Materiais Compositos

Universidade Federal de Santa Catarina Departamento de Engenharia MecânicaGrupo de Análise e Projeto Mecânico

CCUURRSSOO DDEE PPRROOJJEETTOO EESSTTRRUUTTUURRAALL CCOOMM MMAATTEERRIIAAIISS CCOOMMPPOOSSTTOOSS

PPrrooff.. JJoosséé CCaarrllooss PPeerreeiirraa

FFlloorriiaannóóppoolliiss,, aaggoossttoo ddee 22000033

SSUUMMÁÁRRIIOO

11 –– AASSPPEECCTTOOSS GGEERRAAIISS DDOOSS MMAATTEERRIIAAIISS CCOOMMPPOOSSTTOOSS ____________________________________________11

11..11–– DDeeffiinniiççããoo __________________________________________________________________________________________________________________11

11..22–– CCoommppoonneenntteess ccoonnssttiittuuiinntteess ddee uumm mmaatteerriiaall ccoommppoossttoo ____________________________________________11

11..22..11 –– FFiibbrraass ________________________________________________________________________________________________________________11

11..22..22 –– MMaattrriizzeess ____________________________________________________________________________________________________________11

11..33 –– IInntteerreessssee ddooss mmaatteerriiaaiiss ccoommppoossttooss__________________________________________________________________________33

11..44 –– AApplliiccaaççõõeess ddooss mmaatteerriiaaiiss ccoommppoossttooss ______________________________________________________________________33

11..55 –– PPrroopprriieeddaaddeess ffííssiiccaass pprriinncciippaaiiss ________________________________________________________________________________77

11..66 –– CCaarraacctteerrííssttiiccaass ddaa mmiissttuurraa rreeffoorrççoo--mmaattrriizz ________________________________________________________________99

11..77 –– PPrroocceessssooss ddee ffaabbrriiccaaççããoo________________________________________________________________________________________1111

11..77..11 –– MMoollddaaggeemm sseemm pprreessssããoo__________________________________________________________________________________1122

11..77..22 –– MMoollddaaggeemm ppoorr pprroojjeeççããoo ssiimmuullttâânneeaa________________________________________________________________1133

11..77..33 –– MMoollddaaggeemm aa vvááccuuoo__________________________________________________________________________________________1144

11..77..44 –– MMoollddaaggeemm ppoorr ccoommpprreessssããoo aa ffrriioo __________________________________________________________________1144

11..77..55 –– MMoollddaaggeemm ppoorr iinnjjeeççããoo ____________________________________________________________________________________1144

11..77..66 –– MMoollddaaggeemm eemm ccoonnttíínnuuoo __________________________________________________________________________________1155

11..77..77 –– MMoollddaaggeemm ppoorr cceennttrriiffuuggaaççããoo __________________________________________________________________________1166

11..77..88 –– BBoobbiinnaammeennttoo cciirrccuunnffeerreenncciiaall __________________________________________________________________________1177

11..77..99 –– BBoobbiinnaammeennttoo hheelliiccooiiddaall __________________________________________________________________________________1188

11..77..1100 –– BBoobbiinnaammeennttoo ppoollaarr________________________________________________________________________________________1199

11..88 –– AArrqquuiitteettuurraa ddooss mmaatteerriiaaiiss ccoommppoossttooss ____________________________________________________________________2200

11..88..11 –– LLaammiinnaaddooss ______________________________________________________________________________________________________2200

11..88..22 –– SSaanndduuíícchhee ______________________________________________________________________________________________________2211

11..99 –– DDeetteerrmmiinnaaççããoo eexxppeerriimmeennttaall ddaass ccoonnssttaanntteess eelláássttiiccaass ddee uummaa llââmmiinnaa __________________2222

22 –– CCOONNSSTTAANNTTEESS EELLÁÁSSTTIICCAASS DDOOSS MMAATTEERRIIAAIISS CCOOMMPPOOSSTTOOSS ______________________________2255

22..11 –– EEqquuaaççõõeess ccoonnssttiittuuttiivvaass ppaarraa mmaatteerriiaaiiss ccoommppoossttooss ________________________________________________2255

22..22 –– EEffeeiittoo ddaa tteemmppeerraattuurraa ____________________________________________________________________________________________2299

33 –– CCOONNSSTTAANNTTEESS EELLÁÁSSTTIICCAASS DDOOSS MMAATTEERRIIAAIISS CCOOMMPPOOSSTTOOSS NNUUMMAA DDIIRREEÇÇÃÃOO

QQUUAALLQQUUEERR ____________________________________________________________________________________________________________________3311

33..11 –– EEqquuaaççõõeess ccoonnssttiittuuttiivvaass ddooss mmaatteerriiaaiiss ccoommppoossttooss nnuummaa ddiirreeççããoo qquuaallqquueerr____________3311

33..22 -- EEffeeiittoo ddaa tteemmppeerraattuurraa ____________________________________________________________________________________________3377

44 –– CCOOMMPPOORRTTAAMMEENNTTOO MMEECCÂÂNNIICCOO DDEE PPLLAACCAASS LLAAMMIINNAADDAASS ________________________________3388

44..11 –– TTeeoorriiaa cclláássssiiccaa ddee llaammiinnaaddooss ________________________________________________________________________________3388

44..11..11 –– CCoommppoorrttaammeennttoo eemm mmeemmbbrraannaa ______________________________________________________________________3388

44..11..22 –– CCoommppoorrttaammeennttoo eemm fflleexxããoo______________________________________________________________________________4455

44..11..33 –– EEffeeiittoo ddaa tteemmppeerraattuurraa ____________________________________________________________________________________5544

55 –– CCRRIITTÉÉRRIIOOSS DDEE RRUUPPTTUURRAA ______________________________________________________________________________________5588

55..11 –– CCrriittéérriioo ddee tteennssããoo mmááxxiimmaa ____________________________________________________________________________________5588

55..22 –– CCrriittéérriioo ddee ddeeffoorrmmaaççããoo mmááxxiimmaa ____________________________________________________________________________5599

55..33 –– CCoommppaarraaççããoo eennttrree ooss ccrriittéérriiooss ddee tteennssããoo mmááxxiimmaa ee ddee ddeeffoorrmmaaççããoo mmááxxiimmaa ______6600

55..44 –– CCrriittéérriiooss iinntteerraattiivvooss ________________________________________________________________________________________________6622

55..44..11 –– RReevviissããoo ddoo ccrriittéérriioo ddee vvoonn MMiisseess ____________________________________________________________________6622

55..44..22 –– CCrriittéérriioo ddee HHiillll ________________________________________________________________________________________________6666

55..44..33 –– CCrriittéérriioo ddee TTssaaii--HHiillll ________________________________________________________________________________________6677

55..44..44 –– CCrriittéérriioo ddee HHooffffmmaann ________________________________________________________________________________________6688

55..44..55 –– CCrriittéérriioo ddee TTssaaii--WWuu ________________________________________________________________________________________6699

55..44 –– MMééttooddoo ddee ddeeggrraaddaaççããoo __________________________________________________________________________________________7788

66 –– MMÉÉTTOODDOO DDOOSS EELLEEMMEENNTTOOSS FFIINNIITTOOSS AAPPLLIICCAADDOO AAOOSS MMAATTEERRIIAAIISS

CCOOMMPPOOSSTTOOSS ________________________________________________________________________________________________________________8888

66..11 –– CCaammppoo ddee ddeessllooccaammeennttooss ____________________________________________________________________________________8888

66..22 –– EEnneerrggiiaa ddee ddeeffoorrmmaaççããoo eelleemmeennttaarr ________________________________________________________________________9922

66..33 –– EEnneerrggiiaa cciinnééttiiccaa eelleemmeennttaarr ____________________________________________________________________________________9955

66..44 –– TTrraabbaallhhoo rreeaalliizzaaddoo ppeellaass ffoorrççaass eexxtteerrnnaass ______________________________________________________________9977

66..55 –– PPrroobblleemmaa eessttááttiiccoo –– pprriinnccííppiioo ddooss ttrraabbaallhhooss vviirrttuuaaiiss______________________________________________9988

66..55..11 –– DDeetteerrmmiinnaaççããoo ddaass tteennssõõeess ____________________________________________________________________________9988

66..66 –– PPrroobblleemmaa ddiinnââmmiiccoo –– eeqquuaaççõõeess ddee llaaggrraannggee ______________________________________________________110033

66..66..11 –– FFrreeqqüüêênncciiaass nnaattuurraaiiss ee mmooddooss ddee vviibbrraaççããoo __________________________________________________110033

66..66..22 –– RReessppoossttaa nnoo tteemmppoo ______________________________________________________________________________________110044

66..77 –– EExxeemmppllooss ddee aapplliiccaaççããoo ________________________________________________________________________________________110044

66..77..11 –– CChhaassssii ddee kkaarrtt ______________________________________________________________________________________________110044

66..77..22 –– CChhaassssii ddee ssiiddee--ccaarr ________________________________________________________________________________________110055

66..77..33 –– QQuuaaddrroo ddee bbiicciicclleettaa ((aa))__________________________________________________________________________________110066

66..77..44 –– RRaaqquueettee ddee ttêênniiss __________________________________________________________________________________________110066

66..77..55 –– CCaarrrroocceerriiaa ddee ccaammiinnhhããoo bbaaúú ________________________________________________________________________110077

66..77..66 –– CCaassccoo ddee ccaattaammaarraann ____________________________________________________________________________________110077

66..77..77 –– QQuuaaddrroo ddee bbiicciicclleettaa ((bb))__________________________________________________________________________________110088

66..77..88 –– CChhaassssii ddee uumm ccaammiinnhhããoo lleevvee________________________________________________________________________110088

77 –– FFLLAAMMBBAAGGEEMM DDEE PPLLAACCAASS LLAAMMIINNAADDAASS ______________________________________________________________110099

77..11 –– EEqquuaaççõõeess ddiiffeerreenncciiaass ddee ppllaaccaass __________________________________________________________________________110099

77..22 –– EEqquuaaççõõeess ddee ppllaaccaa ccoonnssiiddeerraannddoo aa ffllaammbbaaggeemm __________________________________________________111111

77..33 –– MMééttooddoo ddaa ppeerrttuurrbbaaççããoo aapplliiccaaddoo àà ffllaammbbaaggeemm____________________________________________________111144

RREEFFEERRÊÊNNCCIIAASS ____________________________________________________________________________________________________________112222

Curso de projeto estrutural com materiais compostos 1

11 –– AASSPPEECCTTOOSS GGEERRAAIISS DDOOSS MMAATTEERRIIAAIISS CCOOMMPPOOSSTTOOSS

11..11–– DDeeffiinniiççããoo

Um material composto é formado pela união de dois materiais de naturezas

diferentes, resultando em um material de performance superior àquela de seus

componentes tomados separadamente. O material resultante é um arranjo de fibras,

contínuas ou não, de um material resistente (reforço) que são impregnados em uma

matriz de resistência mecânica inferior as fibras.

11..22–– CCoommppoonneenntteess ccoonnssttiittuuiinntteess ddee uumm mmaatteerriiaall ccoommppoossttoo

11..22..11 –– FFiibbrraass

A(s) fibra(s) é o elemento constituinte que confere ao material composto suas

características mecânicas: rigidez, resistência à ruptura, etc. As fibras podem ser curtas

de alguns centímetros que são injetadas no momento da moldagem da peça, ou longas

e que são cortadas após a fabricação da peça.

Os tipos mais comuns de fibras são: de vidro, de aramida (kevlar), carbono, boro,

etc. As fibras podem ser definidas como sendo unidirecionais, quando orientadas

segundo uma mesma direção; bidimensionais, com as fibras orientadas segundo duas

direções ortogonais (tecidos), Figura 1.1 e Figura 1.2, ou com as fibras orientadas

aleatoriamente (esteiras), Figura 1.3; e tridimensionais, quando as fibras são orientadas

no espaço tridimensional (tecidos multidimensionais).

11..22..22 –– MMaattrriizzeess

As matrizes têm como função principal, transferir as solicitações mecânicas as

fibras e protegê-las do ambiente externo. As matrizes podem ser resinosas (poliéster,

epóxi, etc), minerais (carbono) e metálicas (ligas de alumínio).

Aspectos gerais dos materiais compostos 2

Figura 1.1 – Tecido - padrão 1

Figura 1.2 – Tecido - padrão 2

Figura 1.3 – Esteira (fibras contínuas ou cortadas)


A escolha entre um tipo de fibra e uma matriz depende fundamentalmente da

aplicação ao qual será dado o material composto: características mecânicas elevadas,

resistência a alta temperatura, resistência a corrosão, etc. O custo em muitos casos

pode também ser um fator de escolha entre um ou outro componente. Deve ser

observada também a compatibilidade entre as fibras e as matrizes.

11..33 –– IInntteerreessssee ddooss mmaatteerriiaaiiss ccoommppoossttooss

O interesse dos materiais compostos está ligado a dois fatores: econômico e

performance. O fator econômico vem do fato do material composto ser muito mais leve

que os materiais metálicos, o que implica numa economia de combustível e

conseqüentemente, num aumento de carga útil (aeronáutica e aeroespacial). A redução

na massa total do produto pode chegar a 30 % ou mais, em função da aplicação dada

ao material composto. O custo de fabricação de algumas peças em material composto

pode ser também sensivelmente menor se comparado com os materiais metálicos.

O fator performance está ligado a procura por um melhor desempenho de componentes

estruturais, sobretudo no que diz respeito às características mecânicas (resistência a

ruptura, resistência à ambientes agressivos, etc.). O caráter anisotrópico dos materiais

compostos é o fator primordial para a obtenção das propriedades mecânicas requeridas

pelo componente.

A leveza juntamente com as excelentes características mecânicas faz com que

os materiais compostos sejam cada vez mais utilizados dentro de atividades esportivas.

11..44 –– AApplliiccaaççõõeess ddooss mmaatteerriiaaiiss ccoommppoossttooss

A aplicação dos materiais compostos surgiu inicialmente na área aeronáutica

devido a necessidade de diminuição de peso, preservando a robustez dos

componentes estruturais. Atualmente uma grande variedade de peças em materiais

compostos podem ser encontradas nos aviões em substituição aos materiais metálicos:

fuselagem, spoilers, portas de trem de aterrissagem, portas internas, etc., Figura 1.4.

Em muitos destes componentes, sua concepção foge da definição dada


inicialmente para materiais compostos, pois nestes casos os componentes são

fabricados normalmente em placas de baixa densidade, contra-placadas por placas

finas de alta resistência. Esta configuração normalmente é dita sanduíche. De uma

forma mais ampla, estas configurações são também consideradas “materiais

compostos”, pois combinam diferentes materiais.

Figura 1.4 – Componentes em material composto em aviões-caça

Dentro da área aeronáutica, os helicópteros possuem também vários

componentes em material composto: pás da hélice principal, hélice traseira, árvore de

transmissão, fuselagem, etc, Figura 1.5.

Figura 1.5 – Componentes em material composto em helicópteros


A utilização dos materiais compostos dentro da industria automobilística é bem

mais recente do que na área aeronáutica. Inicialmente, eram produzidos somente pára-

choques e tetos de automóveis. Atualmente, o material composto é utilizado para a

fabricação de capôs, carters de óleo, colunas de direção, árvores de transmissão,

molas laminadas, painéis, etc., Figura 1.6.

Uma das grandes vantagens trazidas para o meio automobilístico pelos materiais

compostos é, além da redução do peso, a facilidade em confeccionar peças com

superfícies complexas.

Figura 1.6 – Componentes em material composto em automóveis

Uma atividade esportiva notória que emprega material composto é a Fórmula 1,

que pode ser considerada como um laboratório para as inovações tecnológicas. Em

muitos casos, o que se emprega dentro dos carros de Fórmula 1, será utilizado

futuramente nos carros de passeio. Neste caso, o aumento da relação potência/peso é

fundamental para um bom desempenho do carro nas pistas. A configuração mais

freqüentemente utilizada nestes carros é do tipo sanduíche que é utilizada para a

confecção da carroceria.

Em praticamente todas as atividades esportivas, a redução do peso está

diretamente ligada a redução do tempo de execução de uma prova esportiva. Como

exemplo disto, podemos citar: barcos a vela, skis, bicicletas, etc. Em alguns casos, o

que se procura é a agilidade, e a perfeição de alguns golpes, como no tênis, com suas

raquetes; no golfe, com seus tacos; e no surf, com suas pranchas.


Figura 1.7 – Barcos a vela Figura 1.8 – Ski

Uma aplicação bem recente dos materiais compostos na área aeroespacial são

os painéis solares de satélites, confeccionados em uma configuração sanduíche, Figura

1.9, e os motores de último estágio dos lançadores de satélites, confeccionados a partir

do bobinamento das fibras sobre um mandril, Figura 1.10.

Figura 1.9 – Painéis solares de satélite


Figura 1.10 – Propulsor de último estágio de lançador de satélite

11..55 –– PPrroopprriieeddaaddeess ffííssiiccaass pprriinncciippaaiiss

Metais

Massa

volumétrica

3

Módulo de

elasticidade

Módulo de

cisalhamento

Coeficiente de

poisson

Tensão de ruptura

à tração (MPa)

Alongamento à

ruptura (%)

Coeficiente de

dilatação térmica

1

Temperatura

limite de utilização

ρ E G ν σ ε α Tmax

aços 7800 205000 79000 0,3 400 a

1600

1,8 a

10

1,3.10-5 800

ligas de

alumínio

2800 75000 29000 0,3 450 10 2,2.10-5 350

ligas de

titânio

4400 105000 40300 0,3 1200 14 0,8.10-5 700

Cobre 8800 125000 48000 0,3 200 a

500

1,7.10-5 650


Fibras

Massa

volumétrica

3

Módulo de

elasticidade

Módulo de

cisalhamento

Coeficiente de

poisson

Tensão de ruptura

à tração (MPa)

Alongamento à

ruptura (%)

Coeficiente de


(°C-1)

Temperatura

limite de utilização

Preço/kg 1985

ρ E G ν σ ε α Tmax $US

Vidro

“R”

2500 86000 0,2 3200 4 0,3.10-5 700 12

Vidro

“E”

2600 74000 30000 0,25 2500 3,5 0,5.10-5 700 2,8

Kevlar

49

1450 130000 12000 0,4 2900 2,3 -0,2.10-5 70

Grafite

“HR”

1750 230000 50000 0,3 3200 1,3 0,02.10-5 >1500 70 a

140

Grafite

“HM”

1800 390000 20000 0,35 2500 0,6 0,08.10-5 >1500 70 a

140

Boro 2600 400000 3400 0,8 0,4.10-5 500 500

M

atrizes

Massa volum

étrica (kg/m

3)

Módulo de

elasticidade (MPa)

Módulo de

cisalhamento (M

Pa)

Coeficiente de

poisson

Tensão de ruptura à tração (M

Pa)

Alongamento à

ruptura (%)

Coeficiente de


( °C-1)

Temperatura lim

ite de utilização (°C

)

Preço/kg 1985

ρ E G ν σ ε α Tmax $US

TTEERRMMOORREESSIISSTTEENNTTEESS

Epóxi 1200 4500 1600 0,4 130 2 a 6 11.10-5 90 a 200 6 a 20

Fenólica 1300 3000 1100 0,4 70 2,5 1.10-5 120 a

200

Poliéster 1200 4000 1400 0,4 80 2,5 8.10-5 60 a 200 2,4


Poli

carbonato

1200 2400 60 6.10-5 120

Termoplásticas

Poli

propileno

900 1200 30 20 a

400

9.10-5 70 a 140

Poliamida 1100 4000 70 200 8.10-5 170 6

11..66 –– CCaarraacctteerrííssttiiccaass ddaa mmiissttuurraa rreeffoorrççoo--mmaattrriizz

As propriedades da lâmina (reforço+matriz) são obtidas em função das

percentagens de cada componente na mistura.

a) Percentagem em massa do reforço.

totalmassareforçodemassaMf =

b) Percentagem em massa da matriz.

totalmassamatrizdamassaMm = ou Mm = 1 - Mf

c) Percentagem em volume do reforço.

totalvolumereforçodevolumeVf =

d) Percentagem em volume da matriz.

totalvolumematrizdavolumeVm = ou Vm = 1 - Vf

e) Massa volumétrica da lâmina.

totalvolumetotalmassa

=ρ

ou:

totalvolumematrizdamassa

totalvolumereforçodomassa

+=ρ

mf totalvolumematrizdavolume

totalvolumereforçodovolume

ρ+ρ=ρ


ρ = ρf . Vf + ρm . Vm

onde ρf e ρm são as massas volumétricas do reforço e da matriz, respectivamente.

f) Módulo de elasticidade longitudinal El ou E1 (propriedades estimadas).

