Universidade Federal de Santa Catarina Departamento de Engenharia MecânicaGrupo de Análise e Projeto Mecânico
CCUURRSSOO DDEE PPRROOJJEETTOO EESSTTRRUUTTUURRAALL CCOOMM MMAATTEERRIIAAIISS CCOOMMPPOOSSTTOOSS
PPrrooff.. JJoosséé CCaarrllooss PPeerreeiirraa
FFlloorriiaannóóppoolliiss,, aaggoossttoo ddee 22000033
SSUUMMÁÁRRIIOO
11 –– AASSPPEECCTTOOSS GGEERRAAIISS DDOOSS MMAATTEERRIIAAIISS CCOOMMPPOOSSTTOOSS ____________________________________________11
11..11–– DDeeffiinniiççããoo __________________________________________________________________________________________________________________11
11..22–– CCoommppoonneenntteess ccoonnssttiittuuiinntteess ddee uumm mmaatteerriiaall ccoommppoossttoo ____________________________________________11
11..22..11 –– FFiibbrraass ________________________________________________________________________________________________________________11
11..22..22 –– MMaattrriizzeess ____________________________________________________________________________________________________________11
11..33 –– IInntteerreessssee ddooss mmaatteerriiaaiiss ccoommppoossttooss__________________________________________________________________________33
11..44 –– AApplliiccaaççõõeess ddooss mmaatteerriiaaiiss ccoommppoossttooss ______________________________________________________________________33
11..55 –– PPrroopprriieeddaaddeess ffííssiiccaass pprriinncciippaaiiss ________________________________________________________________________________77
11..66 –– CCaarraacctteerrííssttiiccaass ddaa mmiissttuurraa rreeffoorrççoo--mmaattrriizz ________________________________________________________________99
11..77 –– PPrroocceessssooss ddee ffaabbrriiccaaççããoo________________________________________________________________________________________1111
11..77..11 –– MMoollddaaggeemm sseemm pprreessssããoo__________________________________________________________________________________1122
11..77..22 –– MMoollddaaggeemm ppoorr pprroojjeeççããoo ssiimmuullttâânneeaa________________________________________________________________1133
11..77..33 –– MMoollddaaggeemm aa vvááccuuoo__________________________________________________________________________________________1144
11..77..44 –– MMoollddaaggeemm ppoorr ccoommpprreessssããoo aa ffrriioo __________________________________________________________________1144
11..77..55 –– MMoollddaaggeemm ppoorr iinnjjeeççããoo ____________________________________________________________________________________1144
11..77..66 –– MMoollddaaggeemm eemm ccoonnttíínnuuoo __________________________________________________________________________________1155
11..77..77 –– MMoollddaaggeemm ppoorr cceennttrriiffuuggaaççããoo __________________________________________________________________________1166
11..77..88 –– BBoobbiinnaammeennttoo cciirrccuunnffeerreenncciiaall __________________________________________________________________________1177
11..77..99 –– BBoobbiinnaammeennttoo hheelliiccooiiddaall __________________________________________________________________________________1188
11..77..1100 –– BBoobbiinnaammeennttoo ppoollaarr________________________________________________________________________________________1199
11..88 –– AArrqquuiitteettuurraa ddooss mmaatteerriiaaiiss ccoommppoossttooss ____________________________________________________________________2200
11..88..11 –– LLaammiinnaaddooss ______________________________________________________________________________________________________2200
11..88..22 –– SSaanndduuíícchhee ______________________________________________________________________________________________________2211
11..99 –– DDeetteerrmmiinnaaççããoo eexxppeerriimmeennttaall ddaass ccoonnssttaanntteess eelláássttiiccaass ddee uummaa llââmmiinnaa __________________2222
22 –– CCOONNSSTTAANNTTEESS EELLÁÁSSTTIICCAASS DDOOSS MMAATTEERRIIAAIISS CCOOMMPPOOSSTTOOSS ______________________________2255
22..11 –– EEqquuaaççõõeess ccoonnssttiittuuttiivvaass ppaarraa mmaatteerriiaaiiss ccoommppoossttooss ________________________________________________2255
22..22 –– EEffeeiittoo ddaa tteemmppeerraattuurraa ____________________________________________________________________________________________2299
33 –– CCOONNSSTTAANNTTEESS EELLÁÁSSTTIICCAASS DDOOSS MMAATTEERRIIAAIISS CCOOMMPPOOSSTTOOSS NNUUMMAA DDIIRREEÇÇÃÃOO
QQUUAALLQQUUEERR ____________________________________________________________________________________________________________________3311
33..11 –– EEqquuaaççõõeess ccoonnssttiittuuttiivvaass ddooss mmaatteerriiaaiiss ccoommppoossttooss nnuummaa ddiirreeççããoo qquuaallqquueerr____________3311
33..22 -- EEffeeiittoo ddaa tteemmppeerraattuurraa ____________________________________________________________________________________________3377
44 –– CCOOMMPPOORRTTAAMMEENNTTOO MMEECCÂÂNNIICCOO DDEE PPLLAACCAASS LLAAMMIINNAADDAASS ________________________________3388
44..11 –– TTeeoorriiaa cclláássssiiccaa ddee llaammiinnaaddooss ________________________________________________________________________________3388
44..11..11 –– CCoommppoorrttaammeennttoo eemm mmeemmbbrraannaa ______________________________________________________________________3388
44..11..22 –– CCoommppoorrttaammeennttoo eemm fflleexxããoo______________________________________________________________________________4455
44..11..33 –– EEffeeiittoo ddaa tteemmppeerraattuurraa ____________________________________________________________________________________5544
55 –– CCRRIITTÉÉRRIIOOSS DDEE RRUUPPTTUURRAA ______________________________________________________________________________________5588
55..11 –– CCrriittéérriioo ddee tteennssããoo mmááxxiimmaa ____________________________________________________________________________________5588
55..22 –– CCrriittéérriioo ddee ddeeffoorrmmaaççããoo mmááxxiimmaa ____________________________________________________________________________5599
55..33 –– CCoommppaarraaççããoo eennttrree ooss ccrriittéérriiooss ddee tteennssããoo mmááxxiimmaa ee ddee ddeeffoorrmmaaççããoo mmááxxiimmaa ______6600
55..44 –– CCrriittéérriiooss iinntteerraattiivvooss ________________________________________________________________________________________________6622
55..44..11 –– RReevviissããoo ddoo ccrriittéérriioo ddee vvoonn MMiisseess ____________________________________________________________________6622
55..44..22 –– CCrriittéérriioo ddee HHiillll ________________________________________________________________________________________________6666
55..44..33 –– CCrriittéérriioo ddee TTssaaii--HHiillll ________________________________________________________________________________________6677
55..44..44 –– CCrriittéérriioo ddee HHooffffmmaann ________________________________________________________________________________________6688
55..44..55 –– CCrriittéérriioo ddee TTssaaii--WWuu ________________________________________________________________________________________6699
55..44 –– MMééttooddoo ddee ddeeggrraaddaaççããoo __________________________________________________________________________________________7788
66 –– MMÉÉTTOODDOO DDOOSS EELLEEMMEENNTTOOSS FFIINNIITTOOSS AAPPLLIICCAADDOO AAOOSS MMAATTEERRIIAAIISS
CCOOMMPPOOSSTTOOSS ________________________________________________________________________________________________________________8888
66..11 –– CCaammppoo ddee ddeessllooccaammeennttooss ____________________________________________________________________________________8888
66..22 –– EEnneerrggiiaa ddee ddeeffoorrmmaaççããoo eelleemmeennttaarr ________________________________________________________________________9922
66..33 –– EEnneerrggiiaa cciinnééttiiccaa eelleemmeennttaarr ____________________________________________________________________________________9955
66..44 –– TTrraabbaallhhoo rreeaalliizzaaddoo ppeellaass ffoorrççaass eexxtteerrnnaass ______________________________________________________________9977
66..55 –– PPrroobblleemmaa eessttááttiiccoo –– pprriinnccííppiioo ddooss ttrraabbaallhhooss vviirrttuuaaiiss______________________________________________9988
66..55..11 –– DDeetteerrmmiinnaaççããoo ddaass tteennssõõeess ____________________________________________________________________________9988
66..66 –– PPrroobblleemmaa ddiinnââmmiiccoo –– eeqquuaaççõõeess ddee llaaggrraannggee ______________________________________________________110033
66..66..11 –– FFrreeqqüüêênncciiaass nnaattuurraaiiss ee mmooddooss ddee vviibbrraaççããoo __________________________________________________110033
66..66..22 –– RReessppoossttaa nnoo tteemmppoo ______________________________________________________________________________________110044
66..77 –– EExxeemmppllooss ddee aapplliiccaaççããoo ________________________________________________________________________________________110044
66..77..11 –– CChhaassssii ddee kkaarrtt ______________________________________________________________________________________________110044
66..77..22 –– CChhaassssii ddee ssiiddee--ccaarr ________________________________________________________________________________________110055
66..77..33 –– QQuuaaddrroo ddee bbiicciicclleettaa ((aa))__________________________________________________________________________________110066
66..77..44 –– RRaaqquueettee ddee ttêênniiss __________________________________________________________________________________________110066
66..77..55 –– CCaarrrroocceerriiaa ddee ccaammiinnhhããoo bbaaúú ________________________________________________________________________110077
66..77..66 –– CCaassccoo ddee ccaattaammaarraann ____________________________________________________________________________________110077
66..77..77 –– QQuuaaddrroo ddee bbiicciicclleettaa ((bb))__________________________________________________________________________________110088
66..77..88 –– CChhaassssii ddee uumm ccaammiinnhhããoo lleevvee________________________________________________________________________110088
77 –– FFLLAAMMBBAAGGEEMM DDEE PPLLAACCAASS LLAAMMIINNAADDAASS ______________________________________________________________110099
77..11 –– EEqquuaaççõõeess ddiiffeerreenncciiaass ddee ppllaaccaass __________________________________________________________________________110099
77..22 –– EEqquuaaççõõeess ddee ppllaaccaa ccoonnssiiddeerraannddoo aa ffllaammbbaaggeemm __________________________________________________111111
77..33 –– MMééttooddoo ddaa ppeerrttuurrbbaaççããoo aapplliiccaaddoo àà ffllaammbbaaggeemm____________________________________________________111144
RREEFFEERRÊÊNNCCIIAASS ____________________________________________________________________________________________________________112222
Curso de projeto estrutural com materiais compostos 1
11 –– AASSPPEECCTTOOSS GGEERRAAIISS DDOOSS MMAATTEERRIIAAIISS CCOOMMPPOOSSTTOOSS
11..11–– DDeeffiinniiççããoo
Um material composto é formado pela união de dois materiais de naturezas
diferentes, resultando em um material de performance superior àquela de seus
componentes tomados separadamente. O material resultante é um arranjo de fibras,
contínuas ou não, de um material resistente (reforço) que são impregnados em uma
matriz de resistência mecânica inferior as fibras.
11..22–– CCoommppoonneenntteess ccoonnssttiittuuiinntteess ddee uumm mmaatteerriiaall ccoommppoossttoo
11..22..11 –– FFiibbrraass
A(s) fibra(s) é o elemento constituinte que confere ao material composto suas
características mecânicas: rigidez, resistência à ruptura, etc. As fibras podem ser curtas
de alguns centímetros que são injetadas no momento da moldagem da peça, ou longas
e que são cortadas após a fabricação da peça.
Os tipos mais comuns de fibras são: de vidro, de aramida (kevlar), carbono, boro,
etc. As fibras podem ser definidas como sendo unidirecionais, quando orientadas
segundo uma mesma direção; bidimensionais, com as fibras orientadas segundo duas
direções ortogonais (tecidos), Figura 1.1 e Figura 1.2, ou com as fibras orientadas
aleatoriamente (esteiras), Figura 1.3; e tridimensionais, quando as fibras são orientadas
no espaço tridimensional (tecidos multidimensionais).
11..22..22 –– MMaattrriizzeess
As matrizes têm como função principal, transferir as solicitações mecânicas as
fibras e protegê-las do ambiente externo. As matrizes podem ser resinosas (poliéster,
epóxi, etc), minerais (carbono) e metálicas (ligas de alumínio).
Aspectos gerais dos materiais compostos 2
Figura 1.1 – Tecido - padrão 1
Figura 1.2 – Tecido - padrão 2
Figura 1.3 – Esteira (fibras contínuas ou cortadas)
Curso de projeto estrutural com materiais compostos 3
A escolha entre um tipo de fibra e uma matriz depende fundamentalmente da
aplicação ao qual será dado o material composto: características mecânicas elevadas,
resistência a alta temperatura, resistência a corrosão, etc. O custo em muitos casos
pode também ser um fator de escolha entre um ou outro componente. Deve ser
observada também a compatibilidade entre as fibras e as matrizes.
11..33 –– IInntteerreessssee ddooss mmaatteerriiaaiiss ccoommppoossttooss
O interesse dos materiais compostos está ligado a dois fatores: econômico e
performance. O fator econômico vem do fato do material composto ser muito mais leve
que os materiais metálicos, o que implica numa economia de combustível e
conseqüentemente, num aumento de carga útil (aeronáutica e aeroespacial). A redução
na massa total do produto pode chegar a 30 % ou mais, em função da aplicação dada
ao material composto. O custo de fabricação de algumas peças em material composto
pode ser também sensivelmente menor se comparado com os materiais metálicos.
O fator performance está ligado a procura por um melhor desempenho de componentes
estruturais, sobretudo no que diz respeito às características mecânicas (resistência a
ruptura, resistência à ambientes agressivos, etc.). O caráter anisotrópico dos materiais
compostos é o fator primordial para a obtenção das propriedades mecânicas requeridas
pelo componente.
A leveza juntamente com as excelentes características mecânicas faz com que
os materiais compostos sejam cada vez mais utilizados dentro de atividades esportivas.
11..44 –– AApplliiccaaççõõeess ddooss mmaatteerriiaaiiss ccoommppoossttooss
A aplicação dos materiais compostos surgiu inicialmente na área aeronáutica
devido a necessidade de diminuição de peso, preservando a robustez dos
componentes estruturais. Atualmente uma grande variedade de peças em materiais
compostos podem ser encontradas nos aviões em substituição aos materiais metálicos:
fuselagem, spoilers, portas de trem de aterrissagem, portas internas, etc., Figura 1.4.
Em muitos destes componentes, sua concepção foge da definição dada
Aspectos gerais dos materiais compostos 4
inicialmente para materiais compostos, pois nestes casos os componentes são
fabricados normalmente em placas de baixa densidade, contra-placadas por placas
finas de alta resistência. Esta configuração normalmente é dita sanduíche. De uma
forma mais ampla, estas configurações são também consideradas “materiais
compostos”, pois combinam diferentes materiais.
Figura 1.4 – Componentes em material composto em aviões-caça
Dentro da área aeronáutica, os helicópteros possuem também vários
componentes em material composto: pás da hélice principal, hélice traseira, árvore de
transmissão, fuselagem, etc, Figura 1.5.
Figura 1.5 – Componentes em material composto em helicópteros
Curso de projeto estrutural com materiais compostos 5
A utilização dos materiais compostos dentro da industria automobilística é bem
mais recente do que na área aeronáutica. Inicialmente, eram produzidos somente pára-
choques e tetos de automóveis. Atualmente, o material composto é utilizado para a
fabricação de capôs, carters de óleo, colunas de direção, árvores de transmissão,
molas laminadas, painéis, etc., Figura 1.6.
Uma das grandes vantagens trazidas para o meio automobilístico pelos materiais
compostos é, além da redução do peso, a facilidade em confeccionar peças com
superfícies complexas.
Figura 1.6 – Componentes em material composto em automóveis
Uma atividade esportiva notória que emprega material composto é a Fórmula 1,
que pode ser considerada como um laboratório para as inovações tecnológicas. Em
muitos casos, o que se emprega dentro dos carros de Fórmula 1, será utilizado
futuramente nos carros de passeio. Neste caso, o aumento da relação potência/peso é
fundamental para um bom desempenho do carro nas pistas. A configuração mais
freqüentemente utilizada nestes carros é do tipo sanduíche que é utilizada para a
confecção da carroceria.
Em praticamente todas as atividades esportivas, a redução do peso está
diretamente ligada a redução do tempo de execução de uma prova esportiva. Como
exemplo disto, podemos citar: barcos a vela, skis, bicicletas, etc. Em alguns casos, o
que se procura é a agilidade, e a perfeição de alguns golpes, como no tênis, com suas
raquetes; no golfe, com seus tacos; e no surf, com suas pranchas.
Aspectos gerais dos materiais compostos 6
Figura 1.7 – Barcos a vela Figura 1.8 – Ski
Uma aplicação bem recente dos materiais compostos na área aeroespacial são
os painéis solares de satélites, confeccionados em uma configuração sanduíche, Figura
1.9, e os motores de último estágio dos lançadores de satélites, confeccionados a partir
do bobinamento das fibras sobre um mandril, Figura 1.10.
Figura 1.9 – Painéis solares de satélite
Curso de projeto estrutural com materiais compostos 7
Figura 1.10 – Propulsor de último estágio de lançador de satélite
11..55 –– PPrroopprriieeddaaddeess ffííssiiccaass pprriinncciippaaiiss
Metais
Massa
volumétrica
3
Módulo de
elasticidade
Módulo de
cisalhamento
Coeficiente de
poisson
Tensão de ruptura
à tração (MPa)
Alongamento à
ruptura (%)
Coeficiente de
dilatação térmica
1
Temperatura
limite de utilização
ρ E G ν σ ε α Tmax
aços 7800 205000 79000 0,3 400 a
1600
1,8 a
10
1,3.10-5 800
ligas de
alumínio
2800 75000 29000 0,3 450 10 2,2.10-5 350
ligas de
titânio
4400 105000 40300 0,3 1200 14 0,8.10-5 700
Cobre 8800 125000 48000 0,3 200 a
500
1,7.10-5 650
Aspectos gerais dos materiais compostos 8
Fibras
Massa
volumétrica
3
Módulo de
elasticidade
Módulo de
cisalhamento
Coeficiente de
poisson
Tensão de ruptura
à tração (MPa)
Alongamento à
ruptura (%)
Coeficiente de
dilatação térmica
(°C-1)
Temperatura
limite de utilização
Preço/kg 1985
ρ E G ν σ ε α Tmax $US
Vidro
“R”
2500 86000 0,2 3200 4 0,3.10-5 700 12
Vidro
“E”
2600 74000 30000 0,25 2500 3,5 0,5.10-5 700 2,8
Kevlar
49
1450 130000 12000 0,4 2900 2,3 -0,2.10-5 70
Grafite
“HR”
1750 230000 50000 0,3 3200 1,3 0,02.10-5 >1500 70 a
140
Grafite
“HM”
1800 390000 20000 0,35 2500 0,6 0,08.10-5 >1500 70 a
140
Boro 2600 400000 3400 0,8 0,4.10-5 500 500
M
atrizes
Massa volum
étrica (kg/m
3)
Módulo de
elasticidade (MPa)
Módulo de
cisalhamento (M
Pa)
Coeficiente de
poisson
Tensão de ruptura à tração (M
Pa)
Alongamento à
ruptura (%)
Coeficiente de
dilatação térmica
( °C-1)
Temperatura lim
ite de utilização (°C
)
Preço/kg 1985
ρ E G ν σ ε α Tmax $US
TTEERRMMOORREESSIISSTTEENNTTEESS
Epóxi 1200 4500 1600 0,4 130 2 a 6 11.10-5 90 a 200 6 a 20
Fenólica 1300 3000 1100 0,4 70 2,5 1.10-5 120 a
200
Poliéster 1200 4000 1400 0,4 80 2,5 8.10-5 60 a 200 2,4
Curso de projeto estrutural com materiais compostos 9
Poli
carbonato
1200 2400 60 6.10-5 120
Termoplásticas
Poli
propileno
900 1200 30 20 a
400
9.10-5 70 a 140
Poliamida 1100 4000 70 200 8.10-5 170 6
11..66 –– CCaarraacctteerrííssttiiccaass ddaa mmiissttuurraa rreeffoorrççoo--mmaattrriizz
As propriedades da lâmina (reforço+matriz) são obtidas em função das
percentagens de cada componente na mistura.
a) Percentagem em massa do reforço.
totalmassareforçodemassaMf =
b) Percentagem em massa da matriz.
totalmassamatrizdamassaMm = ou Mm = 1 - Mf
c) Percentagem em volume do reforço.
totalvolumereforçodevolumeVf =
d) Percentagem em volume da matriz.
totalvolumematrizdavolumeVm = ou Vm = 1 - Vf
e) Massa volumétrica da lâmina.
totalvolumetotalmassa
=ρ
ou:
totalvolumematrizdamassa
totalvolumereforçodomassa
+=ρ
mf totalvolumematrizdavolume
totalvolumereforçodovolume
ρ+ρ=ρ
Aspectos gerais dos materiais compostos 10
ρ = ρf . Vf + ρm . Vm
onde ρf e ρm são as massas volumétricas do reforço e da matriz, respectivamente.
f) Módulo de elasticidade longitudinal El ou E1 (propriedades estimadas).
E1 = Ef . Vf + Em . Vm
ou:
E1 = Ef . Vf + Em . (1 – Vf)
g) Módulo de elasticidade transversal Et ou E2.
