Modelos de risco coletivo para um periodo generico
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Introducao. Processo de Reservas e Ruına.Processos associados as indemnizacoes
Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de RuınaUm Modelo a Tempo Discreto
Primeira descida da reserva abaixo do nıvel inicialA Perda Agregada Maxima.
4. modelos de risco colectivo para um perıodogenerico
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Introducao. Processo de Reservas e Ruına.Processos associados as indemnizacoes
Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de RuınaUm Modelo a Tempo Discreto
Primeira descida da reserva abaixo do nıvel inicialA Perda Agregada Maxima.
1 Introducao. Processo de Reservas e Ruına.
2 Processos associados as indemnizacoes
3 Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ruına
4 Um Modelo a Tempo Discreto
5 Primeira descida da reserva abaixo do nıvel inicial
6 A Perda Agregada Maxima.
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Introducao. Processo de Reservas e Ruına.Processos associados as indemnizacoes
Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de RuınaUm Modelo a Tempo Discreto
Primeira descida da reserva abaixo do nıvel inicialA Perda Agregada Maxima.
Introducao. Processo de Reservas e Ruına.
Neste capıtulo abordaremos modelos matematicos que traduzem asvariacoes no montante de reserva (ou saldo) de uma seguradora aolongo de um perıodo de tempo alargado, genericamente [0, t[.
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Introducao. Processo de Reservas e Ruına.Processos associados as indemnizacoes
Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de RuınaUm Modelo a Tempo Discreto
Primeira descida da reserva abaixo do nıvel inicialA Perda Agregada Maxima.
Introducao. Processo de Reservas e Ruına.
Reserva
Seja U(t), para t ≥ 0, a Reserva associada a um risco dumaseguradora no instante t. Se denotarmos a reserva inicial porU(0), fruto eventualmente de operacoes passadas, e se supusermosque o premio P(t) e continuamente recebido em (0, t), a umataxa c > 0, P(t) = ct (supondo deduzidos de encargosadministrativos e de gestao), entao
U(t) = u + P(t)− S(t) = u + ct − S(t),
onde S(t) denota o processo das indemnizacoes agregadasocorridas em (0, t] relativas o risco considerado.
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Introducao. Processo de Reservas e Ruına.Processos associados as indemnizacoes
Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de RuınaUm Modelo a Tempo Discreto
Primeira descida da reserva abaixo do nıvel inicialA Perda Agregada Maxima.
Introducao. Processo de Reservas e Ruına.
Neste modelo sao ignorados factores como o rendimentoproveniente de investimentos, juros e outros factores para alem dasindemnizacoes e a parte dos premios apos a deducao das despesasde caracter administrativo. Estamos, assim, perante o quedesginamos por
Processo de Reservas ouProcesso de Risco
em tempo contınuo
{U(t), t ≥ 0}.
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Introducao. Processo de Reservas e Ruına.Processos associados as indemnizacoes
Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de RuınaUm Modelo a Tempo Discreto
Primeira descida da reserva abaixo do nıvel inicialA Perda Agregada Maxima.
Introducao. Processo de Reservas e Ruına.
Figura: Realizacao tıpica do Processo de Risco em tempo contınuo, U(t).
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Introducao. Processo de Reservas e Ruına.Processos associados as indemnizacoes
Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de RuınaUm Modelo a Tempo Discreto
Primeira descida da reserva abaixo do nıvel inicialA Perda Agregada Maxima.
Introducao. Processo de Reservas e Ruına.
Um dos problemas de grande aplicabilidade e constituindo area deestudo em Teoria do Risco e a analise da probabilidade de ruına,conceito intimamente ligado ao processo de reservas.Defina-se instante de ruına como
instante de ruına
T = min{t : t > 0 e U(t) < 0},
com a convencao de que T =∞ e equivalente a U(t) ≥ 0 paratodo o t > 0, o que significa ausencia de ruına para qualquerinstante t (nao ocorre ruına).
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Introducao. Processo de Reservas e Ruına.Processos associados as indemnizacoes
Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de RuınaUm Modelo a Tempo Discreto
Primeira descida da reserva abaixo do nıvel inicialA Perda Agregada Maxima.
Introducao. Processo de Reservas e Ruına.
Define-se probabilidade de ruına em horizonte infinito como
probabilidade de ruına em horizonte infinito
ψ(u) = P[T <∞],
funcao da reserva inicial u, a que corresponde a reserva negativano instante de ruına, U(T).Nas aplicacoes praticas as seguradoras estao interessadas noestudo da ruına apenas num perıodo longo mas finito.
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Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de RuınaUm Modelo a Tempo Discreto
Primeira descida da reserva abaixo do nıvel inicialA Perda Agregada Maxima.
Introducao. Processo de Reservas e Ruına.
Define-se probabilidade de ruına em horizonte finito como
probabilidade de ruına em horizonte finito
ψ(u, t) = P[T < t],
ou seja, probabilidade de ruına anterior ao instante t.
Iremos considerar apenas o estudo de ψ(u), que e um limitesuperior de ψ(u, t), ja que e matematicamente mais tratavel.
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Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de RuınaUm Modelo a Tempo Discreto
Primeira descida da reserva abaixo do nıvel inicialA Perda Agregada Maxima.
Processos associados as indemnizacoes
Faremos uma breve referencia ao modelo que se obtemgeneralizando o modelo estudado anteriormente, para um perıodogenerico, (0, t].O modelo de risco assenta em dois processos aleatorios:
o processo do numero de indemnizacoes {N(t), t ≥ 0};o processo das indemnizacoes agregadas {S(t), t ≥ 0};
Para uma certa carteira de apolices, seja:
N(t) o numero de sinistros que ocorrem ate ao instante t; acontagem e iniciada em t = 0, sendo N(0) = 0;
S(t) as indemnizacoes agregadas referentes ao mesmoperıodo (0, t].
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Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de RuınaUm Modelo a Tempo Discreto
Primeira descida da reserva abaixo do nıvel inicialA Perda Agregada Maxima.
Processos associados as indemnizacoes
continuaremos a denotar por Xi o montante da i−esimaindemnizacao. Entao,
S(t) =
N(t)∑i=1
Xi .
Estamos, portanto, interessados em estudar as distribuicoes paratodos os t ≥ 0, ao contrario do que sucedeu no capıtulo anterior,em que estavamos interessados em estudar a distribuicao da somaapenas para um perıodo de tempo fixado a partida. No que sesegue consideraremos:
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Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de RuınaUm Modelo a Tempo Discreto
Primeira descida da reserva abaixo do nıvel inicialA Perda Agregada Maxima.
Processos associados as indemnizacoes
para t ≥ 0 e h > 0,
N(t + h)− N(t)→ numero de sinistros que ocorrem entre osinstantes t e t + h;
S(t + h)− S(t)→ indemnizacoes agregadas entre osinstantes t e t + h;
Xi designa o montante da i−esima indemnizacao e Ti
refere-se ao instante do i−esimo sinistro, pelo queT1,T2,T3, . . . sao v.a.’s verificando-se, obviamente,
T1 ≤ T2 ≤ T3 ≤ . . . ;
Wi := Ti − Ti−1, i ≥ 1→ tempo de espera entre sinistrossucessivos, a partir de W1 := T1.
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Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de RuınaUm Modelo a Tempo Discreto
Primeira descida da reserva abaixo do nıvel inicialA Perda Agregada Maxima.
Processos associados as indemnizacoes
Note-se que:
Tanto N(t) como S(t) sao funcoes “em escada”ou de “patamares”;
Os dois processos apresentam descontinuidades para os mesmosinstantes Ti , i = 1, 2, . . ., em que ocorrem os sinistros;
A “altura dos degraus”para o processo do numero de indemnizacoesN(t) e sempre igual a 1, uma vez que nao sao admitidas ocorrenciassimultaneas de sinistros no modelo considerado (na pratica, se talsuceder, considera-se a ocorrencia de apenas um senistro noinstante Ti correspondente a agregacao dos sinistros ocorridos).
Quanto ao processo das indemnizacoes agregadas, S(t), adescontinuidade em Ti atinge uma magnitude igual a indemnizacaoocorrida, Xi .
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Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de RuınaUm Modelo a Tempo Discreto
Primeira descida da reserva abaixo do nıvel inicialA Perda Agregada Maxima.
Processos associados as indemnizacoes
Os graficos seguintes exemplificam a situacao tıpica para aquelesdois processos.
Figura: Realizacao tıpica do processo do numero de sinistros, N(t).
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Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de RuınaUm Modelo a Tempo Discreto
Primeira descida da reserva abaixo do nıvel inicialA Perda Agregada Maxima.
Processos associados as indemnizacoes
Figura: Realizacao tıpica do processo das indemnizacoes agregadas, S(t).
