MATEMÁTICA

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EXPRESSÕES ARITMÉTICAS

Luiz foi na feira, e comprou 3 dúzias de bananas, 3 dúzias de laranjas, 2 abacaxis e 2 melancias.

Observando o preço das coisas abaixo, diga quanto Luiz gastou.

1 dúzia de banana: R$ 1,701 dúzia de laranja: R$ 2,30Abacaxi (unidade): R$ 1,50melancia (unidade): R$ 5,00

Podemos calcular quanto Luiz gastou assim:3 . 1,70 + 3 . 2,30 + 2 . 1,50 + 2 . 5 == 5,10 + 6,90 + 3,00 + 10,00 ==25,00

Conclusão: Luiz gastou R$ 25,00.

A expressão que nos leva a esse resultado é esta: 3 x 1,70 + 3 x 2,30 + 2 x 1,50 + 2 x 5. Se não começássemos pelas multiplicações, o resultado estaria errado. Isso por que uma multiplicação nada mais é do que uma adição abreviada. Então, deve-se sempre seguir a regra: em primeiro lugar efetuamos as potenciações e radiciações, depois as multiplicações e divisões, e por fim as adições e subtrações.

Por que essa ordem? Primeiro, devemos perceber que as potências não são nada mais do que abreviações de multiplicações. Desse modo, devemos calculá-las primeiro para decompô-las. As multiplicações, por sua vez, são abreviações de adições. E as raízes, divisões e subtrações? Essas são feitas junto com suas inversas, já que sempre é possível transformá-la numa inversa. Por exemplo, subtrair 5 é o mesmo que somar -5; dividir por 3 é o mesmo que multiplicar por um terço; e extrair a raiz quadrada, é o mesmo que elevar à potência de expoente um meio.

Portanto, é um conjunto de números reunidos entre si por sinais de operações.

Como já foi visto, o cálculo dessas expressões é feito na ordem em que é indicada, devendo observar-se que são feitas inicialmente as operações indicadas entre parênteses, em seguida as indicadas entre colchetes e finalmente as indicadas entre chaves.

Exemplos:

1) Calcular o valor da expressão35 - [4 + (5 - 3)]

efetuando-se as operações indicadas dentro dos parênteses obtemos35 - [4 + 2]

efetuando-se as operações indicadas dentro dos colchetes temos35 - 6 = 29

2) Calcular o valor da expressão86 - {26 - [8 - (2 + 5)]}

efetuando-se as operações indicadas nos parênteses obtemos86 - {26 - [8 - 7]}

efetuando-se as operações indicadas nos colchetes temos86 - {26 - 1}

efetuando as operações indicadas entre as chaves vem que86 - 25 = 61


3) Calcular o valor da expressão53 - {[48 + (7 - 3)] - [(27 - 2) - (7 + 8 + 10)]}

53 - {[ 48 + 4 ] - [ 25 - 25]}53 - {52 - 0}53 - 52 = 1

O cálculo das expressões numéricas que contém as 4 operações (adição, subtração, multiplicação e divisão) deve obedecer a seguinte ordem:

Inicialmente as multiplicações e divisões e em seguida, as adições e subtrações, respeitando-se a ordem de se iniciar com os parênteses mais internos, a seguir os colchetes e finalmente as chaves.

54 - 3 x [ (7 + 6 : 2) - (4 x 3 - 5) ]efetuando-se inicialmente as multiplicações e divisões que estão indicadas nos parênteses temos: 54 - 3 x [ 10 - 7 ]efetuando-se os colchetes vem que

54 - 3 x [ 3 ] 54 - 9 = 45

Outros exemplos:

1- Numa expressão numérica a multiplicação resolve-se em 1º lugar.

15x4+6-8==60+6-8==66-8==58

2- Numa expressão numérica resolve-se em 1º lugar os parêntesis.180-(23x2-10)x5==180-(46-10)x5==180-36x5==180-180==0

3- Numa expressão numérica só com adição e subtração, resolve-se as operações segundo a ordem indicada.140+40+35-10=180+35-10=215-10=205

Exercício Resolvido

1) Resolva a seguinte expressão aritmética

{[( 8 x 4 + 3) : 7 + ( 3 + 15 : 5) x 3] x 2 - (19 - 7) : 6} x 2 + 12

Resolução:{ [ ( 32 + 3) : 7 + (3 + 3) x 3 ] x 2 - 12 : 6} x 2 + 12 { [ 35 : 7 + 6 x 3 ] x 2 - 2 } x 2 + 12 { [ 5 + 18 ] x 2 - 2 } x 2 + 12 { 23 x 2 - 2} x 2 + 12 { 46 - 2 } x 2 + 12


44 x 2 + 12 88 + 12 100

Exercícios

1) Coloque parênteses em cada uma das expressões numéricas seguintes de modo que resultem igualdades verdadeiras:

a) 5 + 3 x 4 + 2 = 23b) 5 + 3 x 4 + 2 = 48c) 5 + 3 x 4 + 2 = 34

2) Calcular:a) 13,5x5-18x2b) 160-(24+50x2)c) (12,5x4-15x2)x3d) (15,8-23x0)+(80-4,5x10)e) 190 +(16x5-0,08x100)x0,1f) (24x10-70)x0,1+(45-5x0,1)x0,1

Gabarito:

1)a) 5 + 3 x (4 + 2) = 23 b) (5 + 3) x (4 + 2) = 48 c) (5 + 3) x 4 + 2 = 34

2) a) 31,5b) 36c) 60d) 50,8e) 197,2f) 21,45

DIVISIBILIDADE

Existem algumas regras que podem nos auxiliar a identificar se um número é ou não divisível por outro. Por exemplo, sabemos que 16 é divisível por 2, ou que 27 é divisível por 3, e no entanto será que 762 é divisível por 2? E por 3?

DIVISIBILIDADE POR 2

Todo número que é par é divisível por 2.Exemplos: 762, 1 572, 3 366 etc.


Somam-se os algarismos do número em questão, se o resultado for um número divisível por 3, então o número inicial o será também.

Exemplos:


762, pois 7 + 6 + 2 = 153 573, pois 3 + 5 + 7 + 3 = 18 53 628, pois 5 + 3 + 6 + 2 + 8 = 24


Observe os dois últimos algarismos se for dois zeros ou se terminar numa dezena divisível por 4 o número será divisível por 4.

Exemplos: 764, pois 64 é divisível por 4.1 572, pois 72 é divisível por 4.3 300, pois o número termina em dois zeros.


Observe o último algarismo se for zero ou cinco o número será divisível por 5.

Exemplos: 760, 1 575, 3 320.


Todo número que é divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo, será também, divisível por 6.

Exemplos: 762, 1 572, 33 291.


Seguindo um algoritmo apresentado por um professor, vamos seguir 3 passos:1o. Separe a casa das unidades do número;

2o. Multiplique esse algarismo separado (da direita) por 2;

3o. Subtraia esse resultado do número à esquerda se esse resultado for divisível por 7, então o número original também o será.

Exemplos:

378 é divisível por 7, pois

Passo1: 37 ........ 8Passo 2: 8 x 2 = 16Passo 3: 37 - 16 = 21

Como 21 é divisível por 7, então 378 também o é.

4 809 é divisível por 7, pois

Passo1: 480 ........ 9Passo 2: 9 x 2 = 18Passo 3: 480 - 18 = 462


Repetindo os passos para o número encontrado:

Passo1: 46 ........ 2Passo 2: 2 2 = 4Passo 3: 46 - 4 = 42

Como 42 é divisível por 7, então 4 809 também o é.


Observe os três últimos algarismos, se for três zeros ou uma centena divisível por 8 então o número original também será.

Exemplos: 1 416, 33 296, 57 800, 43 000.


Somam-se os algarismos do número em questão, se o resultado for um número divisível por 9, então o número inicial o será também.

Exemplos: 3 573, pois 3 + 5 + 7 + 3 = 18 53 928, pois 5 + 3 + 9 + 2 + 8 = 27945 675, pois 9 + 4 + 5 + 6 + 7 + 5 = 36

DIVISIBILIDADE POR 10 Observe o último algarismo se for zero o número será divisível por 10.

Exemplos: 760, 3 320, 13 240.


Um número será divisível por 11, quando a diferença entre a soma dos algarismos de ordem par e a soma dos algarismos de ordem ímpar tiver como resultado um número divisível por 11.

Exemplos: 2 937, pois:soma dos algarismos de ordem par: 9 + 7 = 16soma dos algarismos de ordem ímpar: 2 + 3 = 5fazendo a diferença: 16 - 5 = 11

28 017, pois:soma dos algarismos de ordem par: 8 + 1 = 9soma dos algarismos de ordem ímpar: 2 + 0 + 7 = 9fazendo a diferença: 9 - 9 = 0

MÚLTIPLOS E DIVISORES


Múltiplo: é o resultado da multiplicação de um número natural por outro natural.

Exemplos: 24 é múltiplo de 3, pois 3 x 8 = 24.20 é múltiplo de 5, pois 5 x 4 = 20 e é múltiplo de 2, pois 2 x 0 = 0

Divisor: se um número x é divisível por y, então y será um divisor de x.

Exemplos: 8 é divisor de 864, pois 864 é divisível por 8.21 é divisor de 105, pois 105 é divisível por 21.

NÚMEROS PARES E NÚMEROS ÍMPARES

Chamamos de números pares o conjunto de números inteiros formados pelos múltiplos inteiros de 2:Exemplo: 0, 2, -2, 4, -4, 6, -6, 8, -8 ......

Chamamos de números ímpares todos os números que não são múltiplos de 2:Exemplo: -1, 3, -3, 5, -5, 7, -7, 9, -9 .......

NÚMEROS PRIMOS

Todo número que apresenta dois divisores naturais, sendo eles: o próprio número e a unidade; ele será considerado um número primo, são eles:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, ...

RECONHECENDO UM NÚMERO PRIMO:

Dividimos o número, de maneira sucessiva, pelos números que formam a série dos números primos, até encontramos um coeficiente igual ou menor ao divisor. Caso nenhuma dessas divisões seja exata, então o número é primo.

Nota: utilizando-se os critérios de divisibilidade, poderemos evitar algumas dessas divisões.

Exemplo: Vamos verificar se o número 193 é primo. Utilizando os critérios da divisibilidade, podemos

verificar que 193 não é divisível por 2, 3, 5, 7.Então, dividindo:

193 11 193 13 193 17

83 17 63 14 23 11 6 11 6

Quociente menor que o divisor 11 < 17, e não houve divisão exata, então o número 193 é primo.

DECOMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS

Quando um número não é primo, pode ser decomposto num produto de fatores primos.


A fatoração consiste, portanto, em encontrar todos os fatores primos divisores de um número natural.

Regra: dividimos o número pelo seu menor divisor primo, excetuando-se a unidade, a seguir, dividimos o quociente pelo menor divisor comum e assim sucessivamente até encontrarmos o quociente 1. O número dado será igual ao produto de todos os divisores encontrados que serão números primos.

Exemplo:

Número composto (ou múltiplos)

São números que possuem outros divisores além da unidade e deles mesmos. Exemplos:a) 4, pois D (4) = {1, 2, 4}b) 6, pois D (6) = {1, 2, 3, 6}, etc...

Obs: Por convenção, o número 1 não é nem primo, nem composto.

MÁXIMO DIVISOR COMUM (M.D.C.)

Denomina-se máximo divisor comum entre dois ou mais números naturais não nulos, ao maior número natural que divide a todos simultaneamente.

Exemplo: O máximo divisor comum entre 6, 18 e 30 é o número 6, pois este divide ao mesmo tempo o 6, o 18 e o 30 e, além disso, é o maior dos divisores simultâneos dos números dados.

MÉTODO DA COMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS

Decompõe-se os números em fatores primo e em seguida escolhe-se os fatores primos comuns com os menores expoentes e em seguida efetua-se o produto destes expoentes.

Exemplo:


1-) Encontrar o MDC entre os números 60 e 280

Escolhemos agora os fatores primos comuns aos dois números que decompomos, com os menores expoentes. Os fatores comuns aos dois números são 2 e 5, e estes fatores com seus menores expoentes são :

22 5 = 4 5 = 20

Logo o M.D.C. entre 60 e 280 é 20 e se escreve da seguinte forma:

MDC (60, 280) = 20

2-) Determinar o M.D.C. entre 480 e 188

O único fator primo comum entre 480 e 188 é 2, e como deve ser escolhido aquele que tiver o menor expoente,

então temos 22 = 4

mdc (480, 188) = 4

MÉTODO DAS DIVISÕES SUCESSIVAS


(MÉTODO DE EUCLIDES)

Vamos encontrar o máximo divisor comum entre 60 e 280.

1o. Passo: Utilize o dispositivo abaixo colocando o maior número na primeira lacuna (do meio) e o menor na segunda lacuna (do meio):

2o. Passo: Divida 280 por 60 colocando o quociente na lacuna de cima do 60 e o resto na lacuna abaixo do 280:

3o. Passo: O resto da divisão vai para a lacuna do meio do lado direito de 60 e repete-se os passos 1, 2 e 3 até encontrarmos resto zero.

4o. Passo: O último divisor encontrado será o mdc.

mdc (60, 280) = 20

Nota:

"Números Primos entre Si"

Dois ou mais números são considerados primos entre si se e somente o Máximo Divisor Comum entre esses números for igual a 1.


Exemplo:

21 e 16, pois mdc (21, 16) = 1

Exercícios Resolvidos

1) Determinar os dois menores números pelos quais devemos dividir 144 e 160, a fim de obtermos quocientes iguais.

Resolução:

Determinamos o M.D.C. entre 144 e 160

mdc (144, 160) = 24 = 16

Então:

144 16 = 9

O maior divisor de 144 é 16 e o menor quociente 9,

Vem que 160 16 = 10 onde 16 é também o maior divisor de 160 e 10 o menor quociente. Logo os números procurados são 9 e 10

pois 144 9 = 16 e 160 10 = 16.


2) Um terreno de forma retangular tem as seguintes dimensões, 24 metros de frente e 56 metros de fundo. Qual deve ser o comprimento de um cordel que sirva para medir exatamente as duas dimensões?

Resolução:

Então:

mdc ( 56, 24) = 8

Resposta:

O comprimento do maior cordel que pode ser utilizado para medir as dimensões do terreno deve ser de 8 metros de comprimento, pois, 8 é o maior dos divisores comuns entre 56 e 24.

MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (M.M.C)

"Mínimo múltiplo comum de dois ou mais números naturais não nulos é o menor dos múltiplos, não nulo, comum a esses números."

Sejam dois conjuntos, um constituído pelos múltiplos de 6 e outro constituído pelos múltiplos de 9.

M(6) = {0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, ...}

M(9) = {0, 9, 18, 27, 36, 45, 54, ...}

Observando-se os dois conjuntos de múltiplos de 6 e 9, verificamos que existem números que aparecem em ambos, isto é, são comuns aos dois conjuntos, como os números 18 e 36, isto é:


M(6) M(9) = {0, 18, 36, ...}

Isto significa que 18 e 36 são múltiplos comuns de 6 e 9, isto é, estes números são divisíveis ao mesmo tempo por 6 e por 9.

Logo teremos como Mínimo Múltiplo Comum entre 6 e 9 o número 18, isto é:

mmc (6, 9) = 18

MÉTODO DA COMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS

O mínimo múltiplo comum de dois ou mais números, obtém-se decompondo simultaneamente este números e efetuando-se o produto dos fatores primos comuns e não comuns escolhidos com seus maiores expoentes.

Exemplo:

Determinar o M.M.C. dos números 70, 140, 180.

Fatorando os números:

70 2 140 2 180 2 35 5 70 2 90 2 7 7 35 5 45 3 1 7 7 15 3 1 5 5 1

Então temos:

70 = 2 x 5 x 7

140 = 22 x 5 x 7

180 = 22 x 32 x 5


Os fatores primos comuns, isto é, que aparecem nas três fatorações são 2 e 5. O número 7 não é fator primo comum porque só aparece na fatoração dos números 70 e 140. O número 3 também não é fator primo comum porque só aparece na fatoração do número 180. Logo:

fatores primos comuns escolhidos com os maiores expoentes: 22 e 5.

Fatores primos não comuns escolhidos com os maiores expoentes: 32 e 7.

mmc (70, 140,180) = 22 x 5 x 32 x 7 = 1260

MÉTODO DA DECOMPOSIÇÃO SIMULTÂNEA

Então:

mmc (70, 140, 180) = 22 x 32 x 5 x 7 = 1260

RELAÇÃO ENTRE O MMC E O MDC

O produto de dois números dados é igual ao produto do M.D.C. desses números.

mmc (a, b) mdc (ab) = a x b


Exemplo:

Sejam os números 18 e 80

Temos pela regra que: 18 x 80 = mmc (18, 80) mdc (18, 80)

O produto é 18 80 = 1440.

Vamos agora determinar o M.M.C. desses dois números.

80, 18 2 40, 9 2 20, 9 2 10, 9 2 5, 9 3 5, 3 3 5, 1 5 1, 1

mmc (80, 18) = 24 x 32 x 5 = 720

Logo:

mdc(80, 18) = 1440 mmc(18, 80) = 1440 720 = 2

EXERCÍCIO RESOLVIDO

Para identificarmos se um problema deve ser resolvido através do M.M.C. temos algumas indicações importantes.

I - Diante de um problema, verificar se trata de fatos repetitivos, significa que estes fatos são múltiplos;

II - Os acontecimentos deverão ser simultâneos, isto é, comuns;

III - Ao buscarmos a primeira coincidência, estamos buscando o M.M.C.


Exemplo:

Três viajantes passam por determinado local respectivamente a cada 15, 20 e 25 dias. Sabendo-se que hoje os três se encontram, quando acontecerá o novo encontro?

Resolução:

Existe a idéia de repetição: "Sabendo-se que hoje os três se encontraram, quando ocorrerá o novo encontro?"

Múltiplo

"Encontrar-se-ão num determinado dia"

Comum

"Quando acontecerá o novo encontro"

Mínimo

Portanto

15, 20, 25 2 15, 10, 25 2 15, 5, 25 3 5, 5, 25 5 1, 1, 5 5 1, 1 1 300

Resposta:

O primeiro encontro ocorrerá dentro de 300 dias.

POTENCIAÇÃO

A potenciação do número inteiro a, é definida como o produto de n fatores iguais. O número a é

denominado por base e o número n é o expoente na


a é multiplicado por a n vezes Exemplo:

322222225

25)5()5()5( 2 Com os exemplos acima podemos observar que a potência de todo o número inteiro elevado a um expoente par é um número positivo e a potência de todo o número inteiro elevado a um expoente ímpar é um número que conserva o seu sinal. Observação

Quando o expoente é 2, a potência 2a pode ser lida como "a elevado ao quadrado", quando o

expoente é 3, a potência 3a pode ser lida como "a elevado ao cubo". Tais leituras são provenientes do

fato que a área do quadrado pode ser obtida por A = 2a ,onde a corresponde ao lado do quadrado, e o

volume do cubo pode ser obtido por V=3a , onde a corresponde ao lado do cubo.

Exemplos:

a) 33 = 3 3 3 = 27b) 42 = 4 4 = 16c) 122 = 12 12 = 144d) (-3)2 = (-3) (-3) = + 9e) (-2)3 = (-2) (-2) (-2) = - 8

f) 7

2 = 27

1= 49

1

g) 3

3

2

=

27

8

h)

2

5

7

=

2

7

5=

49

25

i) 2

9

6

=

2

6

9=

36

81= 4

9

PROPRIEDADES DAS POTÊNCIAS

Sendo a e b, números reais e m e n, números inteiros, valem as seguintes propriedades:

MULTIPLICAÇÃO DE POTÊNCIAS DE MESMA BASE

"Sempre que houver multiplicação de potências de mesma base, vamos conservar a base e somar os expoentes".

an am = an + m

Exemplos:


22 x 23 = 22 + 3 = 25 = 32 a2 x a5 = a7

73 x 75 x 78 x 7- 4 = 73 + 5 + 8 - 4 = 712

47 . 45 = 47 + 5 = 42 =

2

4

1= 16

1

DIVISÃO DE POTÊNCIAS DE MESMA BASE

"Sempre que houver divisão de potências de mesma base, vamos conservar a base e subtrair os expoentes".

an am = an - m

Exemplos:

22 23 = 22 3 = 21 = 1/2a5 a2 = a3

73 75 78 74 = 73 5 8 (4) = 76

47 45 = 47 5 = 4 12

MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE POTÊNCIAS COM EXPOENTES IGUAIS E BASES DIFERENTES

"Nas multiplicações ou divisões de potências de mesmo expoente vamos conservar o expoente e multiplicar ou dividir as bases".

an bn = (a b)n ou

an bn = (a b)n

Exemplos:

22 32 = (2 3)2 = 62 = 36

102 22 = 52 = 25

POTÊNCIA DE POTÊNCIA

"Numa potência de outra potência, vamos conservar a base e multiplicar os expoentes".

(an)m = an m

Exemplos:

(22)3 = 26 = 64(92) 3 = 9 6 = (32) 6 = 312

Observações:


23 )2( =

32 )2( = 26 = 64

23 )2(

232

232 = 23 3 = 29 = 512

EXERCÍCIOS - POTENCIAÇÃO

1) Calcule o valor das potências abaixo:a) 14

b) 03

c) 53

d) (5)3

e) 53

f) 52

g) (5)2

h) 52

i) 52

j) (5)2

k) 52

l) 50

m) (5)0

n) 50

2) Encontre o valor das expressões: a) (-1)0 + (-6) (-2) - 24

b)

2

2

3 +

2

2

1

.

2

5

3) Simplificando a expressão [29 ¸ (22 . 2)3]-3, obtém-se:a) 236

b) 230

c) 26

d) 1

e) 3

1

4) Simplificando a expressão 001,0

)01,0.(10.10 253

, temos:a) 109

b) 105


c) 103

d) 102

e) 101

5) a) Calcule as seguintes potências: a = 33, b = (2)3, c = 32 e d = (2)3. b) Escreva os números a, b, c e d em ordem crescente.

GABARITO - POTENCIAÇÃO

1) a) 1 b) 0 c) 125 d) 125e) 125 f) 25 g) 25 h) 25

i) 25

1

j) 25

1

k) 25

1

l) 1m) 1 n) 1

2) a) 12

b) 4

49

3) D

4) A

5)

a) a = 27, b = 8, c = 9

1, d =

8

1

b) b < d < c < a

RADICIAÇÃO

"Sendo a um número real não-negativo e n um número natural,


define-se: n a = b bn = a e b 0, com b IR"

Exemplos:

16 = 4, pois 42 = 16;

81 = 9, pois 92 = 81;

3 8 = 2, pois 23 = 8;

3 27 = 3, pois 33 = 27;

5 32 = 2, pois 25 = 32;

4 81 = 3, pois 34 = 81;

n 0 = 0, pois 0n = 0 (com n 0)

n 1 = 1, pois 1n = 1



PROPRIEDADES DOS RADICAIS

Sendo a e b números reais positivos, e n um número natural não-nulo, valem as seguintes propriedades:

MULTIPLICAÇÃO DE RADICAIS DE MESMO ÍNDICE

"Conservamos o índice e multiplicamos os radicandos".

nnn baba

Exemplos: 4 9 = 36= 6 38 327= 3216 = 6

DIVISÃO DE RADICAIS DE MESMO ÍNDICE

"Conservamos o índice e dividimos os radicandos".

nnn baba

Exemplos: 36 9 = 4= 2 316 32= 38 = 2

RAIZ DE OUTRA RAIZ

"Conservamos o radicando e multiplicamos os índices".

mnn m aa Exemplos:

3 64= 664= 2

3 3512= 9512 = 2

4 3 x = 12x


PROPORCIONALIDADE ENTRE ÍNDICE E EXPOENTE

"Se multiplicarmos ou dividirmos o índice do radical por um número e fizermos o mesmo para o expoente do radicando a raiz conservará seu resultado".

pn pmn m aa

Exemplos: 38= 332= 23 232=662=664= 2

616= 642= 26 242= 322= 34

SIMPLIFICAÇÃO DE RADICAIS

Em muitos casos não podemos chegar num valor exato para uma raiz, mas podemos simplifica-la e deixa-la numa forma mais sintetizada.

Exemplo:

Vamos simplificar a raiz 340, o primeiro passo é fatorar o radicando

40 = 23 . 5, logo 3352, como podemos separar essa raiz em um produto de duas raízes de mesmo índice, então: 340= 3352= 33352= 2. 35 este é o modo simplificado da raiz.

