Mecanica e Ondas

fascıculo 6

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March 14, 2011

Contents

6.1 Movimento circular nao uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1216.2 Relatividade do movimento. Transformacao de Galileu . . . . . . 1226.3 Velocidade relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1266.4 Dinamica - Leis de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1296.5 Forcas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1306.6 Forcas fundamentais na Natureza . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1306.7 Primeira Lei de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1316.8 Referenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1326.9 Segunda lei de Newton ou princıpio fundamental da mecanica . . 1336.10 Definicao de massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1346.11 Superposicao de forcas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

Mario J. PinheiroDepartamento de Fısica e Instituto de Plasmas e Fusao NuclearInstituto Superior Tecnicoemail: mpinheiro@ist.utl.pt

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’Be a philosopher; but, admidst all your philosophy, be still a man.’- (David Hume, 1737)

’It does not matter how slowly you go so long as you do not stop’. -Confucius (571 BC –479 BC)

6.1 Movimento circular nao uniforme

Quando o movimento e circular mas porem a rapidez varia, aparece o termo queja discutimos a⊥ mas tambem um novo termo que representa uma componentetangencial da velocidade:

a‖ = lim∆t→0

∆v‖∆t

=dv‖dt

, (6.1)

continuando com a componente normal:

a⊥ =v2

R. (6.2)

O modulo e dado pora =

√a2⊥ + a2

‖. (6.3)

E claro que no inıcio do movimento circular a partir do repouso estas duascomponentes estao sempre presentes.

A forca centrıfuga e a forca que parece dirigida no sentido contrario ao docentro O.

Imagine que esta no interior de uma viatura em movimento circular e que atirauma maca para fora do carro. Temos duas perspectivas diferentes do mesmoevento:

- Referencial do solo.

• o objecto e atirado para fora da viatura

• move-se numa linha recta relativo ao solo (ou ao laboratorio)

• tudo se passa como se a viatura tivesse uma aceleracao centrıpeta a⊥ queafasta a viatura do objecto.

- Referencial da viatura

• o objecto e atirado para fora da viatura

• aparenta estar animado da aceleracao centrıfuga −−→a ⊥

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• e evidente entao pela comparacao dos eventos observados nestes dois ref-erenciais diferentes que surgem forcas com caracter fictıcio 1 (ou ainda porvezes denominadas por pseudo-forcas).

As chamadas forcas fictıcias surgem normalmente em referenciais nao-inerciais(isto e, acelerados), e nestes a descricao da mecanica sofre modificacoes apro-priadas, como veremos a seguir.

6.2 Relatividade do movimento. Transformacao de Galileu

O movimento e relativo. Como e notorio no exemplo anterior, a velocidadee a aceleracao dependem do referencial usado no estudo do movimento.

Os trabalhos de Galileu proporcionaram a base teorica para a artilharia. Aartilharia foi usada inicialmente para quebrar a moral dos adversarios numaconfrontacao belica, mas era fundamental saber como atingir o alvo. Galileucompreendeu que uma bala de canhao tem dois movimentos quando e lancada:um movimento para a frente que resulta da explosao e que lhe da um movimentoinicial em determinada direcao; o outro movimento deriva da acao da gravidadeque puxa a bala para o centro da Terra. Galileu compreendeu que se podedecompor um movimento complicado numa dada direcao como resultado domovimento em duas outras direcoes. Tambem compreendeu que o corpo semovia numa direcao determinada com velocidade constante porque possuia umapropriedade intrınseca e fundamental da materia: a inercia 2.

Exemplo 1: Um aviao desloca-se a altitude de 500 m e com a velocidade (oumelhor, rapidez) de 100 km/h. Supondo que se pretende deixar cair um sacopostal para o solo no local B, a que distancia A desse local se deve deixar cairo saco postal? Veja a Fig.

1Isto e, forcas que nao resultam de uma interaccao fısica, que nao resultam da presenca deum campo de forcas (do tipo, por ex., electromagnetico ou gravıtico).