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Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de RuınaUm Modelo a Tempo Discreto
Primeira descida da reserva abaixo do nıvel inicialA Perda Agregada Maxima.
Processos associados as indemnizacoes
Metodos para definir o processo de contagem de sinistros
1 Metodo global:Para t ≥ 0 e h > 0, especifica-se a distribuicao deN(t + h)− N(t). Esta distribuicao podera dependerde N(s) para s ≤ t.
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Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de RuınaUm Modelo a Tempo Discreto
Primeira descida da reserva abaixo do nıvel inicialA Perda Agregada Maxima.
Processos associados as indemnizacoes
2 Metodo infinitesimal:Especifica-se a probabilidade de ocorrencia de umsinistro no intevalo infinitesimal entre t e t + dt, i.e.,P[N(t + dt)− N(t) = 1], considerada proporcional aamplitude do intervalo, dt, podendo tambemdepender de N(s) para s ≤ t.No caso do processo de Poisson homogeneo, e iguala λdt + o(dt). Este metodo e restringido aos casosem que
limdt→0
P[N(t + dt)− N(t) > 1]
dt= 0 (=
o(dt)
dt).
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Processos associados as indemnizacoes
3 Metodo discreto ou do tempo de espera:Especifica-se a distribuicao conjunta dos tempos deespera
W1,W2,W3, . . .
ou, equivalentemente, dos instantes de sinistro
T1,T2,T3, . . .
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Primeira descida da reserva abaixo do nıvel inicialA Perda Agregada Maxima.
Processos associados as indemnizacoes
Iremos ilustrar estes metodos para um caso no ramo Vida ,aproveitando para dar a conhecer ou relacionar conceitos emCalculo Actuarial.
exemplo: tempos de vida
Considerem-se n indivıduos com idade x no instante 0. Sejam
N(t) :=“No de mortes ocorridas ate ao instante t”
Ti :=“instante em que ocorre a i−esima morte”,(i = 1, 2, . . . , n)
e assuma-se a independencia dos tempos de vida.Pretende-se especificar o processo {N(t), t ≥ 0}.
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Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de RuınaUm Modelo a Tempo Discreto
Primeira descida da reserva abaixo do nıvel inicialA Perda Agregada Maxima.
Processos associados as indemnizacoes
Resolucao:Considere-se a seguinte notacao, tradicional em matematicaactuarial:
y px := P[sobrevivencia de um indivıduo de idade x ate a idadede x + y ]
y qx := 1−y px = P[morte de um indivıduo de idade x antesda idade de x + y ]
Vamos esquematizar como definir oprocesso de contagem utilizando cada um dos metodos referidos.
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Primeira descida da reserva abaixo do nıvel inicialA Perda Agregada Maxima.
Processos associados as indemnizacoes
1. usando o metodo global:
a distribuicao de N(t + h)− N(t), dado N(t) = i , parai = 0, 1, . . . , n − 1, e Binomial, i.e.,N(t + h)− N(t)|N(t) = i _ Binomial(n − i ,h qx+t).
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Realmente,
P[N(t + h)− N(t) = k |N(t) = i ] =
= P[ morrerem k indivıduos dos n − i existentes no intervalo(x + t, x + t + h)=(n−i
k
)(hqx+t)k (1−h qx+t)n−i−k , k = 0, 1, . . . , n − i
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2. usando o metodo infinitesimal:
Iremos caracterizar P[N(t + dt)− N(t) = 1|N(t) = i ], parai = 0, 1, . . . , n.
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Processos associados as indemnizacoes
Consideremos a seguinte notacao:µx+t :=taxa de mortalidade para um indivıduo de idade x + t,significando que
P[um indivıduo de idade x + t morrer num intervalo infinitesimal
(t, t + dt)] = µx+tdt
Logo,
P[N(t+dt)−N(t) = 1|N(t) = i ] = (n−i)µx+tdt, para i = 0, 1, ..., n,
ja pode ser tratado como um caso particular do metodo 1 comk → 1 e hqx+t → µx+tdt.
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3. usando o metodo dos tempos de espera:
Iremos caracterizar P[Ti+1 > s + t|Ti = s], para i = 1, 2, ..., n.Realmente,
P[Ti+1 > s + t|Ti = s] = P[Wi+1 > t]
= P[N(s + t)− N(s) = 0|N(s) = i ]
= (1−t qx+s)n−i ,
para i = 1, 2, ..., n.
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Processos associados as indemnizacoes
Caracterısticas do processo de Poisson
Tal como no exemplo precedente, o Processo de Poisson pode serdefinido por uma desta vias:
1. metodo global:
O numero de ocorrencias (sinistros ou indemnizacoes) em qualquerintervalo de amplitude h tem distribuicao de Poisson de parametroλh, independentemente da localizacao desse intervalo e da historiapassada do processo.formalizando,
P[N(t + h)− N(t) = k|N(s), ∀s≤t ] =e−λh(λh)k
k!,
k = 0, 1, 2, ...,∀t≥0.
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Processos associados as indemnizacoes
Propriedades:
O processo de Poisson tem incrementos independentes, i.e.,
Se (t1, t1 + h1); (t2, t2 + h2); ...; (tn, tn + hn) sao disjuntos,
entao
N(t1 + h1)−N(t1); N(t2 + h2)−N(t2); ...; N(tn + hn)−N(tn)
sao v.a.’s independentes.
O processo de Poisson tem incrementos estacionarios, ja que
N(ti + hi )− N(ti ) _ P(λhi )
nao dependendo, portanto, de ti .
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Processos associados as indemnizacoes
2. metodo infinitesimal:
Fazendo k = 1, vem:
P[N(t + h)− N(t) = 1|N(s),∀s≤t ] = e−λhλh, ∀t ≥ 0,
pelo que fazendo h→ dt
P[N(t + dt)− N(t) = 1|N(s),∀s≤t ] = λdt, ∀t ≥ 0.
A probabilidade de 1 ocorrencia (sinistro) num intervalo deamplitude dt e λdt, e e independente da localizacao do intervalo eda historia passada do processo.
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Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de RuınaUm Modelo a Tempo Discreto
Primeira descida da reserva abaixo do nıvel inicialA Perda Agregada Maxima.
Processos associados as indemnizacoes
3. metodo dos tempos de espera:
P[Wi+1 > h|Ti = t,N(s)∀s≤t ]
= P[N(t + h)− N(t) = 0|Ti = t,N(s)∀s≤t ]
= e−λh
pelo queP[Wi+1 ≤ h] = 1− e−λh, h > 0,
i.i, Wi+1 tem distribuicao exponencial de parametro λ e eindependente de Wi ,Wi−1, ...,W2,W1.Entao a definicao, segundo este metodo, pode ser formalizada:Se W1,W2, ... sao v.a.’s mutuamente independentes eexponenciais de parametro λ, entao {N(t), t ≤ 0} e Processode Poisson homogeneo de parametro λ.
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Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de RuınaUm Modelo a Tempo Discreto
Primeira descida da reserva abaixo do nıvel inicialA Perda Agregada Maxima.
Processos associados as indemnizacoes
Doravante, sempre que nao seja explicitado algo em contrario,suporemos que as indemnizacoes agregadas relativas a umdeterminado risco de uma companhia sao modeladas por:
S(t) =∑N(t)
i=1 Xi
Xi i.i.d. a X com f.d. FX (.)
N(t) processo de Poisson homogeneo
Xi independentes de {N(t), t ≤ 0}
{S(t), t ≤ 0} constitui um Processo de Poisson Composto:
S(t) _ PPC (λt,FX )
Modelo de Cramer-Lundberg
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Introducao. Processo de Reservas e Ruına.Processos associados as indemnizacoes
Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de RuınaUm Modelo a Tempo Discreto
Primeira descida da reserva abaixo do nıvel inicialA Perda Agregada Maxima.
Processos associados as indemnizacoes
Observacao:
Se as indemnizacoes constituırem um Processo de PoissonComposto, entao sao validos os resultados analogos aos docapıtulo anterior, com os ajustamentos obvios para o intervalo(0, t), i.e., λ e substituıdo por λt.Tem-se, por exemplo, que a f.d. associada a S(t) e
FS(t)(x) := P[S(t) ≤ x ] =
∞∑n=0
F ∗nX (x)P[N(t) = n] =∞∑
n=0
F ∗nX (x)e−λt(λt)n
n!, x ≥ 0,
E [S(t)] = λtp1, Var [S(t)] = λtp2 e
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Introducao. Processo de Reservas e Ruına.Processos associados as indemnizacoes
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MS (r) = MN(t)(log MX (r)), geralmente,
= exp{λt(MX (r)− 1)},
uma vez que se N(t) e Processo de Poisson, entao
MN(t)(r) = exp{λt(er − 1)}
O facto de o Processo de Indemnizacoes Agregadas constituir umProcesso de Poisson Composto arrasta um certo numero depropriedades, nomeadamente:
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1. distribuicao das indemnizacoes agregadas
as indemnizacoes agregadas em (t, t + h, para t ≥ 0 e h > 0, temdistribuicao
P[S(t + h)− S(t) ≤ x ] =∞∑
k=0
e−λh(λh)k
k!F ∗kX (x)
2. probabilidade num intervalo infinitesimal de amplitude dt
Num intervalo infinitesimal de amplitude dt, existe um sinistrocom probabilidade λdt e correspondente montante deindemnizacao com distribuicao FX , ou nao existe sinistro, comprobabilidade 1− λdt.
