora Cortez, 1992.

JAPIASSU, Hilton. Interdisciplinaridade e Patologia do Saber. Rio de Janeiro:

Editora Imago, 1976.

BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Média e Tecnológica.

Parâmetros Curriculares Nacionais: Ensino Médio. Brasília: Ministério da

Educação, 2002a.

BRASIL. Câmara dos Deputados. LDB: Lei de Diretrizes e Bases da Educação

Nacional: lei no 9.394, de 20 de dezembro de 1996, que estabelece as diretrizes e

bases da educação nacional. – 5ed. – Brasília: Coordenação Edições da Câmara, 2010.

BARCO, Luiz. Matemática e Música. Vídeo Educativo: Departamento de Arte e

Matemática da TV cultura, 2007.

34

NETTO, Luiz Ferraz. Harmonia e Escala temperada, visitado no dia 18-05-2011,

<http://www.algosobre.com.br/fisica/acustica.html>.

NETTO, Luiz de Assis. Física, Matemática, Física e Matemática na Música,

visitado no dia 20-05-2011, < http://caraipora2.tripod.com/assuntos.htm>.