Matemática Financeira 2012 Sistemas de Amortização · 2012 UNIP – Universidade Paulista ICSC...

Matemática Financeira 2012

Sistemas de Amortização

UNIP – Universidade Paulista

ICSC – Instituto de Ciências Sociais e Comunicação Curso de Graduação em Administração

Prof. Me. Marcelo Stefaniak Aveline


Séries de Pagamentos




2012

UNIP – Universidade Paulista ICSC – Instituto de Ciências Sociais e Comunicação Curso de Graduação em Administração

Séries de Pagamentos Este conteúdo pode ser visto como uma estensão de Juros Compostos. Enquanto em Juros

Compostos um empréstimo, ou uma compra, eram feitos para serem quitados em um único

pagamento, em série de pagamentos, como o próprio nome já diz, esse pagamento será feito

por mais de uma parcela. O mesmo pode enxergar as aplicações, que em Juros Compostos

analisávamos apenas uma aplicação de um valor único, em série de pagamentos permite-nos

estudar casos nos quais o investidor ou o mutuário, por exemplo, faz depósitos ou

pagamentos durante vários meses para chegar-se a um montante.

Tipos de Séries de Pagamentos

As séries de pagamentos dividem-se, basicamente, em dois tipos de séries: A Série

Antecipada e a Série Postecipada, vejamos a seguir:

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Séries de Pagamentos Série de Pagamentos Postecipada: é aquela na qual não há um depósito inicial, não existe

uma entrada, no caso de empréstimos ou financiamentos, apresenta o seguinte

comportamento demonstrado no fluxo abaixo:

C

Parcelas (P)

M

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Séries de Pagamentos Série de Pagamentos Antecipada: é aquela na qual existe um depósito inicial ou um

pagamento a título de entrada. Cuidado, nem todas as operações que possuem entrada são

séries de pagamentos antecipada. É necessário para ser caracterizada como série de

pagamentos antecipada, que o valor da entrada seja o mesmo valor das demais prestações,

vejamos o fluxo abaixo:

C

Parcelas (P)

M


SAF

Sistema de Amortização Francês Tabela Price




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Sistema de Amortização Francês - SAF

TABELA PRICE

Características

As parcelas são constantes

Juros decrescentes

Amortizações crescentes

Saldo devedor decrescente

Onde: P= Valor da prestação C = Valor do Capital (Entrada, aplicação inicial) M = Valor do Montante i = Taxa de juros; t = Prazo. A prestação de uma série de pagamento é composta de duas partes, Juros e Amortização, ou seja, Prestação = Juros + Amortização

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TABELA PRICE

Série Postecipada

( 1 + i )t x i P = C x -------------- ( 1 + i )t - 1

i P = M x -------------- ( 1 + i )t - 1

Cálculo da prestação usando-se o Capital

Cálculo da prestação usando-se o Montante

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TABELA PRICE

Série Antecipada

( 1 + i )t x i 1 P = C x -------------- x --------- ( 1 + i )t – 1 (1 + i )

i 1 P = M x -------------- x ---------- ( 1 + i )t – 1 ( 1 + i )

Cálculo da prestação usando-se o Capital

Cálculo da prestação usando-se o Montante

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Sistema de Amortização Francês - SAF Vamos ver um exemplo de como construir uma tabela de amortização de um sistema francês (tabela

price).

Um cliente solicitou um empréstimo no valor de R$ 10.000,00 para pagar em 5 prestações mensais

iguais e consecutivas, sendo que a primeira parcela tem seu vencimento 30 dias após a data da

contratação. Sabendo que a taxa de juros cobrada pela financeira é de 10% ao mês, calcule o valor da

prestação e os juros e cota de amortização de cada mês. Como a primeira prestação vence 1 mês após

a data da contratação do empréstimo, estamos diante de uma série postecipada

Dados:

C = 10.000,00

t = 5 meses

i=10% ao mês

P = ???

Aplicando a formula temos:

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Aplicando a formula temos:

( 1 + i )t x i P = C x -------------- ( 1 + i )t - 1

( 1 + 0,10 )5 x 0,10 P = 10.000 x ------------------------- ( 1 + 0,10 )5 - 1

1,61 x 0,10 P = 10.000 x --------------- 1,61 - 1

0,16105 P = 10.000 x --------------- 0,61

P = 10.000 x 0,26402 P = 2.640,18

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Sistema de Amortização Francês - SAF Agora vamos preencher a tabela de amortização com os dados que já conhecemos

Toda informação que temos até agora é que o empréstimo será liquidado em 5 parcelas consecutivas de R$ 2.640,18 (valor encontrado acima). Para completar a tabela temos que ter os seguintes conceitos definidos: Os juros da parcela n é cobrado sobre o saldo devedor após o pagamento da parcela (n - 1), ou seja, o juros da 2ª parcela é cobrado sobre o saldo devedor após o pagamento da primeira parcela e assim sucessivamente. O valor da prestação é os juros somado com a amortização, podemos também concluir que a amortização é igual a prestação menos os juros. Somente a amortização reduz o saldo devedor, os juros não impactam no saldo devedor do empréstimo.

