Mecanica e Ondas

fascıculo 7

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March 17, 2011

Contents

7.1 Terceira lei de Newton ou lei da acao e reacao . . . . . . . . . . . 1427.2 Forca gravitacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1467.3 Peso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1517.4 Elevador acelerado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1517.5 Massa gravitacional, massa inercial . . . . . . . . . . . . . . . . . 1537.6 O Princıpio da Equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1557.7 Lei de Hooke. Molas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1557.8 Movimento com forca constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1607.9 Polias ideais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1627.10 Friccao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1687.11 Forca de atrito e velocidade terminal . . . . . . . . . . . . . . . . 1767.12 Forca resistiva proporcional a velocidade . . . . . . . . . . . . . . 1787.13 Queda dos corpos no ar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

Mario J. PinheiroDepartamento de Fısica e Instituto de Plasma e Fusao NuclearInstituto Superior Tecnicoemail: mpinheiro@ist.utl.pt

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Nao ha quem aprenda alguma coisa simplesmente por te-la ouvido, equem nao se esforca sozinho em certas coisas acaba por conhece-lasapenas de modo superficial e pela metade

- “Coloquios com Goethe”, J. Eckermann

7.1 Terceira lei de Newton ou lei da acao e reacao

A lei da acao-reacao, ou terceira lei de Newton, e usada em qualquer manualuniversitario a fim de obter as leis da conservacao do momento linear e angular.Ernst Mach 1 considerou, algo surpreendentemente, a terceira lei como a leimais importante descoberta por Sir Isaac Newton.

Newton concluiu que as forcas agem sempre par a par e, assim, anulando-seigualmente par a par. Para toda forca aplicada, existe outra de mesmo modulo,mesma direcao e sentido oposto. Para uma dada pressao exercida sobre um ob-jecto, existe uma contra-pressao. Um corpo que puxa ou empurra outro corpoe, de acordo com Newton, exactamente puxado ou empurrado com igual magni-tude pelo outro. A experiencia que a fundamenta esta na percepcao intuitiva daconexao que existe entre pressao e contra-pressao. Com a Terceira Lei, Newtoncompleta a exposicao dos Principia Methematica demonstrando os seus teoremascom rigor e introduzindo o calculo diferencial 2. Newton e Leibniz beneficiaramdo trabalho preparatorio desenvolvido por Kepler, Galileu, Descartes, Fermat,Roberval, Cavalieri, Guldin, Wallis e Barrow.

Terceira Lei de Newton: A toda acao ha sempre oposta uma reacao igual,ou, as accoes mutuas de dois corpos um sobre o outro sao sempre iguais edirigidas a partes opostas 3.

Como se depreende da Fig. 1:−→F AB = −−→F BA. (7.1)

Aparentemente e impossıvel obtermos uma forca unica isolada.

Repare que:

• O par de forcas que constituem a acao-igual-reacao, agem sobre diferentesobjectos;

• Um corpo e acelerado pelas forcas que agem sobre ele, e nao e afectadopela forca que ele exerce sobre os outros corpos.

1Ernst Mach (1838 1916) foi um fısico e filosofo austrıaco.2Que ele designou por “metodo das fluxoes”. Assinale-se que Leibniz tambem desenvolveu

de forma independente os fundamentos do calculo diferencial.3Na formulacao original em Latim: “Lex III: Actioni contrariam semper et aequalem esse

reactionem: sine corporum duorum actiones in se mutuo semper esse aequales et in partescontrarias dirigi.”

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Figure 1: Lei da acao-reacao: as forcas anulam-se aos pares.

Figure 2: Uma forca de 2 N e aplicada no bloco A que esta em contacto com obloco B.

Exemplo 1: Uma forca de 2 N e aplicada por um operador no bloco A que estaem contacto com o bloco B. Identifique o par de forcas acao-reacao (Fig. 2).Suponha que mA = 1 kg e mB = 2 kg. Qual e a aceleracao adquirida pelosblocos? Qual e a forca

−→F AB?

Tracemos um sistema de coordenadas orientando o sentido positivo do eixo OXpara a direita, como ilustra a Fig. 2:

Temos em modulo:FBA = mBaB . (7.2)

Como se ve pela Fig. 2, a forca resultante que age sobre o bloco A e:

F − FAB = mAaA. (7.3)

Repare que, como neste caso as forcas estao todas aplicadas ao longo do eixoOx nao ha necessidade de escreve-las na forma vectorial.

Como os blocos estao em contacto, temos necessariamente a (condicao deconstrangimento do problema):

∴ aA = aB = a (7.4)

Da soma das Eqs. 7.3- 7.4 obtemos

F − FAB + FBA = (mA + mB)a. (7.5)

140

Mas atendendo que a lei da acao-reacao implica que

| −→F AB |=| −→F BA |, (7.6)

∴ F = (mA + mB)a (7.7)

Tudo se passa como se a forca resultante estivesse actuando sobre a massa totalm que a a soma da massa das outras duas, m = mA + mB . A aceleracaoadquirida pelos blocos movendo-se solidarios e entao dada por:

a =F

mA + mB=

2N

(1 + 2)kg=

23m/s2. (7.8)

A forca de contacto e obtida de imediato:

FBA = mBaB = mBa= 2× 2

3 = 43N.

(7.9)

Concluimos que a forca de contacto nao e igual a forca aplicada!

Heron de Alexandria (10 d.C. - 70 d.C.), matematico e engenheiro grego, inven-tou um mecanismo que provou o efeito mecanico da pressao do ar sobre os cor-pos. O pequeno engenho e o primeiro motor a vapor documentado na historia,e conhecido pelo nome de “eolıpila”. Mostra-se esta maquina na Fig. 3. E umexemplo perfeito da lei da accao e reaccao, assim como e um dos grandes inven-tos dos chineses, o foguete. A Fig. 4 mostra um guerreiro chines disparando umfoguete contra a horda de mongois 4.

Nas lendas europeias e contada a historia fantastica do barao alemao KarlFriedrich Hieronymus, Freiherr von Munchhausen (1720 1797). Ele teria re-alizado feitos extraordinarios, tais como voar em bolas de canhao, viajar atea Lua, e escapar de um pantano simplesmente puxando pelos seus proprioscabelos...

