MatFin - 03 - Taxas Equivalentes e Taxas Efetivas · 2015. 11. 9. · Prof. Fabio Lima -...

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Taxas EquivalentesTaxas NominaisTaxas Efetivas

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Matemática Financeira

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Taxas Equivalentes - Juros Simples• Duas Taxas são Equivalentes se resultarem em Montantes

iguais a partir do mesmo Capital ao final de certo período de tempo.

• Em Juros Simples, a Taxa Equivalente é a própria taxa proporcional da operação.

• Por Exemplo: a taxa de 3% a.m. e 9% a.t (ao trimestre) são ditas proporcionais,

• pois 1/3 = 3/9

• São também equivalentes, pois promovem a igualdade dos montantes de um mesmo capital ao final de certo período de tempo.

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Taxas Equivalentes - Juros Simples

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FV (3% a.m.) = 80mil (1 + 0,03 x 3) = $ 87.200,00

FV (9% a.t. ) = 80mil (1 + 0,09 x 1) = $ 87.200,00

FV (3% a.m.) = 80mil (1 + 0,03 x 12) = $ 87.200,00

FV (9% a.t. ) = 80mil (1 + 0,09 x 4 ) = $ 87.200,00

n = 3 meses

n = 12 meses

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Taxas Equivalentes - Juros Compostos

• O conceito enunciado de Taxa Equivalente permanece válido para o regime de Juros Compostos.

• A diferença fica por conta da fórmula de cálculo da Taxa de Juros.

• Por se tratar de Capitalização Exponencial, a expressão da taxa equivalente composta

• É a média geométrica da Taxa de Juros do período inteiro.

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Taxas Equivalentes - Juros Compostos

• Onde:

• q = número de períodos de capitalização

• Por Exemplo, a Taxa Equivalente composta mensal de 10,3826% ao semestre é de 1,66%, ou seja:

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= 0,0166 ou: 1,66% a.m.

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Taxas Equivalentes - Juros Compostos• Para um mesmo capital e prazo de aplicação, é indiferente

(equivalente) o rendimento de 1,66% ao mês ou 10,3826% ao semestre.

• Exemplo: Um capital de $100mil aplicado por anos produz:

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• Para i = 1,66% e n = 24 meses:

• Para i = 10,3826% e n = 4 semestres:

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Taxas Equivalentes - Exemplo• Um banco divulga que a rentabilidade oferecida por uma

aplicação financeira é de 12% ao semestre (ou 2% ao mês).

• Desta maneira, uma aplicação de $10.000 produz, ao final de 6 meses, o montante de $ 11.200 (10mil * 1,12).

• Efetivamente, 12% constituem-se na Taxa de Rentabilidade da operação para o período inteiro de um semestre, e,

• em bases mensais, esse percentual deve ser expresso em termos de Taxa Equivalente Composta.

• Assim, os 12% de rendimentos determinam uma rentabilidade efetiva mensal de 1,91%, e não de 2% conforme foi anunciado.

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ao mês

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Taxas Equivalentes - Exemplos• Quais as taxas de juros compostos mensal e

trimestral equivalentes a 25% ao ano?

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i 25,00% ao ano

q 1 ano 12 meses = 1,877% a.m.

i 25,00% ao ano

q 1 ano 4 trimestres = 5,737% a.t.

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Taxas Equivalentes - Exemplos• Explicar a melhor opção: aplicar um capital de $

60mil à taxa de juros compostos de 9,9% ao semestre ou à taxa de 20,78% ao ano.

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Considerando, n = 1 ano

= $ 72.468,00= $ 72.468,00

• Produzindo resultados iguais para um mesmo período,

• Diz-se que as taxas são Equivalentes.

• Portanto, é indiferente, para um mesmo prazo, e para o regime de juros compostos aplicar a 9,9% a.s. ou a 20,78% a.a.

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Taxas Equivalentes - Exemplos• Demonstrar se a taxa de juros de 11,8387% ao trimestre é

equivalente à taxa de 20,4999% para 5 meses.

• Calcular também a equivalente mensal composta dessas taxas.

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• Uma maneira de identificar a equivalência de taxas de juros é apurar o MMC de seus prazos e capitalizá-las para este momento.

• Se os resultados forem iguais na data definida pelo MMC, diz-se que as taxas são equivalentes,

• pois produzem, para um mesmo capital, montantes idênticos.

para 15 meses

• As taxas são equivalentes compostas, pois quando capitalizadas para um mesmo momento, produzem resultados iguais.

Taxa Equivalente Mensal (descapitalização)

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Taxas Equivalentes - Exemplos• Uma aplicação financeira rendeu 11,35% em 365 dias.

• Determinar a Taxa Equivalente de retorno para 360 dias.

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= 11,1186% p/ 360 dias

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Taxas Equivalentes - Exemplos• Calcular a taxa de juro que equivale, em 44 dias, a

uma taxa anual de 11,2%.

