MATEMÁTICA UFPE

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1. NMEROS NATURAIS

1. Conjunto dos nmeros Naturais (I)I = { 0, 1, 2, 3 ... }

1.1 Operaes com nmeros Naturais

1.1.1 Adio

x + y = z x e y parcelas z soma ou total

Propriedades da adio

a) Fechamento: a soma de dois nmeros naturais um nmero natural.Ex.: 5 + 12 = 17

b) Comutativa: a ordem das parcelas no altera a soma.Ex.: 3 + 8 = 11 3 + 8 = 8 + 3 8 + 3 = 11

c) Elemento Neutro: o nmero zero.Ex.: 0 + 5 = 5 5 + 0 = 5

d) Associativa: a adio de trs nmeros naturais pode ser feita associando-se as duas primeiras ou as ltimas parcelas.Ex.:(2 + 3) + 5 = 5 + 5 = 10 (2 + 3) + 5 =2 + (3 + 5) = 2 + 8 = 10 2 + (3 + 5)

Exerccio Resolvido: Numa adio de 5 parcelas, a 1 e a 2 so respectivamente, 600 e 700; a 3 igual diferena entre as duas primeiras; a 4 igual soma da 1 com a 3 e a 5 igual diferena entre a 4 e a 3. Calcule a soma.

1 = 6002 = 7003 = 700 600 = 1004 = 600 + 100 = 7005 = 700 100 = 600

Total: 2700

1.1.2 Subtrao

x minuendox - y = z y subtraendo z resto ou diferena

Exerccio Resolvido: Numa subtrao, o dobro do minuendo 160. Calcule o resto, sabendo que o subtraendo vale 20.

2x = 160 x = 80 y = 20 z = 80 20 = 601.1.3 Multiplicao x . y = z x e y fatores z produto

Propriedades da multiplicao

a) Fechamento: o produto de dois nmeros naturais um nmero natural.Ex.: 5 . 8 = 40

b) Comutativa: a ordem dos fatores no altera o produto.Ex. 2 . 7 = 142 . 7 = 7 . 27 . 2 = 14

c) Elemento Neutro: o nmero um.Ex. 8 . 1 = 8 ou 1 . 8 = 8

d) Associativa: a multiplicao de trs nmeros naturais pode ser feito associando-se os dois primeiros ou os dois ltimos fatores.Ex. (3 . 5) . 2 = 15 . 2 = 30 (3.5).2=3 . (5.2)3 . (5 . 2) = 3 . 10 = 30

e) Distributiva em relao adio: na multiplicao de uma soma por um nmero natural, multiplica-se cada um dos termos por esse nmero.Ex. 5 (3 + 2) = 5 . 5 = 25 5(3+2)=5.3+5.25.3+ 5.2 = 15+10 = 25

Exerccio Resolvido: O produto de dois nmeros 96. Qual o produto de um nmero 2 vezes maior do que o primeiro por outro nmero 5 vezes maior do que o segundo? a . b = 962a . 5b = 10 . ab = 10 . 96 = 960

1.1.4 DivisoD | d r q ou D = d . q + r D Dividendo d Divisor q quociente r Resto

Obs.: Diviso exata: r = 0. Maior resto possvel: R = d 1 No existe diviso por zero (0).

Exerccio Resolvido: O quntuplo de um nmero, dividido por este nmero aumentado de duas unidades, d quociente 3 e deixa resto 2. Qual este nmero? 5x x + 2

2 3

5x = 3 . (x + 2) + 25x = 3x + 6 + 22x = 8

x = = 4

1.1.5 Potenciao

x basexy = z y expoente z potncia

Propriedades da potenciao

a) x0 = 1, x 0100 = 1

b) x1 = x101 = 10

c) xm . xn = xm+n32 . 33 = 32+3 = 35 = 243

d) , x 0

e) (xm)n = xm . n (32)3 = 36 = 729

f) (x . y)m = xm . ym(2 . 3)3 = 23 . 33 = 8 . 27 = 216

g) , y 0

Obs.:

Exerccios Resolvidos

Calculea) 23 =Resp.: 8b) 30 = Resp.: 1c) 51 = Resp.: 5d) 23 . 22 =Resp.: 25e) 54 : 52 =Resp.: 56f) (23)2 = Resp.: 26g) Resp.: 29h) (2 . 3)3 = Resp.: 23 .33i)

Resp.:j) Resp.: 8k) Resp.: 2l) Resp.:25m) Resp.: 3

1.1.6 Radiciao

x Radicando n ndice y Raiz

Exerccios Resolvidos

a) Resp.: 6

b) Resp.:12

c) Resp.:32

d) Resp.: 9

e) Resp.: 5

1.2 Expresses numricas envolvendo as operaes estudadas.1. Resolvemos as potncias e razes / eliminamos os parnteses.2. Resolvemos as multiplicaes e divises / eliminamos os colchetes.3. Resolvemos adies e subtraes / eliminamos as chaves.

EXERCCIOS COMPLEMENTARES

01. Abaixo est representada uma adio onde os algarismos A, B e C so desconhecidos. Qual o valor da soma A + B + C?

A 3 C + 5 B 8 1 3 3 3

(A) 16(B) 19(C) 21(D) 26(E) 25

02. Um escritor escreveu, em certo dia, as vinte primeiras pginas de um livro. A partir desse dia, ele escreveu, em cada dia, tantas pginas havia escrito no dia anterior, mais 5 pginas. Se o escritor trabalhou 4 dias ele escreveu:(A) 80 pginas.(B) 85 pginas.(C) 95 pginas.(D) 110 pginas.(E) 200 pginas.

03. A diferena entre o maior nmero de trs algarismos diferentes e o menor nmero tambm de trs algarismos diferentes :(A) 864(B) 885(C) 887(D) 899(E) 888 04. Um pai tem 35 anos e seus filhos, 6, 7 e 9 anos. Daqui a 8 anos, a soma das idades dos trs filhos menos a idade do pai ser de:(A) 2 anos.(B) 3 anos.(C) 11 anos.(D) 13 anos.(E) 15 anos.

05. Um estacionamento cobra R$ 3,00 pela primeira hora. A partir da segunda o valor de R$ 2,00. Quanto pagar um proprietrio de um carro que esteve estacionado durante 7 horas?

06. Em uma festa existem 4 homens e 3 mulheres. O numero de casais diferentes que podem ser formados :(A) 4(B) 6(C) 7(D) 12(E) 20

07. Se numa diviso o divisor 30, o quociente 12 e o resto o maior possvel, ento o dividendo :(A) 390 (B) 389 (C) 381(D) 361(E) 350

08. Uma diretora deseja formar turmas de 38 alunos. Como existem 450 alunos matricula-dos, uma delas ficar incompleta. Para completar esta turma, ela dever matricular:(A) 6 alunos.(B) 11 alunos.(C) 12 alunos.(D) 32 alunos.(E) 8 alunos.

09. Uma empresa tem 750 empregados e comprou marmitas individuais congeladas suficientes para o almoo deles durante 25 dias. Se essa empresa tivesse mais 500 empregados, a quantidade de marmitas j adquiridas seria suficiente para um nmero de dias igual a:(A) 10(B) 12(C) 15(D) 18(E) 20

010. Um vendedor de vinhos quer reduzir o preo de seu vinho de R$ 5,00 para R$ 4,00 o litro, sem reduzir sua receita de vendas. Para isso ele quer adicionar gua ao seu vinho. Tendo um estoque de 320 litros, o vendedor dever adicionar:(A) De 50 a 100 litros de gua;(B) de 150 a 200 litros de gua;(C) menos de 50 litros de gua;(D) exatamente de 50 litros de gua;(E) exatamente 100 litros de gua.

Gabarito

01. C02. D03. B04. B05. R$ 15,00

06. D07. B08. A9. C10. A

2. MULTIPLOS E DIVISORES

Dados os nmeros naturais A e B, dizemos que A mltiplo de B, se e somente se, a diviso de A por B for exata, ou seja, deixar resto zero. Ento dizemos que A mltiplo de B. Em contrapartida, B divisor de A.

Ex.: 6 mltiplo de 2 e 2 divisor de 6.

Obs.: O nmero zero (0) mltiplo de qualquer nmero, mas no divisor, pois no existe diviso por zero.

O QUE NMERO PRIMO?

Um nmero natural primo quando s possui dois divisores, 1 e ele mesmo. Caso ele tenha mais de dois divisores, ento esse nmero chamado de nmero composto.

O nmero 1 no primo nem composto.

Aqui temos alguns nmeros primos. CRITRIOS DE DIVISIBILIDADE

Um nmero ser divisvel por:

a) Dois, quando for par, ou seja, terminar em 0, 2, 4, 6, 8.

Ex.: 60, 86, 92, 1298.

b) Trs, quando a soma de seus algarismos for um nmero divisvel por 3.

Ex.: 123 (1+2+3=6), 702(7+0+2=9), 1836(1+8+3+6=18).

c) Quatro, quando seus dois ltimos algarismos formarem um nmero divisvel por 4.

Ex.: 104 (04 divisvel por 4) 524 (24 divisvel por 4) 1384 (84 divisvel por 4)

d) Cinco, quando terminar em zero ou em cinco.

Ex.: 100, 625, 1005.

e) Seis, quando for divisvel por dois e por trs simultaneamente.

Ex.: 102, 324, 82314.

f) Sete, quando a diferena entre o dobro do ltimo algarismo e o nmero formado pelos algarismos restantes for um nmero divisvel por sete.

Ex.: 238

(8 x 2 = 16 23 16 = 7: como 7 divisvel por 7, 238 tambm divisvel).

693

(3 x 2 = 6 69 6 = 63; 63: 3 x 2 = 6; 6 6 = 0: como 0 divisvel por 7, 693 tambm divisvel).g) Oito, quando os trs ltimos algarismos formar um nmero divisvel por oito.

Ex.: 12240, divisvel por 8 pois 240 divisvel por 8.95880, divisvel por 8, pois 880 divisvel por 8.

h) Nove, quando a soma dos algarismos for um nmero divisvel por nove.

