Matem Tica 4 89

MATEMTICA

Didatismo e Conhecimento 1

MATEMTICA

Prof. Sonia Maria Pontelli TamoyoGraduada em Matemtica; Complementao Pedaggica; Atividade no Estado e Escolas particulares por 25 anos

1. NMEROS INTEIROS: OPERAES E PROPRIEDADES.

2. NMEROS RACIONAIS, REPRESENTA-O FRACIONRIA E DECIMAL: OPERA-

ES E PROPRIEDADES.

Conjunto dos Nmeros Inteiros: z

o conjunto formado pelos nmeros inteiros positivos, zero e nmeros inteiros negativos. O conjunto Z uma ampliao do conjunto N.

Z= {... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...}Os subconjuntos de Z so:Z T = {... -3, -2, -1, 1, 2, 3...} = excluir o zero do conjunto.Z + = {0, 1, 2, 3, 4...}Z _ = {... -3, -2, -1, 0}Z + = {1, 2, 3, 4...}Z _ = {..., -3, -2, -1}

Relao de ordem nos nmeros inteiros

Quando estabelecemos uma relao de ordem entre dois n-meros, estamos identificando se eles so iguais, ou qual deles o maior. Observe a reta numrica.

]

Dados dois nmeros inteiros, o maior o que estiver di-reita.

Ex: -1 maior que -3, 4 maior que zero

Mdulo ou valor absoluto

o nmero sem considerar o seu sinal. Para indicar mdulo escrevemos o nmero entre barras.

Ex: 3 = 3 5+ = 5

Nmeros opostos ou simtricos

So nmeros com o mesmo valor absoluto e sinais contr-rios.

Ex: +4 e -4 so nmeros opostos ou simtricos.

Adio e subtrao de nmeros inteiros

Para juntar nmeros com sinais iguais, adicionamos os valo-res absolutos e conservamos o sinal

Quando os nmeros tem sinais diferentes, subtramos os va-lores absolutos e conservamos o sinal do maior.

Ex: +5+7 = +12 -5 -7 = -12 +5 7 = -2 -5 +7 = +2

Multiplicao e diviso de nmeros inteiros

Para multiplicar ou dividir nmeros inteiros efetuamos a ope-rao indicada e usamos a regra de sinais abaixo:

+ + = + Sinais iguais, resultado positivo- - = + + - = - Sinais diferentes, resultado negativo- + = -Ex: (+4) . (+5) = +20 (+30) : (+6 ) = +5 (-3) . (-6 ) = +18 (- 20) : (-5 ) =

+4 (+8) . (-3 ) = -24 (+18) : (-3 ) = -6 (-6 ) . (+5 ) = -30 ( - 15) : (+5) = -3

Potenciao e radiciao de nmeros inteiros

Potenciao uma multiplicao de fatores iguais.Ex: 2 3 = 2.2.2=82 a base, 3 o expoente e 8 a potnciaEstamos trabalhando com nmeros inteiros, portanto pode

aparecer base negativa e positiva.Ex: (+3) 2 = (+3) . (+3) = +9 (+2 ) 3 = (+2) . (+2) . (+2) = +8 (-2 ) 2 = (-2 ) . (-2 ) = +4 (-2 ) 3 = (-2 ) . (-2 ) . (-2) = -8Se a base positiva o resultado sempre positivo.Se a base negativa e o expoente par o resultado positi-

vo[.Se a base negativa e o expoente impar o resultado ne-

gativoImportante: Todo nmero elevado a zero sempre igual a 1Raiz quadrada de um nmero quadrado perfeito um nmero

positivo cujo quadrado igual ao nmero dado.Ex: 25 =5 , pois 25 =25OBS:

1. Para multiplicar 3 ou mais nmeros inteiros, multiplicamos os valores absolutos de todos os nmeros e contamos os sinais ne-gativos. Se o nmeros de negativos for impar e resultado ter sinal negativo , se for par o resultado ser positivo.

Ex: (-3).(-5).(+2).(-1) = -30 3 negativos(impar), resultado negativo.

(-2).(-3).(+6).(-1).( -2) = +72 4 negativos(par), resul-tado positivo.

2. Para eliminar parnteses usamos a mesma regra de sinais da multiplicao e da diviso.

Ex: -(+4) = -4 -(-5) = +5


MATEMTICAExpresses Numricas em Z

Para resolver uma expresso numrica devemos obedecer a seguinte ordem:

1) Resolver as potenciaes e radiciaes na ordem em que aparecem

2) Resolver as multiplicaes e divises na ordem em que elas aparecem

3) Resolver as adies e subtraes na ordem em elas apa-recem

H expresses em que aparecem os sinais de associao que devem ser eliminados na seguinte ordem:

1) ( ) parnteses2) [ ] colchetes3) { } chaves

Exerccios Resolvidos

1. calcule as operaes indicadas:a) (+8) + (-6) (-3) (-2)Resoluo+8 -6 +3 +2 = +13 - 6 = +7b) -(-3) . (-5) + (-4)Resoluo+3. (-5)-4 = -15 4 = -19c) (+55) : (-5) + (-5) . ( -2) Resoluo-11+(+10) = -11+10 = -1

2. Quais so os nmeros inteiros entre -2 e 1 incluindo esses dois?

Resoluo-2,-1,0,1

3. Calcule as potncias e resolva as operaes: (-5) 1 - [(-2) 5 :4-7] + (-1) 379 . (-5) 2

Resoluo-5-[-32:4-7]+(-1).(+25)-5-[-8-7]+(-25)-5-[-15]-25-5+15-25+10-25-15Exerccios

1. Quais so os nmeros inteiros; a) de -1 a -5, incluindo esses dois nmeros? b) de -4 a 3, nclundo, esses dois nmeros?

2. Qual : a) o valor absoluto de 7? b) o valor absoluto de -9?

3. Verifique se estes nmeros so opostos a) +15 e -15 b) +9 e -9 c) -14 e +14 d) -4 e +2

4. Qual o valor das expresses:

a) 25 -[(-3)3 +6]-[-(-4) 2 .3+5.(-2) 3 ]

b)(+3) 102 )4()2( +

c) (-6) 0232 )35()5(:)10()4.( ++

5. Descubra que nmero :

a) -(-15) b) -(+3) c) -(-2 001) d) -(+217)

6. D trs exemplos de: a) nmeros menores que +1. b) nmeros menores que -10. c) nmeros negativos maiores que -10

7. Qual o nmero maior a) +44 ou -100? b) -20 ou +8? c) -17 ou -10? d) -5 ou 0?

8. Encontre o valor da expresses:a) -9-(-23+12-1)-(21-9)b) -5.(-2) + (-3+5).(-1)c) (-16) : 4 . (-2) + (-2)d) 6 : (-3) + 2(-1) -20 : (-4)

9. Considere as afirmaes:I. Qualquer nmero negativo menor que zero.II. Qualquer nmero positivo maior que zero.III. Qualquer nmero negativo menor que um nmero po-

sitivo.Quais dessas afirmaes so verdadeiras?

10. Descubra o nmero que deve ser adicionado a +25 para que a soma seja +20.

Respostas

1. a) -5,-4,-3,-2,-1b) -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2,3

2. a) 7b) 9

3. a) simb) simc) simd) no


MATEMTICA4. a) 25 -[(-3) 3 +6]-[-(-4) 2 . 3+5. (-2) 3 ]5 [ -27 +6] [ - (+16) . 3 + 5 . (-8)]5 [-21 ] [-16 . 3 + 5 . (-8)]5 [-21 ] [ -48 -40]5 + 21 [-88]5 + 21 + 88114b) (+3) 102 )4()2( ++9 ( +1) + (-4 )+9 -1 4+4

c) (-6)36 . (-4) (-1000) : (+25) + (+1)-144 (-40) + 1-144 + 40 + 1-144 + 41-103

5. a) +15b) -3c) +2001d) -217

6. a) zero e todos os n negativosb) -11, -12, -13, ...c) -9, -8, -7

7. a) +44b) +8c) -10d) 0

8. a) -9-(-23+12-1)-(21-9)-9-(-24+12)-(12) -9-(-12)-12-9+12-12-9 b) 8c) 6d) 1

9. Todas

10. -5

Conjunto dos Nmeros Racionais :Q

O conjunto dos nmeros racionais um conjunto que englo-ba os nmeros inteiros (Z), nmeros decimais finitos (por exem-plo, 743,8432 ) e os nmeros decimais infinitos peridicos (que repete uma sequncia de algarismos da parte decimal infinitamen-te), como 12,050505, so tambm conhecidas como dzimas peridicas.

Os racionais so representados pela letra Q.

Todo nmero racional pode ser escrito na forma ba , com a

ZbZ , e b 0

Um mesmo nmero racional pode ser representado por dife-rentes fraes, todas equivalentes entre si.

Ex:

Um nmero racional pode ser representado por um nmero decimal exato ou peridico.

Ex: 5,021= 75,0

43

= 75 ...333,0

31= (dzima peridica)

Todos os nmeros inteiros pertencem aos racionais.

Reta Numrica Racional

Adio e subtrao com nmeros fracionrios

Para adicionar ou subtrair nmeros racionais na forma de fra-o devemos observar os seus denominadores. Se os denomina-dores so iguais, efetuamos as operaes e conservamos o mesmo denominador. Se os denominadores so diferentes, reduzimos ao mesmo denominador usando o mmc e depois procedemos como no caso anterior.

Ex: 1. 37

38

31

=+

2. 43

56 =

2015

2024

=209 ( o mmc entre 5 e 4 20)

Multiplicao e diviso com nmeros fracionrios

Para multiplicar nmeros racionais na forma de frao, deve-mos multiplicar os numeradores , multiplicar os denominadores , usar a regra de sinais quando necessrio e quando possvel fazer a simplificao.

Ex: 73.

54

= 3512

(nesse caso o resultado uma frao irredutvel, pois no pode ser simplificada)

42

45

47

= = 21

(nesse caso o resultado foi simplificado di-vidindo o numerador e o denominador por 2)


MATEMTICAPara dividir nmeros racionais na forma de frao, devemos

multiplicar a primeira frao pelo inverso da segunda, usando tambm a regra de sinais e a simplificao do resultado quando possvel.

Ex: 32:

53

=23.

53

=109

=

=

=

1210

32.

45

23:

45

65

Nmeros decimais

Os nmeros decimais exatos e as dzimas peridicas tambm pertencem ao conjunto Q .

Adio e subtrao com decimais

Na adio ou subtrao com decimais devemos escrever as parcela colocando vrgula embaixo de vrgula, e resolver a ope-rao.

Ex:4,879 + 13,14 Parcelas13 , 140 Acrescentamos o zero para completar casas de-

cimais.+4 , 87918 , 019 Soma total

Multiplicao e diviso com decimais

Na multiplicao de nmeros decimais, multiplicamos os n-meros sem considerar a vrgula e colocamos a vrgula no resultado contando as casas decimais dos dois fatores

Ex: 2,35 x 4,3 = 10,105 (no resultado temos 3 casas decimais pois so 2 casas no fator 2,35 e uma casa no fator 4,3)

Na diviso igualamos as casas decimais, cortamos as vrgulas e resolvemos a diviso .

