1. Capitulo 6 ANLISE DAS TENSES E MD F FO R MA CO FS >f6. rINTRODUONs vimos na Sec. 1.8 que o estado mais geral de tenses, em um dado ponto Q, pode ser representado por seis componentes. Trs destas componentes, ox, oy e oz, definem as tenses normais exercidas nas faces de um pequeno elemento cbico, centrado em Q e de mesma orientao que os eixos coordenados (Fig. 6.1a), e as outras trs, rxy, ryz e rzx so as componentes de tenses de cisalhamento no mesmo elemento. Da mesma maneira como destacamos anteriormente, o mesmo estudo de tenses poder ser representado por um conjunto diferente de componentes, se os eixos coordenados sofrerem uma rotao (Fig. 6.1o). Nosso propsito na primeira parte deste captulo determinar como as componentes de tenso se transformam, quando ocorre uma rotao dos eixos coordenados. A segunda parte do captulo se prope a determinar, de maneira similar, a anlise da transformao das componentes das deformaes especficas.x2 z(a)ft>)9-593

2. 594Resistncia dos MateriaisCap. 6Nossa discusso sobre a transformao das tenses ser tratada principalmente com tenses planas, isto , para situaes em que duas das faces do cubo elementar se encontram isentas de tenses. Se adotarmos o eixo z perpendicular a estas faces, temos o2 = TZX = izy = O, e as nicas componentes de tenso que permanecem so ox, Oy e ixy (Fig. 6.2). Esta situao ocorre em uma placa fina submetida a foras atuando no plano mdio da espessura placa (Fig. 6.3). Tambm ocorre na superfcie livre de um elemento estrutural, ou um componente de mquina, ou seja, em qualquer ponto da superfcie deste elemento ou componente, que no est sujeito a aplicao de uma fora externa (Fig. 6.4).Fig. 6.2Fig. 6.3 ^g /~-^^ / ^~^ 2Considerando na Sec. 6.2 um estado plano de tenses em um dado ponto Q, caracterizado pelas componentes de tenses ox, ay e T , associadas com o elemento mostrado na Fig. 6.5a, aprenderemos a determinar as componentes ax,, oy e rx, , associadas ao elemento, depois deste ter sido girado de um ngulo 8, em torno do eixo z (Fig. 6.56). Na Sec. 6.3, iremos determinar o valor de 8p de 9 para o qual as tenses ax, e cy so, respectivamente, mxima e mnima. Estes valores das tenses normais so as denominadas tenses principais no ponto Q, e as faces correspondentes do elemento definem os planos principais de tenso daquele ponto. Tambm determinaremos o valor 9S do ngulo de rotao, para que a tenso de cisalhamento seja mxima, assim como tambm os valores correspondentes dessa tenso. 3. Cap. 6Anlise das tenses e deformaesy595y'z/x zl zt-""1w(P/ Fig. 6.5'Um mtodo alternativo para a soluo dos problemas envolvendo a transformao de tenses planas est baseado no uso do Crculo de Mohr, que ser apresentado na Sec. 6.4. Ns iremos notar que, qualquer que seja o mtodo escolhido, poderemos determinar a mxima tenso normal e a mxima tenso de cisalhamento, produzidas pela combinao de carregamentos, em qualquer ponto sobre a superfcie livre de um elemento estrutural ou componente de mquina. Certamente, aprenderemos na Sec. 5.12 como determinar as componentes de tenso produzidas pela combinao de carregamentos sobre um elemento, como aquele mostrado na Fig. 6.4; com estas componentes teremos condies de determinar as mximas tenses, normal e de cisalhamento, que atuam no ponto.4AJCiNa Sec. 6.5, iremos considerar um estado tridimensional de tenses em um dado ponto e desenvolver uma frmula para a determinao da tenso normal nesse ponto, segundo um plano com orientao arbitrria. Na Sec. 6.6, iremos considerar a rotao de um elemento cbico, em torno de cada um dos eixos principais de tenso, e notaremos que as correspondentes transformaes de tenso podem ser descritas por trs diferentes crculos de Mohr. Ns iremos tambm observar que, no caso de um estado plano de tenses em um dado ponto, o valor mximo da tenso de cisalhamento obtida anteriormente, considerando as rotaes no plano das tenses, pode no representar necessariamente a mxima tenso de cisalhamento nesse ponto. Isto nos far distinguir entre tenses mximas de cisalhamento no plano e fora do plano. Os critrios de escoamento para materiais dteis, no estado plano de tenses, sero desenvolvidos na Sec. 6.7. Para predizer se um material ir escoar em algum ponto crtico, quando sujeito a certas condies de carregamento, iremos determinar as tenses principais oa e ob naquele ponto e verificaremos se aa e ob e a tenso de escoamento oe do material satisfazem a alguns dos critrios comumente usados, tais como: o critrio da mxima tenso de cisalhamento e o critrio da mxima energia da distoro. Na Sec. 6.8, critrios de fratura ou ruptura para materiais quebradios ou frgeis, sujeitos a um estado plano de tenses, sero desenvolvidos de forma similar; 4. 596Resistncia dos MateriaisCap. 