monografia

Universidade do Estado do Rio de Janeiro

Departamento de Fısica Teorica

Instituto de Fısica Armando Dias Tavares

Sılvia Pereira Nunes

Objetos Compactos Auto-gravitantes

Rio de Janeiro

2015



Trabalho de Conclusao de Curso apresen-tado, como requisito parcial para obtencaodo tıtulo de Graduado em Fısica, ao Institutode Fısica Armando Dias Tavares, da Univer-sidade do Estado do Rio de Janeiro. Area deconcentracao: Astrofısica Nuclear.

Orientador: Profo. Dro. Marcelo Chiapparini

Rio de Janeiro

2015

CATALOGACAO NA FONTEUERJ / REDE SIRIUS / BIBLIOTECA CTC/D

D979 Nunes, Sılvia PereiraObjetos Compactos Auto-gravitantes / Sılvia Pereira Nunes. – Rio de

Janeiro, 2015-52 f.

Orientador: Profo. Dro. Marcelo ChiappariniTrabalho de Conclusao de Curso (Graduacao) – Universidade do Estado

do Rio de Janeiro, Instituto de Fısica, Instituto de Fısica Armando DiasTavares, 2015.

1. Astrofısica nuclear.. 2. Estrelas de Neutrons.. 3. Anas-Brancas.. I.Profo. Dro. Marcelo Chiapparini . II. Universidade do Estado do Rio deJaneiro. III. Instituto de Fısica. IV. Tıtulo

CDU 02:141:005.7

Autorizo, apenas para fins academicos e cientıficos, a reproducao total ou parcial desta

trabalho de conclusao de curso, desde que citada a fonte.

Assinatura Data



Trabalho de Conclusao de Curso apresen-tado, como requisito parcial para obtencaodo tıtulo de Graduado em Fısica, ao Institutode Fısica Armando Dias Tavares, da Univer-sidade do Estado do Rio de Janeiro. Area deconcentracao: Astrofısica Nuclear.

Aprovada em 14 de 01 de 2015.

Banca Examinadora:

Profo. Dro. Marcelo Chiapparini (Orientador)

Instituto de Fısica – UERJ

Profa. Dra. Maria de Fatima Alves da Silva

Instituto de Fısica - UERJ

Profo. Dro. Vitor Oguri

Instituto de Fısica - UERJ

Rio de Janeiro

2015

DEDICATORIA

A minha mae Sueli e meus irmaos, Lılia e Luiz Sergio.

AGRADECIMENTOS

Ao meu orientador, Marcelo Chiapparini pela dedicacao, atencao, disponibilidade

e auxılio ao longo desses dois anos de projeto, alem de todos os conselhos.

Agradeco a minha mae, Sueli Nunes, primeiramente pela dedicacao incondicional

na minha formacao, tanto academica quanto como pessoa nestes 21 anos. Por me apoiar

mesmo quando eu nao achava ser possıvel, ter me feito nao desistir nas horas difıceis e me

incentivar, com todo amor e carinho. Se fosse possıvel agradecer n vezes, com n tendendo

a infinito, eu agradeceria.

A minha irma, Lılia Nunes, por ter me incentivado a colocar a opcao ”Fısica”no

vestibular e a entrar na UERJ. Agradeco tambem por todas as noites mal dormidas que

passou em meio a conversas sobre como eu estava preocupada com a faculdade, e todo o

apoio que me deu nestes anos, sempre acreditando em mim.

Ao meu irmao, Luiz Sergio Nunes, por todas as ideias criativas que serviram como

inspiracao em diversos momentos do curso, por me apoiar, tambem incentivar, e por

quem tenho imenso carinho por fazer minha internet cair de velocidade sempre que tento

estudar ja que ele esta jogando.

Aos meus melhores amigos, Edson e Breno, por me aguentarem por estes 2 anos.

Obrigada por compartilharem todos os desesperos antes das provas e todas as alegrias

das conquistas. Tambem quero agradecer pela amizade e companherismo que tivemos ao

longo deste tempo, espero nunca perdermos isso.

Quero agradecer tambem a Sofia, ao Kenion e a Maria Vitoria por toda a ajuda

que me ofereceram ao longo do curso e pela amizade.

A todos os professores que fizeram parte da minha vida academica e funcionarios

do Instituto de Fısica Armando Dias Tavares, especialmente da biblioteca, pela dedicacao

em seu trabalho e ajuda a todos os alunos quando necessario.

A Fundacao de Amparo a Pesquisa do Estado do Rio de Janeiro pelo suporte

financeiro para a realizacao do trabalho.

“Na vida e preciso ter tenacidade.”

Teixeira, Jose Claudio

RESUMO

NUNES, Sılvia Pereira. Objetos Compactos Auto-gravitantes. 2015. 52 f. Trabalho deConclusao de Curso (Graduacao em Fısica) – Instituto de Fısica Armando Dias Tavares,Universidade do Estado do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, 2015.

As densidades no interior de uma ana branca sao muito elevadas, entao, a pressaotermica se torna desprezıvel se comparada a do gas de eletrons degenerados. Desta forma,pode-se usar a equacao de Lane-Emden para modelar a estrutura do sistema termo-dinamico desta estrela a T=0, onde sua equacao de estado e representada pela de umfluıdo politropico. Os limites de um politropico podem ser relacionados e obtidos atravesdas equacoes da pressao e densidade de energia para um gas de Fermi a T=0, assim, epossıvel gerar um grafico com os comportamentos nos dois limites. No caso de uma estrelade neutrons, analisando a hipotese simplificatoria de que a estrela esta constituıda pormateria pura de neutrons, observa-se que a altas densidades o nıvel de Fermi dos neutronse maior do que a soma das autoenergias dos protons e eletrons. Assim, a materia cons-tituıda unicamente de neutrons nao corresponde ao estado fundamental dentro da estrela,tem-se entao neutrons em equilıbrio com protons e eletrons. Como a materia de uma es-trela de neutrons deve ser eletricamente neutra, para evitar que a repulsao Coulombianadesintegre a estrela, cada neutron decai num par proton-eletron, os quais se recombinampara formar um neutron, este processo e chamado equilıbrio beta ja que envolve o decai-mento beta do neutron. Um anti-neutrino e produzido no decaimento, mas ele abandonaa estrela devido a sua baixa secao de choque com a materia. O raio de uma estrela deneutron esta diretamente relacionado com sua pressao, ja que ela e nula na borda da es-trela. Dessa forma, atraves da diferenciacao da pressao em relacao ao raio com a equacaode Tolman-Oppnheimer-Volkoff, e possıvel obter os valores do raio e da massa de umaestrela a partir da energia interna dela (e que corresponde a equacao de estado de umamistura de tres gases de Fermi a T=0). Este trabalho consiste na analise bibliografica eescrita de programas na linguagem FORTRAN que possibilitassem a resolucao numericadas equacoes nao lineares e diferenciais da teoria de anas brancas e estrelas de neutronse assim uma analise grafica dos comportamentos das mesmas.

Palavras-chave: Astrofısica nuclear. Estrelas de Neutrons. Anas-Brancas.

LISTA DE ILUSTRACOES

Figura 1 - Equilıbrio Hidrostatico de uma Estrela . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Figura 2 - Grafico θ × ξ. Representa o comportamento da densidade em funcao

do raio para dois politropicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Figura 3 - Log(P )×Log(u) para os dois politropicos, 5/3 e 4/3, e para EDE sem

aproximacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Figura 4 - Grafico Equilıbrio Beta, mostra as populacoes de partıculas para esse

modelo dentro de uma Estrela de Neutrons. . . . . . . . . . . . . . . . 30

Figura 5 - Grafico P × r. Comportamento da pressao de uma estrela em funcao

de seu raio. No raio da estrela a pressao e nula para uma densidade de

energia central ε0 = 1× 10−3fm−4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Figura 6 - Grafico m × r. Representa o valor da massa em unidades da massa

solar de acordo com o raio para uma estrela com densidade de energia

central ε0 = 1× 10−3fm−4. Mostra o valor maximo da massa e do raio

de uma estrela. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Figura 7 - m×r para uma EDE realıstica obtida a partir de calculos microscopicos.