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3. ocorrencia do proximo sinistro
Em qualquer instante h, a probabilidade de que o proximo sinistroocorra entre os instantes h + t e h + t + dt e que o montante deindemnizacao correspondente nao exceda x e dada por
e−λt(λdt)FX (x)
O tempo entre sinistros consecutivos e uma exponencial deparametro λ.
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Por outro lado, as propriedades do processo N(t) sao“transportadas”para S(t): Assim,
{S(t), t ≥ 0} tem incrementos independentes e estacionarios,i.e., com
(t1, t1 + h1); (t2, t2 + h2); . . . ; (tn, tn + hn) intervalos disjuntos,
S(t1 + h1)− S(t1); S(t2 + h2)− S(t2); . . . S(tn + hn)− S(tn)sao v.a.’s independentes.
a distribuicao de S(ti + hi )− S(ti ) nao depende de ti e so dehi .
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Ou em termos das indemnizacoes agregadas:
As indemnizacoes agregadas para intervalos de tempodisjuntos sao v.a.’s independentes.
A distribuicao das indemnizacoes agregadas para determinadoperıodo de tempo depende so da sua duracao e nao darespectiva localizacao no tempo.
O modelo que temos vindo a abordar e designado por
Modelo a tempo contınuo,
em oposicao a uma versao analoga alternativa que toma adesignacao de
Modelo a tempo discreto.
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Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ruına
Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ruına
O processo das reservas de risco {U(t), t ≥ 0}, com
U(t) = u + ct − S(t), U(0) = u,
pode ser estudado atraves da sua relacao com o processo dasindemnizacoes agregadas
{S(t), t ≥ 0}.
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Relativamente a probabilidade de ruına, ψ(u), vamos apresentar:
os limite superior e inferior para ψ(u), em geral;
a forma explıcita de ψ(u), para o caso de indemnizacoesindividuais exponenciais.
Salvo indicacao explıcita em contrario, iremos supor verificadas asseguintes hipoteses:
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1.
Supoe-se que a taxa c de premio excede as indemnizacoesesperadas por perıodo, i.e.,
c > λp1
e define-se um coeficiente de seguranca positivo, θ, tal que
c = (1 + θ)λp1,
(princıpio do valor medio para o calculo do premio)
Observacao:Se c ≤ λp1 entao ψ(u) = 1 (Ruına Certa!);i.e., se θ → 0 ou θ < 0 =⇒ ψ(u) = 1, como veremos maistarde.
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2.
Considera-se (−∞, γ) o maior intervalo onde existe a f.g.m.MX (r), γ > 0.
Exemplos:
1 X _ Exp(β), i.e., com f.d. FX (x) = 1− e−βx , x > 0. Entao,
MX (r) =β
β − r, r < β e, portanto, γ = β.
2 X com suporte limitado. Entao,
MX (r) existe para todo o r e, portanto, γ = +∞.
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3.
Considera-se ainda que
limr→γ
MX (r) =∞.
Apresentamos de seguida a definicao de Coeficiente deAjustamento para o caso que estamos a tratar, de asindemnizacoes agregadas formarem um Processo de PoissonComposto,
S(t) _ PPC(λt,FX ).
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Definicao:
Coeficiente de Ajustamento
O Coeficiente de Ajustamento define-se como a unica raız positivar = R da equacao
λ+ cr = λMX (r), r < γ
ou, equivalentemente, usando o facto de c = (1 + θ)λp1
1 + (1 + θ)p1r = MX (r), r < γ
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Observacao:
Estabeleca a equacao anterior no caso particular de ser utilizado oprincıpio da variancia.
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Vejamos por que razao a equacao 1 + (1 + θ)p1r = MX (r) temapenas uma raız positiva:
Ambas as funcoes do grafico, correspondentes aos 2 membrosda equacao, passam pelo ponto (0, 1) (solucao trivial);
MX (r) e crescente e convexa ja que
M ′X (r) = E [XerX ] > 0 M ′′X (r) = E [X 2erX ] > 0;
O declive da recta e (1 + θ)p1 e o declive da tangente a curvaMX (r) em r = 0 e M ′X (0) = p1.
Ora, (1 + θ)p1 > p1, ja que θ > 0.O grafico e representativo da situacao em causa, verificando-se quea recta e a curva so se cruzam uma unica vez para um valor der ≡ R estritamente positivo.
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Observacao:
1 Em geral, R ≡ R(θ) e crescente com θ.
2 A designacao de ”Ajustamento”para este coeficiente nao eainda clara nesta fase de apresentacao dos conceitos, maspoderemos desde ja adiantar que R esta relacionado com aprobabilidade de ruına ψ(u), o que vira a justificar adesignacao utilizada para R.
Exemplo:
Determinar o Coeficiente de Ajustamento, R, para o caso em queas indemnizacoes individuais sao exponenciais, i.e.,
X _ Exp(β), com f.d. FX (x) = 1− e−βx , x > 0.
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Resolucao:Tem-se MX (r) = β
β−r , r < β; assim p1 = M ′X (0) = E [X ] = 1β .
Consequentemente,
1 + (1 + θ)p1r = MX (r)
e equivalente a
1 + (1 + θ)r
β=
β
β − r
ou ainda(1 + θ)r 2 − θβr = 0
com solucoes: r = 0 (solucao trivial) e R =θβ
1 + θ(Coeficiente de
Ajustamento )
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A equacao1 + (1 + θ)p1r = MX (r)
nem sempre pode ser resolvida de forma explıcita, pelo que osmetodos numericos de resolucao de equacoes sao utilizados.Uma sugestao e a utilizacao do
metodo da bisseccao
partindo do intervalo inicial de localizacao da raız (0, 2θp1/p2)(exercıcio teorico-pratico).
Tal e a situacao do exemplo seguinte, em que somos conduzidos auma equacao transcendente.
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Exemplo:
Calcular R se todas as indemnizacoes individuais tem montante 1;i.e., X ≡ 1 (X degenerada em 1).
Resolucao parcial:p1 = E [X ] = 1 e MX (r) = E [er ] = er pelo que haveria necessidadede resolver iterativamente a equacao transcendente:
1 + (1 + θ)r = er .
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Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ruına
Pode-se mostrar o seguinte resultado (ver Bowers et al.,(1987)pg.368).
Relacao entre o coeficiente de ajustamento, R,e a probabilidade deruına, ψ(u)
Teorema:De acordo com as hipoteses simplificadoras do problemaformuladas anteriormente, para u ≥ 0,
ψ(u) =e−Ru
E[
e−RU(T )∣∣T <∞
]
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Comentarios:
1 Em geral nao e possıvel calcular o denominador de
ψ(u) =e−Ru
E[
e−RU(T )∣∣T <∞
] , salvo algumas excepcoes: por
exemplo, se u = 0 e se X e exponencial.
2 Este teorema e util para obtencao de desigualdades, de formaa obter limites inferior e superior para a probabilidade deruına, ψ(u).
3 Tal como ja tınhamos referido, e de notar que se verifica oseguinte:“se o coeficiente de seguranca que afecta o premio recebido
tende para 0 ou se e negativo, entao o processo de reservas derisco esta sujeito a ruına certa”;
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realmente,
θ → 0 =⇒ R → 0 =⇒ ψ(u) = 1 Ruına Certa!
Por outro lado, considere-se um outro coeficiente de segurancaθ1 < 0; entao como o processo de reservas e crescente comofuncao de θ (atente-se ao grafico de U(t) e ao declive dossegmentos de recta envolvidos), tem-se
U1(t) ≡ U1(t, θ1) < U2(t, θ2),
comθ2 positivo θ2 ↓ 0+ e para o qual ψ(u) = 1.
Logo,θ < 0 =⇒ ψ(u) = 1 Ruına Certa!