6eles envolvero as tenses principais oa e ob, em algum ponto crtico, e a tenso a^ do material. Os dois critrios que iremos discutir sero: o critrio da tenso normal mxima e o critrio de Mohr. Os vasos de presso de paredes finas fornecem uma importante aplicao de anlise do estado plano de tenses. Na Sec. 6.9, ns discutiremos as tenses, tanto em vasos de presso cilndricos, como em esfricos. Nas Secs. 6.10 e 6.11, iremos discutir as transformaes das deformaes especficas planas e o crculo de Mohr para deformaes planas. Na Sec. 6.12, consideraremos a anlise tridimensional de deformaes especficas e veremos que o crculo de Mohr pode tambm ser usado para determinar a mxima deformao especfica de cisalhamento, em um dado ponto. Dois casos particulares tm especial interesse e no podero ser confundidos: o caso de estado plano de deformaes e o caso de estado plano de tenses. Finalmente, na Sec. 6.13, discutiremos o uso dos extensmetros eltricos (strain gages) para medidas de deformao especfica normal, sobre a superfcie de um elemento estrutural ou componente de mquina. Veremos que as componentes e.,., zy e yxy, caracterizando o estado de deformao especfica em um certo ponto, podem ser obtidas com os resultados das medidas feitas com trs extensmetros, formando uma roseta de deformao.~6.2ESTADO PLANO DE TENSESVamos adotar que o ponto Q est submetido a um estado plano de tenses (com z = T2.x = Tzy = 0), que representado pelas componentes de tenso ox, oy e rxy, relativas ao cubo elementar da Fig. 6.5a. Queremos agora determinar as componentes de tenso oxf, a > e ix'y', referentes ao cubo elementar que foi rodado de um ngulo 8 em torno do eixo z (Fig. 6.5), expressando essas componentes em funo de ox, oy, rxy e 0. Para determinarmos a tenso normal o.,.., e a tenso de cisalhamento rx,y< que atuam na face perpendicular ao eixo x', vamos considerar o prisma elementar de faces perpendiculares aos eixos x, y e x' (Fig. 6.6a). Chamando de AA a rea da face inclinada, calculamos as reas das faces horizontal e vertical por AA cos 9 e AA sen 9, respectivamente. Com isso, as foras elementares que atuam nessas faces so aquelas mostradas na Fig. 6.6. No ocorrem foras atuando nas faces triangulares do prisma elementar, pois adotamos que as componentes de tenses nessas faces so nulas. Calculando as componentes dessas foras em relao aos eixos x' e y' temos as seguintes equaes de equilbrio: olS= 0:lax. AA - a^AA cos 0) cos 0 - T^(AA cos 0) sen 0 - o.y(AA sen 0) sen 0 - rxy(&A sen 0) cos 0 = 0 5. Cap. 6IFy, = 0:v.Anlise das tenses e deformaesAA + ^(AA cos 0) sen 0 -597cos 0) cos 0- av(AA sen 0) cos 0 + T,r(AA sen 0) sen 0 = O *M cos 9 AAz (a)-A/4 sen 9ox (M cos 0) * T^y (M cos 6) T (M sen 0)~a (M senFig. 6.6Na primeira equao tiramos o valor de ox>, e na segunda o valor de ix>y>, encontrando x'0x(6.1)Vy = - (x ~ y) sen ^ cos + Try (cos2 0 ~ sen2 ^) Usando as relaes trigonomtricas abaixo sen 20 = 2 sen 0 cos 0cos 20 = cos2 0 - sen2 0cos2 0 = reescrevemos a Eq. 6.1 da seguinte maneira:.1~cos20(6.2) (6.3)(6.4) 6. 598Resistncia dos MateriaisCap. 6l + COS 20 = O, verificamos que a soma das tenses normais em um elemento submetido a um estado plano de tenses independe da orientao desse elemento1.6.3TENSES PRINCIPAIS; TENSO DE CISALHAMENTO MXIMAAs Eqs. 6.5 e 6.6 obtidas na seo precedente so as equaes paramtricas de uma circunferncia. Isso quer dizer que se adotarmos um sistema de eixos coordenados e marcarmos o ponto M de abscissa ox, e ordenada t,,, y para qualquer valor do parmetro 0, vamos sempre obter um ponto que se encontra em uma circunferncia. Podemos lConforme nota da p. 132. 7. Cap. 6599Anlise das tenses e deformaesdemonstrar essa propriedade eliminando Q entre as Eqs. 6.5 e 6.6; para isso, transpomos para o primeiro membro da Eq. 6.5 o termo (ax + oy)/2, elevando ao quadrado os dois membros da equao. Em seguida, quadramos os dois membros da Eq. 6.6, somando membro a membro as duas expresses obtidas dessa forma. Vamos ter(6.9) Fazendo agoraOmd =V+ Ov(6.10)R =^escrevemos a identidade (6.9) na forma /(x' -aN9md)9r>9//. - - . v+ TfcV = R2 *(6.11)que a equao de uma circunferncia de raio R com centro no ponto C de abscissa mdia e ordenada O (Fig. 6.7). Como a circunferncia simtrica em relao ao eixo horizontal, iramos obter o mesmo resultado se tivssemos marcado o ponto N de abscissa ax: e ordenada . 6.8). Usaremos essa propriedade na Sec. 6.4.a.Fig. 6.8 8. 600Resistncia dos MateriaisCap. 6Os pontos A e B em que a circunferncia intercepta o eixo horizontal (Fig. 6.7) tem um interesse especial: o ponto A corresponde ao mximo valor da tenso normal ox, enquanto o ponto B corresponde ao menor valor dessa tenso. Ao mesmo tempo, os dois pontos correspondem a um valor nulo da tenso de cisalhamento t^.y. Desse modo, o valor 9p do parmetro 9 que corresponde aos pontos A e B pode ser obtido da Eq. 6.6, fazendo %x/dQ - 0. 9. Cap. 6OOmx, minAnlise das tenses e deformaesVOx - Oy 2+ Tx601(6.14)Embora seja possvel dizer por inspeo qual dos dois planos principais est submetido a omx e qual est submetido a omn, precisamos substituir um dos valores de 0 na Eq. 6.5 para determinarmos qual dos dois planos recebe o maior valor de tenso normal. Analisando novamente o crculo da Fig. 6.7, vemos que os pontos D e E localizados no dimetro vertical do crculo correspondem ao maior valor da tenso de cisalhamento Vy- QS pontos D e E tm a mesma abscissa omdia= (ox + oy)/2, e os valores 0C do parmetro 9 que correspondem a esses pontos podem ser obtidos fazendo-se ox* = (ox + oy)/2 na Eq. 6.5. Com isso, a soma dos dois ltimos termos da equao deve ser zero. Assim, para 9 = 9C, escrevemos3* ~ y - cos 26> + xysen 29C = Ooutg 20C = -OX - Oy(6.15)yEssa equao define dois valores de 29C com diferena de 180, e dois valores de 9C com diferena de 90. Qualquer um desses valores pode ser usado para a determinao da orientao do elemento que corresponde tenso de cisalhamento mxima (Fig. 6.10). A Fig. 6.7 mostra que o mximo valor da tenso de cisalhamento igual ao raio R da circunferncia. Lembrando a segunda das Eqs. 6.10 escrevemos !tmx =VOx ~ Oy2+ Txy(6.16) - 'Essa relao tambm pode ser obtida derivando rx>y> na Eq. 6.6, e igualando a zero a derivada dixy /d9 = 0. 