Representa o comportamento da curvam×r para 50 estrelas(representadas

pelos pontos). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

LISTA DE SIMBOLOS

c velocidade da luz (3× 108m/s)

ν frequencia

m massa

ρ densidade de massa

V volume

r raio

G Constante de gravitacao de Newton

h Constante de Planck

g degenerescencia de spin

h Constante de Planck sobre 2pi

M� Massa Solar

EDE Equacao de Estado

SUMARIO

INTRODUCAO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1 ANAS-BRANCAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.1 Equilıbrio hidrostatico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2 Politropicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3 Resolucao numerica da Equacao de Lane-Emden . . . . . . . . . . 16

1.4 Gas de Fermi a temperatura 0K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.4.1 Regime nao-relativıstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.4.2 Regime relativıstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2 ESTRELA DE NEUTRONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.1 Equilıbrio Beta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2 Equacao de Tolman-Oppheimer-Volkoff (TOV) . . . . . . . . . . . . 30

2.3 Resolucao numerica das equacoes Tolman-Oppheimer-Volkoff (TOV) 33

2.3.1 Metodo de Runge-Kutta de ordem 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

CONCLUSAO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

REFERENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

APENDICE A – Algorıtmo log(P )× log(u) . . . . . . . . . . . . . . . 40

APENDICE B – Algorıtmo de Lane-Emden . . . . . . . . . . . . . . . 42

APENDICE C – Algorıtmo do Equilıbrio Beta . . . . . . . . . . . . . . 44

APENDICE D – Algorıtmo equacoes TOV . . . . . . . . . . . . . . . 48

10

INTRODUCAO

Ha no Universo a presenca de gases rarefeitos constituıdos predominantemente por

atomos de hidrogenio. Esta configuracao pode ser chamada tambem de nuvem. Se, por

algum motivo houver um agente externo a esta nuvem que desestabilize sua distribuicao

de materia, o centro de massa desta sera deslocado, acarretando instabilidades gravitaci-

onais da materia, gerando a contracao do gas. Neste estagio tem-se a formacao de uma

protoestrela(MESQUITA, 2010).

Esta contracao causa aumento da agitacao termica dos atomos no nucleo da pro-

toestrela, criando condicoes de temperatura e pressao favoraveis para o inıcio dos proces-

sos de fusao termonuclear e transmutacao de hidrogenio em helio, o que libera energia.

E neste momento que a protoestrela se transforma em estrela, cujo tamanho na maior

parte de sua vida luminosa e determinado pelo equilıbrio entre duas forcas: a relativa a

pressao termica interna (proveniente da energia liberada em processos de fusao nuclear

e tem carater expansivo) e a devido a auto-gravitacao da estrela (pressiona a estrela a

contracao).

O tempo de vida da estrela na Sequencia Principal depende da quantidade de

energia armazenada que ela tem, e a taxa com que gasta a mesma. Estrelas com grandes

massas permanecem na Sequencia Principal por um curto perıodo, se comparadas com

as de baixa massa, que ficam em um longo perıodo devido a velocidade das reacoes de

fusao (quanto maior a massa estelar, mais rapida e a taxa de transmutacao de hidrogenio

em helio). Quando o hidrogenio se extingue no nucleo da estrela, estando este repleto

de helio, esta sai da Sequencia Principal. Os atomos de hidrogenio continuam, porem,

fundindo-se com helio nas camadas externas.(CHUNG, 2000)

Ha tres possıveis cenarios para o fim da evolucao luminosa de uma estrela, e sao:

formacao de uma Ana-Branca, Estrela de Neutrons ou Buraco Negro. A opcao evolutiva

depende da massa da estrela na progenitora na Sequencia Principal.

Neste trabalho so serao estudados os casos das formacoes de Anas-Brancas e Estre-

las de Neutrons. Estas sao fases de equilıbrio hidrostatico de estrelas, sendo consideradas

objetos compactos, por apresentarem densidade muito elevada e auto-gravitantes, por te-

rem a forca gravitacional devida as camadas externas atuando sob si mesmas. O objetivo

principal deste estudo sao as estruturas estelares destes dois modelos, determinando as

variacoes internas de suas propriedades fısicas tais como pressao, densidade, temperatura

e raio em termos de parametros de entrada.

Inicialmente serao estudadas os casos das Anas-Brancas. Considerando a estrela

em equilıbrio hidrostatico newtoniano, foi feita a modelagem do perfil interno desta. Para

isso sera introduzida a equacao de Lane-Emden, que modela a estrutura de um sistema

termodinamico cuja equacao de estado e um fluıdo politropico.

11

Ja para estrelas relativısticas, serao estudadas as Estrelas de Neutrons. Atraves da

introducao das equacoes TOV, e utilizando o metodo de Runge-Kutta de ordem 4, sera

determinado o perfil de uma estrela e assim construir a curva massa x raio para uma dada

equacao de estado relativıstica.

No estudo que sera apresentado, foi necessario utilizar metodos computacionais.

Para cada modelo foram gerados programas na linguagem FORTRAN95, e com os dados

obtidos foi possıvel criar graficos com o programa ORIGIN9.0. Dessa forma, conseguimos

analisar os dados obtidos com os valores e comportamentos esperados segundo a teoria.

12

1 ANAS-BRANCAS

A medida que o hidrogenio da estrela e queimado, vai se desenvolvendo um caroco

de helio no centro da estrela, com hidrogenio predominantemente na envoltoria, este

elemento e submetido a alta temperatura e compressao. Nessas condicoes os eletrons

comecam a se desconectar de seus nucleos, deixando-os ionizados, a estrela passa a ser

composta de um gas de eletrons movendo-se em um meio formado de nuvens de helio.

Em primeira aproximacao, este gas de eletrons pode ser tratado como um gas constituıdo

de partıculas livres, sem interacao e obedecendo a estatıstica quantica de Fermi-Dirac,

porque os eletrons tem spin igual a 12. Esse sistema e chamado de Gas de Fermi Ideal.

A partir deste momento, o destino da estrela depende de sua massa total, a qual

nao pode assumir valores arbitrarios. Valores observados de massas estelares estao entre

0.01 a 20M�. Valores inferiores a 0.08M� nao sao suficientemente quentes para provoca-

rem reacoes termonucleares, assim como valores superiores a 60M� sao instaveis contra

oscilacoes radiais(CHUNG, 2000).

Considerando entao a evolucao de uma estrela com massa menor que M�, al-

cancando a densidade central de 106g/cm3, os eletrons passam a mover-se com velocidade

proxima a da luz, e assim se tornam relativısticos. Ao mesmo tempo, a temperatura cen-

tral chega a 107K, que e insuficiente para queima de helio. A estrela, sem o que queimar,

fica a espera que a pressao gravitacional comece a agir (devido a quase integralmente ao

numero de nucleos de helio), ou seja, que esta prevaleca em relacao a pressao interna

(devido ao numero de eletrons), provocando a contracao do caroco.(CHUNG, 2000)

Quando isto acontece, se a contracao aumentar, entao, a temperatura e a densidade

tambem aumentam, o que resulta em uma consequencia para os eletrons livres do meio

estelar. Como os eletrons sao fermions, tem que obedecer ao Princıpio de Exclusao de

Pauli, o que os leva a uma condensacao no espaco da energia (os eletrons procuram ocupar

os estados de menor energia, com a restricao de que, no maximo, dois eletrons ocupem

cada nıvel). Em consequencia, a maioria dos estados eletronicos sao preenchidos ate um

valor chamado de Energia de Fermi. Os eletrons entao passam a seguir essa configuracao,

a serem degenerados.(CHUNG, 2000)

Os eletrons degenerados e relativısticos da estrela fornecem uma pressao interna

bem maior que passa a contrabalancear a pressao gravitacional, desde que a massa da

estrela nao ultrapasse a um valor crıtico, o limite de Chandrasekhar. No caso da massa ser

inferior a esse limite, estabelece-se completo equilıbrio hidrostatico da estrela e ela passa

a chamar-se de Ana-Branca. Tendo um raio tıpico de 1000Km, esta estrela leva ainda

algum tempo (aproximadamente 109anos) para se esfriar completamente e, ao fim desse

perıodo se tornara uma Ana-Preta, pois sua luminosidade sera nula (CHUNG, 2000).

13

Figura 1 - Equilıbrio Hidrostatico de uma

Estrela

1.1 Equilıbrio hidrostatico

Ignorando perturbacoes como rotacao, pulsacao, distorcao por forcas de mare

e campos magneticos de larga escala, pode-se assumir a estrela como simetricamente

esferica.

A condicao de equilıbrio hidrostatico no interior estelar tem que ser cumprida:

todas as forcas atuando em qualquer elemento de volume dentro da estrela tem que ser

compensadas, a forca resultante tem que ser nula. Isso implica que a estrutura nesta

fase nao e modificada. Assim, as unicas forcas que precisam ser consideradas sao a forca

gravitacional e a forca de pressao.

Considerando um elemento de volume, a uma distancia r do centro da estrela e

tendo uma distribuicao de massa de forma contınua, esse sistema pode ser ilustrado como

na figura 1.