2Esta propriedade era perfeitamente surpreendente na epoca. Alguns historiadores daCiencia fizeram notar a extrema semelhanca que a Lei da Inercia de Galileu tem com o perıodoinicial do Cap. II do Leviathan, escrito por Thomas Hobbes com o fito de compreender ofuncionamento das sociedades humanas:

”Que quando uma coisa esta parada, assim permanecera eternamente a menosque alguma outra coisa a mova, e verdade que ninguem duvida. Mas que, quandouma coisa se encontra em movimento, assim permanecera eternamente a menosque alguma outra coisa a detenha, nao e tao facilmente que se concorda com isso,embora a razao seja a mesma, a de que nada pode modificar-se por si mesmo.”

122

y

y

x

h

h-y=gt2/2

x=vt

Figure 1: Aviao deixa cair saco postal.

123

Tem-se sucessivamente:

y = h− 12gt2

x = vt

⇒ t = x2

v2

y = h− gx2

2v2

y = 0 [saco no solo] ⇒ h = gx2

2v2

x = v√

2hg

x = 105

3600

√2x500

10 ≈ 210 m.

(6.4)

QuadroNegro 1 - Movimento do veleiro relativo ao referencial do navio e daTerra.

Referencial da Terra: x, y, z, t

Referencial do navio: x′, y′, z′, t′.

O tempo e absoluto no ambito da mecanica Newtoniana: t = t′.

Sejam:−→r - vector posicao do veleiro relativo a Terra.−→r ′ - vector posicao do veleiro relativo ao navio.

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Iremos assumir que o sistema de coordenadas dos dois referenciais coincide noinstante t = t′ = 0 e que as coordenadas do navio movem-se com a velocidade−→V ao longo de

−→R . Podemos entao escrever:

−→r = −→r ′ +−→R (6.5)

Esta adicao imediata pode ser feita porque fora do contexto relativista (v ¿ c)os comprimentos dos objectos fısicos sao absolutos.

−→R =

−→V t (6.6)

∴ −→r = −→r ′ +−→V t, (6.7)

ou −→r ′ = −→r −−→V t (6.8)

Caso particular:−→V orientado ao longo do eixo OX.

De −→r ′ = −→r − V t−→i .

Daqui resulta a Transformacao de Galileu (valida no limite v ¿ c, compri-mentos e tempos absolutos):

x′ = x− V ty′ = yz′ = zt′ = t

(6.9)

Para obter a velocidade derivamos a Eq. 6.8 em ordem ao tempo:

−→v ′ =d−→r ′dt′

=d−→r ′dt

=d

dt(−→r −−→V t) =

d−→rdt

−−→V . (6.10)

∴ −→v ′ = −→v −−→V , (6.11)

ou entao,∴ −→v = −→v ′ +−→

V (6.12)

Isto significa que a velocidade do veleiro relativa ao navio e a diferenca entre avelocidade do veleiro relativo a Terra e a velocidade do navio relativo a Terra.Tambem a poderıamos escrever na forma:

−→v ′V N = −→v V T −−→V NT ,−→v V T = −→v ′V N +

−→V NT .

(6.13)

Repare na forma como esta escrita a ultima equacao com os sub-ındices dovector velocidade com a seguinte sequencia: {V T} → {V N}+ {NT}.

125

Em particular, se−→V dirige-se ao longo do eixo Ox, temos:

vx = vx − Vvy = vy

vz = vz

(6.14)

Podemos calcular a aceleracao que o veleiro aparenta ter em ambos referenciais,bastando calcular a derivada em ordem ao tempo do vector velocidade:

−→a ′ =d−→v ′dt′

=d−→v ′dt

=d

dt(−→v −−→V ) (6.15)

Como−→V assume-se constante (estudamos aqui o movimento uniforme), entao

conclui-se que−→a ′ =

d−→vdt

= −→a . (6.16)

Isto e, a aceleracao e absoluta relativamente aos referenciais de inercia.

No caso geral em que a velocidade entre os dois referenciais nao e constante,teremos

−→a ′ = −→a − d

dt

−→V . (6.17)

6.3 Velocidade relativa

A velocidade relativa e usada para descrever o movimento de referenciais rela-tivamente um ao outro.

Note em particular que para quaisquer dois objectos or referenciais A e B,a velocidade de A relativa a B tem o mesmo modulo mas sentido oposto davelocidade de B relativa a A:

−→V BA = −−→V AB .