Ex: 1,4 : 0,05 Igualamos as casas decimais 1,40 : 0,05 Cortamos as vrgulas 140:5 Resolvemos a diviso 140:5 = 28Expresses Numricas em Q

Para resolver uma expresso numrica devemos obedecer a seguinte ordem:

1) Resolver as multiplicaes e divises na ordem em que elas aparecem

2) Resolver as adies e subtraes na ordem em elas aparecem

H expresses em que aparecem os sinais de associao que devem ser eliminados na seguinte ordem:

1) ( ) parnteses2) [ ] colchetes3) { } chaves

Problemas

1.Calcule o valor de cada expresso a seguir:

a) 22

61

35

b) (-0,6) 3 + (-1,5) 2

c)

163:

21

278.

23 32

d) (1,1) 3 .2-(-0,2) 3 +3

2. Uma garota, caminhando rapidamente, desenvolveu uma velocidade de aproximadamente 5,2 km/h. Nessas condies, se caminhar 18,72 quilmetros, ela demorar quantos horas?

3. O nmero racionalX = (-0,62) : (-3,1) . (-1,2) + 0,4 2Est compreendido entre dois nmeros inteiros a e b consecu-

tivos. Determine os nmeros a e b

4. Encontre o valor dos radicais:

a) 12181

b) -196225

5. Encontre o valor das expresses:

a) 251.

65:

32

b)

67.2

43.

31

6. A cidade de Peixoto de Azevedo tem aproximadamente 19.224 habitantes.

Se um tero da populao composta de jovens, pode-se dizer que:

a.) o nmero de jovens superior a 7.000 b.) o nmero de jovens igual a 648 c.) o nmero de jovens est entre 6.000 e 7000d ) o nmero de jovens inferior a 5.000 e.) o nmero de jovens igual a 6.480


MATEMTICARespostas

1. a) 22

61

35

4113699

361100361

925

361

925

b) (-0,6) 3 + (-1,5) 2

- 0,216 + 2,25 2,034

c)

163:

21

278.

23 32

163:

81

278.

49

316.

81

10872

2416

10872

+

216144

216144

+

d) (1,1) 3 .2-(-0,2) 3 +31,331 . 2 ( -0,008) + 31,331.2+0,008+32,662+0,008+35,67

2.18,72 : 5,2 = 3,6Resp: 3,6 horas ou 3 horas e 36 minutos

3. x = (-0,62) : (-3,1) . (-1,2) + 0,4 2 X = 0,2 . (-1,2) + 0,4 2X= -0,24 + 0,4 2X= -2,24 + 0,4X= -1,84 um n que est entre -1 e -2x = -1,84 os nmeros a e b so -2 e -1

4. a) 119

b) 1415

5. a)

2.51.

65:

32

251.

56.

32

27512

7515012

75138

2546

b)

67.2

43.

31

67.2

123

67.

12243

67.

1227

72189

simplificando por 9

821

6. 1/3 de 192241/3. 19224 = 6408 Alternativa C

3. MNIMO MLTIPLO COMUM.

O mmc de dois ou mais nmeros naturais o menor nmero, excluindo o zero, que mltiplo desses nmeros.

Clculo do m.m.c.

Vamos estudar dois mtodos para encontrar o mmc de dois ou mais nmeros:


MATEMTICA1) Podemos calcular o m.m.c. de dois ou mais nmeros uti-

lizando a fatorao. Acompanhe o clculo do m.m.c. de 12 e 30:1) decompomos os nmeros em fatores primos2) o m.m.c. o produto dos fatores primos comuns e no

comuns: 12 = 2 x 2 x 3 30 = 2 x 3 x 5m.m.c (12,30) = 2 x 2 x 3 x 5

Escrevendo a fatorao dos nmeros na forma de potncia, temos:

12 = 22 x 330 = 2 x 3 x 5 m.m.c (12,30) = 22 x 3 x 5

O mmc de dois ou mais nmeros, quando fatorados, o produto dos fatores comuns e no comuns , cada um com seu maior expoente

2) Mtodo da decomposio simultnea

Vamos encontrar o mmc (15, 24, 60)

Neste processo decompomos todos os nmeros ao mesmo tempo, num dispositivo como mostra a figura acima. O produto dos fatores primos que obtemos nessa decomposio o m.m.c. desses nmeros.

Portanto, m.m.c.(15,24,60) = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 = 120OBS:

1. Dados dois ou mais nmeros, se um deles mltiplo de todos os outros, ento ele o m.m.c. dos nmeros dados.

2. Dados dois nmeros primos entre si, o mmc deles o pro-duto desses nmeros.

Problemas

1. (PUCSP) Numa linha de produo, certo tipo de manuten-o feita na mquina A a cada 3 dias, na mquina B, a cada 4 dias, e na mquina C, a cada 6 dias. Se no dia 2 de dezembro foi feita a manuteno nas trs mquinas, aps quantos dias as mquinas recebero manuteno no mesmo dia.

2. Um mdico, ao prescrever uma receita, determina que trs medicamentos sejam ingeridos pelo paciente de acordo com a se-guinte escala de horrios: remdio A, de 2 em 2 horas, remdio B, de 3 em 3 horas e remdio C, de 6 em 6 horas. Caso o paciente utilize os trs remdios s 8 horas da manh, qual ser o prximo horrio de ingesto dos mesmos?

Respostas:

1. Calculamos o MMC entre 3, 4 e 6. Conclumos que aps 12 dias, a manuteno ser feita nas trs mquinas. Portanto, dia 14 de dezembro.

2. Calculamos o MMC entre 2, 3 e 6. De 6 em 6 horas os trs remdios sero ingeridos juntos. Portanto, o prximo horrio ser s 14 horas

4. RAZO E PROPORO.

Razo entre dois nmeros no nulos a e b o quociente entre esses dois nmeros. Em uma razo do tipo

ba

, o primeiro termo , o a, o antecedente , e o segundo termo, o b, chamado con-sequente.

Ex: Numa pesquisa indica que no Rio de Janeiro h 12 gatos para cada 10 ratos.

Indica-se : 1012

onde 12 o antecedente e 10 o consequente.

Escala: Uma das aplicaes da razo entre duas grandezas se encontra na escala de reduo ou escala de ampliao, conhecidas simplesmente como escala. Chamamos de escala de um desenho razo entre o comprimento considerado no desenho e o com-primento real correspondente, ambos medidos na mesma unidade.

Escala = comprimento no desenho / comprimento realUsamos escala quando queremos representar um esboo grfi-

co de objetos como mveis, plantas de uma casa ou de uma cidade, fachadas de prdios, mapas, maquetes, etc.

Proporo uma igualdade entre duas razes.

A proporo dc

ba= lida como a est para b assim como

c est para d

Os termos a e d so os extremos e b e c so os meios.

Propriedades das propores

1 propriedade (propriedade fundamental):Em uma proporo o produto dos meios igual ao produto

dos extremos.

Ex: 32

128= 8 . 3 = 2 . 12

2 propriedade: Em toda proporo, a somaou diferenados dois primeiros termos est para o primeiro(ou para o segundo) ter-mo, assim como a soma ou diferena dos dois ltimos est para o terceiro(ou para o quarto) termo.


MATEMTICA

ddc

bbaou

cdc

aba

dc

ba +

=++

=+

=

ddc

bbaou

cdc

aba

dc

ba

=

=

=

3 propriedade: Em toda proporo, a soma(ou diferena) do-santecedentes est para a soma(ou diferena) dos consequentes, assim como cada antecedenteestpara o seu consequente .

dc

dbcaou

ba

dbca

dc

ba

=++

=++

=

dc

dbcaou

ba

dbca

dc

ba

=

=

=

Problemas resolvidos

1. A razo da idade de Paulo para a idade de Ana de 1415 , e a

soma das duas idades 58. Quais so as idades?

Resoluo:1415

=AP

e P + A = 58

Pela 2 propriedade temos: 142958

141415

=+

=+

AAAP

29.A=58.14

A = 29

812 A = 28

P + A = 58 P + 28 = 58 P = 30

Resposta: Paulo tem 30 ano e Ana tem 28 anos.

2. Determine as medidas dos ngulos internos de um tringulo sabendo que elas so proporcionais aos nmeros 10, 12 e 14 e que a soma dos ngulos internos de qualquer tringulo 180.

Resoluo:36

180141210

===cba

= 5

50510

== aa

60512

== bb

70514

== cc

Resposta: Os ngulos medem 50 , 60 e 70

Problemas

1. Aplicando as propriedades das propores, vamos determi-nar os nmeros a e b de acordo com a seguintes condies:

a)45

=ba

com a + b = 108 c)79ba

= com a + b = 80

b)7

10=

ba

com a b = 54 d)611ba

= coma b = 55

2. Numa sala de aula h 21 alunos entre homens e mulheres. A razo do n de homens para o n de mulheres de 3 para 4. Quantos homens e quantas mulheres h nessa sala?

3. A diferena entre as quantias que Karina e Cristina tm de 200 reais. Sabendo que a razo entre a quantia de Karina e a quantia de Cristina de 7 para 5. Calcule as duas quantias.

4. Em uma quitanda o n de mas est para 5 assim como o n de bananas est para 3. Sabendo que entre mas e bananas so 120, determine quantas so as mas e as bananas.

5. Para fazer uma limonada, misturamos suco de limo com gua na razo de 2 para 5. Quantos litros de suco de limo e quan-tos litros de gua sero necessrios para fazer 42 litros de limo-nada?

6. Sabendo que a massa do cubo est para 5 assim como a massa da esfera est para 4 e que as duas juntas pesam 36 gramas, calcule quantos gramas tem cada um.

7. Um time de basquete disputou em um campeonato 81 parti-das, entre as quais o n de vitrias est para o n de derrotas assim como 7 est para 2. Quantas partidas esse time venceu no cam-peonato?

8. (Concurso DETRAN/SP 2013-Oficial Est. De Transito--VUNESP) O semforo para travessia de pedestres na rua Aurora programado para ficar fechado para automveis por 50 segun-dos e aberto por 2 minutos e meio. O semforo da rua Glria, que conserva a mesma razo entre o tempo aberto e o tempo fechado do semforo da rua Aurora, programado para ficar fechado para automveis por 35 segundos e aberto por

(A) 1min 10s.(B) 1min 30s.(C) 1min 05s.(D) 1min 55s.(E) 1min 45s.