SOMA DE RADICAIS COM MESMO ÍNDICE E MESMO RADICANDO

Na seguinte soma, podemos somar os números que estão multiplicando os radicais, conservando os radicais:

2 3 + 3 3 5 3 + 12 3 = 12 3



POTÊNCIA DE EXPOENTE RACIONAL

Podemos ter como expoente de uma potência, um número racional, por exemplo, 40,5. Para encontrarmos o valor podemos partir de duas formas a primeira é utilizando as propriedades das potências:

40,5 = 41/2 = (22)1/2 = 22 . 1/2 = 21 = 2Entretanto há casos em que não será possível encontrarmos um valor exato, podemos então utilizar uma regra aplicada a casos como este:

“Sendo a um número real positivo e os números inteiros m e n, n 1: nmn

m

aa”.

40,5 = 212

1

44= 4= 2

RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES

Racionalizar o denominador de uma fração significa eliminar todos os radicais que eventualmente podem aparecer no denominador. E para isso vamos utilizar uma regra, observe:

2

2

2

4

=

4

24= 2

24= 22

Multiplicamos o denominador e o denominador da fração pela mesma raiz que apareceu no denominador.

Exemplos:

7

7

7

5

=

49

75= 7

75

42

9= 43

43

4 2

2

2

9

=

4 31

4

22

89

=44

4

2

89 =2

894

EXERCÍCIOS - Radiciação

P1) Calcule:

a) 3125 b) 5243 c) 36

d) 7128 e) 51 f) 3 125

g) 5 32 h) 7 1

P2) Simplifique os radicais:

a) 354 b) 90 c) 80

d) 24 e) 12 f) 40


P 3 ) E fe t u e :

a ) 6 7 + 5 7 3 7

b ) 5 2 + 3 50 2 18

c ) 2 3 81 + 3 24 + 5 3 3

d ) 4 5 . 3 2

e ) 3 5 2 . 5 2 f) 4 3 . 2 3

g ) 8 10 2 5

h ) 2 0 3 6 4 3 2

P 4 ) C a lc u le o v a lo r d e

3 46148 .

P5) Encontre o valor da expressão abaixo: {(2)3 + [(2)2 3 + (3)49] [256 (4)]} (3)

P6) Calcule o valor numérico da expressão:

38+ 4

1

16

2

2

1

+ 3

4

8

P7) Racionalizar o denominador das seguintes frações:

a) 5

1 b) 3

3 c) 22

1 d) 33

2

GABARITO - RADICIAÇÃO

P1) a) 5 b) 3 c) 6 d) 2 e) 1 f) 5g) 2 h) 1

P2) a) 3 2

b) 3 10

c) 4 5

d) 2 6


e) 2 3

f) 2 10

P3) a) 8 7

b) 14 2

c) 133 3

d) 12 10

e) 35 4

f) 24

g) 4 2

h) 53 3

P4) 2 3

P5) 1

P6) 16

23

P7) a) 5

5 b) 3 c)

4

2 d)

3

923

RAZÃO

Grandeza: é tudo aquilo que pode ser medido.Razão: é a relação entre duas grandezas.

DEFINIÇÃO

"Chama-se razão de duas grandezas da mesma espécie, ao quociente da divisão dos números que medem essas grandezas numa mesma unidade. Este quociente é obtido, dividindo-se o primeiro número

pelo segundo".

Conforme a definição, para determinarmos a razão entre duas grandezas é necessário que sejam da mesma espécie, e medidas com a mesma unidade.

A razão é representada sob a forma b

a

ou a : b (que se lê "a está para b "), sendo a e b dois números racionais, com b 0.

Exemplo 1: Num exame há 1200 candidatos disputando 400 vagas. Se compararmos esses dois números através de uma divisão, obtemos:


400

1200= 3

Dizemos que há 3 candidatos para cada vaga ou que a razão entre o número de candidatos e o número de vagas é de 3 para 1. 1200

400= 3

1

Dizemos que para cada vaga há 3 candidatos ou que a razão entre o número de vagas e o número de candidatos é de 1 para 3.

Quando comparamos dois números através de uma divisão, o resultado obtido chama-se razão entre esses números.

Exemplo 2: Admite-se como ideal, numa cidade, a existência de 1 médico para cada 5000 habitantes. Nessas condições, quantos médicos deverá ter uma cidade com 50.000 habitantes?

De acordo com o problema, a razão entre o número de médicos e o número de habitantes é 5000

1

.

Número de habitantes Número de médicos 5.000 1 10.000 2 15.000 3 ...... ...... 50.000 10

A cidade deverá ter 10 médicos.

Verificamos que as razões destacadas, 5000

1

e 50000

10

são iguais. Exercícios Resolvidos

1) Achar a razão entre dois segmentos de 1dm e 25cm respectivamente.

Resolução:Como é necessário medir as duas grandezas com a mesma unidade, vamos reduzir as duas

medidas a cm, para obter a razão.

Logo, cm

cm

25

10 simplificando-se

5

2 ou 2 : 5

Assim: 1 dm = 10cm

2) Em uma competição esportiva participam 500 atletas, sendo 100 moças e 400 rapazes.a) Qual a razão do número de moças para o número de rapazes?b) Qual a razão do número de rapazes para o número de moças?

Resolução:

a) Dividindo-se o número de moças pelo número de rapazes, encontramos a razão:

400

100= 4

1


b) 100

400 = 1

4 = 4

3) Determinar a razão entre 2

1

e 6

5

Resolução:

6

52

1

= 2

15

6 = 10

6= 5

3

PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DAS RAZÕES

"Multiplicando-se ou dividindo-se os termos de uma razão por um mesmo número, diferente de zero, obtém-se um razão equivalente a uma razão dada".

Exemplo:

3

3

5

3

= 15

9

RAZÕES ESPECIAIS

VELOCIDADE MÉDIA

"Denomina-se velocidade média a razão entre a distância percorrida e o tempo gasto para percorrê-la".

Velocidade Média =

GastoTempo

PercorridaDistância

Exemplo:Vamos determinar a velocidade média de um trem que percorreu a distância de 453km em 6 horas: Vm = t

d = 6

453= 75,5 km/h

Resposta: A velocidade média do trem foi de 75,5 km/h

ESCALA

"Denomina-se escala de um desenho a razão entre o comprimento considerado no desenho e o correspondente comprimento real, medido com a mesma unidade".


Escala =

RealoCompriment

DesenhooCompriment

As escalas têm grande aplicação nos esboços de objetos (móveis, automóveis, etc), nas plantas de casas e terrenos, nos mapas e cartas cartográficas.

Exemplo1: Em um mapa a distância entre duas cidades é de 3 cm. Sabendo-se que a distância real entre as cidades é de 300 km, qual a escala utilizada no mapa?

Resolução: Comprimento do desenho: 3 cmComprimento real: 300 km = (300 x 100.000) cm = 30.000.000 cm

Escala =

al

oDe

Re

senh = 30000000

3= 10000000

1

Resposta: A escala utilizada foi de 1:10.000.000

Exemplo2: Ao desenhar a sua sala de aula, Paula traçou um segmento de 12 cm, que corresponde ao comprimento total da sala. Sabendo-se que a escala utilizada foi de 1:60, qual o comprimento real da sala?

Escala =

al

oDe

Re

senh 60

1 =x

12 x = 720 cm

Logo, o comprimento de 12 cm no desenho corresponde a um comprimento de 720 cm ou 7,2 m do real.

Resposta: O comprimento real desta sala é 7,2m.

EXERCÍCIOS - RAZÕES

1) A soma de dois números é 54 e a razão 7/11. Calcular os dois números.

2) A diferença entre dois números é 15 e a razão 8/5. Calcular os dois números.

3) Num ginásio há ao todo 540 alunos distribuídos em classes. A cada classe de 45 meninos corresponde uma classe de 30 meninas. Calcular o número de meninas do ginásio.

4) A razão entre a base e a altura de um triângulo é de 5 para 2, e a área do triângulo é de 45m2. Calcular a base e a altura.

5) Uma barra feita com uma liga de ouro/cobre tem a massa de 513g. Achar a massa de cada metal sabendo que estão na razão de 11 para 8.

6) Um trapézio é isósceles. A base menor está para a base maior na razão 2:5. Determine a área, sabendo que:1º) A altura do trapézio vale 12cm.


2º) A altura está para a base maior na razão 4:5.

7) Qual a razão entre as áreas de dois círculos se o raio de um deles é o quádruplo do raio do outro.

8) Numa prova de matemática, um aluno acertou 12 questões sobre 20 que foram dadas. Qual a razão entre o número de questões que ele acertou para o número de questões da prova?

9) Uma mercadoria acondicionada numa embalagem de papelão, possui 200g de peso líquido e 250g de peso bruto. Qual a razão entre o peso líquido e o peso bruto?

10) Um retângulo A tem 10cm e 15cm de dimensões, enquanto as dimensões de um retângulo B são 10cm e 20cm. Qual a razão entre a área do retângulo A e a área do retângulo B?

11) A razão entre a altura de Tarcísio e sua sombra, em determinada hora do dia é de 3 para 2. Se a sombra mede 1,2m, qual a altura de Tarcísio?

12) A razão entre a velocidade de 2 móveis, A e B é de 3/8. Encontre a velocidade do móvel A, quando a velocidade do móvel B for igual a 20m/s

13) A razão entre as massas de enxofre e de ferro que se combinam para formar o sulfeto de ferro é de 4,7. Calcular:a) A massa de ferro que deve combinar com 32 gramas de enxofre para formar o sulfeto de ferro.b) A massa de enxofre que se deve combinar com 1,12g de ferro para formar o sulfeto de ferro.

14) Para pintar uma parede, um pintor deve misturar tinta branca com tinta cinza na razão de 5 para 3. Se ele precisar de 25 litros dessa misturam, quantos litros de cada cor irá utilizar?

15) Qual é a escala de um desenho em que um comprimento de 3m está representado por um comprimento de 5cm?

16) A largura de um automóvel é 2 metros, uma miniatura desse automóvel foi construída de modo que essa largura fosse representada por 5cm. Qual foi a escala usada para construir a miniatura?

17) Em um mapa, a distância entre duas cidades é de 3cm. Sabendo-se que a distância real entre as cidades é de 300km. Qual a escala utilizada no mapa?

18) A distância entre São Paulo e Rio de Janeiro é de aproximadamente 408km. Qual é a escala de um mapa onde esta distância está representada por 20,4cm?

19) Numa escala de 1:50, qual o comprimento real em metros, correspondente a 8cm.

20) Uma fotografia aérea mostra parte de uma região cuja área é 480m2 (área da parte fotografada). Sabendo que a foto tem 8cm por 15cm, qual foi a escala da foto.

GABARITO - RAZÕES

1) 21 e 33 2) 40 e 25 3) 216 4) 15m e 6 m 5) 297g e 216g6) 126 cm2

7) 16

1


8) 5

3

9) 5

4

10) 4

3

11) 1,80 12) 7,5 m/s13) a) 56,00g b) 0,64g 14) 15 litros de tinta branca e 9 litros de tinta cinza15) 1:60 16) 1:40 17) 1:10.000.000 18) 1:2.000.000 19) 1:300020) 1:200

PROPORÇÃO

INTRODUÇÃOUm posto de gasolina oferece um desconto de 1 real para cada 10 litros completos de gasolina.

Se uma pessoa colocar 50 litros de gasolina no carro, que desconto irá obter?

Com os dados do problema, podemos montar uma tabela:

Litros Descontos (em R$) 10 1 20 2 30 3 40 4 50 5

O desconto será de R$ 5,00Nesta tabela podemos destacar:

* Razão entre desconto e litros: 10

1

* Razão entre desconto e litros: 50

5

.

Verificamos que as razões10

1e 50

5são iguais (ou equivalentes).

DEFINIÇÃO DE PROPORÇÃO

"Proporção é a igualdade entre duas razões, ou seja, quando duas razões apresentam o mesmo


quociente, sendo, portanto iguais".

Quatro números racionais a, b, c, d, diferentes de zero, nessa ordem, formam uma proporção quando a razão do primeiro número para o segundo é igual a razão do terceiro para o quarto.

b

a =d

c

Ou, ainda, podemos escrever:a : b = c : d

que se lê: "a está para b assim como c está para d"

Os quatro termos que formam a proporção são denominados termos da proporção. O primeiro e o quarto termo são chamados extremos da proporção. O segundo e o terceiro são chamados meios.

PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DAS PROPORÇÕES

"Em toda proporção o produto dos meios é igual ao produto dos extremos".

d

c

b

a a.d = b.c

Exemplo:

15

5

18

6 6 x 15 = 5 x 18 90 = 90

RECÍPROCA DA PROPRIEDADE FUNDAMENTAL

"Quando o produto de dois números é igual ao produto de dois outros, os quatro números formam uma proporção".

Observação:

Para verificar se quatro números formam uma proporção, efetuamos o produto do número maior pelo menor e verificamos se esse produto é igual aos outro dois. Assim, os quatro números 4,10,16 e 40

formam uma proporção, pois os produtos 4 40 e 10 16, tem como resultado 160.

QUARTA PROPORCIONAL

"Chama-se Quarta Proporcional a três números dados, um quarto número que forma com os mesmos uma proporção".

Exemplo:

Vamos encontrar a quarta proporcional aos números 16, 12 e 48. Representando por x o termo procurado, veremos que o problema admite três soluções,

correspondentes às proporções, pois a posição do número x é arbitrária.


I-)

1

16

48

12

x x1 = 64

II-)

4816

12 2x x2 = 36

III-)

16

4812

3

x

x3 = 4

Só há três soluções porque em cada solução o produto de um dos números dados por x é igual ao produto dos outros dois. Em geral, considera-se a solução obtida, conservando na proporção a ordem dos números dados, e considerando como incógnita o último termo.

PROPORÇÃO CONTÍNUA

"Proporção contínua é aquela em que os meios e os extremos são iguais".

Exemplo:

9

46

6(os meios são iguais)

Na proporção contínua, o termo igual é denominado média proporcional ou geométrica, e qualquer um dos outros termos (4 ou 9) é denominado terceira proporcional. No exemplo acima, 4 é a terceira proporcional entre 9 e 6, sendo 9 a terceira proporcional entre 4 e 6.


1) Achar a terceira proporcional a 5,6 e 0,84.

Resolução:Observando que, se a média não for previamente fixada, haverá duas soluções:

1O. Modo:

x

84,0

84,0

6,5 5,6x = (0,84)2 x = 0,126

2O.Modo:

x

6,5

6,5

84,0 0,84x = (5,6)2 x = 37,33

Se, contudo, a média for previamente fixada, só haverá uma das resoluções.

2) Achar a terceira proporcional a 3 e 9, sendo 9 a média.

Resolução:

x

9

9

3 3x = 81 x = 27

PROPRIEDADES GERAIS DAS PROPORÇÕES


PROPRIEDADE 1

"Em uma proporção, a soma dos dois primeiros termos está para o primeiro termo, assim como a soma dos dois últimos termos está para o terceiro termo".

d

c

b

a

c

dc

a

ba

PROPRIEDADE 2

"Em uma proporção, a soma dos dois primeiros termos está para o segundo termo, assim como a soma dos dois últimos está para o quarto termo".

d

c

b

a

d

dc

b

ba

PROPRIEDADE 3

"Numa proporção, a diferença dos dois primeiros termos está para o primeiro termo, assim como a diferença dos dois últimos termos está para o terceiro termo".

d

c

b

a

c

dc

a

ba

PROPRIEDADE 4"Numa proporção, a diferença dos dois primeiros termos está para o segundo termo, assim como

a diferença dos dois últimos termos está para o quarto termo".

d

c

b

a

d

dc

b

ba

PROPRIEDADE 5

"Numa proporção, a somados antecedentes está para a soma dos conseqüentes, assim como cada antecedente está para seu conseqüente".

d

c

b

a

d

c

db

cae

b

a

db

ca

PROPRIEDADE 6

"Numa proporção, a diferença dos antecedentes está para a diferença dos conseqüentes, assim como cada antecedente está para seu conseqüente".

d

c

b

a

d

c

db

cae

b

a

db

ca


PROPRIEDADE 7

"Em toda proporção, o produto dos antecedentes está para o produto dos conseqüentes assim como o quadrado de qualquer antecedente está para o quadrado do respectivo conseqüente".

d

c

b

a

2

2

2

2

d

c

db

cae

b

a

db

ca


1º Exercício A diferença entre os antecedentes de uma proporção é 10 e os conseqüentes 9 e 7. Achar os antecedentes.

Resolução:

Representando por a e b os antecedentes, formamos a proporção: 7

b

9

a

aplicando-se a propriedade relativa à diferença, vem que:

979

aba

92

10a 2a = 90 a = 45

logo, b = 35

Resposta: Os antecedentes são, respectivamente 45 e 35.

2º Exercício

7

y

3

x

20yx sistema o Resolver

Resolução: Aplicando-se a propriedade relativa à soma, vem:

373

xyx

310

20x x = 6

logo, y = 14

Resposta: Os antecedentes procurados são respectivamente 6 e 14.

PROPORÇÃO PROLONGADA Proporção prolongada é a sucessão de três ou mais razões iguais.


Exemplo:

16

8

12

6

4

2

PROPRIEDADE DAS PROPORÇÕES PROLONGADAS"Numa proporção prolongada, a soma dos antecedentes está para a soma dos conseqüentes,

assim como qualquer antecedente está para seu conseqüente".

Exemplo:

16124

862

16

8

12

6

4

2


1) Achar a, b, c na seguinte proporção 6

c

4

b

3

a

sabendo-se que a soma é a + b + c = 26.

Resolução:Aplicando-se a propriedade das proporções prolongadas temos:

213

26

643

cba

6

c

4

b

3

a

Logo,

3

a = 2 a = 6

4

b = 2 b = 8

6

c = 2 c = 12

DIVISÃO PROPORCIONAL

DIVISÃO ENTRE AS PARTES DIRETAMENTE PROPORCIONAIS

Exemplo:

Vamos dividir o número 32 em parcelas que sejam diretamente proporcionais aos números 3, 5, 8.

Resolução: O problema consiste em encontrar três parcelas cuja soma seja 32, e que sejam proporcionais

aos números 3, 5, 8. Chamamos essas parcelas de x, y e z temos:


x + y + z = 32 e

853

zyx

Pela propriedade da proporção:

853853

zyxzyx=16

32= 2

substituindo os valores:

3

x = 2 x = 6

5

y = 2 y = 10

8

z = 2 z = 16


1) Dividir 153 em partes diretamente proporcionais aos números 3

2

e 4

3

.

Resolução:Neste caso, o número 153 deve ser dividido em duas parcelas, x e y:

17

12153

12

17153

12

98153

4

3

3

2

4

3

3

2

yxyx = 9 12 k = 108

Uma vez que encontramos o coeficiente de proporcionalidade:

108

3

2x x =

3

2.108 x = 72

108

4

3y y =

4

3108 y = 81

Resposta: Os números procurados são 72 e 81.

DIVISÃO ENTRE AS PARTES INVERSAMENTE PROPORCIONAIS

Exemplo:

Vamos dividir o número 273 em partes inversamente proporcionais a

3

1, 4

1 e 7

2.

O problema consiste em encontrar três parcelas cuja soma seja 273, e que sejam inversamente

proporcionais aos números

3

1, 4

1, 7

2.


Chamamos essas parcelas de x, y e z temos: x + y + z = 273 e

2

743

zyx

note que invertemos os número, no denominador das razões. Pela propriedade da proporção:

26K

21

2273

2

21273

2

714273

2

743

2

743

zyxzyx

Substituindo os valores: 3

x = 26 x = 78

4

y = 26 y = 104

2

7z = 26 z =

2

7. 26 z =

91 EXERCÍCIOS - PROPORÇÕES

1) Calcular x e y, na proporção 5

y

4

x

, sabendo que x + y = 45.

2) Calcular x e y, na proporção 3

y

5

x

, sabendo que x - y = 14.

3) Calcular x, y e z na proporção 4

z

3

y

2

x

sabendo que 2x + 3y + 4z = 58.

4) Calcular x, y e z sabendo que 2xy = 3xz = 4yz e que x + y + z = 18.

5) Determinar o coeficiente de proporcionalidade entre os seguintes grupos de números proporcionais:

7

1,

56

8,

35

5,

14

2

6) Verificar se as seguintes seqüências (45, 60, 75) e (3, 4, 5) são proporcionais.

7) Achar x nas sucessões proporcionais (2, 8, 3) e (4, 16, x).

8) A grandeza x é diretamente proporcional a y. Quando a grandeza y tem o valor 8, x tem o valor 40.

Determinar o valor da grandeza x, quando y vale 10.

9) Em 18 gramas de água, há 2 de hidrogênio e 16 de oxigênio; em 45 gramas de água há 5 de hidrogênio e 40 de oxigênio. Verificar se há proporcionalidade entre as massas de água e hidrogênio,


água e oxigênio, hidrogênio e oxigênio. Em caso afirmativo determinar os coeficientes de proporcionalidade.

10) Dividir 180 em três partes, diretamente proporcionais a 3, 4 e 5.

11) Três sócios querem dividir um lucro de R$ 13.500,00. Sabendo que participaram da sociedade durante 3, 5 e 7 meses. Qual a parcela de lucro de cada um?

12) Um prêmio de R$ 152.000,00 será distribuído aos cinco participantes de um jogo de futebol de salão, de forma inversamente proporcional às faltas cometidas por cada jogador. Quanto caberá a cada um, se as faltas foram 1, 2, 2, 3 e 5?

13) Distribuir o lucro de R$ 28.200,00 entre dois sócios de uma firma, sabendo que o primeiro aplicou R$ 80.000,00 na sociedade durante 9 meses e que o segundo aplicou R$ 20.000,00 durante 11 meses.

14) Um comerciante deseja premiar, no primeiro dia útil de cada mês, os três primeiros fregueses que chegarem ao seu estabelecimento com a quantia de R$ 507.000,00 divididas em partes inversamente

proporcionais a

4

12,

3

21

e 1,2. Nessas condições, qual o prêmio de menor valor a ser pago?

15) Uma pessoa deseja repartir 135 balas para duas crianças, em partes que sejam ao mesmo tempo diretamente proporcionais a 2/3 e 4/7 e inversamente proporcionais a 4/3 e 2/21. Quantas balas cada criança receberá?

16) Um pai distribuiu 284 bombons entre os filhos Hudson, Larissa e Carol, em partes diretamente proporcionais à nota de Matemática e inversamente proporcional a idade dos filhos. Calcule o número de bombons recebidos de acordo com os dados:Hudson: 10 anos e nota 7;Larissa: 12 anos e nota 5;Carol: 8 anos e nota 10.

GABARITO - PROPORÇÕES

1) x = 20; y = 25

2) x = 35; y = 21

3) x = 4; y = 6; z = 8

4) x = 8; y = 6; z = 4

5) 7

1k

6) Sim, k = 15

7) x = 6

8) x = 50


9) 5

2, kSim

10) 45, 60, 75

11) Sócio1: R$ 2.700,00; Sócio2: R$ 4.500,00; Sócio 3: R$6.300,00

12) R$ 60.000,00; R$ 30.000,00; R$ 30.000,00; R$ 20.000,00; R$12.000,00

13) R$ 21.600,00; R$6.600,00

14) R$ 120.000,00

15) 27 e 108

16) Hudson: 84; Larissa: 50; Carol: 150.

Grandezas ProporcionaisDefinição:

Dados dois números reais a e b (com b diferente de zero), chamamos de RAZÃO entre a e b (nessa ordem) o quociente (a divisão) a: b ou a/b . O número a é denominado antecedente ou numerador e b é o consequente ou denominador. A igualdade entre duas razões recebe a denominação de PROPORÇÃO. Toda fração é uma razão, mas nem toda razão é uma fração.

Em nosso dia-a-dia quase tudo se associa a duas ou mais grandezas. Por exemplo: quando falamos em: velocidade, tempo, espaço, peso etc., estamos lidando diretamente com grandezas que estão relacionadas entre si.

Uma moto percorre um determinado espaço físico em um tempo maior ou menor dependendo da velocidade que ela poder chegar ou imprimir em seu percurso realizado.

Assim também a quantidade de trabalho a ser realizado em um determinado tempo depende do número de operários empregados e trabalhando diretamente na obra a ser concluída ou que se deseja concluir.

Exemplo:

De um grupo de 50 jovens, 20 praticam basquete. A razão entre o número de pessoas que jogam basquete e o total é 20/50 = 2/5, o que equivale a dizer que "de cada 5 jovens neste grupo, 2 jogam basquete".

Ou seja:

50 é proporcional a 5 e 20 é proporcional a 2

A relação de dependência entre duas grandezas, dependendo da condição apresentada, pode ser classificada como Diretamente proporcional ou Inversamente proporcional, como veremos a seguir.

GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS e GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS.

( Como já vimos em " Regra de Três", nada custa rever o assunto)


GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAISDuas grandezas são diretamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra aumenta na mesma proporção da primeira.

