Material de Apoio Dinâmica
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Material de Apoio Dinâmica. Material de apoio: dinâmica. 1ª Lei de Newton - lei da inércia partícula livre me massa m e velocidade. move-se com velocidade constante move-se com momento linear constante. 2ª Lei de Newton - conceito de Força - PowerPoint PPT Presentation
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Material de apoio: dinâmica
1ª Lei de Newton - lei da inércia
partícula livre me massa m e velocidade
constante )(
constante)(
pvm(t)vmtp
vtv
constante )(
constante)(
pvm(t)vmtp
vtv
)()(
tFdt
tpd )(
)(tF
dt
tpd
move-se com velocidade constante
move-se com momento linear constante
2ª Lei de Newton - conceito de Forçataxa de variação de iguala a resultante das forças
aplicadas
)(tv
)(tp
Dimensões : MLT-2
Unidades SI : N (Newton)
Material de apoio: dinâmica
3ª Lei de Newton - lei da acção-reacção
2112 FF
2112 FF
Força que a partícula 2 exerce na partícula 1
Ponto de aplicação: partícula 1
Força que a partícula 1 exerce na partícula 2
Ponto de aplicação: partícula 2
1
2
21F
12F
2ª Lei de Newton para um sistema de partículas taxa de variação de iguala soma das resultantes das
forças externas aplicadas a cada uma das partículas
Material de apoio: dinâmica
1ª Lei de Newton para um sistema de partículas um sistema isolado tem um momento linear constante
N
1i
constante)( )( tptP i
N
1i
constante)( )( tptP i
N
ii tFt
dt
Pdext
1
)()(
N
ii tFt
dt
Pdext
1
)()(
)(tP
01 1
N
i
N
ijj
ijF
01 1
N
i
N
ijj
ijF
forças internas ao sistema
pela Lei da accção/reacção
forças externas ao sistema
Material de apoio: dinâmica
Dinâmica de uma partícula
)()(
tFdt
tpd )()( tamtF
)()( tamtF
decomposição nas componentes tangencial e normal
)()()()()()()( tutFtutFtFtFtF NNTTNT
)()()()()()()( tutFtutFtFtFtF NNTTNT
Lei Fundamental da Dinâmica
dt
dvmmatF TT )(dt
dvmmatF TT )(
componente tangencialresponsável pela variação do
módulo da velocidade
)(
)()(
2
t
tvmmatF NN
)(
)()(
2
t
tvmmatF NN
componente normalresponsável pela variação da
direcção e sentido da velocidade
Material de apoio: dinâmica
Dinâmica de uma partícula
se a componente tangencial da resultante das forças for nula
0)( dt
dvmmatF TT 0)( dt
dvmmatF TT
0)(
)()(
2
t
tvmmatF NN 0
)(
)()(
2
t
tvmmatF NN
a partícula descreve uma trajectória com velocidade de norma constante
se a componente tangencial da resultante das forças for nula
a partícula descreve uma trajectória rectilínea
Momento angular da uma partícula relativamente a O de uma partícula com e
xu
zu
yu
O
S
Material de apoio: dinâmica
)(tr
)()()()()( tvtrmtptrtL
)()()()()( tvtrmtptrtL
)(tp
)(tr
)(tv
perpendicular a e )(tL
)(tr
)(tv
Dimensões : ML2T-1
Unidades SI : kgm2s-1
Momento angular taxa de variação de
Material de apoio: dinâmica
)()()(
)()(
tFtrdt
tpdtr
dt
tLd
vector posição da partícula e do ponto de aplicação da
resultante das força
)()()()(
tNtFtrdt
tLd
)()()()(
tNtFtrdt
tLd
momento da força relativamente a O
Momento angular conserva-se: partícula livre
forças centrais
0)( tF
0)()( tFtr
)(tL
resultante das forças aplicadas
à partícula
Dimensões : ML2T-2
Unidades SI : Nm
Momento angular de um sistema de partículasrelativamente a Ode um sistema de N partículas com
Material de apoio: dinâmica
N
iiii
N
iii
N
ii tvtrmtptrtLtL
111
)()()()()()(
N
iiii
N
iii
N
ii tvtrmtptrtLtL
111
)()()()()()(
Nitptr ii ,1 )( e )(
iv
xu zu
yu
O
Sir
2
3
i
N-1
N
1
Momento angular conserva-se: sistema isolado
Momento angular de uma sistema de partículastaxa de variação de assumindo forças internas centrais
Material de apoio: dinâmica
soma dos momentos, relativamente a O, de todas as forças externas
N
ii tNt
dt
Ldext
1
)()(
N
ii tNt
dt
Ldext
1
)()(
N
iii
N
ii tFtrtN
extext
11
)()()(
N
iii
N
ii tFtrtN
