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Matemática Básica
Humberto José Bortolossi
Departamento de Matemática Aplicada
Universidade Federal Fluminense
Aula 8
30 de maio de 2012
Aula 8 Matemática Básica 1
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Números reais algebricamente(axiomaticamente): R é ordenado
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R é ordenado
Existe um subconjunto dos números reais, denominado conjunto dos númerosreais positivos e designado por R+, que satisfaz as seguintes propriedades:
(O1) Dado a um número real, existem três possibilidades que se excluemmutualmente: ou a é positivo, ou a = 0 ou −a é positivo.
Em símbolos: se a ∈ R, então ou a ∈ R+, ou a = 0 ou −a ∈ R+.
(O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos.
Em símbolos: se a,b ∈ R+, então a + b ∈ R+ e a · b ∈ R+.
Notação: escreveremos a > 0 para indicar que a é um número positivo, isto é, quea ∈ R+.
Diremos que um número real a é negativo se −a é positivo. O conjunto dosnúmeros reais negativos será designado por R−. Escrevemos a < 0 para indicarque a é um número negativo, isto é, que a ∈ R−.
Escrevemos a < b para indicar que b − a > 0 e escreveremos a > b para indicarque b − a < 0.
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R é ordenado
Existe um subconjunto dos números reais, denominado conjunto dos númerosreais positivos e designado por R+, que satisfaz as seguintes propriedades:
(O1) Dado a um número real, existem três possibilidades que se excluemmutualmente: ou a é positivo, ou a = 0 ou −a é positivo.
Em símbolos: se a ∈ R, então ou a ∈ R+, ou a = 0 ou −a ∈ R+.
(O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos.
Em símbolos: se a,b ∈ R+, então a + b ∈ R+ e a · b ∈ R+.
Notação: escreveremos a > 0 para indicar que a é um número positivo, isto é, quea ∈ R+.
Diremos que um número real a é negativo se −a é positivo. O conjunto dosnúmeros reais negativos será designado por R−. Escrevemos a < 0 para indicarque a é um número negativo, isto é, que a ∈ R−.
Escrevemos a < b para indicar que b − a > 0 e escreveremos a > b para indicarque b − a < 0.
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R é ordenado
Existe um subconjunto dos números reais, denominado conjunto dos númerosreais positivos e designado por R+, que satisfaz as seguintes propriedades:
(O1) Dado a um número real, existem três possibilidades que se excluemmutualmente: ou a é positivo, ou a = 0 ou −a é positivo.
Em símbolos: se a ∈ R, então ou a ∈ R+, ou a = 0 ou −a ∈ R+.
(O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos.
Em símbolos: se a,b ∈ R+, então a + b ∈ R+ e a · b ∈ R+.
Notação: escreveremos a > 0 para indicar que a é um número positivo, isto é, quea ∈ R+.
Diremos que um número real a é negativo se −a é positivo. O conjunto dosnúmeros reais negativos será designado por R−. Escrevemos a < 0 para indicarque a é um número negativo, isto é, que a ∈ R−.
Escrevemos a < b para indicar que b − a > 0 e escreveremos a > b para indicarque b − a < 0.
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R é ordenado
Existe um subconjunto dos números reais, denominado conjunto dos númerosreais positivos e designado por R+, que satisfaz as seguintes propriedades:
(O1) Dado a um número real, existem três possibilidades que se excluemmutualmente: ou a é positivo, ou a = 0 ou −a é positivo.
Em símbolos: se a ∈ R, então ou a ∈ R+, ou a = 0 ou −a ∈ R+.
(O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos.
Em símbolos: se a,b ∈ R+, então a + b ∈ R+ e a · b ∈ R+.
Notação: escreveremos a > 0 para indicar que a é um número positivo, isto é, quea ∈ R+.
Diremos que um número real a é negativo se −a é positivo. O conjunto dosnúmeros reais negativos será designado por R−. Escrevemos a < 0 para indicarque a é um número negativo, isto é, que a ∈ R−.
Escrevemos a < b para indicar que b − a > 0 e escreveremos a > b para indicarque b − a < 0.
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Existe um subconjunto dos números reais, denominado conjunto dos númerosreais positivos e designado por R+, que satisfaz as seguintes propriedades:
(O1) Dado a um número real, existem três possibilidades que se excluemmutualmente: ou a é positivo, ou a = 0 ou −a é positivo.
Em símbolos: se a ∈ R, então ou a ∈ R+, ou a = 0 ou −a ∈ R+.
(O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos.
Em símbolos: se a,b ∈ R+, então a + b ∈ R+ e a · b ∈ R+.
Notação: escreveremos a > 0 para indicar que a é um número positivo, isto é, quea ∈ R+.
Diremos que um número real a é negativo se −a é positivo. O conjunto dosnúmeros reais negativos será designado por R−. Escrevemos a < 0 para indicarque a é um número negativo, isto é, que a ∈ R−.
Escrevemos a < b para indicar que b − a > 0 e escreveremos a > b para indicarque b − a < 0.
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Existe um subconjunto dos números reais, denominado conjunto dos númerosreais positivos e designado por R+, que satisfaz as seguintes propriedades:
(O1) Dado a um número real, existem três possibilidades que se excluemmutualmente: ou a é positivo, ou a = 0 ou −a é positivo.
Em símbolos: se a ∈ R, então ou a ∈ R+, ou a = 0 ou −a ∈ R+.
(O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos.
Em símbolos: se a,b ∈ R+, então a + b ∈ R+ e a · b ∈ R+.
Notação: escreveremos a > 0 para indicar que a é um número positivo, isto é, quea ∈ R+.
Diremos que um número real a é negativo se −a é positivo. O conjunto dosnúmeros reais negativos será designado por R−. Escrevemos a < 0 para indicarque a é um número negativo, isto é, que a ∈ R−.
Escrevemos a < b para indicar que b − a > 0 e escreveremos a > b para indicarque b − a < 0.
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Existe um subconjunto dos números reais, denominado conjunto dos númerosreais positivos e designado por R+, que satisfaz as seguintes propriedades:
(O1) Dado a um número real, existem três possibilidades que se excluemmutualmente: ou a é positivo, ou a = 0 ou −a é positivo.
Em símbolos: se a ∈ R, então ou a ∈ R+, ou a = 0 ou −a ∈ R+.
(O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos.
Em símbolos: se a,b ∈ R+, então a + b ∈ R+ e a · b ∈ R+.
Notação: escreveremos a > 0 para indicar que a é um número positivo, isto é, quea ∈ R+.
Diremos que um número real a é negativo se −a é positivo. O conjunto dosnúmeros reais negativos será designado por R−. Escrevemos a < 0 para indicarque a é um número negativo, isto é, que a ∈ R−.
Escrevemos a < b para indicar que b − a > 0 e escreveremos a > b para indicarque b − a < 0.
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(O1) Dado a um número real, existem três possibilidades que se excluemmutualmente: ou a é positivo, ou a = 0 ou −a é positivo.
Em símbolos: se a ∈ R, então ou a ∈ R+, ou a = 0 ou −a ∈ R+.
(O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos.
Em símbolos: se a,b ∈ R+, então a + b ∈ R+ e a · b ∈ R+.
Notação: escreveremos a > 0 para indicar que a é um número positivo, isto é, quea ∈ R+.
Diremos que um número real a é negativo se −a é positivo. O conjunto dosnúmeros reais negativos será designado por R−. Escrevemos a < 0 para indicarque a é um número negativo, isto é, que a ∈ R−.
Escrevemos a < b para indicar que b − a > 0 e escreveremos a > b para indicarque b − a < 0.
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(O1) Dado a um número real, existem três possibilidades que se excluemmutualmente: ou a é positivo, ou a = 0 ou −a é positivo.
Em símbolos: se a ∈ R, então ou a ∈ R+, ou a = 0 ou −a ∈ R+.
(O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos.
Em símbolos: se a,b ∈ R+, então a + b ∈ R+ e a · b ∈ R+.
Notação: escreveremos a > 0 para indicar que a é um número positivo, isto é, quea ∈ R+.
Diremos que um número real a é negativo se −a é positivo. O conjunto dosnúmeros reais negativos será designado por R−. Escrevemos a < 0 para indicarque a é um número negativo, isto é, que a ∈ R−.
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(O1) Dado a um número real, existem três possibilidades que se excluemmutualmente: ou a é positivo, ou a = 0 ou −a é positivo.
Em símbolos: se a ∈ R, então ou a ∈ R+, ou a = 0 ou −a ∈ R+.
(O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos.
Em símbolos: se a,b ∈ R+, então a + b ∈ R+ e a · b ∈ R+.
Notação: escreveremos a > 0 para indicar que a é um número positivo, isto é, quea ∈ R+.
Diremos que um número real a é negativo se −a é positivo. O conjunto dosnúmeros reais negativos será designado por R−. Escrevemos a < 0 para indicarque a é um número negativo, isto é, que a ∈ R−.
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(O1) Dado a um número real, existem três possibilidades que se excluemmutualmente: ou a é positivo, ou a = 0 ou −a é positivo.
Em símbolos: se a ∈ R, então ou a ∈ R+, ou a = 0 ou −a ∈ R+.
(O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos.
Em símbolos: se a,b ∈ R+, então a + b ∈ R+ e a · b ∈ R+.
Notação: escreveremos a > 0 para indicar que a é um número positivo, isto é, quea ∈ R+.
Diremos que um número real a é negativo se −a é positivo. O conjunto dosnúmeros reais negativos será designado por R−. Escrevemos a < 0 para indicarque a é um número negativo, isto é, que a ∈ R−.
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(O1) Dado a um número real, existem três possibilidades que se excluemmutualmente: ou a é positivo, ou a = 0 ou −a é positivo.
Em símbolos: se a ∈ R, então ou a ∈ R+, ou a = 0 ou −a ∈ R+.
(O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos.
Em símbolos: se a,b ∈ R+, então a + b ∈ R+ e a · b ∈ R+.
Notação: escreveremos a > 0 para indicar que a é um número positivo, isto é, quea ∈ R+.
Diremos que um número real a é negativo se −a é positivo. O conjunto dosnúmeros reais negativos será designado por R−. Escrevemos a < 0 para indicarque a é um número negativo, isto é, que a ∈ R−.
Escrevemos a < b para indicar que b − a > 0 e escreveremos a > b para indicarque b − a < 0.
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(O1) Dado a um número real, existem três possibilidades que se excluemmutualmente: ou a é positivo, ou a = 0 ou −a é positivo.
Em símbolos: se a ∈ R, então ou a ∈ R+, ou a = 0 ou −a ∈ R+.
(O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos.
Em símbolos: se a,b ∈ R+, então a + b ∈ R+ e a · b ∈ R+.
Notação: escreveremos a > 0 para indicar que a é um número positivo, isto é, quea ∈ R+.
Diremos que um número real a é negativo se −a é positivo. O conjunto dosnúmeros reais negativos será designado por R−. Escrevemos a < 0 para indicarque a é um número negativo, isto é, que a ∈ R−.
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R é ordenado
Existe um subconjunto dos números reais, denominado conjunto dos númerosreais positivos e designado por R+, que satisfaz as seguintes propriedades:
(O1) Dado a um número real, existem três possibilidades que se excluemmutualmente: ou a é positivo, ou a = 0 ou −a é positivo.
Em símbolos: se a ∈ R, então ou a ∈ R+, ou a = 0 ou −a ∈ R+.
(O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos.
Em símbolos: se a,b ∈ R+, então a + b ∈ R+ e a · b ∈ R+.
Notação: escreveremos a > 0 para indicar que a é um número positivo, isto é, quea ∈ R+.
Diremos que um número real a é negativo se −a é positivo. O conjunto dosnúmeros reais negativos será designado por R−. Escrevemos a < 0 para indicarque a é um número negativo, isto é, que a ∈ R−.
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R é ordenado
Existe um subconjunto dos números reais, denominado conjunto dos númerosreais positivos e designado por R+, que satisfaz as seguintes propriedades:
(O1) Dado a um número real, existem três possibilidades que se excluemmutualmente: ou a é positivo, ou a = 0 ou −a é positivo.
Em símbolos: se a ∈ R, então ou a ∈ R+, ou a = 0 ou −a ∈ R+.
(O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos.
Em símbolos: se a,b ∈ R+, então a + b ∈ R+ e a · b ∈ R+.
Notação: escreveremos a > 0 para indicar que a é um número positivo, isto é, quea ∈ R+.
Diremos que um número real a é negativo se −a é positivo. O conjunto dosnúmeros reais negativos será designado por R−. Escrevemos a < 0 para indicarque a é um número negativo, isto é, que a ∈ R−.
Escrevemos a < b para indicar que b − a > 0 e escreveremos a > b para indicarque b − a < 0.
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Números reais positivos e a reta numérica
−5 −4 −3 −2 −1 0 11 2 3 4 5
números reais positivosnúmeros reais negativos
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Números reais positivos e a reta numérica
−5 −4 −3 −2 −1 0 11 2 3 4 5
números reais positivos
números reais negativos
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Números reais positivos e a reta numérica
−5 −4 −3 −2 −1 0 11 2 3 4 5
números reais positivosnúmeros reais negativos
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Observações
Fato: a > 0⇔ −a < 0. Prova:
a > 0 ⇔ a é positivo ⇔ −(−a) é positivo⇔ −a é negativo ⇔ a < 0,
onde, na segunda equivalência, usamos [PA09].
Fato: a < b ⇔ b > a. Prova:
a < b ⇔ b − a > 0 ⇔ −(b − a) < 0 ⇔ −b − (−a) < 0⇔ − b + a < 0 ⇔ a− b < 0 ⇔ b > a.
Exercício: justifique cada umas das equivalências.
Corolário: a > b ⇔ a − b > 0. Prova: a > b ⇔ b < a ⇔a− b > 0. Exercício: justifique cada umas das equivalências.
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Observações
Fato: a > 0⇔ −a < 0. Prova:
a > 0 ⇔ a é positivo ⇔ −(−a) é positivo⇔ −a é negativo ⇔ a < 0,
onde, na segunda equivalência, usamos [PA09].
Fato: a < b ⇔ b > a. Prova:
a < b ⇔ b − a > 0 ⇔ −(b − a) < 0 ⇔ −b − (−a) < 0⇔ − b + a < 0 ⇔ a− b < 0 ⇔ b > a.
Exercício: justifique cada umas das equivalências.
Corolário: a > b ⇔ a − b > 0. Prova: a > b ⇔ b < a ⇔a− b > 0. Exercício: justifique cada umas das equivalências.
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Observações
Fato: a > 0⇔ −a < 0. Prova:
a > 0 ⇔ a é positivo ⇔ −(−a) é positivo⇔ −a é negativo ⇔ a < 0,
onde, na segunda equivalência, usamos [PA09].
Fato: a < b ⇔ b > a. Prova:
a < b ⇔ b − a > 0 ⇔ −(b − a) < 0 ⇔ −b − (−a) < 0⇔ − b + a < 0 ⇔ a− b < 0 ⇔ b > a.
Exercício: justifique cada umas das equivalências.
Corolário: a > b ⇔ a − b > 0. Prova: a > b ⇔ b < a ⇔a− b > 0. Exercício: justifique cada umas das equivalências.
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Observações
Fato: a > 0⇔ −a < 0. Prova:
a > 0 ⇔ a é positivo ⇔ −(−a) é positivo⇔ −a é negativo ⇔ a < 0,
onde, na segunda equivalência, usamos [PA09].
Fato: a < b ⇔ b > a. Prova:
a < b ⇔ b − a > 0 ⇔ −(b − a) < 0 ⇔ −b − (−a) < 0⇔ − b + a < 0 ⇔ a− b < 0 ⇔ b > a.
Exercício: justifique cada umas das equivalências.
Corolário: a > b ⇔ a − b > 0. Prova: a > b ⇔ b < a ⇔a− b > 0. Exercício: justifique cada umas das equivalências.
Aula 8 Matemática Básica 24
![Page 25: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/25.jpg)
Observações
Fato: a > 0⇔ −a < 0. Prova:
a > 0 ⇔ a é positivo ⇔ −(−a) é positivo⇔ −a é negativo ⇔ a < 0,
onde, na segunda equivalência, usamos [PA09].
Fato: a < b ⇔ b > a. Prova:
a < b ⇔ b − a > 0 ⇔ −(b − a) < 0 ⇔ −b − (−a) < 0⇔ − b + a < 0 ⇔ a− b < 0 ⇔ b > a.
Exercício: justifique cada umas das equivalências.
Corolário: a > b ⇔ a − b > 0. Prova: a > b ⇔ b < a ⇔a− b > 0. Exercício: justifique cada umas das equivalências.
Aula 8 Matemática Básica 25
![Page 26: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/26.jpg)
Observações
Fato: a > 0⇔ −a < 0. Prova:
a > 0 ⇔ a é positivo ⇔ −(−a) é positivo⇔ −a é negativo ⇔ a < 0,
onde, na segunda equivalência, usamos [PA09].
Fato: a < b ⇔ b > a. Prova:
a < b ⇔ b − a > 0 ⇔ −(b − a) < 0 ⇔ −b − (−a) < 0⇔ − b + a < 0 ⇔ a− b < 0 ⇔ b > a.
Exercício: justifique cada umas das equivalências.
Corolário: a > b ⇔ a − b > 0. Prova: a > b ⇔ b < a ⇔a− b > 0. Exercício: justifique cada umas das equivalências.
Aula 8 Matemática Básica 26
![Page 27: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/27.jpg)
Observações
Fato: a > 0⇔ −a < 0. Prova:
a > 0 ⇔ a é positivo ⇔ −(−a) é positivo⇔ −a é negativo ⇔ a < 0,
onde, na segunda equivalência, usamos [PA09].
Fato: a < b ⇔ b > a. Prova:
a < b ⇔ b − a > 0 ⇔ −(b − a) < 0 ⇔ −b − (−a) < 0⇔ − b + a < 0 ⇔ a− b < 0 ⇔ b > a.
Exercício: justifique cada umas das equivalências.
Corolário: a > b ⇔ a − b > 0. Prova: a > b ⇔ b < a ⇔a− b > 0. Exercício: justifique cada umas das equivalências.
Aula 8 Matemática Básica 27
![Page 28: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/28.jpg)
Observações
Fato: a > 0⇔ −a < 0. Prova:
a > 0 ⇔ a é positivo ⇔ −(−a) é positivo⇔ −a é negativo ⇔ a < 0,
onde, na segunda equivalência, usamos [PA09].
Fato: a < b ⇔ b > a. Prova:
a < b ⇔ b − a > 0 ⇔ −(b − a) < 0 ⇔ −b − (−a) < 0⇔ − b + a < 0 ⇔ a− b < 0 ⇔ b > a.
Exercício: justifique cada umas das equivalências.
Corolário: a > b ⇔ a − b > 0. Prova: a > b ⇔ b < a ⇔a− b > 0. Exercício: justifique cada umas das equivalências.
Aula 8 Matemática Básica 28
![Page 29: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/29.jpg)
Observações
Fato: a > 0⇔ −a < 0. Prova:
a > 0 ⇔ a é positivo ⇔ −(−a) é positivo⇔ −a é negativo ⇔ a < 0,
onde, na segunda equivalência, usamos [PA09].
Fato: a < b ⇔ b > a. Prova:
a < b ⇔ b − a > 0 ⇔ −(b − a) < 0 ⇔ −b − (−a) < 0⇔ − b + a < 0 ⇔ a− b < 0 ⇔ b > a.
Exercício: justifique cada umas das equivalências.
Corolário: a > b ⇔ a − b > 0. Prova: a > b ⇔ b < a ⇔a− b > 0. Exercício: justifique cada umas das equivalências.
Aula 8 Matemática Básica 29
![Page 30: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/30.jpg)
Observações
Fato: a > 0⇔ −a < 0. Prova:
a > 0 ⇔ a é positivo ⇔ −(−a) é positivo⇔ −a é negativo ⇔ a < 0,
onde, na segunda equivalência, usamos [PA09].
Fato: a < b ⇔ b > a. Prova:
a < b ⇔ b − a > 0 ⇔ −(b − a) < 0 ⇔ −b − (−a) < 0⇔ − b + a < 0 ⇔ a− b < 0 ⇔ b > a.
Exercício: justifique cada umas das equivalências.
Corolário: a > b ⇔ a − b > 0. Prova: a > b ⇔ b < a ⇔a− b > 0. Exercício: justifique cada umas das equivalências.
Aula 8 Matemática Básica 30
![Page 31: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/31.jpg)
Observações
Fato: a > 0⇔ −a < 0. Prova:
a > 0 ⇔ a é positivo ⇔ −(−a) é positivo⇔ −a é negativo ⇔ a < 0,
onde, na segunda equivalência, usamos [PA09].
Fato: a < b ⇔ b > a. Prova:
a < b ⇔ b − a > 0 ⇔ −(b − a) < 0 ⇔ −b − (−a) < 0⇔ − b + a < 0 ⇔ a− b < 0 ⇔ b > a.
Exercício: justifique cada umas das equivalências.
Corolário: a > b ⇔ a − b > 0. Prova: a > b ⇔ b < a ⇔a− b > 0. Exercício: justifique cada umas das equivalências.
Aula 8 Matemática Básica 31
![Page 32: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/32.jpg)
Observações
Fato: a > 0⇔ −a < 0. Prova:
a > 0 ⇔ a é positivo ⇔ −(−a) é positivo⇔ −a é negativo ⇔ a < 0,
onde, na segunda equivalência, usamos [PA09].
Fato: a < b ⇔ b > a. Prova:
a < b ⇔ b − a > 0 ⇔ −(b − a) < 0 ⇔ −b − (−a) < 0⇔ − b + a < 0 ⇔ a− b < 0 ⇔ b > a.
Exercício: justifique cada umas das equivalências.
Corolário: a > b ⇔ a − b > 0. Prova: a > b ⇔ b < a ⇔a− b > 0. Exercício: justifique cada umas das equivalências.
Aula 8 Matemática Básica 32
![Page 33: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/33.jpg)
Observações
Fato: a > 0⇔ −a < 0. Prova:
a > 0 ⇔ a é positivo ⇔ −(−a) é positivo⇔ −a é negativo ⇔ a < 0,
onde, na segunda equivalência, usamos [PA09].
Fato: a < b ⇔ b > a. Prova:
a < b ⇔ b − a > 0 ⇔ −(b − a) < 0 ⇔ −b − (−a) < 0⇔ − b + a < 0 ⇔ a− b < 0 ⇔ b > a.
Exercício: justifique cada umas das equivalências.
Corolário: a > b ⇔ a − b > 0. Prova: a > b ⇔ b < a ⇔a− b > 0. Exercício: justifique cada umas das equivalências.
Aula 8 Matemática Básica 33
![Page 34: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/34.jpg)
Observações
Fato: a > 0⇔ −a < 0. Prova:
a > 0 ⇔ a é positivo ⇔ −(−a) é positivo⇔ −a é negativo ⇔ a < 0,
onde, na segunda equivalência, usamos [PA09].
Fato: a < b ⇔ b > a. Prova:
a < b ⇔ b − a > 0 ⇔ −(b − a) < 0 ⇔ −b − (−a) < 0⇔ − b + a < 0 ⇔ a− b < 0 ⇔ b > a.
Exercício: justifique cada umas das equivalências.
Corolário: a > b ⇔ a − b > 0. Prova: a > b ⇔ b < a ⇔a− b > 0. Exercício: justifique cada umas das equivalências.
Aula 8 Matemática Básica 34
![Page 35: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/35.jpg)
Observações
Fato: a > 0⇔ −a < 0. Prova:
a > 0 ⇔ a é positivo ⇔ −(−a) é positivo⇔ −a é negativo ⇔ a < 0,
onde, na segunda equivalência, usamos [PA09].
Fato: a < b ⇔ b > a. Prova:
a < b ⇔ b − a > 0 ⇔ −(b − a) < 0 ⇔ −b − (−a) < 0⇔ − b + a < 0 ⇔ a− b < 0 ⇔ b > a.
Exercício: justifique cada umas das equivalências.
Corolário: a > b ⇔ a − b > 0. Prova: a > b ⇔ b < a ⇔a− b > 0. Exercício: justifique cada umas das equivalências.
Aula 8 Matemática Básica 35
![Page 36: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/36.jpg)
Observações
Fato: a > 0⇔ −a < 0. Prova:
a > 0 ⇔ a é positivo ⇔ −(−a) é positivo⇔ −a é negativo ⇔ a < 0,
onde, na segunda equivalência, usamos [PA09].
Fato: a < b ⇔ b > a. Prova:
a < b ⇔ b − a > 0 ⇔ −(b − a) < 0 ⇔ −b − (−a) < 0⇔ − b + a < 0 ⇔ a− b < 0 ⇔ b > a.
Exercício: justifique cada umas das equivalências.
Corolário: a > b ⇔ a − b > 0. Prova: a > b ⇔ b < a ⇔a− b > 0. Exercício: justifique cada umas das equivalências.
Aula 8 Matemática Básica 36
![Page 37: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/37.jpg)
Observações
Fato: a > 0⇔ −a < 0. Prova:
a > 0 ⇔ a é positivo ⇔ −(−a) é positivo⇔ −a é negativo ⇔ a < 0,
onde, na segunda equivalência, usamos [PA09].
Fato: a < b ⇔ b > a. Prova:
a < b ⇔ b − a > 0 ⇔ −(b − a) < 0 ⇔ −b − (−a) < 0⇔ − b + a < 0 ⇔ a− b < 0 ⇔ b > a.
Exercício: justifique cada umas das equivalências.
Corolário: a > b ⇔ a − b > 0. Prova: a > b ⇔ b < a ⇔a− b > 0. Exercício: justifique cada umas das equivalências.
Aula 8 Matemática Básica 37
![Page 38: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/38.jpg)
Observações
Fato: a > 0⇔ −a < 0. Prova:
a > 0 ⇔ a é positivo ⇔ −(−a) é positivo⇔ −a é negativo ⇔ a < 0,
onde, na segunda equivalência, usamos [PA09].
Fato: a < b ⇔ b > a. Prova:
a < b ⇔ b − a > 0 ⇔ −(b − a) < 0 ⇔ −b − (−a) < 0⇔ − b + a < 0 ⇔ a− b < 0 ⇔ b > a.
Exercício: justifique cada umas das equivalências.
Corolário: a > b ⇔ a − b > 0. Prova: a > b ⇔ b < a ⇔a− b > 0. Exercício: justifique cada umas das equivalências.
Aula 8 Matemática Básica 38
![Page 39: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/39.jpg)
Observações
Fato: a > 0⇔ −a < 0. Prova:
a > 0 ⇔ a é positivo ⇔ −(−a) é positivo⇔ −a é negativo ⇔ a < 0,
onde, na segunda equivalência, usamos [PA09].
Fato: a < b ⇔ b > a. Prova:
a < b ⇔ b − a > 0 ⇔ −(b − a) < 0 ⇔ −b − (−a) < 0⇔ − b + a < 0 ⇔ a− b < 0 ⇔ b > a.
Exercício: justifique cada umas das equivalências.
Corolário: a > b ⇔ a − b > 0. Prova: a > b ⇔ b < a ⇔a− b > 0. Exercício: justifique cada umas das equivalências.
Aula 8 Matemática Básica 39
![Page 40: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/40.jpg)
Observações
Fato: a > 0⇔ −a < 0. Prova:
a > 0 ⇔ a é positivo ⇔ −(−a) é positivo⇔ −a é negativo ⇔ a < 0,
onde, na segunda equivalência, usamos [PA09].
Fato: a < b ⇔ b > a. Prova:
a < b ⇔ b − a > 0 ⇔ −(b − a) < 0 ⇔ −b − (−a) < 0⇔ − b + a < 0 ⇔ a− b < 0 ⇔ b > a.
Exercício: justifique cada umas das equivalências.
Corolário: a > b ⇔ a − b > 0. Prova: a > b ⇔ b < a ⇔a− b > 0. Exercício: justifique cada umas das equivalências.
Aula 8 Matemática Básica 40
![Page 41: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/41.jpg)
Observações
Fato: a > 0⇔ −a < 0. Prova:
a > 0 ⇔ a é positivo ⇔ −(−a) é positivo⇔ −a é negativo ⇔ a < 0,
onde, na segunda equivalência, usamos [PA09].
Fato: a < b ⇔ b > a. Prova:
a < b ⇔ b − a > 0 ⇔ −(b − a) < 0 ⇔ −b − (−a) < 0⇔ − b + a < 0 ⇔ a− b < 0 ⇔ b > a.
Exercício: justifique cada umas das equivalências.
Corolário: a > b ⇔ a − b > 0. Prova: a > b ⇔ b < a ⇔a− b > 0. Exercício: justifique cada umas das equivalências.
Aula 8 Matemática Básica 41
![Page 42: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/42.jpg)
Observações
Fato: a > 0⇔ −a < 0. Prova:
a > 0 ⇔ a é positivo ⇔ −(−a) é positivo⇔ −a é negativo ⇔ a < 0,
onde, na segunda equivalência, usamos [PA09].
Fato: a < b ⇔ b > a. Prova:
a < b ⇔ b − a > 0 ⇔ −(b − a) < 0 ⇔ −b − (−a) < 0⇔ − b + a < 0 ⇔ a− b < 0 ⇔ b > a.
Exercício: justifique cada umas das equivalências.
Corolário: a > b ⇔ a − b > 0. Prova: a > b ⇔ b < a ⇔a− b > 0. Exercício: justifique cada umas das equivalências.
Aula 8 Matemática Básica 42
![Page 43: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/43.jpg)
Propriedades decorrentes do fato de R ser ordenado
Todas as proposições abaixo são verdadeiras!
∀a ∈ R, ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0 (tricotomia). [PO01]∀a,b, c ∈ R, a < b ⇒ a + c < b + c. [PO02]∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇒ a · c < b · c. [PO03]∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇒ a · c > b · c. [PO04]∀a,b, c ∈ R, a < b e b < c ⇒ a < c. [PO05]∀a,b ∈ R, ou a < b, ou a = b ou a > b. [PO06]∀a,b, c ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c. [PO07]∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0. [PO08]∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇔ a · c < b · c. [PO09]∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇔ a · c > b · c. [PO10]∀a,b ∈ R, (i) a < b ⇔ −a > −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b. [PO11]∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0). [PO12]∀a,b ∈ R, a · b < 0⇔ (a > 0 e b < 0) ou (a < 0 e b > 0). [PO12]∀a ∈ R, a 6= 0⇔ a2 > 0. [PO16]
Aula 8 Matemática Básica 43
![Page 44: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/44.jpg)
Propriedades decorrentes do fato de R ser ordenado
Todas as proposições abaixo são verdadeiras!
∀a ∈ R, ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0 (tricotomia). [PO01]∀a,b, c ∈ R, a < b ⇒ a + c < b + c. [PO02]∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇒ a · c < b · c. [PO03]∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇒ a · c > b · c. [PO04]∀a,b, c ∈ R, a < b e b < c ⇒ a < c. [PO05]∀a,b ∈ R, ou a < b, ou a = b ou a > b. [PO06]∀a,b, c ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c. [PO07]∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0. [PO08]∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇔ a · c < b · c. [PO09]∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇔ a · c > b · c. [PO10]∀a,b ∈ R, (i) a < b ⇔ −a > −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b. [PO11]∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0). [PO12]∀a,b ∈ R, a · b < 0⇔ (a > 0 e b < 0) ou (a < 0 e b > 0). [PO12]∀a ∈ R, a 6= 0⇔ a2 > 0. [PO16]
Aula 8 Matemática Básica 44
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Propriedades decorrentes do fato de R ser ordenado
Todas as proposições abaixo são verdadeiras!