E1 = Ef . Vf + Em . Vm

ou:

E1 = Ef . Vf + Em . (1 – Vf)

g) Módulo de elasticidade transversal Et ou E2.

( )2 m

mf f

ft

1E E E1 V VE

= − +

onde Eft representa o módulo de elasticidade do reforço na direção transversal.

h) Módulo de cisalhamento Glt ou G12.

( )12 m

mf f

ft

1G G G1 V VG

= − +

onde Gft representa o módulo de cisalhamento do reforço.

i) Coeficiente de poisson νlt ou ν12.

ν12 = νf . Vf + νm . Vm

j) Resistência a ruptura da lâmina.

( ) m1ruptura f ruptura f f

f

EV 1 VE

σ = σ + −

ou:

1ruptura f ruptura f.Vσ = σ

k) Propriedades mecânicas de algumas misturas mais comumente utilizadas.

As propriedades na tabela abaixo correspondem a uma mistura de fibras

unidirecionais+resina epóxi com 60 % do volume em fibras.


vidro kevlar carbono

Massa volumétrica (kg/m3) 2080 1350 1530

σruptura em tração na direção 1 (Xt) (MPa) 1250 1410 1270

σruptura em compressão na direção 1 (Xc) (MPa) 600 280 1130

σruptura em tração na direção 2 (Yt) (MPa) 35 28 42

σruptura em compressão na direção 2 (Yc) (MPa) 141 141 141

τ12 ruptura em cisalhamento (S12) (MPa) 63 45 63

τruptura em cisalhamento interlaminar (MPa) 80 60 90

módulo de elasticidade longitudinal E1 (MPa) 45000 85000 134000

módulo de elasticidade transversal E2 (MPa) 12000 5600 7000

módulo de cisalhamento G12 (MPa) 4500 2100 4200

coeficiente de poisson ν12 0,3 0,34 0,25

Coef. de dilatação térmica longitudinal α1 (°C-1) 0,4 a

0,7.10-5

-0,4.10-5 -0,12.10-

5

Coef. de dilatação térmica transversal α2 (°C-1) 1,6 a

2.10-5

5,8.10-5 3,4.10-5

11..77 –– PPrroocceessssooss ddee ffaabbrriiccaaççããoo

Muitas peças ou estruturas em material composto são geralmente produzidas por

uma composição de lâminas sucessivas, chamadas de estruturas estratificadas. Os

processos de fabricação são inúmeros e devem ser selecionadas segundo requisitos

como: dimensões, forma, qualidade, produtividade (capacidade de produção), etc.

As operações básicas para a obtenção da peça final têm a seguinte seqüência:


11..77..11 –– MMoollddaaggeemm sseemm pprreessssããoo

O molde é primeiramente revestido de um desmoldante e posteriormente de uma

resina colorida. A seguir as fibras são depositadas sobre o molde e em seguida

impregnadas com resina e compactadas com um rolo. O processo se segue para as

lâminas sucessivas, Figura 1.11. A polimerização (solidificação) ou cura da resina pode

ser feita com ou sem o molde, isto em função da geometria da peça. A cura da resina

pode ser feita em temperatura ambiente ou ser acelerada se colocada em uma estufa a

uma temperatura entre 80° C e 120° C. Após a cura da resina e a desmoldagem, a

peça é finalizada: retirada de rebarbas, pintura, etc.

Fibras Resina

Impregnação (mistura)

Colocação da mistura sobre o molde/mandril

Polimerização (estufa)

Desmoldagem

Acabamento


Figura 1.11 – Moldagem sem pressão

11..77..22 –– MMoollddaaggeemm ppoorr pprroojjeeççããoo ssiimmuullttâânneeaa

Este processo consiste em projetar simultaneamente fibras cortadas

impregnadas em resina sobre o molde. A lâmina de fibras impregnadas é em seguida

compactada por um rolo e novas lâminas podem ser sucessivamente depositadas,

Figura 1.12. Um contra-molde pode eventualmente ser utilizado para a obtenção de

faces lisas e para proporcionar uma melhor compactação entre as lâminas. A vantagem

deste processo com relação ao anterior é permitir uma produção em série das peças,

no entanto, as características mecânicas das peças são médias devido ao fato das

fibras serem cortadas.

Figura 1.12 – Moldagem por projeção simultânea

molde

rolo

fibras

resina

resina

fibra

fibra cortada e resina

pistola


11..77..33 –– MMoollddaaggeemm aa vvááccuuoo

Neste processo as fibras podem ser colocadas manualmente como na moldagem

sem pressão, ou automaticamente por projeção simultânea. Neste caso um contra-

molde e uma bomba a vácuo são utilizados para permitir uma melhor compactação e

evitar a formação de bolhas, Figura 1.13.

Figura 1.13 – Moldagem a vácuo

11..77..44 –– MMoollddaaggeemm ppoorr ccoommpprreessssããoo aa ffrriioo

Neste processo a resina é injetada sob pressão no espaço entre o molde e o

contra-molde. A cura pode ser feita a temperatura ambiente ou em uma estufa. Há

casos onde o molde e o contra-molde são aquecidos, sendo este processo chamado de

compressão a quente. Neste caso a cura da resina é feita no próprio molde, Figura

1.14.

11..77..55 –– MMoollddaaggeemm ppoorr iinnjjeeççããoo

O processo por injeção consiste em injetar as fibras impregnadas a partir de um

parafuso sem fim no molde aquecido, Figura 1.15.

Bomba avácuo

fibras

resina

contra molde


Figura 1.14 – Moldagem por compressão a frio

Figura 1.15 – Moldagem por injeção

11..77..66 –– MMoollddaaggeemm eemm ccoonnttíínnuuoo

Este processo permite produzir placas e painéis de grande comprimento. As

fibras (unidirecionais, tecidos ou esteira) juntamente com a resina são depositadas

entre dois filmes desmoldantes. A forma da placa e a cura da resina são dadas dentro

da estufa, Figura 1.16 e Figura 1.17.

molde

resina

contra-molde

molde

aquecido

Contra-molde

aquecido

Fibra pré-impregnadaaquecida


Figura 1.16 – Moldagem de placas contínuas

Figura 1.17 – Moldagem de placas onduladas contínuas

11..77..77 –– MMoollddaaggeemm ppoorr cceennttrriiffuuggaaççããoo

Este processo é utilizado na produção de peças de revolução. Dentro do molde

em movimento de rotação é injetado as fibras cortadas juntamente com a resina. A

impregnação da resina nas fibras e a compactação é feita pelo efeito de centrifugação.

A cura da resina pode ser feita a temperatura ambiente ou em uma estufa. Este

processo é utilizado em casos onde não se exige homogeneidade das propriedades

mecânicas da peça.

estufa

faca

rolos

fibras

resina

filme desmoldante

filme desmoldante

resina

faca

fibras cortadas

filme desmoldante

filme desmoldante

rolos

estufa


Figura 1.18 – Moldagem por centrifugação

Outros processos de fabricação de peças de revolução podem ser empregados

quando se exige homogeneidade das propriedades mecânicas da peça. Nestes

processos fibras são enroladas (bobinadas) sobre um mandril que dará a forma final da

peça. Este processo permite a fabricação industrial de tubos de diversos diâmetros e

grandes comprimentos de alta performance.

Para atender a estas necessidades de projeto, o bobinamento das fibras pode

ser feito da seguinte maneira: bobinamento circunferencial, bobinamento helicoidal e o

bobinamento polar.

11..77..88 –– BBoobbiinnaammeennttoo cciirrccuunnffeerreenncciiaall

No bobinamento circunferencial, as fibras são depositadas em um mandril

rotativo, com um ângulo de deposição de 90° em relação ao eixo de rotação, Figura

1.19. Este tipo de bobinamento resiste aos esforços circunferenciais.

fibra

molde


Figura 1.19 - Bobinamento circunferencial

11..77..99 –– BBoobbiinnaammeennttoo hheelliiccooiiddaall

No bobinamento helicoidal, as fibras são depositadas em um mandril rotativo

com um ângulo de deposição α em relação ao eixo de rotação, Figura 1.20. Este tipo de

bobinamento resiste aos esforços circunferenciais e longitudinais.

Figura 1.20 - Bobinamento helicoidal

fibras

resina

mandril

guia


Figura 1.21 - Bobinamento helicoidal contínuo

11..77..1100 –– BBoobbiinnaammeennttoo ppoollaarr

No bobinamento polar, o reforço é depositado no mandril de forma a tangenciar

as duas aberturas dos domos, traseiro e dianteiro, Figura 1.22. O ângulo de deposição

varia de αo, constante na região cilíndrica, até 90° nas duas aberturas dos domos. O

bobinamento polar resiste preferencialmente aos esforços longitudinais.

A fabricação de vasos de pressão bobinados consiste de dois tipos de

bobinamento, como é o caso da Figura 1.10. Nos domos traseiro e dianteiro, o

bobinamento é do tipo polar [(±θ], enquanto que na região cilíndrica, os bobinamentos

circunferencial e polar se intercalam [(90º/±θ].

fibras

mandril

fibras

impregnadas

estufa


Figura 1.22 - Bobinamento polar

11..88 –– AArrqquuiitteettuurraa ddooss mmaatteerriiaaiiss ccoommppoossttooss

11..88..11 –– LLaammiinnaaddooss

Os laminados, ou estruturas laminadas, são constituidos de sucessivas lâminas

de fibras impregnadas em resina segundo uma orientação, Figura 1.23. A designação

dos laminados é efetuada segundo a disposição das lâminas e a orientação da lâmina

com relação ao eixo de referência, Figura 1.24.


Figura 1.23 – Constituição de um laminado

Figura 1.24 – Designação de um laminado

11..88..22 –– SSaanndduuíícchhee

O princípio da técnica de estruturas do tipo sanduíche consiste em colocar um

material leve (geralmente com boas propriedades em compressão) entre duas contra-

placas com alta rigidez. Este princípio concilia leveza e rigidez a estrutura final.

45°45° 0°90°90°30° 45° 0° 45° 90° 90° 30°

[45/0/45/902/30


Figura 1.25 – Sanduíche de alma plena

Figura 1.26 – Sanduíche de alma “oca”

11..99 –– DDeetteerrmmiinnaaççããoo eexxppeerriimmeennttaall ddaass ccoonnssttaanntteess eelláássttiiccaass ddee uummaa llââmmiinnaa

Placas rígidas (aço,placas laminadas, etc)

alma de baixopeso (espuma,resina, etc)

Placas rígidas (aço,placas laminadas, etc)

Alma de madeira

Sentido das fibras damadeira

colméia

alma ondulada


Para a determinação das constantes elásticas de placas unidirecionais em

fibra/resina, é necessário cortar dois corpos de prova padronizados, sobre os quais são

colados dois extensômetros dispostos ortogonalmente como mostrado abaixo.

Os corpos de prova são ensaiados numa máquina de tração e as deformações

são medidas pelos extensômetros.

Como exemplo, se for aplicado uma tensão de tração σx = 20 MPa, as

deformações medidas pelos extensômetros no primeiro corpo de prova são: ε1x = 143e-

6 e ε1y = - 36e-6. Assim:

x x1x

x 1E Eσ σ

ε = = , x1

1x

20E143e 6

σ= =

ε − , E1 = 139860 MPa

1y xy 1x 12 1xε = −ν ε = −ν ε , 1y12

1x

εν = −

ε , 12

36e 6143e 6

−ν =

− , ν12 = 0,25

Analogamente, se for aplicado uma tensão de tração σx = 20 MPa, as

deformações medidas pelos extensômetros no segundo corpo de prova, no qual as

fibras formam um ângulo de 20° com o eixo x, são: ε2x = 660e-6 e ε2y = - 250e-6. Assim

de [1], pag. 332:

x

y σx

20° x

y σx


x2x

xEσ

ε = (1)

4 42 2 12

x 1 2 12 1

1 c s 1c s 2E E E G E

ν= + + −

(2)

4 42 2 12

2x x1 2 12 1

c s 1c s 2E E G E

ν ε = + + − σ

(3)

x2y xy

xEσ

ε = −ν (4)

onde c = cos 20° e s = sen 20°. Como 21 12

2 1E Eν ν

= e yx xy

y xE Eν ν

= :

( )xy 4 4 2 221

x 2 1 2 12

1 1 1c s c sE E E E Gν ν

− = − + + + −

(5)

Substituindo (5) em (4):

( )4 4 2 2122y x

1 1 2 12

1 1 1c s c sE E E G

ν ε = − + − + − σ

(6)

De (3) e (6) temos:

12 2

1 0,1325 2,69e 4G E

+ = − , 12 2

1 1 1,144e 4G E

− = −

A solução é:

E2 = 7320 MPa , G12 = 3980 MPa e ν21 = 0,013


22 –– CCOONNSSTTAANNTTEESS EELLÁÁSSTTIICCAASS DDOOSS MMAATTEERRIIAAIISS CCOOMMPPOOSSTTOOSS

22..11 –– EEqquuaaççõõeess ccoonnssttiittuuttiivvaass ppaarraa mmaatteerriiaaiiss ccoommppoossttooss

A anisotropia dos materiais compostos é mais facilmente trabalhada do que nos

casos mais gerais de materiais anisotrópicos, como por exemplo a madeira. Para os

materiais compostos, pode-se definir um sistema de eixos ortogonais, dentro do qual as

propriedades mecânicas são identificadas. Um eixo designado 1 (ou l) é colocado

longitudinalmente as fibras, um outro designado 2 (ou t) é colocado transversalmente as

fibras e um outro designado 3 (ou t’) é colocado ortogonalmente aos dois anteriores,

Figura 2.1.

Figura 2.1 – Sistema de eixos de ortotropia

A lei de comportamento do material composto que relaciona deformação/tensão

pela matriz de flexibilidade, dentro do sistema de eixos de ortotropia (1, 2, 3), contêm 9

constantes elásticas independentes, e é da seguinte maneira:

11

22

33

Constantes elásticas dos materiais compostos 26

31211 2 3

32121 11 2 3

2 213 23

3 31 2 323 23

2313 13

12 1213

12

1 0 0 0E E E

1 0 0 0E E E

1 0 0 0E E E10 0 0 0 0G

10 0 0 0 0G10 0 0 0 0 G

−ν−ν −ν−νε σ

ε σ −ν −ν ε σ = γ τ γ τ

γ τ

(2.1)

onde:

εii = deformações normais na direção i

γij = deformações angulares no plano ij

σii = tensões normais na direção i

τij = tensões de cisalhamento no plano ij

νij = coeficiente de poisson (deformação causada na direção j devida uma solicitação na

direção i).

Ei = módulo de elasticidade na direção i

Gij = módulo de cisalhamento no plano ij

Como a matriz de comportamento é simétrica tem-se que:

21 12

2 1E Eν ν

= , 31 13

3 1E Eν ν

= , 32 23

3 2E Eν ν

= (2.2)

Para a demonstração da simetria da matriz de comportamento, considere uma

placa unidirecional de dimensões a, b e espessura e:

1

2

b

a


Deformações devido a σ1 (na direção longitudinal):

( ) l 11 l

1

∆bb E

σε = = , ( ) ( )l 1

2 12 1 12l l1

∆aa E

σε = = −ν ε = −ν (2.3)

Deformações devido a σ2 (na direção transversal):

( ) 2 22 2

2

∆aa E

σε = = , ( ) ( )2 2

1 21 2 212 22

∆bb E

σε = = −ν ε = −ν (2.4)

Considerando a energia acumulada devida ao carregamento σ1 e depois a σ2,

mantendo σ1:

1 1 2 2 1 21 1W ( a e) ∆b ( b e) ∆a ( a e) ∆b2 2

= σ + σ + σ (2.5)

Considerando agora a energia acumulada devida ao carregamento σ2 e depois a

σ1, mantendo σ2:

2 2 1 1 2 11 1W ' ( b e) ∆a ( a e) ∆b ( b e) ∆a2 2

= σ + σ + σ (2.6)

Sendo a energia final a mesma, W = W’:

1 2 2 1( a e) ∆b ( b e) ∆aσ = σ , 2 11 21 2 12

2 1a e b b e a

E E σ σ

σ −ν = σ −ν

(2.7)

21 12

2 1E Eν ν

= (2.8)

Em alguns casos, é possível considerar que as propriedades mecânicas nas

direções 2 e 3 são idênticas, já que, como mostrado pela Figura 2.1, estas direções são

direções perpendiculares a direção 1. Para este caso de materiais, ditos isotrópicos

transversos, a matriz de comportamento se simplifica, necessitando somente de 5

constantes elásticas independentes:


21 211 2 2

12 21 11 2 2

2 212 2

3 31 2 2

23 232213 13

12 1212

12

1 0 0 0E E E

1 0 0 0E E E

1 0 0 0E E E2(1 )0 0 0 0 0E

10 0 0 0 0G10 0 0 0 0 G

−ν −ν −ν −νε σ ε σ −ν −ν ε σ = γ τ+ ν γ τ

γ τ

(2.9)

onde:

ν2 = coeficiente de poisson no plano de isotropia transversa

Nota-se que, devido a isotropia transversa, 2

23 2

1 2(1 )G E

+ ν= .

A relação tensão/deformação é dada pela matriz constitutiva do material, inversa

da matriz de flexibilidade dada na eq. (2.1):

11 12 13 14 15 151 1

21 22 23 24 25 262 2

31 32 33 34 35 363 3

41 42 43 44 45 4623 23

51 52 53 54 55 5613 13

61 62 63 64 65 6612 12

Q Q Q Q Q QQ Q Q Q Q QQ Q Q Q Q QQ Q Q Q Q QQ Q Q Q Q QQ Q Q Q Q Q

σ ε σ ε σ ε = τ γ τ γ

τ γ

(2.10)

onde os termos não nulos são:

23 32 21 31 2311 12 44 23

2 3 2 3

13 31 31 21 3222 13 55 31

1 3 2 3

32 12 3112 2133 23 66 12

1 2 1 3

1Q Q Q GE E ∆ E E ∆1Q Q Q GE E ∆ E E ∆1Q Q Q GE E ∆ E E ∆

+ ν ν ν + ν ν= = =

+ ν ν ν + ν ν= = =

ν + ν ν+ ν ν= = =

(2.11)


com 12 21 23 32 13 31 21 32 13

1 2 3

1 2∆E E E

+ ν ν − ν ν − ν ν − ν ν ν=

Considerado somente o estado plano de tensão (placas laminadas com σ33 = 0,

τ23 = 0 e τ13 = 0), a matriz de rigidez do material composto pode ser freqüentemente

encontrada da seguinte forma:

1 11 12 1

2 12 22 2

12 66 12

Q Q 0Q Q 00 0 Q

σ ε σ = ε τ γ

(2.12)

onde:

111

12 21

222

12 21

21 112

12 21

66 12

EQ (1 )EQ (1 )

EQ (1 )Q G

= − ν ν

= − ν νν= − ν ν

=

(2.13)

22..22 –– EEffeeiittoo ddaa tteemmppeerraattuurraa

Quando se deseja levar em consideração os efeitos de variação de temperatura

em estruturas compostas, na lei de comportamento do material deve ser considerada

as deformações devido a este efeito:

31211 2 3

32121 1 11 2 3

2 2 213 23

3 3 31 2 323 23

2313 13

12 1213

12

1 0 0 0E E E

1 0 0 0E E E

1 0 0 0E E E ∆T010 0 0 0 0G 0

10 0 0 0 0 0G10 0 0 0 0 G

−ν−ν −ν−νε σ α

ε σ α −ν −ν ε σ α = + γ τ γ τ

γ τ

(2.14)


onde α1 é o coeficiente de dilatação térmica das fibras, α2 é o coeficiente de dilatação

térmica da resina e α3 é o coeficiente de dilatação térmica da resina.

