Matemática

5/28/2018 Matem tica

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APOSTILA DE MATEMTICA

Contedo:

1. Nmeros inteiros, racionais e reais; problemas de contagem2. Sistema legal de medidas

3. Razes e propores; diviso proporcional; regras de trs simples e compostas; porcentagens4. Equaes e inequaes de 1 e 2 graus; sistemas lineares5. Funes; grficos6. Seqncias numricas7. Funes exponenciais e logartimicas8. Noes de probabilidade e estatstica9. Juros simples e compostos: capitalizao e descontos10. Taxas de juros: nominal, efetiva, equivalentes, proporcionais, real e aparente11. Rendas uniformes e variveis12. Planos de amortizao de emprstimos e financiamentos13. Clculo financeiro: custo real efetivo de operaes de financiamento, emprstimo e investimento14. Avaliao de alternativas de investimento15. Taxas de retorno

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1

NMEROS INTEIROS - OPERAES E PROPRIEDADES

Neste captulo ser feita uma reviso dos aspectos mais importantes sobre as operaes de adio,subtrao, multiplicao e diviso com nmeros inteiros.

ADIO

Os termos da adio so chamados parcelase o resultado da operao de adio denominado somaoutotal.

1 parcela + 2 parcela = soma ou total

A ordem das parcelas nunca altera o resultado de uma adio:

a + b = b + a

O zero elementoneutroda adio:

0+a=a+0=a

SUBTRAO

O primeiro termo de uma subtrao chamado minuendo, o segundo, subtraendo e o resultado da

operao de subtrao denominado restoou diferena.

minuendo - subtraendo = resto ou diferena

A ordem dos termos pode alterar o resultado de uma subtrao:

a - b b - a (sempre que a b)

Se adicionarmos uma constante kao minuendo , o resto ser adicionadode k. Se adicionarmos uma constante kao subtraendo, o resto ser subtrado de k . A subtrao a operao inversa da adio:

M-S = R R+S = M

A soma do minuendocom o subtraendo e o resto sempre igual ao dobrodo minuendo.

M+S+R=2 x M

Valor absoluto

O valor absoluto de um nmero inteiro indica a distncia deste nmero at o zero quando consideramos arepresentao dele na reta numrica.

Ateno: O valor absoluto de um nmero nunca negati vo, pois representa uma distncia. A representao do valor absoluto de um nmero n I nI. (L-se "valor absoluto de n" ou "mdulode n".)

Nmeros simtricosDois nmeros ae bso ditos simtricos ou opostos quando:

a+b=0

Exemplos:-3 e 3 so simtricos (ou opostos) pois (-3) + (3) = 0.4 e -4 so simtricos (ou opostos) pois (4) + (-4) = 0.

O oposto de 5 -5.O simtrico de 6 -6.O oposto de zero o prprio zero.

Dois nmeros simtricos sempre tm o mesmo mdulo.

Exemplo:I-3I=3 e I3I=3



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2

Operaes com nmeros inteiros (Z)

Qualquer adio, subtrao ou multiplicao de dois nmeros inteiros sempre resulta tambm um nmerointeiro. Dizemos ento que estas trs operaes esto bem definidas em Z ou, equivalentemente, que oconjunto Z fechado para qualquer uma destas trs operaes.As divises, as potenciaes e as radiciaes entre dois nmeros inteiros nem sempre tm resultado inteiro.Assim, dizemos que estas trs operaes no esto bem definidas no conjunto Zou, equivalentemente, queZno fechado para qualquer uma destas trs operaes.

Adies e subtraes com nmeros inteiros

Existe um processo que simplifica o clculo de adies e subtraes com nmeros inteiros. Observe osexemplos seguintes:

Exemplo1:

Calcular o valor da seguinte expresso:10 -7-9+15 -3+4

Soluo:Faremos duas somas separadas

- uma s com os nmeros positivos:

10+ 15+4=+29

- outra s com os nmeros negativos:(-7)+(-9)+(-3)= -19

Agora calcularemos a diferena entre os dois totais encontrados.+29 -19=+10

Ateno! preciso dar sempre ao resultado o sinal do nmero que tiver o maior valor absoluto!

Exemplo2:Calcular o valor da seguinte expresso:

-10+4 -7 8 +3 -21 passo: Achar os totais (+) e (-):

(+): +4 + 3 = +7(-): -10 -7 -8 -2= -27

2 passo: Calcular a diferena dando a ela o sinal do total que tiver o maior mdulo:-27+7=-20

MULTIPLICAO

Os termos de uma multiplicao so chamados fatores e o resultado da operao de multiplicao denominado produto.

1 fator x 2 fator = produto

O primeiro fator tambm pode ser chamado multiplicando enquanto o segundo fator pode serchamado multiplicador. A ordem dos fatores nunca altera o resultado de uma multiplicao:

a x b = b x a

O nmero 1 elemento neutroda multiplicao:1 x a = a x 1 = a

Se adicionarmos uma constante k a umdos fatores, o produto ser adicionado de k vezes o outrofator:

a x b = c (a + k)x b = c+(k x b )

Se multiplicarmos um dos fatores por uma constante k , o produto ser multiplicado por k .a x b = c (a x k)x b = k x c

Podemos distribuirum fator pelos termos de uma adioou subtraoqualquer:a x(b c) = (a x b) (a x c )



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3

DIVISO INTEIRA

Na diviso inteira de Npor D 0, existir um nico par de inteiros, Q e R, tais que:Q x D + R = N e 0 R < IDI(onde IDI o valor absoluto de D)

A segunda condio signif ica que R( o resto) nunca pode ser negativo.

Os quatro nmeros envolvidos na diviso inteira so assim denominados:N o d i v i dendo ; D o d iv isor(sempre diferente de zero);Q o quoc ien te ; R o resto(nunca negativo).

Exemplos:1) Na diviso inteira de 60 por 7 o d i v i dendo 60, o d iv isor 7, o quoc ien te 8e o resto 4.

8 x 7 + 4= 60 e 0 4 < I7I

2) Na diviso inteira de -60 por 7 o d i v i dendo -60, o d iv isor 7, o quoc ien te -9e o r e s t o 3.-9 x 7 + 3= -60 e 0 3 < I7I

Quando ocorrer R = 0na diviso de Npor D, teremos Qx D= Ne diremos que a diviso exataindicando-acomo N D= Q. Quando a diviso de N por D for exata diremos que N di v is vel por D e D divisor de N ou,equivalentemente, que N mlt ip lode De D fatorde N. O zero divisvel por qualquer nmero no nulo:

D 0 0 D = 0. Todo nmero inteiro divisvel por 1: N, N 1 = N. Se multiplicarmos o dividendo (N) e o divisor (D) de uma diviso por uma constante k 0,o quociente (Q) noser alterado mas o resto (R) ficar multiplicado por k, se R x k < D, ou ser igual ao resto da diviso de R x kpor D, se R x k D.

Multiplicaes e divises com nmeros inteiros

Nas multiplicaes e divises de dois nmeros inteiros preciso observar os sinais dos dois termos daoperao:

Exemplos:

SINAIS IGUAIS (+) SINAIS OPOSTOS (-)

(+5) x (+2) = +10 (+5) x (-2) = -10(-5) x (-2) = +10 (-5) x (+2) = -10(+8) - (+2) = +4 (+8) - (-2) = -4(-8) - (-2) = +4 (-8) - (+2) = -4

EXERCCIOS RESOLVIDOS

1. Numa adio com duas parcelas, se somarmos 8 primeira parcela, e subtrairmos 5 da segunda parcela,o que ocorrer com o total?

Soluo:

Seja to total da adio inicial.Ao somarmos 8 a uma parcela qualquer, o total acrescido de 8 unidades:t+8

Ao subtrairmos 5 de uma parcela qualquer, o to ta l reduzido de 5 unidades:t+8-5 = t+3

Portanto o total ficar acrescido de 3 un idades.

2. Numa subtrao, a soma do minuendo com o subtraendo e o resto igual a 264. Qual o valor dominuendo?

Soluo:

Sejam m o minuendo , s o subtraendo e ro restode uma subtrao qualquer, sempre verdade que:m - s = rs + r =m

(a soma de s com rnos d m)



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4

Ao somarmos os trs termos da subt rao, m+s+r, observamos que a adio das duas ltimas parcelas,s + r, resulta sempre igual a m . Assim poderemos escrever:

m+(s + r)= m + m =2m

O total ser sempre o dobro do minuendo .Deste modo, temos:

m+s+r=2642m = 264m =264 2= 132

Resp.: O minuendo ser 132.

3. Numa diviso inteira, o divisor 12, o quociente 5 e o resto o maior possvel. Qual o div idendo?

Soluo:

Se o divisor 12, ento o maior resto possvel 11, pois o resto no pode superar nem igualar-se aodivisor. Assim, chamando de no dividendo procurado, teremos:

n= (quociente) x (divisor) + (resto)n=5x12+11 n=60+11 n=71

O dividendo procurado 71.

EXERCCIOS PROPOSTOS

1 . Numa adio com trs parcelas, o total era 58. Somando-se 13 primeira parcela, 21 segunda esubtraindo-se 10 da terceira, qual ser o novo total?

2. Numa subtrao a soma do minuendo com o subtraendo e o resto resultou 412. Qual o valor dominuendo?

3. O produto de dois nmeros 620. Se adicionasse-mos 5 unidades a um de seus fatores, o produto ficariaaumentado de 155 unidades. Quais so os dois fatores?

4. Numa diviso inteira, o divisor 12, o quociente uma unidade maior que o divisor e o resto, uma unidade

menor que o divisor. Qual o valor do dividendo?5. Certo prmio ser distribudo entre trs vendedores de modo que o primeiro receber R$ 325,00; o segundoreceber R$ 60,00 menos que o primeiro; o terceiro receber R$ 250,00 menos que o primeiro e o segundojuntos. Qual o valor total do prmio repartido entre os trs vendedores?

6. Um dicionrio tem 950 pginas; cada pgina dividida em 2 colunas; cada coluna tem 64 linhas; cada linhatem, em mdia, 35 letras. Quantas letras h nesse dicionrio?

7. Uma pessoa ganha R$ 40,00 por dia de trabalho e gasta R$ 800,00 por ms. Quanto ela economizar emum ano se ela trabalhar, em mdia, 23 dias por ms?

8. Um negociante comprou 8 barricas de vinho, todas com a mesma capacidade. Tendo pago R$ 7,00 o litro evendido a R$ 9,00, ele ganhou, ao todo, R$ 1.760,00. Qual era a capacidade de cada barrica?

9. Em um saco havia 432 balinhas. Dividindo-as em trs montes iguais, um deles foi repartido entre 4 meninose os dois montes restantes foram repartidos entre 6 meninas. Quantas balinhas recebeu cada menino e cadamenina?10. Marta, Marisa e Yara tm, juntas, R$ 275,00. Marisa tem R$ 15,00 mais do que Yara e Marta possui R$20,00 mais que Marisa. Quanto tem cada uma das trs meninas?

11. Do salrio de R$ 3.302,00, Seu Jos transferiu uma parte para uma conta de poupana. J a caminho decasa, Seu Jos considerou que se tivesse transferido o dobro daquele valor, ainda lhe restariam R$ 2.058,00do seu salrio em conta corrente. De quanto foi o depsito feito?

12. Renato e Flvia ganharam, ao todo, 23 bombons. Se Renato comesse 3 bombons e desse 2 para Flvia,eles ficariam com o mesmo nmero de bombons. Quantos bombons ganhou cada um deles?

NMEROS RACIONAIS OPERAES E PROPRIEDADES



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5

CONCEITO

Dados dois nmeros inteiros ae b, com b 0, denominamos nmero racionala todo nmerob

a=x , tal que

xx b=a.

