Mecanica e Ondas

fascıculo 7

March 17, 2008

Contents

7.1 Terceira lei de Newton ou lei da acao e reacao . . . . . . . . . . . 1047.2 Forca gravitacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1087.3 Peso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1107.4 Elevador acelerado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1107.5 Massa gravitacional, massa inercial . . . . . . . . . . . . . . . . . 1137.6 O Princıpio da Equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1137.7 Lei de Hooke. Molas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

Mario J. PinheiroDepartamento de Fısica e Instituto de Plasmas e Fusao NuclearInstituto Superior Tecnicoemail: mpinheiro@ist.utl.pt

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Nao ha quem aprenda alguma coisa simplesmente por te-la ouvido, equem nao se esforca sozinho em certas coisas acaba por conhece-lasapenas de modo superficial e pela metade

- “Coloquios com Goethe”, J. Eckermann

7.1 Terceira lei de Newton ou lei da acao e reacao

A lei da acao-reacao, ou terceira lei de Newton’s, e usada em qualquer manualuniversitario para obter as leis da conservacao do momento linear e angular.Ernst Mach 1 considerou a terceira lei como “his most important achievementwith respect to the principles”.

Newton concluiu que as forcas agem sempre par a par e, assim, anulando-seigualmente par a par. Para toda forca aplicada, existe outra de mesmo modulo,mesma direcao e sentido oposto. Para uma dada pressao exercida sobre um ob-jecto, existe uma contra-pressao. Um corpo que puxa ou empurra outro corpoe, de acordo com Newton, exactamente puxado ou empurrado com igual magni-tude pelo outro. A experiencia que a fundamenta esta na percepcao intuitiva daconexao que existe entre pressao e contra-pressao. Com a Terceira Lei, Newtoncompleta a exposicao dos Principia Methematica demonstrando os seus teoremascom rigor e introduzindo o calculo diferencial 2. Newton e Leibniz beneficiaramdo trabalho preparatorio desenvolvido por Kepler, Galileu, Descartes, Fermat,Roberval, Cavalieri, Guldin, Wallis e Barrow.

Terceira Lei de Newton: A toda acao ha sempre oposta uma reacao igual, ou,as acoes mutuas de dois corpos um sobre o outro sao sempre iguais e dirigidasa partes opostas 3.

Com se depreende da Fig. 1:

−→F AB = −−→F BA. (7.1)

Aparentemente e impossıvel obtermos uma forca unica isolada.

Repare que:

• O par de forcas que constituem a acao-igual-reacao, agem sobre diferentesobjectos;

• Um corpo e acelerado pelas forcas que agem sobre ele, e nao e afectadopela forca que ele exerce sobre os outros corpos.

1Ernst Mach (1838 1916) foi um fısico e filosofo austrıaco.2Que ele designou por “metodo das fluxoes”. Assinale-se que Leibniz tambem desenvolveu

de forma independente os fundamentos do calculo diferencial.3Na formulacao original em Latim: “Lex III: Actioni contrariam semper et aequalem esse

reactionem: sine corporum duorum actiones in se mutuo semper esse aequales et in partescontrarias dirigi.”

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Figure 1: Lei da acao-reacao: as forcas anulam-se aos pares.

Figure 2: Uma forca de 2 N e aplicada no bloco A que esta em contacto com obloco B.

Exemplo 1: Uma forca de 2 N e aplicada por um operador no bloco A queesta em contacto com o bloco B. Identifique o par de forcas acao-reacao (Vd.Fig. 2). Suponha que mA = 1 kg e mB = 2 kg. Qual e a aceleracao adquiridapelos blocos? Qual e a forca

−→F AB?

Tracemos um sistema de coordenadas orientando o sentido positivo do eixo OXpara a direita, como ilustra a Fig. 2:

Temos em modulo:FBA = mBaB (7.2)

Como se depreende da Fig. 2, a forca resultante que age sobre o bloco A e:

F − FAB = mAaA. (7.3)

Repare que, como neste caso as forcas estao todas aplicadas ao longo do eixoOx nao ha necessidade de escreve-las na forma vectorial.