10. 602Resistncia dos MateriaisCap. 6x-r l,mxFia 6 1 0Como j foi dito anteriormente, a tenso normal que corresponde condio de tenso mxima de cisalhamento 0= amdia(6.17)Comparando as Eqs. 6.12 e 6.15, vemos que a tg20 c o inverso negativo da tg 29p. Isto quer dizer que os ngulos 9C e 29p tm diferena de 90 e, portanto, os ngulos 0C e 9 so separados de 45. Assim, os planos de mxima tenso de cisalhamento formam ngulos de 45 com os planos principais. Ficam confirmados os resultados obtidos na Sec. 1.7 para o caso de fora axial centrada (Fig. 1.36) e na Sec. 3.4 para o caso de toro (Fig. 3.19). Devemos estar cientes de que a anlise de transformao das tenses no estado plano se limitou ao caso de rotaes no plano das tenses. Se o cubo elementar da Fig. 6.5 girar em torno de outro eixo que no o eixo z, suas faces podem ficar sujeitas a tenses de cisalhamento maiores do que aquelas dadas pela Eq. 6.16. Como veremos na Sec. 6.5, isso vai ocorrer quando as tenses principais definidas pelas Eq. 6.14 tiverem o mesmo sinal, sendo ambas de trao ou de compresso. Nesses casos, o valor dado pela Eq. 6.16 chamado tenso mxima de cisalhamento no plano. EXEMPLO 6.1Determinar, para o estado plano de tenses indicado na Fig. 6.11: (a) os planos principais; () as tenses principais; (c) a mxima tenso de cisalhamento e a correspondente tenso normal.' 11. Cap. 6Anlise das tenses e deformaes60310MPa l -4- 40 MPa50 MPaFig. ex.6.11(a) Planos principais. Adotando a conveno de sinais habitual, exprimimos as componentes de tenso por o = + 50 MPaoy = - lOMPar= + 40 MPaSubstituindo os valores acima na Eq. 6.12, encontramos 2rxy2(+ 40)tg 2dp = - = 5Q^; / i Q-, x=80grjy29p = 53,1 e180 + 53,1 = 233,1 '0 = 26,6e116,6(6) Tenses principais. AFrm. 6.14 leva a x + v * // o - a 2 mx, min = - -g- - V ^jamx = 20 + 50 = 70 MPa+4- -20 , V(30)2+(40)2amn = 20 - 50 = - 30 MPaNa Fig. 6.12 esto esquematizados os planos principais e as tenses principais. Substituindo Q = 26,6 na Eq. 6.5 verificamos que a tenso normal da face BC do cubo elementar a mxima tenso: 'ax. =50 - 10 +50 + 10__,. 10 cos 53,1 + 40 sen 53,1= 20 + 30 cos 53,1 + 40 sen 53,1 = 70 MPa = amx 12. 604Resistncia dos MateriaisCap. 6= 30 MPa Bomx = 70 MPaFig. ex.6.12(c) Tenso de cisalhamento mxima. A Frm. 6.16 leva a ~~^^~~~'"^~" l+ TmxV(30)2 + (40)2 = 50 MPaUma vez que amx e omn tm sinais opostos, o valor obtido para xmx representa realmente o valor mximo da tenso de cisalhamento no ponto considerado. Para determinarmos o sentido das tenses de cisalhamento e a orientao dos planos de tenso mxima, passamos uma seo ao longo do plano diagonal AC do elemento da Fig. 6.12. As faces AB e BC do cubo elementar esto situadas nos planos principais, de modo que o plano diagonal AC um dos planos de tenso mxima de cisalhamento (Fig. 6.13). Alm disso, as condies de equilbrio do prisma elementar ABC exigem que a tenso de cisalhamento seja dirigida como indica a figura. A Fig. 6.14 mostra, ento, o cubo elementar que corresponde mxima tenso de cisalhamento. A tenso normal em cada face do cubo elementar dada pela Eq. 6.17: = omd50 - 10= o n AMPa 20 / ma'= 20 MPa = 26,6o1g=e_ 45^ _ 18,4Fig. ex.6.13/'= 20 MPa = ""-Fig. ex.6.14l 13. Cap. 6Anlise das tenses e deformaes605PROBLEMA RESOLVIDO 6.1 Uma fora horizontal P de 670 N aplicada extremidade D da alavanca ABD. Determinar: (a) as tenses normal e de cisalhamento em um cubo elementar situado no ponto H, com lados paralelos aos eixos x e y; (6) os planos principais e as tenses principais.DSoluo. Substitumos a fora P por um sistema de momentos e fora cortante aplicado no ponto C, centride da seo transversal que contm o ponto H. > P = 670 NT = (670N)(0,45m) = 301,5 N - m Mx = (670N)(0,25m) = 167,5 N - mP = 670 N T = 301,5 NM x =167, N - m 14. 606Resistncia dos MateriaisCap. 6(a) Tenses ox, oy e rxy no ponto H. Com um exame cuidadoso do sistema de fora e momento aplicado em C, determinamos o sentido e o sinal de cada componente de tenso, usando a conveno de sinais indicada na Fig. 6.2.T y - T*y^0oy = 63,2 MPa T = 56.9 MPakltMc " J>* = 0(167,5N-m)(0,015m) ^ 4.(0,015m)4 oy = +63,2 MPa^f-rxy=Tc j=(301,5N-m)(0,015m) n l 2 (0,015 m)4 Txy = 56,9 MPaA fora P no provoca tenses de cisalhamento no ponto H. (b) Planos principais e tenses principais. A orientao dos planos principais encontrada substituindo os valores das componentes de tenses calculadas na Eq. 6.12. 15. Cap. 6Anlise das tenses e deformaes607'amx = 96,7MPabtan 29,o2 - oyomn = 33,5 MPaO - 63,2= - 1,80180 - 61,0 = + 11929p = - 61,00p = -30,5 e +59,5^Substituindo as componentes de tenses na Eq. 6.14, determinamos as intensidades das tenses principais m Ox+Oy+ T: xyr A/ / O - 63,2O + 6,32 r(56,9)2= + 31>6 65>1x= +96,7 MPa *Omn = -33, 5 MPa-^Considerando a face ab do cubo elementar, fazemos 9p = - 30,5 na Eq. 6.5, encontrando av = - 33, 5 MPa. Conclumos ento que as tenses principais esto aplicadas como indica a figura.PROBLEMAS 6.1 a 6.4 Para o estado de tenses dado, determinar as tenses, normal e de cisalhamento, exercidas sobre a face oblqua do tringulo sombreado do elemento. Usar o mtodo de anlise baseado nas equaes de equilbrio deste elemento, tal como foi deduzido na Sec. 6.2. 