∀a ∈ R, ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0 (tricotomia). [PO01]∀a,b, c ∈ R, a < b ⇒ a + c < b + c. [PO02]∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇒ a · c < b · c. [PO03]∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇒ a · c > b · c. [PO04]∀a,b, c ∈ R, a < b e b < c ⇒ a < c. [PO05]∀a,b ∈ R, ou a < b, ou a = b ou a > b. [PO06]∀a,b, c ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c. [PO07]∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0. [PO08]∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇔ a · c < b · c. [PO09]∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇔ a · c > b · c. [PO10]∀a,b ∈ R, (i) a < b ⇔ −a > −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b. [PO11]∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0). [PO12]∀a,b ∈ R, a · b < 0⇔ (a > 0 e b < 0) ou (a < 0 e b > 0). [PO12]∀a ∈ R, a 6= 0⇔ a2 > 0. [PO16]
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Propriedades decorrentes do fato de R ser ordenado
Todas as proposições abaixo são verdadeiras!
∀a ∈ R, ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0 (tricotomia). [PO01]∀a,b, c ∈ R, a < b ⇒ a + c < b + c. [PO02]∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇒ a · c < b · c. [PO03]∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇒ a · c > b · c. [PO04]∀a,b, c ∈ R, a < b e b < c ⇒ a < c. [PO05]∀a,b ∈ R, ou a < b, ou a = b ou a > b. [PO06]∀a,b, c ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c. [PO07]∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0. [PO08]∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇔ a · c < b · c. [PO09]∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇔ a · c > b · c. [PO10]∀a,b ∈ R, (i) a < b ⇔ −a > −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b. [PO11]∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0). [PO12]∀a,b ∈ R, a · b < 0⇔ (a > 0 e b < 0) ou (a < 0 e b > 0). [PO12]∀a ∈ R, a 6= 0⇔ a2 > 0. [PO16]
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Propriedades decorrentes do fato de R ser ordenado
Todas as proposições abaixo são verdadeiras!
∀a ∈ R, ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0 (tricotomia). [PO01]∀a,b, c ∈ R, a < b ⇒ a + c < b + c. [PO02]∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇒ a · c < b · c. [PO03]∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇒ a · c > b · c. [PO04]∀a,b, c ∈ R, a < b e b < c ⇒ a < c. [PO05]∀a,b ∈ R, ou a < b, ou a = b ou a > b. [PO06]∀a,b, c ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c. [PO07]∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0. [PO08]∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇔ a · c < b · c. [PO09]∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇔ a · c > b · c. [PO10]∀a,b ∈ R, (i) a < b ⇔ −a > −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b. [PO11]∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0). [PO12]∀a,b ∈ R, a · b < 0⇔ (a > 0 e b < 0) ou (a < 0 e b > 0). [PO12]∀a ∈ R, a 6= 0⇔ a2 > 0. [PO16]
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Propriedades decorrentes do fato de R ser ordenado
Todas as proposições abaixo são verdadeiras!
∀a ∈ R, ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0 (tricotomia). [PO01]∀a,b, c ∈ R, a < b ⇒ a + c < b + c. [PO02]∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇒ a · c < b · c. [PO03]∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇒ a · c > b · c. [PO04]∀a,b, c ∈ R, a < b e b < c ⇒ a < c. [PO05]∀a,b ∈ R, ou a < b, ou a = b ou a > b. [PO06]∀a,b, c ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c. [PO07]∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0. [PO08]∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇔ a · c < b · c. [PO09]∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇔ a · c > b · c. [PO10]∀a,b ∈ R, (i) a < b ⇔ −a > −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b. [PO11]∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0). [PO12]∀a,b ∈ R, a · b < 0⇔ (a > 0 e b < 0) ou (a < 0 e b > 0). [PO12]∀a ∈ R, a 6= 0⇔ a2 > 0. [PO16]
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Propriedades decorrentes do fato de R ser ordenado
Todas as proposições abaixo são verdadeiras!
∀a ∈ R, ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0 (tricotomia). [PO01]∀a,b, c ∈ R, a < b ⇒ a + c < b + c. [PO02]∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇒ a · c < b · c. [PO03]∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇒ a · c > b · c. [PO04]∀a,b, c ∈ R, a < b e b < c ⇒ a < c. [PO05]∀a,b ∈ R, ou a < b, ou a = b ou a > b. [PO06]∀a,b, c ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c. [PO07]∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0. [PO08]∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇔ a · c < b · c. [PO09]∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇔ a · c > b · c. [PO10]∀a,b ∈ R, (i) a < b ⇔ −a > −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b. [PO11]∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0). [PO12]∀a,b ∈ R, a · b < 0⇔ (a > 0 e b < 0) ou (a < 0 e b > 0). [PO12]∀a ∈ R, a 6= 0⇔ a2 > 0. [PO16]
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Propriedades decorrentes do fato de R ser ordenado
Todas as proposições abaixo são verdadeiras!
∀a ∈ R, ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0 (tricotomia). [PO01]∀a,b, c ∈ R, a < b ⇒ a + c < b + c. [PO02]∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇒ a · c < b · c. [PO03]∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇒ a · c > b · c. [PO04]∀a,b, c ∈ R, a < b e b < c ⇒ a < c. [PO05]∀a,b ∈ R, ou a < b, ou a = b ou a > b. [PO06]∀a,b, c ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c. [PO07]∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0. [PO08]∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇔ a · c < b · c. [PO09]∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇔ a · c > b · c. [PO10]∀a,b ∈ R, (i) a < b ⇔ −a > −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b. [PO11]∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0). [PO12]∀a,b ∈ R, a · b < 0⇔ (a > 0 e b < 0) ou (a < 0 e b > 0). [PO12]∀a ∈ R, a 6= 0⇔ a2 > 0. [PO16]
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Todas as proposições abaixo são verdadeiras!
∀a ∈ R, ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0 (tricotomia). [PO01]∀a,b, c ∈ R, a < b ⇒ a + c < b + c. [PO02]∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇒ a · c < b · c. [PO03]∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇒ a · c > b · c. [PO04]∀a,b, c ∈ R, a < b e b < c ⇒ a < c. [PO05]∀a,b ∈ R, ou a < b, ou a = b ou a > b. [PO06]∀a,b, c ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c. [PO07]∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0. [PO08]∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇔ a · c < b · c. [PO09]∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇔ a · c > b · c. [PO10]∀a,b ∈ R, (i) a < b ⇔ −a > −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b. [PO11]∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0). [PO12]∀a,b ∈ R, a · b < 0⇔ (a > 0 e b < 0) ou (a < 0 e b > 0). [PO12]∀a ∈ R, a 6= 0⇔ a2 > 0. [PO16]
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Propriedades decorrentes do fato de R ser ordenado
Todas as proposições abaixo são verdadeiras!
∀a ∈ R, ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0 (tricotomia). [PO01]∀a,b, c ∈ R, a < b ⇒ a + c < b + c. [PO02]∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇒ a · c < b · c. [PO03]∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇒ a · c > b · c. [PO04]∀a,b, c ∈ R, a < b e b < c ⇒ a < c. [PO05]∀a,b ∈ R, ou a < b, ou a = b ou a > b. [PO06]∀a,b, c ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c. [PO07]∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0. [PO08]∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇔ a · c < b · c. [PO09]∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇔ a · c > b · c. [PO10]∀a,b ∈ R, (i) a < b ⇔ −a > −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b. [PO11]∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0). [PO12]∀a,b ∈ R, a · b < 0⇔ (a > 0 e b < 0) ou (a < 0 e b > 0). [PO12]∀a ∈ R, a 6= 0⇔ a2 > 0. [PO16]
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Propriedades decorrentes do fato de R ser ordenado
Todas as proposições abaixo são verdadeiras!
∀a ∈ R, ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0 (tricotomia). [PO01]∀a,b, c ∈ R, a < b ⇒ a + c < b + c. [PO02]∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇒ a · c < b · c. [PO03]∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇒ a · c > b · c. [PO04]∀a,b, c ∈ R, a < b e b < c ⇒ a < c. [PO05]∀a,b ∈ R, ou a < b, ou a = b ou a > b. [PO06]∀a,b, c ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c. [PO07]∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0. [PO08]∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇔ a · c < b · c. [PO09]∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇔ a · c > b · c. [PO10]∀a,b ∈ R, (i) a < b ⇔ −a > −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b. [PO11]∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0). [PO12]∀a,b ∈ R, a · b < 0⇔ (a > 0 e b < 0) ou (a < 0 e b > 0). [PO12]∀a ∈ R, a 6= 0⇔ a2 > 0. [PO16]
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Propriedades decorrentes do fato de R ser ordenado
Todas as proposições abaixo são verdadeiras!
∀a ∈ R, ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0 (tricotomia). [PO01]∀a,b, c ∈ R, a < b ⇒ a + c < b + c. [PO02]∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇒ a · c < b · c. [PO03]∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇒ a · c > b · c. [PO04]∀a,b, c ∈ R, a < b e b < c ⇒ a < c. [PO05]∀a,b ∈ R, ou a < b, ou a = b ou a > b. [PO06]∀a,b, c ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c. [PO07]∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0. [PO08]∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇔ a · c < b · c. [PO09]∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇔ a · c > b · c. [PO10]∀a,b ∈ R, (i) a < b ⇔ −a > −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b. [PO11]∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0). [PO12]∀a,b ∈ R, a · b < 0⇔ (a > 0 e b < 0) ou (a < 0 e b > 0). [PO12]∀a ∈ R, a 6= 0⇔ a2 > 0. [PO16]
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Propriedades decorrentes do fato de R ser ordenado
Todas as proposições abaixo são verdadeiras!
∀a ∈ R, ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0 (tricotomia). [PO01]∀a,b, c ∈ R, a < b ⇒ a + c < b + c. [PO02]∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇒ a · c < b · c. [PO03]∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇒ a · c > b · c. [PO04]∀a,b, c ∈ R, a < b e b < c ⇒ a < c. [PO05]∀a,b ∈ R, ou a < b, ou a = b ou a > b. [PO06]∀a,b, c ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c. [PO07]∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0. [PO08]∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇔ a · c < b · c. [PO09]∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇔ a · c > b · c. [PO10]∀a,b ∈ R, (i) a < b ⇔ −a > −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b. [PO11]∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0). [PO12]∀a,b ∈ R, a · b < 0⇔ (a > 0 e b < 0) ou (a < 0 e b > 0). [PO12]∀a ∈ R, a 6= 0⇔ a2 > 0. [PO16]
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Todas as proposições abaixo são verdadeiras!
∀a ∈ R, ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0 (tricotomia). [PO01]∀a,b, c ∈ R, a < b ⇒ a + c < b + c. [PO02]∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇒ a · c < b · c. [PO03]∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇒ a · c > b · c. [PO04]∀a,b, c ∈ R, a < b e b < c ⇒ a < c. [PO05]∀a,b ∈ R, ou a < b, ou a = b ou a > b. [PO06]∀a,b, c ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c. [PO07]∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0. [PO08]∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇔ a · c < b · c. [PO09]∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇔ a · c > b · c. [PO10]∀a,b ∈ R, (i) a < b ⇔ −a > −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b. [PO11]∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0). [PO12]∀a,b ∈ R, a · b < 0⇔ (a > 0 e b < 0) ou (a < 0 e b > 0). [PO12]∀a ∈ R, a 6= 0⇔ a2 > 0. [PO16]
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Todas as proposições abaixo são verdadeiras!
∀a ∈ R, ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0 (tricotomia). [PO01]∀a,b, c ∈ R, a < b ⇒ a + c < b + c. [PO02]∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇒ a · c < b · c. [PO03]∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇒ a · c > b · c. [PO04]∀a,b, c ∈ R, a < b e b < c ⇒ a < c. [PO05]∀a,b ∈ R, ou a < b, ou a = b ou a > b. [PO06]∀a,b, c ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c. [PO07]∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0. [PO08]∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇔ a · c < b · c. [PO09]∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇔ a · c > b · c. [PO10]∀a,b ∈ R, (i) a < b ⇔ −a > −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b. [PO11]∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0). [PO12]∀a,b ∈ R, a · b < 0⇔ (a > 0 e b < 0) ou (a < 0 e b > 0). [PO12]∀a ∈ R, a 6= 0⇔ a2 > 0. [PO16]
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Propriedades decorrentes do fato de R ser ordenado
Todas as proposições abaixo são verdadeiras!
∀a ∈ R, ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0 (tricotomia). [PO01]∀a,b, c ∈ R, a < b ⇒ a + c < b + c. [PO02]∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇒ a · c < b · c. [PO03]∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇒ a · c > b · c. [PO04]∀a,b, c ∈ R, a < b e b < c ⇒ a < c. [PO05]∀a,b ∈ R, ou a < b, ou a = b ou a > b. [PO06]∀a,b, c ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c. [PO07]∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0. [PO08]∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇔ a · c < b · c. [PO09]∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇔ a · c > b · c. [PO10]∀a,b ∈ R, (i) a < b ⇔ −a > −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b. [PO11]∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0). [PO12]∀a,b ∈ R, a · b < 0⇔ (a > 0 e b < 0) ou (a < 0 e b > 0). [PO12]∀a ∈ R, a 6= 0⇔ a2 > 0. [PO16]
Aula 8 Matemática Básica 58
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[PO01]
∀a ∈ R, ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0 (tricotomia).
Demonstração. Seja a ∈ R. Por (01) uma e somente uma das trêscondições ocorre: (1) a é positivo, (2) a = 0, (3) −a é positivo. Assim,uma e somente uma das três condições ocorre: (1) a > 0, (2) a = 0,(3) a < 0.
Aula 8 Matemática Básica 59
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[PO01]
∀a ∈ R, ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0 (tricotomia).
Demonstração. Seja a ∈ R. Por (01) uma e somente uma das trêscondições ocorre: (1) a é positivo, (2) a = 0, (3) −a é positivo. Assim,uma e somente uma das três condições ocorre: (1) a > 0, (2) a = 0,(3) a < 0.
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[PO01]
∀a ∈ R, ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0 (tricotomia).
Demonstração. Seja a ∈ R. Por (01) uma e somente uma das trêscondições ocorre: (1) a é positivo, (2) a = 0, (3) −a é positivo. Assim,uma e somente uma das três condições ocorre: (1) a > 0, (2) a = 0,(3) a < 0.
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[PO01]
∀a ∈ R, ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0 (tricotomia).
Demonstração. Seja a ∈ R. Por (01) uma e somente uma das trêscondições ocorre: (1) a é positivo, (2) a = 0, (3) −a é positivo. Assim,uma e somente uma das três condições ocorre: (1) a > 0, (2) a = 0,(3) a < 0.
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[PO01]
∀a ∈ R, ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0 (tricotomia).
Demonstração. Seja a ∈ R. Por (01) uma e somente uma das trêscondições ocorre: (1) a é positivo, (2) a = 0, (3) −a é positivo. Assim,uma e somente uma das três condições ocorre: (1) a > 0, (2) a = 0,(3) a < 0.
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[PO01]
∀a ∈ R, ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0 (tricotomia).
Demonstração. Seja a ∈ R. Por (01) uma e somente uma das trêscondições ocorre: (1) a é positivo, (2) a = 0, (3) −a é positivo. Assim,uma e somente uma das três condições ocorre: (1) a > 0, (2) a = 0,(3) a < 0.
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[PO02]
∀a,b, c ∈ R, a < b ⇒ a + c < b + c.
Demonstração. Temos que
a < b (1)=⇒ b − a > 0 (2)
=⇒ b + 0− a > 0 (3)=⇒ b + (c − c)− a > 0
(4)=⇒ (b + c)− (c + a) > 0 (5)
=⇒ (b + c)− (a + c) > 0(6)=⇒ a + c < b + c,
onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos (C5), em (3)usamos (C6), em (4) usamos (C3) e [PA21], em (5) usamos (C2), e em(6) usamos a definição de “<”.
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[PO02]
∀a,b, c ∈ R, a < b ⇒ a + c < b + c.
Demonstração. Temos que
a < b (1)=⇒ b − a > 0 (2)
=⇒ b + 0− a > 0 (3)=⇒ b + (c − c)− a > 0
(4)=⇒ (b + c)− (c + a) > 0 (5)
=⇒ (b + c)− (a + c) > 0(6)=⇒ a + c < b + c,
onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos (C5), em (3)usamos (C6), em (4) usamos (C3) e [PA21], em (5) usamos (C2), e em(6) usamos a definição de “<”.
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[PO02]
∀a,b, c ∈ R, a < b ⇒ a + c < b + c.
Demonstração. Temos que
a < b (1)=⇒ b − a > 0 (2)
=⇒ b + 0− a > 0 (3)=⇒ b + (c − c)− a > 0
(4)=⇒ (b + c)− (c + a) > 0 (5)
=⇒ (b + c)− (a + c) > 0(6)=⇒ a + c < b + c,
onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos (C5), em (3)usamos (C6), em (4) usamos (C3) e [PA21], em (5) usamos (C2), e em(6) usamos a definição de “<”.
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[PO02]
∀a,b, c ∈ R, a < b ⇒ a + c < b + c.
Demonstração. Temos que
a < b (1)=⇒ b − a > 0 (2)
=⇒ b + 0− a > 0 (3)=⇒ b + (c − c)− a > 0
(4)=⇒ (b + c)− (c + a) > 0 (5)
=⇒ (b + c)− (a + c) > 0(6)=⇒ a + c < b + c,
onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos (C5), em (3)usamos (C6), em (4) usamos (C3) e [PA21], em (5) usamos (C2), e em(6) usamos a definição de “<”.
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[PO02]
∀a,b, c ∈ R, a < b ⇒ a + c < b + c.
Demonstração. Temos que
a < b (1)=⇒ b − a > 0 (2)
=⇒ b + 0− a > 0 (3)=⇒ b + (c − c)− a > 0
(4)=⇒ (b + c)− (c + a) > 0 (5)
=⇒ (b + c)− (a + c) > 0(6)=⇒ a + c < b + c,
onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos (C5), em (3)usamos (C6), em (4) usamos (C3) e [PA21], em (5) usamos (C2), e em(6) usamos a definição de “<”.
Aula 8 Matemática Básica 69
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[PO02]
∀a,b, c ∈ R, a < b ⇒ a + c < b + c.
Demonstração. Temos que
a < b (1)=⇒ b − a > 0 (2)
=⇒ b + 0− a > 0 (3)=⇒ b + (c − c)− a > 0
(4)=⇒ (b + c)− (c + a) > 0 (5)
=⇒ (b + c)− (a + c) > 0(6)=⇒ a + c < b + c,
onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos (C5), em (3)usamos (C6), em (4) usamos (C3) e [PA21], em (5) usamos (C2), e em(6) usamos a definição de “<”.
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[PO02]
∀a,b, c ∈ R, a < b ⇒ a + c < b + c.
Demonstração. Temos que
a < b (1)=⇒ b − a > 0 (2)
=⇒ b + 0− a > 0 (3)=⇒ b + (c − c)− a > 0
(4)=⇒ (b + c)− (c + a) > 0 (5)
=⇒ (b + c)− (a + c) > 0(6)=⇒ a + c < b + c,
onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos (C5), em (3)usamos (C6), em (4) usamos (C3) e [PA21], em (5) usamos (C2), e em(6) usamos a definição de “<”.
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[PO02]
∀a,b, c ∈ R, a < b ⇒ a + c < b + c.
Demonstração. Temos que
a < b (1)=⇒ b − a > 0 (2)
=⇒ b + 0− a > 0 (3)=⇒ b + (c − c)− a > 0
(4)=⇒ (b + c)− (c + a) > 0 (5)
=⇒ (b + c)− (a + c) > 0(6)=⇒ a + c < b + c,
onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos (C5), em (3)usamos (C6), em (4) usamos (C3) e [PA21], em (5) usamos (C2), e em(6) usamos a definição de “<”.
Aula 8 Matemática Básica 72
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[PO02]
∀a,b, c ∈ R, a < b ⇒ a + c < b + c.
Demonstração. Temos que
a < b (1)=⇒ b − a > 0 (2)
=⇒ b + 0− a > 0 (3)=⇒ b + (c − c)− a > 0
(4)=⇒ (b + c)− (c + a) > 0 (5)
=⇒ (b + c)− (a + c) > 0(6)=⇒ a + c < b + c,
onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos (C5), em (3)usamos (C6), em (4) usamos (C3) e [PA21], em (5) usamos (C2), e em(6) usamos a definição de “<”.
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[PO02]
∀a,b, c ∈ R, a < b ⇒ a + c < b + c.
Demonstração. Temos que
a < b (1)=⇒ b − a > 0 (2)
=⇒ b + 0− a > 0 (3)=⇒ b + (c − c)− a > 0
(4)=⇒ (b + c)− (c + a) > 0 (5)
=⇒ (b + c)− (a + c) > 0(6)=⇒ a + c < b + c,
onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos (C5), em (3)usamos (C6), em (4) usamos (C3) e [PA21], em (5) usamos (C2), e em(6) usamos a definição de “<”.
Aula 8 Matemática Básica 74
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[PO02]
∀a,b, c ∈ R, a < b ⇒ a + c < b + c.
Demonstração. Temos que
a < b (1)=⇒ b − a > 0 (2)
=⇒ b + 0− a > 0 (3)=⇒ b + (c − c)− a > 0
(4)=⇒ (b + c)− (c + a) > 0 (5)
=⇒ (b + c)− (a + c) > 0(6)=⇒ a + c < b + c,
onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos (C5), em (3)usamos (C6), em (4) usamos (C3) e [PA21], em (5) usamos (C2), e em(6) usamos a definição de “<”.
Aula 8 Matemática Básica 75
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[PO03]
∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇒ a · c < b · c.
Demonstração. Temos que
a < b e c > 0 (1)=⇒ b − a > 0 e c > 0 (2)
=⇒ (b − a) · c > 0(3)=⇒ b · c − a · c > 0 (4)
=⇒ a · c < b · c,
onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos (O2), em (3)usamos [PA11], e em (4) usamos a definição de “<”.
Aula 8 Matemática Básica 76
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[PO03]
∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇒ a · c < b · c.
Demonstração. Temos que
a < b e c > 0 (1)=⇒ b − a > 0 e c > 0 (2)
=⇒ (b − a) · c > 0(3)=⇒ b · c − a · c > 0 (4)
=⇒ a · c < b · c,
onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos (O2), em (3)usamos [PA11], e em (4) usamos a definição de “<”.
Aula 8 Matemática Básica 77
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[PO03]
∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇒ a · c < b · c.
Demonstração. Temos que
a < b e c > 0 (1)=⇒ b − a > 0 e c > 0 (2)
=⇒ (b − a) · c > 0(3)=⇒ b · c − a · c > 0 (4)
=⇒ a · c < b · c,
onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos (O2), em (3)usamos [PA11], e em (4) usamos a definição de “<”.
Aula 8 Matemática Básica 78
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[PO03]
∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇒ a · c < b · c.
Demonstração. Temos que
a < b e c > 0 (1)=⇒ b − a > 0 e c > 0 (2)
=⇒ (b − a) · c > 0(3)=⇒ b · c − a · c > 0 (4)
=⇒ a · c < b · c,
onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos (O2), em (3)usamos [PA11], e em (4) usamos a definição de “<”.
Aula 8 Matemática Básica 79
![Page 80: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/80.jpg)
[PO03]
∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇒ a · c < b · c.
Demonstração. Temos que
a < b e c > 0 (1)=⇒ b − a > 0 e c > 0 (2)
=⇒ (b − a) · c > 0(3)=⇒ b · c − a · c > 0 (4)
=⇒ a · c < b · c,
onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos (O2), em (3)usamos [PA11], e em (4) usamos a definição de “<”.
Aula 8 Matemática Básica 80
![Page 81: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/81.jpg)
[PO03]
∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇒ a · c < b · c.
Demonstração. Temos que
a < b e c > 0 (1)=⇒ b − a > 0 e c > 0 (2)
=⇒ (b − a) · c > 0(3)=⇒ b · c − a · c > 0 (4)
=⇒ a · c < b · c,
onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos (O2), em (3)usamos [PA11], e em (4) usamos a definição de “<”.
Aula 8 Matemática Básica 81
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[PO03]
∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇒ a · c < b · c.
Demonstração. Temos que
a < b e c > 0 (1)=⇒ b − a > 0 e c > 0 (2)
=⇒ (b − a) · c > 0(3)=⇒ b · c − a · c > 0 (4)
=⇒ a · c < b · c,
onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos (O2), em (3)usamos [PA11], e em (4) usamos a definição de “<”.
Aula 8 Matemática Básica 82
![Page 83: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/83.jpg)
[PO03]
∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇒ a · c < b · c.
Demonstração. Temos que
a < b e c > 0 (1)=⇒ b − a > 0 e c > 0 (2)
=⇒ (b − a) · c > 0(3)=⇒ b · c − a · c > 0 (4)
=⇒ a · c < b · c,
onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos (O2), em (3)usamos [PA11], e em (4) usamos a definição de “<”.
Aula 8 Matemática Básica 83
![Page 84: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/84.jpg)
[PO03]
∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇒ a · c < b · c.
Demonstração. Temos que
a < b e c > 0 (1)=⇒ b − a > 0 e c > 0 (2)
=⇒ (b − a) · c > 0(3)=⇒ b · c − a · c > 0 (4)
=⇒ a · c < b · c,
onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos (O2), em (3)usamos [PA11], e em (4) usamos a definição de “<”.
Aula 8 Matemática Básica 84
![Page 85: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/85.jpg)
[PO04]
∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇒ a · c > b · c.
Demonstração. Temos que
a < b e c < 0 (1)=⇒ b − a > 0 e c < 0 (2)
=⇒ b − a > 0 e − c > 0(3)=⇒ (b − a) · (−c) > 0 (4)
=⇒ b · (−c)− a · (−c) > 0(5)=⇒ − b · c + a · c > 0 (6)
=⇒ a · c − b · c > 0(7)=⇒ a · c > b · c,
onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos a definição de“<”, em (3) usamos (O2), em (4) usamos [PA11], em (5) usamos [PA14]e [PA09], em (6) usamos (C2), e em (7) usamos a definição de “>”.
Aula 8 Matemática Básica 85
![Page 86: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/86.jpg)
[PO04]
∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇒ a · c > b · c.
Demonstração. Temos que
a < b e c < 0 (1)=⇒ b − a > 0 e c < 0 (2)
=⇒ b − a > 0 e − c > 0(3)=⇒ (b − a) · (−c) > 0 (4)
=⇒ b · (−c)− a · (−c) > 0(5)=⇒ − b · c + a · c > 0 (6)
=⇒ a · c − b · c > 0(7)=⇒ a · c > b · c,
onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos a definição de“<”, em (3) usamos (O2), em (4) usamos [PA11], em (5) usamos [PA14]e [PA09], em (6) usamos (C2), e em (7) usamos a definição de “>”.
Aula 8 Matemática Básica 86
![Page 87: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/87.jpg)
[PO04]
∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇒ a · c > b · c.
Demonstração. Temos que
a < b e c < 0 (1)=⇒ b − a > 0 e c < 0 (2)
=⇒ b − a > 0 e − c > 0(3)=⇒ (b − a) · (−c) > 0 (4)
=⇒ b · (−c)− a · (−c) > 0(5)=⇒ − b · c + a · c > 0 (6)
=⇒ a · c − b · c > 0(7)=⇒ a · c > b · c,
onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos a definição de“<”, em (3) usamos (O2), em (4) usamos [PA11], em (5) usamos [PA14]e [PA09], em (6) usamos (C2), e em (7) usamos a definição de “>”.
Aula 8 Matemática Básica 87
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[PO04]
∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇒ a · c > b · c.
Demonstração. Temos que
a < b e c < 0 (1)=⇒ b − a > 0 e c < 0 (2)
=⇒ b − a > 0 e − c > 0(3)=⇒ (b − a) · (−c) > 0 (4)
=⇒ b · (−c)− a · (−c) > 0(5)=⇒ − b · c + a · c > 0 (6)
=⇒ a · c − b · c > 0(7)=⇒ a · c > b · c,
onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos a definição de“<”, em (3) usamos (O2), em (4) usamos [PA11], em (5) usamos [PA14]e [PA09], em (6) usamos (C2), e em (7) usamos a definição de “>”.
Aula 8 Matemática Básica 88
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[PO04]
∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇒ a · c > b · c.
Demonstração. Temos que
a < b e c < 0 (1)=⇒ b − a > 0 e c < 0 (2)
=⇒ b − a > 0 e − c > 0(3)=⇒ (b − a) · (−c) > 0 (4)
=⇒ b · (−c)− a · (−c) > 0(5)=⇒ − b · c + a · c > 0 (6)
=⇒ a · c − b · c > 0(7)=⇒ a · c > b · c,
onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos a definição de“<”, em (3) usamos (O2), em (4) usamos [PA11], em (5) usamos [PA14]e [PA09], em (6) usamos (C2), e em (7) usamos a definição de “>”.
Aula 8 Matemática Básica 89
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[PO04]
∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇒ a · c > b · c.
Demonstração. Temos que
a < b e c < 0 (1)=⇒ b − a > 0 e c < 0 (2)
=⇒ b − a > 0 e − c > 0(3)=⇒ (b − a) · (−c) > 0 (4)
=⇒ b · (−c)− a · (−c) > 0(5)=⇒ − b · c + a · c > 0 (6)
=⇒ a · c − b · c > 0(7)=⇒ a · c > b · c,
onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos a definição de“<”, em (3) usamos (O2), em (4) usamos [PA11], em (5) usamos [PA14]e [PA09], em (6) usamos (C2), e em (7) usamos a definição de “>”.
Aula 8 Matemática Básica 90
![Page 91: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/91.jpg)
[PO04]
∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇒ a · c > b · c.
Demonstração. Temos que
a < b e c < 0 (1)=⇒ b − a > 0 e c < 0 (2)
=⇒ b − a > 0 e − c > 0(3)=⇒ (b − a) · (−c) > 0 (4)
=⇒ b · (−c)− a · (−c) > 0(5)=⇒ − b · c + a · c > 0 (6)
=⇒ a · c − b · c > 0(7)=⇒ a · c > b · c,
onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos a definição de“<”, em (3) usamos (O2), em (4) usamos [PA11], em (5) usamos [PA14]e [PA09], em (6) usamos (C2), e em (7) usamos a definição de “>”.
Aula 8 Matemática Básica 91
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[PO04]
∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇒ a · c > b · c.
Demonstração. Temos que
a < b e c < 0 (1)=⇒ b − a > 0 e c < 0 (2)
=⇒ b − a > 0 e − c > 0(3)=⇒ (b − a) · (−c) > 0 (4)
=⇒ b · (−c)− a · (−c) > 0(5)=⇒ − b · c + a · c > 0 (6)
=⇒ a · c − b · c > 0(7)=⇒ a · c > b · c,
onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos a definição de“<”, em (3) usamos (O2), em (4) usamos [PA11], em (5) usamos [PA14]e [PA09], em (6) usamos (C2), e em (7) usamos a definição de “>”.
Aula 8 Matemática Básica 92
![Page 93: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/93.jpg)
[PO04]
∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇒ a · c > b · c.
Demonstração. Temos que
a < b e c < 0 (1)=⇒ b − a > 0 e c < 0 (2)
=⇒ b − a > 0 e − c > 0(3)=⇒ (b − a) · (−c) > 0 (4)
=⇒ b · (−c)− a · (−c) > 0(5)=⇒ − b · c + a · c > 0 (6)
=⇒ a · c − b · c > 0(7)=⇒ a · c > b · c,
onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos a definição de“<”, em (3) usamos (O2), em (4) usamos [PA11], em (5) usamos [PA14]e [PA09], em (6) usamos (C2), e em (7) usamos a definição de “>”.
Aula 8 Matemática Básica 93
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[PO04]
∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇒ a · c > b · c.
Demonstração. Temos que
a < b e c < 0 (1)=⇒ b − a > 0 e c < 0 (2)
=⇒ b − a > 0 e − c > 0(3)=⇒ (b − a) · (−c) > 0 (4)
=⇒ b · (−c)− a · (−c) > 0(5)=⇒ − b · c + a · c > 0 (6)
=⇒ a · c − b · c > 0(7)=⇒ a · c > b · c,
onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos a definição de“<”, em (3) usamos (O2), em (4) usamos [PA11], em (5) usamos [PA14]e [PA09], em (6) usamos (C2), e em (7) usamos a definição de “>”.
Aula 8 Matemática Básica 94
![Page 95: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/95.jpg)
[PO04]
∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇒ a · c > b · c.
Demonstração. Temos que
a < b e c < 0 (1)=⇒ b − a > 0 e c < 0 (2)
=⇒ b − a > 0 e − c > 0(3)=⇒ (b − a) · (−c) > 0 (4)
=⇒ b · (−c)− a · (−c) > 0(5)=⇒ − b · c + a · c > 0 (6)
=⇒ a · c − b · c > 0(7)=⇒ a · c > b · c,
onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos a definição de“<”, em (3) usamos (O2), em (4) usamos [PA11], em (5) usamos [PA14]e [PA09], em (6) usamos (C2), e em (7) usamos a definição de “>”.
Aula 8 Matemática Básica 95
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[PO04]
∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇒ a · c > b · c.
Demonstração. Temos que
a < b e c < 0 (1)=⇒ b − a > 0 e c < 0 (2)
=⇒ b − a > 0 e − c > 0(3)=⇒ (b − a) · (−c) > 0 (4)
=⇒ b · (−c)− a · (−c) > 0(5)=⇒ − b · c + a · c > 0 (6)
=⇒ a · c − b · c > 0(7)=⇒ a · c > b · c,
onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos a definição de“<”, em (3) usamos (O2), em (4) usamos [PA11], em (5) usamos [PA14]e [PA09], em (6) usamos (C2), e em (7) usamos a definição de “>”.
Aula 8 Matemática Básica 96
![Page 97: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/97.jpg)
[PO05]
∀a,b, c ∈ R, a < b e b < c ⇒ a < c.
Demonstração. Temos que
a < b e b < c (1)=⇒ b − a > 0 e c − b > 0 (2)
=⇒ (b − a) + (c − b) > 0(3)=⇒ (c − b) + (b − a) > 0 (4)
=⇒ c + (−b + b)− a > 0(5)=⇒ c + 0− a > 0 (6)
=⇒ c − a > 0 (7)=⇒ a < c,
onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos (O2), em(3) usamos (C2), em (4) usamos (C3), em (5) usamos [PA07], em (6)usamos (C5), e em (7) usamos a definição de “<”.
Aula 8 Matemática Básica 97
![Page 98: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/98.jpg)
[PO05]
∀a,b, c ∈ R, a < b e b < c ⇒ a < c.
Demonstração. Temos que
a < b e b < c (1)=⇒ b − a > 0 e c − b > 0 (2)
=⇒ (b − a) + (c − b) > 0(3)=⇒ (c − b) + (b − a) > 0 (4)
=⇒ c + (−b + b)− a > 0(5)=⇒ c + 0− a > 0 (6)
=⇒ c − a > 0 (7)=⇒ a < c,
onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos (O2), em(3) usamos (C2), em (4) usamos (C3), em (5) usamos [PA07], em (6)usamos (C5), e em (7) usamos a definição de “<”.
Aula 8 Matemática Básica 98
![Page 99: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/99.jpg)
[PO05]
∀a,b, c ∈ R, a < b e b < c ⇒ a < c.
Demonstração. Temos que
a < b e b < c (1)=⇒ b − a > 0 e c − b > 0 (2)
=⇒ (b − a) + (c − b) > 0(3)=⇒ (c − b) + (b − a) > 0 (4)
=⇒ c + (−b + b)− a > 0(5)=⇒ c + 0− a > 0 (6)
=⇒ c − a > 0 (7)=⇒ a < c,
onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos (O2), em(3) usamos (C2), em (4) usamos (C3), em (5) usamos [PA07], em (6)usamos (C5), e em (7) usamos a definição de “<”.
Aula 8 Matemática Básica 99
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[PO05]
∀a,b, c ∈ R, a < b e b < c ⇒ a < c.
Demonstração. Temos que
a < b e b < c (1)=⇒ b − a > 0 e c − b > 0 (2)
=⇒ (b − a) + (c − b) > 0(3)=⇒ (c − b) + (b − a) > 0 (4)
=⇒ c + (−b + b)− a > 0(5)=⇒ c + 0− a > 0 (6)
=⇒ c − a > 0 (7)=⇒ a < c,
onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos (O2), em(3) usamos (C2), em (4) usamos (C3), em (5) usamos [PA07], em (6)usamos (C5), e em (7) usamos a definição de “<”.
Aula 8 Matemática Básica 100
![Page 101: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/101.jpg)
[PO05]
∀a,b, c ∈ R, a < b e b < c ⇒ a < c.
Demonstração. Temos que
a < b e b < c (1)=⇒ b − a > 0 e c − b > 0 (2)
=⇒ (b − a) + (c − b) > 0(3)=⇒ (c − b) + (b − a) > 0 (4)
=⇒ c + (−b + b)− a > 0(5)=⇒ c + 0− a > 0 (6)
=⇒ c − a > 0 (7)=⇒ a < c,
onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos (O2), em(3) usamos (C2), em (4) usamos (C3), em (5) usamos [PA07], em (6)usamos (C5), e em (7) usamos a definição de “<”.
Aula 8 Matemática Básica 101
![Page 102: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/102.jpg)
[PO05]
∀a,b, c ∈ R, a < b e b < c ⇒ a < c.
Demonstração. Temos que
a < b e b < c (1)=⇒ b − a > 0 e c − b > 0 (2)
=⇒ (b − a) + (c − b) > 0(3)=⇒ (c − b) + (b − a) > 0 (4)
=⇒ c + (−b + b)− a > 0(5)=⇒ c + 0− a > 0 (6)
=⇒ c − a > 0 (7)=⇒ a < c,
onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos (O2), em(3) usamos (C2), em (4) usamos (C3), em (5) usamos [PA07], em (6)usamos (C5), e em (7) usamos a definição de “<”.
Aula 8 Matemática Básica 102
![Page 103: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/103.jpg)
[PO05]
∀a,b, c ∈ R, a < b e b < c ⇒ a < c.
Demonstração. Temos que
a < b e b < c (1)=⇒ b − a > 0 e c − b > 0 (2)
=⇒ (b − a) + (c − b) > 0(3)=⇒ (c − b) + (b − a) > 0 (4)
=⇒ c + (−b + b)− a > 0(5)=⇒ c + 0− a > 0 (6)
=⇒ c − a > 0 (7)=⇒ a < c,
onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos (O2), em(3) usamos (C2), em (4) usamos (C3), em (5) usamos [PA07], em (6)usamos (C5), e em (7) usamos a definição de “<”.
Aula 8 Matemática Básica 103
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[PO05]
∀a,b, c ∈ R, a < b e b < c ⇒ a < c.
Demonstração. Temos que
a < b e b < c (1)=⇒ b − a > 0 e c − b > 0 (2)
=⇒ (b − a) + (c − b) > 0(3)=⇒ (c − b) + (b − a) > 0 (4)
=⇒ c + (−b + b)− a > 0(5)=⇒ c + 0− a > 0 (6)
=⇒ c − a > 0 (7)=⇒ a < c,
onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos (O2), em(3) usamos (C2), em (4) usamos (C3), em (5) usamos [PA07], em (6)usamos (C5), e em (7) usamos a definição de “<”.
Aula 8 Matemática Básica 104
![Page 105: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/105.jpg)
[PO05]
∀a,b, c ∈ R, a < b e b < c ⇒ a < c.
Demonstração. Temos que
a < b e b < c (1)=⇒ b − a > 0 e c − b > 0 (2)
=⇒ (b − a) + (c − b) > 0(3)=⇒ (c − b) + (b − a) > 0 (4)
=⇒ c + (−b + b)− a > 0(5)=⇒ c + 0− a > 0 (6)
=⇒ c − a > 0 (7)=⇒ a < c,
onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos (O2), em(3) usamos (C2), em (4) usamos (C3), em (5) usamos [PA07], em (6)usamos (C5), e em (7) usamos a definição de “<”.
Aula 8 Matemática Básica 105
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[PO05]
∀a,b, c ∈ R, a < b e b < c ⇒ a < c.
Demonstração. Temos que
a < b e b < c (1)=⇒ b − a > 0 e c − b > 0 (2)
=⇒ (b − a) + (c − b) > 0(3)=⇒ (c − b) + (b − a) > 0 (4)
=⇒ c + (−b + b)− a > 0(5)=⇒ c + 0− a > 0 (6)
=⇒ c − a > 0 (7)=⇒ a < c,
onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos (O2), em(3) usamos (C2), em (4) usamos (C3), em (5) usamos [PA07], em (6)usamos (C5), e em (7) usamos a definição de “<”.
Aula 8 Matemática Básica 106
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[PO05]
∀a,b, c ∈ R, a < b e b < c ⇒ a < c.
Demonstração. Temos que
a < b e b < c (1)=⇒ b − a > 0 e c − b > 0 (2)
=⇒ (b − a) + (c − b) > 0(3)=⇒ (c − b) + (b − a) > 0 (4)
=⇒ c + (−b + b)− a > 0(5)=⇒ c + 0− a > 0 (6)
=⇒ c − a > 0 (7)=⇒ a < c,
onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos (O2), em(3) usamos (C2), em (4) usamos (C3), em (5) usamos [PA07], em (6)usamos (C5), e em (7) usamos a definição de “<”.
Aula 8 Matemática Básica 107
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[PO05]
∀a,b, c ∈ R, a < b e b < c ⇒ a < c.
Demonstração. Temos que
a < b e b < c (1)=⇒ b − a > 0 e c − b > 0 (2)
=⇒ (b − a) + (c − b) > 0(3)=⇒ (c − b) + (b − a) > 0 (4)
=⇒ c + (−b + b)− a > 0(5)=⇒ c + 0− a > 0 (6)
=⇒ c − a > 0 (7)=⇒ a < c,
onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos (O2), em(3) usamos (C2), em (4) usamos (C3), em (5) usamos [PA07], em (6)usamos (C5), e em (7) usamos a definição de “<”.
Aula 8 Matemática Básica 108
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[PO06]
∀a,b ∈ R, ou a < b, ou a = b ou a > b.
Demonstração. Sejam a,b ∈ R. Por [PO01], uma e somente uma dastrês condições ocorre: (1) b − a > 0, (2) b − a = 0, (3) b − a < 0. Assim,usando as definições de “>” e “<” e as propriedades [PA25], (C3), [PA03],[PA07] e (C6), concluímos que uma e somente uma das três condiçõesocorre: (1) b > a, (2) a = b, (3) b < a.
Aula 8 Matemática Básica 109
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[PO06]
∀a,b ∈ R, ou a < b, ou a = b ou a > b.
Demonstração. Sejam a,b ∈ R. Por [PO01], uma e somente uma dastrês condições ocorre: (1) b − a > 0, (2) b − a = 0, (3) b − a < 0. Assim,usando as definições de “>” e “<” e as propriedades [PA25], (C3), [PA03],[PA07] e (C6), concluímos que uma e somente uma das três condiçõesocorre: (1) b > a, (2) a = b, (3) b < a.
Aula 8 Matemática Básica 110
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[PO06]
∀a,b ∈ R, ou a < b, ou a = b ou a > b.
Demonstração. Sejam a,b ∈ R. Por [PO01], uma e somente uma dastrês condições ocorre: (1) b − a > 0, (2) b − a = 0, (3) b − a < 0. Assim,usando as definições de “>” e “<” e as propriedades [PA25], (C3), [PA03],[PA07] e (C6), concluímos que uma e somente uma das três condiçõesocorre: (1) b > a, (2) a = b, (3) b < a.
Aula 8 Matemática Básica 111
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[PO06]
∀a,b ∈ R, ou a < b, ou a = b ou a > b.
Demonstração. Sejam a,b ∈ R. Por [PO01], uma e somente uma dastrês condições ocorre: (1) b − a > 0, (2) b − a = 0, (3) b − a < 0. Assim,usando as definições de “>” e “<” e as propriedades [PA25], (C3), [PA03],[PA07] e (C6), concluímos que uma e somente uma das três condiçõesocorre: (1) b > a, (2) a = b, (3) b < a.
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[PO06]
∀a,b ∈ R, ou a < b, ou a = b ou a > b.
Demonstração. Sejam a,b ∈ R. Por [PO01], uma e somente uma dastrês condições ocorre: (1) b − a > 0, (2) b − a = 0, (3) b − a < 0. Assim,usando as definições de “>” e “<” e as propriedades [PA25], (C3), [PA03],[PA07] e (C6), concluímos que uma e somente uma das três condiçõesocorre: (1) b > a, (2) a = b, (3) b < a.
Aula 8 Matemática Básica 113
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[PO06]
∀a,b ∈ R, ou a < b, ou a = b ou a > b.
Demonstração. Sejam a,b ∈ R. Por [PO01], uma e somente uma dastrês condições ocorre: (1) b − a > 0, (2) b − a = 0, (3) b − a < 0. Assim,usando as definições de “>” e “<” e as propriedades [PA25], (C3), [PA03],[PA07] e (C6), concluímos que uma e somente uma das três condiçõesocorre: (1) b > a, (2) a = b, (3) b < a.
Aula 8 Matemática Básica 114
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[PO06]
∀a,b ∈ R, ou a < b, ou a = b ou a > b.
Demonstração. Sejam a,b ∈ R. Por [PO01], uma e somente uma dastrês condições ocorre: (1) b − a > 0, (2) b − a = 0, (3) b − a < 0. Assim,usando as definições de “>” e “<” e as propriedades [PA25], (C3), [PA03],[PA07] e (C6), concluímos que uma e somente uma das três condiçõesocorre: (1) b > a, (2) a = b, (3) b < a.
Aula 8 Matemática Básica 115
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[PO06]
∀a,b ∈ R, ou a < b, ou a = b ou a > b.
Demonstração. Sejam a,b ∈ R. Por [PO01], uma e somente uma dastrês condições ocorre: (1) b − a > 0, (2) b − a = 0, (3) b − a < 0. Assim,usando as definições de “>” e “<” e as propriedades [PA25], (C3), [PA03],[PA07] e (C6), concluímos que uma e somente uma das três condiçõesocorre: (1) b > a, (2) a = b, (3) b < a.
Aula 8 Matemática Básica 116
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[PO07]
∀a,b, c ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c.
Demonstração.
(⇒) Verdadeira por [PO02].
(⇐) Sejam a,b, c ∈ R tais que a + c < b + c. Temos que
a + c < b + c (1)=⇒ (a + c)− c < (b + c)− c(2)=⇒ a + (c − c) < b + (c − c)(3)=⇒ a + 0 < b + 0 (4)
=⇒ a < b,
onde, em (1) usamos [PO02], em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C6),e em (4) usamos (C5).
Aula 8 Matemática Básica 117
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[PO07]
∀a,b, c ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c.
Demonstração.
(⇒) Verdadeira por [PO02].
(⇐) Sejam a,b, c ∈ R tais que a + c < b + c. Temos que
a + c < b + c (1)=⇒ (a + c)− c < (b + c)− c(2)=⇒ a + (c − c) < b + (c − c)(3)=⇒ a + 0 < b + 0 (4)
=⇒ a < b,
onde, em (1) usamos [PO02], em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C6),e em (4) usamos (C5).
Aula 8 Matemática Básica 118
![Page 119: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/119.jpg)
[PO07]
∀a,b, c ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c.
Demonstração.
(⇒) Verdadeira por [PO02].
(⇐) Sejam a,b, c ∈ R tais que a + c < b + c. Temos que
a + c < b + c (1)=⇒ (a + c)− c < (b + c)− c(2)=⇒ a + (c − c) < b + (c − c)(3)=⇒ a + 0 < b + 0 (4)
=⇒ a < b,
onde, em (1) usamos [PO02], em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C6),e em (4) usamos (C5).
Aula 8 Matemática Básica 119
![Page 120: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/120.jpg)
[PO07]
∀a,b, c ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c.
Demonstração.
(⇒) Verdadeira por [PO02].
(⇐) Sejam a,b, c ∈ R tais que a + c < b + c. Temos que
a + c < b + c (1)=⇒ (a + c)− c < (b + c)− c(2)=⇒ a + (c − c) < b + (c − c)(3)=⇒ a + 0 < b + 0 (4)
=⇒ a < b,
onde, em (1) usamos [PO02], em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C6),e em (4) usamos (C5).
Aula 8 Matemática Básica 120
![Page 121: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/121.jpg)
[PO07]
∀a,b, c ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c.
Demonstração.
(⇒) Verdadeira por [PO02].
(⇐) Sejam a,b, c ∈ R tais que a + c < b + c. Temos que
a + c < b + c (1)=⇒ (a + c)− c < (b + c)− c(2)=⇒ a + (c − c) < b + (c − c)(3)=⇒ a + 0 < b + 0 (4)
=⇒ a < b,
onde, em (1) usamos [PO02], em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C6),e em (4) usamos (C5).
Aula 8 Matemática Básica 121
![Page 122: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/122.jpg)
[PO07]
∀a,b, c ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c.
Demonstração.
(⇒) Verdadeira por [PO02].
(⇐) Sejam a,b, c ∈ R tais que a + c < b + c. Temos que
a + c < b + c (1)=⇒ (a + c)− c < (b + c)− c(2)=⇒ a + (c − c) < b + (c − c)(3)=⇒ a + 0 < b + 0 (4)
=⇒ a < b,
onde, em (1) usamos [PO02], em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C6),e em (4) usamos (C5).
Aula 8 Matemática Básica 122
![Page 123: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/123.jpg)
[PO07]
∀a,b, c ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c.
Demonstração.
(⇒) Verdadeira por [PO02].
(⇐) Sejam a,b, c ∈ R tais que a + c < b + c. Temos que
a + c < b + c (1)=⇒ (a + c)− c < (b + c)− c(2)=⇒ a + (c − c) < b + (c − c)(3)=⇒ a + 0 < b + 0 (4)
=⇒ a < b,
onde, em (1) usamos [PO02], em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C6),e em (4) usamos (C5).
Aula 8 Matemática Básica 123
![Page 124: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/124.jpg)
[PO07]
∀a,b, c ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c.
Demonstração.
(⇒) Verdadeira por [PO02].
(⇐) Sejam a,b, c ∈ R tais que a + c < b + c. Temos que
a + c < b + c (1)=⇒ (a + c)− c < (b + c)− c(2)=⇒ a + (c − c) < b + (c − c)(3)=⇒ a + 0 < b + 0 (4)
=⇒ a < b,
onde, em (1) usamos [PO02], em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C6),e em (4) usamos (C5).
Aula 8 Matemática Básica 124
![Page 125: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/125.jpg)
[PO07]
∀a,b, c ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c.
Demonstração.
(⇒) Verdadeira por [PO02].
(⇐) Sejam a,b, c ∈ R tais que a + c < b + c. Temos que
a + c < b + c (1)=⇒ (a + c)− c < (b + c)− c(2)=⇒ a + (c − c) < b + (c − c)(3)=⇒ a + 0 < b + 0 (4)
=⇒ a < b,
onde, em (1) usamos [PO02], em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C6),e em (4) usamos (C5).
Aula 8 Matemática Básica 125
![Page 126: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/126.jpg)
[PO07]
∀a,b, c ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c.
Demonstração.
(⇒) Verdadeira por [PO02].
(⇐) Sejam a,b, c ∈ R tais que a + c < b + c. Temos que
a + c < b + c (1)=⇒ (a + c)− c < (b + c)− c(2)=⇒ a + (c − c) < b + (c − c)(3)=⇒ a + 0 < b + 0 (4)
=⇒ a < b,
onde, em (1) usamos [PO02], em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C6),e em (4) usamos (C5).
Aula 8 Matemática Básica 126
![Page 127: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/127.jpg)
[PO07]
∀a,b, c ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c.
Demonstração.
(⇒) Verdadeira por [PO02].
(⇐) Sejam a,b, c ∈ R tais que a + c < b + c. Temos que
a + c < b + c (1)=⇒ (a + c)− c < (b + c)− c(2)=⇒ a + (c − c) < b + (c − c)(3)=⇒ a + 0 < b + 0 (4)
=⇒ a < b,
onde, em (1) usamos [PO02], em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C6),e em (4) usamos (C5).
Aula 8 Matemática Básica 127
![Page 128: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/128.jpg)
[PO07]
∀a,b, c ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c.
Demonstração.
(⇒) Verdadeira por [PO02].
(⇐) Sejam a,b, c ∈ R tais que a + c < b + c. Temos que
a + c < b + c (1)=⇒ (a + c)− c < (b + c)− c(2)=⇒ a + (c − c) < b + (c − c)(3)=⇒ a + 0 < b + 0 (4)
=⇒ a < b,
onde, em (1) usamos [PO02], em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C6),e em (4) usamos (C5).
Aula 8 Matemática Básica 128
![Page 129: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/129.jpg)
[PO07]
∀a,b, c ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c.
Demonstração.
(⇒) Verdadeira por [PO02].
(⇐) Sejam a,b, c ∈ R tais que a + c < b + c. Temos que
a + c < b + c (1)=⇒ (a + c)− c < (b + c)− c(2)=⇒ a + (c − c) < b + (c − c)(3)=⇒ a + 0 < b + 0 (4)
=⇒ a < b,
onde, em (1) usamos [PO02], em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C6),e em (4) usamos (C5).
Aula 8 Matemática Básica 129
![Page 130: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/130.jpg)
[PO08]
∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0
Demonstração. Vamos demonstrar (i). A demonstração de (ii) ficará comoexercício.
(⇒) Suponha, por absurdo, que exista a ∈ R tal que a > 0, mas 1/a = 0ou 1/a < 0. Se 1/a = 0, então por [PA12], a · 1/a = a · 0 = 0, umacontradição, pois a · 1/a = 1. Se 1/a < 0, então −(1/a) > 0 e, portanto,a · (−(1/a)) > 0. Mas a · (−(1/a)) = −(a · 1/a) = −1, por [PA14] e (C7).Concluímos então que −1 > 0, um absurdo.
(⇐) Basta usar (⇒) substituindo “a” por “1/a” e observar que, por [PA10],1/(1/a) = a.
Aula 8 Matemática Básica 130
![Page 131: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/131.jpg)
[PO08]
∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0
Demonstração. Vamos demonstrar (i). A demonstração de (ii) ficará comoexercício.
(⇒) Suponha, por absurdo, que exista a ∈ R tal que a > 0, mas 1/a = 0ou 1/a < 0. Se 1/a = 0, então por [PA12], a · 1/a = a · 0 = 0, umacontradição, pois a · 1/a = 1. Se 1/a < 0, então −(1/a) > 0 e, portanto,a · (−(1/a)) > 0. Mas a · (−(1/a)) = −(a · 1/a) = −1, por [PA14] e (C7).Concluímos então que −1 > 0, um absurdo.
(⇐) Basta usar (⇒) substituindo “a” por “1/a” e observar que, por [PA10],1/(1/a) = a.
Aula 8 Matemática Básica 131
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[PO08]
∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0
Demonstração. Vamos demonstrar (i). A demonstração de (ii) ficará comoexercício.
(⇒) Suponha, por absurdo, que exista a ∈ R tal que a > 0, mas 1/a = 0ou 1/a < 0. Se 1/a = 0, então por [PA12], a · 1/a = a · 0 = 0, umacontradição, pois a · 1/a = 1. Se 1/a < 0, então −(1/a) > 0 e, portanto,a · (−(1/a)) > 0. Mas a · (−(1/a)) = −(a · 1/a) = −1, por [PA14] e (C7).Concluímos então que −1 > 0, um absurdo.
(⇐) Basta usar (⇒) substituindo “a” por “1/a” e observar que, por [PA10],1/(1/a) = a.
Aula 8 Matemática Básica 132
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[PO08]
∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0
Demonstração. Vamos demonstrar (i). A demonstração de (ii) ficará comoexercício.
(⇒) Suponha, por absurdo, que exista a ∈ R tal que a > 0, mas 1/a = 0ou 1/a < 0. Se 1/a = 0, então por [PA12], a · 1/a = a · 0 = 0, umacontradição, pois a · 1/a = 1. Se 1/a < 0, então −(1/a) > 0 e, portanto,a · (−(1/a)) > 0. Mas a · (−(1/a)) = −(a · 1/a) = −1, por [PA14] e (C7).Concluímos então que −1 > 0, um absurdo.
(⇐) Basta usar (⇒) substituindo “a” por “1/a” e observar que, por [PA10],1/(1/a) = a.
Aula 8 Matemática Básica 133
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[PO08]
∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0
Demonstração. Vamos demonstrar (i). A demonstração de (ii) ficará comoexercício.
(⇒) Suponha, por absurdo, que exista a ∈ R tal que a > 0, mas 1/a = 0ou 1/a < 0. Se 1/a = 0, então por [PA12], a · 1/a = a · 0 = 0, umacontradição, pois a · 1/a = 1. Se 1/a < 0, então −(1/a) > 0 e, portanto,a · (−(1/a)) > 0. Mas a · (−(1/a)) = −(a · 1/a) = −1, por [PA14] e (C7).Concluímos então que −1 > 0, um absurdo.
(⇐) Basta usar (⇒) substituindo “a” por “1/a” e observar que, por [PA10],1/(1/a) = a.
Aula 8 Matemática Básica 134
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[PO08]
∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0
Demonstração. Vamos demonstrar (i). A demonstração de (ii) ficará comoexercício.
(⇒) Suponha, por absurdo, que exista a ∈ R tal que a > 0, mas 1/a = 0ou 1/a < 0. Se 1/a = 0, então por [PA12], a · 1/a = a · 0 = 0, umacontradição, pois a · 1/a = 1. Se 1/a < 0, então −(1/a) > 0 e, portanto,a · (−(1/a)) > 0. Mas a · (−(1/a)) = −(a · 1/a) = −1, por [PA14] e (C7).Concluímos então que −1 > 0, um absurdo.
(⇐) Basta usar (⇒) substituindo “a” por “1/a” e observar que, por [PA10],1/(1/a) = a.
Aula 8 Matemática Básica 135
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[PO08]
∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0
Demonstração. Vamos demonstrar (i). A demonstração de (ii) ficará comoexercício.
(⇒) Suponha, por absurdo, que exista a ∈ R tal que a > 0, mas 1/a = 0ou 1/a < 0. Se 1/a = 0, então por [PA12], a · 1/a = a · 0 = 0, umacontradição, pois a · 1/a = 1. Se 1/a < 0, então −(1/a) > 0 e, portanto,a · (−(1/a)) > 0. Mas a · (−(1/a)) = −(a · 1/a) = −1, por [PA14] e (C7).Concluímos então que −1 > 0, um absurdo.
(⇐) Basta usar (⇒) substituindo “a” por “1/a” e observar que, por [PA10],1/(1/a) = a.
Aula 8 Matemática Básica 136
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[PO08]
∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0
Demonstração. Vamos demonstrar (i). A demonstração de (ii) ficará comoexercício.
(⇒) Suponha, por absurdo, que exista a ∈ R tal que a > 0, mas 1/a = 0ou 1/a < 0. Se 1/a = 0, então por [PA12], a · 1/a = a · 0 = 0, umacontradição, pois a · 1/a = 1. Se 1/a < 0, então −(1/a) > 0 e, portanto,a · (−(1/a)) > 0. Mas a · (−(1/a)) = −(a · 1/a) = −1, por [PA14] e (C7).Concluímos então que −1 > 0, um absurdo.
(⇐) Basta usar (⇒) substituindo “a” por “1/a” e observar que, por [PA10],1/(1/a) = a.
Aula 8 Matemática Básica 137
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[PO08]
∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0
Demonstração. Vamos demonstrar (i). A demonstração de (ii) ficará comoexercício.
(⇒) Suponha, por absurdo, que exista a ∈ R tal que a > 0, mas 1/a = 0ou 1/a < 0. Se 1/a = 0, então por [PA12], a · 1/a = a · 0 = 0, umacontradição, pois a · 1/a = 1. Se 1/a < 0, então −(1/a) > 0 e, portanto,a · (−(1/a)) > 0. Mas a · (−(1/a)) = −(a · 1/a) = −1, por [PA14] e (C7).Concluímos então que −1 > 0, um absurdo.
(⇐) Basta usar (⇒) substituindo “a” por “1/a” e observar que, por [PA10],1/(1/a) = a.
Aula 8 Matemática Básica 138
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[PO08]
∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0
Demonstração. Vamos demonstrar (i). A demonstração de (ii) ficará comoexercício.
(⇒) Suponha, por absurdo, que exista a ∈ R tal que a > 0, mas 1/a = 0ou 1/a < 0. Se 1/a = 0, então por [PA12], a · 1/a = a · 0 = 0, umacontradição, pois a · 1/a = 1. Se 1/a < 0, então −(1/a) > 0 e, portanto,a · (−(1/a)) > 0. Mas a · (−(1/a)) = −(a · 1/a) = −1, por [PA14] e (C7).Concluímos então que −1 > 0, um absurdo.
(⇐) Basta usar (⇒) substituindo “a” por “1/a” e observar que, por [PA10],1/(1/a) = a.
Aula 8 Matemática Básica 139
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[PO08]
∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0
Demonstração. Vamos demonstrar (i). A demonstração de (ii) ficará comoexercício.
(⇒) Suponha, por absurdo, que exista a ∈ R tal que a > 0, mas 1/a = 0ou 1/a < 0. Se 1/a = 0, então por [PA12], a · 1/a = a · 0 = 0, umacontradição, pois a · 1/a = 1. Se 1/a < 0, então −(1/a) > 0 e, portanto,a · (−(1/a)) > 0. Mas a · (−(1/a)) = −(a · 1/a) = −1, por [PA14] e (C7).Concluímos então que −1 > 0, um absurdo.
(⇐) Basta usar (⇒) substituindo “a” por “1/a” e observar que, por [PA10],1/(1/a) = a.
Aula 8 Matemática Básica 140
![Page 141: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/141.jpg)
[PO08]
∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0
Demonstração. Vamos demonstrar (i). A demonstração de (ii) ficará comoexercício.
(⇒) Suponha, por absurdo, que exista a ∈ R tal que a > 0, mas 1/a = 0ou 1/a < 0. Se 1/a = 0, então por [PA12], a · 1/a = a · 0 = 0, umacontradição, pois a · 1/a = 1. Se 1/a < 0, então −(1/a) > 0 e, portanto,a · (−(1/a)) > 0. Mas a · (−(1/a)) = −(a · 1/a) = −1, por [PA14] e (C7).Concluímos então que −1 > 0, um absurdo.
(⇐) Basta usar (⇒) substituindo “a” por “1/a” e observar que, por [PA10],1/(1/a) = a.
Aula 8 Matemática Básica 141
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[PO08]
∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0
Demonstração. Vamos demonstrar (i). A demonstração de (ii) ficará comoexercício.
(⇒) Suponha, por absurdo, que exista a ∈ R tal que a > 0, mas 1/a = 0ou 1/a < 0. Se 1/a = 0, então por [PA12], a · 1/a = a · 0 = 0, umacontradição, pois a · 1/a = 1. Se 1/a < 0, então −(1/a) > 0 e, portanto,a · (−(1/a)) > 0. Mas a · (−(1/a)) = −(a · 1/a) = −1, por [PA14] e (C7).Concluímos então que −1 > 0, um absurdo.
