matemática -...

08Elizabete Alves de Freitas

C U R S O T É C N I C O E M S E G U R A N Ç A D O T R A B A L H O

Taxa de porcentagem e outros tópicos de matemática financeira

matemática

coordenadora da Produção dos materias Marta Maria Castanho Almeida Pernambuco

coordenador de edição Ary Sergio Braga Olinisky

coordenadora de Revisão Giovana Paiva de Oliveira

Design Gráfico Ivana Lima

Diagramação Ivana Lima José Antônio Bezerra Júnior Mariana Araújo de BritoVitor Gomes Pimentel

arte e ilustração Adauto HarleyCarolina CostaHeinkel Huguenin

Revisão tipográfica Adriana Rodrigues Gomes

Design instrucional Janio Gustavo Barbosa Luciane Almeida Mascarenhas de Andrade Jeremias Alves A. Silva Margareth Pereira Dias

Revisão de Linguagem Maria Aparecida da S. Fernandes Trindade

Revisão das Normas da aBNt Verônica Pinheiro da Silva

adaptação para o módulo matemático Joacy Guilherme de Almeida Ferreira Filho

Revisão técnica Rosilene Alves de Paiva

equipe sedis | universidade federal do rio grande do norte – ufrn

Projeto Gráfico

Secretaria de Educação a Distância – SEDIS

Governo Federal

ministério da educação

Você verá

por aqui...

Objetivo

�Matemática a08

Saber resolver situações que envolvam taxa de porcentagem, lucro ou prejuízo em operações com mercadorias e descontos ou acréscimos sobre preços de produtos, inclusive de forma sucessiva.

...um estudo que apresenta alguns tópicos abordados na Matemática Financeira.

Aqui você terá a oportunidade de estudar o que é taxa de porcentagem, como calcular a porcentagem de um valor dado, calcular qual a taxa de porcentagem correspondente à razão entre dois valores, solucionar problemas que envolvem lucro e prejuízo em operações com mercadorias, calcular descontos e acréscimos sobre preços de mercadorias, inclusive em situações que envolvem cálculo de preços com acréscimos sucessivos ou descontos sucessivos.

Todo o conteúdo é apresentado através de exemplos diversos e é intercalado com algumas atividades que propõem questões subjetivas. A lista de exercícios, no final da aula, apresenta questões objetivas para uma melhor fixação dos conteúdos.

Após a resolução de todas as atividades, você poderá verificar sua aprendizagem na seção “Auto-avaliação”.

Bons estudos!

EnsinoFundamental

Ensino Médio Ensino Superior Total

Feminino

Masculino

Total

�Matemática a08

Para começo de conversaAtente para a seguinte situação, criada para fins desta aula: em uma empresa que contrata 120 funcionários, observou-se:

Gráfico � – Escolaridade dos 120 funcionários da Empresa SAÚDE PERFEITA S.A., segundo o sexo.

exemplo �

�Matemática a08

Podemos afirmar que a razão entre o número de funcionários do sexo feminino e o total de funcionários é de 72 para 120, ou mesmo:72120

=72÷ 12120÷ 20

=610=6 · 1010 · 10

=60100

= 60% , ou seja, ‘setenta e dois para cento e

vinte’ é igual a ‘sessenta para cem’ ou ‘sessenta por cento’.

Significa dizer que a cada 100 funcionários, 60 são do sexo feminino. Essa idéia fica simplificada na taxa percentual 60%.

Na Empresa SAÚDE PERFEITA, outras porcentagens podem ser observadas, a partir dos dados apresentados no Gráfico 1. Mas antes de determinar essas porcentagens, que tal aprender um pouco sobre taxa de porcentagem?

taxa de porcentagemÉ comum, no nosso dia-a-dia, vermos expressões que indicam percentuais de acréscimos ou de descontos em preços, como as seguintes:

“Nessa liquidação, o cliente recebeu um desconto de vinte por cento em todas as mercadorias”, “o rendimento da caderneta de poupança em fevereiro foi de quase um por cento”, “a média de reajustes nos combustíveis foi de dois por cento” ou “seis por cento daquela comunidade já contraiu a virose”.

Essas expressões envolvem uma razão especial denominada porcentagem ou percentagem. A representação numérica de uma porcentagem é uma taxa percentual ou taxa de porcentagem.

12% é uma taxa de porcentagem (ou taxa percentual).

Uma taxa de porcentagem pode ser escrita como uma razão centesimal.

Razão centesimal é toda razão que tem o conseqüente 100.

exemplo �

exemplo �

�Matemática a08

Veja alguns exemplos de razões centesimais:

1100

,2100

,20100

,152100

e275100

.