4Os Chineses repeliram os Mongois com uma barragem de foguetes, ou nas suas propriaspalavras, de “setas de fogo voador”. Essas setas eram foguetoes a combustıvel solido, con-stituıdos por um tubo fechado num extremo e aberto no outro e contendo polvora (outrogrande invento chines). O tubo era ligado a uma longa vara para estabilizar o movimento(vd. Fig.4). A polvora quando deflagrada produz fogo, fumo e o gas produzido e expelidocom grande velocidade pelo exaustor. A polvora e feita basicamente de 75 % de nitrato depotassio, 12.5 % de carvao em po e 12.5 % de enxofre purificado (in Arte dos Fogos de Ar-tifıcio, Tipografia do Comercio, Lisboa, 1908). A partir da batalha de Kai-Keng, os Mongoisproduziram os seus proprios foguetes e difundiram-nos na Europa. Em Inglaterra, RogerBacon aumentou o alcance dos foguetes. Em Franca, Jean Froissart descobriu que lancandoos foguetes por meio de tubos de lancamento melhorava a precisao do tiro, estava inventadaassim a “bazooka”. Em Italia, Joanes de Fontana inventou um torpedo que se deslocava asuperfıcie da agua com o proposito de incendiar os navios inimigos.

Johann Schmidlap, no sec. XVI inventou o foguetao com andares: um foguetao de maior ca-pacidade (primeiro andar) transportava um foguetao mais pequeno (segundo andar). Quandoo foguetao maior extinguia-se, o mais pequeno incendiava-se, atingindo uma maior altitude.Todos os foguetoes a propulsao quımica destinados a alcancar o espaco exterior usam estasimples ideia de Schmidlap.

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Figure 3: A maquina a vapor de Hero de Alexandria (10-70 A.C.), matematicoe engenheiro. Este simples motor a vapor tambem e conhecida por “Eolıpila”.

Figure 4: Os chineses inventaram o foguete em 1232 e usaram-nos contra osMongois.

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7.2 Forca gravitacional

Na natureza os movimentos conhecidos que determinam os fenomenos limitam-se a atraccoes, repulsoes, rotacoes, projeccoes, vibraccoes e vortices. Os movi-mentos mais conhecidos sao a atraccao e repulsao, talvez porque tenhamosinstrumentos mais adequados para medir estes ultimos. A balanca mede aatraccao exercida pela Terra sobre os corpos; um galvanometro mede a atraccaoexercida por um ıman sobre uma corrente electrica; o equilıbrio osmotico, quetem grande importancia na manutencao da vida da celula, consiste na atraccaoe repulsao das moleculas.

As vibracoes produzidas numa corda produzem som.

Os vortices desempenham um papel muito importante na natureza, pois um sim-ples sopro produz no ar uma rotacao do fluido-isto e, vortices. Um helicopteroeleva-se no ar porque as sua helices rodam no ar como parafusos...

Sir Isaac Newton mostrou que todos os corpos atraem-se mutuamente com umaforca directamente proporcional as suas massas e inversamente proporcional aoquadrado da distancia entre elas. Porem, acrescentou:

A razao dessas propriedades da gravidade, eu ainda nao as deduzi;nao faco hipoteses 5.

Postulado de Newton: Em todo o par de partıculas do universo cada umaexerce sobre a outra uma forca gravitacional de mutua atracao. Esta forca eproporcional ao produto das massas e inversamente proporcional ao quadradoda distancia entre elas:

Fg =Gm1m2

r212

, (7.10)

onde G = 6.673 × 10−11 N m2/kg2 representa a constante da gravitacaouniversal (Fig. 5).

Na proximidade da superfıcie terrestre (de massa mT e raio RT ) uma massa me actuada pela forca:

Fg = m

(GmT

R2T

)= mg, (7.11)

ondeg ≡ GmT

R2T

, (7.12)

e a aceleracao da gravidade.

A constante da gravitacao pode ser medida experimentalmente com uma balancade Cavendish 6 (Vd. Fig. 6).

5Esta e o celebre ditto de Newton: “Hypothesis non fingo”.6Henry Cavendish (1731 - 1810), foi um excentrico cientista britanico. Descobriu o

hidrogenio. Usou uma balanca de torsao para determinar G. Contribuiu para o conheci-mento dos fenomenos electricos propondo a lei da atraccao entre cargas electricas e utilizandoo conceito de potencial eletrico.

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Figure 5: Forca de atraccao gravitacional entre dois corpos de massa m1 e m2

distantes de r12.

Figure 6: Seccao vertical da balanca de torsao de Cavendish. As esferas maioresestavam penduradas num quadro de modo a poderem rodar aproximando-se dasesferas menores.

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Naturalmente nao nos e possıvel se pesar um planeta, mas conhecendo o valor deG podemos determinar a massa de qualquer objecto cosmico. A aceleracao dagravidade g pode ser determinada medindo a queda de objectos. Conhecendo-seG, RT e g podemos determinar a massa da Terra!:

mT =gR2

T

G. (7.13)

Considere a seguinte situacao: um objecto m encontra-se a superfıcie da Terra.Duas forcas opostas agem sobre ele (Vd. Fig. 7-(a)). A forca gravitacional daTerra e

−→F g e a forca de contacto denota-se por

−→N com o solo. Se o objecto nao

se move, temos −→N +

−→F g = 0,

ou seja −→N = −−→F g.

Por sua vez a Terra encontra-se submetida a forca gravitacional da massa m ea forca de contacto com o objecto −→w (Vd. Fig. 7-(b)):

−→w = −−→F g.

Repare que todas as forcas referidas no exemplo anterior possuem igual magni-tude (modulo).

Ao nıvel quantico as leis de Newton nao descrevem com rigor a trajectoria daspartıculas quando submetidas ao campo gravıtico (−→g constante). A Fig. 8revela a natureza discreta das propriedades da materia. Sabe-se da MecanicaQuantica que qualquer partıcula aprisionada num poco de potencial estara su-jeita a estados quanticos ligados. E por este motivo que os electroes existemem estados quanticos (discretos) na presenca de um campo electromagnetico edaqui resulta a estrutura atomica. Do mesmo modo, na presenca do campogravıtico devera haver a formacao de estados quantificados. Na experiencia re-alizada por Valery V. Nesvizhevsky, no Instituto Laue-Langevin, neutroes eramatirados para um espelho horizontal e que em conjunto com o campo gravıticofornecem as condicoes de um potencial finito. Verificou-se entao que os neutroesem queda nao se movem de forma contınua, mas dao saltos de uma altura paraoutra, tal como e predito pela teoria quantica. Este exemplo ilustra bem oslimites da aproximacao da mecanica classica no ambito microscopico.

