Fundamentos daMecnica dos Slidos e das Estruturas Paulo de Mattos Pimenta Professor Titular do Departamento de Estruturas e Fundaes da Escola Politcnica da Universidade de So Paulo So Paulo 2006 Cia e ao Leandro i Prefcio Este o texto de apoio s aulas das disciplinas de ps-graduao sobre Fundamentos da Teo-riadasEstruturasedeAnliseNo-lineardeEstruturasministradaspeloautornoDeparta-mento de Engenharia de Estruturas e Fundaes da Escola Politcnica da Universidade de So Paulo desde 1985.Embora se deseje transform-lo em um livro, ele, contudo, deve ainda ser considerado provi-srio. Ele ainda no inclui referncias bibliogrficas, o nmero de figuras, de exemplos e de exercciospequeno,algunscaptulosaindanemforamcompletados.Modificaesecom-plementaestmsidointroduzidastodososanosnatentativademelhor-lo.Paraisso,su-gestes,correesecontribuiesporpartedoleitorsobem-vindas.Pede-se,pelamesma razo, compreenso e boa vontade aos alunos que o utilizarem. Otextoconceitualecontmmuitamatemtica,requerendoesforoepersistnciadosalu-nos.Procurou-seapresentarostpicosmatemticosdeformamaisoperacional,ouseja,de formasimpleseintuitiva,semrigorismo.umtextoparaEngenheiros,noparaMatemti-cos. Por isso, como motivao, um captulo introdutrio s Estruturas Civis foi elaborado. No entanto, o texto pode servir muito bem a Engenheiros Estruturais de outras reas como a Me-cnica, Automotiva, Naval e Aeronutica. a opinio do autor que estes conceitos so indis-pensveis para a formao de um Engenheiro de Estruturas completo, que possa compreender ostrabalhosmaisrecentesnestarea,efetuarpesquisastantoparaoMestradocomoparao DoutoradonasreasdeMecnicadosSlidosedeEstruturaseserresponsvelpelodesen-volvimento de novas tecnologias. Recomenda-seantecipadamente aos alunos, assim como aos demais leitores, que faam uma reviso da Matemtica do curso de graduao com nfase em matrizes, determinantes, clculo diferencial e integral de funes de uma ou mais variveis reais. A quantidade de informao disponibilizada aos alunos aqui avassaladora. Por isso, recomenda-se que os alunos estudem com afinco semanalmente a matria apresentada. fcil o aluno perder o p. Da mesma for-ma, recomenda-se que os alunos elaborem sempre os exerccios deste texto e os sugeridos em aula. Nos captulos iniciais os Fundamentos Matemticos necessrios compreenso da Mecnica dos Slidos e das Estruturas so apresentados. Uma introduo lgebra Linear elaborada no Captulo 2, dando importncia aos seus aspectos operacionais. A lgebra Linear crucial paraoentendimentodosconceitosdevetoredetensorquepermeiamtodaaMecnicados Slidos e das Estruturas. Os Princpios da Mecnica dos Slidos ficam muito mais claros com a utilizao desta ferramenta matemtica. Formulaes no espao tridimensional ficam enor-memente facilitadas com o seu emprego. Como todo novo conhecimento, o aprendizado inici-al sempre rduo. No entanto, o esforo recompensado pelo ganho operacional e pela ele-gncia alcanada na notao. A seguir, no Captulo 3, luz dos elementos de lgebra Linear, so ento revistos e estendidos alguns resultados de Clculo Diferencial e Integral aplicados AnliseTensorial,dandonovamentemaisrelevnciaaoaspectooperacional.NoCaptulo4, um breve estudo das Equaes Diferenciais Ordinrias e Parciais oferecido ao leitor com o intuito de complementar seu background matemtico. O Captulo 5 uma introduo ao Cl- ii culo Variacional, que condio sine qua non para o entendimento das formulaes integrais da Mecnica dos Slidos e das Estruturas, as quais so empregadas na forma de teoremas to importantes como o Teorema dos Trabalhos Virtuais e na formulao de mtodos aproxima-dos de soluo como o Mtodo dos Elementos Finitos. Trata-se de uma parte da Matemtica que geralmente no abordada em cursos de graduao de Engenharia. NosquatrocaptulosseguintesosfundamentosdaMecnicadosSlidosDeformveisso apresentados. No Captulo 6, expe-se a Cinemtica dos Slidos Deformveis, utilizando-se o ferramental matemtico do Captulo 2 em toda a sua potencialidade. No Captulo 7, os Princ-pios da Mecnica so reapresentados ao leitor, inicialmente para os pontos materiais, a seguir paraosslidosrgidosefinalmenteparaosslidosdeformveis.NoCaptulo8aEstticae Dinmica dos Slidos so descritas. O conceito de tenso discutido com profundidade e as Equaes do Movimento e do Equilbrio so deduzidas. No Captulo 9, uma introduo Te-oria das Equaes Constitutivas elaborada, completando os conhecimentos bsicos necess-rios para a compreenso da moderna Mecnica dos Slidos e das Estruturas. Nos captulos finais diversas aplicaes da Mecnica dos Slidos Deformveis so apresenta-das,comoaTeoriaLineardaElasticidade,aTeoriaNo-lineardaElasticidade,aTeoriada Plasticidade, a Teoria da Viscoelasticidade e a Teoria da Estabilidade. bvio que taisapli-caes so expostas em carter preliminar, no se almejando uma apresentao completa so-bre o assunto. Elas servem para ilustrar o poder da Mecnica dos Slidos na resoluo de pro-blemas da Teoria das Estruturas. Devoomeuagradecimento aosalunos quemeajudaramaprepararestetexto,emparticular comfiguras,exerccios,correesesugestes.Semserexaustiva,alistademeuscredores contm o Eduardo de Moraes Barreto Campello, o Elivaldo Elenildo da Silva, o Evandro Ros-si Dasambiagio e o Hudson Chagas dos Santos.Aproveito o ensejo para agradecer ao CNPq, que tem me apoiado com uma bolsa de Pesqui-sador, em nvel 1, desde 1996, e aoProfessor Peter Wriggers, chefe dacadeira de Mecnica Estrutural e Computacional da Universidade de Hannover, que me proporcionou dois estgios como Professor Visitante em 2002. Esta cadeira sucessora da Cadeira de August Ritter, co-nhecido dos alunos de Resistncia dos Materiais pelos seus trabalhos no sculo XIX sobre o clculo de trelias. Agradeo tambm aos Professores Balthasar Novak e Wolfgang Ehlers da UniversidadedeStuttgart,respectivamentedoInstitutodeProjetodeEstruturasLevesedo Instituto de Mecnica Estrutural, que me convidaram para um estgio de ps-doutorado nesta renomadainstituio.Soutambmgratoaosgovernosbrasileiroeportugusque,atravsda CAPES e do ICCTI tm apoiado a mim e ao Professor Srgio Proena da Escola de Engenha-ria de So Carlos em um convnio internacional entre a Universidade de So Paulo e o Insti-tuto Superior Tcnico da Universidade Tcnica de Lisboa. Este convnio tem financiado est-gios a diversos alunos e professores de ambos os pases. Em particular, agradeo ao Professor Teixeira de Freitas que to bem tem-me acolhido em Lisboa. Nestes estgios tive a paz neces-sria para preparar esta reviso. Paulo de Mattos Pimenta Hannover, Stuttgart, Lisboa e So Paulo, fevereiro de 2006 iii ndice Prefcioi ndiceiii 1As Estruturas da Engenharia9 1Slidos e estruturas9 2Estruturas civis10 2.1Notas histricas10 2.2Propriedades dos Materiais Estruturais Civis25 2.3O Projeto Estrutural Civil27 3Estruturas mecnicas29 2Elementos de lgebra Tensorial31 1Espaos Vetoriais31 2Espaos Afins32 3Dimenso e Base33 4Componentes34 5Conveno da Somatria35 6Espaos Vetoriais Euclidianos36 7Bases Ortonormais39 8Formas Lineares41 9Operadores Vetoriais42 10Tensores de Segunda Ordem47 11Formas Bilineares e Formas Quadrticas51 12Produto Escalar entre Tensores de Segunda Ordem52 13Produto Vetorial54 13.1Relao de Euler57 13.2Relao de Nanson57 14Rotaes57 15Tensores Simtricos58 15.1Autovalores e Autovetores59 15.2Decomposio espectral de um tensor simtrico61 15.3Mximos e mnimos da forma quadrtica associada62 16Tensores de Terceira Ordem64 17Tensores de Quarta Ordem66 3Elementos de Clculo Diferencial71 1Funes71 2Diferenciais e Derivadas71 3Extremos74 3.1Condies Necessrias para Extremos74 3.2Condies para mnimos locais75 4Convexidade76 5Elementos de anlise tensorial78 5.1Campos tensoriais78 5.2Operadores Diferenciais79 5.3Integrais de Volume81 iv 4Elementos de Equaes Diferenciais84 1Equaes Diferenciais Ordinrias84 1.1Introduo84 1.2Equaes Diferenciais de Primeira Ordem87 1.3Soluo de EDO's Lineares de Primeira Ordem90 1.4Soluo de SEDO's Lineares de Primeira Ordem96 2Equaes Diferenciais Parciais102 2.1Introduo102 2.2Classificao de EDPs quase-lineares de 2 ordem105 2.3Equao de Euler107 2.4Problemas de Valor no Contorno109 2.5Mtodo das Diferenas Finitas110 5Elementos de Clculo Variacional113 1Funcionais113 2Variaes119 2.1Funcionais de primeira ordem121 2.2Funcionais de segunda ordem122 2.3Equao de Euler-Lagrange124 3Extremos125 3.1Condies Necessrias para Extremos126 3.2Condies necessrias e suficientes para mnimos locais130 4Convexidade131 6Cinemtica dos Slidos Deformveis133 1Meio Contnuo133 2Movimento de um Slido Deformvel133 3Fibras136 3.1Estiramento de uma fibra138 3.2Alongamento de uma fibra138 4Tensores das Deformaes139 4.1Tensor das deformaes de Green139 4.2Outros tensores das deformaes141 5Distoro143 6Membranas144 7Deformao Volumtrica145 8Tensor das Rotaes146 9Velocidades e Aceleraes147 10Movimento de Corpo Rgido148 11Pequenas Deformaes148 11.1Mximo e mnimo alongamento150 11.2Mxima distoro150 12Pequenas Rotaes154 7Princpios da Mecnica dos Slidos156 1Princpios da Mecnica Newtoniana156 1.1Primeiro Princpio ou Princpio do Espao Absoluto156 1.2Segundo Princpio ou Princpio do Tempo Absoluto156 1.3Terceiro Princpio ou Princpio das Foras159 1.4Quarto Princpio ou Princpio da Inrcia159 1.5Quinto Princpio ou Lei da Conservao da Massa159 1.6Sexto Princpio ou Princpio Fundamental da Dinmica160 1.7Stimo Princpio ou Princpio da Ao e Reao160 2Princpios da Mecnica dos Slidos Rgidos162 2.1Primeiro Princpio162 2.2Segundo Princpio162 2.3Terceiro Princpio163 2.4Quarto Princpio ou Princpio da Inrcia164 2.5Quinto Princpio ou Lei da Conservao da Massa164 v 2.6Sexto Princpio ou Leis de Euler166 2.7Stimo Princpio167 3Princpios da Mecnica dos Slidos Deformveis167 3.1Primeiro Princpio167 3.2Segundo Princpio167 3.3Terceiro Princpio167 3.4Quarto Princpio ou Princpio da Inrcia168 3.5Quinto Princpio ou Lei da Conservao da Massa168 3.6Sexto Princpio ou Leis de Euler169 3.7Stimo Princpio169 8Esttica e Dinmica dos Slidos Deformveis170 1Tenses170 1.1Tensor das Tenses de Cauchy170 1.2Tensores de Kirchhoff179 1.3Tensores Energeticamente Conjugados180 1.4Taxas de Tensionamento182 2Equaes Globais do Movimento e do Equilbrio183 2.1Equaes Globais do Movimento183 2.2Equaes Globais do Equilbrio183 3Equaes Locais do Movimento e do Equilbrio183 3.1Equaes Locais do Movimento183 3.2Equaes Locais do Equilbrio184 4Linearidade Geomtrica185 9Teoria dos Materiais188 1Introduo188 2Princpios da Teoria dos Materiais188 2.1Princpio do Determinismo188 2.2Princpio da Localidade189 2.3Princpio da Objetividade189 3Modelos Bsicos191 4Modelos Materiais Unidimensionais193 4.1Modelo elstico de Hooke193 4.2Modelo plstico de Saint-Venant194 4.3Modelo viscoso de Newton195 4.4Modelo elastoplstico de Prandtl-Reuss196 4.5Modelo viscoelstico de Maxwell197 4.6Modelo viscoelstico de Kelvin-Voigt198 4.7Modelo viscoelstico de trs parmetros199 4.8Modelos viscoelsticos de vrios parmetros202 4.9Modelo viscoplstico de Bingham203 4.10Modelo viscoplstico de Hohenemser-Prager205 5Equaes Materiais Hiperelsticas206 5.1Classes de Materiais Hiperelsticos206 5.2Materiais Hiperelsticos Istropos208 5.3Materiais Hiperelsticos Transversalmente Istropos209 5.4Materiais Hiperelsticos Orttropos210 10Teoria Linear da Elasticidade213 1Introduo: linearidade geomtrica e fsica213 2Isotropia214 2.1Materiais hiperelsticos istropos215 2.2Lei de Hooke generalizada215 3Compatibilidade219 4O Problema Esttico da Teoria Linear da Elasticidade221 4.1Equaes do Problema Esttico da Teoria Linear da Elasticidade221 4.2Superposio dos Efeitos222 4.3Unicidade da Soluo223 4.4Mtodo dos Deslocamentos224 vi 4.5Mtodo dos Esforos226 4.6Princpio de Saint-Venant228 4.7Notao Tcnica228 4.8Problemas Planos da Teoria Linear da Elasticidade229 4.9Funo de Airy232 4.10Teoria da Toro Uniforme233 5O Problema Dinmico da Teoria Linear da Elasticidade239 5.1Equaes do Problema Dinmico da Teoria Linear da Elasticidade239 5.2Superposio dos Efeitos240 5.3Mtodo dos Deslocamentos241 5.4Ondas Elsticas242 5.5Vibraes Livres242 11Teoria No-linear da Elasticidade244 1Introduo244 2Linearidade Geomtrica244 2.1Elasticidade linear244 2.2Elasticidade no-linear248 2.3Soluo de Problemas Quase-estticos251 3No-linearidade Geomtrica252 3.1Problema Esttico252 3.2Material elstico istropo255 3.3Problema Quase-esttico257 3.4Problema Tangente257 3.5Soluo de Problemas Quase-estticos259 12Formulaes Integrais da Mecnica dos Slidos263 1Formulaes sob No-linearidade Geomtrica263 1.1Potncia e Trabalho dos Esforos Externos263 1.2Potncia e Trabalho dos Esforos Internos264 1.3Energia Cintica265 1.4Teorema das Potncias265 1.5Teorema dos Trabalhos Virtuais266 1.6Potenciais269 1.7Energia Potencial e Energia Mecnica270 1.8Funcional misto de Hu-Washizu272 1.9Funcional hbrido-misto geral272 1.10Funcionais hbridos de compatibilidade273 1.11Teorias Estruturais275 2Formulaes sob Linearidade Geomtrica276 2.1Potncia e Trabalho dos Esforos Externos276 2.2Potncia e Trabalho dos Esforos Internos277 2.3Energia Cintica277 2.4Teorema das Potncias277 2.5Teorema dos Trabalhos Virtuais278 2.6Potenciais281 2.7Energia Potencial e Energia Mecnica282 2.8Funcional misto de Hu-Washizu284 2.9Funcional hbrido-misto geral285 2.10Funcionais hbridos de compatibilidade286 2.11Teorema dos Trabalhos Virtuais Complementares288 2.12Teorema da Energia Potencial Complementar289 2.13Funcional misto de Hellinger-Reissner291 2.14Funcional hbrido-misto complementar291 2.15Funcionais hbridos de equilbrio292 2.16Funcional Hbrido de Trefftz294 2.17Teorias estruturais sob linearidade geomtrica295 2.18Mtodo da Carga Unitria para Estruturas de Barras309 2.19Teoremas de Energia para Estruturas de Barras314 vii 13Mtodos Diretos de Soluo de Problemas Estticos317 1Projees e Resduos Ponderados317 1.1Projeo Clssica317 1.2Resduos Ponderados319 1.3Projeo Generalizada320 2Formulaes Equivalentes na Teoria das Estruturas321 2.1Formulao Diferencial322 2.2Formulao Forte322 2.3Formulao Fraca323 2.4Formulao Variacional324 3Mtodos Aproximados para Problemas Estticos325 3.1Gerao de Subespaos de Aproximao325 3.2Mtodo de Ritz325 3.3Mtodo dos Elementos Finitos328 3.4Mtodo da Colocao329 3.5Mtodo de Ritz-Galerkin e mtodo de Petrov-Galerkin330 14Critrios de Resistncia331 1Introduo331 2Classes de Critrios de Resistncia332 3Critrios de Resistncia Istropos332 3.1Critrio de Rankine333 3.2Critrio de Tresca333 3.3Critrio de Huber-von Mises334 3.4Critrio de Mohr-Coulomb335 3.5Critrio de Drucker-Prager336 15Introduo Teoria da Plasticidade338 1Equaes Constitutivas Elastoplsticas338 1.1Modelo uniaxial elstico perfeitamente plstico338 1.2Modelo multiaxial elstico perfeitamente plstico342 2O Problema Esttico da Teoria da Plasticidade348 2.1O Problema Quase-esttico348 2.2O Problema Tangente da Teoria da Plasticidade348 3Anlise Limite para Carregamentos Proporcionais349 3.1Colapso plstico sob carregamento proporcional350 3.2Teorema Esttico350 3.3Teorema Cinemtico355 16Introduo Teoria da Viscoelasticidade359 1Modelos Uniaxiais359 1.1Modelo de trs parmetros359 1.2Funo de fluncia e de relaxao360 1.3Formulao integral363 1.4Envelhecimento365 2Equaes Constitutivas Viscoelsticas Lineares368 2.1Materiais viscoelsticos lineares istropos369 2.2Metais e polmeros369 2.3Concreto369 3Teoremas de Correspondncia370 3.1Decomposio do Problema Esttico370 3.2Estruturas de Concreto370 17Introduo Teoria da Estabilidade376 1Estabilidade de Slidos Conservativos376 1.1Configurao de Equilbrio Estvel376 1.2Configurao de Equilbrio Crtica378 2Anlise de Euler379 3Modelos Unidimensionais381 viii 9 1 As Estruturas da Engenharia 1Slidos e estruturas Como este textotrata de slidos e de estruturas, necessrio primeiramenteintroduzir preliminar-mentealgunsconceitosedefinies.Slidos1,emoposioaosfluidos,soconjuntosconexosde material que possuem forma definida quando no so submetidos ao de nenhum esforo exter-no.Slidos na Mecnica dos Meios Contnuos so considerados um conjunto contnuo de pontos mate-riais que podem ser identificados pela posio que ocupam no espao fsico tridimensional. Slidos soconsideradosrgidosquandoadistnciarelativaentrequaisquerdoisdeseuspontosmateriais no se altera no tempo. Caso contrrio so chamados deformveis.Slidos so considerados uma estrutura quando tm a funo de transmitir ou resistir ao de es-foros externos. Para isso necessrio que tenham tambm mantenham uma forma definida quando submetidos ao dos esforos externos para os quais devam ser funcionais. Uma estrutura por-tanto um slido com uma funo mecnica. Estruturas podem ser projetadas e construdas para que tenham a funo desejada. Este o objetivo principal da Engenharia Estrutural. Existem estruturas emtodasasconstruescivis,assimcomonasmquinas,sejamelasguindastes,automveis,avi-es, foguetes, navios ou submarinos. Existem estruturas naturais, como a formada pelo esqueleto e msculos dos corpos dos mamferos.A Mecnica dos Meios Contnuos a parte da fsica que trata de slidos e fluidos, quando so con-siderados um conjunto contnuo de pontosmateriais que podem ser identificados pela posio que ocupamnoespaofsicotridimensional.MecnicadosSlidosapartedaFsicaquetratatanto dos slidos rgidos comodos deformveis. A Mecnica dosSlidos trata tambm desistemasfor-mados por slidos, como uma mquina. A Mecnica dos Slidos Deformveis a parte da Mecni-ca dos Meios Contnuos que trata apenas dos slidos deformveis. A Mecnica das Estruturas a parte da Mecnica dos Slidos Deformveis que trata especificamente das estruturas. 1 Quando definies so feitas ao longo do texto, coloca-se o conceito definido em itlico. 10 2Estruturas civis 2.1Notas histricas2.1.1Estruturas em alvenaria Construesemalvenaria,isto,compedrasnaturaisouartificiais(tijoloscermicos,blocosde argamassa ou gesso, etc.) so, juntamente com as construes de madeira, as mais antigas da Cultu-ra Humana. J havia construes em alvenaria nas mais priscas eras. No incio, as pedras eram ape-nas empilhadas, mas logo se desenvolveu a tcnica do alvener ou alvanel, ou seja, de talhar as pe-dras,dando-lhesummelhorencaixe.Oexemplosupremodestatcnicatalvezpossaservistona FortalezadeSaqshuyaman(Figura1.1),nasproximidadesdeCuzco,naqualosIncaslevantaram pedras naturais de diversas toneladas, talhadas e polidas, com encaixes perfeitos e sem argamassa, cujaexecuoathojeumenigmapermanece.Oassentamentodaspedrascomoauxliodearga-massa, isto , de uma mistura de gua, areia e algum material ligante como barro ou cal tambm quase to antigo. Figura 1.1: Fortaleza de Saqshuyaman No passado, a maioria das coberturas e telhados era realizada com a ajuda de estruturas de madeira, uma vez que os vos que podem ser vencidos com a alvenaria eram bastante limitados. Um exem-plo desta limitao so os tmulos executados pelos povos neolticos da Bretanha, nas proximidades dacidadedeCarnac.Noentanto,oHomemdesdecedotentoudesenvolvertcnicasparasuperar esta limitao. Uma delas, chamada de falso arco ou abbada, consistia em empilhar pedras em ba-lano at se fecharem no topo da construo. O exemplo mais conhecido desta tcnica a Cmara do Tesouro de Atreu em Micenas no Peleponeso, erguida estimativamente em 1325 AC.