A forma inversa da relação anterior colocada de maneira compacta é:

{ } [ ]{ }1t

111 C ε−ε=σ (2.15)

onde ε1t é a deformação térmica.


33 –– CCOONNSSTTAANNTTEESS EELLÁÁSSTTIICCAASS DDOOSS MMAATTEERRIIAAIISS CCOOMMPPOOSSTTOOSS NNUUMMAA DDIIRREEÇÇÃÃOO

QQUUAALLQQUUEERR

33..11 –– EEqquuaaççõõeess ccoonnssttiittuuttiivvaass ddooss mmaatteerriiaaiiss ccoommppoossttooss nnuummaa ddiirreeççããoo qquuaallqquueerr

Para a análise do comportamento mecânico de placas laminadas é necessário

definir um sistema de eixos de referência (x, y, z) para o conjunto de lâminas e

expressar as constantes elásticas de cada lâmina neste sistema de referência. Para isto

é considerada uma lâmina sobre a qual estão definidos os eixos de ortotropia (1, 2, 3).

O sistema de eixos de referência é girado em torno do eixo 3 do ângulo θ, Figura 3.1.

Figura 3.1 – Sistema de eixos de ortotropia e de referência

Uma das maneiras de determinar a matriz de transformação, que relaciona as

tensões dadas no sistema de eixos de referência com as tensões no sistema de eixos

de ortotropia, é através do balanço de forças nas direções x e y sobre um elemento

plano, conforme mostrado na Figura 3.2.

1

2

3, z

x

y

θ

Constantes elásticas dos materiais compostos numa direção qualquer 32

Figura 3.2 – Transformação de tensão no plano x-y

Aplicando as equações de equilíbrio estático:

→ 0=∑ xF ,

x 1 12

2 12

dA dA cos cos dA cos sendA sen sen dA sen cos 0

σ − σ θ θ − τ θ θ −

σ θ θ − τ θ θ = (3.1)

2 2x 1 2 12cos sen 2 cos senσ = σ θ + σ θ + τ θ θ (3.2)

↑ 0=∑ yF ,

σ1

τ12

σ2

1

2

τ21

x

y

+ θ

+ θ A

B

Cθ

σx τxy

τ12

τ21

σ2

σ1

x

y

θ

dA

σx dA τxy dA

τ21 dA senθ

σ1 dA cosθ

x

y

θ

σ2 dA senθ

τ12 dA cosθ


xy 1 12

2 12

dA dA cos sen dA cos cosdA sen cos dA sen sen 0

τ + σ θ θ − τ θ θ −

σ θ θ + τ θ θ = (3.3)

2 2xy 1 2 12cos sen sen cos (cos sen )τ = − σ θ θ + σ θ θ + τ θ − θ (3.4)

A tensão normal σy é obtida fazendo θ = θ + 90° na equação para σx. 2 2

y 1 2 12sen cos 2 cos senσ = σ θ + σ θ − τ θ θ (3.5)

Considerando o elemento conforme apresentado pela Figura 3.3, pode-se

determinar a tensão σxz:

Figura 3.3 – Transformação de tensões transversas

↑ 0=∑ zF ,

xz 13 23dA dA cos dA sen 0τ − τ θ −τ θ = (3.6)

xz 23 13sen cosτ = τ θ + τ θ (3.7)

A tensão σyz é obtida fazendo θ = θ + 90° na equação para σxz.

yz 23 13cos senσ = σ θ −σ θ (3.8)

τxz

τ13

τ23

1

x

y θ

dA z


A matriz de transformação [T], pode então ser escrita da forma:

{ } [ ]{ }1x

12

13

23

3

2

1

22

22

22

xy

xz

yz

z

y

x

Tou

sc000scsc0cs0000sc000000100sc2000cs

sc2000sc

σ=σ

τττσσσ

−−

−

−

=

τττσσσ

σ (3.9)

O tensor de deformações medido no sistema de referência tem a mesma forma

que o tensor de tensões dado no sistema de referência (x, y, z), ou seja:

{ } [ ] { }

2 2x 1

2 2y 2

z 3 x 1

yz 23

13xz2 2 12xy

c s 0 0 0 scs c 0 0 0 sc0 0 1 0 0 0 ou T0 0 0 c s 00 0 0 s c 02sc 2sc 0 0 0 c s

ε

ε ε ε ε− ε ε = ε = ε γ γ γγ − γ γ − −

(3.10)

onde [ ] [ ]( ) t1TT −σε = ou [ ] [ ] t1 TT σ

−ε =

Considerando o comportamento elástico linear, a lei de comportamento do

material composto expressa no sistema de eixos de referência (x, y, z) é da seguinte

forma:

{ } [ ]{ } [ ] [ ]{ } [ ] [ ][ ] { } [ ] [ ][ ] { }xt1x11111x TCTTCTCTT ε=ε=ε=σ=σ σσ−

εσσσ (3.11)

Logo, a matriz de rigidez ou matriz constitutiva [Cx], dada no sistema de eixos de

referência (x, y, z) é:

[ ] [ ] [ ][ ] t1x TCTC σσ= (3.12)


Considerado somente o estado plano de tensão (placas laminadas com σ33 = 0,

τ23 = 0 e τ13 = 0), a matriz de rigidez do material composto obtida no sistema de eixos

de referência é freqüentemente encontrada da seguinte forma:

x 11 12 16 x

y 21 22 26 y

63 62 66xy xy

Q Q QQ Q QQ Q Q

σ ε

σ = ε τ γ

(3.13)

com:

( ) ( )( ) ( )

( )( )

( )( )

4 4 2 211 11 22 12 66

4 4 2 222 11 22 12 66

2 2 2 266 11 22 12 66

2 2 4 412 11 22 66 12

2 2 2 216 11 22 12 66

2 2 2 226 11 22 12 66

Q c Q s Q 2c s (Q 2Q )

Q s Q c Q 2c s (Q 2Q )

Q c s Q Q 2Q c s Q

Q c s Q Q 4Q c s Q

Q cs c Q s Q c s Q 2Q

Q cs s Q c Q c s Q 2Q

= + + +

= + + +

= + − + −

= + − + +

= − − − − + = − − + − +

(3.14)

onde Q11, Q22, Q12 e Q66 são dados da eq. (2.13).

A matriz de flexibilidade [S], que relaciona deformação/tensão, dada no sistema

de eixos de referência (x, y, z) é:

{ } [ ]{ } [ ] [ ]{ } [ ] [ ][ ] { } [ ] [ ][ ] { }xt1x11111x TSTTSTSTT σ=σ=σ=ε=ε εε−

σεεε (3.15)

ou:

{ } [ ] [ ][ ] t1x TSTS εε= (3.16)

Após a multiplicação de matrizes, a matriz de flexibilidade pode ser expressa da

seguinte maneira [1]:


τττσσσ

ςµη

ξ

ξ

ςν−ν−

µν−ν−

ην−ν−

=

γγγεεε

xy

xz

yz

z

y

x

xyzz

x

y

xx

xzyz

yz

xzxz

yz

xy

xy

zy

yz

xxz

xy

xy

z

zy

yx

xy

xy

xy

zzx

y

yx

x

xy

xz

yz

z

y

x

GEEE

GG

GG

GEEE

GEEE

GEEE

100

01000

01000

001

001

001

(3.17)

Observa-se que surgem termos de acoplamento que relacionam tensões de

cisalhamento com deformações normais: ηxy/Gxy, µxy/Gxy e ζx/Gxy; e termos de

acoplamento que relacionam tensões normais com deformações angulares ηx/Ex, µy/Ex,

e ζz/Ez. Estes termos surgem quando, por exemplo, aplicando uma tensão normal, a

lâmina se deforma da seguinte maneira, Figura 3.4:

Figura 3.4 – Deformação de materiais isotrópico e ortotrópico devido à carga normal

Material isotrópico Material ortotrópico

σx σx

σx σx


33..22 -- EEffeeiittoo ddaa tteemmppeerraattuurraa

O efeito da temperatura sobre os materiais compostos considerado em uma

direção qualquer é dado da forma:

{ } [ ]{ }1xt T ε=ε ε (3.18)

ou seja:

2 2x t1

2 2y t 2

z t 3

yz t

xz t2 2

xy t

c s 0 0 0 sc ∆T∆Ts c 0 0 0 sc∆T0 0 1 0 0 0

00 0 0 c s 000 0 0 s c 002sc 2sc 0 0 0 c s

ε α ε α− ε α = γ −γ − −γ

(3.19)

A relação tensão/deformação considerando o efeito da temperatura, dada no

sistema de eixos de referência (x, y, z) pode ser obtida pela eq. (2.19) e utilizando a

matriz de transformação dada pelas eqs. (3.9) ou (3.10):

[ ]{ } [ ] [ ]{ } [ ] [ ][ ] { } [ ] [ ][ ] { }xt

xt1xt

x111t

111 TCTTCTCTT ε−ε=ε−ε=ε−ε=σ σσ−

εσσσ (3.20)

ou seja:

{ } [ ]{ }xt

xxx C ε−ε=σ (3.21)

A relação tensão/deformação considerando somente o estado plano de tensão é

do tipo:

x x tx 11 12 16

y 12 22 26 y y t

16 26 66xy xy xy t

Q Q QQ Q QQ Q Q

ε − ε σ

σ = ε − ε τ γ − γ

(3.22)

Comportamento mecânico de placas laminadas 38

44 –– CCOOMMPPOORRTTAAMMEENNTTOO MMEECCÂÂNNIICCOO DDEE PPLLAACCAASS LLAAMMIINNAADDAASS

Os materiais compostos são na maioria dos casos utilizados na forma de

laminados, onde as lâminas são coladas umas sobre as outras com orientações e

espessura das fibras podendo ser diferentes uma das outras. No caso de placas, uma

dimensão é muito pequena com relação as outras duas. Em conseqüência disto, a

tensão normal na direção da espessura da placa é considerada desprezível (σz = 0).

As deformações são determinadas em função do campo de deslocamentos

definido para o laminado. Na teoria clássica de laminados, na definição do campo de

deslocamentos, o cisalhamento transverso é considerado nulo (σxz = σyz = 0). Na teoria

de primeira ordem, na definição do campo de deslocamentos, o cisalhamento

transverso é considerado não nulo (σxz ≠ 0, σyz ≠ 0), porém constante ao longo da

espessura da placa.

44..11 –– TTeeoorriiaa cclláássssiiccaa ddee llaammiinnaaddooss

Da definição do campo de deslocamento na teoria clássica de laminados, o

cisalhamento transverso é considerado nulo, o que resulta num estado plano de tensão,

onde as únicas tensões não nulas são: σx, σy e σxy.

44..11..11 –– CCoommppoorrttaammeennttoo eemm mmeemmbbrraannaa

No estudo do comportamento em membrana dos materiais compostos, é

considerado um laminado de espessura total h com n lâminas de espessura hk cada

uma. As solicitações no plano do laminado são denotadas Nx, Ny (forças normais por

unidade de comprimento transversal); Nxy e Nyx (forças cortantes por unidade de

comprimento transversal). Os eixos x, y, e z são eixos de referência, conforme visto no

item 3.

Os esforços Nx, Ny, Nxy e Nyx são determinados da seguinte maneira:


∑∫

∑∫

∑∫

=−

=−

=−

τ=τ==

σ=σ=

σ=σ=

n

1kk

kxy

2/h

2/hxyxyyx

n

1kk

ky

2/h

2/hyy

n

1kk

kx

2/h

2/hxx

h)1.dz(1.N1.N

h)1.dz(1.N

h)1.dz(1.N

(4.1)

Considerando que os deslocamentos na direção x e y são u e v,

respectivamente, as deformações normais e angulares correspondentes à estas

solicitações são:

y

z

x

Ny dx

Nx dy

Nyx dx

Nxy dy

dx

dy

h

z

hk tensões

z

deformações


xv

yu

yvxu

yx

y

x

∂∂

+∂∂

=γ

∂∂

=ε

∂∂

=ε

(4.2)

As tensões σx, σy e σxy são obtidas no sistema de eixos de referência x, y, e z, e

estão relacionadas com as deformações pela matriz de rigidez, eq. (3.13).

Considerando somente os esforços de membrana, os esforços Nx, Ny, e Nxy são

determinados em função das constantes elásticas de cada lâmina:

{ }∑=

γ+ε+ε=n

1kkxy

k16y

k12x

k11x hQQQN (4.3)

que de maneira mais compacta pode escrito:

x 11 x 12 y 16 xyN A A A= ε + ε + γ (4.4)

onde:

∑

∑

∑

=

=

=

=

=

=

n

1kk

k1616

n

1kk

k1212

n

1kk

k1111

hQA

hQA

hQA

(4.5)

De maneira análoga:

y 21 x 22 y 26 xyN A A A= ε + ε + γ (4.6)

com:

∑=

=n

1kk

kj2j2 hQA (4.7)


xy66y62x61xy AAAN γ+ε+ε= (4.8)

com:

∑=

=n

1kk

kj6j6 hQA (4.9)

Exprimindo os esforços Nx, Ny, e Nxy em forma matricial, temos:

γεε

=

xy

y

x

666261

262221

161211

xy

y

x

AAAAAAAAA

NNN

(4.10)

com:

∑=

=n

1kk

kijij hQA (4.11)

Observações:

As expressões acima são independentes da ordem de empilhamento das lâminas.

Os termos de acoplamento A16, A26, A61 e A62 se anulam quando o laminado é

simétrico e equilibrado (mesmo número de lâminas de mesma espessura na direção

+θ e -θ) ou anti-simétrico.

A partir dos esforços Nx, Ny, e Nxy, pode-se determinar as tensões globais

(fictícias), considerando o laminado como sendo homogêneo:

hNh

Nh

N

xyxy

yy

xx

=τ

=σ

=σ

(4.12)


A lei de comportamento em membrana do laminado “homogêneo” é da seguinte

forma:

γεε

=

τσσ

xy

y

x

666261

262221

161211

xy

y

x

AAAAAAAAA

h1 (4.13)

Os componentes da matriz de comportamento acima podem também ser

apresentados em termos de porcentagem de lâminas numa mesma orientação em

relação a espessura total.

∑=

=n

1k

kkijij h

hQAh1 (4.14)

Da inversão da matriz de comportamento acima, obtêm-se as constantes

elásticas aparentes ou homogeneizadas do laminado:

τσσ

µη

µν−

ην−

=

γεε

xy

y

x

xyx

y

x

x

xy

xy

yx

xy

xy

xy

y

yx

x

xy

y

x

GEE

GEE

GEE

1

1

1

(4.15)

A partir destas constantes elásticas, conhecido o carregamento do laminado (Nx,

Ny e Nxy), é possível determinar as deformações.

Exemplo 4.1 – Considere o laminado simétrico e balanceado (+45°/-45°/-45°/+45°) em

vidro/epóxi. Determine as constantes elásticas do laminado se cada lâmina tem

espessura 0,5 mm. Considere: E1 = 45,0 GPa, E2 = 12,0 GPa, G12 = 4,5 GPa, ν12 = 0,30.

A matriz constitutiva das lâminas no sistema de ortotropia (1, 2, 3), eq. (2.12), é

da seguinte forma:

[ ] MPa105,400

03,127,307,31,46

Q 3

= (4.16)


Para as lâminas orientadas à +45°, a matriz constitutiva das lâminas no sistema

de referência (x, y, z), eq. (3.13), é da forma:

[ ] MPa108,1246,846,8

46,80,219,1146,89,119,20

Q 3450

=+ (4.17)

Para as lâminas orientadas à -45°, a matriz constitutiva das lâminas no sistema

de referência (x, y, z), eq. (3.13), é da forma:

[ ] MPa108,1246,846,846,80,219,1146,89,119,20

Q 3450

−−−−

=− (4.18)

A matriz [A] que representa a rigidez em membrana do laminado, eq. (4.10) é:

[ ]mmN10

51,2500091,4189,23089,2387,41

A 3

= (4.19)

A lei de comportamento em membrana do laminado considerado “homogêneo”,

eq. (4.13) é da seguinte forma:

γεε

=

τσσ

xy

y

x

xy

y

x

51,2500091,4189,23089,2387,41

21 (4.20)

Logo, invertendo o sistema dado pela eq. (4.20), as constantes elásticas podem

ser encontradas:

Ex = 14,13 103 MPa, Ey = 14,14 103 MPa, νxy = 0,5701, νyx = 0,5705,

Gxy =12,76 103 MPa

e os termos de acoplamento são:

ηxy = 0.0, µxy = 0.0, ηx = 0.0, µy = 0.0


Exemplo 4.2 – Considere o laminado anti-simétrico e balanceado (+45°/-45°/+45°/-45°)

em vidro/epóxi. Determine as constantes elásticas do laminado se cada lâmina tem

espessura 0,5 mm. Considere: E1 = 45,0 GPa, E2 = 12,0 GPa, G12 = 4,5 GPa, ν12 = 0,30.

As matrizes constitutivas no sistema de eixos de ortotropia e de referência são

idênticas às apresentadas no exemplo 4.1. A matriz [A] e a lei de comportamento em

membrana do laminado considerado “homogêneo”, também são idênticas, logo as

constantes elásticas são também idênticas e são:


Gxy =12,76 103 MPa


ηxy = 0,0, µxy = 0,0, ηx = 0,0, µy = 0,0

Observe que nestes dois exemplos anteriores, o laminado pode ser considerado

quase isotrópico.

Exemplo 4.3 – Considere um laminado com seqüência de empilhamento aleatória

(+30°/-45°/-60°/45°) em vidro/epóxi. Determine as constantes elásticas do laminado se

cada lâmina tem espessura 0,5 mm. Considere: E1 = 45,0 GPa, E2 = 12,0 GPa, G12 =

4,5 GPa, ν12 = 0,30.

A matriz constitutiva no sistema de eixos de ortotropia é a mesma dada pela eq.

(4.16). Para as lâminas orientadas à +45° e -45°, as matrizes constitutivas das lâminas

no sistema de referência (x, y, z) são dadas pelas eqs. (4.17) e (4.18), respectivamente.

Para as lâminas orientadas à +30° e -60°, as matrizes constitutivas das lâminas no

sistema de referência (x, y, z) são respectivamente:

[ ] MPa107,1075,39,10

75,36,1488,99,1088,95,31

Q 3300

=+ (4.21)

[ ] MPa107,109,1074,39,106,1488,9

74,388,96,14Q 3

600

−−−−

=− (4.22)


A lei de comportamento em membrana do laminado considerado “homogêneo”, é

da seguinte forma:

MPa1045,2357,358,357,351,3582,21

58,382,2194,43

21 3

xy

y

x

xy

y

x

γεε

−−=

τσσ

(4.23)

Logo, as constantes elásticas encontradas são:


Gxy =10,94 103 MPa


ηxy = -0,1603, µxy = 0,1788, ηx = -0,2225, µy = 0,2502

44..11..22 –– CCoommppoorrttaammeennttoo eemm fflleexxããoo

No estudo do comportamento em flexão dos materiais compostos é considerado

um laminado de espessura total h com n lâminas de espessura hk cada uma. As

solicitações no laminado são denotadas Mx, My (momentos fletores por unidade de

comprimento em torno dos eixos y e x respectivamente); Mxy e Myx (momentos torçores

por unidade de comprimento), Figura 4.1. Os eixos x, y, e z são novamente eixos de

referência.

Os esforços Mx, My, Mxy e Myx são determinados da seguinte maneira:

z)1.dz(MM

z)1.dz(M

z)1.dz(M

2/h

2/hxyxyyx

2/h

2/hyy

2/h

2/hxx

∫

∫

∫

−

−

−

τ==

σ=

σ=

(4.24)


Figura 4.1 – Hipóteses de deslocamento pela Teoria Clássica de Laminados (T.C.L.)