Respostas

1. a) a = 60 e b = 48b) a= 180 e b = 126c) a = 45 e b = 35d) a = 121 e b = 66


MATEMTICA2. 9 homens e 12 mulheres

3. K C = 200

=

=

=

2K = 7 . 2002K = 1400K = K = 700K C = 200700 C = 200- C = 200 700- C = - 500 ( -1)

C = 500

Resp.; Karina tem 700 reais e Cristina tem 500 reais

4. 75 mas e 45 bananas

5. l2 litros de limo e 30 litros de gua

6. cubo pesa 20 gramas e esfera pesa 16 gramas

7. venceu 63 partidas

8. = =

50.x = 150 . 3550 . x = 5250x = 105 seg.x = 1 min e 45 seg.Resp: Alternativa E

5. PORCENTAGEM. 6. REGRA DE TRS SIMPLES.

Porcentagem

Diariamente jornais, TV, revistas apresentam notcias que envolvem porcentagem; em um passeio pelo comrcio de nossa cidade vemos cartazes anunciando mercadorias com desconto e em boletos bancrios tambm nos deparamos com porcentagens.

A porcentagem de grande utilidade no mercado financeiro, pois utilizada para capitalizar emprstimos e aplicaes, expres-sar ndices inflacionrios e deflacionrios, descontos, aumentos, taxas de juros, entre outros. No campo da Estatstica possui parti-cipao ativa na apresentao de dados comparativos e organiza-cionais.

frequente o uso de expresses que refletem acrscimos ou redues em preos, nmeros ou quantidades, sempre tomando por base 100 unidades. Alguns exemplos:

A gasolina teve um aumento de 15%Significa que em cada R$100 houve um acrscimo de R$15,00O funcionrio recebeu um aumento de 10% em seu salrio.Significa que em cada R$100 foi dado um aumento de R$10,00As expresses 7%, 16% e 125% so chamadas taxas centesi-

mais ou taxas percentuaisPorcentagem o valor obtido ao aplicarmos uma taxa

percentual a um determinado valor. representado por uma frao de denominador 100 ou em nmero decimal.

Ex: 25% = 10025

= 0,25 =

41

(frao irredutvel)

Porcentagem na forma decimal

43% = 43/100 = 0,43, ento 0,43 corresponde na forma deci-mal a 43%

0,7 = 70/100= 70%Importante: Fator de Multiplicao.

Se h um acrscimo de 10% a um determinado valor, podemos calcular o novo valor apenas multiplicando esse valor por 1,10, que o fator de multiplicao. Se o acrscimo for de 30%, multi-plicamos por 1,30, e assim por diante. Veja:

Acrscimo Fator de Multiplicao11% 1,1115% 1,1520% 1,2065% 1,6587% 1,87

Ex: Aumentando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 . 1,10 = R$ 11,00

No caso de haver um decrscimo, o fator de multiplicao ser:

Fator de Multiplicao = 1 - taxa de desconto (na forma de-cimal). Veja :

Desconto Fator de Multiplicao12% 0,8826% 0,7436% 0,6460% 0,4090% 0,10


MATEMTICAEx: Descontando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 .

0,90 = R$ 9,00

Voc deve lembrar que em matemtica a palavra de indica uma multiplicao, logo para calcularmos 12% de R$ 540,00 de-vemos proceder da seguinte forma:

12% de 540 = 10012

. 540 = 1006480

= 64,8 ; logo 12% de R$ 540,00 R$ 64,80

Ou0,12 de 540 = 0,12 . 540 = 64,8 (nos dois mtodos encontra-

mos o mesmo resultado)Utilizaremos nosso conhecimento com porcentagem pra a re-

soluo de problemas.

Ex: 1. Sabe-se que 20% do nmero de pessoas de minha sala de aula so do sexo masculino. Sabendo que na sala existem 32 meninas, determine o nmero de meninos.

Resoluo: se 20% so homens ento 80% so mulheres e x representa o n total de alunos, logo: 80% de x = 32 0,80 . x = 32 x = 40

Resp: so 32 meninas e 8 meninos

2. Em uma fabrica com 52 funcionrios, 13 utilizam bicicle-tas como transporte. Expresse em porcentagem a quantidade de funcionrios que utilizam bicicleta.

Resoluo: Podemos utilizar uma regra de trs simples.52 funcionrios .............................100%13 funcionrios ............................. x% 52.x = 13.10052x = 1300x= 1300/52x = 25%

Portanto, 25% dos funcionrios utilizam bicicletas.

Podemos tambm resolver de maneira direta dividindo o n de funcionrios que utilizam bicicleta pelo total de funcionrios 13 : 52 = 0,25 = 25%

Problemas

1. (Concurso de Agente Fiscal Sanitrio-Prefeitura de Indaiatuba-SP-2013) Ao comprar um eletrodomstico em uma loja que estava dando 20% de desconto, o cliente ganhou um des-conto de R$500,00. Qual era o preo do eletrodomstico e quanto foi pago por ele respectivamente.

a) R$2.720,00 e R$2.240,00b) R$1.900,00 e R$1.400,00c) R$2.500,00 e R$2.000,00d) R$3.500,00 e R$3.000,00

2. (Concurso de Agente Fiscal Sanitrio-Prefeitura de Indaiatuba-SP-2013) Todo ms vem descontado na folha de pa-gamento de um trabalhador o valor de 280,00 reais. Sabendo que o salrio bruto deste trabalhador de R$1.400,00, este desconto equivale a quantos por cento do salrio do trabalhador?

a) 5%b) 20%c) 2%d) 25%

3. O preo de uma casa sofreu um aumento de 20%, pas-sando a ser vendida por 35 000 reais. Qual era o preo desta casa antes deste aumento?

4. Um celular foi comprado por R$ 300,00 e revendido poste-riormente por R$ 340,00, qual a taxa percentual de lucro ?

5. Um aluno teve 30 aulas de uma determinada matria. Qual o nmero mximo de faltas que este aluno pode ter sabendo que ele ser reprovado, caso tenha faltado a 30% das aulas ?

6. Um comerciante que no possua conhecimentos de mate-mtica, comprou uma mercadoria por R$200,00. Acresceu a esse valor, 50% de lucro. Certo dia, um fregus pediu um desconto, e o comerciante deu um desconto de 40% sobre o novo preo, pensan-do que, assim, teria um lucro de 10%. O comerciante teve lucro ou prejuzo? Qual foi esse valor?

7. Numa sorveteria, 30% dos 250 sorvetes vendidos por dia so de sabor morango. Quantos sorvetes de morango so vendidos por dia nessa sorveteria?

8. Numa eleio, 65000 pessoas votaram. O candidato que venceu recebeu 55% do total dos votos. O outro candidato recebeu 60% dos votos do candidato que venceu. Os demais foram votos brancos ou nulos. Quantos votos brancos ou nulos existiram nessa eleio?

9. O professor Andr trabalha 150 horas por ms e ganha R$ 20,00 (vinte reais) por hora trabalhada. No ms que vem, ele vai ter um aumento de 25% sobre o valor da hora trabalhada. Quanto o professor Andr vai passar a receber em um ano de trabalho com o seu novo salario?

10. Tiago, Andr e Gustavo foram premiados em um bolo do Campeonato Brasileiro. Tiago vai ficar com 40% do valor total do premio enquanto Andr e Gustavo vo dividir o restante igual-mente entre dois. Se Gustavo vai receber R$ 600,00, ento qual o premio total?

Respostas

1. Para resolver usamos uma regra de Trs simples e diretavalor %500 20 X 100Multiplicando em Cruz temos20 x = 500 . 10020 x = 50000X = 50000/20X = 2500O preo do eletrodomstico era 2500 reais e o valor pago foi

2000 reaisResp: Alternativa C


MATEMTICA2. Para saber a porcentagem do desconto de maneira rpida

dividimos o desconto pelo salrio bruto280 : 1400 = 0,20 = 20%Resp: Alternativa B

3. 29166,67 reais4. 13,33%5. No mximo 8 aulas 6. Prejuzo de 20 reais7. 75 sorvetes8. 7800 votos9. 45000 reais10. 2000 reais

Regra de trs simples

Regra de trs simples um processo prtico para resolver pro-blemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos trs deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos trs j conhecidos.

Como resolver uma regra de trs simples:1) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma

espcie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espcies diferentes em correspondncia.

2) Identificar se as grandezas so diretamente ou inversamen-te proporcionais.

3) Montar a proporo e resolver a equao.Ex: 1. Uma roda d 80 voltas em 20 minutos. Quantas voltas

dar em 28 minutos?Resoluo: as grandezas envolvidas so nmero de voltas e

tempo(minutos). Se em 20 minutos d 80 voltas, aumentando o tempo, aumenta o nmero de voltas. Quando as duas grandezas aumentam ou diminuem na mesma proporo, a regra de trs direta.

voltas minutos 80 20X 28

Quando a regra de trs direta indicamos com flechas no mes-mo sentido e resolvemos multiplicando em cruz.

20.x= 80.2820.x = 2240

Resposta: 112 voltas

2. Um avio velocidade de 800 km por hora, leva 42 mi-nutos para ir de So Paulo a Belo Horizonte. Se a velocidade do avio fosse 600 km por hora, em quanto tempo iria fazer a mesma viagem?

Resoluo: As grandezas envolvidas so velocidade e tempo(minuto). A 800 km/h o tempo gasto 42 minutos, dimi-nuindo a velocidade o tempo gasto dever aumentar. Quando uma grandeza diminui e a outra aumenta na mesma proporo a regra de trs inversa . Nesse caso as flechas so em sentidos contrrios.

Velocidade tempo 800 42 600 x

Invertemos uma das flechas e procedemos como no caso an-terior.

Velocidade tempo 800 x600 42600.x = 800.42600.x = 33600

x = 600

33600= 56 Resposta: 56 minutos

Problemas

1. Um trem, deslocando-se a uma velocidade mdia de 400Km/h, faz um determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480km/h?

2. Uma equipe de operrios, trabalhando 8 horas por dia, reali-zou determinada obra em 20 dias. Se o nmero de horas de servio for reduzido para 5 horas, em que prazo essa equipe far o mesmo trabalho?

3. Quatro trabalhadores constroem uma casa em 8 dias. Em quanto tempo, dois trabalhadores constroem uma casa?

4. Um certo homem percorre uma via de determinada distn-cia com uma bicicleta. Sabendo-se que com a velocidade de 05 Km/h, ele demora 06 horas, quanto tempo este homem gastar com sua bicicleta para percorrer esta mesma distncia com uma velocidade 03 Km/h.

5. Um carro, velocidade de 60km/h, faz certo percurso em 4 horas. Se a velocidade do carro fosse de 80km/h, em quantas horas seria feito o mesmo percurso?

6. Para transportar um certo volume de areia para uma cons-truo foram utilizados 30 caminhes, carregados com 4 m 3 de areia cada um. Adquirindo-se caminhes com capacidade para 12 m 3 de areia, quantos caminhes seriam necessrios para fazer o servio?

7. Uma fabrica engarrafa 3000 refrigerantes em 6 horas. Quantas horas levar para engarrafar 4000 refrigerantes?

8.Com 14 litros de tinta podemos pintar uma parede de 35 m. Quantos litros so necessrios para pintar 15 m 2 de parede?

9. Para se obterem 28 kg de farinha, so necessrios 40 kg de trigo. Quantos quilogramas do mesmo trigo so necessrios para se obterem 7 kg de farinha?

10. Se 3 torneiras conseguem encher um tanque em 2 horas, quanto tempo demorar em esse tanque encher quando uma das torneiras no for aberta?