Exemplo 2: Uma embarcacao atravessa um rio com uma corrente de veloci-dade Vrt = 12 km/h, tal como ilustra o problema a Fig. 2. A velocidade daembarcacao relativa ao rio e Ver = 20 km/h. Qual e a orientacao da embarcacaomais apropriada para que ela atinja a outra margem na transversal?

Solucao:

Temos: −→V er − velocidade da embarcacao relativa ao rio−→V et − velocidade da embarcacao relativa a Terra−→V rt − velocidade do rio relativamente as margens

(6.18)

Nos queremos que o movimento tenha o sentido do vector−→V et, o angulo θ deve

ser tal que

sin θ =Vrt

Ver=

1220

= 0.60

126

Figure 2: Movimento relativo da embarcacao ao atravessar um rio.

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Figure 3: Movimento relativo de um objecto relativamente as magens de umrio.

dondeθ = 36.90.

Exemplo 3: Uma embarcacao desloca-se no sentido 30o Norte-Oeste a 30 m/srelativamente a agua dum rio (Vd. Fig. 3). A corrente do rio e dirigida para Sula 5 m/s relativamente a margem. Considere em seguida que um objecto move-secom a velocidade de 6 m/s no sentido 30o SO relativamente a embarcacao. Quale a velocidade do objecto relativamente a margem do rio?

Solucao:

A transformacao de Galileu permite-nos escrever:

−→v ot = −→v oe +−→v er +−→v rt. (6.19)

Com base nos dados de que dispomos podemos desde logo escrever:

−→v oe = 6[− cos 30o−→i − sin 30o−→j ] (6.20)

−→v er = 30[− sin 30o−→i + cos 30o−→j ] (6.21)

−→v rt = −5−→j (6.22)

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6.4 Dinamica - Leis de Newton

A cinematica faz a descricao do movimento. Parte da definicao da posicao,velocidade e aceleracao e as suas relacoes e evolucao temporal.

A dinamica interroga-se sobre:

• porque se movem os corpos na forma que conhecemos?

• o que causa a aceleracao dos corpos? (veremos que as forcas sao as causasda aceleracao).

As propriedades da forca e a relacao entre forca e aceleracao sap dadas pelastres leis de Newton.

A Primeira Lei descreve o estado natural de movimento de um corpo na ausenciade forcas. As outras duas leis tratam do comportamento dos corpos quandosujeitos a forcas.

Foi Galileu que lancou as bases da ciencia mecanica. Investigando a queda doscorpos, perguntou-se: Como caem os corpos? Em particular:

• mostrou que a queda livre dos corpos faz-se com aceleracao constante (eindependente do peso, ou da massa do objecto). Realizou experiencias naTorre de Pisa;

• determinou experimentalmente as relacoes dadas pelas expressoes: v = at,x = at2/2;

• designando o peso de um corpo por forca, mostrou que na queda doscorpos a forca pode ser medida pela aceleracao que ela produz nesse corpo.

Newton reuniu as descobertas de Galileu numa formulacao da dinamica a quehoje se designa por “Mecanica Newtoniana”, generalizando a ideia de forcacomo possıvel de ser medida pela taxa de variacao do momentum, incluindoassim todas as formas de movimento.

As leis de Newton nao representam uma descricao perfeita do mundo real. Emparticular, ela falha na descricao dos

• Atomos e nucleos atomicos → Teoria Quantica.

• Movimento a altas velocidades, isto e, quando v ∼ c → Teoria da Rela-tividade.

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6.5 Forcas

A nocao de forca e fundamental na fısica classica. Forca e um vector, esteindicando a direccao ao longo da qual e aplicada e a sua magnitude (modulo).

No quotidiano usa-se o conceito de forca para explicar e descrever o acto de“puxar” ou de “empurrar”. Por exemplo, usamos os seguintes instrumentos:

• mola comprimida;

• elasticos;

• cabos;

• cordas;

de modo a exercer forcas nos objectos. Ou entao:

• liquidos;

• gases;

para exercer forcas em paredes (ou superfıcies) e gases para criar forcas defluctuacao (por ex., o balao de ar quente, forca de empuxe de um foguete).

Os exemplos acima referidos representam forcas de contacto porque os ob-jectos estao em contacto directo uns com os outros.

Existe um certo tipo de forcas, forcas de accao a distancia onde este contactodirecto nao existe, tais como o sao as forcas gravitacional e electromagnetica.

