Matematica Financeira Regime de Capital e Taxas de Juros

MATEMTICA FINANCEIRA

Regimes de Capitalizao e Taxas de Juro

So Paulo, SP Dezembro 2011


REGIMES DE CAPITALIZAO E TAXAS DE JURO

Matemtica Financeira Regimes de Capitalizao e Taxas de Juro - ltima atualizao: 14/09/12 2 Copyright Direitos de Edio reservados pela Associao BM&F. A violao dos direitos autorais crime estabelecido na Lei n 9.610/98 e punido pelo artigo 184 do Cdigo Penal.

NDICE

MATEMTICA FINANCEIRA ............................................................................................ 3

INTRODUO MATEMTICA FINANCEIRA ............................................................... 4

Valor do Dinheiro no Tempo ..................................................................... 5

Juros e Taxa de Juro ..................................................................................... 5

Valor Futuro ....................................................................................................... 7

Exerccios Resolvidos ................................................................................. 10

Concluses ........................................................................................................ 11

REGIME DE CAPITALIZAO SIMPLES ...................................................................... 13

Introduo ........................................................................................................ 14

Capitalizao Simples ou Juros Simples ......................................... 15

Variveis da frmula de juros simples............................................. 17

Conceituando taxas proporcionais ..................................................... 20

Concluso........................................................................................................... 21

REGIME DE CAPITALIZAO COMPOSTA ................................................................. 22

Introduo ........................................................................................................ 23

Capitalizao Composta ou Juros Compostos ............................. 23

Variveis da frmula de juros compostos ...................................... 26

Conceituando taxas equivalentes ....................................................... 31

Concluso........................................................................................................... 34

CLASSIFICAO DAS TAXAS DE JURO........................................................................ 35

Introduo ........................................................................................................ 36

Taxas Nominal, Efetiva e Real............................................................... 36

Taxas Acumuladas........................................................................................ 37

Taxa Mdia ........................................................................................................ 39

Taxa Over........................................................................................................... 39

Taxas Contnuas ............................................................................................ 41

Variveis da frmula da capitalizao contnua ........................ 42

Taxas equivalentes na capitalizao contnua ............................ 43

CONCLUSO................................................................................................................ 45




MATEMTICA FINANCEIRA Este curso foi desenvolvido especialmente para as pessoas interessadas em estudar a mecnica operacional e as estratgias realizadas nos mercados de aes e de derivativos de ativos financeiros e de commodities. Nosso objetivo auxili-los no entendimento dos fundamentos da matemtica financeira, abordando os regimes de capitalizao e as caractersticas e as propriedades das taxas de juros. Para um melhor aproveitamento, tenha sempre a mo uma calculadora financeira. No decorrer do curso, voc encontrar dicas para manusear a HP 12C.




INTRODUO MATEMTICA FINANCEIRA A seguir se apresentam alguns conceitos bsicos utilizados em matemtica financeira. O objetivo deste primeiro passo formar as bases para uma maior compreenso das frmulas matemticas utilizadas diariamente em operaes realizadas no mercado financeiro.

Tpicos

1. Valor do Dinheiro no Tempo

2. Juros e Taxa de Juro

3. Valor Futuro

4. Exerccios Resolvidos

5. Concluso




Valor do Dinheiro no Tempo

A Matemtica Financeira trata da comparao de valores monetrios que esto separados no tempo. Atravs de seu estudo, podemos analisar alternativas de investimento e financiamento, como por exemplo:

Ao aplicar R$100 mil hoje em certo investimento, quanto vou obter aps um ano?

Como comparar valores no tempo (R$523 mil hoje com R$532,4 mil daqui a um ms ou R$597,6 daqui a um ano)??

Quais as alternativas de tomar emprestado considerando os custos embutidos que voc dever arcar para saldar as suas dvidas futuras?

Para responder estas perguntas, estaremos apresentando neste captulo conceitos bsicos necessrios para o bom entendimento das principais frmulas da matemtica financeira.

Suponha que voc resolva vender o seu apartamento pelo valor de R$100 mil e recebe uma proposta de compra por R$98 mil a vista, quando da assinatura do contrato de compra-venda ou R$80 mil nesse ato e mais R$20 mil quando da escriturao, que ser realizada 30 dias depois. Qual ser o melhor negcio para voc: receber R$98 mil hoje ou as duas parcelas sugeridas pelo comprador?

Para resolver esta questo precisamos entender o que so juros.

Dica 01: HP 12 C

Para ligar e desligar pressione a tecla

Se ao ligar a calculadora um asterisco do lado inferior esquerdo do visor estiver piscando, troque as baterias, pois as mesmas esto fracas.

Veja no Anexo 1 deste captulo uma figura da HP 12C e algumas de

suas funes.

Juros e Taxa de Juro

Os juros representam o custo do dinheiro emprestado, ou, analogamente, a remunerao pelo sacrifcio de adiar uma deciso de gasto/consumo e aplicar o capital (C) disponvel por certo nmero de perodos (n).

Definies

Capital: o valor aplicado atravs de alguma operao financeira.

Tambm conhecido como: Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado. Na lngua inglesa, usa-se Present Value, indicado nas

calculadoras financeiras pela tecla Durante o curso, o Capital sempre ser expresso por C0.




Nmero de perodos: tempo, prazo ou perodo, prazo em determinada

unidade de tempo (dias, meses, anos, etc..) em que o capital foi

empregado, indicado nas calculadoras financeiras pela tecla . Durante o curso, o nmero de perodos sempre ser expresso por n

Qual ser o melhor negcio: receber R$98 mil hoje ou R$80 mil hoje e mais R$20 mil em um ms? Logicamente, a resposta depender da taxa de juro praticada no mercado. Conforme a taxa vigente, poder ser mais vantajoso receber os R$98 mil hoje e aplic-los em uma instituio financeira durante um ms ou receber R$80 mil hoje, aplic-los durante um ms e, no final desse perodo, receber R$20 mil do comprador. Observe que para tomar esta deciso, preciso comparar um valor de hoje com um valor em uma data futura.

Qual a diferena entre juros e taxa de juro?

Juros: valor expresso em dinheiro (por exemplo, em reais) sempre referido a um determinado capital e para um determinado perodo. Tambm pode ser definido como a remunerao do capital, ou seja, o valor pago pelos devedores aos emprestadores, em troca do uso do dinheiro. Durante o curso, os Juros sempre sero expressos por J. Podem, portanto, ser expressos pela seguinte frmula: J = Montante final - Capital Inicial = (Cn - C0)

Taxa de juro: a unidade de medida dos juros custo ou remunerao percentual pago pelo uso do dinheiro durante determinado tempo. expressa em porcentagem

ao perodo e usada atravs de sua representao decimal nas frmulas matemticas. Durante o curso, a taxa de juro sempre ser expressa por i. Pode ser definida por:

0

Ji 100

C

Porcentagem: a taxa de juro em porcentagem dividida por 100 para chegarmos na

taxa de juro em decimal. Esta forma em decimal a maneira correta de colocarmos a taxa de juro nas frmulas matemticas apresentadas.




Exemplo: Juros em % Juros em decimal 1,50% ao ms (a.m) 0,0150 a.m 19,00% ao ano (a.a) 0,1900 a.a 0,07% ao dia (a.d) 0,0007 a.d

Valor Futuro

Devemos sempre calcular os juros que incidiram no capital inicial (valor presente) para apurar o resultado do montante na data futura (valor futuro).