Sabendo que ρ = dmdv→ dm = ρdv, entao, se integrar obtem-se o valor para a

massa em uma distribuicao contınua:∫ r

0

dm =

∫ r

0

∫ π

0

∫ 2π

0

ρr′2sinφdθdφdr′, (1)

m(r) = 4π

∫ r

0

ρ(r′)r′2dr′. (2)

A partir da equacao 2 e possıvel eliminar a integral e obter uma equacao para a diferencial

14

da massa em relacao ao raio, que e dada por:

dm(r)

dr= 4πρ(r)r2. (3)

A pressao, por definicao, e a diferencial de uma forca por um elemento de area no

qual esta forca e aplicada, ou seja:

P =dFpdS

, (4)

se a equacao 4 for multiplicada por dS, a seguinte integracao pode ser feita:∫PdS =

∫dFp. (5)

O elemento de area de uma esfera igual a 4πr2, entao, a equacao 5 pode ter suas

integrais resolvidas, chegando a:

Fp = 4πr2[P (r)− P (r + dr)]. (6)

Multiplicando e dividindo o lado direito da equacao 6 por dr, tem-se:

Fp = −4πr2 [P (r + dr)− P (r)]

drdr, (7)

para dr pequenos, tem-se que P (r+dr)−P (r)dr

e a definicao da derivada, equivale-se a

escrever dP (r)dr

. A equacao 8 pode ser reescrita:

Fp = −4πr2dP (r)

drdr. (8)

Por outro lado, a partir da Lei da Gravitacao Universal, e possıvel obter a forca que

o elemento de massa dm faz sobre a massa m(r), essa forca e a que as camadas externas

fazem sobre as internas, isto e:

Fg =Gm(r)dm

r2. (9)

Com a finalidade de cumprir a condicao de equilıbrio hidrostatico, as forcas devido

a autogravitacao da estrela (equacao 9) e a devido a pressao interna (equacao 8) tem que

ser equivalente, ou seja:

Fp = Fg. (10)

15

Substituindo as duas equacoes para as pressoes, obtem-se

−4πr2drdP (r)

dr=Gm(r)dm

r2. (11)

A equacao 11 pode ser dividida pelo termo dr. Assim, tera um termo dm/dr do

lado direito, que pode ser substituıdo pela equacao 3. O que sera obtido sera uma equacao

para a diferencial da pressao em relacao ao raio, dessa forma tem-se

dP (r)

dr= −Gm(r)ρ

r2. (12)

Multiplicando a equacao 12 por r2

ρ, chega-se a

r2

ρ

dP (r)

dr= −Gm(r). (13)

Diferenciando a equacao 13 em relacao a r, encontra-se

d

dr(r2

ρ

dP

dr) = −Gdm(r)

dr. (14)

Substituindo mais uma vez equacao 3 que da o valor para dm/dr na equacao 14,

tem-se

1

r2

d

dr(r2

ρ

dP

dr) = −4πGρ, (15)

que sera utilizada futuramente para o caso especial dos politropicos.

1.2 Politropicos

Se o constituinte dessa esfera for um gas de eletrons, a pressao termodinamica

deste e uma potencia da densidade, segundo Shapiro (2004), isto e,

P = kρΓ, (16)

onde Γ = 1 + 1n, sendo n o ındice do politropico. Tambem pode-se escrever a densidade

em funcao da densidade central ρ0 = ρ(r = 0):

ρ = ρ0θn. (17)

16

A equacao 15, se substituıda pelas equacoes 16 e 17, fica da seguinte forma:

1

r2(k(n+ 1)ρ

1n−1

0

4πG)d

dr(r2dθ

dr) = −θn. (18)

Definindo a variavel ξ(r) e a constante a das seguintes formas:ξ = ra,

a = ((n+1)kρ

1n−1

0

4πG)12 ,

(19)

se substituıdas as equacoes 19 na equacao 18, encontra-se que

2

ξ

dθ

dξ+d2θ

dξ2= −θn, (20)

a qual e chamada Equacao de Lane-Emden , em homenagem ao fısico americano Jonathan

Homer Lane(1819-1880), que derivou a equacao do equilıbrio hidrostatico em 1869 e ao

fısico suico Robert Emden(1862-1940). A seguir serao discutidas as propriedades de Anas-

Brancas como politropicos com altas densidade(Γ = 43) e baixas densidades(Γ = 5

3).

1.3 Resolucao numerica da Equacao de Lane-Emden

A resolucao numerica da equacao 20, a Equacao de Lane-Emden, possibilita a

determinacao do perfil de uma Ana-Branca, ja que a mesma pode ser estudada como

constituıda de um gas de eletrons a altas densidades.

Para isto, a equacao 20 precisa ser integrada, e um dos metodos mais simples,

porem funcionais, e utilizando a expansao em Serie de Taylor. Nesta, a funcao f(x) e,

segundo Churchill (1975), definida como:

f(x) = f(x0) + f ′(x0)(x− x0) +f ′′(x0)

2(x− x2

0) + · · · . (21)

Com a equacao 21 e possıvel obter os valores para as expansoes das funcoes f(x+h)

e f(x− h):

f(x+ h) = f(x) + f ′(x)h+f ′′(x)

2h2 + · · · , (22)

f(x− h) = f(x)− f ′(x)h+f ′′(x)

2h2 + · · · . (23)

Onde foi utilizada a notacao f ′ = dfdx

e f ′′ = d2fdx2

. Se subtraıdas estas equacoes, 23

17

e 22:

df(x)

dx∼=f(x+ h)− f(x− h)

2h. (24)

Enquanto que se somadas as equacoes 23 e 22, obtem-se:

d2f(x)

dx2∼=f(x+ h) + f(x− h)− 2f(x)

h2. (25)

Ou seja, a partir da expansao pela Serie de Taylor, foi possıvel achar os valores

das derivadas primeira segunda para uma funcao. Com as equacoes 24 e 25, se feita a

equivalencia f(x) ≡ θ(ξ), chega-se a:

dθ(ξ)

dξ∼=θ(ξ + h)− θ(ξ − h)

2h, (26)

d2θ(ξ)

dξ2∼=θ(ξ + h) + θ(ξ − h)− 2θ(ξ)

h2. (27)

Utilizando as equacoes 26 e 27 para substituir na equacao de Lane-Emden (equacao

20), para qualquer k inteiro ≥ 1, ou seja,

θk+1 =1

ξk + h[ξk(2θk − h2θnk )− (xk − h)θk−1], (28)

onde ξk = kh e θk = θ(ξk).

A equacao 28 foi essencial para resolucao numerica da equacao de Lane-Emden,

pois a partir da mesma foi feito um programa em linguagem FORTRAN95, o qual atraves

das condicoes iniciais

θ(0) = 1, (29)

θ′(0) = 0, (30)

que se dao 29 diretamente por 17 e a 30 pelo fato de m(r) = 4πρ0r3/3 perto do centro,

entao, pela equacao 12 dP (ρ)/dr = 0 no centro, possibilitou a obtencao dos dados atraves

do programa contido no ANEXO B, de autoria da autora, que compoem a figura 2.

Com este programa, foram obtidos os valores de θ e ξ correspondentes para cada

politropico, Γ = 4/3 e Γ = 5/3, sendo o primeiro a representacao do perfil de uma Ana-

Branca. Os valores obtidos para ξ2 = 6.896 e ξ1 = 3.654 sao os mesmos que constam na

referencia Shapiro (2004), revelando que o metodo utilizado para integracao neste caso

foi bastante preciso.

18

Figura 2 - Grafico θ × ξ. Representa o comportamento da densidade em funcao

do raio para dois politropicos.

Fonte: Autoria da autora

19

1.4 Gas de Fermi a temperatura 0K

Nesta subsecao sera obtida a equacao de estado de um gas politropico a partir de

primeiros princıpios. Um sistema que contem N partıculas identicas pode ser totalmente

simetrico sob a troca de qualquer par, e assim suas partıculas satisfazem a estatıstica de

Bose-Einstein (B-E) e sao conhecidas como bosons, ou totalmente antissimetrico, satis-

fazendo a estatıstica de Fermi-Dirac(F-D), sendo conhecidas como fermions, este ultimo

que sera estudado.

Existe ainda a conexao entre o spin de uma partıcula e a estatıstica que ela obe-

dece. Partıculas de spin inteiros sao bosons, enquanto que partıculas de spin semi-inteiro

sao fermions. Dentro da mecanica quantica nao relativıstica isto deve ser aceito como

postulado empırico.

O eletron, assim como os nucleons, sao fermions. Isso leva a consequencia imediata

de satisfazerem o Princıpio de Exclusao de Pauli, o qual diz que dois eletrons nao podem

ocupar o mesmo estado. Contrariamente, os bosons obedecem a estatıstica de Bose-

Einstein, para dois dos tres estados ambas das partıculas ocupam o mesmo estado.