Os deslocamentos nas direções x, y e z da superfície neutra são uo, vo e wo e

são definidos como segue (ver Figura 4.1):

o

oo

oo

wwy

wzvv

xwzuu

=∂

∂−=

∂∂

−=

(4.25)

e as deformações normais e angulares são:

sem carregamento

h

z

zk

zk-1 uo

wo

com carregamento

xw0

∂∂

xw0

∂∂

y

z

dx

dy

x Mx Mxy

My

Myx


00

yxw2z

ywz

xwz

yz

xz

o2

0xyxy

2o

20yy

2o

20xx

=γ

=γ∂∂

∂−γ=γ

∂

∂−ε=ε

∂

∂−ε=ε

(4.26)

As deformações ε0x, ε0

y e γ0xy são deformações normais e angular da superfície

neutra. As curvaturas são normalmente escritas da forma: 2

ox2

wx

∂− = κ

∂,

2o

y2wy

∂− = κ

∂,

2o

xyw2

x y∂

− = κ∂ ∂

, logo as deformações podem ser redefinidas como segue:

xy0xyxy

y0yy

x0xx

z

z

z

κ+γ=γ

κ+ε=ε

κ+ε=ε

(4.27)

Considerando a matriz de comportamento de cada lâmina no sistema de eixos

de referência, os momentos são da forma:

( )zkn

k k kx 11 x 12 y 16 xy

k 1 zk 1

M Q Q Q z dz= −

= ε + ε + γ

∑ ∫ (4.28)

que, levando em conta as deformações, dadas pela eq. (4.26):

( ) ( ) ( )[ ]∑ ∫=

κ+γ+κ+ε+κ+ε=−

n

1k

z

zxy

20xy

k16y

20y

k12x

20x

k11x dzzzQzzQzzQM

k

1k

(4.29)

Se considerarmos que o laminado é simétrico, as integrais do tipo ∫−

k

1k

z

z

kj1 dzzQ , se


anulam com as integrais ∫−−

−

1k

k

z

z

kj1 dzzQ , consideradas para as lâminas simétricas com

relação a superfície neutra, logo:

( ) ( ) ( )∑=

−−−

κ−

+κ−

+κ−

=n

1kxy

31k

3kk

16y

31k

3kk

12x

31k

3kk

11x 3zzQ

3zzQ

3zzQM (4.30)

que, de forma mais compacta, pode ser colocado:

x 11 x 12 y 16 xyM D D D= κ + κ + κ (4.31)

com:

( )3 3n k k 1k1j 1j

k 1

z zD Q

3−

=

−= ∑ (4.32)

Os momentos My e Mxy podem ser também obtidos de forma análoga. Assim,

colocados em forma matricial, as expressões de momentos são:

x 11 12 16 x

y 21 22 26 y

61 62 66xy xy

M D D DM D D D

D D DM

κ = κ κ

(4.33)

com:

( )3 3n k k 1kij ij

k 1

z zD Q

3−

=

−= ∑ (4.34)

Observações:

As expressões acima dependem da ordem de empilhamento das lâminas.

Os coeficientes D16 e D26 são termos de acoplamento que torçem o laminado

quando aplicados somente momentos de flexão e os coeficientes D61 e D62 são

termos de acoplamento que extendem o laminado quando aplicados somente

momentos de torção.


Questão: É possível um laminado flexionar devido a um carregamento do tipo

membrana. Considere o campo de deformações do laminado em flexão devido aos

esforços de membrana:

( )zkn

k k kx 11 x 12 y 16 xy

k 1 zk 1

N Q Q Q dz= −

= ε + ε + γ

∑ ∫ (4.35)

( ) ( ) ( )zkn

k 0 k 0 k 0x 11 x x 12 y y 16 xy xy

k 1 zk 1

N Q z Q z Q z dz= −

= ε + κ + ε + κ + γ + κ ∑ ∫ (4.36)

Como anteriormente, se considerarmos que o laminado é simétrico, as integrais

do tipo ∫−

k

1k

z

z

kj1 dzzQ , se anulam com as integrais ∫

−−

−

1k

k

z

z

kj1 dzzQ , consideradas para as

lâminas simétricas com relação a superfície neutra, logo:

{ }∑=

γ+ε+ε=n

1kk

0xy

k16

0y

k12

0x

k11x hQQQN (4.37)

Portanto, para laminados simétricos, esforços do tipo membrana não causam

deformações de flexão.

De uma forma geral, para laminados não simétricos, as integrais ∫−

k

1k

z

z

kj1 dzzQ não

se anulam com as integrais ∫−−

−

1k

k

z

z

kj1 dzzQ , assim, o comportamento global de um

laminado é da forma:

[ ] [ ]

[ ] [ ]

κκκγεε

=

xy

y

x

0xy

0y

0x

xy

y

x

xy

y

x

DB

BA

MMMNNN

(4.38)


onde os coeficientes da matriz [B] são da forma:

( )∑=

−−=

n

1k

21k

2kk

ijij 2zzQB (4.39)

Exemplo 4.4 – Considere um laminado simétrico e balanceado (+30°/-30°/-30°/+30°) em

vidro/epóxi submetido a uma força Nx = 1000 N/mm. Determine as deformações e as

curvaturas do laminado se cada lâmina tem espessura 0,5 mm. Considere: E1 = 45,0

GPa, E2 = 12,0 GPa, G12 = 4,5 GPa, ν12 = 0,30.

A matriz constitutiva no sistema de eixos de ortotropia é a mesma dada pela eq.

(4.16). Para as lâminas orientadas à +30° e -30°, as matrizes constitutivas das lâminas

no sistema de referência (x, y, z) são as mesmas dadas pelas eqs. (4.21) e (4.22):

A matriz de comportamento para este laminado simétrico, dada pela eq. (4.38) é

da forma:

3

xy

y

x

0xy

0y

0x

xy

y

x

xy

y

x

10

13,787,145,500087,171,959,600045,559,697,2000000039,2100000012,2977,19000077,1991,62

0M0M0M0N0N

1000N

κκκγεε

=

=====

=

(4.40)

As deformações e as curvaturas podem então ser determinadas resolvendo o

sistema dado pela eq. (4.40):

ε0x = 0,202e-01, ε0

y = -0,137E-01, γ0xy = 0,0, κx = 0,0, κy = 0,0, κxy = 0,0

Exemplo 4.5 – Considere um laminado anti-simétrico e balanceado (+30°/-30°/+30°/-

30°) em vidro/epóxi submetido a uma força Nx = 1000 N/mm. Determine as

deformações e as curvaturas do laminado se cada lâmina tem espessura 0,5 mm.

Considere: E1 = 45,0 GPa, E2 = 12,0 GPa, G12 = 4,5 GPa, ν12 = 0,30.

A matriz de comportamento para este laminado anti-simétrico, é da forma:


3

xy

y

x

0xy

0y

0x

xy

y

x

xy

y

x

10

13,787,145,5087,145,587,171,959,687,10045,559,697,2045,500087,145,539,210087,100012,2977,1945,500077,1991,62

0M0M0M0N0N

1000N

κκκγεε

=

=====

=

(4.41)

Resolvendo o sistema dado pela eq. (4. ), as deformações e as curvaturas são:

ε0x = 0,213e-01, ε0

y = -0,136e-01, γ0xy = 0,0, κx = 0,0, κy = 0,0, κxy = -0,127e-01


(+30°/-45°/-30°/45°) em vidro/epóxi submetido a uma força Nx = 1000 N/mm. Determine

as deformações e as curvaturas do laminado se cada Lâmina tem espessura 0,5 mm.

Considere: E1 = 45,0 GPa, E2 = 12,0 GPa, G12 = 4,5 GPa, ν12 = 0,30.

A matriz de comportamento para este laminado com empilhamento aleatório é da

forma:

3

xy

y

x

0xy

0y

0x

xy

y

x

xy

y

x

10

82,705,384,452,035,222,105,384,1128,735,260,152,084,428,746,1722,152,063,252,035,222,139,210035,260,152,0051,3583,21

22,152.063,2083,2139,52

0M0M0M0N0N

1000N

κκκγεε

−−−−−

−−−−−−

−

=

=====

=

(4.42)

Resolvendo a eq. (4.42), as deformações e as curvaturas determinadas são:

ε0x = 0,265e-01, ε0

y = -0,167e-01, γ0xy = 0,337e-03, κx = -0,360e-02, κy = 0,329e-02,

κxy = -0,821e-02

Conclusão: Em um laminado não simétrico com uma solicitação do tipo membrana, as

curvaturas não são nulas. Logo, o laminado pode fletir devido à uma força Nx (κx ≠ 0, κy

≠ 0, κxy ≠ 0).


Exemplo 4.7 – Considere o laminado simétrico e balanceado (+30°/-30°/-30°/+30°) em

vidro/epóxi submetido a um momento Mx = 1000 N. Determine as deformações e as


GPa, E2 = 12,0 GPa, G12 = 4,5 GPa, ν12 = 0,30.

A matriz de comportamento para este laminado simétrico é a mesma dada pela

eq. (4.40).

3

xy

y

x

0xy

0y

0x

xy

y

x

xy

y

x

10

13,787,145,500087,171,959,600045,559,697,2000000039,2100000012,2977,19000077,1991,62

0M0M

1000M0N0N0N

κκκγεε

=

==

====

(4.43)

Assim, as deformações e as curvaturas podem então ser determinadas

resolvendo o sistema dado pela eq. (4.43):

ε0x = 0,0 , ε0

y = 0,0 , γ0xy = 0.0, κx = 0,718e-01, κy = -0,402e-01, κxy = -0,443e-01

Exemplo 4.8 – Considere o laminado anti-simétrico e balanceado (+30°/-30°/+30°/-30°)

em vidro/epóxi submetido a um momento Mx = 1000 N. Determine as deformações e as


GPa, E2 = 12,0 GPa, G12 = 4,5 GPa, ν12 = 0,30.

A matriz de comportamento para este laminado anti-simétrico, é a mesma dada

pela eq. (4.41):

3

xy

y

x

0xy

0y

0x

xy

y

x

xy

y

x

10

13,787,145,5087,145,587,171,959,687,10045,559,697,2045,500087,145,539,210087,100012,2977,1945,500077,1991,62

0M0M

1000M0N0N0N

κκκγεε

=

==

====

(4.44)


Resolvendo o sistema de equações dado pela eq. (4.44), as deformações e as

curvaturas são:

ε0x = 0,0, ε0

x = 0,0, γ0xy =-0,127e-01, κx = 0,638e-01, κy = -0,409e-01 , κxy = 0,0


(+30°/-45°/-30°/45°) em vidro/epóxi submetido à um momento Mx = 1000 Nmmm/mm.

Determine as deformações e as curvaturas do laminado se cada lâmina tem espessura

0,5 mm. Considere: E1 = 45,0 GPa, E2 = 12,0 GPa, G12 = 4,5 GPa, ν12 = 0,30.

A matriz de comportamento para este laminado com empilhamento aleatório é a

mesma dada pela eq. (4.42):

3

xy

y

x

0xy

0y

0x

xy

y

x

xy

y

x

10

82,705,384,452,035,222,105,384,1128,735,260,152,084,428,746,1722,152,063,252,035,222,139,210035,260,152,0051,3583,21

22,152.063,2083,2139,52

0M0M

1000M0N0N0N

κκκγεε

−−−−−

−−−−−−

−

=

==

====

(4.45)

Resolvendo o sistema de equações da eq. (4.45), as deformações e as

curvaturas determinadas são:

ε0x = -0,360e-02, ε0

y = -0,106e-02, γ0xy = -0,101e-01, κx = 0,883e-01, κy = -0,471e-01,

κxy = -0,366e-01

Conclusão: No comportamento em flexão do laminado, mesmo sendo este simétrico, os

termos de acoplamento não são nulos (D16 ≠ 0 e D26 ≠ 0). A deformação do laminado

devido à um momento Mx pode ser portanto como apresentado pela Figura 4.2:


Figura 4.2 – Placas isotrópica e laminada submetidas à um momento fletor

44..11..33 –– EEffeeiittoo ddaa tteemmppeerraattuurraa

O comportamento de estruturas laminadas pode ser estudado incluindo o efeito

da temperatura. Considerando o comportamento em membrana e em flexão, as

tensões nas lâminas podem ser definidas da seguinte maneira:

γεε

−

κ+γκ+εκ+ε

=

τσσ

txy

ty

tx

666261

262221

161211

xy0xy

y0y

x0x

666261

262221

161211

xy

y

x

QQQQQQQQQ

zzz

QQQQQQQQQ

(4.46)

Os esforços de membrana e de flexão do laminado, eqs, (4,1) e (4.24)

respectivamente, podem então ser obtidos como sendo:

[ ] [ ]

[ ] [ ]

−

κκκγεε

=

txy

ty

tx

txy

ty

tx

xy

y

x

0xy

0y

0x

xy

y

x

xy

y

x

MMMNNN

DB

BA

MMMNNN

(4.47)

onde:

placa isotrópica placa laminada


{ }∑=

γ+ε+ε=n

1kktxy

k16ty

k12tx

k11tx hQQQN (4.48)

e:

( )zkn

k k kx t 11 x t 12 y t 16 xy t

k 1 zk 1

M Q Q Q z dz= −

= ε + ε + γ

∑ ∫ (4.49)

Os esforços Ny t, Nxy t, My t e Mxy t são obtidos por analogia.

Exemplo. 4.10 – Considere um laminado simétrico (+45°/-30°/-30°/+45°) em

kevlar/epóxi com espessura de 0,5 mm para cada lâmina. Determine as deformações e

as curvaturas se o laminado é submetido a uma variação de temperatura de -90°C

oriunda do processo de cura da resina. Considere: E1 = 76,0 GPa, E2 = 5,5 GPa, G12 =

2,0 GPa, ν12 = 0,35, α1 = -0,4 x 10-5 °C-1, α2 = 5,8 x 10-5 °C-1.

A matriz constitutiva das lâminas em kevlar/epóxi no sistema de ortotropia (1, 2,

3), eq. (2.12), é da seguinte forma:

[ ] MPa100,200

055,594,1094,17,76

Q 3

= (4.50)

Para as lâminas orientadas à +45°, a matriz constitutiva no sistema de referência

(x, y, z), eq. (3.13), é da forma:

[ ] MPa106,198,178,178,175,235,198,175,195,23

Q 3450

=+ (4.51)

Para as lâminas orientadas à -30°, a matriz constitutiva no sistema de referência

(x, y, z), eq. (3.13), é da forma:

[ ] MPa102,1579,70,2379,71,101,15

0,231,157,45Q 3

300

−−−−

=− (4.52)


A matriz de comportamento e o vetor relativo ao carregamento térmico, dados

pela eq. (4.47), são da forma: 0xx0

y y

0xy xy

x x

y y

xy xy

N 0 69,20 34,67 5,24 0 0 0N 0 34,67 33,69 10,00 0 0 0N 0 5,24 10,00 34,78 0 0 0M 0 0 0 0 17,52 12,65 8,45M 0 0 0 0 12,65 14,58 9,73

0 0 0 8,45 9,73 12,69M 0

ε= − = ε = − γ = = κ = κ

= κ

3 3

0,420,300,07

10 10000

− − − −

(4.53)


curvaturas obtidas são:

ε0x = -0,409e-02, ε0

y = -0,416e-02, γ0xy = -0,139e-02, κx = 0,0, κy = 0,0,κxy = 0,0.

Ex. 4.11: Considere um laminado com seqüência de empilhamento aleatória (+30°/-

45°/-30°/45°) em kevlar/epóxi com espessura de 0,5 mm para cada lâmina. Determine

as deformações e as curvaturas se o laminado é submetido a uma variação de

temperatura de -90°C oriunda do processo de cura da resina. Considere: E1 = 76,0

GPa, E2 = 5,5 GPa, G12 = 2,0 GPa, ν12 = 0,35, α1 = -0,4 x 10-5 °C-1, α2 = 5,8 x 10-5 °C-1.


3) é dada pela eq. (4.50). Para as lâminas orientadas à +45°, a matriz constitutiva no

sistema de referência (x, y, z) é dada pela eq. (4.51), e para as lâminas orientadas à -

45°, a matriz constitutiva no sistema de referência é da forma:

[ ] MPa106,198,178,178,175,235,198,175,195,23

Q 3450

−−−−

=− (4.54)

Para as lâminas orientadas à -30°, a matriz constitutiva no sistema de referência

(x, y, z) é dada pela eq. (4.52), e para as lâminas orientadas à +30°, a matriz

constitutiva no sistema de referência é da forma:


[ ] MPa102,1579,70,23

79,71,101,150,231,157,45

Q 3300

=+ (4.55)

A matriz de comportamento e o vetor relativo ao carregamento térmico, dados

pela eq. (4.47), são da forma:

x

y

xy

x

y

xy

N 0 69,20 34,67 0 5,55 1,10 2,62N 0 34,67 33,69 0 1,10 3,35 5,00N 0 0 0 34,78 2,62 5,00 1,10M 0 5,55 1,10 2,62 23,07 11,56 10,20M 0 1,10 3,35 5,00 11,56 11,23 6,40

2,62 5,00 1,10 10,20 6,40 1M 0

= − = − − − = − − = = − = − −

− −=

0x0y

03 3xy

x

y

xy

0,420,30

0,0010 10

0,0030,028

1,59 0,034

ε − ε − γ − −κ

κ κ

(4.56)


curvaturas obtidas são:

ε0x = -0,390e-02, ε0

y = -0,445e-02, γ0xy = 0,931e-04, κx = -0,416e-03 , κy = -0,857e-04,

κxy = 0,235e-02.

Conclusão: O processo de cura da resina pode provocar flexão em um laminado não

simétrico.

Critérios de ruptura 58

55 –– CCRRIITTÉÉRRIIOOSS DDEE RRUUPPTTUURRAA

Os critérios de ruptura têm por objetivo permitir ao projetista avaliar a resistência

mecânica de estruturas laminadas. A ruptura de estruturas laminadas em material

composto pode se dar por diferentes mecanismos: ruptura das fibras, ruptura da matriz,

decoesão fibra/matriz, delaminação (descolamento das lâminas), etc.

Os critérios de ruptura podem ser classificados da seguinte maneira:

critério de tensão máxima,

critério de deformação máxima,

critérios interativos ou critérios energéticos.

55..11 –– CCrriittéérriioo ddee tteennssããoo mmááxxiimmaa

O critério de tensão máxima estipula que a resistência mecânica da lâmina

analisada é atingida quando umas das três tensões as quais a lâmina está sendo

submetida atingir o valor da tensão de ruptura correspondente. Desta forma, o critério

pode ser escrito da seguinte maneira:

SSYYXX

12

t2c

t1c

<τ<−

<σ<

<σ<

(5.1)

onde: σ1, σ2 e τ12 representam as tensões longitudinal, transversal e de cisalhamento no

plano da lâmina. Xc e Xt representam as resistências mecânicas na direção longitudinal

em compressão e em tração, Yc e Yt representam as resistências mecânicas na direção

transversal em compressão e em tração e S representa a resistência mecânica ao

cisalhamento. Se as inequações acima são verificadas, a lâmina não se romperá devido

ao estado de tensão σ1, σ2 e τ12.

Como normalmente as lâminas estão orientadas segundo o sistema de eixos de

referência (x, y, z), girado de θ com relação ao sistema de eixos de ortotropia (1, 2, 3), a

matriz de transformação dada pela eq. (3.9) deve ser utilizada:


{ } [ ]{ }1x

12

2

1

22

22

22

xy

y

x

Touscscsc

sc2cssc2sc

σ=σ

τσσ

−−−=

τσσ

σ (5.2)

A inversa da matriz de transformação fornece a relação das tensões medidas no

sistema de eixos (x, y, z) com as tensões nos eixos de ortotropia (1, 2, 3) utilizadas no

critério de tensão máxima:

{ } [ ] { }x11 T σ=σ −σ (5.3)

55..22 –– CCrriittéérriioo ddee ddeeffoorrmmaaççããoo mmááxxiimmaa

O critério de deformação máxima estipula que a resistência mecânica da lâmina

analisada é atingida quando umas das três deformações as quais a lâmina está sendo

submetida atingir o valor da deformação de ruptura correspondente. Desta forma, o

critério pode ser escrito da seguinte maneira:

εε

εε

εε

<γ<−

<ε<

<ε<

SSYYXX

12

t2c

t1c

(5.4)

onde: ε1, ε2 e γ12 representam as deformações longitudinal, transversal e de

cisalhamento no plano da lâmina. Xεc e Xεt representam as deformações máximas na

direção longitudinal em compressão e em tração, Yεc e Yεt representam as deformações

máximas na direção transversal em compressão e em tração e Sεc representa a

deformação máxima em cisalhamento. Se as inequações acima são verificadas, a

lâmina não se romperá devido as deformações ε11, ε22 e γ12.