No cap. 6 referimos que na visao actual da ciencia a interacao gravitacionalprocessa-se via um mediador. Esta ideia seminal foi proposta pelo fısico japonesHideki Yukawa em 1934. Ele mostrou que se dois protoes pudessem trocarpartıculas virtuais, o resultado da troca seria uma forca atractiva entre osprotoes. Hoje sabe-se que essa partıcula e o mesao π. A massa relativamenteelevada deste mediador implica uma forca (nuclear) forte. A Fig. 9 ilustra estaideia. A partıcula virtual tem um perıodo de existencia muito efemero.

145

Figure 7: Forca gravitacional, reaccao do solo e peso w. (a): forcas actuandosobre o objecto; (b): forcas actuando sobre a Terra; ambas sao pares de forcasobedecendo a lei da accao-reaccao.

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Figure 8: Os pontos experimentais sao obtidos com intervalo de 2 m. A curvaa tracejado corresponde a um ajuste usando calculos de mecanica quantica. Acurva contınua e obtida com o calculo classico do movimento balıstico. Ref.Valery V. Nesvizhevsky, Nature 415, 297-299 (2002).

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Figure 9: A troca de partıculas virtuais (ou mediadores) resulta numa forca deatraccao nuclear forte, de acordo com a ideia original de Hideki Yukawa.

7.3 Peso

A forca de contacto −→w que um objecto exerce sobre o que a suporta e chamadade peso de um objecto.

No exemplo anterior a forca−→F g age no objecto e −→w age na Terra. Nao havendo

aceleraccao, verifica-se necessariamente

−→w = m−→g . (7.14)

7.4 Elevador acelerado

Ja conclusao diferente e obtida se o suporte do objecto se encontra acelerado,como sucede quando um objecto e colocado no chao dum elevador aceleradopara cima com aceleracao −→a .

As forcas que agem sobre m resultam nas equacoes:

N − Fg = ma,N = Fg + ma = mg + ma = m(g + a). (7.15)

N representa a forca que o elevador exerce sobre o objecto; Fg e a forca que aTerra exerce sobre o objecto. Atendendo a que a reaccao do piso e

−→N = −−→w ,

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Figure 10: Um objecto encontra-se colocado no chao de um elevador que eacelerado para cima. (a): forcas que agem sobre o objecto; (b): forcas queagem sobre o elevador.

tem-se: −→N = −−→w

∴| −→w |= m(g + a)em modulo.(7.16)

Isto e, o peso e aumentado da quantidade ma em relacao ao seu valor emrepouso.

Se o elevador move-se para baixo com aceleracao a′, entao teremos

w = m(g − a′), (7.17)

isto e, o peso diminui de ma′.

Em queda livre podemos prever que a′ = g ∴ w = 0, o objecto nao tera peso,porque a forca de contacto com o suporte passara a ser nula.

Exemplo 2: - Astronauta ou satelite.

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Suponha que um satelite artificial encontra-se numa orbita circular em torno daTerra (vd. Fig. 11). Na posicao orbital que ocupa a aceleracao e centrıpeta edesignemo-la por g′:

g′ =v2

R(7.18)

A forca que actua sobre o satelite e o astronauta e dada por

Fs = Fg = Mg′. (7.19)

As forca que actuam sobre o astronauta sao:

fa = fg −N = mg′. (7.20)

Mas, por definicaoFg = Mg′

fg = mg′. (7.21)

Logo, atendendo a Eq. 7.20, obtem-se:

∴ w = N = 0.

Tal significa que o astronauta nao sente nenhuma forca de contacto com o chaoe, portanto, o astronauta tem a sensacao que nao tem peso. Na verdade oastronauta continua a ter o peso fg = mg′, a diferenca e que a superfıcie daTerra g = 9.8m/s2 aproximadamente e a 400 km de altitude g′ = 8.7 m/s2: opeso dum astronauta com a massa de 100 kg passaria de 98 N para 87 N, o quenao representa uma mudanca de peso muito significativa. Na verdade o satelitee o astronauta estao ambos em queda livre para a Terra e daı resulta a sensacaofısica de perda de peso efectiva, porque o astronauta nao tem uma forca decontacto que o faca sentir a forca gravitacional, que efectivamente continuaagindo sobre ele.

7.5 Massa gravitacional, massa inercial

Existem dois tipos diferentes de massa:

Massa inercial: - Nas leis da mecanica a quantidade m e o coeficiente deproporcionalidade entre a forca e a aceleracao,

−→F = mI

−→a . A massa definidadesta forma e chamada massa inercial.

Massa gravitacional: - A massa tambem e uma propriedade da materia queprovoca as forcas gravitacionais entre os corpos tal que

−→F = GmT mg

R2T

= mg−→g .

A esta massa designa-se de massa gravitacional.

Uma questao fundamental em fısica e: serao as duas iguais? Ajustando a con-stante da gravitacao universal G, obtemos de facto mI = mg

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Fg

(a)

(b) (c) (d)

w

M

fg

m

a=g'=v2/r

v

rR

T

TERRA

Figure 11: Um astronauta num satelite em torno da Terra nao sente a gravidade.

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7.6 O Princıpio da Equivalencia

Albert Einstein ainda era um simples funcionario no escritorio de patentes emBerna, Suıca, quando teve o que ele considerou ser “a ideia mais feliz da minhavida”. Einstein ja tinha formulado a Teoria da Relatividade Restrita e procuravageneralizar aqueles conceitos a referenciais acelerados:

“Esta lei... da igualdade da massa inercial e da massa gravitacionalfoi entao compreendida por mim com todo o seu significado. Fiqueiabismado com a sua existencia e conjecturei que ela deveria con-ter a chave para uma compreensao mais profunda da inercia dagravitacao”.

Einstein formulou entao assim o

Princıpio da equivalencia: Consideremos 2 referenciais: 1) um referencialR inercial nao acelerado no qual existe um campo gravitacional uniforme e 2)um referencial R′ acelerado uniformemente mas no qual nao existe um campogravitacional. Estes dois referenciais sao fisicamente equivalentes.

Einstein deu um passo gigantesco ao sugerir que nenhuma experiencia mecanica,eletromagnetica, etc., permite distinguir R de R′.