Exemplo:

Um carro percorre:

* 80 km em 1 hora

* 160 km em 2 horas

* 240km em 3 horas

Então, o tempo e a distância são grandezas diretamente proporcionais, pois aumentam na mesma proporção.

Em um determinado mês do ano o litro de gasolina custava R$ 0,50. Tomando como base esse dado podemos formar a seguinte tabela.

Quantidade de gasolina (em

litros)

Quantidade a pagar (em

reais) 1 0,50 2 1,00 3 1,50

Observe:

Se a quantidade de gasolina dobra, o preço a ser pago também dobra.

Se a quantidade de gasolina triplica o preço a ser pago também triplica.

Neste caso as duas grandezas envolvidas, quantia a ser paga e quantidade de gasolina, são chamadas grandezas diretamente proporcionais.

Duas grandezas são chamadas, diretamente proporcionais quando, dobrando uma delas a outra também dobra; triplicando uma delas a outra também triplica.

Observe, que as razões são iguais.

Outro exemplo:

300 alunos necessitam de 900 refeições. Quantas refeições são necessárias para 100 alunos?

Resolução:

Antes de começarmos temos que observar que a grandeza "Alunos" e a grandeza "Refeições" são diretamente proporcionais e as setas na mesma direção indicam isso(mais alunos significam mais refeições). Uma vez que averiguamos a proporcionalidade, basta efetuar a conta:


Vamos a mais esse exemplo:

João e José foram contratados por R$ 330,00 para construir um muro. João trabalhou 6 dias e José apenas 5 dias. Quanto deverá receber cada um, considerando que a divisão deve ser justa?, ou seja a quantia que cada um deve receber deve ser "proporcional" aos dias trabalhados.Definição. Dividir um número em partes diretamente proporcionais a outros números dados, é encontrar parcelas desse número que sejam diretamente proporcionais a esses números.No nosso exemplo, devemos dividir 330 em partes proporcionais a 6 e 5.

Resolução:Sejam x e y os valores que João e José, respectivamente, têm a receber.

150180330 yLogo

180,0011

1980x19806.33011x

6

x

11

330

6

x

56

yx

5

y

6

x5

y

6

x

330yx

Portanto, João recebe R$ 180,00 enquanto José recebe R$ 150,00

GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAISDizemos que duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra diminui na mesma proporção, ou, diminuindo uma delas, a outra aumenta na mesma proporção. Se duas grandezas X e Y são inversamente proporcionais, os números que expressam essas grandezas variam na razão inversa, isto é, existe uma constante K tal que:

X Y = K

Exemplos:

1) A professora de um colégio, tem 24 livros para distribuir entre os seus melhores alunos, dando a mesma quantidade de livros para cada aluno.

Escolhendo apenas o melhor aluno, este aluno terá 24 livros.

Escolhendo os 2 melhores alunos, cada aluno terá 12 livros.




Vamos colocar esses dados numa tabela:


Alunos escolhidos

Livros para cada aluno

1 24 2 12 3 8 4 6 6 4

De acordo com a tabela, a quantidade de alunos escolhidos e a quantidade de livros que cada aluno receberá, são grandezas que variam sendo que uma depende da outra e se relacionam da seguinte forma:

Se o número de alunos dobra, o número de livros que cada um vai receber cai para a metade.

Se o número de alunos triplica, o número de livros que cada aluno vai receber cai para a terça parte.

Se o número de alunos quadruplica, o número de livros que cada aluno vai receber cai para a quarta parte.

Se o número de alunos sextuplica, o número de livros que cada aluno vai receber cai para a sexta parte.

Sob estas condições, as duas grandezas envolvidas (número de alunos escolhidos e número de livros distribuídos) são grandezas inversamente proporcionais.

Quando a quantidade de alunos varia na razão de 2 para 4, a quantidade de livros distribuídos varia de 12 para 6.

Notemos que essas razões não são iguais, são inversas:

2

4

=

1

12/6

12

6

=

1

2/4

Quando a quantidade de alunos varia na razão de 2 para 6, a quantidade de livros distribuídos varia de 12 para 4.

Notemos que essas razões não são iguais, mas são inversas:


2

6

=

1

12/4

12

4

=

1

2/6

Podemos representar essas grandezas inversamente proporcionais através da função f(x)=24/x, apresentada no gráfico

Outro exemplo:

Verifique na tabela que a razão entre dois valores de uma grandeza é igual ao inverso da razão entre os dois valores correspondentes da outra grandeza.

Outro exemplo:

Um carro a 20 km/h percorre um trecho de estrada em 40 minutos. Se, durante a volta, ele percorreu o mesmo trecho em 80 minutos, qual era a sua velocidade?


As setas agora foram invertidas, pois temos grandezas inversamente proporcionais: Quando mais velocidade, menos tempo é necessário. Para fazer a conta, temos que inverter uma das grandezas:

REGRA DE TRÊS

É uma técnica de cálculo por meio da qual são solucionados problemas sobre grandezas proporcionais.

Estes problemas são de dois tipos:

1) Regra de Três Simples: quando se referem a duas grandezas diretamente ou inversamente proporcionais.

2) Regra de Três Composta: quando se referem a mais de duas grandezas diretamente ou inversamente proporcionais.

OBS: Nesta apostila vamos estudar a Regra de Três Simples (pedida no edital)

GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS

Consideremos a seguinte situação:

Sobre uma mola são colocados corpos de massa diferentes. A seguir, medindo o comprimento da mola, que se modifica com a massa do corpo colocado sobre ela, pode-se organizar a seguinte tabela:

Massa do corpo (em kg) Comprimento da mola (em cm) 10 50 20 100 30 150

Pela tabela pode-se notar que:Se a massa do corpo duplica, o comprimento da mola também duplica.Se a massa do corpo triplica, o comprimento da mola também triplica.


Usando os números que expressam as grandezas, temos:

1-) Quando a massa do corpo passa de 10kg para 20kg, dizemos que a massa varia na

razão 20

10 = 2

1. Enquanto isso, o comprimento da mola passa de 50cm para 100cm, ou seja, o

comprimento varia na razão de 100

50=2

1.

2-) Quando a massa do corpo passa de 10kg para 30kg, dizemos que a massa varia na

razão 30

10 = 3

1. Enquanto isso o comprimento da mola passa de 50cm para 150cm, ou seja, o

comprimento varia na razão de150

50 = 3

1

Note que a massa do corpo e o comprimento da mola variam sempre na mesma razão; dizemos, então, que a massa do corpo é uma grandeza DIRETAMENTE PROPORCIONAL ao comprimento da mola.

"Quando duas grandezas variam sempre na mesma razão, dizemos que essas grandezas são diretamente proporcionais, ou seja, quando a razão entre os valores da primeira é igual a razão da

segunda".

Veja outros exemplos de grandezas diretamente proporcionais:

Quando vamos pintar uma parede, a quantidade de tinta que usamos é diretamente proporcional à área a ser pintada duplicando-se a área, gasta-se o dobro de tinta; triplicando-se a área, gasta-se o triplo de tinta.

Quando compramos laranjas na feira, o preço que pagamos é diretamente proporcional à quantidade de laranjas que compramos; duplicando-se a quantidade de laranjas, o preço também duplica; triplicando-se a quantidade de laranjas, o preço também triplica.

GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS

Consideremos a seguinte situação:

A professora de Português da 6ª série tem 48 livros para distribuir entre seus melhores alunos. Vamos observar que:Se ela escolher apenas os dois melhores alunos, cada um receberá 24 livros.Se ela escolher os quatro melhores alunos, cada um receberá 12 livros.Se ela escolher os seis melhores alunos, cada um receberá 8 livros.

Vamos colocar esses dados no quadro seguinte:

Número de alunos Número de livros escolhidos distribuído a cada aluna

2 24 4 12 6 8


Pela tabela podemos notar que:

Se o número de alunos duplica, o número de livros cai pela metade.Se o número de alunos triplica, o número de livros cai para a terça parte.

Usando os números que expressam as grandezas, temos:

1-) Quando o número de alunos passa de 2 para 4, dizemos que o número de alunos varia na razão: 4

2

.

Enquanto isso, o número de livros passa de 24 para 12, variando na razão: 12

24

.

Note que essas razões não são iguais, elas são inversas, ou seja: 4

2 = 2

1 e 12

24 = 1

2

Nessas condições, o número de alunos escolhidos e o número de livros distribuídos variam sempre na razão inversa; dizemos então que o número de alunos escolhidos é INVERSAMENTE PROPORCIONAL ao número de livros distribuídos.

"Quando duas grandezas variam sempre uma na razão inversa da outra, dizemos que essas grandezas são inversamente proporcionais, ou seja, quando a razão entre os valores da primeira é igual ao inverso

da razão entre os valores da segunda".

Veja outros exemplos de grandezas inversamente proporcionais:

Quando vamos fazer uma construção, o tempo que se gasta nessa construção é inversamente proporcional ao número de operários que se contrata; duplicando-se o número de operários o tempo cai pela metade.

Quando fazemos uma viagem, o tempo que se leva é inversamente proporcional à velocidade do veículo usado: dobrando-se a velocidade do veículo, o tempo gasto na viagem cai pela metade.

REGRA DE TRÊS SIMPLES

Consideremos as seguintes situações:

1º) Um carro faz 180km com 15 litros de álcool. Quantos litros de álcool este carro gastaria para percorrer 210km?

O problema envolve duas grandezas: distância e litros de álcool.Indiquemos por x o número de litros de álcool a ser consumido.

Coloquemos as grandezas de mesma espécie em uma mesma coluna e as grandezas de espécies diferentes que se correspondem em uma mesma linha.

Distância Litros de Álcool 180 15 210 x

Na coluna "litros de álcool" vamos colocar uma flecha apontada para o x.



Observe que aumentando a distância, aumenta também o consumo de álcool. Então, as grandezas distância e litros de álcool, são diretamente proporcionais. No esquema que estamos montando, indicamos isso colocando uma flecha no mesmo sentido da anterior.


x

15

210

180

x

15

7

6 6x = 105 x = 17,5 l

Resposta: O carro gastaria 17,5 litros de álcool.

2º) Um avião voando à velocidade de 800km por hora vai de São Paulo a Belo Horizonte em 42 minutos. Se voar a 600km, por hora em quanto tempo fará a mesma viagem?

As duas grandezas são: velocidade do avião e tempo de vôo.

Observemos que, se a velocidade do avião aumenta, o tempo de vôo diminui, logo a velocidade e o tempo são grandezas inversamente proporcionais.

Chamando de x o tempo necessário para voar de São Paulo à Belo Horizonte a 600km por hora, temos:

Tempo de Vôo Velocidade 42 800 x 600

Então:

Tempo de Vôo Velocidade 42 800 x 600

800

60042x

4

342x 3x = 168 x = 56 minutos

Resposta:

O avião vai de São Paulo a Belo Horizonte em 56 minutos, voando a 600km/h.

REGRA DE TRÊS COMPOSTA


A regra de três composta se refere a problemas que envolvem mais de duas grandezas. A grandeza cujo valor procuramos pode ser diretamente ou inversamente proporcional a todas as outras, ou até mesmo diretamente proporcional a umas e inversamente proporcional a outras.

1o) Em quatro dias oito máquinas produziram 160 peças. Em quanto tempo 6 máquinas iguais às primeiras produzirão 360 dessas peças?

Resolução:

Indiquemos o número de dias por x. Coloquemos as grandezas de mesma espécie em uma só coluna, e as grandezas de espécies diferentes que se correspondem em uma mesma linha.Na coluna "dias" coloquemos uma flexa apontada para x.

Máquinas Peças Dias 8 160 4 6 360 x

Comparemos cada grandeza com aquela onde está o x.

As grandezas, peças e dias são diretamente proporcionais. No nosso esquema isso será indicado colocando-se na coluna "peças" uma flecha no mesmo sentido da flecha da coluna "dias".


As grandezas máquinas e dias são inversamente proporcionais (quanto maior o número de máquinas, menos dias para se efetuar o trabalho). No nosso esquema isso será indicado colocando-se na coluna "máquinas" uma flecha no sentido contrario na coluna "dias".


Agora vamos montar a proporção, igualando a razão que contém o x, que é x

4

, como o produto das outras razões, obtidas segundo orientação das flechas:

x

4

= 8

6

360

160

x

4

= 4

3

9

4

x

4

= 1

1

3

1

x

4

= 3

1

x = 12

Resposta: 12 dias.

2º) Trabalhando durante 6 dias, 5 operários produzem 400 peças. Quantas peças desse mesmo tipo serão produzidas por 7 operários trabalhando durante 9 dias?

Resolução: Inicialmente vamos organizar os dados no seguinte quadro, indicando o número de peças pedido

pela letra x.

Operários Dias Peças


5 6 400 7 9 x A B C

Fixando a grandeza A, vamos relacionar as grandezas B e C, se aumentarmos o número de dias, o número de peças também aumentará; logo, as grandezas B e C são diretamente proporcionais.

Fixando a grandeza B, vamos relacionar as grandezas A e C, se aumentarmos o número de operários, o número de peças também aumentará, logo, as grandezas A e C são diretamente proporcionais.

Então, a grandeza C é diretamente proporcional às grandezas A e B; logo seus valores são diretamente proporcionais aos produtos dos valores das grandezas A e B, ou seja:

x

400 = 9

6

7

5 x

400 = 3

2

7

5 x

400 = 21

10

x

40 = 21

1 x = 40 . 21 x = 840

Resposta: Produzirão 840 peças.

3º) 24 operários fazem 2/5 de determinado serviço em 10 dias, trabalhando 7 horas por dia. Em quantos dias a obra estará terminada, sabendo-se que foram dispensados 4 operários e o regime de trabalho diminuído de 1 hora por dia.

Vejamos as variáveisOperários dias horas por dias serviço

Antes de colocar os dados, veja que se 2/5 do serviço foi feito, então falta 3/5 para terminar a obra, logo:

5

35

2

6

7

x

10

20

24

53

52

x7

6x

24

20

x

10

Calculando:

3

2

3

5

5

2

53

52

21

101010

xxx

x 3

2

7

6

24

20

X = 21 dias

EXERCÍCIOS


1) Um automóvel gasta 10 litros de gasolina para percorrer 65km. Quantos litros gastará num percurso

de 910km?

2) Qual o tempo gasto por 12 homens para executar um trabalho que 8 homens nas mesmas condições

executam em 9 dias?

3) Um fonte dá 38 litros de água em 5 minutos; quantos litros dará em uma hora e meia?

4) Para tecer 19m de um tecido com 50cm de largura são gastos 38kg de lã. Quantos metros serão

tecidos com 93kg da mesma lã, sendo a largura de 60cm?

5) Numa transmissão de correia, a polia maior tem 30cm de diâmetro e a menor 18cm. Qual o número de

rotações por minuto da menor polia, se a maior dá 45 no mesmo tempo?

6) Com 9 há de gasto podem ser mantidas 20 cabeças de gado. Quantos há serão necessários para

manter 360 cabeças?

7) Uma máquina, que funciona 4 horas por dia durante 6 dias produz 2000 unidades. Quantas horas

deverá funcionar por dia para produzir 20.000 unidades em 30 dias?

8) Um automóvel, com a velocidade de 80km por hora, percorreu certa distância em 6 horas. Que tempo

gastará para percorrer a mesma distância se reduzir a velocidade para 50km por hora?

9) Um automóvel percorreu certa distância em 4h, com a velocidade de 60km por hora. Qual o tempo

que gastará para percorrer a mesma distância com a velocidade de 90km por hora?

10) Se três homens podem arar um campo de 8 há em 5 dias, trabalhando 8 horas diárias, em quantos

dias 8 homens poderão arar 192 há trabalhando 12 horas diárias?

11) Com 16 máquinas de costura aprontaram-se 720 uniformes em 8 dias de trabalho. Quantas

máquinas serão necessárias para confeccionarem 2160 uniformes em 24 dias?

12) Se 54 operários trabalhando 5 horas por dia levaram 45 dias para construir uma praça de forma

retangular de 225m de comprimento por 150m de largura, quantos operários serão necessários para construir em 18 dias, trabalhando 12 horas por dia, outra praça retangular de 195m de comprimento por 120m de largura?

13) Para construir um canal de 104m de comprimento por 5m de profundidade e 7m de largura, 100

operários, trabalhando 7 horas por dia, levaram 2 meses e meio. Aumentando de 40 o número de operários e fazendo-os trabalhar 10 horas por dia, pergunta-se: em quanto tempo os operários construíram um segundo canal, com o mesmo comprimento do primeiro, porém de profundidade e largura duplas da do primeiro?

14) Se com 1000 litros de água se rega um campo de 450 há durante 20 dias, qual é a quantidade de

água necessária para se regar outro campo de 200 há durante 30 dias?

15) Para o piso de uma sala empregam-se 750 tacos de madeira de 5cm de comprimento por 3cm de

largura. Quantos tacos de 40cm de comprimento por 7,5cm de largura são necessários para um piso cuja superfície é dupla da anterior?

16) Se 10 operários, trabalhando 8 horas diárias, levantam em 5 1/2 dias uma parede de 22m de


comprimento por 0,45 de espessura em quanto tempo 16 operários, trabalhando também 8 horas por dia, levantam outra parede de 18m de comprimento, 0,30 de espessura e de altura duas vezes maior que a primeira?

17) Um bloco de mármore de 3m de comprimento, 1,50m de largura e 0,60 de altura pesa 4350kg.

Quanto pesará um bloco do mesmo mármore cujas dimensões são: comprimento 2,20 largura 0,75m e altura 1,20?

18) Um navio tem viveres para 20 dias de viagem. Porém um imprevisto deixou-o ancorado em alto mar

durante 10 dias, onde o comandante do navio foi avisado da previsão do atraso. Em quanto se deve reduzir a ração diária da tripulação, para que não faltasse comida até o fim da viagem?

19) Uma pessoa calculou que o dinheiro que dispunha seria suficiente para passar 20 dias na Europa.

Ao chegar, resolveu prolongar sua viagem por mais 4 dias. A quanto teve de reduzir o sue gasto diário médio?

20) Alguns operários devem terminar certo serviço em 36 dias, trabalhando 8 horas por dia. O

encarregado, após 20 dias, verifica que só 0,4 da obra estava pronta. Para entregar o serviço na data fixada; quantas horas por dia devem os operários trabalhar nos dias restantes?

GABARITO - REGRA DE TRÊS

1) 140 litros 2) 6 dias 3) 684 litros 4) 38,75 metros 5) 75 rotações 6) 162 há 7) 8 horas por dia 8) 9 horas e 36min 9) 2 h e 45min 10) 30 dias 11) 12 máquinas12) 39 operários 13) 5 meses14) 666,666 litros 15) 75 tacos16) 3,15 dias 17) 3190 kg18) 1/319) 1/620) 15 horas

EQUAÇÃO DO 1º. GRAU

Observe as sentenças abaixo:

1º) 2 3 + 5 = 112º) 2 4 + 5 = 113º) 2x + 5 = 11

A sentença 1 é verdadeira pois verificamos a igualdade, a 2 é uma sentença falsa pois 2 4 + 5 = 13. Com relação a sentença 3 ela será uma sentença aberta pois não sabemos que valor que o x poderá

assumir; que inclusive essa sentença é um caso particular de equação do 1o. grau.

RESOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DO 1 o . GRAU

Exemplo1:


Resolva, em IR, a equação 2(x - 3) = x - 3.

Resolução:

Aplicando a propriedade distributiva no primeiro membro da igualdade temos:2x - 6 = x - 3 2x - x = 6 - 3 x = 3S = {3}

Observe que para a resolução de uma equação do 1o. grau devemos ter a incógnita isolada no primeiro membro da igualdade.

Exemplo 2:

Resolva, em IR, a equação 14

3

2

.3

xx

.

Resolução:

Pelo método do m.m.c. obtemos:

14

3

2

.3xx 2. 3x - (x + 3) = 4 6x - x - 3 = 4 5x = 7 x =

5

7

5

7V


1) Determine o número real tal que sua metade menos a sua quinta parte é - 6.

Resolução:

número: x

sua metade: 2

x

sua quinta parte: 5

x

Logo, chegamos na equação:

2

x 5

x = 6

Resolvendo

2

x 5

x = 6

10

60

10

25

xx 5x 2x = 60 3x = 60 x = 20


Resposta: O número real é o -20.

EXERCÍCIOS - EQUAÇÃO DO 1o.GRAU

1) Se, num pomar, 12

5

das árvores frutíferas são mangueiras, 4

1

são laranjeiras, 8

1

são goiabeiras e as 100 restantes são macieiras, qual o total de árvores existentes neste pomar?

2) Resolva as seguintes equações de 1o. grau: a) 2(x - 1) + 3(x + 1) = 4(x + 2) b) x - 3(4 - x) = 7x - (1 - x) c) 13(2x - 3) - 5(2 - x) = 5(-3 + 6x) d) 3(x + 2) + 2 = 5 + 2(x - 1) + x e) 3(x + 2) = 2(x - 7) + x + 20

3) Resolva as seguintes equações de 1o. grau:

a ) 5

1

2

3

x

b ) x + 3

x = 2

c ) 2

x +

3

1 =

3

3 x

5

2

d ) 3

1

2

1

xx

4) Resolva as seguintes equações do 1o. grau:

a) 2

3x +

3

2x = 12

b) 5

32 x 3

11 x=

30

29

c) 2

1(x 2) +

3

1(x + 4) = 0

d) 1 + 4

365 x+

2

2 x = 2 +

2

12x

e) 13

13 x 2

2 x =

5

14 x 3

52 x

5) O perímetro de um triângulo mede 12 cm. Se as medidas dos lados são números


consecutivos, calcule a medida do lado maior.

6) A diferença entre o triplo de um número e seus três quartos é 81. Qual é o número?

7) Um número acrescido de sua quarta parte é igual a sua metade somada a 54. Qual é o número?

8) Um número somado à terça parte de seu sucessor é igual a 31. Qual é o número?

9) Iza tem hoje 14 anos e Márcia 4 anos. Daqui a quantos anos a idade de Iza será o dobro da idade de Márcia?

10) Três irmãos têm juntos 72 anos. O mais velho tinha 2 anos quando o segundo irmão nasceu, e este tinha 5 anos quando o mais novo nasceu. Qual a idade de cada um?

11) Durante os feriados, 40% dos alunos de uma classe foram à praia, 25% para o interior e 14 não saíram da cidade. Quantos alunos tem essa classe?

12) Um aluno acertou 10

7

do número de questões de uma prova e errou as 30 questões restantes. Quantas questões tinha a prova?

13) Um comerciante, no final do ano, distribuiu parte de seu lucro entre seus três sócios. O

primeiro recebeu 5

2

da parte do lucro mais R$5 000,00; o segundo recebeu 7

3

da parte mais R$7 000,00; o terceiro recebeu R$9 000,00. Qual foi a parte do lucro distribuída?

14) Na compra de um objeto gastei 3

2

do dinheiro que tinha e ainda, me sobraram R$40,00. Quanto dinheiro eu tinha?

15) Pensei em um número multipliquei-o por 4 e adicionei 18 ao resultado. A seguir, dividi a soma encontrada por 2 e encontrei como resultado 18. Em que número pensei?

GABARITO - EQUAÇÃO DO 1o.GRAU

1) 480 árvores

2)


3)

5S d)

3

22S c)

2

3 S b)

15

2S a)

4)

4S e)

12S d)

5

2-S c)

22

157 S b)

5

59S a)

5) 5 cm

6) 36

7) 72

8) 90

9) 6 anos


10) 20 anos; 25 anos e 27 anos

11) 40 alunos

12) 100 questões 13) R$ 122 500,00

14) R$ 120,00

15) 2

9 ou 4,5

PROBLEMAS DO PRIMEIRO GRAU

Para resolvermos algebricamente um problema do 1° grau com uma incógnita, devemos seguir as seguintes instruções:

1°) escolher uma letra qualquer, por exemplo a letra x, para representar o elemento desconhecido que desejamos calcular;

2°) usando essa letra, estabelecer a equação do problema;

3°) resolver a equação;

4°) verificar o resultado.

Exemplo 1: Qual é o número que, somado com 9. é igual a 20?