Como normalmente as lâminas estão orientadas segundo os eixos ortogonais x e

y, girados de θ com relação aos eixos de ortotropia, a matriz de transformação, eq.

(3.9), deve ser utilizada:


{ } [ ]{ }1x

12

2

1

22

22

22

xy

y

x

Touscsc2sc2

sccsscsc

ε=ε

γεε

−−−=

γεε

ε (5.5)

A inversa da matriz de transformação fornece a relação das deformações

medidas no sistema de eixos (x, y, z) com as deformações nos eixos de ortotropia (1, 2,

3) utilizadas no critério de deformação máxima:

{ } [ ] { }x11 T ε=ε −ε (5.6)

55..33 –– CCoommppaarraaççããoo eennttrree ooss ccrriittéérriiooss ddee tteennssããoo mmááxxiimmaa ee ddee ddeeffoorrmmaaççããoo mmááxxiimmaa

Considere uma lâmina solicitada com as tensões como representadas abaixo:

Suponhamos que as propriedades da lâmina sejam as seguintes:

Xt = 1400 MPa, Yt = 35 MPa, S = 70 MPa

E1 = 46 GPa, E2 = 10 GPa, G12 = 4,6 GPa, ν12 = 0,31

Procura-se valores de σ1 e σ2 para as quais a ruptura acontece. Utilizando o

critério de tensão máxima, temos:

σ1 < Xt e σ2 < Yt

ou seja:

11

22

σ1= 12 σ2

σ2

σ2

σ1


12 σ2 < Xt, MPa11712Xt

2 =<σ

e σ2 < Yt = 35 MPa

A ruptura se dará no menor valor de tensão, 35 MPa, e será na direção

transversal. O estado de tensão neste caso é σ1 = 12 x 35 = 420 MPa e σ2 = 35 MPa.

Utilizando o critério de deformação máxima e admitindo que o material se

comporta linearmente até a ruptura, temos:

1

tt E

XX <ε e 2

tt E

YY <ε

As deformações nas direções longitudinal e transversal são definidas da forma:

2

221

1

11 EE

σν−

σ=ε

1

112

2

22 EE

σν−

σ=ε

Como 2

21

1

12

EEν

=ν , temos:

( )1

t2121

11

212

1

11 E

XE1

EE<σν−σ=

σν−

σ=ε

( )2

t1212

22

121

2

22 E

YE1

EE<σν−σ=

σν−

σ=ε

ou seja:

t2121 X<σν−σ

t1212 Y<σν−σ

Como σ1 = 12 σ2.


MPa12012

X

12

t2 =

ν−<σ

MPa183121Y

21

t2 =

ν−<σ

A ruptura se dará no menor valor de tensão, 120 MPa, e será na direção

longitudinal. O estado de tensão neste caso é σ1 = 12 x 120 = 1440 MPa e σ2 = 120

MPa.

Os valores encontrados utilizando o critério de tensão máxima σ1 = 420 MPa e

σ2 = 35 MPa e aqueles encontrados utilizando o critério de deformação máxima σ1 =

1440 MPa e σ2 = 120 MPa são contraditórios em valores e em modo de ruptura: ruptura

transversal no primeiro e longitudinal no segundo. Isto vem do fato de estabelecer a

relação entre tensão máxima e deformação máxima como anteriormente, mas que

devem ser mais complexas.

55..44 –– CCrriittéérriiooss iinntteerraattiivvooss

Nos critérios de tensão máxima e deformação máxima, assume-se que os

mecanismos de ruptura longitudinal, transversal e de cisalhamento se produzem de

forma independente. De maneira a levar em consideração todos estes mecanismos

simultaneamente como no critério de von Mises para materiais isotrópicos, foram

desenvolvidos os critérios interativos ou energéticos.

55..44..11 –– RReevviissããoo ddoo ccrriittéérriioo ddee vvoonn MMiisseess

Considere a energia de deformação total por unidade de volume em um material

isotrópico (densidade de energia de deformação) para um estado multiaxial de tensões:

( ) ( ) ( )xz2

yz2

xz2

xzzyyx2

z2

y2

xtotal G21

EE21U τ+τ+τ+σσ+σσ+σσ

ν−σ+σ+σ= (5.7)

Esta energia de deformação total, medida nos eixos principais é da forma:


( ) ( )1332212

32

22

1total EE21U σσ+σσ+σσ

ν−σ+σ+σ= (5.8)

A energia de deformação total acima, é dividida em duas partes: uma causando

dilatação do material (mudanças volumétricas), e outra causando distorções de

cisalhamento, Figura 5.2. É interessante lembrar que em um material dúctil, admite-se

que o escoamento do material depende apenas da máxima tensão de cisalhamento.

Figura 5.2 – Energias de deformação de dilatação e de distorção

A fim de facilitar a compreensão, somente o estado de tensão uniaxial será

considerado. A passagem para um estado de tensão multiaxial é automática. Desta

forma, para um estado de tensão uniaxial, as energias de dilatação e de distorção são

representadas da seguinte forma:

Figura 5.3 – Energias de dilatação e de distorção num elemento solicitado axialmente

σ1

σ3

σ2

Energia de deformação elástica total

=

Energia de dilatação

+

Energia de distorção

σ−σ2

σ−σ1

σ−σ3σ

σ

σ

σ1

Energia de deformação elástica total

=

Energia de distorção

σ1

Energia de dilatação

σ1/3

σ1/3

σ1/3

+

σ1/3

σ1/3+

σ1/3

σ1/3


Os círculos de tensão de Mohr para os estados de tensão com somente energia

de distorção são, Figura 5.4.

Figura 5.4 – Círculos de tensão de Mohr para o cisalhamento puro

No tensor correspondente a energia de dilatação, os componentes são definidos

como sendo a tensão “hidrostática” média:

3321 σ+σ+σ

=σ (5.9)

onde σ1 = σ2 = σ3 = p = σ .

A energia de dilatação é determinada substituindo σ1 = σ2 = σ3 = p na expressão

de energia de deformação total e em seguida substituindo 3

p 321 σ+σ+σ=σ= :

( )2321dilatação E6

21U σ+σ+σν−

= (5.10)

A energia de distorção é obtida subtraindo da energia de deformação total a

energia de dilatação:

τmax = σ1/3

σ

τ

σ1/3 σ1/300

τmax = σ1/3

σσ

τ

σ1/3σ1/3 00

Plano 1-2 Plano 1-3


( ) ( ) ( )[ ]213

232

221distorção G12

1U σ−σ+σ−σ+σ−σ= (5.11)

A energia de distorção em um ensaio de tração simples, onde neste caso σ1 =

σesc e σ2 = σ3 = 0 é da forma:

G122U

2esc

distorçãoσ

= (5.12)

Igualando a energia de distorção de cisalhamento com a energia no ponto de

escoamento à tração simples, estabelece-se o critério de escoamento para tensão

combinada.

( ) ( ) ( ) 2esc

213

232

221 2 σ=σ−σ+σ−σ+σ−σ (5.13)

Freqüentemente a eq. (5.13) pode ser rearranjada, sendo a expressão resultante

chamada de tensão equivalente.

( ) ( ) ( )2 2 2equ 1 2 2 3 3 1

1σ σ σ σ σ σ σ2

= − + − + −

(5.14)

A eq. (5.13) pode também ser apresentada da forma:

1esc

1

esc

3

esc

3

esc

2

esc

2

esc

12

esc

32

esc

22

esc

1 =

σσ

σσ

−

σσ

σσ

−

σσ

σσ

−

σσ

+

σσ

+

σσ (5.15)

A equação acima é conhecida como sendo o critério de von Mises para um

estado multiaxial de tensões para materiais isotrópicos. Para um estado plano de

tensão, σ3 = 0, tem-se:

12

esc

2

esc

2

esc

12

esc

1 =

σσ

+

σσ

σσ

−

σσ (5.16)


55..44..22 –– CCrriittéérriioo ddee HHiillll

A energia de distorção para um material ortotrópico onde as tensões de

cisalhamento τ12, τ23 e τ31 são diferentes de zero, é obtida de maneira análoga à obtida

por um material isotrópico. Igualando a energia de distorção de cisalhamento com a

energia no ponto de ruptura, estabelece-se o critério de ruptura para tensão combinada

para materiais compostos.

( ) ( ) ( ) 1N2M2L2HGF 231

223

212

213

232

221 =τ+τ+τ+σ−σ+σ−σ+σ−σ (5.17)

As constantes F, G, H, L, M e N são parâmetros da lâmina analisada e estão

ligadas as tensões de ruptura do material.

Colocando a equação acima sob uma outra forma, tem-se:

( ) ( ) ( )1N2M2L2G2

H2F2HGGFHF231

223

21232

312123

22

21

=τ+τ+τ+σσ−

σσ−σσ−σ++σ++σ+ (5.18)

Para um ensaio em tração (ou compressão) na direção longitudinal (1), o critério

se reduz:

( ) 1XHF 2 =+ , ( ) 2X1HF =+ (5.19)

onde X é a tensão de ruptura em tração (ou compressão) na direção longitudinal.

Da mesma forma, para um ensaio em tração (ou compressão) nas direções

transversais (2 e 3), o critério se reduz:

( ) 1YGF 2 =+ , ( ) 2Y1GF =+ (5.20)

( ) 1ZHG 2 =+ , ( ) 2Z1HG =+ (5.21)

onde Y e Z são as tensões de ruptura em tração (ou compressão) nas direções

transversais.


Para um ensaio de cisalhamento no plano (1,2), o critério se reduz:

212S1L2 = (5.22)

onde S12 é a tensão de ruptura no cisalhamento no plano (1,2). Analogamente:

223S1M2 = (5.23)

231S1N2 = (5.24)

Substituindo os parâmetros F, G, H, L, M e N na equação do critério de ruptura

para tensão combinada para os materiais compostos, eq. (5.18), tem-se:

1SSSY

1X1

Z1

X1

Z1

Y1

Z1

Y1

X1

ZYX2

31

312

23

232

12

1213222

3222221222

23

22

21

=

τ+

τ+

τ+σσ

−+−

σσ

−+−σσ

−+−

σ+

σ+

σ

(5.25)

Para um estado plano de tensão, onde σ3 = τ23 = τ31 = 0:

1SZ

1Y1

X1

YX

2

12

1221222

22

21 =

τ+σσ

−+−

σ+

σ (5.26)

55..44..33 –– CCrriittéérriioo ddee TTssaaii--HHiillll

No critério de Tsai-Hill, o critério de Hill analisado para o estado plano de tensão

é simplificado fazendo-se Z = Y.

1SXYX

2

12

122

212

22

1 =

τ+

σσ−

σ+

σ (5.27)


55..44..44 –– CCrriittéérriioo ddee HHooffffmmaann

No critério de Hoffman é levado em consideração a diferença do comportamento

em tração e em compressão. Este critério admite que a ruptura acontece quando a

igualdade é verificada:

( ) ( ) ( )1CCCCC

CCCC2319

2238

21273625

142

1332

3222

211

=τ+τ+τ+σ+σ+

σ+σ−σ+σ−σ+σ−σ (5.28)

Observe que a diferença do critério de Hoffman para o critério de Hill está na

adição dos termos relativos aos parâmetros C4, C5, C6.

As constantes Ci são determinadas a partir de ensaios experimentais para a

obtenção das tensões de ruptura em tração e em compressão.

231

9

223

8

212

7

ct6

ct5

ct4

ctctct3

ctctct2

ctctct1

S1C

S1C

S1C

Z1

Z1C

Y1

Y1C

X1

X1C

ZZ1

YY1

XX1

21C

YY1

XX1

ZZ1

21C

XX1

ZZ1

YY1

21C

=

=

=

−=

−=

−=

−+=

−+=

−+=

(5.29)

Considerando somente o estado plano de tensão, o critério de Hoffman se põe

da seguinte maneira:


1SYY

YYXX

XXXXYYXX

2

12

122

ct

tc1

ct

tc

ct

21

ct

22

ct

21 =

τ+σ

−+σ

−+

σσ−

σ+

σ (5.30)

55..44..55 –– CCrriittéérriioo ddee TTssaaii--WWuu

O critério de Tsai-Wu foi desenvolvido de maneira a melhorar a correlação entre

os resultados experimentais e teóricos a partir da introdução de parâmetros adicionais.

Considerando somente o estado plano de tensão, o critério de Tsai-Wu se põe da

seguinte forma:

1SY

1Y1

X1

X1

XXF2

YYXX

2

12

122

ct1

ctct

2112

ct

22

ct

21 =

τ+σ

−+σ

−+

σσ+

σ+

σ (5.31)

onde F12 é um coeficiente de acoplamento expresso da forma:

( )

σ

++σ

−+−−

σ= 2

ct

cttc

ct

cttc212 YY

XX1YYYYXXXX1

21F (5.32)

ou:

( )

σ

+++

σ

−+−−

σ=

2SXX

YYXX1

2YY

YYXXXX12F

245

c12

ct

ct

ct45tc

ct

cttc2

4512 (5.33)

onde σ e σ45 são as tensões de ruptura determinadas respectivamente em ensaios

biaxial (σ) e de tração à 45° (σ45). O coeficiente de acoplamento F12 é normalmente

utilizado para ajustar aos resultados obtidos experimentalmente e pode variar de

–1< F12<1. Fazendo F12 = –1/2, o critério de Tsai-Wu se transforma no critério de

Hoffman. Se, além disso fizermos Xt = Xc = X e Yt = Yc = Y, o critério se transforma no

critério de Tsai-Hill.

Exemplo 5.1 – Considere um laminado simétrico (0°/+45°/-45°)S em kevlar/epóxi

submetido a um carregamento do tipo membrana Nx = 1000 N/mm. Verifique, utilizando

o critérios da máxima tensão e de Tsai-Hill, se haverá ruptura em qualquer das lâminas


de espessura 0,5 mm. Considere: E1 = 76,0 GPa, E2 = 5,5 GPa, G12 = 2,0 GPa, ν12 =

0,35, Xt = 1380 MPa, Xc = – 280 MPa, Yt = 28 MPa, Yc = – 140 MPa e S12 = 55 MPa.


3) é dada pela eq. (4.50). Para a lâmina à 0°, a matriz constitutiva no sistema de

referência (x, y, z) é a mesma dada pela eq. (4.50). Para as lâminas orientadas à +45°

e -45°, as matrizes constitutivas no sistema de referência são dadas pelas eqs. (4.51) e

(4.54) respectivamente.

A matriz de comportamento para este laminado é da forma:

3

xy

y

x

0xy

0x

0x

xy

y

x

xy

y

x

10

22,1690,889,800090,848,2409,1600089,809,161,13700000017,4100000064,5200,41000000,417,123

0M0M0M0N0N

1000N

κκκγεε

=

=====

=

(5.34)



ε0x = 0,109e-01, ε0

y = -0,849e-02 , γ0xy = 0,0, κx = 0,0, κy = 0,0, κxy = 0,0

O estado de tensões medido no sistema de coordenadas de referência (x, y, z)

em cada ponto de uma lâmina distante z da superfície neutra é obtido usando a eq.

Lâmina à 0°

Lâmina à +45°

Lâmina à -45°

Lâmina à -45°

Lâmina à +45°

Lâmina à 0°

z

x Z = 0,5 mm

Z = 1,0 mm

Z = 1,5 mm

Z = – 0,5 mm

Z = –1,0 mm

Z = –1,5 mm


(3.23). Para o ponto à z = 1,5 mm e z = 1,0 mm, ou para o ponto à z = -1,5 mm e z = -

1,0 mm na lâmina à 0°, o estado de tensão é o mesmo, já que as curvaturas são nulas:

++−−

+−

=

τσσ

00x5,10,00,0x5,102e849,0

0,0x5,101e109,010

0,200055,594,1094,17,76

3

xy

y

x

(5.35)

Logo:

MPa0

65,2556,819

12

2

1

xy

y

x

−=

τσσ

=

τσσ

(5.36)

Pelo critério de máxima tensão, temos:

OK118,0140

65,25Y

OK159,01380

56,819X

c

2

t

1

<=−

−=

σ

<==σ

Pelo critério de Tsai-Hill, temos:

OK140,0550

1380)65,25.(56,819

14065,25

138056,819 2

2

22

<=

+

−

−

−−

+

Para o ponto à z = 1,0 mm e para z = 0,5 mm, ou para o ponto à z = -1,5 mm e

para z = - 0,5 mm na lâmina à + 45°, o estado de tensão também é o mesmo, já que as

curvaturas são nulas:

++−−

+−

=

τσσ

0,0x0,10,00,0x0,102e849,0

0,0x0,101e109,010

6,198,178,178,175,235,198,175,195,23

3

xy

y

x

(5.37)

O que resulta:


MPa898,42035,13595,90

xy

y

x

=

τσσ

(5.38)

Fazendo a transformação de eixos utilizando a eq. (3.9), e sabendo que

2245cos = e

2245sen = , temos:

τσσ

−−=

12

2

1

022422

422

41

898,42035,13595,90

(5.39)

Logo:

MPa78,38713,94

917,8

898,42035,13595,90

011211211

21

12

2

1

=

−

−=

τσσ

(5.40)


OK171,055

78,38S

S

FALHA138,328713,94

Y

OK1006,01380

917,8X

12

c

2

t

1

<==

>==σ

<==σ


FALHA194,1155

78,381380

713,94.917,828713,94

1380917,8 2

2

22

>=

+

−

+

Para o ponto à z = 0,5 mm ou para o ponto à z = - 0,5 mm na lâmina à - 45°, o

estado de tensão também é o mesmo:


++−−

+−

−−−−

=

τσσ

0,0x0,10,00,0x0,102e849,0

0,0x0,101e109,010

6,198,178,178,175,235,198,175,195,23

3

xy

y

x

(5.41)

O que resulta:

MPa898,42

035,13595,90

xy

y

x

−=

τσσ

(5.42)


22)45cos( =− e

22)45sen( −=− , temos:

τσσ

−

−=

− 12

2

1

022422422

41

898,42035,13595,90

(5.43)

Logo:

MPa78,38

713,94917,8

898,42035,13595,90

011211

211

21

12

2

1

−=

−

−−=

τσσ

(5.44)


OK171,055

78,38S

S

FALHA138,328713,94

Y

OK1006,01380

917,8X

12

c

2

t

1

<=−

−=

>==σ

<==σ



FALHA194,1155

78,381380

713,94.917,828713,94

1380917,8 2

2

22

>=

−−

+

−

+

Exemplo 5.2 – Considere o laminado simétrico (0°/+45°/-45°)S em kevlar/epóxi

submetido à um momento Mx = - 500 Nmm/mm. Utilize os critérios de Tsai-Hill, Hoffman

e Tsai-Wu para verificar se haverá ruptura em alguma das lâminas de espessura 0,5

mm. Considere: E1 = 76,0 GPa, E2 = 5,5 GPa, G12 = 2,0 GPa, ν12 = 0,35, Xt = 1380 MPa,

Xc = -280 MPa, Yt = 28 MPa, Yc = -140 MPa e S12 = 55 MPa.


3

xy

y

x

0xy

0x

0x

xy

y

x

xy

y

x

10

22,1690,889,800090,848,2409,1600089,809,161,13700000017,4100000064,5200,41000000,417,123

0M0M

500M0N0N0N

κκκγεε

=

==

====

(5.45)



ε0x = 0,0, ε0

y = 0,0 , γ0xy = 0,0, κx = -0,397e-02, κy = 0,227e-02, κxy = 0,930e-03

O estado de tensões medido no sistema de coordenadas de referência (x, y, z)

em cada ponto de uma lâmina distante z da superfície neutra é obtido usando a eq.