Ex.: 567 (5 + 6 + 7 = 18 divisvel por 9).2124 (2 + 1 + 2 + 4 = 9 divisvel por 9).

i) Dez, quando terminar em zero.

Ex.: 10, 100, 120, 2490.

j) Onze, quando a diferena entre a soma dos algarismos de ordem par e a soma dos algarismos de ordem mpar for um nmero divisvel por onze.

Ex.: 7.973.207 S(ordem mpar) = 7 + 2 + 7 + 7 = 23. S(ordem par) = 0 + 3 + 9 = 12 diferena = 11.

DECOMPOSIO EM FATORES PRIMOS

Todo nmero natural maior que 1 pode ser escrito como um produto de fatores primos. Decompor em fatores primos significa escrever o nmero como um produto de fatores primos.

Ex.: decompor os nmeros 16, 40, 240, 108.

Temos que comear dividindo o nmero pelo menor nmero primo caso este seja divisvel e continuamos dividindo por ele at que no seja mais divisvel e assim passamos para o prximo primo que seja divisor do quociente.

NMERO DE DIVISORES NATURAIS

Admitamos que um certo nmero representado na forma fatorada da seguinte maneira:

N = ax. by. cz. dw ento:

n.d.n. = (x + 1).(y + 1).(z +1).(w + 1)

n.d.i. = 2. (x + 1).(y + 1).(z +1).(w + 1)Quantos divisores naturais possui o nmero 240?Primeiro fatoramos 240. Temos que:

240 = 24 . 31 . 51

n.d.n. = (4 + 1) . (1 + 1) . (1 + 1) = 5 . 2 . 2 = 20

Ento, o nmero 240 possui 20 divisores positivos (naturais). E, por sua vez, o dobro disso ( 2 . 20 ) de divisores inteiros (positivos e negativos).

20 divisores naturais 40 divisores inteiros

OBTENO DOS DIVISORES DE UM NMERO

Encontre os divisores de 108:

Fatoramos o nmero dado.

Anotamos o nmero 1, que divisor universal.

Multiplicamos o 1 fator primo pelo 1 e anotamos o resultado.

Multiplicamos os prximos fatores pelos divisores j obtidos e anotamos os resultados.

MXIMO DIVISOR COMUM (MDC)

O maior divisor comum (mdc) de dois nmeros A e B o maior nmero diferente de um, na qual divide A e B ao mesmo tempo. Por exemplo: se considerarmos os nmeros 36 e 24, podemos perceber que os nmeros 2, 3, 4, 6, 12 so divisores comuns, ou seja, dividem tanto o 24 como o 36. Porm, o maior deles, que o 12, ser o mdc.

Nesse exemplo, fica fcil de encontrar o maior divisor comum. Quando passamos para nmeros um tanto grandes, por esse mtodo torna-se cansativo e muito trabalhoso. Partimos ento para mtodos mais prticos.

O MDC de vrios nmeros naturais o produto dos fatores primos comuns elevados aos seus menores expoentes.

A exemplo, vamos calcular o mdc (108, 180):

Fatorando 108 e 180:

O mdc ser o produto dos fatores comuns, quem comum? O 2 e o 3. Elevados aos menores expoentes, no caso: 22 e 32. O 5 no participa pois no comum.

mdc (108, 180) = 22 . 32 = 4 . 9 = 36

OBSERVAO: Se o mdc de dois nmeros for igual a 1, ento dizemos que esses nmeros so primos entre si. Por exemplo, os nmeros 25 e 36 so primos entre si, pois o nico nmero que divide os dois ao mesmo tempo o nmero 1.

Tambm podemos usar o mtodo das divises sucessivas, chamado vulgarmente de jogo da velha.Procedemos da seguinte forma: dividimos o maior dos nmeros pelo menor, colocando na parte de cima o quociente e o resto na parte debaixo:

Esse resto colocado ao lado do nmero 108 e faremos a diviso de 108 pelo resto, no caso 72, colocando o quociente na parte de cima e o resto na parte debaixo:

Esse resto 36 colocado ao lado do 72 e ser feita a diviso de 72 por 36, o quociente ser colocado na parte de cima e o resto na parte debaixo e procedemos assim at que o resto seja igual a zero:

Chegamos ao fim, obtendo como mdc o nmero 36.

APLICANDO MDC A PROBLEMAS

a) Tenho 84 balas de coco, 144 balas de chocolate e 60 balas de leite. Quero formar pacotes de balas, sem misturar sabores. Todos os pacotes devem ter a mesma quantidade de balas e essa quantidade deve ser a maior possvel. Quantas balas devo colocar em cada pacote? Quantos pacotes devo formar?

Percebemos que a questo de mdc porque o problema fala em formar pacotes, ou seja, dividir as balas. O problema diz mesma quantidade de balas, ou seja, a diviso tem que ser exata. O divisor comum. E o xeque-mate, essa quanti-dade deve ser a maior possvel, pronto mdc. Toda vez que o problema se referir a dividir, repartir, distribuir, em partes iguais, quantidades iguais, sem sobras, com a maior quantidade possvel, estamos diante de um problema de mdc.Podemos usar qualquer um dos dois mtodos acima:

Os fatores primos comuns com os menores expoentes so:mdc (84, 60, 144) = 22 . 3 = 4 . 3 = 12

Todos os pacotes devem ter a mesma quantidade de balas, sem misturar sabores, logo:devemos ter em cada pacote 12 balas.

Iremos formar:84 : 12 = 7 pacotes de sabor coco60 : 12 = 5 pacotes de sabor leite144 : 12 = 12 pacotes de sabor chocolate

7 + 5 + 12 = 24 pacotes no total

Podemos usar o mtodo das divises sucessivas, para isso, comeamos achando o mdc de dois deles.

Feito isso, calculamos o mdc do nmero que sobrou, no caso 60, com o mdc encontrado.

MTODO PRTICO

O mtodo prtico consiste em fatorar simulta-neamente os nmeros 60, 84, 144 apenas pelos divisores comuns, vejam:

Percebam que s dividimos pelos divisores comuns e paramos em 5, 7, 12, pois no h divisores comuns entre eles a no ser o 1. Logo eles so primos entre si.5, 7 e 12, so as quantidades de pacotes que iremos formar de sabores respectivamente, leite, coco e chocolate. No total de 5 + 7 + 12 = 24 pacotes.

b) Um carpinteiro quer dividir, em partes iguais, trs vigas, cujos comprimentos so respectivamente, 30 dm , 42 dm e 54 dm, devendo a medida de cada um dos pedaos ser a maior possvel. Qual a medida de cada uma das partes? Qual a quantidade de partes ir formar?

Pelo mtodo prtico:

Cada uma das partes ter 6 dm e iremos formar 5 + 7 + 9 = 21 pedaos.

MNIMO MLTIPLO COMUM (MMC)

Calcular o mmc de dois nmeros A e B encon-trar o menor nmero diferente de zero, tal que seja ao mesmo tempo divisvel por A e B.A exemplo disso, vamos considerar os nmeros 24 e 36. Olhando para os mltiplos de 24 em sequncia temos: (24, 48, 72, 98,...) e os mltiplos de 36 (36, 72, 108, ...) percebamos que o nmero 72 o menor mltiplo existente de 24 e 36. Existem outros mltiplos de 24 e 36 ao mesmo tempo como, 144, 216..., entre outros. Mas 72 o menor deles.Quando passarmos para outros nmeros, sucumbiremos na dificuldade e morosidade dos clculos. Iremos adotar assim mtodos mais simpli-ficados. Vejamos:

O MMC de vrios nmeros naturais o produto dos fatores primos comuns e no comuns elevados aos seus maiores expoentes. A exemplo, vamos calcular o MMC (108, 180):

Os fatores comuns 2 e 3. Com os maiores expoentes 22 e 33. O 5 no comum, mas no mmc ele participa.

MMC (108, 180) = 22 . 33 . 5 = 4 . 27 . 5 = 540

Podemos utilizar um mtodo prtico, que a fatorao simultnea. Nesse caso fatoramos 108 e 180 ao mesmo tempo.

Obs.: a . b = mmc (a, b) . mdc (a, b)

Veja que:

108 . 180 = mmc (108, 180) . mdc (108, 180)

108 . 180 = 540 . 36 = 19.440

APLICANDO MMC A PROBLEMAS

a) Fazer lio d uma fome... Luciana comeu muitos doces e tomou vrios refrigerantes. Era dia 1 de maio. Luciana decidiu que, a partir de ento, para no engordar, s comeria doces de 4 em 4 dias e s tomaria refrigerantes de 6 em 6 dias. Em que dias do ms de maio ela voltaria a comer doces e tomar refrigerantes no mesmo dia?

Vamos analisar o problema da seguinte forma:

dias que ela toma refrigerante a partir de hoje6, 12, 18, 24, ...

dias que ela come doces a partir de hoje4, 8, 12, 16, 20, 24, ...

Verifique que no 12 ela toma refrigerante e come doces. Logo, ela coincide o refrigerante com os doces de 12 em 12 dias. Ento se hoje dia 1 de maio, ela comer doces e tomar refrigerantes nos dia 13 de maio e 25 de maio.

Pelo mmc tambm chegamos na resposta, veja:

Usamos mmc em problemas que desejam descobrir encontros, como, por exemplo, em que dia se encontraro, depois de quantos dias volta a acontecer, assim por diante.

b) Dois ciclistas largaram juntos numa pista, percorrendo-a com velocidade constante. Alberto completa cada volta em 18 minutos. Barreto leva 22 minutos em cada volta. Depois de quantas horas os dois cruzaro juntos pela primeira vez o ponto de largada? E pela segunda vez?