A energia do nıvel mais energetico ocupado por fermions e chamada Energia de

Fermi εf . Quando um gas de fermions encontra-se com temperatura abaixo da tempe-

ratura de Fermi Tf , onde Tf =εfK

(sendo K a constante de Boltzmann), esse gas esta

degenerado, o que significa que suas partıculas obedecem o Princıpio de Exclusao de Pauli.

Toda a deducao feita encontra-se em Chiapparini (2011). Quando um gas esta

no zero absoluto, esta com temperatura abaixo da Temperatura de Fermi, e assim, sua

energia total e a soma das energias dos estados, ou seja,

U =∑q

εqfq (31)

=∑q

g(ε)εf(ε) (32)

=

εf∑ε=ε0

g(ε)ε, (33)

onde g e a degenerescencia de spin e f(ε) representa o fator de ocupacao, tem o valor de

0 (caso o estado nao seja ocupado) e 1 (caso esteja ocupado).

O somatorio da equacao 33 so envolve nıveis que contenham partıculas, e indica

que nao ha ocupacao de nıveis que contenham energia superior a de Fermi, dessa forma,

f(ε) =

1, ε ≤ εf ,

0, ε > εf .(34)

Se o fator de ocupacao e relacionado a existencia de partıculas em um determinado

20

estado, o numero total de partıculas e

N =∑q

f(q). (35)

Fazendo q ≡ (~p, sz), onde ~p e o momento linear e sz a projecao do spin segundo

z (caso de um gas ocupando um volume macroscopio V ). Considerando o espectro de

energia como contınuo, o somatorio pode se transformar na seguinte integral:

∑q

→ gV

h3

∫d3p. (36)

A equacao 35 com o somatorio escrito como a integral em 36 fica da forma:

N =gV

h3

∫f(ε)d3p. (37)

Como a energia de Fermi e funcao do momento de Fermi (pf ), a seguinte equi-

valencia e valida, ou seja,

ε(pf ) = εf . (38)

A partir desta relacao de equivalencia e possıvel escrever a relacao 34 para o fator

de ocupacao em termos do momento de Fermi, obtem-se assim

f(p) =

1, p ≤ pf ,

0, p > pf .(39)

Ou seja, nao ha ocupacao em nıveis que possuam momento maior do que o momento

de Fermi. Voltando a equacao 37, reescrevendo o fator de ocupacao como funcao do

momento, encontra-se que

N =gV

h3

∫ ∞0

f(p)p2dp (40)

=gV

h34π

∫ pf

0

p2dp (41)

= Vg

6π2(pfh

)3. (42)

Introduzindo o conceito de densidade de numero de partıculas (n), que e o numero

de partıculas dividido pelo volume n = NV

, a equacao 42 pode ser reescrita da seguinte

forma:

n =g

6π2(pfh

)3. (43)

21

A equacao 43 pode ser manipulada para obtencao da equacao que relaciona o

momento de Fermi com a densidade de numero de partıculas, isto e

pf = h(6π2

gn)

13 . (44)

O grande Potencial A satisfaz simultaneamente a duas equacoes, uma que vem da

Termodinamica,

A = −PV, (45)

e outra que vem da Mecanica Estatıstica,

A = −KT ln Ξ. (46)

Usando que a funcao de Massieu (Ξ) pode ser escrita em termos dos fatores de

ocupacao, da forma:

lnΞ = η∑q

ln (1 + ηfq). (47)

O valor para o numero de partıculas N se escrito em funcao dos fatores de ocupacao,

obtem-se

N =∂

∂αln Ξ (48)

=∑q

fq. (49)

Igualando as equacoes 45 e 46, usando a equacao 47 para a funcao de Massieu,

obtem-se

PV = kTη∑q

ln (1 + ηfq), (50)

que e a equacao de estado dos gases ideais, sendo 1KT

= β e o valor de η = 1 para fermions.

Pode-se reescrever a equacao 50 como

PV ≈ − 1

β

qf∑q=0

ln (1− fq). (51)

A baixas temperaturas o valor de β → ∞. Dessa forma, pode-se expandir fq a

22

primeira ordem da seguinte forma:

fq =1

1 + eβ(ε1−µ)(52)

= 1− eβ(εq−µ) +O(β2). (53)

Substituindo a equacao 53 na 50, obtem-se

PV ≈ − 1

β

qf∑q=0

ln(eβ(εq−εf ) +O(β2)) (54)

= − 1

β

qf∑q=0

ln[eβ(εq−εf )(1 + e−β(εq−µ)O(β2)] (55)

=

qf∑q=0

(εf − εq)−1

β

qf∑q=0

ln (1 + e−β(εq−µ)O(β2), (56)

onde para T → 0 µ→ εf . Entao,

PV ≈qf∑q=0

(εf − εq) (57)

= εfN −qf∑q=0

εq (58)

= εfN − U. (59)

Se dividida pelo volume (V ), a equacao 59 e reescrita de forma a encontrar uma

equacao para pressao, ou seja,

P ≈ εfn− u, (60)

sendo n e a densidade de numero de partıculas e u a densidade de energia interna.

1.4.1 Regime nao-relativıstico

A energia de uma partıcula livre nao-relativıstica pode ser expressa em termos do

seu momento linear (p) e de sua massa (m):

ε(p) =p2

2m. (61)

Fazendo a equivalencia de que se ε = εf e p = pf , encontra-se uma equacao para

23

o momento de Fermi em relacao a energia de Fermi, ou seja,

εf (pf ) =p2f

2m→ pf =

√εf2m. (62)

Substituindo a equacao 62 na equacao 43, obtem-se

n =g

6π2h3 (2mεf )32 . (63)

Dessa forma, a equacao 63 pode ser reescrita com a finalidade de obter a energia

de Fermi em funcao da densidade do numero de partıculas, chegando a

εf = (6π2

g)3 h

2

2mn

23 . (64)

Pode-se tambem escrever a energia interna do gas de Fermi (equacao 31) fazendo

a substituicao dada pela equacao 36, que leva a

U =gV

h3

∫εf(ε)d3p (65)

=gV

h34π

∫ ∞0

εf(ε)p2dp, (66)

cuja integral pode ser resolvida se escrito o fator de ocupacao como funcao do momento.

Dessa forma, sabendo que a densidade de energia interna (u) e definida como u = UV

,

chega-se a

u =3

5nεf . (67)

Por outro lado, se substituıda a equacao 67 na equacao 60, obtem-se a equacao

para pressao que dependa somente da densidade do numero de partıculas e da energia de

Fermi, ou seja,

P =2

5nεf (68)

=1

5(6π2

g)23h2

2mn

53 . (69)

Ressalta-se que o gas de Fermi a T=0 tem uma pressao consideravel, ja que os

fermions tem um momento nao nulo a esta temperatura.

24

1.4.2 Regime relativıstico

A medida que a energia interna do gas se calcula como na equacao 66, sendo o

momento maximo o momento de Fermi para um gas degenerado, tem-se

U =gV

h34π

∫ pf

0

ε(p)p2dp. (70)

No caso nao-relativıstico a energia da partıcula e descrita atraves da relacao de

dispersao relativıstica, ou seja,

ε(p) =√p2c2 +m2c4, (71)

onde mc2 = ε0 e a energia de repouso devido a massa de repouso. Usando como limite

maximo o momento de Fermi na equacao 62, e substituindo o valor da equacao 71 a partir

da equacao 70, e possıvel achar o valor para densidade de energia interna, entao,

u =gV

h34π

∫ pf

0

√p2c2 +m2c4p2dp. (72)

Definindo o momento de Fermi adimensional comopfmc

= x, e o comprimento de

onda de Compton como λ = hmc

. Substituindo estes valores na equacao 72, obtem-se

u =mc2

λ3

g

16π2Ψ(x), (73)

onde a funcao Ψ(x) e definida como

Ψ(x) = x(1 + x2)12 (1 + 2x)− ln[x+ (1 + x2)

12 ]. (74)

As equacoes 43 e 61 para a energia de Fermi podem ser reescritas em funcao de x,

ou seja,n = g6π2

x3

λ3,

εf = mc2(1 + x2)12 .

(75)

Com os valores de 75 e 74 e possıvel obter a equacao para pressao relativıstica de

um gas de Fermi

P =mc2

λ3

g

16π2Φ(x), (76)

25

sendo a funcao Φ(x) definida como

Φ(x) = x(1 + x2)12 (

2

3x2 − 1) + ln[x+ (1 + x2)

12 ]. (77)

Essas duas equacoes 77 e 74 podem ser aproximadas para dois limites, o ultra

relativıstico e nao relativıstico. Dessa forma, as equacoes para pressao 76 e densidade de

energia 73 poderao ser aproximadas tambem, porem so esta primeira que sera de interesse

na construcao da figura 3.