Resolução: número: x Equação: x + 9 = 20

Resolução: x = 20 - 9 x = 11

Verificação: numero: 11

11 + 9 = 20

Exemplo 2 - Qual o número que adicionado a 15, é igual a 31? Resolução: x+15=31 x=31-15 x = 16

Exemplo 3 - Subtraindo 25 de um certo número obtemos 11. Qual é esse número? Resolução: x - 25 = 11 x = 11 - 25 x = 36

Exemplo 4 - Determine um número natural que, multiplicado por 17, resulte 238. Resolução:x.17 = 238


x = 238 : 17 x = 14

Exemplo 5 - Determine um número natural que, dividido por 62, resulte 49. x: 62 = 49 x = 49 . 62 x = 3038

Exemplo 6 - O triplo de um número menos 7 é igual a 80. Qual é o número? Número: x Equação: 3x-7 = 80 3x = 80 + 7 3x = 87 X= 87 3x = 29

Exemplo 7 - A soma de dois números é igual a. 50. O número maior é o quádruplo do menor. Calcule os números:

número menor: x número maior: 4x equação: x + 4x = 50 5x = 50 x = 10

número menor: 10 número maior: 4 .10 = 50 10 + 40 = 50

Resposta: os números são 10 e 40.

Exemplo 8 Qual é o número que somado a seu dobro é igual a 18? Resposta: x = 6

A soma do triplo de um número com 15 é igual a 78. Qual é o número? Resposta: x = 21

A soma da metade de um número com 16 é igual a 30. Calcule o número . Resposta: x = 28

Somando-se 8 unidades ao quádruplo de um número, o resultado é 6.0. Calcule o número. Resposta: x = 13

A soma da metade de um número com o seu triplo é igual a 21 2 Resposta: x = 3

SISTEMAS DE DUAS EQUAÇÕES DO 1 o . GRAU COM DUAS INCÓGNITAS

INTRODUÇÃO

"Uma herança de R$30 000,00 será dividida entre dois irmãos, ficou estabelecido no testamento, que o menino mais novo receberia R$5 000,00 a mais que o outro irmão. Qual a parte que cabe a cada um ?"


Um problema desse estilo possui duas incógnitas: a parte de cada um. Podemos escreve-lo em linguagem matemática:

Parte do irmão mais novo: xParte do irmão mais velho: y

Sabemos que se somarmos as duas partes, teremos a quantidade total da herança:

x + y = 30 000

Como o irmão mais novo irá receber cinco mil reais a mais, teremos uma diferença nas partes de cinco mil reais, ou seja:

x - y = 5 000

Logo, teremos duas equações, uma relacionando a soma das partes e a outra relacionando a diferença das partes que cabem a cada um dos irmãos.

Podemos transformar o problema num sistema, observe:

5000yx

30000yx

RESOLUÇÃO DE SISTEMAS

Para chegarmos na solução de um sistema de duas equações e duas incógnitas, em geral, temos dois métodos utilizados, o Método da Substituição e o Método da Adição.

MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO

Considerando, ainda, o exemplo ilustrado anteriormente:

25000

130000

yx

yx, chamando a 1a. equação de 1 e a 2a. equação de 2.

1O. Passo:

Isolar uma das incógnitas em qualquer uma das duas equações.

Vamos isolar "x" na equação 2:x - y = 5000 x = 5000 + y

2o.Passo:

Substituir a incógnita isolada na outra equação (aquela que você não usou no 1o. passo).


Substituindo "x" da equação 2, na equação 1:x + y = 30000 5000 + y + y = 30000 5000 + 2y = 30000 2y = 30000 - 5000 2y = 25000 y = 12500

3o.Passo:

Substituir o valor encontrado em quaisquer das duas equações, encontrando o valor da outra incógnita.

Substituindo "y = 12500" na equação 2:x - y = 5000 x - 12500 = 5000 x = 17500

Portanto:

o irmão mais novo irá receber R$ 17 500,00.e o irmão mais velho R$ 12 500,00

MÉTODO DA ADIÇÃO

Outro método utilizado para a resolução de sistemas deste estilo, é o método da adição, e como o próprio nome diz vamos somar uma equação com a outra de tal forma, que ao efetuarmos essa operação, sumiremos com uma das incógnitas encontrando assim uma nova

equação do 1o. grau com uma incógnita.

1o.Passo:

Observar os coeficientes das incógnitas, aqueles que apresentarem números opostos numa mesma incógnita, é que será mais conveniente eliminarmos.

No sistema em questão temos para o coeficiente de "y" na primeira equação e o coeficiente de "y" da segunda equação, números opostos (1 e -1).

5000yx

30000yx

2o.Passo:

Caso os coeficientes não sejam números opostos, devemos multiplicar uma das equações por um número que nos auxilie no aparecimento dos opostos.

Em nosso caso não será necessário utilizar esse 2o.Passo.

3o.Passo:

Somar as duas equações, encontrando e resolvendo a equação com uma incógnita.


5000yx

30000yx

somando as duas equações obtemos: x + x + y - y = 30000 + 5000 2x = 35000 x = 17500

4o.Passo:

Substituir o valor encontrado em uma das duas equações, encontrando assim, o valor da outra incógnita.

Vamos substituir "x" em x + y = 30000:

x + y = 30000 17500 + y = 30000 y = 30000 - 17500 y = 12500

Portanto:o irmão mais novo irá receber R$ 17 500,00.e o irmão mais velho R$ 12 500,00

Observação:

No exemplo ilustrado, poderíamos ter ocultado uma das incógnitas, pois quando o enunciado diz que o irmão mais novo irá receber 5000 a mais, podemos dizer que se o irmão mais velho recebe y, então o irmão mais novo irá receber y + 5000, daí encontraríamos apenas uma equação com uma incógnita: y + y + 5000 = 30000 (aquela que relaciona a soma das partes da herança).

ORIENTAÇÃO GERAL PARA A RESOLUÇÃO DE SISTEMAS DO 1 o . GRAU

O primeiro passo é observar com atenção o enunciado do problema

Exemplos:

" Paulo tem 38 anos..." trinta e oito anos é um dado do problema. Porém se o problema nos disser "a idade de Paulo, quando eu tinha 18 anos...", 18 anos é um dado, mas a idade de Paulo, talvez não conheceremos, logo, é uma incógnita e, como tal, deve ser representada por uma letra qualquer. Em geral utilizamos as letras "x", "y", "z", etc.

Pode ocorrer que o enunciado faça referência a dois elementos desconhecidos, por exemplo: "a soma de dois números é...", neste caso devemos representar um dos números por "x" e o outro por "y", e escrevemos o enunciado assim: "x + y ="

Transformamos o enunciado em linguagem matemática

Exemplos:

I) Um número qualquer : x II) A terça parte de um número:

3

x


III) O triplo de um número: 3x IV) Um número somado ao seu dobro: x + 2x V) A diferença entre dois números: x - y VI) Um número é igual a terça parte do outro: y =

3

x

VII) Somando um certo número à sua metade: x +2

x

EXERCÍCIOS - SISTEMAS DO 1o. GRAU

1) A diferença de dois números é 9.Um terço da soma dos números é 17. Encontre os números.

2) Um número é formado de dois algarismos, cuja soma é 10. Somando-se 54 ao número ele fica escrito em ordem inversa. Qual é o número?

3) Uma escola tem 565 alunos. O número de meninos diminuído de 25 é igual ao número de meninas aumentado de 60. Quantos são os alunos de cada sexo?

4) Sobre uma pista circular de 1.200 metros correm 2 ciclistas. Correndo os dois no mesmo sentido, o primeiro encontra o segundo em cada 200 segundos e correndo em sentido contrário, o encontro passa a ser de 100 segundos. Qual a velocidade de cada um?

5) Um fazendeiro dispõe de uma certa quantia para comprar um certo número de carneiros. Pagando R$ 20,00 por carneiro, faltam-lhe R$ 40,00 e pagando R$ 16,00, sobram-lhe R$ 20,00. Quanto possui e quantos carneiros poderá comprar?

6) Em uma cesta há laranjas e limões, sendo o número de limões os 3/4 do número de laranjas, tirando-se 5 laranjas, ficam na cesta tantas laranjas quanto limões. Quantas laranjas e quantos limões há na cesta?

7) O perímetro de um retângulo mede 234 metros. Calcular sua área, sabendo-se que as medidas (em metros) das duas dimensões (comprimento e largura) são dois números consecutivos.

8) Um automóvel parte de Brasília e corre com a velocidade média de 48 km/h. Depois de 3 horas par um outro que alcança o primeiro 8 horas após. Qual a velocidade média do segundo automóvel?

9) Dois automóveis distantes 600 quilômetros partem, ao mesmo tempo, um em direção ao outro, com as velocidades de 56 km/h e 64 km/h. Depois de quanto tempo e a que distâncias dos pontos de partida dar-se-á o encontro?

10) Um homem e uma mulher bebem um barril de vinho em 12 dias. Quando o homem está ausente, a mulher tem vinho para 30 dias. Quantos dias gastará o homem para beber o barril de vinho sozinho?

11) Dois jogadores A e B, jogam a R$ 2,50 a partida. Antes de iniciarem o jogo, A possuía R$ 66,00 e B R$ 29,00, depois do jogo, A possuía o quádruplo do que possuía B. Quantas partidas A ganhou a mais que B?

12) Em um concurso público, foi realizada uma prova com 41 questões. Esta prova foi dividida em duas


partes. Na primeira parte da prova havia x questões, valendo 2 pontos cada uma. Na Segunda parte havia y questões, valendo 3 pontos cada. A prova valia 100 pontos. Quantas questões havia em cada prova?

13) Paulo participou de um concurso público que tinha 20 questões em cada questão que acertava ganhava 5 pontos e em cada questão que errava perdia 2 pontos. Ao terminar a prova havia conseguido 65 pontos. Quantas questões acertou?

14) Uma classe tem meninos e meninas. Se um menino faltar, os meninos serão o dobro das meninas. Se em vez disso, faltarem 6 meninos, haverá um mesmo número de meninos e meninas na classe. Determinar quantos são os alunos (meninos e meninas) da classe.

15) Um comerciante pesou três sacos de arroz. O primeiro e o segundo sacos, juntos, têm 110 quilogramas. O primeiro e o terceiro, juntos, têm 120 quilogramas e o segundo e o terceiro, juntos, têm 112 quilogramas. Quantos quilogramas havia em cada saco?

16) Em certa escola há 70 professores, contando-se aí homens e mulheres. Se a metade do número de mulheres é igual ao triplo do de homens, quantos são os homens?

17) Determine dois números cuja soma é 110 e cuja diferença é 30.

18) No estacionamento de um supermercado há 27 veículos com 84 rodas, contando-se os automóveis e bicicletas. Quantos veículos há de cada espécie?

19) José Carlos e Luís Augusto ganham juntos R$ 1265,00 por mês. Se o primeiro recebe R$ 325,00 mais que o segundo, qual é o salário de cada um?

20) Em certo jogo de futebol uma entrada para arquibancada custava R$ 1,00 e para cadeira numerada custava R$ 3,00. O jogo foi visto por 1575 pessoas e deu renda de R$ 2695,00. Quantas pessoas usaram a arquibancada?

21) Numa fazenda existem patos e porcos, num total de 22 cabeças e 58 pés. Determine o números de patos que existem nesta fazenda.

22) Eu tenho um total de 25 moedas, entre moedas de R$ 0,25 e R$ 0,50 totalizando R$ 9,50. Qual o número de moedas de R$ 0,50?

GABARITO - SISTEMAS DO 1o. GRAU

1) 21 e 30

2) 28

3) 240 meninas e 325 meninos

4) 9 e 3m/s

5) R$ 260,00

6) 20 e 15

7) 3422m2


8) 66 km/h

9) 5h, 280km e 320 km

10) 20 dias

11) 4 partidas

12) 23 na 1ª parte e 18 na 2ª parte

13) 15

14) 11 meninos e 5 meninas

15) O 1º saco tem 59 kg, o segundo saco tem 51 kg, o 3º saco tem 61 kg.

16) 10 homens e 60 mulheres

17) 70 e 40

18) 12 bicicletas e 15 automóveis

19) José Carlos: R$ 795,00Luíz Augusto: R$ 470,00

20) 1 015 pessoas

21) 15 patos22) 13 moedas de R$ 0,25

EQUAÇÃO DO 2 o . GRAU

"É toda sentença aberta, em x, redutível ao tipo ax2 + bx + c = 0, com a IR*, b IR e c IR."

RESOLUÇÃO - EQUAÇÃO DO 2º. GRAU

1o. CASO b = 0 e c 0

Exemplo1:

2x2 - 8 = 0Resolução análoga à resolução de uma equação do 1o. grau, observe:

2x2 - 8 = 0 2x2 = 8 x2 = 4 x = ± 4 x = ± 2S = {2; -2}

2o. CASO b 0 e c = 0

Exemplo2:


x2 - 4x = 0Utilizando a fatoração:

x2 4x = 0 x(x 4) = 0

04

0

x

ou

x x = 0 ou x = 4

S = {0; 4}

CASO GERAL "FÓRMULA DE BHASKARA"

Exemplo3:

x2 - 5x + 6 = 0Para a resolução desta equação utilizaremos a fórmula de Bhaskara e paratanto vamos retirar os coeficientes da equação:

x2 5x + 6 = 0

6

5

1

c

b

a

substituindo...

= b2 - 4ac = (5)2 4.1.6 = 25 24 = 1 x =

a

b

2 x =

12

15

x = 2

15

22

4

2

15

32

6

2

15

x

x S = {2; 3}

Observação:

Sendo S o conjunto-solução de uma equação do 2o. grau do tipo

ax2 + bx + c = 0, conclui-se que:


> 0 S =

a

b

a

b

2;

2

Duas raízes reais e distintas

= 0 S =

a

b

2

Uma raiz real ou duas raízes idênticas

< 0 S =

Não há solução real


1) Do quadrado de um número real vamos subtrair o quádruplo do mesmo número. O resultado encontrado é 60. Qual é esse número?

Resolução:

quadrado do número: x2

quádruplo do número: 4xEquação: x2 - 4x = 60Normalizada: x2 - 4x - 60 = 0Resolvendo com o auxílio da fórmula de Bhaskara, obteremos como solução 10 e -6, logo o número real descrito poderá ser o 10 ou o -6.

2) Determine os valores de m para que a função quadrática [f(x) = x2 + (3m + 2)x + (m2 + m + 2) tenha um zero real duplo.

Resolução:

Ter um zero real duplo significa que a equação tenha duas raízes reais e idênticas, ou seja, = 0, logo:b2 - 4ac = 0 (3m + 2)2 - 4.1.(m2 + m +2) = 0Desenvolvendo o quadrado perfeito e aplicando a propriedade distributiva9m2 + 12m + 4 - 4m2 - 4m - 8 = 05m2 + 8m - 4 = 0com o auxílio da fórmula de Bhaskara

PROBLEMAS DO 2º GRAU

É todo problema que pode ser resolvido por meio de uma equação ou por meio de um sistema de equações do 2º grau.


Procedimentos: 1º) Determinamos a equação ou o sistema de equações correspondentes.2º) Resolvemos a equação ou o sistema.3º) Interpretamos a solução encontrada.

Exemplo1:

O quadrado de um certo número, mais uma unidade, é igual a 10 .

Determinar esse número.

Seja x o número procurado. O quadrado desse número é x2. A equação resultante é x2 + 1 = 10

Resolvendo a equação, temos: x2 = 9 x = ± 3

Analisando a solução encontrada, verificamos que as duas raízes satisfazem ao problema. Logo os números procurados são 3 e -3.

Exemplo2:

O quadrado da idade de Roberto, menos o seu quíntuplo é igual a 84. Qual a idade de Roberto?Seja x a idade de Roberto. O quadrado da idade é x2. O quíntuplo da idade é 5x. A equação

resultante é:x2 - 5x = 84 ou x2 - 5x - 84 = 0

Resolvendo a equação, obtemos: x1 = 12 e x2 = -7

Ao interpretarmos a solução encontrada verificamos que somente a raiz positiva satisfaz ao problema. Portanto a idade de Roberto é 12 anos.

EXERCÍCIOS - EQUAÇÕES DO 2o. GRAU

1) A soma de dois números é 207. O maior deles supera o menor em 33 unidades. Quais são os dois números?

2) A soma de um número real com o seu quadrado dá 30. Qual é esse número?

3) Do quadrado de um número real vamos subtrair o quádruplo do mesmo número. O resultado encontrado é 60. Qual é esse número?

4) Sabe-se que Junior tem 5 anos a mais que Hudson e que o quadrado da idade de Junior está para o quadrado da idade da idade de Hudson assim como 9 está para 4. Qual é a idade de Junior e qual a idade de Hudson?

5) A diferença entre o quadrado e o triplo de um número real é igual a 4. Qual é esse número?

6) O produto de um número inteiro positivo pelo seu consecutivo é 20. Qual é esse número?

7) A medida da base de um triângulo é de x cm. A altura mede (x + 2) cm. Ache essas medidas, sabendo

que a área desse triângulo é igual a 12 cm2.


8) A classe de Flávio Betiol vai fazer uma excursão ao Rio de Janeiro, para comemorar a formatura da 8ª série. A despesa total seria de R$3.600,00. Como 6 alunos não poderão ir ao passeio, a parte de cada um aumentou em R$ 20,00. Quantos alunos estudam na classe de Flávio Betiol?

9) O quadrado de um número estritamente positivo adicionado com o seu dobro é igual ao quadrado do seu triplo. Qual é esse número?

10) A metade de um número positivo somado com o dobro do seu quadrado é igual ao quádruplo do número. Qual é o número?

11) O quadrado da idade de Reinivaldo menos o quíntuplo de sua idade é igual a 104. Qual é a idade de Reinivaldo?

12) Subtraímos 3 do quadrado de um número. Em seguida, calculamos a soma de 7 com o triplo desse mesmo número. Nos dois casos, obtemos o mesmo resultado. Qual é esse número, se ele é um número natural?

GABARITO - EQUAÇÃO DO 2o. GRAU

1) O número menor é 87, o maior é 120.

2) O número procurado é 5 ou - 6

3) O número procurado é 10 ou - 6

4) -2 não convém pois pede-se idades Þ Hudson = 10 anos e Junior = 15 anos

5) 4 ou -1

6) 4

7) base = 4cm e altura = 6cm

8) 36 alunos

9) 1

10) 4

7

11) 13 anos

12) 5

PORCENTAGEM (%)

"Porcentagem é uma fração decimal, cujo denominador é cem, a expressão x %, é chamada de taxa

percentual e representa a razão

Exemplos:


OPERAÇÕES COM PORCENTAGEM

Podemos, por exemplo, operar números na forma de porcentagem, observe:

Exemplo:

Efetue:

%64=

5

4

10

8

100

64 = 0,8 = 80%

(10%)2 = 22

10

1

100

10

=

100

1= 1%

5% 15% =100

5100

15=20

120

3= 400

3= 0,75%

TRANSFORMAÇÕES

Muitas vezes teremos que transformar números decimais, ou frações, para a forma de porcentagem, ou mesmo teremos que fazer o contrário, transformar porcentagens em números decimais ou frações.

DECIMAIS PORCENTAGEM

"Para converter números decimais em porcentagem, basta multiplicar o número por 100".

Exemplos:Vamos converter os números abaixo para a forma de porcentagem:0,57100 = 57%0,007100 = 0,7%1,405 100 = 140,5%

FRAÇÕES PORCENTAGEM

"Para converter frações para porcentagens, em geral, vamos transformar as frações em números decimais, em seguida multiplicá-los por 100".

Exemplos:


15

7=0,466...=46,666% aproximadamente 46,7%

4

3= 0,75 = 75%

CÁLCULOS EM PORCENTAGEM

Existem problemas onde precisamos encontrar a porcentagem de um valor específico, ou mesmo a porcentagem de um determinado número de elementos em um conjunto, ou população:

Exemplo 1:Em uma empresa trabalham 60 pessoas, sendo 15 mulheres. Vamos determinar qual a

porcentagem de homens, existente nesta empresa.

Observe que de 60 pessoas, 15 são mulheres e 45 são homens, logo, em sabemos que 60

45

dos funcionários da empresa são homens.

Simplificando a fração encontrada obtemos 4

3

, então teremos 75% dos funcionários como sendo homens e o restante (25%) sendo mulheres.

Exemplo 2:Vamos determinar quanto é 23% de R$ 500,00. Paratanto, vamos calcular de duas formas

distintas, a primeira utilizando uma regra de três, e a outra, utilizando a relação "fração todo", utilizada na resolução de problemas que envolvem frações.

1o.Modo: "Regra de Três"

% R$ 23 x 100 500

Como as grandezas são diretamente proporcionais a equação fica assim:

100

23= 500

x 100x = 23 . 500 x = 23 . 5 x = 115

Logo, 23% de R$ 500,00 é igual a R$ 115,00.

2o.Modo: "Fração Todo" 23% de 500 =

100

23. 500 = 23 . 5 = 115

Logo, 23% de R$ 500,00 é igual a R$ 115,00.


1) Ao receber uma dívida de R$ 1.500,00, uma pessoa favorece o devedor com um abatimento de 7%


sobre o total. Quanto recebeu?

Resolução:Uma pessoa deve receber R$ 1.500,00, e no entanto, essa pessoa, concede um abatimento de 7% sobre esse valor, portanto, ela recebeu 93% do valor total (R$ 1.500,00). 93% de 1.500 =

100

93 1.500 = 93 . 15 = 1.395

Logo a pessoa recebeu R$ 1.395,00.

2) Uma pessoa ao comprar uma geladeira, conseguiu um abatimento de 5% sobre o valor de venda estipulado, e assim foi beneficiado com um desconto de R$ 36,00. Qual era o preço da geladeira?

Resolução:

1 o .Modo: "Regra de Três"

% R$ 5 36 100 x

Como as grandezas são diretamente proporcionais a equação fica assim:

100

5= x

36 5x = 36 . 100 x = 36 . 20 = 720

Portanto, o preço da geladeira era de R$ 720,00.

2o.Modo: "Fração Todo"

Sabemos, do enunciado, que 5% de um valor qualquer (aquele que temos que descobrir) é igual a R$ 36,00, logo: 5% de x = 36

100

5. x = 36 5x = 36 . 100 x = 720

Portanto, o preço da geladeira era de R$ 720,00.

3) Uma coleção de livros foi vendida por R$ 150,00. Com um lucro de R$ 12,00. Qual foi a porcentagem do lucro?

Resolução:

"Fração Todo": x% de 150 = 12

100

x. 150 = 12 x = 8%

"Regra de Três"

% R$ X 12 100 150


100

x= 150

12 150x = 1200 x = 8%

AUMENTOS E DESCONTOS

Uma determinada loja de roupas dá as seguintes opções de compra de uma calça jeans, cujo preço é de R$ 40,00:

1a.Opção de Pagamento pagamento à vista com um desconto de 5%.

2a.Opção de Pagamento pagamento a prazo com um aumento de 5%.

Qual será o novo preço da calça, nos dois casos considerados?

Uma forma de encontrarmos estes dois valores é determinando quanto é 5% de R$ 40,00. Na opção de pagamento à vista, subtrairíamos do valor da calça, e na segunda opção, somaríamos os 5% no valor da calça, obtendo assim, nos dois casos, os seus respectivos valores.

Entretanto, em geral, utilizaremos um Fator de Multiplicação, para o caso de haver um desconto ou um aumento.

DESCONTOS

"Um desconto de x % em cima de um valor V é dado por: (0,a) V, onde a = (100 - x)".

Exemplos (Tabela):

Descontos (%) Fator de Multiplicação 25 0,75 30 0,70 70 0,30 5 0,95

Observe que:

75 = (100 25)70 = (100 30)30 = (100 70)95 = (100 5)

Voltando ao nosso exemplo inicial, o preço pago pela calça, no pagamento à vista será:

0,95 40 = R$ 38,00

AUMENTOS"Um aumento de x % em cima de um valor V é dado por: (1,x) V".


Exemplos (Tabela):

Aumentos (%) Fator de Multiplicação 25 1,25 30 1,30 70 1,70 5 1,05

Voltando ao nosso exemplo inicial, o preço pago pela calça, no pagamento a prazo será:

1,05 40 = R$ 42,00


1) Uma adega vende certa quantidade de garrafas de vinho a R$ 580,00, obtendo um lucro de 25% sobre o preço da compra. Determinar o preço da compra e o lucro obtido.

Resolução: Como se trata de um lucro, nos deparamos com um problema de aumento. Pelo enunciado R$ 580,00 é o preço de venda e o lucro de 25 % (ou o aumento) é dado em cima de um valor de compra desconhecido, vamos escrever uma equação que nos relacione esses valores em linguagem matemática:

Preço de Compra: C

Logo:1,25 C = 580 C = 464

Portanto o preço de compra é R$ 464,00 e o lucro obtido é igual a 580 - 464 = R$ 116,00.

2) Um número diminuído de seus 18% vale 656. Qual o número?

Resolução:Houve uma diminuição, portanto é o mesmo que dizer que houve um desconto, e este foi de 18%, logo o fator de multiplicação é 0,82. Escrevendo a equação matemática vem:

Número: x0,82 x = 656 x = 800

Portanto o número é 800.

EXERCÍCIOS - PORCENTAGEM

1) Qual o número cujos 18% valem 108?