extext
11
)()()(
)(tL
xu zu
yu
O
S
0)(1
N
iextitF
0)()( tFtr ijij
0)(1
N
iextitN
Forças de atrito (despreza-se a dimensão do objecto)opõem-se sempre ao movimento
corpo em repouso
Material de apoio: dinâmica
satF
N
P
F
x
y
xssat
satsat
uNF
FF
max
max
s - coeficiente de atrito estático
satFFNP
intensidade de cresce com a intensidade de
satF
F
0sat
FFNPR
imediatamente antes do corpo entrar em movimento, a intensidade da força de atrito estático é máxima
intensidade a aumentar
Material de apoio: dinâmica
amFF
FFNPR
FFNP
kat
kat
kat
xkkatuNF
coeficiente de atrito cinético
katF
N
P
F
a
Forças de atrito (despreza-se a dimensão do objecto)
opõem-se sempre ao movimento
corpo em movimento
sk
satkatFF
Material de apoio: dinâmica
Forças de resistênciaopõem-se sempre ao movimentoobjectos pequenos a cair com velocidades pequenas
através de um fluido
)( )()()(
)()(
tamutbvmgtFPtR
tvbtF
yR
R
v
P
RF
gb
mtvvPtF
atRPtFt
TR
R
)()(
00)()(:
11
111
velocidade terminal
Coeficiente – depende das propriedades do meio e da forma do objecto
1)(
tm
b
eb
mgtv
y
Material de apoio: dinâmica
Forças de resistênciaopõem-se sempre ao movimentoobjectos grandes a cair no ar (paraquedistas em queda livre,…)
)( )(2
1)()(
)(2
1)(
2
2
tamutAvDmgtFPtR
utAvDtF
yR
yR
AD
mgtvvPtF
atRPtFt
TR
R
2
)()(
00)()(:
11
111
D – coeficiente de arrastamento, depende do meio e do objecto
y
v
P
RF
velocidade terminal
densidade do meioA - área da secção do objecto na
direcção do movimento
A
Material de apoio: dinâmica
Referenciais não inerciais
)()()(
)()()(
)()()(
,
,
,
,
'
tAtata
tVtvtv
trtrtr
tt
O
)()()(
)()()(
)()()(
,
,
,
,
'
tAtata
tVtvtv
trtrtr
tt
O
P
)(tr
)(,Otr
)(, trS
O
z
y
x
S’
O’z’ x’
y’ - aceleração de S’relativamente a S A
S – referencial inercial
)()( tamtR
)()( tamtR
resultante das forças aplicadas
S’- referencial não inercial
)(')()( tamtFtR I
)(')()( tamtFtR I
não validade das leis de Newton introdução das forças de inércia
A
)()( tAmtFI
)()( tAmtFI
força de inércia
Material de apoio: dinâmica
Referenciais não inerciais- aceleração de S’relativamente a S A
S – referencial inercial
AmtamTPtR
)()( AmtamTPtR
)()(
forças aplicadas
S’- referencial não inercial
Amforça de
inércia:
S
A
P
IF T
S’
0)(')( tamFTPtR I
0)(')( tamFTPtR I
massa move-se com A
massa em repouso em S’
AmTP
AmTP
g
Atg
Com introdução da força de inércia em S’
obtem-se a mesma equação em S e S’
Material de apoio: dinâmica
Referenciais não inerciais- velocidade angular de rotação de S’, fixo à mesa
rodante, em torno de eixo dos zz
S – referencial inercial
)(
)()()(
)()(2
trm
tur
vmtAmtam
tTNPtR
N
)(
)()()(
)()(2
trm
tur
vmtAmtam
tTNPtR
N
S’- referencial não inercial
Nur
vmAm
2
força de inércia:
S
0)(')()( tamFtTNPtR I
0)(')()( tamFtTNPtR I
força centrífuga
)()(2
tur
vmtTNP N
)()(
2
tur
vmtTNP N
Com introdução da força de inércia em S’
obtem-se a mesma equação em S e S’
S’T
P
N
v
massa em repouso em S’
r
Nota sobre a conservação do momento linear
Material de apoio: dinâmica
)()()(1
tFtFtdt
Pdext
N
iiext
)()()(1
tFtFtdt
Pdext
N
iiext
)()(
)()(
)()(
tFtdt
dP
tFtdt
dP
tFtdt
dP
zextz
yexty
xextx
momento linear conserva-se nas direcções em que a resultante das forças externas for nula
Ex:
constante0)(
constante0)()(
constante0)(
)()(
zz
yyexty
xx
yext
Ptdt
dP
PtFtdt
dP
Ptdt
dP
utFtF
resultante das forças externas
Nota sobre a conservação do momento angular
Material de apoio: dinâmica
)()()(1
tNtNtdt
Ldext
N
iiext
)()()(1
tNtNtdt
Ldext
N
iiext
)()(
)()(
)()(
tNtdt
dL
tNtdt
dL
tNtdt
Ld
zextz
yexty
xextx
momento angular conserva-se nas direcções em que o momento resultante das forças externas for nulo
Ex:
constante0)(
constante0)(
constante0)()(
)()(
zz
yy
xxextx
xext
Ltdt
dL
Ltdt
dL
LtNtdt
Ld
utNtF
momento resultante das forças externas