Figura 1.2: Arcos e abbadas romanos em alvenaria a) Pont du Gard perto de Nmes; b) Panteo em Roma (118-125) 11 Os romanos levaram a tcnica dos arcos e das abbadas ao um grande florescimento com a constru-o de pontes e aquedutos assim como com a cobertura de grandes espaos, atingindo vos que s foram alcanados novamente na Renascena, muitos sculos depois. Na Figura 1.2a v-se o aquedu-to romano de Pont du Gard na Provena, exemplo muito bem conservado da tcnica romana com os arcos de alvenaria. Ao lado, na Figura 1.2b est um dos mais belos exemplos de abbada da Anti-gidade: o Panteo de Roma (dimetro de 40 m). Na Figura 1.3 v-se a primeira tentativa de se utilizar a mesma tcnica na Renascena: a cpula da Catedral de Florena, projeto de Bruneleschi2 em 1420 (dimetro de 42 m). A habilidade dos alve-neiros (hoje, pedreiros) atingiu um mximo, tanto no aproveitamento dos materiais como na forma arquitetnica,naconstruodascatedraisgticaseuropias,sejamelasempedranaturalcomoas francesas e as do centro-sul da Alemanha, assim como as executadas em tijolos cermicos do norte da Alemanha.

Figura 1.3: Cpula da Catedral de Florena A construo em alvenaria ainda hoje muito importante, principalmente em obras residenciais. No entanto, ela perdeu parte de sua significncia aps o desenvolvimento de novosmateriais de cons-truo como o ao e o concreto. A baixa resistncia trao da alvenaria limita o seu uso a paredes e muros sujeitos a pouca solicitao de flexo, ou ao uso de arcos e cpulas. Edifcios residenciais devriospavimentoscomparedesestruturaisdealvenaria,armadasouno,complementadospor elementos estruturais de concreto armado como lajes e travamentos, podem ser uma opo em pa-sesemdesenvolvimento,nosquaisamodeobra aindarelativamentebarata.Jempasescom nveis salariais mais altos, a construo em alvenaria concentra-se em obras residenciais de pequeno porte. Existemalgunsdesenvolvimentosmodernosemmateriaisparaobrasdealvenaria,principalmente comodesenvolvimentodeblocosleves,inclusivedemateriaisartificiaisderivadosdopetrleo,e de blocos de alto desempenho. 2.1.2Estruturas de madeira A execuo artesanal de estruturas de vigas de madeira desenvolveu-se desde cedo tanto na China e, depois, na Idade MdiaEuropia, seja emcoberturas, sejaempontes,conforme sepodemvernas Figura 1.4a e na Figura 1.5. No entanto, a construo de estruturas de madeira passou a ser um as-sunto propriamente da Engenharia somente aps a Revoluo Industrial. Em particular, nos Estados 2 Filippo Bruneleschi (1377-1446). 12 Unidos e na Europa Central, pases ricos em florestas, inmeras pontes ferrovirias foram erguidas no sculo XIX, que posteriormente foram todas substitudas por pontes metlicas.

