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MATEMATICA- FUVEST 2015 – 2 FASE – 3 DIA

Uma prova com 6 questões [ para os alunos de exatas] com enunciados claros e precisos, procuraram avaliar dos candidatos:

conhecimento básico e essencial de matemática [ em todas as questões ],

habilidades de analise e interpretação de dados [ questão 5],

habilidade algébrica necessária para quem vai trabalhar com exatas [questões,2,3,4,6-b)

além de raciocínio e criatividade que são imprescindíveis na resolução de situações novas. As características das questões ajudam de um certo modo, que futuros candidatos não se preocupem apenas com “receitas de bolo”, que inibem o “ raciocínio “ e a “criatividade”, aleijando o nosso jovem estudante. Ainda mais, tais características certamente selecionará os candidatos mais aptos para fazer um curso superior. Mais uma vez, o amigo ARCONCHER, está com a razão, quando ele afirma que os alunos precisam o ano inteiro, não só de aprofundamento, mas de problemas desafiadores, que instiguem a enfrentar situações novas, priorizando criatividade e raciocínio próprio para a sua solução.

ELUCUBRAÇÕES MENTAIS OBTIDAS DE ALGUMAS QUESTÕES DA FUVEST QUESTÃO 03; itens (a) e (b). No cubo ABCDEFGH, representado na figura, na página de respostas, cada aresta tem medida 1. Seja M um ponto na semirreta de origem A que passa por E.

Denote por o ângulo HMB e por x a medida do

segmento AM . a) Exprima cos em função de x . b) Para que valores de x o ângulo é obtuso? c) Mostre que, se x = 4, então mede menos do que 450

Procurei diversos caminhos, mas acredito que o mais compatível com o conhecimento do aluno, seja o uso dos teoremas: Pitágoras e Cossenos, para a sua resolução. Este problema não foi difícil. Exigiu o conhecimento dos teoremas básico de um curso de geometria: Pitágoras e Cossenos. Entretanto, a manipulação algébrica para a sua resolução acabou cansado muito o candidato, principalmente tratando-se de ser o item a da questão. Nos itens (b )e © fica claro a preocupação do examinador com uma avaliação qualitativa dos conceitos matemáticos. CURIOSIDADE 1 (Uma solução do item(a) para o professor )

O enunciado e as perguntas levaram-me a suspeitar de que o examinador seja professor de Geometria Analítica Vetorial ( será que tem alguma coisa haver ????). Pois, na minha primeira leitura da questão, a minha primeira solução, obviamente, não para os alunos, foi trabalhar com o produto escalar de vetores. Um pequeno rascunho desta solução, eu deixo abaixo: Consideremos um sistema de coordenadas no espaço. Com a origem O=A e a terna de eixos (Ox,Oy,Oz ) ortogonais, onde Ox, Oy, OZ, são determinados pelas semirretas AD, AB e AE respectivamente.

Nestas condições: A(0,0,0), B(0,1,0) ,D(1,0,0) , E (0,0,1), H(1,0,1) e M(0,0,x). x ≥ 0.

Sendo u e v vetores determinados pelos segmentos orientados MB e MH respectivamente, tem-se :

u = B – M = ( 0,1, – x ) e | u |2 = 1 + x2 ;

v = H – M = ( 1,0, – (x –1) ) e | v |2 = 1 + ( x – 1 )2

Do produto escalar " u . v " destes vetores obtém-se : u . v = 0 + 0 + x (x –1).

Como, u . v = | u |. | v |. cos , [ propriedade} , é o ângulo HMB , ou seja, entre u e v , resulta:

21121

1

xx

xx

.

)(cos

Nos itens (b) e (c) o raciocínio similares feitos pelos cursos pré-vestibulares, obtidos diretamente da expressão acima são também os mais adequados.

