Experiência 1:Mílikan

Gustavo, Luis Fernando e Paula F.T. MatuokaFNC-313: Física Experimental V – IFUSP – 29/08/2006.

O objetivo da experiência foi determinar o valor da carga elétrica elementar, através do estudo do movimento de gotas de óleo eletrificadas sob ação de um campo elétrico. As forças envolvidas são as seguintes: força peso, força devido a empuxo do ar sobre a gota de óleo, força de atrito viscoso dada pela Lei de Stokes e a força elétrica. O procedimento experimental consistiu em utilizar uma câmera de vídeo digital para filmar o movimento das gotas e, utilizando um software de análise de imagem, determina suas velocidades de subida e descida A diferença entre as velocidades é proporcional à carga da gota. Encontrando a carga q de cada gota estudada, a carga elementar foi determinada através do uso de histogramas dos dados de toda a classe, e o valor encontrado de 4.81(12)[ues 10^-10] se mostrou dentro do valor tabelado.

1) Introdução Teórica

1.1) Histórico

A seguir, uma linha do tempo com os principais acontecimentos que culminaram na descoberta do valor da carga elementar e:

420 AC – Demócritos, filósofo grego, sustenta que o mundo é feito de partículas indivisíveis ( os “átomos”).

1600 – Observação de que algumas substâncias, ao serem atritadas com seda, podiam atrair ou repelir partículas de certos materiais, com já haviam observado os gregos com o âmbar (que em grego se escreve “elektron”).

1730 – Dufay classificou essas propriedades de atração e repulsão de “vítrias” e “resinosas”.

1750 – Benjamin Franklin as chamou de “positivas” e “negativas”.

1895 – Descoberta dos raios-X por Röetnger.

1896 – J.J. Thomson provou que os átomos são constituídos de cargas positivas e negativas.

A experiência de Millikan foi um aperfeiçoamento de outros métodos desenvolvidos anteriormente por Townsend, Wilson e Thomson. Consistia do estudo de gotas eletrificadas sob ação da gravidade e sob

um campo elétrico. As diferenças fundamentais introduzidas por Millikan foram o uso de gotas de óleo ao invés de água (para minimizar o erro causado pela evaporação desta), o uso de um borrifador para criar essas gotas e carregá-las por atrito e a observação dos tempos de subida e descida (em uma distância conhecida) sob ação de um campo elétrico para a mesma gota (possível pelo uso de uma fonte de tensão com chave inversora da d.d.p. aplicada ao par de placas paralelas que gerava o campo elétrico).

O princípio básico desse método era que cada gota eletrificada possuía carga total q proporcional à carga elementar e. Assumindo a validade da Lei de Stokes e considerando o empuxo sobre a gota de óleo imersa no ar, a diferença entre as velocidades de subida e descida dependiam apenas da carga. Millikan percebeu a necessidade de corrigir o valor da viscosidade do ar (à temperatua e pressão ambientes) para manter a Lei de Stokes válida. O resultado final foi e = (4,770 ± 0,005)x 10-10

e.s.u. (unidades eletrostáticas).

Veja o Apêndice A para maiores esclarecimentos do histórico e da teoria envolvida nessa experiência.

A maior contribuição da determinação de e para a ciência foi a comprovação da existência física da carga elementar e, conseqüentemente, a prova da quantização da carga elétrica.

2) Teoria:

As forças envolvidas na experiência de Millikan para a determinação de e são a Força Peso (devido à massa da gota), o Empuxo (devido ao fato da gota estar imersa em um fluido (ar), a Força de Atrito Viscoso, determinada pela Lei de Stokes e a Força Elétrica entre placas de um capacitor.

Como as dimensões da gota são muito menores que as outras dimensões envolvidas, considera-se as gotas como esferas de raio a . Assim sendo:

F peso=43a3óleo g (1.1)

onde óleo é a densidade do óleo e g é a aceleração da gravidade.

Pelo princípio de Arquimedes, “Um corpo total ou parcialmente imerso num fluido sofre empuxo que é igual ao peso do fluido deslocado” [referência]. Ocorre devido à diferença de pressão entre as extremidades superior e inferior de um objeto imerso num fluido, sofrendo a ação da gravidade. O empuxo tem direção contrária à Força Peso. Então, no caso:

F empuxo=43a3ar g (1.2)

onde ar é a densidade do ar à temperatura (T) e pressão (p) ambientes.

A Força de Atrito Viscoso decorre da Lei de Stokes, que diz que a força de atrito viscoso de um objeto imerso em um fluido é proporcional à velocidade de deslocamento do objeto e de sentido contrário ao mesmo. A Lei de Stokes tem limites a serem observados:– A partícula deve ser uma esfera lisa e

rígida;– A não-homogeneidade do meio deve ser

menor, relativamente, que o tamanho da esfera;

– O deslocamento total é muito maior que as dimensões da esfera;

– Não há escorregamento do meio na superfície da esfera.;

– A velocidade de deslocamento da esfera é tal que a resistência ao movimento é totalmente devido à viscosidade e não à inércia do meio ao deslocamento do objeto.