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Sistema de Amortização Francês - SAF Agora vamos calcular os juros da 1ª parcela: (considerando uma taxa de juros de 10% = 0,10)

J1 = i x SD0 J1 = 0,10 x 10.000

J1 = 1.000,00

Podemos calcular a amortização da primeira parcela como a diferença entre a prestação e os

juros:

A1 = P – J1 A1 = 2.640,80 – 1.000,00

A1 = 1.640,80

O novo saldo devedor será dado por:

SD1 = SD0 – A1

SD1 = 10.000,00 – 1.640,80

SD1 = 8.359,20

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Agora vamos repetir os mesmos procedimentos para completar a linha 2

J2 = i x SD1 J2 = 0,10 x 8.359,20 J2 = 835,92

Amortização

A2 = P – J2 A2 = 2640,80 – 835,92 A2 = 1.804,88

O novo saldo devedor será dado por:

SD2 = SD1 – A2 SD2 = 8.359,20 – 1.804,88 SD2 = 6.554,32

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Agora é só repetir os mesmos procedimentos para as próximas 3 linhas e encontrar os respectivos

valores.

J3 = i x SD2 J3 = 0,10 x 6.554,32 J2 = 655,43

A3 = P – J2 A2 = 2640,80 – 655,43 A3 = 1.984,75

SD3 = SD2 – A3 SD3 = 6.554,32 – 1.984,75 SD2 = 4.569,57

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Nesse exemplo procritérios de arredondamento restou uma diferença, o correto é que o saldo final seja

igual a zero.

O mais importante, nesse exemplo é entendermos os seguinte conceitos:

1. A prestação é sempre constante;

2. Os valores pagos de juros são decrescentes

3. Os valores de amortização são crescentes

4. Prestação é igual a juros + amortização

5. Os juros são calculados multiplicando-se a taxa de juros pelo saldo devedor do período anterior

6. Apenas a amortização reduz o saldo devedor

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Exercícios:

1) Qual o valor das prestações mensais que deverão ser pagas a um empréstimo no valor de R$ 2.500,00 contratados a uma taxa de 10% ao mês em 3 vezes? Construa a tabela mês a mês . (Prestação: 1.005,28)

2) Qual o valor das parcelas pagas por um empréstimo no valor de R$ 10.000,00 contratado para ser liquidado em 3 prestações mensais, a uma taxa de juros de 10% a.m, sendo que a primeira parcela vencerá após 30 dias a data da compra? Construa a tabela mês a mês. (Prestação: 4.021,10)

3) Um cliente financiou uma motocicleta no valor de R$ 10.000,00 com uma entrada e mais 2 parcelas, sendo a primeira a vencer 30 dias após a compra. Sabendo que o banco responsável pelo financiamento cobra uma taxa de juros de 10% ao mês, qual o valor da prestação? (Prestação: 3.655,54)

4) Qual o valor das parcelas pagas por um empréstimo no valor de R$ 100.000,00 contratado para ser liquidado em 12 prestações mensais, a uma taxa de juros de 1,2% a.m, sendo que a primeira parcela vencerá após 30 dias a data da compra? Construa a tabela mês a mês. (Prestação: 8.997,54)

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Exercícios:

1) Qual o valor das prestações mensais que deverão ser pagas a um empréstimo no valor de R$ 2.500,00 contratados a uma taxa de 10% ao mês em 3 vezes? Construa a tabela mês a mês . (Prestação: 1.005,28)

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Exercícios:

2) Qual o valor das parcelas pagas por um empréstimo no valor de R$ 10.000,00 contratado para ser liquidado em 3 prestações mensais, a uma taxa de juros de 10% a.m, sendo que a primeira parcela vencerá após 30 dias a data da compra? Construa a tabela mês a mês. (Prestação: 4.021,10)

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Exercícios:

3) Um cliente financiou uma motocicleta no valor de R$ 10.000,00 com uma entrada e mais 2 parcelas, sendo a primeira a vencer 30 dias após a compra. Sabendo que o banco responsável pelo financiamento cobra uma taxa de juros de 10% ao mês, qual o valor da prestação? (Prestação: 3.655,54)

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Exercícios:

4) Qual o valor das parcelas pagas por um empréstimo no valor de R$ 100.000,00 contratado para ser liquidado em 12 prestações mensais, a uma taxa de juros de 1,2% a.m, sendo que a primeira parcela vencerá após 30 dias a data da compra? Construa a tabela mês a mês. (Prestação: 8.997,54)


SAC

Sistema de Amortização Constante




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Sistema de Amortização Constate - SAC

A principal diferença do SAF em relação ao SAC é o fato que no SAC as prestações não são

constantes, no SAC as prestações são decrescentes.