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CURIOSIDADE 2 (VISÃO GEOMETRICA DO ITEM b)

Com algumas rotações feita na figura do enunciado, obtém-se:

Esta disposição dá uma boa interpretação geométrica para a classificação do ângulo = HMB , em :

agudo , reto e obtuso

em função de x = AM 0, como veremos a seguir: Primeiramente, observe nas figuras abaixo, a variação do ângulo interno do AHM em função da posição do ponto N; projeção ortogonal de E sobre à semirreta BM . BN < BM é agudo

BN = BM =BE é reto

BN = BM = BA é reto

BN > BM é obtuso

A posição de N depende da posição de M sobre a semirreta AE e, portanto, do valor de x. Para x = 0 , tem-se M = A = N (circuncírculo da face ABFE do cubo ). Neste caso, a reta BA é

perpendicular ao plano da face AEHD do cubo, consequentemente, = HMB = HAB é um ângulo reto. Para x = 1 , tem-se M = E = N (circuncírculo da face ABFE do cubo ). Neste caso, a reta EH é perpendicular

ao plano da face ABGE do cubo, consequentemente, = HMB = HEB é um ângulo reto. x = 0 BN = BM = BA é reto.

x = 1 BN = BM = BE é reto.

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Para x 1, N pertence ao arco (GEA) do circuncírculo da face ABFE . Neste caso, BM EM e BM é ortogonal à HE. Dai, BM é perpendicular ao plano (HEN) .

Portanto, BN HN e HNM é retângulo em N e, em consequência, HMN é agudo. Nestas condições, claramente, temos: [ I ] x > 1 BN < BM é agudo

PLANO DA FACE ABFE

De fato,

x > 1 M é externo à ( M não pertence ao perímetro da face ABFE). BN < BM.

= HMB = HMN é agudo

MNH e BNH

BH2 = BN2 + NH2 < BM2 + MH2

VISÃO ESPACIAL DO CUBO E O SEGMENTO AM NA SEMIRRETA AE QUANDO “ x > 1”

[II] 0 < x < 1 BN > BM é obtuso. PLANO DA FACE ABFE

De fato,

0 < x < 1 M é interno à ( M pertence ao perímetro da face ABFE). BN > BM.

= HMB é obtuso ( HMB é suplementar do ângulo agudo HMN )

MNH e BNH

BH2 = (BM + MN)2 + NH 2 > BM2 + ( MH 2 + NH2 ) = BM2 + MH 2 .

VISÃO ESPACIAL DO CUBO E O SEGMENTO AM NA SEMIRRETA AE QUANDO “ 0 < x < 1 ”

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CURIOSIDADE 3 ( ELUCUBRAÇÕES MENTAIS COM O ITEM B DA QUESTÃO 6 ) ENUNCIADO DA QUESTÃO 6

Um “alfabeto minimalista” é constituído por apenas dois símbolos, representados por * e #. Uma palavra de

comprimento n, n 1, é formada por n escolhas sucessivas de um desses dois símbolos. Por exemplo, # é uma palavra de comprimento 1 e # * * # é uma palavra de comprimento 4. Usando esse alfabeto minimalista,

a) quantas palavras de comprimento menor do que 6 podem ser formadas? b) qual é o menor valor de n para o qual é possível formar 1.000.000 de palavras de tamanho menor ou igual a n ?

RESOLUÇÃO – item a [ Tradicional e similar a de vários cursos pré-vestibulares}

a) Como existem sempre 2 possibilidades de escolher o símbolo, obtém-se do principio fundamental da contagem:

Comprimento da palavra Número de palavras 1 2 ( = 21 ) 2 2x2 ( = 22 ) 3 2x2x2 ( = 23 ) 4 2x2x2x2 ( = 24 ) 5 2x2x2x2x2 ( = 25 )

Portanto, o número de palavras de comprimento menor do que 6 é dado pela soma:

21 + 22 + 23 + 24 + 25 , ou seja, 62. RESOLUÇÃO 1 – item b [ Tradicional e similar a de vários cursos pré-vestibulares ]

b) Sendo Sn o número total de palavras de comprimento menor ou igual a n, tem-se pelo item (a): Sn = 2 + 22 + 23 + ....+ 2n

Como Sn é a soma de termos de uma progressão geométrica de razão 2 e primeiro termo 2, tem-se:

Sn = 2n + 1 - 2 [ n 1]

Por outro lado, para que seja possível formar 106 palavras de comprimento menor ou igual a n, devemos ter:

2n + 1 - 2 106 [ * ]

O problema reduz - se em encontrar o menor n inteiro positivo que satisfaz [ * ]. Vamos lá:

Primeiramente, note que a função: f:IN IN e f(n) = 2 n+ 1 – 2 , claramente, é estritamente crescente.