Definio

Montante na Data Futura ou Valor Futuro: corresponde ao valor

inicialmente aplicado ou emprestado (chamado de valor presente) somado aos juros relativos ao perodo da aplicao ou emprstimo. Na lngua inglesa, usa-se Future Value, indicado na calculadora HP pela

tecla . Durante o curso, o Montante sempre ser expresso por Cn.

Dica 02: HP 12 C

Para fixar o nmero de casas decimais pressione a tecla (cor laranja) e o nmero de casas decimais que deseja aps a vrgula.

Dica 03: HP 12 C

Para calcular uma porcentagem de um valor inteiro, por exemplo, 15% de 80:

a. digite o valor 80 e pressione a tecla b. em seguida digite 15 e aperte a tecla %

c. o resultado 12 aparecer no visor da calculadora.

Dica 04: HP 12 C

Para trocar o sinal de um nmero, por exemplo, de -10 para 10, digite o

valor 10 e pressione a tecla

Praticando:

Considerando que o capital de R$100.000 foi aplicado por um ano taxa de juro de 25%a.a apuramos o seguinte resultado:

Capital ou Valor Inicial (C0)

Perodo (n)

Taxa de juro (i)

Juros (J) Montante ou Valor Futuro (Cn)

100.000 1 ano 25% aa ? ?




Juros (J) Montante ou Valor Final (Cn)

Os juros de um perodo (um ano) so iguais a 25% de R$100.000, ou seja:

00025000100100

25..

O capital inicial mais os juros resulta no Montante ou Valor FInal R$100.000 + R$25.000 = R$125.000

Dica 05: HP 12 C

Para fazer uma operao de diviso, por exemplo, 25 100:

a. digite o valor 25 e pressione a tecla

b. digite o valor 100 e pressione a tecla c. o visor deve mostrar o resultado 0,25

Dica 06: HP 12 C

Para fazer uma operao de multiplicao, por exemplo, 25 x 100:


b. digite o valor 100 e pressione a tecla c. o visor deve mostrar o resultado 2.500

Dica 07: HP 12 C

Para fazer uma operao de adio, por exemplo, 100000 + 25000:


b. digite o valor 25000 e pressione a tecla c. o visor deve mostrar o resultado 125.000

Dica 08: HP 12 C

Para fazer uma operao de subtrao, por exemplo, 100000 - 25000:


b. digite o valor 25000 e pressione a tecla




c. o visor deve mostrar o resultado 75.000

O clculo realizado pode ser resumido em uma expresso matemtica. Veja abaixo:

100

251000.100000.125

ou

Valor Futuro = Valor Inicial x

100

i1

que pode ser representado por:

100

i1CC 0n

Neste caso, o valor dos Juros (que representamos por Juros de um montante relativo a um perodo, C1) dado por: J = C1 - C0 = R$125.000 R$100.000 = R$25.000

Nessas frmulas matemticas,

C1 chamado de VALOR FUTURO de C0 taxa de juro i, e

C0 chamado de VALOR PRESENTE de C1 taxa de juro i. Para completar seu conhecimento neste assunto, falta analisar como se obtm a taxa de juro a partir das outras variveis, como os Juros.

0

0

0

Ji 100

C

i J

100 C

iC J

100

Considerando a expresso:

100

ixCCC

JCC

001

01

possvel obter:




100

i1CC 01

Logo,

i1001C

C

100

i1

C

C

100

i1

C

C

0

1

0

1

0

1

Conclui-se que a taxa de juro em porcentagem no perodo igual a:

1001C

Ci

0

1

Lembrete: Regra de Sinais: na soma ou subtrao

+ com + = + - com - = - + com - = sinal do nmero maior em valor absoluto - com + = sinal do nmero maior em valor absoluto Regra de Sinais: na multiplicao e diviso

+ com + = + - com - = + + com - ou - com + = -

Exerccios Resolvidos

Acompanhe os exemplos a seguir para revisar os conceitos estudados:

a) Como calcular o Valor Futuro?

Apliquei R$50.000,00 por um ano taxa de juro de 23% aa. Qual o montante final?

1 0 1

1 1

1

i 23C C 1 C 50.000 1

100 100

C 50.000 1 0,23 C 50.000 1,23

C R$61.500,00

Neste caso os Juros (J) so calculados pela expresso:

0

i 23C 50.000 50.000 0,23 R$11.500,00

100 100

Onde:




C1 - C0 = 61.500 50.000 = R$11.500,00

b) Como calcular o valor presente?

A taxa de juro igual a 20% aa. Qual o valor, hoje, de um ttulo cujo valor de resgate R$50.000,00 e que vence daqui a um ano?

1 0 0

0 0

0 0

1 0

i 20C C 1 50.000 C 1

100 100

50.000 C 1 0,20 50.000 C 1,20

50.000C C R$41.666,67

1,20

Juros C C 50.000,00 41.666,67 R$8.333,33

c) Como calcular a taxa de juro?

Comprei um ttulo por R$98.039,22 que vai pagar R$100.000,00 em um ms. Qual a taxa mensal da aplicao?

1

0

1 0

C 100.000i 1 100 i 1 100

C 98.039,22

i 1,019999 1 100

i 0,019999 100 i 2,00%

Juros C C 100.000,00 98.039,22 R$1.960,78

Dica 09: HP 12 C

Para calcular a variao percentual de um ativo para o perodo, por exemplo Valor Inicial 98039,22 e Montante Final R$100000:

a. digite o valor inicial 98039,22 e pressione a tecla

b. na seqncia digite o valor final 100000 e pressione a tecla c. o visor deve mostrar o resultado 2,00

Concluses

Se todos os problemas de matemtica financeira fossem de um perodo, voc j poderia ser considerado um expert nesta matria. Porm, nem todos os problemas da matemtica financeira referem-se a um nico perodo de capitalizao (tempo entre a movimentao financeira do valor inicial e a obteno do valor futuro). O que exige o estudo de questes com juros em perodos superiores ou inferiores a um perodo.




Anexo 1

HP 12C E ALGUMAS DE SUAS FUNES

n

nde

perodos

i

Taxa de

juros

PV

Valor

Presente

PMT

n de parcelas

FV

Valor Futuro

CHS

Troca o Sinal

EEX

STO




REGIME DE CAPITALIZAO SIMPLES

A taxa de juro representa a remunerao paga ao dinheiro emprestado, para um determinado perodo. Quando uma operao se refere a mais de um perodo vrios critrios podem ser utilizados para computar os juros at seu vencimento ou liquidao final.

A seguir se apresenta o regime de capitalizao simples, em que o percentual de juros incide apenas sobre o valor principal, ou seja, aos juros gerados a cada perodo no incidem novos juros.

Tpicos

1. Introduo

2. Capitalizao Simples ou Juros Simples

3. Variveis da Frmula de Juros Simples

4. Taxas Proporcionais

5. Concluso




Introduo

Para resolver problemas de clculos de juros em dois ou mais perodos necessrio trabalhar com a noo de regime de capitalizao.

Definies

Perodo de capitalizao: espao de tempo em que cada capitalizao ocorre.

Capitalizao: operao em que os juros so somados ao capital

inicial (valor presente) para assim obter o capital futuro (valor futuro).

Dica 1: HP 12 C

A HP12-C possui 39 teclas, porm o nmero de funes possveis de serem realizadas bastante superior.

As teclas tm legendas em trs cores: branca, laranja e azul

As funes com tecla em branco so acessadas diretamente. Exemplo: para limpar o visor, basta apertar a tecla:

Para realizar as funes com legenda em laranja, preciso, antes de

tudo, apertar a tecla (tecla laranja). Feito isso, digite a funo desejada. Exemplo: para limpar as memrias financeiras, digite a tecla:

e depois .