Fermions nao relativısticos

Neste regime, x� 1, e assim, as equacoes 74 e 77 para as funcoes Ψ(x) e Φ(x) sao

aproximadas como:

Ψ(x) ≈ 8

3x3 e Φ(x) ≈ 8

15x5. (78)

Substituindo 78 em 76, obtem-se

P ≈ mc2λ2

5(6π2

g)2/3n5/3, (79)

que e a equacao para pressao de fermions nao relativısticos, para o politropico Γ = 5/3.

Fermions ultra relativısticos

Ao contrario do outro regime, neste x� 1, o que leva a:

Ψ(x) ≈ 2x4 e Φ(x) ≈ 2

3x4. (80)

Se substituıdos os valores de 80 em 76, para a pressao, obtem-se

P = mc2λ

4(6π2

g)1/3n4/3, (81)

que corresponde ao politropico Γ = 4/3.

E possıvel observar, a partir da figura 3 que para valores de densidade baixos, a

equacao de estado relativıstica para pressao se aproxima do politropico 5/3, enquanto que

para altas densidades se aproxima do politropico 4/3. O grafico foi construıdo com os

dados obtidos pelo programa de autoria propria que consta no ANEXO A em linguagem

FORTRAN95.

26

Figura 3 - Log(P )× Log(u) para os dois politropicos, 5/3 e 4/3, e para EDE sem aproximacoes

Fonte: Autoria da autora.

27

2 ESTRELA DE NEUTRONS

Um grupo de pesquisadores de Caltech(Instituto Tecnologico da California, EUA),

lancaram em 1957 a ideia de que quando uma estrela massiva chega ao final de sua vida

evolutiva, ou seja, quando esgota todo o seu combustıvel nuclear, o seu caroco colapsa

sob a acao da forca da sua auto-gravitacao, fazendo as camadas externas caırem com

velocidade de queda livre.(CASALI, 2008)

A energia liberada neste colapso ejeta boa parte da massa da estrela, criando

um evento conhecido como explosao de supernova. A explosao de supernova povoa o

espaco interestelar dos elementos quımicos sintetizados ao longo da evolucao estelar. Tais

elementos, dispersos no espaco, podem constituir a materia primordial para a formacao

de estrelas de segunda ou terceira geracao, resultando em estrelas de geracoes de ordem

crescente.(CHUNG, 2000)

Essa materia remanescente e visıvel para todos os comprimentos de onda entre

radio e raios-X, o que mostra a riqueza dos processos fısicos que acontecem na ejecao e

entre a ejecao e o meio interestelar, incluindo aglomerados moleculares.

Se a estrela iniciar sua vida com massa entre 10 e 25M�, apos a fase de Supergigante

ela ejetara a maior parte de sua massa em uma explosao de supernova e terminara a vida

como uma Estrela de Neutrons, com uma temperatura superficial maior do que 1 milhao

de kelvin, massa de cerca de 1.4 M� e raio de cerca de 20Km

2.1 Equilıbrio Beta

Os modelos de Estrelas de Neutrons tem sido frequentemente calculados usando

a hipotese simplificatoria de que a estrela e constituıda por materia pura de neutrons.

No entanto, e possıvel mostrar que a altas densidades, o nıvel de Fermi dos neutrons e

maior do que a soma das auto-energias dos protons e eletrons. Assim, materia constituıda

unicamente de neutrons nao corresponde ao estado fundamental dentro da estrela. No

seu lugar, tem-se neutrons em equilıbrio com protons e eletrons, como ja foi dito.

Dado que a materia da estrela deve ser eletricamente neutra, para evitar que a

repulsao Coulombiana (maior que a gravitacional a escala macroscopica) desintegre a

estrela, cada neutron decai em um par proton-eletron, os quais, por sua vez se recombinam

para formar um neutron.

Este tipo de processo de equilıbrio e chamado de equilıbrio beta, uma vez que

envolve o decaimento beta do neutron. Um antineutrino e produzido no processo de

decaimento, mas ele abandona a estrela devido a sua baixa secao de choque com a materia.

28

O equilıbrio beta entre neutrons e protons esta representado pelo processo

n ⇀↽ p+ e.

Para obter o potencial quımico de todos os componentes deste equilıbrio quımico

e assim obter a relacao entre numero de partıculas dentro da estrela de cada um, tem-se

que a energia livre de Helmholtz e descrita como:

dF = −PdV − SdT +∑i=n,p,e

µidNi. (82)

Considerando um sistema com a temperatura e o volume constantes, a partir da

equacao 82, obtem-se

dF =∑i=n,p,e

µidNi. (83)

No equilıbrio de um sistema, dF = 0. E possıvel entao escrever uma equacao que

relacione os potenciais quımicos (µ) e o numero especıfico de partıculas dNi (protons,

neutrons e eletrons):

dF = µedNe + µpdNp + µndNn = 0, (84)

onde o subındice e e relativo ao eletron, p ao proton e n ao neutron.

Para a estrela ser eletricamente neutra, dNe = dNp, e para manter a conservacao

do numero barionico, dNn = −dNp. Substituindo estas condicoes na equacao 84, obtem-se

(µe + µp − µn)dNe = 0. (85)

Como dNe 6= 0, a unica maneira da equacao 85 ser satisfeita e:

µe + µp − µn = 0. (86)

Para um gas livre composto de neutrons, protons e eletrons a T = 0, o sistema

pode ser entendido como um gas degenerado, onde a energia e o potencial quımico sao

iguais, ou seja,

µi = εfi =√k2fi +mi, (87)

onde:

ni =γ

6π2k3fi. (88)

29

Substituindo o valor de kfi na equacao 86, e esta na equacao 85, e sabendo que nb

e a densidade de barions, tem-se:µp =

√(ne

6π2

γ)2/3 +m2

p,

µn =√

[(nb − ne)6π2

γ]2/3 +m2

n,

µe =√

(ne6π2

γ)2/3 +m2

e,

(89)

onde np = ne e nn = nb − np = nb − ne. Sendo nb a densidade de barions. Pode-se criar

uma funcao, tal que:

f =

√(ne

6π2

γ)2/3 +m2

p +

√[(nb − ne)

6π2

γ]2/3 +m2

n −

√(ne

6π2

γ)2/3 +m2

e = 0. (90)

A partir dessa funcao, para diferentes valores para nb foram encontradas as populacoes

de protons, eletrons e neutrons, como consta na figura 4. Os valores nao sao constantes,

a populacao de eletrons (que e a mesma de protons) e minimamente crescente, enquanto

a de neutrons decresce.

30

Figura 4 - Grafico Equilıbrio Beta, mostra as populacoes de partıculas para esse

modelo dentro de uma Estrela de Neutrons.


2.2 Equacao de Tolman-Oppheimer-Volkoff (TOV)

Pela equacao TOV e possıvel obter o perfil de uma Estrela de Neutrons. Para

obte-la, introduzirei os conceitos necessarios da relatividade geral para o entendimento do

processo. A deducao foi feita de acordo com a referencia Smith (2012).

A metrica e uma ferramenta geometrica que relaciona distancias no espaco-tempo,

onde a coordenada tempo esta incluıda. A metrica de Schwarschild para uma simetria no

espaco-tempo no vacuo nas coordenadas (t,r,θ,ϕ) e:

gµν =

−(1− 2GM

rc2)c2 0 0 0

0 (1− 2GMrc2

)−1 0 0

0 0 r2 0

0 0 0 r2 sin2 θ

. (91)

O intervalo do espaco-tempo para medidas de distancias infinitesimais e definido

31

como:

dS2 = gabdxadxb, (92)

onde para a 6= b, os elementos da metrica sao nulos, ou seja,

dS2 = −(1− 2GM

rc2)c2dr2 + (1− 2GM

rc2)−1dr2 + r2dθ2 + r2 sin2 θdϕ2. (93)

A partir da equacao 91, pode-se notar que a assinatura da metrica (-+++) e

assimetrica se relacionar o tempo com o espaco, o que ajuda a explicar a presenca da forca

gravitacional no espaco-tempo curvo. A geometria e essencial para que sejam definidos os

campos vetoriais em cada ponto e o transporte paralelo de vetores de pontos perto para

estabelecer uma nocao generalizada da derivada. A derivada covariante ∇, e definida

como:

∇cTab = ∂cT

ab + ΓaecT

eb − ΓebcT

ae , (94)

onde T e um tensor e Γ o sımbolo de Christoffel. A definicao deste ultimo e dada por:

Γabc =1

2gad(∂bgcd + ∂cgbd − ∂dgbc). (95)

Estes sımbolos sao usados para construir os tensores de Riemann (R), que sao uma

medida da curvatura:

Rab = ∂cΓcab − ∂bΓcac + ΓcdcΓ

dab − ΓcdaΓ

dcb. (96)

O escalar de Ricci e definido da seguinte forma:

R = gabRab. (97)

Essa construcao mostra a presenca da geometria do espaco-tempo, enquanto o

tensor de energia-momento T descreve a materia e a energia presente no Universo. A

simetria do tensor de Einstein(G) satisfaz propriedades especiais. O tensor G e definido

como:

Gab ≡ Rab −1

2gabR =

8πG

c4Tab. (98)

De acordo com o Teorema de Birkhoff’s a solucao de Schwrzchild e a descricao

mais geral de uma estrela esfericamente simetrica e sem rotacao. Entao, dentro de uma

estrela devem-se considerar uma metrica geral para descrever uma densidade estatica e

um perfil de pressao.