Escrever a porcentagem 12% é escrever a razão centesimal 12100

ou escrever 0,12, que é seu valor equivalente na forma unitária.

Observe algumas taxas percentuais e como essas podem ser escritas na forma de razão centesimal, no exemplo a seguir:

Percentual Razão centesimal

0,01%0, 01100

ou1

10 000

2,5%2, 5100

ou25

1 000

5%5100

28%28100

147%147100

235,8%235, 8100

ou2 3581 000

2.000%2 000100

ou201

Calculamos uma porcentagem através de uma proporção na qual cada razão exibe uma relação entre dois valores, o primeiro representa a parte e o outro representa o todo. Em uma das razões essa relação é feita entre os valores absolutos e na outra razão essa relação é entre os valores percentuais, ou seja, uma das razões tem conseqüente igual a 100.

�Matemática a08

Ou Valor absoluto da parte valor percentual da parte

valor absoluto do todo valor percentual do todo= ainda, como o todo

corresponde a 100%, temos:

Quando precisamos calcular a porcentagem de uma quantidade é porque dispomos de três elementos conhecidos de uma proporção e pretendemos calcular o quarto elemento. Nesse cálculo, estamos lidando com um caso de regra de três, assunto já abordado em aulas anteriores. Veja o exemplo a seguir.

Valor absoluto da parte valor percentual da parte

valor absoluto do todo 100=

exemplo �

Pedro vendeu 20% de seus 150 carrinhos. Quantos carrinhos ele vendeu?

Para solucionar esse problema devemos substituir os valores conhecidos na seguinte proporção:

Ou seja,

Aplicando a propriedade fundamental das proporções, temos que:

100 ⋅ x = 150 ⋅ 20 ⇒ 100 ⋅ x = 3 000 ⇒ x = 3 000 ÷ 100 ⇒ x = 30

Pedro vendeu 30 carrinhos.

Valor absoluto da parte valor percentual da parte

valor absoluto do todo 100=

x

150=

20100

Para esse mesmo problema, podemos resolver de uma segunda maneira. Observe:

2ª. resolução do exemplo 4:

20% de 150 =20100

· 150 = 0,20 ⋅ 150 = 30 (carrinhos)

Isso se justifica, pois calcular uma porcentagem de uma quantidade é o mesmo que calcular uma razão de uma quantidade, que pode ser resolvido como na segunda resolução do exemplo 4.

Veja mais um exemplo:

�Praticando...

�Matemática a08

exemplo �

Em uma liquidação, uma camisa que custava R$ 32,00 foi vendida com 25% de desconto. De quanto foi a economia, em reais, nessa compra?

Temos que:

Aplicando a propriedade fundamental das proporções, temos:

100 ⋅ x = 32 ⋅ 25 ⇒ 100 ⋅ x = 800 ⇒ x = 800 ÷ 100 ⇒ x = 8

Nessa compra houve uma economia de R$ 8,00.

Que tal praticar um pouco resolvendo algumas atividades?

Valor absoluto da parte valor percentual da parte x 25valor absoluto do todo 100 32 100

= =⇒ =

�. Calcule as seguintes porcentagens:

a) 12% de 300 revistas. b) 25% de 1 200 kg.

c) 8% de 75 gols. d) 2% de R$ 250,00.

�. Uma pessoa devia R$ 2.800,00 e pagou 5% dessa dívida. Quanto falta pagar, em reais, para liquidar a sua dívida?

�. Um corretor imobiliário recebeu R$ 3.200,00 pela comissão de venda de um apartamento. Sabendo que ele cobra 5% de taxa de comissão, por quanto foi vendida a propriedade em questão?

�. Considerando os valores do Gráfico 1, responda ao que se pede a seguir.

Calcule, em relação ao número total de funcionários, as taxas de porcentagens

a) de funcionários do sexo feminino que apenas concluíram o ensino fundamental.

b) de funcionários do sexo masculino que apenas concluíram o ensino médio.

c) de funcionários do sexo feminino que concluíram o ensino superior.

Responda aqui

�Matemática a08

8Matemática a08

Lucro e prejuízo em operações com mercadoriasA idéia de porcentagem está muito presente em alguns tópicos de Matemática Financeira, como lucro e prejuízo em operações com mercadorias e em descontos e acréscimos.

Quando você compra uma mercadoria, paga por ela um determinado preço que é chamado de preço de custo, e quando vende uma mercadoria, estabelece para esse produto um valor correspondente ao produto, que é chamado de preço de venda.