Logo, transformando os 198 minutos em horas temos:

198 min = 3 . 60 min + 18 min = 3 horas e 18 minutos (1 vez) 2 x (3 h 18 min) = 6 h 36min6 horas e 36 minutos (2 vez)


01. (T.T.N) Numa corrida de automveis, o primeiro corredor d a volta completa na pista em 10 segundos; o segundo, em 11 segundos e o terceiro em 12 segundos. Quantas voltas tero dado cada um, respectivamente, at o momento em que passaro juntos na linha de sada?(A) 66, 60 e 55.(B) 62, 58 e 54.(C) 60, 55 e 50.(D) 60, 55 e 45.(E) 50, 45 e 40.

02. Sabe-se que o nmero A=23.3x tem 20 divisores naturais. Nestas condies, x um nmero:(A) primo. (B) divisvel por 3.(C) mltiplo de 5. (D) quadrado perfeito. (E) cubo perfeito.

03. Uma senhora possui 3 filhas em idade escolar. O produto da sua idade com as idades de suas 3 filhas 16555. A diferena entre a idade de sua filha mais velha e a idade de sua filha mais nova :(A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7 (E) 8

04. Hoje, dois amigos encontraram-se num mesmo cinema que costumam frequentar sistematicamente; um, a cada 18 dias, e o outro, a cada 24 dias. A prxima vez que ambos se encontraro em tal cinema ocorrer daqui a:(A) 36 dias.(B) 48 dias.(C) 72 dias.(D) 94 dias.(E) 96 dias.

05. No alto de uma torre de uma emissora de televiso, duas luzes piscam com frequn-cias diferentes. A primeira pisca 15 vezes por minuto, e a segunda pisca 10 vezes por minuto. Se num certo instante, as luzes piscam simultaneamente, aps quantos segundos elas voltaro a piscar simulta-neamente?(A) 12(B) 10(C) 20(D) 15(E) 30

06. Um colecionador possui mais de 2500 selos e menos de 3000. Contando o nmero de selos de 15 em 15, de 25 em 25, e de 35 em 35, sempre sobram 13. O nmero de selos do colecionador :(A) 2963(B) 2918(C) 2715(D) 2638(E) 2625

07. (UERJ) Dois sinais luminosos fecham juntos num determinado instante. Um deles permanece 10 segundos fechado e 40 segun-dos aberto, enquanto o outro permanece 10 segundos fechado e 30 segundos aberto. O nmero mnimo de segundos necessrios, a partir daquele instante, para que os dois sinais voltem a fechar juntos outra vez de:(A) 150(B) 160(C) 190(D) 200

08. (UFMG) Entre algumas famlias de um bairro, foi distribudo um total de 144 cadernos, 192 lpis e 216 borrachas. Essa distribuio foi feita de modo que o maior nmero possvel de famlias fosse contemplado e todas recebessem o mesmo nmero de cadernos, o mesmo nmero de lpis e o mesmo nmero de borrachas, sem haver sobra de qualquer material. Nesse caso, o nmero de cadernos que cada famlia ganhou foi:(A) 4(B) 6(C) 8(D) 9

09. (UFPE) Uma escola dever distribuir um total de 1260 bolas de gude amarelas e 9072 bolas de gude verdes entre alguns de seus alunos. Cada aluno contemplado receber o mesmo nmero de bolas amarelas e o mesmo nmero de bolas verdes. Se a escola possui 300 alunos e o maior nmero possvel de alunos da escola dever ser contemplado, qual o total de bolas que cada aluno contemplado receber?(A) 38(B) 39(C) 40(D) 41(E) 42

010. No almoxarifado de certa empresa, havia dois tipos de canetas esferogrficas: 224 com tinta azul e 160 com tinta vermelha. Um funcionrio foi incumbido de empacotar todas essas canetas de modo que cada pacote contenha apenas canetas com tinta de uma mesma cor. Se todos os pacotes devem conter igual nmero de canetas, a menor quantidade de pacotes que ele poder obter :(A) 8(B) 10(C) 12(D) 14(E) 16

Gabarito

1. A2. D3. C4. C5. A

6. D7. D8. B9. D10. C

3. CONJUNTO DOS NMEROS INTEIROS

Definimos o conjunto dos nmeros inteiros como a reunio do conjunto dos nmeros naturais, o conjunto dos opostos dos nmeros naturais e o zero. Este conjunto denotado pela letra Z (Zahlen = nmero em alemo). Este conjunto pode ser escrito por:Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,...}

Exemplos de subconjuntos do conjunto Z

(a) Conjunto dos nmeros inteiros excludo o nmero zero:Z* = {..., -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4,...}

(b) Conjunto dos nmeros inteiros no negativos:Z+ = {0, 1, 2, 3, 4,...}

(c) Conjunto dos nmeros inteiros no positivos:Z- = {..., -4, -3, -2, -1, 0}

(d) Conjunto dos nmeros inteiros positivosZ* + = {1, 2, 3, ...}

(e) Conjunto dos nmeros inteiros negativosZ* = {..., -3, -2, -1}

1.1. Reta Numrica

Uma forma de representar geometricamente o conjunto Z construir uma reta numerada, considerar o nmero 0 como a origem e o nmero 1 em algum lugar, tomar a unidade de medida como a distncia entre 0 e 1 e pr os nmeros inteiros da seguinte maneira:

Ao observar a reta numerada notamos que a ordem que os nmeros inteiros obedecem crescente da esquerda para a direita.

1.2. Operao com Nmeros Inteiros

1.2.1. Adio / SubtraoPara melhor entendimento desta operao, associaremos aos nmeros inteiros positivos a idia de ganhar e aos nmeros inteiros negativos a idia de perder.

ganhar 3 + ganhar 4 = ganhar 7(+3) + (+4) = (+7)

perder 3 + perder 4 = perder 7(-3) + (-4) = (-7)

ganhar 8 + perder 5 = ganhar 3(+8) + (-5) = (+3)

perder 8 + ganhar 5 = perder 3(-8) + (+5) = (-3)

Ateno: O sinal (+) antes do nmero positivo pode ser dispensado, mas o sinal (-) antes do nmero negativo nunca pode ser dispensado.

Exemplos:(a) -3 + 3 = 0(b) +6 + 3 = 9(c) +5 - 1 = 4(d) -6 + 3 = -3

Propriedades da Adio

Fechamento: A soma de dois nmeros inteiros ainda um nmero inteiro.

Associativa: Para todos a, b, c em Z:a + (b + c) = (a + b) + c2 + (3 + 7) = (2 + 3) + 7

Comutativa: Para todos a, b em Z:a + b = b + a3 + 7 = 7 + 3

Elemento neutro: Existe 0 em Z, que adicionado a cada z em Z, proporciona o prprio z, isto :z + 0 = z7 + 0 = 7

Elemento oposto: Para todo z em Z, existe (-z) em Z, tal quez + (-z) = 09 + (-9) = 0

1.2.2. Multiplicao / DivisoPara realizar a multiplicao e tambm a diviso de nmeros inteiros, devemos obedecer seguinte regra de sinais:

Sinais dos nmerosResultado

iguaispositivo

diferentesnegativo

Exemplo:a) (-2) . (+3) = - 6b) (+5) . (+2) = +10c) (-15) : (-5) = +3d) (+20) : (-4) = - 5

Propriedades da MultiplicaoFechamento: A multiplicao de dois nmeros inteiros ainda um nmero inteiro.

Associativa: Para todos a, b, c em Z:a x (b x c) = (a x b) x c2 x (3 x 7) = (2 x 3) x 7

Comutativa: Para todos a, b em Z:a x b = b x a3 x 7 = 7 x 3

Elemento neutro: Existe 1 em Z, que multiplicado por todo z em Z, proporciona o prprio z, isto :z x 1 = z7 x 1 = 7

Distributiva: Para todos a, b, c em Z:a x (b + c) = (a x b) + (a x c)3 x (4 + 5) = (3 x 4) + (3 x 5)

1.3. Potenciao de Nmeros Inteiros

Para trabalhar a potenciao dos inteiros, devemos observar o sinal da base e trabalhar com a seguinte regra:

Sinal da baseResultado

positivoPositivo

negativo Positivo se o expoente for par Negativo se o expoente for impar

Exemplo:(a) 32 = 9(b) (-3)2 = 9(c) 33 = 27(d) (-3)3 = -27

OBS: (-3)2 = 9 -32 = - 9

EXERCCIOS

01. Qual o valor da expresso: [ - 3 + 3 . (-7 + 3) 10] . (-2)?(A) 35(B) 40(C) 45(D) 50(E) 55

02. O intervalo da reta numrica compreendidos entre -72 e -18 foi dividido em 9 partes iguais, como mostrado na figura abaixo.

O numero inteiro que corresponde ao ponto A assinalado nesta reta numrica :(A) 60(B) 54(C) 45 (D) 42 (E) 36

03. Aps uma nevasca sofrida por toda Gravat, a temperatura que era de 12 graus cent-grados, caiu o triplo. Ento, a temperatura nesse momento era de:(A) 12 graus(B) 12 graus negativos(C) 24 graus(D) 24 graus negativos(E) 0 graus

04. Amplitude trmica a diferena entre a tem-peratura mxima e mnima registrada em um lugar. Num dia de inverno em Berlim (Alema-nha), a temperatura mnima registrada foi de -3c e a temperatura mxima foi de 2c. Qual foi a amplitude trmica registrada nessa cidade?(A) 5c(B) 1c(C) 6c(D) - 5c (E) -1 c

05. No planeta Marte, a temperatura mdia na superfcie de -53c, enquanto que na superfcie da terra essa temperatura de, em mdia, +14c. Qual a diferena entre a temperatura mdia na terra e na superfcie de Marte?(A) 67c(B) 57c(C) 41c(D) 39c(E) 28c

06. Calcule o valor das expresses?

(A) [ ( 11 - 12) ( - 7 + 9)] [( 3 - 6) + 14] =

(B) { - [ 7 ( 2 + 5 + 7 )] + 11 } + 13 =

(C) (-3 + 2)2 . ( - 1 - 1)3 [( - 2 + 3)3 . ( - 2)2] =

(D) (- 4 + 3 - 2) . (- 2 + 1 + 3)2 ( - 5 - 1)2 =

(E) (- 4 - 3)2 : [( - 1 - 7)0 + (- 2 - 6)3 : (- 1 - 7)2] =

Gabarito

01. D02. B03. D04. A05. A

06. a) - 8 b) -5 c) -12 d) -48 e) -7

4. CONJUNTO DOS NMEROS RACIONAIS

Um nmero racional o que pode ser escrito na forma onde a e b so nmeros inteiros, sendo que b deve ser diferente de zero. Freqentemente usamos para significar a diviso de a por b.Frao: nmero que representa pedaos de um inteiro.