Assim:

[ I ] Para n = 18, f(18)= 219 – 2 = 2 ( 218 – 1) = 2 ( 29 – 1) ( 29 + 1). Claramente,

29 – 1 < 29 + 1 < 600 e 72 < 100. Portanto, f(18)= 219 – 2 < 2 . 600 .600 = 72. 104 < 106.

[ II] Para n = 19, f(19)= 220 – 2 = ( 210 )2 – 2 = ( 103 + 24 )2 – 2 = 106 + ( 48 . 103 + 242 – 2) .

Claramente, 48 . 103 + 242 – 2 > 0. Portanto, f(19)= 220 – 2 > 106.

Nestas condições, tem-se 219 – 2 < 106 < 220 – 2 .

Portanto, como f é estritamente crescente, o menor n natural tal que 2 n+ 1 – 2 ≥ 106 é 19.

RESPOSTAS: a) 62 b) 19

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RESOLUÇÃO II [ OBTIDO A PARTIR DE UM QUESTIONAMENTO ] :

Acredito que o desejo da FUVEST fosse verificar se o candidato tem conhecimento da famosa aproximação :

210 = 1024 103,

útil na resolução de diversos problemas do ensino médio e superior, além da habilidade algébrica no manuseio das propriedades básicas de potenciação.

A resolução que mostrarei abaixo nasceu do questionamento :

Achar inteiros positivos x1 , x2, ....., xn tais que : nxxx ... 22210 116

Resultado encontrado:

106 = 219+ 218 + 217 + 216 + 214 + 29 + 26 [ ** ]

Resolução do item b USANDO [ ** ]

Primeiramente, note que a função f:IN IN, f(n) = 2 n+ 1 – 2 , claramente, é estritamente crescente. Deste modo, de 106 = 219+ 218 + 217 + 216 + 214 + 29 + 26 , tem-se :

[ I ] para n = 18, f(18)= 219 – 2 < 106 .

[ II] para n = 19, f(19)= 220 – 2 = (220 – 1) – 1 = (219 + 218 + ... + 22 + 2 + 1) – 1 =219 + 218 + ... + 22 + 2 > 106.

Nestas condições, 219 – 2 < 106 < 220 – 2 .

Portanto, como f é estritamente crescente, o menor natural n tal que 2 n+ 1 – 2 ≥ 106 é 19.

NOTAS :

1. Evidentemente que a resolução II não é sugestão de resolução para uma prova de vestibular, principalmente, por ter diversos caminhos simples de concluir que o menor n natural que satisfaz o problema é 19. Apresento ela apenas como uma curiosidade, ou seja, um resultado Interessante.

2. Justificativa para o resultado [**]:

Inicialmente, note que: 106 = ( 22)3 . ( 22 + 1 )6 .

Substituindo 22 por x, obtém-se : 106 = x3 . ( x + 1)6.

Como ( x + 1)6 = x6 + 6 x5 + 15 x4 + 20x3 + 15 x2 + 6x + 1, resulta:

106 = x3 . (x6 + 6 x5 + 15 x4 + 20x3 + 15 x2 + 6x + 1)

ou ainda, 106 = x9 + 6 x8 + 15 x7 + 20x6 + 15 x5 + 6x4 + x3 .

Lembrando que x = 22 = 4, podemos escrever as igualdades abaixo, duas a duas, equivalentes:

106 = x9 + ( 4 + 2 ) x8 + (42 – 1) x7 + ( 42 + 4) x6 + (42 – 1) x5 + ( 4 + 2 ) x4 + x3 ,

106 = x9 + ( x + 2 ) x8 + (x2 – 1) x7 + ( x2 + x) x6 + (x2 – 1) x5 + ( x + 2 ) x4 + x3 ,

106 = x9 + (x9 +2 x8) + (x9 – x7) + (x8 + x7) + ( x7 – x5) + (x5 + 2x4) + x3

e 106 = 2.x9 + x9 + 2 x8 + x8 + x7 + 2x4 + x3

Substituindo x por 22, encontramos :

106 = 219 + 218 + 217 + 216 + 214 + 29 + 26 ;o que finaliza a demonstração . AUTOR LUIZ ANTONIO PONCE ALONSO [ 10/01/2015].