Figura 1.4: Estruturas em madeira a) Igreja em Saalfeld (sc.XIII); b) Balnerio de Bad Drrheim (1985-1987) Figura 1.5: Ponte em madeira sobre o Rio Reno em Schaffhausen Projeto com 2 vos de 60 m de J. U. Grubenmann (1756) Uma inovao recente nas estruturas de madeira so as vigas de madeira colada que possibilitam a construo de vigas curvas de grande vo (Figura 1.4b e Figura 1.6). Contribuiu, para isso, tambm odesenvolvimentodediversostiposdeligaesmetlicasquemuitosimplificaramestasconstru-es e lhes deram um carter de estruturas metlicas. 13 Figura 1.6: Ginsio de esportes do Parque das Naes, Lisboa 2.1.3Estruturas metlicas A utilizao do ferro e do ao em estruturas dependeu muito do desenvolvimento da siderurgia du-rante a Revoluo Industrial na Inglaterra. Alguns marcos deste desenvolvimento so a produo de ferrogusaemalto-fornosporvoltade1735porAbrahamDarbyIIeadescobertadoprocessode fabricao do ao pelo processo puddling por Henry Cort em 1784. Com o desenvolvimento das primeiras laminaes na primeira metade do sculo XIX, pde o ao ser finalmente transformado de forma econmica em perfis adequados ao uso estrutural. A produo econmica do ao em grandes quantidades tornou-se possvel somente aps a descoberta em 1855 do processo da garrafa de Henry Bessemer e a inveno em 1867 do forno de Siemens-Martin. Figura 1.7: Ponte de ferro fundido em Coalbrookdale/Severn A primeira ponte de ferro (Figura 1.7) foi construda em Coalbrookdale/Severn por Abraham Darby III e John Wilkinson nos anos 1773-1779 com 30,6 m de vo e pode ainda ser visitada hoje. No ano 1794 surgiu a primeira ponte de ferro na Alemanha com 13 m de vo (Figura 1.8). No princpio do sculo XIX inmeras pontes foram construdas em toda a Europa com a mesma tcnica. As primei-ras pontes adotaram as formas tradicionais das pontes em alvenaria, sendo construdas em arco, uma vez que ainda eram executadas de forma artesanal, sem fundamentos tericos. Os elementos de fer- 14 rofundido,quesomuitofrgeisquandosubmetidosacompresso,eramligadosporencaixese molas ou com chapas de ao forjado. Figura 1.8: Ponte de ferro fundido em Laasan, Silsia Alm das pontes em arco, a partir de 1825, com a construo acelerada das estradas de ferro, foram executadasinmeraspontesemtreliaemdiversosesquemas.Estesistemaestruturalatingiuseu apogeu com a ponte sobre o Firth of Forth (Figura 1.9), prxima a Edimburgo, com o vo principal de 521 m, construda em 1883-1890. Figura 1.9: Ponte sobre o Firth of Forth, Esccia Paralelamente ao desenvolvimento da tecnologia do ao, a compreenso de forma racional do com-portamento das estruturas foi um fator importantssimo para o rpido desenvolvimento da Engenha-ria de Estruturas no sculo XIX. A partir demeados dosculo XIX,as estruturas passama serem concebidas no mais artesanalmente e suas formas no mais determinadas por propores, mas sim por sua capacidade portante calculada a partir de fundamentos cientficos e de resultados de ensaios. BaseadosnaMecnica,ecomoauxlioderesultadosexperimentais,Hooke(1635-1703),Belidor (1693-1761),Bernoulli(1700-1782),Coulomb(1736-1806)eoutroshaviamestabelecidoosfun-damentosdaEsttica.Navier(1735-1806)ordenouem1821esteconhecimento,resumindo-oe complementando-o em suas prelees na "coledes Ponts et Chausses", transformando-o em um conhecimentoprtico,ou,comohojedenominamos,emtecnologia.Em1858apareciaumaoutra obra importantssima, denominada Manual of Applied Mechanics do engenheiro escocs William Rankine (1820-1872). Contribuiesimportantes vieramtambm doalemoKarl Culmann(1821- 15 1881)comaGrafosttica,hojedesnecessriadepoisdoscomputadores,edofsicoescocsJames Clerk Maxwell (1831-1879) e do italianoCarlo Alberto Castigliano (1847-1884) comosteoremas de energia de deformao. A exemplo de Maxwell, outros fsicos e matemticos tambm se ocupa-ram dos fundamentos da Mecnica dos Slidos no sculo XIX, como Lagrange (1763-1813), Young (1773-1829),Poisson(1781-1840),Cauchy(1789-1857)eKirchhoff(1824-1887).Omatemtico AugustRitter(1826-1908),daescolaPolitcnicadeHannover(hojeUniversidadedeHannover), viabilizou, na segunda metade do sculo XIX, mtodos de anlise para as j mencionadas pontes em treliasmetlicas3.SuacadeiraexisteathojecomonomedeMecnicadasConstruesCivise Computacional. Por outro lado, no final do sculo XIX, contribuies mais tcnicas vieram de en-genheiros alemes como Engesser (18481931), Mohr (1835-1918), Mller-Breslau (1851-1925) e Whler(1819-1914),levandoformaodadisciplinadenominadanapocadeResistnciados Materiais.ApremissabsicadaResistnciadosMateriaiseraqueadeterminaodastensesnas estruturas era suficiente para um bom dimensionamento. A "cole des Ponts et Chausses" havia sido fundada em 1747 para a formao cientfica dos ofici-aisdoexrcitofrancs,quetambmseocupavamdaconstruopeloestadofrancsdepontese obras enterradas. Cabe aqui comentar que, desde o Imprio Romano at o sculo XVIII, a profisso de engenheiro estava ligada atividade militar, sendo muitas vezes considerada uma das armas do exrcito e da marinha. A construo, hoje dita civil, era tocada basicamente por artesos e arquite-tos,cabendoaosengenheirosatarefadeconstruirfortificaesepontes.tambminteressante comentar que a palavra engenheiro vem do latim ingenium, atravs do francs antigo ingenieu-re, significando fazer com o esprito, ou seja, fazer com razo e habilidade, enquanto que a palavra arquiteto vem do grego architekton, significando operrio-chefe, ou mestre-de-obras. Em 1775, fundada a "cole Polytechnique de Paris, a qual, embora seja uma escola militar, passa tambm a formar Engenheiros Civis, tornando-se paradigma para diversas escolas tcnicas em todo o mundo. Logo aps, em Troy, Nova York, fundada a primeira Escola Politcnica do continente americano. A partir do incio do sculo XIX, elas se espalham por toda a Europa. AprimeiraescoladeengenhariabrasileirafundadanoRiodeJaneiroem1810,porD.JooVI, com o nome de Academia Real Militar. Dela desmembrada, em 1874, a famosa Escola Politcnica do Rio de Janeiro, alma mater das Escolas de Engenharia do Brasil e que foi instrumento impor-tantssimoparamitigarobacharelismovigenteatentonoscentrosdepoderbrasileiros.Elafoi inspirao para a fundao da Escola de Minas de Ouro Preto em 1876, das Escolas Politcnicas da Bahia (1887) e de So Paulo (1893), do Mackenzie College em So Paulo (1896) e das Escolas de EngenhariadoRecife(1896)edePortoAlegre(1897).Adotandodiversosnomesnodecorrerdo sculo XX, acabou por ser incorporada Universidade Federal do Rio de Janeiro. A primeira Escola Politcnica alem (Polytechnikum) fundada em 1825 em Karlsruhe, tendo tam-bmaco-irmdePariscomoinspirao.DamesmapocaaEscolaPolitcnicadeZurique,na Sua,hojeconhecidacomoETH(EidgenssischeTechnischeHochschuleZrich).Estasduas serviram de modelo a Francisco de Paula Souza na fundao da Escola Politcnica de So Paulo em 1893,oquemuitocontribuiuparaaindustrializaodacidade.Em1934,aEscolaPolitcnicade So Paulo foi incorporada recm criada Universidade de So Paulo. Na Alemanha, as Escolas Politcnicasmais importantes, como a de Stuttgart, passaram a ter a de-nominao de Escolas Tcnicas Superiores (TH), deixando o termo escola politcnica para escolas tcnicasdemenorimportncia.Apartirdadcadade50,muitasdasEscolasTcnicasSuperiores passaram a ser denominadas Universidades Tcnicas ou, simplesmente, Universidades. 3A.Ritter,ElementareTheorieundBerechnungeisernerDach-undBrcken-Konstruktionen,Rmpler,Hannover, 1873. 16

Figura 1.10: Pontes Pnseis do sculo XIX a) Ponte sobre o estreito de Menai (1816); b) Brooklin Bridge em Nova York (1883) Das estruturas metlicas, as pontes suspensas destacam-se por vencer os maiores vos. Conhecidas h mais de 2000 anos na China, utilizando cordas, elas se desenvolveram aps a Revoluo Indus-trial a partir de estruturas suspensas por correntes feitas de elementos forjados, passaram a ser exe-cutadas emcadeias de barras, como a Ponte Herclio Luz de Florianpolis e, terminaram, nos dias de hoje por serem quase que exclusivamente executadas com o auxlio de cabos de ao. O pas que maiscontribuiuparaodesenvolvimentodepontessuspensasporcabos,ousimplesmente,pontes pnseis, foram os Estados Unidos. Na Figura 1.10 v-se duas notveis obras do sculo XIX: a ponte em correntes sobre o estreito de Menai, Inglaterra, de Thomas Telford, construda de 1816 a 1826 e amaravilhosaBrooklinBridgeemNovaYork,deJ.A.&W.A.Roebling,construdade1870a 1883. Figura 1.11: Golden Gate Bridge em So Francisco Na Figura 1.11 est a famosa Golden Gate em So Francisco, que deteve brevementeo recorde de maior vo principal em pontes. Na Figura 1.12 esto as duas das maiores pontes pnseis j constru-das: a ponte sobre a entrada do porto de NovaYork, chamada de Verrazano Narrows, terminada em 1964, e a Ponte Akashi-Kaikyo no Japo, de quase 2.000 m de vo central, o recorde mundial, cons-truda de 1993 a 1998. Na Figura 1.13, v-se a Ponte 25 de Abril sobre o Tejo em Lisboa, inaugura-da em 1972, e que, em 1998 recebeu cabos adicionais para permitir a passagem do trem metropoli-tano sob o tabuleiro rodovirio. 17

Figura 1.12: Pontes Pnseis do sculo XX Verrazano Narrows, Nova York (1964); b) Ponte Akashi-Kaikyo (1990) Hoje,planeja-seasuperaodosestreitosdeMessina(3km)edeGibraltar(11km)pormeiode pontes que combinam cabos estaiados com cabos pnseis. Figura 1.13: Ponte 25 de Abril sobre o Tejo em Lisboa (1972) Na tabela a seguir expem-se alguns dados sobre pontes suspensas que podem ser de interesse. dataPonte suspensaVo principal (m) 1796Primeira ponte suspensa moderna (correntes) de J. Finley21 1816-26Ponte de correntes no Estreito de Menai de Th. Telford127 1816Primeira ponte pnsil nos EUA124 1832-34Grand Pont de Friburgo, Sua, de J. Chaley273 1870-83Brooklyn Bridge em Nova Iorque de J. A. & W. A. Roebling486 1929-32George Washington Bridge em Nova Iorque de O. H. Ammann1067 1933-35Golden Gate Bridge em So Francisco de J. B. Strauss1280 1964Verrazano Narrows em Nova York1660 1993-98Ponte Akashi-Kaikyo no Japo1990 planejadaPonte sobre o Estreito de Messina3300 planejadaPonte sobre o Estreito de Gibraltar3 x 3500 18 Figura 1.14: Ponte de Stromsund Desde 1950, vos mdios a moderadamente grandes passaram a ser vencidos por pontes suspensas por cabos retos (pontesestaiadas). Em1955 aprimeira pontemodernadestetipo foi executada na Sucia (Figura 1.14)pelo eminenteengenheiro alemo Dischinger (1887-1953). Em 1957 foiexe-cutada a ponte estaiada sobre o Reno, ao norte de Dsseldorf, com um vo principal de 260 m. Em 1995foierguidaaPontedaNormandianoHavrecom865mdevoprincipal.Aprimeiraponte estaiada brasileira executada em 2000 sobre o Rio Pinheiros, em So Paulo, e contm uma estao do trem metropolitano. As primeiras pontes em viga de alma cheia, a ponte de Conway (122 m), mostrada na Figura 1.15a e a Ponte Britannia (140 m), foram completadas por W. Fairbairn e R. Stephenson em 1847 e 1850, respectivamente.Elasforampercussorasdaspontesdeseocelularquesetornaram,nasltimas dcadas, o tipo padro de pontes de ao e de concreto protendido (Figura 1.15b) em todo o mundo.