O preço de custo de uma mercadoria é formado por todas as despesas que são geradas pela aquisição de matéria prima, pela fabricação (inclusive com custos das instalações), pela estocagem, pelo transporte e pela manutenção desse produto.

Custos de produção + estocagem

Custo de manutenção +

impostos

Custo de transporte

Preço de Custo+ + =

O preço de venda é o valor cobrado ao consumidor e que deve cobrir o custo direto da mercadoria/produto/serviço, as despesas variáveis, como impostos, comissões, etc., as despesas fixas proporcionais, ou seja, aluguel, água, luz, telefone, salários e outros custos. Esse preço de custo deve ainda prever algum lucro.

CUSTOS DIRETOS

DESPESAS VARIÁVEIS

(comissões + impostos + ...)

DESPESAS FIXAS PROPORCIONAIS

PREÇO DE VENDA

+ + =

A compra ou venda de uma mercadoria pode ser efetuada com lucro ou com prejuízo.

Quando o preço de venda é maior que o preço de custo, dizemos que a venda foi efetuada com lucro.

Quando o preço de venda é menor que o preço de custo, dizemos que houve prejuízo na operação de venda.

Preço de custoPreço de Venda

V – C = L< ⇒

Preço de custo Preço de Venda

C – V = P

< ⇒

�Matemática a08

A esse lucro (ou prejuízo podemos associar uma taxa, que aqui representaremos por i, que pode ser calculada utilizando como referência o preço de custo ou o preço de venda.

iCC=

x

100⇒ iC = x% de C ou

iLL=

y

100⇒ iL = y% de L

Observe que essa taxa pode ser apresentada na forma percentual ou unitária.

exemplo �

A taxa i = 10% (escrita na forma percentual) também pode ser apresentada como i = 0,10 (quando escrita na forma unitária).

A taxa i = 3% (escrita na forma percentual) também pode ser apresentada como i = 0,03 (quando escrita na forma unitária).

A taxa de 1,5% (escrita na forma percentual) também pode ser apresentada como i = 0,015 (quando escrita na forma unitária).

Para simplificar a escrita de algumas situações, em nossa aula, vamos representar algumas palavras por uma de suas letras iniciais. O preço de custo será representado por C. O preço de venda será representado por V. O valor do lucro será representado por L. O valor do prejuízo será representado por P.

Vejamos, então, cada um dos casos citados anteriormente:

Lucro sobre o preço de custoQuando um comerciante efetua uma venda com lucro sobre o preço de custo, significa que o preço de venda é superior ao preço de custo e que esse lucro foi comparado com o preço de custo da mercadoria.

Lembre-se:

Na venda de um

produto, temos lucro

quando o preço de

venda é maior que o

preço de custo.

exemplo �

exemplo 8

�0Matemática a08

O preço de custo de uma mercadoria é de R$ 10,00. Para ser vendida com um lucro de 25% sobre o preço de custo, qual será seu preço de venda?

Utilizando as informações que a questão nos apresenta, temos:

C =10,00 e L = 25% de C ⇒ L = 0,25 ⋅ C ⇒ L = 0,25 ⋅ R$ 10,00 ⇒ L= R$ 2,50

V = C + L ⇒ V = 10,00 + 2,50 ⇒ V = R$ 12,50

Ou, resolvendo de uma segunda maneira, podemos escrever:

V = C + L ⇒ V = C + 0,25 ⋅ C ⇒ V = (1+0,25) ⋅ C ⇒V = 1,25 ⋅ C (eq.1)

Para calcular o valor de V, podemos substituir o valor de C na eq.1 e obtemos:

V = 1,25 ⋅ 10,00 ⇒ V = R$ 12,50

Por qualquer uma forma de resolução, o resultado encontrado para o valor de venda da mercadoria é de R$ 12,50.

Que tal mais um exemplo?

Um comerciante vendeu uma mercadoria por R$ 560,00 para obter um lucro de 12% sobre o preço de custo. Descubra qual foi o preço de custo dessa mercadoria.

Sabemos que:

L = 12 % de C ⇒ L = 0,12 ⋅ C e

C + L = 560 ⇒ C + 0,12 ⋅ C = 560 ⇒ C ⋅ (1 + 0,12) = 560

⇒ C · (1, 12) = 560 ⇒ C =5601, 12

⇒ C = 500

O preço de custo da mercadoria é igual a R$ 500,00.

Vejamos mais um exemplo:

exemplo �

��Matemática a08

Cada unidade de um determinado produto custou R$ 30,00. Querendo obter um lucro de 20% sobre esse preço de custo, qual deverá ser o preço de venda por unidade?

