Apostila de Mecânica Dos Sólidos 2011

5/25/2018 Apostila de Mec nica Dos S lidos 2011

1/34

CENTRO UNIVERSITRIO DA FUNDAO

EDUCACIONAL DE BARRETOS

UNIFEB

MECNIC A DOS SLIDOS(Notas de aulas)

ENGENHARIA CIVILENGENHARIA AMBIENTAL

Prof. Paula Cacoza Amed AlbuquerqueBarretos, 2011


2/34

Mecnica dos Slidos - Notas de aula - pgina

Faculdade de Engenharia de Barretos 1997

2

1 TENSO MECNICA - CONCEITOS FUNDAMENTAIS

1.1 - Definio de Tenso MecnicaHaste em equilbrio esttico quando sujeita a um sistema de foras axiais e

centradas de intensidade F.

imaginando a separao da haste em 2 partes:

o equilbrio garantido pelas Foras Internas.

Definio: TensaoFora interna no Corpo

Area em que atua=

O valor da tenso depende do ngulo do plano de corte (a rea varia com ongulo).

Tenso um tensor e no um vetor.no valem as leis da lgebra vetorial para as tenses, mas somente para

as suas resultantes.

Considerando o equilbrio de apenas uma parte do corpo deformvel:

Fx F t dA= + =

0 0.

e admitindo tenso distribuda uniformemente na superfcie de corte (t=cte):

tF

A=


3/34



3

unidades de tenso :Kgf

cm

tf

mpsi

N

mPa

2 2 2; ; ; =

Obs.: usualmente aproxima-se como:

1 10

1 0 12

kgf N

kgf

cmMPa

,

conveniente substituir a tenso total tpor suas 2 componentes ortogonais:

Perspectiva

Vista Lateral

tenso normal ()ao plano de cortetenso tangencial ou de cisalhamento ()//ao plano de corte

1.2 - Teorema de CauchyConsiderando o mesmo corpo anterior, pode-se passar outros planos de

corte imaginrios.

elemento de volume de espessura e

em planos //s, tensest so iguais eopostas idem para e


4/34



4

M ae b be aA

= =

= 0 0

Teorema de Cauchy)

( ) ( )

(

'

tenses de cisalhamento em planos perpendiculares so iguais, convergindo ou

divergindo de uma mesma aresta.

1.3 - Tenso no PontoCorpo em equilbrio esttico sob a ao de um sistema de foras espacial:

F resultante da fora interna que atua na rea S

S

Ftlim=

S

Fnlim

S

Flim=t

0S

0S

0S

=

1.4 - Estado Triplo de TensoReferindo as tenses a um sistema de coordenadas cartesianas tri-ortogonal,

as tenses em torno de um ponto ficam:

Analisando um elemento de volume em torno do ponto A, tm-se o seguinte

Estado de Tenso:


5/34



5

Apenas 6 tenses independentes

Do Teorema de Cauchy: xy= yx

xz = zxyz = zy

1.5 - Estado Duplo ou Plano de Tenses

No caso mais comum, na prtica, de considerar que as aes sobre os corposatuam em um nico plano, tm-se um caso particular do Estado Triplo de Tensesonde 2 faces paralelas esto isentas de tenses

Caso todas as aes estejam contidas no plano xy, vem:

z = 0 = zx = zy

xz = yz

O estado duplo de tenso fica determinado conhecendo-se apenas 3 tenses

independentes em cada ponto: x, ye xy= yx=


6/34



6

vista pelo plano sem tenses

2. ESFOROS SOLICITANTES

2.1 IntroduoConsidere um corpo em equilbrio esttico, no espao, e as tenses num

ponto de coordenadas qualquer (y,z) numa seo de corte imaginrio.

Define-se como Esforo Geral Solicitante a resultante das tenses x, xyexz que atuam em todos os pontos do plano de corte imaginrio, podendo serdecomposto em:

x)detornoemTorsor;T(Momento=.z)dS.y(

y)detornoemFletor;(MomentoM=.z.dS

z)detornoemFletor;(MomentoM=.y.dS

z)a//Cortante;(foraV=.dS

y)a//Cortante;(foraV=.dS

x)a//Normal;(foraN=.dS

xyxz

y

S

x

z

S

x

S

zxz

Syxy

S

S

x


7/34



7

No caso particular de Estrutura Plana, onde todas foras so aplicadas em

um nico plano, por exemplo, plano xy, so nulas as tenses paralelas a z, erestam:

x

xy

=apenas 2 tensoes no plano de corte.