16. 608Resistncia dos MateriaisCap. 630 MPal 70 MPa 30 MPa> 80 MPa 60 MPa50 MPa 40 MPa40 MPa 40 MPaFig, P6.1Fig. P6.2Fig. P6.3Fig. P6.46.5 a 6.8 Para o estado de tenses dado, determinar: (a) os planos principais; (6) as tenses principais.40 MPa140 MPaFig. P6.5 e P6.9Fig. P6.6 e P6.10Fig. P6.7 e P6.11Fig. P6.8e P6.126.9 a 6.12 Para o estado de tenses dado, determinar: (a) a orientao dos planos de mxima tenso de cisalhamento, no plano; (c) a correspondente tenso normal. 6.13 a 6.16 Para o estado de tenses dado, determinar as tenses, normal e de cisalhamento, depois que o elemento mostrado tenha sofrido uma rotao de: (a) 40, no sentido anti-horrio; (6) 15, no sentido horrio.4 200 MPa75 MPa50 MPa60 MPa110 MPa80 MPa40 MPaFig.P6.13Fig.P6.14' Fig. P6.15Fig. P6.16 17. Cap. 6Anlise das tenses e deformaes6096.17 e 6.18 As fibras de uma pea de madeira formam um ngulo de 18 com a vertical. Para o estado de tenses mostrado, determinar: (a) a tenso de cisalhamento no plano, em um plano paralelo s fibras; (b) a tenso normal perpendicular s fibras.1,4MPa 1,5 MPa 3,5 MPa1-Fig. P6.17Fig. P6.186.19 Duas peas de madeira de 80 x 120 mm, de seo transversal retangular e uniforme, so unidas por simples colagem das sees chanfradas, como mostrado. Sabendo-se que as mximas tenses admissveis na junta so, respectivamente, de 400 kPa na trao (perpendicular ao chanfro) e de 660 kPa no cisalhamento (paralelo ao chanfro), determinar a maior carga axial P que pode ser aplicada.80 mmFig. P6.196.20 Um tubo de ao de 300 mm de dimetro externo fabricado com chapa fina de 6,35 mm de espessura, soldada ao longo de uma hlice que forma um ngulo de 22,5 com um plano perpendicular ao eixo do tubo. Sabendo-se que uma fora axial P de 180 kN e um torque T de 10 kN m, tal como mostrado, so aplicados no tubo, determinar o e T nas direes, respectivamente, normal e tangencial solda. 18. 610Resistncia dos MateriaisCap. 66 35 mm22,5Fig. P6.206.21 No eixo de um automvel atuam as foras e o torque mostrado. Sabendo-se que o dimetro do eixo de 30 mm, determinar: (a) os planos principais e as tenses principais no ponto H, localizado no cume da superfcie do eixo; () a mxima tenso de cisalhamento no mesmo ponto. 200 mm 150 mm280 Nm2670 N .Fig. P6.216.22 Vrias foras so aplicadas montagem tubular indicada. Sabendo-se que os dimetros, interno e externo, do tubo so iguais a 38 mm e 45 mm, respectivamente, determinar: (a) os planos e as tenses principais no ponto H localizado no cume da superfcie externa do tubo; () a mxima tenso de cisalhamento no mesmo ponto. 19. Cap. 6Anlise das tenses e deformaes611*t;n 150 mm130 N 220 Nrtirf ^^ >200 mml^^L 220 N Stl-M-lk. lJ130 NFig. P6.226.23 Uma fora de 19,5kN aplicada no ponto D da barra de ferro fundido mostrada. Sabendo-se que a barra tem um dimetro de 60 mm, determinar as tenses principais e a mxima tenso de cisalhamento no: (a) ponto H; () ponto K.Fig. P6.23 20. 612Resistncia dos MateriaisCap. 66.24 Duas foras so aplicadas como mostrado na barra AB, que soldada ao cilindro DE, de dimetro 50 mm. Considerando que todas as tenses permanecem abaixo do limite de proporcionalidade, determinar as tenses principais e a mxima tenso de cisalhamento no: (a) ponto H; (b) ponto K.Fig. P6.246.25 Trs foras so aplicadas, como mostrado, a uma viga em balano. Determinar a mxima tenso de cisalhamento e a orientao dos planos correspondentes no: (a) ponto H; (b) ponto K.^10kN|C 120kN 50 mmFig. P6.256.26 Sabendo-se que o tubo estrutural mostrado tem uma espessura uniforme de parede de 6,35 mm, determinar, para o carregamento dado, a mxima tenso de cisalhamento e a correspondente orientao dos planos, no: (a) ponto H; (b) ponto K. 21. Cap. 6Anlise das tenses e deformaes613150 mmFig. P6.26*6.27 Uma fora vertical de 18 kN aplicada na extremidade A da barra AB, que soldada a um tubo de alumnio extrudado de espessura uniforme de 6 mm. Determinar as tenses principais e a mxima tenso de cisalhamento no: (a) ponto H; (b) ponto K.fswsri18 kN LJ25 mml **i~^e* Jp ^ &^ = Jl OH r /T~100 mmrK. l50 mm 50 mmFig. P6.27 y*6.28 Uma fora vertical de 4 kN aplicada no ponto A de um componente de mquina mostrado. Determinar as tenses principais e a mxima tenso de cisalhamento no: (a) ponto H; (b) ponto K. . 22. 614Resistncia dos MateriaisCap. 