7.7 Lei de Hooke. Molas

Todos os corpos sao elasticos ate certo ponto. Quando sao submetidos a umaforca de compressao ou extensao deformam-se.

Exemplos:

• bolas de aco;

• tiras de borracha;

• molas.

Um corpo resiste a deformacao por meio de uma forca de restauracao. Aexperiencia mostra-nos que quando puxamos uma mola ela por sua vez puxa-nos tambem.

Em primeira aproximacao a relacao existente entre a forca de restauracao ea deformacao obedece a uma lei empırica muito simples conhecida por lei deHooke 7.

7Robert Hooke (1635 1703) foi um filosofo, fısico e matematico ingles. Foi a primeirapessoa a usar a palavra “celula” como a unidade basica da vida. Hooke anunciou a sua leida elasticidade na forma de um anagrama, como era por vezes usado por cientistas tais comoGalileu, Huygens e outros, de modo a estabelecer a prioridade da sua descoberta sem oferecerdemasiados detalhes reveladores. O anagrama foi: ceiiinosssttuv, mais tarde foi reveladoquerer significar “ut tensio sic vis”, ou seja, como a extensao a forca

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Lei de Hooke: a magnitude da forca de restauracao e directamente propor-cional a deformacao.

A lei de Hooke e conhecida na forma

T = El′ − l

l(7.22)

onde T e a tensao (ou pressao) exercida sobre um corpo (por exemplo, umabarra de metal); l e o comprimento natural (ou na ausencia de tensao) da mola;E e o modulo de Young (expresso em Pascal Pa no S.I.) 8; l′ o comprimento damola sob tensao.

Pode ser tambem expressa em termos de uma forca ou tensao:

T = k(l′ − l), (7.23)

sendo k uma constante elastica.

Esta lei e:

• aproximada;

• constitui uma descricao empırica;

• e valida para pequenas deformacoes.

7.7.1 Mola helicoidal

Na Fig. 12-(a) mostramos uma mola helicoidal 9 relaxada, e em Fig. 12-(b)mostramos a mesma mola distendidada de um alongamento x. A lei de Hookediz que

F = −kx (7.24)

onde k representa a constante elastica da mola e x o seu alongamento. O sinalnegativo significa que a forca restauradora se opoe a deformacao. Atencao,quando

• +x - a mola e esticada

• −x - a mola e comprimida

A constante k vem em unidades N/m no sistema SI. Quando k e elevada a molae rıgida (forca elevada po unidade de deslocamento), quando k e pequeno a molae mole (forca pequena por unidade de deslocamento).

A Fig. 14 mostra uma curva tıpica tensao-alongamento.8Ou ainda modulo de elasticidade longitudinal. Por exemplo, para o aco tem-se Eaco ≈

21000 kN/cm2; concreto, Econc ≈ 3000 kN/cm2.9Em ingles chama-se coil spring.

153

(a)

(b)

x

Mola relaxada

Mola distendida com alongamento x

Figure 12: Mola helicoidal. (a), em repouso; (b)-distendida com alongamentox.

154

Figure 13: (a) - Se +x obtemos alongamento da mola e a forca negativa opoe-seao estiramento; (b) - Se −x temos compressao da mola e a forca com que amola reage e positiva opondo-se a sua compressao. Sempre os pares de forcaspresentes na lei da accao-reaccao.

Figure 14: Curva tıpica de tensao-alongamento.

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QuadroNegro 1 - Molas em paralelo

Em paralelo, a constante elastica efectiva e keff = k1 + k2.

QuadroNegro 2 - Molas em serie

Em serie, a constante elastica efectiva e dada por 1/keff = 1/k1 + 1/k2.

156

7.8 Movimento com forca constante

−→F = m−→a

Se−→F = const. entao −→a = const.

Num sistema de eixos ortogonais:∑

Fx = max∑Fy = may∑Fz = maz

(7.25)

Forcas:

• Tensao,

• gravidade,

• forca normal, de contacto

• friccao.

• mola.

Exemplo 3: Considere duas massas em tandem (Fig. 15) deslizando sobre umplano horizontal, sem friccao e despreze a massa dos cabos de ligacao.

Sobre a massa m2 agem as forcas:

F − T2 = m2a2 eixo OxN2 −m2g = 0 eixo Oy (7.26)

Sobre a massa m1 agem as forcas:

T1 = m1a1 eixo OxN1 −m1g = 0 eixo Oy (7.27)

Os dois corpos estao constrangidos a moverem-se juntos, e temos assim obriga-toriamente a1 = a2 = a. Um cabo ideal actua de modo que T1 = −T2 = T .

A adicao das componentes em OX resulta em

F = (m1 + m2)a (7.28)

dondea =

F

m1 + m2(7.29)

Da Eq. 7.28 obtem-seT = m1a =

m1

m1 + m2F.

157

Figure 15: (a) Duas massas em tandem unidas por um cabo sem massa; (b):forcas actuando sobre a massa m2; (c): forcas actuando sobre a massa m1.

158

Figure 16: A componente normal da forca de contacto bisecta o angulo entre osextremos do cabo.

7.9 Polias ideais

• Sao usadas polias ideias para mudar a direcao da forca exercida peloscabos;

• Se o cabo e a polia nao tiverem ambos massa, a tensao e a mesma deambos os lados da polia

• No caso contrario, isto ja nao e verdade;

• Assume-se que as polias ideais nao tem massa nem exercem friccao.

A componente normal da forca de contacto e suposta bisectar o angulo entre osextremos do cabo (Fig. 16).

Os cabos so podem servir para puxar (exercer tensao, nao compressao).

• cabos de massa desprezavel: a tensao e a mesma por todo o lado;

• Se a massa do cabo e diferente de zero, trata-se como outro corpo massivoqualquer;

159

Figure 17: (a) Dois blocos encontram-se ligados por meio de um cabo e saopuxados por uma forca aplicada F . O cabo tem comprimento L e massa mc.(b), (c), and (d) Diagramas das forcas actuando sobre o bloco m2, o cabo deligacao mc, e o bloco m1, respectivamente.

• O cabo e suposto nao ter resistencia interna e alinha-se com a forca apli-cada;

• assume-se que nao ha alongamento do cabo (mantem o comprimento con-stante).

Exemplo 4: Dois blocos estao ligados por uma corda, como mostra a Fig. 17.