Generalidades sobre Fraes

Frao Prpria:

Frao imprpria:

Frao decimal:

Frao ordinria:

Frao irredutvel:

Obs.: Complemento de uma frao prpria para um inteiro.

De tomados, faltam tomar para completar um inteiro.

Ex.: Tomando-se , faltam tomar ___ para completar um inteiro.

Operaes com Fraes

Adio / Subtrao

Denominadores iguais: mantemos o denomina-dor e operamos com os numeradores.

Ex.:

Denominadores diferentes: reduzimos as fraes ao mesmo denominador atravs do clculo do MMC dos denominadores e, em seguida, aplicamos a regra anterior.

Ex.:

Multiplicao: multiplicamos numerador por numerador e denominador por denominador.

Ex.:

Diviso: repetimos a primeira frao e multipli-camos pelo inverso da segunda frao.

Ex.: Potenciao: devemos elevar o numerador e o denominador ao expoente em questo.

Ex.:

Potncia de expoente negativo: Ex.:2-5 =

Potencia de expoente fracionrio:

Ex.:

Exerccio. Calcule o valor das seguintes expresses

a) Resp.:

b) Resp.:

c) Resp.:

d) Resp.: -3

e) Resp.: 1

f) Resp.: 25

Operaes com nmeros decimais

Adio e Subtrao. Para efetuar a adio ou a subtrao de nmeros decimais temos que seguir alguns passos: Igualar a quantidade de casas decimais dos n-meros decimais a serem somados ou subtra-dos acrescentando zeros direita de suas partes decimais.

Exemplos: 2,4 + 1,723 = 2,400 + 1,723 2,4 - 1,723 = 2,400 - 1,723 Escrever os numerais de tal modo que fique vrgula sob a outra vrgula e, em seguida, realiza-se a operao.

Exemplos:

2,400

+1,723

4,123

2,400

-1,723

0,677

Multiplicao de Nmeros Decimais. Podemos multiplicar os nmeros decimais como se fossem inteiros e dar ao produto tantas casas decimais quantas forem o total de casas dos fatores envolvidos no clculo.

Exemplo:

2,252 casas decimaisfator

x 3,51 casa decimalfator

1125

+ 675

7,8753 casas decimais Produto

Diviso de Nmeros Decimais. Para dividirmos dois nmeros decimais devemos igualar o nmero de casas decimais e, em seguida, efetuar a diviso como se fossem nmeros inteiros.

Exemplo: 1,2975 : 0,15 12.975 : 1500 = 8,65

Geratriz de uma dzima peridica

Dzima simples. A geratriz de uma dzima sim-ples uma frao que tem para numerador o perodo e para denominador tantos noves quantos forem os algarismos do perodo.Exemplos:

Dzima Composta. A geratriz de uma dzima composta uma frao da forma , onden a parte no peridica seguida do perodo, menos a parte no peridica.d tantos noves quantos forem os algarismos do perodo seguidos de tantos zeros quantos forem os algarismos da parte no peridica.

Exemplos:0,1252525 ...= 125 1 = 124 = 62 990 990 445

Exerccio. Encontre a frao geratriz de cada uma das seguintes dzimasa) 0,666 . . .d) 0,25666 . . . b) 0,252525 . . . e) 0,3222 . . . c) 1,333 . . . f) 0,23141414 . . .

Exemplos:

1 Em uma casa comercial, metade dos empregados so homens, so mulheres e os 6 restantes so meninos. Quantos empregados h na casa?

2 Uma pessoa d a metade do seu salrio para a esposa. Em seguida d um tero do que sobrou para o filho mais velho. Depois d do que restou para a caula. Sabendo-se que sobraram R$ 640,00, calcular o seu salrio.

3 de um nmero 9. Qual esse nmero?


01. (B.N.B) A expresso decimal 0,011363636... uma dzima peridica composta e representa um nmero racional x. Se a geratriz desta dzima for escrita sob a forma de uma frao irredutvel , ento m + n igual a:(A) 88(B) 89(C) 90(D) 91(E) 92

02. (T.R.T) O valor da expresso

0,6 x + 12 :

(A) 51(B) 52(C) 53(D) 54(E) 55

03.

(T.R.F) Certo dia, uma equipe de tcnicos especializados em higiene dental trabalhou em um programa de orientao aos funcionrios do tribunal, sobre a prtica de higiene bucal. Sabe-se que do total de membros da equipe atuou no perodo de 8 s 10 horas e do nmero restante, das 10 s 12 horas. Se no perodo da tarde a orientao foi dada pelos ltimos 6 tcnicos, o total de membros da equipe era:(A) 12(B) 15(C) 18(D) 21(E) 24

04.

(T.R.T) Do total de processos arquivados por um tcnico Judicirio, sabe-se que foram arquivados numa primeira etapa e numa segunda. Se os 9 processos restantes foram arquivados numa terceira etapa, o total de processos era:(A) 34(B) 30(C) 27(D) 24(E) 18

05.

(CORREIOS) Uma dona de casa foi a um supermercado e gastou do que possua em compras e depois foi feira e gastou do resto do que tinha em frutas e ainda lhe sobrou R$ 8,00 a quantia que ela tinha antes de fazer essas compras era:(A) R$ 12,40(B) R$ 15,20(C) R$ 18,00(D) R$ 18,20(E) R$ 19,40

06.

(T.R.T) Do total de ingressos para um espetculo, foram comprados por homens e por mulheres. Se ainda restaram 135 ingressos para serem vendidos, o nmero de ingressos comprados por homem foi:(A) 240(B) 270(C) 320(D) 450(E) 600

07.

(T.S.T) Depois de gastar a metade do meu dinheiro, gastei do que sobrou e recebi uma quantia igual a do que restava. Quanto tinha se agora tenho R$ 30,00?(A) R$ 50,00(B) R$ 60,00(C) R$ 80,00(D) R$ 90,00(E) R$ 100,00

08.

(T.T.N) Os de do preo de uma moto equivalem a de do preo de um automvel, avaliado em R$ 9.600,00. O preo da moto de:(A) R$ 5.760,00(B) R$ 8.640,00(C) R$ 6,400,00(D) R$ 16.000,00(E) R$ 5.184,00

09.

Um operrio gasta do seu salrio com alimentao, com moradia e com passeios, e o restante R$300,00 aplica na poupana. O operrio recebe um salrio de:(A) R$ 2000,00(B) R$1800,00(C) R$ 1700,00(D) R$ 1600,00(E) R$ 1500,00

010. Uma certa poro de lquido foi distribuda igualmente pelos recipientes A, B, e C. Poste-riormente, os contedos de B e C foram de partidos igualmente pelos recipientes A , B, C, D e E. Que frao de poro total ficou contida no recipiente A?(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

Gabarito

01. B02. B03. B04. D05. C

06. A07. E08. E 09. E10. B

5. SISTEMA LEGAL DE MEDIDAS

5.1. Definio:

Sistema mtrico decimal o conjunto de medidas que tem por base o metro.

5.2. Principais Unidades

Metro: Para as medidas de comprimento.Metro Quadrado: Para as medidas de rea ou superfcie.Are: Para as medidas agrrias, isto , medidas de grandes extenses de terra.Metro Cbico: Para as medidas de volume.Grama: Para as medidas de massa.

Obs.: 1m3 = 10001dm3 = 11t = 1000Kg1ha = 10.000 m2

UnidadesMltiplosUnid. PrincipalSubmltiplos

ComprimentoKm, Hm, DamMdm, cm, mm

SuperfcieKm2,Hm2,Dam2M2dm2, cm2, mm2

AgrriaHaCa

Volume Km3,Hm3,Dam3M3dm3, cm3, mm3

CapacidadeK, H, Dad,c,m

MassaKg,Hg,DagGdg,cg,MG

1.A relao nas medidas de comprimento, capacidade e massa decimal. As mudanas de unidades so feitas, deslocando-as a vrgula de uma em uma casa.

2.A relao nas medidas de superfcie a agrria; centesimal. As mudanas de unidades so: feitas deslocando-se a virgula de duas em duas casas.

3.A relao nas medidas de volume milesimal. As mudanas de unidades so feitas deslocando-se a vrgula de trs em trs casas.

EXERCCIOS RESOLVIDOS

01.Exprimir em dm, a adio abaixo:8,5 m + 0,75 Dam + 300mm + 10cm. Resp.: 164 dm

02.Exprimir em m2, expresso:12 Dam + 0,3 Hm2 450 m2. Resp.: 3750 m2

5.3. MEDIDAS DE TEMPO

O Sistema para medida do tempo sexagesimal, ou seja, as unidades variam tendo como base o nmero 60.Assim, a hora a principal unidade e, minuto e segundo so seus submltiplos.

1 h = 60 min1 min = 60 seg1 h = 3600 seg

5.4. SISTEMA MONETRIO BRASILEIRO

No Brasil, atualmente, a nossa unidade monetria o Real. O principal submltiplo do real o centavo.

Obs.: A converso da moda de um pas, da moeda de outro pas denominada cambio.