630 mm -1,xk 125 mmIN15 mm30 mmT 30 mm4kN10 mmFig. P6.286.4CRCULO DE MOHR PARA O ESTADO PLANO DE TENSESO crculo utilizado na Sec. anterior, para a deduo de algumas relaes bsicas para a transformao de tenses, foi apresentado pela primeira vez pelo engenheiro alemo Otto Mohr (1835-1918), sendo conhecido como o crculo de Mohr para o estado plano de tenses. Como veremos agora, o crculo de Mohr oferece um mtodo alternativo para a soluo dos vrios problemas da Sec. 6.2 e 6.3. O mtodo se baseia em consideraes geomtricas simples, no requerendo frmulas especializadas. Embora tenha sido inicialmente imaginado para solues grficas, o mtodo se presta muito bem para solues com calculadoras. Consideremos um cubo elementar de um certo material, submetido a um estado plano de tenses (Fig. 6.15a), sendo ox, oy e xxy as componentes de tenso exercidas no elemento. Marquemos um ponto X de coordenadas ox e - rxy, e um ponto Y de coordenadas oy e +rxy (Fig. 6.156). Se rxy positiva, como foi adotado na Fig. 6.15a, o ponto X marcado abaixo do eixo a e o ponto y acima, como indicado na Fig. 6.15. Se T negativa, X localizado acima do eixo o e Y abaixo desse eixo. Unindo os pontos X e Y por uma linha reta, definimos o ponto C, interseco da linha XY com o eixo o. Desenhamos ento um crculo de centro C e dimetro XY. Neste crculo a abscissa do ponto C e o raio so iguais, respectivamente, s quantidades o mdia e R, definidas pelas Eqs. 6.10. Conclumos ento que o crculo desenhado o crculo de Mohr para estado plano de tenses. Assim as abscissas dos pontos A e f?, onde o crculo intercepta o eixo o, representam as tenses principais omx e omn, respectivamente, para o ponto Q. Podemos ver tambm que o ngulo XCA igual a um dos dois ngulos 26>p dados pela Eq. 6.12, uma vez que tg(XCA) = 2rxy(ox - ay). O ngulo dp, que define na 23. Cap. 6Anlise das tenses e deformaes615Fig. 6.15a a orientao do plano principal que corresponde ao ponto A da Fig. 6.15o, pode ser obtido dividindo-se pela metade o ngulo XCA medido no crculo de Mohr. Observamos ainda que se ar > oy e rxy > O, como no caso em estudo, a rotao para levar CX a coincidir com CA anti-horria. Mas, nesse caso, o ngulo 9p obtido pela Eq. 6.12, que define a direo da normal Oa ao plano principal, vai ser positivo. Desse modo, a rotao que leva Ox a coincidir com Oa tambm anti-horria. Conclumos que o sentido de rotao das duas partes da Fig. 6.15 so iguais; se necessria uma rotao anti-horria de valor 29 para fazer coincidir CX com CA no crculo de Mohr, uma rotao anti-horria far coincidir Ox com Oa na Fig. 6.15a4.B min_ l(l(a)o,Fig. 6.15O crculo de Mohr definido univocamente e o mesmo crculo pode ser obtido considerando as componentes de tenso ax>, oy e Vy> Que correspondem aos eixos x' e y' da Fig. 6.16a. O ponto X' de coordenadas e - TX , e o ponto Y' de coordenadas es Oy e + Vy to ento localizados sobre o crculo de Mohr, e o ngulo X' CA da Fig. 6.166 deve ser igual ao dobro do ngulo x'Oa na Fig. 6.16a. J vimos que o ngulo XCA o dobro do ngulo xOa, de modo que o ngulo XCX' da Fig. 6.16o o dobro do ngulo xOx' da Fig. 6.16a. Com isso, o dimetro X' Y' que define as tenses normais e de cisalhamento ox , oy e t^y pode ser obtido pela rotao do dimetro XY de um ngulo igual ao dobro do ngulo formado pelos eixos x e x' (Fig. 6.16a). Notamos que a rotao que leva o dimetro XY a coincidir com o dimetro X' Y' na Fig. 6.16o tem o mesmo sentido da rotao que leva os eixos xy a coincidirem com os eixos x 'y ' na Fig. 6.16a.Isto ocorre porque estamos usando o crculo da Fig. 6.8 como crculo de Mohr, e no o crculo da Fig. 6.7. 24. 616Resistncia dos MateriaisCap. 6(? Vkmnao/y'X'(0 X ,,-T XV )ffi) Fig. 6.16A propriedade que formulamos pode ser usada para verificarmos que os planos de tenso mxima de cisalhamento formam ngulos de 45 com os planos principais. De fato, lembramos que os pontos D e E do crculo de Mohr correspondem aos planos de tenso mxima de cisalhamento, enquanto os pontos A e B correspondem aos planos principais (Fig. 6.17o). Como os dimetros AB e DE do crculo de Mohr esto separados de 90, as facesidos elementos correspondentes esto formando ngulos de 45 entre si (Fig. 6.11a).Je TFig. 6.17 25. Cap. 6Anlise das tenses e deformaes617A construo do crculo de Mohr se simplifica muito se considerarmos separadamente cada face do elemento usado na definio dos componentes de tenso. Vemos nas Figs. 6.15 e 6.16 que, quando a tenso de cisalhamento em uma certa fase tende a rodar o elemento no sentido horrio, o ponto que corresponde a essa face no crculo de Mohr fica acima do eixo a. Quando a tenso de cisalhamento em uma certa face tende a rodar o elemento no sentido anti-horrio, o ponto que corresponde a essa face fica localizado abaixo do eixo a (Fig. 6.18). J para as tenses normais, mantm-se a conveno usual, em que a tenso de trao positiva, sendo marcada para a direita, e a tenso de compresso considerada negativa e marcada para a esquerda.o(a) Horrio Acima(b) Anti-horrio * AbaixoFig. 6.18EXEMPLO 6.2J Considerando o estado ptano de tenses do Ex. 6.1: (a) construir o crculo de Mohr; (6) determinar as tenses principais; (c) determinar a tenso mxima de cisalhamento e as tenses normais correspondentes.(a) Construo do crculo de Mohr. Notamos na Fig. 6.91a que a tenso normal que se exerce na face perpendicular ao eixo x de trao (positiva) e que a tenso de cisalhamento nessa face tende a rodar o elemento no sentido anti-horrio. Desse modo, o ponto X do crculo de Mohr ser marcado direita do eixo vertical e abaixo do eixo horizontal (Fig. 6.19o). Analisando do mesmo modo as tenses normal e de cisalhamento que se exercem na face superior do elemento, vemos que o ponto Y deve ser colocado esquerda do eixo vertical e acima do eixo horizontal. A linha XY fornece a posio do centro C do crculo de Mohr; a abscissa desse ponto x + oy md=50 + (- 10)~~2~220MPaComo os lados do tringulo sombreado valem CF = 50 - 20 = 30 MPaeFX = 40 MPa 26. 