Como os blocos estao em contacto, temos necessariamente (condicao de con-strangimento do problema):

∴ aA = aB = a (7.4)

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Da soma das Eqs. 7.3- 7.4 obtemos

F − FAB + FBA = (mA + mB)a. (7.5)

Mas atendendo que a lei da acao-reacao diz-nos que

| −→F AB |=| −→F BA |, (7.6)

∴ F = (mA + mB)a (7.7)

Tudo se passa como se a forca resultante estivesse actuando sobre a massa totalm que a a soma da massa das outras duas, m = mA + mB . A aceleracaoadquirida pelos blocos movendo-se solidarios e entao

a =F

mA + mB=

2N

(1 + 2)kg=

23m/s2. (7.8)

A forca de contacto e obtida de imediato:

FBA = mBaB = mBa=2 × 2

3 = 43N

(7.9)

E concluimos assim que a forca de contacto nao e igual a forca aplicada!

Heron de Alexandria (10 d.C. - 70 d.C.), matematico e engenheiro grego, in-ventou um mecanismo que provou o efeito mecanico da pressao do ar sobreos corpos. O pequeno engenho e o primeiro motor a vapor documentado nahistoria, e conhecido pelo nome de “eolıpila”. Esta ilustrado na Fig. 3. E umexemplo perfeito da lei da acao e reacao, assim como o e um dos grandes inven-tos dos chineses, o foguete. A Fig. 4 mostra um guerreiro chines disparando umfoguete contra a horda de mongois 4.

Sao contadas as historias fantasticas do barao alemao Karl Friedrich Hierony-mus, Freiherr von Munchhausen (1720 1797). Ele teria realizado feitos ex-traordinarios, tais como voar em bolas de canhao, viajar ate a Lus, e escaparde um pantano simplesmente puxando pelos seus proprios cabelos.

4Os Chineses repeliram os Mongois com uma barragem de foguetes, ou nas suas propriaspalavras, de “setas de fogo voador” (“arrows of flying fire”). Essas setas eram foguetoesa combustıvel solido, constituidos por um tubo fechado num extremo e aberto no outro econtendo polvora, outro grande invento chines. O tubo era ligado a uma longa vara paraestabilizar o movimento (vd. Fig.4). A polvora quando deflagrada produz fogo, fumo e o gasproduzido e expelido com grande velocidade pelo exaustor. A polvora e feita basicamentede 75 % de nitrato de potassio, 12.5 % de carvao em po e 12.5 % de enxofre purificado (inArte dos Fogos de Artifıcio, Tipografia do Comercio, Lisboa, 1908). A partir da batalhade Kai-Keng, os Mongois produziram os seus proprios foguetes e os difundiram na Europa.Em Inglaterra, Roger Bacon aumentou o alcance dos fogutes. Em Franca, Jean Froissartdescobriu que lancando os foguetes por meio de tubos de lancamento melhorava a precisao dotiro, estava inventada assim a “bazooka”. Em Italia, Joanes de Fontana inventou um torpedoque se deslocava a superfıcie da agua com o proposito de incendiar os navios inimigos.

Johann Schmidlap, no sec. XVI inventou o foguetao em andares: um foguetao de maior ca-pacidade (primeiro andar) transportava um foguetao mais pequeno (segundo andar). Quandoo foguetao maior extinguia-se, o mais pequeno incendiava-se, atingindo uma maior altitude.Todos os foguetoes a propulsao quımica destinados a alcancar o espaco exterior usam estasimples ideia de Schmidlap.

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Figure 3: A maquina a vapor de Hero de Alexandria (10-70 A.C.), matematicoe engenheiro. Este simples motor a vapor tambem e conhecida por “Eolıpila”.

Figure 4: Os chineses inventaram o foguete em 1232 e usaram-nos contra osMongois.

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Figure 5: Forca de atracao gravitacional entre dois corpos de massa m1 e m2

distantes de r12.

7.2 Forca gravitacional

Postulado de Newton: Todo o par de partıculas no universo exercem umno outro uma forca gravitacional mutua atracao. Esta forca e proporcional aoproduto das massas e inversamente proporcional ao quadrado da distancia entreelas:

Fg =Gm1m2

r212

(7.10)

onde G = 6.673 × 10−11 N m2/kg2 denota a constante da gravitacao universal(ilustrada na Fig. 5).