(⇐) Basta usar (⇒) substituindo “a” por “1/a” e observar que, por [PA10],1/(1/a) = a.
Aula 8 Matemática Básica 142
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[PO08]
∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0
Demonstração. Vamos demonstrar (i). A demonstração de (ii) ficará comoexercício.
(⇒) Suponha, por absurdo, que exista a ∈ R tal que a > 0, mas 1/a = 0ou 1/a < 0. Se 1/a = 0, então por [PA12], a · 1/a = a · 0 = 0, umacontradição, pois a · 1/a = 1. Se 1/a < 0, então −(1/a) > 0 e, portanto,a · (−(1/a)) > 0. Mas a · (−(1/a)) = −(a · 1/a) = −1, por [PA14] e (C7).Concluímos então que −1 > 0, um absurdo.
(⇐) Basta usar (⇒) substituindo “a” por “1/a” e observar que, por [PA10],1/(1/a) = a.
Aula 8 Matemática Básica 143
![Page 144: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/144.jpg)
[PO08]
∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0
Demonstração. Vamos demonstrar (i). A demonstração de (ii) ficará comoexercício.
(⇒) Suponha, por absurdo, que exista a ∈ R tal que a > 0, mas 1/a = 0ou 1/a < 0. Se 1/a = 0, então por [PA12], a · 1/a = a · 0 = 0, umacontradição, pois a · 1/a = 1. Se 1/a < 0, então −(1/a) > 0 e, portanto,a · (−(1/a)) > 0. Mas a · (−(1/a)) = −(a · 1/a) = −1, por [PA14] e (C7).Concluímos então que −1 > 0, um absurdo.
(⇐) Basta usar (⇒) substituindo “a” por “1/a” e observar que, por [PA10],1/(1/a) = a.
Aula 8 Matemática Básica 144
![Page 145: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/145.jpg)
[PO08]
∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0
Demonstração. Vamos demonstrar (i). A demonstração de (ii) ficará comoexercício.
(⇒) Suponha, por absurdo, que exista a ∈ R tal que a > 0, mas 1/a = 0ou 1/a < 0. Se 1/a = 0, então por [PA12], a · 1/a = a · 0 = 0, umacontradição, pois a · 1/a = 1. Se 1/a < 0, então −(1/a) > 0 e, portanto,a · (−(1/a)) > 0. Mas a · (−(1/a)) = −(a · 1/a) = −1, por [PA14] e (C7).Concluímos então que −1 > 0, um absurdo.
(⇐) Basta usar (⇒) substituindo “a” por “1/a” e observar que, por [PA10],1/(1/a) = a.
Aula 8 Matemática Básica 145
![Page 146: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/146.jpg)
[PO09]
∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇔ a · c < b · c.
Demonstração.
(⇒) Verdadeira por [PO03].
(⇐) Sejam a,b ∈ R e c > 0 tais que a ·c < b ·c. Como c > 0, por [PO08],1/c > 0. Temos que
a · c < b · c (1)=⇒ (a · c) · (1/c) < (b · c) · (1/c)(2)=⇒ a · (c · 1/c) < b · (c · 1/c)(3)=⇒ a · 1 < b · 1 (4)
=⇒ a < b,
onde, em (1) usamos [PO03], em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C7),e em (4) usamos (C5).
Aula 8 Matemática Básica 146
![Page 147: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/147.jpg)
[PO09]
∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇔ a · c < b · c.
Demonstração.
(⇒) Verdadeira por [PO03].
(⇐) Sejam a,b ∈ R e c > 0 tais que a ·c < b ·c. Como c > 0, por [PO08],1/c > 0. Temos que
a · c < b · c (1)=⇒ (a · c) · (1/c) < (b · c) · (1/c)(2)=⇒ a · (c · 1/c) < b · (c · 1/c)(3)=⇒ a · 1 < b · 1 (4)
=⇒ a < b,
onde, em (1) usamos [PO03], em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C7),e em (4) usamos (C5).
Aula 8 Matemática Básica 147
![Page 148: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/148.jpg)
[PO09]
∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇔ a · c < b · c.
Demonstração.
(⇒) Verdadeira por [PO03].
(⇐) Sejam a,b ∈ R e c > 0 tais que a ·c < b ·c. Como c > 0, por [PO08],1/c > 0. Temos que
a · c < b · c (1)=⇒ (a · c) · (1/c) < (b · c) · (1/c)(2)=⇒ a · (c · 1/c) < b · (c · 1/c)(3)=⇒ a · 1 < b · 1 (4)
=⇒ a < b,
onde, em (1) usamos [PO03], em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C7),e em (4) usamos (C5).
Aula 8 Matemática Básica 148
![Page 149: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/149.jpg)
[PO09]
∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇔ a · c < b · c.
Demonstração.
(⇒) Verdadeira por [PO03].
(⇐) Sejam a,b ∈ R e c > 0 tais que a ·c < b ·c. Como c > 0, por [PO08],1/c > 0. Temos que
a · c < b · c (1)=⇒ (a · c) · (1/c) < (b · c) · (1/c)(2)=⇒ a · (c · 1/c) < b · (c · 1/c)(3)=⇒ a · 1 < b · 1 (4)
=⇒ a < b,
onde, em (1) usamos [PO03], em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C7),e em (4) usamos (C5).
Aula 8 Matemática Básica 149
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[PO09]
∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇔ a · c < b · c.
Demonstração.
(⇒) Verdadeira por [PO03].
(⇐) Sejam a,b ∈ R e c > 0 tais que a ·c < b ·c. Como c > 0, por [PO08],1/c > 0. Temos que
a · c < b · c (1)=⇒ (a · c) · (1/c) < (b · c) · (1/c)(2)=⇒ a · (c · 1/c) < b · (c · 1/c)(3)=⇒ a · 1 < b · 1 (4)
=⇒ a < b,
onde, em (1) usamos [PO03], em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C7),e em (4) usamos (C5).
Aula 8 Matemática Básica 150
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[PO09]
∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇔ a · c < b · c.
Demonstração.
(⇒) Verdadeira por [PO03].
(⇐) Sejam a,b ∈ R e c > 0 tais que a ·c < b ·c. Como c > 0, por [PO08],1/c > 0. Temos que
a · c < b · c (1)=⇒ (a · c) · (1/c) < (b · c) · (1/c)(2)=⇒ a · (c · 1/c) < b · (c · 1/c)(3)=⇒ a · 1 < b · 1 (4)
=⇒ a < b,
onde, em (1) usamos [PO03], em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C7),e em (4) usamos (C5).
Aula 8 Matemática Básica 151
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[PO09]
∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇔ a · c < b · c.
Demonstração.
(⇒) Verdadeira por [PO03].
(⇐) Sejam a,b ∈ R e c > 0 tais que a ·c < b ·c. Como c > 0, por [PO08],1/c > 0. Temos que
a · c < b · c (1)=⇒ (a · c) · (1/c) < (b · c) · (1/c)(2)=⇒ a · (c · 1/c) < b · (c · 1/c)(3)=⇒ a · 1 < b · 1 (4)
=⇒ a < b,
onde, em (1) usamos [PO03], em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C7),e em (4) usamos (C5).
Aula 8 Matemática Básica 152
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[PO09]
∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇔ a · c < b · c.
Demonstração.
(⇒) Verdadeira por [PO03].
(⇐) Sejam a,b ∈ R e c > 0 tais que a ·c < b ·c. Como c > 0, por [PO08],1/c > 0. Temos que
a · c < b · c (1)=⇒ (a · c) · (1/c) < (b · c) · (1/c)(2)=⇒ a · (c · 1/c) < b · (c · 1/c)(3)=⇒ a · 1 < b · 1 (4)
=⇒ a < b,
onde, em (1) usamos [PO03], em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C7),e em (4) usamos (C5).
Aula 8 Matemática Básica 153
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[PO09]
∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇔ a · c < b · c.
Demonstração.
(⇒) Verdadeira por [PO03].
(⇐) Sejam a,b ∈ R e c > 0 tais que a ·c < b ·c. Como c > 0, por [PO08],1/c > 0. Temos que
a · c < b · c (1)=⇒ (a · c) · (1/c) < (b · c) · (1/c)(2)=⇒ a · (c · 1/c) < b · (c · 1/c)(3)=⇒ a · 1 < b · 1 (4)
=⇒ a < b,
onde, em (1) usamos [PO03], em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C7),e em (4) usamos (C5).
Aula 8 Matemática Básica 154
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[PO09]
∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇔ a · c < b · c.
Demonstração.
(⇒) Verdadeira por [PO03].
(⇐) Sejam a,b ∈ R e c > 0 tais que a ·c < b ·c. Como c > 0, por [PO08],1/c > 0. Temos que
a · c < b · c (1)=⇒ (a · c) · (1/c) < (b · c) · (1/c)(2)=⇒ a · (c · 1/c) < b · (c · 1/c)(3)=⇒ a · 1 < b · 1 (4)
=⇒ a < b,
onde, em (1) usamos [PO03], em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C7),e em (4) usamos (C5).
Aula 8 Matemática Básica 155
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[PO09]
∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇔ a · c < b · c.
Demonstração.
(⇒) Verdadeira por [PO03].
(⇐) Sejam a,b ∈ R e c > 0 tais que a ·c < b ·c. Como c > 0, por [PO08],1/c > 0. Temos que
a · c < b · c (1)=⇒ (a · c) · (1/c) < (b · c) · (1/c)(2)=⇒ a · (c · 1/c) < b · (c · 1/c)(3)=⇒ a · 1 < b · 1 (4)
=⇒ a < b,
onde, em (1) usamos [PO03], em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C7),e em (4) usamos (C5).
Aula 8 Matemática Básica 156
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[PO09]
∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇔ a · c < b · c.
Demonstração.
(⇒) Verdadeira por [PO03].
(⇐) Sejam a,b ∈ R e c > 0 tais que a ·c < b ·c. Como c > 0, por [PO08],1/c > 0. Temos que
a · c < b · c (1)=⇒ (a · c) · (1/c) < (b · c) · (1/c)(2)=⇒ a · (c · 1/c) < b · (c · 1/c)(3)=⇒ a · 1 < b · 1 (4)
=⇒ a < b,
onde, em (1) usamos [PO03], em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C7),e em (4) usamos (C5).
Aula 8 Matemática Básica 157
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[PO09]
∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇔ a · c < b · c.
Demonstração.
(⇒) Verdadeira por [PO03].
(⇐) Sejam a,b ∈ R e c > 0 tais que a ·c < b ·c. Como c > 0, por [PO08],1/c > 0. Temos que
a · c < b · c (1)=⇒ (a · c) · (1/c) < (b · c) · (1/c)(2)=⇒ a · (c · 1/c) < b · (c · 1/c)(3)=⇒ a · 1 < b · 1 (4)
=⇒ a < b,
onde, em (1) usamos [PO03], em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C7),e em (4) usamos (C5).
Aula 8 Matemática Básica 158
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[PO09]
∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇔ a · c < b · c.
Demonstração.
(⇒) Verdadeira por [PO03].
(⇐) Sejam a,b ∈ R e c > 0 tais que a ·c < b ·c. Como c > 0, por [PO08],1/c > 0. Temos que
a · c < b · c (1)=⇒ (a · c) · (1/c) < (b · c) · (1/c)(2)=⇒ a · (c · 1/c) < b · (c · 1/c)(3)=⇒ a · 1 < b · 1 (4)
=⇒ a < b,
onde, em (1) usamos [PO03], em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C7),e em (4) usamos (C5).
Aula 8 Matemática Básica 159
![Page 160: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/160.jpg)
[PO10]
∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇔ a · c > b · c.
Demonstração. Exercício.
Aula 8 Matemática Básica 160
![Page 161: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/161.jpg)
[PO10]
∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇔ a · c > b · c.
Demonstração. Exercício.
Aula 8 Matemática Básica 161
![Page 162: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/162.jpg)
[PO10]
∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇔ a · c > b · c.
Demonstração. Exercício.
Aula 8 Matemática Básica 162
![Page 163: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/163.jpg)
[PO11]
∀a,b ∈ R, (i) a < b ⇔ −a > −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b.
Demonstração. Vamos demonstrar (i). A demonstração de (ii) ficará comoexercício.
(⇒) Temos que
a < b (1)=⇒ b − a > 0 (2)
=⇒ − (b − a) < 0 (3)=⇒ − b − (−a) < 0
(4)=⇒ − a > −b,
onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos que x < 0 se, esomente se, −x > 0 e, também, usamos [PA09], em (3) usamos [PA21],e em (4) usamos a definição de “>”.
(⇐) Se −a > −b, então −b < −a. Usando (⇒), concluímos que−(−b) > −(−a). Por [PA09], segue-se que b > a. Logo, a < b.
Aula 8 Matemática Básica 163
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[PO11]
∀a,b ∈ R, (i) a < b ⇔ −a > −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b.
Demonstração. Vamos demonstrar (i). A demonstração de (ii) ficará comoexercício.
(⇒) Temos que
a < b (1)=⇒ b − a > 0 (2)
=⇒ − (b − a) < 0 (3)=⇒ − b − (−a) < 0
(4)=⇒ − a > −b,
onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos que x < 0 se, esomente se, −x > 0 e, também, usamos [PA09], em (3) usamos [PA21],e em (4) usamos a definição de “>”.
(⇐) Se −a > −b, então −b < −a. Usando (⇒), concluímos que−(−b) > −(−a). Por [PA09], segue-se que b > a. Logo, a < b.
Aula 8 Matemática Básica 164
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[PO11]
∀a,b ∈ R, (i) a < b ⇔ −a > −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b.
Demonstração. Vamos demonstrar (i). A demonstração de (ii) ficará comoexercício.
(⇒) Temos que
a < b (1)=⇒ b − a > 0 (2)
=⇒ − (b − a) < 0 (3)=⇒ − b − (−a) < 0
(4)=⇒ − a > −b,
onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos que x < 0 se, esomente se, −x > 0 e, também, usamos [PA09], em (3) usamos [PA21],e em (4) usamos a definição de “>”.
(⇐) Se −a > −b, então −b < −a. Usando (⇒), concluímos que−(−b) > −(−a). Por [PA09], segue-se que b > a. Logo, a < b.
Aula 8 Matemática Básica 165
![Page 166: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/166.jpg)
[PO11]
∀a,b ∈ R, (i) a < b ⇔ −a > −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b.
Demonstração. Vamos demonstrar (i). A demonstração de (ii) ficará comoexercício.
(⇒) Temos que
a < b (1)=⇒ b − a > 0 (2)
=⇒ − (b − a) < 0 (3)=⇒ − b − (−a) < 0
(4)=⇒ − a > −b,
onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos que x < 0 se, esomente se, −x > 0 e, também, usamos [PA09], em (3) usamos [PA21],e em (4) usamos a definição de “>”.
(⇐) Se −a > −b, então −b < −a. Usando (⇒), concluímos que−(−b) > −(−a). Por [PA09], segue-se que b > a. Logo, a < b.
Aula 8 Matemática Básica 166
![Page 167: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/167.jpg)
[PO11]
∀a,b ∈ R, (i) a < b ⇔ −a > −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b.
Demonstração. Vamos demonstrar (i). A demonstração de (ii) ficará comoexercício.
(⇒) Temos que
a < b (1)=⇒ b − a > 0 (2)
=⇒ − (b − a) < 0 (3)=⇒ − b − (−a) < 0
(4)=⇒ − a > −b,
onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos que x < 0 se, esomente se, −x > 0 e, também, usamos [PA09], em (3) usamos [PA21],e em (4) usamos a definição de “>”.
(⇐) Se −a > −b, então −b < −a. Usando (⇒), concluímos que−(−b) > −(−a). Por [PA09], segue-se que b > a. Logo, a < b.
Aula 8 Matemática Básica 167
![Page 168: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/168.jpg)
[PO11]
∀a,b ∈ R, (i) a < b ⇔ −a > −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b.
Demonstração. Vamos demonstrar (i). A demonstração de (ii) ficará comoexercício.
(⇒) Temos que
a < b (1)=⇒ b − a > 0 (2)
=⇒ − (b − a) < 0 (3)=⇒ − b − (−a) < 0
(4)=⇒ − a > −b,
onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos que x < 0 se, esomente se, −x > 0 e, também, usamos [PA09], em (3) usamos [PA21],e em (4) usamos a definição de “>”.
(⇐) Se −a > −b, então −b < −a. Usando (⇒), concluímos que−(−b) > −(−a). Por [PA09], segue-se que b > a. Logo, a < b.
Aula 8 Matemática Básica 168
![Page 169: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/169.jpg)
[PO11]
∀a,b ∈ R, (i) a < b ⇔ −a > −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b.
Demonstração. Vamos demonstrar (i). A demonstração de (ii) ficará comoexercício.
(⇒) Temos que
a < b (1)=⇒ b − a > 0 (2)
=⇒ − (b − a) < 0 (3)=⇒ − b − (−a) < 0
(4)=⇒ − a > −b,
onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos que x < 0 se, esomente se, −x > 0 e, também, usamos [PA09], em (3) usamos [PA21],e em (4) usamos a definição de “>”.
(⇐) Se −a > −b, então −b < −a. Usando (⇒), concluímos que−(−b) > −(−a). Por [PA09], segue-se que b > a. Logo, a < b.
Aula 8 Matemática Básica 169
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[PO11]
∀a,b ∈ R, (i) a < b ⇔ −a > −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b.
Demonstração. Vamos demonstrar (i). A demonstração de (ii) ficará comoexercício.
(⇒) Temos que
a < b (1)=⇒ b − a > 0 (2)
=⇒ − (b − a) < 0 (3)=⇒ − b − (−a) < 0
(4)=⇒ − a > −b,
onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos que x < 0 se, esomente se, −x > 0 e, também, usamos [PA09], em (3) usamos [PA21],e em (4) usamos a definição de “>”.
(⇐) Se −a > −b, então −b < −a. Usando (⇒), concluímos que−(−b) > −(−a). Por [PA09], segue-se que b > a. Logo, a < b.
Aula 8 Matemática Básica 170
![Page 171: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/171.jpg)
[PO11]
∀a,b ∈ R, (i) a < b ⇔ −a > −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b.
Demonstração. Vamos demonstrar (i). A demonstração de (ii) ficará comoexercício.
(⇒) Temos que
a < b (1)=⇒ b − a > 0 (2)
=⇒ − (b − a) < 0 (3)=⇒ − b − (−a) < 0
(4)=⇒ − a > −b,
onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos que x < 0 se, esomente se, −x > 0 e, também, usamos [PA09], em (3) usamos [PA21],e em (4) usamos a definição de “>”.
(⇐) Se −a > −b, então −b < −a. Usando (⇒), concluímos que−(−b) > −(−a). Por [PA09], segue-se que b > a. Logo, a < b.
Aula 8 Matemática Básica 171
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[PO11]
∀a,b ∈ R, (i) a < b ⇔ −a > −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b.
Demonstração. Vamos demonstrar (i). A demonstração de (ii) ficará comoexercício.
(⇒) Temos que
a < b (1)=⇒ b − a > 0 (2)
=⇒ − (b − a) < 0 (3)=⇒ − b − (−a) < 0
(4)=⇒ − a > −b,
onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos que x < 0 se, esomente se, −x > 0 e, também, usamos [PA09], em (3) usamos [PA21],e em (4) usamos a definição de “>”.
(⇐) Se −a > −b, então −b < −a. Usando (⇒), concluímos que−(−b) > −(−a). Por [PA09], segue-se que b > a. Logo, a < b.
Aula 8 Matemática Básica 172
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[PO11]
∀a,b ∈ R, (i) a < b ⇔ −a > −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b.
Demonstração. Vamos demonstrar (i). A demonstração de (ii) ficará comoexercício.
(⇒) Temos que
a < b (1)=⇒ b − a > 0 (2)
=⇒ − (b − a) < 0 (3)=⇒ − b − (−a) < 0
(4)=⇒ − a > −b,
onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos que x < 0 se, esomente se, −x > 0 e, também, usamos [PA09], em (3) usamos [PA21],e em (4) usamos a definição de “>”.
(⇐) Se −a > −b, então −b < −a. Usando (⇒), concluímos que−(−b) > −(−a). Por [PA09], segue-se que b > a. Logo, a < b.
Aula 8 Matemática Básica 173
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[PO11]
∀a,b ∈ R, (i) a < b ⇔ −a > −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b.
Demonstração. Vamos demonstrar (i). A demonstração de (ii) ficará comoexercício.
(⇒) Temos que
a < b (1)=⇒ b − a > 0 (2)
=⇒ − (b − a) < 0 (3)=⇒ − b − (−a) < 0
(4)=⇒ − a > −b,
onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos que x < 0 se, esomente se, −x > 0 e, também, usamos [PA09], em (3) usamos [PA21],e em (4) usamos a definição de “>”.
(⇐) Se −a > −b, então −b < −a. Usando (⇒), concluímos que−(−b) > −(−a). Por [PA09], segue-se que b > a. Logo, a < b.
Aula 8 Matemática Básica 174
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[PO11]
∀a,b ∈ R, (i) a < b ⇔ −a > −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b.
Demonstração. Vamos demonstrar (i). A demonstração de (ii) ficará comoexercício.
(⇒) Temos que
a < b (1)=⇒ b − a > 0 (2)
=⇒ − (b − a) < 0 (3)=⇒ − b − (−a) < 0
(4)=⇒ − a > −b,
onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos que x < 0 se, esomente se, −x > 0 e, também, usamos [PA09], em (3) usamos [PA21],e em (4) usamos a definição de “>”.
(⇐) Se −a > −b, então −b < −a. Usando (⇒), concluímos que−(−b) > −(−a). Por [PA09], segue-se que b > a. Logo, a < b.
Aula 8 Matemática Básica 175
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[PO11]
∀a,b ∈ R, (i) a < b ⇔ −a > −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b.
Demonstração. Vamos demonstrar (i). A demonstração de (ii) ficará comoexercício.
(⇒) Temos que
a < b (1)=⇒ b − a > 0 (2)
=⇒ − (b − a) < 0 (3)=⇒ − b − (−a) < 0
(4)=⇒ − a > −b,
onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos que x < 0 se, esomente se, −x > 0 e, também, usamos [PA09], em (3) usamos [PA21],e em (4) usamos a definição de “>”.
(⇐) Se −a > −b, então −b < −a. Usando (⇒), concluímos que−(−b) > −(−a). Por [PA09], segue-se que b > a. Logo, a < b.
Aula 8 Matemática Básica 176
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[PO11]
∀a,b ∈ R, (i) a < b ⇔ −a > −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b.
Demonstração. Vamos demonstrar (i). A demonstração de (ii) ficará comoexercício.
(⇒) Temos que
a < b (1)=⇒ b − a > 0 (2)
=⇒ − (b − a) < 0 (3)=⇒ − b − (−a) < 0
(4)=⇒ − a > −b,
onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos que x < 0 se, esomente se, −x > 0 e, também, usamos [PA09], em (3) usamos [PA21],e em (4) usamos a definição de “>”.
(⇐) Se −a > −b, então −b < −a. Usando (⇒), concluímos que−(−b) > −(−a). Por [PA09], segue-se que b > a. Logo, a < b.
Aula 8 Matemática Básica 177
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[PO11]
∀a,b ∈ R, (i) a < b ⇔ −a > −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b.
Demonstração. Vamos demonstrar (i). A demonstração de (ii) ficará comoexercício.
(⇒) Temos que
a < b (1)=⇒ b − a > 0 (2)
=⇒ − (b − a) < 0 (3)=⇒ − b − (−a) < 0
(4)=⇒ − a > −b,
onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos que x < 0 se, esomente se, −x > 0 e, também, usamos [PA09], em (3) usamos [PA21],e em (4) usamos a definição de “>”.
(⇐) Se −a > −b, então −b < −a. Usando (⇒), concluímos que−(−b) > −(−a). Por [PA09], segue-se que b > a. Logo, a < b.
Aula 8 Matemática Básica 178
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[PO12]: Parte 1
∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).
Demonstração.(⇒) Se a · b > 0, então a 6= 0, pois, caso contrário, a · b = 0 · b = 0, umacontradição. Assim, ou a > 0 ou a < 0. Se a > 0, então 1/a > 0 por[PO08]. Por (O2), (1/a)·(a·b) > 0. Mas (1/a)·(a·b) = (1/a·a)·b = 1·b =b por (C3), [PA08] e [PA04]. Logo b > 0. Assim, a > 0 e b > 0. Se a < 0,então 1/a < 0 por [PO08]. Logo−(1/a) > 0. Por (O2), −(1/a)·(a·b) > 0.Mas − (1/a) · (a · b) = −(1/a · a) · b = −1 · b = −b por (C3), [PA08] e[PA13]. Logo −b > 0 e, portanto, b < 0. Assim, a < 0 e b < 0. Em todosos casos, concluímos que se a · b > 0, então (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 eb < 0).
(⇐) Se a > 0 e b > 0, então a · b > 0 por (O2). Se a < 0 e b < 0, então−a > 0 e −b > 0. Logo (−a) · (−b) > 0 por (O2). Mas, (−a) · (−b) = a ·bpor [PA15]. Assim, a · b > 0. Desta maneira, mostramos então que se(a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0), então a · b > 0.
Aula 8 Matemática Básica 179
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[PO12]: Parte 1
∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).
Demonstração.(⇒) Se a · b > 0, então a 6= 0, pois, caso contrário, a · b = 0 · b = 0, umacontradição. Assim, ou a > 0 ou a < 0. Se a > 0, então 1/a > 0 por[PO08]. Por (O2), (1/a)·(a·b) > 0. Mas (1/a)·(a·b) = (1/a·a)·b = 1·b =b por (C3), [PA08] e [PA04]. Logo b > 0. Assim, a > 0 e b > 0. Se a < 0,então 1/a < 0 por [PO08]. Logo−(1/a) > 0. Por (O2), −(1/a)·(a·b) > 0.Mas − (1/a) · (a · b) = −(1/a · a) · b = −1 · b = −b por (C3), [PA08] e[PA13]. Logo −b > 0 e, portanto, b < 0. Assim, a < 0 e b < 0. Em todosos casos, concluímos que se a · b > 0, então (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 eb < 0).
(⇐) Se a > 0 e b > 0, então a · b > 0 por (O2). Se a < 0 e b < 0, então−a > 0 e −b > 0. Logo (−a) · (−b) > 0 por (O2). Mas, (−a) · (−b) = a ·bpor [PA15]. Assim, a · b > 0. Desta maneira, mostramos então que se(a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0), então a · b > 0.
Aula 8 Matemática Básica 180
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[PO12]: Parte 1
∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).
Demonstração.(⇒) Se a · b > 0, então a 6= 0, pois, caso contrário, a · b = 0 · b = 0, umacontradição. Assim, ou a > 0 ou a < 0. Se a > 0, então 1/a > 0 por[PO08]. Por (O2), (1/a)·(a·b) > 0. Mas (1/a)·(a·b) = (1/a·a)·b = 1·b =b por (C3), [PA08] e [PA04]. Logo b > 0. Assim, a > 0 e b > 0. Se a < 0,então 1/a < 0 por [PO08]. Logo−(1/a) > 0. Por (O2), −(1/a)·(a·b) > 0.Mas − (1/a) · (a · b) = −(1/a · a) · b = −1 · b = −b por (C3), [PA08] e[PA13]. Logo −b > 0 e, portanto, b < 0. Assim, a < 0 e b < 0. Em todosos casos, concluímos que se a · b > 0, então (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 eb < 0).
(⇐) Se a > 0 e b > 0, então a · b > 0 por (O2). Se a < 0 e b < 0, então−a > 0 e −b > 0. Logo (−a) · (−b) > 0 por (O2). Mas, (−a) · (−b) = a ·bpor [PA15]. Assim, a · b > 0. Desta maneira, mostramos então que se(a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0), então a · b > 0.
Aula 8 Matemática Básica 181
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[PO12]: Parte 1
∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).
Demonstração.(⇒) Se a · b > 0, então a 6= 0, pois, caso contrário, a · b = 0 · b = 0, umacontradição. Assim, ou a > 0 ou a < 0. Se a > 0, então 1/a > 0 por[PO08]. Por (O2), (1/a)·(a·b) > 0. Mas (1/a)·(a·b) = (1/a·a)·b = 1·b =b por (C3), [PA08] e [PA04]. Logo b > 0. Assim, a > 0 e b > 0. Se a < 0,então 1/a < 0 por [PO08]. Logo−(1/a) > 0. Por (O2), −(1/a)·(a·b) > 0.Mas − (1/a) · (a · b) = −(1/a · a) · b = −1 · b = −b por (C3), [PA08] e[PA13]. Logo −b > 0 e, portanto, b < 0. Assim, a < 0 e b < 0. Em todosos casos, concluímos que se a · b > 0, então (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 eb < 0).
(⇐) Se a > 0 e b > 0, então a · b > 0 por (O2). Se a < 0 e b < 0, então−a > 0 e −b > 0. Logo (−a) · (−b) > 0 por (O2). Mas, (−a) · (−b) = a ·bpor [PA15]. Assim, a · b > 0. Desta maneira, mostramos então que se(a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0), então a · b > 0.
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[PO12]: Parte 1
∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).
Demonstração.(⇒) Se a · b > 0, então a 6= 0, pois, caso contrário, a · b = 0 · b = 0, umacontradição. Assim, ou a > 0 ou a < 0. Se a > 0, então 1/a > 0 por[PO08]. Por (O2), (1/a)·(a·b) > 0. Mas (1/a)·(a·b) = (1/a·a)·b = 1·b =b por (C3), [PA08] e [PA04]. Logo b > 0. Assim, a > 0 e b > 0. Se a < 0,então 1/a < 0 por [PO08]. Logo−(1/a) > 0. Por (O2), −(1/a)·(a·b) > 0.Mas − (1/a) · (a · b) = −(1/a · a) · b = −1 · b = −b por (C3), [PA08] e[PA13]. Logo −b > 0 e, portanto, b < 0. Assim, a < 0 e b < 0. Em todosos casos, concluímos que se a · b > 0, então (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 eb < 0).
(⇐) Se a > 0 e b > 0, então a · b > 0 por (O2). Se a < 0 e b < 0, então−a > 0 e −b > 0. Logo (−a) · (−b) > 0 por (O2). Mas, (−a) · (−b) = a ·bpor [PA15]. Assim, a · b > 0. Desta maneira, mostramos então que se(a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0), então a · b > 0.
Aula 8 Matemática Básica 183
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[PO12]: Parte 1
∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).
Demonstração.(⇒) Se a · b > 0, então a 6= 0, pois, caso contrário, a · b = 0 · b = 0, umacontradição. Assim, ou a > 0 ou a < 0. Se a > 0, então 1/a > 0 por[PO08]. Por (O2), (1/a)·(a·b) > 0. Mas (1/a)·(a·b) = (1/a·a)·b = 1·b =b por (C3), [PA08] e [PA04]. Logo b > 0. Assim, a > 0 e b > 0. Se a < 0,então 1/a < 0 por [PO08]. Logo−(1/a) > 0. Por (O2), −(1/a)·(a·b) > 0.Mas − (1/a) · (a · b) = −(1/a · a) · b = −1 · b = −b por (C3), [PA08] e[PA13]. Logo −b > 0 e, portanto, b < 0. Assim, a < 0 e b < 0. Em todosos casos, concluímos que se a · b > 0, então (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 eb < 0).
(⇐) Se a > 0 e b > 0, então a · b > 0 por (O2). Se a < 0 e b < 0, então−a > 0 e −b > 0. Logo (−a) · (−b) > 0 por (O2). Mas, (−a) · (−b) = a ·bpor [PA15]. Assim, a · b > 0. Desta maneira, mostramos então que se(a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0), então a · b > 0.
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[PO12]: Parte 1
∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).