Figura 1.15: Pontes em viga caixo a) Ponte de Conway (1847); b) Ponte de Twinberg, ustria, (1987) Muitas pontes expressivas, vrias delas suspensas, ruram por ruptura frgil, por fadiga dos materi-ais, por flambagem de elementos estruturais insuficientemente enrijecidos, por ressonncia causada pelamarchadesoldados,porinstabilidadeaerodinmica(Figura1.16)ouporoutrosfenmenos subestimados. Estes fracassos levaram invariavelmente a uma intensificao da atividade de pesqui-sa e, posteriormente, a um maior desenvolvimento tecnolgico. 19 Figura 1.16: Desabamento da Tacoma Narrows Bridge (1940) A construo metlica imps-se de forma mais vagarosa no setor de edificaes, embora, j no co-meodosculoXIX,grandiosasestruturas,principalmentedegalpes,tenhamsidoexecutadas (Figura 1.17). Inicialmente elas eram compostas de barras de ferro fundido e, depois, de ferro forja-do e ao laminado. Figura 1.17: Estruturas de ao na Paris do sculo XIX a) Cpula do Halle au Bl (1813); b) Palais des Machines (1889) Despertou muita admirao no sculo XIX, a construo do Crystal Palace (Figura 1.18) de Lon-dres por Joseph Paxton, em 1851, e da Torre Eiffel para a Exposio Mundial de Paris de 1889. Em Stuttgart, as estufas do Jardim Botnico Wilhelma, de 1842-53, so tambm um exemplo deste pe-rodo.PortodaaEuropa,anovalinguagemarquitetnicadasconstruesmetlicas,comvastas reasenvidraadas,passouaconcorrerfortementecomastradicionaisconstruesemalvenaria principalmente em estaes ferrovirias, estufas, galerias comerciais, mercados e galpes de expo-sio. 20 Figura 1.18: Crystal Palace, Londres (1851) Desde o final do sculo XIX, desenvolveu-se, principalmente nos Estados Unidos, a construo de edifcios altos, os chamados arranha-cus. Em 1930, a estrutura em ao do Empire State Building (Figura 1.23a), com 102 andares, foi levantada em Nova York em apenas seis meses.Em 1972, as torres gmeas do World Trade Center de Nova York, com 110 andares, foram inau-guradas e permaneceram por pouco tempo como os edifcios mais altos do mundo. Em 1974 a Se-ars Tower em Chicago (Figura 1.23b), tambm em estrutura de ao, atingiu o recorde de 422 m de altura.