11. Para fazer trs bolos, um confeiteiro usa 750 g de farinha de trigo. Quantos bolos iguais aos anteriores podem ser feitos com 3 kg de farinha?


MATEMTICARespostas

1. 2,5 horas2. 32 dias 3. 16 dias4. 10 horas5. 3 horas6. 10 caminhes7. 8 horas8. 6 litros9. 10 kg10. 3 horas11. 12 bolos

7. MDIA ARITMTICA SIMPLES.

A mdia aritmtica simples a mais utilizada no nosso dia-a-dia. A mdia aritmtica simples de dois ou mais termos o quociente da soma dos nmeros dados pela quantidade de nmeros somados.

Ex: Encontre a mdia em matemtica de um aluno que teve nota 6 na 1 prova, nota 8 na 2 prova e nota 10 no trabalho.

Resoluo: M = 3

1086 ++ =

324

= 8

Resp: A mdia do aluno 8.

Problemas

1. O nmero de passageiros de uma linha de nibus, em um de-terminado horrio, foi de 27 passageiros na 2. feira, 49 na 3. feira, 53 na 4. feira, 22 na 5. feira e 59 passageiros na 6. feira. O nmero de passageiros da 6. feira, a mais do que a mdia aritmtica diria de passageiros nesses cinco dias, foi:

(A) 17.(B) 22.(C) 38.(D) 42.(E) 59

2. A mdia salarial de 9 indivduos de R$ 680,00. Acrescen-tando a esse clculo o salrio de um novo indivduo, o Sr. Joo, a mdia salarial dos 10 indivduos passa para R$ 700,00. Nas condies dadas, o salrio do Sr. Joo, em reais, de

(A) 750,00.(B) 780,00.(C) 800,00.(D) 840,00.(E) 880,00.

3. Em uma casa, h 5 potes de biscoitos. Considerando-se todos os biscoitos desses 5 potes h, em mdia, 3 biscoitos por pote. Se for acrescentado mais um pote com alguns biscoitos dentro, ento a m-dia de biscoitos por pote passar a ser de 4. Portanto, o nmero de biscoitos do ltimo pote acrescentado era:

(A) 6.(B) 7.(C) 8.(D) 9.(E) 10.

4. Calcular a mdia aritmtica entre os nmeros 3, 4, 6, 9 e 13.

5. (FUVEST) Sabe-se que a mdia aritmtica de 5 nmeros inteiros distintos, estritamente positivos, 16. O maior valor que um desses inteiros pode assumir :

a) 16b) 20c) 50d) 70e) 100

Respostas 1. 17 2. E 3. D 4. 7 5. D

8. EQUAO DO 1 GRAU.9. SISTEMA DE EQUAES DO 1 GRAU.

Equao de 1 grau

As equaes do primeiro grau so sentenas abertas que po-dem ser representadas sob a forma de ax + b = 0, em que a e b so nmeros reais , com a 0 e x a varivel. Numa equao do 1 grau a expresso que est situado a esquerda do sinal de igual o 1 membro da equao e a expresso que est direita o 2 membro da equao. O elemento desconhecido de uma equao chamado de incgnita ou varivel.

Ex: x + 5 = 18 x + 5 o 1 membro 18 o 2 membro x a varivel ou incgnita

Para resolver uma equao do 1 grau isolamos no 1 mem-bro os termos que apresentam varivel e no 2 membro os termos que no apresentam varivel. Podemos mudar os termos de um membro para outro quando necessrio, porm usando a operao inversa, ou seja, o que est multiplicando passa dividindo e o que est dividindo passa multiplicando. O que est somando passa sub-traindo e o que est subtraindo passa somando.

Ex:2x + 8 = 202x = 20 8 ( o n 8 passou subtraindo porque estava somando)2x = 12

x = 2

12 ( o n 2 que estava multiplicando passou dividindo)

x = 6 ( 6 o resultado, ou seja, a raiz da equao)


MATEMTICAAs equaes de 1 grau podem apresentar parnteses ou fras

que devem ser trabalhadas usando contedos necessrios em cada caso at encontrar o resultado da varivel. Ex: Resolva a equao:

Equao sem soluo

s vezes, uma equao no tem soluo para um certo uni-verso de nmeros. Nesse caso, dizemos que ela impossvel ou que a soluo vazia.

Ex: resolver a equao.

No existe nenhum nmero que multiplicado por 0 resulte em 2. S= (conj. vazio)

Equao com infinitas solues

H casos em que todos os nmeros do universo considerado so razes da equao. Dizemos que ela tem infinitas solues.

Ex: resolver a equao

Como qualquer nmero multiplicado por zero igual zero, a equao tem infinitas solues

Sistema de equaes do 1 grau com duas variveis

Um sistema de equaes chamado sistema de equaes do 1 grau com duas variveis quando todas as equaes que formam o sistema so do 1 grau e possuem as mesmas variveis. A soluo de um sistema de equaes do 1grau com duas variveis x e y o par ordenado ( x, y) que satisfaz, simultaneamente, ambas as equaes.

Vamos estudar dois mtodos de resoluo de um sistema: mtodo da adio e mtodo da substituio. O mtodo da substitui-o estabelece extrair o valor de uma varivel e substituir esse valor na outra equao. O mtodo da adio consiste apenas em somar os termos das equaes fornecidas eliminando uma varivel . Devemos escolher o mtodo de resoluo que mais se adequar ao exerccio que estamos resolvendo.

Ex: Resolver o sistema :

possvel resolver este sistema usando qualquer um dos m-todos.

Mtodo da substituio:

Na equao 1 isolamos o x x = 20 y e substitumos na equao23 (20 y) + 4 y = 7260 3y + 4y = 72y = 12 x = 20 y x = 8 , logo S = ( 8, 12)

Mtodo da adio:

Multiplicamos a primeira equao por -3 para poder eliminar uma varivel que ser o x


MATEMTICAAdicionando as duas equaes:y = 12 agora substitumos o valor de y em uma das

equaes para encontrar o valor de xx + y = 20 x + 12 = 20 x = 20 12 x = 8 ,

logo S = ( 8, 12)

Problemas com equao de 1 grau

Quando vamos resolver um problema devemos:- Ler o problema com ateno e levantar os dados- Fazer a traduo do enunciado do problema para a lingua-

gem matemtica usando letras n e smbolos- Resolver a equao encontrada- Analisar o resultado e dar a resposta conveniente

Problemas

1. Dois quintos do meu salrio so reservados para o aluguel e a metade gasta com a alimentao, restando ainda R$ 45,00 para gastos diversos. Qual o meu salrio?

2. Se eu adicionar 8 quantidade de carrinhos que possuo, ficarei com a mesma quantidade de carrinhos de meu irmo, se dos 28 que ele possui, for retirada a quantidade que eu possuo. Quan-tos carrinhos eu tenho?

3. Comprei 7,5 kg de um produto e recebi um troco de R$ 1,25. Caso eu tivesse comprado 6 kg, o troco teria sido de R$ 5,00. Quanto dei de dinheiro para pagar a mercadoria?

4. A soma da minha idade, com a idade de meu irmo que 7 anos mais velho que eu d 37 anos. Quantos anos eu tenho de idade?

5. Tenho a seguinte escolha: Ou compro 20 unidades de um produto com todo o dinheiro que tenho, ou compro apenas 14 uni-dades e ainda me sobra um troco de R$ 30,00. Qual o valor unit-rio deste produto?

6. Numa loja, um vendedor de tecidos ganha mensalmente um salrio de R$ 350,00, mais uma comisso de R$ 1,20 por metro vendido. Na loja concorrente o vendedor ganha um salrio fixo de R$ 400,00 mais uma comisso de R$ 0,80 por metro vendido. Para que eles tenham o mesmo salrio no final do ms, quantos metros cada um dever vender?

7. Uma empresa de produtos de beleza contratou certo n-mero de consultoras para fazer a apresentao de seus produtos de casa em casa. Sua meta era que fossem visitadas todas as ca-sas de determinado bairro. Se cada consultora visitasse 100 casas, 80 delas no seriam visitadas. Como todas foram visitadas e cada consultora visitou 105, o nmero de casas desse bairro :

8. Na cantina da escola, h pirulitos com sabor morango e uva, num total de 184 pirulitos. A diferena entre as quantidades dos sabores morango e uva, nessa ordem, 50. Quantos pirulitos sabor uva h na cantina?

9. Ana e Jos so casados e cada um tem seu emprego. Ana ganha mais que Jos e os dois juntos ganham 4260 reais. A diferena entre os salrios de 540 reais. Qual o salrio de cada um?

10. A idade de Silvia o dobro da idade de Luiza e, dentro de 8 anos, a soma das idades ser 43 anos. Quais as idades atuais?

11 . Bom dia , minhas cem pombinhas, disse o gavio a um bando de aves. Cem pombas no somos ns, disse uma delas. Para sermos cem, necessrio outro tanto de ns, mais a metade de ns, mais a quarta parte de ns e contigo, gavio, cem aves seremos ns. Quantas pombas havia no pombal?

Respostas

1.Vamos representar o meu salrio com a letra x

Aluguel : 52 do salrio =

52 x

Alimentao : 21 do salrio =

2x

Gastos diversos : 45

aluguel + alimentao+gastos diversos igual ao slario

52

x + 2x

+ 45 = x

9x + 450 = 10x9x 10 x = -450-x = -450 (-1)X = 450Resp: Meu salario 450 reais

2. Quantidade de carrinhos que eu possuo: xX + 8 = 28 xX + x = 28 82x = 20X = 20/2X = 10Resp: Eu possuo 10 carrinhos

3. 6 kg e receber 5,00 de troco, por isso vamos igualar forman-do uma equao de 1 grau. Vamos representar por x o valor do kg

7,5 . x + 1,25 = 6 . x + 57,5 x - 6x = 5 - 1,251,5 x = 3,75x = 3,75/1,5x = 2,50 ( preo por kg)Para saber quanto dei de dinheiro, vamos substituir 2,50 no lu-

gar do x na equao. Podemos escolher o 1 termo ou o 2 que o resultado ser o mesmo. vou escolher o 2 membro

6.x + 5 6. 2,50 + 5 =15 + 5 = 20Resp: 20 reais


MATEMTICA4. Minha idade : x Idade de meu irmo : x + 7X + x + 7 = 372x + 7 = 372 x = 37 72x = 30 X = 15 anosResp: Eu tenho 15 anos

5. Vamos considerar x o valor do produto20.x = 14 . x + 3020 . x 14 . x = 306. x = 30X = 30/6X = 5Resp: O valor unitrio desse produto 5 reais

6. X quantidade de metros vendidosSalrio do vendedor A 350 + 1,20.xSalrio do vendedor B 400 + 0,80.xComo de acordo com o problema os salrio devem ser iguais:350+1,20.x = 400+0,80.x1,20.x 0,80.x = 400 3500,40.x = 50X = 50/0,40X = 125 metrosResp: Para que tenham mesmo salrio tero que vender 125

metros de tecido cada um.