Demonstração.(⇒) Se a · b > 0, então a 6= 0, pois, caso contrário, a · b = 0 · b = 0, umacontradição. Assim, ou a > 0 ou a < 0. Se a > 0, então 1/a > 0 por[PO08]. Por (O2), (1/a)·(a·b) > 0. Mas (1/a)·(a·b) = (1/a·a)·b = 1·b =b por (C3), [PA08] e [PA04]. Logo b > 0. Assim, a > 0 e b > 0. Se a < 0,então 1/a < 0 por [PO08]. Logo−(1/a) > 0. Por (O2), −(1/a)·(a·b) > 0.Mas − (1/a) · (a · b) = −(1/a · a) · b = −1 · b = −b por (C3), [PA08] e[PA13]. Logo −b > 0 e, portanto, b < 0. Assim, a < 0 e b < 0. Em todosos casos, concluímos que se a · b > 0, então (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 eb < 0).
(⇐) Se a > 0 e b > 0, então a · b > 0 por (O2). Se a < 0 e b < 0, então−a > 0 e −b > 0. Logo (−a) · (−b) > 0 por (O2). Mas, (−a) · (−b) = a ·bpor [PA15]. Assim, a · b > 0. Desta maneira, mostramos então que se(a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0), então a · b > 0.
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[PO12]: Parte 1
∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).
Demonstração.(⇒) Se a · b > 0, então a 6= 0, pois, caso contrário, a · b = 0 · b = 0, umacontradição. Assim, ou a > 0 ou a < 0. Se a > 0, então 1/a > 0 por[PO08]. Por (O2), (1/a)·(a·b) > 0. Mas (1/a)·(a·b) = (1/a·a)·b = 1·b =b por (C3), [PA08] e [PA04]. Logo b > 0. Assim, a > 0 e b > 0. Se a < 0,então 1/a < 0 por [PO08]. Logo−(1/a) > 0. Por (O2), −(1/a)·(a·b) > 0.Mas − (1/a) · (a · b) = −(1/a · a) · b = −1 · b = −b por (C3), [PA08] e[PA13]. Logo −b > 0 e, portanto, b < 0. Assim, a < 0 e b < 0. Em todosos casos, concluímos que se a · b > 0, então (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 eb < 0).
(⇐) Se a > 0 e b > 0, então a · b > 0 por (O2). Se a < 0 e b < 0, então−a > 0 e −b > 0. Logo (−a) · (−b) > 0 por (O2). Mas, (−a) · (−b) = a ·bpor [PA15]. Assim, a · b > 0. Desta maneira, mostramos então que se(a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0), então a · b > 0.
Aula 8 Matemática Básica 186
![Page 187: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/187.jpg)
[PO12]: Parte 1
∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).
Demonstração.(⇒) Se a · b > 0, então a 6= 0, pois, caso contrário, a · b = 0 · b = 0, umacontradição. Assim, ou a > 0 ou a < 0. Se a > 0, então 1/a > 0 por[PO08]. Por (O2), (1/a)·(a·b) > 0. Mas (1/a)·(a·b) = (1/a·a)·b = 1·b =b por (C3), [PA08] e [PA04]. Logo b > 0. Assim, a > 0 e b > 0. Se a < 0,então 1/a < 0 por [PO08]. Logo−(1/a) > 0. Por (O2), −(1/a)·(a·b) > 0.Mas − (1/a) · (a · b) = −(1/a · a) · b = −1 · b = −b por (C3), [PA08] e[PA13]. Logo −b > 0 e, portanto, b < 0. Assim, a < 0 e b < 0. Em todosos casos, concluímos que se a · b > 0, então (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 eb < 0).
(⇐) Se a > 0 e b > 0, então a · b > 0 por (O2). Se a < 0 e b < 0, então−a > 0 e −b > 0. Logo (−a) · (−b) > 0 por (O2). Mas, (−a) · (−b) = a ·bpor [PA15]. Assim, a · b > 0. Desta maneira, mostramos então que se(a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0), então a · b > 0.
Aula 8 Matemática Básica 187
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[PO12]: Parte 1
∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).
Demonstração.(⇒) Se a · b > 0, então a 6= 0, pois, caso contrário, a · b = 0 · b = 0, umacontradição. Assim, ou a > 0 ou a < 0. Se a > 0, então 1/a > 0 por[PO08]. Por (O2), (1/a)·(a·b) > 0. Mas (1/a)·(a·b) = (1/a·a)·b = 1·b =b por (C3), [PA08] e [PA04]. Logo b > 0. Assim, a > 0 e b > 0. Se a < 0,então 1/a < 0 por [PO08]. Logo−(1/a) > 0. Por (O2), −(1/a)·(a·b) > 0.Mas − (1/a) · (a · b) = −(1/a · a) · b = −1 · b = −b por (C3), [PA08] e[PA13]. Logo −b > 0 e, portanto, b < 0. Assim, a < 0 e b < 0. Em todosos casos, concluímos que se a · b > 0, então (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 eb < 0).
(⇐) Se a > 0 e b > 0, então a · b > 0 por (O2). Se a < 0 e b < 0, então−a > 0 e −b > 0. Logo (−a) · (−b) > 0 por (O2). Mas, (−a) · (−b) = a ·bpor [PA15]. Assim, a · b > 0. Desta maneira, mostramos então que se(a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0), então a · b > 0.
Aula 8 Matemática Básica 188
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[PO12]: Parte 1
∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).
Demonstração.(⇒) Se a · b > 0, então a 6= 0, pois, caso contrário, a · b = 0 · b = 0, umacontradição. Assim, ou a > 0 ou a < 0. Se a > 0, então 1/a > 0 por[PO08]. Por (O2), (1/a)·(a·b) > 0. Mas (1/a)·(a·b) = (1/a·a)·b = 1·b =b por (C3), [PA08] e [PA04]. Logo b > 0. Assim, a > 0 e b > 0. Se a < 0,então 1/a < 0 por [PO08]. Logo−(1/a) > 0. Por (O2), −(1/a)·(a·b) > 0.Mas − (1/a) · (a · b) = −(1/a · a) · b = −1 · b = −b por (C3), [PA08] e[PA13]. Logo −b > 0 e, portanto, b < 0. Assim, a < 0 e b < 0. Em todosos casos, concluímos que se a · b > 0, então (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 eb < 0).
(⇐) Se a > 0 e b > 0, então a · b > 0 por (O2). Se a < 0 e b < 0, então−a > 0 e −b > 0. Logo (−a) · (−b) > 0 por (O2). Mas, (−a) · (−b) = a ·bpor [PA15]. Assim, a · b > 0. Desta maneira, mostramos então que se(a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0), então a · b > 0.
Aula 8 Matemática Básica 189
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[PO12]: Parte 1
∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).
Demonstração.(⇒) Se a · b > 0, então a 6= 0, pois, caso contrário, a · b = 0 · b = 0, umacontradição. Assim, ou a > 0 ou a < 0. Se a > 0, então 1/a > 0 por[PO08]. Por (O2), (1/a)·(a·b) > 0. Mas (1/a)·(a·b) = (1/a·a)·b = 1·b =b por (C3), [PA08] e [PA04]. Logo b > 0. Assim, a > 0 e b > 0. Se a < 0,então 1/a < 0 por [PO08]. Logo−(1/a) > 0. Por (O2), −(1/a)·(a·b) > 0.Mas − (1/a) · (a · b) = −(1/a · a) · b = −1 · b = −b por (C3), [PA08] e[PA13]. Logo −b > 0 e, portanto, b < 0. Assim, a < 0 e b < 0. Em todosos casos, concluímos que se a · b > 0, então (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 eb < 0).
(⇐) Se a > 0 e b > 0, então a · b > 0 por (O2). Se a < 0 e b < 0, então−a > 0 e −b > 0. Logo (−a) · (−b) > 0 por (O2). Mas, (−a) · (−b) = a ·bpor [PA15]. Assim, a · b > 0. Desta maneira, mostramos então que se(a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0), então a · b > 0.
Aula 8 Matemática Básica 190
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[PO12]: Parte 1
∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).
Demonstração.(⇒) Se a · b > 0, então a 6= 0, pois, caso contrário, a · b = 0 · b = 0, umacontradição. Assim, ou a > 0 ou a < 0. Se a > 0, então 1/a > 0 por[PO08]. Por (O2), (1/a)·(a·b) > 0. Mas (1/a)·(a·b) = (1/a·a)·b = 1·b =b por (C3), [PA08] e [PA04]. Logo b > 0. Assim, a > 0 e b > 0. Se a < 0,então 1/a < 0 por [PO08]. Logo−(1/a) > 0. Por (O2), −(1/a)·(a·b) > 0.Mas − (1/a) · (a · b) = −(1/a · a) · b = −1 · b = −b por (C3), [PA08] e[PA13]. Logo −b > 0 e, portanto, b < 0. Assim, a < 0 e b < 0. Em todosos casos, concluímos que se a · b > 0, então (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 eb < 0).
(⇐) Se a > 0 e b > 0, então a · b > 0 por (O2). Se a < 0 e b < 0, então−a > 0 e −b > 0. Logo (−a) · (−b) > 0 por (O2). Mas, (−a) · (−b) = a ·bpor [PA15]. Assim, a · b > 0. Desta maneira, mostramos então que se(a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0), então a · b > 0.
Aula 8 Matemática Básica 191
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[PO12]: Parte 1
∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).
Demonstração.(⇒) Se a · b > 0, então a 6= 0, pois, caso contrário, a · b = 0 · b = 0, umacontradição. Assim, ou a > 0 ou a < 0. Se a > 0, então 1/a > 0 por[PO08]. Por (O2), (1/a)·(a·b) > 0. Mas (1/a)·(a·b) = (1/a·a)·b = 1·b =b por (C3), [PA08] e [PA04]. Logo b > 0. Assim, a > 0 e b > 0. Se a < 0,então 1/a < 0 por [PO08]. Logo−(1/a) > 0. Por (O2), −(1/a)·(a·b) > 0.Mas − (1/a) · (a · b) = −(1/a · a) · b = −1 · b = −b por (C3), [PA08] e[PA13]. Logo −b > 0 e, portanto, b < 0. Assim, a < 0 e b < 0. Em todosos casos, concluímos que se a · b > 0, então (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 eb < 0).
(⇐) Se a > 0 e b > 0, então a · b > 0 por (O2). Se a < 0 e b < 0, então−a > 0 e −b > 0. Logo (−a) · (−b) > 0 por (O2). Mas, (−a) · (−b) = a ·bpor [PA15]. Assim, a · b > 0. Desta maneira, mostramos então que se(a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0), então a · b > 0.
Aula 8 Matemática Básica 192
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[PO12]: Parte 1
∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).
Demonstração.(⇒) Se a · b > 0, então a 6= 0, pois, caso contrário, a · b = 0 · b = 0, umacontradição. Assim, ou a > 0 ou a < 0. Se a > 0, então 1/a > 0 por[PO08]. Por (O2), (1/a)·(a·b) > 0. Mas (1/a)·(a·b) = (1/a·a)·b = 1·b =b por (C3), [PA08] e [PA04]. Logo b > 0. Assim, a > 0 e b > 0. Se a < 0,então 1/a < 0 por [PO08]. Logo−(1/a) > 0. Por (O2), −(1/a)·(a·b) > 0.Mas − (1/a) · (a · b) = −(1/a · a) · b = −1 · b = −b por (C3), [PA08] e[PA13]. Logo −b > 0 e, portanto, b < 0. Assim, a < 0 e b < 0. Em todosos casos, concluímos que se a · b > 0, então (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 eb < 0).
(⇐) Se a > 0 e b > 0, então a · b > 0 por (O2). Se a < 0 e b < 0, então−a > 0 e −b > 0. Logo (−a) · (−b) > 0 por (O2). Mas, (−a) · (−b) = a ·bpor [PA15]. Assim, a · b > 0. Desta maneira, mostramos então que se(a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0), então a · b > 0.
Aula 8 Matemática Básica 193
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[PO12]: Parte 1
∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).
Demonstração.(⇒) Se a · b > 0, então a 6= 0, pois, caso contrário, a · b = 0 · b = 0, umacontradição. Assim, ou a > 0 ou a < 0. Se a > 0, então 1/a > 0 por[PO08]. Por (O2), (1/a)·(a·b) > 0. Mas (1/a)·(a·b) = (1/a·a)·b = 1·b =b por (C3), [PA08] e [PA04]. Logo b > 0. Assim, a > 0 e b > 0. Se a < 0,então 1/a < 0 por [PO08]. Logo−(1/a) > 0. Por (O2), −(1/a)·(a·b) > 0.Mas − (1/a) · (a · b) = −(1/a · a) · b = −1 · b = −b por (C3), [PA08] e[PA13]. Logo −b > 0 e, portanto, b < 0. Assim, a < 0 e b < 0. Em todosos casos, concluímos que se a · b > 0, então (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 eb < 0).
(⇐) Se a > 0 e b > 0, então a · b > 0 por (O2). Se a < 0 e b < 0, então−a > 0 e −b > 0. Logo (−a) · (−b) > 0 por (O2). Mas, (−a) · (−b) = a ·bpor [PA15]. Assim, a · b > 0. Desta maneira, mostramos então que se(a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0), então a · b > 0.
Aula 8 Matemática Básica 194
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[PO12]: Parte 1
∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).
Demonstração.(⇒) Se a · b > 0, então a 6= 0, pois, caso contrário, a · b = 0 · b = 0, umacontradição. Assim, ou a > 0 ou a < 0. Se a > 0, então 1/a > 0 por[PO08]. Por (O2), (1/a)·(a·b) > 0. Mas (1/a)·(a·b) = (1/a·a)·b = 1·b =b por (C3), [PA08] e [PA04]. Logo b > 0. Assim, a > 0 e b > 0. Se a < 0,então 1/a < 0 por [PO08]. Logo−(1/a) > 0. Por (O2), −(1/a)·(a·b) > 0.Mas − (1/a) · (a · b) = −(1/a · a) · b = −1 · b = −b por (C3), [PA08] e[PA13]. Logo −b > 0 e, portanto, b < 0. Assim, a < 0 e b < 0. Em todosos casos, concluímos que se a · b > 0, então (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 eb < 0).
(⇐) Se a > 0 e b > 0, então a · b > 0 por (O2). Se a < 0 e b < 0, então−a > 0 e −b > 0. Logo (−a) · (−b) > 0 por (O2). Mas, (−a) · (−b) = a ·bpor [PA15]. Assim, a · b > 0. Desta maneira, mostramos então que se(a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0), então a · b > 0.
Aula 8 Matemática Básica 195
![Page 196: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/196.jpg)
[PO12]: Parte 1
∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).
Demonstração.(⇒) Se a · b > 0, então a 6= 0, pois, caso contrário, a · b = 0 · b = 0, umacontradição. Assim, ou a > 0 ou a < 0. Se a > 0, então 1/a > 0 por[PO08]. Por (O2), (1/a)·(a·b) > 0. Mas (1/a)·(a·b) = (1/a·a)·b = 1·b =b por (C3), [PA08] e [PA04]. Logo b > 0. Assim, a > 0 e b > 0. Se a < 0,então 1/a < 0 por [PO08]. Logo−(1/a) > 0. Por (O2), −(1/a)·(a·b) > 0.Mas − (1/a) · (a · b) = −(1/a · a) · b = −1 · b = −b por (C3), [PA08] e[PA13]. Logo −b > 0 e, portanto, b < 0. Assim, a < 0 e b < 0. Em todosos casos, concluímos que se a · b > 0, então (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 eb < 0).
(⇐) Se a > 0 e b > 0, então a · b > 0 por (O2). Se a < 0 e b < 0, então−a > 0 e −b > 0. Logo (−a) · (−b) > 0 por (O2). Mas, (−a) · (−b) = a ·bpor [PA15]. Assim, a · b > 0. Desta maneira, mostramos então que se(a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0), então a · b > 0.
Aula 8 Matemática Básica 196
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[PO12]: Parte 1
∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).
Demonstração.(⇒) Se a · b > 0, então a 6= 0, pois, caso contrário, a · b = 0 · b = 0, umacontradição. Assim, ou a > 0 ou a < 0. Se a > 0, então 1/a > 0 por[PO08]. Por (O2), (1/a)·(a·b) > 0. Mas (1/a)·(a·b) = (1/a·a)·b = 1·b =b por (C3), [PA08] e [PA04]. Logo b > 0. Assim, a > 0 e b > 0. Se a < 0,então 1/a < 0 por [PO08]. Logo−(1/a) > 0. Por (O2), −(1/a)·(a·b) > 0.Mas − (1/a) · (a · b) = −(1/a · a) · b = −1 · b = −b por (C3), [PA08] e[PA13]. Logo −b > 0 e, portanto, b < 0. Assim, a < 0 e b < 0. Em todosos casos, concluímos que se a · b > 0, então (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 eb < 0).
(⇐) Se a > 0 e b > 0, então a · b > 0 por (O2). Se a < 0 e b < 0, então−a > 0 e −b > 0. Logo (−a) · (−b) > 0 por (O2). Mas, (−a) · (−b) = a ·bpor [PA15]. Assim, a · b > 0. Desta maneira, mostramos então que se(a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0), então a · b > 0.
Aula 8 Matemática Básica 197
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[PO12]: Parte 1
∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).
Demonstração.(⇒) Se a · b > 0, então a 6= 0, pois, caso contrário, a · b = 0 · b = 0, umacontradição. Assim, ou a > 0 ou a < 0. Se a > 0, então 1/a > 0 por[PO08]. Por (O2), (1/a)·(a·b) > 0. Mas (1/a)·(a·b) = (1/a·a)·b = 1·b =b por (C3), [PA08] e [PA04]. Logo b > 0. Assim, a > 0 e b > 0. Se a < 0,então 1/a < 0 por [PO08]. Logo−(1/a) > 0. Por (O2), −(1/a)·(a·b) > 0.Mas − (1/a) · (a · b) = −(1/a · a) · b = −1 · b = −b por (C3), [PA08] e[PA13]. Logo −b > 0 e, portanto, b < 0. Assim, a < 0 e b < 0. Em todosos casos, concluímos que se a · b > 0, então (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 eb < 0).
(⇐) Se a > 0 e b > 0, então a · b > 0 por (O2). Se a < 0 e b < 0, então−a > 0 e −b > 0. Logo (−a) · (−b) > 0 por (O2). Mas, (−a) · (−b) = a ·bpor [PA15]. Assim, a · b > 0. Desta maneira, mostramos então que se(a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0), então a · b > 0.
Aula 8 Matemática Básica 198
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[PO12]: Parte 1
∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).
Demonstração.(⇒) Se a · b > 0, então a 6= 0, pois, caso contrário, a · b = 0 · b = 0, umacontradição. Assim, ou a > 0 ou a < 0. Se a > 0, então 1/a > 0 por[PO08]. Por (O2), (1/a)·(a·b) > 0. Mas (1/a)·(a·b) = (1/a·a)·b = 1·b =b por (C3), [PA08] e [PA04]. Logo b > 0. Assim, a > 0 e b > 0. Se a < 0,então 1/a < 0 por [PO08]. Logo−(1/a) > 0. Por (O2), −(1/a)·(a·b) > 0.Mas − (1/a) · (a · b) = −(1/a · a) · b = −1 · b = −b por (C3), [PA08] e[PA13]. Logo −b > 0 e, portanto, b < 0. Assim, a < 0 e b < 0. Em todosos casos, concluímos que se a · b > 0, então (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 eb < 0).
(⇐) Se a > 0 e b > 0, então a · b > 0 por (O2). Se a < 0 e b < 0, então−a > 0 e −b > 0. Logo (−a) · (−b) > 0 por (O2). Mas, (−a) · (−b) = a ·bpor [PA15]. Assim, a · b > 0. Desta maneira, mostramos então que se(a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0), então a · b > 0.
Aula 8 Matemática Básica 199
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[PO12]: Parte 1
∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).
Demonstração.(⇒) Se a · b > 0, então a 6= 0, pois, caso contrário, a · b = 0 · b = 0, umacontradição. Assim, ou a > 0 ou a < 0. Se a > 0, então 1/a > 0 por[PO08]. Por (O2), (1/a)·(a·b) > 0. Mas (1/a)·(a·b) = (1/a·a)·b = 1·b =b por (C3), [PA08] e [PA04]. Logo b > 0. Assim, a > 0 e b > 0. Se a < 0,então 1/a < 0 por [PO08]. Logo−(1/a) > 0. Por (O2), −(1/a)·(a·b) > 0.Mas − (1/a) · (a · b) = −(1/a · a) · b = −1 · b = −b por (C3), [PA08] e[PA13]. Logo −b > 0 e, portanto, b < 0. Assim, a < 0 e b < 0. Em todosos casos, concluímos que se a · b > 0, então (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 eb < 0).
(⇐) Se a > 0 e b > 0, então a · b > 0 por (O2). Se a < 0 e b < 0, então−a > 0 e −b > 0. Logo (−a) · (−b) > 0 por (O2). Mas, (−a) · (−b) = a ·bpor [PA15]. Assim, a · b > 0. Desta maneira, mostramos então que se(a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0), então a · b > 0.
Aula 8 Matemática Básica 200
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[PO12]: Parte 1
∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).
Demonstração.(⇒) Se a · b > 0, então a 6= 0, pois, caso contrário, a · b = 0 · b = 0, umacontradição. Assim, ou a > 0 ou a < 0. Se a > 0, então 1/a > 0 por[PO08]. Por (O2), (1/a)·(a·b) > 0. Mas (1/a)·(a·b) = (1/a·a)·b = 1·b =b por (C3), [PA08] e [PA04]. Logo b > 0. Assim, a > 0 e b > 0. Se a < 0,então 1/a < 0 por [PO08]. Logo−(1/a) > 0. Por (O2), −(1/a)·(a·b) > 0.Mas − (1/a) · (a · b) = −(1/a · a) · b = −1 · b = −b por (C3), [PA08] e[PA13]. Logo −b > 0 e, portanto, b < 0. Assim, a < 0 e b < 0. Em todosos casos, concluímos que se a · b > 0, então (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 eb < 0).
(⇐) Se a > 0 e b > 0, então a · b > 0 por (O2). Se a < 0 e b < 0, então−a > 0 e −b > 0. Logo (−a) · (−b) > 0 por (O2). Mas, (−a) · (−b) = a ·bpor [PA15]. Assim, a · b > 0. Desta maneira, mostramos então que se(a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0), então a · b > 0.
Aula 8 Matemática Básica 201
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[PO12]: Parte 1
∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).
Demonstração.(⇒) Se a · b > 0, então a 6= 0, pois, caso contrário, a · b = 0 · b = 0, umacontradição. Assim, ou a > 0 ou a < 0. Se a > 0, então 1/a > 0 por[PO08]. Por (O2), (1/a)·(a·b) > 0. Mas (1/a)·(a·b) = (1/a·a)·b = 1·b =b por (C3), [PA08] e [PA04]. Logo b > 0. Assim, a > 0 e b > 0. Se a < 0,então 1/a < 0 por [PO08]. Logo−(1/a) > 0. Por (O2), −(1/a)·(a·b) > 0.Mas − (1/a) · (a · b) = −(1/a · a) · b = −1 · b = −b por (C3), [PA08] e[PA13]. Logo −b > 0 e, portanto, b < 0. Assim, a < 0 e b < 0. Em todosos casos, concluímos que se a · b > 0, então (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 eb < 0).
(⇐) Se a > 0 e b > 0, então a · b > 0 por (O2). Se a < 0 e b < 0, então−a > 0 e −b > 0. Logo (−a) · (−b) > 0 por (O2). Mas, (−a) · (−b) = a ·bpor [PA15]. Assim, a · b > 0. Desta maneira, mostramos então que se(a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0), então a · b > 0.
Aula 8 Matemática Básica 202
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[PO12]: Parte 1
∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).
Demonstração.(⇒) Se a · b > 0, então a 6= 0, pois, caso contrário, a · b = 0 · b = 0, umacontradição. Assim, ou a > 0 ou a < 0. Se a > 0, então 1/a > 0 por[PO08]. Por (O2), (1/a)·(a·b) > 0. Mas (1/a)·(a·b) = (1/a·a)·b = 1·b =b por (C3), [PA08] e [PA04]. Logo b > 0. Assim, a > 0 e b > 0. Se a < 0,então 1/a < 0 por [PO08]. Logo−(1/a) > 0. Por (O2), −(1/a)·(a·b) > 0.Mas − (1/a) · (a · b) = −(1/a · a) · b = −1 · b = −b por (C3), [PA08] e[PA13]. Logo −b > 0 e, portanto, b < 0. Assim, a < 0 e b < 0. Em todosos casos, concluímos que se a · b > 0, então (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 eb < 0).
(⇐) Se a > 0 e b > 0, então a · b > 0 por (O2). Se a < 0 e b < 0, então−a > 0 e −b > 0. Logo (−a) · (−b) > 0 por (O2). Mas, (−a) · (−b) = a ·bpor [PA15]. Assim, a · b > 0. Desta maneira, mostramos então que se(a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0), então a · b > 0.
Aula 8 Matemática Básica 203
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[PO12]: Parte 1
∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).
Demonstração.(⇒) Se a · b > 0, então a 6= 0, pois, caso contrário, a · b = 0 · b = 0, umacontradição. Assim, ou a > 0 ou a < 0. Se a > 0, então 1/a > 0 por[PO08]. Por (O2), (1/a)·(a·b) > 0. Mas (1/a)·(a·b) = (1/a·a)·b = 1·b =b por (C3), [PA08] e [PA04]. Logo b > 0. Assim, a > 0 e b > 0. Se a < 0,então 1/a < 0 por [PO08]. Logo−(1/a) > 0. Por (O2), −(1/a)·(a·b) > 0.Mas − (1/a) · (a · b) = −(1/a · a) · b = −1 · b = −b por (C3), [PA08] e[PA13]. Logo −b > 0 e, portanto, b < 0. Assim, a < 0 e b < 0. Em todosos casos, concluímos que se a · b > 0, então (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 eb < 0).
(⇐) Se a > 0 e b > 0, então a · b > 0 por (O2). Se a < 0 e b < 0, então−a > 0 e −b > 0. Logo (−a) · (−b) > 0 por (O2). Mas, (−a) · (−b) = a ·bpor [PA15]. Assim, a · b > 0. Desta maneira, mostramos então que se(a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0), então a · b > 0.
Aula 8 Matemática Básica 204
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[PO12]: Parte 1
∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).
Demonstração.(⇒) Se a · b > 0, então a 6= 0, pois, caso contrário, a · b = 0 · b = 0, umacontradição. Assim, ou a > 0 ou a < 0. Se a > 0, então 1/a > 0 por[PO08]. Por (O2), (1/a)·(a·b) > 0. Mas (1/a)·(a·b) = (1/a·a)·b = 1·b =b por (C3), [PA08] e [PA04]. Logo b > 0. Assim, a > 0 e b > 0. Se a < 0,então 1/a < 0 por [PO08]. Logo−(1/a) > 0. Por (O2), −(1/a)·(a·b) > 0.Mas − (1/a) · (a · b) = −(1/a · a) · b = −1 · b = −b por (C3), [PA08] e[PA13]. Logo −b > 0 e, portanto, b < 0. Assim, a < 0 e b < 0. Em todosos casos, concluímos que se a · b > 0, então (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 eb < 0).
(⇐) Se a > 0 e b > 0, então a · b > 0 por (O2). Se a < 0 e b < 0, então−a > 0 e −b > 0. Logo (−a) · (−b) > 0 por (O2). Mas, (−a) · (−b) = a ·bpor [PA15]. Assim, a · b > 0. Desta maneira, mostramos então que se(a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0), então a · b > 0.
Aula 8 Matemática Básica 205
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[PO12]: Parte 1
∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).
Demonstração.(⇒) Se a · b > 0, então a 6= 0, pois, caso contrário, a · b = 0 · b = 0, umacontradição. Assim, ou a > 0 ou a < 0. Se a > 0, então 1/a > 0 por[PO08]. Por (O2), (1/a)·(a·b) > 0. Mas (1/a)·(a·b) = (1/a·a)·b = 1·b =b por (C3), [PA08] e [PA04]. Logo b > 0. Assim, a > 0 e b > 0. Se a < 0,então 1/a < 0 por [PO08]. Logo−(1/a) > 0. Por (O2), −(1/a)·(a·b) > 0.Mas − (1/a) · (a · b) = −(1/a · a) · b = −1 · b = −b por (C3), [PA08] e[PA13]. Logo −b > 0 e, portanto, b < 0. Assim, a < 0 e b < 0. Em todosos casos, concluímos que se a · b > 0, então (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 eb < 0).
(⇐) Se a > 0 e b > 0, então a · b > 0 por (O2). Se a < 0 e b < 0, então−a > 0 e −b > 0. Logo (−a) · (−b) > 0 por (O2). Mas, (−a) · (−b) = a ·bpor [PA15]. Assim, a · b > 0. Desta maneira, mostramos então que se(a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0), então a · b > 0.
Aula 8 Matemática Básica 206
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[PO12]: Parte 1
∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).
Demonstração.(⇒) Se a · b > 0, então a 6= 0, pois, caso contrário, a · b = 0 · b = 0, umacontradição. Assim, ou a > 0 ou a < 0. Se a > 0, então 1/a > 0 por[PO08]. Por (O2), (1/a)·(a·b) > 0. Mas (1/a)·(a·b) = (1/a·a)·b = 1·b =b por (C3), [PA08] e [PA04]. Logo b > 0. Assim, a > 0 e b > 0. Se a < 0,então 1/a < 0 por [PO08]. Logo−(1/a) > 0. Por (O2), −(1/a)·(a·b) > 0.Mas − (1/a) · (a · b) = −(1/a · a) · b = −1 · b = −b por (C3), [PA08] e[PA13]. Logo −b > 0 e, portanto, b < 0. Assim, a < 0 e b < 0. Em todosos casos, concluímos que se a · b > 0, então (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 eb < 0).
(⇐) Se a > 0 e b > 0, então a · b > 0 por (O2). Se a < 0 e b < 0, então−a > 0 e −b > 0. Logo (−a) · (−b) > 0 por (O2). Mas, (−a) · (−b) = a ·bpor [PA15]. Assim, a · b > 0. Desta maneira, mostramos então que se(a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0), então a · b > 0.
Aula 8 Matemática Básica 207
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[PO12]: Parte 1
∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).
Demonstração.(⇒) Se a · b > 0, então a 6= 0, pois, caso contrário, a · b = 0 · b = 0, umacontradição. Assim, ou a > 0 ou a < 0. Se a > 0, então 1/a > 0 por[PO08]. Por (O2), (1/a)·(a·b) > 0. Mas (1/a)·(a·b) = (1/a·a)·b = 1·b =b por (C3), [PA08] e [PA04]. Logo b > 0. Assim, a > 0 e b > 0. Se a < 0,então 1/a < 0 por [PO08]. Logo−(1/a) > 0. Por (O2), −(1/a)·(a·b) > 0.Mas − (1/a) · (a · b) = −(1/a · a) · b = −1 · b = −b por (C3), [PA08] e[PA13]. Logo −b > 0 e, portanto, b < 0. Assim, a < 0 e b < 0. Em todosos casos, concluímos que se a · b > 0, então (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 eb < 0).
(⇐) Se a > 0 e b > 0, então a · b > 0 por (O2). Se a < 0 e b < 0, então−a > 0 e −b > 0. Logo (−a) · (−b) > 0 por (O2). Mas, (−a) · (−b) = a ·bpor [PA15]. Assim, a · b > 0. Desta maneira, mostramos então que se(a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0), então a · b > 0.
Aula 8 Matemática Básica 208
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[PO12]: Parte 1
∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).