6.6 Forcas fundamentais na Natureza

Para completar a visao actual que a ciencia tem sobre os tipos de forca, faremosem seguida a descricao mais detalhada das suas propriedades.

Gravitacional - E um tipo de forca que age entre corpos que possuem massa,e sempre atractiva, e e a forca de mais fraca magnitude que se conhece naNatureza. Segundo as teorias modernas baseadas na Mecanica Quantica,todas as forcas fundamentais sao transmitidas entre partıculas reais pormeio de partıculas virtuais que nao podem ser detectadas directamente,mas cuja existencia transitoria e permitida pelo Princıpio da Incertezade Heisenberg. E possıvel que esta forca resulte da troca de gravitoesentre os corpos. Poderao os corpos acelerados radiar energia? Se talacontecesse, radiariam ondas gravitacionais.

Electromagnetica - Atraccao ou repulsao consoante a carga electrica. Apartıcula que transmite a forca e o fotao. Cargas aceleradas radiam fotoes.

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Table 1: Forcas fundamentais da natureza e sua magnitude e alcance. Nota:Forca relativa exercida entre 2 protoes distantes de 10−15 m.

Tipo Alcance importancia relativa mediadoresForca nuclear forte ∼ 10−15 m 1 mesoes, gluoes

Forca electromagnetica ∞ 10−2 fotaoForca nuclear fraca 10−17 m 10−13 W±, Zo

Forca gravitacional ∞ 10−38 (Nota) gravitao ?

Forca nuclear forte - A forca nuclear age no interior do nucleo atomico entrenucleoes (ou entre quarks)

Forca nuclear fraca - E exercida entre partıculas elementares, por exemplo,na desintegracao beta do nucleao: n → p+e−+ν. Esta forca foi observadaexperimentalmente no CERN e predita teoricamente, afectando os leptoese os quarks 3 e e mediada pelos bosoes W e Z.

Quinta forca? A experiencia de Etvos verificou a igualdade da massa grav-itacional com a massa inercial. Mas e possıvel que exista uma pe-quenıssima diferenca entre elas devido a possıvel existencia desta 5a forca.A hipotetica partıcula mediadora seria uma especie de hiper-fotao. Porem,actualmente nao ha certeza sobre a sua existencia.

A estrutura e comportamento do universo pode ser descrito por meio da accaodas primeiras 4 forcas referidas.

A estas quatro forcas basicas estao associadas quatro formas de energia que po-dem converter-se numas nas outras. Por exemplo, a gravitacao pode converter-se em electricidade (por exemplo, numa central hidroelectrica), ou a interaccaonuclear forte em electromagnetismo (tal acontece quando no interior do Sol aenergia nuclear converte-se em energia electromagnetica do calor dos raios so-lares). Os trabalhos do premio Nobel da Fısica Abdus Salam, mostraram queessencialmente todas as forcas fundamentais da natureza sao fundamentalmentede origem electromagetica !

6.7 Primeira Lei de Newton

O princıpio da inercia emerge da necessidade social da epoca em que surgiu,em particular, do problema elementar da pontaria. Se alguem parado dispararsobre um alvo movel, tera de apontar a frente de um alvo movel directamenteperpendicular a sua linha de mira de modo a acerta-lo. Se, pelo contrario,

3No estagio actual da teoria de partıculas toda a materia e composta de dois tipos departıculas: i) leptoes - partıculas parecidas com os electroes com massa e carga electrica e osneutrinos; ii) quarks - compoem os protoes e neutroes e sao basicamente de dois tipos, up edown.

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alguem em movimento disparar contra um alvo imovel, devera apontar a linhade mira para tras. Este fenomeno quer dizer que o projectil conserva o seumovimento lateral, alem do seu movimento ao longo da linha de mira. Estefacto apareceu como algo inesperado na epoca 4.

Primeira lei de Newton ou Princıpio da Inercia: “Um corpo que estejaem movimento ou em repouso, tende a manter o seu estado inicial” 5.

Isto e, se−→F = 0 ⇒ −→

V = const., o corpo na ausencia de forcas descreve ummovimento tendo a velocidade a mesma direccao e modulo.

Na realidade a maioria dos corpos que observamos no quotidiano param quandoabandonados a eles proprios devido as forcas de friccao (do ar, do solo,...).