Nesse caso, a Força de Atrito viscoso de uma esfera de raio a é:

F atr.visc=−6av (1.3)

As relações entre as velocidades (diferenças e somas) e as cargas para cada gota estavam resolvidas, mas os valores variavam de gota para gota. Os esforços foram dirigidos, então, para a determinação de uma constante de proporcionalidade entre carga e velocidade. Foi a partir dessa investigação que se chegou à conclusão de que a Lei de Stokes deveria ser corrigida. A falha foi que as gotas eram tão pequenas que o meio – ar – não poderia ser considerado contínuo e homogêneo. Esse fator dependia do raio da esfera (a) e do caminho médio livre do meio (l). Como l, por sua vez é proporcional à pressão do meio (p), chegou-se ao valor:

=0

1 bpa

(1.4)

Sendo que 0 depende da temperatura do meio (T)

O campo elétrico entre as placas paralelas de um capacitor pode ser dado por

E=Vd

n (1.5)

onde V é a diferença de potencial entre as placas, d é a distância entre elas e n indica a direção – perpendicular às placas. Como esses valores não variam, o campo é constante e uniforme.

A força elétrica de uma partícula que se move sob ação desse campo é

F elétrica=q E (1.6)

onde q é a carga da partícula.

São dois, os movimentos das gotas estudados na experiência de Millikan definitiva:

– Movimento ascendente sob o campo elétrico do capacitor com velocidade v subida

– Movimento descendente sob o campo elétrico do capacitor com velocidade

v descida

Devido às dimensões das partículas em relação à distância entre as placas (d) e ao fato de que, quando a velocidade de deslocamento aumenta, a força de atrito viscoso também aumenta, pode-se dizer que as gotas atingem as velocidades limites nesses casos, ou seja, a força resultante é nula e o movimento é realizado à velocidade constante.

A resultante vetorial é:

F res= F peso F empuxo F at.visc F elétrica=0 (1.7) Tomando como referencial o eixo y orientado positivamente para baixo (na direção de g ), determinamos a expressão da resultante em cada caso:

a) Movimento ascendente sob o campo elétrico do capacitor;

43 a3 g óleo−ar 6a vsubida−q V

d=0

(1.8)

b) Movimento descendente sob o campo elétrico do capacitor.

43a3 g óleo−ar −6avdescidaq V

d=0

(1.9)

Originalmente, a experiência de Millikan não observava a queda sob o campo elétrico. A vantagem de se estudar a gota de óleo também nesse caso é a simplificação do método de determinar o raio e da carga da mesma. A soma das equações (1.8) e (1.9) determina a:

a=− b2p

b2

4p290 vdescida−vsubida

4 g óleo−ar (1.10)

e a diferença entre elas determina q:

q=3a dV

vsubidavdescida (1.11)

As soluções estão detalhadas no Apêndice B.

Todos os deslocamentos são realizados na vertical e a variação na horizontal é devida ao Movimento Browniano, que diz respeito ao

Desenho 1: Esquema das Forças que agem na gota em movimento ascendente.

Desenho 2: Esquema das Forças que agem na gota em movimento descendente.

bombardeamento contínuo sobre as partículas de moléculas do meio em agitação térmica. Einstein encontrou, a partir de estudos teóricos, a equação:

⟨ x2⟩= 2RTN K

. t (1.12)

comprovada experimentalmente por Perrin algum tempo depois.

K é o fator de resistência que depende da viscosidade do meio e do tamanho da gota e é dado pela Lei de Stokes. Então:

⟨ x2⟩= RTN3

. ta

(1.13)

Desconsideramos neste experimento o movimento horizontal das gotas, assumindo que não influiam na velocidade de subida e descida, devido ao fato das gotas estarem se deslocando com velocidade limite.

3)Procedimento experimental

3.1) Equipamento Experimental

A carga do elétron foi determinada utilizando-se gotas de óleo borrifadas num condensador ou capacitor de placas paralelas , a distância entre as mesmas foram medidas com um paquímetro, tal capacitor era fechado, lateralmente, conforme figura 3.1.

Figura. 3.1: Vista superior do capacitor sem a tampa

As placas de fenolite são isolantes elétricas e foram usadas para garantir a separação física das placas do capacitor. Nas duas aberturas restantes, para se poder observar as gotas em seu interior, foram instaladas placas de vidro. O vidro se fez necessário para evitar que deslocamentos de ar pudessem interferir nas medidas. Para injetar as gotas de óleo

no capacitor, utilizamos um recipiente denominado de nebulizador costituído por uma ampola de vidro com abertura na parte superior conectada a uma parte de borracha. A ampola contém dois tubos, sendo que um deles (A) é ligado ao nebulizador e o outro (B) está parcialmente imerso no óleo, conforme ilustrado abaixo.

Figura. 3.2: Nebulizador esquemático

Ao pressionar o nebulizador, um fluxo de ar a alta velocidade passa próximo a extremidade do tubo B, nesta região haverá uma diminuição de pressão fazendo com que o óleo do tubo seja sugado para cima, este processo é chamado de venturi. Parte deste óleo que acompanha o fluxo de ar é nebulizado, ejetando gotas de óleo. O atrito com o ar ou com o vidro do nebulizador provoca a eletrização de algumas gotas.O condensador foi adaptado a um tripé em conjunto com um microscópio acoplado a uma câmera digital e uma fonte de luz, conforme figura 3.3.