Demonstração.(⇒) Se a · b > 0, então a 6= 0, pois, caso contrário, a · b = 0 · b = 0, umacontradição. Assim, ou a > 0 ou a < 0. Se a > 0, então 1/a > 0 por[PO08]. Por (O2), (1/a)·(a·b) > 0. Mas (1/a)·(a·b) = (1/a·a)·b = 1·b =b por (C3), [PA08] e [PA04]. Logo b > 0. Assim, a > 0 e b > 0. Se a < 0,então 1/a < 0 por [PO08]. Logo−(1/a) > 0. Por (O2), −(1/a)·(a·b) > 0.Mas − (1/a) · (a · b) = −(1/a · a) · b = −1 · b = −b por (C3), [PA08] e[PA13]. Logo −b > 0 e, portanto, b < 0. Assim, a < 0 e b < 0. Em todosos casos, concluímos que se a · b > 0, então (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 eb < 0).
(⇐) Se a > 0 e b > 0, então a · b > 0 por (O2). Se a < 0 e b < 0, então−a > 0 e −b > 0. Logo (−a) · (−b) > 0 por (O2). Mas, (−a) · (−b) = a ·bpor [PA15]. Assim, a · b > 0. Desta maneira, mostramos então que se(a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0), então a · b > 0.
Aula 8 Matemática Básica 209
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[PO12]: Parte 1
∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).
Demonstração.(⇒) Se a · b > 0, então a 6= 0, pois, caso contrário, a · b = 0 · b = 0, umacontradição. Assim, ou a > 0 ou a < 0. Se a > 0, então 1/a > 0 por[PO08]. Por (O2), (1/a)·(a·b) > 0. Mas (1/a)·(a·b) = (1/a·a)·b = 1·b =b por (C3), [PA08] e [PA04]. Logo b > 0. Assim, a > 0 e b > 0. Se a < 0,então 1/a < 0 por [PO08]. Logo−(1/a) > 0. Por (O2), −(1/a)·(a·b) > 0.Mas − (1/a) · (a · b) = −(1/a · a) · b = −1 · b = −b por (C3), [PA08] e[PA13]. Logo −b > 0 e, portanto, b < 0. Assim, a < 0 e b < 0. Em todosos casos, concluímos que se a · b > 0, então (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 eb < 0).
(⇐) Se a > 0 e b > 0, então a · b > 0 por (O2). Se a < 0 e b < 0, então−a > 0 e −b > 0. Logo (−a) · (−b) > 0 por (O2). Mas, (−a) · (−b) = a ·bpor [PA15]. Assim, a · b > 0. Desta maneira, mostramos então que se(a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0), então a · b > 0.
Aula 8 Matemática Básica 210
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[PO12]: Parte 1
∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).
Demonstração.(⇒) Se a · b > 0, então a 6= 0, pois, caso contrário, a · b = 0 · b = 0, umacontradição. Assim, ou a > 0 ou a < 0. Se a > 0, então 1/a > 0 por[PO08]. Por (O2), (1/a)·(a·b) > 0. Mas (1/a)·(a·b) = (1/a·a)·b = 1·b =b por (C3), [PA08] e [PA04]. Logo b > 0. Assim, a > 0 e b > 0. Se a < 0,então 1/a < 0 por [PO08]. Logo−(1/a) > 0. Por (O2), −(1/a)·(a·b) > 0.Mas − (1/a) · (a · b) = −(1/a · a) · b = −1 · b = −b por (C3), [PA08] e[PA13]. Logo −b > 0 e, portanto, b < 0. Assim, a < 0 e b < 0. Em todosos casos, concluímos que se a · b > 0, então (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 eb < 0).
(⇐) Se a > 0 e b > 0, então a · b > 0 por (O2). Se a < 0 e b < 0, então−a > 0 e −b > 0. Logo (−a) · (−b) > 0 por (O2). Mas, (−a) · (−b) = a ·bpor [PA15]. Assim, a · b > 0. Desta maneira, mostramos então que se(a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0), então a · b > 0.
Aula 8 Matemática Básica 211
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[PO12]: Parte 1
∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).
Demonstração.(⇒) Se a · b > 0, então a 6= 0, pois, caso contrário, a · b = 0 · b = 0, umacontradição. Assim, ou a > 0 ou a < 0. Se a > 0, então 1/a > 0 por[PO08]. Por (O2), (1/a)·(a·b) > 0. Mas (1/a)·(a·b) = (1/a·a)·b = 1·b =b por (C3), [PA08] e [PA04]. Logo b > 0. Assim, a > 0 e b > 0. Se a < 0,então 1/a < 0 por [PO08]. Logo−(1/a) > 0. Por (O2), −(1/a)·(a·b) > 0.Mas − (1/a) · (a · b) = −(1/a · a) · b = −1 · b = −b por (C3), [PA08] e[PA13]. Logo −b > 0 e, portanto, b < 0. Assim, a < 0 e b < 0. Em todosos casos, concluímos que se a · b > 0, então (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 eb < 0).
(⇐) Se a > 0 e b > 0, então a · b > 0 por (O2). Se a < 0 e b < 0, então−a > 0 e −b > 0. Logo (−a) · (−b) > 0 por (O2). Mas, (−a) · (−b) = a ·bpor [PA15]. Assim, a · b > 0. Desta maneira, mostramos então que se(a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0), então a · b > 0.
Aula 8 Matemática Básica 212
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[PO12]: Parte 1
∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).
Demonstração.(⇒) Se a · b > 0, então a 6= 0, pois, caso contrário, a · b = 0 · b = 0, umacontradição. Assim, ou a > 0 ou a < 0. Se a > 0, então 1/a > 0 por[PO08]. Por (O2), (1/a)·(a·b) > 0. Mas (1/a)·(a·b) = (1/a·a)·b = 1·b =b por (C3), [PA08] e [PA04]. Logo b > 0. Assim, a > 0 e b > 0. Se a < 0,então 1/a < 0 por [PO08]. Logo−(1/a) > 0. Por (O2), −(1/a)·(a·b) > 0.Mas − (1/a) · (a · b) = −(1/a · a) · b = −1 · b = −b por (C3), [PA08] e[PA13]. Logo −b > 0 e, portanto, b < 0. Assim, a < 0 e b < 0. Em todosos casos, concluímos que se a · b > 0, então (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 eb < 0).
(⇐) Se a > 0 e b > 0, então a · b > 0 por (O2). Se a < 0 e b < 0, então−a > 0 e −b > 0. Logo (−a) · (−b) > 0 por (O2). Mas, (−a) · (−b) = a ·bpor [PA15]. Assim, a · b > 0. Desta maneira, mostramos então que se(a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0), então a · b > 0.
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[PO12]: Parte 1
∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).
Demonstração.(⇒) Se a · b > 0, então a 6= 0, pois, caso contrário, a · b = 0 · b = 0, umacontradição. Assim, ou a > 0 ou a < 0. Se a > 0, então 1/a > 0 por[PO08]. Por (O2), (1/a)·(a·b) > 0. Mas (1/a)·(a·b) = (1/a·a)·b = 1·b =b por (C3), [PA08] e [PA04]. Logo b > 0. Assim, a > 0 e b > 0. Se a < 0,então 1/a < 0 por [PO08]. Logo−(1/a) > 0. Por (O2), −(1/a)·(a·b) > 0.Mas − (1/a) · (a · b) = −(1/a · a) · b = −1 · b = −b por (C3), [PA08] e[PA13]. Logo −b > 0 e, portanto, b < 0. Assim, a < 0 e b < 0. Em todosos casos, concluímos que se a · b > 0, então (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 eb < 0).
(⇐) Se a > 0 e b > 0, então a · b > 0 por (O2). Se a < 0 e b < 0, então−a > 0 e −b > 0. Logo (−a) · (−b) > 0 por (O2). Mas, (−a) · (−b) = a ·bpor [PA15]. Assim, a · b > 0. Desta maneira, mostramos então que se(a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0), então a · b > 0.
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[PO12]: Parte 1
∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).
Demonstração.(⇒) Se a · b > 0, então a 6= 0, pois, caso contrário, a · b = 0 · b = 0, umacontradição. Assim, ou a > 0 ou a < 0. Se a > 0, então 1/a > 0 por[PO08]. Por (O2), (1/a)·(a·b) > 0. Mas (1/a)·(a·b) = (1/a·a)·b = 1·b =b por (C3), [PA08] e [PA04]. Logo b > 0. Assim, a > 0 e b > 0. Se a < 0,então 1/a < 0 por [PO08]. Logo−(1/a) > 0. Por (O2), −(1/a)·(a·b) > 0.Mas − (1/a) · (a · b) = −(1/a · a) · b = −1 · b = −b por (C3), [PA08] e[PA13]. Logo −b > 0 e, portanto, b < 0. Assim, a < 0 e b < 0. Em todosos casos, concluímos que se a · b > 0, então (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 eb < 0).
(⇐) Se a > 0 e b > 0, então a · b > 0 por (O2). Se a < 0 e b < 0, então−a > 0 e −b > 0. Logo (−a) · (−b) > 0 por (O2). Mas, (−a) · (−b) = a ·bpor [PA15]. Assim, a · b > 0. Desta maneira, mostramos então que se(a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0), então a · b > 0.
Aula 8 Matemática Básica 215
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[PO12]: Parte 2
∀a,b ∈ R, a · b < 0⇔ (a > 0 e b < 0) ou (a < 0 e b > 0).
Demonstração. Exercício.
Aula 8 Matemática Básica 216
![Page 217: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/217.jpg)
[PO12]: Parte 2
∀a,b ∈ R, a · b < 0⇔ (a > 0 e b < 0) ou (a < 0 e b > 0).
Demonstração. Exercício.
Aula 8 Matemática Básica 217
![Page 218: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/218.jpg)
[PO12]: Parte 2
∀a,b ∈ R, a · b < 0⇔ (a > 0 e b < 0) ou (a < 0 e b > 0).
Demonstração. Exercício.
Aula 8 Matemática Básica 218
![Page 219: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/219.jpg)
[PO13]
Se a ∈ R e a > 0, então a2 > 0.
Demonstração. Exercício. Sugestão: use que a2 = a · a e (O2).
Aula 8 Matemática Básica 219
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[PO13]
Se a ∈ R e a > 0, então a2 > 0.
Demonstração. Exercício. Sugestão: use que a2 = a · a e (O2).
Aula 8 Matemática Básica 220
![Page 221: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/221.jpg)
[PO13]
Se a ∈ R e a > 0, então a2 > 0.
Demonstração. Exercício. Sugestão: use que a2 = a · a e (O2).
Aula 8 Matemática Básica 221
![Page 222: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/222.jpg)
[PO13]
Se a ∈ R e a > 0, então a2 > 0.
Demonstração. Exercício. Sugestão: use que a2 = a · a e (O2).
Aula 8 Matemática Básica 222
![Page 223: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/223.jpg)
[PO14]
A sentença “se a ∈ R e a2 > 0, então a > 0” é falsa!
Demonstração. Exercício. Sugestão: apresente um contraexemplo paraa sentença.
Aula 8 Matemática Básica 223
![Page 224: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/224.jpg)
[PO14]
A sentença “se a ∈ R e a2 > 0, então a > 0” é falsa!
Demonstração. Exercício. Sugestão: apresente um contraexemplo paraa sentença.
Aula 8 Matemática Básica 224
![Page 225: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/225.jpg)
[PO14]
A sentença “se a ∈ R e a2 > 0, então a > 0” é falsa!
Demonstração. Exercício. Sugestão: apresente um contraexemplo paraa sentença.
Aula 8 Matemática Básica 225
![Page 226: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/226.jpg)
[PO14]
A sentença “se a ∈ R e a2 > 0, então a > 0” é falsa!
Demonstração. Exercício. Sugestão: apresente um contraexemplo paraa sentença.
Aula 8 Matemática Básica 226
![Page 227: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/227.jpg)
[PO15]
Se a ∈ R e a < 0, então a2 > 0.
Demonstração. Exercício. Sugestão: use que a2 = a · a = (−a) · (−a) =(−a)2, [PO11] e (O2).
Aula 8 Matemática Básica 227
![Page 228: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/228.jpg)
[PO15]
Se a ∈ R e a < 0, então a2 > 0.
Demonstração. Exercício. Sugestão: use que a2 = a · a = (−a) · (−a) =(−a)2, [PO11] e (O2).
Aula 8 Matemática Básica 228
![Page 229: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/229.jpg)
[PO15]
Se a ∈ R e a < 0, então a2 > 0.
Demonstração. Exercício. Sugestão: use que a2 = a · a = (−a) · (−a) =(−a)2, [PO11] e (O2).
Aula 8 Matemática Básica 229
![Page 230: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/230.jpg)
[PO15]
Se a ∈ R e a < 0, então a2 > 0.
Demonstração. Exercício. Sugestão: use que a2 = a · a = (−a) · (−a) =(−a)2, [PO11] e (O2).
Aula 8 Matemática Básica 230
![Page 231: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/231.jpg)
[PO16]
a 6= 0⇔ a2 > 0.
Demonstração. Exercício. Sugestão: para a 6= 0, separe nos dois casospossíveis: a > 0 e a < 0.
Aula 8 Matemática Básica 231
![Page 232: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/232.jpg)
[PO16]
a 6= 0⇔ a2 > 0.
Demonstração. Exercício. Sugestão: para a 6= 0, separe nos dois casospossíveis: a > 0 e a < 0.
Aula 8 Matemática Básica 232
![Page 233: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/233.jpg)
[PO16]
a 6= 0⇔ a2 > 0.
Demonstração. Exercício. Sugestão: para a 6= 0, separe nos dois casospossíveis: a > 0 e a < 0.
Aula 8 Matemática Básica 233
![Page 234: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/234.jpg)
[PO16]
a 6= 0⇔ a2 > 0.
Demonstração. Exercício. Sugestão: para a 6= 0, separe nos dois casospossíveis: a > 0 e a < 0.
Aula 8 Matemática Básica 234
![Page 235: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/235.jpg)
[PO17]
(i) a > 0⇔ a3 > 0, (ii) a < 0⇔ a3 < 0.
Demonstração. Exercício. Sugestão: use que a3 = a2 · a e aspropriedades e os axiomas anteriores.
Aula 8 Matemática Básica 235
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[PO17]
(i) a > 0⇔ a3 > 0, (ii) a < 0⇔ a3 < 0.
Demonstração. Exercício. Sugestão: use que a3 = a2 · a e aspropriedades e os axiomas anteriores.
Aula 8 Matemática Básica 236
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[PO17]
(i) a > 0⇔ a3 > 0, (ii) a < 0⇔ a3 < 0.
Demonstração. Exercício. Sugestão: use que a3 = a2 · a e aspropriedades e os axiomas anteriores.
Aula 8 Matemática Básica 237
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[PO17]
(i) a > 0⇔ a3 > 0, (ii) a < 0⇔ a3 < 0.
Demonstração. Exercício. Sugestão: use que a3 = a2 · a e aspropriedades e os axiomas anteriores.
Aula 8 Matemática Básica 238
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Observações
A notação a ≥ b indica que a = b ou a > b. Ela deve ser lidada seguinte maneira: a é maior do que ou igual a b. Sãoverdadeiras as afirmações 3 ≥ 3 e 7 ≥ 5.
A notação a ≤ b indica que a = b ou a < b. Ela deve serlida da seguinte maneira: a é menor do que ou igual a b. Sãoverdadeiras as afirmações 3 ≤ 3 e 5 ≤ 7.
Todas as propriedades enunciadas anteriormente continuamverdadeiras se trocarmos “>” por “≥” e/ou “<” por “≤”.
Alguns autores usam o símbolo R+ para indicar os reais não-negativos e o símbolo R+
∗ para indicar os reais positivos.
O conjunto dos números racionais (Q) munido com asoperações usuais de adição e multiplicação também é exemplode um corpo ordenado.
Aula 8 Matemática Básica 239
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Observações
A notação a ≥ b indica que a = b ou a > b. Ela deve ser lidada seguinte maneira: a é maior do que ou igual a b. Sãoverdadeiras as afirmações 3 ≥ 3 e 7 ≥ 5.
A notação a ≤ b indica que a = b ou a < b. Ela deve serlida da seguinte maneira: a é menor do que ou igual a b. Sãoverdadeiras as afirmações 3 ≤ 3 e 5 ≤ 7.
Todas as propriedades enunciadas anteriormente continuamverdadeiras se trocarmos “>” por “≥” e/ou “<” por “≤”.
Alguns autores usam o símbolo R+ para indicar os reais não-negativos e o símbolo R+
∗ para indicar os reais positivos.
O conjunto dos números racionais (Q) munido com asoperações usuais de adição e multiplicação também é exemplode um corpo ordenado.
Aula 8 Matemática Básica 240
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Observações
A notação a ≥ b indica que a = b ou a > b. Ela deve ser lidada seguinte maneira: a é maior do que ou igual a b. Sãoverdadeiras as afirmações 3 ≥ 3 e 7 ≥ 5.
A notação a ≤ b indica que a = b ou a < b. Ela deve serlida da seguinte maneira: a é menor do que ou igual a b. Sãoverdadeiras as afirmações 3 ≤ 3 e 5 ≤ 7.
Todas as propriedades enunciadas anteriormente continuamverdadeiras se trocarmos “>” por “≥” e/ou “<” por “≤”.
Alguns autores usam o símbolo R+ para indicar os reais não-negativos e o símbolo R+
∗ para indicar os reais positivos.
O conjunto dos números racionais (Q) munido com asoperações usuais de adição e multiplicação também é exemplode um corpo ordenado.
Aula 8 Matemática Básica 241
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Observações
A notação a ≥ b indica que a = b ou a > b. Ela deve ser lidada seguinte maneira: a é maior do que ou igual a b. Sãoverdadeiras as afirmações 3 ≥ 3 e 7 ≥ 5.
A notação a ≤ b indica que a = b ou a < b. Ela deve serlida da seguinte maneira: a é menor do que ou igual a b. Sãoverdadeiras as afirmações 3 ≤ 3 e 5 ≤ 7.
Todas as propriedades enunciadas anteriormente continuamverdadeiras se trocarmos “>” por “≥” e/ou “<” por “≤”.
Alguns autores usam o símbolo R+ para indicar os reais não-negativos e o símbolo R+
∗ para indicar os reais positivos.
O conjunto dos números racionais (Q) munido com asoperações usuais de adição e multiplicação também é exemplode um corpo ordenado.
Aula 8 Matemática Básica 242
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Observações
A notação a ≥ b indica que a = b ou a > b. Ela deve ser lidada seguinte maneira: a é maior do que ou igual a b. Sãoverdadeiras as afirmações 3 ≥ 3 e 7 ≥ 5.
A notação a ≤ b indica que a = b ou a < b. Ela deve serlida da seguinte maneira: a é menor do que ou igual a b. Sãoverdadeiras as afirmações 3 ≤ 3 e 5 ≤ 7.
Todas as propriedades enunciadas anteriormente continuamverdadeiras se trocarmos “>” por “≥” e/ou “<” por “≤”.
Alguns autores usam o símbolo R+ para indicar os reais não-negativos e o símbolo R+
∗ para indicar os reais positivos.
O conjunto dos números racionais (Q) munido com asoperações usuais de adição e multiplicação também é exemplode um corpo ordenado.
Aula 8 Matemática Básica 243
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Observações
A notação a ≥ b indica que a = b ou a > b. Ela deve ser lidada seguinte maneira: a é maior do que ou igual a b. Sãoverdadeiras as afirmações 3 ≥ 3 e 7 ≥ 5.
A notação a ≤ b indica que a = b ou a < b. Ela deve serlida da seguinte maneira: a é menor do que ou igual a b. Sãoverdadeiras as afirmações 3 ≤ 3 e 5 ≤ 7.
Todas as propriedades enunciadas anteriormente continuamverdadeiras se trocarmos “>” por “≥” e/ou “<” por “≤”.
Alguns autores usam o símbolo R+ para indicar os reais não-negativos e o símbolo R+
∗ para indicar os reais positivos.
O conjunto dos números racionais (Q) munido com asoperações usuais de adição e multiplicação também é exemplode um corpo ordenado.
Aula 8 Matemática Básica 244
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Observações
A notação a ≥ b indica que a = b ou a > b. Ela deve ser lidada seguinte maneira: a é maior do que ou igual a b. Sãoverdadeiras as afirmações 3 ≥ 3 e 7 ≥ 5.
A notação a ≤ b indica que a = b ou a < b. Ela deve serlida da seguinte maneira: a é menor do que ou igual a b. Sãoverdadeiras as afirmações 3 ≤ 3 e 5 ≤ 7.
Todas as propriedades enunciadas anteriormente continuamverdadeiras se trocarmos “>” por “≥” e/ou “<” por “≤”.
Alguns autores usam o símbolo R+ para indicar os reais não-negativos e o símbolo R+
∗ para indicar os reais positivos.
O conjunto dos números racionais (Q) munido com asoperações usuais de adição e multiplicação também é exemplode um corpo ordenado.
Aula 8 Matemática Básica 245
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Observações
A notação a ≥ b indica que a = b ou a > b. Ela deve ser lidada seguinte maneira: a é maior do que ou igual a b. Sãoverdadeiras as afirmações 3 ≥ 3 e 7 ≥ 5.
A notação a ≤ b indica que a = b ou a < b. Ela deve serlida da seguinte maneira: a é menor do que ou igual a b. Sãoverdadeiras as afirmações 3 ≤ 3 e 5 ≤ 7.
Todas as propriedades enunciadas anteriormente continuamverdadeiras se trocarmos “>” por “≥” e/ou “<” por “≤”.
Alguns autores usam o símbolo R+ para indicar os reais não-negativos e o símbolo R+
∗ para indicar os reais positivos.
O conjunto dos números racionais (Q) munido com asoperações usuais de adição e multiplicação também é exemplode um corpo ordenado.
Aula 8 Matemática Básica 246
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Observações
O conjunto dos números complexos (C) munido com asoperações usuais de adição e multiplicação não pode serordenado com uma estrutura compatível com a ordenaçãode R.
De fato: i não satisfaz o princípio da tricotomia. Certamentei 6= 0. O número i não é maior do que 0, pois
i > 0 ⇒ i · i > i · 0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).
O número i não é menor do que 0, pois se i < 0, então −i > 0e, portanto,
−i > 0 ⇒ (−i)·(−i) > (−i)·0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).
Aula 8 Matemática Básica 247
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Observações
O conjunto dos números complexos (C) munido com asoperações usuais de adição e multiplicação não pode serordenado com uma estrutura compatível com a ordenaçãode R.
De fato: i não satisfaz o princípio da tricotomia. Certamentei 6= 0. O número i não é maior do que 0, pois
i > 0 ⇒ i · i > i · 0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).
O número i não é menor do que 0, pois se i < 0, então −i > 0e, portanto,
−i > 0 ⇒ (−i)·(−i) > (−i)·0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).
Aula 8 Matemática Básica 248
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Observações
O conjunto dos números complexos (C) munido com asoperações usuais de adição e multiplicação não pode serordenado com uma estrutura compatível com a ordenaçãode R.
De fato: i não satisfaz o princípio da tricotomia. Certamentei 6= 0. O número i não é maior do que 0, pois
i > 0 ⇒ i · i > i · 0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).
O número i não é menor do que 0, pois se i < 0, então −i > 0e, portanto,
−i > 0 ⇒ (−i)·(−i) > (−i)·0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).
Aula 8 Matemática Básica 249
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Observações
O conjunto dos números complexos (C) munido com asoperações usuais de adição e multiplicação não pode serordenado com uma estrutura compatível com a ordenaçãode R.
De fato: i não satisfaz o princípio da tricotomia. Certamentei 6= 0. O número i não é maior do que 0, pois
i > 0 ⇒ i · i > i · 0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).
O número i não é menor do que 0, pois se i < 0, então −i > 0e, portanto,
−i > 0 ⇒ (−i)·(−i) > (−i)·0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).
Aula 8 Matemática Básica 250
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Observações
O conjunto dos números complexos (C) munido com asoperações usuais de adição e multiplicação não pode serordenado com uma estrutura compatível com a ordenaçãode R.
De fato: i não satisfaz o princípio da tricotomia. Certamentei 6= 0. O número i não é maior do que 0, pois
i > 0 ⇒ i · i > i · 0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).
O número i não é menor do que 0, pois se i < 0, então −i > 0e, portanto,
−i > 0 ⇒ (−i)·(−i) > (−i)·0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).
Aula 8 Matemática Básica 251
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Observações
O conjunto dos números complexos (C) munido com asoperações usuais de adição e multiplicação não pode serordenado com uma estrutura compatível com a ordenaçãode R.
De fato: i não satisfaz o princípio da tricotomia. Certamentei 6= 0. O número i não é maior do que 0, pois
i > 0 ⇒ i · i > i · 0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).
O número i não é menor do que 0, pois se i < 0, então −i > 0e, portanto,
−i > 0 ⇒ (−i)·(−i) > (−i)·0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).
Aula 8 Matemática Básica 252
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Observações
O conjunto dos números complexos (C) munido com asoperações usuais de adição e multiplicação não pode serordenado com uma estrutura compatível com a ordenaçãode R.
De fato: i não satisfaz o princípio da tricotomia. Certamentei 6= 0. O número i não é maior do que 0, pois
i > 0 ⇒ i · i > i · 0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).
O número i não é menor do que 0, pois se i < 0, então −i > 0e, portanto,
−i > 0 ⇒ (−i)·(−i) > (−i)·0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).
Aula 8 Matemática Básica 253
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Observações
O conjunto dos números complexos (C) munido com asoperações usuais de adição e multiplicação não pode serordenado com uma estrutura compatível com a ordenaçãode R.
De fato: i não satisfaz o princípio da tricotomia. Certamentei 6= 0. O número i não é maior do que 0, pois
i > 0 ⇒ i · i > i · 0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).
O número i não é menor do que 0, pois se i < 0, então −i > 0e, portanto,
−i > 0 ⇒ (−i)·(−i) > (−i)·0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).
Aula 8 Matemática Básica 254
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Observações
O conjunto dos números complexos (C) munido com asoperações usuais de adição e multiplicação não pode serordenado com uma estrutura compatível com a ordenaçãode R.
De fato: i não satisfaz o princípio da tricotomia. Certamentei 6= 0. O número i não é maior do que 0, pois
i > 0 ⇒ i · i > i · 0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).
O número i não é menor do que 0, pois se i < 0, então −i > 0e, portanto,
−i > 0 ⇒ (−i)·(−i) > (−i)·0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).
Aula 8 Matemática Básica 255
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Observações
O conjunto dos números complexos (C) munido com asoperações usuais de adição e multiplicação não pode serordenado com uma estrutura compatível com a ordenaçãode R.
De fato: i não satisfaz o princípio da tricotomia. Certamentei 6= 0. O número i não é maior do que 0, pois
i > 0 ⇒ i · i > i · 0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).
O número i não é menor do que 0, pois se i < 0, então −i > 0e, portanto,
−i > 0 ⇒ (−i)·(−i) > (−i)·0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).
Aula 8 Matemática Básica 256
![Page 257: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/257.jpg)
Observações
O conjunto dos números complexos (C) munido com asoperações usuais de adição e multiplicação não pode serordenado com uma estrutura compatível com a ordenaçãode R.
De fato: i não satisfaz o princípio da tricotomia. Certamentei 6= 0. O número i não é maior do que 0, pois
i > 0 ⇒ i · i > i · 0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).
O número i não é menor do que 0, pois se i < 0, então −i > 0e, portanto,
−i > 0 ⇒ (−i)·(−i) > (−i)·0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).
Aula 8 Matemática Básica 257
![Page 258: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/258.jpg)
Observações
O conjunto dos números complexos (C) munido com asoperações usuais de adição e multiplicação não pode serordenado com uma estrutura compatível com a ordenaçãode R.
De fato: i não satisfaz o princípio da tricotomia. Certamentei 6= 0. O número i não é maior do que 0, pois
i > 0 ⇒ i · i > i · 0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).
O número i não é menor do que 0, pois se i < 0, então −i > 0e, portanto,
−i > 0 ⇒ (−i)·(−i) > (−i)·0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).
Aula 8 Matemática Básica 258
![Page 259: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/259.jpg)
Observações
O conjunto dos números complexos (C) munido com asoperações usuais de adição e multiplicação não pode serordenado com uma estrutura compatível com a ordenaçãode R.
De fato: i não satisfaz o princípio da tricotomia. Certamentei 6= 0. O número i não é maior do que 0, pois
i > 0 ⇒ i · i > i · 0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).
O número i não é menor do que 0, pois se i < 0, então −i > 0e, portanto,
−i > 0 ⇒ (−i)·(−i) > (−i)·0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).
Aula 8 Matemática Básica 259
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Observações
O conjunto dos números complexos (C) munido com asoperações usuais de adição e multiplicação não pode serordenado com uma estrutura compatível com a ordenaçãode R.
De fato: i não satisfaz o princípio da tricotomia. Certamentei 6= 0. O número i não é maior do que 0, pois
i > 0 ⇒ i · i > i · 0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).
O número i não é menor do que 0, pois se i < 0, então −i > 0e, portanto,
−i > 0 ⇒ (−i)·(−i) > (−i)·0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).
Aula 8 Matemática Básica 260
![Page 261: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/261.jpg)
Observações
O conjunto dos números complexos (C) munido com asoperações usuais de adição e multiplicação não pode serordenado com uma estrutura compatível com a ordenaçãode R.
De fato: i não satisfaz o princípio da tricotomia. Certamentei 6= 0. O número i não é maior do que 0, pois
i > 0 ⇒ i · i > i · 0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).
O número i não é menor do que 0, pois se i < 0, então −i > 0e, portanto,
−i > 0 ⇒ (−i)·(−i) > (−i)·0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).
Aula 8 Matemática Básica 261
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Observações
O conjunto dos números complexos (C) munido com asoperações usuais de adição e multiplicação não pode serordenado com uma estrutura compatível com a ordenaçãode R.
De fato: i não satisfaz o princípio da tricotomia. Certamentei 6= 0. O número i não é maior do que 0, pois
i > 0 ⇒ i · i > i · 0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).
O número i não é menor do que 0, pois se i < 0, então −i > 0e, portanto,
−i > 0 ⇒ (−i)·(−i) > (−i)·0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).
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Observações
O conjunto dos números complexos (C) munido com asoperações usuais de adição e multiplicação não pode serordenado com uma estrutura compatível com a ordenaçãode R.
De fato: i não satisfaz o princípio da tricotomia. Certamentei 6= 0. O número i não é maior do que 0, pois
i > 0 ⇒ i · i > i · 0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).
O número i não é menor do que 0, pois se i < 0, então −i > 0e, portanto,
−i > 0 ⇒ (−i)·(−i) > (−i)·0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).
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Resolvendo inequações. . .
2 · x − 4 > 0
[PO07]
⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 0 + 4
[PA03]
⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 4
(C3)
⇐⇒ 2 · x + (−4 + 4) > 4
[PA07]
⇐⇒ 2 · x + 0 > 4
(C5)
⇐⇒ 2 · x > 4
[PO09]
⇐⇒ 12· (2 · x) > 1
2· 4
(C3)
⇐⇒(
12· 2
)· x >
12· 4
[PA08]
⇐⇒ 1 · x >12· 4
[PA04]
⇐⇒ x >12· 4 = 2
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Resolvendo inequações. . .
2 · x − 4 > 0
[PO07]
⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 0 + 4
[PA03]
⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 4
(C3)
⇐⇒ 2 · x + (−4 + 4) > 4
[PA07]
⇐⇒ 2 · x + 0 > 4
(C5)
⇐⇒ 2 · x > 4
[PO09]
⇐⇒ 12· (2 · x) > 1
2· 4
(C3)
⇐⇒(
12· 2
)· x >
12· 4
[PA08]
⇐⇒ 1 · x >12· 4
[PA04]
⇐⇒ x >12· 4 = 2
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Resolvendo inequações. . .
