GABARITANDO – MATEMÁTICA

AULA 1

O PLANO CARTESIANO

Quando é necessário localizar pontos sobre um plano, que pode ser um mapa ou um gráfico, não basta uma reta numérica.

São necessárias duas retas numéricas, uma horizontal e outra vertical. Colocando essas retas de maneira que tenham a mesma origem e formem um ângulo reto, temos um plano cartesiano, ou seja, um plano no qual se desenhou um par de eixos perpendiculares.

Cada ponto do plano pode ser localizado por um par de números (x;y) que são suas coordenadas. O ponto onde os dois eixos se cruzam é denominado origem e a ele estão associadas às coordenadas (0;0).

As coordenadas (1;2) do ponto A mostram que, para encontrá-lo, precisamos nos deslocar uma unidade para a direita e duas unidades para cima.

Para os outros três pontos tem os:

ponto B(4;–1): 4 unidades para a direita e 1 unidade para baixo;

ponto C(–2;–2): 2 unidades para a esquerda e 2 unidades para baixo;

ponto D(–3;1): 3 unidades para a esquerda e 1 unidade para cima.

Da mesma forma, o eixo horizontal é conhecido como eixo das abscissas, e o vertical, como eixo das ordenadas. Os eixos também são chamados de eixo dos x (horizontal) e eixo dos y (vertical). O sistema de coordenadas cartesianas divide o plano em quatro regiões denominadas quadrantes. Para se referir a estas regiões, é costume numerar os quadrantes no sentido anti-horário, como mostra a figura abaixo:

Por exemplo: Para ir da cidade A até a cidade B, existem 6 tipos de embarcações; para ir da cidade B até a cidade C, existem 7 ônibus. Para ir da cidade A à cidade C, é necessário pegar uma embarcação e um ônibus. De quantas maneiras diferentes uma pessoa pode ir da cidade A para a cidade C?

FUNÇÃO

Vamos pensar mais um pouco:

• Temos a seguir uma tabela de um restaurante que vende comida a quilo:

• Assim, o valor a ser pago por uma pessoa que come 2 quilos é: R$ 50,00.

• Já o “peso” da comida em um prato, se foi pago um total de R$ 15,00, é 600g. Segundo a tabela abaixo, podemos ver que não é possível que duas quantidades de comida tenham um mesmo preço.

Peso (gramas) Custo da Refeição (em Reais)

100 g 2,50

500 g 12,50

1000 g 25,00

1500 g 37,50

RELAÇÕES

• Dados os conjuntos A e B, não-vazios, chama-se relação de A em B todo subconjunto R, não-vazio, do produto cartesiano A x B.

• Podemos representar o que está escrito acima da seguinte forma:

R é relação de A em B R A B

A tabela abaixo apresenta a quantidade de laranjas (em dúzias) e o preço a pagar:

a) O preço a pagar é dado em função da quantidade de dúzias?

b) Qual é a variável independente? E a dependente?

c) Qual a lei de formação que associa a quantidade de dúzias com o preço a pagar?

d) Qual é o preço de 3,5 dúzias de laranjas? E de 10 dúzias?

Quantidade

(em dúzias)

Preço

(em R$)

1 1,20

2 2,40

3 3,60

... ...

4 4,80

... ...

... ...

X K. 1,20

DOMÍNIO E IMAGEM DE UMA RELAÇÃO

Observe a relação definida de A em B, representada pelo seu diagrama de flechas a seguir, vamos destacar dois conjuntos importantes nas relações.

Numa relação de A em B, o domínio de R é o conjunto D(R) formado por todos os primeiros elementos dos pares ordenados de R, e a imagem de R é o conjunto Im(R) formado por todos os segundos elementos dos pares ordenados de R.

FUNÇÃO

José e Pedro estavam participando do jogo “Adivinhe a regra”. Jose dizia um número e Pedro respondia outro, aplicando a regra que só ela conhecia. O objetivo do jogo é José descobrir qual a regra que Pedro estava aplicando. José resolveu, então, fazer uma tabela, escrevendo para cada número dito por ele o número correspondente respondido por Pedro. Agora feita à tabela tentem responder às seguintes perguntas:

a) Qual era a regra aplicada por Pedro?

b) Para cada número dito existe apenas um número respondido?

c) O número respondido depende do número dito? Por quê?

Número dito Número

1 3

3 7

0 1

-1 -1

O CONCEITO DE FUNÇÃO

• No cotidiano, há muitos exemplos de função:

• o “peso” de uma criança é função de sua idade;

• o salário de um vendedor é função do volume de vendas;

• a dose de um remédio é função do peso da criança que é medicada;

• o desconto do Imposto de Renda é função da faixa salarial;

• o tempo de viagem é função, entre outras coisas, da velocidade;

• o buraco na camada de ozônio é função do nível de poluição;

“Para entender o conceito de função, pense em duas grandezas que variam, sendo que a variação de uma depende da variação da outra”.

Assim, se tivermos dois conjuntos A e B e uma regra que permita associar a cada elemento de A um único elemento de B, teremos uma função.

Por exemplo: O gráfico abaixo mostra a temperatura de um paciente observada em diversas horas do dia. Observe-o e responda:

a) A que horas a temperatura começou a ser observada?

b) A que horas a temperatura deixou de ser observada?

c) Às 6 horas e 29 minutos, qual era a temperatura?

d) Às 9 horas, qual era a temperatura?

e) Qual foi o intervalo de tempo em que a temperatura foi observada?

f) Qual foi a temperatura máxima observada?

g) Qual foi a temperatura mínima observada?

h) Quais foram os valores que y assumiu? Escreva utilizando a notação de intervalo.

FIM