7. Vamos considerar x o n de consultoras100 . x + 80 = 105 . x100 . x 105 . x = - 80- 5 x = -80 ( -1)5x = 80X = 80/5X =16 consultorasComo a pergunta o n de casas, ento valos multiplicar o n

de consultoras por 105, que ser 105 . 16 = 1680 casas

8. 2M = 234 M = 117 U = 184 117 U = 67 pirulitos sabor uva

9. 2A = 4800 A = 2400 J = 4260 2400 J = 1860 Resp: Ana ganha 2400 reais e Jos ganha 1860 reais

10.Silvia S Luiza L S = 2LS + 8 + L + 8 = 43S + L + 16 = 43

S + L = 43 16S + L = 272L + L = 273 L = 27L = 9 S = 2LS = 2.9S = 18Resp: Luiza tem 9 anos e Silvia tem 18 anos

11x + 4 = 40011x = 396X = 36Resp: So 36 pombas

10. SISTEMA MTRICO: MEDIDAS DE TEMPO, COMPRIMENTO, SUPERFCIE

E CAPACIDADE.

Medidas

Para que uma medida seja completamente entendida, deve ser indicada por um nmero acompanhada de uma unidade de medida.

J conhecemos o metro, centmetro, o quilmetro. Mas exis-tem outras como a unidade de tempo e de medidas de rea.

Vrias so as situaes em que o ato de medir est presente, por exemplo:

- o prof. Mede o tempo que gastar em uma aula;- a dona de casa mede o peso dos ingredientes de uma re-

ceita;- a costureira mede o comprimento do tecido;

Por um longo tempo o costume de se usarem partes do corpo para efetuarem medidas foi muito comum, por exemplo: o p, o cbito, a jarda, o palmo...o que causava muita divergncia de medida.

Para evitar problemas causado pela diversidade de unidades, foi criado na Frana, em 1799, o sistema mtrico decimal, que estabeleceu trs medidas-padro: o metro, o litro e o quilogra-ma. Essa padronizao facilitou algumas relaes entre os povos, principalmente as relaes comerciais. Em 1960, foi institudo um novo sistema de unidades de medida: o Sistema Internacional de Medidas (SI), que engloba outras unidades padro e que usado at hoje na maioria dos pases.

Padro: base de comparao determinada por um rgo ofi-cial que a consagrou como modelo aprovado.


MATEMTICAUnidade de medida de comprimento

Por determinao do SI a unidade de medida de comprimento o metro, abreviado por m.O metro pode tornar-se uma unidade inconveniente para medir, por exemplo, o comprimento de uma estrada ou a altura de uma formiga.Para se contornar mais problemas foram criados alguns mltiplos e submltiplos dessa unidade padro

quilmetro hectmetro decmetro Metro decmetro centmetro milmetrokm hm dam m dm cm mm

1000m 100m 10m 1m 0,1m 0,01m 0,001m

Repare que cada unidade dez vezes maior que a unidade que a antecede.Esse sistema de medida chama-se decimal porque a transformao de uma unidade em outro feita multiplicando-se ou dividindo-se

uma delas por uma potncia de 10.Para transformar uma unidade de comprimento em outra imediatamente inferior, basta multiplica-la por 10Ex: 1,25 km = (1,25 . 10) hm = 12,5 hmPara transformar uma unidade de comprimento em outra imediatamente superior, basta dividi-la por 10.Ex: 328,5 cm = (328,5 : 10) dm = 32,85 dmPara adicionarmos ou subtrairmos medidas, as unidades devem ser iguais. Ento vamos determinar a seguinte soma em metros:S = 3,487 km + 7540 cmComo o problema quer a resposta em metros, faamos a transformao para metros:3, 487 km = (3,487 . 1000) m = 3487 m7540 cm = (7540 : 100) m = 75,40 mLogo: 3487 m + 75,40 m = 3562,40 mPara transformarmos uma unidade em outra inferior, basta deslocarmos a vrgula para a direita tantas casas forem as casas da transfor-

mao.Para transformarmos uma unidade em outra superior, basta deslocarmos a vrgula para a esquerda tantas casas quantas forem as casas

da transformao.

Permetro

Chamamos de permetro de um polgono a soma dos comprimentos de todos os seus lados.O permetro indicado por 2p.O permetro de uma sala retangular de 4m por 6 m :2p = 4m + 4m + 6m + 6m = 20 m

Unidade de medida de rea

A unidade padro de rea definida pelo SI o metro quadrado, ( m 2 ). definida como a superfcie plana ocupada por um quadrado de lado 1 metro.

O metro quadrado no uma boa unidade para se medir reas muito grandes, como a rea ocupada por uma floresta, ou para medir reas muito pequenas, como a superfcie de uma caixa de fsforo. Assim foram criados mltiplos e submltiplos dessa unidade padro:

Quilmetroquadrado

Hectmetroquadrado

Decmetroquadrado

Metroquadrado

Decmetroquadrado

Centmetroquadrado

Milmetroquadrado

km 2 hm 2 dam 2 m 2 dm 2 cm 2 mm 2

1000000m 2 10000m 2 100m 2 1m 2 0,01m 2 0,0001m 2 0,000001m 2

Para transformarmos uma unidade em outra inferior, basta deslocarmos a vrgula para a direita o dobro de casas quantas forem as casas da transformao.

Ex: 45 m 2 = 450000 cm 2

3,256 cm 2 = 325,6 mm 2

Para transformarmos uma unidade em outra superior, basta deslocarmos a vrgula para a esquerda o dobro de casas quantas forem as casas da transformao .

Ex: 5432 cm 2 = 0,5432 m 2

456 m 2 = 0,0456 hm 2


MATEMTICAVamos calcular a rea de um retngulo em dmque tenha 4m de

base e 2m de altura.A rea do retngulo calcula-se multiplicando a base pela altura.A = 4m . 2m = 8m

2

8m 2 = 800 dm 2 , logo a rea de retngulo 800 dm 2 .

Unidade de medida agrria

Para medir grandes reas em terras, tais como chcara, stios e fazendas, so utilizadas unidades de medida agrria. A unidade padro de medida agrria o are, abreviado por a.

O are definido como a superfcie plana ocupada por um qua-drado cujo lado mede 10 metros de comprimento. Os mais impor-tantes mltiplos e submltiplos do are esto na tabela abaixo:

Hectare Are Centiareha a ca

10.000 m 2 100 m 2 1 m 2

Repare que cada unidade cem vezes maior que a unidade que a antecede

1 ha = 100 a1 a = 100 caPara transformarmos uma unidade em outra, basta deslocarmos

a vrgula para a esquerda ou para a direita o dobro de casas quantas forem as casas da transformao .

Embora a unidade padro seja o are, no interior do Brasil muito comum encontrar como unidade agrria o alqueire, porm, por no ser uma medida padro, essa unidade varia de acordo com a regio

Alqueire paulista = 24.200 m2

Alqueire Mineiro = 48.400 m2

Alqueire nortista = 27.225 m2

Problemas

1. Joo jardineiro e precisa colocar grama em toda a rea de um terreno retangular cujas dimenses so 3,2 m e 1,2 m. Sabendo que um metro quadrado de grama custa R$ 2,50, calcule quanto Joo vai gastar.

2. Se o permetro de um quadrado de 72 cm, qual a medida de cada lado desse quadrado?

3. Um fazendeiro pretende cercar um terreno retangular de 120 m de comprimento por 90 m de largura. Sabe-se que a cerca ter 5 fios de arame. Quantos metros de arame sero necessrios para fazer a cerca? Se o metro de arame custa R$ 12,00, qual ser o valor total gasto pelo fazendeiro?

4. (ENEM-2011) Em uma certa cidade, os moradores de um bairro carente de espaos de lazer reivindicam prefeitura municipal a construo de uma praa. A prefeitura concorda com a solicitao e afirma que ir constru-la em formato retangular devido s carac-tersticas tcnicas do terreno. Restries de natureza oramentria impem que sejam gastos, no mximo, 180 m de tela para cercar a praa. A prefeitura apresenta aos moradores desse bairro as medidas dos terrenos disponveis para a construo da praa:

Terreno 1: 55 m por 45 mTerreno 2: 55 m por 55 mTerreno 3: 60 m por 30 mTerreno 4: 70 m por 20 mTerreno 5: 95 m por 85 m

Para optar pelo terreno de maior rea, que atenda s restries impostas pela prefeitura, os moradores devero escolher o terreno

A) 1.B) 2.C) 3.D) 4.E) 5.

Respostas

1. R$ 9,60

2. Sabemos que o quadrado um quadriltero com todos os lados congruentes (com a mesma medida). Dessa forma, para determinar a medida de cada lado teremos que dividir o permetro por 4.

Assim,L = 72 4 = 18 cm

3. O total de arame gasto para contornar todo o terreno ser igual medida do permetro da figura. Como a cerca ter 5 fios de arame, o total gasto ser 5 vezes o valor do permetro. Clculo do permetro: 2p = 120m + 90m + 120m + 90m = 420 m Total de arame gasto: 5.420 = 2100 m de arame para fazer a cerca. Como cada metro de arame custa R$ 12,00, o gasto total com a cerca ser de: 2100.12 = R$ 25.200,00

4. Calculando o permetro de cada terreno temos:Terreno 1 200 mTerreno 2 220 mTerreno 3 180 mTerreno 4 180 mTerreno 5 360 m

Como a prefeitura dispe de 180 metros de tela para cercar o terreno, apenas o terreno 3 e 4 atendem restrio da prefeitura. Entre os dois terrenos temos que optar pelo de maior rea.

Terreno 3 = 60 . 30 = 1800 mTerreno 4 = 70 . 20 = 1400 mResp. O de maior rea o terreno 3

Alternativa CVolume

Quando compramos leite ou suco, ou abastecemos o carro com combustvel, o preo desses produtos calculado de acordo com o volume que estamos adquirindo.

O volume pode ser entendido como o espao ocupado por um objeto. Quando trabalhamos com recipientes, como garrafas e co-pos, comum nos referirmos ao espao interno deles. Esse volume recebe a denominao de capacidade.

Para calcularmos o volume de um paraleleppedo, basta mul-tiplicarmos as 3 dimenses.

V = altura x largura x comprimento


MATEMTICATanto o volume de um objeto como sua capacidade podem ser medidos por meio de duas unidades padro, que estudaremos separada-

mente: o litro e o metro cbico

Metro cbico ( m 3 )

Pelo Sistema Internacional de Medidas ( SI ), o metro cbico a unidade padro de medida de volume. Ele definido como o espao ocupado por um cubo cujo comprimento da aresta um metro. Seu volume dado por: V= a 3

Os mltiplos e submltiplos do metro cbico esto na tabela abaixo:

Quilmetrocbico

Hectmetrocbico

Dacmetrocbico

Metrocbico

Decmetrocbico

Centmetrocbico

Milmetrocbico

km 3 hm 3 dam 3 m 3 dm 3 cm 3 mm 3

1000000000m 3 1000000m 3 1000m 3 1m 3 0,001m 3 0,000001m 3 0,000000001m 3

Repare que cada unidade mil vezes maior que a unidade que a antecedePara transformarmos uma unidade em outra, basta deslocarmos a vrgula para a esquerda ou para a direita o triplo de casas quantas

forem as casas da transformao .Ex: 32 m 3 = 0,000032 hm 3

0,00067 dam 3 = 670 dm 3

Litro ( L )

O litro uma unidade de medida de capacidade (volume) usada para medir lquidos e definido como o espao ocupado por um cubo cujo comprimento da aresta um decmetro, ou seja 10 cm.