J para realizar as funes com a legenda em azul, digite a tecla (tecla azul). Com isso, voc poder realizar a funo requerida. Exemplo: para obter a exponencial de um nmero qualquer, digite o nmero desejado e as teclas nesta seqncia: e

Lembre-se que no Anexo 1 temos uma figura da HP12-C.

Como j mencionamos, a capitalizao um processo no qual obtemos o valor futuro, mediante a soma do valor inicial (valor presente) e dos juros relativos ao perodo de anlise. A obteno dos juros se diferencia conforme o regime de capitalizao utilizado. possvel destacar dois tipos:

Capitalizao Simples: os juros de cada perodo so sempre calculados em relao ao Capital Inicial, ou seja, de C0;

Capitalizao Composta: os juros de cada perodo so formados com base no Capital Inicial C0 , acrescido dos juros relativos aos perodos anteriores.

A taxa de juro do Regime de Capitalizao Simples conhecida como taxa de juro simples. J no Regime de Capitalizao Composta, a taxa definida como taxa de juro compostos.

Nos regimes de capitalizao simples e composta, os juros so pagos ou recebidos ao final de cada perodo de capitalizao. O capital, aplicado ou emprestado,




capitalizado e tem aumento a cada intervalo de tempo considerado, sendo este discreto.

Capitalizao Simples ou Juros Simples

Suponha que voc aplicou R$10.000,00 a uma taxa de juro simples de 2% a.m por quatro meses? Vamos acompanhar esta operao passo a passo:

Perodo Frmula Onde

0 0C = Valor Presente R$10.0000

Ms 1

C1= Valor Futuro (VF) no final do ms 1

J0

i

100

C0

C C0 0

C

i

1C

000

1

C1

C 11

2

100

2

100

10.000VF

VF 1

VF 1

VF 1,02

VF R$10.200

10.000

10.000

10.0 0,0200

10.00

,

0

00

Ms 2

C2 = Valor Futuro (VF) no final do ms 2

J1

i

100

i i

100 100

i i

100 100

C0

C C0 0

C0

C

C C2 1

C C2 1

C 12

C 12

i

102

00C 12

10.000 10.000

10.000

10.000

VF 1

VF 1

VF 1

2 2

100 100

2 2

100 100

22x

VF 1 2x

VF 1

VF 1,04

VF R$10.400,

10.000

10.000

10.000

100

0,02

0,04

00




Perodo Frmula Onde

Ms 3


C C3 2

C C3 2

C 1 23

C 1 23

J2

i

100

i i

100 10

C 1

C0

C

33

0

i i

100 100

i

100

C0 0

C0

C0

2 2

100 100

2 2

100

VF 1 2x

VF x 1 2x

VF 1 3x

VF 1 3x

VF 1

VF 1,06

VF R$1

100

2

100

0,

10.000 10.000

10.000

10.000

10.000

10.000

10.0

0.600,00

02

0,0

0

6

0

Ms 4


C C4 3

C C4 3

C 1 34

C 1 34

J3

i

100

i i

100 10

C 1

C0

C

44

0

i i

100 100

i

100

C0 0

C0

C0

2 2

100 100

2 2

100

VF 1 3x

VF x 1 3x

VF 1 4x

VF 1 4x

VF 1

VF 1,08

VF R$1

100

2

100

0,

10.000 10.000

10.000

10.000

10.000

10.000

10.0

0.800,00

02

0,0

0

8

0

Note acima que o J0, J1, J2, J3 so sempre calculados a partir do valor inicial, caracterizando o regime de capitalizao simples. A cada ms, o valor dos juros novos sempre o mesmo (neste exemplo, igual a R$200,00). Assim podemos definir a expresso matemtica de Capitalizao Simples para um nmero n de perodos como:

n 0i

C C 1 n100

Onde: C0 - valor presente Cn - valor futuro aps n perodos n - nmero de perodos i - taxa de juro em porcentagem




Praticando:

Ao aplicar um montante de R$1.000,00 a uma taxa de juro de 2% a.m por sete meses, qual o valor de resgate desta operao?

n 0

7

7

iC C 1 n

100

2C 1.000 1 7 1.000 1 7 0,02 1.000 1 0,14 1.000 1,14

100

C R$1.140,00

Os juros so iguais a J = Cn - C0 = R$1.140,00 R$1.000,00 = R$140,00

Lembrete: Sempre obedecer a seguinte ordem na resoluo de expresses numricas: 1 - Potncias e Razes

2 - Multiplicaes e Divises

3 - Adies e Subtraes

4 - e da esquerda para a direita

Ao calcular expresses matemticas, lembre-se: a. da ordem dos sinais conjugados

1 lugar efetuar parnteses ( ) 2 lugar efetuar colchetes [ ] 3 lugar efetuar chaves { } b. de seguir a ordem de prioridade das operaes

O prazo da operao (nmero de perodos) e a taxa de juro devem estar expressos na mesma unidade de tempo. Caso, por exemplo, a taxa de juro esteja expressa ao ano (12% ao ano, por exemplo), o nmero de perodos deve se referir quantidade de anos.

Variveis da frmula de juros simples

So quatro (4) as variveis na composio da frmula de juros simples. Observe:

n 0i

C C 1 n100

Cn valor futuro aps n perodos C0 valor presente n nmero de perodos i taxa de juro em porcentagem




Sabendo trs destes elementos, o ltimo pode ser facilmente determinado manipulando-se a frmula bsica. Alm disso, considerando que os juros so definidos pela expresso:

J = Cn - C0 ou ento

100

inCJ 0 ,

possvel definir uma quinta varivel (J) para calcular as outras trs.

Primeira Varivel: Valor Futuro

Voc fez um emprstimo de R$10.000,00 a uma taxa de juro simples de 1,5% ao ms a ser pago em 12 meses. Qual o montante final deste emprstimo?

n 0

n

n

n

iC C 1 n

100

1,5C 10.000 1 12 10.000 1 12 0,015

100

C 10.000 1 0,18 10.000 1,18

C R$11.800,00

Segunda Varivel: Valor Presente

Qual o valor presente de um emprstimo que deve ser pago em seis meses, cujo valor futuro de R$13.400,00, admitindo uma taxa de juro simples de 2% ao ms?

n0

0

0

0

CC

i1 n

100

13.400 13.400C

2 1 6 0,021 6

100

13.400 13.400C

(1 0,12) 1,12

C R$11.964,28




Terceira Varivel: Nmero de Perodos

Voc aplicou R$50.000,00 a uma taxa de juro simples de 12% ao ano. Quantos anos vo demorar para triplicar este valor, atingindo, portanto, R$150.000,00?

n

0

C1

Cn

i

100

150.0001

3 1 250.000n

12 0,12 0,12

100

n 16,67anos

Lembrete:

Para converter o prazo de uma operao para a mesma unidade de tempo em que a taxa est expressa, realize os seguintes procedimentos:

a. primeiro, converta o prazo da operao para nmero de dias;

b. depois divida o prazo da operao (em dias) pelo nmero de dias do prazo da taxa fornecida ou desejada.