(3.22). Pelo fato do carregamento ser do tipo flexão, basta apenas aplicar um critério

de ruptura no ponto mais distante da superfície neutra na lâmina. Neste exemplo, os

critérios de ruptura serão aplicados somente nos pontos acima da superfície neutra,

devendo o mesmo ser feito nos pontos abaixo da superfície neutra. Para o ponto à z =

1,5 mm na lâmina à 0°, o estado de tensão é da forma:

−+−+−−+

=

τσσ

3e930,0x5,10,02e227,0x5,10,02e397,0x5,10,0

100,200

055,594,1094,17,76

3

xy

y

x

(5.46)


Logo:

MPa79,235,7

14,450

12

2

1

xy

y

x

−=

τσσ

=

τσσ

(5.47)

Pelo critério de Tsai-Hill:

OK118,05579,2

138035,7.14,450

2835,7

138014,450 2

2

22

<=

+

−

−

+

−

Pelo critério de Hoffman:

FALHA116,25579,235,7

)140.(2828140

)14,450()280.(1380

1380280)280.(1380

35,7).14,450()140.(28

35,7)280.(1380

)14,450(

2

22

−>−=

+

−−−

+−−

−−+

−−

−−

+−

−

Pelo critério de Tsai-Wu, com F12 = 1, temos:

FALHA117,25579,235,7

)140.(2828140

)14,450()280.(1380

1380280)280.(1380

35,7).14,450(2)140.(28

35,7)280.(1380

)14,450(

2

22

−>−=

+

−−−

+−−

−−+

−−

−−

+−

−

Para o ponto à z = 1,0 mm na lâmina à + 45°, o estado de tensão é:

−+−+−−+

=

τσσ

3e930,0x0,10,02e227,0x0,10,02e397,0x0,10,0

106,198,178,178,175,235,198,175,195,23

3

xy

y

x

(5.48)

O que resulta:


MPa032,12516,7476,32

xy

y

x

−−

−=

τσσ

(5.49)


2245cos = e

2245sen = , temos:

τσσ

−−=

−−

−

12

2

1

022422

422

41

032,12516,7476,32

(5.50)

Logo:

MPa48,12028,32964,7

032,12516,7476,32

011211211

21

12

2

1

−−−

=

−−

−

−

−=

τσσ

(5.51)


OK110,055

48,12280

)028,32.(964,7140

028,32280964,7 2

2

22

<=

−−

+

−−

−

−−

+

−−


FALHA120,155

48,12028,32)140.(28

28140

964,7)280.(1380

1380280)280.(1380

028,32.964,7)140.(28

)028,32()280.(1380

)964,7(

2

22

>=

+

−−−

+−

−−+

−−

−−

+−

−



FALHA120,155

48,12028,32)140.(28

28140

964,7)280.(1380

1380280)280.(1380

028,32.964,7)140.(28

028,32)280.(1380

964,7

2

22

>=

+

−−−

+−

−−+

−−

−+

−

Para o ponto à z = 0,5 mm na lâmina à - 45°, o estado de tensão é:

−+−+−−+

−−−−

=

τσσ

3e930,0x5,00,02e227,0x5,00,02e397,0x5,00,0

106,198,178,178,175,235,198,175,195,23

3

xy

y

x

(5.52)

O que resulta:

MPa244,24312,20792,32

xy

y

x

−−

=

τσσ

(5.53)


22)45cos( =− e

22)45sen( −=− , temos:

τσσ

−

−=

−−

12

2

1

022422422

41

244,24312,20792,32

(5.54)

Logo:

MPa24,6796,50

303,2

244,24312,20792,32

011211

211

21

12

2

1

−−

=

−−

−−=

τσσ

(5.55)



OK114,05524,6

)280()796,50).(303,2(

140796,50

280303,2 2

2

22

>=

+

−−−

−

−−

+

−−


FALHA119,25524,6)796,50(

)140.(2828140

)303,2()280.(1380

1380280)280.(1380

)796,50).(303,2()140.(28

)796,50()280.(1380

)303,2(

2

22

−>−=

+−

−−−

+−−

−−+

−−−

−−

−+

−−


FALHA118,25524,6)796,50(

)140.(2828140

)303,2()280.(1380

1380280)280.(1380

)796,50).(303,2(2)140.(28

)796,50()280.(1380

)303,2(

2

22

−>−=

+−

−−−

+−−

−−+

−−−

−−

−+

−−

55..44 –– MMééttooddoo ddee ddeeggrraaddaaççããoo

Os métodos de degradação aplicados à estruturas laminadas são métodos

iterativos de avaliação de falha em lâminas, que consistem em alterar as propriedades

mecânicas de lâminas rompidas segundo o modo de falha identificado, de forma a

melhor avaliar o processo de ruptura da estrutura. Os modos de falha de uma lâmina

podem ser: trinca da matriz, ruptura da fibra, delaminação, etc. São inúmeros os

métodos de degradação utilizados para alterar as propriedades mecânicas de lâminas

rompidas. Um dos métodos mais simples considera que, na falha por trinca da matriz,

as propriedades E2, E3, ν12, ν13, ν23, G12, G13 e G23 são anuladas, E1 permanecendo

inalterado. Na falha por ruptura da fibra, as propriedades E1, ν12, ν13, G12 e G13 são

anuladas, enquanto E2, E3, ν23 e G23 permanecem inalteradas. Na falha por

delaminação, as propriedades G13 e G23 são anuladas, enquanto que as restantes

permanecem inalteradas.


Exemplo 5.3 – Considere um laminado simétrico (0°/90°/90°/0°) em kevlar/epóxi com

espessura de 0,5 mm para cada lâmina. Aplique um método de degradação de maneira

a verificar se todo o laminado romperá quando submetido a um carregamento Nx=500

M/mm. Considere: E1 = 76,0 GPa, E2 = 5,5 GPa, G12 = 2,0 GPa, ν12 = 0,35, XT = 1380

MPa, XC = -280 MPa, YT = 28 MPa, YC = -280 MPa e S = 55 MPa.

A matriz constitutiva das lâminas no sistema de ortotropia (1, 2, 3) é dada pela

eq. (4.50). A matriz constitutiva para as lâminas à 0° é a mesma que a da eq. (4.50) e

matriz constitutiva para as lâminas à 90° é da seguinte forma:

[ ] MPa100,200

07,7694,1094,155,5

Q 3900

= (5.56)


3

xy

y

x

0xy

0x

0x

xy

y

x

xy

y

x

10

33,100000020,4529,1000029,120,4500000000,400000025,8288,3000088,325,82

0M0M0M0N0N

500N

κκκγεε

=

=====

=

(5.57)

Resolvendo o sistema dado pela eq. (5.57), as deformações e as curvaturas

determinadas são:

ε0x = 6,1e-03, ε0

y = -2,9e-04 , γ0xy = 0,0, κx = 0,0, κy = 0,0, κxy = 0,0

x

y z

Nx Nx


Para o ponto à z = 1,0 mm na lâmina à 0°, o estado de tensão é da forma:

++−−

+−

=

τσσ

0,0x0,10,00,0x0,104e9,2

0,0x0,103e0,610

0,200055,594,1094,17,76

3

xy

y

x

(5.58)

Logo:

MPa003,1064,459

xy

y

x

12

2

1

=

τσσ

=

τσσ

(5.59)


OK136,028

03,10Y

OK133,01380

64,459X

c

2

t

1

<==σ

<==σ

Para o ponto à z = 0,5 mm na lâmina à 90°, o estado de tensão é:

++−−

+−

=

τσσ

0,0x0,10,00,0x0,104e9,2

0,0x0,103e0,610

0,20007,7694,1094,155,5

3

xy

y

x

(5.60)

O que resulta:

MPa0

60,1074,32

xy

y

x

−=

τσσ

(5.61)

Logo:

MPa074,3260,10

xy

x

y

12

2

1

−=

τσσ

=

τσσ

(5.62)



FALHA117,128

74,32Y

OK104,0280

60,10X

c

2

t

1

<==σ

<=−

−=

σ

Considerando que o modo de falha das lâminas à 90° é do tipo trinca da matriz,

as propriedades mecânicas somente destas lâminas serão alteradas da seguinte forma:

E2 = 0, ν12 = 0 e G12 = 0. Logo a matriz constitutiva para estas lâminas é agora da

forma:

[ ] MPa1000007,760000

Q 3900

= (5.63)

A matriz de comportamento para o laminado considerado degradado é da forma:

3

xy

y

x

0xy

0x

0x

xy

y

x

xy

y

x

10

17,100000020,4513,1000013,174,4400000000,200000025,8294,1000094,17,76

0M0M0M0N0N

500N

κκκγεε

=

=====

=

(5.64)

Resolvendo o novo sistema de equações dado pela eq. (5.64), as novas

deformações e as curvaturas são:

ε0x = 6,5e-03, ε0

y =-1,5e-04 , γ0xy = 0,0, κx = 0,0, κy = 0,0, κxy = 0,0


++−−

+−

=

τσσ

0,0x0,10,00,0x0,104e5,10,0x0,103e5,6

100,200

055,594,1094,17,76

3

xy

y

x

(5.65)


Logo:

MPa078,1126,498

xy

y

x

12

2

1

=

τσσ

=

τσσ

(5.66)


OK142,02878,11

Y

OK136,01380

26,498X

c

2

t

1

<==σ

<==σ

Para o ponto à z = 0,5 mm na lâmina à 90°, o estado de tensão é:

++−−

+−

=

τσσ

0,0x0,10,00,0x0,104e5,10,0x0,103e5,6

1000007,760000

3

xy

y

x

(5.67)

O que resulta:

MPa0

51,110

xy

y

x

−=

τσσ

(5.68)

Logo:

MPa00

51,11

xy

x

y

12

2

1

−=

τσσ

=

τσσ

(5.69)


FALHAHAVIDOTINHAJA

OK104,0280

51,11X

2

t

1

==>σ

<=−−

=σ


Conclusão: Como não houve mais nenhuma falha, o laminado suportaria o

carregamento mesmo havendo ruptura em uma das lâminas.

Exemplo 5.3 – Considere um laminado simétrico (0°/45°/-45°)S em kevlar/epóxi com

espessura de 0,5 mm para cada lâmina. Aplique um método de degradação para

verificar se haverá se todo o laminado se romperá quando submetido a um

carregamento W = 20 kN/m2. Considere: E1 = 76,0 GPa, E2 = 5,5 GPa, G12 = 2,0 GPa,

ν12 = 0,35, XT = 1380 MPa, XC = -280 MPa, YT = 28 MPa, YC = -280 MPa e S = 55 MPa.

Considerando que o carregamento W pode ser substituído por uma força

distribuída em x = 250 mm de intensidade 10 kN/m, as reações nos apoios são iguais e

de intensidade 5 kN/m. Assim, o momento máximo situado em x = 250 mm, pode ser

obtido da forma:

x

y z

W = 20 kN/m2

500 mm

100 mm

x

yz

Mx

250 mm

100 mm

5 kN/m


Impondo o equilíbrio estático com relação aos momentos em torno do eixo y,

temos:

Mx – 5000 N/m.125 mm + 5000 N/m.250 mm = 0

Mx = – 625 Nmm/mm

A matriz de comportamento, é neste caso igual a da eq. (5.34). Logo o sistema a

ser resolvido é da forma:

3

xy

y

x

0xy

0x

0x

xy

y

x

xy

y

x

10

22,1690,889,800090,848,2409,1600089,809,161,13700000017,4100000064,5200,41000000,417,123

0M0M625M0N0N0N

κκκγεε

=

==−====

(5.70)



ε0x = 0,0, ε0

y = 0,0 , γ0xy = 0,0, κx = -0,497e-02, κy = 0,284e-02, κxy = 0,116e-02


−+−+−−+

=

τσσ

3e930,0x5,10,02e227,0x5,10,02e397,0x5,10,0

100,200

055,594,1094,17,76

3

xy

y

x

(5.71)

Logo:

MPa79,235,7

14,450

12

2

1

xy

y

x

−=

τσσ

=

τσσ

(5.72)



OK171,055

78,38S

S

FALHA138,328713,94

Y

OK1006,01380

917,8X

12

c

2

t

1

<=−

−=

>==σ

<==σ

Para o ponto à z = 1,0 mm na lâmina à + 45°, o estado de tensão é:

−+−+−−+

=

τσσ

3e930,0x0,10,02e227,0x0,10,02e397,0x0,10,0

106,198,178,178,175,235,198,175,195,23

3

xy

y

x

(5.73)

O que resulta:

MPa032,12516,7476,32

xy

y

x

−−

−=

τσσ

(5.74)


2245cos = e

2245sen = , temos:

τσσ

−−=

−−

−

12

2

1

022422

422

41

032,12516,7476,32

(5.75)

Logo:

MPa48,12028,32964,7

032,12516,7476,32

011211211

21

12

2

1

−−−

=

−−

−

−

−=

τσσ

(5.76)



OK171,055

78,38S

S

FALHA138,328713,94

Y

OK1006,01380

917,8X

12

c

2

t

1

<=−

−=

>==σ

<==σ

Para o ponto à z = 0,5 mm na lâmina à - 45°, o estado de tensão é:

−+−+−−+

−−−−

=

τσσ

3e930,0x5,00,02e227,0x5,00,02e397,0x5,00,0

106,198,178,178,175,235,198,175,195,23

3

xy

y

x

(5.77)

O que resulta:

MPa244,24312,20792,32

xy

y

x

−−

=

τσσ

(5.78)


22)45cos( =− e

22)45sen( −=− , temos:

τσσ

−

−=

−−

12

2

1

022422422

41

244,24312,20792,32

(5.79)

Logo:

MPa24,6796,50

303,2

244,24312,20792,32

011211

211

21

12

2

1

−−

=

−−

−−=

τσσ

(5.80)



OK171,055

78,38S

S

FALHA138,328713,94

Y

OK1006,01380

917,8X

12

c

2

t

1

<=−

−=

>==σ

<==σ

Método dos Elementos Finitos aplicado aos materiais compostos 88

66 –– MMÉÉTTOODDOO DDOOSS EELLEEMMEENNTTOOSS FFIINNIITTOOSS AAPPLLIICCAADDOO AAOOSS MMAATTEERRIIAAIISS

CCOOMMPPOOSSTTOOSS

TTEEOORRIIAA DDEE PPRRIIMMEEIIRRAA OORRDDEEMM::

A Teoria de Primeira Ordem considera que as seções que eram planas antes de

aplicar o carregamento, permanecem planas após aplicar o carregamento, mas não

perpendiculares à superfície neutra. Esta hipótese considera portanto que o

cisalhamento transverso é não nulo, γxz ≠ 0 e γyz ≠ 0. Seja então uma placa laminada

carregada no plano (x,z), onde xww x´ ∂

∂= , Figura 6.1.

Figura 6.1 – Hipóteses de deslocamento da Teoria de Primeira Ordem

66..11 –– CCaammppoo ddee ddeessllooccaammeennttooss

O deslocamento de um ponto genérico distante z da superfície neutra é dado da

forma:

x

z

u0

w0

α

w´x

w´x

γxz


0

0

0

ww.zvv.zuu

=

β+=

α+=

(6.1)

onde u0, v0 w0 são os deslocamentos transversais da superfície neutra, e α e β são as

inclinações das seções nos planos (x,z) e (y,z), respectivamente.

ESTADO PLANO DE DEFORMAÇÕES

κκκ

+

γεε

=

∂β∂

+∂α∂

∂β∂

∂α∂

+

∂∂

+∂

∂∂

∂∂

∂

=

∂∂

+∂∂

∂∂∂∂

=

γεε

xy

y

x

xy

y

x

xy

y

x

z

xy

y

xz

xv

yu

yvxu

xv

yu

yvxu

0

0

0

00

0

0

(6.2)

onde ε0x, ε0

y são deformações normais nas direções x e y na superfície neutra, γ0xy é a

deformação angular no plano (x,y) na superfície neutra, e κx, κy e κxy são as curvaturas.

DEFORMAÇÕES CISALHANTES TRANSVERSAS

yz

xz

v w wz y yu w wz x x

∂ ∂ ∂ + β + γ ∂ ∂ ∂ = = γ ∂ ∂ ∂ + α + ∂ ∂ ∂

(6.3)

onde γxz e γxz são as deformações angulares transversas nos planos (x,z) e (y,z).

Os esforços cortantes por unidade de comprimento, Qx e Qy podem ser definidos

da seguinte forma: h / 2

y yz

x xzh / 2

Qdz

Q −

τ = τ

∫ (6.4)


kzny yz

k 1x xzz 1

Qdz

Q = −

τ = τ

∑ ∫ (6.5)

A matriz constitutiva no sistema de ortotropia considerando somente os efeitos

de cisalhamento transverso é da forma:

23 23 23 44 45 23

13 13 13 54 55 13

G 0 Q Q0 G Q Q

τ γ γ = = τ γ γ

(6.6)

A relação das tensões medidas no sistema de referência com as tensões

medidas no sistema de ortotropia, considerando somente os efeitos de cisalhamento

transverso, é dada pela matriz de transformação:

[ ]23 23yz

13 13xz

c sT

s c τ

τ ττ = = τ ττ −

(6.7)

De maneira análoga, a relação das deformações medidas no sistema de

referência com as deformações medidas no sistema de ortotropia é dada pela mesma

matriz de transformação:

[ ]23 23yz

13 13xz

c sT

s c τ

γ γγ = = γ γγ −

(6.8)

Multiplicando a matriz de transformação na relação constitutiva na qual é

considerado somente os efeitos do cisalhamento transverso, eq. (6.6), temos:

[ ] [ ]23 44 45 23

13 54 55 13

Q QT T

Q Qτ τ

τ γ = τ γ

(6.9)

e, substituindo a eq. (6.8) na eq. (6.9), temos:

[ ] [ ]yz yz yz44 45 t 44 45

54 55 54 55xz xz xz

Q Q Q QT TQ Q Q Qτ τ

τ γ γ = = τ γ γ

(6.10)


Substituindo a eq. (6.10) na eq. (6.5), e considerando que as deformações

cisalhantes são constantes ao longo da espessura, temos:

k

k 1

kzny yz44 45

k 1 54 55x xzz

Q Q Q dzQ QQ

−=

γ =

γ ∑ ∫ (6.11)

kn

y yz44 45k

54 55k 1x xz

Q Q Qh

Q QQ =

γ = γ

∑ (6.12)

y yz44 45

54 55x xz

Q F FF FQ

γ = γ

(6.13)

A equação de comportamento que inclui o efeito do cisalhamento transverso é

portanto da forma :

11 12 16 11 21 61x

21 22 26 21 22 26y

61 62 66 61 62 66xy

11 12 16 11 12 16x

21 22 26 21 22 26y

61 62 66 61 62 66xy

44 45y

54 55x

A A A B B B 0 0NA A A B B B 0 0NA A A B B B 0 0NB B B D D D 0 0MB B B D D D 0 0MB B B D D D 0 0M0 0 0 0 0 0 F FQ0 0 0 0 0 0 F FQ

=

0x tx

0y ty

0xy txy

x tx

y ty

xy txy

yz

xz

NNNMMM

00

ε ε γ

κ − κ κ γ γ

(6.14)

É importante lembrar que as tensões de cisalhamento transverso são constantes

e descontínuas quando obtidas da forma: k k

yz yz44 45

54 55xz xz

Q QQ Q

τ γ = τ γ (6.15)

Para corrigir esta falha da Teoria de Primeira Ordem, as tensões de

cisalhamento transverso são multiplicadas por um fator de correção kc, obtido através

da equivalência da energia de deformação exata, na qual a distribuição é parabólica ao


longo da espessura, com a energia de deformação obtida com esta teoria. Assim, a eq.

(6.15) se coloca da forma: k k

yz yz44 45c

54 55xz xz

Q Qk

Q Qτ γ

= τ γ (6.16)

66..22 –– EEnneerrggiiaa ddee ddeeffoorrmmaaççããoo eelleemmeennttaarr

A energia de deformação em um elemento infinitesimal pode ser colocada da

forma: t

tx xyz yz

e y yxz xzV V

xy xy

1 1U dV dV2 2

ε σγ τ = ε σ + γ τ γ τ

∫ ∫ (6.17)

onde, a primeira integral corresponde a energia devido ao estado plano de tensão e a

segunda corresponde a energia devido ao cisalhamento transverso.