Como os blocos estao unidos a aceleracao de ambos e a.

m1 : F − T1 = m1am2 : T2 = m2amc : T1 − T2 = mca

(7.30)

O somatorio resulta emF = (m1 + m2 + mc)a

assim comoT1 = F −m1a = (m2 + mc)a

eT2 = m2a,

isto e, T1 6= T2.

Verificamos que, devido a massa do cabo, a tensao nao e a mesma ao longo doseu comprimento. Seja l o seu comprimento e Tl a tensao no ponto l (Fig. 18).

QuadroNegro 3 -

160

Figure 18: O cabo e secionado longitudinalmente numa extensao de compri-mento l e noutra de extensao L− l.

Exemplo 5: Contrangimento: Considere o sistema da Fig. 19 sem atrito, caboe polia com massa desprezavel.

Massa m1:T1 = m1a1

N −m1g = 0 (7.31)

Massa m2:m2g − T2 = m2a2

Polia:2T1 − T2 = 0.

Constrangimento: Quando m1 move-se a distancia x1 para a direita, a massam2 cai a distancia x2 = x1/2.

∴ a2 =d2x2

dt2=

12a1. (7.32)

Das Eqs. anteriores e facil obter

a2 =(

m2

4m1 + m2

)g

que deve ser resolvido com o que ja tinhamos obtido a1 = 2a2.

Exemplo 6: Massas acopladas: Assuma que nao ha friccao e os cabos temmassa desprezavel (Fig. 20).

Massa m1:eixoOx m1g sin θ − T = m1aeixoOy N1 −m1g cos θ = 0 (7.33)

Massa m2:eixoOx T = m2aeixoOy N2 −m2g = 0 (7.34)

161

Figure 19: Polia e cabos com massa desprezavel do exemplo.

Figure 20: Massas acopladas.

162

Figure 21: Maquina de Atwood.

Somando as componentes em Ox das Eqs. 7.33- 7.34, obtem-se

m1g sin θ = (m1 + m2)a (7.35)

∴ a =m1

m1 + m2g sin θ. (7.36)

7.9.1 Maquina de Atwood

Considere o conjunto de duas polias com massa desprezavel e sem atrito e umcabo com massa igualmente desprezavel (Fig. 21) - maquina de Atwood 10.

Massa m1:

(T −m1g) = m1a

Massa m2:10A maquina de Atwood foi inventada em 1784 pelo Reverendo George Atwood para ser uma

montagem de laboratorio destinada a testar as leis do movimento uniformemente acelerado.

163

(m2g − T ) = m2a

A sua soma resulta em

(m2 −m1)g = (m2 + m1)a∴ a =

(m2−m1m2+m1

)= 1

5 (m/s2)

Aplicacao numerica: m1 = 2 kg e m2 = 3 kg.

Tensao do cabo

T = m1(a + g) = m1

(m2 −m1

m2 + m1+ 1

)=

(2m1m2

m2 + m1

)g

Repare que To = 2T (vd. Fig. 21).

A maquina de Atwood ideal consiste em dois objectos de massa m1 e m2, ligadaspor um cabo de massa desprezavel colocado por cima de uma polia igualmentede massa desprezavel e sem atrito. Quando m1 = m2, a maquina fica emequilıbrio neutro, qualquer que seja a posicao das massas. Quando m2 > m1

ambas as massas experimentam uma aceleracao uniforme.

A maquina de Atwood tem inumeras aplicacoes. Por exemplo, nos elevadoresusa-se um contrapeso que desempenha o mesmo papel, aliviando o motor,porque assim este nao gasta energia puxando a caixa onde se desloca a carga,bastando o motor para compensar a diferenca de inercia das duas massas. Omesmo princıpio e usado nos funiculares com dois trilhos de ferro ligados numplano inclinado.

Exemplo 7: Plano inclinado acelerado. Considere um bloco de massa mdeslizando sem atrito sobre um plano inclinado fazendo um angulo θ com ahorizontal. O plano inclinado esta acelerado com aceleracao de modulo a paraa direita da Fig. 22. Calcule o angulo θc para o qual o bloco nao escorrega paracima ou para baixo do plano.

O bloco nao deslizara se tiver aceleracao igual a do plano inclinado (porquetal significa que ele move-se em conjunto com o plano). O sistema de forcasresulta nas seguintes equacoes (escolhendo o sistema de coordenadas com Oxna horizontal):

forcasaolongodeOx N sin θ = maforcasaolongodeOy N cos θ −mg = 0.

(7.37)

Da ultima equacao resulta

N = mgcos θ

∴ mgcos θ sin θ = ma

(7.38)

ou sejaa = g tan θc.

164

Figure 22: Plano inclinado acelerado.

7.10 Friccao

Superfıcies em contacto exercem duas forcas uma na outra:

• uma forca e normal e perpendicular as superfıcies;

• outra forca paralela, a forca de friccao. As forcas de friccao opoem-sesempre ao movimento relativo entre as duas superfıcies.

7.10.1 Forcas de friccao

As forcas de friccao desempenham um papel muito importante no movimentodos objectos reais, como se tornara claro com os exemplos que serao apresen-tados. Essas forcas resultam das forcas atractivas (do tipo de Van der Waals)que se estabelecem entre os atomos das diferentes superfıcies. A sua descricaoa um nıvel microscopico e muito complexa, muito embora a sua descricao aonıvel macroscopico seja muito empırica 11. Essas leis sao as seguintes: a forcade atrito e

• proporcional a forca normal entre duas superfıcies

• e independente da area de contacto

• e independente da velocidade.11Leonardo da Vinci (1452-1519) foi o primeiro a fazer estudos quantitativos do problema

da friccao. A montagem experimental usada por da Vinci era muito simples. Media o angulodo plano inclinado a partir do qual um objecto colocado na sua superfıcie comecava a deslizar.

165

7.10.2 Friccao cinetica

Quando as superfıcies estao animadas de movimento relativo essa forca e

fk = µkN (7.39)

onde µk e o coeficiente de friccao cinetico (0 < µk < 1), e N e a forca de contacto(normal).

• a forca de friccao e proporcional a N ;

• e paralela a superfıcie de contacto;

• opoem-se a direccao do movimento;

• lei empırica e aproximada;

• µk depende da natureza dos materiais;

• µk e independente de v.

