AULA 1

FÍSICA II

MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLESVALDIR BINDILATTI

AULA 1 – MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES

OSCILAÇÕES MECÂNICASCARACTERÍSTICAS DAS OSCILAÇÕES

MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLESSISTEMA MASSA-MOLAENERGIA NO SISTEMA MASSA-MOLAENERGIA E AMPLITUDES

OSCILAÇÕES MECÂNICASINTRODUÇÃO

I OSCILAÇÕES MECÂNICAS: MOVIMENTO DE UMSISTEMA EM TORNO DE SUA POSIÇÃO DEEQUILÍBRIO ESTÁVEL, QUE SE REPETECICLICAMENTE.

I EXEMPLOS:I OSCILADORES SIMPLES:

PÊNDULOS, SISTEMAS TIPO MASSA–MOLAI OSCILADORES COMPOSTOS:

CORDAS DE UM INSTRUMENTOSOM (OSCILAÇÕES DE DENSIDADE/PRESSÃONO AR)VIBRAÇÕES DE UM SÓLIDO

CARACTERÍSTICAS DAS OSCILAÇÕESAMPLITUDE

I AMPLITUDE: SE RELACIONA COM A EXTENSÃODO MOVIMENTO OSCILATÓRIO.QUANDO O MOVIMENTO É SIMÉTRICO EMTORNO DO PONTO DE EQUILÍBRIO, ELA ÉDEFINIDA COMO O MAIOR AFASTAMENTODESTE PONTO.

CARACTERÍSTICAS DAS OSCILAÇÕESPERÍODO E FREQUÊNCIA

I PERÍODO T : DURAÇÃO DE UM CICLOCOMPLETO DA OSCILAÇÃO

I PARA SISTEMAS COM ENERGIA CONSTANTE,TODO CICLO TEM A MESMA DURAÇÃO

I FREQUÊNCIA f : NÚMERO DE CICLOSREALIZADOS POR UNIDADE DE TEMPO

f = 1/TI NO SI A UNIDADE DE BASE PARA A FREQUÊNCIA

É CHAMADA hertz, Hz = s−1, EQUIVALENTE AUM CICLO POR SEGUNDO.

CARACTERÍSTICAS DAS OSCILAÇÕESPERÍODO E FREQUÊNCIA

I PÊNDULOS DE COMPRIMENTO EM TORNO DE1 m TÊM PERÍODOS DA ORDEM DE 2 s EFREQUÊNCIAS DA ORDEM DE 0,5 Hz.

I FAIXA AUDÍVEL HUMANA: DE 20 Hz a 15 kHz.I SÓLIDOS PODEM VIBRAR COM FREQUÊNCIAS

DE ATÉ GHz.I LUZ VISÍVEL (OSCILAÇÃO DO CAMPO

ELETROMAGNÉTICO): DE 375 THz A 750 THz.

CARACTERÍSTICAS DAS OSCILAÇÕESILUSTRAÇÃO

I O SISTEMA MASSA-MOLA E O PÊNDULO.

Xeq=X0 X→

0 x→

Massa-mola A=6,00 uLT=4,00 uT

−1 0 +1

17

18

19

20

21

22

23

24

25

t/uT

x/A v/√

k/mA

L

θ

s →

Pendulo

θmax=90,0o

T=4,00 uT

−1 0 +1

17

18

19

20

21

22

23

24

25

t/uT

θ/θmaxdθdt /

√

g/Lθmax

CARACTERÍSTICAS DAS OSCILAÇÕESILUSTRAÇÃO

I O SISTEMA MASSA-MOLA E O PÊNDULO.Xeq=X0 X→

0 x→

Massa-mola A=6,00 uLT=4,00 uT

−1 0 +1

17

18

19

20

21

22

23

24

25

t/uT

x/A v/√

k/mA

L

θ

s →

Pendulo

θmax=90,0o

T=4,00 uT

−1 0 +1

17

18

19

20

21

22

23

24

25

t/uT

θ/θmaxdθdt /

√

g/Lθmax

I ANIMAÇÃO

MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES

I OBSERVAMOS QUE O PERÍODO DO PÊNDULODEPENDE DA AMPLITUDE DA OSCILAÇÃO,ENQUANTO O DO SISTEMA MASSA-MOLA NÃO.

I A INDEPENDÊNCIA DO PERÍODO COM AAMPLITUDE É UMA CARACTERÍSTICA DOMOVIMENTO OSCILATÓRIO MAIS SIMPLESPOSSÍVEL: O MOVIMENTO HARMÔNICO.

I NESTE CONTEXTO, HARMÔNICO SIGNIFICA QUEPODE SER REPRESENTADO USANDO ASFUNÇÕES SENO/COSSENO.

MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES

I O MOVIMENTO DO SISTEMA MASSA-MOLA É UMMOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES (MHS). OMOVIMENTO DO PÊNDULO NÃO É HARMÔNICO.

I O MOVIMENTO HARMÔNICO É IMPORTANTEPOR SUA SIMPLICIDADE E PORQUE APROXIMAO MOVIMENTO DE QUALQUER OSCILADORQUANDO O DESLOCAMENTO DO EQUILÍBRIO ÉSUFICIENTEMENTE PEQUENO.

I VAMOS ESTUDÁ-LO, UTILIZANDO O SEUPROTÓTIPO MECÂNICO MAIS SIMPLES: OSISTEMA MASSA–MOLA.

MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLESPROTÓTIPO: SISTEMA MASSA–MOLA

I CORPO DE MASSA m PRESO A UMA MOLA DEMASSA DESPREZÍVEL E CONSTANTE ELÁSTICAk, FIXA NUMA DAS EXTREMIDADES

Xeq=X0 X→

0 x→

Massa-mola

MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLESPROTÓTIPO: SISTEMA MASSA–MOLA

I POSIÇÃO DE EQUILÍBRIO: MOLA RELAXADAX = X0 = Xeq

I FORÇA RESTAURADORA: FORÇA ELÁSTICAF = Fk = −k(X −Xeq) = −k x

I DEFINIMOS x COMO O DESLOCAMENTO DAPOSIÇÃO DE EQUILÍBRIO: x ≡ X −Xeq

Xeq=X0 X→

0 x→

Fk

Massa-mola

SISTEMA MASSA–MOLAFORÇAS

I SE O CORPO PENDE DA VERTICALO PESO, P = mg, DESLOCA APOSIÇÃO DE EQUILÍBRIO.

I CONDIÇÃO DE EQUILÍBRIO:

Fk−P = 0⇒ Xeq = X0 −mg

k

Xeq

X↑

X0

0

x↑

P

Fk

F

SISTEMA MASSA–MOLAFORÇAS

I FORÇA RESULTANTE:

F = Fk−P = −k(X−X0 +

mg

k

)I FORÇA RESTAURADORA, AINDA DA

FORMAF = −k(X −Xeq) = −k x

Xeq

X↑

X0

0

x↑

P

Fk

F

SISTEMA MASSA–MOLASEGUNDA LEI DE NEWTON

I APLICADA AO BLOCO DO SISTEMAMASSA-MOLA

ma = F = −kx, com a =dv

dt=

d2x

dt2I EQUAÇÃO DIFERENCIAL SEGUNDA ORDEM,

LINEAR E HOMOGÊNEA, PARA A FUNÇÃO x(t).d2x

dt2+

k

mx = 0

I ANTES DE RESOLVER ESTA EQUAÇÃO, VAMOSEXPLORAR AS RELAÇÕES DA ENERGIA COM ASPROPRIEDADES DA OSCILAÇÃO.

ENERGIA NO SISTEMA MASSA-MOLA

I ENERGIA POTENCIAL,(INCLUINDO AGRAVITACIONAL QUANDOFOR O CASO):

U(X) = Ueq +12kx

2

I VELOCIDADE:

v =dX

dt=

dx

dtI ENERGIA CINÉTICA:

K = 12mv2

Xeq=X0 X→

0 x→

Fv

Massa-mola

−6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6

0

5

10

15

20

25

x/uL

E−Ueq12kuL2

U−Ueq

K

ENERGIA NO SISTEMA MASSA-MOLACONSERVAÇÃO DA ENERGIA MECÂNICA

I NA AUSÊNCIA DEFORÇAS DISSIPATIVAS,A ENERGIA MECÂNICA,E = U +K , ÉCONSTANTE:

E − Ueq =12kx

2 + 12mv2

= 12kx

20 +

12mv20

Xeq=X0 X→

0 x→

Fv

Massa-mola

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

0

5

10

15

20

25

x/uL

E−Ueq12kuL2

U−Ueq

K

ENERGIA E AMPLITUDES

I PONTOS DE RETORNO:v = 0⇒ x2r =

2k (E − Ueq)

I AMPLITUDE DAOSCILAÇÃO: A = |xr|

I AMPLITUDE DAVELOCIDADE:

x = 0⇒ v2max =2m (E − Ueq)

I vmax =√

k/mA

Xeq=X0 X→

0 x→

F v

Massa-mola

−6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6

0

5

10

15

20

25

x/uL

E−Ueq12kuL2

U−Ueq

K

ENERGIA E AMPLITUDES

I RELAÇÃO ENTRE A ENERGIA E AS AMPLITUDES:

E − Ueq =12kx

2 + 12mv2 (qualquer posição)

= 12kx

20 +

12mv20 (condições iniciais)

= 12kA

2 (pontos de retorno)

= 12mv2max (posição de equilíbrio)

ENERGIA E AMPLITUDESILUSTRAÇÃO

I A SEGUINTE ANIMAÇÃO ILUSTRA AS OSCILAÇÕESNO SISTEMA MASSA-MOLA.

Xeq=X0 X→

0 x→

Fv

Massa-mola A=4,00 uLT=4,00 uT

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

0

2

4

6

8

10

12

14

16

x/uL

E−Ueq12kuL2

U−Ueq

K

−1 0 +1

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

t/uT

x/A v/ωA

MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLESRESUMO

I OBSERVAMOS A RELAÇÃO ENTRE ASOSCILAÇÕES DOS PARES DE GRANDEZAS:

I DESLOCAMENTO DO EQUILÍBRIO/FORÇARESTAURADORA (ACELERAÇÃO),

I POSIÇÃO/VELOCIDADE, EI ENERGIA CINÉTICA/ENERGIA POTENCIAL.

I PARA CONHECER OS DETALHES DA EVOLUÇÃOTEMPORAL E O PERÍODO DA OSCILAÇÃO,TEMOS QUE RESOLVER A EQUAÇÃO DEMOVIMENTO.