618Resistncia dos MateriaisCap. 6o raio do crculo de Mohr R = CX = V(30)2 + (40)2 = 50 MPat(MPa)>yi OMPa : F--Hr1040 MPa f r l 50 MPa(a)Fig. ex.6.19() Planos pjncipais e tenses principais. As tenses principais so omx = OA = OC + CA = 20 + 50 = 70 MPa omn = OB = OC - BC = 20 - 50 = - 30 MPa Lembrando que o ngulo ACX representa 29p (Fig. 6.19o), podemos escrever tan 20 = ^^ = CF 3020p = 53,19p = 26,6Como a rotao que leva CX a coincidir com CA na Fig. 6.20o anti-horria, a rotao que faz Ox coincidir com Oa (correspondente a amx) na Fig. 6.20a ser tambm anti-horria. (c) Tenso mxima de cisalhamento. Na Fig. 6.20o, uma rotao adicional de 90 faz coincidir CA com CD, de modo que na Fig. 6.20a uma rotao adicional de 45 levar o eixo Oa a coincidir com Od, que corresponde mxima tenso de cisalhamento. Podemos ver na Fig. 6.20o que tmx = R = 50 MPa e que a tenso normal correspondente o' = omdia = 20 MPa. O ponto D se localiza acima do eixo o (Fig. 27. Cap. 6Anlise das tenses e deformaes6196.206), de modo que as tenses de cisalhamento que se exercem nas faces perpendiculares a Od (Fig. 6.20a) devem ser dirigidas de modo a fazer rodar o elemento no sentido horrio.o1 = 20 MPa f' = 20 MPar(MPa)} = 20a = 70 MPa= 50 omin = 30 MPa o(MPa) 26. = 53,1mn = -30(a) Fig. ex.6.20O crculo de Mohr fornece um modo conveniente de verificao dos resultados obtidos anteriormente para as tenses provocadas por carregamento axial centrado (Sec. 1.8) e provocadas por carregamento torcional (Sec. 3.4). No primeiro caso (Fig. 6.21a), temos ax = P/A, oy = O e rxy = 0. Os pontos correspondentes a essas tenses, X e Y, definem um crculo de raio R = P/2A que passa pela origem do sistema coordenado (Fig. 6.21). Os pontos D e E levam orientao do plano de tenso de cisalhamento mxima (Fig. 6.21c), bem como ao valor de tmx e ao valor da tenso normal correspondente o': lmx = o' = R = 2A(6.18) 28. 620Resistncia dos MateriaisCap. 6.y(a) Fig. 6.21Crculo de Mohr para carga axial centrada.No caso da toro (Fig. 6.22a), temos ax = ay = Q e t = Tmx = Tc/J. Como resultado, os pontos X e Y se localizaro no eixo T, e o crculo de Mohr se torna um crculo de raio R = Tc/J com centro na origem (Fig. 6.22o). Os pontos A e B definem os planos principais (Fig. 6.22c) e as tenses principais: ... L(a)(b) Fig. 6.22Crculo de Mohr para carregamento de toro. .(6.19)(c) 29. Cap. 6Anlise das tenses e deformaes621PROBLEMA RESOLVIDO 6.2 Determinar, para o estado plano de tenses indicado: (a) os planos principais e as tenses principais; () as componentes de tenses que se exercem no elemento obtido rodando-se o elemento dado de 30, no sentido anti-horrio.A 60 MPa 100 MPa~x48 MPaConstruo do crculo de Mohr. A figura indica uma tenso normal de trao na face perpendicular ao eixo x, ao mesmo tempo que mostra a tenso de cisalhamento nessa face provocando uma rotao do elemento no sentido horrio; marcamos o ponto X a 100 uhi3ades direita do eixo vertical e a 48 unidades acima do eixo horizontal. Do mesmo modo, analisando as componentes de tenso na face superior do elemento, marcamos o ponto Y(60, -48). Unindo os pontos X e Y por uma linha reta. localizamos o centro C do crculo de Mohr. A abscissa desse ponto, que representa omd, e o raio do crculo. R. podem ser medidos diretamente ou calculados como segue: md= i (o, + ov) = (100 + 60) = 80 MPaR = V(CF)2 + (FX)2 = V(20)2 + (48)2 = 52 MPa." 30. 622Resistncia dos MateriaisCap. 6(MPa)}t- l mn =28MPa-52Vpa, = 33,7 ,omn = 28MPa^V(60, -48)K-a m x =132MPa-(a) Planos principais e tenses principais. Rodamos o dimetro XY no sentido horrio de um ngulo 20p, at que ele coincida com o dimetro AB tg 20p = ~ = ~ = 2,4 28p = 67,4)9p = 33,7)4As tenses principais so representadas pelas abscissas dos pontos A e B = OA = OC + CA = 80 + 52 Comx = + 132 MPa= OB = OC - BC = 80 - 52omn = + 28 MPafin-R7^67,4 - 60 l- 67,4 60 - 7_ _ H ^ i o |ypa yl ~ J '= 52,6xx- = 48,4 MPaf a(MPa)= 30A rotao que fez coincidir XY com AB foi no sentido horrio; a rotao que leva o eixo Ox a coincidir com o eixo Oa (correspondente tenso amx) tambm no sentido horrio. Obtemos assim a orientao indicada na figura para os planos principais. () Componentes de tenso no elemento rodado de 30 no sentido anti-horrio. Quando giramos o dimetro XY no sentido anti-horrio de 20 = 60 no crculo de Mohr, encontramos os pontos X' e Y', que correspondem s tenses no elemento girado de 30. Temos 31. Cap. 6Anlise das tenses e deformaes = 180 - 60 - 67,4623(j) = 52,6 = OL = OC + CL = 80 + (52) cos 52,6cy = + 111,6 MPa"' = (52)sen52,6T*v = 41,3 MPaUma vez que X' se localiza acima do eixo horizontal, a tenso de eisalhamento na face perpendicular a Ox' tende a rodar o elemento no sentido horrio.PROBLEMA RESOLVIDO 6.3 Um estado plano de tenses consiste de uma tenso de trao a0 = 56 MPa atuando em faces verticais onde so desconhecidas as tenses de cisalhamento. Determinar: (a) a intensidade da tenso de cisalhamento TO que corresponde tenso normal de 56 MPa; (6) a tenso mxima de cisalhamento. (A tenso de 70 MPa a tenso normal mxima.) 