( )2 m
mf f
ft
1E E E1 V VE
= − +
onde Eft representa o módulo de elasticidade do reforço na direção transversal.
h) Módulo de cisalhamento Glt ou G12.
( )12 m
mf f
ft
1G G G1 V VG
= − +
onde Gft representa o módulo de cisalhamento do reforço.
i) Coeficiente de poisson νlt ou ν12.
ν12 = νf . Vf + νm . Vm
j) Resistência a ruptura da lâmina.
( ) m1ruptura f ruptura f f
f
EV 1 VE
σ = σ + −
ou:
1ruptura f ruptura f.Vσ = σ
k) Propriedades mecânicas de algumas misturas mais comumente utilizadas.
As propriedades na tabela abaixo correspondem a uma mistura de fibras
unidirecionais+resina epóxi com 60 % do volume em fibras.
Curso de projeto estrutural com materiais compostos 11
vidro kevlar carbono
Massa volumétrica (kg/m3) 2080 1350 1530
σruptura em tração na direção 1 (Xt) (MPa) 1250 1410 1270
σruptura em compressão na direção 1 (Xc) (MPa) 600 280 1130
σruptura em tração na direção 2 (Yt) (MPa) 35 28 42
σruptura em compressão na direção 2 (Yc) (MPa) 141 141 141
τ12 ruptura em cisalhamento (S12) (MPa) 63 45 63
τruptura em cisalhamento interlaminar (MPa) 80 60 90
módulo de elasticidade longitudinal E1 (MPa) 45000 85000 134000
módulo de elasticidade transversal E2 (MPa) 12000 5600 7000
módulo de cisalhamento G12 (MPa) 4500 2100 4200
coeficiente de poisson ν12 0,3 0,34 0,25
Coef. de dilatação térmica longitudinal α1 (°C-1) 0,4 a
0,7.10-5
-0,4.10-5 -0,12.10-
5
Coef. de dilatação térmica transversal α2 (°C-1) 1,6 a
2.10-5
5,8.10-5 3,4.10-5
11..77 –– PPrroocceessssooss ddee ffaabbrriiccaaççããoo
Muitas peças ou estruturas em material composto são geralmente produzidas por
uma composição de lâminas sucessivas, chamadas de estruturas estratificadas. Os
processos de fabricação são inúmeros e devem ser selecionadas segundo requisitos
como: dimensões, forma, qualidade, produtividade (capacidade de produção), etc.
As operações básicas para a obtenção da peça final têm a seguinte seqüência:
Aspectos gerais dos materiais compostos 12
11..77..11 –– MMoollddaaggeemm sseemm pprreessssããoo
O molde é primeiramente revestido de um desmoldante e posteriormente de uma
resina colorida. A seguir as fibras são depositadas sobre o molde e em seguida
impregnadas com resina e compactadas com um rolo. O processo se segue para as
lâminas sucessivas, Figura 1.11. A polimerização (solidificação) ou cura da resina pode
ser feita com ou sem o molde, isto em função da geometria da peça. A cura da resina
pode ser feita em temperatura ambiente ou ser acelerada se colocada em uma estufa a
uma temperatura entre 80° C e 120° C. Após a cura da resina e a desmoldagem, a
peça é finalizada: retirada de rebarbas, pintura, etc.
Fibras Resina
Impregnação (mistura)
Colocação da mistura sobre o molde/mandril
Polimerização (estufa)
Desmoldagem
Acabamento
Curso de projeto estrutural com materiais compostos 13
Figura 1.11 – Moldagem sem pressão
11..77..22 –– MMoollddaaggeemm ppoorr pprroojjeeççããoo ssiimmuullttâânneeaa
Este processo consiste em projetar simultaneamente fibras cortadas
impregnadas em resina sobre o molde. A lâmina de fibras impregnadas é em seguida
compactada por um rolo e novas lâminas podem ser sucessivamente depositadas,
Figura 1.12. Um contra-molde pode eventualmente ser utilizado para a obtenção de
faces lisas e para proporcionar uma melhor compactação entre as lâminas. A vantagem
deste processo com relação ao anterior é permitir uma produção em série das peças,
no entanto, as características mecânicas das peças são médias devido ao fato das
fibras serem cortadas.
Figura 1.12 – Moldagem por projeção simultânea
molde
rolo
fibras
resina
resina
fibra
fibra cortada e resina
pistola
Aspectos gerais dos materiais compostos 14
11..77..33 –– MMoollddaaggeemm aa vvááccuuoo
Neste processo as fibras podem ser colocadas manualmente como na moldagem
sem pressão, ou automaticamente por projeção simultânea. Neste caso um contra-
molde e uma bomba a vácuo são utilizados para permitir uma melhor compactação e
evitar a formação de bolhas, Figura 1.13.
Figura 1.13 – Moldagem a vácuo
11..77..44 –– MMoollddaaggeemm ppoorr ccoommpprreessssããoo aa ffrriioo
Neste processo a resina é injetada sob pressão no espaço entre o molde e o
contra-molde. A cura pode ser feita a temperatura ambiente ou em uma estufa. Há
casos onde o molde e o contra-molde são aquecidos, sendo este processo chamado de
compressão a quente. Neste caso a cura da resina é feita no próprio molde, Figura
1.14.
11..77..55 –– MMoollddaaggeemm ppoorr iinnjjeeççããoo
O processo por injeção consiste em injetar as fibras impregnadas a partir de um
parafuso sem fim no molde aquecido, Figura 1.15.
Bomba avácuo
fibras
resina
contra molde
Curso de projeto estrutural com materiais compostos 15
Figura 1.14 – Moldagem por compressão a frio
Figura 1.15 – Moldagem por injeção
11..77..66 –– MMoollddaaggeemm eemm ccoonnttíínnuuoo
Este processo permite produzir placas e painéis de grande comprimento. As
fibras (unidirecionais, tecidos ou esteira) juntamente com a resina são depositadas
entre dois filmes desmoldantes. A forma da placa e a cura da resina são dadas dentro
da estufa, Figura 1.16 e Figura 1.17.
molde
resina
contra-molde
molde
aquecido
Contra-molde
aquecido
Fibra pré-impregnadaaquecida
Aspectos gerais dos materiais compostos 16
Figura 1.16 – Moldagem de placas contínuas
Figura 1.17 – Moldagem de placas onduladas contínuas
11..77..77 –– MMoollddaaggeemm ppoorr cceennttrriiffuuggaaççããoo
Este processo é utilizado na produção de peças de revolução. Dentro do molde
em movimento de rotação é injetado as fibras cortadas juntamente com a resina. A
impregnação da resina nas fibras e a compactação é feita pelo efeito de centrifugação.
A cura da resina pode ser feita a temperatura ambiente ou em uma estufa. Este
processo é utilizado em casos onde não se exige homogeneidade das propriedades
mecânicas da peça.
estufa
faca
rolos
fibras
resina
filme desmoldante
filme desmoldante
resina
faca
fibras cortadas
filme desmoldante
filme desmoldante
rolos
estufa
Curso de projeto estrutural com materiais compostos 17
Figura 1.18 – Moldagem por centrifugação
Outros processos de fabricação de peças de revolução podem ser empregados
quando se exige homogeneidade das propriedades mecânicas da peça. Nestes
processos fibras são enroladas (bobinadas) sobre um mandril que dará a forma final da
peça. Este processo permite a fabricação industrial de tubos de diversos diâmetros e
grandes comprimentos de alta performance.
Para atender a estas necessidades de projeto, o bobinamento das fibras pode
ser feito da seguinte maneira: bobinamento circunferencial, bobinamento helicoidal e o
bobinamento polar.
11..77..88 –– BBoobbiinnaammeennttoo cciirrccuunnffeerreenncciiaall
No bobinamento circunferencial, as fibras são depositadas em um mandril
rotativo, com um ângulo de deposição de 90° em relação ao eixo de rotação, Figura
1.19. Este tipo de bobinamento resiste aos esforços circunferenciais.
fibra
molde
Aspectos gerais dos materiais compostos 18
Figura 1.19 - Bobinamento circunferencial
11..77..99 –– BBoobbiinnaammeennttoo hheelliiccooiiddaall
No bobinamento helicoidal, as fibras são depositadas em um mandril rotativo
com um ângulo de deposição α em relação ao eixo de rotação, Figura 1.20. Este tipo de
bobinamento resiste aos esforços circunferenciais e longitudinais.
Figura 1.20 - Bobinamento helicoidal
fibras
resina
mandril
guia
Curso de projeto estrutural com materiais compostos 19
Figura 1.21 - Bobinamento helicoidal contínuo
11..77..1100 –– BBoobbiinnaammeennttoo ppoollaarr
No bobinamento polar, o reforço é depositado no mandril de forma a tangenciar
as duas aberturas dos domos, traseiro e dianteiro, Figura 1.22. O ângulo de deposição
varia de αo, constante na região cilíndrica, até 90° nas duas aberturas dos domos. O
bobinamento polar resiste preferencialmente aos esforços longitudinais.
A fabricação de vasos de pressão bobinados consiste de dois tipos de
bobinamento, como é o caso da Figura 1.10. Nos domos traseiro e dianteiro, o
bobinamento é do tipo polar [(±θ], enquanto que na região cilíndrica, os bobinamentos
circunferencial e polar se intercalam [(90º/±θ].
fibras
mandril
fibras
impregnadas
estufa
Aspectos gerais dos materiais compostos 20
Figura 1.22 - Bobinamento polar
11..88 –– AArrqquuiitteettuurraa ddooss mmaatteerriiaaiiss ccoommppoossttooss
11..88..11 –– LLaammiinnaaddooss
Os laminados, ou estruturas laminadas, são constituidos de sucessivas lâminas
de fibras impregnadas em resina segundo uma orientação, Figura 1.23. A designação
dos laminados é efetuada segundo a disposição das lâminas e a orientação da lâmina
com relação ao eixo de referência, Figura 1.24.
Curso de projeto estrutural com materiais compostos 21
Figura 1.23 – Constituição de um laminado
Figura 1.24 – Designação de um laminado
11..88..22 –– SSaanndduuíícchhee
O princípio da técnica de estruturas do tipo sanduíche consiste em colocar um
material leve (geralmente com boas propriedades em compressão) entre duas contra-
placas com alta rigidez. Este princípio concilia leveza e rigidez a estrutura final.
45°45° 0°90°90°30° 45° 0° 45° 90° 90° 30°
[45/0/45/902/30
Aspectos gerais dos materiais compostos 22
Figura 1.25 – Sanduíche de alma plena
Figura 1.26 – Sanduíche de alma “oca”
11..99 –– DDeetteerrmmiinnaaççããoo eexxppeerriimmeennttaall ddaass ccoonnssttaanntteess eelláássttiiccaass ddee uummaa llââmmiinnaa
Placas rígidas (aço,placas laminadas, etc)
alma de baixopeso (espuma,resina, etc)
Placas rígidas (aço,placas laminadas, etc)
Alma de madeira
Sentido das fibras damadeira
colméia
alma ondulada
Curso de projeto estrutural com materiais compostos 23
Para a determinação das constantes elásticas de placas unidirecionais em
fibra/resina, é necessário cortar dois corpos de prova padronizados, sobre os quais são
colados dois extensômetros dispostos ortogonalmente como mostrado abaixo.
Os corpos de prova são ensaiados numa máquina de tração e as deformações
são medidas pelos extensômetros.
Como exemplo, se for aplicado uma tensão de tração σx = 20 MPa, as
deformações medidas pelos extensômetros no primeiro corpo de prova são: ε1x = 143e-
6 e ε1y = - 36e-6. Assim:
x x1x
x 1E Eσ σ
ε = = , x1
1x
20E143e 6
σ= =
ε − , E1 = 139860 MPa
1y xy 1x 12 1xε = −ν ε = −ν ε , 1y12
1x
εν = −
ε , 12
36e 6143e 6
−ν =
− , ν12 = 0,25
Analogamente, se for aplicado uma tensão de tração σx = 20 MPa, as
deformações medidas pelos extensômetros no segundo corpo de prova, no qual as
fibras formam um ângulo de 20° com o eixo x, são: ε2x = 660e-6 e ε2y = - 250e-6. Assim
de [1], pag. 332:
x
y σx
20° x
y σx
Aspectos gerais dos materiais compostos 24
x2x
xEσ
ε = (1)
4 42 2 12
x 1 2 12 1
1 c s 1c s 2E E E G E
ν= + + −
(2)
4 42 2 12
2x x1 2 12 1
c s 1c s 2E E G E
ν ε = + + − σ
(3)
x2y xy
xEσ
ε = −ν (4)
onde c = cos 20° e s = sen 20°. Como 21 12
2 1E Eν ν
= e yx xy
y xE Eν ν
= :
( )xy 4 4 2 221
x 2 1 2 12
1 1 1c s c sE E E E Gν ν
− = − + + + −
(5)
Substituindo (5) em (4):
( )4 4 2 2122y x
1 1 2 12
1 1 1c s c sE E E G
ν ε = − + − + − σ
(6)
De (3) e (6) temos:
12 2
1 0,1325 2,69e 4G E
+ = − , 12 2
1 1 1,144e 4G E
− = −
A solução é:
E2 = 7320 MPa , G12 = 3980 MPa e ν21 = 0,013
Curso de projeto estrutural com materiais compostos 25
22 –– CCOONNSSTTAANNTTEESS EELLÁÁSSTTIICCAASS DDOOSS MMAATTEERRIIAAIISS CCOOMMPPOOSSTTOOSS
22..11 –– EEqquuaaççõõeess ccoonnssttiittuuttiivvaass ppaarraa mmaatteerriiaaiiss ccoommppoossttooss
A anisotropia dos materiais compostos é mais facilmente trabalhada do que nos
casos mais gerais de materiais anisotrópicos, como por exemplo a madeira. Para os
materiais compostos, pode-se definir um sistema de eixos ortogonais, dentro do qual as
propriedades mecânicas são identificadas. Um eixo designado 1 (ou l) é colocado
longitudinalmente as fibras, um outro designado 2 (ou t) é colocado transversalmente as
fibras e um outro designado 3 (ou t’) é colocado ortogonalmente aos dois anteriores,
Figura 2.1.
Figura 2.1 – Sistema de eixos de ortotropia
A lei de comportamento do material composto que relaciona deformação/tensão
pela matriz de flexibilidade, dentro do sistema de eixos de ortotropia (1, 2, 3), contêm 9
constantes elásticas independentes, e é da seguinte maneira:
11
22
33
Constantes elásticas dos materiais compostos 26
31211 2 3
32121 11 2 3
2 213 23
3 31 2 323 23
2313 13
12 1213
12
1 0 0 0E E E
1 0 0 0E E E
1 0 0 0E E E10 0 0 0 0G
10 0 0 0 0G10 0 0 0 0 G
−ν−ν −ν−νε σ
ε σ −ν −ν ε σ = γ τ γ τ
γ τ
(2.1)
onde:
εii = deformações normais na direção i
γij = deformações angulares no plano ij
σii = tensões normais na direção i
τij = tensões de cisalhamento no plano ij
νij = coeficiente de poisson (deformação causada na direção j devida uma solicitação na
direção i).
Ei = módulo de elasticidade na direção i
Gij = módulo de cisalhamento no plano ij
Como a matriz de comportamento é simétrica tem-se que:
21 12
2 1E Eν ν
= , 31 13
3 1E Eν ν
= , 32 23
3 2E Eν ν
= (2.2)
Para a demonstração da simetria da matriz de comportamento, considere uma
placa unidirecional de dimensões a, b e espessura e:
1
2
b
a
Curso de projeto estrutural com materiais compostos 27
Deformações devido a σ1 (na direção longitudinal):
( ) l 11 l
1
∆bb E
σε = = , ( ) ( )l 1
2 12 1 12l l1
∆aa E
σε = = −ν ε = −ν (2.3)
Deformações devido a σ2 (na direção transversal):
( ) 2 22 2
2
∆aa E
σε = = , ( ) ( )2 2
1 21 2 212 22
∆bb E
σε = = −ν ε = −ν (2.4)
Considerando a energia acumulada devida ao carregamento σ1 e depois a σ2,
mantendo σ1:
1 1 2 2 1 21 1W ( a e) ∆b ( b e) ∆a ( a e) ∆b2 2
= σ + σ + σ (2.5)
Considerando agora a energia acumulada devida ao carregamento σ2 e depois a
σ1, mantendo σ2:
2 2 1 1 2 11 1W ' ( b e) ∆a ( a e) ∆b ( b e) ∆a2 2
= σ + σ + σ (2.6)
Sendo a energia final a mesma, W = W’:
1 2 2 1( a e) ∆b ( b e) ∆aσ = σ , 2 11 21 2 12
2 1a e b b e a
E E σ σ
σ −ν = σ −ν
(2.7)
21 12
2 1E Eν ν
= (2.8)
Em alguns casos, é possível considerar que as propriedades mecânicas nas
direções 2 e 3 são idênticas, já que, como mostrado pela Figura 2.1, estas direções são
direções perpendiculares a direção 1. Para este caso de materiais, ditos isotrópicos
transversos, a matriz de comportamento se simplifica, necessitando somente de 5
constantes elásticas independentes:
Constantes elásticas dos materiais compostos 28
21 211 2 2
12 21 11 2 2
2 212 2
3 31 2 2
23 232213 13
12 1212
12
1 0 0 0E E E
1 0 0 0E E E
1 0 0 0E E E2(1 )0 0 0 0 0E
10 0 0 0 0G10 0 0 0 0 G
−ν −ν −ν −νε σ ε σ −ν −ν ε σ = γ τ+ ν γ τ
γ τ
(2.9)
onde:
ν2 = coeficiente de poisson no plano de isotropia transversa
Nota-se que, devido a isotropia transversa, 2
23 2
1 2(1 )G E
+ ν= .
A relação tensão/deformação é dada pela matriz constitutiva do material, inversa
da matriz de flexibilidade dada na eq. (2.1):
11 12 13 14 15 151 1
21 22 23 24 25 262 2
31 32 33 34 35 363 3
41 42 43 44 45 4623 23
51 52 53 54 55 5613 13
61 62 63 64 65 6612 12
Q Q Q Q Q QQ Q Q Q Q QQ Q Q Q Q QQ Q Q Q Q QQ Q Q Q Q QQ Q Q Q Q Q
σ ε σ ε σ ε = τ γ τ γ
τ γ
(2.10)
onde os termos não nulos são:
23 32 21 31 2311 12 44 23
2 3 2 3
13 31 31 21 3222 13 55 31
1 3 2 3
32 12 3112 2133 23 66 12
1 2 1 3
1Q Q Q GE E ∆ E E ∆1Q Q Q GE E ∆ E E ∆1Q Q Q GE E ∆ E E ∆
+ ν ν ν + ν ν= = =
+ ν ν ν + ν ν= = =
ν + ν ν+ ν ν= = =
(2.11)
Curso de projeto estrutural com materiais compostos 29
com 12 21 23 32 13 31 21 32 13
1 2 3
1 2∆E E E
+ ν ν − ν ν − ν ν − ν ν ν=
Considerado somente o estado plano de tensão (placas laminadas com σ33 = 0,
τ23 = 0 e τ13 = 0), a matriz de rigidez do material composto pode ser freqüentemente
encontrada da seguinte forma:
1 11 12 1
2 12 22 2
12 66 12
Q Q 0Q Q 00 0 Q
σ ε σ = ε τ γ
(2.12)
onde:
111
12 21
222
12 21
21 112
12 21
66 12
EQ (1 )EQ (1 )
EQ (1 )Q G
= − ν ν
= − ν νν= − ν ν
=
(2.13)
22..22 –– EEffeeiittoo ddaa tteemmppeerraattuurraa
Quando se deseja levar em consideração os efeitos de variação de temperatura
em estruturas compostas, na lei de comportamento do material deve ser considerada
as deformações devido a este efeito:
31211 2 3
32121 1 11 2 3
2 2 213 23
3 3 31 2 323 23
2313 13
12 1213
12
1 0 0 0E E E
1 0 0 0E E E
1 0 0 0E E E ∆T010 0 0 0 0G 0
10 0 0 0 0 0G10 0 0 0 0 G
−ν−ν −ν−νε σ α
ε σ α −ν −ν ε σ α = + γ τ γ τ
γ τ
(2.14)
Constantes elásticas dos materiais compostos 30
onde α1 é o coeficiente de dilatação térmica das fibras, α2 é o coeficiente de dilatação
térmica da resina e α3 é o coeficiente de dilatação térmica da resina.
A forma inversa da relação anterior colocada de maneira compacta é:
{ } [ ]{ }1t
111 C ε−ε=σ (2.15)
onde ε1t é a deformação térmica.
Curso de projeto estrutural com materiais compostos 31
33 –– CCOONNSSTTAANNTTEESS EELLÁÁSSTTIICCAASS DDOOSS MMAATTEERRIIAAIISS CCOOMMPPOOSSTTOOSS NNUUMMAA DDIIRREEÇÇÃÃOO
QQUUAALLQQUUEERR
33..11 –– EEqquuaaççõõeess ccoonnssttiittuuttiivvaass ddooss mmaatteerriiaaiiss ccoommppoossttooss nnuummaa ddiirreeççããoo qquuaallqquueerr
Para a análise do comportamento mecânico de placas laminadas é necessário
definir um sistema de eixos de referência (x, y, z) para o conjunto de lâminas e
expressar as constantes elásticas de cada lâmina neste sistema de referência. Para isto
é considerada uma lâmina sobre a qual estão definidos os eixos de ortotropia (1, 2, 3).