Exemplos:

1) n = 24 dias e i = 10% ao ms

o

t

nn de dias da operao 24N

n de dias relativa taxa n 30

2) n = 4 meses i = 22% ao ano

o

t

nn de dias da operao 120N

n de dias relativa taxa n 360

Quarta Varivel: Taxa de Juro

Voc aplicou, a juros simples, R$100.000,00 e obteve R$123.000,00 aps 13 meses. A que taxa de juro foi aplicado este recurso?

n

0

C1

Ci

n




123.000

11,23 1 0,23100.000

i13 13 13

i 0,0177 ou 1,77% a.m

Note que, quando os prazos esto em meses, a taxa de juro resultante expressa em meses. Se o prazo est expresso em ano, a taxa de juro expressa em ano.

Conceituando taxas proporcionais

No regime de capitalizao simples, duas taxas so ditas proporcionais quando aplicadas a um mesmo capital e por um mesmo prazo geram o mesmo montante. Pelo mtodo de clculo de juros simples, duas taxas de juro, i1 e i2, sero consideradas proporcionais se, ao aplicar dois montantes iniciais iguais (C0), por dois perodos distintos de capitalizao, n1 e n2, os montantes finais resgatados forem iguais aps determinado perodo de tempo, ou seja:

1 2n 0 1 n 0 2

i iC C 1 n C C 1 n

100 100

A partir da expresso acima, pode-se escrever:

2

20

10

1001

1001 n

iCn

iC i

Na qual, pode-se simplificar C0 e 1 de forma que se chega a:

221

100100n

in

ii

De onde, simplificando o valor 100 em ambos lados da igualdade, pode-se expressar i1 como

1

221

n

nii

Ou seja, possvel calcular a taxa i1 equivalente taxa de juro i2, conhecendo-se apenas o novo prazo de capitalizao n1.




Exemplo

100

2411100

100

2121100

As taxas 2% a.m e 24% a.a so equivalentes porque quando aplicadas a um

perodo, digamos de 12 meses, e ao mesmo capital (no caso de R$100,00) geram o mesmo montante (de R$124,00).

Ateno!!

Observe que no regime de capitalizao simples, possvel obter uma determinada taxa para um perodo realizando a multiplicao ou diviso desta taxa pelo perodo da capitalizao. Veja o exemplo acima: a partir de uma taxa mensal de 2% a.m, possvel concluir que a taxa anual de 24%a.a (12 x 2%). Isso nos permite dizer que as taxas de juro simples crescem de forma linear em funo do tempo. Vale enfatizar que este procedimento somente aplicvel no regime de juros simples. Como veremos mais adiante, no podemos realizar tal fato no regime de capitalizao composta.

Praticando:

1) Qual a taxa trimestral proporcional taxa de 18%a.a?

Dados i1 = taxa anual i2 = taxa trimestral n1 = 1 ano n2 = 4 trimestres

RESULTADO

n1 x i1 = n2 x i2

1 x 18 = 4 x i2

i2 = 18/4 = 4,5% a.t.

2) Qual a taxa anual proporcional taxa de 2,5%a.m?

Dados i1 = taxa mensal i2 = taxa anual n1 = 12 meses n2 = ano

RESULTADO

n1 x i1 = n2 x i2

12 x 2,5 = 1 x i2

i2 = 30% a.a.

Concluso

Conclui aqui a abordagem que apresenta o regime de capitalizao simples. importante ficar claro que neste sistema a taxa de juro incide somente sobre o valor principal e que, alm disso, esta taxa cresce de forma linear no tempo. O prximo passo avanar no estudo da Matemtica Financeira, analisando o regime de capitalizao composta. Com isso, ficaro claras a diferenas entre os dois regimes.




REGIME DE CAPITALIZAO COMPOSTA

O regime de capitalizao composta o mais utilizado nos mercados financeiros. Nele, os juros obtidos a cada perodo so somados ao principal para o clculo dos juros do perodo subsequente.

Tpicos

1. Introduo

2. Capitalizao Composta ou Juros Compostos

3. Variveis da Frmula de Juros Compostos

4. Taxas Equivalentes

5. Concluso




Introduo

No regime de Capitalizao Composta, os juros de cada perodo so formados a

partir do Capital Inicial C0 acrescido dos juros formados nos perodos posteriores.

Neste sentido, o montante final ir se elevar a cada perodo por uma razo (1 + i). Dessa forma, conclui-se que o crescimento do valor futuro passa a ser exponencial (e no mais linear como no regime de capitalizao simples).

Capitalizao Composta ou Juros Compostos

Suponha que voc aplicou R$10.000,00 a uma taxa de juro composta de 2% a.m por quatro meses? Vamos acompanhar esta operao passo a passo:

Perodo Frmula Onde

0 0C = Valor Presente R$10.0000

Ms 1

C1= Valor Futuro (VF) no final do ms 1

Ms 2

J0

i

100

C0

C C0 0

C

i

1C

000

1

C1

C 11

2

100

2

100

10.000VF

VF 1

VF 1

VF 1,02

VF R$10.200

10.000

10.000

10.0 0,0200

10.00

,

0

00

2

1

2

C Valor Futuro (VF) no final do ms 22

C C1

C C C2 1

C C 12 1

J1

i

100

i

100

C 1 12

C 1

i i

100 100

i

1

C0

C002 0

2

2

2

VF 1 1

VF 1

VF

10.000

10.000

10.

2 2

100 100

2

100

0000

10.000

10.0

1

VF 1,02

VF 1,0404

VF R$10.40

00

,0

4 0

2

,0




Ms 3

3C = Valor Futuro (VF) no final do ms 3

Ms 4

4C = Valor Futuro (VF) no final do ms 4

Veja pela tabela acima que J0, J1, J2, J3 so sempre calculados a partir do valor inicial, somado os juros do perodo anterior. Isso caracteriza o regime de capitalizao composta. Assim podemos definir a expresso matemtica de Capitalizao Composta para um nmero n de perodos como:

ni

C C 1n 0 100

Onde

C0 - valor presente

Cn - valor futuro aps n perodos

n - nmero de perodos

i - taxa de juro em porcentagem

Assim como no regime de capitalizao simples, o prazo da operao (nmero de perodos) e a taxa de juro devem estar expressos na mesma unidade de tempo. Caso, por exemplo, a taxa de juro esteja expressa ao ano (12% ao ano, por exemplo), o nmero de perodos deve se referir quantidade de anos.

2

2

3

C C3 2

C C C3 2

C C 13 2

C 1 13

J2

i

100

i

100

i i

100C0

C0

100

iC 1

1003

3

3

4

C C4 3

C C C4 3

C C 14 3

C 1 14

J3

i

100

i

100

i i

100C0

C0

100

iC 1

1004

2

3

3

3

2 2

100 100

2

VF 1 1

VF 1

VF 1

VF 1,02

VF 1,0612

V

10.000

10.000

10.000

100

0,02

F R$10.612,

10.000

10

0

0

8

. 00

3

4

4

4

2 2

100 100

2

VF 1 1

VF 1

VF 1

VF 1,02

VF 1,0824

V

10.000

10.000

10.000

100

0,02

F R$10.824,

10.000

10

3

0

2

. 00



Matemtica Financeira Regimes de Capitalizao e Taxas de Juro - ltima atualizao: 14/09/12 25 Copyright da Associao BM&F F Direitos de Edio reservados por Associao BM&F. A violao dos direitos autorais crime estabelecido na Lei n 9.610/98 e punido pelo artigo 184 do Cdigo Penal.

Lembrete:

Ao calcular a taxa de juro na HP utilize sempre porcentagem - por exemplo, i =1,50%a.m. Porm, quando for necessrio aplicar em uma frmula, sempre divida a taxa de juro em porcentagem por 100 (1,50%/100 = 0,015).