Substituindo as deformações obtidas anteriormente, temos: t0

h hx x tx2 2yz yz0

e y y yh h xz xzA A02 2xyxy xy

z1 1U z dz dx dy dz dx dy2 2

z− −

ε + κ σ γ τ = ε + κ σ + γ τ τγ + κ

∫ ∫ ∫ ∫ (6.18)

Desenvolvendo a expressão acima temos: t t0

h hx x x x2 20

e y y y yh hA A02 2xy xy xyxy

h t2yz yz

h xz xzA 2

1 1U dz dx dy z dz dx dy2 2

1 dz dx dy2

− −

−

ε σ κ σ = ε σ + κ σ + τ κ τγ

γ τ

γ τ

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫

(6.19)

Sabe-se que:


dzNNN 2

h

2h

xy

y

x

xy

y

x

∫−

τσσ

=

, dzzMMM 2

h

2h

xy

y

x

xy

y

x

∫−

τσσ

=

e h / 2

y yz

x xzh / 2

Qdz

Q −

τ = τ

∫ (6.20)

Logo: t t0

x tx x xyz y0

e y y y yxz xA A A0

xy xy xyxy

N M Q1 1 1U N dx dy M dx dy dx dy2 2 2 Q

N M

ε κ γ = ε + κ + γ κγ

∫ ∫ ∫ (6.21)

Reagrupando a eq. (6.21): t0

x x0

yy

0 xyxy

xxe

yA y

xyxy

yyz

xxz

NNNM1U dx dyM2MQQ

ε ε γ κ=

κ κ γ

γ

∫ (6.22)

Sabe-se que, desconsiderando os efeitos térmicos: 0xx0

y y

0xy xy

x x

y y

xy xy

y yz

x xz

NNN

A B 0MB D 0M0 0 F

MQQ

ε ε γ κ = κ κ

γ γ

(6.23)

Substituindo a eq. (6.23) na eq. (6.22), tem-se finalmente:


t0 0x x0 0y y

0 0xy xy

x xe

A y y

xy xy

yz yz

xz xz

A B 01U B D 0 dx dy2

0 0 F

ε ε

ε ε

γ γ κ κ = κ κ κ κ

γ γ γ γ

∫ (6.24)

Considerando que os deslocamentos e as inclinações possam ser definidas

como sendo interpolações nodais da forma:

{ } ( )[ ]{ }

∑

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

=

β=β

α=α

==

=

=

n

iii

n

iii

een

iii

n

iii

n

iii

)y,x(N)y,x(

)y,x(N)y,x(

Uy,xNy)(x,uouw)y,x(N)y,x(w

v)y,x(N)y,x(v

u)y,x(N)y,x(u

1

1

1

1

1

(6.25)

onde ue(x,y) é o vetor deslocamento elementar, Ni(x,y) são funções de interpolação

obtidas em função do número de nós n do elemento, e Ue é o vetor deslocamento nodal

do elemento contendo ui, vi, wi, αi e βi.

A relação deformação/deslocamento pode então, segundo as eq. (6.2) e (6.3),

ser dada da forma:


[ ]{ }e

n

1

1

1

1

1

21

1

21

1

11

1

1

2211

21

21

yz

xz

xy

y

x

0xy

0y

0x

UBwvu

yN0N0

yN00

xN00N

xN00

00x

Ny

N000

00y

N0000

000x

N000

xN

yN000

xN

yN

yN0000

yN0

0x

N0000x

N

ywxwxy

y

x

xv

yu

yvxu

=

β

βα

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

∂∂

+β

∂∂

+α

∂β∂

+∂α∂

∂β∂

∂α∂

∂∂

+∂∂

∂∂∂∂

=

γγκκκγεε

(6.26)

Substituindo a eq. (6.26) na eq. (6.24), temos:

{ } [ ] [ ]{ }∫

=

A

ettee dydxUB

F000DB0BA

BU21U (6.27)

66..33 –– EEnneerrggiiaa cciinnééttiiccaa eelleemmeennttaarr

A energia cinética de um elemento infinitesimal pode ser colocada da forma:

∫

∂∂

+

∂∂

+

∂∂

ρ=V

222

e dVt

)t,z,y,x(wt

)t,z,y,x(vt

)t,z,y,x(u)z,y,x(21T (6.28)

Considerando o campo de deslocamentos definido pela eq. (6.1), temos:

∫ ∫

∂

∂+

∂β∂

+∂

∂+

∂α∂

+∂

∂ρ=

−A

20

20

20

2h

2h

e dydxdzt

wt

zt

vt

zt

u)z,y,x(21T (6.29)

Desenvolvendo a eq. (6.29), temos:


( ) ( ) ( )[ ]∫ ∫ β+α+β+α+++ρ=−A

22200

20

20

20

2h

2h

e dydxdzzvuz2wvu)z,y,x(21T (6.30)

Para uma placa, laminada, a densidade de cada lâmina pode ser considerada

constante ao logo da espessura, logo ρk = ρ(x,y). Definindo ρ0(x,y) como sendo uma

densidade de massa por unidade de área da superfície média da placa como sendo:

dz)y,x(2

h

2h

ko ∫

−

ρ=ρ (6.31)

e definindo ρ1(x,y) como sendo o primeiro momento de massa por:

dzz)y,x(2

h

2h

k1 ∫

−

ρ=ρ (6.32)

Observe que se a densidade for constante ao longo da espessura, como no caso de

uma placa homogênea, ρ1(x,y)=0. Definindo também ρ2(x,y) como sendo o segundo

momento de massa por:

dzz)y,x( 22

h

2h

k2 ∫

−

ρ=ρ (6.33)

Para uma placa homogênea, 12h3k

2ρ

=ρ .

Substituindo as eqs. (6.31), (6.32) e (6.33) na eq. (6.30), temos:

( ) ( ) ( )[ ]∫ β+αρ+β+αρ+++ρ=A

222001

20

20

200e dydx)y,x(vu)y,x(2wvu)y,x(

21T (6.34)

Reagrupando a eq. (6.34) na forma de vetores, temos:


∫

βα

ρ

βα

+

βα

ρ

+

ρ

=

A2

t

1

t

0

0

0

0

0

0

t

0

0

0

e dydx)y,x()y,x(2vu

wvu

)y,x(wvu

21T (6.35)

A eq. (6.35) pode ser reescrita através da definição de uma matriz [m] do tipo:

[ ]

ρρρρ

ρρρ

ρρ

=

)y,x(00)y,x(00)y,x(00)y,x(00)y,x(00

)y,x(00)y,x(00)y,x(00)y,x(

m

21

21

0

10

10

(6.36)

Logo:

∫

βα

βα

=A

0

0

0t

0

0

0

e dydxwvu

]m[wvu

21T (6.37)

Considerando a derivada temporal da eq. (6.25), temos:

{ } ( )[ ]{ })t(Uy,xNt)y,(x,u ee = (6.38)

Substituindo a eq. (6.38) na eq. (6.37), tem-se:

{ } [ ] [ ]{ }[ ]∫=A

ettee dydxUN]m[NU

21T (6.39)

66..44 –– TTrraabbaallhhoo rreeaalliizzaaddoo ppeellaass ffoorrççaass eexxtteerrnnaass

O trabalho realizado pelas forças externas pode ser colocado da forma:

{ } { }{ }e

A

ee UF

21dydxU)y,x(q

21W += ∫ (6.40)


onde q(x,y) é o carregamento transversal e {F} são os esforços concentrados do tipo

força e momento.

66..55 –– PPrroobblleemmaa eessttááttiiccoo –– pprriinnccííppiioo ddooss ttrraabbaallhhooss vviirrttuuaaiiss

Este princípio considera que o trabalho virtual realizado pelas forças externas é

igual ao trabalho virtual realizado pelas esforços internos quando da aplicação de

deslocamentos virtuais do tipo {δUe}. Assim das eq. (6.27) e eq. (6.40) e considerando o

trabalho realizado no elementos, temos:

{ } [ ] [ ] { } { } { } { }FUdydx)y,x(qUdydxUBF000DB0BA

BUte

A

te

A

ette δ+δ=

∫∫ (6.41)

Colocando os deslocamentos virtuais em evidência, tem-se:

{ } [ ] [ ] { } { } 0Fdydx)y,x(qUdydxBF000DB0BA

BUA

e

A

tte =

+−

δ ∫∫ (6.42)

Como a solução da eq. (6.42) é valida para qualquer deslocamento virtual, o

problema a ser resolvido, após a superposição das matrizes elementares, é da forma:

[ ] { } { }PUK = (6.43)

A eq. (6.43) é a equação que descreve o comportamento estático do sistema,

onde [K] é a matriz de rigidez global, {P} é o vetor forças externas global

e {U} é o vetor dos graus de liberdade de todo o sistema.

66..55..11 –– DDeetteerrmmiinnaaççããoo ddaass tteennssõõeess

Após a resolução do sistema de equações lineares dado pela eq. (6.43), obtém-

se o vetor de deslocamentos nodais {U}. Aplicando as eqs. (6.26), obtém-se as

deformações na superfície neutra, as curvaturas e as deformações cisalhantes


transversas. Multiplicando as deformações na forma das eqs. (6.2) e (6.3) pela matriz

constitutiva obtida no sistema de coordenadas de referência (x,y), obtém-se as tensões

medidas no sistema de referência {σx}. Multiplicando o resultado destas tensões pela

matriz de transformação [T] dada pela eq. (3.9), obtêm-se as tensões medidas no

sistema de ortotropia {σ1}. Finalmente, pode-se aplicar um critério de falha sobre

qualquer elemento.

As tensões de cisalhamento transversas, como visto anteriormente, são

constantes ao longo da espessura de cada lâmina, quando determinadas pela Teoria

de Primeira Ordem. Para obter a distribuição correta destas tensões, considere um

elemento infinitesimal de volume dx, dy e dz submetido a um estado de tensões

triaxiais. Por comodidade, somente as tensões na direção x são mostradas na Figura

6.2:

Figura 6.2 – Elemento submetido à um estado de tensões triaxiais

Impondo o equilíbrio estático da direção x, temos:

Σ Fx = 0, 0=

∂τ∂

+τ+τ−

∂

τ∂+τ+τ−

∂σ∂

+σ+σ−

dxdydzz

dxdy

dxdzdyy

dxdzdydzdxx

dydz

xzxzxz

xyxyxy

xxx

(6.44)

Que resulta na equação diferencial que representa o equilíbrio na direção x:

x

z

ydx

xx

x ∂σ∂

+σ

dxxxz

xz ∂τ∂

+τ

xσ

xyτ

dxxxy

xy ∂

τ∂+τxzτ


0=∂τ∂

+∂

τ∂+

∂σ∂

zyxxzxyx (6.45)

As equações diferenciais que representam o equilíbrio na direção y e z podem

ser obtidas de maneira análoga:

0=∂

τ∂+

∂

τ∂+

∂

σ∂

zxyyzxyy (6.46)

0=∂

τ∂+

∂τ∂

+∂σ∂

yxzyzxzz (6.47)

A distribuição da tensão cisalhante transversa τxz, pode ser obtida a partir da eq.

(6.46), e de σx e τxy obtidas da eq. (4.47):

dzyxxyx

xz ∫

∂

τ∂+

∂σ∂

−=τ (6.48)

Assim, desprezando os efeitos térmicos, temos:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

dzz

yQz

yQz

yQ

zx

Qzx

Qzx

Q

xyxyk

yyk

xxk

xyxyk

yyk

xxk

xz ∫

κ+γ∂∂

+κ+ε∂∂

+κ+ε∂∂

+κ+γ∂∂

+κ+ε∂∂

+κ+ε∂∂

−=τ0

660

620

61

016

012

011

(6.49)

Considerando o estado plano de deformações dado pela eq. (6.2), temos: 2 22 2

k k0 011 122 2

2 2 2 2k 0 016 2 2

xz 2 22 2k k0 061 62 2 2

2 2 2 2k 0 066 2 2

u vQ z Q zx y x yx x

u vQ z zx y x yx x

u vQ z Q zy x y x y y

u vQ z zy x y xy y

∂ ∂∂ α ∂ β+ + + +

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ α ∂ β

+ + + + ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ τ = −

∂ ∂∂ α ∂ β+ + + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ α ∂ β

+ + + ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂

dz

∫ (6.50)


Como os deslocamentos u0 e v0 e as rotações α e β são medidos na superfície

neutra, portanto independentes da posição z, tem-se: 2 22 2 2 2

k k0 011 122 2

2 2 2 2 2 2k 0 016 2 2

xz 2 22 2 2 2k k0 061 62 2 2

2 2 2k 0 066 2

u vz zQ z Q z2 x y 2 x yx x

u v z zQ z zx y 2 x y 2x x

u vz zQ z Q zy x 2 y x 2y y

u v zQ z zy xy

∂ ∂∂ α ∂ β+ + + +

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ α ∂ β

+ + + + ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ τ = −

∂ ∂∂ α ∂ β+ + + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂+ +

∂ ∂∂

k

2 2 2

2

a (x,y)

z2 2 y xy

+ ∂ α ∂ β + ∂ ∂∂

(6.51)

onde ak é uma constante de integração determinada pela imposição da continuidade

das tensões na interface das lâminas e da nulidade desta tensão nas superfícies inferior

e superior do laminado. Observa-se na eq. (6.51) que a distribuição da tensão

cisalhante transversa τxz é parabólica. A distribuição da tensão cisalhante transversa τyz,

pode ser obtida a partir da eq. (6.46), e de σx e τxy obtidas da eq. (4.47):

dzyxyxy

yz ∫

∂

σ∂+

∂

τ∂−=τ (6.52)

Assim, desprezando os efeitos térmicos, temos:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

k 0 k 0 k 061 x x 62 y y 66 xy xy

yzk 0 k 0 k 021 x x 22 y y 26 xy xy

Q z Q z Q zx x x dz

Q z Q z Q zy y y

∂ ∂ ∂ ε + κ + ε + κ + γ + κ + ∂ ∂ ∂ τ = −∂ ∂ ∂ ε + κ + ε + κ + γ + κ ∂ ∂ ∂

∫ (6.53)

Considerando o estado de deformações dado pela eq. (6.2), temos:


2 22 2k k0 061 622 2

2 2 2 2k 0 066 2 2

yz 2 22 2k k0 021 22 2 2

2 2 2 2k 0 026 2 2

u vQ z Q zx y x yx x

u vQ z zx y x yx x

u vQ z Q zy x y x y y

u vQ z zy x y xy y

∂ ∂∂ α ∂ β+ + + +

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ α ∂ β

+ + + + ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ τ = −

∂ ∂∂ α ∂ β+ + + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ α ∂ β

+ + + ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂

dz

∫ (6.54)

Como os deslocamentos u0 e v0 e as rotações α e β são medidos na superfície

neutra, portanto independentes da posição z, tem-se: 2 22 2 2 2

k k0 061 622 2

2 2 2 2 2 2k 0 066 2 2

yz 2 22 2 2 2k k0 021 22 2 2

2 2 2k 0 026 2

u vz zQ z Q z2 x y 2 x yx x

u v z zQ z zx y 2 x y 2x x

u vz zQ z Q zy x 2 y x 2y y

u v zQ z zy xy

∂ ∂∂ α ∂ β+ + + +

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ α ∂ β

+ + + + ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ τ = −

∂ ∂∂ α ∂ β+ + + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂+ +

∂ ∂∂

k

2 2 2

2

b (x,y)

z2 2 y xy

+ ∂ α ∂ β + ∂ ∂∂

(6.55)

onde bk é uma constante de integração determinada pela imposição da continuidade

das tensões na interface das lâminas e da nulidade desta tensão nas superfícies inferior

e superior do laminado. Observa-se na eq. (6.55) que a distribuição da tensão

cisalhante transversa τyz é parabólica.

A distribuição da tensão normal σz, pode ser obtida a partir das eqs. (6.47), (6.51)

e (6.55):

dzyxyzxz

z ∫

∂

τ∂+

∂τ∂

−=σ (6.56)


66..66 –– PPrroobblleemmaa ddiinnââmmiiccoo –– eeqquuaaççõõeess ddee llaaggrraannggee

Inúmeras técnicas podem ser utilizadas para se chegar na equação que

representa o comportamento do sistema, equação esta que será resolvida pelo método

dos elementos finitos: princípio da energia potencial mínima, método dos resíduos

ponderados, etc. Um método bastante utilizado para se obter a equação que representa

o comportamento dinâmico de um sistema é o da aplicação das equações de Lagrange

sobre as todas as energias consideradas no sistema. Estas equações de Lagrange são

expressas da seguinte forma:

iiii

FqqU

qT

qT

dtd

=∂∂

+∂∂

−

∂∂ (6.57)

onde T é a energia cinética do sistema, U é a energia de deformação do sistema e Fqi

são as forças generalizadas do sistema. Aplicando a eq. (6.57) sobre as eqs. (6.27),

(6.39) e considerando que as forças generalizadas são obtidas pelo trabalho virtual

realizado pelas forças externas, obtém-se a eq. (6.58) que representa a equação de

movimento do sistema, dada da forma:

[ ] { } [ ] { } { })t(P)t(UK)t(UM =+ (6.58)

onde [M] é a matriz de massa global:

66..66..11 –– FFrreeqqüüêênncciiaass nnaattuurraaiiss ee mmooddooss ddee vviibbrraaççããoo

As freqüências naturais e os modos de vibração de um sistema em vibração são

obtidos através da solução da equação homogênea da eq. (6.58):

[ ]{ } [ ]{ } { }0=+ )t(UK)t(UM (6.59)

A solução da eq. (6.59) é da forma harmônica do tipo:

{ } { } tieU)t(U ω= (6.60)


onde { }U são deslocamentos nodais, independentes do tempo, representativos do

modo de vibração associado à freqüência natural ω.

Substituindo a eq. (6.60) na eq. (6.59) e simplificando o termo exponencial,

obtemos:

[ ]{ } { }0UMK 2 =ω− (6.61)

66..66..22 –– RReessppoossttaa nnoo tteemmppoo

A solução da eq. (6.58) pode ser obtida por diferentes métodos: Método das

Diferenças Centrais, Método de Houbolt, Método de Newmark, etc., nos quais são

definidos os deslocamentos, as velocidades e as acelerações obtidas em um tempo t

em função dos deslocamentos, das velocidades e das acelerações obtidas em tempo t-

∆t e t+∆t. A escolha entre um destes métodos se restringe na convergência ou não da

solução e/ou no tempo de convergência.

66..77 –– EExxeemmppllooss ddee aapplliiccaaççããoo

66..77..11 –– CChhaassssii ddee kkaarrtt


66..77..22 –– CChhaassssii ddee ssiiddee--ccaarr


66..77..33 –– QQuuaaddrroo ddee bbiicciicclleettaa ((aa))

66..77..44 –– RRaaqquueettee ddee ttêênniiss


66..77..55 –– CCaarrrroocceerriiaa ddee ccaammiinnhhããoo bbaaúú

66..77..66 –– CCaassccoo ddee ccaattaammaarraann


66..77..77 –– QQuuaaddrroo ddee bbiicciicclleettaa ((bb))

66..77..88 –– CChhaassssii ddee uumm ccaammiinnhhããoo lleevvee


77 –– FFLLAAMMBBAAGGEEMM DDEE PPLLAACCAASS LLAAMMIINNAADDAASS

Este capítulo trata da análise de estabilidade de placa laminadas submetidas à

cargas compressivas.

77..11 –– EEqquuaaççõõeess ddiiffeerreenncciiaass ddee ppllaaccaass

Considere um elemento de placa infinitesimal de dimensões dx, dy, submetido à

esforços de membrana, Figura 7.1.

Figura 7.1 – Esforços de membrana sobre um elemento de placa

Impondo o equilíbrio estático na direção x, temos:

ΣFx = 0, xyxx x xy xy

NNN dy N dx dy N dy N dy dx 0x y

∂ ∂ − + + − + + = ∂ ∂ (7.1)

xyx NN 0x y

∂∂+ =

∂ ∂ (7.2)

Analogamente, com relação ao eixo y, temos:

y xyN N0

y x∂ ∂

+ =∂ ∂

(7.3)

x

z

y dxNydxNxy

dxdyy

NN y

y

∂

∂+

dxdyy

NN xy

xy

∂

∂+

dyNxdxNxy

dydxx

NN xx

∂

∂+

dydxx

NN xy

xy

∂

∂+

dxdy

Flambagem de placas laminadas 110

Considere agora, um elemento de placa infinitesimal de dimensões dx, dy,

submetido à esforços de flexão e de cortante.