=

e apenas 3 componentes do Esforo Geral Solicitante, pois as distncias paralelas aztambm so nulas:N = .dS ; V = .dS; M = - .y.dS

SSS

Objetivo: Determinar e a partir do conhecimento de N, V e Me das leis devariao das tenses.

2.2 Vinculao das Estruturas Planas

2.2.1 Definies

a) Estrutura plana: conjunto de elementos lineares cujas dimenses transversaisso menores do que o seu comprimento de modo significativo.

b) Barra simples (barra):elemento linear com funo esttica de transmitir apenasN.

c) Barra geral (chapa):elemento linear com funo esttica de transmitir N,V eM.


8/34



8

d)Vnculos (apoios):elementos de ligao entre chapas, barras e a chapa-terra.e) N:encontro de apenas barras simples (2 ou mais).

Uma chapa possui 3 graus de liberdade no plano 3 deslocamentosindependentes.

Um n possui 2 graus de liberdade no plano.

Os vnculos so utilizados para impedir esses movimentos.

2.2.2. Vnculos Planos Bsicos

VNCULOS MOV. IMPEDIDOS

Apoio Mvel 1

Apoio Fixo 2

Engaste Fixo 3

Engaste Mvel 2

Rtulas (artic.) 2

N 0

Ressalvas:

Barra impede 0 movimentos

Chapa impede 2 movimentos


9/34



9

Chapas 2(c-1)

Para cada movimento impedido, h uma reao de apoio correspondente.

2.3 Determinao Esttica

Uma estrutura composta por cchapas, nns e bbarras ( reais ou vinculares)fica em equilbrio esttico segundo o n. de movimentos impedidos no plano, onde:

bnec

= 2n + 3c

qdo: b

b Estrutura Hipostatica

= b Estrutura Isostatica

> b Estrutura Hiperestaticaex

nec

nec

nec

<

2.3.1 Exemplos1)

===

=

3313

1

exist

nec

b

b

c

Isosttico ou Determ.

2)

=

==

=

4

313

1

exist

nec

b

b

c1x Hiperesttico

3)

=

==

=

6

623

2

exist

nec

b

b

c

Isosttico ou Determ.


10/34



10

2.3.2 Problemas Propostos:Determinar estaticamente as estruturas abaixo1) 2)

3)

2.4 Conveno de Sinais para os Esforos Planos

Estrutura plana em equilbrio esttico

Separando a estrutura em 2 partes atravs de um corte normal ao seu eixo,podemos determinar os esforos solicitantes pela imposio do equilbrio estticode cada parte separada.

N> 0 tracao

compressao

< 0

V> 0 rotacao horaria

rotacao anti - horaria

< 0


11/34



11

M> 0 traciona em baixo

traciona em cima

< 0

Os esforos solicitantes so iguais e opostos em cada parte separadabasta determinar apenas em uma parte.

Conhecidas as aes e reaes, os esforos solicitantes podem serdeterminados atravs dasEquaes de Equilbrio Esttico.

2.5 Tipos de Aes

a) Cargas Concentradas

b) Cargas Distribudas

uniforme

linear

qualquer


12/34



12

c) Cargas Momento

2.5.1 Clculo de Reaes de Apoio

Equaoes de Equilibrio

F

F

M

h

v

=

=

=

0

0

00

Exemplo 1) Determinar as reaes de apoio da viga abaixo.

Determinao Esttica:

c

b

b

nec

exist

=

= =

=

1

3 1 3

3

Isostatico ou Determinado

Aplicao das Equaes de Equilbrio:


13/34



13

F

HH

A

=

= 0

0

F

V V

V V

V

V kN

V

A B

A B

A

A

=

+ =

=

=

=

0110

110

110 60

50

M horario

V

V

V kN

A

B

B

B

=

+ =

+ =

=

040 2 70 4 6 0

80 280 6

60

( )

Exemplo 2) Determinar as reaes de apoio da viga abaixo.