2 · x − 4 > 0
[PO07]
⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 0 + 4
[PA03]
⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 4
(C3)
⇐⇒ 2 · x + (−4 + 4) > 4
[PA07]
⇐⇒ 2 · x + 0 > 4
(C5)
⇐⇒ 2 · x > 4
[PO09]
⇐⇒ 12· (2 · x) > 1
2· 4
(C3)
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12· 2
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[PA08]
⇐⇒ 1 · x >12· 4
[PA04]
⇐⇒ x >12· 4 = 2
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Resolvendo inequações. . .
2 · x − 4 > 0[PO07]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 0 + 4
[PA03]
⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 4
(C3)
⇐⇒ 2 · x + (−4 + 4) > 4
[PA07]
⇐⇒ 2 · x + 0 > 4
(C5)
⇐⇒ 2 · x > 4
[PO09]
⇐⇒ 12· (2 · x) > 1
2· 4
(C3)
⇐⇒(
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[PA08]
⇐⇒ 1 · x >12· 4
[PA04]
⇐⇒ x >12· 4 = 2
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Resolvendo inequações. . .
2 · x − 4 > 0[PO07]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 0 + 4
[PA03]
⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 4
(C3)
⇐⇒ 2 · x + (−4 + 4) > 4
[PA07]
⇐⇒ 2 · x + 0 > 4
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⇐⇒ 2 · x > 4
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⇐⇒ 12· (2 · x) > 1
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[PA08]
⇐⇒ 1 · x >12· 4
[PA04]
⇐⇒ x >12· 4 = 2
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Resolvendo inequações. . .
2 · x − 4 > 0[PO07]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 0 + 4
[PA03]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 4
(C3)
⇐⇒ 2 · x + (−4 + 4) > 4
[PA07]
⇐⇒ 2 · x + 0 > 4
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⇐⇒ 2 · x > 4
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⇐⇒ 1 · x >12· 4
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⇐⇒ x >12· 4 = 2
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Resolvendo inequações. . .
2 · x − 4 > 0[PO07]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 0 + 4
[PA03]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 4
(C3)
⇐⇒ 2 · x + (−4 + 4) > 4
[PA07]
⇐⇒ 2 · x + 0 > 4
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⇐⇒ 2 · x > 4
[PO09]
⇐⇒ 12· (2 · x) > 1
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(C3)
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⇐⇒ 1 · x >12· 4
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⇐⇒ x >12· 4 = 2
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Resolvendo inequações. . .
2 · x − 4 > 0[PO07]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 0 + 4
[PA03]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 4
(C3)⇐⇒ 2 · x + (−4 + 4) > 4
[PA07]
⇐⇒ 2 · x + 0 > 4
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⇐⇒ 12· (2 · x) > 1
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⇐⇒ 1 · x >12· 4
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⇐⇒ x >12· 4 = 2
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Resolvendo inequações. . .
2 · x − 4 > 0[PO07]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 0 + 4
[PA03]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 4
(C3)⇐⇒ 2 · x + (−4 + 4) > 4
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⇐⇒ 2 · x > 4
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⇐⇒ 1 · x >12· 4
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⇐⇒ x >12· 4 = 2
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Resolvendo inequações. . .
2 · x − 4 > 0[PO07]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 0 + 4
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(C3)⇐⇒ 2 · x + (−4 + 4) > 4
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⇐⇒ 12· (2 · x) > 1
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⇐⇒ 1 · x >12· 4
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Resolvendo inequações. . .
2 · x − 4 > 0[PO07]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 0 + 4
[PA03]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 4
(C3)⇐⇒ 2 · x + (−4 + 4) > 4
[PA07]⇐⇒ 2 · x + 0 > 4
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⇐⇒ 12· (2 · x) > 1
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⇐⇒ 1 · x >12· 4
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⇐⇒ x >12· 4 = 2
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Resolvendo inequações. . .
2 · x − 4 > 0[PO07]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 0 + 4
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(C3)⇐⇒ 2 · x + (−4 + 4) > 4
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⇐⇒ 1 · x >12· 4
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⇐⇒ x >12· 4 = 2
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Resolvendo inequações. . .
2 · x − 4 > 0[PO07]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 0 + 4
[PA03]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 4
(C3)⇐⇒ 2 · x + (−4 + 4) > 4
[PA07]⇐⇒ 2 · x + 0 > 4
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[PO09]
⇐⇒ 12· (2 · x) > 1
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[PA08]
⇐⇒ 1 · x >12· 4
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⇐⇒ x >12· 4 = 2
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Resolvendo inequações. . .
2 · x − 4 > 0[PO07]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 0 + 4
[PA03]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 4
(C3)⇐⇒ 2 · x + (−4 + 4) > 4
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[PO09]⇐⇒ 1
2· (2 · x) > 1
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⇐⇒ 1 · x >12· 4
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⇐⇒ x >12· 4 = 2
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Resolvendo inequações. . .
2 · x − 4 > 0[PO07]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 0 + 4
[PA03]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 4
(C3)⇐⇒ 2 · x + (−4 + 4) > 4
[PA07]⇐⇒ 2 · x + 0 > 4
(C5)⇐⇒ 2 · x > 4
[PO09]⇐⇒ 1
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[PA08]
⇐⇒ 1 · x >12· 4
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⇐⇒ x >12· 4 = 2
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Resolvendo inequações. . .
2 · x − 4 > 0[PO07]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 0 + 4
[PA03]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 4
(C3)⇐⇒ 2 · x + (−4 + 4) > 4
[PA07]⇐⇒ 2 · x + 0 > 4
(C5)⇐⇒ 2 · x > 4
[PO09]⇐⇒ 1
2· (2 · x) > 1
2· 4
(C3)⇐⇒
(12· 2
)· x >
12· 4
[PA08]
⇐⇒ 1 · x >12· 4
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⇐⇒ x >12· 4 = 2
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Resolvendo inequações. . .
2 · x − 4 > 0[PO07]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 0 + 4
[PA03]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 4
(C3)⇐⇒ 2 · x + (−4 + 4) > 4
[PA07]⇐⇒ 2 · x + 0 > 4
(C5)⇐⇒ 2 · x > 4
[PO09]⇐⇒ 1
2· (2 · x) > 1
2· 4
(C3)⇐⇒
(12· 2
)· x >
12· 4
[PA08]
⇐⇒ 1 · x >12· 4
[PA04]
⇐⇒ x >12· 4 = 2
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Resolvendo inequações. . .
2 · x − 4 > 0[PO07]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 0 + 4
[PA03]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 4
(C3)⇐⇒ 2 · x + (−4 + 4) > 4
[PA07]⇐⇒ 2 · x + 0 > 4
(C5)⇐⇒ 2 · x > 4
[PO09]⇐⇒ 1
2· (2 · x) > 1
2· 4
(C3)⇐⇒
(12· 2
)· x >
12· 4
[PA08]⇐⇒ 1 · x >
12· 4
[PA04]
⇐⇒ x >12· 4 = 2
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Resolvendo inequações. . .
2 · x − 4 > 0[PO07]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 0 + 4
[PA03]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 4
(C3)⇐⇒ 2 · x + (−4 + 4) > 4
[PA07]⇐⇒ 2 · x + 0 > 4
(C5)⇐⇒ 2 · x > 4
[PO09]⇐⇒ 1
2· (2 · x) > 1
2· 4
(C3)⇐⇒
(12· 2
)· x >
12· 4
[PA08]⇐⇒ 1 · x >
12· 4
[PA04]
⇐⇒ x >12· 4 = 2
Aula 8 Matemática Básica 282
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Resolvendo inequações. . .
2 · x − 4 > 0[PO07]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 0 + 4
[PA03]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 4
(C3)⇐⇒ 2 · x + (−4 + 4) > 4
[PA07]⇐⇒ 2 · x + 0 > 4
(C5)⇐⇒ 2 · x > 4
[PO09]⇐⇒ 1
2· (2 · x) > 1
2· 4
(C3)⇐⇒
(12· 2
)· x >
12· 4
[PA08]⇐⇒ 1 · x >
12· 4
[PA04]⇐⇒ x >
12· 4 = 2
Aula 8 Matemática Básica 283
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Resolvendo inequações. . .
2 · x − 4 > 0[PO07]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 0 + 4
[PA03]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 4
(C3)⇐⇒ 2 · x + (−4 + 4) > 4
[PA07]⇐⇒ 2 · x + 0 > 4
(C5)⇐⇒ 2 · x > 4
[PO09]⇐⇒ 1
2· (2 · x) > 1
2· 4
(C3)⇐⇒
(12· 2
)· x >
12· 4
[PA08]⇐⇒ 1 · x >
12· 4
[PA04]⇐⇒ x >
12· 4 = 2
Aula 8 Matemática Básica 284
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Resolvendo inequações. . .
(x − 5) · (x − 1) > 0
[PO12]
⇐⇒ (x − 5 > 0 e x − 1 > 0) ou (x − 5 < 0 e x − 1 < 0)
[PO07, PA03, C3, C5]
⇐⇒ (x > 5 e x > 1) ou (x < 5 e x < 1)
⇐⇒ x > 5 ou x < 1
Aula 8 Matemática Básica 285
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Resolvendo inequações. . .
(x − 5) · (x − 1) > 0
[PO12]
⇐⇒ (x − 5 > 0 e x − 1 > 0) ou (x − 5 < 0 e x − 1 < 0)
[PO07, PA03, C3, C5]
⇐⇒ (x > 5 e x > 1) ou (x < 5 e x < 1)
⇐⇒ x > 5 ou x < 1
Aula 8 Matemática Básica 286
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Resolvendo inequações. . .
(x − 5) · (x − 1) > 0[PO12]⇐⇒ (x − 5 > 0 e x − 1 > 0) ou (x − 5 < 0 e x − 1 < 0)
[PO07, PA03, C3, C5]
⇐⇒ (x > 5 e x > 1) ou (x < 5 e x < 1)
⇐⇒ x > 5 ou x < 1
Aula 8 Matemática Básica 287
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Resolvendo inequações. . .
(x − 5) · (x − 1) > 0[PO12]⇐⇒ (x − 5 > 0 e x − 1 > 0) ou (x − 5 < 0 e x − 1 < 0)
[PO07, PA03, C3, C5]
⇐⇒ (x > 5 e x > 1) ou (x < 5 e x < 1)
⇐⇒ x > 5 ou x < 1
Aula 8 Matemática Básica 288
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Resolvendo inequações. . .
(x − 5) · (x − 1) > 0[PO12]⇐⇒ (x − 5 > 0 e x − 1 > 0) ou (x − 5 < 0 e x − 1 < 0)
[PO07, PA03, C3, C5]⇐⇒ (x > 5 e x > 1) ou (x < 5 e x < 1)
⇐⇒ x > 5 ou x < 1
Aula 8 Matemática Básica 289
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Resolvendo inequações. . .
(x − 5) · (x − 1) > 0[PO12]⇐⇒ (x − 5 > 0 e x − 1 > 0) ou (x − 5 < 0 e x − 1 < 0)
[PO07, PA03, C3, C5]⇐⇒ (x > 5 e x > 1) ou (x < 5 e x < 1)
⇐⇒ x > 5 ou x < 1
Aula 8 Matemática Básica 290
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Intervalos
Sejam a,b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:
[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞,b) = {x ∈ R | x < b},[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},
(−∞,+∞) = R.
Aula 8 Matemática Básica 291
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Intervalos
Sejam a,b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:
[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞,b) = {x ∈ R | x < b},[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},
(−∞,+∞) = R.
Aula 8 Matemática Básica 292
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Intervalos
Sejam a,b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:
[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞,b) = {x ∈ R | x < b},[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},
(−∞,+∞) = R.
Aula 8 Matemática Básica 293
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Intervalos
Sejam a,b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:
[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞,b) = {x ∈ R | x < b},[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},
(−∞,+∞) = R.
Aula 8 Matemática Básica 294
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Intervalos
Sejam a,b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:
[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞,b) = {x ∈ R | x < b},[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},
(−∞,+∞) = R.
Aula 8 Matemática Básica 295
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Intervalos
Sejam a,b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:
[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞,b) = {x ∈ R | x < b},[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},
(−∞,+∞) = R.
Aula 8 Matemática Básica 296
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Intervalos
Sejam a,b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:
[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞,b) = {x ∈ R | x < b},[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},
(−∞,+∞) = R.
Aula 8 Matemática Básica 297
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Intervalos
Sejam a,b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:
[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞,b) = {x ∈ R | x < b},[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},
(−∞,+∞) = R.
Aula 8 Matemática Básica 298
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Intervalos
Sejam a,b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:
[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞,b) = {x ∈ R | x < b},[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},
(−∞,+∞) = R.
Aula 8 Matemática Básica 299
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Intervalos
Sejam a,b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:
[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞,b) = {x ∈ R | x < b},[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},
(−∞,+∞) = R.
Aula 8 Matemática Básica 300
![Page 301: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/301.jpg)
Intervalos
Sejam a,b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:
[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞,b) = {x ∈ R | x < b},[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},
(−∞,+∞) = R.
Aula 8 Matemática Básica 301
![Page 302: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/302.jpg)
Intervalos
Sejam a,b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:
[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞,b) = {x ∈ R | x < b},[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},
(−∞,+∞) = R.
Aula 8 Matemática Básica 302
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Intervalos
Sejam a,b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:
[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞,b) = {x ∈ R | x < b},[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},
(−∞,+∞) = R.
Aula 8 Matemática Básica 303
![Page 304: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/304.jpg)
Intervalos
Sejam a,b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:
[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞,b) = {x ∈ R | x < b},[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},
(−∞,+∞) = R.
Aula 8 Matemática Básica 304
![Page 305: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/305.jpg)
Intervalos
Sejam a,b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:
[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞,b) = {x ∈ R | x < b},[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},
(−∞,+∞) = R.
Aula 8 Matemática Básica 305
![Page 306: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/306.jpg)
Intervalos
Sejam a,b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:
[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞,b) = {x ∈ R | x < b},[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},
(−∞,+∞) = R.
Aula 8 Matemática Básica 306
![Page 307: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/307.jpg)
Intervalos
Sejam a,b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:
[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞,b) = {x ∈ R | x < b},[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},
(−∞,+∞) = R.
Aula 8 Matemática Básica 307
![Page 308: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/308.jpg)
Intervalos
Sejam a,b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:
[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞,b) = {x ∈ R | x < b},[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},
(−∞,+∞) = R.
Aula 8 Matemática Básica 308
![Page 309: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/309.jpg)
Intervalos
Sejam a,b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:
[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞,b) = {x ∈ R | x < b},[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},
(−∞,+∞) = R.
Aula 8 Matemática Básica 309
![Page 310: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/310.jpg)
Intervalos
Sejam a,b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:
[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞,b) = {x ∈ R | x < b},[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},
(−∞,+∞) = R.
Aula 8 Matemática Básica 310
![Page 311: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/311.jpg)
Intervalos
Sejam a,b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:
[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞,b) = {x ∈ R | x < b},[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},
(−∞,+∞) = R.
Aula 8 Matemática Básica 311
![Page 312: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/312.jpg)
Intervalos
Sejam a,b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:
[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞,b) = {x ∈ R | x < b},[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},
(−∞,+∞) = R.
Os quatro intervalos da esquerda são limitados, com extremos a e b
:[a,b] é um intervalo fechado, (a,b) é um intervalo aberto, [a,b) éfechado à esquerda, (a,b] é fechado à direita. Os cinco intervalosda direita são ilimitados: (−∞,b] é a semirreta esquerda, fechada, deorigem b. Os demais têm denominações análogas. Quando a = b,o intervalo fechado [a,b] reduz-se a um único elemento, chama-seintervalo degenerado e os outros três intervalos da esquerda, neste caso,são vazios.
Aula 8 Matemática Básica 312
![Page 313: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/313.jpg)
Intervalos
Sejam a,b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:
[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞,b) = {x ∈ R | x < b},[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},
(−∞,+∞) = R.
Os quatro intervalos da esquerda são limitados, com extremos a e b:[a,b] é um intervalo fechado
, (a,b) é um intervalo aberto, [a,b) éfechado à esquerda, (a,b] é fechado à direita. Os cinco intervalosda direita são ilimitados: (−∞,b] é a semirreta esquerda, fechada, deorigem b. Os demais têm denominações análogas. Quando a = b,o intervalo fechado [a,b] reduz-se a um único elemento, chama-seintervalo degenerado e os outros três intervalos da esquerda, neste caso,são vazios.
Aula 8 Matemática Básica 313
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Intervalos
Sejam a,b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:
[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞,b) = {x ∈ R | x < b},[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},
(−∞,+∞) = R.
Os quatro intervalos da esquerda são limitados, com extremos a e b:[a,b] é um intervalo fechado, (a,b) é um intervalo aberto
, [a,b) éfechado à esquerda, (a,b] é fechado à direita. Os cinco intervalosda direita são ilimitados: (−∞,b] é a semirreta esquerda, fechada, deorigem b. Os demais têm denominações análogas. Quando a = b,o intervalo fechado [a,b] reduz-se a um único elemento, chama-seintervalo degenerado e os outros três intervalos da esquerda, neste caso,são vazios.
Aula 8 Matemática Básica 314
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Intervalos
Sejam a,b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:
[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞,b) = {x ∈ R | x < b},[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},
(−∞,+∞) = R.
Os quatro intervalos da esquerda são limitados, com extremos a e b:[a,b] é um intervalo fechado, (a,b) é um intervalo aberto, [a,b) éfechado à esquerda
, (a,b] é fechado à direita. Os cinco intervalosda direita são ilimitados: (−∞,b] é a semirreta esquerda, fechada, deorigem b. Os demais têm denominações análogas. Quando a = b,o intervalo fechado [a,b] reduz-se a um único elemento, chama-seintervalo degenerado e os outros três intervalos da esquerda, neste caso,são vazios.
Aula 8 Matemática Básica 315
![Page 316: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/316.jpg)
Intervalos
Sejam a,b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:
[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞,b) = {x ∈ R | x < b},[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},
(−∞,+∞) = R.
Os quatro intervalos da esquerda são limitados, com extremos a e b:[a,b] é um intervalo fechado, (a,b) é um intervalo aberto, [a,b) éfechado à esquerda, (a,b] é fechado à direita
. Os cinco intervalosda direita são ilimitados: (−∞,b] é a semirreta esquerda, fechada, deorigem b. Os demais têm denominações análogas. Quando a = b,o intervalo fechado [a,b] reduz-se a um único elemento, chama-seintervalo degenerado e os outros três intervalos da esquerda, neste caso,são vazios.
Aula 8 Matemática Básica 316
![Page 317: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/317.jpg)
Intervalos
Sejam a,b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:
[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞,b) = {x ∈ R | x < b},[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},
(−∞,+∞) = R.
Os quatro intervalos da esquerda são limitados, com extremos a e b:[a,b] é um intervalo fechado, (a,b) é um intervalo aberto, [a,b) éfechado à esquerda, (a,b] é fechado à direita. Os cinco intervalosda direita são ilimitados
: (−∞,b] é a semirreta esquerda, fechada, deorigem b. Os demais têm denominações análogas. Quando a = b,o intervalo fechado [a,b] reduz-se a um único elemento, chama-seintervalo degenerado e os outros três intervalos da esquerda, neste caso,são vazios.
Aula 8 Matemática Básica 317
![Page 318: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/318.jpg)
Intervalos
Sejam a,b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:
[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞,b) = {x ∈ R | x < b},[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},
(−∞,+∞) = R.
Os quatro intervalos da esquerda são limitados, com extremos a e b:[a,b] é um intervalo fechado, (a,b) é um intervalo aberto, [a,b) éfechado à esquerda, (a,b] é fechado à direita. Os cinco intervalosda direita são ilimitados: (−∞,b] é a semirreta esquerda, fechada, deorigem b.
Os demais têm denominações análogas. Quando a = b,o intervalo fechado [a,b] reduz-se a um único elemento, chama-seintervalo degenerado e os outros três intervalos da esquerda, neste caso,são vazios.
Aula 8 Matemática Básica 318
![Page 319: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/319.jpg)
Intervalos
Sejam a,b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:
[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞,b) = {x ∈ R | x < b},[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},
(−∞,+∞) = R.
Os quatro intervalos da esquerda são limitados, com extremos a e b:[a,b] é um intervalo fechado, (a,b) é um intervalo aberto, [a,b) éfechado à esquerda, (a,b] é fechado à direita. Os cinco intervalosda direita são ilimitados: (−∞,b] é a semirreta esquerda, fechada, deorigem b. Os demais têm denominações análogas.
Quando a = b,o intervalo fechado [a,b] reduz-se a um único elemento, chama-seintervalo degenerado e os outros três intervalos da esquerda, neste caso,são vazios.
Aula 8 Matemática Básica 319
![Page 320: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/320.jpg)
Intervalos
Sejam a,b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:
[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞,b) = {x ∈ R | x < b},[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},
(−∞,+∞) = R.
Os quatro intervalos da esquerda são limitados, com extremos a e b:[a,b] é um intervalo fechado, (a,b) é um intervalo aberto, [a,b) éfechado à esquerda, (a,b] é fechado à direita. Os cinco intervalosda direita são ilimitados: (−∞,b] é a semirreta esquerda, fechada, deorigem b. Os demais têm denominações análogas. Quando a = b,o intervalo fechado [a,b] reduz-se a um único elemento, chama-seintervalo degenerado e os outros três intervalos da esquerda, neste caso,são vazios.
Aula 8 Matemática Básica 320
![Page 321: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/321.jpg)
Observações
Outras notações para intervalos:
]a,b[ para indicar o intervalo (a,b),
[a,b[ para indicar o intervalo [a,b), etc.
−∞ e +∞ não são números! Eles são apenas símbolosusados para indicar que os intervalos são ilimitados. Portanto,não podemos somá-los, multiplicá-los ou executar qualqueroperação considerando-os como se fossem números.
Aula 8 Matemática Básica 321
![Page 322: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/322.jpg)
Observações
Outras notações para intervalos:
]a,b[ para indicar o intervalo (a,b),
[a,b[ para indicar o intervalo [a,b), etc.
−∞ e +∞ não são números! Eles são apenas símbolosusados para indicar que os intervalos são ilimitados. Portanto,não podemos somá-los, multiplicá-los ou executar qualqueroperação considerando-os como se fossem números.
Aula 8 Matemática Básica 322
![Page 323: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/323.jpg)
Observações
Outras notações para intervalos:
]a,b[ para indicar o intervalo (a,b),
[a,b[ para indicar o intervalo [a,b), etc.
−∞ e +∞ não são números! Eles são apenas símbolosusados para indicar que os intervalos são ilimitados. Portanto,não podemos somá-los, multiplicá-los ou executar qualqueroperação considerando-os como se fossem números.
Aula 8 Matemática Básica 323
![Page 324: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/324.jpg)
Observações
Outras notações para intervalos:
]a,b[ para indicar o intervalo (a,b),
[a,b[ para indicar o intervalo [a,b), etc.
−∞ e +∞ não são números! Eles são apenas símbolosusados para indicar que os intervalos são ilimitados. Portanto,não podemos somá-los, multiplicá-los ou executar qualqueroperação considerando-os como se fossem números.
Aula 8 Matemática Básica 324
![Page 325: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/325.jpg)
Observações
Outras notações para intervalos:
]a,b[ para indicar o intervalo (a,b),
[a,b[ para indicar o intervalo [a,b), etc.
−∞ e +∞ não são números! Eles são apenas símbolosusados para indicar que os intervalos são ilimitados. Portanto,não podemos somá-los, multiplicá-los ou executar qualqueroperação considerando-os como se fossem números.
Aula 8 Matemática Básica 325
![Page 326: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/326.jpg)
Observações
Outras notações para intervalos:
]a,b[ para indicar o intervalo (a,b),
[a,b[ para indicar o intervalo [a,b), etc.
−∞ e +∞ não são números! Eles são apenas símbolosusados para indicar que os intervalos são ilimitados. Portanto,não podemos somá-los, multiplicá-los ou executar qualqueroperação considerando-os como se fossem números.
Aula 8 Matemática Básica 326
![Page 327: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/327.jpg)
Observações
Outras notações para intervalos:
]a,b[ para indicar o intervalo (a,b),
[a,b[ para indicar o intervalo [a,b), etc.
−∞ e +∞ não são números! Eles são apenas símbolosusados para indicar que os intervalos são ilimitados. Portanto,não podemos somá-los, multiplicá-los ou executar qualqueroperação considerando-os como se fossem números.
Aula 8 Matemática Básica 327
![Page 328: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/328.jpg)
Observações
Outras notações para intervalos:
]a,b[ para indicar o intervalo (a,b),
[a,b[ para indicar o intervalo [a,b), etc.
−∞ e +∞ não são números! Eles são apenas símbolosusados para indicar que os intervalos são ilimitados. Portanto,não podemos somá-los, multiplicá-los ou executar qualqueroperação considerando-os como se fossem números.
Aula 8 Matemática Básica 328
![Page 329: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/329.jpg)
Intervalos
[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}
a b
Aula 8 Matemática Básica 329
![Page 330: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/330.jpg)
Intervalos
(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}
a b
Aula 8 Matemática Básica 330
![Page 331: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/331.jpg)
Intervalos
[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}
a b
Aula 8 Matemática Básica 331
![Page 332: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/332.jpg)
Intervalos
(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}
a b
Aula 8 Matemática Básica 332
![Page 333: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/333.jpg)
Intervalos
(−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b}
b
Aula 8 Matemática Básica 333
![Page 334: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/334.jpg)
Intervalos
(−∞,b) = {x ∈ R | x < b}
b
Aula 8 Matemática Básica 334
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Intervalos
[a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x}
a
Aula 8 Matemática Básica 335
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Intervalos
(a,+∞) = {x ∈ R | a < x}
a
Aula 8 Matemática Básica 336
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Resolvendo inequações. . .
CUIDADO!
1− 2 x − 6x − 1
> 0 ⇔ 1 >2 x − 6x − 1
⇔ 2 x − 6x − 1
< 1
⇔
2 x − 6 < x − 1
⇔ 2 x − x < −1 + 6
⇔ x < 5.
Existe algo de errado neste desenvolvimento? Sim!
#
Aula 8 Matemática Básica 337
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Resolvendo inequações. . .
CUIDADO!
1− 2 x − 6x − 1
> 0 ⇔ 1 >2 x − 6x − 1
⇔ 2 x − 6x − 1
< 1
⇔
2 x − 6 < x − 1
⇔ 2 x − x < −1 + 6
⇔ x < 5.
Existe algo de errado neste desenvolvimento? Sim!
#
Aula 8 Matemática Básica 338
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Resolvendo inequações. . .
CUIDADO!
1− 2 x − 6x − 1
> 0 ⇔ 1 >2 x − 6x − 1
⇔ 2 x − 6x − 1
< 1
⇔
2 x − 6 < x − 1
⇔ 2 x − x < −1 + 6
⇔ x < 5.
Existe algo de errado neste desenvolvimento? Sim!
#
Aula 8 Matemática Básica 339
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Resolvendo inequações. . .
CUIDADO!
1− 2 x − 6x − 1
> 0 ⇔ 1 >2 x − 6x − 1
⇔ 2 x − 6x − 1
< 1
⇔
2 x − 6 < x − 1
⇔ 2 x − x < −1 + 6
⇔ x < 5.
Existe algo de errado neste desenvolvimento? Sim!
#
Aula 8 Matemática Básica 340
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Resolvendo inequações. . .
CUIDADO!
1− 2 x − 6x − 1
> 0 ⇔ 1 >2 x − 6x − 1
⇔ 2 x − 6x − 1
< 1
⇔ 2 x − 6 < x − 1
⇔ 2 x − x < −1 + 6
⇔ x < 5.
Existe algo de errado neste desenvolvimento? Sim!
#
Aula 8 Matemática Básica 341
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Resolvendo inequações. . .
CUIDADO!
1− 2 x − 6x − 1
> 0 ⇔ 1 >2 x − 6x − 1
⇔ 2 x − 6x − 1
< 1
⇔ 2 x − 6 < x − 1
⇔ 2 x − x < −1 + 6
⇔ x < 5.
Existe algo de errado neste desenvolvimento? Sim!
#
Aula 8 Matemática Básica 342
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Resolvendo inequações. . .
CUIDADO!
1− 2 x − 6x − 1
> 0 ⇔ 1 >2 x − 6x − 1
⇔ 2 x − 6x − 1
< 1
⇔ 2 x − 6 < x − 1
⇔ 2 x − x < −1 + 6
⇔ x < 5.
Existe algo de errado neste desenvolvimento? Sim!
#
Aula 8 Matemática Básica 343
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Resolvendo inequações. . .
CUIDADO!
1− 2 x − 6x − 1
> 0 ⇔ 1 >2 x − 6x − 1
⇔ 2 x − 6x − 1
< 1
⇔ 2 x − 6 < x − 1
⇔ 2 x − x < −1 + 6
⇔ x < 5.
Existe algo de errado neste desenvolvimento? Sim!
#
Aula 8 Matemática Básica 344
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Resolvendo inequações. . .
CUIDADO!
1− 2 x − 6x − 1
> 0 ⇔ 1 >2 x − 6x − 1
⇔ 2 x − 6x − 1
< 1
⇔ 2 x − 6 < x − 1
⇔ 2 x − x < −1 + 6
⇔ x < 5.
Existe algo de errado neste desenvolvimento? Sim!
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Aula 8 Matemática Básica 345
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Resolvendo inequações. . .
2 x − 6x − 1
< 1 ⇔ 2 x − 6x − 1
−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1
< 0 ⇔ x − 5x − 1
< 0
Esta última inequação pode ser resolvida usando-se uma variaçãode [PO12]:
x − 5x − 1
< 0
m
(x − 5 > 0 e x − 1 < 0) ou (x − 5 < 0 e x − 1 > 0)
Mas vamos resolvê-la usando um método mais esquemático!
Aula 8 Matemática Básica 346
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Resolvendo inequações. . .
2 x − 6x − 1
< 1 ⇔ 2 x − 6x − 1
−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1
< 0 ⇔ x − 5x − 1
< 0
Esta última inequação pode ser resolvida usando-se uma variaçãode [PO12]:
x − 5x − 1
< 0
m
(x − 5 > 0 e x − 1 < 0) ou (x − 5 < 0 e x − 1 > 0)
Mas vamos resolvê-la usando um método mais esquemático!
Aula 8 Matemática Básica 347
![Page 348: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/348.jpg)
Resolvendo inequações. . .
2 x − 6x − 1
< 1 ⇔ 2 x − 6x − 1
−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1
< 0 ⇔ x − 5x − 1
< 0
Esta última inequação pode ser resolvida usando-se uma variaçãode [PO12]:
x − 5x − 1
< 0
m
(x − 5 > 0 e x − 1 < 0) ou (x − 5 < 0 e x − 1 > 0)
Mas vamos resolvê-la usando um método mais esquemático!
Aula 8 Matemática Básica 348
![Page 349: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/349.jpg)
Resolvendo inequações. . .
2 x − 6x − 1
< 1 ⇔ 2 x − 6x − 1
−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1
< 0 ⇔ x − 5x − 1
< 0
Esta última inequação pode ser resolvida usando-se uma variaçãode [PO12]:
x − 5x − 1
< 0
m
(x − 5 > 0 e x − 1 < 0) ou (x − 5 < 0 e x − 1 > 0)
Mas vamos resolvê-la usando um método mais esquemático!