O sistema de eixos de referência é girado em torno do eixo 3 do ângulo θ, Figura 3.1.
Figura 3.1 – Sistema de eixos de ortotropia e de referência
Uma das maneiras de determinar a matriz de transformação, que relaciona as
tensões dadas no sistema de eixos de referência com as tensões no sistema de eixos
de ortotropia, é através do balanço de forças nas direções x e y sobre um elemento
plano, conforme mostrado na Figura 3.2.
1
2
3, z
x
y
θ
Constantes elásticas dos materiais compostos numa direção qualquer 32
Figura 3.2 – Transformação de tensão no plano x-y
Aplicando as equações de equilíbrio estático:
→ 0=∑ xF ,
x 1 12
2 12
dA dA cos cos dA cos sendA sen sen dA sen cos 0
σ − σ θ θ − τ θ θ −
σ θ θ − τ θ θ = (3.1)
2 2x 1 2 12cos sen 2 cos senσ = σ θ + σ θ + τ θ θ (3.2)
↑ 0=∑ yF ,
σ1
τ12
σ2
1
2
τ21
x
y
+ θ
+ θ A
B
Cθ
σx τxy
τ12
τ21
σ2
σ1
x
y
θ
dA
σx dA τxy dA
τ21 dA senθ
σ1 dA cosθ
x
y
θ
σ2 dA senθ
τ12 dA cosθ
Curso de projeto estrutural com materiais compostos 33
xy 1 12
2 12
dA dA cos sen dA cos cosdA sen cos dA sen sen 0
τ + σ θ θ − τ θ θ −
σ θ θ + τ θ θ = (3.3)
2 2xy 1 2 12cos sen sen cos (cos sen )τ = − σ θ θ + σ θ θ + τ θ − θ (3.4)
A tensão normal σy é obtida fazendo θ = θ + 90° na equação para σx. 2 2
y 1 2 12sen cos 2 cos senσ = σ θ + σ θ − τ θ θ (3.5)
Considerando o elemento conforme apresentado pela Figura 3.3, pode-se
determinar a tensão σxz:
Figura 3.3 – Transformação de tensões transversas
↑ 0=∑ zF ,
xz 13 23dA dA cos dA sen 0τ − τ θ −τ θ = (3.6)
xz 23 13sen cosτ = τ θ + τ θ (3.7)
A tensão σyz é obtida fazendo θ = θ + 90° na equação para σxz.
yz 23 13cos senσ = σ θ −σ θ (3.8)
τxz
τ13
τ23
1
x
y θ
dA z
Constantes elásticas dos materiais compostos numa direção qualquer 34
A matriz de transformação [T], pode então ser escrita da forma:
{ } [ ]{ }1x
12
13
23
3
2
1
22
22
22
xy
xz
yz
z
y
x
Tou
sc000scsc0cs0000sc000000100sc2000cs
sc2000sc
σ=σ
τττσσσ
−−
−
−
=
τττσσσ
σ (3.9)
O tensor de deformações medido no sistema de referência tem a mesma forma
que o tensor de tensões dado no sistema de referência (x, y, z), ou seja:
{ } [ ] { }
2 2x 1
2 2y 2
z 3 x 1
yz 23
13xz2 2 12xy
c s 0 0 0 scs c 0 0 0 sc0 0 1 0 0 0 ou T0 0 0 c s 00 0 0 s c 02sc 2sc 0 0 0 c s
ε
ε ε ε ε− ε ε = ε = ε γ γ γγ − γ γ − −
(3.10)
onde [ ] [ ]( ) t1TT −σε = ou [ ] [ ] t1 TT σ
−ε =
Considerando o comportamento elástico linear, a lei de comportamento do
material composto expressa no sistema de eixos de referência (x, y, z) é da seguinte
forma:
{ } [ ]{ } [ ] [ ]{ } [ ] [ ][ ] { } [ ] [ ][ ] { }xt1x11111x TCTTCTCTT ε=ε=ε=σ=σ σσ−
εσσσ (3.11)
Logo, a matriz de rigidez ou matriz constitutiva [Cx], dada no sistema de eixos de
referência (x, y, z) é:
[ ] [ ] [ ][ ] t1x TCTC σσ= (3.12)
Curso de projeto estrutural com materiais compostos 35
Considerado somente o estado plano de tensão (placas laminadas com σ33 = 0,
τ23 = 0 e τ13 = 0), a matriz de rigidez do material composto obtida no sistema de eixos
de referência é freqüentemente encontrada da seguinte forma:
x 11 12 16 x
y 21 22 26 y
63 62 66xy xy
Q Q QQ Q QQ Q Q
σ ε
σ = ε τ γ
(3.13)
com:
( ) ( )( ) ( )
( )( )
( )( )
4 4 2 211 11 22 12 66
4 4 2 222 11 22 12 66
2 2 2 266 11 22 12 66
2 2 4 412 11 22 66 12
2 2 2 216 11 22 12 66
2 2 2 226 11 22 12 66
Q c Q s Q 2c s (Q 2Q )
Q s Q c Q 2c s (Q 2Q )
Q c s Q Q 2Q c s Q
Q c s Q Q 4Q c s Q
Q cs c Q s Q c s Q 2Q
Q cs s Q c Q c s Q 2Q
= + + +
= + + +
= + − + −
= + − + +
= − − − − + = − − + − +
(3.14)
onde Q11, Q22, Q12 e Q66 são dados da eq. (2.13).
A matriz de flexibilidade [S], que relaciona deformação/tensão, dada no sistema
de eixos de referência (x, y, z) é:
{ } [ ]{ } [ ] [ ]{ } [ ] [ ][ ] { } [ ] [ ][ ] { }xt1x11111x TSTTSTSTT σ=σ=σ=ε=ε εε−
σεεε (3.15)
ou:
{ } [ ] [ ][ ] t1x TSTS εε= (3.16)
Após a multiplicação de matrizes, a matriz de flexibilidade pode ser expressa da
seguinte maneira [1]:
Constantes elásticas dos materiais compostos numa direção qualquer 36
τττσσσ
ςµη
ξ
ξ
ςν−ν−
µν−ν−
ην−ν−
=
γγγεεε
xy
xz
yz
z
y
x
xyzz
x
y
xx
xzyz
yz
xzxz
yz
xy
xy
zy
yz
xxz
xy
xy
z
zy
yx
xy
xy
xy
zzx
y
yx
x
xy
xz
yz
z
y
x
GEEE
GG
GG
GEEE
GEEE
GEEE
100
01000
01000
001
001
001
(3.17)
Observa-se que surgem termos de acoplamento que relacionam tensões de
cisalhamento com deformações normais: ηxy/Gxy, µxy/Gxy e ζx/Gxy; e termos de
acoplamento que relacionam tensões normais com deformações angulares ηx/Ex, µy/Ex,
e ζz/Ez. Estes termos surgem quando, por exemplo, aplicando uma tensão normal, a
lâmina se deforma da seguinte maneira, Figura 3.4:
Figura 3.4 – Deformação de materiais isotrópico e ortotrópico devido à carga normal
Material isotrópico Material ortotrópico
σx σx
σx σx
Curso de projeto estrutural com materiais compostos 37
33..22 -- EEffeeiittoo ddaa tteemmppeerraattuurraa
O efeito da temperatura sobre os materiais compostos considerado em uma
direção qualquer é dado da forma:
{ } [ ]{ }1xt T ε=ε ε (3.18)
ou seja:
2 2x t1
2 2y t 2
z t 3
yz t
xz t2 2
xy t
c s 0 0 0 sc ∆T∆Ts c 0 0 0 sc∆T0 0 1 0 0 0
00 0 0 c s 000 0 0 s c 002sc 2sc 0 0 0 c s
ε α ε α− ε α = γ −γ − −γ
(3.19)
A relação tensão/deformação considerando o efeito da temperatura, dada no
sistema de eixos de referência (x, y, z) pode ser obtida pela eq. (2.19) e utilizando a
matriz de transformação dada pelas eqs. (3.9) ou (3.10):
[ ]{ } [ ] [ ]{ } [ ] [ ][ ] { } [ ] [ ][ ] { }xt
xt1xt
x111t
111 TCTTCTCTT ε−ε=ε−ε=ε−ε=σ σσ−
εσσσ (3.20)
ou seja:
{ } [ ]{ }xt
xxx C ε−ε=σ (3.21)
A relação tensão/deformação considerando somente o estado plano de tensão é
do tipo:
x x tx 11 12 16
y 12 22 26 y y t
16 26 66xy xy xy t
Q Q QQ Q QQ Q Q
ε − ε σ
σ = ε − ε τ γ − γ
(3.22)
Comportamento mecânico de placas laminadas 38
44 –– CCOOMMPPOORRTTAAMMEENNTTOO MMEECCÂÂNNIICCOO DDEE PPLLAACCAASS LLAAMMIINNAADDAASS
Os materiais compostos são na maioria dos casos utilizados na forma de
laminados, onde as lâminas são coladas umas sobre as outras com orientações e
espessura das fibras podendo ser diferentes uma das outras. No caso de placas, uma
dimensão é muito pequena com relação as outras duas. Em conseqüência disto, a
tensão normal na direção da espessura da placa é considerada desprezível (σz = 0).
As deformações são determinadas em função do campo de deslocamentos
definido para o laminado. Na teoria clássica de laminados, na definição do campo de
deslocamentos, o cisalhamento transverso é considerado nulo (σxz = σyz = 0). Na teoria
de primeira ordem, na definição do campo de deslocamentos, o cisalhamento
transverso é considerado não nulo (σxz ≠ 0, σyz ≠ 0), porém constante ao longo da
espessura da placa.
44..11 –– TTeeoorriiaa cclláássssiiccaa ddee llaammiinnaaddooss
Da definição do campo de deslocamento na teoria clássica de laminados, o
cisalhamento transverso é considerado nulo, o que resulta num estado plano de tensão,
onde as únicas tensões não nulas são: σx, σy e σxy.
44..11..11 –– CCoommppoorrttaammeennttoo eemm mmeemmbbrraannaa
No estudo do comportamento em membrana dos materiais compostos, é
considerado um laminado de espessura total h com n lâminas de espessura hk cada
uma. As solicitações no plano do laminado são denotadas Nx, Ny (forças normais por
unidade de comprimento transversal); Nxy e Nyx (forças cortantes por unidade de
comprimento transversal). Os eixos x, y, e z são eixos de referência, conforme visto no
item 3.
Os esforços Nx, Ny, Nxy e Nyx são determinados da seguinte maneira:
Curso de projeto estrutural com materiais compostos 39
∑∫
∑∫
∑∫
=−
=−
=−
τ=τ==
σ=σ=
σ=σ=
n
1kk
kxy
2/h
2/hxyxyyx
n
1kk
ky
2/h
2/hyy
n
1kk
kx
2/h
2/hxx
h)1.dz(1.N1.N
h)1.dz(1.N
h)1.dz(1.N
(4.1)
Considerando que os deslocamentos na direção x e y são u e v,
respectivamente, as deformações normais e angulares correspondentes à estas
solicitações são:
y
z
x
Ny dx
Nx dy
Nyx dx
Nxy dy
dx
dy
h
z
hk tensões
z
deformações
Comportamento mecânico de placas laminadas 40
xv
yu
yvxu
yx
y
x
∂∂
+∂∂
=γ
∂∂
=ε
∂∂
=ε
(4.2)
As tensões σx, σy e σxy são obtidas no sistema de eixos de referência x, y, e z, e
estão relacionadas com as deformações pela matriz de rigidez, eq. (3.13).
Considerando somente os esforços de membrana, os esforços Nx, Ny, e Nxy são
determinados em função das constantes elásticas de cada lâmina:
{ }∑=
γ+ε+ε=n
1kkxy
k16y
k12x
k11x hQQQN (4.3)
que de maneira mais compacta pode escrito:
x 11 x 12 y 16 xyN A A A= ε + ε + γ (4.4)
onde:
∑
∑
∑
=
=
=
=
=
=
n
1kk
k1616
n
1kk
k1212
n
1kk
k1111
hQA
hQA
hQA
(4.5)
De maneira análoga:
y 21 x 22 y 26 xyN A A A= ε + ε + γ (4.6)
com:
∑=
=n
1kk
kj2j2 hQA (4.7)
Curso de projeto estrutural com materiais compostos 41
xy66y62x61xy AAAN γ+ε+ε= (4.8)
com:
∑=
=n
1kk
kj6j6 hQA (4.9)
Exprimindo os esforços Nx, Ny, e Nxy em forma matricial, temos:
γεε
=
xy
y
x
666261
262221
161211
xy
y
x
AAAAAAAAA
NNN
(4.10)
com:
∑=
=n
1kk
kijij hQA (4.11)
Observações:
As expressões acima são independentes da ordem de empilhamento das lâminas.
Os termos de acoplamento A16, A26, A61 e A62 se anulam quando o laminado é
simétrico e equilibrado (mesmo número de lâminas de mesma espessura na direção
+θ e -θ) ou anti-simétrico.
A partir dos esforços Nx, Ny, e Nxy, pode-se determinar as tensões globais
(fictícias), considerando o laminado como sendo homogêneo:
hNh
Nh
N
xyxy
yy
xx
=τ
=σ
=σ
(4.12)
Comportamento mecânico de placas laminadas 42
A lei de comportamento em membrana do laminado “homogêneo” é da seguinte
forma:
γεε
=
τσσ
xy
y
x
666261
262221
161211
xy
y
x
AAAAAAAAA
h1 (4.13)
Os componentes da matriz de comportamento acima podem também ser
apresentados em termos de porcentagem de lâminas numa mesma orientação em
relação a espessura total.
∑=
=n
1k
kkijij h
hQAh1 (4.14)
Da inversão da matriz de comportamento acima, obtêm-se as constantes
elásticas aparentes ou homogeneizadas do laminado:
τσσ
µη
µν−
ην−
=
γεε
xy
y
x
xyx
y
x
x
xy
xy
yx
xy
xy
xy
y
yx
x
xy
y
x
GEE
GEE
GEE
1
1
1
(4.15)
A partir destas constantes elásticas, conhecido o carregamento do laminado (Nx,
Ny e Nxy), é possível determinar as deformações.
Exemplo 4.1 – Considere o laminado simétrico e balanceado (+45°/-45°/-45°/+45°) em
vidro/epóxi. Determine as constantes elásticas do laminado se cada lâmina tem
espessura 0,5 mm. Considere: E1 = 45,0 GPa, E2 = 12,0 GPa, G12 = 4,5 GPa, ν12 = 0,30.
A matriz constitutiva das lâminas no sistema de ortotropia (1, 2, 3), eq. (2.12), é
da seguinte forma:
[ ] MPa105,400
03,127,307,31,46
Q 3
= (4.16)
Curso de projeto estrutural com materiais compostos 43
Para as lâminas orientadas à +45°, a matriz constitutiva das lâminas no sistema
de referência (x, y, z), eq. (3.13), é da forma:
[ ] MPa108,1246,846,8
46,80,219,1146,89,119,20
Q 3450
=+ (4.17)
Para as lâminas orientadas à -45°, a matriz constitutiva das lâminas no sistema
de referência (x, y, z), eq. (3.13), é da forma:
[ ] MPa108,1246,846,846,80,219,1146,89,119,20
Q 3450
−−−−
=− (4.18)
A matriz [A] que representa a rigidez em membrana do laminado, eq. (4.10) é:
[ ]mmN10
51,2500091,4189,23089,2387,41
A 3
= (4.19)
A lei de comportamento em membrana do laminado considerado “homogêneo”,
eq. (4.13) é da seguinte forma:
γεε
=
τσσ
xy
y
x
xy
y
x
51,2500091,4189,23089,2387,41
21 (4.20)
Logo, invertendo o sistema dado pela eq. (4.20), as constantes elásticas podem
ser encontradas:
Ex = 14,13 103 MPa, Ey = 14,14 103 MPa, νxy = 0,5701, νyx = 0,5705,
Gxy =12,76 103 MPa
e os termos de acoplamento são:
ηxy = 0.0, µxy = 0.0, ηx = 0.0, µy = 0.0
Comportamento mecânico de placas laminadas 44
Exemplo 4.2 – Considere o laminado anti-simétrico e balanceado (+45°/-45°/+45°/-45°)
em vidro/epóxi. Determine as constantes elásticas do laminado se cada lâmina tem
espessura 0,5 mm. Considere: E1 = 45,0 GPa, E2 = 12,0 GPa, G12 = 4,5 GPa, ν12 = 0,30.
As matrizes constitutivas no sistema de eixos de ortotropia e de referência são
idênticas às apresentadas no exemplo 4.1. A matriz [A] e a lei de comportamento em
membrana do laminado considerado “homogêneo”, também são idênticas, logo as
constantes elásticas são também idênticas e são:
Ex = 14,13 103 MPa, Ey = 14,14 103 MPa, νxy = 0,5701, νyx = 0,5705,
Gxy =12,76 103 MPa
e os termos de acoplamento são:
ηxy = 0,0, µxy = 0,0, ηx = 0,0, µy = 0,0
Observe que nestes dois exemplos anteriores, o laminado pode ser considerado
quase isotrópico.
Exemplo 4.3 – Considere um laminado com seqüência de empilhamento aleatória
(+30°/-45°/-60°/45°) em vidro/epóxi. Determine as constantes elásticas do laminado se
cada lâmina tem espessura 0,5 mm. Considere: E1 = 45,0 GPa, E2 = 12,0 GPa, G12 =
4,5 GPa, ν12 = 0,30.
A matriz constitutiva no sistema de eixos de ortotropia é a mesma dada pela eq.
(4.16). Para as lâminas orientadas à +45° e -45°, as matrizes constitutivas das lâminas
no sistema de referência (x, y, z) são dadas pelas eqs. (4.17) e (4.18), respectivamente.
Para as lâminas orientadas à +30° e -60°, as matrizes constitutivas das lâminas no
sistema de referência (x, y, z) são respectivamente:
[ ] MPa107,1075,39,10
75,36,1488,99,1088,95,31
Q 3300
=+ (4.21)
[ ] MPa107,109,1074,39,106,1488,9
74,388,96,14Q 3
600
−−−−
=− (4.22)
Curso de projeto estrutural com materiais compostos 45
A lei de comportamento em membrana do laminado considerado “homogêneo”, é
da seguinte forma:
MPa1045,2357,358,357,351,3582,21
58,382,2194,43
21 3
xy
y
x
xy
y
x
γεε
−−=
τσσ
(4.23)
Logo, as constantes elásticas encontradas são:
Ex = 15,19 103 MPa, Ey = 15,31 103 MPa, νxy = 0,5131, νyx = 0,5170,
Gxy =10,94 103 MPa
e os termos de acoplamento são:
ηxy = -0,1603, µxy = 0,1788, ηx = -0,2225, µy = 0,2502
44..11..22 –– CCoommppoorrttaammeennttoo eemm fflleexxããoo
No estudo do comportamento em flexão dos materiais compostos é considerado
um laminado de espessura total h com n lâminas de espessura hk cada uma. As
solicitações no laminado são denotadas Mx, My (momentos fletores por unidade de
comprimento em torno dos eixos y e x respectivamente); Mxy e Myx (momentos torçores
por unidade de comprimento), Figura 4.1. Os eixos x, y, e z são novamente eixos de
referência.
Os esforços Mx, My, Mxy e Myx são determinados da seguinte maneira:
z)1.dz(MM
z)1.dz(M
z)1.dz(M
2/h
2/hxyxyyx
2/h
2/hyy
2/h
2/hxx
∫
∫
∫
−
−
−
τ==
σ=
σ=
(4.24)
Comportamento mecânico de placas laminadas 46
Figura 4.1 – Hipóteses de deslocamento pela Teoria Clássica de Laminados (T.C.L.)