2) Qual o número cujos 43% valem 374,1?

3) Uma pessoa compra um terreno por R$ 17,500,00 e vende-o com um lucro de R$ 3.500,00. Qual a porcentagem do lucro?

4) Qual o número que aumentado de seus 20% da a soma de 432?


5) Escrever a razão 3/8 na forma de porcentagem.

6) Um desconto de R$ 7.000,00 sobre um preço de R$ 25.000,00, representa quantos por cento de desconto?

7) Um lucro de R$ 12.000,00 sobre um preço de R$ 150.000,00, representa quantos por cento desse preço?

8) Exprimir 51% na forma decimal.

9) Em um jogo de basquete, um jogador cobrou 20 lances livres, dos quais acertou 65%. Quantos lances livres acertou?

10) Durante o ano de 1992, uma equipe de basquete disputou 75 jogos, dos quais venceu 63. Qual a porcentagem correspondente aos jogos vencidos?

11) Comprei 60 figurinhas e aproveitei apenas 45 em meu álbum. As restantes eram repetidas. Qual foi a porcentagem de figurinhas repetidas?

12) Em um colégio, 1400 alunos estudam no período da manhã. Esse número representa 56% do número de alunos que estudam no colégio. Quantos alunos estudam ao todo nesse colégio?

13) Na compra de um objeto, obtive um desconto de 15%. Paguei, então, R$ 7.650,00 pelo objeto. Nessas condições qual era o preço original desse objeto?

14) Um representante comercial recebe de comissão 4% pelas vendas que realiza. Em um mês recebeu de comissão R$ 580,00. Quanto vendeu nesse mês?

15) Em uma fábrica 28% dos operários são mulheres, e os homens são 216. Quantos são no total os operários dessa fábrica?

16) Um comerciante compra 310 toneladas de minério à R$ 450,00 a tonelada. Vende 1/5 com lucro de 25%; 2/5 com lucro de 15% e o resto com um lucro de 10%. Quanto recebe ao todo e qual é o seu lucro?

17) Um agente de motores adquire os mesmos por R$ 18.000,00 e paga uma taxa alfandegária de 15%. Devendo dar ao vendedor uma comissão de 10%. Por quanto deve vender para pagar 30% sobre o mesmo preço?

18) Uma pessoa compra uma propriedade por R$ 300.000,00. Paga de taxas, comissões e escritura R$ 72.000,00. Por quanto deve revendê-la para obter um lucro de 12%?

19) Um número diminuído de seus 27% vale 365. Qual é o número?

20) Uma pessoa ganha em uma transação 3/5 da quantia empregada. De quantos por cento foi o lucro?

21) A porcentagem de 36% sobre um valor, que fração é desse mesmo valor?

22) Uma betoneira depois de trabalhar na construção de um edifício, sofre uma depreciação de 27% sobre seu valor e, é então avaliada em R$ 36.500,00. Qual o valor primitivo?

23) Com uma lata de tinta é possível pintar 50m2 de parede. Para pintar uma parede de 72m2 gastam-se uma lata e mais uma parte de uma Segunda. Qual a porcentagem que corresponde a parte que se gasta da segunda lata?


24) Sabendo-se que uma substância chamada óxido de magnésio contém 24g de magnésio. Sendo assim, qual a porcentagem de magnésio existente em 40g de óxido de magnésio?

25) A área de um terreno A é 930m2, enquanto a área do terreno B é 1500 m2. Nessas condições a área do terreno A representa quantos por cento da área do terreno B?

GABARITO - PORCENTAGEM

1) 600

2) 870

3) 20%

4) 360

5) 37,5

6) 28%

7) 8%

8) 0,51

9) 13

10) 84%

11) 25%

12) 2.500

13) 9.000

14) 14.500

15) 300

16) Recebe R$ 160.580,00 e lucra R$ 21.080,00

17) R$ 29.250,00

18) R$ 416.640,00

19) 500

20) 60%

21)

22) R$ 50.000,00


23) 44%

24) 60%

25) 62%

JUROS

"Juro é a remuneração do capital empregado. É a compensação em dinheiro que se recebe quando se emprega uma determinada quantia por um determinado tempo".

Quando aplicamos um capital durante um certo período de tempo, esperamos obter um rendimento. Após esse período, o capital se transformará em um valor capitalizado, chamado montante.

"Montante é o capital aplicado acrescido do rendimento obtido durante o período da aplicação. É também chamado valor futuro, valor de resgate ou valor capitalizado".

Sejam: C = Capital aplicado ou principalt = Tempo de aplicaçãoi = Taxa porcentualJ = Juro produzido ou rendimentoM = Montante

Observação:

O tempo de aplicação deve estar coerente com a taxa, isto é, se um estiver expresso em anos o outro deve estar também, e assim sucessivamente.

JUROS SIMPLES

"No juro simples a taxa será incidente apenas no valor inicial".

Exemplo:

Empregando R$ 5.000,00 a uma taxa de 10% a.m. a juros simples, qual será o valor resgatado após 3 meses?

Repare que:

C = 5.000t = 3 mesesi = 10%J = ?M = ?

O que se pede no problema é o montante (M), vamos então, estabelecer uma seqüência de rendimentos durante os meses, sabendo que se a aplicação está relacionada com o juros simples devemos empregar a taxa apenas ao valor inicial


(Capital = 5.000): 10% de 5000 = 500

Logo, a seqüência:(5000; 5000 + 500, 5500 + 500, 6000 + 500, ...)

(5000; 5500; 6000; 6500; ...)Pela seqüência podemos concluir que após os três meses de aplicação termos um

montante de R$ 6.500,00, tendo rendido R$ 1.500,00 de juros.

Imagine agora se fôssemos calcular o montante obtido após 30 meses. Seria inviável utilizar uma seqüência para a obtenção do montante, portanto utilizaremos para cálculo do Juros Simples, a seguinte fórmula.

Nota: Para a obtenção do montante basta somar o juros obtido com o capital empregado.

100tiCJ

e M = J + C

Vamos calcular novamente o montante de uma aplicação de R$ 5.000,00 a uma taxa de 10% a.m. durante 3 meses:

100

3105000J =

100

150000= 1500

M = 1500 + 5000 = 6500

Observações:

Para o nosso estudo, designaremos m (minúsculo) e d (minúsculo) para referirmo-nos ao tempo em meses e a dias, respectivamente.

Vamos considerar o ano com 360 dias (ano comercial).


R1) Seja um capital de R$ 800.000,00, investido durante 4 meses e a taxa de juros simples de

120% a.a.. Calcule:a) O juro obtido.b) O montante.

Resolução:a) Dados:

C = 800.000t = 4 mesesi = 120 % a.a.

Observe que a taxa está em anos e o tempo em meses, portanto devemos converter um deles, é mais conveniente, em geral, transformar o tempo de acordo com a taxa e paratanto podemos


utilizar uma regra de três:

Ano Meses 1 12 x 4

Como são grandezas diretamente proporcionais, o cálculo será imediato.Repare que não haveria necessidade da regra de três, uma vez que quatro meses é uma parte

do ano e essa parte nada mais é que 12

4

que é o mesmo que 3

1

.

Logo:

t =

3

1

Substituindo na fórmula:

100

tiCJ

=

1003

1120800000 = 320.000

M = J + C = 320.000 + 800.000 = 1.120.000

JUROS COMPOSTOS

"No Juro Composto, os juros gerados são calculados em cima do valor inicial de cada período, sendo incorporado ao montante de cada período".

Exemplo:

Empregando R$ 5.000,00 a uma taxa de 10% a.m. a juros compostos, qual será o valor resgatado após 3 meses?

Repare que:

C = 5.000t = 3 mesesi = 10%J = ?M = ?

Analogamente aos juros simples vamos estabelecer uma seqüência de rendimentos durante os meses, como o juros será calculado em cima do valor inicial de cada período, vamos utilizar um fator de multiplicação para o rendimento de 10% 1,10

A seqüência:


(5000; 1,10 . 5000, 1,10 . 5500, 1,10 . 6050, ...)(5000; 5500; 6050; 6655; ...)

Pela seqüência podemos concluir que após os três meses de aplicação termos um montante de R$ 6.655,00, tendo rendido R$ 1.655,00 de juros.

Em geral, utilizaremos a fórmula:

Mt = C (1 + i)t

Vamos calcular novamente o montante de uma aplicação de R$ 5.000,00 a uma taxa de 10% a.m. durante 3 meses:

M3 = 5000 . (1 + 0,10)3 = 5000 . (1,10)3 = 6.655

EXERCÍCIOS - JUROS

1) Qual o juro produzido por R$ 14.000,00 em três anos, a 5% ao ano?

2) Calcular o juro de R$ 2.700,00 a 8% ao ano, em 3 anos e 4 meses.

3) Calcular o juro produzido por R$ 900,00 em 1 ano, 5 meses e 20 dias a 0,8% ao mês.

4) Calcular o juro de R$ 264,00 em 9 meses a 7% ao ano.

5) Qual o capital que produz R$ 400,00 de juro ao ano em 1 ano e 8 meses á uma taxa de 1% ao mês?

6) A que taxa ao ano deve ser empregado o capital de R$ 16.000,00 para produzir R$ 2.520,00 em 2 anos e 3 meses?

7) O capital de R$ 6.000,00 empregado à 9% ao ano, produziu R$ 810,00 de juro. Durante quanto tempo esteve empregado?

8) Uma pessoa adquire um automóvel por R$ 18.000,00. O vendedor oferece um abatimento de 5% pelo pagamento à vista. A pessoa, no entan-to, prefere pagar em duas prestações iguais. A primeira 6 meses depois da compra e a outra um ano depois submetendo-se ao pagamento de 7% de juro ao ano. Quanto gastou a mais, adotando o pagamento em prestações?

9) Certo capital colocado a juro durante 3 anos e 4 meses a 8% ao ano, produziu R$ 720,00 de juro. Qual o capital?

10) O capital de R$ 900,00 empregado a 0,8% de juro ao mês, produziu R$ 127,00 de juro. Durante quanto tempo esteve empregado?

11) Um aparelho eletrônico custa R$ 620,00 à vista. Em 5 prestações mensais o preço passa a ser de R$ 868,00. Sabendo-se que a diferença entre os preços é devida ao juros, qual a taxa de juros cobrada ao mês por essa loja?


12) Quem aplicou R$ 20.000,00 por 2 meses a uma taxa de 10% ao mês vai receber a mesma quantia que quem aplicou R$ 25.000,00 a uma taxa de 8% ao mês pelo mesmo período de tempo. Esta afirmação é VERDADEIRA ou FALSA?

13) Qual o tempo necessário para que um capital, colocado a 5% ao ano, dobre de valor?

14) Qual o capital que colocado a 6% ao ano, produz um montante de R$ 100.000,00 no fim de 15 anos?

15) Qual o montante de R$ 100.000,00 no fim de 10 anos à taxa de 5,5%?

16) Qual a taxa que esteve empregado o capital de R$ 24.750,00, se ao fim de 60 dias produziu o montante de R$ 24.997,50?

17) Uma pessoa deposita suas economias no valor de R$ 13.000,00 num banco que paga 5% ao ano. Qual o capital acumulado em 5 anos?

18) Uma pessoa emprega seu capital a 8% e, no fim de 3 anos e 8 meses recebe capital e juros reunidos no valor de R$ 15.520,00. Qual o capital empregado?

19) No fim de quanto tempo um capital qualquer aplicado a 5% triplica de valor?

20) Uma pessoa coloca um capital a 4%. No fim de 3 anos retira o capital e juros e coloca o montante a 5%. Ao cabo de 2 anos o novo montante é de R$ 6.160,00. Qual o capital?

GABARITO - JUROS

1) R$ 2.100,00

2) R$ 720,00

3) R$ 127,20

4) R$ 13,86

5) R$ 2.000,00

6) 7% ao ano

7) 1 ano e 6 meses

8) R$ 1.845,00

98) R$ 2.700,00

10) 1 ano, 5 meses e 20 dias

11) 8%

12) sim

13) 20 anos


14) R$ 52.631,58

15) R$ 155.000,00

16) 1,67% a.d.

17) R$ 16.250,00

18) 12.000

19) 40 unidades de tempo

20) R$ 5.000,00

MEDIDAS DE COMPRIMENTO

A medida básica de comprimento é o metro cujo símbolo é m.

O metro é um padrão adequado para medir a largura de uma rua, o comprimento de um terreno, a altura de uma sala.

Para medir grandes distâncias, há unidades derivadas de metro e que são maiores que ele, como por exemplo medir a extensão de uma estrada.

Há também unidades derivadas do metro e que servem para medir pequenos comprimentos, como por exemplo o comprimento de um prego.

Observe a tabela que representa os múltiplos e submúltiplos do metro.

Nome Símbolo Relação

Múltiplos do Metro decâmetro dam 10 m

hectômetro hm 100 m

quilômetro km 1000 m

Submúltiplos do Metro decímetro dm 0,1 m


centímetro cm 0,01 m

milímetro mm 0,001 m

Nota:

Os múltiplos e os submúltiplos do metro são obtidos a partir do metro, realizando sucessivas multiplicações ou divisões por 10.

MUDANÇA DE UNIDADE

Para transformar a unidade de uma medida, em geral, utilizaremos a escada de unidades abaixo representada:

Por exemplo, se quisermos passar uma unidade de metros para centímetros, vamos multiplicar o número por 100, pois estaremos descendo dois degraus.

Por outro lado, se fôssemos subir dois degraus esta escada (metros pra hectômetro por exemplo), iríamos dividir o número por 100. Analogamente, de acordo com a quantidade de degraus é que vamos escolher o fator múltiplo de dez.

Exemplo1:

Vamos reduzir 424,286 hectômetros pra metros.

hm m x 100 (Desce 2 degrau)

424,286 x 100 = 42428,6 m


Exemplo2:

Reduzindo 5645,8 decímetros para quilômetros.

dm km 10.000 (Sobe 4 degraus)

5645,8 x 10.000 = 0,56458 km

OUTRAS UNIDADES DE MEDIDAS RELACIONADAS AO METRO

Polegada = 2,54 cm

Pé = 30,48 cm

Milha = 1609 metros

EXERCÍCIOS - MEDIDAS DE COMPRIMENTO

1) Reduzir 28,569 hm a metros

2) Exprimir 456,835 cm em quilômetros.

3) Quantos metros existem em 8 dm?

4) Quanto dista, em quilômetros, a terra da lua; sabendo-se que essa distância equivale, em média, a 60 raios terrestres? (Nota: o raio da terra mede 6.370.000 m).

5) Um viajante percorreu em 7 horas, 33.600 metros. Quantos quilômetros ele fez, em média, por hora?

6) O passo de um homem mede cerca de 0,80m. Quanto tempo empregará esse homem para percorrer 4.240 km de uma estrada, sabendo-se que anda à razão de 100 passos por minuto?


7) Uma senhora comprou 20 metros de fazenda à razão de R$ 84,00 o metro. Se esta fazenda foi medida com uma régua que era 1 cm mais curta que o metro verdadeiro; pergunta-se:

1º) Quanto de fazenda a senhora recebeu?

2º) Quanto pagou a mais?

8) Numa construção, chama-se pé direito a distância do chão ao teto. Nos prédios de apartamentos, o pé direito mínimo é de 2,70 m. Qual a altura aproximada de um prédio de 15 andares?

9) As telas dos aparelhos de televisão costumam ser medidas, em diagonal por polegadas. Considerando-se a polegada igual a 2,5 cm. Quantos cm tem a diagonal de um aparelho de 16 polegadas?

10) De acordo com a Bíblia, a arca de Noé tinha 300 cúbitos de comprimento, 50 cúbitos de largura e 30 cúbitos de altura. Considerando-se 1 cúbito = 0,5 m. Calcule as dimensões da arca de Noé.

11) Em um mapa cada cm corresponde a 25 km no real. Sabendo-se que a distância real de São Paulo a Curitiba é de aproximadamente 400 km, essa distância corresponde a quantos cm no mapa?

12) A figura a seguir mostra parte de um mapa onde estão localizadas as cidades A, B, C< D e as distâncias (em km) entre elas. Um automóvel percorria uma menor distância saindo de A, passando por B e chegando a D ou saindo de A, passando por C e chegando a D?

13) Com 32,40 m de arame, Roberto quer formar 20 pedaços de mesmo comprimento. Qual deverá ser o comprimento de cada pedaço?


14) Uma cidade A está ligada a uma cidade B por uma estrada que tem 52,5 km de comprimento. Por sua vez a cidade B está ligada a cidade C por uma estrada cujo comprimento é igual a 2/3 da distância de A até B. Quantos quilômetros percorrerá um veículo que sai de A, passa por B e atinge C?

15) Um carpinteiro está colocando rodapé no contorno de uma sala que tem 7,40m de comprimento por 4,15m de largura. Esta sala tem três portas, duas delas com 90 cm de vão cada uma e a outra com 130 cm de vão. Considerando-se que ele não vai colocar rodapé no vão da porta, podemos dizer que ele vai usar de rodapé:

a) 16m

b) 17m

c) 18 m

d) 19 m

e) 20 m

GABARITO - MEDIDAS DE COMPRIMENTO

1) 2856,9

2) 0,00456835

3) 0,80

4) 382.200 km

5) 4,8 km/h

6) 53.000 minutos

7) Recebeu 19,80 m e pagou a mais 16,80

8) 40,50 m

9) 40 cm

10) 150 m de comprimento, 25 m de largura e 15 m de altura

11) 16 cm

12) Passando por C

13) 1,62 m

14) 87,5 km

15) E


MEDIDAS DE SUPERFÍCIE"Superfície é a região do plano determinada por segmentos de reta ou por linhas curvas. Medir uma

superfície é compará-la com outra tomada como unidade".

Para medirmos as superfícies, utilizamos as unidades da área do sistema métrico internacional, cuja unidade básica é o metro quadrado (m2) e que corresponde a um quadrado de 1 metro de lado.

Neste sistema, cada unidade de área é cem vezes maior que a unidade imediatamente inferior.

O metro quadrado foi criado para medir grandes superfícies, como por exemplo, a superfície de uma fazenda.

Para medir grandes superfícies foram criadas unidades maiores que o metro quadrado, bem como, foram criadas unidades menores que o metro quadrado para medir pequenas superfícies.

Múltiplos do Metro Quadrado

Decâmetro Quadrado (dam2) - que corresponde a uma área quadrada de 1 dam de lado, eqüivalendo a 100 m2.

Hectômetro Quadrado (hm2) - que corresponde a uma área quadrada de 1 hm de lado, eqüivalendo a 10.000 m2.

Quilômetro Quadrado (km2) - que corresponde a uma região quadrada de 1 km de lado, eqüivalendo a 1.000.000 m2.


Submúltiplos do Metro Quadrado

Decímetro Quadrado (dm2) - que corresponde a uma região quadrada de 1 dm de lado, equivalendo a 0,01 m2.

Centímetro Quadrado (cm2) - que corresponde a uma área quadrada de 1 cm de lado, equivalendo a 0,0001 m2.

Milímetro Quadrado (mm2) - que corresponde a uma área quadrada de 1 mm de lado, equivalendo a 0,000001 m2

QUADRO DAS UNIDADES DAS MEDIDAS DE SUPERFÍCIE

As unidades de superfície variam de 100 em 100, assim, qualquer unidade é sempre 100 vezes maior que a unidade imediatamente inferior e 100 vezes menor que a unidade imediatamente superior.

MUDANÇA DE UNIDADE

Para transformar a unidade de uma medida, em geral, utilizaremos a escada de unidades abaixo representada:


Por exemplo, se quisermos passar uma unidade de metros quadrados para centímetros quadrados, vamos multiplicar o número por 10.000, pois estaremos descendo dois degraus. Por outro lado, se fôssemos subir dois degraus desta escada (metros quadrados pra decâmetros quadrados por exemplo), iríamos dividir o número por 10.000. Analogamente, de acordo com a quantidade de degraus é que vamos escolher o fator múltiplo de cem.

Exercícios

Efetue as seguintes transformações:

a) 5 m² em dm²

b) 12 km² em dam²

c) 13,34 dam² em m²

d) 457 dm² em m²

e) 655 dam² em km²

f) 4,57 m² em dam²

g) 4,44 dm² em mm²

h) 0,054dam² em dm²

i) 3,1416m² em cm²

j) 0,081 mm² em cm²

Gabarito

a) 5*100 = 500 dm² b) 12*10000 = 120.000 dam² c) 13,34*100 = 1.334 m² d) 457 / 100 = 4,57 m² e) 655 / 10000 = 0,0655 km² f) 4,57 / 100 = 0,047 dam² g) 4,44*10000 = 44.400 mm² h) 0,054*10000 = 540 dm² i) 3,1416*10000 = 31.416 cm² j) 0,081 / 100 = 0,00081 cm²


MEDIDAS AGRÁRIAS

São medidas utilizadas na agricultura para medir campos, fazendas, etc.

As unidades são o hm2, o dam2 e o m2 que recebem designações especiais.

A unidade fundamental de medida é o ARE, cujo símbolo é a, eqüivale a 1 dam2 ou seja 100 m2.

O are possui apenas um múltiplo e um submúltiplo:

O múltiplo do are é o hectare que vale 100 ares ou 1 hectômetro quadrado. Seu símbolo é ha.

O submúltiplo do are é o centiare, cujo símbolo é ca e cujo valor corresponde a 0,01 are e equivale a 1m2.

Múltiplo hectare ha Hectômetro quadrado 10.000 m2

are a Decâmetro quadrado 100 m2

Sub-múltiplo centiare ca Metro quadrado 1 m2

Observação:

Existem unidades não legais que pertencem ao sistema métrico decimal.

Alqueire Paulista = 24.200 m2

Alqueire Mineiro = 48.400 m2

EXERCÍCIOS SOBRE MEDIDAS AGRÁRIAS

1) Uma fazenda tem 6 há de área. Qual sua área em m2?


2) Uma reserva florestal tem 122.800m2 de área. Qual a área dessa reserva em ha?

3) Uma plantação de café tem uma área de 406 ha. Qual a área dessa plantação em km2?

4) Uma gleba de terra tem uma área de 5/8 ha. 60% da área dessa gleba foi reservada para pasto. Quantos m2 de pasto foram formados nessa gleba?

5) Roberto comprou 6 alqueires paulistas de terra, Quantos m2 ele comprou?

6) Numa fazenda de criação de gados para engorda, foram formados 50 alqueires (mineiros) de pasto de excelente qualidade. Quantos m2 de pasto foram formados nessa fazenda?

7) Uma plantação de cana de açúcar cobre uma extensão de 42 ha. Qual é, em m2, a superfície ocupada pela plantação?

GABARITO - MEDIDAS AGRÁRIAS

1) 60.000 m2

2) 12,28 ha

3) 4,06 km2

4) 3750 m2

5) 145.20 m2

6) 2.420.000 m2

7) 420.000 m2

EDIDAS DE CAPACIDADE

" Capacidade é o volume de líquido que um sólido pode conter em seu interior".

Assim, quando dizemos que no interior de uma garrafa de água mineral cabe meio litro, estamos


medindo a quantidade de líquido que a garrafa pode conter.

Como a capacidade é um volume, podemos utilizar as unidades de volume para medir os líquidos. Mas para este fim, utilizamos uma outra unidade de medida chamada litros, que se abrevia por ℓ.O litro corresponde à capacidade de um cubo com 1 dm de aresta, ou seja, corresponde ao volume de um decímetro cúbico.

1 dm

1 dm

1 dm 1 dm3 = 1 litro

Exemplo:

O hidrômetro de uma casa registrou no mês que passou, um consumo de 25m3 de água. Quantos litros de água foram consumidos nessa casa?

25m3 = (25 x 1000)dm3 = 25.000dm3 = 25.000ℓ

MUDANÇA DE UNIDADE

Como os múltiplos e submúltiplos do litro variam de 10 em 10, pode-se concluir que as mudanças de unidades são feitas como nas medidas de comprimento, ou seja, deslocando-se a vírgula de uma em uma casa decimal para a esquerda ou para a direita ou ainda, como foi dito, utilizando a escada de transformações representada abaixo:

EXERCÍCIOS SOBRE MEDIDAS DE CAPACIDADE


1) Expressar 2ℓ em mℓ.

2) Sabendo-se que 1dm3 = 1ℓ, expressar 250 ℓ em cm3.

3) Na leitura de um hidrômetro de uma casa, verificou-se que o consumo do último mês foi de 36m3, quantos litros de água foram consumidos?

4) Uma indústria farmacêutica fabrica 1400 litros de uma vacina que deve ser colocada em ampolas de

35cm3 cada uma. Quantas ampolas serão obtidas com esta quantidade de vacina?