01.Se um dlar vale R$ 3,15 quanto valem, em reais, 420 dlares? Resp.: R$ 1.323,00

02.A cotao do dlar, em um dia, era R$ 2,50 para um dlar. Sendo assim R$ 8.000,00 valem quantos dlares? Resp.: US$ 3.200

EXERCCIOS

01. Uma caixa de gua tem dimenses 50cm, 1m e 2m. Ao encher totalmente a caixa, faz-se um furo na sua base que provoca uma vazo de 5 litros por minuto. Em quanto tempo ela ficar totalmente vazia?(A) 2h(B) 3h 20min(C) 4h(D) 8h(E) 4h 40min

02. As dimenses internas de uma geladeira so de 6dm de largura, 50cm de profundidade e 0,8m de altura. Determine em litros a capaci-dade total desta geladeira.(A) 200(B) 220(C) 240(D) 260(E) 280

03. Vinte e quatro metros cbicos de certo produto devem ser acondicionados em fras-cos de 800ml. Quantos frascos sero necessrios?(A) 300 frascos(B) 3000 frascos(C) 30.000 frascos(D) 300.000 frascos(E) 3 frascos

04. Calcular o volume de gua contida numa caixa que tem 120cm de altura, 18dm de lar-gura e 0,22dam de comprimento.(A) 4.456 litros(B) 4.549 litros(C) 4.654 litros(D) 4.752 litros(E) 4.890 litros

05. Um reservatrio contm 1,8m3 de leo. Calcule quantas latas de 150dl esto contidas nesse reservatrio, se est cheio at os 5/6 de sua altura.(A) 32 latas(B) 45 latas(C) 52 latas(D) 67 latas(E) 100 latas

06. Em um temporal que aconteceu em junho,a chuva caiu com intensidade de 200 milme-tros de precipitao. Isso significa que se deixarmos a chuva cair em uma caixa cujo fundo tem um metro por um metro, a gua atinge, em uma hora, uma altura de 20 centmetros. Essa quantidade corresponde a quantos litros de gua de chuva?(A) 100 litros(B) 200 litros(C) 400 litros(D) 600 litros(E) 800 litros07. O eclipse lunar ocorrido em janeiro de 2001 comeou s 19h 42min, terminando s 22h 59min. Qual a durao total desse eclipse?(A) 2h 17min(B) 2h 18min(C) 2h 35min(D) 3h 17min(E) 3h 18min

08. Uma prova de matemtica comea s 12h 35min e tem durao de horas. A que horas termina a prova?(A) 17h(B) 17h e 25min(C) 20h e 5min(D) 16h e 40min(E) 16h e 80min

09. Dona Tida comprou: 5 pacotes de acar de 2kg cada um; 10 pacotes de maisena com 600g cada um; 20 pacotes de margarina de 250g cada um. Qual a massa total dessa compra?(A) 2,1kg(B) 21kg(C) 11.100g(D) 2.100g(E) 855g

010. (Tec. Cont. SC) A caixa de gua de uma casa tem capacidade de armazenamento de 2000 litros. Sabendo que ela possui base quadrada, com 1 metro de lado, assinale a alternativa que indica a altura desta caixa de gua.(A) 2 metros(B) 20 metros(C) 2 centmetros(D) 2 decmetros(E) 20000 centmetros

Gabarito

01. B 02. C 03. C04. D05. E

06. B07. D08. C09. B10. A

6. RAZO E PROPORO

Chama-se de razo entre dois nmeros racionais a e b, com b 0, ao quociente entre eles. Indica-se a razo de a para b por .Exerccio. Na sala da 6 B de um colgio h 20 rapazes e 25 moas. Encontre a razo entre o nmero de rapazes e o nmero de moas. (lembrando que razo diviso).

Resp.: Razo =

Exerccio. Voltando ao exerccio anterior, vamos encontrar a razo entre o nmero de moas e rapazes.

Resp.: Razo =

Lendo Razes

, l-se, 2 est para 5 ou 2 para 5.

Termos de uma Razo

Na razo , o nmero 5 o antecedente e o nmero 8 o conseqente.

Grandezas EspeciaisEscala a razo entre a medida no desenho e o correspondente na medida real.

Exerccio. Em um mapa, a distncia entre Montes Claros e Viosa representada por um segmento de 7,2 cm. A distncia real entre essas cidades de 4320km. Vamos calcular a escala deste mapa.

Resp.:

Velocidade mdia a razo entre a distncia a ser percorrida e o tempo gasto. (observe que neste caso as unidades so diferentes)

Exerccio. Um carro percorre 320km em 4h. Deter-mine a velocidade mdia deste carro.

Resp.: Vm =

PROPORES

Proporo a igualdade entre duas razes. A proporo entre a igualdade: .

Propriedade Fundamental das Propores

Numa proporo: os nmeros a e d so chamados de extremos enquanto os nmeros b e c so os meios e vale a propriedade: o produto dos meios igual ao produto dos extremos, isto : a . d = b . c..

Outras Propriedades das Propores

Numa proporo, a soma (ou diferena) dos dois primeiros termos est para o primeiro termo, assim como a soma (ou diferena) dos dois ltimos termos est para o terceiro termo.

Numa proporo, a soma (ou diferena) dos dois primeiros termos est para o segundo termo, assim como a soma (ou diferena) dos dois ltimos termos est para o quarto termo.

Numa proporo, a soma (ou diferena) dos antecedentes est para a soma (ou diferena) dos conseqentes, assim como cada antecedente est para seu conseqente.

Exerccios

01. Numa escola, a razo do nmero de professores para o nmero de alunos de 1 para 5. Se nessa escola h 40 professores, qual o nmero de alunos

A = 200

02. Aplicando as propriedades estudadas, calcule os valores desconhecidos em cada caso:

a)

b)

c) e

d)

01. A soma de dois nmeros 60. Encontre esses nmeros, sabendo que a razo entre o triplo do maior e o menor 9.

DIVISO PROPORCIONAL

1. Diretamente Proporcionais: Duas seqn-cias so diretamente proporcionais quando cons-tante o quociente entre os termos correspondentes. (a1, a2, a3) e (b1, b2, b3)

Dir. Prop.:

Ex.: Determine x e y para que as seqncias (1, x, 5) e (2, 6, y) sejam diretamente proporcionais.

Ex.: Dividir 121 em partes diretamente proporcionais a 2, 3 e 6.

2. Inversamente Proporcionais: Duas seqn-cias so inversamente proporcionais quando constante o produto entre os termos correspondentes (a1, a2, a3) e (b1, b2, b3)

Inv. Prop.: a1 . b1 = a2 . b2 = a3 . b3 = k

Ex.: Determine x e y de modo que as seqncias (x, 8, 10) e (20, 5, y) sejam inversamente proporcionais.

Ex.: Dividir 450 em partes inversamente proporcionais a 3, 6 e 8

M.M.C.(3, 6, 8) =24

3. Direta e Inversamente Proporcionais: Divide-se pelo produto dos dois, ou seja, diretamente pelo prprio nmero e inversamente, pelo inverso dos nmeros.

Ex.: Dividir 93 em partes ao mesmo tempo, diretamente proporcionais a 2, 3 e 5 e inversamente proporcionais a 3, 6 e 9.

M.M.C. (2, 3, 9) = 18

EXERCCIOS

01. Para equilibrar as contas de seu estado, um governador resolveu cortar drasticamente o nmero de cargos de confiana. Sero demitidos 2.400 funcionrios sem concurso, e o corte ser diretamente proporcional ao oramento de cada Secretaria. Por exemplo, a Secretaria que tem o maior oramento ter o maior nmero de cortes. O quadro abaixo mostra o oramento das 4 Secretarias que tero corte de funcionrios.

Secretaria A B C D

Oramento (em milhes de reais) 22 15 18 25

De acordo com esses dados, quantos funcio-nrios no concursados sero demitidos da Secretaria C?(A) 450 funcionrios.(B) 540 funcionrios.(C) 660 funcionrios.(D) 750 funcionrios.(E) 800 funcionrios.

02. Dividindo 700 em partes diretamente pro-porcional a 2 e 3 e inversamente propor-cional a 4 e 8, obtemos dois nmeros cujo produto igual a(A) 120000(B) 130000(C) 140000(D) 150000(E) 160000

03. Se os termos da seqncia (10, x, 5) so inversamente proporcionais aos termos da sequncia (20, 50, y), ento:(A) x y = 4(B) x + y = 40(C) x y = 30(D) x + y = 54(E) x + y = 44

04. Dois recipientes de igual volume esto cheios de uma mistura de lcool e gasolina na proporo de 2:5 e 3:4, respectivamente. Juntando-se seus contedos em um terceiro recipiente, obtm-se uma mistura de lcool e gasolina na proporo de:(A) 5 para 9(B) 3 para 8(C) 8 para 7(D) 5 para 6(E) 7 para 9

05. Analise as seguintes afirmaes:I. Se duas grandezas x e y variam de tal modo que o seu produto permanece constante, as grande-zas so inversamente proporcionais.II. Se os termos da seqncia (10, x, 5) so inversamente proporcionais aos da seqncia (20, 50, y) ento x + y = 44.III. 30 a quarta proporcional dos nmeros 12, 5 e 2.

Esto corretas:(A) II e III(B) Somente I(C) Somente II(D) I e III(E) I e II

06. A sequncia (2, 3, 5, x) diretamente pro-porcional a (4, x, 10, y). O valor de x + y (A) 12(B) 6(C) 16(D) 18(E) 20

07. Eliane, engenheira qumica de uma indstria, ao estudar certa liga metlica, percebe que esta composta de cobre, estanho e zinco. Nela existem 2 partes de estanho para 5 partes de cobre e 3 partes de zinco para 15 partes de cobre. Com base neste estudo, ela precisa determinar a razo entre a quantidade de zinco e a de estanho na liga. Ajude-a neste novo estudo.(A) 2/1(B) 2/3(C) 1/2(D) 3/2(E) 3/4

08. Uma substncia constituda de uma mistura das substncias A e B, na proporo de 3 litros de A para 5 litros de B. Quantos litros da substncia B devemos adicionar mistura para que esta passe a conter da substncia B?(A) 7(B) 6(C) 5(D) 4(E) 3

09. Atualmente, a gasolina que abastece nossos carros , na verdade, uma mistura, em que a cada quatro litros de gasolina adicionado um litro de lcool. O tanque de um posto de abastecimento est com 60 mil litros dessa mistura. Nessas condies, quantos litros de lcool existem nesse tan-que?(A) 12 mil litros.(B) 13 mil litros.(C) 20 mil litros.(D) 40 mil litros.(E) 48 mil litros.

