Universidade Federal do Rio Grande – FURG

Centro de Ciencias Computacionais – C3

Engenharia de Automacao

Introducao a Engenharia de Automacao

Lista de Exercıcios – Matrizes

1. Dada uma matriz real A com m linhas e n colunas e um vetor real V com n elementos,determinar o produto de A por V .

2. Um vetor real X com n elementos e apresentado como resultado de um sistema de equacoeslineares Ax = B cujos coeficientes sao representados em uma matriz real Am×n e o ladodireito da equacao em um vetor real B de m elementos. Verificar se o vetor x e realmentesolucao do sistema dado.

3. Dadas duas matrizes reais Am×n e Bn×p, calcular o produto de A por B.

4. Dada uma matriz real Am×n, verificar se existem elementos repetidos em A.

5. Construa uma matriz A2×3 de modo que aij = 3i2 − j.

6. Dadas as matrizes:

A =

[

0 21 3

]

; B =

[

0 32 1

]

; C =

[

3 01 2

]

encontre a matriz X tal que X + 2C = A + 3B

7. Determine a matriz B3×3 tal que

bij =

−2 se i > j;

1 se i = j;

3 se i < j.

8. Dada uma matriz Am×n, imprimir o numero de linhas e o numero de colunas nulas damatriz.

Exemplo: m = 4 e n = 4

1 0 2 34 0 5 60 0 0 00 0 0 0

tem 2 linhas nulas e 1 coluna nula.

9. Escreva a matriz A nos seguintes casos:

1. A e uma matriz 3 × 4 com:

aij =

{

−1 parai = 2j

1 parai 6= 2j

2. A e uma matriz quadrada de quarta ordem com:

aij =

{

0 parai + j = 4

−1 parai + j 6= 4

3. A e uma matriz quadrada de terceria ordem com aij = 2i + 3j − 1

10. Dizemos que uma matriz quadrada inteira e um quadrado magico se a soma dos elementosde cada linha, a soma dos elementos de cada coluna e a soma dos elementos das diagonaisprincipal e secundaria sao todas iguais.

Exemplo: A matriz

8 0 74 5 63 10 2

e um quadrado magico.

Dada uma matriz quadrada An×n , verificar se A e um quadrado magico.

11. Uma matriz D8×8 pode representar a posicao atual de um jogo de damas, sendo que 0 indicauma casa vazia, 1 indica uma casa ocupada por uma peca branca e −1 indica uma casaocupada por uma peca preta. Supondo que as pecas pretas estao se movendo no sentidocrescente das linhas da matriz D, determinar as posicoes das pecas pretas que:

1. podem tomar pecas brancas;

2. podem se mover sem tomar pecas;

3. nao podem se mover.

12. Considere n cidades numeradas de 0 a n−1 que estao interligadas por uma serie de estradasde mao unica. As ligacoes entre as cidades sao representadas pelos elementos de uma matrizquadrada Ln×n, cujos elementos lij assumem o valor 1 ou 0, conforme exista ou nao estradadireta que saia da cidade i e chegue a cidade j. Assim, os elementos da linha i indicam asestradas que saem da cidade i, e os elementos da coluna j indicam as estradas que chegama cidade j. Por convencao lii = 1.

A figura mostra um exemplo para n = 4.

e a respectiva matriz L e dada por:

L =

1 1 1 00 1 1 01 0 1 10 0 1 1

1. Dado k, determinar quantas estradas saem e quantas chegam a cidade k.

2. A qual das cidades chega o maior numero de estradas?

Page 2

3. Dado k, verificar se todas as ligacoes diretas entre a cidade k e outras sao de maodupla.

4. Relacionar as cidades que possuem saıdas diretas para a cidade k.

5. Relacionar, se existirem:

(a) As cidades isoladas, isto e, as que nao tem ligacao com nenhuma outra;

(b) As cidades das quais nao ha saıda, apesar de haver entrada;

(c) As cidades das quais ha saıda sem haver entrada.

6. Dada uma sequencia de m inteiros cujos valores estao entre 0 e n − 1, verificar se epossıvel realizar o roteiro correspondente. No exemplo dado, o roteiro representadopela sequencia (m = 5)23210 e impossıvel.

7. Dados k e p, determinar se e possıvel ir da cidade k para a cidade p pelas estradasexistentes. Voce consegue encontrar o menor caminho entre as duas cidades?

8. Dado k, determinar se e possıvel, partindo de k, passar por todas as outras cidadesapenas uma vez e retornar a k.

Page 3