Esta expresso nos mostra como um capital inicial (C0), aplicado por n perodos, a uma taxa i composta, transforma-se no valor futuro (Cn).

Dica 1: HP 12 C

Conhea as teclas utilizadas para clculo financeiro n = calcula ou armazena o prazo de uma operao i = calcula ou armazena a taxa percentual de juros PV = calcula ou armazena o valor presente de uma operao (capital) FV = calcula ou armazena o valor futuro de uma operao (montante =

principal + juros)

Vamos calcular o resultado utilizando o exemplo anterior em que voc aplicou R$10.000,00 a uma taxa de juro composta de 2% a.m por quatro meses.

n

4

4

4

iC C 1n 0 100

2C 10.000 14 100

C 10.000 1 0,024

C 10.000 1,024

C 10.000 1,08243214

C R$10.824,324

Calculando pela HP12 C:

a) Digite 10000 e aperte a tecla CHS e em seguida a tecla PV;

b) Na seqncia, digite 2 e aperte a tecla i;

c) Em seguida, digite 4 e aperte a tecla n;

d) Tecle FV.

O visor deve mostrar o resultado 10.824,32.

Dica 2: HP 12 C

A HP 12 C precisa saber se um valor est entrando ou saindo no fluxo. Por exemplo, quando voc toma R$ emprestado em primeiro

lugar entra R$ no seu bolso (o valor que emprestou) e depois sai dinheiro quando voc devolve o emprstimo. convencional colocar os valores que entram com sinal positivo e os que saem com sinal negativo.




Variveis da frmula de juros compostos

So quatro as variveis na composio da frmula de juros compostos. Observe: n

iC C 1n 0 100

Onde:

C0 valor futuro Cn valor presente n nmero de perodos i taxa de juro em porcentagem

Conhecendo trs elementos da expresso, possvel determinar facilmente o restante, bastando para isso realizar algumas transformaes na frmula bsica.

Alm disso, considerando que os juros (J) so definidos pela expresso:

J = Cn - C0 ou ento

n n

0 0i i

J C 1 C C 1 10 100 100

possvel definir uma quinta varivel (J) para calcular as outras trs.

Primeira Varivel: Valor Futuro

Voc aplicou R$10.000,00 a uma taxa composta de 2,1% a.m por sete meses. Qual o montante, Cn, acumulado ao final deste perodo?

n

n 0i

C C 1100

7

7

77

77

7

7

2,1C 10.000 1

100

C 10.000 1 0,021

C 10.000 1,021

C 10.000 1,1565920

C 11.565,92

Calculando pela HP12 C: a) Digite 10000 e pressione a tecla CHS e em seguida a tecla PV; b) Na seqncia, digite 2,1 e pressione a tecla i; c) Em seguida, digite 7 e aperte a tecla n; d) Tecle FV. O visor deve mostrar o resultado 11.565,92.

Portanto:

J = Cn - C0 = 11.565,92 10.000,00 = 1.565,92




Segunda Varivel: Valor Presente

Calcule o capital inicial de uma aplicao que durante dois meses aplicada taxa de juro de 4%a.m acumulou o montante final de R$16.000,00.

n

2 2

CnC0i

1100

16.000 16.000C0

4 1,041

100

C R$14.792,900

Calculando pela HP12C

a) Digite 16000 e aperte a tecla FV;

b) Em seguida, digite 4 e aperte a tecla i;

c) Na seqncia, digite 2 e pressione a tecla n;

d) Tecle PV. O visor deve mostrar o resultado - 14.792,90.

Dica 3: HP 12 C

Para calcular uma potncia usa-se a funo yx :

a. digite a base y e aperte a tecla ENTER para a base ir para a memria Y;

b. digite o expoente x ;

c. aperte a tecla yx ;

d.o visor deve mostrar o resultado de yx.

Exemplificando 4 68/360

a. digite a base 4 e aperte a tecla ENTER para a base ir para a memria Y;

b. digite o expoente 68 aperte a tecla ENTER e em seguida digite 360 e aperte a tecla . Em seguida, pressione a tecla yx. O visor deve mostrar o resultado de 1,30

Podemos ainda obter o valor presente a partir dos juros do perodo. Observe abaixo.




Demonstrao da Frmula

Para saber o Valor Presente, conhecendo somente os juros pagos no perodo, preciso realizar as seguintes transformaes algbricas:

0n0 n n

00 0n n n n

n

0 0n n n

C JCC

(1 i) (1 i)

C J 1 JC C x 1

(1 i) (1 i) (1 i) (1 i)

(1 i) 1 J JC x C

(1 i) (1 i) (1 i) 1

Determine o capital, que aplicado durante seis meses a uma taxa de juro composta de 2%a.m, obteve um rendimento de R$20.000,00.

0 n

0 6

0 6

0

JC

(1 i) 1

20.000C

21 1

100

20.000 20.000C

1,1261 11,020 1

20.000C R$158.525,82

0,1261


a) Digite 20000 e pressione a tecla ENTER;

b) Em seguida digite 1 e aperte a tecla ENTER.

c) Na seqncia, digite 2 e a tecla % e pressione a tecla + . Feito isso, tecle o nmero 6 e pressione yx. Digite o nmero 1 e logo aps o smbolo - . Finalmente, aperte a tecla .

d) O visor deve mostrar o resultado 158.525,82.

Terceira Varivel: Nmero de Perodos

No regime de capitalizao composta, para achar o nmero de perodos preciso aplicar a seguinte frmula:




n

0

CLn

Cn

Ln 1 i

Veja como esta frmula obtida logo abaixo.


Para chegarmos frmula do nmero de perodo na capitalizao composta, preciso realizar as seguintes transformaes algbricas:

n n nn n n0 0 nn

0 0

n

0n

0

C C CC C x (1 i) C (1 i) ln (1 i) ln

C C(1 i)

Cln

CCn ln(1 i) ln n

C ln(1 i)

Conceito de Logaritmo

Para saber o logaritmo de um nmero x em uma certa base a, temos que questionar qual o expoente y para a base a de forma que se obtenha o nmero x . Ou seja, o expoente y o logaritmo de x na base a. Veja:

Log ax = y ay = x

Exemplo:

Log28 = x 2x = 8

x = 3

Quando a base no aparece na representao matemtica, ento, por conveno, a base decimal, ou seja, a base igual a 10. Tambm, utiliza-se a base 2,718281828...., chamada neperiano (e). Assim, surge o logaritmo neperiano, o qual definido como: Ln y = x y = exp(x)

Exemplo:

Ln 8 = 2,079442... e 2,079441542... = 8




Dica 3: HP 12 C

Nas calculadoras financeiras existe a funo logaritmo neperiano. Para utiliz-la, necessrio digitar o nmero e teclar g e em seguida LN. Exemplo: logaritmo neperiano de 1,04 igual a ln 1,04 = 0,0392

Voc aplicou $ 50 mil a uma taxa de juro composto de 12% ao ano. Quantos anos sero necessrios para triplicar o valor?

n

0

C 150.000Ln Ln

C Ln 3 1,098650.000n n n n n 9,69anos

i 12 Ln 1,12 0,1133Ln 1 Ln 1

100 100

Quarta Varivel: Taxa de Juro

Para obter a taxa de juro na capitalizao composta, temos que aplicar a frmula a seguir:

1

nn

0

Ci 1 100

C


Para chegarmos frmula da taxa de juro na capitalizao composta, preciso realizar as seguintes transformaes algbricas:

n nn n0 0 nn

0

1 1

n nn n

0 0

1

nn

0

C CC C x (1 i) C (1 i)

C(1 i)

C C1 i i 1

C C

Em porcentagem :

Ci 1 x100

C

Voc aplicou a juros compostos R$100.000,00 e obteve R$123.000,00 aps 13 meses. A que taxa de juro foram aplicados estes recursos?