Os deslocamentos nas direções x, y e z da superfície neutra são uo, vo e wo e
são definidos como segue (ver Figura 4.1):
o
oo
oo
wwy
wzvv
xwzuu
=∂
∂−=
∂∂
−=
(4.25)
e as deformações normais e angulares são:
sem carregamento
h
z
zk
zk-1 uo
wo
com carregamento
xw0
∂∂
xw0
∂∂
y
z
dx
dy
x Mx Mxy
My
Myx
Curso de projeto estrutural com materiais compostos 47
00
yxw2z
ywz
xwz
yz
xz
o2
0xyxy
2o
20yy
2o
20xx
=γ
=γ∂∂
∂−γ=γ
∂
∂−ε=ε
∂
∂−ε=ε
(4.26)
As deformações ε0x, ε0
y e γ0xy são deformações normais e angular da superfície
neutra. As curvaturas são normalmente escritas da forma: 2
ox2
wx
∂− = κ
∂,
2o
y2wy
∂− = κ
∂,
2o
xyw2
x y∂
− = κ∂ ∂
, logo as deformações podem ser redefinidas como segue:
xy0xyxy
y0yy
x0xx
z
z
z
κ+γ=γ
κ+ε=ε
κ+ε=ε
(4.27)
Considerando a matriz de comportamento de cada lâmina no sistema de eixos
de referência, os momentos são da forma:
( )zkn
k k kx 11 x 12 y 16 xy
k 1 zk 1
M Q Q Q z dz= −
= ε + ε + γ
∑ ∫ (4.28)
que, levando em conta as deformações, dadas pela eq. (4.26):
( ) ( ) ( )[ ]∑ ∫=
κ+γ+κ+ε+κ+ε=−
n
1k
z
zxy
20xy
k16y
20y
k12x
20x
k11x dzzzQzzQzzQM
k
1k
(4.29)
Se considerarmos que o laminado é simétrico, as integrais do tipo ∫−
k
1k
z
z
kj1 dzzQ , se
Comportamento mecânico de placas laminadas 48
anulam com as integrais ∫−−
−
1k
k
z
z
kj1 dzzQ , consideradas para as lâminas simétricas com
relação a superfície neutra, logo:
( ) ( ) ( )∑=
−−−
κ−
+κ−
+κ−
=n
1kxy
31k
3kk
16y
31k
3kk
12x
31k
3kk
11x 3zzQ
3zzQ
3zzQM (4.30)
que, de forma mais compacta, pode ser colocado:
x 11 x 12 y 16 xyM D D D= κ + κ + κ (4.31)
com:
( )3 3n k k 1k1j 1j
k 1
z zD Q
3−
=
−= ∑ (4.32)
Os momentos My e Mxy podem ser também obtidos de forma análoga. Assim,
colocados em forma matricial, as expressões de momentos são:
x 11 12 16 x
y 21 22 26 y
61 62 66xy xy
M D D DM D D D
D D DM
κ = κ κ
(4.33)
com:
( )3 3n k k 1kij ij
k 1
z zD Q
3−
=
−= ∑ (4.34)
Observações:
As expressões acima dependem da ordem de empilhamento das lâminas.
Os coeficientes D16 e D26 são termos de acoplamento que torçem o laminado
quando aplicados somente momentos de flexão e os coeficientes D61 e D62 são
termos de acoplamento que extendem o laminado quando aplicados somente
momentos de torção.
Curso de projeto estrutural com materiais compostos 49
Questão: É possível um laminado flexionar devido a um carregamento do tipo
membrana. Considere o campo de deformações do laminado em flexão devido aos
esforços de membrana:
( )zkn
k k kx 11 x 12 y 16 xy
k 1 zk 1
N Q Q Q dz= −
= ε + ε + γ
∑ ∫ (4.35)
( ) ( ) ( )zkn
k 0 k 0 k 0x 11 x x 12 y y 16 xy xy
k 1 zk 1
N Q z Q z Q z dz= −
= ε + κ + ε + κ + γ + κ ∑ ∫ (4.36)
Como anteriormente, se considerarmos que o laminado é simétrico, as integrais
do tipo ∫−
k
1k
z
z
kj1 dzzQ , se anulam com as integrais ∫
−−
−
1k
k
z
z
kj1 dzzQ , consideradas para as
lâminas simétricas com relação a superfície neutra, logo:
{ }∑=
γ+ε+ε=n
1kk
0xy
k16
0y
k12
0x
k11x hQQQN (4.37)
Portanto, para laminados simétricos, esforços do tipo membrana não causam
deformações de flexão.
De uma forma geral, para laminados não simétricos, as integrais ∫−
k
1k
z
z
kj1 dzzQ não
se anulam com as integrais ∫−−
−
1k
k
z
z
kj1 dzzQ , assim, o comportamento global de um
laminado é da forma:
[ ] [ ]
[ ] [ ]
κκκγεε
=
xy
y
x
0xy
0y
0x
xy
y
x
xy
y
x
DB
BA
MMMNNN
(4.38)
Comportamento mecânico de placas laminadas 50
onde os coeficientes da matriz [B] são da forma:
( )∑=
−−=
n
1k
21k
2kk
ijij 2zzQB (4.39)
Exemplo 4.4 – Considere um laminado simétrico e balanceado (+30°/-30°/-30°/+30°) em
vidro/epóxi submetido a uma força Nx = 1000 N/mm. Determine as deformações e as
curvaturas do laminado se cada lâmina tem espessura 0,5 mm. Considere: E1 = 45,0
GPa, E2 = 12,0 GPa, G12 = 4,5 GPa, ν12 = 0,30.
A matriz constitutiva no sistema de eixos de ortotropia é a mesma dada pela eq.
(4.16). Para as lâminas orientadas à +30° e -30°, as matrizes constitutivas das lâminas
no sistema de referência (x, y, z) são as mesmas dadas pelas eqs. (4.21) e (4.22):
A matriz de comportamento para este laminado simétrico, dada pela eq. (4.38) é
da forma:
3
xy
y
x
0xy
0y
0x
xy
y
x
xy
y
x
10
13,787,145,500087,171,959,600045,559,697,2000000039,2100000012,2977,19000077,1991,62
0M0M0M0N0N
1000N
κκκγεε
=
=====
=
(4.40)
As deformações e as curvaturas podem então ser determinadas resolvendo o
sistema dado pela eq. (4.40):
ε0x = 0,202e-01, ε0
y = -0,137E-01, γ0xy = 0,0, κx = 0,0, κy = 0,0, κxy = 0,0
Exemplo 4.5 – Considere um laminado anti-simétrico e balanceado (+30°/-30°/+30°/-
30°) em vidro/epóxi submetido a uma força Nx = 1000 N/mm. Determine as
deformações e as curvaturas do laminado se cada lâmina tem espessura 0,5 mm.
Considere: E1 = 45,0 GPa, E2 = 12,0 GPa, G12 = 4,5 GPa, ν12 = 0,30.
A matriz de comportamento para este laminado anti-simétrico, é da forma:
Curso de projeto estrutural com materiais compostos 51
3
xy
y
x
0xy
0y
0x
xy
y
x
xy
y
x
10
13,787,145,5087,145,587,171,959,687,10045,559,697,2045,500087,145,539,210087,100012,2977,1945,500077,1991,62
0M0M0M0N0N
1000N
κκκγεε
=
=====
=
(4.41)
Resolvendo o sistema dado pela eq. (4. ), as deformações e as curvaturas são:
ε0x = 0,213e-01, ε0
y = -0,136e-01, γ0xy = 0,0, κx = 0,0, κy = 0,0, κxy = -0,127e-01
Exemplo 4.6 – Considere um laminado com seqüência de empilhamento aleatória
(+30°/-45°/-30°/45°) em vidro/epóxi submetido a uma força Nx = 1000 N/mm. Determine
as deformações e as curvaturas do laminado se cada Lâmina tem espessura 0,5 mm.
Considere: E1 = 45,0 GPa, E2 = 12,0 GPa, G12 = 4,5 GPa, ν12 = 0,30.
A matriz de comportamento para este laminado com empilhamento aleatório é da
forma:
3
xy
y
x
0xy
0y
0x
xy
y
x
xy
y
x
10
82,705,384,452,035,222,105,384,1128,735,260,152,084,428,746,1722,152,063,252,035,222,139,210035,260,152,0051,3583,21
22,152.063,2083,2139,52
0M0M0M0N0N
1000N
κκκγεε
−−−−−
−−−−−−
−
=
=====
=
(4.42)
Resolvendo a eq. (4.42), as deformações e as curvaturas determinadas são:
ε0x = 0,265e-01, ε0
y = -0,167e-01, γ0xy = 0,337e-03, κx = -0,360e-02, κy = 0,329e-02,
κxy = -0,821e-02
Conclusão: Em um laminado não simétrico com uma solicitação do tipo membrana, as
curvaturas não são nulas. Logo, o laminado pode fletir devido à uma força Nx (κx ≠ 0, κy
≠ 0, κxy ≠ 0).
Comportamento mecânico de placas laminadas 52
Exemplo 4.7 – Considere o laminado simétrico e balanceado (+30°/-30°/-30°/+30°) em
vidro/epóxi submetido a um momento Mx = 1000 N. Determine as deformações e as
curvaturas do laminado se cada lâmina tem espessura 0,5 mm. Considere: E1 = 45,0
GPa, E2 = 12,0 GPa, G12 = 4,5 GPa, ν12 = 0,30.
A matriz de comportamento para este laminado simétrico é a mesma dada pela
eq. (4.40).
3
xy
y
x
0xy
0y
0x
xy
y
x
xy
y
x
10
13,787,145,500087,171,959,600045,559,697,2000000039,2100000012,2977,19000077,1991,62
0M0M
1000M0N0N0N
κκκγεε
=
==
====
(4.43)
Assim, as deformações e as curvaturas podem então ser determinadas
resolvendo o sistema dado pela eq. (4.43):
ε0x = 0,0 , ε0
y = 0,0 , γ0xy = 0.0, κx = 0,718e-01, κy = -0,402e-01, κxy = -0,443e-01
Exemplo 4.8 – Considere o laminado anti-simétrico e balanceado (+30°/-30°/+30°/-30°)
em vidro/epóxi submetido a um momento Mx = 1000 N. Determine as deformações e as
curvaturas do laminado se cada lâmina tem espessura 0,5 mm. Considere: E1 = 45,0
GPa, E2 = 12,0 GPa, G12 = 4,5 GPa, ν12 = 0,30.
A matriz de comportamento para este laminado anti-simétrico, é a mesma dada
pela eq. (4.41):
3
xy
y
x
0xy
0y
0x
xy
y
x
xy
y
x
10
13,787,145,5087,145,587,171,959,687,10045,559,697,2045,500087,145,539,210087,100012,2977,1945,500077,1991,62
0M0M
1000M0N0N0N
κκκγεε
=
==
====
(4.44)
Curso de projeto estrutural com materiais compostos 53
Resolvendo o sistema de equações dado pela eq. (4.44), as deformações e as
curvaturas são:
ε0x = 0,0, ε0
x = 0,0, γ0xy =-0,127e-01, κx = 0,638e-01, κy = -0,409e-01 , κxy = 0,0
Exemplo 4.9 – Considere um laminado com seqüência de empilhamento aleatória
(+30°/-45°/-30°/45°) em vidro/epóxi submetido à um momento Mx = 1000 Nmmm/mm.
Determine as deformações e as curvaturas do laminado se cada lâmina tem espessura
0,5 mm. Considere: E1 = 45,0 GPa, E2 = 12,0 GPa, G12 = 4,5 GPa, ν12 = 0,30.
A matriz de comportamento para este laminado com empilhamento aleatório é a
mesma dada pela eq. (4.42):
3
xy
y
x
0xy
0y
0x
xy
y
x
xy
y
x
10
82,705,384,452,035,222,105,384,1128,735,260,152,084,428,746,1722,152,063,252,035,222,139,210035,260,152,0051,3583,21
22,152.063,2083,2139,52
0M0M
1000M0N0N0N
κκκγεε
−−−−−
−−−−−−
−
=
==
====
(4.45)
Resolvendo o sistema de equações da eq. (4.45), as deformações e as
curvaturas determinadas são:
ε0x = -0,360e-02, ε0
y = -0,106e-02, γ0xy = -0,101e-01, κx = 0,883e-01, κy = -0,471e-01,
κxy = -0,366e-01
Conclusão: No comportamento em flexão do laminado, mesmo sendo este simétrico, os
termos de acoplamento não são nulos (D16 ≠ 0 e D26 ≠ 0). A deformação do laminado
devido à um momento Mx pode ser portanto como apresentado pela Figura 4.2:
Comportamento mecânico de placas laminadas 54
Figura 4.2 – Placas isotrópica e laminada submetidas à um momento fletor
44..11..33 –– EEffeeiittoo ddaa tteemmppeerraattuurraa
O comportamento de estruturas laminadas pode ser estudado incluindo o efeito
da temperatura. Considerando o comportamento em membrana e em flexão, as
tensões nas lâminas podem ser definidas da seguinte maneira:
γεε
−
κ+γκ+εκ+ε
=
τσσ
txy
ty
tx
666261
262221
161211
xy0xy
y0y
x0x
666261
262221
161211
xy
y
x
QQQQQQQQQ
zzz
QQQQQQQQQ
(4.46)
Os esforços de membrana e de flexão do laminado, eqs, (4,1) e (4.24)
respectivamente, podem então ser obtidos como sendo:
[ ] [ ]
[ ] [ ]
−
κκκγεε
=
txy
ty
tx
txy
ty
tx
xy
y
x
0xy
0y
0x
xy
y
x
xy
y
x
MMMNNN
DB
BA
MMMNNN
(4.47)
onde:
placa isotrópica placa laminada
Curso de projeto estrutural com materiais compostos 55
{ }∑=
γ+ε+ε=n
1kktxy
k16ty
k12tx
k11tx hQQQN (4.48)
e:
( )zkn
k k kx t 11 x t 12 y t 16 xy t
k 1 zk 1
M Q Q Q z dz= −
= ε + ε + γ
∑ ∫ (4.49)
Os esforços Ny t, Nxy t, My t e Mxy t são obtidos por analogia.
Exemplo. 4.10 – Considere um laminado simétrico (+45°/-30°/-30°/+45°) em
kevlar/epóxi com espessura de 0,5 mm para cada lâmina. Determine as deformações e
as curvaturas se o laminado é submetido a uma variação de temperatura de -90°C
oriunda do processo de cura da resina. Considere: E1 = 76,0 GPa, E2 = 5,5 GPa, G12 =
2,0 GPa, ν12 = 0,35, α1 = -0,4 x 10-5 °C-1, α2 = 5,8 x 10-5 °C-1.
A matriz constitutiva das lâminas em kevlar/epóxi no sistema de ortotropia (1, 2,
3), eq. (2.12), é da seguinte forma:
[ ] MPa100,200
055,594,1094,17,76
Q 3
= (4.50)
Para as lâminas orientadas à +45°, a matriz constitutiva no sistema de referência
(x, y, z), eq. (3.13), é da forma:
[ ] MPa106,198,178,178,175,235,198,175,195,23
Q 3450
=+ (4.51)
Para as lâminas orientadas à -30°, a matriz constitutiva no sistema de referência
(x, y, z), eq. (3.13), é da forma:
[ ] MPa102,1579,70,2379,71,101,15
0,231,157,45Q 3
300
−−−−
=− (4.52)
Comportamento mecânico de placas laminadas 56
A matriz de comportamento e o vetor relativo ao carregamento térmico, dados
pela eq. (4.47), são da forma: 0xx0
y y
0xy xy
x x
y y
xy xy
N 0 69,20 34,67 5,24 0 0 0N 0 34,67 33,69 10,00 0 0 0N 0 5,24 10,00 34,78 0 0 0M 0 0 0 0 17,52 12,65 8,45M 0 0 0 0 12,65 14,58 9,73
0 0 0 8,45 9,73 12,69M 0
ε= − = ε = − γ = = κ = κ
= κ
3 3
0,420,300,07
10 10000
− − − −
(4.53)
Resolvendo o sistema de equações dado pela eq. (4.53), as deformações e as
curvaturas obtidas são:
ε0x = -0,409e-02, ε0
y = -0,416e-02, γ0xy = -0,139e-02, κx = 0,0, κy = 0,0,κxy = 0,0.
Ex. 4.11: Considere um laminado com seqüência de empilhamento aleatória (+30°/-
45°/-30°/45°) em kevlar/epóxi com espessura de 0,5 mm para cada lâmina. Determine
as deformações e as curvaturas se o laminado é submetido a uma variação de
temperatura de -90°C oriunda do processo de cura da resina. Considere: E1 = 76,0
GPa, E2 = 5,5 GPa, G12 = 2,0 GPa, ν12 = 0,35, α1 = -0,4 x 10-5 °C-1, α2 = 5,8 x 10-5 °C-1.
A matriz constitutiva das lâminas em kevlar/epóxi no sistema de ortotropia (1, 2,
3) é dada pela eq. (4.50). Para as lâminas orientadas à +45°, a matriz constitutiva no
sistema de referência (x, y, z) é dada pela eq. (4.51), e para as lâminas orientadas à -
45°, a matriz constitutiva no sistema de referência é da forma:
[ ] MPa106,198,178,178,175,235,198,175,195,23
Q 3450
−−−−
=− (4.54)
Para as lâminas orientadas à -30°, a matriz constitutiva no sistema de referência
(x, y, z) é dada pela eq. (4.52), e para as lâminas orientadas à +30°, a matriz
constitutiva no sistema de referência é da forma:
Curso de projeto estrutural com materiais compostos 57
[ ] MPa102,1579,70,23
79,71,101,150,231,157,45
Q 3300
=+ (4.55)
A matriz de comportamento e o vetor relativo ao carregamento térmico, dados
pela eq. (4.47), são da forma:
x
y
xy
x
y
xy
N 0 69,20 34,67 0 5,55 1,10 2,62N 0 34,67 33,69 0 1,10 3,35 5,00N 0 0 0 34,78 2,62 5,00 1,10M 0 5,55 1,10 2,62 23,07 11,56 10,20M 0 1,10 3,35 5,00 11,56 11,23 6,40
2,62 5,00 1,10 10,20 6,40 1M 0
= − = − − − = − − = = − = − −
− −=
0x0y
03 3xy
x
y
xy
0,420,30
0,0010 10
0,0030,028
1,59 0,034
ε − ε − γ − −κ
κ κ
(4.56)
Resolvendo o sistema de equações dado pela eq. (4.53), as deformações e as
curvaturas obtidas são:
ε0x = -0,390e-02, ε0
y = -0,445e-02, γ0xy = 0,931e-04, κx = -0,416e-03 , κy = -0,857e-04,
κxy = 0,235e-02.
Conclusão: O processo de cura da resina pode provocar flexão em um laminado não
simétrico.
Critérios de ruptura 58
55 –– CCRRIITTÉÉRRIIOOSS DDEE RRUUPPTTUURRAA
Os critérios de ruptura têm por objetivo permitir ao projetista avaliar a resistência
mecânica de estruturas laminadas. A ruptura de estruturas laminadas em material
composto pode se dar por diferentes mecanismos: ruptura das fibras, ruptura da matriz,
decoesão fibra/matriz, delaminação (descolamento das lâminas), etc.
Os critérios de ruptura podem ser classificados da seguinte maneira:
critério de tensão máxima,
critério de deformação máxima,
critérios interativos ou critérios energéticos.
55..11 –– CCrriittéérriioo ddee tteennssããoo mmááxxiimmaa
O critério de tensão máxima estipula que a resistência mecânica da lâmina
analisada é atingida quando umas das três tensões as quais a lâmina está sendo
submetida atingir o valor da tensão de ruptura correspondente. Desta forma, o critério
pode ser escrito da seguinte maneira:
SSYYXX
12
t2c
t1c
<τ<−
<σ<
<σ<
(5.1)
onde: σ1, σ2 e τ12 representam as tensões longitudinal, transversal e de cisalhamento no
plano da lâmina. Xc e Xt representam as resistências mecânicas na direção longitudinal
em compressão e em tração, Yc e Yt representam as resistências mecânicas na direção
transversal em compressão e em tração e S representa a resistência mecânica ao
cisalhamento. Se as inequações acima são verificadas, a lâmina não se romperá devido
ao estado de tensão σ1, σ2 e τ12.
Como normalmente as lâminas estão orientadas segundo o sistema de eixos de
referência (x, y, z), girado de θ com relação ao sistema de eixos de ortotropia (1, 2, 3), a
matriz de transformação dada pela eq. (3.9) deve ser utilizada:
Curso de projeto estrutural com materiais compostos 59
{ } [ ]{ }1x
12
2
1
22
22
22
xy
y
x
Touscscsc
sc2cssc2sc
σ=σ
τσσ
−−−=
τσσ
σ (5.2)
A inversa da matriz de transformação fornece a relação das tensões medidas no
sistema de eixos (x, y, z) com as tensões nos eixos de ortotropia (1, 2, 3) utilizadas no
critério de tensão máxima:
{ } [ ] { }x11 T σ=σ −σ (5.3)
55..22 –– CCrriittéérriioo ddee ddeeffoorrmmaaççããoo mmááxxiimmaa
O critério de deformação máxima estipula que a resistência mecânica da lâmina
analisada é atingida quando umas das três deformações as quais a lâmina está sendo
submetida atingir o valor da deformação de ruptura correspondente. Desta forma, o
critério pode ser escrito da seguinte maneira:
εε
εε
εε
<γ<−
<ε<
<ε<
SSYYXX
12
t2c
t1c
(5.4)
onde: ε1, ε2 e γ12 representam as deformações longitudinal, transversal e de
cisalhamento no plano da lâmina. Xεc e Xεt representam as deformações máximas na
direção longitudinal em compressão e em tração, Yεc e Yεt representam as deformações
máximas na direção transversal em compressão e em tração e Sεc representa a
deformação máxima em cisalhamento. Se as inequações acima são verificadas, a
lâmina não se romperá devido as deformações ε11, ε22 e γ12.
Como normalmente as lâminas estão orientadas segundo os eixos ortogonais x e
y, girados de θ com relação aos eixos de ortotropia, a matriz de transformação, eq.