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Limites Superior e Inferior para a probabilidade de ruına, ψ(u)
De acordo com o ψ(u) =e−Ru
E[
e−RU(T )∣∣T <∞
] , verifica-se o
seguinte:
1 Comece-se por notar que supondo que existe ruına, noinstante de ruına o processo de reservas e negativo; i.e.,U(T ) < 0, dado T <∞; entao E
[e−RU(T )
∣∣T <∞]> 1 e,
consequentemente,
ψ(u) < e−Ru
2 Se X tem suporte limitado, de tal modo que FX (m) = 1, paraalgum m finito, entao iremos constatar que
ψ(u) > e−R(u+m)
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Realmente, supondo que existe ruına, a reserva no instante deruına e superior a −m, ja que a reserva era positiva antes daultima indemnizacao que produziu a ruına; i.e., U(T ) > −m, dadoT <∞;consequentemente, tem-se
e−RU(T ) < eRm =⇒ E[
e−RU(T )∣∣∣T <∞
]< eRm
e entaoψ(u) > e−Rue−Rm = e−R(u+m).
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Aproximacao para a probabilidade de ruına, ψ(u)
Alguns autores sugerem o uso da aproximacao
ψ(u) ∼= e−Ru,
se bem que este valor sobrevaloriza o verdadeiro valor de ψ(u), jaque corresponde realmente a um limite superior para aquelaprobabilidade.
No caso de severidade exponencial e possıvel calcular o valorexacto da probabilidade de ruına, como verificaremos no exemploque se segue.
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Exemplo:
Calcular ψ(u), para o caso de indemnizacoes particularesexponenciais de parametro β, i.e., para
X _ Exp(β), com f.d. FX (x) = 1− e−βx , x > 0.
Resolucao:Suponha-se que ocorre ruına para o instante T , sendo a reserva deU(T ). Comecemos por calcular o denominador de
ψ(u) =e−Ru
E[
e−RU(T )∣∣T <∞
] ,,
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Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ruına
E[
e−RU(T )∣∣∣T <∞
],
verificando em primeiro lugar que a v.a. referente ao “montantepelo qual se da a ruına, dado que esta ocorre”e uma exponencialcom parametro igual ao das indemnizacoes particulares.
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Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ruına
Para tal considere-se o seguinte:
u∗ – montante de reserva anteriora T .X – montante de indemnizacaoque causou a ruına.
Consequentemente,
X = u∗ − U(T ).
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Introducao. Processo de Reservas e Ruına.Processos associados as indemnizacoes
Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de RuınaUm Modelo a Tempo Discreto
Primeira descida da reserva abaixo do nıvel inicialA Perda Agregada Maxima.
Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ruına
Entao o acontecimento {−U(T ) > y |T <∞} e equivalente a{X > u∗ + y |X > u∗}, vindo assim
P [−U(T ) > y |T <∞] = P [X > u∗ + y |X > u∗]
=1− FX (u∗ + y)
1− FX (u∗)
=e−β(u∗+y)
e−βu∗
= e−βy , y > 0.
pelo que a v.a. Y := −U(T )|T <∞ _ Exp(β) .
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Introducao. Processo de Reservas e Ruına.Processos associados as indemnizacoes
Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de RuınaUm Modelo a Tempo Discreto
Primeira descida da reserva abaixo do nıvel inicialA Perda Agregada Maxima.
Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ruına
Entao o calculo do denominador pretendido corresponde ao valorda f.g.m. de Y no ponto R; i.e.,
E[
e−RU(T )∣∣∣T <∞
]= MY (R) =
β
β − R.
Por outro lado, vimos no Exemplo que para indemnizacoesindividuais exponenciais o coeficiente de ajustamento e dado porR = θβ
1+θ . Donde,
ψ(u) =e−Ru
ββ−R
=1
1 + θexp
{− θβ
1 + θu
}
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Introducao. Processo de Reservas e Ruına.Processos associados as indemnizacoes
Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de RuınaUm Modelo a Tempo Discreto
Primeira descida da reserva abaixo do nıvel inicialA Perda Agregada Maxima.
Um Modelo a Tempo Discreto
Um Modelo a Tempo Discreto
• Neste paragrafo faz-se referencia a um modelo que pode ser considerado como a
versao discreta do modelo a tempo contınuo anterior. Nomeadamente, sera
considerada a reserva ao fim de n anos, em funcao da soma das indemnizacoes nesse
no de anos, quando se considera um montante de premios recebidos proporcional ao
montante anual de premios. Sao redefinidos para o caso discreto os conceitos
anteriores de coeficiente de ajustamento e probabilidade de ruına, sendo realcado que
no caso de o montante anual de indemnizacoes poder ser encarado como Poisson
Composto esta definicao cai no caso particular do Modelo em tempo Contınuo. E
ainda dada a aproximacao do coeficiente de ajustamento, mostrando que e exacta no
caso de montante anual de indemnizacoes com comportamento Normal.
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Introducao. Processo de Reservas e Ruına.Processos associados as indemnizacoes
Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de RuınaUm Modelo a Tempo Discreto
Primeira descida da reserva abaixo do nıvel inicialA Perda Agregada Maxima.
Um Modelo a Tempo Discreto
Apresentaremos de seguida um modelo a tempo discreto, de certaforma a versao discreta do modelo a tempo contınuo consideradoate aqui.Tambem aqui estaremos interessados num modelo matematico quetraduz as variacoes no montante de reserva (ou saldo) de umaseguradora ao longo de um perıodo de n anos.
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Introducao. Processo de Reservas e Ruına.Processos associados as indemnizacoes
Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de RuınaUm Modelo a Tempo Discreto
Primeira descida da reserva abaixo do nıvel inicialA Perda Agregada Maxima.
Um Modelo a Tempo Discreto
Seja Un, para n = 0, 1, 2, · · · , a Reserva associada a um risco deuma seguradora, no fim do perıodo n (n-esimo ano, por exemplo).Se denotarmos a reserva inicial por U0 = u, fruto eventualmentede operacoes passadas, e se supusermos que o premio global Pn
ao fim de n anos e proporcional ao montante de premios em cadaperıodo c (premios anuais, por exemplo), i.e., Pn = cn, entao
Un = u + Pn − Sn = u + cn − Sn,
onde Sn denota a soma das indemnizacoes anuais ocorridas nosprimeiros n perıodos (anos), relativas ao risco considerado.
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Introducao. Processo de Reservas e Ruına.Processos associados as indemnizacoes
Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de RuınaUm Modelo a Tempo Discreto
Primeira descida da reserva abaixo do nıvel inicialA Perda Agregada Maxima.
Um Modelo a Tempo Discreto
Estamos, assim, perante o que designamos por um
Processo de Reservas ou Processo de Risco em tempo discreto{Un, n = 0, 1, 2, · · · }.
Figura: Realizacao tıpica do Processo de Risco a tempo discreto, Un,comparativamente ao Processo de Risco a tempo contınuo, U(t).
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Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de RuınaUm Modelo a Tempo Discreto
Primeira descida da reserva abaixo do nıvel inicialA Perda Agregada Maxima.
Um Modelo a Tempo Discreto
Suponhamos ainda que
Sn =n∑
i=1
Wi .
Wi soma das indemnizacoes no perıodo i (ano i)
Wi i.i.d. a W , i = 1, 2, · · · , n com f.d. FW (.) e f.g.m. MW (r)
E [W ] = µ < c , i.e., premio anual recebido superior ao premioanual esperado.
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Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de RuınaUm Modelo a Tempo Discreto
Primeira descida da reserva abaixo do nıvel inicialA Perda Agregada Maxima.
Um Modelo a Tempo Discreto
Neste contexto, defina-se
instante de ruına
Define-se instante de ruına como
T = min {n : Un < 0} ,
com a convencao de que T =∞ e equivalente a Un ≥ 0 para todon, o que significa a ausencia de ruına no fim de qualquer perıodo n(Nao ocorre Ruına no fim de qualquer ano).
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Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de RuınaUm Modelo a Tempo Discreto
Primeira descida da reserva abaixo do nıvel inicialA Perda Agregada Maxima.
Um Modelo a Tempo Discreto
Define-se
probabilidade de ruına em horizonte infinito
como funcao da reserva inicial u,
ψ(u) = P[T <∞],
a que corresponde a reserva negativa no instante de ruına, UT .
No que respeita a probabilidade de ruına ψ(u), existe um resultado
analogo a ψ(u) = e−Ru
E(e−RU(T )|T<∞), adaptado para os conceitos
paralelos em tempo discreto. Para tal o Coeficiente deAjustamento define-se como se segue:
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Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de RuınaUm Modelo a Tempo Discreto
Primeira descida da reserva abaixo do nıvel inicialA Perda Agregada Maxima.
Um Modelo a Tempo Discreto
O Coeficiente de Ajustamento define-se como a unica raız positivar = R da equacao
e−cr MW (r) = 1 , (1)
Mostremos que realmente esta equacao tem apenas uma raızpositiva; notando que e equivalente a
h(r) = 1, com h(r) := E[e(W−c)r
],
e que
h′(r) = E [(W − c)e(W−c)r ] e h′′(r) = E [(W − c)2e(W−c)r ]
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Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de RuınaUm Modelo a Tempo Discreto
Primeira descida da reserva abaixo do nıvel inicialA Perda Agregada Maxima.