'o^_ l o0 = MPa o = 56AO Construo do crculo de Mohr. Vamos assumir que o sentido das tenses de cisalhamento o indicado. Assim, a tenso de cisalhamento TO tende a rodar o elemento no sentido horrio (em uma face perpendicular ao eixo x), e podemos marcar o ponto X de coordenadas 56 MPa e TO acima do eixo horizontal. Analisando uma face horizontal do elemento, vemos que o = O, e que TO tende a rodar o elemento no sentido anti-horrio; desse modo, marcamos o ponto Y a uma distncia de TO abaixo do ponto O. 32. Resistncia dos MateriaisCap. 6Vemos que a abscissa do centro C do crculo de Mohr vale Omdia =(x + y) = ^ (56 + 0) = 28 MPaA mxima tenso normal representada pela abscissa do ponto A. Como mx 70 MPa, obtemos o raio R do crculo: ' =mdia + f70 MPa = 28 MPa + RR = 42 MPaamIn=14MPaB XI o(MPa)(a) Tenso de cisalhamento TO. Analisando o tringulo retngulo CFX, encontramos , 00 48 2p = 24,1 JT0 = FX = fl sen 29p = (42 MPa) sen 48,2COSCF CF CX = "-28 MPaT0 = 31,3 MPa"'() Tenso mxima de cisalhamento. As coordenadas do ponto D do crculo de Mohr representam a tenso mxima de cisalhamento e a tenso normal corresDondente "tmx = R = 42 MPa 2C = 90 -20p - 90 - 48,2 = 41,8)Tmx = 42 MPa 9C = 20,9 l quando as duas tenses principais so negativas, o estado de tenses seguro para | oa j < | auce ob r lTmx -P !( + P) = M1 +~TlPara vasos de paredes finas, o termo t/r pequeno, e podemos desprezar a variao de tmx atravs da parede. Esta simplificao vale para vasos esfricos tambm. 56. 656Resistncia dos MateriaisCap. 6o, = o, = '.-SL 2(6.36)o2dA D'f-r ^___4"-^/>(;-x_T*H i _ >mx - g 11 f^ai;__,'',.Fig. 6.52Fig. 6.53O crculo de Mohr para as transformaes de tenso no plano das tenses se reduz a um ponto, uma vez que ol = a2 (Fig. 6.53). Isso quer dizer que as tenses normais no plano tangente superfcie so constantes, e que a tenso de cisalhamento no plano das tenses nula. No entanto, a tenso mxima de cisalhamento na parede do vaso no nula; ela igual ao raio do crculo de dimetro OA e corresponde a uma rotao de 45 para o plano das tenses. Temos pr(6.37)PROBLEMA RESOLVIDO 6.5 Um tanque de ar comprimido se apoia em dois cavaletes como indica a figura; um dos cavaletes foi construdo de modo a no exceder nenhuma fora longitudinal no tanque. O corpo cilndrico do tanque foi construdo em chapa de ao de 10 mm de espessura, soldada ao longo de um filete que forma uma hlice com ngulo de 25 com um plano transversal ao cilindro. As calotas das extremidades so esfricas e tm espessura de 8 mm. Para uma presso interna de 1260 kPa, determinar: (a) a tenso normal e a tenso mxima de cisalhamento na calota esfrica; (b) as tenses na direo paralela e na direo perpendicular ao filete de solda helicoidal. , 57. Cap. 6Anlise das tenses e deformaes657~f'Jr^^-oxi .(a) Calota esfrica. Pela Eq. 6.36 escrevemosp = 1260 kPa 02 =prt = 8 mmr = 0,4 m(1260kPa)(0,4m) 2(0,008 m)a = 31500 kPaao, C/A B~"Para as tenses em um plano tangente calota, o crculo de Mohr se reduz a um ponto (A, B) no eixo horizontal, e todas as tenses de cisalhamento no plano das tenses so nulas. Na superfcie da calota, a terceira tenso principal zero e corresponde ao ponto O. No crculo de Mohr de dimetro OA, o ponto D' representa a tenso mxima de cisalhamento; ela ocorre em um plano que forma 45 com o plano tangente calota. Tmx = 1/2 (31500)Tmx = 15750 kPa 58. 658Resistncia dos MateriaisCap. 6() Corpo cilndrico do tanque. Determinamos inicialmente a tenso tangencial o: e a tenso longitudinal o2. Usando as Eqs. 6.30 e 6.31, encontramos pr(1260kPa)(0,4 m)" o2 =Ol50400kpa= 25200 kPa^Tenses na solda. Observando que as tenses tangencial e longitudinal so tenses principais, desenhamos o crculo de Mohr como indicado.o, = 50400 kPa= 37800 kPa-HR = 12600 kPaObtm-se um elemento com face paralela ao filete de solda quando se gira a face perpendicular ao eixo Ob no sentido anti-horrio de 25. Por outro lado, no crculo de Mohr, localizamos o ponto X' que corresponde aos componentes de tenses na solda girando CB no sentido anti-horrio de 50 ; . *-*solda = mdia - R COS 50 = 37800 - 12600 COS 5029701 kPa sen 50 = 12600 sen 50= 9652 kPaT S oida= 9652 kPa definido pelas componentes de deformao e2, e^ e yxy relacionado com os eixos x e y. Sabemos pelas Secs. 2.12 e 2.14 que o estado acima corresponde a um elemento quadrado de centro Q e lados de comprimento As, paralelos aos eixos x e y, que se deforma transformando-se em um paralelogramo de lados respectivamente iguais a As(l + ej e As(l + e v ), formando ngulos de* - Yry e ^ + Yry entre si (Fig. 6.56). Lembramos que o elemento pode sofrer tambm um movimento como corpo rgido, devido a deformaes dos elementos vizinhos, mas esse movimento no tem importncia na nossa anlise de deformaes especficas em torno de Q. Nosso objetivo determinar em funo de ex, ^y, yxy e 9 as componentes de deformao e,,. -, e^ - e yx ,y ,, relativas ao sistema coordenado x 'y ' que se obtm quando os eixos x e y giram de um ngulo 9. Como a Fig. 6.57 mostra, essas componentes novas definem o paralelogramo em que se transforma um quadrado de lados paralelos aos eixos x' e y'. =10Devemos observar que um estado plano de deformaes e um estado plano de tenses (Sec. 6.1) no ocorrem simultaneamente, a no ser para um material com coeficiente de Poisson igual a zero (material ideal). Os suportes da Fig. 6.54 e as restries impostas barra da Fig. 6.55 provocam o aparecimento de uma tenso o2 diferente de zero. Por outro lado, no caso da Fig. 6.3, a ausncia de conteno lateral da placa resulta em oz = O e ez * 0. 