Figura 3.3 : Aparato montado

Estes dois últimos formam o conjunto ótico e estão dispostos horizontalmente e fixados no eixo do suporte com liberdade de movimento. Utilizando um nível de bolha as placas foram niveladas ajustando os parafusos do tripé.As gotas foram observadas com auxílio do conjunto ótico através do software VideoPoint 2.5, pois suas dimensões são impossíveis de serem

visualizadas a olho nu e o software proporcionou a captura do processo em vídeos, que foram analisados posteriormente. Calibramos a escala da ocular do microscópio por comparação com uma escala padrão, colocada sobre o condensador. Como a captura da imagem foi feita em pixels, houve a necessidade de se realizar a conversão para cm. Dessa forma a relação de pixel/cm pode ser extraída da calibração com a escala padrão. O microscópio e a luz foram focalizados no centro do condensador conforme figura 3.4.

Fig. 3.4: Esquema do posicionamentodo conjunto ótico em relação

condensador.

Foi realizado um prévio ajuste do foco utilizando-se um fio de cobre, inserido nos orifícios por onde a nuvem de óleo acessa o interior do capacitor, a fonte de luz e o microscópio foram ajustados de modo que o fio aparecesse com contorno bem brilhante num fundo acinzentado.O ajuste final do foco foi realizado através da observação das gotas.Borrifamos as gotas de óleo sobre o condensador, e estas penetravam no condensador pelos orifícios já citados localizados sobre a placa superior. Aplicamos um campo elétrico uniforme, produzido por uma diferença de potencial V entre as placas do condensador para que as gotas eletrizadas ficassem sob influência deste campo. Para aplicação deste foi necessário uma fonte de tensão contínua, que pode ser ajustada entre 100 e 200V. Para este ajuste de tensão , utilizamos um multímetro digital. Utilizamos uma chave inversora que permitia alternar a polaridade das placas e estabelecia a ligação entre a saída da fonte e o condensador. A mesma chave também permitia interromper o fornecimento de tensão às placas, ao mesmo tempo em que eram ligadas em curto-circuito para que não permanecesse qualquer carga residual. Este circuito está representado na figura seguinte:

Fig. 3.5 – Esquema do circuito elétricoutilizado.

Desta forma pudemos observar o movimento de descida com e sem a ação do campo elétrico (queda livre) e o movimento de subida com a ação do campo elétrico para as gotas eletrizadas. Não foi necessário medir o tempo de descida ou de subida com um cronômetro por que o movimento das gotas foi gravado em vídeo com um software de captura próprio da câmera digital, portanto, o vídeo possuía uma seqüência de quadros por segundo, que permitiu o rastreamento da posição das gotas (em pixel) quadro a quadro, com o uso do programa de edição de vídeos VideoPoint 2.5.Devemos enfatizar que a observação dos movimentos das gotas pelo telescópio não era de forma direta. Ou seja, quando víamos uma gota subindo no telescópio, na realidade ela estaria em queda. E vice-versa. Este fato pode ser compreendido entendendo o funcionamento do telescópio (imagem invertida). E, esta observação foi verificada ao inserir o fio de cobre. Observamos que ao colocar o fio de cobre pela placa superior, este aparecia na parte inferior da tela do computador. Para solucionar isso, a câmera digital foi rotacionada em 180º e a imagem foi observada de forma correta. Isto auxiliou para que a tomada de dados fosse feita de maneira intuitiva. As melhores gotas deveriam ter o tempo de queda livre entre 10 e 30s e o tempo de descida com o campo deveria ser maior que 5s. Desta forma medimos dez vezes o tempo de descida e subida para 10 gotas.Antes de colocar o condensador no suporte, o mesmo e as lâminas de vidro foram limpas com álcool para evitar qualquer sujeira. Vale a pena também ressaltar que durante a experiência foi evitado muitos movimentos e falar próximo ao aparato experimental, pois isto poderia causar deslocamentos de ar que prejudicariam nas nossas medidas. Outro cuidado a ser citado foi fazer as leituras da temperatura ambiente, da pressão atmosférica local e da humidade relativa do ar no dia do experimento.

4) Resultados e análise de dados

Primeiramente, foi preciso determinar as velocidades de subida e descida (sendo ambas em presença do campo elétrico). Com estes dados foi determinado o ráio de cada gota. E em seguida foram obtidas as cargas de cada gota.

4.1) Calculo das velocidades de subida e descida em presença de campo elétrico

Para isso foram utilizados os dados de posição e tempo coletados através do programa VideoPoint. Com isso, foram obtidos dados de

posição (pixel) por tempo. Para efetuar a conversão dos dados de posição para centímetos foi utilizada a foto de uma escala, obtida na mesma posição onde foi colocado o capacitor.

Figura 4.1.1 – Foto da escala tirada com a camera digital acoplada ao microscópio

Assim, foram feitas diversas medições da escala em milímetros e foi verificado o número de pixels por milímetro, e assim foi encontrado o fator de conversão para o nosso arranjo experimental:

Fator de conversão de pixel para centímero2339(50)

Tabela 4.1 – Fator de conversão de pixel para centímetro.

Após a conversão, foram obtidos os dados de velocidade de subida e descida. Em cada conjunto de dados utilizado para cada gota existiam diversas inversões de velocidade devido a alterações propositais na tensão, com o objetivo de alterar a direção do campo elétrico. Para determinar as velocidades, cada intervalo de pontos, cujos pontos subiam ou desciam linearmente com o tempo, foi separado para aproximar uma velocidade por regressão linear, conforme mostrado no gráfico a seguir.

Gráfico 4.1.1 – Posição [pixels] (Y) em função do tempo [s] para o Vídeo 4 gota 3.