Um Modelo a Tempo Discreto
entao h(0) = 1 e h′(0) = E [W − c] = E [W ]− c = µ− c < 0,sendo o declive negativo para a recta tangente a h(r) no ponto deabcissa r = 0.
Por outro lado, h′′(r) > 0, para todo r ; pelo que h(r) e convexa.
Supondo que a v.a. W assume valores superiores a c comprobabilidade positiva, entao h′(r) > 0, para r suficientementeelevado, tornando-se h(r) crescente.
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Primeira descida da reserva abaixo do nıvel inicialA Perda Agregada Maxima.
Um Modelo a Tempo Discreto
Figura: Coeficiente de Ajustamento, R, para o modelo de risco em tempo discreto.
Assim, o grafico e representativo da posicao relativa da curva h(r)e da recta de ordenada constante igual a 1, sendo obvia aconclusao de que apenas se intersectam para outro valor de r = R,estritamente positivo. 69 / 129
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Primeira descida da reserva abaixo do nıvel inicialA Perda Agregada Maxima.
Um Modelo a Tempo Discreto
Iremos agora abordar uma particularizacao do modelo a tempodiscreto com interesse especial.Caso particular:
Indemnizacao anual com distribuicao Poisson Composta
{Wi}i=1,2,··· i.i.d. a W _ PC(λ,FX )
A equacao e−cr MW (r) = 1 e equivalente a
log MW (r)− cr = 0
pelo que, como neste modelo a f.g.m. de W eMW (r) = exp {λ(MX (r)− 1)}, a equacao precedente concretiza-seem
λ(MX (r)− 1) = cr
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Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de RuınaUm Modelo a Tempo Discreto
Primeira descida da reserva abaixo do nıvel inicialA Perda Agregada Maxima.
Um Modelo a Tempo Discreto
ou seja,λMX (r) = cr + λ
que corresponde exactamente a mesma equacao definidora de R nocaso do modelo a tempo contınuo considerado no paragrafoanterior.Neste sentido, R pode ser encarado como uma generalizacao de R.
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Primeira descida da reserva abaixo do nıvel inicialA Perda Agregada Maxima.
Um Modelo a Tempo Discreto
O exemplo seguinte tem por objectivo de certo modo justificaruma aproximacao usual tomada para o coeficiente de ajustamento,como sera observado.
exemplo:
Determinar R no caso de indemnizacao anual normal, i.e.,
{Wi}i=1,2,··· i.i.d. a W _ ℵ(µW , σ2W )
Resolucao:
MW (r) = exp
(µW r +
σ2W r 2
2
),
pelo que
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Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de RuınaUm Modelo a Tempo Discreto
Primeira descida da reserva abaixo do nıvel inicialA Perda Agregada Maxima.
Um Modelo a Tempo Discreto
log MW (r) = cr ⇐⇒ µW r +σ2
W r 2
2= cr
a qual tem por raız nao trivial o valor
R =2(c − µW )
σ2W
.
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Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de RuınaUm Modelo a Tempo Discreto
Primeira descida da reserva abaixo do nıvel inicialA Perda Agregada Maxima.
Um Modelo a Tempo Discreto
Pode-se mostrar que dada uma reserva inicial u > 0,
ψ(u) =e−Ru
E[
e−RUT
∣∣∣ T <∞] . (2)
Consequentemente, como UT < 0 por definicao de instante deruına a tempo discreto, entao
ψ(u) < e−Ru
constitui um limite superior para a probabilidade de ruına.
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Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de RuınaUm Modelo a Tempo Discreto
Primeira descida da reserva abaixo do nıvel inicialA Perda Agregada Maxima.
Um Modelo a Tempo Discreto
O valor seguinte constitui uma
aproximacao usual para o Coeficiente de Ajustamento
R ∼=2(c − µW )
σ2W
,
denotandoµW := E [W ] e σ2
W := Var [W ]
Observacao:Esta aproximacao e exacta no caso de indemnizacao anual normal(Exemplo anterior)
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Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de RuınaUm Modelo a Tempo Discreto
Primeira descida da reserva abaixo do nıvel inicialA Perda Agregada Maxima.
Um Modelo a Tempo Discreto
Caso particular:
Indemnizacao anual com distribuicao Composta
{Wi}i=1,2,··· i.i.d. a W =N∑
i=1
Xi ,
Modelo de Risco Colectivo anual S =∑N
i=1 Xi .Com as notacoes usuais referentes ao numero anual de sinistros N,aos momentos simples do montante de indemnizacao individual,pk = E [X k ], e considerando um montante de premio anualcalculado com base no princıpio do valor medio com coeficiente deseguranca θ,
c = (1 + θ)µW ,
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Um Modelo a Tempo Discreto
entao a aproximacao generica para o coeficiente de ajustamento e
R ∼=2θµW
σ2W
=2θp1E [N]
(p2 − p21)E [N] + p2
1Var [N]
exemplo:
De um valor aproximado do coeficiente de ajustamento para omodelo de risco a tempo discreto, R, no caso de frequencia anualde sinistro:
1 N _ P(λ)
2 N _ BN (k , p).
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Primeira descida da reserva abaixo do nıvel inicialA Perda Agregada Maxima.
Um Modelo a Tempo Discreto
Neste caso, relembrando os resultados para um processo de
1 Poisson Composto
W _ PC(λ,FX ),
tem-seµW = λp1 e σ2
W = λp2,
pelo que
R ∼=2θp1
p2.
2 Binomial Negativo Composto
W _ BNC(k, q; FX ),
tem-se
µW =kq
pp1 e σ2
W =kq
pp2 +
kq2
p2p2
1 ,
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Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de RuınaUm Modelo a Tempo Discreto
Primeira descida da reserva abaixo do nıvel inicialA Perda Agregada Maxima.
Um Modelo a Tempo Discreto
pelo que
R ∼=2θp1
(p2 + p21q/p)
.
observacao:
Note-se que quando q → 0 no modelo binomial negativo, oresultado 2 reduz-se a 1 para uma frequencia de sinistro dePoisson, o que de certo modo ja era esperado devido a relacaoentre estes dois modelos.
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Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de RuınaUm Modelo a Tempo Discreto
Primeira descida da reserva abaixo do nıvel inicialA Perda Agregada Maxima.
Primeira descida da reserva abaixo do nıvel inicial
Primeira descida da reserva abaixo do nıvel inicialVoltando ao modelo em tempo contınuo, com indemnizacoes agregadas a constituiremum Processo de Poisson Composto e premios calculados de acordo com carga deseguranca a acrescer ao valor medio de indemnizacao, e apresentado um resultadorelativo a probabilidade das reservas alguma vez descerem abaixo do seu nıvel inicial eestarem enquadradas num intervalo de amplitude infinitesimal. Com base nesseresultado, sao deduzidas distribuicoes interessantes para o objectivo final de explorar aprobabilidade de ruına. No caso de as indemnizacoes individuais serem exponenciais(resp., degeneradas num montante positivo) e deduzida a exponencialidade (resp.,uniformidade) associada a distribuicao do montante pelo qual o nıvel de reservas desceabaixo do nıvel inicial pela primeira vez.
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Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de RuınaUm Modelo a Tempo Discreto
Primeira descida da reserva abaixo do nıvel inicialA Perda Agregada Maxima.
Primeira descida da reserva abaixo do nıvel inicial
Retomemos o modelo de risco a tempo contınuo, formulado nasseccoes anteriores.Consideremos o montante de reserva no instante em que estadesce abaixo do nıvel inicial, u. Convem notar que esta situacaopode nunca ocorrer, eventualmente.Pode-se mostrar o seguinte resultado (ver Bowers et al.,(1987)pg.370).
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Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de RuınaUm Modelo a Tempo Discreto
Primeira descida da reserva abaixo do nıvel inicialA Perda Agregada Maxima.
Primeira descida da reserva abaixo do nıvel inicial
Teorema:
Num Processo de Poisson Composto, a probabilidade de que asreservas alguma vez descam abaixo do seu nıvel inicial u e estejamsituadas no intervalo infinitesimal (u − y − dy , u − y) quando talsucede pela primeira vez e
λ
c[1− FX (y)] dy =
1− FX (y)
(1 + θ)p1dy , y > 0
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Primeira descida da reserva abaixo do nıvel inicial
Figura: Primeira descida das reservas U(t) abaixo do nıvel inicial, u.
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Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de RuınaUm Modelo a Tempo Discreto
Primeira descida da reserva abaixo do nıvel inicialA Perda Agregada Maxima.