Na proximidade da superfıcie terrestre (de massa mT e raio RT ) uma massa me actuada pela forca:

Fg = m

(GmT

R2T

)= mg, (7.11)

ondeg ≡ GmT

R2T

. (7.12)

A constante da gravitacao pode ser medida experimentalmente com uma balancade Cavendish 5 (Vd. Fig. 6).

A aceleracao da gravidade g pode ser determinada medindo a queda de objectos.Conhecendo-se G, RT e g podemos determinar a massa da Terra!:

mT =gR2

T

G(7.13)

5Henry Cavendish (1731 - 1810), excentrico cientista britanico. Descobriu o hidrogenio.Usou uma balanca de torsao para determinar G. Contribuiu para o conhecimento dosfenomenos electricos propondo a lei da atracao entre cargas electricas e utilizando o conceitode potencial eletrico.

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Figure 6: Secao vertical da balanca de torsao de Cavendish. As esferas maioresestavam penduradas num quadro de modo a poderem rodar aproximando-se dasesferas menores.

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Considere a seguinte situacao: um objecto m encontra-se a superfıcie da Terra.Duas forcas opostas agem sobre ele (Vd. Fig. 7-(a)). A forca gravitacional daTerra,

−→F g e a forca de contacto

−→N com o solo. Se o objecto nao se move, temos

−→N +

−→F g = 0

ou seja −→N = −−→F g

Por sua vez a Terra encontra-se submetida a forca gravitacional da massa m ea forca de contacto com o objecto −→w (Vd. Fig. 7-(b)):

−→w = −−→F g.

Repare que todas as forcas referidas no exemplo anterior possuem igual magni-tude (modulo).

7.3 Peso

A forca de contacto −→w que um objecto exerce sobre o que a suporta e chamadade peso de um objecto.

No exemplo anterior a forca−→F g age no objecto e −→w age na Terra. Nao havendo

acelerac ao, verifica-se necessariamente

−→w = m−→g . (7.14)

7.4 Elevador acelerado

Ja conclusao diferente e obtida se o suporte do objecto se encontra acelerado,como sucede quando um objecto colocado no chao dum elevador acelerado paracima com aceleracao −→a .

As forcas que agem sobre m resultam em

N-Fg = maN=Fg + ma = mg + ma = m(g + a) (7.15)

N - forca que o elevador exerce sobre o objecto;

Fg - forca que a Terra exerce sobre o objecto.

−→N = −−→w

∴ −→w = m(g + a) em modulo(7.16)

Isto e, o peso e aumentado da quantidade ma em relacao ao seu valor emrepouso.

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Figure 7: Forca gravitacional, reaccao do solo e peso w. (a): forcas actuandosobre o objecto; (b): forcas actuando sobre a Terra; ambas sao pares de forcasobedecendo a lei da acao-reacao.

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Figure 8: Um objecto encontra-se colocado no chao de um elevador que e acel-erado para cima. (a): forcas que agem sobre o objecto; (b): forcas que agemsobre o elevador.

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Se o elevador mover-se para baixo com aceleracao a, entao teremos

w = m(g − a) (7.17)

Isto e, o peso diminui de ma.

Em queda livre podemos prever que a = g ∴ w = 0, o objecto nao tera peso,porque a forca de contacto com o suporte passara a ser nula.

Exemplo 2: - Astronauta ou satelite.

Um satelite artificial encontra-se numa orbita circular em torno da Terra (vd.Fig. 9). Na posicao orbital que ocupa a aceleracao e centrıpeta, g:

g =v2

R(7.18)

A forca que actua sobre o satelite e dada por

FS = Fg + w = mg (7.19)

As forca que actuam sobre o astronauta sao

fa = Fg −N = mg. (7.20)

Mas, por definicaoFg = Mgfg = mg

(7.21)

∴ w = N = 0.

Tal significa que nao ha forca de contacto com o chao e, portanto, o astronautanao tem peso.

7.5 Massa gravitacional, massa inercial

Existem dois tipos diferentes de massa:

Massa inercial: - Nas leis da mecanica a quantidade m e o coeficiente deproporcionalidade entre a forca e a aceleracao,

−→F = mI

−→a . A massa definidadesta forma e chamada massa inercial.

Massa gravitacional: - A massa tambem e uma propriedade da materia queprovoca as forcas gravitacionais entre os corpos tal que

−→F = GmT mg

R2T

= mg−→g .