1 L = 1 dm 3

Os mltiplos e submltiplos do litro esto na tabela abaixo:

Quilolitro hectolitro decalitro litro decilitro centilitro mililitrokl hl dal L dl cl ml

1000 L 100 L 10 L 1 L 0,1 L 0, 01 L 0,001 L

Para transformarmos uma unidade em outra, basta deslocarmos a vrgula para a esquerda ou para a direita tantas casas quantas forem as casas da transformao .

Ex:235 cl = 2350 ml67 dl = 6,7 LOBS:Um litro de gua destilada, temperatura de 15 graus Celsius, tem massa de , aproximadamente, 1 kg.

Problemas

1.(concurso Policia Militar/MG-Assistente Administrativo-2013) Marque a alternativa CORRETA. Um automvel est com o tan-que de combustvel abastecido at a tera parte de sua capacidade. Para completar o tanque basta colocar 32 litros a mais. A capacidade do tanque, em m, :

A. ( ) 48 mB. ( ) 0,48 mC. ( ) 0,048 mD. ( ) 480 m2.Sabendo que 300 ml de gua de coco custam R$ 2,00, calcule quanto deve custar 1,5 l dessa gua.

3. Um reservatrio de gua tem a forma de um paraleleppedo com dimenses 6m, 4m, 2m. Qual a capacidade, em litros, desse reser-vatrio?

4. Para construir sua casa, dona Lucia precisar mandar nivelar o terreno com 108 m 3 de terra. Sabendo-se que a capacidade mxima de um caminho de 0,0072 dam 3 de terra, quantos caminhes de terra sero necessrios?

5. Uma piscina tem o formato de um paraleleppedo de dimenses 8m, 4m e 2m. Quantos baldes com capacidade para 10 dm 3 de gua so necessrios para encher completamente essa piscina?


MATEMTICA6. Qual ser a medida da capacidade, em litros, de um lato de gasolina, de forma de paraleleppedo retngulo com 2 m de comprimento,

3 m de largura e 1,5 m de altura. Dado que 1 m = 1000 l.a) 9 lb) 9 mc) 9000 ld) 9000 m

Respostas

1.Se o tanque est com um tero da capacidade, ento 32 litros representa dois teros, logo um tero a metade de dois tero que so 16 litros. Somando 32 litros que representa dois teros com mais 16 litros que representa um tero teremos o tanque cheio com 48 litros. Mas o problemas pede em m, ento como sabemos que 1m = 1000 litros, 48 litros = 0,048 m

Resp: Alternativa C

2.10 reais

3.48 000 litros

4. 15 caminhes

5. 6400 baldes

6.Vamos calcular o volume do paraleleppedo que o produto das trs medidasV = 2 . 3 . 1,5 = 9 mSe cada m tem 1000 litros e o problemas pede resp. em litros, ento a capacidade do lato de 9000 litrosResp: Alternativa C

Unidade de medida de massa

A unidade padro de massa o quilograma abreviado por kg.OBS: O grama um substantivo masculino, ento se diz duzentos gramas de queijo. A grama uma planta rasteira para forrao de

jardins e gramados. Voc pode perceber que existem situaes em que a unidade quilograma (kg) inadequada, e para essas situaes existem mltiplos e

submltiplos do kg.

Quilograma hectograma decagrama grama decigrama centigrama miligramakg hg dag g dg cg mg

1000 g 100 g 10 g 1 g 0,1 g 0,01 g 0,001 g

Para transformarmos uma unidade em outra, basta deslocarmos a vrgula para a esquerda ou para a direita o numero de casas quantas forem as casas da transformao.

A unidade de massa bastante usada na pecuria a arroba que equivale a 15 kg.Ex:1,309 hg = 13 90 cg765,3 mg = 0,7653 g

Problemas

1.Quantos kg tem um boi de 23 arrobas?

2.Laura nasceu com 3,25 kg e com um ms estava com 4,1 kg. Quantos gramas ela engordou no seu primeiro ms de vida?

3.Complete as igualdades a seguir:a)8,7 kg = ....................gb)54000 dg = ......................kgc)2380 mg = ...........................kgd)36,95 dg = .mg

4.Efetue as operaes indicadas:a)3 kg 2000 g = ...........................mgb)1712 dag + 358600 dg = .............kg


MATEMTICARespostas

1.345 kg

2.850 gramas

3.a)8700b)5,4c)0,00238d)3695

4.a)1000.000 mgb)52,98 kg

Unidade de tempo

A unidade padro de medida de tempo o segundo, abreviado por s.

Os mltiplos do segundo so:

Hora Minuto Segundoh min s

3600 s 60 s 1 s

Usamos o sistema sexagesimal, que emprega a base sessenta. Os mltiplos do segundo enquadram-se nesse sistema. Repare que cada unidade sessenta vezes maior que a unidade que a antecede.

1 h = 60 min1 min = 60 s

Para transformar uma unidade em outra imediatamente supe-rior, basta dividi-la por 60 e inferior basta multiplica-la por 60.

Ex:3h = 3 . 60 = 180 min 52 min = 52 . 60 = 3120 s 1020 s = 1020 : 60 = 17 min 420 min = 420 : 60 = 7 h

Ao usarmos o sistema sexagesimal, cada grupo de 60 forma outra classe; ento, 60 segundos formam 1 minuto e 60 minutos formam 1 hora. Para adicionarmos unidades de tempo vamos to-mar cuidado para posicionar hora embaixo de hora, minuto embai-xo de minuto e segundo embaixo de segundo.

Por exemplo: 1)Para adicionarmos 5h 12 min 37 s a 8 h 20 min 11 s, vamos colocar as unidades iguais uma embaixo da outra e depois adicionar os valores da mesma classe.

Horaminuto segundo5 12378 2011 -------------------------------------------- 13 3248

2)vamos adicionar 8h 19 min 58 s com 2 h 24 min 39 sHoraminuto segundo 8 19 58 224 39-------------------------------------------10 43 97

Note que , na casa dos segundos, obtivemos 97 s e vamos decompor esse valor em:

97 s = 60 s + 37 s = 1 min + 37 sEnto, devemos retirar 60 s da classe dos segundos e acres-

centar 1 min na classe dos minutos.Logo a resposta fica: 10 h 44 min 37 s

Para subtrair unidades de medida de tempo, o processo se-melhante ao usado na adio.

Ex; vamos subtrair 4 h 41 min 44 s de 7 h 53 min 36 sHoraminutosegundo 7 5336 4 4144 --------------------------------------------------

Perceba que a subtrao 36 s 44 s no possvel nos n-meros naturais, ento, vamos retirar 1 min de 53 min, transformar esse 1 min em 60 s e acrescenta-los aos 36 s. Assim:

Hora minuto segundo7 52 964 41 44------------------------------------------------ 3 11 52

Para multiplicarmos uma unidade de medida de tempo por um nmero natural, devemos multiplicar as horas, minutos e segundos Por esse nmero natural.

Ex: multiplicar 4 h 52 min 8 s por 64 h52 min 8 s X6--------------------------------------24h 312 min48 s

Como 312 min maior que 1 hora, devemos descobrir quantas horas cabem em 312 minutos. Para isso basta dividir 312 por 60 onde o resultado 5 e o resto 12.

Ento 312 min = 5 h 12 minDevemos ento acrescentar 5 h a 24 h = 29 h e o resultado fica29 h 12 min 48 s

Problemas

1.Dois amigos partiram s 10h 32 min de Aparecida do Norte e chegaram a Ribeiro Preto s 16 h 8 min. Quanto tempo durou a viagem?

2. Joo nasceu numa tera feira s 13 h 45 min 12 s e Maria nasceu no mesmo dia, s 8 h 13 min 47 s. Determine a diferena entre os horrios de nascimento de Joo e Maria, nessa ordem.

3.Um passageiro embarcou em um nibus na cidade A s 14h 32 min 18s, esse nibus saiu da rodoviria desta cidade s 14h 55min 40s e chegou rodoviria da cidade B s 19h 27min 15s,do mesmo dia. Quanto tempo o passageiro permaneceu no interior do nibus?

a) 05h 54min 09sb) 04h 05min 57sc) 05h 05min 09sd) 04h 54min 57s


MATEMTICARespostas

1.5 h 36 min

2.5 h 31 min 25 s

3.Vamos considerar o horrio de chegada cidade B e o hor-rio que o passageiro entrou no nibus

19 h27 min15 seg14 h32 min18 segPara subtrair 18 de 15 no possvel ento emprestamos 1

minuto dos 27Que passa a ser 26 e no lugar de 15 seg usamos 15 +60(que

1 min). Ento 75 18 = 57 seg.O mesmo acontece com os minutos. Vamos emprestar 1 hora

das 19 que passa a ser 18 e no lugar de 26 minutos usamos 26 + 60 ( que uma hora). Ento 86 32 = 54 minutos

Por fim 18 h 14 h = 4 horasResp. 4 horas 54 min e 57 seg.

11. RELAO ENTRE GRANDEZAS: TABELAS E GRFICOS.

Grficos e tabelas

Grficos e tabelas so recursos visuais muito utilizados para acilitar a leitura e a compreenso de informaes sobre fenmenos e processos naturais, sociais e econmicos.

No cotidiano, jornais, revistas e livros, alm de telejornais e programas educativos, mostram o quanto esse recurso explorado pelos meios de comunicao.

As tabelas organizam de forma mais clara as informaes da-das em um texto e os grficos so representaes que tem por ob-jetivo oferecer uma rpida visualizao dos elementos numricos a serem analisados tornando a informao mais compreensiva e interessantes.

Existem vrios tipos de grficos e os mais utilizados so os de colunas, os de linha e os circulares. Para cada tipo de informao usamos o grfico mais adequado

Ex: 1) Na sala dos professores da escola, h um cartaz

com a frase Em 2007, eram 734 estudantes matriculados; em 2008, 753; em 2009, 777; em 2010, 794; e, em 2011, 819.

Esse texto no contribuem para mostrar com clareza o his-trico da instituio nem para destacar o percurso crescente de matrculas. Podemos ento colocar os dados em uma tabela para facilitar a compreenso.

Ano n alunos matriculados 2007 7342008 7532009 7772010 7942011 819

Porm h uma maneira mais clara e eficiente de apresentar esses dados: um grfico.

Evoluo do nmero de alunos da escola

Linhas

Nesse exemplo usamos o grfico de linha que composto por dois eixos, um vertical e outro horizontal, e por uma linha que mostra a evoluo de um fenmeno ou processo.