65. Cap. 6Anlise das tenses e deformaes665AS(1 + y )~As As ~OFig. 6.56y' yC Fig. 6.57Vamos inicialmente deduzir uma expresso para a deformao especfica normal e (0) ao longo da linha AB que forma um ngulo 9 arbitrrio com o eixo x. Para isso, vamos considerar o tringulo retngulo ABC que tem a hipotenusa AB (Fig. 6.58a), e o tringulo qualquer A'B'C' no qual o tringulo ABC se transforma (Fig. 6.586). Se As o comprimento de AB, exprimimos o comprimento de A'B' por As [l + e (8)]. De modo semelhante, se Ax e &y so os comprimentos dos lados AC e CB, vamos exprimir os comprimentos de A'C' e C'B' por A#(l + x) e A,y(l + E ), respectivamente. Vemos na Fig. 6.58 que o ngulo em C reto e se transforma no ngulo - + Yxy, indicado na Fig. 6.586. Aplicando alei dos cossenos ao tringulo A'B'C', temos (A'.B')2 = (A'C') 2 + (C'5') 2 - 2(A'C")(C'B')cos ^ + t(As)2 [l + (0)]2 = (Ax)2(l + E*)2 + (Aj)2(l + COS -2(Aoc)(l + ErHAyHl + E V ) cos | - +2^y(6.38)Mas da Fig. 6.58a temos Ar = (As) cos 9A;y = (As) sen 0(6.39) 66. 666Resistncia dos MateriaisCap. 6e vemos que, sendo yx muito pequeno, cos- sen Y;c:y - -'(6.40)VSubstituindo as Eqs. 6.39 e 6.40 na Eq. 6.38, lembrando que cos2 9 + sen2 9= l, e desprezando os termos de segunda ordem em e(9), e .,.,, ev e y escrevemos e(9) = EX cos2 9 + ty sen2 9 + yxy sen 9 cos 9(6.41)C1J+Yxxo Fig. 6.58A Eq. 6.41 nos permite determinar a deformao especfica normal e(9) em qualquer direo AB em funo das componentes de deformao ex, e , yxy e do ngulo 0 que AB forma com o eixo x. Verificamos que, para 9 = 0, a Eq. 6.41 leva a e(0) = ex e que, para 9 = 90, leva a e(90) = e . Por outro lado, se fizermos 9 = 45 na Eq. 6.41, vamos obter a deformao especfica normal na direo da bissetriz OB do ngulo formado por x e y (Fig. 6.59). Chamando essa deformao de eos, escrevemos (6.42)EOB = E(45) =(* + Yxv) .Explicitando o valor de yxy nessa equao, temos : y xy = 2eOB - Ex + Ey)(6.43)oEsta relao torna possvel expressar a deformao de cisalhamento relacionada a um certo par de eixos ortogonais em funo das deformaes normais medidas ao longo desses eixos e de sua bissetriz. Ela tem importncia fundamental na presente deduo e servir tambm na Sec. 6.13, quando do estudo da determinao experimental das deformaes de cisalhamento. 67. Cap. 6Anlise das tenses e deformaes667Para cumprirmos o objetivo desta seo, que expressar as componentes de deformaes especficas relativas ao sistema coordenado x'y' da Fig. 6.57 em funo do ngulo 0e dos componentes de deformao EX, zy e y relativos aos eixos x e y, vamos tomar a Eq. 6.41 que d a deformao normal e x >, ao longo do eixo x'. Usando as relaes trigonomtricas 6.3 e 6.4, podemos escrever a Eq. 6.41 na forma alternativate- = -*~^ t ^ ^ cos 20 +sen 20(6.44)Se substituirmos 0 por 0 + 90, vamos obter a deformao normal ao longo do eixo v'. Uma vez que cos (20+ 180) = - cos 20 e sen (20+ 180) = -sen 20, temosex - ey gEVe* - Ey y*y g- cos 20 - ^ sen 20r 4^ (6.45)Somando membro a membro as Eqs. 6.44 e 6.45, obtemos ex, + e y , = EX + ey(6.46)Como E Z = e, =0. fica constatado que, para o caso de estado plano de deformaes, a soma das deformaes normais associadas a um elemento cbico independente da orientao do elemento. Se substituirmos agora na Eq. 6.44 o ngulo 0 por 0 + 45, vamos obter uma expresso para a deformao especfica normal da direo da bissetriz OB' do ngulo formado por x' e v'. Como cos (20+ 90) = -sen 20 e sen (20+ 90) = cos 20, vamos ter P ExEOB=HPo tUyPx ' y ~ JPVS6nIxy 2 + ~^T Zi(g 47) COS2.Escrevendo a Eq. 6.43 em relao a x' e v', exprimimos a deformao de cisalhamento y x . , em funo das deformaes normais medidas nas direes dos eixos x' e y', bem como ao longo da bissetriz OB': Vy- 2eos, - (e,, + V)Substituindo as Eqs. 6.46 e 6.47 em 6.4 8 temos(6.48) 68. 668Resistncia dos MateriaisY* VCap. 6/ -(e, -s,) sen 20 + Jxy cos 20(g ^As Eqs. 6.44, 6.45 e 6.46 so as equaes necessrias que procurvamos para definir a transformao de deformaes planas quando ocorre uma rotao de eixos no plano das deformaes. Se dividirmos todos os termos da Eq. 6.49 por 2, vamos obter a forma alternativa y(fc-= =py sen 20 + - - cos 20Observamos ento que as Eqs. 6.44, 6.45 e 6.49 tm uma semelhana formal com as equaes deduzidas na Sec. 6.2 para a transformao de tenses planas. As primeiras podem ser obtidas das segundas, por substituio das tenses normais pelas correspondentes deformaes especficas normais, e pela substituio das tenses de cisalhamento t e Vy> Por metade das deformaes de cisalhamento correspondentes, quer dizer, por | yxy e | yx,y,, respectivamente. .* 6.11CRCULO DE MOHR PARA ESTADO PLANO DE DEFORMAESComo as equaes para a transformao das deformaes planas tm uma analogia formal com as equaes de transformao no estado plano de tenses, podemos estender o uso do crculo de Mohr para a anlise das deformaes planas. Sendo conhecidas as componentes de deformao tx, ev e yxv que definem a deformao apresentada na Fig. 6.56, marcamos o ponto X(t,x. | yxy) de abscissa igual deformao especfica EX e ordenada igual a menos a metade da deformao de cisalhamento yxy. Marcamos tambm o ponto Y (t,y, + | y^) (Fig. 6.60). Desenhando o dimetro XY, definimos o centro C do crculo de Mohr para o estado plano de deformaes. A abscissa de C e o raio R do crculo so iguais asmdeR__+(6 50)'