Determinao Esttica:

c

b

bnec

exist

=

= =

=

1

3 1 3

3

Isostatico ou Determinado

Aplicao das Equaes de Equilbrio:

FH

H kN

H

A

A

= =

=

030 0

30

F

V V

V V

V V

V

V kN

V

A B

A B

B A

B

B

=

+ =

+ =

=

=

=

040 100 0

140

140

140 66 67

7333

,

,

M horarioV

V

V kN

B

A

A

A

= =

=

= =

06 40 5 100 2 0

6 200 200 0

400

666 67

( )

,


14/34



14

Problemas Propostos : Determinar as reaes de apoio.

1)

2)


15/34



15

2.5.2 Clculo Analtico dos Esforos Solicitantes

Clculo dos Esforos M, N e V em funo de uma abscissa x, quecorre ao longo do eixo da chapa.

Exemplo 1)

F

HH

A

= =

00

F

V V

V kN

V

A B

A

=

+ =

=

060

16

M horario

V

V

V kN

A

B

B

B

= + + =

=

=

020 1 20 3 5 20 7 0

220

544

( )

Trecho I (0 x 1)

Condies de Equilbrio:

F

NH =

= 0

0

F

V

V kN

V =

=

=

016 0

16

M horario

x M

M x kN m

S =

=

=

016 0

16

(

)

.


16/34



16

Trecho II (1 x 3)


F

NH =

= 0

0

F

V

V kN

V =

=

=

016 20 0

4

M horario

x x M

M x x

M x kN m

S=

=

= +

=

016 20 1 0

16 20 20

20 4

(

)

( )

.

Trecho III (3 x 5)

Chapa esquerda da Seo S


F

NH =

= 0

0

F

V

V kN

V =

=

=

016 40 0

24

M horario

x x x M

M x x x

M x kN m

S =

=

= + +

=

016 20 1 20 3 0

16 20 20 20 60

80 24

(

)

( ) ( )

.

Chapa direita da Seo S (2 x 4)



17/34



17

F

NH =

= 0

0

F

V

V kN

V=

+ =

=

044 20 0

24

M horario

x x M

x x M

M x kN m

S =

+ =

+ + =

= +

020 44 2 0

20 44 88 0

88 24

(

)

' ( ' )

' '

' .

Trecho IV (0 x 2)


F

NH =

= 0

0

F

V

V kN

V =

=

=

020 0

20

M horario

x M

M x kN m

S =

+ =

=

020 0

20

(

)

'

' .

Representao grfica dos Esforos


18/34



18

Exemplo 2)

F

H

H

A

=

=

0

0

F

V VV kN

V

A B

A

=

+ = =

0

12060

M horario

VV kN

A

B

B

=

==

0

120 3 6 060

( )

.

Trecho I (0 x 6)

Condies de Equilbrio:F

NH =

= 0

0

F

V x

V x

V =

=

=

060 20 0

60 20

M horario

x xx

M

M x x kN m

S =

=

=

0

60 202

0

60 10 2

(

)

.

Representao grfica dos Esforos


19/34



19

Problema Proposto 1)

2.6 Relaes Diferenciais entre os Esforos

viga sob carga distribuda qualquer p=p(x)

Analisando o trecho entre duas sees distantes de um infinitsimo dx:

Fy = 0 V - p.dx - (V + dV) = 0

dVdx

p (I)

M M - (M + dM) + p.dx.dx

2(V + dV).dx = 0

despresando diferenciais de 2 ordem:

V =dM

dx(II)

Substituindo (II) em (I):

d

dx

dM

dxp

d M

dxp (III)

esq

2

2

=

= +

= =

0


20/34



20

Concluses:

1

2

- Onde p 0V = tem variaao linear

M = tem variaao parabolica 2 grau

- Onde p = 0 V constanteM linear

3- A funcao V e um grau acima da funao p(carga)

4 - A funao M e um grau acima da funao V

5- A funao M e dois graus acima da funcao p(carga)

CORRESPONDNCIA ENTRE AES E ESFOROSP V M

p=0 x0

x1

x0 x1 x2

x1 x2 x3xn xn+1 xn+2


21/34



21

2.7 Chapa Bi-apoiada Submetida a um Carregamento UniformementeDistribudo

O momento mximo quando sua derivada for zero,

0V0dx

dM==

ou seja, no ponto onde a cortante for zero.

p

A B

RA = pl/2 RB= pl/2

pl

pl/2 pl/2

pl

8

2


22/34



22

2.8 Construo Grfica da Parbola

2.9 Superposio de Efeitos

.

p

pl8

2

0

1

2

3

4 0

1

2

3

4

.