Figura 7.2 – Esforços de flexão e cortantes em um elemento de placa

Impondo o equilíbrio das forças na direção z, temos:

ΣFz = 0, yxx x y y

QQQ dy Q dx dy Q dx Q dy dx p dx dy 0x y

∂ ∂ − + + − + + + = ∂ ∂ (7.4)

Simplificando, a eq. (7.4) resulta em:

yx QQ p 0x y

∂∂+ + =

∂ ∂ (7.5)

Impondo o equilíbrio dos momentos com relação ao eixo x, temos:

ΣMx = 0,

y xyy y xy xy

yy

M MM dx M dy dx M dy M dx dy

y x

Q dyQ dy dx.dy p dx dy 0y 2

∂ ∂ − + + − + + − ∂ ∂

∂ + + = ∂

(7.6)

Desprezando termos de segunda ordem, a eq. (7.6) resulta em:

x

z

y dxQy

yM dx

xyxy

MM dy dx

y∂

+ ∂

yy

MM dy dx

y∂

+ ∂

dyQxxM dx

xyxy

MM dx dy

x∂

+ ∂ xx

MM dx dyx

∂ + ∂

dxdy

xyM dxxyM dy

dydxx

QQ xx

∂

∂+

dxdyy

QQ y

y

∂

∂+

)y,x(p


y xyy

M MQ 0

y x∂ ∂

+ − =∂ ∂

(7.7)

Por analogia, do equilíbrio dos momentos com relação ao eixo y, tem-se a eq.

(7.8):

0Qy

Mx

Mx

xyx =−∂

∂+

∂∂ (7.8)

Somando a derivada da eq. (7.7) com relação a y, a derivada da eq. (7.8) com

relação a x e a carga distribuída sobre a placa p(x,y), temos:

py

Myx

M2

xM

2y

2xy

2

2x

2−=

∂

∂+

∂∂

∂+

∂∂ (7.9)

77..22 –– EEqquuaaççõõeess ddee ppllaaccaa ccoonnssiiddeerraannddoo aa ffllaammbbaaggeemm

Considere um elemento de placa deformado submetido à esforços de membrana.

Figura 7.3 – Esforços normais de membrana sobre um elemento de placa deformada

Considerando pequenas deformações, a equação que representa o equilíbrio da

placa da direção z é da forma:

x

dydxx

NN xx

∂

∂+

dyNx

dx

z

dxx

wxx

w

∂

∂∂∂

+∂

∂ 00

xw∂

∂ 0


ΣFz , 2

0 0 0xx x 2

w w wNN dy N dx dy dxx x x x

∂ ∂ ∂∂ − + + + ∂ ∂ ∂ ∂ (7.10)

Desprezando os termos de ordem superior, temos: 2

0 0xx 2

w wNNx xx

∂ ∂∂+

∂ ∂∂ (7.11)

Analogamente com relação aos esforços de membrana no eixo y, temos: 2

y0 0y 2

Nw wNy yy

∂∂ ∂+

∂ ∂∂ (7.12)

Figura 7.4 – Esforços de cisalhamento em membrana em um elemento infinitesimal

As componentes das forças que atuam na direção z devido a Nxy são da forma,

Figura 7.4: 2

xy0 0 0xy xy

2xy0 0 0

xy xy

Nw w wN dy N dx dy dxy x y x y

Nw w wN dx N dy dx dyx y x y x

∂ ∂ ∂ ∂− + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂− + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

(7.13)

x

z

x

dxNxy

y

dxdyy

NN xy

xy

∂

∂+

dyNxy

dxy

wxy

w

∂

∂∂∂

+∂

∂ 00

dydxx

NN xy

xy

∂

∂+

dx

dy

dyx

wyx

w

∂

∂∂∂

+∂

∂ 00

yw∂

∂ 0

xw∂

∂ 0


Desprezando os termos de ordem superior, temos: 2

xy xy0 0 0xy

N Nw w w2Nx y x y y x

∂ ∂∂ ∂ ∂+ +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (7.14)

Agrupando as eqs. (7.11), (7.12) e (7.14), a componente total na direção z é da

forma: 2 2 2

xy y xy0 0 0 0 0xx y xy2 2

N N Nw w w w wNN N 2Nx y x x y y y xx y

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂+ + + + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂

(7.15)

Substituindo as eqs. (7.2) e (7.3) na eq.(7.15), tem-se: 2 2 2

0 0 0x y xy2 2

w w wN N 2Nx yx y

∂ ∂ ∂+ +

∂ ∂∂ ∂ (7.16)

A soma da eq. (7.16) com a eq. (7.5), fornece a resultante das forças atuando na

direção z: 2 2 2

y0 0 0 xx y xy2 2

Qw w w QN N 2N p 0x y x yx y

∂∂ ∂ ∂ ∂+ + + + + =

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ (7.17)

A eq. (7.17) pode ser apresentada de uma outra forma, fazendo a soma da eq.

(7.9) com a eq. (7.5): 2 2 2 2 22

y xy 0 0 0xx y xy2 2 2 2

M M w w wM 2 N N 2N p 0x y x y x y x y

∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂+ + + + + + =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (7.18)

A eq. (7.18) pode ser também apresentada de uma forma alternativa se

considerarmos as eqs. (7.7) e (7.8): 2 2 2

y 0 0 0xx y xy2 2

Q w w wQ N N 2N p 0x y x y x y

∂ ∂ ∂ ∂∂+ + + + + =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (7.19)

Portanto, as equações que prevêem o comportamento da placa são as equações

de equilíbrio de forças nas direções x, y e z, dadas pelas eqs. (7.2), (7.3) e (7.18) ou

(7.19), respectivamente, e eventualmente as eqs. (7.7) e (7.8) que são as equações de


equilíbrio de momentos com relação ao eixo x e y. Na presença de forças de inércia, no

caso de carregamento dinâmico, estas equações se transformam em: 2

xy 0x0 2

N uNx y t

∂ ∂∂+ = ρ

∂ ∂ ∂ (7.20)

2

y xy 00 2

N N vy x t

∂ ∂ ∂+ = ρ

∂ ∂ ∂ (7.21)

2 2 2 2 2 22

y xy 0 0 0 0xx y xy 02 2 2 2 2

M M w w w wM 2 N N 2N px y x y x y x y t

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂+ + + + + + = ρ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (7.22)

2 2 2 2

y 0 0 0 0xx y xy 02 2 2

Q w w w wQ N N 2N px y x y x y t

∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂+ + + + + = ρ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (7.23)

77..33 –– MMééttooddoo ddaa ppeerrttuurrbbaaççããoo aapplliiccaaddoo àà ffllaammbbaaggeemm

Para resolver o problema de flambagem, é utilizado um método de perturbação,

no qual o campo de deslocamento é escrito da forma:

www

vvv

uuu

i

i

i

λ+=

λ+=

λ+=

(7.24)

onde ui, vi e wi são deslocamentos iniciais, antes de ocorrer a flambagem e, u, v e w são

deslocamentos quaisquer e admissíveis (verificam todas as condições de contorno e de

continuidade) e λ é um escalar infinitamente pequeno e independente das

coordenadas.

Considerando a matriz de comportamento dada pela eq. (4.38) e o campo de

deslocamentos para a flambagem, eq. (7.24), temos:


κκκγ

εε

λ+

κκκγ

εε

=

xy

y

x

xy

y

xi

xy

y

x

xy

y

x

xy

y

x

xy

y

x

DBBA

DBBA

MMMNNN

0

0

0

0

0

0

(7.25)

Colocando a eq. (7.25) num forma compacta:

( )( ) MMDBDBM

NNBABANiiiii

iiiii

λ+=κ+ελ+κ+ε=

λ+=κ+ελ+κ+ε= (7.26)

onde ε são deformações da superfície neutra e κ são curvaturas, dependentes da teoria

utilizada: Teoria Clássica de Laminados ou Teoria de Primeira Ordem.

Substituindo a eq. (7.24) na eq. (7.18), temos: 2 i 2 i 2 i 2 i 2 i2 i

y xy i i i i0 0 0xx y xy2 2 2 2

2 2 2 i 22y xy i0 0x

x x2 2 2 2

2 i 2 2 i 2i i0 0 0 0

y y xy xy2 2

22 0

x 2

M M w w wM 2 N N 2N px y x y x y x y

M M w wM 2 N Nx y x y x x

w w w wN N 2N 2N py y x y x y

wNx

∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂+ + + + + + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂∂+ + + + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ λ + ∂ ∂ ∂ ∂ + + + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂λ +

∂

2 20 0

y xy2w wN 2N 0y x y

∂ ∂+ = ∂ ∂ ∂

(7.27)

Desprezando os termos de segunda ordem em λ e considerando que a eq. (7.27)

é válida para qualquer valor de λ, tem-se: 2 i 2 i 2 i 2 i 2 i2 i

y xy i i i i0 0 0xx y xy2 2 2 2

M M w w wM 2 N N 2N p 0x y x y x y x y

∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂+ + + + + + =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (7.28)

2 2 2 i 22y xy i0 0x

x x2 2 2 2

2 i 2 2 i 2i i0 0 0 0

y y xy xy2 2

M M w wM 2 N Nx y x y x x

w w w wN N 2N 2N p 0y y x y x y

∂ ∂ ∂ ∂∂+ + + + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂+ + + + =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

(7.29)


A eq. (7.28), não linear pelo fato de haver acoplamento entre esforços de

membrana e de flexão, permite determinar a configuração inicial da placa com a ajuda

das eqs. (7.2) e (7.3). A resolução desta equação é feita de forma iterativa, a partir da

linearização da eq. (7.28) no primeiro passo. 2 i 2 i2 i

y xy ix2 2

M MM 2 p 0x y x y

∂ ∂∂+ + + =

∂ ∂ ∂ ∂ (7.30)

Como na configuração inicial, o deslocamento wi0 é pequeno, o gradiente das

inclinações (curvaturas pela Teoria Clássica de Laminados), 2 i

02

wx

∂∂

, 2 i

02

wy

∂∂

e 2 i

0wx y

∂∂ ∂

são

desprezíveis. Logo, a eq. (7.29) se transforma em: 2 2 2 2 22

y xy i i i0 0 0xx y xy2 2 2 2

M M w w wM 2 N N 2N p 0x y x yx y x y

∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂+ + + + + + =

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ (7.31)

Considerando a eq. (7.25), a eq. (7.31) pode ser substituida por:

( )

( )

( )

20 0 0

11 x 12 y 16 xy 11 x 12 y 16 xy2

20 0 0

21 x 22 y 26 xy 21 x 22 y 26 xy2

20 0 0

61 x 62 y 66 xy 61 x 62 y 66 xy

2 2 2i i i0 0 0x xy y2 2

B B B D D Dx

B B B D D Dy

2 B B B D D Dx y

w w wN 2N N p 0x yx y

∂ε + ε + γ + κ + κ + κ +

∂∂

ε + ε + γ + κ + κ + κ +∂

∂ε + ε + γ + κ + κ + κ +

∂ ∂

∂ ∂ ∂+ + + =

∂ ∂∂ ∂

(7.32)

A eq. (7.32), utilizando a eq. (4.25) que define o campo de deslocamentos pela

Teoria Clássica de Laminados, pode ser colocada da forma:


3 3 3 3 4 4 40 0 0 0 0 0 0

11 12 16 11 12 163 2 2 3 4 2 2 3

3 3 3 3 4 4 40 0 0 0 0 0 0

21 22 26 21 22 262 3 3 2 2 2 4 4

30

61 2

u v u v w w wB B B D D Dx x y x y x x x y x y

u v u v w w wB B B D D Dy x y y y x y x y y

uBx

2

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + − − − +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

+ + + − − − + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂∂ ∂

3 3 30 0 0

62 662 2 2

4 4 40 0 0

61 62 663 3 2 2

2 2 2i i i0 0 0x xy y2 2

v u vB By x y x y x y

w w wD D Dx y x y y x

w w wN 2N N p 0x yx y

∂ ∂ ∂+ + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ − − − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂+ + + =

∂ ∂∂ ∂

(7.33)

As outras relações fundamentais para analisar o comportamento de placas pela

Teoria Clássica de Laminados, além da eq. (7.33), são: 2 2 2 2 3 3 3

0 0 0 0 0 0 011 12 16 11 12 162 2 3 2 2

2 2 2 2 3 3 30 0 0 0 0 0 0

61 62 66 61 62 662 2 2 3 2

u v u v w w wA A A B B B 2x y x yx x x x y x y

u v u v w w wA A A B B B 2 0y x y xy y y x y x y

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + − − − +

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

+ + + − − − = ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

(7.34)

2 2 2 2 3 3 3

0 0 0 0 0 0 021 22 26 21 22 262 2 2 3 2

2 2 2 2 3 3 30 0 0 0 0 0 0

61 62 66 61 62 662 2 3 2 2

u v u v w w wA A A B B B 2y x y xy y y x y x x

u v u v w w wA A A B B B 2 0x y x yx x x x y x y

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + − − − +

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

+ + + − − − = ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

(7.35)

Para a Teoria de Primeira Ordem, a eq. (7.31) é colocada de outra forma,

considerando as eqs. (7.7) e (7.8): 2 2 2

y i i i0 0 0xx y xy2 2

Q w w wQ N N 2N p 0x y x y x y

∂ ∂ ∂ ∂∂+ + + + + =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (7.36)

Considerando a eq. (6.14) ou (6.23), onde surgem os efeitos do cisalhamento

transverso, a eq. (7.34) pode ser colocada da forma:


0 0 0 045 55 44 45

2 2 2i i i0 0 0x y xy2 2

w w w wF F F Fx y x x y y y xw w wN N 2N p 0x y x y

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ + β + + α + + β + + α + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

+ + + =∂ ∂ ∂ ∂

(7.37)

Reagrupando a eq. (7.37), temos: 2 2 2

0 0 055 44 452 2

2 2 2i i i0 0 0x y xy2 2

w w wF F F 2x x y x y x x y

w w wN N 2N p 0x y x y

∂ ∂ ∂∂α ∂β ∂α ∂β+ + + + + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂+ + + =

∂ ∂ ∂ ∂

(7.38)

As outras relações fundamentais para analisar o comportamento de placas pela

Teoria de Primeira Ordem, além da eq. (7.38), são: 2 2 2 2 2 2 2 2

0 0 0 011 12 16 11 12 162 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 20 0 0 0

61 62 66 61 62 662 2 2 2

u v u vA A A B B Bx y x y x y x yx x x x

u v u vA A A B B B 0y x y x y x y xy y y y

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ α ∂ β ∂ α ∂ β+ + + + + + + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ α ∂ β ∂ α ∂ β

+ + + + + + + = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂

(7.39)

2 2 2 2 2 2 2 2

0 0 0 021 22 26 21 22 262 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 20 0 0 0

61 62 66 61 62 662 2 2 2

u v u vA A A B B By x y x y x y xy y y y

u v u vA A A B B B 0x y x y x y x yx x x x

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ α ∂ β ∂ α ∂ β+ + + + + + + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ α ∂ β ∂ α ∂ β

+ + + + + + + = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂

(7.40)

2 2 2 2 2 2 2 2

0 0 0 021 22 26 21 22 262 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 20 0 0 0

61 62 66 61 62 662 2 2 2

044

u v u vB B B D D Dy x y x y x y xy y y y

u v u vB B B D D Dx y x y x y x yx x x x

wFy

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ α ∂ β ∂ α ∂ β+ + + + + + + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ α ∂ β ∂ α ∂ β

+ + + + + + + − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂

∂+ β

∂0

45wF 0x

∂ − + α = ∂

(7.41)


2 2 2 2 2 2 2 20 0 0 0

11 12 16 11 12 162 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 20 0 0 0

61 62 66 61 62 662 2 2 2

045

u v u vB B B D D Dx y x y x y x yx x x x

u v u vB B B D D Dy x y x y x y xy y y y

wFx

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ α ∂ β ∂ α ∂ β+ + + + + + + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ α ∂ β ∂ α ∂ β

+ + + + + + + − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + α∂

055

wF 0y

∂ − + β = ∂

(7.42)

As eqs. (7.33), (7.34) e (7.35) para a Teoria Clássica de Laminados e das eqs.

(7.38), (7.39), (7.40), (7.41) e (7.42) para a Teoria de Primeira Ordem são resolvidas

supondo, por exemplo, que as variáveis u0, v0 e w0 para a Teoria Clássica de

Laminados, e mais α, e β para a Teoria de Primeira Ordem são da forma:

0 m

0 m

0 m

m

m

m xu A senL

m xv B senL

m xw C senL

m xD senL

m xE senL

π=

π=

π=

πα =

πβ =

(7.43)

O problema pode ser simplificado quando o laminado é simétrico, [B] = 0, quando

o laminado é, além de simétrico, balanceado, A16 = A61 = A26 = A62 = 0, e quando o

laminado é ortotrópico (fibras somente a 00 e 900), D16 = D61 = D26 = D62 = 0.

Exemplo 7.1: Determine a carga crítica de um laminado simétrico biapoiado em x = 0 e

x = L, submetido à um carregamento de compressão N0 utilizando a Teoria Clássica de

Laminados.

Considerando que o laminado é simétrico, [B] = 0. Devido ao carregamento, Nix =

- N0, Niy = Ni

xy = p= 0.

Da eq. (7.33), temos:


4 4 4 4 4 40 0 0 0 0 0

11 12 16 21 22 264 2 2 3 2 2 4 4

4 4 4 20 0 0 0

61 62 66 03 3 2 2 2

w w w w w wD D D D D Dx x y x y y x y y

w w w w2 D D D N 0x y x x y x x

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂− − − − − − +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂− − − − =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

(7.44)

Se a placa tem dimensão muito grande na direção y comparado com a dimensão

x, os gradientes de w0 em y são nulos, logo: 4 2

0 011 04 2

w wD N 0x x

∂ ∂− − =

∂ ∂ (7.45)

Admitindo um deslocamento w0, que satisfaça as condições de contorno, ser da

forma como apresentado pela eq. (7.43) e substituindo na eq. (7.45), tem-se: 2 2

11 0 mm m m xD N C sen 0L L L

π π π − =

(7.46)

Como na configuração deformada, Cm ≠ 0, m ≠ 0 e conseqüentemente

0≠πL

xmsen , tem-se a menor carga crítica para m=1:

2

cr 11N DLπ =

(7.47)

Para um laminado não simétrico, onde [B] ≠ 0, a utilização das eqs. (7.34) e

(7.35) são necessárias devido ao acoplamento dos deslocamentos u0, v0 e w0. Assim: 2 2 3

0 0 011 16 112 2 3

u v wA A B 0x x x

∂ ∂ ∂+ − =

∂ ∂ ∂ (7.48)

2 2 30 0 0

16 66 162 2 3u v wA A B 0x x x

∂ ∂ ∂+ − =

∂ ∂ ∂ (7.49)

e a eq. (7.33) se apresenta da forma:


3 3 4 2i0 0 0 0

11 16 11 x3 3 4 2u v w wB B D N 0x x x x

∂ ∂ ∂ ∂+ − + =

∂ ∂ ∂ ∂ (7.50)

O desacoplamento dos deslocamentos se faz da seguinte forma: 2 3

0 02 3

2 30 0

2 3

d u d wBAdx dx

d v d wCAdx dx

=

=

(7.51)

onde: 2

11 66 16

66 11 16 16

11 16 16 11

A A A AB A B A BC A B A B

= −

= −

= −

(7.52)

Derivando a eq. (7.51) com relação a x, e substituindo na eq. (7.50), temos: 4 2

0 004 2

w wA N 0Dx x

∂ ∂+ =

∂ ∂ (7.53)

onde:

11 11 16D D A B B B C= − − (7.54)

Aplicando (7.45) em (7.51), temos: 2 2

0 mm A m x m xN C sen 0L D L L

π π π − =

(7.55)

Assim, a menor carga crítica para m=1, é da forma: 2

crDNA L

π =

(7.56)

Da comparação da eq. (7.56) com a eq. (7.47), observa-se que a carga crítica

diminui quando [B] ≠ 0, ou seja, quando o laminado não é simétrico.


RREEFFEERRÊÊNNCCIIAASS

[1] Gay, Daniel, Matériaux Composites, Hermès, Paris, 1991.

[2] Berthelot, J.-M., Matériaux Composites, Comportement et analyse des structures,

Masson, Paris, 1992.

[3] Tsai, S. W., Hahn, H. T., Introduction to Composite Materials, Technomic Publishing

Co., Inc., 1980.

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