C = R$ 30,00 e L = 20% de C ⇒ L = 0,20 ⋅ (R$ 30,00) ⇒ L = R$ 6,00

Lembrando, também, que: V – C = L.

Assim: V – 30 = 6 ⇒ V = 6 + 30 = 36.

O preço de venda, por unidade, desse produto é de R$ 36,00.

De uma forma geral, podemos escrever: V = C + L (eq.2) e L = i ⋅ C (eq.3),

em que i é a taxa de lucro sobre o preço de custo.

Quando substituímos o valor de L da eq.3 na eq.2, temos:

V = C + i ⋅ C ⇒ V = (1+i) ⋅ C

V = (1+i) ⋅ C é a fórmula que relaciona o preço de venda e o preço de custo, em uma venda com lucro sobre o preço de custo.

�Praticando...

�. Um comerciante comprou um objeto de R$ 250,00. Desejando ganhar 14% sobre o preço de custo, qual deve ser o preço de venda?

�. Um aparelho de som foi vendido por R$ 480,00. Qual o lucro obtido, sabendo que o mesmo foi calculado como 20% sobre o preço de custo?

Responda aqui

exemplo �0


Lucro sobre o preço de vendaQuando afirmamos que um objeto foi vendido com lucro sobre o preço de venda significa dizer que o percentual de lucro foi calculado tomando-se como referência o preço de venda, ou seja, tomando o preço de venda como 100%.

Ruth comprou uma blusa por R$ 40,00 e resolveu vendê-la com um lucro de 20% sobre o preço de venda. Qual deve ser o preço dessa mercadoria?

Sabemos que: V = 40 + L (eq.4) e L = 20% de V ⇒ L = 0,20 V (eq.5)

Substituindo a eq.5 na eq.4, temos: V – 0,20 V = 40 ⇒ (1 – 0,20) ⋅ V = 40 ⇒ 0,80 ⋅ V = 40 ⇒ V = 40 ÷ 0,80 ⇒ V = 50.

O preço de venda dessa mercadoria deve ser igual a R$ 50,00.

exemplo ��


Observe mais um exemplo:

Uma roupa foi vendida, com um lucro de 15% sobre o preço de venda, por R$ 120,00. Qual foi o preço de custo dessa mercadoria?

Temos que V = C + L, ou seja, C = V – L (eq.6), sendo L = 0,15 ⋅ V (eq.7).

Assim, quando substituímos a eq.7 na eq.6, temos:

C = V – 0,15 ⋅ V ⇒ C = (1 – 0,15) ⋅ V ⇒ C = 0,85 ⋅ V

Substituindo V por R$ 120,00, temos:

C = 0,85 ⋅ 120 ⇒ C = 102

O preço de custo dessa roupa foi de R$ 102,00.

De uma forma geral: C = V – L e L = i ⋅ V ⇒ C = V – i ⋅ V ⇒ C = (1 – i) ⋅ V

⇒ (1− i) · V = C ⇒ V =C

1− i .

V = C ÷ (1 – i) é a fórmula que relaciona o preço de venda com o preço de custo, quando ocorre uma operação de venda com lucro sobre o preço de venda.

�Praticando...

�. Um produto foi vendido com um lucro de 40% sobre o preço de venda. Se esse produto foi vendido por R$ 60,00, qual o valor de preço de custo desse produto?

�. Um eletrodoméstico que custou R$ 450,00 foi vendido com um lucro de 10% sobre o preço de venda. De quanto foi o lucro?

Prejuízo

Na venda de um

produto, temos

prejuízo quando o

preço de venda é

menor que o preço

de custo.


Prejuízo sobre o preço de custoQuando dizemos que uma mercadoria foi vendida com prejuízo sobre o preço de custo, significa que o preço de venda dessa mercadoria foi menor que o preço de custo, e esse prejuízo foi comparado ao preço de custo dessa mercadoria.

Responda aqui

exemplo ��

exemplo ��


Um comerciante vendeu um produto com um prejuízo de 5% sobre o preço de custo. Qual foi o preço de venda dessa mercadoria, se o preço de custo foi de R$ 40,00?

Nesse caso, temos:

P = C – V ⇒ V = C – P (eq.8) e P = 5% de C ⇒ P =5100

· C (eq.9).