( )*ZbeZacomabxb

ax ==

REPRESENTAO FRACIONRIA

Denominamos representao fracionriaou simplesmente frao expresso de um nmero racional a

na formab

a.

REPRESENTAO DECIMAL DE UM NMERO RACIONAL

A representao decimal de um nmero racional poder resultar em um do trs casos seguintes:

Inteiro

Neste caso, a frao correspondente ao inteiro denominada frao aparente.

013

01

9

-97

2

14===

Expanso Decimal Finita

Neste caso, h sempre uma quantidade finitade algarismos na representao decimal.

37508

3251

4

551

2

3,,, ===

Expanso Decimal Infinita Peridica

Esta representao tambm conhecida como dzima peridicapois, nela, sempre ocorre alguma seqncia

finita de algarismos que se repete indefinidamente. Esta seqncia denominadaperodo.

...,..., 166606

13330

3

1==

DETERMINAO DE UMA FRAO GERATRIZ

Todos os nmeros com expanso decimal finita ou infinita e peridica sempre so nmeros racionais. Istosignifica que sempre existem fraes capazes de represent-los. Estas fraes so denominadas f raesgera t r i zes.

Como determinar uma frao geratriz

1 Caso - Nmeros com expanso decimal finita

A quantidade de algarismos depois da vrgula dar o nmero de "zeros" do denominador:

100

8168,16=

1000

35

1000

00350350

10

52452,4

==

=

,

2 Caso - Dzimas Peridicas

Seja a,bc...nppp...uma dzima peridica onde os primeiros algarismos, indicados genericamente por a , b ,c...n , no fazem parte do perodo p.

A frao090099

ab...n-npabc.........

ser uma geratriz da dzima peridica a,bc...nppp... se:

1- o nmero de `noves' no denominador for igual quantidade de algarismos do perodo;2 - houver um `zero' no denominador para cada algarismo aper id ico(bc...n)aps a vrgula.



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6

Exemplo:

perodo: 32 (dois "noves" no denominador) atraso de 1 casa (1 "zero" no denominador)

parte no-peridica: 58 frao geratriz:990

7745

990

58-5832 .=

perodo: 4 (1 "nove" no denominador) atraso de duas casas (2 "zeros") parte no-peridica: 073 frao geratriz:

900

661

900

73734

900

0730734=

=

perodo: 034 (trs "noves" no denominador) no houve atraso do perodo(no haver "zeros" no denominador)parte no-peridica: 6

frao geratriz:999

66034

perodo: 52 (dois "noves") no houve atraso do perodo (no haver "zeros" no denominador) parte no-peridica: 0

frao geratriz:99

52

99

0052=

NMEROS MISTOS

Dados trs nmeros inteiros n, a, e b,com n 0 e 0 < a


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7

15

2

3x1x5

x2x11

5

1x

1

2x

3

1

5

1x2x

3

1

60

7

120

14

6x5x4

x2x71

4

7x

5

2x

6

1

20

1

120

6

5x4x6

x3x12

6

1x

4

3x

5

2

2porsimplific.

6porsimplific.

===

==

==

DIVISO ENVOLVENDO FRAES

Para efetuar uma diviso onde pelo menos um dos nmeros envolvidos uma frao, devemosmultiplicar o primeiro nmero (dividendo) pelo inverso do segundo (divisor).

30

1

6x5

x11

5

1x

6

15

6

1

3

10

1x3

x52

3

5x

1

2

5

32

12

5

3x4

x51

4

5x

3

1

5

4

3

1

6

11

6

7

12

14

x43

x72

4

7x

3

2

7

4

3

2 2porsimplif.

===

===

===

= ===

Ateno:No faa contas com dzimas peridicas.

Troque todas as dzimas peridicas por fraes geratrizes antes de fazer qualquer conta.

Exemplo:

Calcular:

7220

54

2

9

x10

6

9

2

10

6

?222060

,

...,,

===

=

=


1.Calcular os resultados das expresses abaixo:

a)5

23

2

18 +

b)4

32

6

515

c)5

4x

3

12

d)

4

31

2

1

Solues:

a)

( )

10

911

10

4

10

511

5

2

2

111

5

2

2

138

5

23

2

18

=

++=

++

=

+++=

++

+

b)

( )

12

113

12

9

12

1013

4

3

6

5215

4

32

6

515

=

+

=

+=

+

+



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8

c)

15

131

15

131

15

28

3x5

x47

5

4x

3

7

5

4x

3

1x32

5

4x

3

12

=+==

==+=

+

d)

7

2

14

4

7

4x2

1

4

7

2

1

4

3x41

2

1

4

31

2

1

por2simplif. =

==+=

+

2.Determinar a frao geratriz de 0,272727... .

Soluo:

11

3

999

927

99

272727270 =

==...,

3.Quanto valem dois teros de 360?

Soluo:

2403

360x2360x

3

2360

3

2===de

Ento, do is teros de 360 so 240.

4.Se trs quartos de xvalem 360, ento quanto vale x?

Soluo:

4803

360x4x360x4x3

3604

x3360de

4

3

===

==x

Ento, x va le 480 .

5.Determinar uma frao que corresponda a dois teros de quatro quintos.

Soluo:

15

8

5x3

4x2

5

4x

3

2

5

4de

3

2===

Ento, uma f rao cor respondente ser15

8.

6.Cnthia gastou em compras trs quintos da quantia que levava e ainda lhe sobraram R$ 90,00. Quanto levavaCnthia, inicialmente?

Soluo:

O problema menciona quintos da quantia que Cnthia levava. Pode-se indicar a quantia inicial por 5x (pois 5xtem quintos exatos).

=

90,00:sobram

3x5xde5

3gastos

5x

(Inicial)

Assim, tem-se:

} } }

45x

902x

903x5xrestogastoinicial

==

=



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9

Como a quantia inicial foi representada por 5x, tem-se:

5x = 5 x 45 = 225,00

Cnthia levava, inicialmente, R$ 225,00.

7.Um rapaz separou 1/10 do que possua para comprar um par de sapatos; 3/5 para roupas, restando-lhe, ainda,R$ 180,00. Quanto o rapaz tinha?

Soluo:

Seja 10x a quantia inicial (pois tem dcimos e tem quintos exatos)

} }

60 x1803x

1806x-x10x

180,00:restante

6x10xde5

3:roupas

x10xde10

1:sapatos

x10

restogastosinicial

==

=

=

=

876

Portanto, o valor inicial era:

10x = 10 x 60 = 600,00 reais

O rapaz tinha, inicialmente, R$ 600,00.

8.De um reservatrio, inicialmente cheio, retirou-se4

1do volume e, em seguida, mais 21 litros. Restaram, ento

5

2do volume inicial. Qual a capacidade deste reservatrio?

Soluo:

Seja 20x o volume do reservatrio (pois tem quartos e quintos exatos).

} }restoretiradasinicial

8x21-5x20x

8x20xde5

2:resto

litros21:retirada2

5x20xde4

1:retirada1

20x

=

=

=

876

isolando os termos em "x" tem-se:

20x-5x-8x=21 7x=21 x=3

Como a capacidade do reservatrio foi represen tada por 20x, tem-se:

20x = 20 x 3 = 60 litros

9 .Rogrio gastou3

2do que tinha e, em seguida,

4

1do resto, ficando ainda com R$ 300,00. Quanto

Rogrio possua inicialmente?



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10

Soluo:

Seja 12x a quantia inicial de Rogrio:

3

2 d e 12x

4

1 de 4x

12x 4x 3x = 300,00 (resto)

(-8x) (-x)3x = 300x = 100

Logo, a quantia inicial de Rogrio era:

12x = 12 x 100 = 1.200 reais

Rogrio possua, inicialmente, R$ 1.200,00.

10.Um estojo custa3

2 a mais que uma caneta. Juntos eles valem R$ 16,00. Quanto custa cada

objeto?

Soluo:

Como o preo do estojo foi indicado para dois teros a mais que o preo da caneta, faremos:

caneta: 3x

estojo: 5x2x3x3xde3

23x =+=+

Juntos eles valem R$ 16,00:

} }

2x

168x

165x3x

estojocaneta

==

=+

Ento:

a caneta custa: 3x = 3 x 2 = 6 reaiso estojo custa: 5x = 5 x 2 = 10 reais

11.Um pai distribui certo nmero de balas entre suas trs filhas de tal modo que a do meio recebe3

1do total, a

mais velha recebe duas balas a mais que a do meio, enquanto a mais nova recebe as 25 balas restantes. Quantasbalas, ao todo, o pai distribuiu entre suas filhas?

Soluo:

Seja o total de balas representado por 3x:

( )

+

=

25:novamaisa

2x:velhamaisa

x3xde3

1:meiodoa

x3

total

Juntando todas as balas tem-se:

3x=x+x+2=25



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11

isolando "x" na igualdade tem-se:

3x-x-x=2+25 x=27

Logo, o total de balas : 3x = 3 x 27 = 81 balas.

EXERCCIOS PROPOSTOS

1. Efetue as expresses abaixo.

a)4

3

3

2

2

1+

b)2

14

5

12

3

15 +

2. Efetue as multiplicaes abaixo.

a)16

15x

5

2

b)2

12x

3

11

3.Efetue as divises abaixo.a)

7

6

4

3

b)3

11

2

12

4.Julgue os itens abaixo em verdadeiros (V) ou falsos (F).

( ) 0,321321321...=333

107

( ) 0,00333 ...=300

1

( ) 12,37777...=45

557

90

1141=

.

5.Quanto valem trs quintos de 1.500 ?

6.Se cinco oitavos de xso 350, ento, qual o valor de x?

7.Que frao restar de xse subtrairmos trs stimos do seu valor?

8.Se subtrairmos trs stimos do valor de xe, em seguida, retirarmos metade do restante, que frao restarde x?

9.Determine o valor da expresso 6,666... x 0,6.

10.Determine o valor da expresso 0,5 0,16666... .

11. Um garoto possui32 da altura de seu pai que correspondem a

34 da altura de seu irmo mais moo. Qual a

altura deste ltimo se a altura do pai 180 cm?

12.No primeiro dia de uma jornada, um viajante fez5

3do percurso. No segundo dia, andou

3

1 do restante.

Quanto falta para completar a jornada se o percurso completo de 750 km?

13.Se um rapaz separar o dinheiro que tem em trs partes, sendo a primeira igual tera parte e a segunda igualmetade do total, ento a terceira parte ser de R$ 35,00. Quanto dinheiro tem este rapaz?

14.A idade de Antnio 6

1da idade de Benedito, Csar tem metade da idade de Antnio e Dilson tem tantos

anos quantos Csar e Antnio juntos. Quais so as idades de cada um deles se a soma das quatro idades 54anos?



13/143

12

15.A soma de trs nmeros 110. Determinar o maior deles sabendo que o segundo um tero do primeiro e

que o terceiro 8

3da soma dos dois primeiros.

16. Dividir R$ 270,00 em trs partes tais que a segunda seja um tero da primeira e a terceira seja igual somade um duodcimo da primeira com um quarto da segunda.

17.Determine o preo de custo de uma mercadoria sabendo que haveria um lucro de5

1do preo de custo se ela

fosse vendida por R$ 60,00.

18.Um comerciante gastou5

1do que tinha em sua conta corrente. Em seguida, gastou

7

2do restante ficando

ainda com um saldo de R$ 2.000,00. Considerando que havia inicialmente na conta corrente6

5do total que o

comerciante possua entre uma conta de poupana e a conta corrente, determine o valor que havia na conta depoupana.

19.Se adicionarmos a tera parte de um nmero sua metade o resultado obtido ser 3 unidades menor que onmero inicial. Qual este nmero?