1

nn

0

1

13

0,076923077

Ci 1 1

C

123.000i 1 100

100.000

i 1,23 1 100

i 1,01605 1 100

i 0,01605 100 i 1,61%a.m


a. Digite 100000 e pressione a tecla CHS. Em seguida a tecla PV;

b. Na seqncia, digite 123000 e aperte a tecla FV;

c. Em seguida, digite 13 e aperte a tecla n;

d. Digite a tecla i. O visor deve mostrar o resultado 1,605.

Note que quando os prazos esto em meses, a taxa de juro resultante expressa em meses. Se o prazo est expresso em ano, a taxa de juro expressa em ano. No entanto, pode ocorrer que o prazo esteja expresso em uma unidade do tempo e a taxa de juro em outra. Dessa forma, ser preciso analisar o conceito de taxas equivalentes no regime de capitalizao composta.

Conceituando taxas equivalentes

No regime de capitalizao composta, duas taxas de juros i1 e i2 , expressas em unidades de tempo distintas, so ditas equivalentes quando, incidindo sobre um mesmo capital, durante um mesmo prazo, mas com periodicidades diferentes (n1 e n2), produzem um mesmo montante. Para obter tais taxas equivalentes, utilize a frmula:

1001]-)100

i+[(1=i fornecido dias em prazo

desejo que dias em prazo

eq




Dica 4

Veja como obter as seguintes taxas equivalentes:

a) taxa diria a partir de uma taxa mensal: 1

301 30i 1 i 1

b) taxa diria a partir de uma taxa anual: 1

3601 360i 1 i 1

c) taxa mensal a partir de uma taxa diria: 30

130 1i 1 i 1

d) taxa mensal a partir de uma taxa anual:

30 1

360 1230 360 360i 1 i 1 1 i 1

e) taxa anual a partir de uma taxa diria: 360

1360 1i 1 i 1

f) taxa anual a partir de uma taxa mensal: 360

1230360 1 1i 1 i 1 1 i 1

Exemplos:

1) Considere que a taxa de juro seja igual a 0,05% a.d. Calcule:

a) A taxa mensal equivalente

30 30 30

1 1 130 1

30

i 1 i 1 1 0,0005 1 1,0005 1 0,0151

i 1,51%a.m.

b) A taxa anual equivalente

360 360 360

1 1 1360 1

360

i 1 i 1 1 0,0005 1 1,0005 1 0,1972

i 19,72%a.a.




2) Considere que a taxa de juro seja igual a 12% ao semestre. Calcule:

a) A taxa anual equivalente

360

2 2180360 180

360

i 1 i 1 1 0,12 1 1,12 1 0,2544

i 25,44%a.a.

b) A taxa mensal equivalente

1

630 1

180 630 180

30

i 1 i 1 1 0,12 1 1,12 1

i 1,91%a.m.

c) A taxa trimestral equivalente

90 1 1

180 2 290 2

90

i 1 i 1 1 0,12 1 1,12 1 0,0583

i 5,83%a.t.

3) Calcule o capital inicial de uma aplicao que durante 50 dias aplicada taxa de

juro de 4%a.m acumulou o montante final de R$16.000,00

n

50 1,6666

30

CnC0i

1100

16.000 16.000 16.000C0 1,067551671,04

41

100

C R$14.987,570


Voc tambm poder calcular da seguinte maneira: a) Digite 16000 e aperte a tecla FV;


c) Na seqncia, digite 50 e pressione ENTER. Feito isso, digite 30 e aperte a tecla . O prximo passo pressionar a tecla n;

d) Tecle PV. O visor deve mostrar o resultado - 14.987,56. 4) Um investidor aplicou durante 256 dias um valor de R$120.000,00. Calcule o valor final obtido, considerando uma taxa de juro de 15%a.a.




n

n 0

256256

360360256

256

iC C 1

100

15C 120.000 1 120.000 1,15

100

C R$132.539,14


Voc tambm poder calcular da seguinte maneira:

a) Digite 120000. Aperte a tecla CHS e logo aps, a tecla PV;


c) Na seqncia, digite 256 e pressione ENTER. Feito isso, digite 360 e aperte a tecla . O prximo passo pressionar a tecla n;

d) Tecle FV. O visor deve mostrar o resultado 132.539,14.

Ateno!

Quando temos problemas com prazos no inteiros e devemos usar o regime de capitalizao composto, necessrio utilizar a conveno no exponencial. Dessa forma, o canto direito inferior do visor da HP-12C deve ter a indicao do estado "C". Isso feito ao pressionar, em sequncia, as funes: STO EEX.

Caso isso no seja feito, a HP estar calculando pelo regime de juros simples, utilizando sistema misto de capitalizao - as partes inteiras dos prazos estaro sendo feitas a juros compostos e as partes fracionrias feitas a juros simples. No exerccio acima, ao no utilizar o estado C, o resultado ser igual a R$ 132.800,00 (valor futuro calculado a juros simples).

Concluso

Conclui aqui o estudo inicial sobre o regime de capitalizao composta. Foi possvel notar que neste sistema a taxa de juro incide sobre o valor principal somado aos juros do perodo anterior. Neste sentido, esta taxa cresce de forma exponencial no tempo. O prximo passo aplicar tais conceitos em situaes prticas do mercado de derivativos.




CLASSIFICAO DAS TAXAS DE JURO A expresso taxa de juro utilizada de vrias formas no contexto do mercado financeiro por investidores e pelos agentes que intervm nas operaes.

1. Introduo

3. Taxas Nominal, Efetiva e Real

4. Taxa Acumulada

5. Taxa Mdia

6. Taxa Over

7. Concluses




Introduo

As operaes realizadas no mercado financeiro envolvem diferentes conceitos e terminologias sobre as taxas de juro, tais como taxa efetiva, nominal, real, pr-fixada, ps-fixada, entre outras. Vamos analisar ao longo deste captulo tais expresses, observando a sua prtica.

Taxas Nominal, Efetiva e Real

Uma taxa de juro definida como nominal quando calculada em relao ao valor nominal da aplicao ou emprstimo, conforme o valor acordado no contrato ou ttulo. Dessa forma, possvel notar que se trata de um valor aparente.

100min

Inicial Capital

Pagos Jurosi alno

Em situaes em que a taxa de juro calculada sobre o valor efetivamente emprestado ou aplicado, define-se a taxa como efetiva.