Substituindo o valor de P da eq.9 na eq.8, temos:

V = C − 5100

· C ⇒ V = (1− 5100

) · C ⇒ V =100− 5

100· C

⇒ V =95100

· C ⇒ V = 0, 95 · C

Substituindo o valor de C por R$ 40,00, temos:

V = 0,95 ⋅ 40 ⇒ V = 38

A mercadoria foi vendida por R$ 38,00.

Vejamos mais um exemplo:

Um celular foi vendido com um prejuízo de 30% sobre o preço de custo. Se esse produto foi adquirido pelo preço de R$ 300,00, por qual preço foi vendido?

Temos que:

V = C – P (eq.10) e P = 30% de C ⇒ P = 0,3 (eq.11)

Substituindo o valor de P da eq.11 na eq.10, temos:

V = C – 0,3 ⋅ C ⇒ V = (1 – 0,3) ⋅ C ⇒ V = 0,7 ⋅ C

Substituindo C por R$ 300,00, temos:

V = 0,7 ⋅ 300 ⇒ V = 210

O celular foi vendido por R$ 210,00.

�Praticando...

Responda aqui


De uma forma geral, podemos escrever: V = C – P e P = i ⋅ C, o que nos garante que V = C – i ⋅ C ⇒ V = (1 – i) ⋅ C, sendo i a taxa de prejuízo sobre o preço de custo.

V = (1 – i) ⋅ C é a fórmula que relaciona o preço de venda com o preço de custo em uma venda com prejuízo sobre o preço de custo.

�. Um equipamento foi vendido por R$ 22.000,00, com prejuízo sobre o preço de custo. Determine o preço de custo.

�. Determine o preço de custo de um imóvel que foi vendido por R$ 120.000,00 dando ao proprietário inicial um prejuízo de 10% sobre o preço de custo.

exemplo ��

exemplo ��


Prejuízo sobre o preço de vendaQuando se diz que uma venda foi realizada com prejuízo sobre o preço de venda significa dizer que estamos comparando o prejuízo com o preço de venda da mercadoria, em uma venda que foi realizada por um preço não satisfatório para o vendedor. Vejamos o exemplo a seguir:

Se certo objeto for vendido por R$ 30,00, haverá um prejuízo de 15% sobre o preço de venda. Quanto custou esse objeto?

Temos que: V = C – P (eq.12) e P = 0,15 ⋅ V. (eq.13).

Assim, quando substituímos a eq.13 na eq.12, temos:

C = V + P ⇒ C = V + 0,15 ⋅ V ⇒ C = (1 + 0,15) ⋅ V ⇒ C = 1,15 ⋅ V

Substituindo V por R$ 30,00, temos: C = 1,15 ⋅ 30 ⇒ C = 34,50

O preço de custo do objeto foi de R$ 34,50.


Uma casa que custa R$ 60.000,00 foi vendida com um prejuízo de 5% sobre o preço de venda. Qual é o preço de venda do imóvel?

Como houve prejuízo, temos P = C – V, ou seja, V = C – P (eq.14)

Sabemos que C = 60 000 e P = 0,15 ⋅ V. Substituindo essas expressões na eq.19, temos: V = 60 000 – 0,15 ⋅ V ⇒ V + 0,15 ⋅ V = 60 000

⇒ V ⋅ (1 + 0,15) = 60 000 ⇒ 1,15 ⋅ V = 60 000 ⇒ V = (60 000) ÷ (1,15)

⇒ V ≅ 52.173,91.

O preço de venda da casa foi de, aproximadamente, R$ 52.173,91.

�Praticando...

Responda aqui

�8Matemática a08

De uma forma geral, P = C – V e como P = i ⋅ V, temos que

i ⋅ V = C – V ⇒ V + i ⋅ V = C ⇒ V ⋅ (1 + i) = C ⇒ C = (1 + i) ⋅ V

C = (1 + i) ⋅ V é a fórmula para preço de custo em uma venda com prejuízo sobre o preço de venda e i é a taxa de prejuízo sobre o preço de venda.

�. Calcule o preço de venda de uma mercadoria que custou R$ 50,00 e foi revendida com um prejuízo de 5% sobre o preço de venda.

�. Ao revender uma camiseta por R$ 27,00, Maria teve um prejuízo de 10% sobre o preço de venda. Qual foi o preço de custo dessa camiseta?


Descontos e acréscimosNas operações com mercadorias vemos situações que tratam de descontos e de acréscimos. Que tal estudarmos sobre isso?

DescontosQuando o preço de um produto sofre um desconto, podemos escrever seu novo preço da seguinte forma: B = A – i ⋅ A ⇒ B = A ⋅ (1 – i).