Figura 1.19: Arranha-cus americanos a) Empire State Building (1930); b) Sears Tower (1974) Esta altura foi superada na dcada de 90 pelas torres gmeas "Petronas Towers" (Figura 1.20) com 452 m em Kuala Lumpur na Malsia, desta vez em estrutura mista em ao e concreto e com a ajuda detorresdecomunicaoemseutopo.ExistemprojetosparaedifciosaindamaisaltosnaChina. No entanto, aps o ataque terrorista contra o World Trade Center de Nova York, em 11 de setem-bro de 2001, a segurana de edifcios muito altos foi colocada em questionamento.Desde o comeo do sculo XX, as estruturas de ao passaram a ter a concorrncia das estruturas de concreto armado. Depois da Segunda Guerra Mundial, o concreto protendido juntou-se a esta con-corrncia, vencendo-a quase que completamente no segmento de pontes de pequeno e mdio vo. A utilizao de elementos estruturais mistos, compostos de ao e de concreto, principalmente em lajes, abriu um espao amplo para as obras de edifcios em todo mundo. Deve-se esperar desta combina-o um grande desenvolvimento nos prximos anos no Brasil. 21 Figura 1.20: Petronas Twin Towers, Malsia Depoisqueaquestodaproduoemmassadoaofoiresolvidanasegundametadedosculo XIX, os desenvolvimentos se orientaram primordialmente para a produo de aos de melhor quali-dade, com maior resistncia, tenacidade, soldabilidade e resistncia corroso. Desde a dcada de 60 so produzidos aos para fins estruturais resistentes a corroso. Embora o seu uso demande um pouco de cuidado, eles contriburam para alargar o campo de utilizao das estruturas de ao. Aos inoxidveis e alumnio, devido aos seus altos custos, so utilizados em casos muito especiais, quan-do materiais incorrosveis so necessrios e quando, no caso do alumnio, a leveza absolutamente necessria. Pouco a pouco, em meados do sculo XX, a ligao por rebites dos elementos em ao foi substitu-daporsoldaseparafusos.Asligaesporparafusosapresentamsempreumacertaflexibilidadee permitem escorregamentos devidos s folgas de montagem. Ligaes mais rgidas, com a ajuda de parafusosdealtaresistncia,tmsidoobservadascommaiorfreqncianosltimosanos.Jas ligaes com cola podem ser uma boa surpresa para os prximos anos. Desde a construo da cobertura do Parque Olmpico de Munique em 1972, o ferro fundido, agora elaboradodeformaatorn-lodctil,voltouaserutilizado,principalmenteemnscomplexosde estruturas modernas de alta tecnologia (high-tech structures). 2.1.4Estruturas de concreto armado e protendido Concretos com cal hidrulica ou com cimento pozolnico (de origem vulcnica) j eram conhecidos dosromanoshmaisde2000anos(OpusCaementitium).Asdescobertasdocimentoromanono ano de 1796 pelo ingls J. Parker e do cimento Portland pelo francs J. Aspdin em 1824 introduzi-ram um novo desenvolvimento nas construes de concreto.Em meados do sculo XIX, na Frana, introduziram-se agregados de pedra britada no concreto pela primeiravez.Em1855J.L.Lambotconstruiuumbarcodeargamassadecimentoreforadapor ferro.Em1861J.Monierproduziufloreirasdeconcretoreforadocomaramesdeao(Monier-Beton).Em1861F.Coignetpublicouosprimeirosfundamentosparaaconstruocomconcreto armado e exps na Exposio Mundial de Paris de 1867 vigas e tubos com o novo material. OamericanoW.E.Wardconstruiu,em1873,emNovaIorque,umamansodeconcretoarmado que existe at hoje (Figura 1.21). Outros importantes pioneiros foram T. Hyatt, F. Hennebique, G. A. Wayss, M. Koenen e C. W. F. Doehring. 22 A Igreja de So Marcos em Stuttgart, inaugurada em 1908, a primeira igreja de concreto armado domundo.OMercadoCentraldeStuttgartde1912,quesobreviveuaosbombardeiosdaSegunda Guerra Mundial, um exemplo precoce de obra puramente em concreto armado na Alemanha. Figura 1.21: Wards Castle, estado de Nova York Emil Mrsch (1872-1950), Professor da Escola Tcnica Superior de Stuttgart de 1916 a 1948, rece-beuem1902dafirmaWayssundFreytagatarefadecriarumabasecientficaparaoprojetode estruturas de concretoarmado. Os resultados de seu trabalho tericoe de seusensaios experimen-taisforampublicadosnaformadeumacoleodelivroseconstituem-senaprimeiraobrafunda-mental para o dimensionamento de estruturas de concreto. Herdeiros famosos da cadeira de Mrsch em Stuttgart foram os Professores F. Leonhardt e J. Schlaich. Figura 1.22: Cascas de concreto a) Casca em Xochimilco (Candela); b) Teatro em Grtzingen (Isler);c) pera de Sydney (Utzon); d) NovoMuseu em Curitiba (Niemeyer) Concreto o material estrutural mais produzido em todo o mundo. difcil encontrar hoje uma obra ondeelenotenhasidoutilizado,mesmoquesomentenasfundaesouemlajes.NoBrasil,sua 23 presena marcante em nossas cidades e estradas. Infelizmente, s vezes, ele utilizado como um mau smbolo do pssimo urbanismo brasileiro. No entanto, mais que qualquer outro material estru-tural, o concreto no tem formas pr-definidas, podendo ser plasticamente moldado para aproveitar ao mximo as caractersticas do material e para dar belas formas arquitetnicas s construes, co-mo nos quatro exemplos da Figura 1.22, nos quais cascas de concreto destacam-se pelo arrojo e pela esbelteza. Como o Homem progrediu desde o Panteo de Roma! Neste aspecto, o Brasil, principal-mente nas quatro dcadas finais do sculo XX, tornou-se um exemplo da arte de combinar as estru-turas de concreto com a arquitetura, como, por exemplo, nos belos edifcios de Braslia. A Figura 1.23 ilustra, atravs de uma simples ponte de pedestres, como a forma livre das estruturas deconcretopossibilitaumaconcepootimizadaquantoaoaspectoefuncionalidadeestrutural. Nesta ponte, no lugar de barras de ao para reforar o concreto trao, foram utilizadas, pela pri-meira vez, barras de concreto protendido de alta resistncia. As escoras inclinadas foram executadas em concreto de alta resistncia, com resistncia compresso da ordem de 120 N/mm2. Figura 1.23: Ponte sobre o Rio Gera em Rudisleben, Turngia DesdeaSegundaGuerraMundial,novastecnologiasdeconstruoemconcretoestruturalforam desenvolvidas que contriburam em muito para a execuo econmica de obras significativas. Aqui algumaspalavras-chave:formaslisas,formaspr-fabricadasereaproveitveis,formasdeslizantes, concretobombeado,concretousinado,concretoprojetado,concretosub-aqutico,injeodearga-massas e resinas, concreto reforado por fibras, estacas escavadas, protenso com aderncia poste-rior,protensocomadernciainicial,protensosemaderncia,construoporetapas,construo empurrada,construoporaduelassucessivas,elementosestruturaispr-fabricados,lajesextruda-das, lajes-painel, super-plastificantes, etc. Os ltimos desenvolvimentos apontam para concretos de alta resistncia, concretos reforados por fibras, concretos auto-adensveis e robs especficos para obras civis de concreto. Nenhum outro material estrutural conseguiu em to pouco tempo aumentar a sua qualidade estrutural como o concreto. Hoje, fala-se naturalmente de concretos com resistncia a compresso de 250 N/mm2, quando h vinte anos o natural era menos de um dcimo disso. Longe de ser um material antigo, o concreto hoje muito mais um material de moderna tecnologia. A grande diferena de deformabilidade entre o concreto e o ao inspirou o americano Jackson, em 1886, e o berlinense Doehring, em 1888, a patentearem sistemas com barras de ao pr-tracionadas por meio de porcas. Assim o concreto era submetido inicialmente a uma tenso de compresso e as tenses de trao provocadas pelos momentos fletores levavam a formao de fissurasmuitomais tarde.Estetipodeconcretoatualmentedenominadoconcretoprotendido.Doehring,Koenene outros experimentarameste processo naprtica,masfalharam,pois aindanose sabia que ocon-creto apresenta deformaes deferidas no tempo quando submetido compresso duradoura, fen-menoconhecidocomofluncia,detalformaqueapr-compressoeratotalmenteperdidaalgum 24 tempodepois.Somenteem1928,E.Freyssinetdesenvolveuumprocessocomoempregodeaos de alta resistncia que possibilitou manter a protenso mesmo com a ocorrncia da fluncia do con-creto. Oconcretoprotendidoimps-seapsaSegundaGuerraMundial,invadindosegmentosondea construo de ao predominava. Ele concorre hoje com o ao mesmo em pontes de grande vo, em edifcios grandes e em estruturas esbeltas. 2.1.5Estruturas mistas e novos materiaisO concreto armado e o concreto protendido so a combinao apropriada de dois materiais diferen-tes. Alm disso, como j mencionado, podem-se combinar perfis de ao, ou painis corrugados de ao, com lajes de concreto na confeco de pavimentos de edifcios. Muitos edifcios so constru-dos com alvenaria e lajes de concreto armado. Pontes estaiadas so freqentemente construdas com tabuleirosdeconcretoprotendidoecabosdeaodealtaresistncia.Outrascombinaesso,no entanto, possveis e geram uma classe de estruturas chamada de mistas. Hoje, um Engenheiro Civil deve estar preparado para combinar os materiais estruturais sem preconceito, otimizando o seu em-pregonosprojetos.Infelizmente,aformaoeaexperinciaespecializadasdosengenheiros,das firmas de engenharia e dos operrios, no somente no Brasil, tm limitado a construo de estrutu-ras mistas. Diversas Escolas de Engenharia tm reformado seus currculos nos ltimos anos, tentan-do eliminar esta falha educacional. As normas tcnicas europias, os Eurocodes, esto sendo ela-borados,procurandoestabelecerumaunidadedeprojetoparaosdiversosmateriaiseestruturas. No deve mais haver engenheiros estruturais de apenas um sistema estrutural e um material estrutu-ral. A combinao de materiais tradicionais com novos materiais, como as membranas txteis de PVC e Teflon,depolmerosreforadosporfibrasedevidro,abriuumaavenidadepossibilidadesparaa concepo de novos sistemas estruturais, conhecidos como estruturas de alta tecnologia (high-tech structures). Estas estruturas procuram combinar materiais novos e tradicionais de forma otimizada edeformaecolgica,conservandoenergia,permitindoquealuznaturalchegueatoslocaisde permanncia humana e contendo a maior massa possvel de materiais reciclveis. Um dos pais espi-rituais destas estruturas o Prof. Frei Otto da Universidade de Stuttgart, conhecido pela criao das coberturas do Parque Olmpico de Munique em 1972. Hoje diversas estruturas seguem esta tendn-cia (Figura 1.24). Figura 1.24: Ginsio de esportes de inverno, Munique Projeto de Ackermann, Schlaich & Bergermann (1983) Em 2000, as antigas cadeiras do Prof. F. Otto de estruturas leves e do Prof. E. Mrsch de concreto estrutural,maisascadeirasdeestruturasmetlicasedemadeiras,foramfundidasemumas,de-nominada Concepo e Construo de Sistemas Estruturais. 25 Na Figura 1.25 so vistos quatro exemplos de estruturas de alta tecnologia existentes no Parque das Naes em Lisboa. No alto, esquerda a estrutura atirantada (tenso-estrutura) que cobre a entrada dopavilhodeexposies,compostaporescorasmetlicas,cabosemembranatxtiltracionados. No alto, direita, a belssima estao Oriente do metropolitano de Lisboa, projeto de Calatrava, em ao, vidro e concreto. Embaixo, esquerda, uma membrana tracionada de concreto armado. Final-mente, no canto inferior direito, o centrocomercial Vasco da Gama emarcos intertravados de ao cobertos de vidro, sobre os quais corre permanentemente gua de modo a minimizar o consumo de energia pelo ar-condicionado. Figura 1.25: Construes high-tech da EXPO 98, Lisboa, 1998 2.2Propriedades dos Materiais Estruturais Civis Madeiranaturalapropriadasomenteparaaconfecodeelementosestruturaislineares(barras) com dimenses limitadas pelas dimenses da rvore original. Em estruturas, so utilizadas na forma de vigas, pontaletes, caibros e ripas com seo transversal retangular. Com a tcnica de colagem de barras demadeira natural, possvel seconstruir elementosestruturaislineares retos ou curvos de qualquercomprimentoecomqualquerseotransversal.Existemtambmchapasdemadeirain-dustrializada,comocompensadoseaglomerados,querequeremelementosdeligaoespecial,na maioria das vezes metlicos. Por questes de facilidade de produo e de economia, os elementos estruturais de ao so utiliza-dosprincipalmentenaformadeperfisechapaslaminadosouconformadosafrio.Aperfilhao aumenta a rigidez e a resistncia flexo em relao a sees retangulares com mesma rea e facili-taaligaoentrebarrascomsoldaouparafusos.Comaofundidopodemserrealizadaspeasde formas tridimensionais complexas, mas com alto custo. Por isso s deve ser utilizado em casos es-peciais ou quando a repetio de muitos elementos iguais torna-o competitivo. 26 Em contraste com a madeira e o ao laminado, o concreto plstico (palavra com origem no grego, significando que pode ter qualquer forma, como em artes plsticas). No vem em partes nem preci-sadeligaes.Podesermoldadoemqualquerforma,sejaembarras,placas,cascasoublocos. claroque,porrazesdeproduoedeeconomia,frmasplanascomngulosretospredominam. Emestruturasdeconcretopodemsercombinadosmonoliticamentedeinfinitasmaneirasescoras, pilares, vigas, paredes, lajes, blocos, etc. Muitas vezesmembros estruturais pertencem simultanea-mente a diversos elementos, como a mesa da viga que pertence laje. Outras vezes, elementos no-estruturais como painis de fechamento, tem a misso de transferir o carregamento devido ao vento para os elementos estruturais.OEngenheirodeEstruturasdevealmejaracombinaodosmateriaisdetalformaqueelessejam utilizados nas suas funes mais apropriadas e onde suas deficincias tenham um papel secundrio. Muitas vezes isto leva a estruturas mistas, como por exemplo, edifcios com pilares e vigas metli-cos, lajes de concreto armado e paredes de alvenaria. Outras vezes isto leva combinao de mate-riais em uma seo transversal, denominadas de materiais compostos ou elementos estruturais mis-tos. O concreto armado um material composto, assim como resinas reforadas com fibras de poli-amida (kevlar) somateriais compostos de alta tecnologia utilizadosem segmentos no-civis. O concretoarmadotalvezsejaomaterialcompostomaisutilizadonomundo.Jasvigasformadas pela combinao de perfis laminados ou soldados de ao com mesas em laje de concreto armado e as lajesmoldadas sobre uma chapa trapezoidal de ao, que lhe serve de frma e armao, so ele-mentos estruturais mistos.Quando se compara o material concreto com os outros materiais estruturais, imediatamente destaca-se a grande diferena entre suas resistncias compresso e trao. Esta aproximadamente um dcimo daquela. Enquanto que a compresso pode ser suportada pelo concreto de forma econmica, membros tracionados ou fletidos de concreto simples no tm sentido. A pequena resistncia tra-o do concreto facilmente ultrapassada por tenses provocadas pela restrio retrao do con-creto,demodoquemuitasvezeselanoficadisponvelparasuportarocarregamentoatuantena estrutura. Se construssemos as estruturas de concreto de forma a no termos tenses de trao, esta-ramos submetidos s mesmas limitaes das estruturas em alvenaria.As formas atuais das estruturas de concreto somente se tornaram possveis atravs da simbiose do concreto e do ao. O princpio do concreto estrutural essencialmente substituir ou reforar o con-creto tracionado pelo ao. Existem para isso diversas possibilidades. Pode-se substituir totalmente a zona tracionada de uma viga por um perfil de ao, como nos elementos compostos. A aderncia dos doismateriais,nestecaso,podesergarantidaporpinossoldadosaoperfildeao.Pode-sefundir uma laje de concreto sobre uma chapa corrugada de ao, que lhe serve de frma. A aderncia entre o concreto e o ao garantida pelo corrugamento. Pode-se, como no concreto armado convencional, distribuirbarrasoutelasdeaoprincipalmentenaszonastracionadasdoconcreto.Emvigas,as barras so colocadas principalmente ao logo das bordas tracionadas pelo momento fletor. As barras destaassimchamadaarmaduradeaoprecisamsercolocadasaumacertadistnciadasuperfcie externa das peas para se evitar a sua corroso por agentes externos, como o cloro, tpico de ambi-entes marinhos. A armadura longitudinal complementada por estribos ou armadura transversal que importante para resistir aos esforos transversais como o cortante, e por uma armadura construtiva importante para a montagem e para suportar efeitos no considerados nos clculos. Quando a zona doconcretosobtraofissura,oaoalicolocadoassumeasforasdetrao.Atransfernciadas foras entre a armadura e o concreto d-se por aderncia na superfcie de contato entre os dois ma-teriais, o que depende das condies e geometria destas superfcies. O ao alonga-se mais na trao que o concreto, o que provoca umacerta abertura nas fissuras que se formam noconcreto. Esta a-bertura pode ser controlada por uma boa distribuio e detalhamento da armadura, de modo que as fissurasfiquemtofinasquesejaminofensivas.Noentanto,elassovistas,muitasvezes,como uma desvantagem do concreto armado. 27 Pode-se tambm utilizara idia de se pr-tracionar as barraslongitudinais de ao contra o prprio concreto, criando-lhe um estado de pr-compresso, que lhe favorvel durante o carregamento por outras aes. Isto pode ser realizado, por exemplo, por uma barra de ao de alta resistncia embuti-da em um tubo, ou bainha, colocado antes da concretagem. O estado de pr-trao do ao seria en-to alcanado, tracionando-se a barra com macacos, ou mesmo com porcas, contra placas de ao de apoio colocadas nas extremidades da viga de concreto. Posteriormente, mas no necessariamente, a folga entre a barra e a bainha pode ser preenchida por argamassa, de modo a dar ao elemento estru-tural um comportamento sob carregamento mais parecido com o concreto armado. A fora longitu-dinalexcntricaprovocadapelapr-traodoaoatuaentodeformacontrriaaoestadodeten-sesprovocadopelocarregamentotransversal.Oconcretoentoseencontranumestadodepr-compressoeosmateriais,quecompemaviga,emumestadodepr-tenso.Umadenominao possvel para este elemento estrutural seria ento viga pr-tensionada, uma vez que os dois materi-aisassimseencontram.Paraomaterialconcretoaterminologiaconcretopr-comprimidoseriaa-dequada. No entanto, consagrou-se a terminologia de concreto protendido para este material e para os decorrentes elementos estruturais e estruturas. Como o prefixo pro significa favorvel, pode-se interpretar esta denominao como estrutura pr-tensionada de forma favorvel aos materiais que a compem. Na tabela abaixo, algumas das vantagens e desvantagens dos materiais estruturais considerados at o momento so apresentadas de forma resumida. Materiais Estruturais Civis materialvantagensdesvantagens alvenaria Tecnologia simples; montagem e aderncia entre materiaissimples;estruturasnonecessitam frmas; possui boas propriedades trmicas, acs-ticas e higroscpicas; incombustvel e resisten-te ao fogo; tem bom aspecto natural. Tembaixasresistncias,emparticular, trao;apropriadaapenasparaparedes,arcos e abbadas; exige muitas vezes revestimentos etratamentossuperficiaiscaros;exigeouso intensivo de mo-de -obra. madeira natural,fcildetrabalhareleveemrelao resistncia;possuiboaspropriedadestrmicase acsticas; tem bom aspecto natural. combustvel,apodreceouatacadopor pragas,muitodeformvel,inclusivepor efeito de variaes de umidade e temperatura; nemsempretemorigemecologicamente correta. ao Temaltaresistncia,mesmoemrelaoaoseu peso;temboaductilidadeetenacidade;osele-mentosestruturaispodemserindustrializadose montadosnaobracomfacilidade;montagem simples,comparafusosoucomsolda;aobra desmontvelereciclvel;reformaseexpanses so facilitadas; possibilitam estruturas esbeltas.Pode ter ruptura frgil, especialmente em aos dealtaresistncia,ouemaossubmetidosa baixastemperaturas,ouaciclosdetensoou amssoldagens;socorrosveis,necessitam tratamento superficial; tm alta condutibilida-detrmica;perdemresistnciaemaltastem-peraturas,deveserprotegidofrenteaincn-dios;levaa estruturasmaissujeitasa instabi-lidades. concreto estrutural Pode-se dar qualquer forma, a armadura pode se adaptaraocaminhamentodosesforos;estrutu-ras com boa resistncia, e, se bem dimensionada, boaductilidade;incombustvel,temboaresis-tnciaaofogo,abrasoeaointemperismo;se forembemexecutadas,necessitambaixamanu-teno; material econmico e de tecnologia sim-ples. pesado;oferecepoucoconfortotrmico; frmasecimbramentospodemsermuito caros;reformasedemoliessocaras;se malprojetadoeexecutadopodeserfrgil, ficardemasiadamentefissuradoeapresentar corrosoprecocedasarmaduras;possuimau aspecto natural, exigindo muito boa arquitetu-ra; industrializao limitada.2.3O Projeto Estrutural Civil OtrabalhodoEngenheiroCivilnoprojetoestruturaldivididotradicionalmenteemquatrofases: (i) concepo, (ii) modelao estrutural, (iii) dimensionamento e (iv) detalhamento. 28 A concepo representa a fase mais importante, mais criativa e mais difcil do projeto e requer, via de regra, muita experincia do engenheiro. Erros bsicos de concepo dificilmente podem ser cor-rigidos pelas fases seguintes. Acidentes ocorrem, na maioria das vezes, por falhas originadas nesta fase. Na concepo, o engenheiro deve pensar na funcionalidade estrutural, na economia, na estti-ca,noprocessoenafacilidadedeexecuo,noprazodeexecuo,nasinterfernciascomoutros aspectosdaobra,naescolhadosmateriais,naescolhadosistemaestruturalenafacilidadededi-mensionamento. nesta fase que o engenheiro tem uma grande interao com o arquiteto ou com a arquitetura da obra. Emobrascomocasaseedifciosdepequenoamdioporte,aarquiteturapraticamentepr-determinadapeloarquiteto,cabendoaoengenheirocivilconceberumaestruturaqueatendaosre-quisitos estticos, econmicos e comerciais. Neste tipo de obra a estrutura custa uma frao da obra, da ordem de 10 a 30%, sendo muito comum estar parcialmente ou totalmente oculta. J em obras de grande porte, a estrutura determina a forma arquitetnica da obra e seu principal custo. o caso de edifcios de grande porte, de pontes e outras obras pblicas. Nestas obras o engenheiro interage intensamente com a arquitetura da obra e a estrutura fica sempre muito visvel. Amodelaoestruturalvisaadeterminaodosesforosdedimensionamentoeconstitui-seem uma fase basicamente fsico-matemtica que era realizada manualmente, mas que, hoje, cada vez mais realizada computacionalmente. nesta fase que oengenheiro estabelece as aes sobreaes-truturaquedevemserconsideradas,escolhequaissoosesquemasestruturaisnecessriosparaa anlise, decide quais simplificaes geomtricas e fsicas devem ser feitas, especifica quais os tipos desimulaoquedevemserexecutadosedeterminaosesforosnecessriosaodimensionamento da estrutura.Comoilustrao,considere-seumedifcioresidencialconvencional.Asprincipaisaesaserem consideradas so as devidas ao peso prprio do edifcio, s sobrecargas de utilizao das lajes e as devidas ao vento. As duas primeiras aes so verticais e podem ser simuladas em anlises estticas sobrevigascontnuasouvigassimplesengastadasnoncleodoedifcio.claroqueumaanlise tridimensional envolvendo toda a estrutura poderia ser elaborada, principalmente com os programas computacionais hoje disponveis. No entanto, ela no seria necessariamente mais realista, porque os esforos devidos ao peso prprio no so introduzidos repentinamente na estrutura, mas sim pouco a pouco durante as etapas de construo. Por isso, o engenheiro deve sempre ter em mente que uma modelao de maior porte nem sempre mais realista que uma modelao aparentemente simplifi-cada. Para o vento, podem-se modelar os pilares e vigas como elementos rgidos que transmitem os esforos para o ncleo do edifcio, que trabalha como uma viga em balano engastada na fundao. Na terceira fase as dimenses da estrutura so determinadas de forma a assegurar que a construo seja confivel. Isto significa garantir que a estrutura tenha uma probabilidade baixa de no cumprir suas funes no perodo de sua vida til. neste momento que as normas tcnicas aplicveis devem serobedecidas,umavezqueonveldeseguranadasobrasdeveserestabelecidopelaSociedade Civil atravs dos rgos para isso constitudos. Em muitos pases, as normas tcnicas so obrigat-rias e tm fora de lei.O detalhamentoa ltima fasee englobatodaa complementao necessriaao projetoestrutural, que no foi realizada por ocasio do dimensionamento. Muitas decises aqui so tomadas baseadas naexperinciadoprojetistaeemnormastcnicas.Falhasdedetalhamentosoresponsveispor muitosacidentes.Eledevepossibilitararepresentaogrficadaestrutura,demodoapermitira sua fabricao e execuo.Porocasiodaconcepo,algunsclculosedimensionamentospreliminaresprecisamserfeitos para se definir os elementos estruturais e justificar diversas decises. Como na fase de modelao as dimenses tambm so necessrias, percebe-se que as fases acima listadas no so seqenciais, mas repetidas ciclicamente at a convergncia em um projeto final. 29 Atualmente a fase de modelao e dimensionamento tm sido cada vez mais executada com o aux-liodecomputadores.Omesmotemacontecidocomodetalhamentoearepresentaogrficado projeto estrutural. Hoje, a maioria dos escritrios de projeto estrutural realiza boa parte da modela-o,dodimensionamentoedetalhamentocomoauxliodecomputadores.ochamadoProjeto AuxiliadoporComputadores.Mesmoassim,parasemanterotrabalhodemodelaoedimensio-namento dentro de uma escala razovel, diversas decises de modelao e de simulao so neces-srias. Esta hoje a parte mais criativa das fases de modelao e dimensionamento, e a que talvez mais exija preparo terico dos engenheiros de projeto. Hoje, em obras mais convencionais, um nico engenheiro pode rapidamente executar a modelao, o dimensionamento, o detalhamento e a representao grfica final da estrutura. Obras especiais ou excepcionaisnecessitamaindaummaiordesenvolvimentodossistemas.Acreditamos,noentanto, que, em um prazo no maior que dez anos, estas trs fases encontrar-se-o reunidas em um mesmo sistema computacional para a grande maioria das obras civis. Embora este fato possa significar uma reduo do mercado de trabalho do engenheiro de projeto, por outro lado, ele, ao reduzir os custos de projeto, torna possvel realizar projetos estruturais mesmo para obras de pequeno porte. O uso de programasdecomputadordemandaumpreparocadavezmelhordopontodevistaconceitualdos engenheiros de projeto. Alguns pases estudam, ou j implementaram parcialmente, algum sistema de controle de qualidade do pessoal envolvido com o projeto estrutural, com a execuo de exames de capacitao peridicas e a certificao de profissionais. Aincorporaoemsistemascomputacionaisdosaspectosdaconcepoquepossamserobjetiva-mente quantificados objeto de pesquisas e encontra-se em experimentao. O verdadeiro dimensi-onamento de uma estrutura, e parte da concepo, consiste em otimizar os diversos aspectos de uma obra, sejam eles de ordem tcnica, esttica ou econmica, atendendo os requisitos de confiabilidade que a Sociedade Civil lhe impe. Por exemplo, dimensionar uma viga contnua de concreto armado significa encontrar as dimenses da seo transversal e a distribuio de armadura que, satisfazendo as normas tcnicas emtermos de confiabilidadee os requisitosestticoseconstrutivos especifica-dos inicialmente, levem maior economia. Economia esta que no apenas equacionada pelo custo unitriodosmateriais,masqueenglobamuitosoutrosaspectosexecutivos.Emmatemticaum problema bastante complexo, pois boa parte das variveis, como bitolas das barras de ao, espaa-mentos,dimensesdasfrmas,propriedadesmecnicasdosmateriais,nmerodeoperriosede equipamentosnecessriosexecuo,prazodeexecuo,interaocomoutrosaspectosdaobra (p.ex.: posio dos pilares na garagem subterrnea ou largura dos blocos de alvenaria) so discretas e no contnuas. 3Estruturas mecnicas Aps a Revoluo Industrial as mquinas ganharam grande importncia na sociedade humana.To-damquinapossuiumaestruturaresponsvelportransmitiraaodosesforosaosquaisela submetida durante a sua operao. Os veculos, como os automveis, nibus, caminhes, trens, avi-es e navios de todos os tipos, possuem uma estrutura. Mquinas comomotores, turbinas, gerado-res,guindastes,pontesrolantes,vasosdepresso,caldeiras,aparelhosdomsticos,etc.tambm sempre possuem uma estrutura. A Figura a seguir mostra algumas estruturas da Engenharia Mec-nica. 30 Figura 1.26: Estruturas mecnicas 31 2 Elementos de lgebra Tensorial 1Espaos Vetoriais Na Geometria e na Fsica entra-se em contacto com grandezas denominadas vetores, designados por x