A esta massa designa-se de massa gravitacional.

Uma questao fundamental em fısica e: serao as duas iguais? Ajustando a con-stante da gravitacao universal G, obtemos de facto mI = mg

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Figure 9: Um astronauta num satelite em torno da Terra nao sente a gravidade.

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7.6 O Princıpio da Equivalencia

Albert Einstein ainda era um simples funcionario no escritorio de patentes emBerna, Suıca, quando teve o que ele considerou ser “a ideia mais feliz da minhavida”. Einstein ja tinha formulado a Teoria da Relatividade Restrita e procuravageneralizar aqueles conceitos a referenciais acelerados: “esta lei... da igualdadeda massa inercial e da massa gravitacional foi entao percebida por mim comtodo o seu significado. Fiquei abismado com sua existencia e conjecturei queela deveria conter a chave para uma compreensao mais profunda da inercia dagravitacao”. Formulou entao assim o Princıpio da equivalencia:

“Consideremos 2 referenciais: 1) um referencial R inercial nao acelerado noqual existe um campo gravitacional uniforme e 2) um referencial R aceleradouniformemente mas no qual nao existe um campo gravitacional. Estes doisreferenciais sao fisicamente equivalentes.”

Einstein deu um passo gigantesco ao sugerir que nenhuma experiencia demecanica, eletromagnetismo, etc., permite distinguir R de S. As experienciasseguintes foram imaginadas por Einstein para ilustrar o Princıpio de Equivalencia.

7.7 Lei de Hooke. Molas

Todos os corpos sao elasticos ate certo ponto. Quando sao submetidos a umaforca de compressao ou extensao deformam-se.

Exemplos:

• bolas de aco

• tiras de borracha

• molas

Um corpo resiste a deformacao por meio de uma forca de restauracao. Aexperiencia mostra-nos que quando puxamos uma mola ela por sua vez puxa-nos tambem.

Em primeira aproximacao a relacao existente entre a forca de restauracao ea deformacao obedece a uma lei empırica muito simples conhecida por lei deHooke 6.

Lei de Hooke: a magnitude da forca de restauracao e directamente proporcionala deformacao.

Esta lei e:6Robert Hooke (1635 1703) fou um filosofo, fısico e matematico ingles. Foi a primeira

pessoa a usar a palavra “celula” como a unidade basica da vida. Hooke anunciou a sua leida elasticidade na forma de um anagrama, como era por vezes usado por cientistas tais comoGalileu, Huygens e outros, de modo a estabelecer a prioridade da sua descoberta sem oferecerdemasiados detalhes reveladores. O anagrama foi: ceiiinosssttuv, mais tarde foi reveladoquerer significar “ut tensio sic vis”, ou seja, como a extensao a forca

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Figure 10: Mola helicoidal. (a), em repouso; (b)-distendida com alongamentox.

• aproximada

• constitui uma descricao empırica

• e valida para pequenas deformacoes

7.7.1 Mola helicoidal

Na Fig. 10-(a) mostramos uma mola helicoidal 7 relaxada, e em Fig. 10-(b)mostramos a mesma mola distendidada de uma elengacao x. A lei de Hooke dizque

F = −kx (7.22)

onde k representa a constante elastica da mola e x o seu elongamento. O sinalnegativo significa que a forca restauradora se opoe a deformacao. Atencao,quando

• +x - a mola e esticada

• −x - a mola e comprimida

A constante k vem em unidades N/m no sistema SI. Quando k e elevada a molae rıgida (forca elevada po unidade de deslocamento), quando k e pequeno a molae mole (forca pequena por unidade de deslocamento).

A Fig. 12 mostra uma curva tıpica tensao-alongamento.7Em ingles chama-se coil spring.

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Figure 11: (a) - Se +x obtemos alongamento da mola e a forca negativa opoe-seao estiramento; (b) - Se −x temos compressao da mola e a forca com que amola reage e positiva opondo-se a sua compressao. Sempre os pares de forcaspresentes na lei da acao-reacao.

Figure 12: Curva tıpica de tensao-elongacao.

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QuadroNegro 1 - Molas em paralelo

Em paralelo a constante elastica efectiva e keff = k1 + k2.

QuadroNegro 2 - Molas em serie

Em erie a constante elastica efectiva e dada por 1/keff = k1 + k2.

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