(3.9), deve ser utilizada:
Critérios de ruptura 60
{ } [ ]{ }1x
12
2
1
22
22
22
xy
y
x
Touscsc2sc2
sccsscsc
ε=ε
γεε
−−−=
γεε
ε (5.5)
A inversa da matriz de transformação fornece a relação das deformações
medidas no sistema de eixos (x, y, z) com as deformações nos eixos de ortotropia (1, 2,
3) utilizadas no critério de deformação máxima:
{ } [ ] { }x11 T ε=ε −ε (5.6)
55..33 –– CCoommppaarraaççããoo eennttrree ooss ccrriittéérriiooss ddee tteennssããoo mmááxxiimmaa ee ddee ddeeffoorrmmaaççããoo mmááxxiimmaa
Considere uma lâmina solicitada com as tensões como representadas abaixo:
Suponhamos que as propriedades da lâmina sejam as seguintes:
Xt = 1400 MPa, Yt = 35 MPa, S = 70 MPa
E1 = 46 GPa, E2 = 10 GPa, G12 = 4,6 GPa, ν12 = 0,31
Procura-se valores de σ1 e σ2 para as quais a ruptura acontece. Utilizando o
critério de tensão máxima, temos:
σ1 < Xt e σ2 < Yt
ou seja:
11
22
σ1= 12 σ2
σ2
σ2
σ1
Curso de projeto estrutural com materiais compostos 61
12 σ2 < Xt, MPa11712Xt
2 =<σ
e σ2 < Yt = 35 MPa
A ruptura se dará no menor valor de tensão, 35 MPa, e será na direção
transversal. O estado de tensão neste caso é σ1 = 12 x 35 = 420 MPa e σ2 = 35 MPa.
Utilizando o critério de deformação máxima e admitindo que o material se
comporta linearmente até a ruptura, temos:
1
tt E
XX <ε e 2
tt E
YY <ε
As deformações nas direções longitudinal e transversal são definidas da forma:
2
221
1
11 EE
σν−
σ=ε
1
112
2
22 EE
σν−
σ=ε
Como 2
21
1
12
EEν
=ν , temos:
( )1
t2121
11
212
1
11 E
XE1
EE<σν−σ=
σν−
σ=ε
( )2
t1212
22
121
2
22 E
YE1
EE<σν−σ=
σν−
σ=ε
ou seja:
t2121 X<σν−σ
t1212 Y<σν−σ
Como σ1 = 12 σ2.
Critérios de ruptura 62
MPa12012
X
12
t2 =
ν−<σ
MPa183121Y
21
t2 =
ν−<σ
A ruptura se dará no menor valor de tensão, 120 MPa, e será na direção
longitudinal. O estado de tensão neste caso é σ1 = 12 x 120 = 1440 MPa e σ2 = 120
MPa.
Os valores encontrados utilizando o critério de tensão máxima σ1 = 420 MPa e
σ2 = 35 MPa e aqueles encontrados utilizando o critério de deformação máxima σ1 =
1440 MPa e σ2 = 120 MPa são contraditórios em valores e em modo de ruptura: ruptura
transversal no primeiro e longitudinal no segundo. Isto vem do fato de estabelecer a
relação entre tensão máxima e deformação máxima como anteriormente, mas que
devem ser mais complexas.
55..44 –– CCrriittéérriiooss iinntteerraattiivvooss
Nos critérios de tensão máxima e deformação máxima, assume-se que os
mecanismos de ruptura longitudinal, transversal e de cisalhamento se produzem de
forma independente. De maneira a levar em consideração todos estes mecanismos
simultaneamente como no critério de von Mises para materiais isotrópicos, foram
desenvolvidos os critérios interativos ou energéticos.
55..44..11 –– RReevviissããoo ddoo ccrriittéérriioo ddee vvoonn MMiisseess
Considere a energia de deformação total por unidade de volume em um material
isotrópico (densidade de energia de deformação) para um estado multiaxial de tensões:
( ) ( ) ( )xz2
yz2
xz2
xzzyyx2
z2
y2
xtotal G21
EE21U τ+τ+τ+σσ+σσ+σσ
ν−σ+σ+σ= (5.7)
Esta energia de deformação total, medida nos eixos principais é da forma:
Curso de projeto estrutural com materiais compostos 63
( ) ( )1332212
32
22
1total EE21U σσ+σσ+σσ
ν−σ+σ+σ= (5.8)
A energia de deformação total acima, é dividida em duas partes: uma causando
dilatação do material (mudanças volumétricas), e outra causando distorções de
cisalhamento, Figura 5.2. É interessante lembrar que em um material dúctil, admite-se
que o escoamento do material depende apenas da máxima tensão de cisalhamento.
Figura 5.2 – Energias de deformação de dilatação e de distorção
A fim de facilitar a compreensão, somente o estado de tensão uniaxial será
considerado. A passagem para um estado de tensão multiaxial é automática. Desta
forma, para um estado de tensão uniaxial, as energias de dilatação e de distorção são
representadas da seguinte forma:
Figura 5.3 – Energias de dilatação e de distorção num elemento solicitado axialmente
σ1
σ3
σ2
Energia de deformação elástica total
=
Energia de dilatação
+
Energia de distorção
σ−σ2
σ−σ1
σ−σ3σ
σ
σ
σ1
Energia de deformação elástica total
=
Energia de distorção
σ1
Energia de dilatação
σ1/3
σ1/3
σ1/3
+
σ1/3
σ1/3+
σ1/3
σ1/3
Critérios de ruptura 64
Os círculos de tensão de Mohr para os estados de tensão com somente energia
de distorção são, Figura 5.4.
Figura 5.4 – Círculos de tensão de Mohr para o cisalhamento puro
No tensor correspondente a energia de dilatação, os componentes são definidos
como sendo a tensão “hidrostática” média:
3321 σ+σ+σ
=σ (5.9)
onde σ1 = σ2 = σ3 = p = σ .
A energia de dilatação é determinada substituindo σ1 = σ2 = σ3 = p na expressão
de energia de deformação total e em seguida substituindo 3
p 321 σ+σ+σ=σ= :
( )2321dilatação E6
21U σ+σ+σν−
= (5.10)
A energia de distorção é obtida subtraindo da energia de deformação total a
energia de dilatação:
τmax = σ1/3
σ
τ
σ1/3 σ1/300
τmax = σ1/3
σσ
τ
σ1/3σ1/3 00
Plano 1-2 Plano 1-3
Curso de projeto estrutural com materiais compostos 65
( ) ( ) ( )[ ]213
232
221distorção G12
1U σ−σ+σ−σ+σ−σ= (5.11)
A energia de distorção em um ensaio de tração simples, onde neste caso σ1 =
σesc e σ2 = σ3 = 0 é da forma:
G122U
2esc
distorçãoσ
= (5.12)
Igualando a energia de distorção de cisalhamento com a energia no ponto de
escoamento à tração simples, estabelece-se o critério de escoamento para tensão
combinada.
( ) ( ) ( ) 2esc
213
232
221 2 σ=σ−σ+σ−σ+σ−σ (5.13)
Freqüentemente a eq. (5.13) pode ser rearranjada, sendo a expressão resultante
chamada de tensão equivalente.
( ) ( ) ( )2 2 2equ 1 2 2 3 3 1
1σ σ σ σ σ σ σ2
= − + − + −
(5.14)
A eq. (5.13) pode também ser apresentada da forma:
1esc
1
esc
3
esc
3
esc
2
esc
2
esc
12
esc
32
esc
22
esc
1 =
σσ
σσ
−
σσ
σσ
−
σσ
σσ
−
σσ
+
σσ
+
σσ (5.15)
A equação acima é conhecida como sendo o critério de von Mises para um
estado multiaxial de tensões para materiais isotrópicos. Para um estado plano de
tensão, σ3 = 0, tem-se:
12
esc
2
esc
2
esc
12
esc
1 =
σσ
+
σσ
σσ
−
σσ (5.16)
Critérios de ruptura 66
55..44..22 –– CCrriittéérriioo ddee HHiillll
A energia de distorção para um material ortotrópico onde as tensões de
cisalhamento τ12, τ23 e τ31 são diferentes de zero, é obtida de maneira análoga à obtida
por um material isotrópico. Igualando a energia de distorção de cisalhamento com a
energia no ponto de ruptura, estabelece-se o critério de ruptura para tensão combinada
para materiais compostos.
( ) ( ) ( ) 1N2M2L2HGF 231
223
212
213
232
221 =τ+τ+τ+σ−σ+σ−σ+σ−σ (5.17)
As constantes F, G, H, L, M e N são parâmetros da lâmina analisada e estão
ligadas as tensões de ruptura do material.
Colocando a equação acima sob uma outra forma, tem-se:
( ) ( ) ( )1N2M2L2G2
H2F2HGGFHF231
223
21232
312123
22
21
=τ+τ+τ+σσ−
σσ−σσ−σ++σ++σ+ (5.18)
Para um ensaio em tração (ou compressão) na direção longitudinal (1), o critério
se reduz:
( ) 1XHF 2 =+ , ( ) 2X1HF =+ (5.19)
onde X é a tensão de ruptura em tração (ou compressão) na direção longitudinal.
Da mesma forma, para um ensaio em tração (ou compressão) nas direções
transversais (2 e 3), o critério se reduz:
( ) 1YGF 2 =+ , ( ) 2Y1GF =+ (5.20)
( ) 1ZHG 2 =+ , ( ) 2Z1HG =+ (5.21)
onde Y e Z são as tensões de ruptura em tração (ou compressão) nas direções
transversais.
Curso de projeto estrutural com materiais compostos 67
Para um ensaio de cisalhamento no plano (1,2), o critério se reduz:
212S1L2 = (5.22)
onde S12 é a tensão de ruptura no cisalhamento no plano (1,2). Analogamente:
223S1M2 = (5.23)
231S1N2 = (5.24)
Substituindo os parâmetros F, G, H, L, M e N na equação do critério de ruptura
para tensão combinada para os materiais compostos, eq. (5.18), tem-se:
1SSSY
1X1
Z1
X1
Z1
Y1
Z1
Y1
X1
ZYX2
31
312
23
232
12
1213222
3222221222
23
22
21
=
τ+
τ+
τ+σσ
−+−
σσ
−+−σσ
−+−
σ+
σ+
σ
(5.25)
Para um estado plano de tensão, onde σ3 = τ23 = τ31 = 0:
1SZ
1Y1
X1
YX
2
12
1221222
22
21 =
τ+σσ
−+−
σ+
σ (5.26)
55..44..33 –– CCrriittéérriioo ddee TTssaaii--HHiillll
No critério de Tsai-Hill, o critério de Hill analisado para o estado plano de tensão
é simplificado fazendo-se Z = Y.
1SXYX
2
12
122
212
22
1 =
τ+
σσ−
σ+
σ (5.27)
Critérios de ruptura 68
55..44..44 –– CCrriittéérriioo ddee HHooffffmmaann
No critério de Hoffman é levado em consideração a diferença do comportamento
em tração e em compressão. Este critério admite que a ruptura acontece quando a
igualdade é verificada:
( ) ( ) ( )1CCCCC
CCCC2319
2238
21273625
142
1332
3222
211
=τ+τ+τ+σ+σ+
σ+σ−σ+σ−σ+σ−σ (5.28)
Observe que a diferença do critério de Hoffman para o critério de Hill está na
adição dos termos relativos aos parâmetros C4, C5, C6.
As constantes Ci são determinadas a partir de ensaios experimentais para a
obtenção das tensões de ruptura em tração e em compressão.
231
9
223
8
212
7
ct6
ct5
ct4
ctctct3
ctctct2
ctctct1
S1C
S1C
S1C
Z1
Z1C
Y1
Y1C
X1
X1C
ZZ1
YY1
XX1
21C
YY1
XX1
ZZ1
21C
XX1
ZZ1
YY1
21C
=
=
=
−=
−=
−=
−+=
−+=
−+=
(5.29)
Considerando somente o estado plano de tensão, o critério de Hoffman se põe
da seguinte maneira:
Curso de projeto estrutural com materiais compostos 69
1SYY
YYXX
XXXXYYXX
2
12
122
ct
tc1
ct
tc
ct
21
ct
22
ct
21 =
τ+σ
−+σ
−+
σσ−
σ+
σ (5.30)
55..44..55 –– CCrriittéérriioo ddee TTssaaii--WWuu
O critério de Tsai-Wu foi desenvolvido de maneira a melhorar a correlação entre
os resultados experimentais e teóricos a partir da introdução de parâmetros adicionais.
Considerando somente o estado plano de tensão, o critério de Tsai-Wu se põe da
seguinte forma:
1SY
1Y1
X1
X1
XXF2
YYXX
2
12
122
ct1
ctct
2112
ct
22
ct
21 =
τ+σ
−+σ
−+
σσ+
σ+
σ (5.31)
onde F12 é um coeficiente de acoplamento expresso da forma:
( )
σ
++σ
−+−−
σ= 2
ct
cttc
ct
cttc212 YY
XX1YYYYXXXX1
21F (5.32)
ou:
( )
σ
+++
σ
−+−−
σ=
2SXX
YYXX1
2YY
YYXXXX12F
245
c12
ct
ct
ct45tc
ct
cttc2
4512 (5.33)
onde σ e σ45 são as tensões de ruptura determinadas respectivamente em ensaios
biaxial (σ) e de tração à 45° (σ45). O coeficiente de acoplamento F12 é normalmente
utilizado para ajustar aos resultados obtidos experimentalmente e pode variar de
–1< F12<1. Fazendo F12 = –1/2, o critério de Tsai-Wu se transforma no critério de
Hoffman. Se, além disso fizermos Xt = Xc = X e Yt = Yc = Y, o critério se transforma no
critério de Tsai-Hill.
Exemplo 5.1 – Considere um laminado simétrico (0°/+45°/-45°)S em kevlar/epóxi
submetido a um carregamento do tipo membrana Nx = 1000 N/mm. Verifique, utilizando
o critérios da máxima tensão e de Tsai-Hill, se haverá ruptura em qualquer das lâminas
Critérios de ruptura 70
de espessura 0,5 mm. Considere: E1 = 76,0 GPa, E2 = 5,5 GPa, G12 = 2,0 GPa, ν12 =
0,35, Xt = 1380 MPa, Xc = – 280 MPa, Yt = 28 MPa, Yc = – 140 MPa e S12 = 55 MPa.
A matriz constitutiva das lâminas em kevlar/epóxi no sistema de ortotropia (1, 2,
3) é dada pela eq. (4.50). Para a lâmina à 0°, a matriz constitutiva no sistema de
referência (x, y, z) é a mesma dada pela eq. (4.50). Para as lâminas orientadas à +45°
e -45°, as matrizes constitutivas no sistema de referência são dadas pelas eqs. (4.51) e
(4.54) respectivamente.
A matriz de comportamento para este laminado é da forma:
3
xy
y
x
0xy
0x
0x
xy
y
x
xy
y
x
10
22,1690,889,800090,848,2409,1600089,809,161,13700000017,4100000064,5200,41000000,417,123
0M0M0M0N0N
1000N
κκκγεε
=
=====
=
(5.34)
Resolvendo o sistema de equações da eq. (5.34), as deformações e as
curvaturas determinadas são:
ε0x = 0,109e-01, ε0
y = -0,849e-02 , γ0xy = 0,0, κx = 0,0, κy = 0,0, κxy = 0,0
O estado de tensões medido no sistema de coordenadas de referência (x, y, z)
em cada ponto de uma lâmina distante z da superfície neutra é obtido usando a eq.
Lâmina à 0°
Lâmina à +45°
Lâmina à -45°
Lâmina à -45°
Lâmina à +45°
Lâmina à 0°
z
x Z = 0,5 mm
Z = 1,0 mm
Z = 1,5 mm
Z = – 0,5 mm
Z = –1,0 mm
Z = –1,5 mm
Curso de projeto estrutural com materiais compostos 71
(3.23). Para o ponto à z = 1,5 mm e z = 1,0 mm, ou para o ponto à z = -1,5 mm e z = -
1,0 mm na lâmina à 0°, o estado de tensão é o mesmo, já que as curvaturas são nulas:
++−−
+−
=
τσσ
00x5,10,00,0x5,102e849,0
0,0x5,101e109,010
0,200055,594,1094,17,76
3
xy
y
x
(5.35)
Logo:
MPa0
65,2556,819
12
2
1
xy
y
x
−=
τσσ
=
τσσ
(5.36)
Pelo critério de máxima tensão, temos:
OK118,0140
65,25Y
OK159,01380
56,819X
c
2
t
1
<=−
−=
σ
<==σ
Pelo critério de Tsai-Hill, temos:
OK140,0550
1380)65,25.(56,819
14065,25
138056,819 2
2
22
<=
+
−
−
−−
+
Para o ponto à z = 1,0 mm e para z = 0,5 mm, ou para o ponto à z = -1,5 mm e
para z = - 0,5 mm na lâmina à + 45°, o estado de tensão também é o mesmo, já que as
curvaturas são nulas:
++−−
+−
=
τσσ
0,0x0,10,00,0x0,102e849,0
0,0x0,101e109,010
6,198,178,178,175,235,198,175,195,23
3
xy
y
x
(5.37)
O que resulta:
Critérios de ruptura 72
MPa898,42035,13595,90
xy
y
x
=
τσσ
(5.38)
Fazendo a transformação de eixos utilizando a eq. (3.9), e sabendo que
2245cos = e
2245sen = , temos:
τσσ
−−=
12
2
1
022422
422
41
898,42035,13595,90
(5.39)
Logo:
MPa78,38713,94
917,8
898,42035,13595,90
011211211
21
12
2
1
=
−
−=
τσσ
(5.40)
Pelo critério de máxima tensão, temos:
OK171,055
78,38S
S
FALHA138,328713,94
Y
OK1006,01380
917,8X
12
c
2
t
1
<==
>==σ
<==σ
Pelo critério de Tsai-Hill, temos:
FALHA194,1155
78,381380
713,94.917,828713,94
1380917,8 2
2
22
>=
+
−
+
Para o ponto à z = 0,5 mm ou para o ponto à z = - 0,5 mm na lâmina à - 45°, o
estado de tensão também é o mesmo:
Curso de projeto estrutural com materiais compostos 73
++−−
+−
−−−−
=
τσσ
0,0x0,10,00,0x0,102e849,0
0,0x0,101e109,010
6,198,178,178,175,235,198,175,195,23
3
xy
y
x
(5.41)
O que resulta:
MPa898,42
035,13595,90
xy
y
x
−=
τσσ
(5.42)
Fazendo a transformação de eixos utilizando a eq. (3.9), e sabendo que
22)45cos( =− e
22)45sen( −=− , temos:
τσσ
−
−=
− 12
2
1
022422422
41
898,42035,13595,90
(5.43)
Logo:
MPa78,38
713,94917,8
898,42035,13595,90
011211
211
21
12
2
1
−=
−
−−=
τσσ
(5.44)
Pelo critério de máxima tensão, temos:
OK171,055
78,38S
S
FALHA138,328713,94
Y
OK1006,01380
917,8X
12
c
2
t
1
<=−
−=
>==σ
<==σ
Pelo critério de Tsai-Hill, temos:
Critérios de ruptura 74
FALHA194,1155
78,381380
713,94.917,828713,94
1380917,8 2
2
22
>=
−−
+
−
+
Exemplo 5.2 – Considere o laminado simétrico (0°/+45°/-45°)S em kevlar/epóxi
submetido à um momento Mx = - 500 Nmm/mm. Utilize os critérios de Tsai-Hill, Hoffman
e Tsai-Wu para verificar se haverá ruptura em alguma das lâminas de espessura 0,5
mm. Considere: E1 = 76,0 GPa, E2 = 5,5 GPa, G12 = 2,0 GPa, ν12 = 0,35, Xt = 1380 MPa,
Xc = -280 MPa, Yt = 28 MPa, Yc = -140 MPa e S12 = 55 MPa.
A matriz de comportamento para este laminado é da forma:
3
xy
y
x
0xy
0x
0x
xy
y
x
xy
y
x
10
22,1690,889,800090,848,2409,1600089,809,161,13700000017,4100000064,5200,41000000,417,123
0M0M
500M0N0N0N
κκκγεε
=
==
====
(5.45)
Resolvendo o sistema de equações da eq. (5.45), as deformações e as
curvaturas determinadas são:
ε0x = 0,0, ε0
y = 0,0 , γ0xy = 0,0, κx = -0,397e-02, κy = 0,227e-02, κxy = 0,930e-03
O estado de tensões medido no sistema de coordenadas de referência (x, y, z)
em cada ponto de uma lâmina distante z da superfície neutra é obtido usando a eq.