20.Mrcio tinha R$ 116,00 que estavam divididos em partes diferentes entre os dois bolsos da cala que usava.Se ele gastasse a quinta parte do que havia no bolso esquerdo e a stima parte do que havia no bolso direitorestariam quantias iguais nos dois bolsos. Quanto havia em cada bolso?

CONJUNTO DOS NMEROS REAIS

O conjunto dos nmeros reais compreende todo s o s n mero s q ue perm itam r epresentao n a form adec im al, peri dic a ou no perid ica. Isto compreende todos os nmeros inteiros, todos os nmeros racionais emais os nmeros com representao decimal no peridica.So exemplos de nmeros reais:

2 = 2,000...1/5 = 0,2000...4/9 = 0,444... = 3,141592653...

2 =1,414213...

Nmeros Irracionais

Alguns nmeros tm representao decimal infinita e aperidica no sendo, portanto, nmeros racionais. A estesnmeros denominamos nmeros irracionais.

Nmeros Irracionais:tm representao decimal... ... infinita e ... aperidica.

O conjunto dos nmeros irracionais usualmente representado por I.So exemplos de nmeros irracionais: = 3,14159265358979323846...

e = 2,71828182846...

2 = 1,41421356237...

A operao de radiciao produz, freqentemente, nmeros irracionais. A raiz de um nmero natural qualquer, ouresultar tambm nmero natural ou ser um nmero irracional.

irracionalnmeroum10

irracionalnmeroum12:Exemplos

irracionalnm.

ou

naturalnm.

naturalnm.

3

n

=



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13

Representao dos Nmeros por Pontos da Reta

Podemos representar todos os nmeros reais como pontos em uma reta orientada denominada retanumrica.Inicialmente, escolhe-se um ponto sobre a reta para indicar o nmero zero.

0

R

Depois, marcam-se os demais nmeros inteiros, mantendo sempre a mesma distncia entre dois inteiros

consecutivos quaisquer, sendo:

os positivos, direita de zero, a partir do 1 e em ordem crescente para a direita; e os negativos esquerda de zero, a partir do -1 e em ordem decrescente para a esquerda;

Todos os demais nmeros reais no inteiros, racionais ou irracionais, podem ser localizados entre doisnmeros inteiros.

Observe, por exemplo, onde esto localizados os nmeros :e3/52,

2 =-1,41421356237...

3/5 = 0,6

= 3,1415926535...

Intervalos de Nmeros Reais

comum designarmos por intervalo a qualquer subconjunto de Rque corresponda a segmentos ou a semi-retas ou a qualquer reunio entre segmentos ou semi-retas da reta dos nmeros reais.

Exemplos:

a) Representao Grfica:

Notao de Conjuntos: { }2x5-/x R Notao de Intervalos: [-5; 2]

b) Representao Grfica:

Notao de Conjuntos: { }2x5-/x


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14

RAZE S E P ROP ORE S

Chama-se razo de do i s nm ero s, dados numa certa ordem e sendo o segundo diferente de zero,ao quociente do primeiro pelo segundo.Assi m, a raz o en tre os nmeros a e b p ode se r d it a " raz o de a p ara b " e r ep resentad a c omo:

b:aoub

a

Onde a chamado antecedente enquanto b chamado conseqenteda razo dada.

Ao representa r uma razo freqentemente simpli fi camos os seus termos procurando , sempre quepossvel, torn-los inteiros.

Exemplos:A r az o en tr e 0 ,2 5 e 2 :

( )8para18

1

2

1

4

1

2

4

1

2

250==

=,

( )5para25

2

5

12

6

1

12

5

6

1

:12

5e

6

1entrerazoA ==

( )1para301

30

1

56

5

1

6:

5

1e6razoA ==

Proporo a expresso que indica uma igualdade entre duas ou mais razes.

A proporod

c

b

a= pode ser lida co mo "a est para b assim como c est para d' e represen tada como

a: b: c: d. Nesta proporo, os nmeros a e d so os extremos e os nmeros b e c so os meios .

Em toda proporo o produto dos extremos igual ao produto dos meios.

Quarta proporcionalde trs nmeros dados a, b e c nesta ordem, o nmero x que completa comos outros trs uma proporo tal que:

x

c

b

a=

Exemplo:

Determinar a quarta proporcional dos nmeros 3 , 4 e 6 nesta ordem.

Soluo:

8x6x4x3x

6

4

3===

Proporo contnua aquela que tem meios iguais.

Exemplo:A propo r o 9 : 6 : : 6 : 4 contnua pois tem os seus meios iguais a 6 .

Numa proporo contnua temos: O valor comum dos meios chamado mdia proporcional (ou mdia geomtrica ) dos

extremos. Ex.: 4 a mdia proporciona l entre 2 e 8, pois 2:4 ::4 :8 O ltimo termo chamado terceira proporcional. Ex.: 5 a terceira proporcional dos

nmeros 20 e 10, pois20:10::10:5



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15

Proporo mltipla a igualdade simultnea de trs ou mais razes.

Exemplo:

10

5

8

4

6

3

4

2===

Razes inversas so duas razes cujo produto igual a 1 .Exemplo:

16

10x

5

3= ento dizemos que "3 est para 5 na razo inversa de 10 para 6" ou ento que "3/5 est

na razo inversa de 1 0/6" ou ainda que "3/ 5 e 10/6 so razes inversas".

Quando duas razes so inversas, qualquer uma delas forma uma proporo com o inverso daoutra.

Exemplo:3/5 e 10/6 so razes inversas. Ento, 3/5 faz proporo com 6/10 (que o inverso de 10/6)enquanto 10/6 faz proporo com 5/3 (que o inv erso de 3/5).


1.Numa prova com 50 questes, acert ei 35, deixei 5 em branco e errei as demai s.Qual a razo do nmero de questes certas para o de erradas?

Resoluo:Das 50 questes, 35 estavam certas e 5 ficaram em branco. Logo, o nmero de queste s erradas :

50-35-5= 10

Assim, a razo do nmero de questes certas (35) para o de er radas (10) 2.para7ou2

7

10

35=

2.Calcular dois nmeros positivos na proporo de 2 para 5 sabendo que a diferena do maior para o menor

42.

Resoluo:Sejam x o menor e y o maior dos nmeros procurados.A proporo nos mostra que x est para 2 assim como y est pa ra 5 .Ento, podemos dizer que:x tem 2 partes ... ................... . (x = 2p)enquanto y tem 5 partes ......... (y = 5p)

Mas como a diferena y -x deve valer 42, teremos:

{ { 14p3

42p42p3422p5p

xy

====

Agora que descobrimos que cada parte vale 14 (p = 14), podemos concluir que:

o valor de x 28(14)22px ===o valor de y 70(14)55py ===

3.Na proporo mltipla6

z

5

y

3

x== , determinar os valores de x, de y e de z sabendo que x + y + z = 112.

Resoluo:A proporo mlt ip la nos mostra que:

x tem 3 partes ..................... ..... (x = 3p)enquanto y tem 5 partes.......... (y = 5p)

e z tem 6 partes ..................... (z = 6p)



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16

Como a soma das trs partes vale 112, temos:

3p+5p +6p= 11214p = 112p = 112 14p = 8

Agora que descobrimos que cada parte vale 8, podemos concluir que:

o valor de x 24(8)33px ===o valor de y 40(8)55py ===o valor de z 48(8)66pz ===

4.Sabendo que a est para b assim como 8 est para 5 e que 3a - 2b = 140, calcular a e b.

Resoluo:Pela proporo apresentada, a tem 8 partes enquanto b tem 5 partes:

a=8p e b=5p

ento teremos: 3a = 3 x (8p) = 24p e

2b = 2 x (5p) = 10p

portanto: 3a - 2b = 140 24p - 10p = 140 14p= 140 p= 10

como p = 10 temos: a = 8p = 8 x 10 = 80 eb = 5p = 5 x 10 = 50

5.Dois nmeros positivos esto entre si assim como 3 est para 4. Determine-os sabendo que a soma dos seusquadrados igual a 100.

Resoluo:Se os nmeros esto entre si na proporo de 3 para 4, ento um deles 3p e o outro 4p.

Deste modo, a soma dos quadrados fica sendo:

(3p) 2+ (4p) 2= 1009p 2+ 16p 2= 10025 p2= 100p2=4 p = 2 (pois os nmeros so positivos)

Portanto, os dois nmeros so:

3p=3x2=6 e4p=4x2=8

EXERCCIOS PROPOSTOS

1.Calcule a quarta proporcional dos nmeros dados:

a) 2;5 e 10b) 3;4 e 5

c)4

1e

3

1

2

1;

2 .Calcule a terceira proporcional dos nmeros dados:a) 3 e 6b) 4 e 12

c)4

1e

2

1

3 .Calcule a mdia proporcional entre os nmeros dados:a) 3 e 12

b) 6 e 24c) 128e

2

1



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17

4. Determine dois nmeros na proporo de 3 para 5, sabendo que a soma deles 48.

5.Determine dois nmeros na proporo de 3 para 5, sabendo que o segundo supera o primeiro em 60 unidades.

6.A razo entre dois nmeros igual a 4/5. Determine-os sabendo que eles somam 72.

7. A razo entre dois nmeros igual a 4/5. Determine-os sabendo que o segundo supera o primeiro em 12unidades.

8.Determine dois nmeros na proporo de 2 para 7 sabendo que o dobro do primeiro mais o triplo do segundoresulta igual a 100.

9.Determine dois nmeros na proporo de 2 para 7 sabendo que o quntuplo do primeiro supera o segundo em48 unidades.

10.Dois nmeros positivos encontram-se na proporo de 11 para 13. Determine-os sabendo que a soma de seusquadrados resulta igual a 29.000.

11.Dois nmeros negativos encontram-se na proporo de 7 para 3. Determine-os sabendo que o quadrado doprimeiro supera o quadrado do segundo em 360.

12.Dois nmeros inteiros encontram-se na proporo de 3 para 5. Determine-os sabendo que o produto deles igual a 60.

13.Encontre os trs nmeros proporcionais a 5, 6 e 7, sabendo que a soma dos dois menores igual a 132.

14.Encontre os trs nmeros proporcionais a 3, 4 e 5, tais que a diferena entre o maior deles e o menor iguala 40.

15.Trs nmeros proporcionais a 5, 6 e 7 so tais que a diferena do maior para o menor supera em 7 unidades adiferena entre os dois maiores. Quais so estes nmeros?

16.Trs nmeros so tais que o primeiro est para o segundo assim como 2 est para 5 enquanto a razo doterceiro para o primeiro 7/2. Quais so estes nmeros, se a soma dos dois menores igual a 49?

17.Para usar certo tipo de tinta concentrada, necessrio dilu-Ia em gua na proporo de 3 : 2 (proporo detinta concentrada para gua). Sabendo que oram comprados 9 litros dessa tinta concentrada, quantos litros de

tinta sero obtidos aps a diluio na proporo recomendada?18.Trs nmeros so proporcionais a 2, 3 e 5 respectivamente. Sabendo que o quntuplo do primeiro, mais otriplo do segundo, menos o dobro do terceiro resulta 18, quanto vale o maior deles?

19.Dois nmeros esto entre si na razo inversa de 4 para 5. Determine-os sabendo que a soma deles 36.

20.A diferena entre dois nmeros 22. Encontre estes nmeros, sabendo que eles esto entre si na razoinversa de 5 para 7.

DIVISO PROPORCIONAL

Grandezas diretamente proporcionais

Dada a sucesso de valores (a1, a2, a3, a4, ... ), dizemos que estes valores so diretamente proporcionaisaos

correspondentes valores da sucesso (b1, b2, b3, b4, ...) quando forem iguais as razes entre cada valor de umadas sucesses e o valor correspondente da outra.