Exemplo 8: Um bloco de massa m = 100 kg move-se para a frente comvelocidade constante, −→a = 0. O coeficiente de friccao cinetico e µk = 0.40.Determine a forca F que actua sobre o bloco (Fig. 23).

Componente vertical da forca:

N + F sin 30o −mg = 0.

Componente horizontal da forca:

F cos 30o − fk = 0

onde fk = µkN . Donde resulta:

F cos 30o − µk(mg − F sin 30o) = 0,

ou sejaF =

µkmg

cos 30o + µk sin 30o

F =0.40× 100× 9.80

0.866 + 0.40× 0.50= 368N.

Repare queθ = 0o F = 392Nθ = 45o F = 396Nθ = 90o F = 981N

(7.40)

166

Figure 23: Bloco de massa m sobre um plano com friccao.

7.10.3 Friccao estatica

As forcas de friccao tambem actuam sobre superfıcies em repouso (sem movi-mento relativo).

Objectos em repouso requerem a aplicacao de uma forca para iniciarem o movi-mento. A forca de friccao estatica e:

fs ≤ µsN, (7.41)

onde µs designa o coeficiente de friccao estatico e N a forca (normal) de contacto.

• forcas de friccao podem ter qualquer magnitude entre zero (quando naoha qualquer outra forca actuando paralelamente a superfıcie) ate ao valormaximo µsN ;

• O sinal de igualdade so se verifica quando o movimento esta prestes acomecar.

Propriedades da forca de friccao estatica:

• proporcional a forca normal;

• e independente da area;

• lei empırica;

• opoe-se a forca aplicada;

167

Figure 24: (a) e (b): quando fs < fs,max, a forca de friccao e exactamente iguala forca (externa) aplicada, e nao ha aceleracao do bloco. (c): quando uma forcade suficiente magnitude e exercida de modo que o moviemento se torna possıvel,a forca de friccao e igual a µkN e a aceleracao e (F − µkN)/m.

• usualmente µs > µk, de modo que e necessario uma forca menor paramanter o objecto em movimento;

• µs depende da natureza e condicoes das superfıcies.

Exemplo 9: Bloco sobre uma superfıcie horizontal (Fig. 24).

a) Repouso: f1 < µsN (Fig. 24-(a)).

b) No limiar do movimento: f2 = µsN (Fig. 24-(b))

c) Movimento iniciado: f3 = µkN (Fig. 24)

Exemplo 10: Plano inclinado de angulo variavel destinado a medir coeficientesde friccao estaticos.

O bloco comeca a sua queda quando angulo α = 23o. Qual e o coeficiente defriccao estatica, µs?

eixoOy N −mg cos α = 0eixoOx mg sin α− f = 0 (7.42)

168

Repare que este angulo α constitui o limiar a partir do qual o bloco acelera,portanto ainda estamos na condicao −→a = 0. Temos assim

f

N=

mg sin α

mg cosα= tan α (7.43)

(f

N

)

max

= µs = tan 23o = 0.424.

O angulo maximo e chamado de angulo de repouso e e independente da massado bloco.

Exemplo 11: Bloco a deslizar num plano inclinado sob a ac.ao da gravidade.

eixoOx mg sin θ − f = max

eixoOy N −mg cos θ = may = 0 (7.44)

∴ N = mg cos θ. (7.45)

Por sua vez sabemos quef = µkN (7.46)

substituindo na Eq. projectada em Ox, temos

mg(sin θ − µk cos θ) = max, (7.47)

donde resulta:ax = (sin θ − µk cos θ)g. (7.48)

Se ax = 0, entao obtemos o coeficiente de friccao cinetico procurado:

µk =sin θ

cos θ= tan θ. (7.49)

Assim, concluımos que um metodo razoavel para determinar µk consiste emdeterminar o angulo limite a partir do qual da-se uma aceleracao do bloco.

Exemplo 12: Bloco sobre uma parede vertical.

Considere um bloco apoiado sobre um plano vertical (por ex., sobre o quadronegro, Fig. 26).

As duas equacoes que resultam da projecao nos eixos cartesianos Ox, e Oy, sao:∑

Fx = P −N = 0(a)∑Fy = fs − w = 0(b) (7.50)

Da Eq. 7.50-(b) temos fs = w e da Eq. 7.50-(a) temos P = N , sendo P a forcade compressao exercida pela punho. Mas fs ≤ µsP . Para que nao haja deslizee necessario que fs ≥ w,

∴ µsP ≥ w, (7.51)

169

Figure 25: Bloco a deslizar num plano inclinado sob a acao da gravidade.

ouP ≥ w

µs. (7.52)

Portanto, a forca de compressao mınima para que nao haja deslize do “apa-gador” do quadro negro e:

P =w

µs. (7.53)

Exemplo 13: Bloco puxado para cima ao longo de um plano inclinado.

Consideremos agora a nova situacao de um bloco puxado ao longo de um planoinclinado (Fig. 27).

Suponha que os dados numericos sao os seguintes: m = 5 kg, F = 20 N,µk = 0.42. A pergunta e: qual e a aceleracao?

Assuma que o movimento e para cima:

eixoOx F − f −mg sin 60o = max

eixoOy N −mg cos 60o = 0 (7.54)

Ao longo de Oy nao ha aceleracao.

∴ N = mg cos 60o. (7.55)

Donde resultaf = µkN = µkmg cos 60o (7.56)

ouax =

F −mg sin 60o − µkg cos 60o

m= −6.55m/s2. (7.57)

170

Figure 26: Apagador puxado por um operador na vertical contra o quadro negro.

171

(a)

(b)

M F

k

AA

Figure 27: (a) - Bloco puxado contra a gravidade ao longo de um plano inclinado.(b) - Pino de disparo do torpedo Mark-6.

172

Isto e, o bloco coom os valores numericos assumidos esta acelerado para baixo;ha que inverter o sentido da forca de atrito!

F −mg sin 60o + f = max

N −mg cos 60o = 0 (7.58)

Resolvendo obtem-se a = −2.43 m/s2. Agora a direccao do bloco e para baixo,mas e consistente com as hipoteses iniciais.