Para cada gota, foram encontradas diversas velocidades. Cada velocidade foi encontrada por regressão linear. A incerteza de cada velocidade foi determinada como sendo a incerteza do ajuste da reta referente a esta velocidade. Estas velocidades foram agrupadas em velocidades de subida e descida para cada gota. Assim, para determinar o valor e a incerteza das velocidades de subida e descida, foram feitas média ponderada dos valores encontrados por regressão linear. Os dados para as velocidades de cada gota se encontram nos anexos.

4.2) Calculo dos ráios de cada gota

Para obtenção dos raios, foi utilizada a fórmula obtida anteriormente.

a=− b2p

b2

4p290 vdescida−vsubida

4 g óleo−ar (4.2.1)

onde:b=6,17⋅10−4cm⋅Hg ⋅cm é uma constante,p=70,470±0,005 cm⋅Hg é a pressão medida

no laboratório,0=1,84⋅10−4∓5⋅10−7 ,

óleo=0,8312±0,0036 gcm3 é a densidade do

óleo,g=978,622 cm

s2 é o valor da aceleração da

gravidade medido no laboratório, v subida é a velocidade de subida da gota, v descida é a velocidade de descida da gota,

ar=0,0011114±0,0000019 gcm3 é o valor

da densidade do ar já corrigido de acordo com a humidade relativa do ar. A correção da densidade do ar é descrita no ítem 4.2.1.A incerteza para a pressão p foi a de metade da menor medição do barômetro. A incerteza para 0 é tabelada.A incerteza do ráio é dada por:

a2=

∂a∂ p

2

p2

∂ a∂ar

2

ar

2 ∂ a

∂óleo

2

óleo

2

∂ a∂0

2

0

2 ∂ a

∂ vsubida

2

v subida

2 ∂a

∂ vdescida

2

vdescida

2

Onde:∂a∂ p

=b

2⋅p2−0.25⋅b2

p3⋅9⋅0

4⋅g⋅vd−vsól−ar

12

∂ a∂0

=1.125⋅vd−vs

g⋅ól−ar ⋅9⋅0

4⋅g⋅vd−v sól−ar

b2

4⋅p2 12

∂ a∂v d

=1.125⋅0

g⋅ól−ar ⋅9⋅0

4⋅g⋅vd−vsól−ar

b2

4⋅p2 12

∂ a∂v s

=−1.125⋅0

g⋅ól−ar ⋅9⋅0

4⋅g⋅vd−vsól−ar

b2

4⋅p2 12

∂ a∂ól

=−1.125⋅0⋅vd−vs

g⋅ól−ar 2⋅

9⋅0

4⋅g⋅vd−vsól−ar

b2

4⋅p2 12

∂ a∂ar

=1.125⋅0⋅vd−v s

g⋅ól−ar 2⋅

9⋅0

4⋅g⋅vd−vsól−ar

b2

4⋅p2 12

Os valores dos ráios encontrados para cada gota se encontram nos anexos.

4.2.1)Cálculo da densidade do ar úmido ( ρ ar úmido).

A partir dos dados de umidade relativa do ar, pressão atmosférica e de temperatura do ar medidos durante a experiência e das tabelas auxiliares (Apêndice), calcula-se o valor da densidade do ar úmido (ρar úmido)

Dados do dia 22/agosto:

Temperatura do ar: t = (20,0 ± 0,5) °CPressão Atmosférica: p = (70,470 ± 0,005) cmHgUmidade Relativa do Ar: umidade = (57 ± 1) %

−

=

7603783,013,2732929,1_

epTúmidoarρ , onde

T = t + 273 K.

Utilizando tabelas auxiliares, encontramos:

1º) Encontrando o valor do Ponto de Orvalho:entrada da tabela: temperatura = (20,0 ± 0,5) °C e umidade = (57 ± 1) %

d (°C)12,011,4

Média (°C) 11,7Incerteza (°C) 0,4

Então, o valor do ponto de orvalho foi 11,7(4) °C.

2°) Encontrar o valor de 0,3783e:entrada da tabela: d = 11,7 (0,4)°C a = 0,3783e

a1 para d1 = 11°Ca2 para d2 = 12°C

3,733,98

amédio 3,86Incerteza 0,18

Então, o valor de a = 3,86 (18)

3º) Cálculo do 2º termo da equação 273,13

TT = t + 273 K.

t = (20,0 ± 0,5) °Centão: T = 293,0 (5) K

4°) Cálculo o 3° termop – a760 :p = (704,70 ±

0,05) mmHg

b =p – a = 700,84 (19)

A incerteza de (ρar úmido) é:

ar.úmido

ar.úmido2

=T

T

2

b

b

2

Então:

ar.úmido=1,111419 g/l, ouar.úmido=0,0011114 19 g/cm³

4.3)Cálculo das cargas para cada gota

O valor da carga de cada gota é dado pela seguinte fórmula:

q=3⋅⋅⋅a⋅dV

⋅v sv d

onde q é a carga da gota, é o coeficiente de viscosidade à temperatura ambiente, dado por

=0⋅1b

p⋅a−1

, a é o ráio da gota, V é a diferença de potencial do capacitor, d é a distância do capacitor e vale d =0,4201±0,001 , vd é a velocidade de descida da gota e v s é a velocidade de subida da gota.