100

Efetivo Inicial Capital

Pagos Jurosiefetiva

Adicionalmente, quando este valor corrigido pela inflao do perodo da operao, a taxa de juro calculada definida como real. Esta ltima obtida pela seguinte frmula:

1)1(

)1(

InflaodeTaxa

EfetivaTaxarealTaxa

Exemplo

Considere que a empresa TNT obtenha um emprstimo do banco com a qual trabalha no valor de R$ 70 mil, sendo que ter que pagar R$ 85 mil aps quatro meses da contratao. O banco solicita que o cliente mantenha 10% do valor do emprstimo como saldo mdio durante o perodo da operao. Alm disso, foi cobrada uma taxa de abertura de crdito de R$ 80,00; a qual foi paga no ato da contratao. Nestes 4 meses, a taxa de inflao acumulada foi igual a 7%. Calcule a taxa de juro nominal, efetiva e real da operao.

a) Taxa nominal

..%97,4.%43,21100000.70

)000.70000.85(100

minmaoupa

inicialCapital

pagosJurosi

alno




b) Taxa efetiva

100

000.7010,080000.70

000.7010,080000.70000.7010,0000.85100

efetivoinicialCapital

pagosJurosiefetiva

..%52,5.%97,23 maoupaiefetiva

Como o banco cobrou uma taxa para o emprstimo e estipulou que a empresa deve deixar 10% do valor do emprstimo como saldo mdio em conta corrente, observe que o valor efetivo do emprstimo de R$ 62.920,00 (= R$ 70.000 0,10 R$ 70.000 R$ 80,00) e que o valor de resgate igual a R$ 78.000 (o pagamento do emprstimo completado pelos R$ 7.000 mantidos como saldo mdio). c) Taxa real

..%86,151001)07,01(

)2397,01(1001

)1(

)1(

inf

paiii

ii realreal

lao

efetiva

real

Lembrete: Na literatura sobre este assunto, existe outra abordagem relativa ao conceito de taxa nominal e efetiva. A taxa nominal de juros consiste na taxa em que a unidade de tempo para a qual ela foi definida no coincide com a unidade de tempo para a qual foi capitalizada. J para a taxa efetiva, existe tal coincidncia. Observe:

Suponha que temos uma taxa de juro de 24% a.a. capitalizada mensalmente. a) Taxa de juro Nominal i nominal = i / n de capitalizaes = 0,24 / 12 = 0,02 ao ms Ou seja, inominal = 2% a.m. b) Taxa de juro Efetiva A taxa de 2% ser capitalizada durante 12 meses. Portanto:

i efetiva = 2682,0102,0112

Ou seja, i efetiva = 26,82% a.a.

Taxas Acumuladas A taxa acumulada de juros em um perodo obtida mediante a aplicao da Frmula de Fisher. Esta taxa amplamente utilizada no mercado financeiro para clculo da

atualizao de aluguis, saldo devedor da casa prpria e etc.




Frmula de Fisher:

(1+iacumulada) = (1 + i1) (1 + i2) (1 + i3) ... (1 + in)

i 1 : taxa de juro referente ao perodo 1 i 2 : taxa de juro referente ao perodo 2 i 3 : taxa de juro referente ao perodo 3 ... i n : taxa de juro referente ao perodo n

Lembrete:

A frmula da taxa de juro real, mencionada no Item 3, advm da Frmula de Fisher, com a qual se obtm uma taxa acumulada em um perodo de tempo a

partir das taxas que ocorreram em seus subperodos. Foi mencionado que:

(1+iacumulada) = (1 + i1) (1 + i2) (1 + i3) ... (1 + in)

Assim, podemos definir: (1+iefetiva) = (1 + ireal) (1 + iinflao)

Portanto:

1)1(

)1(

inf

lao

efetiva

reali

ii

Veja abaixo como simples aplicar a frmula de Fisher em situaes prticas do dia-a-dia. Caso 1

Um investidor est aplicado em um fundo que apresentou as rentabilidades citadas abaixo. Conhecendo os dados, calcule a rentabilidade acumulada no trimestre. out/03: 1,65%; nov/03: 2,01% ; dez/03: 1,86%. (1+iacumulada) = (1+ 0,0165) (1+ 0,0201) (1+ 0,0186)

iacumulada = (1,0165) (1,0201) (1,0186) 1 = 0,0562

iacumulada = 5,62% a.t. Caso 2

Um agente de mercado aplicou uma certa quantia em ttulos prefixados durante 96 dias, cuja rentabilidade era de 18%a.a. Aps o resgate, aplicou novamente em ttulos por 120 dias que garantiram rentabilidade de 18,50%a.a. Calcule a rentabilidade acumulada no perodo. Note que, neste caso, preciso calcular a taxa equivalente para as duas aplicaes.




(1+iacumulada) = (1+ 0,18)

96/360 (1+ 0,185) 120/360 = 0,1060

iacumulada = 10,60% no perodo

Caso 3

No perodo abaixo, um indexador registrou as taxas de inflao indicadas. Calcule a inflao acumulada no perodo. jan/03: 2,2%; fev/03:2,0%; mar/03:1,4%; abr/03: 0,5%; mai/03: 0,3%; jun/03: 0,01% (1+iacumulada) = (1+ 0,022) (1+ 0,02) (1+ 0,014) (1+0,005) (1+0,003) (1+0,0001)

iacumulada = 6,56% a.p.

Taxa Mdia

O clculo da taxa mdia de juros tem como base o conceito de mdia geomtrica. Ou seja, para obt-la, aplica-se a seguinte frmula: i mdia = { [(1 + i1) (1 + i2) (1 + i3) ... (1 + in) ]

1/ n - 1 }

i mdia = { [(1 + iacumulada) 1/ n - 1 }

Sendo: n = nmero de taxas analisadas Exemplo

Um agente de mercado obteve as seguintes rentabilidades em uma carteira de investimentos: jul/03: 1,85%; ago/03: 2,11% ; set/03:1,94%; out/03: 2,50%.

Calcule a rentabilidade mdia obtida neste perodo. i mdia = {[(1+ 0,0185) (1+ 0,0211) (1+ 0,0194) (1+0,025)]

1/4 -1}

i mdia = (1,08667)

1/4 -1 = 0,0210

i mdia = 2,10% a.m.

Taxa Over

A taxa over a denominao dada taxa efetiva de juros por dia (til), que expressa como taxa ao ano, calculada no regime de capitalizao composta, considerando que um ano tem 252 dias teis e que cada ms composto por 21 dias teis. Ou seja, dada uma taxa anual (iaa) possvel encontrar a taxa over para um dia til (iover dia) utilizando a seguinte expresso:

1001100

1

2521

iaadiaoveri




Para encontrar a taxa over acumulada no perodo de (n) dias teis a partir da taxa anual aplica-se:

1001100

1252

n

aaperodoeover

ii

Trabalhando adequadamente o exponente e utilizando a taxa apropriada possvel encontrar as taxas over equivalentes para diferentes perodos. Por exemplo, encontrar a taxa over ao ano a partir da taxa over ms ou a taxa over dia a partir da taxa over ms. A taxa over muito utilizada para divulgar resultados de operaes de curto e curtssimo com ttulos pblicos e privados. A taxa Selic Exemplos:

a) Calcule a taxa over dia equivalente a uma taxa over de 15%a.a.

a.d. i diaover %055476,01001100

151

2521

b) Calcule a taxa over dia equivalente a uma taxa over de 2,5%a.m.

..%11765,0 1001100

5,21

211

dai diaover

c) Calcule a taxa over ms equivalente a uma taxa over de 16,5%a.a.

..%280809,11001100

5,161

25221

ma i msover

d) Calcule a taxa over acumulada em 53 dias teis equivalente a uma taxa over de 2,2% a.m.

perodo ao i perodoaoover %645806,51001100

2,21

2153




Taxas Contnuas

Nos regimes de capitalizao simples e composta, os juros so pagos ou recebidos ao final de cada perodo de capitalizao. O capital, aplicado ou emprestado, capitalizado e tem aumento a cada intervalo de tempo considerado, sendo este discreto.

diferena dos regimes de capitalizao acima citados, no regime de capitalizao contnua, existe pagamento de juros a cada perodo infinitesimal de tempo. Com isso, o capital cresce continuamente no tempo a uma taxa de juro instantnea.

Veja, a seguir, os conceitos relativos a este tipo de capitalizao, entendendo os procedimentos de clculos.