.....===3

3

2

2

1

1

b

a

b

a

b

a

O resultado constante das razes obtidas de duas sucesses de nmeros diretamente proporcionais chamado de fator de proporcionalidade.

Exemplo:Os valores 6, 7, 10 e 15, nesta ordem, so diretamente proporcionais aos valores 12, 14, 20 e 30

respectivamente, pois as razes30

15e

20

10

14

7

12

6,, so todas iguais, sendo igual a

2

1o fator de proporcionalidade

da primeira para a segunda.



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18

Como se pode observar, as sucesses de nmeros diretamente proporcionais formam propores mltiplas(j vistas no captulo de razes e propores). Assim sendo, podemos aproveitar todas as tcnicas estudadasno captulo sobre propores para resolver problemas que envolvam grandezas diretamente proporcionais.

Grandezas inversamente proporcionais

Dada a sucesso de valores (a1, a2, a3, a4, ... ), todos diferentes de zero, dizemos que estes valores soinversamente proporcionais aos correspondentes valores da sucesso b1, b2, b3, b4, ... ), todos tambmdiferentes de zero, quando forem iguais os produtos entre cada valor de uma das sucesses e o valor

correspondente da outra.

Exemplo:Os valores 2, 3, 5 e 12 so inversamente proporcionais aos valores 30, 20, 12 e 5, nesta ordem, pois osprodutos 2 x 30, 3 x 20, 5 x 12 e 12 x 5 so todos iguais.

Relao entre proporo inversa e proporo direta

Sejam duas sucesses de nmeros, todos diferentes de zero. Se os nmeros de uma so inversamenteproporcionais aos nmeros da outra, ento os nmeros de uma delas sero diretamente proporcionaisaos inversos dos nmeros da outra.Esta relao nos permite trabalhar com sucesses de nmeros inversamente proporcionais como sefossem diretamente proporcionais.

Diviso em portes proporcionais

1caso: Diviso em partes diretamente proporcionais

Dividir um nmero N em partes diretamente proporcionais aos nmeros a, b, c, ..., significa encontrar osnmeros A, B, C, ..., tais que

N...CBA

c

C

b

B

a

A

=+++

=== ...


1.Dividir o nmero 72 em trs partes diretamente proporcionais aos nmeros 3, 4 e 5.

Indicando por A, B, e C as partes procuradas, temos que:

A=3p, B=4p, C=5p e A+B+C=72

portanto: 3p + 4p + 5p = 72 12p = 72 p = 6valor de A 3p = 3 x 6 = 18valor de B 4p = 4 x 6 = 24valor de C 5p = 5 x 6 = 30

Portanto, as trs partes procuradas so 18, 24 e 30.

2.Dividir o nmero 46 em partes diretamente proporcionais aos nmeros .,

4

3e

3

2

2

1

Reduzindo as fraes ao mesmo denominador, teremos:

12

9e

12

8

12

6,

Desprezar os denominadores (iguais) no afetar os resultados finais, pois a proporo sermantida e ainda simplificar nossos clculos.

Ento, poderemos dividir 46 em partes diretamente proporcionais a 6, 8 e 9 (os numeradores).

Indicando por A, B e C as trs partes procuradas, teremos:

A=6p , B=8p , C=9pA+B+C=46 6p+8p+9p = 46 23p = 46 p=2



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19

As si m, con clu m os qu e: A = 6p = 6 x 2 = 12 , B = 8p = 8 x 2 = 16 e C = 9p = 9 x 2 = 18

As pa rt es pr oc ur ad as s o 12 , 16e 1 8.

3.Dividir o nmero 45 em partes diretamente proporcionais aos nmeros 200, 300 e 400.

Inicialmente dividiremos todos os nmeros dados por 100. Isto no alterar a proporo com as

partes procuradas, mas simplificar os nossos clculos.

(200, 300, 400) 100 = (2, 3, 4)

Ento poderemos dividir 45 em partes diretamente propo rcionais aos nmeros 2, 3 e 4.

Indicando as partes procuradas por:

A = 2p, B = 3p e C= 4pA+B+C=45 2p+3p+4p=45 9p = 45 p =5

As si m, con clu m os qu e: A = 2p = 2 x 5 = 10,B = 3p = 3 x 5 = 15 eC = 4p = 4 x 5 = 20

2 caso: Diviso em partes inversamente proporcionais

Dividir um nmero N em partes inversamente proporcionais a nmeros dados a, b, c,..., significaencontrar os nmeros A, B, C, ... tais que

a x A = b x B = c x C =...e

A+B+C+...= N

4.Dividir 72 em partes inversamente proporcionais aos nmeros 3, 4 e 12.Usando a relao entre proporo inversa e proporo direta vista na pgina 70, podemos afirmar que as

partes procuradas sero diretamenteproporcionais a .,12

1e

4

1

3

1

Reduzindo as fraes ao mesmo denominador, teremos:

12

1e

12

3

12

4,

Desprezar os denominadores (iguais) manter as propores e ainda simplificar nossos clculos.

Ento, poderemos dividir 72 em partes diretamente proporcionais a 4, 3 e 1 (numeradores).Indicando por A, B e C as trs partes procuradas, teremos:

A = 4p, B = 3p, C = 1pA + B + C = 72 4p + 3p + 1p = 72 8p = 72 P = 9

Assim, conclumos que: A = 4p = 4 x 9 = 36,B = 3p = 3 x 9 = 27 eC = 1p = 1 x 9 = 9.

Portanto, as partes procuradas so 36, 27 e 9.

3 caso: Diviso composta direta

Chamamos de diviso composta direta diviso de um nmero em partes que devem ser diretamenteproporcionais a duas ou mais sucesses de nmeros dados, cada uma.

Para efetuarmos a diviso composta direta, devemos:1 ) encontrar uma nova sucesso onde cada valor ser o produto dos valores correspondentes dassucesses dadas;

2) efetuar a diviso do nmero em partes diretamente proporcionais aos valores da nova sucessoencontrada.



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20

5. Dividir o nmero 270 em trs partes que devem ser diretamente proporcionais aos nmeros 2, 3 e 5 etambm diretamente proporcionais aos nmeros 4, 3 e 2, respectivamente.

Indicando por A, B e C as trs partes procuradas, devemos ter:A ser ser proporciona l a 2 e 4 2 x 4 = 8 A = 8pB ser ser proporcional a 3 e 3 3 x 3 = 9 B = 9pC ser ser proporcional a 5 e 2 5 x 2 = 10 C= 10p

A+B +C= 27 0 8p + 9p + 10p =27027p = 270 p = 10A = 8p = 8 x 1 0 = 80B = 9p = 9 x 1 0 = 90C=10p = 10 x 10 = 100

Portanto, as trs partes procuradas so: 80, 90 e 100.

4 caso: Diviso composta mista

Chamamos de diviso composta mista diviso de um nmero em partes que devem serdiretamente proporcionais aos valores de uma sucesso dada e inversamente proporcionais aosvalores de uma outra sucesso dada.

Para efetuarmos uma diviso composta mista, devemos

1) inverter os valores da sucesso que indica proporo inversa, recaindo assim num caso dediviso composta direta;

2) aplicar o procedimento explicado anteriormente para as divises compostas diretas.

6 .Dividir o nmero 690 em trs partes que devem ser diretamente proporcionais aos nmeros l, 2e 3 e inversamente proporcionais aos nmeros 2, 3 e 4, respectivamente.

Invertendo os valores da sucesso que indica proporo inversa, obtemos:

4

1e

3

1

2

1,

Reduzindo as fraes a um denominador comum, teremos:

3e4612

3e

12

4

12

6,,

Ento, indicando por A, B e C as trs partes procuradas, devemos ter:

A ser prop orciona l a 1 e 6 1 x 6 = 6 A = 6pB ser proporcional a 2 e 4 2 x 4 = 8 13=8pC ser proporcional a 3 e 3 3 x 3 = 9 C = 9p

A + B +C = 690 6p + 8p + 9p =690 23p=690 p=30

A =6p = 6 x 30 =180, B = 8p = 8 x 30 =240 eC = 9p = 9 x 30 =270

Portanto, as trs partes procuradas so: 180, 240 e 270.

EXERCCIOS PROPOSTOS

1.Determine X, Y e Z de modo que as sucesses (15, X, Y, Z) e (3, 8, 10, 12) sejam diretamente proporcionais.

2.Determine X, Y e Z de modo que as sucesses (X, 32, Y, Z) e (3, 4, 7, 9) sejam diretamente proporcionais.

3.Determine X e Y de modo que as sucesses (20, X, Y) e (3, 4, 5) sejam inversamente proporcionais.

4.Determine X, Y e Z de modo que as sucesses (6, X, Y, Z) e (20, 12, 10, 6) sejam inversamente proporcionais.

5.Determine X e Y de modo que as sucesses (3, X, Y) e (4, 6, 12) sejam inversamente proporcionais.

6.Dividir 625 em partes diretamente proporcionais a 5, 7 e 13.



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21

7.Dividir 1.200 em partes diretamente proporcionais a 26, 34 e 40.

8.Dividir 96 em partes diretamente proporcionais a 8.e5

2;2,1

9.Dividir 21 em partes inversamente proporcionais a 3 e 4.

10.Dividir 444 em partes inversamente proporcionais a 4, 5 e 6.

11.Dividir 1.090 em partes inversamente proporcionais a .8

7e

5

4,

3

2

12.Dividir 108 em partes diretamente proporcionais a 2 e 3 e inversamente proporcionais a 5 e 6.

13.Dividir 560 em partes diretamente proporcionais a 3, 6 e 7 e inversamente proporcionais a 5, 4 e 2.

14.Repartir uma herana de R$ 460.000,00 entre trs pessoas na razo direta do nmero de filhos de cada uma ena razo inversa das idades delas. As trs pessoas tm, respectivamente, 2, 4 e 5 filhos e as idades respectivasso 24, 32 e 45 anos.

15.Dois irmos repartiram uma herana em partes diretamente proporcionais s suas idades. Sabendo que cadaum deles ganhou, respectivamente, R$ 3.800,00 e R$ 2.200,00, e que as suas idades somam 60 anos, qual a

idade de cada um deles?

REGRA DE TRS

Chamamos de regras de trs ao processo de clculo utilizado para resolver problemas que envolvam duas oumais grandezas direta ou inversamente proporcionais.Quando o problema envolve somente duas grandezas costume denomin-lo de problema de regra de trssimples.

Exemplos:Se um bilhete de ingresso de cinema custa R$ 5,00, ento, quanto custaro 6 bilhetes?As grandezas so: o nmero de bilhetese o preo dos bilhetes.

Um automvel percorre 240 km em 3 horas. Quantos quilmetros ele percorrer em 4 horas?As grandezas so: distncia percorridae tempo necessrio .

Poderemos chamar a regra de trs simples de direta ou inversa, dependendo da relao existente entre asduas grandezas envolvidas no problema.

Quando o problema envolve mais de duas grandezas costume denomin-lo de problema de regra de trscomposta.

Exemplo:Se 5 homens trabalhando durante 6 dias constrem 300m de uma cerca, quantos homens sero necessriospara construir mais 600rn desta cerca em 8 dias?A grandezas so: o nmero de homens , a durao do trabalhoe o comprimento da parte construda.

Para resolver um problema qualquer de regra de trs devemos inicialmente determinar que tipo de relaode proporo existe entre a grandeza cujo valor pretendemos determinar e as demais grandezas.