,y

, etc., para os quais so definidas as operaes de adio, produto por um escalar, produto es-calar e produto vetorial, entre outras. Neste captulo o conceito de vetorser generalizado e novas operaes sero introduzidas. Para isso, define-se a seguir o que um espao vetorial. Definio 2.1: Espaos vetoriais Chama-seespaovetorialoulinearatodoconjuntoV ,cujoselementos,denotadospor, , , so denominados vetores, tal que: a)acadapardeelementosedeV ficaassociadoumesumelemento+ de V , denominado soma de com, de modo que: (i); + + V (ii)( ) ( ) , ; + + + + V(iii)| ; + V V(iv) ( )| ; + = V Vb)aaR e a um elemento Vfica associado um e s um elemento deV , indicado por a , denominado produto do vetor pelo escalar a , de modo que: (i)( ) , , ; a b a b a b + + R V(ii)( ) , ; a a a a + = + R V(iii)( )( )( ) , , ; a b b a ab a b = = R V(iv)1 . V 32 Exemplos 2.1 Espao vetorial da Geometria Clssica:3V; Conjunto dos nmeros reais: R; Conjunto dos nmeros complexos:C; ProdutoscartesianosdeR:vezes nn=

R R R R,ouseja,oconjuntodasnuplasdadas por( )1 2, , , , 1, 2,n ia a a a i n = R ; Conjuntodasfunesdeumavarivelreal( ) : , f a b R,definidassobreumabertode R, indicado por( ) , a b = , contnuas at a derivada de ordemk :( ) ,ka b Cou ( )k C ; Conjuntodasfunesden variveisreais,: f R,contnuasataderivadadeor-demk , onde um aberto de nR :( )k C ; Conjunto das solues de uma equao diferencial ordinria linear homognea de ordemk : ( ) ( )( )( )( )( ) ( ) ( ){ }h11 2 1 0| 0 .k kk ky x a x y a x y a x y a x y a x y = + + + + + =SExerccios 2.1 Mostre que o conjunto mn Mdas matrizes de dimensom n , com as operaes usuais de soma de matrizes e de produto de matrizes por nmeros reais, formam um espao veto-rial; Mostre queo conjuntodas soluesdeumaequao diferencial ordinria linear homog-nea de ordemkrealmente forma um espao vetorial; Mostre quenP , o conjunto dos polinmios de graundefinidos emR, um espao vetori-al; Considere o conjunto das funes contnuas no intervalo( ) , a bdenotado por( )0, a b C ; de-finasomadefuneseprodutodefunopornmeroreal,emostrequeesteconjunto um espao vetorial. 2Espaos Afins Na Geometria um conceito fundamental o de ponto. Os problemas da Geometria so ento formu-lados em um conjunto de pontos chamado de espao geomtrico. Na Geometria Plana este espao denominado plano geomtrico. Na Geometria, a cada par ordenado de pontos geomtricos ficaas-sociado um nico vetor. Estes conceitos sero generalizados atravs da seguinte definio. Definio 2.2: Espao afim SejaE umconjuntoeV umespaovetorial.E chamadodeespaoafimassociadoaoespao vetorialV eseuselementos, , A B sodenominadospontos,seacadaparordenadodepontos ( ) , A Bcorresponder um e s um elemento V , indicado por AB