010. Para a cobertura da ltima Copa do Mundo, disputada na Frana, a FIFA, Federao Internacional de Futebol Association, distri-buiu 1.880 credenciais s imprensas argen-tina, brasileira e colombiana. Tal distribuio foi feita nessa ordem, mas em partes diretamente proporcionais aos nmeros 3, 5 e 6, e, inversamente proporcionais a 12, 15 e 30, respectivamente. Perguntou-se a um estudante do 1 perodo do Ensino Mdio da ETFPE: quantas credenciais a imprensa brasileira teve a mais que a colombiana? O aluno pensou e prontamente respondeu:(A) 300(B) 320(C) 260(D) 240(E) 220

011. Em um desenho de uma casa, o comprimento da sala, que de 6m, est representado por um segmento de 3 cm. A escala utilizada foi de(A) 1 : 50(B) 1 : 100(C) 1 : 200(D) 1 : 500(E) 1 : 10

012. O Sr. Joo Carlos depositou uma pequena parcela do seu salrio numa poupana. No ms de dezembro, o saldo dessa poupana era de R$ 3.330,00. Ele repartiu essa quantia, como presente de natal, entre seus filhos em partes diretamente proporcionais s suas idades. Jnior tem 15 anos, Beatriz 12 e Natlia 10 anos. Quanto recebeu o mais velho?(A) R$ 1.330,00(B) R$ 1.335,00(C) R$ 1.340,00(D) R$ 1.345,00(E) R$ 1.350,00

Gabarito

01. B02. A03. E04. A05. E

06. D07. C08. D09. A10. B

11. C12. E

7. REGRA DE TRS

Chama-se Regra de Trs a certos problemas nos quais, sendo dados valores de vrias grandezas, sempre em nmero mpar de, no mnimo trs, props-se determinar o valor de uma, e somente uma grandeza desconhecida.Regra prtica: O termo que se relaciona com x (termo desconhecido) fica sempre no numerador. Compara-se cada razo com a razo que tem x. A pergunta para saber qual termo da razo que vai para o numerador. Se a resposta for mais (+), o que vai para o numerador o maior termo da razo. Se a resposta for menos (-), o menor.Existem dois tipos de Regra de Trs.1 Regra de Trs Simples.Quando envolver apenas duas grandezas.

Ex.:1 Com 4.800kg de farinha de trigo Lcia fez 8 bolos em sua confeitaria. Quantos bolos inteiros conseguir fazer com 16.800kg de farinha de trigo, usando a mesma receita (mesmas medidas e mesma forma)?kgBolos4.800 8

16.800 X

2 Um total de 3.000 insetos destri uma lavoura em 18 horas. Em quantas horas 3.600 insetos destruiriam a mesma lavoura?

Insetos Tempo

-3000 18

3600 x

2. Regra de Trs Composta: Quando envolver mais de duas grandezas.Ex.:1 Uma mquina funcionando 4 horas por dia, fabrica 12.000 pregos durante 6 dias. Quantas horas por dia, deveria funcionar, para fabricar 20.000 pregos em 20 dias?H/D Pregos Dias

-+4 12.000 6

x 20.000 20

2 Vinte e quatro operrios fazem de determinado servio em 10 dias, trabalhando 7 horas por dia. Em quantos dias a obra estar terminada, sabendo-se que foram dispensados 4 operrios e o regime de trabalho diminudo de uma hora por dia?

OPServiosDiasH/D

+++++24 107

20 x6

Exerccios

01. Um aluno resolve passar os quinze dias de seu recesso escolar na casa de um amigo no interior e, para isto, ele leva uma quantidade em dinheiro suficiente para tal perodo. Chegando casa do amigo, ele se empolga com as novidades e resolve passar vinte dias e no mais quinze. Como no tem acesso a mais dinheiro, deve fazer uma reduo dos gastos para se manter nos cinco dias a mais. Nestas condies, o seu gasto fora reduzido em(A) 30%(B) 25%(C) 20%(D) 15%(E) 10%

02. Uma famlia resolve passar 18 dias do vero, na praia de Tamandar/PE. Para tal, reserva uma quantidade de dinheiro x para a tempo-rada, estimando, assim, uma quantidade de dinheiro por dia. Chegando ao local, decide ampliar a temporada que se estende para 30 dias; nessa condio, o dinheiro gasto por dia fica reduzido em (A) 70%(B) 60%(C) 50%(D) 40%(E) 30%

03. Um automvel, com velocidade de 60km/h, percorre 900km em 3 dias, viajando 5 horas por dia. Ento, a velocidade mdia necessria para percorrer 1200 km em 2 dias, viajando 8 horas por dia de:(A) 75 km/h(B) 78 km/h(C) 80 km/h(D) 85 km/h(E) 88 km/h

04. Para alimentar 12 crianas durante 20 dias so necessrios 400Kg de alimentos. Assinale a alternativa abaixo que indica a quantidade de crianas que podem ser alimentadas, durante 24 dias com 600Kg de alimentos.(A) 13(B) 15(C) 12(D) 6(E) 14

05. Quinze operrios, trabalhando 9h por dia, construram 36m de muro em 16 dias. Em quanto tempo 18 operrios faro 60m do mesmo muro, trabalhando 8h por dia?(A) 22 dias(B) 20 dias(C) 16 dias(D) 18 dias(E) 25 dias06. Se um trem leva 2 minutos para percorrer o trajeto entre duas estaes, o esperado que outro trem, cuja velocidade mdia 80% da velocidade do primeiro, percorra o mesmo trajeto em:(A) 2 minutos e 40 segundos.(B) 2 minutos e 30 segundos.(C) 2 minutos e 20 segundos.(D) 2 minutos e 15 segundos.(E) 2 minutos e 5 segundos.

07. Numa grfica, 7 mquinas do mesmo rendi-mento imprimem 50.000 cartazes iguais em 2 horas de funcionamento. Se duas maquinas no estiverem funcionando, as 5 mquinas faro o mesmo servio em(A) 3 horas e 10 minutos(B) 3 horas(C) 2 horas e 55 minutos(D) 2 horas e 50 minutos(E) 2 horas e 48 minutos

08. Sabe-se que 5 mquinas, todas de igual eficincia, so capazes de produzir 500 peas em 5 dias, operando 5 horas por dia. Se 10 mquinas iguais s primeiras operassem 10 horas por dia, durante 10 dias, o nmero de peas produzidas seria(A) 1000(B) 2000(C) 4000(D) 5000(E) 8000

09. Um motor de avio consome 450 litros de gasolina em duas horas de vo, quando funciona a 3.000 rotaes por minuto, na altitude de 2.500 metros. Sabendo-se que quanto maior a altitude, maior o consumo, em uma hora de vo a 3.000 metros de altura, funcionando a 4.500 rotaes por minutos, o consumo ser de(A) 405 litros(B) 540 litros(C) 1.000 litros(D) 500 litros(E) 300 litros

010. Em um planto de 4 horas, 5 mdicos aten-dem 40 pacientes. Supondo que os mdicos gastam o mesmo tempo para atender um paciente e que o planto passou a ser de 6 horas, o nmero de mdicos necessrios para atender 60 pacientes igual a(A) 7(B) 5(C) 6(D) 8(E) 4

Gabarito

01. B02. D03. A04. B05. E

06. B07. E08. C09. A10. B

8. PORCENTAGEM

1. Razo Centesimal a razo cujo conseqente igual a 100.

Ex.:

2. Taxa Percentual a taxa equivalente razo centesimal

Ex.:

3. Transformao de Porcentagem em Frao Irredutvel

Ex.: 25% = 40% =

50% =

4. Transformao de Frao Irredutvel em Porcentagem

Ex.:

5. Percentual de uma Quantidade

Exerccio. Calcule 45% de 1600

Exerccio. Calcule 20% dos 30% dos 40% dos 50% de 6000

6. Fator de Aumento (100% + i);i taxa percentual.

Exerccio. O preo de uma cala de R$ 80,00. Se ela sofresse um reajuste de 25% qual seria seu novo preo?

7. Fator de Desconto (ou Reduo)(100% - i)

Exerccio. O preo de um rdio R$ 150,00. Quanto devo pagar por esse rdio se o vendedor concedeu-me um desconto de 20%?

8. Aumentos Sucessivos (1 + i1) (1 + i2) (1 + in) 1 Exerccio. Uma mercadoria sofreu um aumento de 20% no primeiro ms e, no ms seguinte, um novo aumento de 40%. Qual foi o aumento acumulado nesses dois meses?

Aumento = 68%

Exerccio. Trs aumentos consecutivos de 20%, 25% e 30% correspondem a um nico aumento de:

Aumento = 95%

9. Descontos Sucessivos 1 (1 i1 (1 i2) (1 i3) (1 in)

Exerccio. Dando-se um desconto de 20% e, em seguida, outro de 40%. Qual ser o desconto total acumulado?

Desconto = 52%

Exerccio. Trs descontos consecutivos de 20%, 25% e 30% equivalem a um s desconto de:

Desconto = 58%

EXERCCIOS

01. Num supermercado, um produto foi posto em promoo com 20% de desconto sobre o seu preo de tabela, por um perodo de 5 dias. Concludo esse perodo, o preo promocional foi elevado em 10%. Com esse aumento, o desconto em relao ao preo de tabela passou a ser(A) 8% (D) 15%(B) 10% (E) 15%(C) 12%

02. Depois de dois descontos sucessivos de 4% e de 5%, uma mercadoria passou a custar R$ 27,36. Qual era o valor de mercadoria, antes de serem aplicados os descontos?(A) R$ 30,80(B) R$ 30,60(C) R$ 30,40(D) R$ 30,20(E) R$ 30,00

03. Se Ana ganha 25% a mais que Beatriz, Carla 25% a menos que Ana, e a diferena entre os salrios de Ana e Carla so de R$ 1.250,00, quanto ganha Beatriz?(A) R$ 3.200,00(B) R4 3.400,00(C) R$ 3.600,00(D) R$ 3.800,00(E) R$ 4.000,00

04. Na eleio para prefeito de uma cidade, os candidatos A e B foram para o 2 turno. Em uma pesquisa de opinio sobre inteno de voto no segundo turno da eleio, uma amostra de eleitores revelou que 360 votariam no candidato A 480 votariam no candidato B e eram contra a lei. 44% dos eleitores estavam indecisos.