B = A ⋅ (1 – i) é a expressão que representa o novo preço do produto, sendo A o preço inicial; B, o preço após desconto e i, a taxa unitária de desconto.

Descontos sucessivosQuando um produto sofre um desconto após o outro, temos uma operação comercial com descontos sucessivos (ou abatimentos sucessivos). O valor final desse produto será obtido pelo produto de seu valor inicial pelos fatores de desconto.

De uma forma geral, o cálculo do preço B após o desconto sobre o preço A pode ser feito da seguinte forma: B = A – iA ⋅ A ⇒ B = A ⋅ (1 – iA) (eq.15)

O cálculo do preço C, após o segundo desconto incidir sobre o preço B, será

C = B – iB ⋅ B ⇒ C = B ⋅ (1 – iB) (eq.16)

Substituindo o valor de B, da eq.15 na eq.16, temos:

C = A ⋅ (1 – iA) ⋅ (1 – iB), que é o preço do produto após dois descontos consecutivos.

Que tal vermos um exemplo?

exemplo ��

exemplo ��

�0Matemática a08

Um produto recebeu um desconto de 10% e logo em seguida um desconto de 5%. De quanto foi o desconto total sobre o produto?

Já vimos que o preço de um produto após dois descontos sucessivos pode ser representado pela expressão: C = A ⋅ (1 – iA) ⋅ (1 – iB), onde iA e iB são as taxas correspondentes aos referidos descontos.

Substituindo iA = 10% = 0,10 e iB = 5% = 0,05 na expressão do valor de C, temos: C = A ⋅ (1 – 0,10) ⋅ (1 – 0,05) ⇒ C = A ⋅ (0,90) ⋅ (0,95) ⇒ C = A ⋅ 0,855.

Como 0,855 = 1 – 0,145, temos C = A (1 – 0,145) ⇒ iC = 0,145 ou iC = 14,5%.

O desconto real após os dois descontos sucessivos foi de 14,5%.

E se tivermos mais descontos sucessivos? Vejamos mais um exemplo.

Uma mercadoria teve descontos sucessivos de 3%, 2% e 8%. Sabendo-se que seu preço inicial era de R$ 42,00, qual o preço final após os três descontos?

Utilizando um raciocínio semelhante ao do exemplo anterior, podemos representar o preço final da mercadoria pela expressão a seguir:

D = A ⋅ (1 – iA) ⋅ (1 – iB) ⋅ (1 – iC)

D = 42 ⋅ (1 – 0,03) ⋅ (1 – 0,02) ⋅ (1 – 0,08)

D = 42 ⋅ (0,97) ⋅ (0,98) ⋅ (0,92)

D = 42 ⋅ 0,874552

D = 36,731184 ⇒ D ≅ 36,73

O preço final foi de, aproximadamente, R$ 36,73.


De uma forma geral, podemos escrever a expressão do preço final após n descontos através da seguinte expressão:

Pf = Pi ⋅ (1 – i1) ⋅ (1 – i2) ⋅ (1 – i3) ⋅ (1 – i4) ⋅ ... ⋅ (1 – in); Pf e Pi são,

respectivamente, os valores do preço final e do preço inicial de um

produto.

�Praticando...

Responda aqui

�. Ana Maria pretende vender seu carro pelo valor de mercado que era R$ 20.000,00, porém o valor do automóvel sofreu três desvalorizações consecutivas de 3%, 5% e de 6,5%. Qual é o valor de mercado desse veículo após essas desvalorizações?

�. Bernardo comprou um imóvel por R$ 80.000,00 para revender, mas o valor do imóvel teve decréscimos de 3%, 4%, 5% e 2%, consecutivamente. Após essas desvalorizações, qual é o valor do imóvel?

�. Uma fatura de R$ 6.000,00 sofre dois abatimentos sucessivos de 5% e 4%. Qual o valor líquido a pagar?

exemplo �8


acréscimosQuando um produto sofre um acréscimo, temos uma operação comercial, em que o valor final desse produto pode ser obtido pela seguinte expressão:

B = A + i ⋅ A ⇒ B = A ⋅ (1 + i), sendo A o preço inicial do produto; B, o preço depois do acréscimo e i, a taxa unitária do acréscimo.

acréscimos sucessivosQuando um produto sofre um acréscimo após o outro, temos uma operação comercial com acréscimos sucessivos. O valor final desse produto será obtido pelo produto de seu valor inicial pelos fatores de acréscimo.