5) O volume interno de uma carreta de caminhão-tanque é de 85m3. Quantos litros de combustível essa carreta pode transportar quando totalmente cheia?

6) Um reservatório, cujo volume é de 10m3, estava totalmente cheio quando deles foram retirados 2.200 ℓ. Numa segunda vez foi retirado 1/3 da quantidade de água que restou. Nessas condições, quantos litros ainda restam no reservatório?

7) O volume máximo interno de uma ampola de injeção é de 12cm3. Qual é a capacidade máxima em mℓ desta ampola?

8) Qual é a capacidade, em litros, de uma caixa d´água cujo volume interno é de 0,24m3?

9) Sabendo que 1Kl tem 1000 l, quantos kl tem:a) 37 l =b) 3750 l = c) 44185 l =

10) Transforme as medidas, escrevendo-as na tabela abaixo:a) 0,936 kl em dlb) 7,8 hl em lc) 502 ml em ld) 13 kl em dle)1ml em klf) 59 cl em dal

quilolitro hectolitro decalitro litro decilitro centilitro mililitrokl hl dal l dl cl ml

11) Complete a tabela com os valores equivalentes em litros:quilolitro hectolitro decalitro litro decilitro centilitro mililitro

kl hl dal l dl cl ml

GABARITO - MEDIDAS DE CAPACIDADE


1) 2000mℓ

2) 250000 cm3

3) 36.000 litros4) 40.000 ampolas 5) 85.000ℓ de combustível 6) 5200 litros7) 12 mℓ8) 240 litros9) a) 37 / 1000 = 0,037 kl b) 3750 / 1000 = 3,75 kl c) 44185 / 1000 = 44,185 kl

10)

quilolitro hectolitro decalitro litro decilitro centilitro mililitrokl hl dal l dl cl ml

9 3 6 07 8 0

0, 5 0 213 0 0 0 00, 0 0 0 0 0 1

0, 0 5 9

11)

quilolitro hectolitro decalitro litro decilitro centilitro mililitro

kl hl dal l dl cl ml

1000l 100l 10l 1l 0,1l 0,01l 0,001l

MEDIDAS DE MASSA

"Massa de um corpo qualquer é a quantidade de matéria que esse corpo contém".

O sistema métrico decimal é utilizado, para estabelecer as unidades que servem para medir a massa de um corpo.

A unidade padrão para medir a massa de um corpo é a massa de um decímetro cúbico de água, a uma temperatura de 4ºC. Entretanto, por ser mais prático, foi utilizado como unidade principal o grama (abrevia-se g) e que se constitui numa massa igual a milésima parte do quilograma ou seja,

1g = 0,001kg ou 1kg = 1000g.

nome símbolo relação


Múltiplos do Grama decagramahectograma

daghg

10 g100 g

quilograma kg 1000 gSubmúltiplos do Grama decigrama

centigrama

miligrama

dgcg

mg

0,1 g0,01 g

0,001 g

RELAÇÃO IMPORTANTE

Volume Capacidade Massa 1 dm3 = 1 litro = 1 kg

Exemplo:

Um recipiente, totalmente cheio contém um volume de 5m3 de água pura. Qual é o peso (massa) da água contida neste recipiente?

5m3 = 5.000 dm3 = 5000 kgLogo, o peso dessa água contida nesse recipiente é de 5.000 kg

OUTRAS UNIDADES DE MEDIDAS RELACIONADAS AO GRAMA

Tonelada (T) = 1.000 kg Megaton = 1.000 toneladas Quilate = 0,2 g (unidade para medida de pedras e metais preciosos)

EXERCÍCIOS SOBRE MEDIDAS DE MASSA

1) Com uma certa quantidade de papel, foram feitos 25.000 blocos, todos com o mesmo número de páginas. Se cada bloco tem 0,75 kg, quantos quilogramas de papel foram usados para fazer esses blocos?

2) Uma laje é formada por 40 blocos de concreto. Cada bloco de concreto tem 1 1/4 T. de massa. Qual a massa da laje toda?

3) Um litro de uma certa substância corresponde a uma massa de 2.5 kg. Quantos kg há em 6 m3 dessa substância?


4) Um comprimido contém 3,5 mg de vitamina x. Uma pessoa toma três desses comprimidos por dia. Quantos miligramas de vitamina x essa pessoa vai ingerir após 1 mês de 30 dias?

5) Um recipiente contém água pura. A massa dessa água é de 18.000 kg. Qual é em m3 o volume interno desse recipiente?

6) Um volume de 0,01 m3 corresponde a quantos decímetros cúbicos?

7) Um reservatório tem um volume de 81 m3 e está totalmente cheio d´água. Uma válvula colocada nesse reservatório deixa passar 1500l de água a cada 15 minutos. Esta válvula ficou aberta durante um certo tempo e depois foi fechada. Verificou-se que havia, ainda 27m3 de água no reservatório. Durante quanto tempo esta válvula permaneceu aberta?

a) 8 horas

b) 9 horas

c) 12 horas

d) 18 horas

e) 36 horas

8) Quantos miligramas contém 1 kg ? e 1 t ?

9) Quantos gramas contém, 1t ?

10) Qual é a massa de 1 m3 de água ?

11) Qual é a massa de 1 ml de água ?

12) Uma caixa de água mede 50 cm x 50 cm de base e 50 cm de altura. Qual o seu volume? Qual a massa de água que a enche completamente ?


13) Quantos litros de água cabem em um tanque cúbico de 2 m de lado ?

GABARITO - MEDIDAS DE MASSA

1) 18.750 kg

2) 50 T

3) 15.000 kg

4) 315 mg

5) 18 m3

6) 10 dm3

7) B

8) Um kilograma possui 1.000.000 miligramas. Uma tonelada possui 1.000.000.000 miligramas.

9) Uma tonelada possui 1.000.000 gramas.

10) Um metro cúbico possui mil kilogramas.

11) Um mililitro de água possui a massa de um grama.

12) O volume é de 125.000 cm3. A massa de água é de 125 quilogramas.

13) O volume da piscina é de 8 m3 = 8.000 dm3 = 8.000 litros.

MEDIDAS DE TEMPO

A unidade fundamental do tempo é o segundo. As unidades secundárias, que se apresentam somente como múltiplos, constam no quadro:

NOMES Símbolos Valores em segundos

Segundo s ou seg 1


Minuto min 60

Hora h 3.600

Dia d 86.400

Outras unidades, usadas na prática, são:

Semana (se) 7 dias Mês (me) 30, 31 ou 29 ou 28 dias Ano (a) 360, 365 ou 366 dias

O ano compõe-se de 12 meses. O ano comercial tem 360 dias, o ano civil tem 365 dias e ano bissexto 366 dias.

Os meses de janeiro, março, maio, julho, agosto, outubro e dezembro têm 31 dias; os meses de abril, junho, setembro e novembro têm 30 dias. O mês de fevereiro tem 28 dias nos anos comuns (civil) e 29 dias nos anos bissextos.

Todo ano que for divisível por 4, são bissextos. Assim, por exemplo:

1940, 1952, 1964 são bissextos

1910, 1953, 1965 não são bissextos

Nomenclaturas:

02 anos chama-se biênio 03 anos chama-se triênio 04 anos chama-se quadriênio 05 anos chama-se quinquênio ou lustro 10 anos chama-se decênio ou década 100 anos chama-se século 1000 anos chama-se milênio 02 meses chama-se bimestre 03 meses chama-se trimestre 06 meses chama-se semestre

A representação do número complexo que indica unidade de tempo, é feita escrevendo-se em ordem decrescente o valor, s números correspondentes às diversas unidades acompanhados dos respectivos símbolos.

Exemplo:


9 a 4 me 18 d 15 h 23 min 17 seg

MUDANÇA DE UNIDADES

Podem ocorrer dois casos:

Caso 1: Transformação de número complexo em unidades inferiores também chamadas de medidas simples ou número incomplexo.

Exemplo:

Verificar quantos minutos há em 3d 8h 13min?

Como 1 dia tem 24 horas 24 h x 3 = 72 h

Temos + 8 h. Estas 72 h + 8 h dá 80 h.

Como a hora vale 60 min. 80 h x 60 min = 4800 min.

Somando-se ainda mais 13 min. 4813 min.

Caso 2: Transformação de um número expresso em medidas simples ou unidades inferiores ou em números incomplexos.

Exemplo:

Transformar 4813 min. em número não decimal, é o mesmo que determinar quantos dias, horas e minutos há em 4813 min. Neste caso efetuamos as operações inversas do problema anterior.

4813 60 = 80 h e 13 min 80h 24 = 3 d e 8 h

Logo, 4813 minutos é o mesmo que 3 dias 8horas e 13 minutos.

EXERCÍCIOS - MEDIDAS DE TEMPO

1) Dizer: a) Quantos minutos há numa semana?

b) Quantas horas há em duas semanas?


2) Converter: a) 2d 12 h 15 min em minutos.

b) 4 a 8 me 12 d em dias.

3) Efetuar a operação: 13 d 55 h 42 min + 8 d 34 h 39 min.

4) Exprimir quantos meses e dias contém a fração 5/8 do ano.

5) Numa certa fábrica um operário trabalhou 2 a 10 me 15 d e outro durante 11 me 29 d. Qual é a diferença entre os tempos de trabalho dos dois operários?

6) As 9 h da manhã acertou-se um relógio que atrasa 6 min em 24 h. Que horas serão, na verdade, quando o relógio marcar 5 h da tarde?

7) Responda: a) Uma hora tem quantos segundos?b) Um dia tem quantos segundos?c) Uma semana tem quantas horas?d) Quantos minutos são 3h45min?e) Uma década tem quantos anos?f) Quantos minutos 5h05min?g) Quantos minutos se passaram das 9h50min até as 10h35min?h) Quantos seguntos tem 35min?i) Quantos segundos tem 2h53min?j) Quantos minutos tem 12 horas?

GABARITO - MEDIDAS DE TEMPO

1) a) 10.080 min b) 336 h

2) a) 3.615 min b) 1.712 dias

3) 242 d 18 h 21 min

4) 7 me e 20 d

5) 1 a 10me 14d

6) 4 h 58 min


7) Respostas abaixo:

a) 60*60 = 3600 segundos b) 24*60*60 = 86400 segundos c) 7*24 = 168 horasd) (3*60)+45 = 225 minutos e) 10 anosf) (5*60) + 5 = 305 ming) 45 minh) 35*60 = 2100i) 2*60 + 53 = 173 min 173*60 = 10380 seg j) 12*60 = 720 min

01) 10 homens se comprometeram a realizar em 24 dias certa obra. Trabalharam 6 dias, à razão de 8 horas diárias. A fim de acabar a obra 8 dias antes do prazo marcado, aumentou-se o número de operários, que passaram a trabalhar todos 12 horas por dia. De quantos operários foi o acréscimo?a) 5 b) 3 c) 4 d) 1 e) 2

02) 10 operários realizam certa tarefa em 20 dias. Responda: 5 operários realizarão a mesma tarefa em ........... diasa) 10 dias b) 30 dias c) 40 dias d) 20 dias e) 5 dias

03) 15 homens cavaram um poço em 10 dias, trabalhando 8 horas diárias. Em quantos dias, 40 homens cavarão outro poço igual, trabalhando 12 horas por dia, sabendo que a dificuldade da segunda obra aumentou em 3/5?a) 6d b) 9d c) 10d d) 4d e) 12 d

04) 2/5 dos 3/7 de um pomar são laranjeiras; 4/5 dos ¾ são pereiras; há ainda mais 24 árvores diversas. Quantas árvores há no pomar?a) 105 b) 100 c) 98 d) 110 e) 112

05) 30 centenas x 5 dezenas + 30 milhares = 3.000 décimos x 3 unidadesa) 2 dezenas b) 2 centésimos c) 2 milésimos d) 2 unidades e) 2 centenas

06) Os astrônomos costumam utilizar duas unidades para representar distâncias: a unidade astronômica (UA) e o ano-luz (AL). A UA corresponde à distância entre o Sol e a Terra que é de 150 milhões de quilômetros e o AL, à distância que a luz percorre em um ano: 9,5 trilhões de quilômetros. Uma distância de 30 AL corresponde a uma distância de:a) 1.900.000 UA b) 2.400.000 UA c) 2.800.000 UA d) 3.320.000 UA

07) 6 amigos se reuniram para jogar na "Sena". Para comprar os cartões, João e Paulo deram, cada um, R$ 10,00, Mário e Cezar contribuíram com R$ 20,00 cada, enquanto Carlos e Lúcio deram juntos R$ 50,00. Se eles ganharam um prêmio de R$ 1.760.000,00 e o dividirem em partes diretamente proporcionais aos valores pagos por cada um ao comprarem os cartões, a parte do prêmio que caberá a Mário, em reais, será de:a) 110.000,00 b) 160.000,00 c) 220.000,00 d) 320.000,00 e) 800.000,00

08) 64 jogadores de habilidades diferentes disputam um torneio de tênis. Na primeira rodada são feitos 32 jogos (os emparelhamentos são por sorteio) e os perdedores são eliminados. Na segunda rodada são feitos 16 jogos, os perdedores são eliminados e assim por diante. Se os emparelhamentos são feitos por sorteio e não há surpresas (se A é melhor que B, A vence B), qual o número máximo de jogos que o décimo melhor jogador consegue jogar?a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

09) 9 homens podem fazer uma obra em 4 dias. Quantos homens mais seriam necessários para fazer a obra em 1 dia?a) 19 b) 21 c) 25 d) 27 e) 23


10) A área de um terreno A é 930m2, enquanto a área do terreno B é 1500 m2. Nessas condições a área do terreno A representa quantos por cento da área do terreno B?a) 55% b) 65% c) 70% d) 62% e) 82%

11. A carroceria de um caminhão tem as seguintes medidas internas: 4m de comprimento, 2,5m de largura e 0,5m de altura. Essa carroceria está transportando uma quantidade de areia que corresponde a 3/5 do seu volume. Quantos m3 de areia estão sendo transportados pelo caminhão?a) 3 m3 b) 2 m3 c) 8 m3 d) 4 m3 e) 9 m3

12. A classe de Flávio Betiol vai fazer uma excursão ao Rio de Janeiro, para comemorar a formatura da 8ª série. A despesa total seria de R$3.600,00. Como 6 alunos não poderão ir ao passeio, a parte de cada um aumentou em R$ 20,00. Quantos alunos estudam na classe de Flávio Betiol?a) 30 alunos b) 36 alunos c) 35 alunos d) 39 alunos

13. A diferença de dois números é 9.Um terço da soma dos números é 17. Encontre os números.a) 21 e 30 b) 25 e 30 c) 26 e 20 d) 27 e 40

14. A diferença de idade entre João e sua irmã Maria é de 14 anos. Ao somarmos três sétimos da idade de João ao quádruplo da idade de Maria, teremos como resultado 149. Quantos anos tem Maria?a) 21 b) 27 c) 38 d) 45 e) 35

15. A diferença entre dois números é 15 e a razão 8/5. Calcular os dois números.a) 39 e 29 b) 40 e 25 c) 30 e 26 d) 43 e 22 e) 44 e 21

16. A diferença entre o quadrado e o triplo de um número real é igual a 4. Qual é esse número?a) 3 ou -1 b) 4 ou -1 c) 6 ou -2 d) 6 ou -4

17. A diferença entre o triplo de um número e seus três quartos é 81. Qual é o número?a) 28 b) 33 c) 30 d) 36

18. A distância entre São Paulo e Rio de Janeiro é de aproximadamente 408km. Qual é a escala de um mapa onde esta distância está representada por 20,4cm?a) 1:4.000.000 b) 1:2.000.000 c) 1:5.000.000d) 1:1.000.000 e) 1:7.000.000

19. A fração 13/40 é equivalente a:a) 325% b) 3,25% c) 0,03255 d) 32,5% e) 0,325% f) nda

20. A largura de um automóvel é 2 metros, uma miniatura desse automóvel foi construída de modo que essa largura fosse representada por 5cm. Qual foi a escala usada para construir a miniatura?a) 1:20 b) 1:30 c) 1:40 d) 1:50 e) 1:70

21. A leitura de um hidrômetro feita em 01/4/98 assinalou 1936m3. Um mês após, a leitura do mesmo hidrômetro assinalou 2014m3. Qual foi, em m3, o consumo nesse período?a) 45 m3 b) 50 m3 c) 88 m3 d) 98 m3 e) 78 m3

22. A praça de uma cidade possui a forma de um quadrado. Calcule quantos metros de corda deverá ser gasto para cercar a praça para uma festa sabendo que possui 45 m de lado, e deseja-se dar 4 voltas com a corda.a) 730 m b) 720 m c) 690 m d) 733 m e) 728 m

23. A proprietária de uma loja, desejando gratificar dois funcionários, um que trabalha há 5 anos e outro há 3 anos , dividiu entre eles a quantia de R$ 1.200,00 em partes diretamente proporcionais aos anos de serviço de cada um. O funcionário mais antigo recebeu:a) R$ 550,00 b) R$ 600,00 c) R$ 650,00 d) R$ 700,00 e) R$ 750,00

24. A quantidade de números inteiros positivos menores que 400 que podemos formar, utilizando somente os algarismos 1,2,3,4 e 5, de modo que não figurem algarismos repetidos, é:a) 36 b) 56 c) 61 d) 85 e) 65

25. A que taxa deve ser empregado o capital de R$ 16.000,00 para produzir R$ 2.520,00 em 2 anos e 3


meses ?a) 6 % ao ano b) 5 % ao ano c) 7 % ao anod) 9 % ao ano e) 10 % ao ano

26. A razão entre a altura de Tarcísio e sua sombra, em determinada hora do dia é de 3 para 2. Se a sombra mede 1,2m, qual a altura de Tarcísio?a) 1,80 b) 1,40 c) 1,50 d) 1,20 e) 1,70

27. A razão entre a velocidade de 2 móveis, A e B é de 3/8. Encontre a velocidade do móvel A, quando a velocidade do móvel B for igual a 20m/sa) 4,5 m/s b) 7,5 m/s c) 5,5 m/s d) 6,5 m/s e) 7,0 m/s

28. A relação entre dois números é de 6 para 1. Se a soma dos dois números é igual a 56, qual é o maior?a) 280 b) 48 c) 125 d) 28 e) 316

29. A soma da minha idade com a da minha filha é 72. Daqui a 3 anos a minha idade será o dobro da idade da minha filha . A minha idade atual, em anos, é:a) 47 b) 49 c) 51 d) 53 e) 55

30. A soma das idades de Leonardo e Rodrigo é de 30 anos. Sabendo-se que as idades de ambos estão na razão de 2 para 3, calcule a idade de Rodrigo.a) 12 b) 35 c) 48 d) 24 e) 18

31. A soma de dois números é 207. O maior deles supera o menor em 33 unidades. Quais são os dois números?a) O número menor é 80, o maior é 110. b) O número menor é 90, o maior é 120.c) O número menor é 86, o maior é 125. d) O número menor é 87, o maior é 120.

32. A soma de dois números é 54 e a razão 7/11. Calcular os dois números.a) 26 e 30 b) 22 e 30 c) 27 e 33 d) 20 e 32 e) 21 e 33

33. A soma de dois números é igual a 18. Calcule o número maior, sendo o número maior igual ao número menor somado a 2.a) 8 b) 11 c) 10 d) 12 e) 7

34. A soma de todos os números ímpares de dois algarismos menos a soma de todos os números pares de dois algarismos éa) 50 b) 46 c) 45 d) 49 e) 48

35. A soma de um número real com o seu quadrado dá 30. Qual é esse número?a) O número procurado é 2 ou – 6 b) O número procurado é 3 ou - 5c) O número procurado é 5 ou – 6 d) O número procurado é 7 ou - 6

36. A soma do minuendo com subtraendo e mais o resto de uma subtração é igual a 22. Calcule o minuendo.a) 30 b) 40 c) 15 d) 75 e) 11

37. A soma dos múltiplos de 3 compreendidos entre 100 e 200 é:a) 5000 b) 3950 c) 4000 d) 4950 e) 4500

38. A soma dos múltiplos de 7 existentes entre 90 e 507 é divisível por:a) 13 b) 11 c) 9 d) 8 e) 5

39. A taxa de 40% ao bimestre, com capitalização mensal é equivalente a uma taxa trimestral de:a) 72,8% b) 60,0% c) 68,9% d) 66,6% e) 84,4%

40. Abrindo completamente 3 torneiras idênticas consegue-se encher um tanque com água em 2h 24 min. Dispondo-se de 5 dessas torneiras, em quanto tempo é possível encher o mesmo tanque?a) 1h 26 min 24 s b) 1h 15 min 24 s c) 1h 26 min d) 1h e) 1h 40min 20 s

41. Alguns operários devem terminar certo serviço em 36 dias, trabalhando 8 horas por dia. O encarregado, após 20 dias, verifica que só 0,4 da obra estava pronta. Para entregar o serviço na data fixada; quantas horas


por dia devem os operários trabalhar nos dias restantes?a) 12 horas b) 15 horas c) 17 horas d) 19 horas

42. Aline foi comprar uma blusa que custava R$ 32,90, e conseguiu um desconto de 12%. Quantos Aline pagou pela blusa?a) 28,50 b) 27,50 c) 28,95 d) 29,05 e) 28,75

43. Aline quer ler um romance de 352 páginas. Em 3 horas de leitura conseguiu ler 48 páginas. Quanto temo levará para ler livro todo?a) 22 horas b) 20 horas c) 18 horas d) 24 horas e) 26 horas

44. Antonio tem 270 reais, Bento tem 450 reais e Carlos nada tem. Antonio e Bento dão parte de seu dinheiro a Carlos, de tal maneira que todos acabam ficando com a mesma quantia. O dinheiro dado por Antonio representa, aproximadamente, quanto por cento do que ele possuía?a) 11,1 b) 13,2 c) 15,2 d) 33,3 e) 35,5

45. Antônio, Bernardo, Cláudio e Daniel elaboraram juntos uma prova de 40 questões, tendo recebido por ela um total de R$ 2.200,00. Os três primeiros fizeram o mesmo número de questões e Daniel fez o dobro do que fez cada um dos outros. Se o dinheiro deve ser repartido proporcionalmente ao trabalho de cada um, Daniel deverá receber uma quantia, em reais, igual a: a) 800,00 b) 820,00; c) 850,00; d) 880,00; e) 890,00.

46. Ao receber moedas como parte de um pagamento, um caixa de uma agência bancária contou t moedas de 1 real, y de 50 centavos, z de 10 centavos e w de 5 centavos. Ao conferir o total, percebeu que havia cometido um engano: contara 3 das moedas de 5 centavos como sendo de 50 centavos e 3 das moedas de 1 real como sendo de 10 centavos. Nessas condições, a quantia correta é igual à inicial.a) acrescida de R$ 1,35 b) diminuída de R$ 1,35 c) acrescida de R$ 1,65d) diminuída de R$ 1,75 e) acrescida de R$ 1,75

47. Ao se exprimir 3/4 em forma de percentagem teremos:a) 0,75% b) 0,25% c) 66,67% d) 33% e) 75%

48. Após serem efetuados os débitos de R$ 48,30, R$ 27,00 e R$ 106,50 e os créditos de R$ 200,00 e R$ 350,00, o saldo da conta bancária de uma pessoa passou para R$1.040,90. Logo, antes dessas operações, o saldo dessa conta era de:a) R$ 309,70; b) R$ 672,70; c) R$ 731,70; d) R$ 1.409,70; e) R$ 1.772,70.