Relao de proporo direto

Duas grandezas variveis mantm relao de proporo direta quando aumentandouma delas para duas,trs, quatro, etc. vezes o seu valor, a outra tambm aumenta respectivamente para duas, trs, quatro, etc.vezes o seu valor.

Exemplo:Considere as duas grandezas variveis:

(comprimento de um tecido) (preo de venda da pea)

1 metro............. custa........................ R$ 10,002 metros ...........custam .....................R$ 20,00

3 metros .......... custam..................... R$ 30,004 metros .......... custam..................... R$ 40,00



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22

Observamos que quando o comprimento do tecido tornou-se o dobro, o triplo etc., o preo de venda dapea tambm aumentou na mesma proporo. Portanto as grandezas "comprimento do tecido" e "preode venda da pea" so diretamente proporcionais .

Relao de proporo inversa

Duas grandezas variveis mantm relao de proporo inversa quando aumentandouma delas para duas,trs, quatro, etc. vezes o seu valor, a outra diminuirrespectivamente para metade, um tero, um quarto,etc. do seu valor.

Exemplo:Considere as duas grandezas variveis:

Velocidade de Tempo de duraoum automvel da viagem

A 20 km/h ........ a viagem dura ........ 6 horasA 40 km/h.... .... a viagem dura ..... .. 3 horasA 60 km/h.... .... a viagem dura ..... .. 2 horas

Observamos que quando a velocidade tornou-se o dobro, o triplo do que era, o tempo de durao daviagem tornou-se correspondentemente a metade , a tera parte do que era. Portanto, as grandezas"velocidade " e "tempo de durao da viagem" so inversamente proporcionais.

Cuidado!No basta que o aumento de uma das grandezas implique no aumento da outra. preciso que existaproporo.

Por exemplo, aumentando o lado de um quadrado, a rea do mesmo tambm aumenta . Mas no hproporo, pois ao dobrarmos o valor do lado, a rea no dobrae sim quadruplica!

Grandezas proporcionais a vrias outras

Uma grandeza varivel proporcional a vrias outras se for diretamente ou inversamente proporcional acada uma dessas outras, quando as demais no variam.

Exemplo:

O tempo necessrio para construir certo trecho de uma ferrovia diretamente proporcional ao comprimentodo trecho considerado e inversamente proporcional ao nmero de operrios que nele trabalham.

Observe:1) Vamos fixar o comprimento do trecho feito.Em 30 dias, 10 operrios fazem 6 km.Em 15 dias, 20 operrios tambm fazem 6 km.Em 10 dias, 30 operrios tambm fazem 6 km.

Aqui, observa-se que o tempo inversamente proporcionalao nmero de operrios.

2) Agora vamos fixar o nmero de operrios.30 operrios, em 10 dias, fazem 6 km.30 operrios, em 20 dias, faro 12 km.30 operrios, em 30 dias, faro 18 km.

Agora, vemos que o tempo diretamente proporcionalao comprimento do trecho feito.

PROPRIEDADESe uma grandeza for diretamente proporcional a algumas grandezas e inversamente proporcional a outras,ento, a razoentre dois dos seus valores ser igual:ao produto das razes dos valores correspondentes das grandezas diretamente proporcionais a ela...... multiplicado pelo produto das razes inversas dos valores correspondentes das grandezas inversamenteproporcionais a ela.

Exemplo:Vimos no exemplo anterior que o tempo necessrio para construir certo trecho de uma ferrovia diretamente

proporcionalao comprimento do trecho considerado e inversamente proporcionalao nmero de operriosque nele trabalham. Vimos tambm, entre outros, os seguintes valores correspondentes:



24/143

23

(Tempo (Comprimento do (Nmero denecessrio) trecho construdo) operrios)

30 dias 6 km 1020 dias 12 km 30

Aplicando a propriedade vista acima, teremos:

)igualdade!a(verifique10

30x12

6

20

30=


1.Se 5 metros de certo tecido custam R$ 30,00, quanto custaro 33 metros do mesmo tecido?

Soluo:

O problema envolve duas grandezas, quantidade de tecido comprada e preo total da compra. Podemos,ento, montar a seguinte tabela com duas colunas, uma para cada grandeza: Quant. de tecido Preo total (em metros) (em R$)

5 .................................... 30,0033 ...................................... x

Na coluna onde a incgnita xaparece, vamos colocar uma flecha:

Quant. de tecido Preo total(em metros) (em R$)

5 ..................................30,00

33 .................................... x

Note que a flecha foi apontada para o R$ 30,00 que o valor inicial do x indicando que se a quantidade detecido comprado no fosse alterada, o preo total da compra, x, continuaria sendo R$ 30,00.

Agora devemos avaliar o modo como a variao na quantidade de tecido afetar o preo total:

- Quanto mais tecido comprssemos, proporcionalmente maior seria o preo total da compra. Assim asgrandezas preo totale quantidade de tecido so diretamente proporcionais.

Na tabela onde estamos representando as variaes das grandezas, isto ser indicado colocando-se uma flechana coluna da quantidade de tecido no mesmo sentido da flecha do x.

Quant. de tecido Preo total(em metros) (em R$)

5 ................................ .. 30,00

33 .................................... x

A flecha do xindica que seu valor, inicialmente, era R$ 30,00:

inicialmente tinha-se x= 30

A outra flecha (a da quantidade de tecido) indica uma frao, apontando sempre do numerador para o

denominador. Como neste exemplo a flecha aponta do 33 para o 5 a frao .5

33Esta frao nos d a variao

causada em x(o preo) pela mudana da outra grandeza (a quantidade de tecido comprado).

Multiplicando o valor inicial de xpor esta frao podemos armar a igualdade que nos dar o valor final de x:

198x5

3330xx ==

Portanto, os 33 metros de tecido custaro R$ 198,00.

2.Em 180 dias 24 operrios constroem uma casa. Quantos operrios sero necessrios para fazer uma casa

igual em 120 dias?



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24

Soluo:

O problema envolve duas grandezas, tempo de construo e nmero de operrios necessrios.Montaremos, ento uma tabela com duas colunas, uma para cada grandeza:

Tempo (em dias) N de operrios

180 .................................. 24120...................................x

Na coluna onde a incgnita xaparece, vamos colocar uma flecha apontada para o valor inicial do x que 24:

Tempo (em dias) N de operrios180 .................................. 24

120...................................x

Lembre-se que esta flecha est indicando que se o tempo de construo permanecesse o mesmo, o nmero deoperrios necessrios, x, continuaria sendo 24.

Agora, devemos avaliar o modo como a variao no tempo de construo afetar o nmero de operriosnecessrios:

- Quanto menos tempo houver para realizar a obra, proporcionalmente maior ser o nmero de operrios

necessrios. Assim as grandezas tempo de construo e nmero de operrios so inversamenteproporcionais.

Na tabela onde estamos representando as variaes das grandezas, isto ser indicado colocando-se uma flechana coluna da quantidade de tecido no sentido inversoao da flecha do x.

Tempo (em dias) ............ N de operrios

180 ............................... 24

120................................. x

A flecha do xindica que seu valor, inicialmente, era 24:

inicialmente, tinha-se x= 24

Como no exerccio anterior, a outra flecha indica uma frao que nos d a variao causada em x(o nmero deoperrios) pela mudana da outra grandeza (o tempo) apontando sempre do numerador para o denominador.

Como neste exemplo a flecha aponta do 180 para o 120 frao .120

180

Multiplicando o valor inicial de xpor esta frao, armamos a seguinte igualdade que nos dar o valor final de x:

36x120

18024xx ==

Portanto, sero necessrios 36 operrios para fazer a casa em 120 dias.

3.Em 12 dias de trabalho, 16 costureiras fazem 960 calas. Em quantos dias 12 costureiras podero fazer 600calas iguais s primeiras?

Soluo:

O problema envolve trs grandezas, tempo necessrio para fazer o trabalho, nmero de costureirasempregadas e quantidade de calasproduzidas.Podemos, ento, montar uma tabela com trs colunas, uma para cada grandeza:

Tempo N de Quantidade(em dias) costureiras de calas

12 16 960

x 12 600

Para orientar as flechas das outras duas grandezas preciso compar-las uma de cada vez com a grandeza dox e de tal forma que, em cada comparao, consideraremos como se as demais grandezas permanecessemconstantes.- Quanto menoscostureiras forem empregadas maiorser o tempo necessrio para fazer um mesmo servio.Portanto, nmero de costureiras inversamente proporcionalao tempo.



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25

- Quanto menora quantidade de calas a serem feitas menortambm ser o tempo necessrio para produzi-Iascom uma mesma equipe. Portanto, a quantidade de calas produzidas e o tempo necessrio para faz-las sodiretamente proporcionais.

Tempo N de Quantidade(em dias) costureiras de calas

12 16 960

x 12 600

A flecha do x, como sempre, est indicando o seu valor inicial (x= 12).

As outras duas flechas indicam fraes que nos do as variaes causadas em x(o tempo) pelas mudanas dasoutras grandezas (o nmero de costureiras e a quantidade de calas). Lembre-se de que elas apontam sempre donumerador para o denominador.

Multiplicando o valor inicialde xpor estas fraes, temos a igualdade que nos dar o valor final de x:

10x900

600x

12

16x12x ==

Portanto, sero necessrios 10 dias para fazer o servio nas novas condies do problema.

EXERCCIOS PROPOSTOS1.Julgue os itens abaixo em Certosou Errados.( ) Dadas duas grandezas diretamente proporcionais, quando uma delas aumenta a outra tambm aumenta namesma proporo.( ) Dadas duas grandezas diretamente proporcionais, quando uma delas diminui a outra aumenta na mesmaproporo.( ) Dadas duas grandezas inversamente proporcionais, quando uma delas aumenta a outra diminui na mesmaproporo.( ) Dadas duas grandezas inversamente proporcionais, quando uma delas diminui a outra tambm diminui namesma proporo.

2.Julgue os itens abaixo em Certosou Errados.( ) Se duas grandezas A e B so tais que ao duplicarmos o valor de A, o valor de B tambm duplica ento A e Bso grandezas diretamente proporcionais.( ) Se duas grandezas A e B so tais que ao reduzirmos para um tero o valor de A, o valor de B tambm reduz-se para um tero, ento A e B so grandezas inversamente proporcionais.( ) Se duas grandezas A e B so tais que ao triplicarmos o valor de A, o valor de B fica reduzido para um tero doque era, ento A e B so grandezas inversamente proporcionais.( ) Se A uma grandeza inversamente proporcional grandeza B, ento B diretamente proporcional a A.( ) Se duas grandezas A e B so tais que ao aumentarmos o valor de A em xunidades, o valor de B tambmaumenta em xunidades ento A e B so grandezas diretamente proporcionais.

3.Determine, em cada caso, se a relao entre as grandezas de proporo direta (D) ou inversa ( I ).a) O nmero de mquinas funcionando e a quantidade de peas que elas produzem durante um ms. ( )b) O nmero de operrios trabalhando e o tempo que levam para construir uma estrada de 10 km. ( )c) A velocidade de um nibus e o tempo que ele leva para fazer uma viagem de Braslia a So Paulo.( )d) A velocidade de um nibus e a distncia percorrida por ele em trs horas. ( )e) A quantidade de rao e o nmero de animais que podem ser alimentados com ela durante uma semana.

