ESCOLA POLITCNICA DA UNIVERSIDADE DE SO PAULO Departamento de Engenharia Mecnica

PME 2100 Mecnica A Prova de Recuperao - Durao 110 minutos 14 de fevereiro de 2012

Questo 1 (3,5 pontos). A polia de raio L/2 ligada barra delgada AC de comprimento 2L atravs de uma articulao em C. Um fio flexvel e inextensvel passa

pela polia e tem uma de suas extremidades presa barra

por uma argola D e a outra presa a um bloco de peso P. A

estrutura vinculada a uma articulao em A e a uma vertical BE, de comprimento L. Considerando a barra, a

polia e o fio com pesos desprezveis, pedem-se:

(a) os diagramas de corpo livre das barras e da polia; (1,5 ponto) (b) as reaes vinculares em A; (1,0 ponto) (c) as foras na barra BE. (1,0 ponto)

Questo 3 (3,5 pontos). Os discos homogneos de centros A e B, raios iguais a r e massas mA= m e mB =2m, respectivamente,

esto ligados entre si por uma barra AB de massa desprezvel,

conforme indicado na figura. Sabendo que os discos rolam sem

escorregar, descendo uma uma rampa que faz um ngulo com

a horizontal, pedem-se:

(a) os diagramas de corpo livre dos discos de centros A e B; (b) as foras de atrito atuantes nos discos de centros A e B; (c) a fora atuante na barra AB. Pontuao: a: 1,0; (TMB+TMA: 1,0); Vnculos cinemticos: 0,5; b+c: 1,0

Questo 3 (3,0 pontos). Uma placa plana gira em torno do eixo fixo vertical OO com velocidade angular & constante ao mesmo tempo que transporta uma barra AB,

de comprimento 2 l, vinculada por meio de um pino A situado a uma distncia l do

eixo OO. (Portanto, a barra somente pode se mover no plano da placa). Em um dado instante a barra AB forma um ngulo com a vertical e apresenta velocidade

angular & e acelerao angular && . Utilizando a base kjiOrrr

solidria placa,

determinar, para esse instante:

(a) os vetores rotao relativa e de arrastamento da barra AB; (0,5 ponto) (b) as velocidades relativa e de arrastamento do ponto B; (1,0 ponto) (c) os vetores acelerao rotacional relativa, de arrastamento e complementar (ou de Rsal) da barra AB. (0,5 ponto) (d) as aceleraes relativa, de arrastamento e complementar (ou de Coriolis) do ponto B. (1,0 ponto)

A D C

L L 2L

P

B

E

ir

O

O

A

B jr

kr

l

2l h

A

B r

r

g m

2m

RESOLUO

QUESTO 1. Os diagramas de corpo livre da polia e das barras so apesentados nas figuras abaixo:

Resposta (a) Aplicando-se as equaes de equilbrio polia, tem-se:

PTrPrTM Cz === 00

23

23030cos0 PHTHTHF CCCx ====

23030sin0 PVPTVF CCy ===

Aplicando-se as equaes de equilbrio barra AC, tem-se:

( ) )(2

5022

32

0230sin0 compressoPFLPLPLFLVLTFM BEBECBEAz ==+=+=

002

323030cos0 ==+=+= AACAx H

PPHHTHF

230

23

25

2030sin0 PVPPPVVFTVF AACBEAy ==++=++=

Resposta (b)

QUESTO 2.

Os diagramas de corpo livre dos discos de centros A e B so apresentados na figura abaixo:

Resposta (a)

Para calcular as foras de atrito atuantes nos contatos dos discos com o plano inclinado, bem como a fora atuante na barra AB, aplicaremos os teoremas do movimento do baricentro e do momento da quantidade de movimento.

Para o disco de centro A, tem-se:

11 sin mamgTF =+ (1) 0cos1 = mgN (2)

&&&22 1

2

1mrFmrJrF Az === (3)

Para o disco de centro B, tem-se:

22 2sin2 mamgTF =++ (4)

A

B T T

mg

2mg

N1

N2

F1

F2 ,&

,&

ar

ar

P

T VC

HC

VA

HA

T HC

VC

FBE

30

FBE

FBE

A C

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0cos22 = mgN (5)

&&& mrFmrJrF Bz === 22

2 22

(6)

Alm disso, as equaes vinculares da Cinemtica fornecem:

raaa &=== 21 (7)

Substituindo-se (7) e (3) em (1) e (7) e (6) em (2), obtm-se:

sin2

3sin

2mgTmrrmmgTmr +==+ &&& (8)

sin232sin2 mgTrmrmmgTmr +==++ &&& (9)

Adicionando-se (8) e (9), resulta:

r

gmgmrmr

3sin2

sin332

3 ==

+ && (10)

Substituindo-se (10) em (9) obtm-se:

0sin23sin23 =+= TmgTr

gmr

Resposta (b)

Substituindo-se (10) em (3) e em (6), obtm-se:

3sin

3sin2

2 11 mgF

r

gmrF ==

3sin2

3sin2

22 mgF

r

gmrF ==

Resposta (c)

QUESTO 3.

O vetor rotao relativa da barra AB : irelr&

r = O vetor rotao de arrastamento da barra AB : karr

r&

r = Portanto, o vetor rotao absoluta da barra AB : ikabs

r&

r&

r += Resposta (a)

A velocidade relativa do ponto B dada por: ( ) ( ) ( )kjkjiABVV relrelArelB rrl&rrlr&rrrr sincos2cossin20,, +=+=+=

A velocidade de arrastamento de B dada por: ( ) ( )[ ] ( )ABOAVABVV arrarrOarrarrAarrB ++=+= rrrrrr ,, ( ) ( ) ( )iiikjkkhjkV arrB rl&rl&rl&rrlr&rrlr&rr sin21sin2cossin20, +==+++=

Portanto, a velocidade absoluta de B : ( ) kjiV absB rl&rl&rl&r sin2cos2sin21, +++=

Resposta (b)

O vetor acelerao rotacional relativa da barra AB : irelr&&&r =

O vetor acelerao rotacional de arrastamento, : 0r

&r=arr

O vetor acelerao rotacional complementar, : jikrelarrcr&&

r&

r&

rr&r === Portanto, o vetor acelerao rotacional absoluta, : jiabs

r&&

r&&&r +=

Resposta (c)

A acelerao relativa do ponto B : ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]kjiikjiABABaa relrelfixokjiOrelrelArelB rrlr&r&rrlr&&rrr&rrr rrr cossin2cossin20,, ++=++=

( ) ( )kjkjjka relB r&&&ls&&&lr&ls&lr&&lr&&lr cossin2sincos2cos2sin2cos2sin2 2222, ++=++=

A acelerao de arrastamento do ponto B : ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )[ ]ABaABABaABABaa arrarrarrAarrarrarrAarrarrarrarrAarrB +=++=++= rrrrrrrrr&rrr ,,,, 0

Mas ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )[ ] jkhjkkOAkkOAOAOAaa arrarrarrOarrA rl&rrlr&r&r&r&rrrr&rrr 2, 00 =+=++=++= ( )[ ] ( ) jjjkjkkja arrB rl&rl&rl&rrlr&r&rl&r sin21sin2cossin2 2222, +==+=

A acelerao complementar do ponto B : ( ) ikjkVa relBarrcB rl&&rrl&r&rrr cos4sincos222 ,, =+==

Portanto, a acelerao absoluta do ponto B : ( ) ( )[ ] ( )kjia absB r&&&lsl&&&&rl&&r cossin2sin21sincos2cos4 222, ++++= Resposta (d)