O cálculo do preço B após o acréscimo sobre o preço A pode ser feito da seguinte forma: B = A + iA ⋅ A ⇒ B = A ⋅ (1 + iA) (eq.16)

O cálculo do preço C, após o segundo acréscimo incidir sobre o preço B, será

C = B + iB ⋅ B ⇒ C = B ⋅ (1 + iB) (eq.17)

Substituindo o valor de B, da eq.16 na eq.17, temos:

C = A ⋅ (1 + iA) ⋅ (1 + iB), que é o preço do produto após dois acréscimos consecutivos.

Uma duplicata no valor de R$ 5.000,00 foi paga após o vencimento e, por isso, sobre seu valor inicial, incidiram acréscimos sucessivos de 2% e 3%. Quanto foi pago pela duplicata no ato de sua liquidação?

Como os acréscimos foram sucessivos, para o cálculo do valor final utilizaremos a expressão C = A ⋅ (1 + iA) ⋅ (1 + iB), substituindo os valores conhecidos.

C = 5 000 ⋅ (1 + 0,02) ⋅ (1 + 0,03) ⇒ C = 5 000 ⋅ (1,02) ⋅ (1,03)

⇒ C = 5 000 ⋅ (1,0506) ⇒ C = 5 253,00

O valor pago pela duplicata foi de R$ 5.253,00

exemplo ��



Um produto que custava R$ 4,00 sofreu acréscimos sucessivos de 1%, 2% e 1,5%. Qual é o valor final desse produto?

Utilizando a expressão D = A ⋅ (1 + iA) ⋅ (1 + iB) ⋅ (1 + iC) para o cálculo do preço final do produto e, substituindo os valores conhecidos, temos:

D = 4 ⋅ (1 + 0,01) ⋅ (1 + 0,02) ⋅ (1 + 0,015) ⇒ D = 4 ⋅ (1,045653) ⇒ D ≅ 4,18

O preço final do produto é, aproximadamente, de R$ 4,18.

De uma forma geral, podemos escrever a expressão do preço final após n acréscimos através da seguinte expressão:

Pf = Pi ⋅ (1 + i1) ⋅ (1 + i2) ⋅ (1 + i3) ⋅ (1 + i4) ⋅ ... ⋅ (1 + in), onde Pf e Pi

são, respectivamente, os valores do preço final e do preço inicial de um

produto.

�Praticando...

�. No ato da liquidação, uma fatura de R$ 1.500,00 sofre acréscimos sucessivos de 2%, 3% e 5%, por motivo de atraso em seu pagamento. Quanto foi pago para liquidar a dívida representada por essa fatura?

�. O preço de uma mercadoria sofreu acréscimos sucessivos de 12% e 5%. Qual foi o preço final do produto, se seu preço inicial era de R$ 50,00?


Responda aqui

Se você já resolveu todas as atividades e não tem mais dúvida, que tal resolver a lista de exercícios a seguir?

exer

cíci

os


REVIS

ÃO

�. Um comerciante comprou um objeto por R$ 48,00. Para incentivar suas vendas, anunciou um preço para esse produto com um prejuízo de 2% sobre o preço de venda. O preço de venda desse produto nessa promoção foi de

a) R$ 54,60. b) R$ 57,60.

c) R$ 58,60. d) R$ 64,60.

�. Renata comprou um objeto por R$ 52,00. Para obter um lucro de 20% sobre o preço de venda, deve vendê-lo por

a) R$ 62,00. b) R$ 63,50.

c) R$ 65,00. d) R$ 68,00.

�. Marina comprou um relógio por R$ 125,00, mas logo depois decidiu vendê-lo. Com um prejuízo de 8% sobre o preço de venda, o preço que conseguiu receber pelo relógio foi, aproximadamente, de

a) R$ 105,68. b) R$ 110,02.

c) R$ 115,74. d) R$ 120,03.

�. Pedro comprou uma TV por R$ 650,00. Para obter um lucro de 30% sobre o preço de custo, deverá revender esse produto por

a) R$ 652,50. b) R$ 654,00.

c) R$ 664,50. d) R$ 669,50.

�. Após dois descontos sucessivos de 10% e de 8%, uma fatura de R$ 8.000,00 tem o valor líquido a pagar de

a) R$ 6.624,00. b) R$ 6.642,00.

c) R$ 6.264,00. d) R$ 6.462,00.

�. Por causa do atraso em seu pagamento, uma fatura de R$ 5.000,00 sofre dois aumentos sucessivos de 10% e 15%. O valor fi nal dessa fatura é de

a) R$ 6.325,00. b) R$ 6.352,00.

c) R$ 6.235,00. d) R$ 6.523,00.