(3.22). Pelo fato do carregamento ser do tipo flexão, basta apenas aplicar um critério
de ruptura no ponto mais distante da superfície neutra na lâmina. Neste exemplo, os
critérios de ruptura serão aplicados somente nos pontos acima da superfície neutra,
devendo o mesmo ser feito nos pontos abaixo da superfície neutra. Para o ponto à z =
1,5 mm na lâmina à 0°, o estado de tensão é da forma:
−+−+−−+
=
τσσ
3e930,0x5,10,02e227,0x5,10,02e397,0x5,10,0
100,200
055,594,1094,17,76
3
xy
y
x
(5.46)
Curso de projeto estrutural com materiais compostos 75
Logo:
MPa79,235,7
14,450
12
2
1
xy
y
x
−=
τσσ
=
τσσ
(5.47)
Pelo critério de Tsai-Hill:
OK118,05579,2
138035,7.14,450
2835,7
138014,450 2
2
22
<=
+
−
−
+
−
Pelo critério de Hoffman:
FALHA116,25579,235,7
)140.(2828140
)14,450()280.(1380
1380280)280.(1380
35,7).14,450()140.(28
35,7)280.(1380
)14,450(
2
22
−>−=
+
−−−
+−−
−−+
−−
−−
+−
−
Pelo critério de Tsai-Wu, com F12 = 1, temos:
FALHA117,25579,235,7
)140.(2828140
)14,450()280.(1380
1380280)280.(1380
35,7).14,450(2)140.(28
35,7)280.(1380
)14,450(
2
22
−>−=
+
−−−
+−−
−−+
−−
−−
+−
−
Para o ponto à z = 1,0 mm na lâmina à + 45°, o estado de tensão é:
−+−+−−+
=
τσσ
3e930,0x0,10,02e227,0x0,10,02e397,0x0,10,0
106,198,178,178,175,235,198,175,195,23
3
xy
y
x
(5.48)
O que resulta:
Critérios de ruptura 76
MPa032,12516,7476,32
xy
y
x
−−
−=
τσσ
(5.49)
Fazendo a transformação de eixos utilizando a eq. (3.9), e sabendo que
2245cos = e
2245sen = , temos:
τσσ
−−=
−−
−
12
2
1
022422
422
41
032,12516,7476,32
(5.50)
Logo:
MPa48,12028,32964,7
032,12516,7476,32
011211211
21
12
2
1
−−−
=
−−
−
−
−=
τσσ
(5.51)
Pelo critério de Tsai-Hill, temos:
OK110,055
48,12280
)028,32.(964,7140
028,32280964,7 2
2
22
<=
−−
+
−−
−
−−
+
−−
Pelo critério de Hoffman:
FALHA120,155
48,12028,32)140.(28
28140
964,7)280.(1380
1380280)280.(1380
028,32.964,7)140.(28
)028,32()280.(1380
)964,7(
2
22
>=
+
−−−
+−
−−+
−−
−−
+−
−
Pelo critério de Tsai-Wu, com F12 = 1, temos:
Curso de projeto estrutural com materiais compostos 77
FALHA120,155
48,12028,32)140.(28
28140
964,7)280.(1380
1380280)280.(1380
028,32.964,7)140.(28
028,32)280.(1380
964,7
2
22
>=
+
−−−
+−
−−+
−−
−+
−
Para o ponto à z = 0,5 mm na lâmina à - 45°, o estado de tensão é:
−+−+−−+
−−−−
=
τσσ
3e930,0x5,00,02e227,0x5,00,02e397,0x5,00,0
106,198,178,178,175,235,198,175,195,23
3
xy
y
x
(5.52)
O que resulta:
MPa244,24312,20792,32
xy
y
x
−−
=
τσσ
(5.53)
Fazendo a transformação de eixos utilizando a eq. (3.9), e sabendo que
22)45cos( =− e
22)45sen( −=− , temos:
τσσ
−
−=
−−
12
2
1
022422422
41
244,24312,20792,32
(5.54)
Logo:
MPa24,6796,50
303,2
244,24312,20792,32
011211
211
21
12
2
1
−−
=
−−
−−=
τσσ
(5.55)
Pelo critério de Tsai-Hill, temos:
Critérios de ruptura 78
OK114,05524,6
)280()796,50).(303,2(
140796,50
280303,2 2
2
22
>=
+
−−−
−
−−
+
−−
Pelo critério de Hoffman:
FALHA119,25524,6)796,50(
)140.(2828140
)303,2()280.(1380
1380280)280.(1380
)796,50).(303,2()140.(28
)796,50()280.(1380
)303,2(
2
22
−>−=
+−
−−−
+−−
−−+
−−−
−−
−+
−−
Pelo critério de Tsai-Wu, com F12 = 1, temos:
FALHA118,25524,6)796,50(
)140.(2828140
)303,2()280.(1380
1380280)280.(1380
)796,50).(303,2(2)140.(28
)796,50()280.(1380
)303,2(
2
22
−>−=
+−
−−−
+−−
−−+
−−−
−−
−+
−−
55..44 –– MMééttooddoo ddee ddeeggrraaddaaççããoo
Os métodos de degradação aplicados à estruturas laminadas são métodos
iterativos de avaliação de falha em lâminas, que consistem em alterar as propriedades
mecânicas de lâminas rompidas segundo o modo de falha identificado, de forma a
melhor avaliar o processo de ruptura da estrutura. Os modos de falha de uma lâmina
podem ser: trinca da matriz, ruptura da fibra, delaminação, etc. São inúmeros os
métodos de degradação utilizados para alterar as propriedades mecânicas de lâminas
rompidas. Um dos métodos mais simples considera que, na falha por trinca da matriz,
as propriedades E2, E3, ν12, ν13, ν23, G12, G13 e G23 são anuladas, E1 permanecendo
inalterado. Na falha por ruptura da fibra, as propriedades E1, ν12, ν13, G12 e G13 são
anuladas, enquanto E2, E3, ν23 e G23 permanecem inalteradas. Na falha por
delaminação, as propriedades G13 e G23 são anuladas, enquanto que as restantes
permanecem inalteradas.
Curso de projeto estrutural com materiais compostos 79
Exemplo 5.3 – Considere um laminado simétrico (0°/90°/90°/0°) em kevlar/epóxi com
espessura de 0,5 mm para cada lâmina. Aplique um método de degradação de maneira
a verificar se todo o laminado romperá quando submetido a um carregamento Nx=500
M/mm. Considere: E1 = 76,0 GPa, E2 = 5,5 GPa, G12 = 2,0 GPa, ν12 = 0,35, XT = 1380
MPa, XC = -280 MPa, YT = 28 MPa, YC = -280 MPa e S = 55 MPa.
A matriz constitutiva das lâminas no sistema de ortotropia (1, 2, 3) é dada pela
eq. (4.50). A matriz constitutiva para as lâminas à 0° é a mesma que a da eq. (4.50) e
matriz constitutiva para as lâminas à 90° é da seguinte forma:
[ ] MPa100,200
07,7694,1094,155,5
Q 3900
= (5.56)
A matriz de comportamento para este laminado é da forma:
3
xy
y
x
0xy
0x
0x
xy
y
x
xy
y
x
10
33,100000020,4529,1000029,120,4500000000,400000025,8288,3000088,325,82
0M0M0M0N0N
500N
κκκγεε
=
=====
=
(5.57)
Resolvendo o sistema dado pela eq. (5.57), as deformações e as curvaturas
determinadas são:
ε0x = 6,1e-03, ε0
y = -2,9e-04 , γ0xy = 0,0, κx = 0,0, κy = 0,0, κxy = 0,0
x
y z
Nx Nx
Critérios de ruptura 80
Para o ponto à z = 1,0 mm na lâmina à 0°, o estado de tensão é da forma:
++−−
+−
=
τσσ
0,0x0,10,00,0x0,104e9,2
0,0x0,103e0,610
0,200055,594,1094,17,76
3
xy
y
x
(5.58)
Logo:
MPa003,1064,459
xy
y
x
12
2
1
=
τσσ
=
τσσ
(5.59)
Pelo critério de máxima tensão, temos:
OK136,028
03,10Y
OK133,01380
64,459X
c
2
t
1
<==σ
<==σ
Para o ponto à z = 0,5 mm na lâmina à 90°, o estado de tensão é:
++−−
+−
=
τσσ
0,0x0,10,00,0x0,104e9,2
0,0x0,103e0,610
0,20007,7694,1094,155,5
3
xy
y
x
(5.60)
O que resulta:
MPa0
60,1074,32
xy
y
x
−=
τσσ
(5.61)
Logo:
MPa074,3260,10
xy
x
y
12
2
1
−=
τσσ
=
τσσ
(5.62)
Curso de projeto estrutural com materiais compostos 81
Pelo critério de máxima tensão, temos:
FALHA117,128
74,32Y
OK104,0280
60,10X
c
2
t
1
<==σ
<=−
−=
σ
Considerando que o modo de falha das lâminas à 90° é do tipo trinca da matriz,
as propriedades mecânicas somente destas lâminas serão alteradas da seguinte forma:
E2 = 0, ν12 = 0 e G12 = 0. Logo a matriz constitutiva para estas lâminas é agora da
forma:
[ ] MPa1000007,760000
Q 3900
= (5.63)
A matriz de comportamento para o laminado considerado degradado é da forma:
3
xy
y
x
0xy
0x
0x
xy
y
x
xy
y
x
10
17,100000020,4513,1000013,174,4400000000,200000025,8294,1000094,17,76
0M0M0M0N0N
500N
κκκγεε
=
=====
=
(5.64)
Resolvendo o novo sistema de equações dado pela eq. (5.64), as novas
deformações e as curvaturas são:
ε0x = 6,5e-03, ε0
y =-1,5e-04 , γ0xy = 0,0, κx = 0,0, κy = 0,0, κxy = 0,0
Para o ponto à z = 1,0 mm na lâmina à 0°, o estado de tensão é da forma:
++−−
+−
=
τσσ
0,0x0,10,00,0x0,104e5,10,0x0,103e5,6
100,200
055,594,1094,17,76
3
xy
y
x
(5.65)
Critérios de ruptura 82
Logo:
MPa078,1126,498
xy
y
x
12
2
1
=
τσσ
=
τσσ
(5.66)
Pelo critério de máxima tensão, temos:
OK142,02878,11
Y
OK136,01380
26,498X
c
2
t
1
<==σ
<==σ
Para o ponto à z = 0,5 mm na lâmina à 90°, o estado de tensão é:
++−−
+−
=
τσσ
0,0x0,10,00,0x0,104e5,10,0x0,103e5,6
1000007,760000
3
xy
y
x
(5.67)
O que resulta:
MPa0
51,110
xy
y
x
−=
τσσ
(5.68)
Logo:
MPa00
51,11
xy
x
y
12
2
1
−=
τσσ
=
τσσ
(5.69)
Pelo critério de máxima tensão, temos:
FALHAHAVIDOTINHAJA
OK104,0280
51,11X
2
t
1
==>σ
<=−−
=σ
Curso de projeto estrutural com materiais compostos 83
Conclusão: Como não houve mais nenhuma falha, o laminado suportaria o
carregamento mesmo havendo ruptura em uma das lâminas.
Exemplo 5.3 – Considere um laminado simétrico (0°/45°/-45°)S em kevlar/epóxi com
espessura de 0,5 mm para cada lâmina. Aplique um método de degradação para
verificar se haverá se todo o laminado se romperá quando submetido a um
carregamento W = 20 kN/m2. Considere: E1 = 76,0 GPa, E2 = 5,5 GPa, G12 = 2,0 GPa,
ν12 = 0,35, XT = 1380 MPa, XC = -280 MPa, YT = 28 MPa, YC = -280 MPa e S = 55 MPa.
Considerando que o carregamento W pode ser substituído por uma força
distribuída em x = 250 mm de intensidade 10 kN/m, as reações nos apoios são iguais e
de intensidade 5 kN/m. Assim, o momento máximo situado em x = 250 mm, pode ser
obtido da forma:
x
y z
W = 20 kN/m2
500 mm
100 mm
x
yz
Mx
250 mm
100 mm
5 kN/m
Critérios de ruptura 84
Impondo o equilíbrio estático com relação aos momentos em torno do eixo y,
temos:
Mx – 5000 N/m.125 mm + 5000 N/m.250 mm = 0
Mx = – 625 Nmm/mm
A matriz de comportamento, é neste caso igual a da eq. (5.34). Logo o sistema a
ser resolvido é da forma:
3
xy
y
x
0xy
0x
0x
xy
y
x
xy
y
x
10
22,1690,889,800090,848,2409,1600089,809,161,13700000017,4100000064,5200,41000000,417,123
0M0M625M0N0N0N
κκκγεε
=
==−====
(5.70)
Resolvendo o sistema de equações da eq. (5.70), as deformações e as
curvaturas determinadas são:
ε0x = 0,0, ε0
y = 0,0 , γ0xy = 0,0, κx = -0,497e-02, κy = 0,284e-02, κxy = 0,116e-02
Para o ponto à z = 1,5 mm na lâmina à 0°, o estado de tensão é da forma:
−+−+−−+
=
τσσ
3e930,0x5,10,02e227,0x5,10,02e397,0x5,10,0
100,200
055,594,1094,17,76
3
xy
y
x
(5.71)
Logo:
MPa79,235,7
14,450
12
2
1
xy
y
x
−=
τσσ
=
τσσ
(5.72)
Pelo critério de máxima tensão, temos:
Curso de projeto estrutural com materiais compostos 85
OK171,055
78,38S
S
FALHA138,328713,94
Y
OK1006,01380
917,8X
12
c
2
t
1
<=−
−=
>==σ
<==σ
Para o ponto à z = 1,0 mm na lâmina à + 45°, o estado de tensão é:
−+−+−−+
=
τσσ
3e930,0x0,10,02e227,0x0,10,02e397,0x0,10,0
106,198,178,178,175,235,198,175,195,23
3
xy
y
x
(5.73)
O que resulta:
MPa032,12516,7476,32
xy
y
x
−−
−=
τσσ
(5.74)
Fazendo a transformação de eixos utilizando a eq. (3.9), e sabendo que
2245cos = e
2245sen = , temos:
τσσ
−−=
−−
−
12
2
1
022422
422
41
032,12516,7476,32
(5.75)
Logo:
MPa48,12028,32964,7
032,12516,7476,32
011211211
21
12
2
1
−−−
=
−−
−
−
−=
τσσ
(5.76)
Pelo critério de máxima tensão, temos:
Critérios de ruptura 86
OK171,055
78,38S
S
FALHA138,328713,94
Y
OK1006,01380
917,8X
12
c
2
t
1
<=−
−=
>==σ
<==σ
Para o ponto à z = 0,5 mm na lâmina à - 45°, o estado de tensão é:
−+−+−−+
−−−−
=
τσσ
3e930,0x5,00,02e227,0x5,00,02e397,0x5,00,0
106,198,178,178,175,235,198,175,195,23
3
xy
y
x
(5.77)
O que resulta:
MPa244,24312,20792,32
xy
y
x
−−
=
τσσ
(5.78)
Fazendo a transformação de eixos utilizando a eq. (3.9), e sabendo que
22)45cos( =− e
22)45sen( −=− , temos:
τσσ
−
−=
−−
12
2
1
022422422
41
244,24312,20792,32
(5.79)
Logo:
MPa24,6796,50
303,2
244,24312,20792,32
011211
211
21
12
2
1
−−
=
−−
−−=
τσσ
(5.80)
Pelo critério de máxima tensão, temos:
Curso de projeto estrutural com materiais compostos 87
OK171,055
78,38S
S
FALHA138,328713,94
Y
OK1006,01380
917,8X
12
c
2
t
1
<=−
−=
>==σ
<==σ
Método dos Elementos Finitos aplicado aos materiais compostos 88
66 –– MMÉÉTTOODDOO DDOOSS EELLEEMMEENNTTOOSS FFIINNIITTOOSS AAPPLLIICCAADDOO AAOOSS MMAATTEERRIIAAIISS
CCOOMMPPOOSSTTOOSS
TTEEOORRIIAA DDEE PPRRIIMMEEIIRRAA OORRDDEEMM::
A Teoria de Primeira Ordem considera que as seções que eram planas antes de
aplicar o carregamento, permanecem planas após aplicar o carregamento, mas não
perpendiculares à superfície neutra. Esta hipótese considera portanto que o
cisalhamento transverso é não nulo, γxz ≠ 0 e γyz ≠ 0. Seja então uma placa laminada
carregada no plano (x,z), onde xww x´ ∂
∂= , Figura 6.1.
Figura 6.1 – Hipóteses de deslocamento da Teoria de Primeira Ordem
66..11 –– CCaammppoo ddee ddeessllooccaammeennttooss
O deslocamento de um ponto genérico distante z da superfície neutra é dado da
forma:
x
z
u0
w0
α
w´x
w´x
γxz
Curso de projeto estrutural com materiais compostos 89
0
0
0
ww.zvv.zuu
=
β+=
α+=
(6.1)
onde u0, v0 w0 são os deslocamentos transversais da superfície neutra, e α e β são as
inclinações das seções nos planos (x,z) e (y,z), respectivamente.
ESTADO PLANO DE DEFORMAÇÕES
κκκ
+
γεε
=
∂β∂
+∂α∂
∂β∂
∂α∂
+
∂∂
+∂
∂∂
∂∂
∂
=
∂∂
+∂∂
∂∂∂∂
=
γεε
xy
y
x
xy
y
x
xy
y
x
z
xy
y
xz
xv
yu
yvxu
xv
yu
yvxu
0
0
0
00
0
0
(6.2)
onde ε0x, ε0
y são deformações normais nas direções x e y na superfície neutra, γ0xy é a
deformação angular no plano (x,y) na superfície neutra, e κx, κy e κxy são as curvaturas.
DEFORMAÇÕES CISALHANTES TRANSVERSAS
yz
xz
v w wz y yu w wz x x
∂ ∂ ∂ + β + γ ∂ ∂ ∂ = = γ ∂ ∂ ∂ + α + ∂ ∂ ∂
(6.3)
onde γxz e γxz são as deformações angulares transversas nos planos (x,z) e (y,z).
Os esforços cortantes por unidade de comprimento, Qx e Qy podem ser definidos
da seguinte forma: h / 2
y yz
x xzh / 2
Qdz
Q −
τ = τ
∫ (6.4)
Método dos Elementos Finitos aplicado aos materiais compostos 90
kzny yz
k 1x xzz 1
Qdz
Q = −
τ = τ
∑ ∫ (6.5)
A matriz constitutiva no sistema de ortotropia considerando somente os efeitos
de cisalhamento transverso é da forma:
23 23 23 44 45 23
13 13 13 54 55 13
G 0 Q Q0 G Q Q
τ γ γ = = τ γ γ
(6.6)
A relação das tensões medidas no sistema de referência com as tensões
medidas no sistema de ortotropia, considerando somente os efeitos de cisalhamento
transverso, é dada pela matriz de transformação:
[ ]23 23yz
13 13xz
c sT
s c τ
τ ττ = = τ ττ −
(6.7)
De maneira análoga, a relação das deformações medidas no sistema de
referência com as deformações medidas no sistema de ortotropia é dada pela mesma
matriz de transformação:
[ ]23 23yz
13 13xz
c sT
s c τ
γ γγ = = γ γγ −
(6.8)
Multiplicando a matriz de transformação na relação constitutiva na qual é
considerado somente os efeitos do cisalhamento transverso, eq. (6.6), temos:
[ ] [ ]23 44 45 23
13 54 55 13
Q QT T
Q Qτ τ
τ γ = τ γ
(6.9)
e, substituindo a eq. (6.8) na eq. (6.9), temos:
[ ] [ ]yz yz yz44 45 t 44 45
54 55 54 55xz xz xz
Q Q Q QT TQ Q Q Qτ τ
τ γ γ = = τ γ γ
(6.10)
Curso de projeto estrutural com materiais compostos 91
Substituindo a eq. (6.10) na eq. (6.5), e considerando que as deformações
cisalhantes são constantes ao longo da espessura, temos:
k
k 1
kzny yz44 45
k 1 54 55x xzz
Q Q Q dzQ QQ
−=
γ =
γ ∑ ∫ (6.11)
kn
y yz44 45k
54 55k 1x xz
Q Q Qh
Q QQ =
γ = γ
∑ (6.12)
y yz44 45
54 55x xz
Q F FF FQ
γ = γ
(6.13)
A equação de comportamento que inclui o efeito do cisalhamento transverso é
portanto da forma :
11 12 16 11 21 61x
21 22 26 21 22 26y
61 62 66 61 62 66xy
11 12 16 11 12 16x
21 22 26 21 22 26y
61 62 66 61 62 66xy
44 45y
54 55x
A A A B B B 0 0NA A A B B B 0 0NA A A B B B 0 0NB B B D D D 0 0MB B B D D D 0 0MB B B D D D 0 0M0 0 0 0 0 0 F FQ0 0 0 0 0 0 F FQ
=
0x tx
0y ty
0xy txy
x tx
y ty
xy txy
yz
xz
NNNMMM
00
ε ε γ
κ − κ κ γ γ
(6.14)
É importante lembrar que as tensões de cisalhamento transverso são constantes
e descontínuas quando obtidas da forma: k k
yz yz44 45
54 55xz xz
Q QQ Q
τ γ = τ γ (6.15)
Para corrigir esta falha da Teoria de Primeira Ordem, as tensões de
cisalhamento transverso são multiplicadas por um fator de correção kc, obtido através
da equivalência da energia de deformação exata, na qual a distribuição é parabólica ao
Método dos Elementos Finitos aplicado aos materiais compostos 92
longo da espessura, com a energia de deformação obtida com esta teoria. Assim, a eq.
(6.15) se coloca da forma: k k
yz yz44 45c
54 55xz xz
Q Qk
Q Qτ γ
= τ γ (6.16)
66..22 –– EEnneerrggiiaa ddee ddeeffoorrmmaaççããoo eelleemmeennttaarr
A energia de deformação em um elemento infinitesimal pode ser colocada da
forma: t
tx xyz yz
e y yxz xzV V
xy xy
1 1U dV dV2 2
ε σγ τ = ε σ + γ τ γ τ
∫ ∫ (6.17)
onde, a primeira integral corresponde a energia devido ao estado plano de tensão e a
segunda corresponde a energia devido ao cisalhamento transverso.