32

A equacao 93 pode ser reescrita com uma nova funcao, e2Φ(r), apenas para facilitar

os calculos, obtendo

dS2 = −e2Φ(r)dt2 + (1− 2m(r)

r)−1dr2 + r2(dθ2 + sin2 dφ2). (99)

Considerando um fluıdo perfeito, com energia total ε, pressao isotropica P , metrica

gµν , o quadrivetor velocidade uµ = ( dtdτ, drdτ, dθdτ

), dφdτ

= γ(1, ~v). O tensor energia-momento

para essa costrucao e descrito como:

T µν = (ε+ P )uµoν + Pgµν (100)

Calculando os sımbolos de Christoffel (equacao 95) a partir dos elementos da

metrica nao nulos (equacao 91), chega-se a

Γttr = Φ′,

Γrtt = Φ′e2φ(1− 2mr

),

Γrrr = rm′−mr2−2rm

,

Γθrθ = Γφrφ = 1r,

Γrθθ = csc2 θ,

Γrφφ = 2m− r,

Γθφφ = − csc2 θ,

Γφθφ = − sin θ cos θ,

(101)

onde f ′ = dfdr

. Pela equacao 96, para os tensores de Riemann, obtem-seRtt = e2Φ[(Φ′′ + Φ′2)(1− 2m

r) + Φ′(2r−3m−rm′

r2)],

Rrr = (1− 2mr

)−1[ (rm′−m)(2+rΦ′)r3

]− Φ′′ − Φ′2,

Rθθ = csc2 θRφφ = (2m− r)Φ′ +m′ + mr.

(102)

Pela equacao 97 para o escalar de Ricci, tem-se

R = gµνRµν = 2[2m′

r2+ Φ′(3m− 2r + rm′)− (1− 2m

r)(Φ′′ + Φ′2)]. (103)

A equacao de Einstein para c e G iguais a 1 e Gµν ≡ Rµν − gµνR/2 = 8πTµν , onde

os tensores de energia-momento, com os valoresTtt = εe2Φ,

Trr = (1− 2mr

)−1P.(104)

33

Com a definicao de tensores de Einstein e os valores dos tensores de energia-

momento, obtem-se

Gtt =2m′e2Φ

r2= 8πεe2Φ, Grr =

2

r(Φ′ − m

1− 2mr

) =8πP

1− 2m/r. (105)

Chegando as equacoes:m′ = 4πr2ε,

Φ′ = m+4πr3Pr(r−2m)

.(106)

Pela conservacao de energia, pode-se provar que o divergente do tensor energia-

momento e nulo, entao, a componente radial e tudo que se necessita. Pela equacao 94:

0 = ∇νTrν =

∂T rν

∂xnu+ T σνΓrσν + T rσΓnuσν (107)

=∂T rr

∂r+ T ttΓrtt + T rrΓrrr + T θθΓrθθ + T φφΓrφφ + T rrΓνrν (108)

= (1− 2m/r)[P ′ + (P + ε)Φ′]. (109)

E possıvel obter entao o valor para a relacao entre Φ′ e P ′, ou seja,

P ′ = −(ε+ P )Φ′. (110)

Substituindo a equacao na para Φ′ em 93, obtem-se as equacoes Tolman-Oppheimer-

Volkoff (TOV) em coordenadas geometricas:dmdr

= 4πr2ε,

dPdr

= −(ε+ P )m+4πr3Pr(r−2m)

.(111)

2.3 Resolucao numerica das equacoes Tolman-Oppheimer-Volkoff (TOV)

2.3.1 Metodo de Runge-Kutta de ordem 4

Cada metodo de Runge-Kutta consiste em comparar um polinomio de Taylor apro-

priado para eliminar o calculo das derivadas, fazendo-se varias avaliacoes da funcao passo

a passo.(VALLE, 2012)

Sendo a equacao diferencial geral na forma:

d~x

dt= ~f(~x(t), t), (112)

34

onde o vetor ~x(t) e a solucao desejada.

O metodo de Runge-Kutta de quarta ordem e definido como:

~x(t+ τ) = ~x(t) +1

6τ [ ~F1 + 2 ~F2 + 2 ~F3 + ~F4], (113)

onde as funcoes F1, F2, F3 e F4 sao definidas da seguinte forma

~F1 = ~f(~x(t), t),

~F2 = ~f(~x(t) + 12τ ~F1, t+ 1

2τ),

~F3 = ~f(~x(t) + 12τ ~F1, t+ 1

2τ),

~F4 = ~f(~x(t) + τ ~F1, t+ τ).

(114)

Com esse metodo foi possıvel resolver as equacoes Tolman-Oppheimer-Volkoff. As-

sim, conciliando a condicao de que a pressao no limite da estrela e nulo, foi feito um

programa que possibilitasse este processo de integracao, e retornasse o valor para massa,

raio, para uma dada densidade de energia central no momento em que a pressao fosse

nula, que consta no ANEXO D. A equacao de estado relativıstica foi obtida da referencia

Baym (1971).

O resultado para o perfil da pressao em relacao ao r e ilustrado na figura 5, onde a

densidade de energia central e ε0 = 1× 10−3fm−4. Para esta mesma estrela, foi obtida a

figura 6 com os dados da massa ao longo da estrela, sendo a massa maxima no seu limite

M = 1.98M�.

Dessa forma, foi possıvel tambem encontrar a relacao massa x raio para diferentes

estrelas com diferentes energias centrais, como consta na figura 7. Observa-se que este

ponto de maximo da funcao so existe no regime relativıstico.

35

Figura 5 - Grafico P × r. Comportamento da pressao de uma estrela em funcao de

seu raio. No raio da estrela a pressao e nula para uma densidade de

energia central ε0 = 1× 10−3fm−4


36

Figura 6 - Grafico m× r. Representa o valor da massa em unidades da massa solar

de acordo com o raio para uma estrela com densidade de energia central

ε0 = 1× 10−3fm−4. Mostra o valor maximo da massa e do raio de uma

estrela.


37

Figura 7 - m× r para uma EDE realıstica obtida a partir de calculos microscopicos.

Representa o comportamento da curva m× r para 50 estrelas(representadas pelos

pontos).


38

CONCLUSAO

O proposito do presente trabalho foi o estudo introdutorio da Astrofısica Nuclear,

analisando o perfil de Anas-Brancas e Estrelas de Neutrons a partir das referencias bi-

bliograficas, o que possibilitou a elaboracao de programas que permitissem uma analise

grafica das quantidades fısicas presentes para os modelos estelares.

No estudo das Anas-Brancas foram obtidos dois graficos. Para a equacao de Lane-

Emden, foi feita a figura 2 que mostra que o comportamento de dois politropicos, o

Γ = 4/3 e Γ = 5/3 sendo o ultimo uma representacao do perfil de uma Ana-Branca. Os

valores obtidos para ξ1 e ξ2 encontrados concordam com os da referencia Shapiro (2004),

os de ξ1 = 3.654 e ξ2 = 6.896. Ja a analise do comportamento da pressao e da densidade

de energia para os dois politropicos, atraves do estudo da EDE para um gas de Fermi

(figura 3), mostrou que a baixas densidades, a EDE tende a ter o perfil de um politropico

Γ = 5/3, enquanto que para altas densidade se modela a partir do perfil do politropico

Γ = 4/3, o que ja era esperado segundo a referencia Chiapparini (2011)

Para as Estrelas de Neutrons, foram obtidos dois graficos para o comportamento

individual da estrela, as figuras 5 e 6. O primeiro citado mostra o raio em Km de uma

estrela com densidade de energia inicial ε0 = 1×10−3fm−4, que corresponde e de 12.73Km,

enquanto que o segundo mostra a massa maxima que e de aproximadamente 2M�, e ambos

os valores estao de acordo com a referencia Chung (2000). Obteve-se, com base nestes

dados, a figura 7 que representa o comportamento de varias estrelas para a EDE da

referencia Baym (1971), e que esta de acordo com a mesma.