Res

post

a


REVIS

ÃO

REVIS

ÃO

REVIS

ÃO

REVIS

ÃO


Leitura complementarPara ver mais alguns exemplos e exercícios sobre porcentagens, que é o conteúdo dominante desta aula, acesse os seguintes endereços:

EXATAS. Porcentagem. Disponível em: <http://www.exatas.mat.br/porcentagem.htm>. Acesso em: 30 out. 2008.

WIKIPÉDIA. Porcentagem. Disponível em: <http://pt.wikipedia.org/wiki/Percentagem>. Acesso em: 30 out. 2008.

Para saber um pouco mais sobre como formar o preço de venda, preço de custo e outros assuntos, acesse o endereço:

SEBRAERN. aprenda com o SeBRae. Disponível em:

<http://www2.rn.sebrae.com.br/modules/wfsection/article.php?articleid=43>. Acesso em 1º nov.08.

Nesta aula, você aprendeu o que é preço de venda e o que é preço de custo de um produto, como calcular o lucro ou prejuízo sobre o preço de venda, como calcular o lucro ou prejuízo sobre o preço de compra, como calcular o preço de venda (ou de custo) dado o percentual de lucro sobre o preço de venda (ou de custo).

auto-avaliação

�. Carol comprou um brinquedo por R$ 80,00 e o revendeu por R$ 104,00. Qual a taxa de lucro (a) sobre o preço de custo? (b) sobre o preço de venda?

Para consulta

m% =m

100

Valor absoluto da parte valor percentual da parte x 25valor absoluto do todo 100 32 100

= ⇒ =

�8Matemática a08

�. Anderson vendeu um objeto com um prejuízo de 12% sobre o preço de venda. Sabendo que o objeto lhe custou R$ 558,00, qual foi o valor apurado em sua venda?

�. Caio vendeu um objeto com 15% de prejuízo e outro objeto com 35% de lucro, ambos sobre o preço de custo. Por quanto vendeu cada um deles, se cada objeto custou R$ 748,00?

�. Gabriela Pessoa empregou seu capital, sucessivamente, em quatro empresas. Na primeira, lucrou 100% e em cada uma das demais perdeu 15%. Ao final das operações, houve lucro ou prejuízo? De quanto?

taxa de Porcentagem

Formatos

Taxa percentual Razão centesimal Taxa unitária

m%m

100Número decimal resultante da divisão de m por 100.

Lucro

Lucro (L) existe em uma venda na qual o preço de venda (V) é maior que o preço de custo (C). L = V – C

Prejuízo

Prejuízo (P) existe em uma venda na qual o preço de venda (V) é menor que o preço de custo (C). P = C – V


Vendas

Com lucro

Sobre C L = V – C; L = i ⋅ C; V = (1 + i) ⋅ C

Sobre V L = V – C; L = i ⋅ V; V =C

1− i

Com prejuízo

Sobre C P = C – V; P = i ⋅ C; V = (1 – i) ⋅ C

Sobre V P = C – V; P = i ⋅ V; V =

C

1 + i

Descontos sucessivos:

Pf = Pi ⋅ (1 – i1) ⋅ (1 – i2) ⋅ (1 – i3) ⋅ (1 – i4) ⋅ ... ⋅ (1 – in), sendo Pf e

Pi respectivamente, os valores do preço final e do preço inicial de um

produto.

acréscimos sucessivos:

Pf = Pi ⋅ (1 + i1) ⋅ (1 + i2) ⋅ (1 + i3) ⋅ (1 + i4) ⋅ ... ⋅ (1 + in), sendo Pf e

Pi respectivamente, os valores do preço final e do preço inicial de um

produto.

ReferênciasASSAF NETO, Alexandre. matemática financeira e suas aplicações. 7. ed. São Paulo: Atlas, 2002.

CÁLCULO do preço de custo e preço de venda. Disponível em: <http://www.portal.inf.br/custos.htm>. Acesso em: 23 set. 2008.

CRESPO, Antônio Arnot. matemática comercial e financeira fácil. 11. ed. São Paulo: Saraiva, 1996.

MERCHEDE, Alberto. matemática financeira para concursos: mais de 1.500 aplicações. São Paulo: Atlas, 2003.

SEBRAERN. aprenda com o SeBRae. Disponível em:

<http://www2.rn.sebrae.com.br/modules/wfsection/article.php?articleid=43>. Acesso em 01nov.08.

WIKIPÉDIA. Porcentagem. Disponível em: <http://pt.wikipedia.org/wiki/Percentagem>. Acesso em: 30 out. 2008.

�0Matemática a08

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