A

p

B

pl8

2

MA MB

MA MB

MA MB

=

+

=

+

MA MB

pl8

2


23/34



23

3 - FORA NORMAL

3.1 IntroduoO principal objetivo do estudo da mecnica dos materiais proporcionar ao

engenheiro os meios que o habilitem para a anlise e projeto de vrias estruturas demquinas sujeitas a diferentes carregamentos. Isto implica na determinao dastenses e deformaes.

3.2 - Ensaio de Trao Simples

Corpos de prova de mesmo material P aplicada no CG da seo transversal P varia lentamente desde zero at a carga de ruptura PR

Sendo: S1S2S3 PR2PR2PR3

Mas : R===3

R3

2

R2

1

R1

S

P

S

P

S

P

PR no depende de e nem da geometria da seo transversal.

Hipteses:

material homogneo e istropo uniformemente distribuda na seo transversal

tenses de rupturado material


24/34



24

SN

=

(aplicado noCG)

Exemplo 1:Considerando a estrutura abaixo que consiste em barras AB eBC, verificar se a mesma suporta com segurana a carga de 30 kN aplicada noponto B, sendo a tenso admissvel do material (adm ) igual a 165 Mpa. A rea dabarra AB de 2 x 10-4 m2e da barra BC de 3,14 x 10-4 m2.

2

1,5tg= = 36,86

sen= 0,6


25/34



25

cos= 0,8

2,5m=BC

Fazendo-se a somatria das foras atuantes no n B, temos:

= 0Fy NBC.sen= 30 NBC= 50kN

= 0Fx NBC.cos= NAB NAB= 40kN

Unidades: 1kPa = 103Pa = 103N/m2

1MPa = 106

Pa = 106

N/m2

1GPa = 109Pa = 109N/m2

MPa15910x159m10x3,14

N10x50

S

N

624

3

====

Concluso: A estrutura suporta o carregamento pois a tenso no ultrapassou aadmissvel.

3.3 Lei de Hooke

alongamento total

d variao de dimenso transversal

= deformao longitudinal

especfica

d

d=

t deformao transversal

especfica

t = , onde coeficiente de Poisson

como exemplo: 0,33 ao comum0,20 concreto


26/34



26

NS

N=

=

DCTIL FRGIL

Mat. Frgil ruptura aps pequena deformaoMat. Dctil ruptura aps grande deformao

OA Fase elstica ao retirar a carga o material recupera a deformao

AC Fase plstica ao retirar a carga o material apresenta deformaoresidual R

etenso de escoamento (material deforma sem aumentar a tenso)ptenso limite de proporcionalidade (pe)Rmxima tenso normal ou tenso de ruptura

= E. Lei de Hooke (vale p/ p)

E mdulo de Young ou de deformao longitudinal

Curva no carac-terstica, pois

depende de S e

Curva caractersticade cada material


27/34



27

Enquanto < R, o material no rompe. Por segurana faz-se:

=(DCTIL)

s

(FRGIL)s

e

R

tenso admissvel

s 1 coeficiente de segurana

s fixado por Normas Tcnicas (ABNT)e, R, E,so propriedades mecnicas caractersticas de cada material.

3.4 - Alongamento Elstico

== ix

0

PdPN

Analisando um elemento de comprimento dx:

dxE

dx

E.dx

dx

=

=

=

como:S

N= dx

ES

Ndx=

Considerando =

0

dx e ES = cte, temos:

=

0 NdxES

1 ES

N

= Lei de Hooke na forma generalizada


28/34



28

3.5 Energia de Deformao

Ao aplicar a carga lentamente desde zero at o valor final, o alongamentovaria linearmente com a carga at atingir o valor final .