Dessa forma, todos os resultados presentes neste estudo tiveram um alto nıvel de

compatibilidade com a teoria, dando confianca a todos os metodos utilizados.

39

REFERENCIAS

BAYM, Gordon et al. The ground state of matter at high densities equation of state andstellar models. The Astrophysical Journal, 170: 299-317, Urbana, p. 20, 9 jun. 1971.

CASALI, Rudiney Hoffmann. Objetos Estelares Compactos Quentes e seus IndicesAdiabaticos. 2008. 61 f. Tese (Mestrado em Fısica) — UFSC, Florianopolis, 2008.

CHIAPPARINI, Marcelo. Notas de Aula de Mecanica Estatıstica. Rio de Janeiro:PPGF-IFADT-UERJ, 2011.

CHUNG, K.C. Vamos Falar de Estrelas? Rio de Janeirol: [s.n.], 2000.

CHURCHILL, Ruel V. Variaveis Complexas e Suas Aplicacoes. Curitiba: Mc Graw Hill,1975.

MESQUITA, Alexandre. Condensacao de Kaons em Estrelas de Neutrons. 2010. 244 f.Tese (Doutorado em Fısica) — UFRGS, Porto Alegre, 2010.

SHAPIRO, Teukolsky. Black Holes, White Dwarfs and Neutron Stars : Nuclear physics,particle physics and general relativity. New York: Wiley-VCH, 2004.

SMITH, Aaron. Tolman-oppeheimer-volkoff (tov) stars. Department of Astronomy, TheUniversity of Texas at Austin TX78712, Austin, p. 8, 4 dez. 2012.

VALLE, Karine Nayara F. Metodos Numericos de Euler e Runge-Kutta. 2012. 61 f. Tese(Especialista em Educacao Matematica) — UFMG, Florianopolis, 2012.

40

APENDICE A – Algorıtmo log(P )× log(u)

program pxe

!—————————————————————-

! Programa que tem como finalidade criar um grafico pressao x densidade de energia para

um gas de Fermi a T=0

! Silvia Pereira Nunes

! 07/11/2013

!—————————————————————-

implicit none

REAL*8 :: n ,& ! densidade do numero de particulas

P1 , & ! Pressao [dyn/cm2] para regime nao relativistico

P2 ,& ! Pressao [dyn/cm2]para regime ultra relativistico

P3 ,& ! Pressao [dyn/cm2]

ninf,nsup,dn ,&

phi ,&

psi ,&

u ,& ! Densidade de energia [erg/cm3]

x,b,c

INTEGER :: i

INTEGER, PARAMETER :: npontos=500

REAL*8, PARAMETER :: hc = 3.16E-23 ,& ! [dyn.cm2] constante de planck dividido

por pi multiplicado pela velocidade da luz

g = 2.0 ,& ! degenerescencia do spin

mc2= 8.18E-19 ,& ! [dyn.cm] massa do eletron multiplicado pela velocidade da luz ao

quadrado

pi = 3.1415927 ,& ! valor de pi

a =(6.0*pi**2/g)**(1.0/3.0) ,& ! contante

lamb= hc/mc2

!—————————————————————-

open(unit=10, file=”dadospxe.txt”,status=”unknown”, action=”write”)

!–LEITURA DE DADOS PELO TECLADO

PRINT*,”Entre com o log(ninf) e log(nsup)”

READ*,c,b

ninf=exp(c)

nsup=exp(b)

!–PASSO

dn=(b-c)/(npontos-1)

41

!–REPETICAO

Do i=1,npontos

n=exp(log(ninf)+(i-1)*dn)

x=a*lamb*n**(1.0/3.0)

psi=x*(1+x**2)**(1.0/2.0)*(1+2*x**2)-log(x+(1+x**2)**(1.0/2.0))

phi=x*(1+x**2)**(1.0/2.0)*(2.0/3.0*x**2-1)+log(x+(1+x**2)**(1.0/2.0))

!–PRESSOES

P1=mc2*lamb**2*a**2*n**(5.0/3.0)/5

P2=mc2*lamb*a*n**(4.0/3.0)/4

P3=mc2*g*phi/((lamb**3)*16*pi**2)

!–DENSIDADE DE ENERGIA

u=mc2*(lamb)**(-3)*g*psi/(16*pi**2)

!–SAIDA DOS DADOS

write(unit=10,fmt=*)log(u),log(P1),log(P2),log(P3)

End do

Close(unit=10)

end program

42

APENDICE B – Algorıtmo de Lane-Emden

program iniciacao3

!———————————————————————–

! algoritmo de Lane Endem

! Silvia Pereira Nunes

! 19/10/2012

! Modificacoes : 23/07 24/07 01/07 02/07 2013

!———————————————————————– implicit none

REAL*8, dimension(3):: teta,ksi

REAL*8 :: h ,& ! gap

n ,& ! indice politropico

v ! primeira derivada de teta

!———————–ENTRADA DE VALORES PELO TECLADO—————-

print*,”Entre com o valor do indice politropico”

read*,n

print*,”Entre com o valor do passo”

read*,h

open(unit=10, file=”iniciacao3.dados”,status=”unknown”, action=”write”)

!—————————- CONDICOES INICIAIS ———————–

teta(1)=1

teta(2)=1

ksi(1)=0

ksi(2)=h

!———————————————————————–

write(unit=10,fmt=*)ksi(1),teta(1)


Do while (teta(3)¿=0)

teta(3)=(teta(1)*(h-ksi(2))+ksi(2)*(2*teta(2)-h**2*teta(2)**n))/(h+ksi(2))

ksi(3)=ksi(2)+h

If (teta(3)¿=0) then


ksi(2)=ksi(3)

teta(1)=teta(2)

teta(2)=teta(3)

end if

end do

close(unit=10)

43

end program

44

APENDICE C – Algorıtmo do Equilıbrio Beta

program densidade

!—————————————————————–

! Este programa tem como finalidade fazer um grafico entre a

! relacao ni/n e n, onde n e o numero barionico para uma mistura de n, p e e em equilıbrio

beta.

!—————————————————————–

!Silvia Pereira Nunes

!03/12/2013

!—————————————————————–

implicit none

real*8,parameter :: hcc=197.32 ,& !Valor em Mev para constante de planck*velocidade

da luz ao quadrado

me=0.511 ,& !Valor em Mev para a massa em repouso do eletron

mp=938.28 ,& !Valor em Mev para a massa em repouso do proton

mn=939.57 !Valor em Mev para a massa em repouso do neutron

!—————————————————————–

REAL*8, PARAMETER :: ni=1.d-4 ,& !Valor minimo para ro

nf=1.5d0 !Valor maximo para ro

REAL*8 :: dn,n,fg,nn,ne,np,TOL,zbrent,me1,mp1,mn1

INTEGER :: npontos=200 ,& !Numero de pontos

i !Contador

Common n,me1,mp1,mn1

external fg

!—————————————————————–

me1= me/hcc

mp1= me/hcc

mn1= me/hcc

TOL=1E-5

dn=(nf-ni)/(npontos-1)

open(unit=10,file=”dados.txt”,status=”unknown”,action=”write”)

Do i=1,npontos

n=ni+i*dn

ne=ZBRENT(fg,ni,n,TOL)

np=ne

nn=n-ne

write(unit=10,fmt=*)n-np,2*ne

45

End do

close(10)

End program

!——————————————————————-

double precision function fg(ne)

real*8 :: ne,k

real*8 ::n,me,mp,mn

Common n,me,mp,mn

k=9.570403647

fg=sqrt(((n-ne)**(2.0/3.0)*k)+mn**2)

-sqrt(((ne)**(2.0/3.0)*k)+mp**2)-sqrt(((ne)**(2.0/3.0)*k)+me**2)

return

end

!——————————————————————

FUNCTION zbrent(FUNC,X1,X2,TOL)

! Using Brent’s method, find the root of a function FUNC known to

! lie between X1 and X2. The root, returned as ZBRENT1, will be

! refined until its accuracy is TOL.