Com isso a carga é dada por:

q=3⋅⋅0⋅1

bp⋅a

−1

⋅a⋅d

V⋅v sv d

A incerteza da carga para cada gota é dada por:

q2=∂q

∂a

2

⋅a2 ∂ q

∂V

2

⋅V2 ∂ q

∂ d

2

⋅d2

∂q∂v s

2

⋅v s

2 ∂q∂ vd

2

⋅ vd

2

onde:

∂ q∂a

=3⋅⋅d0⋅V

⋅ b

a⋅ ba⋅p

12

⋅p 1

ba⋅p

1

∂ q∂d

=3⋅⋅0⋅1

bp⋅a

−1

⋅a

V⋅vsvd

∂q∂v s

=3⋅⋅0⋅1

bp⋅a

−1

⋅a⋅d

V

∂q∂v d

=3⋅⋅0⋅1

bp⋅a

−1

⋅a⋅d

V

Utilizando um multímetro digital, os valores da tensão foram obtidos por medição da tensão do capacitor durante a filmagem das gotas. Sua incerteza foi obtida de acordo com o manual do aparelho. A distância do capacitor foi medida com um paquímetro em diversas partes e sua incerteza foi obtida pelo desvio padrão da medida.Os valores encontrados para as cargas das gotas se encontram nos anexos.

4.4) Determinação da carga elementar

Para determinar a carga elementar, primeiramente fizemos um histograma dos dados. É esperado que o comportamento quantico da carga elementar seja observado em um histograma das cargas, como vários picos. A carga quantizada é dada por n⋅q , onde n é um número inteiro, e q é a carga elementar. Cada pico do histrograma é associado à um dado n , e o pico imediatamente posterior é associado à nanterior1 . Parqa obter qualidade na determinação da carga, são necessários muitos dados. Por isso, com o histograma feito apenas com os dados do grupo, não foi possível determinar a carga elementar com qualidade.

Gráfico 4.1 Histograma feito apenas com os dados do grupo (carga dada em ues)

Assim sendo, foi feito um histograma com dos dados do grupo e os dados do restante da classe. Para facilitar a leitura do histograma a seguir, foram omitidos as maiores cargas medidas, uma vez que estas possuiam frequencias baixas.

Gráfico 4.2 Histograma feito apenas com os dados do grupo e dados da classe (carga dada em ues)

Os 3 primeiros picos destacados possuiam maior frequencia. Com isso, foi possível determinar a carga elementar utilizando estes 3 picos.A carga associada a cada pico foi determinada pela média deste grupo de dados. Para determinar a incerteza relativa a cada carga, foi utilizado o cálculo do desvio padrão da média. É esperado

que a diferença da carga associada à um pico e a carga associada ao pico anterior possua um valor próximo da carga elementar, conforme descrito a seguir:

q i−qi−1=qi i−1 (4.4.1)

Ou seja, na equação 4.4.1, temos a carga q i i−1 encontrada utilizando as cargas q i e q i−1 . É esperado que q i i−1 seja

aproximadamente o valor da carga elementar. Para determinar a incerteza de cada uma destas cargas foi utilizado o desvio padrão da média. A incerteza associada à q i i−1 foi obtida de acordo com a equação a seguir:

qi i−1

2 =i2 i−1

2 (4.4.2)

Com isso, a carga elementar qelementar foi determinada pela média ponderada das cargas

q i i−1 determinadas, que no caso foram q 3 2 e q 2 1 . A incerteza da carga

elementar foi determinada pelo desvio padrão da média.

Os valores encontrados são dados a seguir:

[ues 10^-9]q 3 1,63(12)q 2 1.15(12)q 1 0,67(12)Tabela 4.4.1 – Valores encontrados utilizando os 3

picos destacados no histograma do gráfico 4.2

[ues 10^-10]q 3 2 4.76(12)q 2 1 4.85(12)Tabela 4.4.2 – Valores encontrados utilizando as diferenças entre as cargas encontradas na tabela

4.4.1

[ues 10^-10]q elementar 4.81(12)Tabela 4.4.3 – Valor da carga elétrica elementar

utilizando as diferenças entre as cargas encontradas na tabela 4.4.2

5) Conclusão

Temos que o valor da carga elétrica elementar encontrado 4.81(12)[ues 10^-10] é compatível com o valor tabelado. Para determinar a carga elementar com a menor incerteza possível, é interessante que sejam tomados o maior número de dados possível.

Anexo 1 – Dados obtidos para o experimento

Tabela 1 – Valores obtidos para velocidades de descida e subida para cada gota Tabela 2 – valores obtidos o raio de cada gota