Na maioria dos financiamentos bancários utilizamos o Sistema de Amortização Francês (tabela

Price)

Porém os bancos adotam o sistema de amortização conhecido como SAC nos financiamentos

habitacionais. Este sistema substituiu o SAF pelo fato da tabela Price cometer anatocismo

(cobrança de juros sobre juros).

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Sistema de Amortização Constate - SAC Características

Amortizações são constantes

Juros decrescentes

Parcelas decrescentes

Saldo devedor decrescente

Onde: P= Valor da prestação C = Valor do Capital (Entrada, aplicação inicial) M = Valor do Montante i = Taxa de juros; t = Prazo. SD= Saldo devedor A = Amortização

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Sistema de Amortização Constate - SAC Fórmulas

C A = -------------- t

Amortização

P = A + J Prestação

J1 = SD0 x i Juros

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Sistema de Amortização Constate - SAC Vamos usar o mesmo exemplo citado no capitulo anterior, trocando o Sistema de Amortização

Francês pelo SAC.

Um cliente solicitou um empréstimo no valor de R$ 10.000,00 para pagar em 5 prestações

mensais iguais e consecutivas, sendo que a primeira parcela tem seu vencimento 30 dias após

a data da contratação. Sabendo que a taxa de juros cobrada pela financeira é de 10% ao mês,

calcule o valor da prestação e os juros e cota de amortização de cada mês considerando que o

banco utiliza o Sistema de Amortização Constante.

Passo 1: Como o valor emprestado é de 10.000,00 para ser liquidado em 5 prestações,

podemos calcular o valor da cota de amortização mensal.

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Sistema de Amortização Constate - SAC Vamos usar o mesmo exemplo citado no capitulo anterior, trocando o Sistema de Amortização

Francês pelo SAC.

Um cliente solicitou um empréstimo no valor de R$ 10.000,00 para pagar em 5 prestações

mensais iguais e consecutivas, sendo que a primeira parcela tem seu vencimento 30 dias após

a data da contratação. Sabendo que a taxa de juros cobrada pela financeira é de 10% ao mês,

calcule o valor da prestação e os juros e cota de amortização de cada mês considerando que o

banco utiliza o Sistema de Amortização Constante.

Passo 1: Como o valor emprestado é de 10.000,00 para ser liquidado em 5 prestações,

podemos calcular o valor da cota de amortização mensal.

C A = -------------- t

10.000 A = -------------- = 2.000 5

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Sistema de Amortização Constate - SAC Como sabemos que o Saldo Devedor é descontado apenas da amortização, podemos calcular

o saldo devedor após o pagamento de cada parcela:

Podemos também calcular o valor dos juros cobrados na primeira parcela:

Para calcularmos o valor da primeira parcelas, temos:

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Sistema de Amortização Constate - SAC Como sabemos que o Saldo Devedor é descontado apenas da amortização, podemos calcular

o saldo devedor após o pagamento de cada parcela:

1ª parcela: 10.000,00 - 2.000,00 = 8.000,00

2ª parcela: 8.000,00 - 2.000,00 = 6.000,00

3ª parcela: 6.000,00 - 2.000,00 = 4.000,00

4ª parcela: 4.000,00 - 2.000,00 = 2.000,00

5ª parcela: 2.000,00 - 2.000,00 = 0,00

Podemos também calcular o valor dos juros cobrados na primeira parcela:

J1 = SD0 x i

J1 = 10.000 x 0,10

J1 = 1.000

Para calcularmos o valor da primeira parcelas, temos:

P = A + J

P = 2.000 + 1.000 = 3.000

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Sistema de Amortização Constate - SAC Mantendo-se a mesma linha de reciocínio, tem-se:

Logo, na parcela, assim teremos:

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Sistema de Amortização Constate - SAC Mantendo-se a mesma linha de reciocínio, tem-se:

J2 = 8.000 x 0,10 = 800

J3 = 6.000 x 0,10 = 600

J4 = 4.000 x 0,10 = 400

J5 = 2.000 x 0,10 = 200

Logo, na parcela, assim teremos:

P2 = 2.000 + 800 = 2.800

P3 = 2.000 + 600 = 2.600

P4 = 2.000 + 400 = 2.400

P5 = 2.000 + 200 = 2.200

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Sistema de Amortização Constate - SAC Assim vamos construir a tabela de amortização

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Sistema de Amortização Constate - SAC Exemplo:

Uma família financiou 100% de um imóvel no valor de R$ 60.000,00 para pagamento em 20 anos com prestações mensais contratadas a ser amortizado pelo sistema de amortização constante - SAC. Sabendo que a taxa de juros cobrada pelo banco é de 1% ao mês calcule: a) O valor da a ser amortizado mensalmente: b) O valor da primeira prestação: c) O valor da parcela número 51:

a) A = C/t = 60.000 / 240 = 250

b) P1 = A + J J1 = SD0 x i P1 = A + (SD0 x i) P1 = 250 + (60.000 x 0,01) P1 = 250 + 600 = 850

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Sistema de Amortização Constate - SAC Exemplo:

c) P51 = A + J J51 = SD50 x i P51 = A + (SD50 x i) P51 = A + (( SD0 - ( n x A)) x 0,01) P51 = 250 + (( 60.000 - ( 50 x 250)) x 0,01) P51 = 250 + (( 60.000 – ( 12.500)) x 0,01) P51 = 250 + (( 60.000 – 12.500) x 0,01 ) P51 = 250 + ( 47.500 x 0,01 ) P51 = 250 + 475 P51 = 725

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Exercícios:

1) Um empréstimo de R$ 1.000,00, à taxa de 10% a.a., será pago em 5 prestações anuais. O valor da primeira prestação, a pagar pelo Sistema de Amortização Constante, e o saldo devedor, após esse pagamento, serão, em reais, respectivamente de :

2) Uma pessoa deve pagar um financiamento de R$ 1.000,00 em dez prestações calculadas pelo Sistema de Amortização Constante (SAC), com a primeira prestação sendo devida um mês após o financiamento. A taxa de juros compostos usada é de 1% a.m. O valor, em reais, da primeira prestação é de:

3) Um casa que pretende casar daqui a dois anos comprou o imóvel no qual formarão o seu lar, uma tradicional constituição de família de classe média brasileira dá-se em condições de difícil situação financeira, para tanto a compra desse imóvel foi financiada pela Caixa Econômica Federal pelo sistema SAC nas seguintes condições: Valor financiado de 160.000,00, juros de 6% a.a., pelo prazo de 360 meses. Pede-se:

1) Qual o valor a ser amortizado na parcela de número 120? 2) Qual o valor de juros a ser pago na parcela de número 180? 3) Qual o saldo devedor após o pagamento de 240 parcelas? 4) Para a parcela de 360 calcular: amortização, juros e parcela. 5) Qual o saldo devedor após o pagamento da parcela de número 360?


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Exercícios:

1) Um empréstimo de R$ 1.000,00, à taxa de 10% a.a., será pago em 5 prestações anuais. O valor da primeira prestação, a pagar pelo Sistema de Amortização Constante, e o saldo devedor, após esse pagamento, serão, em reais, respectivamente de :

Dados: Capital = 1.000 Taxa: 10% a.a. Prazo = 5 anuais


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Exercícios:

2) Uma pessoa deve pagar um financiamento de R$ 1.000,00 em dez prestações calculadas pelo Sistema de Amortização Constante (SAC), com a primeira prestação sendo devida um mês após o financiamento. A taxa de juros usada é de 1% a.m. O valor, em reais, da primeira prestação é de:

Dados: C = 1.000 Taxa = 1%a.m. Prazo = 10 meses


2012


Exercícios:

3) Um casa que pretende casar daqui a dois anos comprou o imóvel no qual formarão o seu lar, uma tradicional constituição de família de classe média brasileira dá-se em condições de difícil situação financeira, para tanto a compra desse imóvel foi financiada pela Caixa Econômica Federal pelo sistema SAC nas seguintes condições: Valor financiado de 160.000,00, juros de 6% a.a., pelo prazo de 360 meses. Pede-se:

1) Qual o valor a ser amortizado na parcela de número 120? 2) Qual o valor de juros a ser pago na parcela de número 180? 3) Qual o saldo devedor após o pagamento de 240 parcelas? 4) Para a parcela de 360 calcular: amortização, juros e parcela. 5) Qual o saldo devedor após o pagamento da parcela de número 360?


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