Os corpos no vacuo, os planetas, persistem num estado de movimento uniforme.

Um corpo liberto da accao de forcas externas e dito um corpo livre. A primeiraLei de Newton afirma a inercia da materia 6.

6.8 Referenciais

As leis de Newton nao sao validas em todos os referenciais, somente nos desig-nados referenciais de inercia.

A Fig. 4 mostra um observador sobre uma carruagem em movimento aceleradocom −→a > 0. No ponto de vista deste observador a bola que esta no solo esubmetida a uma aceleracao. A bola parece ao observador animada por umaaceleracao espontanea, mesmo se na realidade nao ha nenhuma forca actuandosobre ela.

Podemos assim sugerir um teste para verificar se um dado referencial e umreferencial de inercia:

• observe um corpo livre (nenhuma forca actua sobre ele);

4Curiosamente, as palavras que Newton usou para enunciar esta lei apresentam grandeparecenca com o perıodo inicial do segundo capıtulo do Leviathan, a obra maxima do filosofomaterialista ingles Thomas Hobbes: “Que quando uma coisa esta parada, assim permaneceraeternamente a menos que alguma outra coisa a mova, e verdade de que ninguem duvida. Masque, quando uma coisa se encontra em movimento, assim permanecera eternamente a menosque alguma outra coisa a detenha, nao e tao facilmente que se concorda com isso, embora arazao seja a mesma, a de que nada pode modificar-se po si mesma”. O Leviathan aborda aquestao do contracto social (acordo sobre direitos e deveres entre os diversos membros de umasociedade) e as origens da criacao de um Estado ideal.

5No Latim original as leis exprimem-se assim: Lex I. Corpus onme perseverare in statusuo quiescendi vel movendi uniformiter in directum; nisi quatems a viribus impressis cogiturstatum illum mutare; Lex II. Mutationem motus preportionalem esse vi motrici impressæ, etfieri secundum lineam rectam qua vis illa imprimitur; Lex III. Actioni contrarium semper etæqualemesse reactionem; sive corporum duorum actiones in se mutuo semper esse æquales etin partes contrarias dirigi.

6Embora possamos argumentar que a primeira lei de Newton tem um cunho um tanto ouquanto metafısico.

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Figure 4: Referenciais nao inerciais.

• se ele persistir em repouso ou num estado de movimento uniforme (veloci-dade constante) num dado referencial, entao esse referencial e de inercia.

Como e logico, qualquer outro referencial em movimento uniforme de translacaoem relacao a este, tambem e um referencial inercial.

Ja um referencial em movimento acelerado em relacao aquele, nao e um refer-encial de inercia.

A Terra so em primeira aproximacao se pode considerar de inercia. Comotem um movimento de rotacao e um referencial acelerado, de onde resulta aaceleracao centrıpeta cujo valor no Equador e de 0.34 m/s2.

6.9 Segunda lei de Newton ou princıpio fundamental damecanica

Esta lei estabelece a relacao entre forca, aceleracao e massa.

A resultante das foras de agem num corpo e igual ao produto de sua massa pelaaceleracao adquirida.

−→F = m−→a =

d−→pdt

. (6.23)

A ultima forma da equacao e a mais correcta, como veremos no estudo dosistema de massas variaveis.

Em resumo:

• E uma lei fundamental da Natureza, ditando a dinamica dos objectos;

• E a definicao exacta de forca;

• E valida unicamente em referenciais de inercia.

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• −→a ∝ −→F e tem o mesmo sentido que a forca.

Unidades: Newton (N)

6.10 Definicao de massa

Na teoria da Relatividade Restrita de Einstein ver-se-a que em lugar de seusar a massa em repouso mo, e de maior utilidade usar a quantidade m =mo/

√1− v2/c2. Sucede que na experiencia quotidiana o efeito da velocidade

sobre a massa e pequeno. Por exemplo, a velocidade de uma nave em torno daTerra corresponde a v/c ≈ 3×10−5, sendo que m e mo diferem de cerca de umaparte por 1010.

As massas sao obtidas por comparacao com o padrao de massa (1 kg).

Procedimento:

• Coloca-se uma forca comum a agir sobre a massa padrao e a massa de-sconhecida;

• sob a accao dessa forca os corpos sao acelerados relativamente um ao outro;

• Esta experiencia deve ser realizada num referencial de inercia.