49. As 9 h da manhã acertou-se um relógio que atrasa 6 min em 24 h. Que horas serão, na verdade, quando o relógio marcar 5 h da tarde?a) 2 h 50 min b) 3 h 48 min c) 2 h 59 min d) 4 h 58 min e) 3 h 30 min

50. As características dos números 142 e 0,065 são, respectivamente: a) 2 e – 2 b) 2 e 2 c) -2 e -2 d) -2 e 2

51. As dimensões de um terreno retangular são: 80 metros de comprimento por 12 m de largura. Em um outro terreno, a medida do comprimento é 80% da medida do comprimento do primeiro. Se ambos têm a mesma área, a largura do segundo terreno é, em metros?a) 9 b) 10 c) 12 d) 15 e) 18

52. As idades de Roberto e Socorro somam 9 anos; a de Socorro e José 13 anos, a de José e Roberto 12 anos. Calcule a idade de Socorro:a) 4 anos b) 8 anos c) 7 anos d) 9 anos e) 5 anos

53. As medidas, em metros, dos lados de um triângulo são expressas por x + 1, 2x e x² e estão em progressão geométrica, nessa ordem. O perímetro do triângulo, em metros, mede: a) 9 b) 9,5 c) 19 d) 28 e) 30

54. As três parcelas integrantes do salário de um funcionário são proporcionais a 100, 30 e 20 e a soma delas totaliza um salário de R$ 4.200,00. A diferença entre a maior e a menor parcela é:a) R$ 840,00 b) R$ 1.680,00 c) R$ 1.880,00 d) R$ 2.180,00 e) R$ 2.240,00


55. As vacas de determina fazenda estão distribuídas por três pastos; no segundo há 4 vezes o número do primeiro e no terceiro há 3 vezes tantas como no segundo ou 70 mais do que no primeiro e no segundo juntos. Quantas vacas há na fazenda?a) 80 b) 140 c) 70 d) 170 e) 90

56. Calcular o juro de R$ 2.700,00 a 8% ao ano , em 3 anos e 4 meses.a) 650,00 b) 700,00 c) 720,00 d) 750,00 e) 800,00

57. Calcular o juro de R$ 2.700,00 a 8% ao ano, em 3 anos e 4 meses.a) R$ 700,00 b) R$ 650,00 c) R$ 800,00 d) R$ 720,00

58. Calcular o juro de R$ 264,00 em 9 meses a 7% ao ano.a) 13,75 b) 13,86 c) 14,02 d) 14,50 e) 12,75

59. Calcular o juro produzido por R$ 900,00 em 1 ano, 5 meses e 20 dias a 0,8% ao mês.a) 125,00 b) 127,00 c) 130,00 d) 135,00 e) 123,00

60. Calcular o valor da seguinte expressão numérica lembrando a ordem das operações: 0,5 + ( 0,05 0,005).a) 0,04 b) 0,06 c) 0,01 d) 0,05 e) 0,03

61. Certo ano as taxas de inflação nos meses de maio, junho e julho foram de 15%, 12% e 20%, respectivamente. No período de maio a julho desse mesmo ano, a taxa de inflação acumulada foi de, aproximadamente: a) 15,7% b) 45,2% c) 47% d) 47,8% e) 54,6%

62. Certo capital colocado a juro durante 3 anos e 4 meses a 8% ao ano, produziu R$ 720,00 de juro. Qual o capital ?a) 2.500,00 b) 2.600,00 c) 2.650,00 d) 2.700,00 e) 2.750,00

63. Com 16 máquinas de costura aprontaram-se 720 uniformes em 8 dias de trabalho. Quantas máquinas serão necessárias para confeccionarem 2160 uniformes em 24 dias?a) 13 máquinas b) 11 máquinas c) 19 máquinasd) 17 máquinas e) 12 máquinas

64. Com 32,40 m de tecido, um comerciante quer formar 20 retalhos de mesmo comprimento. Qual o comprimento de cada retalho em centímetros?a) 155 b) 157 c) 165 d) 170 e) 162

65. Com 9 HA de pasto podem ser mantidas 20 cabeças de gado. Quantos HA serão necessários para manter 360 cabeças?a) 162 há b) 172 há c) 180 há d) 165 há e) 187 há

66. Com os 3/7 e os 2/5 de meu dinheiro comprei um livro por R$ 29,00. Quanto possuía?a) R$90,00 b) R$75,00 c) R$300,00 d) R$55,00 e) R$35,00

67. Com uma certa quantidade de papel, foram feitos 25.000 blocos, todos com o mesmo número de páginas. Se cada bloco tem 0,75 kg, quantos quilogramas de papel foram usados para fazer esses blocos?a) 19.000 kg b) 18.750 kg c) 15.800 kg d) 16.750 kg e) 15.650 kg

68. Com uma lata de tinta é possível pintar 50m2 de parede. Para pintar uma parede de 72m2 gastam-se uma lata e mais uma parte de uma Segunda. Qual a porcentagem que corresponde a parte que se gasta da segunda lata?a) 35% b) 24% c) 44% d) 43% e) 46%

69. Comprei 120 livros a R$ 8,00 cada; vendi 80, perdendo R$ 2,00 em cada um, 3 20 ao preço de custo. Por quanto devo vender cada um dos restantes, para não ganhar nem perder.a) R$ 8,00 b) R$ 10,00 c) R$ 26,00 d) R$ 16,00 e) R$ 20,00

70. Comprei 60 figurinhas e aproveitei apenas 45 em meu álbum. As restantes eram repetidas. Qual foi a porcentagem de figurinhas repetidas?a) 15% b) 19% c) 22% d) 24% e) 25%


71. Comprei um terno e um sapato por R$ 600,00. O terno custou o quádruplo do sapato. Qual o preço do sapato?a) R$ 180,00 b) R$ 150,00 c) R$ 120,00 d) R$ 240,00 e) R$ 80,00

72. Considere os números inteiros maiores que 64000 que possuem 5 algarismos, todos distintos, e que não contém os dígitos 3 e 8. A quantidade desses números é:a) 2160 b) 1320 c) 1440 d) 2280 e) 2400

73. Cruzeiro e Atlético marcaram 54 gols num campeonato. Se o Cruzeiro marcou 8 gols a mais que o Atlético, quantos gols marcou o Cruzeiro?a) 30 b) 32 c) 35 d) 33 e) 31

74. Das afirmativas abaixo: 1 - o número 1 é primo 2 - o número zero é primo 3 - o número 1 é composto 4 - o número 2 é primoa) apenas uma é verdadeira; b) apenas duas são verdadeiras; c) apenas três são verdadeiras; d) todas são verdadeiras; e) todas são falsas.

75. De quantas vezes fica aumentado o produto de dois números, se multiplicarmos o primeiro por 6 e dividirmos o segundo por 3?a) trinta b) nove c) dezoito d) três e) duas

76. De todos os empregados de uma grande empresa, 30% optaram por realizar um curso de especialização. Essa empresa tem sua matriz localizada na capital. Possui, também,, duas filiais, uma em Ouro Preto e outra em Montes Claros. Na matriz trabalham 45% dos empregados e na filial de Ouro Preto trabalham 20% dos empregados. Sabendo-se que 20% dos empregados da capital optaram pela realização do curso e que 35% dos empregados da filial de Ouro Preto também o fizeram, então a percentagem dos empregados da filial de Montes Claros que não optaram pelo curso igual a:a) 35% b) 60% c) 21% d) 14% e) 40%

77. Dentro de um conceituado colégio, foram entrevistados, ao acaso, 380 estudantes e, desses, 2666 estavam muito descontentes com o novo diretor. Nessas condições, é muito provável que, dos 4.000 estudantes desse colégio, os descontentes sejam:a) 1.500 b) 1.900 c) 2.600 d) 2.800 e) 3.100

78. Determinar a taxa mensal de juros simples que faz com que um capital aumente 40% no fim de 4 meses.a) 7 % b) 8 % c) 9 % d) 10 % e) 11 %

79. Determine a porcentagem.. 11,5% de 250: a) 25,,40 b) 26,00 c) 28,75 d) 29,00 e) 28,50

80. Determine a porcentagem.. 12% de 275: a) 30 b) 28 c) 32 d) 33 e) 36


82. Determine a porcentagem.. 15% de 150: a) 21,50 b) 22,50 c) 23,00 d) 21,00 e) 20,50






87. Determine dois números cuja soma é 110 e cuja diferença é 30.a) 70 e 40 b) 60 e 40 c) 76 e 45 d) 67 e 40

88. Dispõe-se de 6 jogadores de voleibol, entre os quais o jogador A. Quantas duplas diferentes podemos formar nas quais não apareça o jogador A?a) 8 b) 5 c) 10 d) 6 e) 16

89. Distribuiu-se certa quantidade de bolas, cabendo a cada garoto 5 bolas. Se tivéssemos dado apenas 2 bolas a cada um, poderíamos ter presenteado a mais 31 crianças e ainda sobraria 1 bola. Quantas bolas foram distribuídas?a) 42 b) 39 c) 155 d) 184 e) 105

90. Divida 153 em partes proporcionais a 2/3 e 3/4:a) 52 e 101 b) 64 e 89 c) 54 e 99 d) 76 e 77 e) 72 e 81

91. Dividiu-se 880 bolas entre 4 pessoas, cabendo à segunda 1/3 da primeira; a esta 3/5 da quarta e a esta 1/7 da terceira. Quanta recebeu a quarta pessoa?a) 50 b) 80 c) 220 d) 100 e) 110

92. Dois automóveis partem em sentidos opostos das cidades "A" e "B", distantes entre si 360 km, às 8 horas da manhã e às 12 horas se encontram e num ponto que dista 240 km de "B". A velocidade do que partiu da cidade "A" foi de:a) 30 km/h b) 50 km/h c) 40 km/h d) 60 km/h e) 70 km/h

93. Dois números estão entre si como 5 para 3. Se o maior é 225, qual será o menor?a) 155 b) 450 c) 375 d) 153 e) 135

94. Dois números somados valem 42. Sendo o número maior igual ao número menor aumentado de 8 unidades, calcule o número maiora) 25 b) 22 c) 36 d) 30 e) 23

95. Dona Zizi comprou 2 balas para cada aluno de uma 5a série. Mas como os meninos andavam meio barulhentos, ela resolveu redistribuir essas balas, dando 5 para cada menina e apenas 1 para cada menino. Podemos concluir que na 5a série:a) 20% são meninos b) 30% são meninas c) 75% são meninos d) 50% são meninas e) 66,6...% são meninos

96. Dos 1600 candidatos a um concurso, 32% são nascidos no interior do estado de Pernambuco, 7,5% em outros estados e os restantes são naturais do litoral de Pernambuco. O número de candidatos nascidos no litoral é:a) 968 b) 986 c) 993 d) 999 e) 1.204

97. Duas garotas realizam um serviço de datilografia. A mais experiente consegue fazê-lo em 2 horas, a outra em 3 horas. Se dividirmos esse serviço de modo que as duas juntas possam fazê-lo no menor tempo possível, esse tempo será:a) 1,5h b) 2,5h c) 72min d) 1h e) 9,5min

98. Duas irmãs possuem 4 saias e 3 blusas. O número de maneiras distintas que elas podem se vestir é: a) 12 b) 24 c) 72 d) 144 e) 144732

99. Duas pessoas têm juntas 63 anos. Quantos anos tem a mais velha, se 2/5 de sua idade é igual a 2/4 da idade da mais nova?a) 43 anos b) 35 anos c) 38 anos d) 22 anos e) 41 anos

100. Durante o ano de 1992, uma equipe de basquete disputou 75 jogos, dos quais venceu 63. Qual a porcentagem correspondente aos jogos vencidos?a) 80% b) 84% c) 88% d) 94% e) 98%

101. Durante os feriados, 40% dos alunos de uma classe foram à praia, 25% para o interior e 14 não saíram da cidade. Quantos alunos tem essa classe?a) 38 alunos b) 45 alunos c) 35 alunos d) 40 alunos


102. Durante quanto tempo Paulo terá que aplicar um certo capital à taxa de 8% ao ano, para que este capital produza juros iguais a três quartos do seu valor?a) 9 anos, 4 meses e 15 dias b) 9 anos, 6 meses e 8 dias c) 8 anos, 3 meses e 22 dias d) 8 anos, 6 meses e 18 dias e) 10 anos e 3 meses

103. É necessário um certo número de pisos de 25 cm x 25 cm para cobrir o piso de uma cozinha com 5 m de comprimento por 4 m de largura. Cada caixa tem 20 pisos. Supondo que nenhum piso se quebrará durante o serviço, quantas caixas são necessárias para cobrir o piso da cozinha?a) 15 caixas b) 17 caixas c) 16 caixas d) 13 caixas e) 20 caixas

104. Efetuar a operação: 13 d 55 h 42 min + 8 d 34 h 39 mina) 260 d 18 h 25 min b) 232 d 17 h 20 min c) 272 d 10 h 20 mind) 242 d 18 h 21 min e) 240 d 12 h 10 min

105. Efetuar as adições: 1º) 12,1 + 0,0039 + 1,98 2º) 432,391 + 0,01 + 8 + 22,39 a) 1º) 09,0839; 2º) 782,791 b) 1º) 14,0839; 2º) 462,791c) 1º) 17,0839; 2º) 462,656 d) 1º) 10,0839; 2º) 442,791

106. Efetuar as multiplicações 1º) 4,31 x 0,012 2º) 1,2 x 0,021 x 4 a) 1º) 0,0572; 2º) 0,1008; b) 1º) 1,0572; 2º) 0,2008;c) 1º) 0,0580; 2º) 0,3008; d) 1º) 3,0572; 2º) 0,1108;

107. Efetuar as subtrações: 1º) 6,03 - 2,9456 2º) 1 - 0,34781 a) 1º) 2,0844; 2º) 1,65219; b) 1º) 3,0844; 2º) 0,65219;c) 1º) 3,0444; 2º) 3,65219; d) 1º) 1,0744; 2º) 3,65679;

108. Eliane tinha um certo número de livros. Emprestou 1/3. Recebeu 120 exemplares e ficou com o dobro do que possuía antes. Quantos livros possuía inicialmente?a) 40 b) 100 c) 50 d) 80 e) 90

109. Em 1985, Pedro tinha o dobro da sua idade em 1953. Em que ano nasceu Pedro ?a) 1921 b) 1927 c) 1931 d) 1933 e) 1934

110. Em 1985, Pedro tinha o dobro da sua idade em 1953. Em que ano nasceu Pedro ?a) 1921 b) 1927 c) 1931 d) 1933 e) 1934

111. Em 3 dias, 72 000 bombons são embalados, usando-se 2 máquinas embaladoras funcionando 8 horas por dia. Se a fábrica usar 3 máquinas iguais às primeiras, funcionando 6 horas por dia, em quantos dias serão embalados 108 000 bombons?a) 3 b) 3,5 c) 4 d) 4,5 e) 5

112. Em certa escola há 70 professores, contando-se aí homens e mulheres. Se a metade do número de mulheres é igual ao triplo do de homens, quantos são os homens?a) 10 homens e 50 mulheres b) 13 homens e 65 mulheresc) 12 homens e 60 mulheres d) 10 homens e 60 mulheres

113. Em certo jogo de futebol uma entrada para arquibancada custava R$ 1,00 e para cadeira numerada custava R$ 3,00. O jogo foi visto por 1575 pessoas e deu renda de R$ 2695,00. Quantas pessoas usaram a arquibancada?a) 1 015 pessoas b) 1 030 pessoas c) 1 035 pessoas d) 1 040 pessoas

114. Em certo trimestre as cadernetas de poupança rederam 2,1% de correção monetária. Paulo deixou R$ 1000,00 depositados durante três meses. Quanto tinha no fim do trimestre.a) 1.021 reais b) 1.025 reais c) 1.020 reaisd) 1.019 reais e) 1.022 reais

115. Em um colégio 38% dos alunos são meninos e as meninas são 155. Quantos alunos têm esse colégio?a) 220 alunos b) 240 alunos c) 210 alunos d) 205 alunos e) 190 alunos

116. Em um colégio, 1400 alunos estudam no período da manhã. Esse número representa 56% do número de


alunos que estudam no colégio. Quantos alunos estudam ao todo nesse colégio?a) 2.800 b) 2.500 c) 3.200 d) 2.900 e) 3.500

117. Em um combate morrem 2/9 de um exército, em novo combate morrem mais 1/7 do que restou e ainda sobram 30.000 homens. Quantos soldados estavam lutando?a) 39.000 b) 40.000 c) 43.000 d) 45.000 e) 47.000

118. Em um jogo de basquete, um jogador cobrou 20 lances livres, dos quais acertou 65%. Quantos lances livres acertou?a) 9 b) 10 c) 12 d) 13 e) 17

119. Em um treino de basquete, um jogador ganha 5 pontos por cada cesta que acerta e perde 3 pontos por cada cesta que erra. Em 10 tentativas, um jogador obteve 26 pontos. Logo, o número de cestas que ele acertou foi:a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

120. Em uma agência bancária trabalham 40 homens e 25 mulheres, Se, do total de homens, 80% não são fumantes e, do total de mulheres, 12% são fumantes, então o número de funcionários dessa agência que são homens ou fumantes é:a) 43 b) 42 c) 45 d) 49 e) 48

121. Em uma Assembléia de 25 petroleiros, em que quatro deles são mulheres, a quantidade de comissões distintas, de três membros cada, que podem ser formadas com pelo menos uma mulher é igual a:a) 900 b) 970 c) 1.330 d) 1.500 e) 2.300

122. Em uma cesta há laranjas e limões, sendo o número de limões os 3/4 do número de laranjas, tirando-se 5 laranjas, ficam na cesta tantas laranjas quanto limões. Quantas laranjas e quantos limões há na cesta?a) 19 e 18 b) 21 e 15 c) 22 e 25 d) 20 e 15

123. Em uma classe existem menos de 35 alunos. Se o professor de Educação Física, resolve formar grupos de 6 em 6 , ou de 10 em 10, ou ainda de 15 em 15 anos, sobre sempre um aluno. O número de alunos da classe é:a) 33 b) 31 c) 28 d) 26 e) 24

124. Em uma fábrica 28% dos operários são mulheres, e os homens são 216. Quantos são no total os operários dessa fábrica?a) 200 b) 450 c) 500 d) 800 e) 300

125. Em uma festa, formou-se uma enorme mesa retangular, justapondo-se, em fila, várias mesinhas quadradas de 4 lugares, o que permitiu alojar 44 convidados. Com o dobro do número de mesinhas, haveria lugar para até quantos convidados ?a) 80 b) 82 c) 84 d) 86 e) 88

126. Em uma padaria compra-se 1 bisnaga e 1 litro de leite por R$ 1,50 e 2 bisnagas e 3 litros de leite por R$ 3,90. Então, 2 bisnagas e 1 litro de leite custarão: a) R$ 2,10; b) R$ 2,20; c) R$ 2,30; d) R$ 2,40; e) R$ 2,50.

127. Em uma turma que se submeteu a exames, 12 candidatos foram reprovados, ou seja, 15%. Quantos fizeram os exames?a) 50 b) 60 c) 70 d) 80

128. Escrever a razão 3/8 na forma de porcentagem .a) 37,5 b) 30,5 c) 47,5 d) 39,6 e) 27,4

129. Eu tenho 37 anos e minha irmão tem 7. Daqui a quantos anos minha idade será o triplo da de minha irmã?a) 15 anos b) 5 anos c) 11 anos d) 8 anos e) 21 anos

130. Exprimir 51% na forma decimal.a) 0,51 b) 0,051 c) 51 d) 0,0051 e) 0,510

131. Exprimir quantos meses e dias contém a fração 5/8 do ano.


a) 7 me e 20 d b) 6 me e 10 d c) 10 me e 20 d d) 8 me e 15 de) 9 me e 20 d

132. Gastei 2/7 do meu dinheiro em frutas, 1/5 em mantimentos, 3/7 e, roupas e voltei com R$90,00. Quanto possuía?a) R$1.050,00 b) R$1.090,00 c) R$1.100,00d) R$1.000,00 e) R$1.150,00

133. Hoje, A e B estão de folga do trabalho. Sabendo-se que A tem folga de 6 em 6 dias e B, de 4 em 4 dias e que a folga dos dois coincide sempre a cada x dias, pode-se concluir que o valor de x é:a) 4 b) 6 c) 10 d) 12 e) 24

134. Iza tem hoje 14 anos e Márcia 4 anos. Daqui a quantos anos a idade de Iza será o dobro da idade de Márcia?a) 4 anos b) 6 anos c) 7 anos d) 8 anos

135. João e Maria acertaram seus relógios às 14 horas do dia 7 de março. O relógio de João adianta 20 s por dia e o de Maria atrasa 16 s por dia. Dias depois, João e Maria se encontraram e notaram uma diferença de 4 minutos e 30 segundos entre os horários que seus relógios marcavam. Em que dia e hora eles se encontraram?a) Em 12/03 à meia noite. b) Em 13/03 ao meio dia. c) Em 14/03 às 14 h.d) Em 14/03 às 22 h. e) Em 15/03 às 2 h.

136. João gasta 1/3 do seu salário no aluguel do apartamento onde mora e 2/5 do que lhe sobra em alimentação, ficando com R$ 480,00 para as demais despesas. Portanto, o salário de João é igual a: a) R$ 1.200,00 b) R$ 1.500,00 c) R$ 1.800,00d) R$ 2.100,00 e) R$ 2.400,00

137. João vendeu um fogão com prejuízo de 10% sobre o preço de venda. Admitindo-se que ele tenha comprado o produto por R$ 264.000, o preço de venda foi de:a) R$ 242.000 b) R$ 245.000 c) R$ 238.000 d) R$ 240.000 e) R$ 250.000

138. Joaquim emprestou para o seu amigo um capital de R$ 400,00, cobrando juro simples, à taxa de 5% ao mês. O amigo de Joaquim, após 4 meses, pagou-lhe a dívida no valor de:a) R$ 440,00 b) R$ 450,00 c) R$ 460,00d) R$ 470,00 e) R$ 480,00

139. José vai receber os R$ 10.000,00 da venda de seu carro em duas parcelas de R$ 5.000,00, sendo a primeira dentro de 30 dias e a segunda, dentro de 60 dias. Considerando uma taxa de desconto de 2% ao mês, o valor atual, em reais, que José deveria receber hoje, com a certeza de estar recebendo o mesmo valor que irá receber no parcelamento, é de:a) 9.739,65 b) 9.729,65 c) 9.709,65 d) 9.719,65 e) 9.749,65

140. José vai receber os R$ 10.000,00 da venda de seu carro em duas parcelas de R$ 5.000,00, sendo a primeira dentro de 30 dias e a segunda, dentro de 60 dias. Considerando uma taxa de desconto de 2% ao mês, o valor atual, em reais, que José deveria receber hoje, com a certeza de estar recebendo o mesmo valor que irá receber no parcelamento, é de:a) 9.709,65 b) 9.719,65 c) 9.729,65 d) 9.739,65 e) 9.749,65

141. Junior pagou R$ 4,20 por 6 kg de feijão. Quanto pagará por 8,5 kg?a) R$ 4,50 b) R$ 5,95 c) R$ 5,90 d) R$ 6,20 e) R$ 6,10

142. Máquina produz 2/6 metros em 3/11 do minuto. Quantos metros produzirá em 9 minutos?a) 140m b) 120m c) 100 m d) 11m e) 13m

143. Meio litro de suco de laranja é vendido por R$ 1,20, enquanto 0,25 litro de suco de tangerina custa R$ 0,70. A diferença entre os preços de um litro de cada tipo de suco, em reais, é de:a) 0,20 b) 0,40 c) 0,50 d) 0,70 e) 0,80

144. Na cidade de Coimbra 6% dos habitantes são analfabetos. Os habitantes que sabem ler são 14 100 pessoas. Quantos indivíduos moram nesta cidade?


a) 12.000 b) 13.000 c) 18.000 d) 17.000 e) 15.000

145. Na compra de um objeto, obtive um desconto de 15%. Paguei, então, R$ 7.650,00 pelo objeto. Nessas condições qual era o preço original desse objeto?a) 9.000 b) 9.900 c) 10.000 d) 10.500 e) 10.700

146. Na venda de um certo produto, um vendedor consegue um lucro de 20% sobre o preço de custo. Portanto, a fração equivalente à razão entre o preço de custo e o preço de venda é: a) 1/5; b) 2/5; c) 2/3; d) 3/4; e) 5/6.