Exemplo 14: Durante a Segunda Guerra Mundial (1939-1945) os norte-americanos tiveram serios problemas no funcionamento dos torpedos lancadospelos seus submarinos. Um desses problemas estava relacionado com o mecan-ismo de disparo que nao funcionava correctamente. Ate que fosse compreendidoa causa do problema cerca de 70 % dos torpedos nao explodiam! Descobriu-seque a causa estava no atrito enorme a que era submetido o pino de disparo.Este dispositivo tem basicamente a estrutura mostrada na Fig. 27-(b). A massaM desliza na superfıcie AA sendo actuada por uma forca de friccao

−→F = µk

−→N .

Quando o dispositivo esta em repouso e a compressao da mola e ∆x = D, amola exercera uma forca kD sobre M e a aceleracao de M relativa a superfıcieimovel AA sera

a =kD

M− µkg. (7.59)

Porem, se o dispositivo estiver submetido a uma aceleracao vertical a′ = Kg,onde designamos por K uma constante positiva sem dimensoes, a aceleracaosentida no referencial do dispositivo acelerado sera

a =kD

M− µkg(1 + K) (7.60)

porque a forca normal exercida entre AA e M aumentou de Mg para Mg(1+K).Conclui-se assim que a aceleracao vertical aumentou consideravelmente a forcade atrito e reduzindo a aceleracao de M ao longo de AA, podendo em particularimpedir o deslize da massa M e portanto provocando a falha do pino de disparodo torpedo. Uma atempada resolucao da falha dramatica dos pinos de disparosfeita postriormente pelos norte-americanos mostrou que o final da guerra poderiater sido antecipado.

7.11 Forca de atrito e velocidade terminal

Os objectos que se movem em meio fluido (agua, ar,...) estao submetidos auma forca de atrito que se opoe ao movimento. A resolucao detalhada desteproblema e muito complexo. Geralmente considera-se existir 2 regioes distintasdo fluxo do fluido em torno do objecto.

1. Fluxo laminar: fluxo estavel em torno do objecto; FD ∼ v; a lei deStokes 12 aplica-se (Fig. 28).

12In 1851, George Gabriel Stokes obteve uma expressao matematica das forcas de friccao

173

Figure 28: Fluxo laminar (a) e turbulento (b-d) em torno de uma esfera.

2. Fluxo turbulento: FD ∼ v2, a velocidade e suficientemente elevada demodo que o fluxo de ar atras do objecto e turbulento. As partıculas dofluido fluctuam de modo desordenado, caotico, produzindo vortices (ouvortexes), vd. Fig. 28.

O escoamento do fluido em torno de um objecto e sempre turbulento 13 noscasos:

• bola de baseball (42 m/s);

• paraquedista (5 m/s);

• ...

Em 1883 Osborne Reynolds 14 descobriu o fenomeno de turbulencia em dinamicados fluidos quando estudava o escoamento da agua atraves de tubos cilindricosdevido a um gradiente de pressao. Reynolds descobriu que quando uma ve-locidade crıtica era atingida (e bem caracterizada por um valor crıtico hoje

(ou resistiva) exercida sobre objectos de forma esferica valida quando o numero de Reynoldse muito pequeno (em particular, valida para partıculas muito pequenas) num fluido viscoso,FD = 6πRµv, onde FD e a forca de friccao, R e o raio do objecto esferico, µ e a viscosidadedinamica do fluido, e v e a velocidade da partıcula.

13Conta-se que alguem teria perguntado ao celebre cientista alemao Werner Heisenberg oque ele perguntaria a Deus, se tivesse essa oportunidade. Ele teria respondido: “Quandome encontrar com Deus irei colocar-Lhe duas questoes: Porque a relatividade? E porque aturbulencia? Eu acredito deveras que Ele tera uma resposta para a primeira.”

14Osborne Reynolds (1842 1912), engenheiro irlandes, deu contribuiucoes importantes naarea da dinamica dos fluidos. Estudou igualmente os fenomenos de transferencia de calorentre solidos e fluidos, contribuindo assim nos melhoramentos em caldeiras e condensadores.

174

Figure 29: Um “skydiver” em queda livre...Normalmente um “skydiver” naposicao barriga para a Terra atingira uma rapidez de cerca de 200 km/h. Estae a chamada velocidade terminal. Ha quem diga que nos anos 60 um sujeitochamado Joe Kittenger ultrapassou a barreira do som ao cair de uma altitudede cerca de 31 km. A rapidez com que uma pessoa cai pode ser ajustada coma variacao do coeficiente de friccao. Uma pessoa com a cabeca para baixooferecendo uma menor resistencia pode atingir cerca de 300 km/h. Ao abrir opara-quedas a velocidade terminal do sujeito reduz-se para cerca de 24 km/h de4 para 5 segundos.

chamado em sua homenagem “numero de Reynolds” 15, Rec) era excedida oescoamento tornava-se turbulento. Hoje em dia compreende-se que o fenomenode turbulencia deve-se a um movimento caotico solenoidale do fluido acompan-hado por um grande incremento das propriedades de transporte tais como a vis-cosidade (transferencia de momentum), difusividade (transferencia de massa),conductividade termica (transferencia de energia), e resistividade electrica (napassagem da corrente electrica). O fluxo turbulento e mantido energeticamentepelo fluxo principal e as perdas de energia aparecem sob a forma de quedas depressao ou perdas por friccao.

7.12 Forca resistiva proporcional a velocidade

Qual a forma da forca de atrito, resistiva, exercida pelo meio sobre os objectos?

• objectos em queda atraves de um fluido;

• pequenos objectos (partıculas de poeira) no ar.

15Em mecanica dos fluidos, o numero de Reynolds e uma grandeza sem dimensoes dadopelo racio das forcas de inercia sobre as forcas de viscosidade Re ≡ uL

ν, onde u e a velocidade

do fluido (em m/s), L e um comprimento caracterıstico (em metros) e ν e o coeficiente deviscosidade cinematica (em m2/s). Re quantifica a importancia relativa desses dois tipos deforca para um determinado escoamento.

175

Figure 30: As forcas resistivas dependem da forma do objecto e em particularda area da secao transversal do objecto. Na figura mostra-se desenhos de umaviao Messerschmitt Me 262 A-1a de fabrico alemao.

Essa forca resistiva tem a forma:−→F D = −b−→v . (7.61)

onde

• −→v - velocidade do objecto;

• b - constante que depende do meio e da forma do objecto. Por exemplo,para uma esfera, tem-se b ∼ r em unidades SI kg/s.

Considere o movimento de uma esfera de massa m atraves de um fluido. Duasforcas actuam sobre a esfera:

• mg - peso (eventualmente incluindo ja as forcas de impulsao)

• −bv - forca resistiva.