( )f) O tamanho de um tanque e o tempo necessrio para ench-lo. ( )g) O nmero de linhas por pgina e o total de pginas de um livro. ( )h) A eficincia de um grupo de operrios e o tempo necessrio para executarem certo servio. ( )i) A dificuldade de uma tarefa e o tempo necessrio para uma pessoa execut-la. ( )j) A facilidade de uma tarefa e o tempo necessrio para uma pessoa execut-la. ( )k) O nmero de horas trabalhadas por dia e a quantidade de trabalho feito em uma semana. ( )I) O nmero de horas trabalhadas por dia e o nmero de dias necessrio para fazer certo trabalho. ( )

4. (CESPE/96-MPU-Assistente) comum em nosso cotidiano surgirem situaes-problema que envolvemrelaes entre grandezas. Por exemplo, ao se decidir a quantidade de tempero que deve ser usada na comi-da, a quantidade de p necessria para o caf, a velocidade com que se deve caminhar ao atravessar umarua, etc., est-se relacionando, mentalmente, grandezas entre si, por meio de uma proporo. Em relao spropores, julgue os itens abaixo.

( ) A quantidade de tinta necessria para fazer uma pintura depende diretamente da rea da regio a serpintada.( ) O nmero de pintores e o tempo que eles gastam para pintar um prdio so grandezas inversamenteproporcionais.( ) A medida do lado de um tringulo equiltero e o seu permetro so grandezas diretamente proporcionais.



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26

( ) O nmero de ganhadores de um nico prmio de uma loteria e a quantia recebida por cada ganhadorso grandezas inversamente proporcionais.( ) A velocidade desenvolvida por um automvel e o tempo gasto para percorrer certa distncia sograndezas diretamente proporcionais.

5.Se 3 kg de queijo custam R$ 24,60, quanto custaro 5 kg deste queijo?

6.Se 3 kg de queijo custam R$ 24,60, quanto deste queijo poderei comprar com R$ 53,30?

7.Cem quilogramas de arroz com casca fornecem 96 kg de arroz sem casca. Quantos quilogramas de arrozcom casca sero necessrios para produzi r 300 kg de arroz sem casca?

8. Em 8 dias 5 pintores pintam um prdio inteiro. Se fossem 3 pintores a mais, quantos dias seriamnecessrios para pintar o mesmo prdio?

9. Um veculo trafegando com uma velocidade mdia de 60 km/h, faz determinado percurso em duas horas.Quanto tempo levaria um outro veculo para cumprir o mesmo percurso se ele mantivesse uma velocidade mdiade 80 km/h?

10.Uma roda-d'gua d 390 voltas em 13 minutos. Quantas voltas ter dado em uma hora e meia?

11.Duas rodas dentadas esto engrenadas uma na outra. A menor delas tem 12 dentes e a maior tem 78 dentes.Quantas voltas ter dado a menor quando a maior der 10 voltas?

12.Qual a altura de um edifcio que projeta uma sombra de 12m, se, no mesmo instante, uma estaca vertical de1,5m projeta uma sombra de 0,5m?

13.Se um relgio adianta 18 minutos por dia, quanto ter adiantado ao longo de 4h 40min?

14.Um relgio que adianta 15 minutos por dia estava marcando a hora certa s 7h da manh de um certo dia.Qual ser a hora certa quando, neste mesmo dia, este relgio estiver marcando 15h 5min?

15.Um comerciante comprou duas peas de um mesmo tecido. A mais comprida custou R$ 660,00 enquanto aoutra, 12 metros mais curta, custou R$ 528,00. Quanto media a mais comprida?

16.Um navio tinha vveres para uma viagem de 15 dias. Trs dias aps o incio da viagem, contudo, o capito donavio recebe a notcia de que o mau tempo previsto para o resto da viagem deve atras-la em mais 4 dias. Para

quanto ter de ser reduzida a rao de cada tripulante?17.Um rato est 30 metros frente de um gato que o persegue. Enquanto o rato corre 8m, o gato corre 11m. Quala distncia que o gato ter de percorrer para alcanar o rato?

18.Um gato est 72m frente de um co que o persegue. Enquanto o gato corre 7m, o co corre 9rn. Quantosmetros o co dever percorrer para diminuir a metade da tera parte da distncia que o separa do gato?

19.Um gato persegue um rato. Enquanto o gato d dois pulos, o rato d 3, mas, cada pulo do gato vale dois pulosdo rato. Se a distncia entre eles, inicialmente, de 30 pulos de gato, quantos pulos o gato ter dado at alcanaro rato?

20.Um gato e meio come uma sardinha e meia em um minuto e meio. Em quanto tempo 9 gatos comero umadzia e meia de sardinhas?

21.Se 2/5 de um trabalho foram feitos em 10 dias por 24 operrios que trabalhavam 7 horas por dia, entoquantos dias sero necessrios para terminar o trabalho, sabendo que 4 operrios foram dispensados e queo restante agora trabalha 6 horas por dia?

22.Um grupo de 15 mineiros extraiu em 30 dias 3,5 toneladas de carvo. Se esta equipe for aumentada para20 mineiros, em quanto tempo sero extrados 7 toneladas de carvo?

23.Dois cavalos, cujos valores so considerados como diretamente proporcionais s suas foras de trabalhoe inversamente proporc ionais s suas idades, tm o primeiro , 3 anos e 9 meses e o segundo, 5 anos e 4meses de idade. Se o primeiro, que tem 3/4 da fora do segundo, foi vendido por R$ 480,00, qual deve ser opreo de venda do segundo?

24. Se 27 operrios, trabalhando 6 horas por dia levaram 40 dias para construir um parque de formatoretangular medindo 450m de comprimento por 200m de largura, quantos operrios sero necessrios para

construir um outro parque, tambm retangular, medindo 200m de comprimento por 300m de largura, em 18dias e trabalhando 8 horas por dia?



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27

25. Uma turma de 15 operrios pretende terminar em 14 dias certa obra. Ao cabo de 9 dias, entretanto,fizeram somente 1/3 da obra. Com quantos operrios a turma original dever ser reforada para que a obraseja concluda no tempo fixado?

EQUAES DO 1 GRAU

Denominamos equaes do primeiro grau s equaes redutveis forma:

ax+ b = 0 (com a 0)

Exemplos:5x + 10 = 05x + 2 = 2x+21

Raiz de uma Equao

Raiz de uma equao qualquer valor para x que satisfaa a equao.Resolver uma equao significa encontraro conjunto de todas as suas razes.As equaes do 1 grau tm sempre uma nica raiz real. Pode-se encontrar a raiz, de uma equao doprimeiro grau isolando a varivel.

Exemplos:Para encontrar a raiz de 5x + 10 = 0, fazemos:

5x + 10 = 0 5x = -10x =(-10) 5 x = -2 raiz: -2

Para resolver a equao 5x + 2 = 2 x + 23, fazemos:5x + 2 = 2x + 23 5x - 2x = 23 2 3x = 21 x = 21 3 x = 7 raiz: 7

EXERCCIOS PROPOSTOSNos exerccios 1 a 10, resolva as equaes do 1 grau.

1 .5x + 8 = 2x - 25

2 .3x - 42 = 7x - 78

3 .-3(3x - 42) = 2(7x - 52)

4 .2

1

5

x1

2

x=

+

5 .3

9-x5

2

6-3x=

6.2

1

3

2x

2

3x =

++

+

7. 02

1

3

x-2

6

x1=+

+

8. ( )4

1-xx1

2

x3=+

+

9.6

5-x

3

4-2x

4

24x

2

1-3x=

+

10.( ) ( )

3

1-x

2

1

2

x13

3

1-x2=

++



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28

SISTEMAS DE EQUAES DO 1 GRAU COM DUAS VARIVEIS

Um sistema de equaes com duas variveis, x e y, um conjunto de equaes do tipo

ax + by = c (a, b, c R)

ou de equaes redutveis a esta forma.

Exemplo:

=+=

93y3x

13y-x2

Resolver um sistema significa encontrar todos os pares ordenados (x; y) onde os valores de x e de y satis-fazem a todas as equaes do sistema ao mesmo tempo.

Exemplo:

No sistema indicado no exemplo anterior, o nico par ordenado capaz de satisfazer s duas equaessimultaneamente

(x; y) = (2; 1)

Ou seja, x = 2 e y = 1

Resoluo algbrica

Dentre os vrios mtodos de resoluo algbrica aplicveis aos sistemas do 1 grau, destacamos dois: mtodo da adio mtodo da substituio

Para exemplific-los, resolveremos o sistema seguinte pelos dois mtodos:

=+=+

(II)

(I)

122y3x

7yx2

A) Mtodo da Adio

1 passo: Multiplicamos as equaes por nmeros escolhidos de forma a obtermos coeficientes opostos emuma das variveis.No caso, poderemos multiplicar a equao (I) por -2:

=+=

= =+

(II)

(I)

122y3x

14-2y-4x-

14-2y-4-7y2x x(-2)

Observe que a varivel y tem, agora, coeficientes opostos.

2 passo: Somamos membro a membro as equaes encontradas:

2-01x-

122y3x

14-2y-4x-

=+=++=

A var i ve l y fo i cancelada restando apenas a var ivel x na l t ima equao.

3 passo: Resolvemos a equao resul tante que tem somente uma var ivel :

-1x = -2

x = 2



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4 passo: O valor da varivel encontrada substitudo numa das equaes iniciais que conte-nha tambm a outra var ivel e, ento, resolvemos a equao resul tante:

2x + y = 72(2) + y = 7 4 + y = 7 y = 7 -4

y = 3

5 passo: Escrevemos o conjunto-soluo:

S = {(2; 3)}

B) Mtodo da Substituio

1 passo:Isolamos uma das var iveis em uma das equaes dadas:

=+==+

122y3x

2x-7y7y2x

2 passo: a var ivel isolada subst i tuda na outra equao e, ento, resolvemos a equaoresul tante que tem somente uma var ivel :

3x +2y = 123x + 2(7 - 2x) = 123x +14 - 4x = 123x 4x = 12- 14 -1x = -2 x=2

3 passo: Levamos o valor encontrado para a equao que tem a varivel isolada e calculamoso valor desta:

y = 7 -2xy = 7 -2 (2) y = 7 -4 y = 3

4 passo: Escrevemos o conjunto-soluo:

S = {(2; 3)}

Sistema indeterminado

Se, ao tentarmos encontrar o valor de uma das variveis, chegarmos a uma expresso do tipo

0 = 0 ou3 = 3

ou qualquer outra que expresse uma sentena sempre verdadeira, o sistema ter infinitas solues ediremos que ele possvel mas indeterminado.

Sistema impossvel

Se, ao tentarmos encontrar o valor de uma das variveis, chegarmos a uma expresso do tipo

0 = 3 ou2 = 5

ou qualquer outra que expresse uma sentena sempre falsa, o sistema no ter qualquer soluo ediremos que ele impossvel.

O conjunto-soluo de um sistema impossvel vazio.



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Resoluo grfica

Vamos considerar um sistema do 1 grau com duas variveis e duas equaes:

reta.umarepresenta

sistemadoequaoCada(s)pnymx

(r)cbyax

=+=+

Cada ponto comum s retas do sistema corresponde a uma soluo. Ento, as pergunta-chaves so:

As retas do s istema tm a lgum ponto em comum?Quantos?

Graficamente, existiro trs situaes possveis:

1) Retas Concorrentes

Se as retas forem concorrentes o sistema ter uma nica soluo. Ser um sistema possvel e deter-minado.

2) Retas Paralelas Coincidentes

Se as retas forem coincidentes o sistema ter infinitas solues. Ser um sistema possvel masindeterminado.

3) Retas Paralelas Distintas

Se as retas forem paralelas e distintas o sistema no ter qualquer soluo. Ser um sistemaimpossvel.

EXERCCIOS PROPOSTOS

1.Resolva os seguintes sistemas:

==+1y-x

5yxa)



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32

Resolver uma equao do 2 grau significa determinar valores da incgnita que tornem a equao verdadeira.

Cada valor nestas condies ser ento chamado raiz da equao.