Substituindo as deformações obtidas anteriormente, temos: t0
h hx x tx2 2yz yz0
e y y yh h xz xzA A02 2xyxy xy
z1 1U z dz dx dy dz dx dy2 2
z− −
ε + κ σ γ τ = ε + κ σ + γ τ τγ + κ
∫ ∫ ∫ ∫ (6.18)
Desenvolvendo a expressão acima temos: t t0
h hx x x x2 20
e y y y yh hA A02 2xy xy xyxy
h t2yz yz
h xz xzA 2
1 1U dz dx dy z dz dx dy2 2
1 dz dx dy2
− −
−
ε σ κ σ = ε σ + κ σ + τ κ τγ
γ τ
γ τ
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
(6.19)
Sabe-se que:
Curso de projeto estrutural com materiais compostos 93
dzNNN 2
h
2h
xy
y
x
xy
y
x
∫−
τσσ
=
, dzzMMM 2
h
2h
xy
y
x
xy
y
x
∫−
τσσ
=
e h / 2
y yz
x xzh / 2
Qdz
Q −
τ = τ
∫ (6.20)
Logo: t t0
x tx x xyz y0
e y y y yxz xA A A0
xy xy xyxy
N M Q1 1 1U N dx dy M dx dy dx dy2 2 2 Q
N M
ε κ γ = ε + κ + γ κγ
∫ ∫ ∫ (6.21)
Reagrupando a eq. (6.21): t0
x x0
yy
0 xyxy
xxe
yA y
xyxy
yyz
xxz
NNNM1U dx dyM2MQQ
ε ε γ κ=
κ κ γ
γ
∫ (6.22)
Sabe-se que, desconsiderando os efeitos térmicos: 0xx0
y y
0xy xy
x x
y y
xy xy
y yz
x xz
NNN
A B 0MB D 0M0 0 F
MQQ
ε ε γ κ = κ κ
γ γ
(6.23)
Substituindo a eq. (6.23) na eq. (6.22), tem-se finalmente:
Método dos Elementos Finitos aplicado aos materiais compostos 94
t0 0x x0 0y y
0 0xy xy
x xe
A y y
xy xy
yz yz
xz xz
A B 01U B D 0 dx dy2
0 0 F
ε ε
ε ε
γ γ κ κ = κ κ κ κ
γ γ γ γ
∫ (6.24)
Considerando que os deslocamentos e as inclinações possam ser definidas
como sendo interpolações nodais da forma:
{ } ( )[ ]{ }
∑
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
=
β=β
α=α
==
=
=
n
iii
n
iii
een
iii
n
iii
n
iii
)y,x(N)y,x(
)y,x(N)y,x(
Uy,xNy)(x,uouw)y,x(N)y,x(w
v)y,x(N)y,x(v
u)y,x(N)y,x(u
1
1
1
1
1
(6.25)
onde ue(x,y) é o vetor deslocamento elementar, Ni(x,y) são funções de interpolação
obtidas em função do número de nós n do elemento, e Ue é o vetor deslocamento nodal
do elemento contendo ui, vi, wi, αi e βi.
A relação deformação/deslocamento pode então, segundo as eq. (6.2) e (6.3),
ser dada da forma:
Curso de projeto estrutural com materiais compostos 95
[ ]{ }e
n
1
1
1
1
1
21
1
21
1
11
1
1
2211
21
21
yz
xz
xy
y
x
0xy
0y
0x
UBwvu
yN0N0
yN00
xN00N
xN00
00x
Ny
N000
00y
N0000
000x
N000
xN
yN000
xN
yN
yN0000
yN0
0x
N0000x
N
ywxwxy
y
x
xv
yu
yvxu
=
β
βα
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=
∂∂
+β
∂∂
+α
∂β∂
+∂α∂
∂β∂
∂α∂
∂∂
+∂∂
∂∂∂∂
=
γγκκκγεε
(6.26)
Substituindo a eq. (6.26) na eq. (6.24), temos:
{ } [ ] [ ]{ }∫
=
A
ettee dydxUB
F000DB0BA
BU21U (6.27)
66..33 –– EEnneerrggiiaa cciinnééttiiccaa eelleemmeennttaarr
A energia cinética de um elemento infinitesimal pode ser colocada da forma:
∫
∂∂
+
∂∂
+
∂∂
ρ=V
222
e dVt
)t,z,y,x(wt
)t,z,y,x(vt
)t,z,y,x(u)z,y,x(21T (6.28)
Considerando o campo de deslocamentos definido pela eq. (6.1), temos:
∫ ∫
∂
∂+
∂β∂
+∂
∂+
∂α∂
+∂
∂ρ=
−A
20
20
20
2h
2h
e dydxdzt
wt
zt
vt
zt
u)z,y,x(21T (6.29)
Desenvolvendo a eq. (6.29), temos:
Método dos Elementos Finitos aplicado aos materiais compostos 96
( ) ( ) ( )[ ]∫ ∫ β+α+β+α+++ρ=−A
22200
20
20
20
2h
2h
e dydxdzzvuz2wvu)z,y,x(21T (6.30)
Para uma placa, laminada, a densidade de cada lâmina pode ser considerada
constante ao logo da espessura, logo ρk = ρ(x,y). Definindo ρ0(x,y) como sendo uma
densidade de massa por unidade de área da superfície média da placa como sendo:
dz)y,x(2
h
2h
ko ∫
−
ρ=ρ (6.31)
e definindo ρ1(x,y) como sendo o primeiro momento de massa por:
dzz)y,x(2
h
2h
k1 ∫
−
ρ=ρ (6.32)
Observe que se a densidade for constante ao longo da espessura, como no caso de
uma placa homogênea, ρ1(x,y)=0. Definindo também ρ2(x,y) como sendo o segundo
momento de massa por:
dzz)y,x( 22
h
2h
k2 ∫
−
ρ=ρ (6.33)
Para uma placa homogênea, 12h3k
2ρ
=ρ .
Substituindo as eqs. (6.31), (6.32) e (6.33) na eq. (6.30), temos:
( ) ( ) ( )[ ]∫ β+αρ+β+αρ+++ρ=A
222001
20
20
200e dydx)y,x(vu)y,x(2wvu)y,x(
21T (6.34)
Reagrupando a eq. (6.34) na forma de vetores, temos:
Curso de projeto estrutural com materiais compostos 97
∫
βα
ρ
βα
+
βα
ρ
+
ρ
=
A2
t
1
t
0
0
0
0
0
0
t
0
0
0
e dydx)y,x()y,x(2vu
wvu
)y,x(wvu
21T (6.35)
A eq. (6.35) pode ser reescrita através da definição de uma matriz [m] do tipo:
[ ]
ρρρρ
ρρρ
ρρ
=
)y,x(00)y,x(00)y,x(00)y,x(00)y,x(00
)y,x(00)y,x(00)y,x(00)y,x(
m
21
21
0
10
10
(6.36)
Logo:
∫
βα
βα
=A
0
0
0t
0
0
0
e dydxwvu
]m[wvu
21T (6.37)
Considerando a derivada temporal da eq. (6.25), temos:
{ } ( )[ ]{ })t(Uy,xNt)y,(x,u ee = (6.38)
Substituindo a eq. (6.38) na eq. (6.37), tem-se:
{ } [ ] [ ]{ }[ ]∫=A
ettee dydxUN]m[NU
21T (6.39)
66..44 –– TTrraabbaallhhoo rreeaalliizzaaddoo ppeellaass ffoorrççaass eexxtteerrnnaass
O trabalho realizado pelas forças externas pode ser colocado da forma:
{ } { }{ }e
A
ee UF
21dydxU)y,x(q
21W += ∫ (6.40)
Método dos Elementos Finitos aplicado aos materiais compostos 98
onde q(x,y) é o carregamento transversal e {F} são os esforços concentrados do tipo
força e momento.
66..55 –– PPrroobblleemmaa eessttááttiiccoo –– pprriinnccííppiioo ddooss ttrraabbaallhhooss vviirrttuuaaiiss
Este princípio considera que o trabalho virtual realizado pelas forças externas é
igual ao trabalho virtual realizado pelas esforços internos quando da aplicação de
deslocamentos virtuais do tipo {δUe}. Assim das eq. (6.27) e eq. (6.40) e considerando o
trabalho realizado no elementos, temos:
{ } [ ] [ ] { } { } { } { }FUdydx)y,x(qUdydxUBF000DB0BA
BUte
A
te
A
ette δ+δ=
∫∫ (6.41)
Colocando os deslocamentos virtuais em evidência, tem-se:
{ } [ ] [ ] { } { } 0Fdydx)y,x(qUdydxBF000DB0BA
BUA
e
A
tte =
+−
δ ∫∫ (6.42)
Como a solução da eq. (6.42) é valida para qualquer deslocamento virtual, o
problema a ser resolvido, após a superposição das matrizes elementares, é da forma:
[ ] { } { }PUK = (6.43)
A eq. (6.43) é a equação que descreve o comportamento estático do sistema,
onde [K] é a matriz de rigidez global, {P} é o vetor forças externas global
e {U} é o vetor dos graus de liberdade de todo o sistema.
66..55..11 –– DDeetteerrmmiinnaaççããoo ddaass tteennssõõeess
Após a resolução do sistema de equações lineares dado pela eq. (6.43), obtém-
se o vetor de deslocamentos nodais {U}. Aplicando as eqs. (6.26), obtém-se as
deformações na superfície neutra, as curvaturas e as deformações cisalhantes
Curso de projeto estrutural com materiais compostos 99
transversas. Multiplicando as deformações na forma das eqs. (6.2) e (6.3) pela matriz
constitutiva obtida no sistema de coordenadas de referência (x,y), obtém-se as tensões
medidas no sistema de referência {σx}. Multiplicando o resultado destas tensões pela
matriz de transformação [T] dada pela eq. (3.9), obtêm-se as tensões medidas no
sistema de ortotropia {σ1}. Finalmente, pode-se aplicar um critério de falha sobre
qualquer elemento.
As tensões de cisalhamento transversas, como visto anteriormente, são
constantes ao longo da espessura de cada lâmina, quando determinadas pela Teoria
de Primeira Ordem. Para obter a distribuição correta destas tensões, considere um
elemento infinitesimal de volume dx, dy e dz submetido a um estado de tensões
triaxiais. Por comodidade, somente as tensões na direção x são mostradas na Figura
6.2:
Figura 6.2 – Elemento submetido à um estado de tensões triaxiais
Impondo o equilíbrio estático da direção x, temos:
Σ Fx = 0, 0=
∂τ∂
+τ+τ−
∂
τ∂+τ+τ−
∂σ∂
+σ+σ−
dxdydzz
dxdy
dxdzdyy
dxdzdydzdxx
dydz
xzxzxz
xyxyxy
xxx
(6.44)
Que resulta na equação diferencial que representa o equilíbrio na direção x:
x
z
ydx
xx
x ∂σ∂
+σ
dxxxz
xz ∂τ∂
+τ
xσ
xyτ
dxxxy
xy ∂
τ∂+τxzτ
Método dos Elementos Finitos aplicado aos materiais compostos 100
0=∂τ∂
+∂
τ∂+
∂σ∂
zyxxzxyx (6.45)
As equações diferenciais que representam o equilíbrio na direção y e z podem
ser obtidas de maneira análoga:
0=∂
τ∂+
∂
τ∂+
∂
σ∂
zxyyzxyy (6.46)
0=∂
τ∂+
∂τ∂
+∂σ∂
yxzyzxzz (6.47)
A distribuição da tensão cisalhante transversa τxz, pode ser obtida a partir da eq.
(6.46), e de σx e τxy obtidas da eq. (4.47):
dzyxxyx
xz ∫
∂
τ∂+
∂σ∂
−=τ (6.48)
Assim, desprezando os efeitos térmicos, temos:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
dzz
yQz
yQz
yQ
zx
Qzx
Qzx
Q
xyxyk
yyk
xxk
xyxyk
yyk
xxk
xz ∫
κ+γ∂∂
+κ+ε∂∂
+κ+ε∂∂
+κ+γ∂∂
+κ+ε∂∂
+κ+ε∂∂
−=τ0
660
620
61
016
012
011
(6.49)
Considerando o estado plano de deformações dado pela eq. (6.2), temos: 2 22 2
k k0 011 122 2
2 2 2 2k 0 016 2 2
xz 2 22 2k k0 061 62 2 2
2 2 2 2k 0 066 2 2
u vQ z Q zx y x yx x
u vQ z zx y x yx x
u vQ z Q zy x y x y y
u vQ z zy x y xy y
∂ ∂∂ α ∂ β+ + + +
∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ α ∂ β
+ + + + ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ τ = −
∂ ∂∂ α ∂ β+ + + +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ α ∂ β
+ + + ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂
dz
∫ (6.50)
Curso de projeto estrutural com materiais compostos 101
Como os deslocamentos u0 e v0 e as rotações α e β são medidos na superfície
neutra, portanto independentes da posição z, tem-se: 2 22 2 2 2
k k0 011 122 2
2 2 2 2 2 2k 0 016 2 2
xz 2 22 2 2 2k k0 061 62 2 2
2 2 2k 0 066 2
u vz zQ z Q z2 x y 2 x yx x
u v z zQ z zx y 2 x y 2x x
u vz zQ z Q zy x 2 y x 2y y
u v zQ z zy xy
∂ ∂∂ α ∂ β+ + + +
∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ α ∂ β
+ + + + ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ τ = −
∂ ∂∂ α ∂ β+ + + +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂+ +
∂ ∂∂
k
2 2 2
2
a (x,y)
z2 2 y xy
+ ∂ α ∂ β + ∂ ∂∂
(6.51)
onde ak é uma constante de integração determinada pela imposição da continuidade
das tensões na interface das lâminas e da nulidade desta tensão nas superfícies inferior
e superior do laminado. Observa-se na eq. (6.51) que a distribuição da tensão
cisalhante transversa τxz é parabólica. A distribuição da tensão cisalhante transversa τyz,
pode ser obtida a partir da eq. (6.46), e de σx e τxy obtidas da eq. (4.47):
dzyxyxy
yz ∫
∂
σ∂+
∂
τ∂−=τ (6.52)
Assim, desprezando os efeitos térmicos, temos:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
k 0 k 0 k 061 x x 62 y y 66 xy xy
yzk 0 k 0 k 021 x x 22 y y 26 xy xy
Q z Q z Q zx x x dz
Q z Q z Q zy y y
∂ ∂ ∂ ε + κ + ε + κ + γ + κ + ∂ ∂ ∂ τ = −∂ ∂ ∂ ε + κ + ε + κ + γ + κ ∂ ∂ ∂
∫ (6.53)
Considerando o estado de deformações dado pela eq. (6.2), temos:
Método dos Elementos Finitos aplicado aos materiais compostos 102
2 22 2k k0 061 622 2
2 2 2 2k 0 066 2 2
yz 2 22 2k k0 021 22 2 2
2 2 2 2k 0 026 2 2
u vQ z Q zx y x yx x
u vQ z zx y x yx x
u vQ z Q zy x y x y y
u vQ z zy x y xy y
∂ ∂∂ α ∂ β+ + + +
∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ α ∂ β
+ + + + ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ τ = −
∂ ∂∂ α ∂ β+ + + +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ α ∂ β
+ + + ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂
dz
∫ (6.54)
Como os deslocamentos u0 e v0 e as rotações α e β são medidos na superfície
neutra, portanto independentes da posição z, tem-se: 2 22 2 2 2
k k0 061 622 2
2 2 2 2 2 2k 0 066 2 2
yz 2 22 2 2 2k k0 021 22 2 2
2 2 2k 0 026 2
u vz zQ z Q z2 x y 2 x yx x
u v z zQ z zx y 2 x y 2x x
u vz zQ z Q zy x 2 y x 2y y
u v zQ z zy xy
∂ ∂∂ α ∂ β+ + + +
∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ α ∂ β
+ + + + ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ τ = −
∂ ∂∂ α ∂ β+ + + +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂+ +
∂ ∂∂
k
2 2 2
2
b (x,y)
z2 2 y xy
+ ∂ α ∂ β + ∂ ∂∂
(6.55)
onde bk é uma constante de integração determinada pela imposição da continuidade
das tensões na interface das lâminas e da nulidade desta tensão nas superfícies inferior
e superior do laminado. Observa-se na eq. (6.55) que a distribuição da tensão
cisalhante transversa τyz é parabólica.
A distribuição da tensão normal σz, pode ser obtida a partir das eqs. (6.47), (6.51)
e (6.55):
dzyxyzxz
z ∫
∂
τ∂+
∂τ∂
−=σ (6.56)
Curso de projeto estrutural com materiais compostos 103
66..66 –– PPrroobblleemmaa ddiinnââmmiiccoo –– eeqquuaaççõõeess ddee llaaggrraannggee
Inúmeras técnicas podem ser utilizadas para se chegar na equação que
representa o comportamento do sistema, equação esta que será resolvida pelo método
dos elementos finitos: princípio da energia potencial mínima, método dos resíduos
ponderados, etc. Um método bastante utilizado para se obter a equação que representa
o comportamento dinâmico de um sistema é o da aplicação das equações de Lagrange
sobre as todas as energias consideradas no sistema. Estas equações de Lagrange são
expressas da seguinte forma:
iiii
FqqU
qT
qT
dtd
=∂∂
+∂∂
−
∂∂ (6.57)
onde T é a energia cinética do sistema, U é a energia de deformação do sistema e Fqi
são as forças generalizadas do sistema. Aplicando a eq. (6.57) sobre as eqs. (6.27),
(6.39) e considerando que as forças generalizadas são obtidas pelo trabalho virtual
realizado pelas forças externas, obtém-se a eq. (6.58) que representa a equação de
movimento do sistema, dada da forma:
[ ] { } [ ] { } { })t(P)t(UK)t(UM =+ (6.58)
onde [M] é a matriz de massa global:
66..66..11 –– FFrreeqqüüêênncciiaass nnaattuurraaiiss ee mmooddooss ddee vviibbrraaççããoo
As freqüências naturais e os modos de vibração de um sistema em vibração são
obtidos através da solução da equação homogênea da eq. (6.58):
[ ]{ } [ ]{ } { }0=+ )t(UK)t(UM (6.59)
A solução da eq. (6.59) é da forma harmônica do tipo:
{ } { } tieU)t(U ω= (6.60)
Método dos Elementos Finitos aplicado aos materiais compostos 104
onde { }U são deslocamentos nodais, independentes do tempo, representativos do
modo de vibração associado à freqüência natural ω.
Substituindo a eq. (6.60) na eq. (6.59) e simplificando o termo exponencial,
obtemos:
[ ]{ } { }0UMK 2 =ω− (6.61)
66..66..22 –– RReessppoossttaa nnoo tteemmppoo
A solução da eq. (6.58) pode ser obtida por diferentes métodos: Método das
Diferenças Centrais, Método de Houbolt, Método de Newmark, etc., nos quais são
definidos os deslocamentos, as velocidades e as acelerações obtidas em um tempo t
em função dos deslocamentos, das velocidades e das acelerações obtidas em tempo t-
∆t e t+∆t. A escolha entre um destes métodos se restringe na convergência ou não da
solução e/ou no tempo de convergência.
66..77 –– EExxeemmppllooss ddee aapplliiccaaççããoo
66..77..11 –– CChhaassssii ddee kkaarrtt
Curso de projeto estrutural com materiais compostos 105
66..77..22 –– CChhaassssii ddee ssiiddee--ccaarr
Método dos Elementos Finitos aplicado aos materiais compostos 106
66..77..33 –– QQuuaaddrroo ddee bbiicciicclleettaa ((aa))
66..77..44 –– RRaaqquueettee ddee ttêênniiss
Curso de projeto estrutural com materiais compostos 107
66..77..55 –– CCaarrrroocceerriiaa ddee ccaammiinnhhããoo bbaaúú
66..77..66 –– CCaassccoo ddee ccaattaammaarraann
Método dos Elementos Finitos aplicado aos materiais compostos 108
66..77..77 –– QQuuaaddrroo ddee bbiicciicclleettaa ((bb))
66..77..88 –– CChhaassssii ddee uumm ccaammiinnhhããoo lleevvee
Curso de projeto estrutural com materiais compostos 109
77 –– FFLLAAMMBBAAGGEEMM DDEE PPLLAACCAASS LLAAMMIINNAADDAASS
Este capítulo trata da análise de estabilidade de placa laminadas submetidas à
cargas compressivas.
77..11 –– EEqquuaaççõõeess ddiiffeerreenncciiaass ddee ppllaaccaass
Considere um elemento de placa infinitesimal de dimensões dx, dy, submetido à
esforços de membrana, Figura 7.1.
Figura 7.1 – Esforços de membrana sobre um elemento de placa
Impondo o equilíbrio estático na direção x, temos:
ΣFx = 0, xyxx x xy xy
NNN dy N dx dy N dy N dy dx 0x y
∂ ∂ − + + − + + = ∂ ∂ (7.1)
xyx NN 0x y
∂∂+ =
∂ ∂ (7.2)
Analogamente, com relação ao eixo y, temos:
y xyN N0
y x∂ ∂
+ =∂ ∂
(7.3)
x
z
y dxNydxNxy
dxdyy
NN y
y
∂
∂+
dxdyy
NN xy
xy
∂
∂+
dyNxdxNxy
dydxx
NN xx
∂
∂+
dydxx
NN xy
xy
∂
∂+
dxdy
Flambagem de placas laminadas 110
Considere agora, um elemento de placa infinitesimal de dimensões dx, dy,
submetido à esforços de flexão e de cortante.