Primeira descida da reserva abaixo do nıvel inicial
Relembremos que:
S(t) _ PPC(λt,FX );
c = (1 + θ)λp1;
U(t) = u + ct − S(t), para t ≥ 0.
Pelo teorema anterior conclui-se o seguinte:
Corolario:
A probabilidade das reservas alguma vez serem inferiores ao seunıvel inicial, u, e 1
1+θ .
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Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de RuınaUm Modelo a Tempo Discreto
Primeira descida da reserva abaixo do nıvel inicialA Perda Agregada Maxima.
Primeira descida da reserva abaixo do nıvel inicial
Pelo teorema tem-se
P [U(t) < u ∧ u − y − dy < U(t) < u − y ] =λ
c[1− FX (y)] dy , para y > 0.
Pelo que
P[U(t) < u] =
∫ ∞0
λ
c[1− FX (y)] dy
=λ
c
∫ ∞0
[1− FX (y)] dy ,
Ora, p1 =
∫ ∞0
[1− FX (y)] dy , ja que X e uma v.a. nao negativa,
vindo entao
P[U(t) < u] =λp1
c=
λp1
(1 + θ)λp1=
1
1 + θ.
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Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de RuınaUm Modelo a Tempo Discreto
Primeira descida da reserva abaixo do nıvel inicialA Perda Agregada Maxima.
Primeira descida da reserva abaixo do nıvel inicial
Conclusao:
A probabilidade das reservas alguma vez descerem do nıvel inicial udepende do coeficiente de seguranca, θ, e nao do nıvel inicial.
Caso Particular:
Seja u = 0; entao P[U(t) < 0] representa a probabilidade dasreservas alguma vez descerem abaixo de 0, i.e., trata-se daprobabilidade de ruına, quando o nıvel inicial e 0:
ψ(0) =1
1 + θ.
Note-se que ψ(0) depende exclusivamente do coeficiente deseguranca e nao da forma particular da distribuicao dasindemnizacoes individuais.
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Introducao. Processo de Reservas e Ruına.Processos associados as indemnizacoes
Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de RuınaUm Modelo a Tempo Discreto
Primeira descida da reserva abaixo do nıvel inicialA Perda Agregada Maxima.
Primeira descida da reserva abaixo do nıvel inicial
Como ja foi observado, as reservas podem nao descer abaixo donıvel inicial de onde partem. Realmente, esse acontecimento ocorrecom um certa probabilidade,
1
1 + θ.
Denote-se por
L1 −→ v.a. do “montante pelo qual as reservas descemabaixo do seu nıvel inicial quando tal ocorre pela 1a vez, dado quetal acontece”.
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Introducao. Processo de Reservas e Ruına.Processos associados as indemnizacoes
Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de RuınaUm Modelo a Tempo Discreto
Primeira descida da reserva abaixo do nıvel inicialA Perda Agregada Maxima.
Primeira descida da reserva abaixo do nıvel inicial
corolario:
A f.d.p. da v.a. L1 e fL1(y) =1
p1[1− FX (y)] , y > 0
Demonstracao:
Comecemos por notar que L1d= u − U(t)|{U(t) < u}; assim, e
como consequencia dos teorema e corolario anteriores,
fL1(y)dy = P [y < u − U(t) < y + dy |U(t) < u]
= P [−y − dy < U(t)− u < −y |U(t) < u]
= P [u − y − dy < U(t) < u − y |U(t) < u]
=P [U(t) < u ∧ u − y − dy < U(t) < u − y ]
P[U(t) < u]
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Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de RuınaUm Modelo a Tempo Discreto
Primeira descida da reserva abaixo do nıvel inicialA Perda Agregada Maxima.
Primeira descida da reserva abaixo do nıvel inicial
=λc [1− FX (y)] dy
11+θ
=(1 + θ)λ
(1 + θ)λp1[1− FX (y)] dy
=1
p1[1− FX (y)] dy
Quer dizer: a f.d.p. de L1 e dada por
fL1(y) =1
p1[1− FX (y)] , y > 0
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Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de RuınaUm Modelo a Tempo Discreto
Primeira descida da reserva abaixo do nıvel inicialA Perda Agregada Maxima.
Primeira descida da reserva abaixo do nıvel inicial
Corolario:
A f.g.m. de L1, ML1(r), e a f.g.m. de X , MX (r) verificam
ML1(r) =1
p1r[MX (r)− 1] .
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Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de RuınaUm Modelo a Tempo Discreto
Primeira descida da reserva abaixo do nıvel inicialA Perda Agregada Maxima.
Primeira descida da reserva abaixo do nıvel inicial
ML1(r) = E[erL1]
=1
p1
∫ ∞0
ery [1− FX (y)] dy
=1
rp1
{ery [1− FX (y)] |∞0 +
∫ ∞0
ery fX (y)dy
}
=1
p1r[MX (r)− 1]
uma vez que limy→∞ery [1− FX (y)] = 0.
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Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de RuınaUm Modelo a Tempo Discreto
Primeira descida da reserva abaixo do nıvel inicialA Perda Agregada Maxima.
Primeira descida da reserva abaixo do nıvel inicial
O exemplo seguinte tem por principal objectivo verificar que nocaso em que a indemnizacao individual e uma v.a. degenerada,entao L1 e o nıvel de reservas depois de sofrer a descida provocadapor L1 sao v.a.’s com distribuicao uniforme.
Exemplo:
Escrever uma expressao para a distribuicao do nıvel de reservas noinstante em que a reserva desce abaixo do nıvel inicial, u, pela 1a
vez, dado que tal acontece, para o caso de todas as indemnizacoesserem de montante igual a b.
Resolucao: X e degenerada em b, X ≡ b; pelo que E [X ] = b e
FX (y) =
{0, y ∈ (−∞, b)1, y ∈ [b,∞)
.
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Primeira descida da reserva abaixo do nıvel inicialA Perda Agregada Maxima.
Primeira descida da reserva abaixo do nıvel inicial
Assim a f.d.p. e dada por
fL1(y) =1
b[1− FX (y)] =
{1b , y ∈ [0, b)0, y /∈ [0, b)
.
Entao
L1 _ U(0,b)
e o nıvel de reservas depoisde tal descida
u − L1 _ U(u−b,u).
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Primeira descida da reserva abaixo do nıvel inicialA Perda Agregada Maxima.
Primeira descida da reserva abaixo do nıvel inicial
Exemplo:
Determinar a distribuicao de L1 para o caso de indemnizacoesparticulares exponenciais de parametro β, i.e., para
X _ Exp(β), com f.d. FX (y) = 1− e−βy , y > 0.
Resolucao:
p1 =1
βe fL1(y) =
1
p1[1− FX (y)] = βe−βy , y > 0.
EntaoL1 _ Exp(β) .
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Primeira descida da reserva abaixo do nıvel inicialA Perda Agregada Maxima.
Primeira descida da reserva abaixo do nıvel inicial
Observacao:
O nıvel de reservas depois de tal descida, u − L1, tem distribuicaoWeibull de maximos de forma unitaria, localizacao igual ao nıvelinicial e escala igual a indemnizacao individual esperada.
Fu−L1(z) =
{eβ(u−z), z < u1, z ≥ u
.
Observacao:
Poder-se-ia obter a mesma conclusao utilizando a relacao entre asf.g.m.’s do Corolario.
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Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de RuınaUm Modelo a Tempo Discreto
Primeira descida da reserva abaixo do nıvel inicialA Perda Agregada Maxima.
A Perda Agregada Maxima.
A Perda Agregada Maxima
Define-se aqui funcao Perda Agregada Maxima como sendo o excesso maximo das
indemnizacoes agregadas sobre os premios recebidos. Mostrando a sua relacao directa
com a probabilidade de ruına, realca-se o caracter misto desta v.a. Seguidamente,
relacionando com o comportamento geometrico do no de vezes que a perda agregada
bate um record, deduz-se uma expressao muito util para o calculo da probabilidade de
ruına em certas situacoes. Como exemplos de aplicacao, sao essencialmente tratados
os casos em que a expressao do paragrafo anterior e tratavel analiticamente,
nomeadamente o caso particular de indemnizacoes individuais modeladas atraves de
mistura de exponenciais ou de comportamento gama. E ainda sugerida uma
aproximacao para a probabilidade de ruına que resulta em exacta para o caso de
indemnizacao individual exponencial.
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Primeira descida da reserva abaixo do nıvel inicialA Perda Agregada Maxima.
A Perda Agregada Maxima.
A seguinte definicao prende-se com a probabilidade de ruına.
Definicao:
Define-se perda agregada maxima como sendo a v.a. nao negativa
L = maxt≥0{S(t)− ct} .
A v.a. L nao e mais do que o excesso maximo dasindemnizacoes agregadas sobre os premios recebidos.
A v.a. perda agregada maxima e nao negativa, i.e., L ≥ 0, jaque S(t)− ct = 0, para t = 0.