A porcentagem de eleitores que votariam no candidato A, em relao ao total de entrevistados, foi(A) 21% (D) 23%(B) 22% (E) 25%(C) 24%

05. Numa turma mista de certo colgio, 40 estu-dantes inscreveram-se para uma excurso. No dia da viagem, faltaram 25% dos rapazes, diminuindo para 36 o nmero de estudantes presentes para a viagem. Assim, correto afirmar que, dentre os inscritos, viajaram:(A) 15 rapazes(B) 14 rapazes(C) 13 rapazes(D) 12 rapazes(E) 11 rapazes

06. O preo de venda de um eletrodomstico de R$ 700,00. Sabendo que o ganho de 40% sobre o preo do custo do eletrodomstico. O valor do preo de custo :(A) R$ 350,00(B) R$ 400,00(C) R$ 500,00(D) R$ 550,00(E) R$ 600,00

07. Em um relatrio sobre as atividades desenvo-lvidas em um dado ms pelos funcionrios lotados em certa estao do Metr, foi registrado que:- 25% do total de funcionrios eram do sexo feminino e que, destes, 45% haviam cumprido horas-extras;- 60% do nmero de funcionrios do sexo masculino cumpriram horas-extras;- 70 funcionrios no cumpriram horas-extras.

Com base nessas informaes, nesse ms, o total de funcionrios lotados em tal estao era:(A) 120 (D) 180(B) 150 (E) 190(C) 160

08. O salrio de um profissional da Empresa Pernambuco S/A reajustado semestral-mente. No primeiro semestre de 2003, o aumento salarial foi de 10%, e, no segundo semestre do mesmo ano, foi de 22%. O percentual de aumento salarial do citado profissional, no ano de 2003, foi de(A) 32,2%(B) 33,2%(C) 34,0%(D) 32,0%(E) 34,2%

09. Do faturamento anual de uma indstria, 7 milhes de reais foram utilizados para o pagamento dos empregados e para aquisi-o de matria prima. Do que sobrou, 25% foram gastos com publicidade, sobrando 3 milhes de reais para outras despesas, incluindo pagamento dos impostos. Nestas condies, qual o faturamento dessa inds-tria?(A) 10,0 milhes de reais.(B) 11,0 milhes de reais.(C) 11,5 milhes de reais.(D) 12,0 milhes de reais.(E) 12,5 milhes de reais.

010. Dentre os inscritos num concurso, 60% so homens e 40% so mulheres. J tm emprego 80% dos homens e 30% das mulheres. Qual a porcentagem dos candidatos que j tm emprego?(A) 60%(B) 40%(C) 30%(D) 24%(E) 12%

Gabarito

01. C02. E03. E04. C05. D

06. C07. C08. E09. B10. A

9. MDIAS

1. Mdia Aritmtica

o quociente entre a soma dos termos e o nmero de termos.

MA =

Ex.: Calcule a mdia aritmtica dos nmeros 3,5 e 7.

2. Mdia Ponderada

o quociente da soma do produto dos termos por seus respectivos pesos e a soma dos pesos.

MP =

Ex.: Numa equipe de futebol temos trs jogadores com 21 anos, 4 com 22 anos, 2 com 24 anos e 2 com 27 anos. Qual a idade mdia dos jogadores dessa equipe?

Ex.: Um copo de suco de limo custa R$3,40 e um copo de gua custa R$ 0,40. Misturam-se 10 copos de suco de limo e 20 copos de gua. Quanto custar o copo dessa limonada?


01. A mdia aritmtica de um conjunto de 11 nmeros 45. Se o nmero 8 for retirado do conjunto, a mdia aritmtica dos nmeros restantes ser:(A) 48,7(B) 48(C) 47,5(D) 42(E) 41,5

02. A mdia aritmtica de um conjunto de 12 nmeros 9. Se os nmeros 10, 15 e 20 forem retirados do conjunto, a mdia aritmtica dos restantes ser:(A) 7 (D) 17(B) 10 (E) 18(C) 12

03. Numa turma com igual nmero de moas e rapazes foi aplicada uma prova de Mate-mtica. A mdia aritmtica das notas das moas foi 9,2 e a dos rapazes foi 8,8. Qual a mdia aritmtica das notas de toda a turma nesta prova?(A) 7(B) 8,9(C) 9(D) 9,1(E) 9,2

04. Aplicou-se um teste aos alunos de uma disciplina ao qual compareceram 180 alunos foram distribudos em 3 turmas com 55, 60 e 65 estudantes, e que as mdias aritmticas das notas obtidas, em cada uma das turmas, foram 5,2, 6,6 e 6,8, respectivamente, indique qual foi a mdia das notas do referido teste:(A) 6,12(B) 6,16(C) 6,20(D) 6,24(E) 6,28

05. As bebidas L, V, R possuem teor alcolico de 24%, 44% e 36%, respectivamente. Qual o teor alcolico de um coquetel consistindo de 50 ml de L, 25 ml de V, 25 ml de R e 100 ml de gua?(A) 15% (D) 17%(B) 20% (E) 19%(C) 16%

06. No concurso para cabo de uma Instituio Militar, o candidato submetido a 4 avalia-es: Matemtica e Portugus com peso 2,0, Avaliao Fsica com peso 3,0 e Conhe-cimentos Especficos com peso 1,0. O soldado Marcelo se submeteu ao concurso e obteve os seguintes resultados:

Portugus: Nota 5,0Matemtica: Nota 8,0Avaliao Fsica: Nota 3,0Conhecimentos Especficos: Nota 5,0

A mdia ponderada do soldado Marcelo, no concurso, foi de(A) 4,0 (D) 5,5 (B) 5,0 (E) 3,8(C) 4,5

07. A mdia aritmtica das idades de um grupo de mdicos e advogados 40 anos. A mdia aritmtica das idades dos mdicos 35 anos e a dos advogados 50 anos. Pode-se, ento, afirmar que:(A) O nmero de advogados o dobro do nmero de mdicos no grupo.(B) O nmero de mdicos o dobro do nmero de advogados no grupo.(C) H um mdico a mais no grupo.(D) H um advogado a mais no grupo. Existem as mesmas quantidades de mdicos e advogados no grupo.(E) Existem as mesmas quantidades de mdicos e advogados no grupo.

08. Um automobilista desenvolve as velocidades seguintes:

75 km/h durante 2 horas80 km/h durante 3 horas90 km/h durante 1 hora

A velocidade mdia alcanada foi de:(A) 85 km/h(B) 70 km/h(C) 90 km/h(D) 80 km/h(E) 82 km/h

09. A prova de um concurso formada pelas disciplinas Portugus, Matemtica, Inform-tica e Administrao, que tm pesos respec-tivos 1,5; 2,0; 2,5 e 4,0. Se um candidato obteve mdia ponderada 7,1 e suas notas respectivas em Portugus, Matemtica e Informtica foram 7,0; 8,0 e 9,0, qual foi a nota do candidato em Administrao?(A) 5,4 (D) 5,7(B) 5,5 (E) 5,8(C) 5,6

010. Em uma repartio, trabalham seis mulheres e quatro homens. A mdia das idades das mulheres de 45 anos, e a mdia das idades dos homens de 40 anos. Qual a mdia das idades dos trabalhadores da repartio?(A) 42 anos(B) 43 anos(C) 44 anos(D) 45 anos(E) 46 anos

Gabarito

01. A02. A03. C04. D05. C

06. B07. B08. D09. B10. B

10. JUROS SIMPLES

JurosPode-se dizer que juros uma compensao ou prmio que se recebe quando se empresta uma quantia, por certo tempo, a algum. Na Matemtica temos, basicamente, dois tipos de juros: os Simples e os Compostos. Neste captulo estudaremos os Juros Simples.

Juros Simples (Frmulas)Para trabalhar as questes de Juros Simples devemos aplicar as seguintes frmulas:

e

J JurosM MontanteC Capital C Capitali taxaJ Jurost tempo

Ex.: Calcular os juros (simples) produzidos pelo capital de R$ 1.500,00 taxa de 20% ao ano, em 3 anos.

Soluo: pelos dados do problema, temos: , , anos. Aplicando direto na frmula, vem:

, ou seja, os juros simples sero de R$ 900,00.

Ex.: Voltando ao exemplo anterior, quanto dar o montante daquela aplicao? Em outras palavras, quanto voc retiraria do banco, caso se tratasse de uma poupana?

Soluo: basta aplicar diretamente na frmula do montante:

.

Ex.: Qual o capital que, aplicado a 40% ao ano, rende, em 4 anos, juros de R$ 2.000,00?

Soluo:

O capital aplicado foi de R$ 1.250

EXERCCOS COMPLEMENTARES

01. (B.B) Um capital de R$ 100.000,00 rendeu R$ 10.800,00 de juros, em 90 dias. Quanto renderia em 12 meses, a uma taxa mensal 0,1% maior que a primeira?(A) R$ 26.400,00(B) R$ 42.000,00(C) R$ 44.400,00(D) R$ 55.200,00(E) R$ 79.200,00

02. Carlos Eduardo colocou metade do seu capital a 5% a.m. e a outra metade a 8% a.m., durante 2 meses, obtendo um rendimento de R$ 26.000,00. Determinar o capital total.(A) R$ 100.000,00(B) R$ 150.000,00(C) R$ 200.000,00(D) R$ 250.000,00(E) R$ 180.000,00

03. (CEF) Um capital qualquer, empregado a juros simples de 10,5% a.m., produzir um rendi-mento igual a 70% do seu prprio valor, se ficar aplicado durante:(A) 140 dias.(B) 175 dias.(C) 180 dias.(D) 200 dias.(E) 210 dias.