Resoluo Algbrica

A determinao algbrica das razes de uma equao na forma ax2+ bx + c = 0, com a 0, pode ser obtidacom a frmula de Bskara:

2a

b-x

=

onde = b2- 4ac (discriminante da equao)

O sinal do discriminante, , determina a quantidade de razes da equao do segundo grau:

> 0 duas razes reais e distintas; = 0 uma nica raiz real (duas razes iguais); < 0 nenhuma raiz real.

Determinao de Razes Usando a Somo e o Produto

Freqentemente, as razes das equaes quadrticas com que nos deparamos so nmeros racionais ou atinteiros.Nestes casos, podemos usar um "atalho" para determinar as razes, comparando o produtoe a soma dasmesmas, como ilustraremos a seguir.

1 caso - Razes Inteiras

Vamos determinar as razes das equaes nos exemplos abaixo:

razes)das(produto243

72

a

cP

razes)das(soma103

30

a

b-S

072-30x3x- 2

=

==

=

==

=+a)

Comearemos pelo produto, fazendo uma lista ordenada de todos os produtos possveis e iniciando semprepelos menores fatores:

P = 24

deste lado 1 24ficam os 2 12menores 3 8 4 6

Depois daremos os sinais aos fatores, do seguinte modo:

1 - o Sinal da Soma Sempre na Segunda coluna;2 - na primeira coluna usaremos:

mesmo sina l de S- se P positivo. sinal oposto de S- se P negativo.

P = 24

mesmo sinal + 1 +24 Sinal da Soma nade S, pois + 2 +12 Segunda Coluna P=(+) + 3 +8 S=(+) + 4 +6



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33

Finalmente, procuramos em qual das linhas se encontra o par que nos d a soma correta (S = 10),pois a estaro as razes:

P = 24

+ 1 + 24 + 2 + 12 + 3 + 8

Este par faz S = 10 + 4 + 6 As razes so +4 e +6

242

48

a

cP

14-2

28-

a

b-S

04828x2x2

===

===

=++b)

Fazendo a lista dos produtos e colocando os sinais, teremos:

P = 24

- 1 - 24Mesmo sinal, - 2 - 12 Sinal da Soma na de S, pois - 3 - 8 Segunda Coluna P = (+) - 4 - 6 S = (-)

A segunda li nha nos deu a soma correta (S =-14).

Portanto:As razes so -2 e -12.

24-5-

120

a

cP

55-

25-

a

b-S

012025x5x- 2

===

===

=++c)

Fazendo a lista dos produtos e colocando os sinais:

P = -24

- 1 + 24Sinal oposto - 2 + 12 Sinal da Soma nade S, pois - 3 + 8 Segunda Coluna P = (-) - 4 + 6 S = (+)

A te rc ei ra li nh a nos de u a soma correta (S = 5).

Logo:As razes so -3 e +8.

2 caso - Razes Fracionrias (usando Soma e Produto!)

a) -12x2 + x + 6 = 0

Se voc j estudou este assunto anteriormente, provavelmente ouviu dizer que casos como este eram"impossveis" ou "muito difceis" de se resolver por soma e produto. Mas no bem ass im.Na verdade at bem fcil. Veja como:

Mtodo "Locikiano"

Primeiro, devemos sempre trabalhar com o coeficiente principal (a) positivo.

Isto feito multiplicando a equao por -1 , que no altera as razes:

06-x-12x06x12x- 2x(-1)2 = =++



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34

Agora "passaremos" o coeficiente principal (a = 12) para o termo independente, mult ipl icando-os econseguindo uma nova equao:

4484476equaonova

272-12x(-6)2 0-xx0-x-x = = = 72612

Nesta equao nova, procuraremos as razes:

72-1

72

a

cP

11

1

a

b-S

072-x-x2

===

===

=

P = -72

- 1 + 72- 2 + 36- 3 + 24- 4 + 18- 6 + 12

- 8 + 9 razes da equao nova: -8 e +9.

Finalmente, obteremos as razes da equao original dividindoas razes da equao nova por a ( a =

12

9e

12

-8 +que, simplificadas, do:

4

3e

3

-2 +

Ento, as razes da equao -12x2+ x + 6 = 0 so:4

3e

3

-2 +

b) 2 x2+9x-5=0

1 ) "Passando" o coeficiente principal (que j posit ivo)

0-9xx0-9xx

equaonova

2102x(-5)244 844 76

=+ =+ = 1052

2) Resolvendo a nova equao: x2 + 9x - 10 = 0

P = -10

+1 -10 razes da equao+2 -5 nova: +1 e -10

3 ) Dividindo as razes encontradas por a = +2:

2

-10e

2

1+, ou se jam:

2

1e 5

Ento as razes de 2x2+ 9x - 5 = 0 so:2

1 e 5

EXERCCIOS PROPOSTOS

1.Resolva as seguintes equaes incompletas do segundo grau:a) x2- 25 = 0b) 3x2- 108 = 0c)5x2 980 = 0d) x2- 1.225 = 0e) 2x2- 16 = 0f)-3x2 + 60 = 0

2 .Resolva as seguintes equaes incompletas do segundo grau:a) x2 6x = 0b) x2 + 6x = 0



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c) 2x2- 3x = 0d)-5x2 + 7x = 0e)19x2 - 15x = 0f) 0,5x2 + 3x = 0

3 .Resolva as seguintes equaes completas do segundo grau.a) x2 - 13x + 12 = 0b) x2 - 8x + 12 = 0c) x2 + 7x + 12 = 0

d) x2 - 20x + 36 = 0e) x2 + 15x + 36 = 0f) x2 - 11x - 12 = 0g) x2 + 11x - 12 = 0h) x2 - x - 12 = 0i) x2 + x - 12 = 0j ) x2 - 9x - 36 = 0k) -x2 + 8x + 20 = 0l) -x2 + x + 20 = 0m) -x2 + x + 12 = 0n) -x2 - 35x + 36 = 00) -x2 + 37x -36 = 0

4 .Resolva as seguintes equaes completas do segundo grau.

a) 2x2

+ 3x - 2 = 0b) 15x2 - 8x + 1 = 0c) 3x2 + 4x + 1 = 0d) 2x2 - 5x + 2 = 0

5 .Ver i f ique se -2 raiz da equao 2x2- 5x - 18 = 0 .

6.Calcular mna equao mx2- 3x + (m - 1) = 0, de modo que uma de suas razes seja igual a 1.

7.Determine mna equao 2x2- mx + x + 8 = 0, de modo que a soma de suas razes seja igual a 5.

8.Determine mtal que as razes de 4x2+ (m + 1)x + (m + 6) = 0 sejam iguais.

9.Determine dois nmeros cuja soma seja -2 e o produto seja -15.

10.Decompor o nmero 21 em duas parcelas tais que o produto entre elas seja 110.

11.A soma de um nmero natural com o seu quadrado igual a 72. Determine este nmero.

12.A soma de certo nmero inteiro com o seu inverso igual a 50/7. Qual esse nmero?

13.Determine dois nmeros inteiros e consecutivos tais que a soma dos seus inversos seja 5/6.

14.Determine dois nmeros pares, positivos e consecutivos cujo produto seja 120.

15.A diferena entre o quadrado e o triplo de um mesmo nmero natural igual a 54. Determine esse nmero.

FUNES

Definies

Dados dois conjuntos no vazios, A e B, chama-se funo de A em B a qualquer relao tal que a cada um doselementos do conjunto A corresponda sempre um nico elemento do conjunto B.Indicamos que uma relao uma funo de A em B, escrevendo :A B. O conjunto A o domnio dafuno e o conjunto B o contradomnio.

Domnio de -D( ) = A

Contradomnio de - CD( ) = B

Numa funo A B, chamamos de conjunto Imagem da funo ao conjunto de todos os elementos de B(contradomnio) que tiveram alguma correspondncia com valores de A (domnio).

Lei de uma funo

Para o nosso estudo interessam apenas as funes definidas para conjuntos numricos, cujas relaes sejamdefinidas por operaes aritmticas.



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Exemplos:

1 - A funo : N N*definida por f(x) = 3x +2 associa a cada x No nmero 3x+2 N* chamado imagemdo elemento x.

A imagem do elemento x= 5 ser 17, pois 3(5) + 2 = 17

e anotamos f(5) = 17.

2- A funo Z N*definida por f(x) = 3x2+ 2 associa a cada x Z o nmero 3x 2+2 N*chamado imagemdo elemento x.

A imagem do elemento x= -2 ser 14, pois 3(-2) 2 + 2 =3 X 4 + 2 = 14

e anotamos f(-2) = 14.

Grfico de uma fun o

Considere todos os pares ordenados (x , y) onde x pertence ao domnio da funo e y a imagem de xpela funo .Ogrfico cartesiano de uma funo numrica a representao grfica onde cada um desses pares orde-nados mostrado como um ponto do plano cartesiano.Discutiremos os detalhes dos grficos de funes no estudo das funes do 1 e do 2 graus.

Funo do 1 Grau

Denominamos funo do primeiro grau a qualquer funo f: R R, tal que:

f(x) = ax + b (com a 0)

O grfico de uma funo do 1 grau sempre uma reta inclinada que encontra o eixo vertical quando y = b.

O valor constante bda expresso ax + b chamado coeficiente linear.

O coeficiente ada expresso ax + b chamado coeficiente angular e est associado ao grau de inclinaoque a reta do grfico ter (na verdade o valor de a igual tangente de um certo ngulo que a reta dogrfico forma com o eixo horizontal).

Se a > 0 a funo ser crescente, ou seja, quanto maior for o valor de x, maior ser tambm o valorcorrespondente de ye o grfico vai ficando mais alto para a direita.

Se a < 0 a funo ser d e c r e s c e n t e , o u seja, quanto m a i o r for o valor de x, m e n o r ser o valorcorrespondente de y e o grfico vai ficando mais baixo para a direita.



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EXERCCIOS PROPOSTOS

1.O grfico da funo f(x) = 3x - 9 encontra o eixo das abscissas (horizontal) quando x igual aa) -9b) -3c) 0d) 3e) 9

2.O grfico da funo f(x) = -2x -14 encontra o eixo das ordenadas (vertical) quando y igual aa) -14b) -7c) 0d) 7e) 14

3.A funo do primeiro grau f(x) = ax + 8 crescente e encontra o eixo das abscissas (horizontal) quando x igual a - 4. Ento o valor de a:a) -4b) -2c) 2d) 4e) 8

4.Considere que a funo do primeiro grau definida por f(x) = ax + 10 seja crescente. Assinale a opo que indicaum valor impossvel para a raiz desta funo.a) -25b) 4c) -3 d) 2e) 4

5.(CESCEM) Para que os pares (1; 3) e (3; -1) pertenam ao grfico da funo dada por f (x) = ax + b, o valor deb - a deve ser:a) 7b) 5c) 3

d) -3e) -7

6.Uma funo real fdo 1 grau tal que f (0) = 1 + f (1) e f (-1) = 2 - f (0). Ento, f (3) :a) -3

b)2

5-

c) 1d) 0

e)2

7

7.Para que a funo do 1 grau dada por f (x) = (2 - 3k) x + 2 seja crescente devemos ter:

a) 3

2k=

b)3

2k=

d)3

2-k

8.(UnB/95-STJ) Um passageiro recebe de uma companhia area a seguinte informao em relao bagagem aser despachada: por passageiro, permitido despachar gratuitamente uma bagagem de at 20kg; para qualquer

quantidade que ultrapasse os 20kg, ser paga a quantia de R$ 8,00 por quilo excedente. Sendo P o valor pagopelo despacho da bagagem, em reais, e M a massa da bagagem, em kg, em que M > 20, ento:a) P = 8Mb) P = 8M - 20



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c) P = 20 - 8Md) P = 8(M - 20)e) P = 8(M + 20)

FUNO DO 2 GRAU

Denominamos funo do segundo grau a qualquer funo f: R R, tal que:

f(x) = ax2+ bx+ c(com 0)

Os grficos das funes do 2 grau so sempre parbolas.