vide

ogo

ta

1 1 14,52 0,44 29,23 0,611 2 6,50 0,58 14,44 0,601 3 4,60 0,47 18,89 0,582 1 8,64 0,68 22,69 0,682 3 10,47 0,59 26,32 0,753 1 6,35 0,60 20,60 0,643 3 32,0 1,0 91,7 1,14 1 8,38 0,49 18,26 0,334 2 9,67 0,43 25,77 0,364 3 7,29 0,32 18,66 0,385 1 8,3 0,7 25,4 0,55 2 1,6 1,0 14,12 1,515 3 5,97 1,05 16,6 0,77 1 8,55 0,54 32,88 1,467 2 5,49 0,79 27,05 0,487 3 16,07 0,80 69,82 0,718 1 11,28 0,18 22,10 0,248 2 4,32 0,21 11,82 0,298 3 6,76 0,54 18,29 0,299 1 9,56 0,63 17,65 0,589 2 1,77 0,40 8,79 0,789 3 3,36 0,46 9,43 0,6010 1 6,15 0,31 16,34 0,4110 2 15,68 0,31 27,61 0,3910 3 17,05 0,62 29,12 0,6311 1 13,06 0,34 26,12 0,4211 2 14,74 0,28 23,83 0,2711 3 12,31 0,28 21,98 0,3312 1 13,28 0,27 28,85 0,4412 2 14,22 0,19 27,17 0,3612 3 14,83 0,36 27,72 0,2413 1 18,54 0,42 34,60 0,5613 2 8,90 0,26 19,79 0,4213 3 18,79 0,42 34,42 0,4614 1 6,55 0,30 18,91 0,2414 2 19,93 0,39 43,80 0,6214 3 7,86 0,28 15,21 0,3015 1 13,40 0,45 30,33 0,3315 2 7,30 0,43 15,41 0,3615 3 16,69 0,31 33,89 0,3519 1 17,44 0,31 56,08 0,3319 2 2,81 0,21 13,74 0,35

velo

cida

de

subi

da[c

m/s

*10^

-3]

ince

rteza

vel

su

bida

[cm

/s*1

0^-3

]

velo

cida

de

desc

ida[

cm/s

*10^

-3]

ince

rteza

vel

de

scid

a[cm

/s*1

0^-3

]

vide

o

gota

raio

[cm

*10^

-6]

erro

raio

[cm

*10^

-6]

1 1 82,3 2,21 2 59,4 3,31 3 81,1 2,22 1 80,3 2,92 3 85,6 2,73 1 80,9 2,63 3 170,0 2,24 1 66,7 2,14 2 86,3 1,64 3 71,8 1,75 1 89,2 2,55 2 75,6 5,85 3 69,5 4,37 1 107,0 3,67 2 100,5 2,37 3 161,2 1,78 1 70,0 1,08 2 57,6 1,58 3 72,4 2,19 1 59,9 3,49 2 55,6 3,79 3 51,4 3,410 1 67,8 1,810 2 73,7 1,610 3 74,1 2,911 1 77,3 1,711 2 63,8 1,511 3 65,9 1,612 1 84,8 1,512 2 77,0 1,312 3 76,8 1,413 1 86,2 2,013 2 70,2 1,713 3 85,0 1,814 1 75,1 1,314 2 106,0 1,714 3 57,0 1,715 1 88,6 1,615 2 60,0 2,215 3 89,3 1,319 1 135,99 0,9019 2 70,3 1,419 3 82,9 1,520 1 173,2 1,720 2 173,2 1,7

Tabela 3 – valores obtidos para a carga de cada gota, utilizados no histograma do gráfico 4.1

Tabela 4 – valores das cargas de toda a classe, utilizados no histograma do gráfico 4.2 (sem

incertezas)

vide

o

gota

carg

a[ue

s*10

^-10

]

erro

car

ga[u

es*1

0^-1

0]

1 1 38,7 1,31 2 12,9 0,91 3 20,41 0,872 1 27,3 1,32 3 34,3 1,43 1 23,5 1,13 3 239,1 4,54 1 34,3 1,44 2 60,7 1,64 3 36,3 1,25 1 59,9 2,45 2 23,3 3,25 3 30,5 2,67 1 89,5 4,57 2 65,7 2,47 3 286,9 5,08 1 45,6 0,98 2 17,7 0,68 3 35,5 1,49 1 31,3 2,19 2 11,1 1,29 3 12,3 1,110 1 29,7 1,110 2 62,6 1,610 3 67,2 2,911 1 59,1 1,611 2 47,0 1,211 3 43,4 1,212 1 70,1 1,512 2 61,9 1,312 3 63,5 1,313 1 90,2 2,413 2 38,8 1,213 3 88,9 2,214 1 37,05 0,8514 2 135,1 2,814 3 24,66 0,8715 1 76,3 1,715 2 25,8 1,215 3 89,09 1,619 1 105,5 1,119 2 11,63 0,3719 3 17,66 0,5520 1 188,1 2,920 2 188,2 2,9

Cargas [ues *10^-10]16,42 10,63 2,92 27,5016,45 10,71 4,41 27,5216,69 10,88 4,86 28,1516,77 11,01 4,99 28,5216,88 11,03 5,16 29,6916,99 11,04 5,37 30,2417,02 11,07 5,64 30,6417,26 11,20 5,99 31,6017,34 11,21 6,12 31,8517,38 11,30 6,33 31,8917,66 11,50 6,34 31,9417,72 11,86 6,36 32,6217,85 12,05 6,41 33,4517,93 12,23 6,44 33,4717,96 12,37 6,62 34,7418,15 12,40 6,64 34,9918,26 12,42 6,69 37,1719,19 13,11 6,71 37,7519,21 13,17 6,75 37,7919,22 13,19 6,97 39,4119,24 13,23 7,13 40,0219,97 13,59 7,20 42,4220,76 13,74 7,22 43,9520,84 13,82 7,31 44,9020,94 14,16 7,74 46,3521,02 14,36 7,88 47,7521,34 14,63 8,17 55,2821,39 14,65 8,22 63,5821,79 14,83 8,4021,96 14,91 8,4921,98 15,17 8,7023,29 15,18 9,0923,84 15,49 9,9323,86 15,73 10,0024,38 15,74 10,1224,84 15,79 10,2725,92 15,94 10,3026,03 16,09 10,4026,11 16,15 10,5126,93 16,32 10,58

Apêndice A

Histórico e Teorias Envolvidas na Experiência

O conceito de eletricidade surgiu a partir da observação de que algumas substâncias, quando atritadas em seda, podiam atrair ou repelir partículas de determinados materiais. Tal efeito já tinha sido observado pelos gregos no âmbar – que em grego se escreve “elektron”, daí o termo “eletricidade”.