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= 1,306% p/ 44 dias

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Taxas Equivalentes - Exemplos• Uma mercadoria pode ser adquirida com desconto de 7% sobre o

seu preço a prazo.

• Calcular a Taxa Efetiva mensal de juros que é cobrada na venda a prazo, admitindo um prazo de pagamento de:

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a) 30 dias b) 40 dias

i = 0,0753 (7,53% a.m.) i = 0,0753 (7,53% p/40 dias.)

i = 5,59% a.m.

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Taxa Nominal e Taxa Efetiva• A Taxa Efetiva de Juros é a taxa dos juros apurada

durante todo o prazo n,

• sendo formada exponencialmente através dos períodos de capitalização.

• Taxa Efetiva é o processo de formação dos juros pelo regime de juros compostos ao longo dos períodos de capitalização.

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• q representa o número de períodos de capitalização dos juros

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Taxa Nominal e Taxa Efetiva• Uma taxa de 3,8% ao mês determina um montante

efetivo de juros de 56,45% ao ano, ou seja:

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• Quando se diz, por outro lado, que uma Taxa de Juros é Nominal,

• geralmente, é admitido que o prazo de capitalização dos juros (ou seja, período de formação e incorporação dos juros ao principal) não é o mesmo daquele definido para a taxa de juros.

• Prazo de capitalização dos juros é o período de formação e incorporação dos juros ao principal.

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Taxa Nominal e Taxa Efetiva• Seja a Taxa Nominal de Juros de 36% ao ano capitalizada

mensalmente. Os prazos não são coincidentes.

• O prazo de Capitalização é de um mês; e;

• O prazo a que se refere a Taxa de Juros igual a de 1 ano (12 meses).

• Assim, 36% ao ano representa uma Taxa Nominal de juros,

• Expressa para um período inteiro, a qual deve ser atribuída ao período de capitalização.

• Quando se trata de Taxa Nominal é comum admitir-se que a capitalização ocorre por juros proporcionais simples.

• A Taxa por período de Capitalização seria de 36%/12 = 3% ao mês (Taxa Proporcional ou Linear).

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Taxa Nominal e Taxa Efetiva• Ao Capitalizar-se a Taxa Nominal,

• apura-se uma Taxa Efetiva de Juros superior àquela declarada para a operação.

• Sendo assim, no exemplo anterior, temos:

• Taxa Nominal da operação para o período = 36% ao ano.

• Taxa Proporcional Simples (taxa definida para o período de capitalização) = 3% ao mês.

• Taxa efetiva de Juros:

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Taxa Nominal e Taxa Efetiva• Para que os 36% a.a. fosse considerada a Taxa Efetiva,

a formação mensal dos juros deveria ser feita a partir da Taxa Equivalente Composta.

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Taxa Equivalente Mensal de 36% a.a.

• Capitalizando-se exponencialmente esta taxa de juros equivalente mensal chega-se aos 36% a.a.

Taxa Efetiva Anual

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Taxa Nominal e Taxa Efetiva - Exercícios1. Um empréstimo no valor de $ 11.000,00 é efetuado pelo prazo de

um ano à taxa nominal (linear) de juros de 32% ao ano, capitalizados trimestralmente. Pede-se determinar o montante e o custo efetivo do empréstimo.

2. A Caderneta de Poupança paga juros anuais de 6% com capitalização mensal à base de 0,5%. Calcular a rentabilidade efetiva desta aplicação financeira.

3. Sendo de 24% a.a. a taxa nominal de juros cobrada por uma instituição, calcular o custo efetivo anual, admitindo que o período de capitalização dos juros seja: (a) mensal; (b) trimestral; (c) semestral.

4. Um aplicação financeira promete pagar 42% ao ano de juros. Sendo de um mês o prazo da aplicação, pede-se determinar a sua rentabilidade efetiva considerando os juros de 42% a.a. como: (a) Taxa Efetiva; (b) Taxa Nominal.

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Para Estudar

• Mathias e Gomes (2010)

• Capítulo 4 - Equivalência de Capitais

• Fazer Exercícios propostos (página 154).

• MATHIAS, Washington Franco; GOMES, José Maria. Matemática financeira. 6a ed., São Paulo: Atlas, 2010.

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Bibliografia• Bibliografia Básica

• MATHIAS, Washington Franco; GOMES, José Maria. Matemática financeira. 6a ed., São Paulo: Atlas, 2010.

• SILVA, André Luiz Carvalhal da. Matemática financeira aplicada. Coleção Coppead de Administração. 3a ed., São Paulo: Atlas, 2010.

• ASSAF NETO, Alexandre. Matemática financeira e suas aplicações. 12a ed., São Paulo: Atlas, 2012.

• Bibliografia Complementar

• BRUNI, Adriano leal. Matemática financeira com hp12c e excel. São Paulo: Atlas, 2010.

• VIEIRA SOBRINHO, José Dutra. Manual de aplicações financeiras HP-12C: tradicional, platinum, prestige. 3a ed., São Paulo: Atlas, 2008.

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