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Primeira descida da reserva abaixo do nıvel inicialA Perda Agregada Maxima.
A Perda Agregada Maxima.
Note-se ainda a dualidade simetrica dos graficos que correspondemrespectivamente ao Processo de Reservas de Risco
{U(t) = u + ct − S(t), t ≥ 0}
e ao Processo de Perda Agregada
{S(t)− ct = u − U(t), t ≥ 0}.
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Primeira descida da reserva abaixo do nıvel inicialA Perda Agregada Maxima.
A Perda Agregada Maxima.
Figura: Simetria dos Processos de Reservas de risco U(t) = u + ct − S(t) e da PerdaAgregada S(t)− ct .
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Primeira descida da reserva abaixo do nıvel inicialA Perda Agregada Maxima.
A Perda Agregada Maxima.
De imediato se conclui a seguinte relacao entre a distribuicao daPerda Agregada Maxima e a Probabilidade de Ruına.
Teorema:
A f.d. da v.a. L e a funcao ψ(.) verificam a igualdade
ψ(u) = 1− FL(u) ,
para todo o nıvel inicial u ≥ 0.
Demonstracao:
FL(u) = P[L ≤ u]
= P
[maxt≥0{S(t)− ct} ≤ u
],
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Primeira descida da reserva abaixo do nıvel inicialA Perda Agregada Maxima.
A Perda Agregada Maxima.
= P [S(t)− ct ≤ u, ∀t ≥ 0],
= P [u + ct − S(t) ≥ 0, ∀t ≥ 0],
= P [U(t) ≥ 0,∀t ≥ 0],
= 1− P [ruına],
= 1− ψ(u),
para todo o nıvel inicial u ≥ 0.
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Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de RuınaUm Modelo a Tempo Discreto
Primeira descida da reserva abaixo do nıvel inicialA Perda Agregada Maxima.
A Perda Agregada Maxima.
Corolario:
A v.a. L e mista, tendo ponto de massa de probabilidade emL = 0, com
P[L = 0] =θ
1 + θ.
Demonstracao:Trata-se de uma consequencia directa do teorema anterior, ja que
FL(0) = P[L ≤ 0] = P[L = 0]
= 1− ψ(0) = θ1+θ ,
pelo que L e v.a. mista, tendo um ponto de massa em L = 0, esendo contınua para u > 0.
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Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de RuınaUm Modelo a Tempo Discreto
Primeira descida da reserva abaixo do nıvel inicialA Perda Agregada Maxima.
A Perda Agregada Maxima.
Pelos resultados anteriores imediatamente se conclui que
A distribuicao de Perda Agregada Maxima pode ser utilizada paraobtermos informacao acerca da Probablidade de Ruına.
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Primeira descida da reserva abaixo do nıvel inicialA Perda Agregada Maxima.
A Perda Agregada Maxima.
Relembre-se ainda que a Probabilidade de Ruına, ψ(u), e umafuncao decrescente do nıvel inicial, u, partindo sempre do valor
11+θ .
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Primeira descida da reserva abaixo do nıvel inicialA Perda Agregada Maxima.
A Perda Agregada Maxima.
No seguinte teorema e evidenciado mais uma vez o caracter mistoda v.a. L, atraves da respectiva f.g.m., assim com uma represencaode L como soma aleatoria de v.a.’s i.i.d. a L1, definida na seccaoanterior.
Teorema:
A v.a. L possui a f.g.m. seguinte
ML(r) =θp1r
1 + (1 + θ)p1r −MX (r).
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A Perda Agregada Maxima.
Considerem-se os instantes em que o processo de perca agregada,S(t)− ct, atinge novos recordes. (Na figura isso sucede por 2vezes, com acrescimos relativamente aos anteriores dados por L1 eL2).
Dado que ocorreu um valor recorde, existe uma probabilidade ψ(0)de que seja ultrapassado e existe uma probabilidade 1− ψ(0) deque permaneca o mesmo.
Realmente, esta conclusao e uma consequencia do facto de S(t)ser um Processo de Poisson Composto e, portanto, de incrementosestacionarios e independentes.
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A Perda Agregada Maxima.
Assim, a ocorrencia de um valor recorde para o processo da perdaagregada tem igual probabilidade da ocorrencia de uma descidaabaixo do nıvel de que parte o processo de reservas, i.e.,
11+θ = ψ(0) (basta pensar na dualidade entre os graficos referentesao processo de perda agregada e ao processo de reservas).
Considere-se a v.a. seguinte:
N −→ “o no de vezes que a perda agregada bate um recorde,contando a origem como o recorde numero 0 ”
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A Perda Agregada Maxima.
Entao, obviamente,
P[N = n] = [1− ψ(0)][ψ(0)]n = [ θ1+θ ][ 1
1+θ ]n, n = 0, 1, 2 · · · .
Trata-se de uma v.a. geometria, i.e., N _ Geo( θ1+θ ) e,
relembrando o Exemplo 6.1, a f.g.m. de N e
MN(r) =θ
1+θ
1− 11+θer
=θ
1 + θ − er.
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A Perda Agregada Maxima.
A perda agregada maxima,L, pode ser representada atraves dasoma aleatoria de N v.a.’s referentes aos montantes pelos quais osrecordes sao ultrapassados (veja-se o grafico do processo de perdaagregada); i.e.,
L =N∑
i=1
Li .
Por outro lado, as v.a.’s Li sao i.i.d. a L1, montante pelo qual asreservas descem abaixo do nıvel inicial pela primeira vez, dado quetal sucede; quer dizer:
Li i.i.d. a L1 com f.d.p. fL1(y) = 1p1
[1− FX (y)], y ≥ 0;
Li sao independentes de N;
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A Perda Agregada Maxima.
Entao, a f.g.m. de L e dada por
ML(r) = MN(log ML1(r)) =θ
1 + θ −ML1(r).
Como pelo Corolario
ML1(r) =1
p1r[MX (r)− 1],
tem-se o resultado
ML(r) =θp1r
1 + (1 + θ)p1r −MX (r).
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A Perda Agregada Maxima.
O seguinte resultado fornece uma equacao que revelar-se-a muitoutil na obtencao de algumas conclusoes como veremos.
Teorema:
A seguinte igualdade e verificada∫ ∞0
eur (−ψ′(u))du =1
1 + θ· θ[MX (r)− 1]
1 + (1 + θ)p1r −MX (r)(3)
Demonstracao: De acordo com o teorema anterior, e valida aseguinte decomposicao da f.g.m. de L na soma de 2 parcelas,evidenciando mais uma vez o caracter misto da v.a. L
ML(r) =θ
1 + θ+
1
1 + θ· θ[MX (r)− 1]
1 + (1 + θ)p1r −MX (r). (4)
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A Perda Agregada Maxima.
ou seja,
ML(r) = P[L = 0].E [erL|L = 0] + P[L > 0].E [erL|L > 0]
e ainda
ML(r) = P[L = 0].E [e0] + P[L > 0].∫∞
0 eru fL(u)P[L>0] du
== P[L = 0] +
∫∞0 erufL(u)du,
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A Perda Agregada Maxima.
Por outro lado a funcao de probabilidade de L e
fL(u) =
{P[L = 0] = 1− ψ(0), u = 0−ψ′(u) u > 0,
pelo que
ML(r) = P[L = 0] +
∫ ∞0
eru(−ψ′(u))du,
concluindo-se a igualdade pretendida por comparacao directa da 2a
parcela com a expressao (4), i.e.∫ ∞0
eru(−ψ′(u))du =1
1 + θ· θ[MX (r)− 1]
1 + (1 + θ)p1r −MX (r).
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Introducao. Processo de Reservas e Ruına.Processos associados as indemnizacoes
Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de RuınaUm Modelo a Tempo Discreto
Primeira descida da reserva abaixo do nıvel inicialA Perda Agregada Maxima.
A Perda Agregada Maxima.
A expressao (3) pode ser usada com o objectivo de determinar aprobabilidade de ruına, ψ(u); a sua utilidade revela-se, contudo,apenas para determinados casos; tal e a situacao em que asindemnizacoes particulares sao exponenciais, misturas deexponenciais ou gama.
caso particular: X e Mistura de Exponenciais
fX (x) =n∑
i=1
Aiβi e−βi x , x > 0, (5)
com βi > 0,Ai > 0, ∀i=1,2,··· ,n, e∑n
i=1 Ai = 1.
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Introducao. Processo de Reservas e Ruına.Processos associados as indemnizacoes
Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de RuınaUm Modelo a Tempo Discreto
Primeira descida da reserva abaixo do nıvel inicialA Perda Agregada Maxima.
A Perda Agregada Maxima.
Entao,
MX (r) =n∑
i=1
Aiβi
βi − r,
que so existe para r < min{β1, β2, · · ·βn, }.