Em 1730, Dufay estudou a capacidade de atrair e repelir objetos de alguns materiais classificou as propriedades de “resinosas” e “vítrias”. Em 1750, Benjamin Franklin usou os termos “positivo” e “negativo” para diferenciar os dois efeitos. Em 1759, Symmen apresentou a idéia de que a matéria é eletricamente neutra por ter propriedades positivas e negativas e, em 1837, Faraday complementou-o dizendo que as mesmas ocorriam simultaneamente e na mesma quantidade.

Somente no século XIX, contudo, é que se iniciou o desenvolvimento de uma Teoria Elétrica. Em 1891, Johnston Stoney cunhou o termo “elétron” como a unidade de eletricidade – inicialmente sem distinção entre positivo ou negativo.Faraday foi o primeiro a tentar estimar a carga do “elétron” (e). Através das reações de dissociação de sais em água, estudou o comportamento dos íons, chegando ao valor e = 3x10-10 e.s.u. (EletroStatic Units, ou unidades eletrostáticas).

Nessa época, a Teoria Cinética dos Gases estava em seu período de grande desenvolvimento com experiências realizadas por Joule e Maxwell. Com a descoberta dos raios-X por Röetnger, em 1895, a idéia de átomo indivisível ruiu: gases monoatômicos, por exemplo, como o Hélio, passaram a conduzir eletricidade após serem bombardeado por raios-X. Começara, então, a busca pelos elementos constituintes do átomo.J.J. Thomson estudou esse efeito. Descobriu que a condutividade induzida pelos raios-X cessava quando o gás passava por (i) lã de vidro, (ii) tubos estreitos de metal ou (iii) entre placas condutoras com diferença de potencial alta. Concluiu, em 1896, que a condução elétrica em

gases era de natureza eletrolítica.

A primeira tentativa de determinação de e foi feita por Townsend, em 1897. Já era sabido há tempos que o hidrogênio resultante da dissolução de metal em ácido era carregado eletricamente. Townsend percebeu que “borbulhando” esse gás em água, criava-se uma nuvem eletrificada. Notou, também, que o ser borbulhada em ácido, essa nuvem desaparecia, mas o ar continuava carregado; quando este entrava em contato com o a atmosfera, a nuvem era formada novamente de acordo com a umidade do ar.

Utilizando esse método de criação de gotas carregadas, o procedimento consistia de:

1) Assumir que o número de íons era o mesmo que o número de gotas.

2) Determinar a carga elétrica total (por centímetro cúbico de gás).

3) Encontrar o peso total da nuvem.4) Encontrar o peso médio das gotas

observando a velocidade de queda livre das mesmas e encontrando o raio médio pela Lei de Stokes.

5) Dividir o peso da nuvem pelo peso médio das gotas, encontrando o número de íons; em seguida, dividir a carga total pelo número de íons, encontrando e.

O valor encontrado foi e = 3 x 10-10 e.s.u. Os pontos fracos da experiência foram:

1) Assumir que o número de íons era igual ao número de gotas.

2) Assumir a validade da Lei de Stokes (na época, pouco estudada).

3) Considerar todas as gotas idênticas e de mesma velocidade de queda livre.

4) Não considerar a convexão na nuvem.

Um aperfeiçoamento foi proposto por J. J. Thomson. Utilizando ar ionizado por raios-X em contato com água, criou gotas eletrificadas por expansão repentina (o volume do recipiente era aumentado repentinamente, baixando a temperatura do gás – para entrar em equilíbrio térmico com o meio, algumas moléculas de água eram evaporadas, formando a nuvem). Estudou separadamente as velocidades das gotas carregadas positiva e negativamente, chegando ao valor (pelo mesmo modo que Townsend) de

e = 6,5 x 10-10 e.s.u. Posteriormente, Thomson utilizou a radiação do Rádio para ionizar o ar e encontrou o valor e = 3 x 10-10 e.s.u.

Ainda haviam algumas fontes de incertezas, relacionadas com a validade da Lei de Stokes e com o número de íons e gotas considerados.

Um novo aperfeiçoamento foi criado por Wilson. Utilizando um par de placas condutoras horizontais paralelas e sob diferença de potencial, observou a queda das gotas (criadas por expansão repentina) na ausência e na presença de campo elétrico. Um diferencial: mediu apenas a velocidade das gotas do topo da nuvem, ou seja, as mais leves.

Assim, sendo v1 a velocidade de queda livre e v2

a velocidade de queda sob campo elétrico,

v1

v2= mg

mgEe (A.1)

m é dada por

m= 43 a3água (A.2)

e v1, pela Lei de Stokes, é

v1=29

g a2 água

ar(A.3)

Wilson encontrou e = 3,1 x 10-10 e.s.u.