Sejam mS , aS a massa e a aceleracao da massa padrao.

Sejam m, a a massa e a aceleracao da massa com valor incognito. Temos

F = maF = mSaS

(6.24)

∴ m

mS=

aS

a. (6.25)

A massa resulta da resistencia que os corpos oferecem a variacao da sua veloci-dade. A massa e uma quantidade fısica aditiva, m = m1 + m2.

6.11 Superposicao de forcas

Se varias forcas−→F 1,

−→F 2,

−→F 3, ...actuam sobre um corpo simultaneamente, a

aceleracao resultante e a mesma que resultaria da actuacao de uma so forca:−→F R =

−→F 1 +

−→F 2 +

−→F 3 + ... (6.26)

Num sistema de coordenadas cartesianas (ou rectangulares) (x,y,z) as projeccoesdas equacoes do movimento sobre os eixos dao o sistema de equacoes:

∑Fx = max∑Fy = may∑Fz = maz

(6.27)

134

Projectando sobre a tangente e a normal a trajectoria num ponto dado, obtemos:

Ft = mdvt

dt Fn = m v2

ρ . (6.28)

Exemplo 4: Situacao dinamica basica de uma partıcula em movimento numcırculo com aceleracao constante (Vd. Fig. 5(a)).

Solucao:

A partıcula e acelerada para o centro O pela accao da tensao da corda−→T . Tem-

se, se o movimento realiza-se sobre uma mesa sem atrito, T = mv2

r , onde r e oraio do cırculo. Se a corda romper,a trajectoria nao sera radial, mas descreverauma recta tangencial a curva, como se mostra na Fig. 5(b).

Exemplo 5: Uma viatura move-se com velocidade v sobre uma estrada curvae inclinada, fazendo um angulo θ com a horizontal. Suponha que a estradadescreve uma curva de raio r. Supoem-se que a estrada e os pneus nao oferecematrito ao movimento, mas existe uma reaccao da estrada

−→N .

Solucao:

Tem-se: ∑Fn = m

v2

r,

onde Fn = N sin θ. Na vertical temos:

Fg = mg = N cos θ,

donde se obtem:

tan θ =v2

gr

Exemplo 6: Um pequeno corpo P desliza do vertice de uma esfera lisa de raioR. Determine a velocidade do corpo no momento de separacao da superfıcie daesfera. Considere que a sua velocidade inicial e muito pequena (ou por outraspalavras, que estava em equilıbrio instavel).

Solucao:

QuadroNegro 2 - Projeccoes sobre a tangente e a normal a trajectoria numponto dado

135

Figure 5: (a) Partıcula em movimento circular presa por um fio; (b) o fio parte-se e a partıcula parte ao longo da tangencial a curva no ponto em que se parteo fio...A forca centrifuga e fictıcia!; (c) Viatura numa curva inclinada vista defronte ou pela traseira.

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Figure 6: Um disco desliza sobre um lago gelado com velocidade inicial vo emove-se submetido a uma forca de fricao fr.

Exemplo 7: Um bloco de massa m = 7/3 kg, e actuado por duas forcas, umahorizontal

−→F 1 de 7 N e outra vertical

−→F 2 de 5 N. Determine a aceleracao do

bloco.

Solucao:

Comece por encontrar a resultante das forcas,−→F R. Escolha um sistema de

coordenadas apropriado: −→F 1 = 7

−→i + 0

−→j−→

F 2 = 0−→i + 5

−→j

donde resulta −→F R =

−→F 1 +

−→F 2 = 7

−→i + 5

−→j

Modulo:FR =

√72 + 52 = 8.60N

tan θ =FRy

FRx=

57⇒ θ = 35.5o

−→a =FR

m=

7−→i + 5

−→j

7/3= 3

−→i +

157−→j .

a =8.607/3

= 3.69m/s2.

Exemplo 8: Um disco plano de massa m = 2 kg desliza sobre um lago geladocom velocidade inicial vo = 5 m/s. Exerce-se sobre o disco uma forca de friccaofr = 4 N oposta ao movimento, como mostra a Fig. 6. Qual a distancia percor-rida pelo disco ate este atingir o repouso?

Solucao:

QuadroNegro 3

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