IMPLICIT DOUBLE PRECISION (A-H , O-Z)

PARAMETER (ITMAX=500,EPS=1.D-10)

A=X1

B=X2

FA=FUNC(A)

FB=FUNC(B)

IF(FB*FA.GT.0.D0) STOP ’Root must be bracketed for ZBRENT’

FC=FB

DO ITER=1,ITMAX

IF(FB*FC.GT.0.D0) THEN

C=A

FC=FA

D=B-A

E=D

END IF

IF(DABS(FC).LT.DABS(FB)) THEN

A=B

B=C

C=A

FA=FB

FB=FC

46

FC=FA

END IF

TOL1=2.D0*EPS*DABS(B)*.5D0*TOL

XM=.5D0*(C-B)

IF (DABS(XM).LE.TOL1.OR.FB.EQ.0.D0) THEN

ZBRENT=B

RETURN

END IF

IF (DABS(E).GE.TOL1.AND.DABS(FA).GT.DABS(FB))THEN

S=FB/FA

IF(A.EQ.C) THEN

P=2.D0*XM*S

Q=1.D0-S

ELSE

Q=FA/FC

R=FB/FC

P=S*(2.D0*XM*Q*(Q-R)-(B-A)*(R-1.D0))

Q=(Q-1.D0)*(R-1.D0)*(S-1.D0)

END IF

IF(P.GT.0.D0) Q=-Q

P=DABS(P)

IF(2.D0*P.LT.MIN(3.D0*XM*Q-DABS(TOL1*Q),DABS(E*Q)))THEN

E=D

D=P/Q

ELSE

D=XM

E=D

END IF

ELSE

D=XM

E=D

END IF

A=B

FA=FB

IF(DABS(D).GT.TOL1) THEN

B=B+D

ELSE

B=B+SIGN(TOL1,XM)

END IF

47

FB=FUNC(B)

END DO

PAUSE ’ZBRENT exceeding maximun iterations’

ZBRENT=B

RETURN

End

48

APENDICE D – Algorıtmo equacoes TOV

program mxr

!———————————————————————–

! programa para criar a curva massaxraio e pressaoxraio para uma estrela de

! neutrons a partir de uma equacao de estado pre estabelecida, usa o metodo de Runge-

Kutta de ordem 4.

!———————————————————————–

! Silvia Nunes 13-11-2014

!———————————————————————–

IMPLICIT NONE

REAL*8, DIMENSION(:), ALLOCATABLE :: p,e ! pressao e densidade de energia

REAL*8 :: r,r mxr ,& ! raio da estrela em Km

dr ,& ! elemento de raio

em Km e zero,e min,e max,de,e0 ,& ! densidade de energia central em Km−2

m,m mxr ,& ! massa da estrela em Km

p zero ,& ! pressao central em Km−2

pfun ,& ! pressao obtida do runge-kutta

mfun ! massa obtida do runge-kutta

INTEGER :: i,a ,& ! contador

n,npontos ! quantidade de valores do arquivo de dados

!———————————————————————–

OPEN(UNIT=10,FILE=”cond iniciais2.txt”,STATUS=”old”,ACTION=”read”)

READ(UNIT=10,FMT=*)n ! valores de arquivod de dados

READ(UNIT=10,FMT=*)e min ! energia inicial

READ(UNIT=10,FMT=*)e max

READ(UNIT=10,FMT=*)npontos

READ(UNIT=10,FMT=*)dr !

CLOSE(UNIT=10)

!———————Condicoes iniciais fixas————————–

ALLOCATE(p(n),e(n))

!———————Leitura de dados do arquivo———————–

OPEN(UNIT=20,FILE=”tov4.dat”,STATUS=”old”,ACTION=”read”)

DO i=1,n

READ(UNIT=20,FMT=*)e(i),p(i)

END DO

CLOSE(UNIT=20)

!———————————————————————–

49

de=(e max-e min)/(npontos-1)

e zero=e min

OPEN(UNIT=30,FILE=”dados mxr.txt”,STATUS=”unknown”,ACTION=”write”)

DO WHILE (e zero¡=e max)

m=0.0

r=0.0

CALL pressao(n,e,p,e zero,p zero)

r=dr

e0=e zero

DO WHILE (p zero¿=p(1))

m mxr=m

r mxr=r-dr

CALL runge kutta(n,e zero,p zero,r,dr,m,e,p,pfun,mfun,a)

IF (a==0) THEN

r=r+dr

p zero=pfun

m=mfun

CALL energia(n,p zero,p,e,e zero,a)

ELSE

GOTO 15

END IF

END DO

15 e zero=e0+de

WRITE(UNIT=30,FMT=*)m mxr,r mxr,e0

END DO

DEALLOCATE(e,p)

CLOSE(UNIT=30)

END PROGRAM

!=======================================================================

!=============================SUBROTINAS================================

!=======================================================================

!————————achar p a partir de e————————–

SUBROUTINE pressao(n,e,p,e zero,p zero)

REAL*8, DIMENSION (n), INTENT(IN) :: p,e

REAL*8, INTENT(IN) :: e zero

REAL*8, INTENT(OUT) :: p zero

INTEGER, INTENT(IN) :: n

INTEGER :: i

DO i=1,n

50

IF (e(i)¡=e zero.AND.e zero¡=e(i+1)) THEN

p zero=(p(i+1)-p(i))/(e(i+1)-e(i))*(e zero-e(i))+p(i)

ELSE IF (e zero¡e(1)) THEN

print*, ”erro limite densidade”

GOTO 21

ELSE

GOTO 11

11 END IF

21 END DO

END SUBROUTINE

!————————–achar e a partir de p————————

SUBROUTINE energia(n,p0,p,e,e0,a)

REAL*8, INTENT(IN) :: p0

REAL*8, DIMENSION(n), INTENT(IN) :: p,e

INTEGER*8 :: i


INTEGER, INTENT(OUT) :: a

REAL*8, INTENT(OUT) :: e0

DO i=1,n

IF (p(i)¡=p0.AND.p0¡=p(i+1)) THEN

e0=(e(i+1)-e(i))/(p(i+1)-p(i))*(p0-p(i))+e(i)

a=0

ELSE IF(p0¡p(1)) THEN

a=1

GOTO 20

ELSE

GOTO 10

10 END IF

END DO

20 END SUBROUTINE

!————————-subrotina runge-kutta de ordem 4————–

SUBROUTINE rung kutta(n,e zero,p zero,r,dr,m,e,p,pfun,mfun,a)

REAL*8, INTENT(IN):: e zero ,& ! energia do programa

p zero ,& ! pressao do programa

r,dr ,& ! raio em Km

m ! massa em Km


REAL*8, DIMENSION(n), INTENT(IN)::e,p

REAL*8, INTENT(OUT) :: pfun,mfun

51

INTEGER, INTENT(OUT) :: a

REAL*8 :: fm1,fm2,fm3,fm4 ,&

fp1,fp2,fp3,fp4 ,&

dp dr,dm dr ,& ! funcoes TOV

p1,m1,r1 ,&

p2,m2,r2,e2

p1=p zero

m1=m

r1=r

p2=p zero

m2=m

r2=r

e2=e zero

fp1=dp dr(p2,m2,r2,e2)

fm1=dm dr(p2,r2,e2)

p2=p1+dr*fp1/2.0

m2=m1+dr*fm1/2.0

r2=r1+dr/2.0

CALL energia(n,p2,p,e,e2,a)

IF (a==0) THEN


fm2=dm dr(p2,r2,e2)

p2=p1+dr*fp2/2.0

m2=m1+dr*fm2/2.0

r2=r1+dr/2.0


IF (a==0) THEN


fm3=dm dr(p2,r2,e2)

p2=p1+dr*fp3

m2=m1+dr*fm3

r2=r1+dr


IF (a==0) THEN


fm4=dm dr(p2,r2,e2)

ELSE

GOTO 16

END IF

52

ELSE

GOTO 16

END IF

ELSE

GOTO 16

END IF

pfun=p1+dr*(fp1+2.0*fp2+2.0*fp3+fp4)/6.0

mfun=m1+dr*(fm1+2.0*fm2+2.0*fm3+fm4)/6.0

16 END SUBROUTINE

!=======================================================================

!=========================FUNCOES=======================================

!=======================================================================

!—————————–FUNCAO dm/dr——————————

REAL*8 FUNCTION dm dr(p,r,e)

REAL*8, INTENT(IN) :: p,r,e

REAL*8, PARAMETER :: m sol=1.4766 ,& ! massa solar em Km

pi=3.1415

dm dr=4.0*pi*r**2.0*e/m sol

RETURN

END FUNCTION dm dr

!—————————–FUNCAO dp/dr——————————

REAL*8 FUNCTION dp dr(p,m,r,e)

REAL*8, INTENT(IN) :: p,r,m,e ! densidade de energia

REAL*8, PARAMETER :: m sol=1.4766 ,& ! massa solar em kg

pi=3.1415

IF (m==0.) then

dp dr=0.

Else

dp dr=-(e+p)*(4.0*pi*r**3.0*p+m*m sol)/(r**2.0*(1.0-2.0*m*m sol/r))

End if

RETURN

END FUNCTION dp dr

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