Nomenclatura

No regime de capitalizao composta, ao investir um determinado capital, C0, a uma taxa de juro i (% ao ano) pelo perodo de n anos, obteremos um valor igual a:

Cn = C0 (1 + i)n

Se a capitao ocorre k vezes ao ano, o valor de resgate dado por:

Cn = C0 (1 + i /k)n k

Caso o nmero de capitalizaes tenda ao infinito (k ), temos o regime de capitalizao contnua. Neste caso, o valor de resgate dado por:

Cn = C0 e r.n

Onde r a taxa de juro instantnea.

Taxas equivalentes

Para obter a taxa instantnea (r) a partir da taxa de juros compostos (i), basta seguir a frmula abaixo:

)1ln( ir

Cabe ainda observar que a equivalncia das taxas no regime de capitalizao contnuo segue a mesma sistemtica da capitalizao simples. Assim:

1

221

n

nrr

Esta ltima frmula mostra que possvel calcular a taxa de juro r2, proporcional taxa de juro r1, conhecendo-se apenas o prazo de capitalizao n1.




Exemplo

Qual a taxa de juro proporcional taxa de juro de 1% ao ms?

r1 = taxa proporcional a ser encontrada

n1 = um ano

r2 = 1% ao ms

n2 = 12 meses

aplica-se a frmula e chega-se a:

%121

12%1

1

221

n

nrr

Variveis da frmula da capitalizao contnua

So quatro as variveis na composio da frmula no regime de capitalizao contnua. Observe:

Cn = C0 ei n

Onde:

C0 valor presente Cn valor futuro n nmero de perodos i taxa de juro em porcentagem

Sabendo que e = 2,71828 e conhecendo trs elementos da expresso, determina-se a quarta varivel da frmula.

Primeira Varivel: Valor Futuro Uma empresa aplicou R$50 mil por um prazo de 1,5 ano a uma taxa de juro de 1,25%.a.m. Qual o valor de resgate desta aplicao pelo regime de capitalizao contnua?

Cn = C0 ei n

Cn = R$50.000 e 0,01251,512

Cn = R$50.000 e 0,012518

Cn = R$ 62.616,14

Importante

Note que a unidade de tempo da taxa de juro (i) deve ser a

mesma do prazo (n). No exemplo, a taxa de juro mensal (1,25%a.m), o que leva a concluir que o prazo deve tambm ser expresso em termos de meses (18 meses).




Segunda Varivel: Valor Presente Um agente de mercado obteve um valor de resgate de um investimento no valor de R$83 mil. Sabe-se que o capital inicial foi aplicado a uma taxa de juro contnua de 1,5% a.m por 90 dias. Qual o valor inicial deste investimento?

C0 = Cn / ei n

C0 = Cn ei n

Cn = R$83.000 e 0,015 90/30

Cn = R$ 79.347,79

Terceira Varivel: Nmero de Perodos Considere que voc tenha aplicado um valor de R$120 mil a uma taxa de juro instantnea de 1,65% a.m. Sabendo que o valor de resgate foi de R$540 mil, qual o tempo de aplicao deste capital.

Para determinar o prazo da operao neste regime, aplica-se a frmula:

n = (1 / i) ln (Cn / C0)

n = (1 / 0,0165) ln (540.000 / 120.000)

n = 91,16 meses


Para chegarmos frmula do nmero de perodo na capitalizao contnua,

preciso realizar as seguintes transformaes algbricas. Acompanhe:

Cn = C0 ei n

ln Cn = ln (C0 ei n

)

ln Cn = (i n) ln C0

n = (1 / i) ln(Cn / C0)

Quarta Varivel: Taxa de Juro Um investidor aplicou um montante de R$10 mil por trs anos, obtendo um valor de resgate de R$32 mil. Qual a taxa instantnea de juro mensal?

i = (1 / n) ln (Cn / C0)

i = (1 / 36) ln (32.000 / 10.000)

n = 0,0323 ou 3,23% a.m.

Taxas equivalentes na capitalizao contnua A razo entre o valor de resgate (Cn ) e valor inicial (C0 ) nos regimes de capitalizao contnua e de capitalizao composta dada pelas respectivas frmulas:

Cn /C0 = e I n : Regime de Capitalizao Contnua

Cn /C0 = (1 + r) n : Regime de Capitalizao Composta

Sendo, r a taxa de juro na capitalizao composta.

possvel, ento, concluir que:

e I n = (1 + r) n e I = (1 + r)




E, portanto,:

i = ln(1 + r) Exemplo

1) Dadas as taxas de juro compostas, calcule a taxa de juro contnua equivalente.

r i

10% a.m. i = ln (1 + 0,10) = 9,53% a.m

21% a.a. i = ln (1 + 0,21) = 19,06% a.a.

3,5% a.t. i = ln (1 + 0,035) = 3,44% a.t.

2) Dadas as taxas de juro instantneas, calcule a taxa de juro composta equivalente.

i r

5% a.m. r = e0,05 1 = 5,13% a.m

17% a.a. r = e0,17 1 = 18,53% a.a

2% a.t. r = e0,02 1 = 2,02% a.t

Note que os exemplos apresentados consideraram os mesmos perodos de tempo nas duas taxas de juro. Podem existir casos, no entanto, que uma taxa de juro (r) no regime de capitalizao composta fornecida para um perodo e solicita-se a taxa instantnea de juro (i) equivalente para um perodo diferente do anterior. O primeiro passo para este tipo de questo consiste em achar a taxa instantnea de juro, considerando o mesmo prazo da taxa de juro composta. Feito isso, obtm-se a taxa de juro equivalente quela obtida. Para tanto, fundamental saber que, no regime de capitalizao contnua, as taxas de juro equivalentes so linearmente proporcionais. Ou seja, uma taxa de juro instantnea de 6% ao semestre equivale a

uma taxa anual de 12%. Veja o exemplo a seguir. Exemplo

1) Considerando uma taxa de juro de 16% a.a. no regime de capitalizao composta, calcule a taxa instantnea de juro para 30 dias. A taxa de juro instantnea para um ano igual a: i = ln (1 + 0,16) = 14,84 % a.a Para um perodo de trinta dias, a taxa de: i = 0,1484 30 / 360 = 1,24% a.m




2) A partir de uma taxa de juro composta de 2% a.m, qual a taxa instantnea de juro ao semestre? Considerando o perodo de um ms, temos a seguinte taxa de juro instantnea: i = ln (1 + 0,02) = 1,98% a.m A taxa ao semestre de: i = 0,0198 6 = 11,88% a.s 3) Qual a taxa de juro mensal e anual no regime de capitalizao contnua, sabendo que a taxa instantnea de juro semestral de 5%. i mensal = 0,05 1/6 = 0,83% a.m i anual = 0,05 2 = 10% a.a

A aplicabilidade dos conceitos de capitalizao instantnea envolve os modelos de

apreamento de opes, como Black & Scholes e binomial. Alm de possurem certa

complexidade, tais modelos fogem do escopo do curso. Dessa forma, somente

verificaremos, neste captulo, algumas aplicabilidades relativas capitalizao simples

e composta.

CONCLUSO Neste curso foram oferecidos subsdios bsicos para um bom entendimento de

regimes de capitalizao e taxas de juros. Com o estudo dos captulos e a realizao

dos exerccios propostos, possvel formar uma boa base a fim de caminhar rumo ao

conhecimento de mercados especficos da BM&FBOVESPA.

O segredo do aprendizado da matemtica financeira praticar

Matematica Financeira Regime de Capital e Taxas de Juros

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