Generalizemos esta definicao e estenda-se
MX (r) para r ∈ R, r 6= βi , para i = 1, 2, · · · , n.
Substituindo a expressao particular de MX (r) na equacao (3), vemno 2o membro da referida equacao um quociente de polinomios emr , sendo n o grau do denominador; pelo que pode ser escrito naforma:
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Introducao. Processo de Reservas e Ruına.Processos associados as indemnizacoes
Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de RuınaUm Modelo a Tempo Discreto
Primeira descida da reserva abaixo do nıvel inicialA Perda Agregada Maxima.
A Perda Agregada Maxima.
∫ ∞0
eru(−ψ′(u))du =n∑
i=1
Ci ri
ri − r, (6)
para constantes Ci , e em que os ri , i = 1, 2, · · · , n, sao as raızesdo denominador do 2o membro,i.e., satisfazem a equacaodefinidora do Coeficiente de Ajustamento
1 + (1 + θ)p1r = MX (r),
sendo obviamente R ≡ min{r1, r2, , · · · rn, }.
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Introducao. Processo de Reservas e Ruına.Processos associados as indemnizacoes
Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de RuınaUm Modelo a Tempo Discreto
Primeira descida da reserva abaixo do nıvel inicialA Perda Agregada Maxima.
A Perda Agregada Maxima.
Corolario:
No caso de X ser uma mistura de exponenciais definida em (5) enas condicoes anteriores, a funcao solucao que satisfazsimultaneamente (6) e ψ(∞) = 0 e
ψ(u) =n∑
i=1
Ci e−ri u, (7)
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Introducao. Processo de Reservas e Ruına.Processos associados as indemnizacoes
Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de RuınaUm Modelo a Tempo Discreto
Primeira descida da reserva abaixo do nıvel inicialA Perda Agregada Maxima.
A Perda Agregada Maxima.
Derivando ambos os membros de (7) obtem-se∫ ∞0
eur (−ψ′(u))du =
∫ ∞0
eur
(n∑
i=1
Ci ri e−ri u
)du
=
=n∑
i=1
Ci ri
∫ ∞0
e(r−ri )udu
=
=n∑
i=1
Ci ri
ri − r
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Introducao. Processo de Reservas e Ruına.Processos associados as indemnizacoes
Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de RuınaUm Modelo a Tempo Discreto
Primeira descida da reserva abaixo do nıvel inicialA Perda Agregada Maxima.
A Perda Agregada Maxima.
Exemplo:
Deduzir uma expressao para ψ(u) para o caso de X _ Expβ).
Resolucao:Trata-se de um caso particular da decomposicao do 2o membro (3)para o caso de uma mistura de exponenciais com n = 1.
Assim, sendo a f.g.m. de X
MX (r) =β
β − r=
1
1− p1r,
obtem-se
1
1 + θ· θ[MX (r)− 1]
1 + (1 + θ)p1r −MX (r)=
C1r1
r1 − r
para constantes C1 e r1 a determinar.119 / 129
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Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de RuınaUm Modelo a Tempo Discreto
Primeira descida da reserva abaixo do nıvel inicialA Perda Agregada Maxima.
A Perda Agregada Maxima.
A substituicao de MX (r) conduz a
1
1 + θ· θ
θ − (1 + θ)p1r=
C1r1
r1 − r,
igualdade verificada para as constantes C1 = 11+θ e r1 = θ
(1+θ)p1
determinados pelo metodo dos coeficientes indeterminados, porexemplo.
Por fim, pelo Corolario a probabilidade de ruına e
ψ(u) = C1e−r1u =1
1 + θexp
{− θβ
1 + θu
}, u ≥ 0.
ja obtido anteriormente.
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Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de RuınaUm Modelo a Tempo Discreto
Primeira descida da reserva abaixo do nıvel inicialA Perda Agregada Maxima.
A Perda Agregada Maxima.
Exemplo:
Deduzir uma expressao para ψ(u) para o caso de X com f.d.p.
fX (x) =3
2e−3x +
7
2e−7x , x > 0,
e para um coeficiente de seguranca de θ = 25 .
Resolucao: A v.a. X e uma mistura de duas exponenciais, tendopor f.g.m.
MX (r) =3/2
3− r+
7/2
7− re com indemnizacao individual esperada de
p1 = E [X ] =1
2· 1
3+
1
2· 1
7=
5
21.
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Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de RuınaUm Modelo a Tempo Discreto
Primeira descida da reserva abaixo do nıvel inicialA Perda Agregada Maxima.
A Perda Agregada Maxima.
Neste caso n = 2 e somos conduzidos a igualdade
1
1 + θ· θ[MX (r)− 1]
1 + (1 + θ)p1r −MX (r)=
2∑i=1
Ci ri
ri − r
com constantes Ci e ri , (i = 1, 2), a determinar.A substituicao de
MX (r) conduz a
1
1 + θ· θ[MX (r)− 1]
1 + (1 + θ)p1r −MX (r)=
6
7· 5− r
6− 7r + r 2=
C1
1− r+
6C2
6− r,
ja que r1 = 1(≡ R) e r2 = 6.
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Primeira descida da reserva abaixo do nıvel inicialA Perda Agregada Maxima.
A Perda Agregada Maxima.
Assim, pelo metodo dos coeficientes indeterminados, obtem-se
C1 =24
35e C2 =
1
35
pelo que
ψ(u) =24
35e−u +
1
35e−6u, u ≥ 0.
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A Perda Agregada Maxima.
Observacao:
No caso de X _ Gama(α, β), as conclusoes sao semelhantes aocaso tratado anteriormente de mistura de exponenciais.Realmente, neste modelo para as indemnizacoes individuais a
f.g.m. e MX (r) =(
ββ−r
)αe a solucao para ψ(u) e do mesmo tipo
da anterior.
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A Perda Agregada Maxima.
NOTA: Se a severidade X e uma mistura de m exponenciais de valoresmedios 1/βi , i = 1, 2, · · · ,m, m ∈ N, respectivamente, entao as cons-
tantes Ci que intervem na expressao ψ(u) =m∑
i=1
Ci e−ri u, sao dadas por
Ci =m∏
k=1,k 6=i
rk
rk − ri
m∏j=1
βj − ri
βj,
com ri as raızes da equacao λ + cr = λMX (r), generalizando a definicaode MX (r) para r ∈ R, r 6= βi , para i = 1, 2, · · · ,m .
SUGESTAO: Concretize a expressao anterior para m = 2 econfira os resultados obtidos no exemplo anterior.
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A Perda Agregada Maxima.
Muitos dos problemas praticos requerem distribuicoes deseveridade diferentes de misturas de exponenciais ou mesmo dedistribuicoes gama.
Por outro lado, para algumas distribuicoes a determinacao docoeficiente de ajustamento pode nao ser tarefa facil e, porconsequencia, o calculo da probabilidade de ruına, mesmo queaproximado, pode ser muito difıcil por essa via.
Um metodo de calculo aproximado de probabilidade de ruına,baseado nos primeiros momentos da distribuicao dasindemnizacoes individuais e de facil aplicacao e revela resultadossatisfatorios para valores moderados de u.
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A Perda Agregada Maxima.
Nas condicoes do modelo de risco colectivo que estamos aconsiderar, pode-se mostrar que (Exercıcio 7.11),
E [L] =p2
2θp1. (8)
Conjugando o facto de
FL(u) = 1− ψ(u), u ≥ 0
ψ(0) =1
1 + θ
ψ(u) < e−Ru
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Primeira descida da reserva abaixo do nıvel inicialA Perda Agregada Maxima.
A Perda Agregada Maxima.
o metodo aproximado utiliza a aproximacao
1− FL(u) = ψ(u) ∼=1
1 + θe−Ku, u ≥ 0,
onde a constante K e escolhida por forma a que haja coincidenciaentre os valores medios exacto e aproximado para a v.a. de perdaagregada maxima L; i.e., considerando que
E [L] =
∫ ∞0
[1− FL(u)]du ∼=1
1 + θ· 1
K,
escolhe-se para K o valor
K =2θp1
(1 + θ)p2.
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Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de RuınaUm Modelo a Tempo Discreto
Primeira descida da reserva abaixo do nıvel inicialA Perda Agregada Maxima.
A Perda Agregada Maxima.
Assim, e sugerida a aproximacao da probabilidade de ruına
ψ(u) ∼=1
1 + θexp
{− 2θp1u
(1 + θ)p2
}, u ≥ 0.
Observacao:
No caso de indemnizacoes individuais exponenciais, o resultado eexacto. Para isso, basta confirmar a expressao de ψ(u) obtidaatraves desta expressao aproximada neste modelo particular com aexpressao exacta obtida anteriormente (Exemplos) .
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