, tal que: a)AA A =

E ; b), , AB BA A B = E ; c), , , AB BC AC A B C + =

E ;d)Para todo O Ee V , existe um nico| X OX

E. 33 Exemplos 2.2 a)Espao afim da Geometria Clssica:3E ; b)Espao afim da Geometria Plana:2E ; c)Espao afim da Fsica Clssica:3E . Observao 2.1 Umavezdefinidaumaorigemem 3E ,isto,umponto 3O E ,usual,deacordocomd)da Definio 2.2, confundir-se o vetor com o prprio pontoX . 3Dimenso e Base Definio 2.3: Vetores linearmente independentes Diz-se que os vetores 1 2, ,nso linearmente independentes (LI) se 1 1 2 2 1 2.n n na a a a a a + + + = = = = Caso contrrio, eles se dizem linearmente dependentes (LD). Exemplos 2.3 Na Geometria Plana quaisquer dois vetores no nulos e no colineares so LI. Em 2Ros vetores( ) ( ) e 1,2 1,1soLI, mas os vetores( ) ( ) e 2,2 1,1soLD. Em( )0, a b Cos vetores{ }2 31, , , , xx x so LI. Em( )00, / Cos vetores { }sen sen sen2 31, , , ,x x x / / / so LI. Exerccios 2.2 a)Mostre que se o vetor nulo estiver contido em um conjunto de vetores ento eles so LD. b)Mostre que, em2 2 M , as matrizes abaixo so LI 0 0 0 0 1 0 0 1, , , .0 0 0 0 1 0 0 1 (2.1) Definio 2.4: Dimenso de um espao vetorial Diz-sequeumespaovetorialV temdimenson finitaquandoneleexistiremn vetoreslinear-menteindependentesequaisquer1 n + vetoresforemlinearmentedependentes.Casocontrrio, diz-se que a dimenso deV infinita ( )n= . Exemplos 2.4 a)A dimenso de 3V 3; b)A dimenso deR 1; c)A dimenso de nRn ; d)A dimenso deC 2; e)A dimenso de( ) ,ka b C. 34 Exerccios 2.3 a)Qual a dimenso de2 2 M ? b)Qual a dimenso denP ? Definio 2.5: Base Um conjunto ordenado de nvetores linearmente independentes pertencentes a um espao vetorial Vde dimenso finitanforma uma base. Exemplos 2.5 a)Em2R , os vetores( ) ( ) e 1,2 1,1formam uma base; b)Em 2R ,( ) ( ) { } 1, 0, 0,1formam a chamada base cannica; c)Em2 2 M , as matrizes (2.1) formam a chamada base cannica. d)Mostrequeabasecannicade 2R ede 2 2 M estorelacionadasdaseguinteforma: se , 1, 2ii= , so os elementos da base cannica de 2Re , , 1, 2iji j = , so os elementos da base cannica de2 2 M , ento Tij i j= . Exerccios 2.4 a)Generalize o conceito de base cannica paranR ; b)Generalize o conceito de base cannica paramn M ; c)Mostre que{ }2 31, , , ,nxx x x formam uma base emnP , o espao vetorial dos polinmios de graun . Observao 2.2 Apartirdestemomentoadota-seadimenso3 n= paraV ,designando-opor3V ,poisoespao vetorial de dimenso 3 tem importncia fundamental na Mecnica. No entanto, a maioria dos resul-tados deste captulo valem paranqualquer. O caso de dimenso infinita ser examinado com mai-or detalhe posteriormente. 4Componentes Considere-se 3 V eabase{ }1 2 3, , em3V .Como{ }1 2 3, , , solinearmentedependen-tes, pode-se escrever 1 1 2 2 3 30 . a a a a a + + + = Assim, fazendo-se, 1, 2, 3iiax ia= = , tem-se que 1 1 2 2 3 3 . x x x + +Definio 2.6: Componentes de um vetor em uma base Seja 3 Ve seja{ }1 2 3, ,uma base de3V . Se 31,i iix= 35 ento os nmeros reais, 1, 2, 3ix i=recebem a denominao de componentes do vetor na base { }1 2 3, , . Observao 2.3 Ascomponentes, 1, 2, 3ix i= ,podemseragrupadasemumamatriz-coluna,indicadapor[ ]ix , como abaixo [ ]123.ixx xx = (2.2) Quando no houver dvida ou perigo de confuso quanto base utilizada para a definio das com-ponentes, confundir-se- o vetor com a matriz-coluna de suas componentes, escrevendo-se [ ] .ix = (2.3) Muitas vezes, matrizes-colunas so chamadas de vetores, embora, a rigor, quaisquer matrizes sejam vetores. 5Conveno da Somatria ConcebidaporEinstein,aconvenodasomatriaretiraosmbolodasomatriadasexpresses, aliviando a notao com componentes.Definio 2.7: Conveno da somatria A conveno da somatria permite escrever 31.i i i iix x== =(2.4) ou seja, a repetio de um ndice numa expresso significa uma somatria neste ndice de 1 at 3. Propriedades 2.1 a)Podem-se tratar algebricamente as expresses contendo adies e multiplicaes de soma-trias como se elas no existissem: ( ) .i i i i i i ia b a c a b c + = +b)O ndice sobre o qual efetuada a somatria denominado ndice mudo e pode ser trocado livremente: .i i j j r ra b a b a b = = = c)Seja, por exemplo, o seguinte sistema de equaes lineares 11 1 12 2 13 3 121 1 22 2 23 3 231 1 32 2 33 3 3.a x a x a x ba x a x a x ba x a x a x b + + =+ + =+ + = Ele pode ser substitudo por ,ij j iax b = 36 quedemonstraaforadanotaoindicialcombinadacomaconvenodasomatria.Na representao acimaj o ndice mudo. O ndicei , que varia tambm de 1 a 3, denomi-nadondicelivreepodesertambmlivrementetrocadoemambososladosdaequao. Pode-se concluir que o nmero de equaes sintetizadas dado por onde indices livres3e que cadaladodaequaocontm onde indices mudos3 parcelas.Aexpresso ijklmjlm ika b c = re-presenta, por exemplo, 9 equaes com 27 parcelas do lado esquerdo. Exerccios 2.5 a)Quantasequaesaexpresso0ijkl ik la c b = sintetiza?Quantasparcelascadaexpresso tem? b)Por que as expresses ij j ijab c =e ijk k ia b d =contm erros? c)Mostreque ik kj ijAB C = indicaoprodutomatricial,seoprimeirondicere-presentar a linha e o segundo ndice a coluna, como usual. d)Mostre que ki kj ijAB C =indica o produto matricialT. e)Mostrequetodamatrizpodeserexpressaporij ijA = ,onde ijA sooselementosda matriz e ij a base cannica demn M . 6Espaos Vetoriais Euclidianos NaGeometriatravou-secontactocomoprodutoescalardedoisvetores.Aquiesteconceitoser generalizado atravs da seguinte definio.Definio 2.8: Produto escalar Um espao vetorial com produto escalar ou interno um espao vetorial munido de uma aplicao denominada produtoescalar queassocia a cadapar de vetores 3 V ume sum nmerore-al , verificando as seguintes propriedades a) 3, V ; b)( )3, , , + + V ; c)( )3, , , a a a a + = + R V ; d)e30, , 0 = VObservao 2.4 a)A notao, utilizada para o produto escalar, especialmente no contexto de funes. b)A notao: utilizada para o produto escalar, especialmente no contexto de matrizes (e de tensores). c)Um espao vetorial com produto escalar denominado tambm pr-Hilbertiano. Exemplos 2.6 a)Em 2R ,( ) ( )1 2 1 2 1 1 2 2, , x x y y x y xy = + ; b)Em( )0, a b C , ,baf g fgdx =; c)Sejam n n M . Uma definio para o produto escalar de duas matrizes quadradas 37 ( ) tr : ,T(2.5) onde( ) trindica o trao da matriz . O operador trao definido por ( ) tr1.niiiM== (2.6) Exerccios 2.6 a)Mostreque,em 2R ,( ) ( )1 2 1 2 1 1 2 2, , x x y y x y xy = + satisfazaspropriedadesdoproduto escalar; b)Mostre que em ( )0, a b C ,,baf g fgdx = satisfaz as propriedades do produto escalar; c)Mostre que em 2 2 Ma definio( ) tr :T satisfaz as propriedades do produto escalar. Mostre tambm que:ij ijAB . Definio 2.9: Espao vetorial Euclidiano Umespaovetorialdotadodeprodutoescalarededimensofinitadenominadoespaovetorial Euclidiano4 e o espao afim associado denominado espao afim Euclidiano. Definio 2.10: Norma Euclidiana AmagnitudeounormaEuclidianadeumvetorpertencenteaumespaovetorialEuclidiano dada pelo escalar . = (2.7) Propriedade 2.2: Desigualdade de Schwarz Em um espao vetorial com produto interno vale a Desigualdade de Schwarz5 3, , . V (2.8) Para demonstr-la, considere-se que 30 , , . + R VMas ( ) ( )2 22 + = + + = + + Logo 2 222 0 , . + + R (2.9) O discriminante do trinmio em acima no deve ser positivo, portanto, ( )2 220 , de onde resulta (2.8). Propriedade 2.3: Desigualdade triangular Da Desigualdade de Schwarz decorre a Desigualdade Triangular 4 Euclides (ca. 320-260 AC) 5 Hermann Amandus Schwarz (1843-1921) 38 3, . + + V (2.10) De fato, fazendo1 =em (2.9), tem-se 2 2 22 22 2 + = + + + + (2.11) Utilizando-se (2.8), de (2.11) vem ( )2 2 2 22 22 2 , + + + + + = + (2.12) de onde decorre (2.10). Propriedade 2.4 Da Desigualdade de Schwarz (2.8) decorre tambm 1 1 . (2.13) Definio 2.11: Distncia entre dois pontos A distncia entre dois pontosA eBde um espao afim Euclidiano dada por ( ) , . d A B AB =