O que exatamente uma parbola? As parbolas so curvas especiais construdas de uma tal maneira que cadaum dos infinitos pontos que formam a parbola ficam mesma distncia de uma certa reta (reta diretriz da par-bola) e de um certo ponto (foco da parbola) que est fora da reta diretriz.

Na funo f(x) = ax2 + bx + c, o valor ac4-b 2= chamado discriminante da expresso quadrtica.Dependendo do sinal do discriminante ( ) e tambm do sinal de a, teremos uma das seis situaes descritasabaixo, que mostram a posio da parbola em relao ao eixo horizontal:

1 - Se > 0 h duas razes reaise a parbola encontrar o eixo horizontal (x) em dois pontos distintos (queso as razes de ax2 + bx+ c = 0).

2 - Se = 0 h uma s raiz reale a parbola encontrar o eixo horizontal em um nico ponto (que a nicaraiz de ax2 + bx+ c = 0).

3 - Se < 0 no h razes reaise o grfico no encontrar o eixo horizontal.

Vrtice da Parbola

O vrtice de uma parbola um ponto da parbola com vrias caractersticas interessantes. Ele ser o ponto maisalto (ponto de mximo) ou o ponto mais baixo (ponto de mnimo) da parbola. Alm disto, o vrtice da parboladivide a parbola em duas partes, sendo uma crescente e outra decrescente.



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Coordenadas do Vrtice

As coordenadas do vrtice podem ser obtidas com as seguintes expresses:

4a

-y

2a

-bx

v

v

=

=

Uma forma alternativa de se conseguir estas coordenadas fazendo:

1 - Conhecidas as razes da funo, o xdo vrtice pode ser calculado como a mdia aritmtica das razesdafuno.

2

rrx 21v

+=

2 - Conhecido o valor de x , pode-se calcular o ydo vrtice como o valor que a funo assume para x = x y:

yv= a(xv)2 + b(xv) + c

O vrtice da parbola ser:

- ponto de mnimosempre que a> 0;- ponto de mximosempre que a< 0.

EXERCCIOS PROPOSTOS

1. A funo do segundo grau f(x) =x2+ bx + c encontra o eixo horizontal para x = 2 e para x = 5. Ento osvalores de b e de cso, respectivamente:a) -7 e -10b) 7 e 10c) -7 e 10d) 7 e -10e) 10 e 7

2. O grfico de f(x) = x2+ bx + 9 encontra o eixo das abscissas em um nico ponto. Ento o valor de b:

a) 36b) 6c) 36d) 6e) - 6

3.As razes de f(x) = 2x2+ bx + c tm sinais opostos. Logo:a) b2- 8c igual a zero.b) b2- 8c negativo.c) c < 0.d) b < 0.e) b < c.

4.As razes de f(x) =-3x2 + bx + c so positivas e distintas. Logo:a) b2- 8c igual a zero.b) b2- 8c negativo.c) c > 0.d) b > 0.e) b < c.

INEQUAES DO 1 E DO 2 GRAUS

Resolver uma inequao num dado conjunto numrico U (universo)significa encontrar o conjunto de todos osvalores de U que tornam verdadeira a inequao. Este subconjunto de U chamado conjunto-soluo ouconjunto-verdadeda inequao.

Inequaes do 1 grau

Denominamos inequaes do primeiro grau s inequaes redutveis a uma das seguintes formas:

ax+ b < 0ax+ b < 0ax + b > 0



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41

Como as razes so 1 e 2, teremos: x < 1 ou x > 2.

S={x R/x < 1 ou x > 2}

2 .Resolver a inequao - 4x2+ 4x - 1 < 0

Soluo: Multiplicando a inequao por -1, faremos a > 0 :

4x2- 4x + 1 > 0

= (- 4)2- 4(4)(1) = 16 -16 = 0 (nulo uma s raiz)

Ento f(x) > 0 ocorrer para todo x diferenteda raiz.

Como a raiz 1/2, teremos: x 1/2.

S={x R/ x 1/2}

3 .Resolvera inequao x2 - 5x +8 < 0

Soluo: J temos a > 0 :

= (-5)2 - 4(1)(8) = 25 - 32 = - 7 (negativos no h razes)

Ento f(x) ser sempre positiva (pois a > 0)

Como o pedido foi f(x) < 0 (que nunca ocorrer) teremos um conjunto-soluo vazio, pois no hqualquer valor que satisfaa f(x) < 0.

S =

EXERCCIOS PROPOSTOS

Nos exerccios 1 a 5, resolver as inequaes do 2 grau.

1 .x2 + 11 x - 12 >02 .-x 2 + x + 12 0

3 .x2

- 6x + 9 >04 .-x 2 - 16 x 64 05 .3 x 2 + 42 < 0

FUNES EXPONENCIAIS E LOGARTMICAS

FUNO EXPONENCIAL

toda funo f de R em R tal que:

f(x) = a x, com o 1.



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Portanto, sempre que a >1 teremos:

ax> az x >zax< az x 1)

A funo exponencial ser decrescente sempre que 0 < a


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3. O valor de x que satisfaz a equao 8 x-1 = 4 x :a) 1b) 3c) 4d) 5e) 6

4 .O valor de x que satisfaz a equao 2 x- 1+ 2 x+ 1= 80 :a) 2

b) 3c) 4d) 5e) 6

5 . Uma das solues da equao exponencial 0526-2 x2x =+ x = 0. A outra soluo, que no inteira, um nmero real compreendido entre:a) 0 e 1b) 1 e 2c) 2 e 3d) 3 e 4e) 4 e 5

6. As so lues do si stema ( )

=

=+

82

162

yx

yx

so razes da equao:

a) a 2 + 3a - 4 = 0b) a 2- 3a - 4 = 0c) a 2 - 4a - 3 = 0d) a 2 - 4a + 3 = 0e) a 2 + 4a + 3 = 0

7 .O conjunto-soluo da inequao

:7

3

7

35-2x3x

8 }b) {x R/x > 2 }

c) {x R/x 8/3}e) {x R/x < 2 }

8. O conjunto-soluo da inequao 5 x-3 >0 :a) {x R/x > 3 }b) {x R/x < 3} e) {x c= R}c) {x R/x >0 }d) {x R/x > - 3}e) {x R }

9 .Para que a funo exponencial f(x) = (a-3)x seja decrescente, necessrio, mas no suficienteque:a) a >4b) a 3d) a


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l og 3 9 = 2

2 -3 = 1/8 -3 o logaritmo de 1/8 na base 2

l og 2 -38

1 =

Na expresso log b (a) = x,a o logaritmando - o resultado da potncia bx ; b a base;

x o logaritmo - o expoente da potncia b x.

Condies de Existncia dos Logaritmos

O logaritmandoe a basede um logaritmo devem ser sempre positivose a baseainda deve ser semprediferente de 1.

logb(a) existe se e somente se:a >0b >0b 1

Exemplos:

1Determinar xpara que exista log2(2x-10).2x-10 >0x >5

2Determinar o valor de xpara que exista logx-9(8).x-9 >0 e x-9 1x >9 e x 10

Propriedades dos Logaritmos

Sejam M, Ne bpositivos e b 1, tem-se:

1a)logb (b) = 1

2 )logb(1) = 0

3 )logb (M)= logb (N) M = N

4 )logb(bk) = k

5 )logb (MXN) = Iogb(M) + logb(N)

6 )logb (M N) =logb (M)- logb( N)

7 )logb (Mk) = kxlogb (M)

Cologaritmo

Chama-se cologaritmo de um nmero ao oposto do logaritmodeste nmero.

Cologb (N) = -logb (N)

Antilogaritmo

Chama-se antilogaritmo de k na base b k-sima potncia da base b.

antilogb (k)= bk

Representao de logaritmos Decimais

Chamam-se logaritmos decimais aos logaritmos de base dez.A representao dos logaritmos decimais feita indicando-se apenas log (x).



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2 Se o 5 termo de uma P.A. 13 e o 9 termo 45, pode-se determinar a razo da seguinteforma:

8r4r32

4r13-45

r41345

r5)-(9aa 59

===

+=

+=

3 Numa P.A. de razo 6, o valor do 8 termo 40 e o ltimo termo vale 106. Pode-sedeterminar o nmero de termos da P.A. como segue:

19n8-n11

68)-(n66

68)-(n40106

r8)-(naa

6:razo

40a:termooitavo

106a:termoltimo

dados

8n

8

n

===

+=+=

==

Soma de n termos consecutivos de uma P.A. (Sn)Para calcularmos a soma de ntermos consecutivos de uma P.A., devemos:1Calcular a mdia aritmtica dos dois extremos;2Multiplicar a mdia pelo nmero de termos somados.

n2

aaS n1n

+=

Exemplo: Numa P.A. com 30 termos o primeiro 12 e o ltimo, 58. Qual o valor da soma de todos eles?

Soluo:

1.050S

1.0503035S

30270S

302

5812S

30

30

30

30

===

=

+=

EXERCCIOS PROPOSTOS

1.Determine a razo de cada uma das seguintes progresses ari tmticas:a) (34, 41, 48, 55, 62)b) (78, 83, 88, 93, 98)c) (19, 17, 15, 13, 11)d) (-30, -27, -24, -21)e) (4/3, 5/3, 2, 7/3)

2.Determine o 10 termo de cada uma das progresses aritmticas do exercc io anterior.

3.Determine o termo indicado em cada uma das seguintes progresses aritmticas:a) a6= 2, r = 2, a 20 = ?b) a10= 15, r = 3, a 30= ?c) a8 = 100,r = 5,a 18 =?d) a20 = 40, r = -l0, a 100= ?e) a40= 18, r = 20, a 80= ?f) a37 = 56, r = 12, a 49= ?

4.Determine o primeiro termo das progresses aritmticas em cada caso:a) a10 =190 e r = 8b) a15 = 580 e r = 10c) a20 = 120 e r = 5d) a8 = 70 e r = 7e) a100 = 750 e r = -2f) a 46 = 280 e r = -2g) a10 = -30 e r = -3



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h) a8 = 0 e r = -5

5.Determine a razo de cada P.A. seguinte:a) a1 = 5 e a 11 = 85b) a1 = 10 e a26 = 135c) a1= 100 e a 16= 40d) a1= 50 e a 13 = -10e) a5 = 50 e a 15 = 150f) a10 = 105 e a 25 = 135

g) a20 = 200 e a 100 = 240h) a45 = 300 e a 100= 190

6.Determine o nmero de termos de cada uma das progresses aritmticas seguintes:a) (1, 7, 13, ..., 121)b) (74, 95, ..., 200)c) (-3,0, ..., 39)d) (108, 117, ... 999)e) (1, 3, 5, ..., 99)f) (2, 4, 6, ..., 100)

7.Determine o quarto termo de cada seqncia resultante nas seguintes interpolaes aritmticas:a) Interpolar 3 meios aritmticos entre 12 e 28.b) Inserir 5 meios aritmticos entre 10 e 40.

c) Interpolar 6 meios aritmticos entre 20 e 90.d) Inserir 10 meios aritmticos entre 10 e 109.e) Interpolar 5 meios aritmticos entre 40 e 10.

8.Sabendo que os trs primeiros termos de uma P.A. so, respectivamente, x - 1, x + 5 e 4x - 4, encontre ovalor numrico do quarto termo.

9.Determine a razo da P.A. (5 - x, x +

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