Aplicando a segunda lei de Newton:∑

Fy = may (7.62)

176

QuadroNegro 4 - Forcas resistivas sobre uma esfera.

Quando o objecto cai no inıcio do movimento quando t = 0, tem-se suposta-mente neste caso v = 0 e a forca resistiva e nula.

No inıcio a aceleracao inicial e suposta ser a da gravidade:

a(t = 0) =dv

dt= g. (7.63)

A medida que o tempo t passa, a velocidade do objecto v aumenta, e a forcaresistiva aumenta igualmente ate que a um dado momento a aceleracao podemomentaneamente decrescer. Estabelece-se um equilıbrio natural de forcas.Quando a forca resistiva iguala o peso, a aceleracao de facto anula-se. O objectocontinua o movimento, mas com uma velocidade terminal, sem aceleracao.

QuadroNegro 5 - velocidade do objecto e velocidade terminal

177

Ha maneiras de contornar o efeito resistivo do meio fluido. O fenomeno decavitacao acontece quando a pressao da agua baixa ate valores inferiores ao dovapor de agua (ou quando a pressao de vapor ultrapassa a pressao da agua). Acavitacao ocorre dentro de uma bomba hidraulica ou em torno de um obstaculo,por exemplo, uma helice com alta rotatividade. As pequenas bolhas de vaporde agua formadas implodem rapidamente resultando num aumento rapido dapressao ambiente que acaba por danificar fisicamente as helices propulsores er-radamente projectadas.

A supercavitacao corresponde ao fenomeno de cavitacao descrito acima masonde o efeito e usado de forma sustentada e amplificadamente. As caracterısticasde um objecto supercavitando 16 consistem na forma do “nariz”, que deve serplana com saliencias agudas, e com linhas aerodinamicas ou hidrodinamicas queseguem as linhas de fluxo do fluido. Quando o objecto atinge uma velocidade decerca de 440 m/s, a agua e deflectida pelo nariz com tal rapidez que o objectoacaba por “voar” dentro da bolha de vapor de agua entretanto criada. Para lade determinada velocidade, ou injectando gas para dentro da bolha de vapor deagua formada consegue-se estender a cavidade de modo a envolver por completoo corpo do objecto.

Foram propostos os mais diversos processos de propulsao, entre os quais objectossub-aquaticos propelidos por um motor de foguetao “queimando” alumınio comagua. O torpedo ‘VA-111 Shkval” e um objecto supercavitando, fabricado pelosrussos (alias, provavelmente os maiores especialistas mundiais em mecanica dosfluidos) e esta na origem do afundamento tragico do submarino russo “Kursk”(vd. Fig. 32).

7.13 Queda dos corpos no ar

A forca de atrito (ou de arrasto) e do tipo:

FD =12CρAv2. (7.64)

A forca e proporcional a (velocidade)2.

• A : area transversal efectiva do objecto;

• ρ : densidade do ar;

• v : velocidade do objecto em queda;

• C : coeficiente de atrito (sem dimensao), depende da geometria do objecto(usualmente C = 0.5 → 1.0).

16Em ingles designa-se “supercavitating object”.

178

Figure 31: (a): As asas dos avioes sao concebidas para terem um fluxo laminar.

179

Figure 32: Detalhes do nariz do Shkval e destrocos do submarino “Kursk”.

180

Quando o objecto atinge a velocidade terminal, verifica-se FD = mg, donde seobtem

∴ 12CρAv2

t = mg. (7.65)

∴ vt =√

2mg

CρA,m/s. (7.66)

Exemplo 15: Um paraquedista salta de um aviao, percorrendo inicialementeuma certa distancia antes de abrir o paraquedas. O modulo da forca de atrito edado por Fa = 1/2CDSρv2, sendo CD o coeficiente aerodinamico, ρ a densidadedo ar e S a superfıcie de atrito. Considere os seguintes valores: m = 70 kg,ρ = 1.2 kg/m3;

Paraquedista com os bracos e pernas em “X” : CD = 0.56, S = 0.7m2

Paraquedista com o parauedas aberto : CD = 2.30, S = 12m2

a) Escreva a equacao do movimento e calcule a velocidade terminal (ou limite)em funcao dos parametros dados;

Facilmente vemos que podemos a aceleracao a partir da equacao fundamentalda dinamica; projectamos as forcas gravıtica e de atrito num eixo vertical:

dv

dt= g − 1

2mCDSρv2 = g(1− v2

v2l

) (7.67)

sendo que a velocidade terminal, aquela na qual a aceleracao e nula e a veloci-dade constante, e dada por

vl =√

2mg

CDSρ. (7.68)

b) Calcule a velocidade em funcao do tempo. Ao fim de quanto tempo e atingida90% da velocidade terminal?

Como se depreende analisando a Eq. 7.67, e conveniente usar o metodo daseparacao das variaveis:

gdt =dv

1− v2

v2l

. (7.69)

Pode-se ler numa Tabela de Integrais o valor do integral indefinido:∫

dx

a2 − x2=

12a

ln(

a + x

a− x

). (7.70)

181

Substituindo, obtem-se logo

∫ t

0gdt = vl

∫ t

0dv′/vl

1− v′2v2

l

= vl

2 ln(

1+v/vl

1−v/vl

)

t = vl

2g ln(

1+v/vl

1−v/vl

)

⇒ e2gt/vl = 1+v/vl

1−v/vl(1− v

vl

)e2gt/vl = 1 + v

vl

− vvl

(1 + e2gt/vl

)= 1− e2gt/vl

∴ v(t) = vle2gt/vl−1e2gt/vl+1

.

(7.71)

t = vl

2g ln(

vl+vvl−v

)

t = vl

2g ln(

vl+0.9vl

vl−0.9vl

)

t = vl

2g ln(

10.1

)= vl

2g 2.3 = 0.12vl ≈ 0.6s,

(7.72)

quando vl = 54 m/s; ou t ≈ 6 s, quando vl6.44 m/s.

c) Qual a altura equivalente da qual o paraquedista poderia cairs, sem paraque-das, para sofrer um embate semelhante?

mgH = 12mv2

⇒ Heq = v2

2g ≈ 149m(7.73)

quando vl = 54 m/s, e Heq ≈ 2 m, quando vl = 6.44 m/s.

182