(2.14) Definio 2.12: ngulo entre vetores O nguloentre dois vetores e dado por cos . = (2.15) A definio acima faz sentido por causa de (2.13). Definio 2.13: Ortogonalidade Dois vetores e so ditos ortogonais se90o=ou0 . Propriedade 2.5: Teorema de Pitgoras6 Em um espao vetorial com produto interno vale o seguinte teorema (Teorema de Pitgoras) 2 2290 .o= + = + (2.16) (2.16) decorre de (2.11) e da definio de ortogonalidade acima. Exerccios 2.7 a)Considere-seoespaovetorial( )00,1 C comoprodutoescalar10, f g fgdx =.Deter-mine as normas das funes ( )1 f x =e ( )g x x =e o ngulo entre elas; elas so LI? De-termine o coeficiente de ( )h x x = + , de modo quefehsejam ortogonais. Deter-mine a distncia entrefeg , definindo-se distncia entre funes por( ) , d f g f g = . Determineoerrodeseaproximar ( )2p x x = por ( )g x ,definindo-seafunoerro( )x p g = e o erro por( ) , d pg = . b)Mostre que 6 Pitgoras (571-497 a.C.) 39 2 2.b b ba a afgdx f dx gdx (2.17) Definio 2.14: Colinearidade Dois vetores e so ditos colineares se 0o= . Propriedades 2.6 Sejamosvetorese,dadospor i ix ei iy .Efetuando-seoprodutoescalareutili-zando-se as propriedades b) e c) deste, tem-se ( ) .i j i jx y = (2.18) Definio 2.15: Mtrica O conjunto dos produtos ij i jg = (2.19) recebe a denominao de mtrica do espao vetorial. Note-se que estes produtos so simtricos, isto , ij jig g =por causa da propriedade a) do produto escalar. 7Bases Ortonormais Definio 2.16: Base ortonormal Uma base dita ortonormal se ,ij i j ijg = = (2.20) onde ij o smbolo de Kronecker7 abaixo sese1, ,0, .iji ji j= = (2.21) Propriedades 2.7 a)Em uma base ortonormal, os vetores so unitrios, isto , 1 , 1, 2, 3 .ii = = (2.22) b)Em uma base ortonormal, os vetores so ortogonais entre si, ou seja, 0 , .i ji j = (2.23) Propriedades 2.8 a)O produto escalar de dois vetores e , dados por i ixei iy , .ij i jx y (2.24) b)Note-se, no entanto, que (2.21) leva a .i i j jx y xy (2.25) 7 Leopold Konecker (1823-1891) 40 evidenciando uma propriedade muito importante de ij : o smbolo de Kronecker pode ser utilizadoparasubstituiroutrocarndicesdegrandezasindexadas.Assim,porexemplo, tem-se que ik jl lmn kn jmn ina b a b = . c)Note-se que [ ] ,ij = (2.26) onde a matriz identidade. d)Note-se tambm que ( ) ( ) ,j i i j i i j ij ix x x = = = (2.27) e portanto .j jx = (2.28) (2.28) fornece uma interpretao geomtrica para as componentes de um vetor em uma ba-se ortonormal. Utilizando-se (2.15) e (2.28), tem-se cos ,jx = (2.29) onde o ngulo entre ej, ou seja, a componente a projeo do vetor na direo do vetor unitrio da base, conforme a Figura 2.1. jxj Figura 2.1: Interpretao geomtrica da componente de um vetor Exerccios 2.8 Sejame1 2 1 22 3 + = em2V . a)Calculee , , entre estes vetores; b)Construa uma base ortonormal{ }1 2, , na qual 1 tenha a direo e o sentido de ; c)Encontre as componentes de na base{ }1 2,do item acima. Observao 2.5 Neste texto sero utilizadas somente bases ortonormais. Bases que no so ortonormais surgem, por exemplo, com a utilizao de coordenadas curvilneas. Propriedades 2.9: Mudana de base Sejam duas bases ortonormais{ } { } e1 2 3 1 2 3, , , , . Sejam os seguintes coeficientes .ij i jm = (2.30) 41 Note-se que no h simetria nestes coeficientes, isto , em geral,ij jim m . Determine-se, agora, as componentesdeumvetornabase{ }1 2 3, , pormeiode(2.28),ouseja,i ix = .Lem-brando-se quej jx = , tem-se ( ) ( ) .i i j j j i jx x x = = (2.31) Logo, tem-se ,i ij jx mx = (2.32) que a expresso da mudana de base para as componentes de um vetor. Observao 2.6 Os coeficientes ijmso os co-senos dos ngulos entre os vetores unitrios das duas bases. Exerccios 2.9 a)Mostre que ;i ji jx mx = (2.33) b)Mostre que a matriz[ ]ijm = ortogonal, isto , T T(2.34) (Sugesto: utilize [ ]Tki kjmm = ); c)Mostre que a matriz sensencoscos = (2.35) ortogonal e que det 1 = . d)Mostre que a matriz sensen2212,22 = + + (2.36) onde e3 22 2 21 2 3 3 12 100 ,0 = + + = (2.37) ortogonal e que det 1 = . (2.36) conhecida como frmula de Euler-Rodrigues8. e)Encontre ijmdos Exerccios 2.8. 8Formas Lineares NalgebraLinearsodefinidosdiversostiposdeaplicaescompropriedadesdelinearidadee multilinearidade. Formas lineares sero as primeiras a serem consideradas aqui. 8 Leonhard Euler (1707-1783), Benjamin Olinde Rodrigues (1794-1851) 42 Definio 2.17: Forma linear Chama-se forma linear em 3Va toda aplicao 3: A R V , de modo que a)( )( )( )3, A A A + = + V ; b) ( ) ( )3, , Aa aA a = R V . Propriedades 2.10 a)Uma forma linearA fica inteiramente caracterizada na base{ }1 2 3, ,pelo conhecimen-to dos coeficientes ( ) .i iA = (2.38) Para se verificar isto, seja i ix = . Pelas propriedades a) e b) da Definio 2.17, tem-se que ( )( ) ( ) .i i i i i iA Ax x A x = = =i so chamadas de componentes deA na base{ }1 2 3, , . b)DadaA, existe um nico vetor Vtal que ( )A = (2.39) Para se verificar isto, considere-se que ( )e .i i i ia x A x = =Logo .i ia =Diz-se, ento, que o vetor representa a forma linear A. H autores que definem vetores diretamente como formas lineares. Exerccios 2.10 Considere a forma linear na base{ }1 2 3, ,dada por ( )1 2B x x = +. a)Determine o vetor que representaB ; b)Calcule( )B , com1 2 3+ + . 9Operadores Vetoriais Introduz-se,agora,umaaplicaocompropriedadesdelinearidadedenominadaoperadorvetorial. Esta aplicao facilitamuito oentendimento do conceitodetensore, por isso, muitoimportante neste texto. Definio 2.18: Operador Vetorial Chama-se operador vetorial em 3Va toda aplicao3 3: V V , de modo que a)( )( )( )3, + = + V ; b) ( ) ( )3, , a a a = R V . 43 Propriedades 2.11 a)Umoperadorvetorialficainteiramentecaracterizadoemumabase{ }1 2 3, , pelo conhecimentodosvetores( )i.Paraseverificaristo,seja i ix = .Utilizando-seas propriedades da Definio 2.18 dos operadores vetoriais, tem-se ( )( ) ( ) .i i i ix x = =b)Denotando-se as componentes do vetor( )j na base{ }1 2 3, ,porijT , de modo que ( ) ,j ij iT = (2.40) tem-se ( )( ) .j j ij j ix Tx = = (2.41) Logo, se( )= , ento as componentes de na base{ }1 2 3, ,so dadas por .i ij jy Tx = (2.42) c) ijT so as componentes do operador na base{ }1 2 3, , . Veja-se que ( ) .ij i jT = (2.43) Observao 2.7 Tendo em vista a Definio 2.18 e as Propriedades 2.11, o vetor ( ) grafado a partir deste pon-to como um produto, como se segue ( ). = (2.44) Logo, se ( )= , ento= . (2.43) grafado, ento, da seguinte forma .ij i jT = (2.45) Definio 2.19: Operador nulo O operador vetorial tal que 3, = V (2.46) denominado operador nulo. Note-se que0ijO = . Definio 2.20: Operador identidade O operador vetorial tal que 3= V (2.47) denominado operador identidade. Note-se que ij ijI = (2.48) em bases ortonormais. Definio 2.21: Transposio de operadores vetoriais O operador T denominado o operador transposto de, se ( ) ( )3, .T = V (2.49) 44 Propriedade 2.12 fcil mostrar que Tij jiT T = (2.50) em bases ortonormais. (2.50) indica que [ ] [ ] .TTij ijT T = (2.51) Definio 2.22: Operadores simtricos O operador vetorial dito simtrico se ( ) ( )3, . = V (2.52) Propriedades 2.13 De acordo com (2.49) para operadores simtricos .T= (2.53) Propriedades 2.14 De (2.50) decorre que, para operadores simtricos, ,ij jiT T = (2.54) ou seja, [ ] [ ] ,Tij ijT T = (2.55) em bases ortonormais. Definio 2.23: Operadores anti-simtricos Um operador vetorial dito anti-simtrico se ( ) ( )3, . = V (2.56) De acordo com (2.49) para operadores anti-simtricos .T= (2.57) Propriedades 2.15 De (2.50) decorre que, para operadores anti-simtricos, ,ij jiT T = (2.58) ou seja [ ] [ ] ,Tij ijT T = (2.59) em bases ortonormais. Definio 2.24: Soma de operadores vetoriais Sejame ,operadores vetoriais em3V . Se 3, , = + V (2.60) 45 entoooperadorvetorialdenominadoasomadosoperadoresvetoriaise,sendo,por isso, denotado por= + . Propriedade 2.16 Todo operador vetorial pode ser decomposto na soma de um operador simtrico e um opera-dor anti-simtrico como se segue , = + (2.61) onde ( ) ( ) e1 1.2 2T T= + = (2.62) Em termos das componentes em uma base ortonormal, tem-se ( ) ( ) e1 1.2 2ij ij ji ij ij jiS T T A T T = + = (2.63) Observao 2.8 Umanotaomuitoempregadaparaaoperaodeextraodascomponentessimtricaeanti-simtrica de um tensor ( ) ( ) Sym e Skew . = = (2.64)9 Definio 2.25: Operadores ortogonais Um operador vetorial dito ortogonal se ( )( )3. = V (2.65) Propriedades 2.17 fcil demonstrar, a partir de (2.65), que .ki kj ijQQ = (2.66) (2.66) faz com que a matriz [ ]ijQseja ortogonal, isto , [ ] [ ] .Tij ijQ Q= (2.67) Logo [ ] det 1 .ijQ = (2.68) Definio 2.26: Rotaes Quando[ ] det 1ijQ = + , diz-se que o operador ortogonal uma rotao. Definio 2.27: Inverso de um operador vetorial Diz-se que 1 o operador vetorial inverso de se ( )( )13, .= = V (2.69) 9 Do ingls symmetric e skew-symmetric. 46 Propriedades 2.18 fcil mostrar, a partir de (2.69), que 1.ik kj ijT T = (2.70) Logo [ ] [ ]11.ij ijT T= (2.71) Para que 1 exista, o operador vetorial precisa ser uma aplicao bijetora. Uma condio ne-cessriaesuficienteparaisso,emumabaseortonormal,queamatrizdesuascomponentesem sistema ortonormal no seja singular, isto [ ] det 0 .ijT (2.72) Propriedades 2.19 Podem-se mostrar as seguintes propriedades dos operadores, que so completamente anlogas a das matrizes, a)( ) ( )11TT= ; logo pode-se grafar apenasT ; b) 1 T = , para operadores ortogonais. Definio 2.28: Composio de operadores O operador vetorial denominado a composio dos operadores vetoriais e, sendo deno-tado por= ou por , = (2.73) se ( ) ( )( )3, . = V (2.74) Propriedades 2.20 fcil mostrar, a partir de (2.74), que vale a seguinte equao .ij ik kjT VU = (2.75) Logo, as matrizes de suas componentes em um sistema ortonormal obedecem seguinte relao [ ] [ ][ ] .ij ik kjT V U = (2.76) (2.75) ou (2.76) justificam a notao (2.73). Exerccios 2.11 a)Considere-se um operador, cuja matriz em uma base ortonormal{ }1 2 3, ,seja [ ]1 0 01 1 0 .1 1 1ijT = Sejatambmovetor1 2 32 = .Calcule ( ), , 1, 2, 3i jT i j = , ( )T , ( )T e( ) ( )T T . b)Mostre que 47 ( ) ( ) ( ).T = (2.77) c)Encontre as componentes simtricas e anti-simtricas do operador vetorial do exerccio b) acima. 10Tensores de Segunda Ordem Definio 2.29: Tensores de segunda ordem Tensores de segunda ordem so definidos como operadores vetoriais em 3V . Observao 2.9 As classificaes de operadores vetoriais introduzidas anteriormente podem ser estendidas aos ten-soresdesegundaordem.Assimpode-sefalardetensoressimtricos,anti-simtricos,ortogonais, transpostos,dotensornulo,dotensoridentidade,dotensorrotao,dasomaedacomposiode tensores. Em relao composio, tendo em vista (2.73), fala-se do produto de dois tensores. Definio 2.30: Produto didico Introduz-seaquioprodutodidicoouprodutotensorialentredoisvetorese,grafadopor , que resulta em um tensor de segunda ordem= , tal que ( ) ( ) . = = (2.78) Propriedades 2.21 O produto tensorial de dois vetores 3 Vpossui as seguintes propriedades de bilinearidade, que podem ser verificadas facilmente atravs das propriedades de linearidade dos operadores vetoriais : a)( )3, + + V ; b)( )3, + + V ; c) ( )( ) ( )3, , a a a a = = R V . Por causa destas propriedades a nomenclatura de produto fica justificada. Propriedade 2.22 Seja um tensor de segunda ordem qualquer. Se( )= , ento, de i iy = , (2.42) e (2.43), tem-se ( ) [ ] .i j i= (2.79) Logo, todo tensor de segunda ordem pode ser escrito da seguinte forma ( ) .i i= (2.80) Observao 2.10 (2.80) indica que as componentes de( )i na base{ }1 2 3, ,formam a colunaidamatriz do operador vetorial nesta mesma base. 48 Propriedades 2.23 O produto tensorial de dois vetores 3, Vfica inteiramente caracterizado em uma base ortonor-mal{ }1 2 3, ,pelo conhecimento dos produtos tensoriais dos vetores da base, ou seja, de , , 1, 2, 3 .ij i ji j = = (2.81) Esta propriedade verificada rapidamente a seguir ( ) ( ) ( ) .i i j j i j i j i j ija b a b a b = = = (2.82) Definio 2.31: Espao tensorial de segunda ordem O conjunto de todos os tensores de segunda ordem aqui designado por 3 3 3= T V Ve denomina-doespaotensorialdesegundaordem. 3T umespaovetorialdedimenso 23 9 = ,comose pode concluir a partir de (2.82), sendo que as grandezas ij formam uma base deste espao. Definies 2.32: Subespaos do espao tensorial de segunda ordem a)O espao dos tensores de segunda ordem simtricos designado por3S .b)O espao dos tensores de segunda ordem anti-simtricos designado por3A . Observao 2.11 O espao 3V denominado espao tensorial de primeira ordem e seus elementos so denominados tensores de primeira ordem ou vetores. Propriedade 2.24 O tensor , cujas componentes em uma base ortonormal{ }1 2 3, ,so ijT , dado por ,ij ij ij i jT T = = (2.83) onde .ij i jT = (2.84) Propriedades 2.25 Os tensores de segunda ordem tm as seguintes propriedades em relao ao produto didico: a)( ) ( ) = ; b)( ) ( )T = ; c)( )( ) ( )( ) = . Exemplo 2.7 Parailustraodemonstra-seaPropriedades2.25b).Sejaumvetorqualquer,entopela Definio 2.30 e a Definio 2.21, tem-se ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) .TT = == == Logo a Propriedades 2.25b) vale. 49 Definio 2.33: Determinante de um tensor de segunda ordem O determinante de um tensor de segunda ordem dado, em uma base ortonormal, por [ ] det det .ijT (2.85) Observao 2.12 O determinante de um tensor de segunda ordem no depende da base ortonormal onde ele calcu-lado. Propriedades 2.26 O determinante de tensores tem as mesmas propriedades dos determinantes das matrizes. Assim a)det det ;T=b)( ) ( )( ) det det det ; =Propriedade 2.27 Seja i i umtensorconstrudocom3vetoresLIindicadospor e1 2 3, .Logo,das Propriedades2.25,decorre ( ) ( )i i i i = .Logo,comaajudadasPropriedades2.26, tem-se ( ) [ ]( )detdet .deti ii i=(2.86) Exemplo 2.8: Tensor das tenses Deduz-se, agora, de forma preliminar, o tensor das tenses de Cauchy, que foi o primeiro tensor de segundaordem descoberto, donde o nometensor. Considere-se,conforme a Figura2.2, um tetrae-dro infinitesimal no interior de um slido com 3 arestas segundo os vetores da base{ }1 2 3, , . Figura 2.2: Tensor das tenses de Cauchy 1 23123 50 Nassuperfciesinfinitesimaisderea, 1, 2, 3idS i= ,cujasnormaissoosvetoresunitrios , 1, 2, 3ii= , respectivamente, atuam as foras , 1, 2, 3id i= , dadas por () () ,i i id dS = (2.87) ondeosparntesesindicamquenohsomatrianondicei e isodenominadosvetoresdas tenses atuantes sobre as reasidS . Um vetor tenso denominado tambm de fora superficial ou fora por unidade de rea. Se i a fora por unidade de rea que atua sobreidS , ento i a for-a por unidade de rea que atua na face cuja normal , 1, 2, 3ii = . Seja a fora por unidade de rea que atua na face inclinada com readSe normal . O equilbrio das foras atuantes sobre o tetraedro fornece 1 1 2 2 3 3.i idS dS dS dS dS = + + = (2.88) Mas, comoidS a projeo dedS no plano de normali, tem-se ( ) .i idS dS = (2.89) Introduzindo-se (2.89) em (2.88), tem-se ( ) ( )i i i i= = (2.90) Logo , (2.91) onde i i (2.92) o tensor das tenses de Cauchy. O operador associado um operador vetorial que associa nor-maldeumasuperfcieaforasuperficialatuantesobreela.Aoseequacionaroequilbriodemo-mentos no tetraedro,verificar-se-que simtrico. Note-se queascolunas damatriz das com-ponentes do tensor das tenses so as componentes de i. Propriedades 2.28: Mudana de base Sejamduasbasesortonormais{ } { } e1 2 3 1 2 3, , , , .Sejamoscoeficientes ij i jm = de (2.30). Note-se que no h simetria nestes coeficientes, isto , em geral, ij jim m . Determine-se, agora, as componentes de um tensor na base { }1 2 3, ,por meio deij i jT = . Lembran-do-se quekl klT = , tem-se ( ) ( ) ( )( ) .ij i kl kl j kl i k l j kl i k l jT T T T = = = (2.93) Logo, tem-se ,ij ik jl klT mmT = (2.94) que a expresso da mudana de base para as componentes de um tensor de segunda ordem. Exerccios 2.12 Mostre que .ij ki lj klT mm T = (2.95) 51 11Formas Bilineares e Formas Quadrticas Definio 2.34: Forma bilinear Chama-se forma bilinear em 3V a toda aplicao 3 3: f R V Vque associa a cada par de veto-res de 3Vum e s um nmero real, de modo que as seguintes propriedadesde bilinearidade valham a)( ) ( ) ( )3, , , , f f f + + V ; b)( ) ( ) ( )3, , , , f f f + + V ; c)( ) ( ) ( )3, , , f a f a af a = R V . Exemplos 2.9 a)( ) f = uma forma bilinear; b)( ) ( ) f T = uma forma bilinear; Propriedades 2.29 a)Uma forma bilinear fica inteiramente caracterizada na base{ }1 2 3, ,pelo conhecimento dos coeficientes ( ) , .ij i jF f = (2.96) A verificao simples: ( ) ( ) ( ) .i i j j i j i j ij i jf f x y x yf Fx y = = = (2.97) b)Dadaf , existe um nico tensor de segunda ordem tal que ( ) f = (2.98) Fazendo-seij ijF ,ademonstraoimediata.Hautoresquedefinemtensoresde segunda ordem diretamente como formas bilineares. Definio 2.35: Formas bilineares simtricas Uma forma bilinear dita simtrica se ( ) ( )3, . f f =