No instante intermedirio i, o trabalho realizado pela carga Niao aumentarpara Ni+ dN :

).d(NdU i =

O trabalho total realizado entre o incio e o fim da aplicao da carga :

=== )(.U dNdU i rea sob o grfico

ES

NNU

2

2

1.

2

1== (p/ ES = cte)

3.6 Deformaes

a) Deformao causada pela fora axial


29/34



29

ES

N=

b) Deformao causada pela ao do peso prprio

E2

. 2

=

c) Deformao causada pela variao de temperatura

t= ..

.t=

Obs: geralmente a parcela da deformao causada pela variao de temp. somada deformao axial

4 - TORO DE BARRAS DE SEO CIRCULAR

4.1 - Introduo

barra de seo transversalcircular engastada

T= momento torsor ou torque efeito de T no plano yz da seo carregamento est fora do plano

xy da pea

Conveno de sinalT > 0 quando o vetor momento entrana seo

Hipteses:1.- Seo plana permanece plana

na deformao elstica, o dimetro permanece como linha reta( s vale para seo circular)


30/34



30

2.- T o momento resultante de tenses de cisalhamento perpendiculares

ao dimetro.

(Toro de Saint-Venaut)

)

AA'=

D

2 = tg ld , onde

rotao da seo transversalddistoro longitudinal do eixo de dimetro D.

Mas, para pequenas distores (pequenas deformaes):

d tg d = D

2 dl (1)


31/34



31

BB'= l (2)

Dividindo (2) por (1):

D / 2 D / 2D= =

D

(3)

As distores so proporcionais ao raio e o valor mximo ocorre nasuperfcie da pea (mx= D).

4.2- Tenses no Regime ElsticoAnalisando um trecho entre 2 sees distantes de dx:

Da lei de Hooke: = G., onde :

( )

G =E

2 1+

mdulo de deformao transversal

Para o ao comum: G 80 GPa


32/34



32

Aplicando a Lei de Hooke Equao (3):

= D / 2

max

varia linearmente com o raio e mxima na periferia da seo transversal

dS = .d.dNa posio atua a tenso na rea dS.

( ) {T = dT d d D / 2d

T =D T

D

S

max

3

3

= =

=

Fora

D

brao

maxD

max

1 24 4 34 40

2

0

2 3

0

2

2

16

16

/ /

4.3- Rotao Elstica

max

max

max

l

dx d D2

d =dx

D / 2

Mas: =G

e, como:

= d

max

0

=

32

0

T dx

G D4

l

( para seo circular cheia)


33/34



33

para barras prismticas de mesmo material (GxD = cte)

=

32

0G DT dx

4

l

caso T=cte e G x D= cte =

32 T

G D4

l

4.4 - Tubo de Parede Grossa

( )

( )

max

l

=

=

16

32

T D

D d

T

G D d

4 4

4 4

4.5 - Tubo de Parede Fina

p / tD

10

T

D t

TG D t

m

m

2

m

3

=

=

2

4 l

4.6- Eixos de TransmissoP = x T = 2f.TP Potncia (W=N.m/s)Velocidade angular

f freqncia (Hz= s-1)

11

60

1

60rpm

rotHz

1 HP 746W

= =

s


34/34



34

Bibliografia

HIBBELER, R.C. (2011). Esttica Mecnica para Engenharia. 12aEd.So Paulo. Pearson Prentice Hall editora.

SCHIEL, F. (1978). Introduo Resistncia dos Materiais LTC, SoPaulo.

TIMOSHENKO, S.P. (1978). Resistncia dos Materiais, vol I e II, LTC,So Paulo.

FONSECA, A. (1976). Curso de Mecnica, vol I e II, LTC, So Paulo.

ROCHA, A.M. (1969). Resistncia dos Materiais, vol I, Editora Cientfica,So Paulo.

SUSSEKIND, J.C. Curso de Anlise Estrutural, vol I, Rio de Janeiro.

BEER, F.P. e JOHNSTON JR, E.R. (1995). Resistncia dos Materiais.Makron Books, 3 edio, So Paulo.

APOSTILAS DE RESISTNCIA DOS MATERIAIS USP.

Apostila de Mecânica Dos Sólidos 2011

Documents

Transcript of Apostila de Mecânica Dos Sólidos 2011