Figura 7.2 – Esforços de flexão e cortantes em um elemento de placa
Impondo o equilíbrio das forças na direção z, temos:
ΣFz = 0, yxx x y y
QQQ dy Q dx dy Q dx Q dy dx p dx dy 0x y
∂ ∂ − + + − + + + = ∂ ∂ (7.4)
Simplificando, a eq. (7.4) resulta em:
yx QQ p 0x y
∂∂+ + =
∂ ∂ (7.5)
Impondo o equilíbrio dos momentos com relação ao eixo x, temos:
ΣMx = 0,
y xyy y xy xy
yy
M MM dx M dy dx M dy M dx dy
y x
Q dyQ dy dx.dy p dx dy 0y 2
∂ ∂ − + + − + + − ∂ ∂
∂ + + = ∂
(7.6)
Desprezando termos de segunda ordem, a eq. (7.6) resulta em:
x
z
y dxQy
yM dx
xyxy
MM dy dx
y∂
+ ∂
yy
MM dy dx
y∂
+ ∂
dyQxxM dx
xyxy
MM dx dy
x∂
+ ∂ xx
MM dx dyx
∂ + ∂
dxdy
xyM dxxyM dy
dydxx
QQ xx
∂
∂+
dxdyy
QQ y
y
∂
∂+
)y,x(p
Curso de projeto estrutural com materiais compostos 111
y xyy
M MQ 0
y x∂ ∂
+ − =∂ ∂
(7.7)
Por analogia, do equilíbrio dos momentos com relação ao eixo y, tem-se a eq.
(7.8):
0Qy
Mx
Mx
xyx =−∂
∂+
∂∂ (7.8)
Somando a derivada da eq. (7.7) com relação a y, a derivada da eq. (7.8) com
relação a x e a carga distribuída sobre a placa p(x,y), temos:
py
Myx
M2
xM
2y
2xy
2
2x
2−=
∂
∂+
∂∂
∂+
∂∂ (7.9)
77..22 –– EEqquuaaççõõeess ddee ppllaaccaa ccoonnssiiddeerraannddoo aa ffllaammbbaaggeemm
Considere um elemento de placa deformado submetido à esforços de membrana.
Figura 7.3 – Esforços normais de membrana sobre um elemento de placa deformada
Considerando pequenas deformações, a equação que representa o equilíbrio da
placa da direção z é da forma:
x
dydxx
NN xx
∂
∂+
dyNx
dx
z
dxx
wxx
w
∂
∂∂∂
+∂
∂ 00
xw∂
∂ 0
Flambagem de placas laminadas 112
ΣFz , 2
0 0 0xx x 2
w w wNN dy N dx dy dxx x x x
∂ ∂ ∂∂ − + + + ∂ ∂ ∂ ∂ (7.10)
Desprezando os termos de ordem superior, temos: 2
0 0xx 2
w wNNx xx
∂ ∂∂+
∂ ∂∂ (7.11)
Analogamente com relação aos esforços de membrana no eixo y, temos: 2
y0 0y 2
Nw wNy yy
∂∂ ∂+
∂ ∂∂ (7.12)
Figura 7.4 – Esforços de cisalhamento em membrana em um elemento infinitesimal
As componentes das forças que atuam na direção z devido a Nxy são da forma,
Figura 7.4: 2
xy0 0 0xy xy
2xy0 0 0
xy xy
Nw w wN dy N dx dy dxy x y x y
Nw w wN dx N dy dx dyx y x y x
∂ ∂ ∂ ∂− + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂− + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
(7.13)
x
z
x
dxNxy
y
dxdyy
NN xy
xy
∂
∂+
dyNxy
dxy
wxy
w
∂
∂∂∂
+∂
∂ 00
dydxx
NN xy
xy
∂
∂+
dx
dy
dyx
wyx
w
∂
∂∂∂
+∂
∂ 00
yw∂
∂ 0
xw∂
∂ 0
Curso de projeto estrutural com materiais compostos 113
Desprezando os termos de ordem superior, temos: 2
xy xy0 0 0xy
N Nw w w2Nx y x y y x
∂ ∂∂ ∂ ∂+ +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (7.14)
Agrupando as eqs. (7.11), (7.12) e (7.14), a componente total na direção z é da
forma: 2 2 2
xy y xy0 0 0 0 0xx y xy2 2
N N Nw w w w wNN N 2Nx y x x y y y xx y
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂+ + + + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂
(7.15)
Substituindo as eqs. (7.2) e (7.3) na eq.(7.15), tem-se: 2 2 2
0 0 0x y xy2 2
w w wN N 2Nx yx y
∂ ∂ ∂+ +
∂ ∂∂ ∂ (7.16)
A soma da eq. (7.16) com a eq. (7.5), fornece a resultante das forças atuando na
direção z: 2 2 2
y0 0 0 xx y xy2 2
Qw w w QN N 2N p 0x y x yx y
∂∂ ∂ ∂ ∂+ + + + + =
∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ (7.17)
A eq. (7.17) pode ser apresentada de uma outra forma, fazendo a soma da eq.
(7.9) com a eq. (7.5): 2 2 2 2 22
y xy 0 0 0xx y xy2 2 2 2
M M w w wM 2 N N 2N p 0x y x y x y x y
∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂+ + + + + + =
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (7.18)
A eq. (7.18) pode ser também apresentada de uma forma alternativa se
considerarmos as eqs. (7.7) e (7.8): 2 2 2
y 0 0 0xx y xy2 2
Q w w wQ N N 2N p 0x y x y x y
∂ ∂ ∂ ∂∂+ + + + + =
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (7.19)
Portanto, as equações que prevêem o comportamento da placa são as equações
de equilíbrio de forças nas direções x, y e z, dadas pelas eqs. (7.2), (7.3) e (7.18) ou
(7.19), respectivamente, e eventualmente as eqs. (7.7) e (7.8) que são as equações de
Flambagem de placas laminadas 114
equilíbrio de momentos com relação ao eixo x e y. Na presença de forças de inércia, no
caso de carregamento dinâmico, estas equações se transformam em: 2
xy 0x0 2
N uNx y t
∂ ∂∂+ = ρ
∂ ∂ ∂ (7.20)
2
y xy 00 2
N N vy x t
∂ ∂ ∂+ = ρ
∂ ∂ ∂ (7.21)
2 2 2 2 2 22
y xy 0 0 0 0xx y xy 02 2 2 2 2
M M w w w wM 2 N N 2N px y x y x y x y t
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂+ + + + + + = ρ
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (7.22)
2 2 2 2
y 0 0 0 0xx y xy 02 2 2
Q w w w wQ N N 2N px y x y x y t
∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂+ + + + + = ρ
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (7.23)
77..33 –– MMééttooddoo ddaa ppeerrttuurrbbaaççããoo aapplliiccaaddoo àà ffllaammbbaaggeemm
Para resolver o problema de flambagem, é utilizado um método de perturbação,
no qual o campo de deslocamento é escrito da forma:
www
vvv
uuu
i
i
i
λ+=
λ+=
λ+=
(7.24)
onde ui, vi e wi são deslocamentos iniciais, antes de ocorrer a flambagem e, u, v e w são
deslocamentos quaisquer e admissíveis (verificam todas as condições de contorno e de
continuidade) e λ é um escalar infinitamente pequeno e independente das
coordenadas.
Considerando a matriz de comportamento dada pela eq. (4.38) e o campo de
deslocamentos para a flambagem, eq. (7.24), temos:
Curso de projeto estrutural com materiais compostos 115
κκκγ
εε
λ+
κκκγ
εε
=
xy
y
x
xy
y
xi
xy
y
x
xy
y
x
xy
y
x
xy
y
x
DBBA
DBBA
MMMNNN
0
0
0
0
0
0
(7.25)
Colocando a eq. (7.25) num forma compacta:
( )( ) MMDBDBM
NNBABANiiiii
iiiii
λ+=κ+ελ+κ+ε=
λ+=κ+ελ+κ+ε= (7.26)
onde ε são deformações da superfície neutra e κ são curvaturas, dependentes da teoria
utilizada: Teoria Clássica de Laminados ou Teoria de Primeira Ordem.
Substituindo a eq. (7.24) na eq. (7.18), temos: 2 i 2 i 2 i 2 i 2 i2 i
y xy i i i i0 0 0xx y xy2 2 2 2
2 2 2 i 22y xy i0 0x
x x2 2 2 2
2 i 2 2 i 2i i0 0 0 0
y y xy xy2 2
22 0
x 2
M M w w wM 2 N N 2N px y x y x y x y
M M w wM 2 N Nx y x y x x
w w w wN N 2N 2N py y x y x y
wNx
∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂+ + + + + + +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂∂+ + + + +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ λ + ∂ ∂ ∂ ∂ + + + +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂λ +
∂
2 20 0
y xy2w wN 2N 0y x y
∂ ∂+ = ∂ ∂ ∂
(7.27)
Desprezando os termos de segunda ordem em λ e considerando que a eq. (7.27)
é válida para qualquer valor de λ, tem-se: 2 i 2 i 2 i 2 i 2 i2 i
y xy i i i i0 0 0xx y xy2 2 2 2
M M w w wM 2 N N 2N p 0x y x y x y x y
∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂+ + + + + + =
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (7.28)
2 2 2 i 22y xy i0 0x
x x2 2 2 2
2 i 2 2 i 2i i0 0 0 0
y y xy xy2 2
M M w wM 2 N Nx y x y x x
w w w wN N 2N 2N p 0y y x y x y
∂ ∂ ∂ ∂∂+ + + + +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂+ + + + =
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
(7.29)
Flambagem de placas laminadas 116
A eq. (7.28), não linear pelo fato de haver acoplamento entre esforços de
membrana e de flexão, permite determinar a configuração inicial da placa com a ajuda
das eqs. (7.2) e (7.3). A resolução desta equação é feita de forma iterativa, a partir da
linearização da eq. (7.28) no primeiro passo. 2 i 2 i2 i
y xy ix2 2
M MM 2 p 0x y x y
∂ ∂∂+ + + =
∂ ∂ ∂ ∂ (7.30)
Como na configuração inicial, o deslocamento wi0 é pequeno, o gradiente das
inclinações (curvaturas pela Teoria Clássica de Laminados), 2 i
02
wx
∂∂
, 2 i
02
wy
∂∂
e 2 i
0wx y
∂∂ ∂
são
desprezíveis. Logo, a eq. (7.29) se transforma em: 2 2 2 2 22
y xy i i i0 0 0xx y xy2 2 2 2
M M w w wM 2 N N 2N p 0x y x yx y x y
∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂+ + + + + + =
∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ (7.31)
Considerando a eq. (7.25), a eq. (7.31) pode ser substituida por:
( )
( )
( )
20 0 0
11 x 12 y 16 xy 11 x 12 y 16 xy2
20 0 0
21 x 22 y 26 xy 21 x 22 y 26 xy2
20 0 0
61 x 62 y 66 xy 61 x 62 y 66 xy
2 2 2i i i0 0 0x xy y2 2
B B B D D Dx
B B B D D Dy
2 B B B D D Dx y
w w wN 2N N p 0x yx y
∂ε + ε + γ + κ + κ + κ +
∂∂
ε + ε + γ + κ + κ + κ +∂
∂ε + ε + γ + κ + κ + κ +
∂ ∂
∂ ∂ ∂+ + + =
∂ ∂∂ ∂
(7.32)
A eq. (7.32), utilizando a eq. (4.25) que define o campo de deslocamentos pela
Teoria Clássica de Laminados, pode ser colocada da forma:
Curso de projeto estrutural com materiais compostos 117
3 3 3 3 4 4 40 0 0 0 0 0 0
11 12 16 11 12 163 2 2 3 4 2 2 3
3 3 3 3 4 4 40 0 0 0 0 0 0
21 22 26 21 22 262 3 3 2 2 2 4 4
30
61 2
u v u v w w wB B B D D Dx x y x y x x x y x y
u v u v w w wB B B D D Dy x y y y x y x y y
uBx
2
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + − − − +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
+ + + − − − + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂∂ ∂
3 3 30 0 0
62 662 2 2
4 4 40 0 0
61 62 663 3 2 2
2 2 2i i i0 0 0x xy y2 2
v u vB By x y x y x y
w w wD D Dx y x y y x
w w wN 2N N p 0x yx y
∂ ∂ ∂+ + +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ − − − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂+ + + =
∂ ∂∂ ∂
(7.33)
As outras relações fundamentais para analisar o comportamento de placas pela
Teoria Clássica de Laminados, além da eq. (7.33), são: 2 2 2 2 3 3 3
0 0 0 0 0 0 011 12 16 11 12 162 2 3 2 2
2 2 2 2 3 3 30 0 0 0 0 0 0
61 62 66 61 62 662 2 2 3 2
u v u v w w wA A A B B B 2x y x yx x x x y x y
u v u v w w wA A A B B B 2 0y x y xy y y x y x y
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + − − − +
∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
+ + + − − − = ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
(7.34)
2 2 2 2 3 3 3
0 0 0 0 0 0 021 22 26 21 22 262 2 2 3 2
2 2 2 2 3 3 30 0 0 0 0 0 0
61 62 66 61 62 662 2 3 2 2
u v u v w w wA A A B B B 2y x y xy y y x y x x
u v u v w w wA A A B B B 2 0x y x yx x x x y x y
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + − − − +
∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
+ + + − − − = ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
(7.35)
Para a Teoria de Primeira Ordem, a eq. (7.31) é colocada de outra forma,
considerando as eqs. (7.7) e (7.8): 2 2 2
y i i i0 0 0xx y xy2 2
Q w w wQ N N 2N p 0x y x y x y
∂ ∂ ∂ ∂∂+ + + + + =
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (7.36)
Considerando a eq. (6.14) ou (6.23), onde surgem os efeitos do cisalhamento
transverso, a eq. (7.34) pode ser colocada da forma:
Flambagem de placas laminadas 118
0 0 0 045 55 44 45
2 2 2i i i0 0 0x y xy2 2
w w w wF F F Fx y x x y y y xw w wN N 2N p 0x y x y
∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ + β + + α + + β + + α + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
+ + + =∂ ∂ ∂ ∂
(7.37)
Reagrupando a eq. (7.37), temos: 2 2 2
0 0 055 44 452 2
2 2 2i i i0 0 0x y xy2 2
w w wF F F 2x x y x y x x y
w w wN N 2N p 0x y x y
∂ ∂ ∂∂α ∂β ∂α ∂β+ + + + + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂+ + + =
∂ ∂ ∂ ∂
(7.38)
As outras relações fundamentais para analisar o comportamento de placas pela
Teoria de Primeira Ordem, além da eq. (7.38), são: 2 2 2 2 2 2 2 2
0 0 0 011 12 16 11 12 162 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 20 0 0 0
61 62 66 61 62 662 2 2 2
u v u vA A A B B Bx y x y x y x yx x x x
u v u vA A A B B B 0y x y x y x y xy y y y
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ α ∂ β ∂ α ∂ β+ + + + + + + +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ α ∂ β ∂ α ∂ β
+ + + + + + + = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂
(7.39)
2 2 2 2 2 2 2 2
0 0 0 021 22 26 21 22 262 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 20 0 0 0
61 62 66 61 62 662 2 2 2
u v u vA A A B B By x y x y x y xy y y y
u v u vA A A B B B 0x y x y x y x yx x x x
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ α ∂ β ∂ α ∂ β+ + + + + + + +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ α ∂ β ∂ α ∂ β
+ + + + + + + = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂
(7.40)
2 2 2 2 2 2 2 2
0 0 0 021 22 26 21 22 262 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 20 0 0 0
61 62 66 61 62 662 2 2 2
044
u v u vB B B D D Dy x y x y x y xy y y y
u v u vB B B D D Dx y x y x y x yx x x x
wFy
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ α ∂ β ∂ α ∂ β+ + + + + + + +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ α ∂ β ∂ α ∂ β
+ + + + + + + − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂
∂+ β
∂0
45wF 0x
∂ − + α = ∂
(7.41)
Curso de projeto estrutural com materiais compostos 119
2 2 2 2 2 2 2 20 0 0 0
11 12 16 11 12 162 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 20 0 0 0
61 62 66 61 62 662 2 2 2
045
u v u vB B B D D Dx y x y x y x yx x x x
u v u vB B B D D Dy x y x y x y xy y y y
wFx
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ α ∂ β ∂ α ∂ β+ + + + + + + +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ α ∂ β ∂ α ∂ β
+ + + + + + + − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + α∂
055
wF 0y
∂ − + β = ∂
(7.42)
As eqs. (7.33), (7.34) e (7.35) para a Teoria Clássica de Laminados e das eqs.
(7.38), (7.39), (7.40), (7.41) e (7.42) para a Teoria de Primeira Ordem são resolvidas
supondo, por exemplo, que as variáveis u0, v0 e w0 para a Teoria Clássica de
Laminados, e mais α, e β para a Teoria de Primeira Ordem são da forma:
0 m
0 m
0 m
m
m
m xu A senL
m xv B senL
m xw C senL
m xD senL
m xE senL
π=
π=
π=
πα =
πβ =
(7.43)
O problema pode ser simplificado quando o laminado é simétrico, [B] = 0, quando
o laminado é, além de simétrico, balanceado, A16 = A61 = A26 = A62 = 0, e quando o
laminado é ortotrópico (fibras somente a 00 e 900), D16 = D61 = D26 = D62 = 0.
Exemplo 7.1: Determine a carga crítica de um laminado simétrico biapoiado em x = 0 e
x = L, submetido à um carregamento de compressão N0 utilizando a Teoria Clássica de
Laminados.
Considerando que o laminado é simétrico, [B] = 0. Devido ao carregamento, Nix =
- N0, Niy = Ni
xy = p= 0.
Da eq. (7.33), temos:
Flambagem de placas laminadas 120
4 4 4 4 4 40 0 0 0 0 0
11 12 16 21 22 264 2 2 3 2 2 4 4
4 4 4 20 0 0 0
61 62 66 03 3 2 2 2
w w w w w wD D D D D Dx x y x y y x y y
w w w w2 D D D N 0x y x x y x x
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂− − − − − − +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂− − − − =
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
(7.44)
Se a placa tem dimensão muito grande na direção y comparado com a dimensão
x, os gradientes de w0 em y são nulos, logo: 4 2
0 011 04 2
w wD N 0x x
∂ ∂− − =
∂ ∂ (7.45)
Admitindo um deslocamento w0, que satisfaça as condições de contorno, ser da
forma como apresentado pela eq. (7.43) e substituindo na eq. (7.45), tem-se: 2 2
11 0 mm m m xD N C sen 0L L L
π π π − =
(7.46)
Como na configuração deformada, Cm ≠ 0, m ≠ 0 e conseqüentemente
0≠πL
xmsen , tem-se a menor carga crítica para m=1:
2
cr 11N DLπ =
(7.47)
Para um laminado não simétrico, onde [B] ≠ 0, a utilização das eqs. (7.34) e
(7.35) são necessárias devido ao acoplamento dos deslocamentos u0, v0 e w0. Assim: 2 2 3
0 0 011 16 112 2 3
u v wA A B 0x x x
∂ ∂ ∂+ − =
∂ ∂ ∂ (7.48)
2 2 30 0 0
16 66 162 2 3u v wA A B 0x x x
∂ ∂ ∂+ − =
∂ ∂ ∂ (7.49)
e a eq. (7.33) se apresenta da forma:
Curso de projeto estrutural com materiais compostos 121
3 3 4 2i0 0 0 0
11 16 11 x3 3 4 2u v w wB B D N 0x x x x
∂ ∂ ∂ ∂+ − + =
∂ ∂ ∂ ∂ (7.50)
O desacoplamento dos deslocamentos se faz da seguinte forma: 2 3
0 02 3
2 30 0
2 3
d u d wBAdx dx
d v d wCAdx dx
=
=
(7.51)
onde: 2
11 66 16
66 11 16 16
11 16 16 11
A A A AB A B A BC A B A B
= −
= −
= −
(7.52)
Derivando a eq. (7.51) com relação a x, e substituindo na eq. (7.50), temos: 4 2
0 004 2
w wA N 0Dx x
∂ ∂+ =
∂ ∂ (7.53)
onde:
11 11 16D D A B B B C= − − (7.54)
Aplicando (7.45) em (7.51), temos: 2 2
0 mm A m x m xN C sen 0L D L L
π π π − =
(7.55)
Assim, a menor carga crítica para m=1, é da forma: 2
crDNA L
π =
(7.56)
Da comparação da eq. (7.56) com a eq. (7.47), observa-se que a carga crítica
diminui quando [B] ≠ 0, ou seja, quando o laminado não é simétrico.
Flambagem de placas laminadas 122
RREEFFEERRÊÊNNCCIIAASS
[1] Gay, Daniel, Matériaux Composites, Hermès, Paris, 1991.
[2] Berthelot, J.-M., Matériaux Composites, Comportement et analyse des structures,
Masson, Paris, 1992.
[3] Tsai, S. W., Hahn, H. T., Introduction to Composite Materials, Technomic Publishing
Co., Inc., 1980.
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