147. Naira teve um reajuste salarial de 41%, passando a ganhar R$ 4 089,00. Qual era o salário antes do reajuste?a) 1.850 reais b) 2.700 reais c) 3.100 reais d) 2.900 reais e) 2.750 reais

148. Nas receitas culinárias é comum aparecer "1/3 de xícara de chá". Sabendo-se que essa medida corresponde a 80 gramas de certa farinha, 3/4 de xícara de chá corresponderão a uma quantidade de farinha igual a:a) 180 gramas b) 170 gramas c) 160 gramas d) 150 gramas e) 140 gramas

149. Nélson é 21 anos mais velho que seu filho e 42 anos mais velho que seu neto. A soma de sua idade com a do seu neto é de 74 anos. Qual a idade do filho?a) 35 b) 37 c) 38 d) 40

150. Nilson decidiu compra um sítio e vai dar como entrada 25% do preço total, que corresponde a R$ 25 000,00. Qual o preço do sítio.a) 150,00 b) 125,00 c) 95,00 d) 100,00 e) 98,00

151. No fim de quanto tempo um capital qualquer aplicado a 5% triplica de valor?a) 39 unidades de tempo b) 40 unidades de tempoc) 49 unidades de tempo d) 55 unidades de tempo

152. Num almoxarifado podemos armazenar 1.000 caixas de 90 cm de comprimento , 40 cm de largura e 30 cm de altura. Quantas caixas de 1 m de comprimento, 50 cm de largura e 60 cm de altura podemos armazenar nesse mesmo almoxarifado ?a) 277 b) 36.000 c) 540 d) 2.770 e) 360

153. Num cassino, são disputadas dez rodadas em uma noite. Na 1ª. rodada, o valor do prêmio é R$2000,00. Caso os valores dos prêmios aumentem segundo uma P.G., qual é o valor do prêmio na última rodada, se na 5ª. rodada ele for de R$10 125,00?a) R$ 75 786,72 b) R$ 76 886,72 c) R$ 73 776,72 d) R$ 79 446,62

154. Num certo dia, 87, 5% dos funcionários de uma Agencia Bancária compareceram ao serviço, enquanto que quatro faltaram. Supondo que não houve contratações e nem demissões, o número de funcionários da Agência é:a) 21 b) 35 c) 43 d) 45 e) 32

155. Num ginásio há ao todo 540 alunos distribuídos em classes. A cada classe de 45 meninos corresponde uma classe de 30 meninas. Calcular o número de meninas do ginásio.a) 216 b) 210 c) 220 d) 215 e) 218

156. Num pacote há 51 balas e pirulitos. O número de balas é igual ao número de pirulitos, aumentado de 7 unidades. Determine o número da balas.a) 38 b) 28 c) 30 d) 29 e) 25

157. Numa certa fábrica um operário trabalhou 2 a 10 me 15 d e outro durante 11 me 29 d. Qual é a diferença entre os tempos de trabalho dos dois operários?a) 2 a 10me 10d b) 1 a 2me 14d c) 1 a 7me 14d d) 2 a 9me 10d e) 1 a 10me 14d

158. Numa cidade, 3100 jovens alistaram-se para o serviço militar. A junta militar da cidade convocou, para exame médico, 3 jovens no primeiro dia, 6 no 2º. dia, 12 no 3º., e assim por diante. Quantos jovens ainda devem ser convocados para o exame após o 10º. dia de convocações?


a) 31 b) 34 c) 36 d) 37

159. Numa fazenda existem patos e porcos, num total de 22 cabeças e 58 pés. Determine o números de patos que existem nesta fazenda.a) 13 patos b) 15 patos c) 16 patos d) 18 patos

160. Numa loja há um desconto de 15% no valor de qualquer prestação paga com 15 dias de antecedência do seu vencimento. Nestas condições, uma prestação no valor de R$ 52.000,00, com vencimento em 30/01/92, se for paga em 15/01/92, poderá ser paga com a quantia de:a) R$ 38.800,00 b) R$ 41.500,00 c) R$ 42.800,00d) R$ 44.200,00 e) R$ 45.500,00

161. Numa pista circular de autorama, um carrinho vermelho dá uma volta a cada 72 segundos e um carrinho azul dá uma volta a cada 80 segundos. Se os dois carrinhos partiram juntos, quantas voltas terá dado o mais lento até o momento em que ambos voltarão a estar lado a lado no ponto de partida?a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10

162. Numa sacola estão bolas numeradas de 1 a 20. Qual a chance em percentagem de uma pessoa tirar uma bola numerada com um número primo?a) 15% b) 30% c) 40% d) 55% e) 65%

163. Numa sacola há tomates e batatas. O número de tomates é igual ao número de batatas, diminuído de 6 unidades. Qual é o número de tomates?a) 12 b) 15 c) 14 d) 17 e) 11

164. Numa seção de uma repartição pública trabalham 20 atendentes judiciários a menos que o número de auxiliares judiciários. Se o número de auxiliares corresponde a 3/4 do número total de funcionários dessa seção, o número de atendentes é ?a) 10 b) 15 c) 18 d) 20 e) 22

165. Numa seção do TJ trabalham 32 funcionários dando atendimento ao público. A razão entre o número de homens e o número de mulheres, nessa ordem, é de 3 para 5. É correto afirmar que, nessa seção, o atendimento é dado por ?a) 20 homens e 12 mulheres b) 18 homens e 14 mulheres c) 16 homens e 16 mulheres d) 12 homens e 20 mulherese) 10 homens e 22 mulheres

166. O capital de R$ 6.000,00 empregado à 9% ao ano, produziu R$ 810,00 de juro. Durante quanto tempo esteve empregado ?a) 1 ano b) 1 ano e 3 meses c) 1 ano e 6 mesesd) 1 ano e 8 meses e) 1 ano e 2 meses

167. O capital de R$ 900,00 empregado a 0,8% de juro ao mês, produziu R$ 127,00 de juro. Durante quanto tempo esteve empregado ?a) 1 ano 3 meses e 2 dias b) 1 ano 4 meses e 6 diasc) 1 ano 6 meses d) 1 ano 4 meses e 20 diase) 1 ano 5 meses e 20 dias

168. O faxineiro A limpa certo salão em 4 horas. O faxineiro B faz o mesmo serviço em 3 horas. Se A e B trabalharem juntos, em quanto tempo, aproximadamente, espera-se que o serviço seja feito?a) 2 horas e 7 minutos.b) 2 horas e 5 minutos.c) 1 hora e 57 minutos.d) 1 hora e 43 minutos.e) 1 hora e 36 minutos.

169. O IBGE contratou um certo número de entrevistados para realizar o recenseamento em uma cidade. Se cada um deles recenseasse 100 residências, 60 delas não seriam visitadas. Como, no entanto, todas as residências foram visitadas e cada recenseador visitou 102, quantas residências tem a cidade?a) 3060 b) 30 c) 2860 d) 3600 e) 2060

170. O número de múltiplos de 11 entre 50 e 200 é:


a) 13 b) 14 c) 15 d) 16

171. O operário A pode fazer um trabalho em 15 dias e o operário B, que é mais eficiente pode executar o mesmo trabalho em 10 dias. Os dois trabalhando juntos poderão realizar o mesmo trabalho, em quantos dias?a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

172) Certa fortuna foi dividida em partes iguais entre 2 irmãos. Atualmente, a parte do 1º esta aumentada 2/7 e a do 2º diminuída de 3/5 do valor primitivo. Sabendo-se que o 1º tem R$ 119,04 mais do que o 29, calcular a fortuna de cada um, atualmente:a) R$ 49,20 e R$ 25,40 b) R$ 37,80 e R$ 92,40 c) R$ 35,20 e R$ 21,40d) R$ 53,76 e R$ 172,80 e) R$ 17,00 e R$ 12,73

173) Paulo e Antônio tem juntos R$ 123,00 Paulo gastou 2/5 e Antônio 3/7 do que possuíam, ficando com quantias iguais. Quanto possuía cada um?a) Paulo R$ 60,00 e Antônio R$ 63,00 b) Paulo R$ 23,00 e Antônio R$ 100,00c) Paulo R$ 43,00 e Antônio R$ 80,00 d) Paulo R$ 32,00 e Antônio R$ 96,00e) Paulo R$ 32,00 e Antônio R$ 81,00

174) Certa quantia foi distribuída entre duas pessoas em partes proporcionais a 3 e 4; a segunda recebeu R$ 2,00 a mais que a primeira. Qual a quantia distribuída? Qual a parte de cada pessoa?a) R$ 14,00 R$ 18,00 R$ 6,00 b) R$ 14,00 R$ 6,00 R$ 8,00 c) R$ 2,00 R$ 8,00 R$ 16,00d) R$ 2,00 R$ 8,00 R$ 1,20 e) R$ 14,00 R$ 5,00 R$ 9,00

175) Dividindo-se uma quantia em partes proporcionais a 6, 9, 12 e sabendo-se que o quíntuplo da 1ª parte mais o quádruplo da 2ª e mais o triplo da 3ª parte vale R$ 306,00 determine as partes:a) R$ 104,00 R$ 102,00 R$ 100,00 b) R$ 106,00 R$ 100,00 R$ 100,00c) R$ 18,00 R$ 27,00 R$ 36,00 d) R$ 25,00 R$ 20,00 R$ 36,00e) R$ 25,00 R$ 27,00 R$ 29,00

176) Um capital C foi distribuído em partes diretamente proporcionais a 5, 4 e 7, sendo a terceira parte igual a R$ 22,40. O valor de C, em R$, é:a) R$12,80; b) R$16,00; c) R$22,40; d) R$51,20; d) R$73,60

177) Qual a razão entre os números 1,2 e 2 1/5?a) 6 /2 b) 2/6 c) 5/5 d) 6/11 e) 6/6

178) Um ônibus, com a velocidade média de 60 km por hora, parte as 6 horas e chega ao seu destino as 16 horas e 30 minutos do mesmo dia. Se sua velocidade média fosse 90 km por hora, a que horas teria chegado ao mesmo destino?a) 13 h b) 19 h c) 15 h d) 16 h e) 14 h

179) O lucro de R$ 180,00 de uma empresa deve ser repartido proporcionalmente entre seus três sócios. O capital com que entrou o 2º sócio é o dobro do capital do 1º e o 3º sócio entrou com 3/4 do capital do 2º sócio. Nestas condições, o sócio que entrou com o menor capital recebeu:a) R$ 60,00 b) R$ 40,00 c) R$ 35,00 d) R$ 20,00 e) R$ 15,00

180) Duas pessoas fundaram uma firma entrando com os capitais em partes iguais. o 1º sócio trabalhou das 8h as 12h e o 2º sócio das 14h às 7h e 30min. No fim do mês, houve um lucro de ...... R$ 225,00. Nestas condições:a) O 1º sócio devera receber R$ 6,00 a mais que o 2ºb) O 1º sócio deverá receber R$ 12,00 a mais que o 2ºc) O 1º sócio devera receber R$ 15,00 a mais que o 2ºd) O 1º sócio deverá receber R$ 12,50 a mais que o 2º


e) os dois sócios deverão receber quantias iguais

181) O valor de x na proporção:x - 2 = 5 é um númerox - 4

a) inteiro negativob) inteiro positivoc) positivo menor que 1.d) negativo é maior que -1.e) nulo.

182) Dois sócios, ao constituírem uma sociedade, entraram respectivamente com os capitais de R$ 56,40 e R$ 43,501. Na divisão do lucro, o primeiro recebeu mais R$ 516.00 do que o segundo o lucro de cada sócio foi de:a) R$ 2.147,00 e R$ 1.631,00 b) R$ 2.538,00 e R$ 2.022,00 c) R$ 2.236,00 e R$ 1.740,00d) R$ 2.452,00 e R$ 1.936,00 e) R$ 2.604,00 e R$ 2.088,00

183) Márcia comprou um automóvel por R$ 360,00. Revendeu-o com um lucro de 20%. Quanto ganhou?a) R$ 70,00 b) R$ 72,00 c) R$ 74,00 d) R$ 82,00

184) Antônio vendeu sua maquina fotográfica com um prejuízo de 17%. Quanto perdeu se a maquina foi comprada por R$ 11,00?a) R$ 1,87 b) R$ 1,78 c) R$ 1,58 d) R$ 1,95

185) Alcides faz um trabalho em 8 dias e Teodoro faz o mesmo trabalho em 4 dias. Trabalhando juntos, em quantos dias farão esse serviço?a) 2 2/3 dias b) 3 dias c) 2 3/2 dias d) 5 dias

186) Quanto é 18% de 400?a) 82 b) 72 c) 76 d) 94

187) Quanto é 150% de 350:a) 520 b) 530 c) 540 d) 525

188) Um vendedor pretende ganhar 14% sobre um artigo, que lhe custou R$ 3.000,00. Por quanto deve vendê-lo?a) R$ 4.320,00 b) R$ 3.420,00 c) R$ 3.240,00 d) R$ 4.600,00

189) Um batalhão de 120 soldados perdeu 30 em combate nas ilhas Malvinas. Quantos % perdeu?a) 20% b) 30% c) 22% d) 25%

190) A mandioca da 5% de seu peso em álcool. Quantos kg de álcool podemos extrair de 350 kg de mandioca?a) 17 kg b) 18 kg c) 17,5 kg d) 18,5 kg

191) 200 dólares, a R$ 15,70 por dólar, eqüivalem a:a) R$ 3.140,00 b) R$ 1.570,00 c) R$ 314.000,00 d) R$ 414,00

192) Calcular os juros de R$ 25,00 a 80% a.a., em um ano.a) R$ 20,00 b) R$ 80,00 c) R$ 25,00 d)R$ 15,00


193) Calcular os juros de R$ 6,00 a 24% a.a. em 2 anos e 4 meses.a) R$ 3,36 b) R$ 3,34 c) R$ 3,63 d) R$ 4,76

194) Recebi um financiamento de R$ 50,00 a 12% a.a., durante 4 meses e 20 dias. Quanto pagarei de juros?a) R$ 2,80 b) R$ 3,00 c) R$ 2,70 d) R$ 4,00

195) Um parafuso penetra 3,2mm a cada 4 voltas. Quantas voltas deverá dar para penetrar 16mm? a) 20 voltas b) 18 voltas c) 22 voltas d) 16 voltas e) n.d.a.

196) Sabe-se que 8 kg de café cru dão 6 kg de café torrado. Quantos kg de café cru devem ser levados ao forno para obtermos 27 kg de café torrado?a) 36 b) 40 c) 38 d) 26 e) n.d.a.

197) 40 pintores pintam um edifício em 10 dias. Querendo fazer o mesmo serviço em 8 dias, quantos pintores seriam necessários?a) 50 b) 48 c) 60 d) 62 e) n.d.a.

198) 8 máquinas produzem 600 peças de metal por hora. Quantas máquinas idênticas às primeiras são necessárias para produzir 1 500 peças de metal por hora?a) 30 b) 25 c) 40 d) 20 e) n.d.a.

199) Com velocidade de 60 km/h, um automóvel leva 50 minutos para ir de urna cidade X a urna cidade Y. Se a sua velocidade fosse de 75 km/h, quanto tempo levada para cobrir a mesma distância?a) 45 min b) 38 min c) 40 min d) 42 min e) n.d.a.

200) Uma roda de automóvel dá 2 500 voltas em 10 minutos. Quantas voltas dará em 12 minutos?a) 3280 b) 2967 c) 3020 d) 3000 e) n.d.a.

201) Para paginar um livro com 30 linhas em cada página, são necessárias 420 páginas. Quantas páginas (iguais às anteriores) de 40 linhas (iguais às anteriores) cada uma seriam necessárias para paginar o mesmo livro?a) 315 b) 321 c) 347 d) 198 e) n.d.a.

202) Uma torneira despeja 40 litros de água em 5 minutos. Em quanto tempo esta torneira encheria um reservatório de 2 m3 de capacidade?a) 230min b) 220 min c) 250 min d) 242 min e) n.d.a.

203) Para construir urna quadra de basquete, 30 operários levam 40 dias. Quantos dias levariam 25 operários, de mesma capacidade que os primeiros, para construir urna quadra idêntica?a) 52 dias b) 46 c) 48 d) 45 e) n.d.a.

204) Com a velocidade de 80 km/h, um automóvel leva 1 hora e meia para percorrer certa distância. Se a sua velocidade fosse de 72 km/h, qual o tempo que seria gasto para cobrir a mesma distância?a) 100 min b) 98 min c) 102 min d) 110 min e) n.d.a.

205) Um muro deverá ter 40 m de comprimento. Em três dias, foram construídos 12m do muro. Supondo que o trabalho continue a ser feito no mesmo ritmo, em quantos dias será construído o restante do muro?a) 10 dias b) 7 dias c) 8 dias d) 6 dias e) n.d.a.

206) Com certa quantidade de arame, constrói-se uma tela de 20 m de comprimento por 3 m de largura. Diminuindo-se a largura em 1,80 m, qual seria o comprimento de outra tela fabricada com a mesma quantidade de arame?a) 48 m b) 50m c) 52 m d) 54 m e) n.d.a.

207) Para azulejar uma parede de 15 m2 de área foram usados 300 azulejos. Quantos azulejos iguais a esses seriam usados para azulejar uma parede retangular de 8 m por 3 m?a) 479 b) 500 c) 566 d) 480 e) n.d.a.

208) A velocidade de um automóvel é de 72 km/h. Qual seria a sua velocidade em m/s?a) 22 b) 18 c) 32 d) 20 e) n.d.a.


209) R$ 6.400,00 representam quantos % de R$ 320.000,00?a) 3 b) 2 c) 4 d) 5 e) n.d.a.

210) 150 alunos representam quantos % de 2 000 alunos?a) 7,5 b) 6,7 c) 7,1 d) 8,1 e) n.d.a.

211) Uma prova de Matemática tem 50 questões. Um aluno acertou 40 dessas questões. Qual foi a sua taxa de acertos?a) 90% b) 88% c) 77% d) 80% e) n.d.a.

212) A 6ª série C teve, durante todo o ano, 50 aulas de Educação Física. Um aluno faltou a 8 aulas. Qual foi a taxa de faltas desse aluno?a) 12 b) 18 c) 16 d) 14 e) n.d.a.

213) O preço de custo de um objeto é R$ 1 750,00. Sendo esse objeto vendido a R$ 2 499,00, qual a taxa de lucro sobre o preço de custo?a) 42,8 b) 43,7 c) 39,8 d) 44,0 e) n.d.a.

214) Um quadro de futebol disputa 16 partidas, vencendo 10 e empatando 2. Pede-se : 1º) a taxa de vitórias em relação ao número de partidas disputadas; 2º) a taxa de empates em relação ao número de partidas disputadas.a) 62,5 e 12,5 b) 61,0 e 11,9 c) 63,1 e 13,3 d) 62,1 e 11,9 e) n.d.a.

215) Em 1980, a população de uma cidade era de 60 000 habitantes. Em 1981, a população da mesma cidade é de 61920 habitantes. Qual foi a taxa de crescimento populacional em relação à de 1980?a) 4,1 b) 3,1 c) 3,2 d) 1,9 e) n.d.a.

216) Dos 15.000 candidatos que inscreveram-se para o vestibular na PUC.SP. Foram aprovados 9600. Qual a taxa de aprovação?a) 67 b) 71 c) 66 d) 64 e) n.d.a.

217) Em dezembro de 1996, o preço da gasolina passou de R$ 0,45 para R$ 0,51 o litro. De quanto % foi o aumento?a) 13,3 b) 12,9 c) 11,8 d) 14,1 e) n.d.a.

218) Na compra de uma bicicleta, cujo preço é R$ 180,00, dá-se um desconto de R$ 27,00. De quanto % é o desconto dado?a) 17 b) 15 c) 13 d) 11 e) n.d.a.

219) $ 300,00 representam 24% de uma quantia x. Qual é o valor de x?a) 1320 b) 1250 c) 1145 d) 1232 e) n.d.a.

220) Numa prova de Matemática, um aluno acertou 36 questões, o que corresponde a 72% do número das questões. Quantas questões havia na prova?a) 44 b) 48 c) 50 d) 53 e) n.d.a.

221) Num colégio X, 520 alunos estudam no período da manhã, o que corresponde a 65% do número total de alunos do colégio. Quantos alunos tem esse colégio?a) 861 b) 982 c) 870 d) 800 e) n.d.a.

222) Uma peça de ouro foi vendida com um lucro de $ 300,00. Sabe-se que essa quantia representa 25% do preço de custo da peça. Qual o preço de custo e por quanto foi vendida essa peça?a) 1200 e 1500 b) 1220 e 1488 c) 1180 e 1520 d) 1190 e 1980 e) n.d.a.

223) Uma salina produz 18% de sal em volume de água que é levada a evaporar. Para produzir 117 m3 de sal, quantos m3 de água são necessários?a) 750 b) 587 c) 710 d) 650 e) n.d.a.

224) Na 6ª série B, 6 alunos foram reprovados, o que representa 15% do número de alunos da classe. Quantos alunos há na 6ª série B?a) 38 b) 42 c) 40 d) 45 e) n.d.a.


225) Na compra a prazo de um aparelho, há um acréscimo de R$ 150,00, o que corresponde a 30% do preço a vista do aparelho, Qual é o preço a vista do aparelho, e quanto vou pagar?a) 500 e 640 b) 510 e 630 c) 530 e 678 d) 500 e 650 e) n.d.a.

226) Um viajante vai da cidade X à cidade Z em um trem que faz 60 km/h e volta em outro cuja velocidade é de 96 km/h, Sabendo-se que a viagem de ida e volta durou, ao todo, 9 horas e 58 minutos, pergunta-se: qual a distância entre as duas cidades?a) 368 b) 388 c) 402 d) 379 e) 354

227) Certa máquina, trabalhando 12 horas por dia, consome, em 30 dias, 9 780 quilos de carvão. Qual o custo do carvão gasto por essa máquina durante 90 dias, sabendo-se que nesse período trabalhou 12 horas e 30 minutos por dia e que cada tonelada de carvão custou R$ 800 00?a) 24.450,00 b) 25.000,00 c) 23.450,00 d) 22.980,00 e) 24.680,00

228) Se um homem caminha à razão de 4 quilômetros e 500 metros por hora, em quantas horas, minutos e segundos, percorrerá a distância de 14 quilômetros e 415 metros?a) 3h 12min 12s b) 3h 11min 19s c) 2h 59min 2s d) 3h 21min 5s e) n.d.a.

229) Sabendo que 3/4 de certa obra foram feitos por 33 pessoas em 1 ano de trabalho, determinar quantas pessoas seriam necessárias para fazer a obra toda em metade do tempo.a) 91 b) 88 c) 79 d) 85 e) n.d.a.

230) Sabendo que três operários, trabalhando 7 horas por dia, durante 2 dias, fizeram 126 metros de certa obra, calcular quantos metros da mesma obra farão dois operários, trabalhando 5 dias a 3 horas por dia.a) 88 b) 92 c) 98 d) 95 e) 90

231) Trabalhando 4 horas diárias, durante 18 dias, 64 operários abriram uma vala de 36 metros de comprimento, em terreno de dureza 3. Determinar o comprimento de outra vala, aberta por 56 operários, que trabalharam 5 horas por dia, durante 16 dias, em terreno de dureza 2.a) 61,4 b) 49,8 c) 52,5 d) 49,1 e) n.d.a.

232) 27 operários, trabalhando 8 horas diárias durante 15 dias, fizeram um muro de 20 metros de comprimento, 1 metro e 80 centímetros de altura e 30 centímetros de espessura. Quantos operários seriam necessários para a construção de outro muro de 30 metros de comprimento, 2 metros de altura e 27 centímetros de espessura, se eles trabalhassem 9 horas por dia durante 18 dias?a) 33 b) 37 c) 29 d) 27 e) 30

233) Vinte e cinco tecelões, trabalhando 7 horas por dia, durante 18 dias, fizeram 750 metros de certo tecido. Quantos tecelões, trabalhando 9 horas por dia, durante 14 dias, seriam necessários para fazer 630 metros do mesmo tecido?a) 23 b) 24 c) 21 d) 17 e) 20

GABARITO:

1-E 2-C 3-D 4-A 5-E 6-A 7-D 8-E 9-C 10-D11-A 12-B 13-A 14-E 15-B 16-B 17-D 18-B 19-F 20-C21-E 22-B 23-E 24-C 25-C 26-A 27-B 28-B 29-B 30-E31-D 32-E 33-C 34-C 35-C 36-E 37-D 38-E 39-A 40-A41-B 42-C 43-A 44-A 45-D 46-A 47-E 48-B 49-D 50-A51-D 52-E 53-C 54-E 55-D 56-C 57-D 58-B 59-B 60-D61-E 62-D 63-E 64-E 65-A 66-E 67-B 68-C 69-D 70-E71-C 72-A 73-E 74-A 75-E 76-B 77-D 78-D 79-C 80-D81-B 82-B 83-A 84-E 85-C 86-A 87-A 88-C 89-E 90-E91-D 92-A 93-E 94-A 95-C 96-A 97-C 98-C 99-B 100-B101-D 102-A 103-C 104-D 105-B 106-A 107-B 108-E 109-A 110-A111-C 112-D 113-A 114-A 115-C 116-B 117-D 118-D 119-E 120-A121-B 122-D 123-B 124-E 125-D 126-A 127-D 128-A 129-D 130-A131-A 132-A 133-D 134-B 135-E 136-A 137-D 138-E 139-C 140-A


141-B 142-D 143-B 144-E 145-A 146-E 147-D 148-A 149-B 150-D151-B 152-E 153-B 154-E 155-A 156-D 157-E 158-A 159-B 160-D161-D 162-D 163-C 164-A 165-D 166-C 167-E 168-D 169-A 170-B171-B 172-D 173-A 174-B 175-C 176-D 177-D 178-A 179-B 180-C181-C 182-C 183- B 184-A 185-A 186- B 187-D 188-B 189-D 190-C191-A 192-A 193-A 194- A 195-A 196-A 197–A 198-D 199-C 200-D201-A 202-C 203-C 204-A 205-B 206-B 207-D 208-D 209-B 210-A211-D 212-C 213-A 214-A 215-C 216-D 217-A 218-B 219-B 220-C221-D 222-A 223-D 224-C 225-D 226-A 227-A 228-A 229-B 230-E231-C 232-E 233-C *** *** *** *** *** *** ***

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