04. (B.B) Em quantos meses um capital duplica de valor taxa de 60% a.a.?(A) 10(B) 15(C) 18(D) 20(E) 25

05. (C.E.F) Uma geladeira vendida vista por R$ 1000,00 ou em duas parcela, sendo a primeira como uma entrada de R$ 200,00 e a segunda, dois meses aps, no valor de R$ 880,00. Qual a taxa mensal de juros simples utilizada?(A) 6%(B) 5%(C) 4%(D) 3%(E) 2%

06. Em um regime de capitalizao simples, um capital de R$ 12.800,00 foi aplicado taxa anual de 15%. Para se obter o montante de R$ 14.400,00 esse capital deve ficar aplicado por um perodo de:(A) 8 meses.(B) 10 meses.(C) 1 ano e 2 meses.(D) 1 ano e 5 meses.(E) 1 ano e 8 meses.

07. (CEF) Um capital foi aplicado a juros simples, e ao completar um perodo de 1 ano e 4 meses, produziu um montante equivalente a de seu valor. A taxa mensal dessa aplica-o foi de:(A) 2%(B) 2,2%(C) 2,5%(D) 2,6%(E) 2,8%

08. Trs oitavos de um capital foram empregados a 6% a.a. e o restante a 12% a.a.. No final de um ano obteve-se um total de R$ 975,00, de juros. O capital empregado foi de:(A) R$ 10.000,00(B) R$ 9.000,00(C) R$ 8.500,00(D) R$ 8.000,00(E) R$ 7.000,00

09. Paulo resolveu aplicar uma parte de seu salrio a juros simples de 2,1% ao ms. Qual foi o valor aplicado, sabendo que ele recebe no final de 1 ano e 3 meses, juros de R$ 472,50?(A) R$ 1.464,75(B) R$ 1.730,70(C) R$ 1.150,00(D) R$ 1.730,00(E) R$ 1.500,00

010. Um capital aplicado a juros simples triplica em 3 anos e 4 meses. Qual a taxa mensal de juros simples correspondente?(A) 10%(B) 8%(C) 2,5%(D) 5%(E) 7,5%

Gabarito

01. C02. C03. D04. D05. B

06. B07. C08. A09. E10. D

11. JUROS COMPOSTOS

Determinado capital est submetido ao regime de juros compostos, quando no final de cada perodo de capitalizao, os rendimentos do perodo so incor-porados ao capital, gerando um montante (M = C + J), que se transforma em novo capital, que ser a base para o clculo do perodo seguinte; este processo se repete at o final do ltimo perodo.

Obs.: No sistema de capitalizao simples os juros de cada perodo so calculados sempre com base no capital inicial.

Na soluo de problemas de juros compostos, devemos observar o seguinte:

1) Quando a questo no indicar o perodo de capitalizao, ser utilizado aquele ao qual se refere taxa.2) A taxa e o perodo de capitalizao devem, rigorosamente, estar na mesma unidade.3) Trabalharemos sempre com a taxa na forma unitria.

Ex.: 20% = = 0,2

Comparao entre os regimes de juros simples e juros compostos.

Suponha a aplicao de um capital de R$ 1.000,00, taxa de 10% a.m., no fim de 4m, com capitalizao mensal.

C = R$ 1000,00

i = 10% = = 0,1 n = 4m n = 4

Juros Simples

nJuros por perodoMontante

11000 x 0,1 = 1001100

21000 x 0,1 = 1001200

31000 x 0,1 = 1001300

41000 x 0,1 = 1001400

Juros Compostos

nJuros por perodoMontante

11000 x 0,1 = 1001100

21100 x 0,1 = 1101210

31210 x 0,1 = 1211331

41331 x 0,1 = 133,101.464,10

Obs.: n = 1 MC = MS n > 1 MC > MS o < n < 1 MC < MS

Grficos do Montante

Juros Simples Juros Compostos M = C + Cin M = C (1 + i)n

Clculo do Montante em Juros CompostosM1 = C(1 + i)M2 = M1.(1 + i) = C(1 + i) . (1 + i) = C(1 + i)2M3 = M2.(1 + i) = C(1 + i)2 . (1 + i) = C(1 + i)3M4 = M3.(1 + i) = C(1 + i)3 . (1 + i) = C(1 + i)4

M = C(1 + i)n

(1 + i)n, chamado de fator de acumulao de capital.

Obs.: Se n for superior a 5, devemos resolver com auxlio de: TABELAS FINANCEIRAS.


01. Calcular o Montante que aplicado a juros compostos de 6% a.a., capitalizados semestralmente durante 1 ano e 6 meses atingir um capital de R$ 200.000,00.

C = R$ 200.000,00i = 6% a.a. = 3% a.s.n = 1a 6m n = 3M = ?M = C(1 + i)nM = 200.000 (1 + 0,03)3M = 200.000 (1,03)3M = 200.000 x 1,0927 M = R$ 218.540,00

02. Calcular o capital que aplicado a juros compostos, capitalizados bimestralmente a taxa de 12% a.a. durante 8 meses, produziu um montante de R$ 108.240,00.C = ?

i = 12% a.a. = = 2% a.b.n = 8 m n = 4 bim.M = R$ 108.240,00M = C(1 + i)n108.240 = C(1 + 0,02)4108.240 = C(1,02)4108.240 = C x 1,0824

C = C = R$ 100.000,0003. Um banco remunera mensalmente as aplica-es, incorporando os juros obtidos ao investimento. O valor de certa aplicao aumentou 21% em 2 meses. Assinale, em percentagem, a taxa mensal de juros com que o banco opera?

M = 121% C.n = 2M = C(1 + i)n121%C = C(1 + i)2

= C (1 + i)2

1 + i = 1 + i = 1 + i = 1,1i = 1,1 1 0,1

i = 10% a.m

04. Um montante de R$ 3.600,00 foi resultado de uma aplicao de R$ 2.500,00 taxa efetiva mensal de 20%. Quantos perodos mensais durou essa aplicao?

M = R$ 3.600,00C = R$ 2.500,00i = 20% a.m = 0,2n = ?3600 = 2500 (1 + 0,2)n

= (1,2)n 1,2n = 1,44 1,2n = 1,22 n = 2


01. No regime de juros compostos, aps um ano de aplicao a uma taxa de 10% ao semestre obteve-se um montante de R$ 8.470,00. Qual foi o capital aplicado?(A) R$ 6.500,00(B) R$ 7.500,00(C) R$ 8.000,00(D) R$ 8.500,00(E) R$ 7.000,00

02. Se aplicarmos R$ 25.000,00 a juros compos-tos, rendendo 7% a cada bimestre quanto teremos aps 3 anos?(A) R$ 25.000,00 x (1,70)6(B) R$ 25.000,00 x (1,07)18(C) R$ 25.000,00 x (0,93)3(D) R$ 25.000,00 x (1,70)3(E) R$ 25.000,00 x (0,07)18

03. Se desejo comprar um apartamento no valor de R$ 600.000,00, quanto devo aplicar hoje, num investimento cuja rentabilidade de 10% a.s., para que possa efetuar a compra daqui a 2 anos?(A) R$ 409.808,10(B) R$ 419.808,10(C) R$ 429.808,10(D) R$ 432.808,10(E) R$ 439.808,10

04. Uma pessoa recebe uma proposta de invs-timento para hoje, quando uma quantia de R$ 200,00 far com que, no final do segundo ano, o valor do montante seja R$ 242,00. No regime de juros compostos, a taxa de rentabilidade anual desse investimento : de:(A) 5% (D) 12,5%(B) 7,5% (E) 15%(C) 10%

05. Num regime de capitalizao composta o montante M, resultante da aplicao de um capital C, taxa percentual i, por n perodo, dado pela lei M = C(1 + i)n. Assim, dados, M, C e n, a taxa i pode ser calculada pela expresso:(A) i = (B) i = (C) i = (D) i = (E) i = 06. Um capital de R$ 500,00 foi aplicado a juros simples por 3 meses, taxa de 4% ao ms. O montante obtido nessa foi aplicado a juros compostos por 2 meses taxa de 5% a.m. ao final da segunda aplicao, o montante obtido era de:(A) R$ 560,00(B) R$ 585,70(C) R$ 593,00(D) R$ 616,00(E) R$ 617,40

07. Um tcnico judicirio aplicou R$ 300,00 a juros simples por 1 bimestre, taxa anual de 30%. O montante obtido nessa aplicao foi aplicado a juros compostos por 2 meses, taxa de 3% ao ms. Dos valores abaixo, o que mais se aproxima do montante obtido na segunda aplicao :(A) R$ 333,00(B) R$ 326,22(C) R$ 334,18(D) R$ 324,00(E) R$ 315,00

08. Um investidor aplicou R$ 10.000,00, por 2 anos, taxa de juros compostos anuais de 10%. Com base no texto, correto afirmar que, ao final do perodo de 2 anos, o juro obtido nesse investimento foi:(A) superior a R$ 1.300,00 e inferior a R$ 1.600,00.(B) superior a R$ 1.600,00 e inferior a R$ 1.900,00.(C) superior a R$ 1.900,00 e inferior a R$ 2.200,00.(D) superior a R$ 2.200,00.(E) inferior a R$ 1.300,00.

09. Um carto de crdito cobra juros cumulativos de 14% ao ms. Em quantos anos, um dbito de R$ 1,00 neste carto se transforma em uma dvida de R$ 12. 500,00?

Dado: use a aproximao 1,14 12.500(A) 10 anos(B) 9 anos(C) 8 anos(D) 7 anos(E) 6 anos

010. O setor de cultivo de flores no Brasil cresceu 20% ao ano, cumulativamente, em relao ao ano anterior, desde 1996. Qual foi o crescimento percentual total deste setor nos 14 anos, de 1996 a 2010?

Dado: use a aproximao 1,2 12,84.(A) 1284%(B) 1184%(C) 280%(D) 128,4%(E) 118,4%

Gabarito

01. E02. B03. A04. C05. D

06. E07. C08. C09. E10. B

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