2) Os prdios mais altos do mundo

Barras Usado para comparar dados quantitativos e formado por bar-

ras de mesma largura e comprimento varivel, pois dependem do montante que representam. A barra mais longa indica a maior quantidade e, com base nela, possvel analisar como certo dado est em relao aos demais.

3) As espcies animais ameaadas de extino na mata Atlntica


MATEMTICASetor

til para agrupar ou organizar quantitativamente dados considerando um total. A circunferncia representa o todo e divi-dida de acordo os nmeros relacionados ao tema abordado.

(Adaptado da revistaescola.abril.com.br/img/Matemtica)

12. NOES DE GEOMETRIA: FORMA, PERMETRO, REA, VOLUME, TEOREMA

DE PITGORAS.

A geometria plana, tambm chamada geometria elementar ou Euclidiana, teve incio na Grcia antiga. Esse estudo analisava as diferentes formas de objetos.

Na geometria plana as figuras geomtricas mais conhecidas so os tringulos, quadrilteros (quadrado, retngulo, trapzio, paralelogramo), crculo e circunferncia, e, alguns polgonos que recebem nomes especiais de acordo com o n de lados.

O espao ocupado por uma figura plana a sua rea que es-tudaremos a seguir com as frmulas para cada forma geomtrica.

Permetro a soma de todos os lados de qualquer figura plana. o contorno da figura. No caso da circunferncia temos uma frmula: C = 2 . r , onde C o comprimento da circunfern-cia, r o raio da circunferncia e = 3,14.

rea a medida da superfcie da figura plana. Para calcular a rea de uma figura precisamos saber a sua frmula. As frmulas das figuras planas mais usadas so:

1. Quadrado : A= l . l ou A = l 2 ( l a medida do lado )

2. Retngulo e Paralelogramo: A = b . h (b a base e h a altura)

3. Losango : A = 2.dD

( D a medida da diagonal maior e d a diagonal menor)

4.a)Tringulo : A = 2.hb

(b a medida da base e h a altura)

b) Tringulo Equiltero

A = 4

32a ( a a medida do lado)

Lembrar que o tringulo equiltero tem os trs lados de mes-ma medida.

c)Tringulo qualquer em que sabemos as medidas dos trs lados e no conhecemos a altura: A = ))()(( cpbpapp (p o semi permetro, ou seja, a metade do permetro; a, b c so as medidas dos lados do tringulo).

p = 2

cba ++


MATEMTICA

5.Trapzio : A = 2).( hbB +

(B a medida da base maior, b a base menor e h a altura)

6.Hexgono regular : Um hexgono regular formado por 6 tringulos equilteros, portanto a rea de um hexgono 6 vezes a rea de cada um desses tringulos.

A = 2

3..3 2a ( a a medida do lado do hexgono)

7. crculo e circunferncia:Circunferncia apenas o contorno. Ex: aliana, bambolCrculo cheio , podemos calcular a rea do crculo, ou seja,

a superfcie ocupada. Ex: pizza.Para calcular o comprimento de uma circunferncia usamos

a frmula:C = 2. . r ( r a medida do raio e vale 3,14)Para calcular a rea do crculo usamos a frmula:A = .r 2 ( r a medida do raio e vale 3,14)

Problemas

1. Qual o comprimento da roda de uma bicicleta de aro 26? Uma bicicleta aro 26 tem o raio de sua roda medindo 30 cm.

2. Uma pizza tem raio igual a 15 cm e est dividida em 6 fatias. Calcule a rea de cada fatia.

3. Uma praa circular tem 200 m de raio. Quantos metros de grade sero necessrios para cerca-la?

4. Numa bicicleta de aro 26 (o raio mede 30 cm), quantas voltas completas as rodas precisam dar para um percurso de 3,76 km?

5. Uma indstria que pretende se instalar em So Lus ocu-par uma rea descrita pela figura abaixo.

Sabe-se que essa rea ocupada por 745 famlias que se-ro indenizadas , recebendo valores iguais. O metro quadrado avaliado em R$1,80. Cada uma das famlias receber: (Dado = 3,14).

a) R$ 102.153,02 b) R$ 252.120,00 c) R$ 173.512,50 d) R$ 98.756,60 e) R$ 101.241,00

6. FUVEST) Um cavalo se encontra preso num cercado de pastagem, cuja forma um quadrado, com lado medindo 50 m. Ele est amarrado a uma corda de 40 m que est fixada num dos cantos do quadrado. Considerando = 3,14, calcule a rea, em metros quadrados, da regio do cercado que o cavalo no conse-guir alcanar, porque est amarrado.

a) 1244b) 1256c) 1422d) 1424e) 1444


MATEMTICA

Respostas

1. 188,40 cm2. 117,75 cm 2

3. 1256 m4. 1995,75 voltas5. A6. A

Slidos geomtricos

Os slidos geomtricos so encontrados nas diferentes formas existentes ao nosso redor. Uma caixa de sapatos, a caixa dgua, uma pirmide, uma lata de leo, a casquinha de um sorvete, entre outros, so considerados slidos geomtricos.

Todos os slidos so formados pela unio de figuras planas, as quais podem ser identificadas por meio da planificao.

Paraleleppedo

Cubo

Pirmide Triangular

Pirmide Quadrangular

Cone

Cilindro

Prisma


MATEMTICAVolume do cubo

O volume de um cubo determinado atravs do produto da rea da base pela altura, como j sabemos as arestas do cubo pos-suem medidas iguais, ento temos que !! = !. !!

V = Ab .h ou V = a . a . a V = a. Observe:

As unidades mais usadas para expressar capacidade so as seguintes: m (metro cbico), cm (centmetro cbico), dm (dec-metro cbico). Onde respeitam as seguintes relaes:

1 m = 1000 litros 1 dm = 1 litro

Problemas

1. Determine a aresta de um cubo cuja rea total igual a 72 cm

2. Se a rea total de um cubo 150 m, calcule a aresta e o volume desse cubo.

Respostas

1. !! = !. !! 72 = 6. aa = 72/6a = 12a = 12a = 23

2. !! = !. !! 150 = 6. aa = 150/6a = 25a = 5 mV = aV = 5V = 125 m

Volume do cilindro

Todo cilindro possui uma base no formato de circunferncia de raio r e uma altura h. Seu volume dado atravs da multiplica-o entre a rea da base no formato circular e a medida da altura h. Observe:

rea da base circular Ab = . r rea da lateral = 2 r hrea total do cilindro !! = 2 r + 2 r h = 2

r (r + h)

VolumeV = Ab . h V = . r . h

Problemas

1. Determine a rea total e o volume de um cilindro reto de altura 3 metros e dimetro da base 2 metros.

2. Calcule a rea da base, a rea lateral, a rea total e o volume de um cilindro cuja altura mede 2r e raio da base igual a 5 dm.

Respostas

1. Se o dimetro 2 metros, ento o raio mede 1 metro = 2 r (r + h)= 2. 3,14 . 1. (1 + 3)= 6,28 (4)= 25,12 mV = . r . hV = 3,14 . 1 . 3V = 9,42 m

2. h = 2.r = 2.5 = 10 dm Ab = . r Ab = 3,14 . 5Ab = 3,14 . 25Ab = 78,5 dm

rea e volume do prisma

Chamamos de rea lateral ( A L ) de um prisma soma de to-das as reas de suas faces laterais. A rea total ( A t ) de um prisma a soma da rea lateral com as reas das bases .


MATEMTICA

A t = A l + 2 . A BO volume de um prisma obtido pelo produto da rea da base

e a medida da altura do prisma.

V = A B . h

Ex: Determine a rea da base, rea lateral, a rea total e o vo-lume de um prisma reto de altura 12 cm e cuja base um tringulo retngulo de catetos 6cm e 8 cm.

Resoluo:

Lembre-se : a rea de um tringulo retngulo 2.catetocateto

Clculo da hipotenusa: a2

= 6 22 8+ = 36 + 64 = 100

a = 100 = 10 cm

A B = 28.6

= 24 cm 2

A L = 8 . 12 + 6 . 12 + 10 . 12 A L = 288 cm2

A BLT AA .2+= A T = 288 + 2. 24 A T = 336 cm 2

V = A B . h V = 24 . 12 V = 288 cm3

rea e volume do paraleleppedo reto-retngulo

A rea total de superfcie externa de um paraleleppedo reto-retngulo a soma das reas dos 6 retngulos congruentes 2 a 2.

A T = 2 (ab + bc + ac )

O volume do o produto da rea da base pela altura ou o produto das 3 medidas ( altura, comprimento e largura)

V = A B . h ou V = a . b . cCaso particular : O volume do cubo de aresta a : V = a 3

A rea de um cubo 6 vezes a rea de cada face.

V = 6.a 2

Problemas

1. Um paraleleppedo reto-retngulo tem rea da base igual a 18 cm e volume igual a 36 cm. Calcule a sua altura.

2. A base de um paraleleppedo um quadrado de rea 16 cm. Calcule a rea total e o volume desse paraleleppedo sabendo-se que sua altura igual a 6 cm.

Respostas

1. V = A B . h 36 = 18 . hh = 36/18h = 2 cm 2. A base um quadrado de rea 16 cm , ento o lado do

quadrado 4 cm. A T = 2 (ab + bc + ac )A T = 2.(4.4 + 4.6 + 4.6)A T = 2. 64A T = 128 cmV = a . b . cV = 4 . 4. 6V = 96 cm

rea e volume da pirmide e do cone

A rea total de um cone ou pirmide dada pela soma da rea da base com a rea da lateral.

A T = A L + A B

O volume do cone ou da pirmide um tero do produto da rea da base pela altura.

V = (A B .h) : 3

Uma vez que a determinao de reas e volumes tem um grande interesse prtico, torna-se conveniente agrup-las e relacion-las num quadro-resumo:

rea Total Volume Prisma

Cilindro At = Al + 2Ab V = Ab . h

Pirmide

ConeAt = Al + Ab V = (Ab . h) / 3

Problemas

1. Calcule o volume de uma pirmide hexagonal regular de aresta da base l e altura l.

2. A aresta da base de uma pirmide quadrangular regular mede 8 cm. Calcule a rea da base e o volume dessa pirmide sabendo-se que ela tem altura igual a 3 cm.

3. Calcule a rea de base e volume de um cone de altura 12 cm e raio da base 5 cm.


MATEMTICARespostas:

1. !!= !!! !

!

V = !!!.!!

= !!! !! !.!

! = !,! !

! = ! !

!

2. !! = 8 . 8 = 64cm V = !!.!

! = !"!!.!

! = 64 cm

3. !! = . r = 3,14 . 5 = 3,14 . 25 = 78,5 cm V = !!.!

! = !",!!.!"

! = 314 cm!!!!

Teorema de Pitgoras

O teorema de Pitgoras considerado uma das principais descobertas da matemtica, ele descreve uma relao existente no tringulo retngulo. O tringulo retngulo pode ser identificado pela existncia de um ngulo reto, isto , medindo 90. formado por dois catetos e a hipotenusa que o maior lado e localizado oposta ao ngulo reto.