A primeira investida de Millikan foi o “Método da Gota Balanceada” (Balanced-drop Method). Na tentativa de minimizar os efeitos de evaporação das gotas, Millikan usou um campo elétrico forte o suficiente para equilibrar as gotas. Acreditava que, tornando o movimento estacionário, a evaporação poderia ser observada e estudada. Não conseguiu eliminar essa incerteza, porém percebeu que seria possível estudar as gotas individualmente, ou seja, as velocidades de queda livre e de deslocamento sob campo seriam medidas para a mesma gota.

Observando as gotas iluminadas por uma fonte de luz através de um telescópio, mediu o tempo

de queda em uma distância conhecida com e sem o campo elétrico. Com uma chave de inversão do sentido do campo, pode estudar toda a “história” das gotas: elas capturavam íons do ar e mudavam de direção e velocidade (portanto, de carga). Sabendo a velocidade da gota antes e depois dela capturar um único íon, foi possível determinar e, já que as variações dependiam unicamente da carga. Assim, Millikan provou que o valor de “e” era real, e não mais um valor médio.

Algumas fontes de erro persistiam:1) Falta de estabilidade do ar quando a gota

se movimentava.2) Não-uniformidade do campo elétrico.3) Evaporação gradual da gota.4) Validade da Lei de Stokes.

Uma segunda tentativa de Millinkan teve algumas modificações:

1) Utilizou um borrifador, ao invés do método de expansão repentina.

2) Utilizou óleo, ao invés de água.

Millikan observou o tempo que cada gota levava para percorrer uma distância conhecida em queda livre e sob o efeito do campo elétrico. Percebeu que, para a mesma gota, a velocidade de queda livre (v1) era sempre a mesma (dentro das incertezas), porém a de subida sob efeito do campo (v2) variava. Atribuiu essa variação à captura de íons do ar pela gota.

v1

v2= mg

Een−mg (A.4)

en=mgEv1

v1v 2 (A.5)

Assim, a carga era proporcional à diferença de velocidade causada quando a gota capturava um íon do ar.

e i=e ' n−en=mgEv1

v ' 2v2 (A.6)

Na verdade, observou-se posteriormente que não era que a captura de íons do ar deteminava a

carga da gota, mas o processo de criação do spray de óleo com o borrifador. As gotas poderiam ter qualquer valor múltiplo da carga elementar, sendo que acima de 100 vezes o método falhava.

O procedimento era registrar o tempo de queda livre e de subida (sob ação do campo elétrico) e verificar a diferença entre as velocidades sucessivas: dividindo as velocidades pela menor delas, encontrava-se o número de cargas elementares em cada gota. Dividindo a velocidade pelo número de cargas elementares, encontrava-se o valor de e. Realizando o mesmo procedimento para a soma das velocidades de queda livre e de subida, encontrava-se a carga total da gota.

O valor encontrado para e nessa segunda tentativa de Millikan foi e = 4,917 x 10-10 e.s.u.

Comprovou-se experimentalmente que a carga da gota não influi em sua velocidade de queda livre nem na sua forma (esférica, devido ao seu tamanho reduzido).

Milikan descobriu que a Lei de Stokes deveria ser corrigida: como as gotas eram muito pequenas, o meio – ar – não poderia ser considerado contínuo e homogêneo. Esse fator dependia do raio da esfera (a) e do caminho médio livre do meio (l). Como l, por sua vez é proporcional à pressão do meio (p), chegou-se ao valor:

=0

1 bpa

(A.7)

Sendo que 0 depende da temperatura do meio (T)

Assim, Millikan chegou ao valor final de e = (4,770 ± 0,005) x10-10 e.s.u.

Apêndice B

Solução das equações para determinar o raio a e a carga q de uma gota.

A resultante vetorial é dada por

F res= F peso Fempuxo F at.visc F elétrica=0(B.1)

Tomando como referencial o eixo y orientado positivamente para baixo (na direção de g ), determinamos a expressão da resultante em cada caso:

a) Movimento ascendente sob o campo elétrico do capacitor;

43a3 g óleo−ar 6a vsubida−q V

d=0

(B.2)

b) Movimento descendente sob o campo elétrico do capacitor.

43a3 g óleo−ar −6avdescidaq V

d=0

(B.3)

A soma de (B.2) e (B.3) resulta em:

83a3 g óleo−ar 6 avsubida – vdescida=0

dividindo ambos os lados por 2 a :

43

a2 g óleo−ar −3v descida – vsubida=0

o valor da viscosidade do ar corrigido é:

=0

1 bpa

(B.4)

Substituindo, temos:

43

a2 g óleo−ar =30

1 bpa

v descida – vsubida

4 a21 bpa

=90

v descida – vsubida g óleo−ar

Fazendo

4 a21 bpa

=4 a²4abp

=2a bp

2

− b2

P2

2a bp

2

− b2

p2=90

vdescida – vsubida g óleo−ar

2a bp

2

= b2

p290

vdescida – vsubidag óleo−ar

2a bp=b2

p290vdescida – v subida

g óleo−ar

Finalmente:

a=−b

2p b2

4p294 0

vdescida – v subidag óleo−ar

(B.5)

A diferença entre (B.2) e (B.3) resulta em:

6a v subida – vdescida −2q Vd=0

Usando (B.4) na equação anterior, tem-se p valor da carga da gota:

q=3a d V

vsubida – vdescida

(B.6)Bibliografia

[1] R.A. Milikan, “Electrons (+ and -), protons, neutron, mesons and cosmic rays”. University of Chicago Press. Chicago: 1935.