Aula 8 Matemática Básica 349
![Page 350: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/350.jpg)
Resolvendo inequações. . .
2 x − 6x − 1
< 1 ⇔ 2 x − 6x − 1
−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1
< 0 ⇔ x − 5x − 1
< 0
Esta última inequação pode ser resolvida usando-se uma variaçãode [PO12]:
x − 5x − 1
< 0
m
(x − 5 > 0 e x − 1 < 0) ou (x − 5 < 0 e x − 1 > 0)
Mas vamos resolvê-la usando um método mais esquemático!
Aula 8 Matemática Básica 350
![Page 351: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/351.jpg)
Resolvendo inequações. . .
2 x − 6x − 1
< 1 ⇔ 2 x − 6x − 1
−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1
< 0 ⇔ x − 5x − 1
< 0
Esta última inequação pode ser resolvida usando-se uma variaçãode [PO12]:
x − 5x − 1
< 0
m
(x − 5 > 0 e x − 1 < 0) ou (x − 5 < 0 e x − 1 > 0)
Mas vamos resolvê-la usando um método mais esquemático!
Aula 8 Matemática Básica 351
![Page 352: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/352.jpg)
Resolvendo inequações. . .
2 x − 6x − 1
< 1 ⇔ 2 x − 6x − 1
−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1
< 0 ⇔ x − 5x − 1
< 0
Esta última inequação pode ser resolvida usando-se uma variaçãode [PO12]:
x − 5x − 1
< 0
m
(x − 5 > 0 e x − 1 < 0) ou (x − 5 < 0 e x − 1 > 0)
Mas vamos resolvê-la usando um método mais esquemático!
Aula 8 Matemática Básica 352
![Page 353: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/353.jpg)
Resolvendo inequações. . .
2 x − 6x − 1
< 1 ⇔ 2 x − 6x − 1
−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1
< 0 ⇔ x − 5x − 1
< 0
Esta última inequação pode ser resolvida usando-se uma variaçãode [PO12]:
x − 5x − 1
< 0
m
(x − 5 > 0 e x − 1 < 0) ou (x − 5 < 0 e x − 1 > 0)
Mas vamos resolvê-la usando um método mais esquemático!
Aula 8 Matemática Básica 353
![Page 354: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/354.jpg)
Resolvendo inequações. . .
2 x − 6x − 1
< 1 ⇔ 2 x − 6x − 1
−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1
< 0 ⇔ x − 5x − 1
< 0
Esta última inequação pode ser resolvida usando-se uma variaçãode [PO12]:
x − 5x − 1
< 0
m
(x − 5 > 0 e x − 1 < 0) ou (x − 5 < 0 e x − 1 > 0)
Mas vamos resolvê-la usando um método mais esquemático!
Aula 8 Matemática Básica 354
![Page 355: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/355.jpg)
Resolvendo inequações. . .
2 x − 6x − 1
< 1 ⇔ 2 x − 6x − 1
−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1
< 0 ⇔ x − 5x − 1
< 0
Sinal dex − 5
Sinal dex − 1
Sinal de(x − 5)/(x − 1)
5
5
5
1
1
1
S = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).
Aula 8 Matemática Básica 355
![Page 356: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/356.jpg)
Resolvendo inequações. . .
2 x − 6x − 1
< 1 ⇔ 2 x − 6x − 1
−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1
< 0 ⇔ x − 5x − 1
< 0
Sinal dex − 5
Sinal dex − 1
Sinal de(x − 5)/(x − 1)
5
5
5
1
1
1
S = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).
Aula 8 Matemática Básica 356
![Page 357: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/357.jpg)
Resolvendo inequações. . .
2 x − 6x − 1
< 1 ⇔ 2 x − 6x − 1
−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1
< 0 ⇔ x − 5x − 1
< 0
Sinal dex − 5
Sinal dex − 1
Sinal de(x − 5)/(x − 1)
5
5
5
1
1
1
S = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).
Aula 8 Matemática Básica 357
![Page 358: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/358.jpg)
Resolvendo inequações. . .
2 x − 6x − 1
< 1 ⇔ 2 x − 6x − 1
−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1
< 0 ⇔ x − 5x − 1
< 0
Sinal dex − 5
Sinal dex − 1
Sinal de(x − 5)/(x − 1)
5
5
5
1
1
1
S = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).
Aula 8 Matemática Básica 358
![Page 359: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/359.jpg)
Resolvendo inequações. . .
2 x − 6x − 1
< 1 ⇔ 2 x − 6x − 1
−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1
< 0 ⇔ x − 5x − 1
< 0
Sinal dex − 5
Sinal dex − 1
Sinal de(x − 5)/(x − 1)
5
5
5
1
1
1
S = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).
Aula 8 Matemática Básica 359
![Page 360: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/360.jpg)
Resolvendo inequações. . .
2 x − 6x − 1
< 1 ⇔ 2 x − 6x − 1
−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1
< 0 ⇔ x − 5x − 1
< 0
Sinal dex − 5
Sinal dex − 1
Sinal de(x − 5)/(x − 1)
5
5
5
1
1
1
S = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).
Aula 8 Matemática Básica 360
![Page 361: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/361.jpg)
Resolvendo inequações. . .
2 x − 6x − 1
< 1 ⇔ 2 x − 6x − 1
−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1
< 0 ⇔ x − 5x − 1
< 0
Sinal dex − 5
Sinal dex − 1
Sinal de(x − 5)/(x − 1)
5
5
5
1
1
1
S = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).
Aula 8 Matemática Básica 361
![Page 362: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/362.jpg)
Resolvendo inequações. . .
2 x − 6x − 1
< 1 ⇔ 2 x − 6x − 1
−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1
< 0 ⇔ x − 5x − 1
< 0
Sinal dex − 5
Sinal dex − 1
Sinal de(x − 5)/(x − 1)
5
5
5
1
1
1
S = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).
Aula 8 Matemática Básica 362
![Page 363: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/363.jpg)
Resolvendo inequações. . .
2 x − 6x − 1
< 1 ⇔ 2 x − 6x − 1
−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1
< 0 ⇔ x − 5x − 1
< 0
Sinal dex − 5
Sinal dex − 1
Sinal de(x − 5)/(x − 1)
5
5
5
1
1
1
S = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).
Aula 8 Matemática Básica 363
![Page 364: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/364.jpg)
Resolvendo inequações. . .
2 x − 6x − 1
< 1 ⇔ 2 x − 6x − 1
−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1
< 0 ⇔ x − 5x − 1
< 0
Sinal dex − 5
Sinal dex − 1
Sinal de(x − 5)/(x − 1)
5
5
5
1
1
1
S = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).
Aula 8 Matemática Básica 364
![Page 365: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/365.jpg)
Resolvendo inequações. . .
2 x − 6x − 1
< 1 ⇔ 2 x − 6x − 1
−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1
< 0 ⇔ x − 5x − 1
< 0
Sinal dex − 5
Sinal dex − 1
Sinal de(x − 5)/(x − 1)
5
5
5
1
1
1
S = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).
Aula 8 Matemática Básica 365
![Page 366: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/366.jpg)
Resolvendo inequações. . .
2 x − 6x − 1
< 1 ⇔ 2 x − 6x − 1
−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1
< 0 ⇔ x − 5x − 1
< 0
Sinal dex − 5
Sinal dex − 1
Sinal de(x − 5)/(x − 1)
5
5
5
1
1
1
S = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).
Aula 8 Matemática Básica 366
![Page 367: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/367.jpg)
Resolvendo inequações. . .
2 x − 6x − 1
< 1 ⇔ 2 x − 6x − 1
−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1
< 0 ⇔ x − 5x − 1
< 0
Sinal dex − 5
Sinal dex − 1
Sinal de(x − 5)/(x − 1)
5
5
5
1
1
1
S = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).
Aula 8 Matemática Básica 367
![Page 368: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/368.jpg)
Resolvendo inequações. . .
2 x − 6x − 1
< 1 ⇔ 2 x − 6x − 1
−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1
< 0 ⇔ x − 5x − 1
< 0
Sinal dex − 5
Sinal dex − 1
Sinal de(x − 5)/(x − 1)
5
5
5
1
1
1
S = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).
Aula 8 Matemática Básica 368
![Page 369: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/369.jpg)
Resolvendo inequações. . .
2 x − 6x − 1
< 1 ⇔ 2 x − 6x − 1
−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1
< 0 ⇔ x − 5x − 1
< 0
Sinal dex − 5
Sinal dex − 1
Sinal de(x − 5)/(x − 1)
5
5
5
1
1
1
S = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).
Aula 8 Matemática Básica 369
![Page 370: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/370.jpg)
Resolvendo inequações. . .
2 x − 6x − 1
< 1 ⇔ 2 x − 6x − 1
−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1
< 0 ⇔ x − 5x − 1
< 0
Sinal dex − 5
Sinal dex − 1
Sinal de(x − 5)/(x − 1)
5
5
5
1
1
1
S = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).
Aula 8 Matemática Básica 370
![Page 371: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/371.jpg)
Resolvendo inequações. . .
2 x − 6x − 1
< 1 ⇔ 2 x − 6x − 1
−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1
< 0 ⇔ x − 5x − 1
< 0
Sinal dex − 5
Sinal dex − 1
Sinal de(x − 5)/(x − 1)
5
5
5
1
1
1
S = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).
Aula 8 Matemática Básica 371
![Page 372: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/372.jpg)
Números reais algebricamente(axiomaticamente): R é completo
Aula 8 Matemática Básica 372
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Q é completo?
x1 = 0.9x2 = 0.99x3 = 0.999x4 = 0.9999x5 = 0.99999x6 = 0.999999x7 = 0.9999999x8 = 0.99999999
...
Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 1 para todo n).
Em Q, xn converge para 0.9 = 1.
Aula 8 Matemática Básica 373
![Page 374: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/374.jpg)
Q é completo?
x1 = 0.9x2 = 0.99x3 = 0.999x4 = 0.9999x5 = 0.99999x6 = 0.999999x7 = 0.9999999x8 = 0.99999999
...
Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 1 para todo n).
Em Q, xn converge para 0.9 = 1.
Aula 8 Matemática Básica 374
![Page 375: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/375.jpg)
Q é completo?
x1 = 0.9x2 = 0.99x3 = 0.999x4 = 0.9999x5 = 0.99999x6 = 0.999999x7 = 0.9999999x8 = 0.99999999
...
Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 1 para todo n).
Em Q, xn converge para 0.9 = 1.
Aula 8 Matemática Básica 375
![Page 376: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/376.jpg)
Q é completo?
x1 = 0.9x2 = 0.99x3 = 0.999x4 = 0.9999x5 = 0.99999x6 = 0.999999x7 = 0.9999999x8 = 0.99999999
...
Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 1 para todo n).
Em Q, xn converge para 0.9 = 1.
Aula 8 Matemática Básica 376
![Page 377: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/377.jpg)
Q é completo?
x1 = 0.9x2 = 0.99x3 = 0.999x4 = 0.9999x5 = 0.99999x6 = 0.999999x7 = 0.9999999x8 = 0.99999999
...
Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 1 para todo n).
Em Q, xn converge para 0.9 = 1.
Aula 8 Matemática Básica 377
![Page 378: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/378.jpg)
Q é completo?
x1 = 0.9x2 = 0.99x3 = 0.999x4 = 0.9999x5 = 0.99999x6 = 0.999999x7 = 0.9999999x8 = 0.99999999
...
Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 1 para todo n).
Em Q, xn converge para 0.9 = 1.
Aula 8 Matemática Básica 378
![Page 379: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/379.jpg)
Q é completo?
x1 = 0.9x2 = 0.99x3 = 0.999x4 = 0.9999x5 = 0.99999x6 = 0.999999x7 = 0.9999999x8 = 0.99999999
...
Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 1 para todo n).
Em Q, xn converge para 0.9 = 1.
Aula 8 Matemática Básica 379
![Page 380: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/380.jpg)
Q é completo?
x1 = 0.9x2 = 0.99x3 = 0.999x4 = 0.9999x5 = 0.99999x6 = 0.999999x7 = 0.9999999x8 = 0.99999999
...
Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 1 para todo n).
Em Q, xn converge para 0.9 = 1.
Aula 8 Matemática Básica 380
![Page 381: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/381.jpg)
Q é completo?
x1 = 0.9x2 = 0.99x3 = 0.999x4 = 0.9999x5 = 0.99999x6 = 0.999999x7 = 0.9999999x8 = 0.99999999
...
Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 1 para todo n).
Em Q, xn converge para 0.9 = 1.
Aula 8 Matemática Básica 381
![Page 382: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/382.jpg)
Q é completo?
x1 = 0.9x2 = 0.99x3 = 0.999x4 = 0.9999x5 = 0.99999x6 = 0.999999x7 = 0.9999999x8 = 0.99999999
...
Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 1 para todo n).
Em Q, xn converge para 0.9 = 1.
Aula 8 Matemática Básica 382
![Page 383: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/383.jpg)
Q é completo?
x1 = 0.9x2 = 0.99x3 = 0.999x4 = 0.9999x5 = 0.99999x6 = 0.999999x7 = 0.9999999x8 = 0.99999999
...
Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 1 para todo n).
Em Q, xn converge para 0.9 = 1.
Aula 8 Matemática Básica 383
![Page 384: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/384.jpg)
Q é completo?
x1 = 0.9x2 = 0.99x3 = 0.999x4 = 0.9999x5 = 0.99999x6 = 0.999999x7 = 0.9999999x8 = 0.99999999
...
Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 1 para todo n).
Em Q, xn converge para 0.9 = 1.
Aula 8 Matemática Básica 384
![Page 385: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/385.jpg)
Q é completo?
x1 = 0.9x2 = 0.99x3 = 0.999x4 = 0.9999x5 = 0.99999x6 = 0.999999x7 = 0.9999999x8 = 0.99999999
...
Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 1 para todo n).
Em Q, xn converge para 0.9 = 1.
Aula 8 Matemática Básica 385
![Page 386: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/386.jpg)
Q é completo?
x1 = 0.9x2 = 0.99x3 = 0.999x4 = 0.9999x5 = 0.99999x6 = 0.999999x7 = 0.9999999x8 = 0.99999999
...
Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 1 para todo n).
Em Q, xn converge para 0.9 = 1.
Aula 8 Matemática Básica 386
![Page 387: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/387.jpg)
Q é completo?
x1 = 0.3x2 = 0.33x3 = 0.333x4 = 0.3333x5 = 0.33333x6 = 0.333333x7 = 0.3333333x8 = 0.33333333
...
Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 0.4 para todo n).
Em Q, xn converge para 0.3 = 1/3.
Aula 8 Matemática Básica 387
![Page 388: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/388.jpg)
Q é completo?
x1 = 0.3x2 = 0.33x3 = 0.333x4 = 0.3333x5 = 0.33333x6 = 0.333333x7 = 0.3333333x8 = 0.33333333
...
Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 0.4 para todo n).
Em Q, xn converge para 0.3 = 1/3.
Aula 8 Matemática Básica 388
![Page 389: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/389.jpg)
Q é completo?
x1 = 0.3x2 = 0.33x3 = 0.333x4 = 0.3333x5 = 0.33333x6 = 0.333333x7 = 0.3333333x8 = 0.33333333
...
Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 0.4 para todo n).
Em Q, xn converge para 0.3 = 1/3.
Aula 8 Matemática Básica 389
![Page 390: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/390.jpg)
Q é completo?
x1 = 0.3x2 = 0.33x3 = 0.333x4 = 0.3333x5 = 0.33333x6 = 0.333333x7 = 0.3333333x8 = 0.33333333
...
Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 0.4 para todo n).
Em Q, xn converge para 0.3 = 1/3.
Aula 8 Matemática Básica 390
![Page 391: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/391.jpg)
Q é completo?
x1 = 0.3x2 = 0.33x3 = 0.333x4 = 0.3333x5 = 0.33333x6 = 0.333333x7 = 0.3333333x8 = 0.33333333
...
Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 0.4 para todo n).
Em Q, xn converge para 0.3 = 1/3.
Aula 8 Matemática Básica 391
![Page 392: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/392.jpg)
Q é completo?
x1 = 0.3x2 = 0.33x3 = 0.333x4 = 0.3333x5 = 0.33333x6 = 0.333333x7 = 0.3333333x8 = 0.33333333
...
Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 0.4 para todo n).
Em Q, xn converge para 0.3 = 1/3.
Aula 8 Matemática Básica 392
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Q é completo?
x1 = 0.3x2 = 0.33x3 = 0.333x4 = 0.3333x5 = 0.33333x6 = 0.333333x7 = 0.3333333x8 = 0.33333333
...
Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 0.4 para todo n).
Em Q, xn converge para 0.3 = 1/3.
Aula 8 Matemática Básica 393
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Q é completo?
x1 = 0.3x2 = 0.33x3 = 0.333x4 = 0.3333x5 = 0.33333x6 = 0.333333x7 = 0.3333333x8 = 0.33333333
...
Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 0.4 para todo n).
Em Q, xn converge para 0.3 = 1/3.
Aula 8 Matemática Básica 394
![Page 395: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/395.jpg)
Q é completo?
x1 = 0.3x2 = 0.33x3 = 0.333x4 = 0.3333x5 = 0.33333x6 = 0.333333x7 = 0.3333333x8 = 0.33333333
...
Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 0.4 para todo n).
Em Q, xn converge para 0.3 = 1/3.
Aula 8 Matemática Básica 395
![Page 396: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/396.jpg)
Q é completo?
x1 = 0.3x2 = 0.33x3 = 0.333x4 = 0.3333x5 = 0.33333x6 = 0.333333x7 = 0.3333333x8 = 0.33333333
...
Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 0.4 para todo n).
Em Q, xn converge para 0.3 = 1/3.
Aula 8 Matemática Básica 396
![Page 397: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/397.jpg)
Q é completo?
x1 = 0.3x2 = 0.33x3 = 0.333x4 = 0.3333x5 = 0.33333x6 = 0.333333x7 = 0.3333333x8 = 0.33333333
...
Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 0.4 para todo n).
Em Q, xn converge para 0.3 = 1/3.
Aula 8 Matemática Básica 397
![Page 398: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/398.jpg)
Q é completo?
x1 = 0.3x2 = 0.33x3 = 0.333x4 = 0.3333x5 = 0.33333x6 = 0.333333x7 = 0.3333333x8 = 0.33333333
...
Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 0.4 para todo n).
Em Q, xn converge para 0.3 = 1/3.
Aula 8 Matemática Básica 398
![Page 399: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/399.jpg)
Q é completo?
x1 = 0.3x2 = 0.33x3 = 0.333x4 = 0.3333x5 = 0.33333x6 = 0.333333x7 = 0.3333333x8 = 0.33333333
...
Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 0.4 para todo n).
Em Q, xn converge para 0.3 = 1/3.
Aula 8 Matemática Básica 399
![Page 400: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/400.jpg)
Q é completo?
x1 = 0.3x2 = 0.33x3 = 0.333x4 = 0.3333x5 = 0.33333x6 = 0.333333x7 = 0.3333333x8 = 0.33333333
...
Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 0.4 para todo n).
Em Q, xn converge para 0.3 = 1/3.
Aula 8 Matemática Básica 400
![Page 401: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/401.jpg)
Q é completo?
Será que toda sequência xn de números racionais crescente elimitada sempre tende a algum número racional?
Resposta: não!
Aula 8 Matemática Básica 401
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Q é completo?
Será que toda sequência xn de números racionais crescente elimitada sempre tende a algum número racional?
Resposta: não!
Aula 8 Matemática Básica 402
![Page 403: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/403.jpg)
Q é completo?
x1 = 1.4x2 = 1.41x3 = 1.414x4 = 1.4142x5 = 1.41421x6 = 1.414213x7 = 1.4142135x8 = 1.41421356
...
Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 1.5 para todo n).
Mas, em Q, xn não converge para um número em Q!
Aula 8 Matemática Básica 403
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Q é completo?
x1 = 1.4x2 = 1.41x3 = 1.414x4 = 1.4142x5 = 1.41421x6 = 1.414213x7 = 1.4142135x8 = 1.41421356
...
Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 1.5 para todo n).
Mas, em Q, xn não converge para um número em Q!
Aula 8 Matemática Básica 404
![Page 405: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/405.jpg)
Q é completo?
x1 = 1.4x2 = 1.41x3 = 1.414x4 = 1.4142x5 = 1.41421x6 = 1.414213x7 = 1.4142135x8 = 1.41421356
...
Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 1.5 para todo n).
Mas, em Q, xn não converge para um número em Q!
Aula 8 Matemática Básica 405
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Q é completo?
x1 = 1.4x2 = 1.41x3 = 1.414x4 = 1.4142x5 = 1.41421x6 = 1.414213x7 = 1.4142135x8 = 1.41421356
...
Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 1.5 para todo n).
Mas, em Q, xn não converge para um número em Q!
Aula 8 Matemática Básica 406
![Page 407: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/407.jpg)
Q é completo?
x1 = 1.4x2 = 1.41x3 = 1.414x4 = 1.4142x5 = 1.41421x6 = 1.414213x7 = 1.4142135x8 = 1.41421356
...
Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 1.5 para todo n).
Mas, em Q, xn não converge para um número em Q!
Aula 8 Matemática Básica 407
![Page 408: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/408.jpg)
Q é completo?
x1 = 1.4x2 = 1.41x3 = 1.414x4 = 1.4142x5 = 1.41421x6 = 1.414213x7 = 1.4142135x8 = 1.41421356
...
Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 1.5 para todo n).
Mas, em Q, xn não converge para um número em Q!
Aula 8 Matemática Básica 408
![Page 409: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/409.jpg)
Q é completo?
x1 = 1.4x2 = 1.41x3 = 1.414x4 = 1.4142x5 = 1.41421x6 = 1.414213x7 = 1.4142135x8 = 1.41421356
...
Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 1.5 para todo n).
Mas, em Q, xn não converge para um número em Q!
Aula 8 Matemática Básica 409
![Page 410: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/410.jpg)
Q é completo?
x1 = 1.4x2 = 1.41x3 = 1.414x4 = 1.4142x5 = 1.41421x6 = 1.414213x7 = 1.4142135x8 = 1.41421356
...
Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 1.5 para todo n).
Mas, em Q, xn não converge para um número em Q!
Aula 8 Matemática Básica 410
![Page 411: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/411.jpg)
Q é completo?
x1 = 1.4x2 = 1.41x3 = 1.414x4 = 1.4142x5 = 1.41421x6 = 1.414213x7 = 1.4142135x8 = 1.41421356
...
Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 1.5 para todo n).
Mas, em Q, xn não converge para um número em Q!
Aula 8 Matemática Básica 411
![Page 412: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/412.jpg)
Q é completo?
x1 = 1.4x2 = 1.41x3 = 1.414x4 = 1.4142x5 = 1.41421x6 = 1.414213x7 = 1.4142135x8 = 1.41421356
...
Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 1.5 para todo n).
Mas, em Q, xn não converge para um número em Q!
Aula 8 Matemática Básica 412
![Page 413: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/413.jpg)
Q é completo?
x1 = 1.4x2 = 1.41x3 = 1.414x4 = 1.4142x5 = 1.41421x6 = 1.414213x7 = 1.4142135x8 = 1.41421356
...
Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 1.5 para todo n).
Mas, em Q, xn não converge para um número em Q!
Aula 8 Matemática Básica 413
![Page 414: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/414.jpg)
Q é completo?
x1 = 1.4x2 = 1.41x3 = 1.414x4 = 1.4142x5 = 1.41421x6 = 1.414213x7 = 1.4142135x8 = 1.41421356
...
Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 1.5 para todo n).
Mas, em Q, xn não converge para um número em Q!
Aula 8 Matemática Básica 414
![Page 415: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/415.jpg)
Q é completo?
x1 = 1.4x2 = 1.41x3 = 1.414x4 = 1.4142x5 = 1.41421x6 = 1.414213x7 = 1.4142135x8 = 1.41421356
...
Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 1.5 para todo n).
Mas, em Q, xn não converge para um número em Q!
Aula 8 Matemática Básica 415
![Page 416: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/416.jpg)
R é completo!
x1 = 1.4x2 = 1.41x3 = 1.414x4 = 1.4142x5 = 1.41421x6 = 1.414213x7 = 1.4142135x8 = 1.41421356
...
Em R, xn é crescente e xn é limitada (xn < 1.5 para todo n).
Em R, xn converge para o número√
2 ∈ R!
Aula 8 Matemática Básica 416
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Q é completo?
x1 = 0.1x2 = 0.101x3 = 0.101001x4 = 0.1010010001x5 = 0.101001000100001x6 = 0.101001000100001000001x7 = 0.1010010001000010000010000001x8 = 0.101001000100001000001000000100000001
...
Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 0.2 para todo n).
Mas, em Q, xn não converge para um número em Q!
Aula 8 Matemática Básica 417
![Page 418: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/418.jpg)
Q é completo?
x1 = 0.1x2 = 0.101x3 = 0.101001x4 = 0.1010010001x5 = 0.101001000100001x6 = 0.101001000100001000001x7 = 0.1010010001000010000010000001x8 = 0.101001000100001000001000000100000001
...
Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 0.2 para todo n).
Mas, em Q, xn não converge para um número em Q!
Aula 8 Matemática Básica 418
![Page 419: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/419.jpg)
Q é completo?
x1 = 0.1x2 = 0.101x3 = 0.101001x4 = 0.1010010001x5 = 0.101001000100001x6 = 0.101001000100001000001x7 = 0.1010010001000010000010000001x8 = 0.101001000100001000001000000100000001
...
Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 0.2 para todo n).
Mas, em Q, xn não converge para um número em Q!
Aula 8 Matemática Básica 419
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Q é completo?
x1 = 0.1x2 = 0.101x3 = 0.101001x4 = 0.1010010001x5 = 0.101001000100001x6 = 0.101001000100001000001x7 = 0.1010010001000010000010000001x8 = 0.101001000100001000001000000100000001
...
Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 0.2 para todo n).
Mas, em Q, xn não converge para um número em Q!
Aula 8 Matemática Básica 420
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Q é completo?
x1 = 0.1x2 = 0.101x3 = 0.101001x4 = 0.1010010001x5 = 0.101001000100001x6 = 0.101001000100001000001x7 = 0.1010010001000010000010000001x8 = 0.101001000100001000001000000100000001
...
Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 0.2 para todo n).
Mas, em Q, xn não converge para um número em Q!
Aula 8 Matemática Básica 421
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Q é completo?
x1 = 0.1x2 = 0.101x3 = 0.101001x4 = 0.1010010001x5 = 0.101001000100001x6 = 0.101001000100001000001x7 = 0.1010010001000010000010000001x8 = 0.101001000100001000001000000100000001
...
Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 0.2 para todo n).
Mas, em Q, xn não converge para um número em Q!
Aula 8 Matemática Básica 422
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Q é completo?
x1 = 0.1x2 = 0.101x3 = 0.101001x4 = 0.1010010001x5 = 0.101001000100001x6 = 0.101001000100001000001x7 = 0.1010010001000010000010000001x8 = 0.101001000100001000001000000100000001
...
Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 0.2 para todo n).
Mas, em Q, xn não converge para um número em Q!
Aula 8 Matemática Básica 423
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Q é completo?
x1 = 0.1x2 = 0.101x3 = 0.101001x4 = 0.1010010001x5 = 0.101001000100001x6 = 0.101001000100001000001x7 = 0.1010010001000010000010000001x8 = 0.101001000100001000001000000100000001
...
Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 0.2 para todo n).
Mas, em Q, xn não converge para um número em Q!
Aula 8 Matemática Básica 424
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Q é completo?
x1 = 0.1x2 = 0.101x3 = 0.101001x4 = 0.1010010001x5 = 0.101001000100001x6 = 0.101001000100001000001x7 = 0.1010010001000010000010000001x8 = 0.101001000100001000001000000100000001
...
Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 0.2 para todo n).
Mas, em Q, xn não converge para um número em Q!
Aula 8 Matemática Básica 425
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Q é completo?
x1 = 0.1x2 = 0.101x3 = 0.101001x4 = 0.1010010001x5 = 0.101001000100001x6 = 0.101001000100001000001x7 = 0.1010010001000010000010000001x8 = 0.101001000100001000001000000100000001
...
Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 0.2 para todo n).
Mas, em Q, xn não converge para um número em Q!
Aula 8 Matemática Básica 426
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Q é completo?
x1 = 0.1x2 = 0.101x3 = 0.101001x4 = 0.1010010001x5 = 0.101001000100001x6 = 0.101001000100001000001x7 = 0.1010010001000010000010000001x8 = 0.101001000100001000001000000100000001
...
Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 0.2 para todo n).
Mas, em Q, xn não converge para um número em Q!
Aula 8 Matemática Básica 427
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Q é completo?
x1 = 0.1x2 = 0.101x3 = 0.101001x4 = 0.1010010001x5 = 0.101001000100001x6 = 0.101001000100001000001x7 = 0.1010010001000010000010000001x8 = 0.101001000100001000001000000100000001
...
Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 0.2 para todo n).
Mas, em Q, xn não converge para um número em Q!
Aula 8 Matemática Básica 428
![Page 429: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/429.jpg)
Q é completo?
x1 = 0.1x2 = 0.101x3 = 0.101001x4 = 0.1010010001x5 = 0.101001000100001x6 = 0.101001000100001000001x7 = 0.1010010001000010000010000001x8 = 0.101001000100001000001000000100000001
...
Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 0.2 para todo n).
Mas, em Q, xn não converge para um número em Q!
Aula 8 Matemática Básica 429
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R é completo!
x1 = 0.1x2 = 0.101x3 = 0.101001x4 = 0.1010010001x5 = 0.101001000100001x6 = 0.101001000100001000001x7 = 0.1010010001000010000010000001x8 = 0.101001000100001000001000000100000001
...
Em R, xn é crescente e xn é limitada (xn < 0.2 para todo n).
Em R, xn converge para um número em R!
Aula 8 Matemática Básica 430
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R é completo!
Q não é completo.
R é completo.
C é completo
(usando uma definição mais geral de completude via sequências deCauchy, que não depende do fato do corpo ser ordenado ou não)
Aula 8 Matemática Básica 431
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R é completo!
Q não é completo.
R é completo.
C é completo
(usando uma definição mais geral de completude via sequências deCauchy, que não depende do fato do corpo ser ordenado ou não)
Aula 8 Matemática Básica 432
![Page 433: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/433.jpg)
R é completo!
Q não é completo.
R é completo.
C é completo
(usando uma definição mais geral de completude via sequências deCauchy, que não depende do fato do corpo ser ordenado ou não)
Aula 8 Matemática Básica 433
![Page 434: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/434.jpg)
R é completo!
Q não é completo.
R é completo.
C é completo
(usando uma definição mais geral de completude via sequências deCauchy, que não depende do fato do corpo ser ordenado ou não)
Aula 8 Matemática Básica 434
![Page 435: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/435.jpg)
R é completo!
Q não é completo.
R é completo.
C é completo
(usando uma definição mais geral de completude via sequências deCauchy, que não depende do fato do corpo ser ordenado ou não)
Aula 8 Matemática Básica 435
![Page 436: Matemática Básica...Em símbolos: se a2R, então ou a2R+, ou a=0 ou a2R+. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a;b 2R+, então](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081407/5f86d64bcfd17928853d2052/html5/thumbnails/436.jpg)
R é completo!
O que é 3√
5?
Aula 8 Matemática Básica 436
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Construção dos números reais
Construção dos números reais:sequências de Cauchy e cortes de Dedekind.
Aula 8 Matemática Básica 437
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Construção dos números reais
Construção dos números reais:sequências de Cauchy e cortes de Dedekind.
Aula 8 Matemática Básica 438
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Construção dos números reais
Construção dos números reais:sequências de Cauchy e cortes de Dedekind.
Aula 8 Matemática Básica 439