O quadrado da hipotenusa igual a soma dos quadrados dos catetos. c 222 ba +=

importante ter em mente que o Teorema de Pitgoras se aplica apenas quando temos um tringulo retngulo.

Ex: Qual era a altura do poste?

h = 4 + 5 = 9

Resposta: A altura do poste era de 9 m.

Exerccios

1. Calcule o comprimento do corrimo da escada:

2. A figura mostra um edifcio que tem 15 m de altura, com uma escada colocada a 8 m de sua base ligada ao topo do edifcio. O comprimento dessa escada de:


MATEMTICA

3. Qual deve ser a altitude do balo para que sua distncia ao topo do prdio seja de 10 km?

4. (Fuvest-SP) Um trapzio retngulo tem bases 5cm e 2 cm e altura 4 cm. O permetro desse trapzio :

a) 13b) 14c) 15d) 16e) 17

5. O permetro de um quadrado igual a 20 cm. Qual a soma das medidas de suas diagonais?

6. M, N, P, Q so os pontos mdios dos lados de um quadrado cujo permetro igual a 16 cm. Qual o permetro do quadriltero MNPQ ?

7. Determine a altura de um tringulo equiltero cujo lado mede 6 cm?

8. O permetro de um quadrado igual a 20 cm. Qual a soma das medidas de suas diagonais?

9. A altura de um tringulo equiltero mede 3 cm. Qual o permetro desse tringulo?

10. Um tringulo ABC est inscrito em uma circunferncia de centro O e dimetro BC. Calcule a medida do raio dessa circunfe-rncia, sabendo que AB = 12 cm e AC = 5 cm.

Respostas

1. 210 cm ou 2,10 metros

2. 17 metros

3. 6200 metros

4. Alternativa D

5. 10 2

6. 8 2

7. 3 3

8. 10 2

9. 6 3

10. 6,5 cm

13. RACIOCNIO LGICO.

A Lgica tem, por objeto de estudo, as leis gerais do pensa-mento, e as formas de aplicar essas leis corretamente na investiga-o da verdade

A palavra lgica muito comum em nosso vocabulrio. Di-zemos frases como lgico que eu vou! ou ainda no era o mais lgico a fazer. Frases como essas, demonstram que existe uma percepo popular sobre a lgica que, mesmo sem o rigor das cincias matemticas, indica que h uma premissa e uma conclu-so.

So problemas que tem uma historinha em volta e, por isso, so mais elaborados.

Problemas:

1) Pedro, Andr, Cludio, Diego e Bernardo esto ensaiando uma pea de teatro, em que h 5 personagens: um rei, um soldado, um bobo, um guarda e um prisioneiro. Pedro, Andr e o prisio-neiro ainda no sabem seus papis. No intervalo o soldado joga cartas com Diego. Pedro, Andr e Cludio vivem criticando o guarda. O bobo gosta de ver o Andr, o Cludio e o Bernardo re-presentando, mas detesta ver o soldado. Descubra o papel de cada um na pea

2) Numa fruteira h 15 frutas, entre laranjas, maas, peras e bananas, cada tipo de fruta numa quantidade diferente. Sabe-se que, entre laranjas e mas, h seis frutas, entre maas e peras h sete. H 4 unidades de apenas um tipo de fruta: qual?


MATEMTICA3) Danilo, Rita, Renato e Sandra so irmos. Eles tm 6, 10,

11 e 14 anos. Cada um possui um animalzinho de estimao. Eles tem um cachorro, um gato, um papagaio e uma tartaruga. Cada um escolheu um nome engraado e carinhoso para seu bichinho.: Pantaleo, Capito, Pituca e Biruta. O mais velho dono do Pan-taleo, Sandra a dona do cachorro. Biruta um lindo gatinho. Pituca o xod de Renato. Danilo tem 14 anos. Renato mais ve-lho que Rita e mais novo que Sandra. A tartaruga no de Danilo.

Respostas:

1. Pedro Soldado Andr Reis Claudio Prisioneiro Diego - Bobo Bernardo Guarda

2. Ma

3.

Criana Idade Animal Nome do animal

Danilo 14 Papagaio PantaleoRita 6 Gato BirutaRenato 10 Tartaruga PitucaSandra 11 Cachorro Capito

14. RESOLUO DE SITUAES-PROBLEMA.

1. (Agente de segurana Penitenciria SAP/SP-2012) O comprimento do piso retangular de um cmodo 3 metros a mais que a largura. Sabe-se que a rea total desse cmodo 40 m

2 . Logo a medida da largura do cmodo, em metros, um nmero:

A) ParB) Mltiplo de 3C) PrimoD) Divisvel por 4E) Impar no primo

2. (CONCURSO metr/sp-2013) Considere que um salo, com a forma de um paraleleppedo retngulo, tem 3,5 m de altura e trs paredes laterais: duas com 7,5 m de comprimento e a terceira com 4 m de comprimento. Se um pintor cobra R$ 12,00 de mo de obra por metro quadrado de superfcie que pinta, ento, pela pintura do teto e das faces internas das trs paredes de tal salo ele cobrar

(A) R$ 1 158,00.(B) R$ 1 156,00.(C) R$ 1 154,00.(D) R$ 1 152,00.(E) R$ 1 150,00.

3. (Concurso Soldado PM/SP-2011) Um professor de mate-mtica disse para sua classe que a nota mais alta obtida na prova era o resultado da expresso:

NOTA =

32

1781)5(

+

Ento a referida nota foi:A) 9B) 8c) 7D) 6E) 5

4. ( Concurso Soldado PM/MG-2013) Marque a alternativa CORRETA. Em um estacionamento existe um total de 50 vagas para carros pequenos e motocicletas. Quando este estacionamen-to est completamente lotado, a quantidade de rodas de veculos igual a 120. Os nmeros de vagas para carros e motos so, respec-tivamente:

A. ( ) 10 e 40 B. ( ) 20 e 30 C. ( ) 25 e 25 D. ( ) 15 e 35

5. ( Concurso Soldado PM/MG-2013) Marque a alternativa CORRETA. O preo de uma blusa, para pagamento atravs de car-to de crdito, de R$ 15,00. Com pagamento vista, com dinheiro, a blusa pode ser comprada pelo valor de R$ 12,00. J com pagamen-to com carto de dbito, o preo cobrado R$ 14,40. Considerando estas ofertas desta loja, as taxa de juros cobrados nas vendas por carto de crdito e de dbito so, respectivamente:

A. ( ) 30% e 12 % B. ( ) 25 % e 20 % C. ( ) 27% e 3 % D. ( ) 15% e 10%

6. (Vestibulinho ETEC-2 semestre/2013) De acordo com as companhias de seguro, por serem consideradas mais cautelosas e terem um comportamento mais disciplinado no trnsito, as mulhe-res pagam menos pelo seguro de seu automvel. Suponha que um homem e uma mulher possuam o mesmo modelo de automvel e, alm disso, que esses motoristas tenham a mesma idade, o mesmo tempo de habilitao e usem o veculo nas mesmas condies. Pelo seguro de seu automvel, o homem paga R$ 2.400,00 e a mulher R$ 1.680,00.

Assim sendo, em relao a esse homem, essa mulher paga X% a menos de seguro. O valor de X

(A) 17.(B) 27.(C) 30. (D) 63.(E) 70.

7. (Vestibulinho ETEC-2 semestre/2013)De acordo com o Censo realizado no Brasil em 2010, havia cerca de 48 homens para 50 mulheres. Sabendo-se que, ainda segundo essa pesquisa, havia aproximadamente 93,4 milhes de homens no Brasil, ento o n-mero de mulheres no Brasil, em 2010, era aproximadamente, em milhes,


MATEMTICA(A) 87,9.(B) 89,4.(C) 95,6.(D) 97,3. (E) 98,4.

8. (Concurso ELETROBRAS/2013) A idade mdia de um grupo de dezoito amigos 34. Outras duas pessoas se juntaram ao grupo: uma tem 48 anos de idade, a outra, 40. A mdia das idades do novo grupo, composto pelas vinte pessoas, igual a:

(A) 35(B) 36(C) 37(D) 38(E) 39

9. (Concurso METR/SP-2013) Suponha que s 5h30min de certo dia, dois trens da Companhia do Metropolitano de So Paulo partiram simultaneamente de um mesmo terminal T e segui-ram por Linhas diferentes. Considerando que a cada 78 minutos da partida um dos trens retorna a T, enquanto que o outro o faz a cada 84 minutos, ento, nesse dia, ambos se encontraram novamente em T s

(A) 19h42min.(B) 21h48min.(C) 21h36min.(D) 23h42min.(E) 23h48min

10. (Concurso Polcia Militar/ES-2010) Considerando que um investidor tenha aplicado 12000 reais a juros simples mensais e, ao final de um ano tenha obtido o montante de 19200 reais, julgue certo ou errado:

-A taxa mensal de juros dessa aplicao foi superior a 4,5%.

Respostas:

1. Largura : xComprimento: x + 3rea: 40X (x + 3) = 40X + 3x 40 = 0 = 9 4 . 1 . (-40) = 169

X =

= = 5

= = -8 ( no serve como medida)

Resp: A largura de 5 metros que um n primo Alterna-tiva C

2. Duas paredes de 7,5 m por 3,5 m = 2 . 7,5 . 3,5 = 52,5 m Uma parede de 4 m por 3,5 m = 14 m Teto de 7,5 m por 4 m = 30 m Total = 52,5 + 14 + 30 = 96,5 m Se o m custa 12 reais, ento: 96,5 . 12 = 1158 reais Al-

ternativa A

3. Nota = = = 8

Resp: A nota mais alta foi 8 Alternativa B

4. C carro M moto

Multiplicamos a 1 equao por -2

2c = 20C = 10M = 40Resp. Alternativa A

5. Preo vista 12,00 No carto de crdito 15,00 ( acrscimo de 3,00 ) 3 : 12 = 0,25 = 25% No carto de dbito 14,40 (acrscimo de 2,40 ) 2,40 : 12 = 0,20 = 20% Resp: Alternativa B

6. 2400 1680 = 720

Para calcular que porcentagem representa 720 em 2400 deve-mos dividir 720 por 2400

720 : 2400 = 0,3 = 30%

Alternativa C

7. Montamos uma regra de trs simples e direta:

Homens mulheres 48 50 93,4 x

Multiplicando em cruz, temos:48 . x = 93,4 . 5048 . x = 4670X = 4670/48X = 97,3 milhesAlternativa D


MATEMTICA

8. = = 35

Resp: Alternativa A

9. Calculamos o mmc entre 78 e 84 que 1092 minutos 1092 : 60 = 18 e o resto 12 Resp: Se encontraro novamente depois de 18 horas e 12

minutos, portanto s 23 h e 42 minutos Alternativa D

10. M = C (1 + i.t) 19200 = 12000 (1 + i . 12) 19200 = 12000 + 14400 . i 7200 = 14400 . i I = 0,05 = 5% Resp: Certo.

ANOTAES

ANOTAES

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