DOUTORADO EM EDUCA˙ˆO MATEM`TICA Santos... · SOBRE EDUCA˙ˆO MATEM`TICA E SUA INFLU˚NCIA NOS...

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃOPAULO PUC-SP

UM ESTUDO COMPARATIVO ENTRE BRASIL E CHILESOBRE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA E SUA INFLUÊNCIANOS CURRÍCULOS DE MATEMÁTICA DESSES PAÍSES

DERMEVAL SANTOS CERQUEIRA

DOUTORADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA

São Paulo2012

DERMEVAL SANTOS CERQUEIRA

UM ESTUDO COMPARATIVO ENTRE BRASIL E CHILESOBRE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA E SUA INFLUÊNCIANOS CURRÍCULOS DE MATEMÁTICA DESSES PAÍSES

Tese apresentada à Banca

Examinadora da Pontifícia

Universidade Católica de São Paulo,

como exigência parcial para obtenção

do título de Doutor em Educação

Matemática, sob a orientação da

Professora Doutora Célia Maria

Carolino Pires.

São Paulo2012

BANCA EXAMINADORA

Profª Drª Célia Maria Carolino Pires (orientadora)

Profª Drª Norma Suely Gomes Allevato

Profº DRº Armando Traldi Junior

Profº Drº Elenilton Vieira Godoy

Profª Drª Vera Lúcia Vieira

Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total

ou parcial desta Tese por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos.

Assinatura: _________________________________ Local e Data: _________

DEDICATÓRIA

Aos meus pais Gilberto e Apparecida emeus filhos Taís Helena e Tales André, que deforma única sempre estiveram presentes emminhas realizações.

AGRADECIMENTOS

Primeiramente a Deus, por me sustentar até o final

desta importante etapa da minha vida.

À Professora Doutora Célia Maria Carolino Pires pelas

orientações precisas, paciência e pelo exemplo de pessoa e profissional.

A meus pais, exemplos de vida e de dedicação, que me

deram a base para eu tornar-me a pessoa que sou e permitir mais uma

conquista na vida.

Á meus filhos, que são minhas fontes de inspiração, por

cuidarem de mim e por terem me dado todo suporte necessário para a conclusão

desse trabalho.

A Capes por me conceder a bolsa, essencial para a

permanência e a conclusão do Doutorado na PUC-SP.

Agradeço à minha singular turma de Doutorado,

espalhada por várias partes do nosso Brasil.

Ao grupo de pesquisa “Desenvolvimento Curricular em

Matemática e Formação de Professores do Programa de Estudos Pós-

graduados em Educação Matemática da Pontifícia Universidade Católica de São

Paulo, em especial os participantes do Projeto “Pesquisas comparativas sobre

organização e desenvolvimento curricular na área de Educação Matemática, em

países da América Latina: currículos prescritos e currículos praticados” pelo

apoio e troca de informações durante o desenvolvimento da pesquisa.

Aos professores da PUC-SP pelos preciosos

ensinamentos durante as disciplinas e à minha banca de qualificação de tese,

pelas orientações e dicas precisas para a conclusão da mesma.

Aos pesquisadores chilenos pela atenção e contribuições

para essa pesquisa.

Aos amigos e familiares que entenderam minhas

ausências e tornaram esse trabalho realizável.

EPÍGRAFE

“Por isso é importante, como eu disse,compreender o processo, os caminhos de nossopróprio pensar. O autoconhecimento não podeser conseguido através de ninguém, de nenhumlivro, nenhuma confissão, psicologia, oupsicanalista. Ele tem que ser descoberto por vocêmesmo porque é sua vida; e sem a ampliação e oaprofundamento desse conhecimento do ego,faça o que fizer, altere quaisquer circunstâncias,influências externas ou internas – ele serásempre um solo gerador de desespero, dor,sofrimento. Para ir além das atividades fechadasda mente, você tem que entendê-las; e entendê-las é estar cônscio da ação na relação, relaçãocom coisas, com pessoas, e com ideias. Nessarelação, que é o espelho, começamos a ver a nósmesmos, sem qualquer justificativa oucondenação; e desse mais amplo e maisprofundo conhecimento dos caminhos de nossaprópria mente, é possível prosseguir adiante;então é possível para a mente estar quieta parareceber aquilo que é real”..

J. Krishnamurt

RESUMO

Esta pesquisa qualitativa, em nível de doutorado, insere-se no contextodos estudos comparativos sobre organização e desenvolvimentocurricular, na área de Educação Matemática, no Brasil e no Chile. Afinalidade desse estudo é levantar indícios sobre os impactos dosresultados de pesquisa em Educação Matemática nos documentos oficiaisdesses países, elaborados a partir dos anos 90 do século XX. A análisedocumental mostra, que Brasil e Chile sofreram influências dos resultadosde pesquisas da área de Educação Matemática, inserindo nosdocumentos oficiais orientações, privilegiando a resolução de problemas,a contextualização, o valor didático da história da matemática, conceitosda didática da matemática, concepção construtivista e o uso detecnologias, em especial o emprego da calculadora. A pesquisa de camponos permite perceber os pontos de vistas dos diferentes profissionais deEducação sobre a concepção e elaboração dos currículos prescritos,apontando as dificuldades na consecução dos currículos praticados nossistemas educativos públicos, que por sua vez tecem recomendações quedevem ser inseridas no trabalho do professor, ressaltando desafios paraimplementação dos currículos prescritos.

Palavras-chave: Educação Matemática; Currículos de Matemática;Organização Curricular; Comparação de Currículo.

ABSTRACT

This qualitative research at the doctoral level, is within the context of comparativestudies on organization and curriculum development in the field of mathematicseducation, in Brazil and Chile. The purpose of this study is to investigateevidence on the impact of the results of research in mathematics education in theofficial documents of these countries, drawn from 90s of XX century. Thedocumentary analysis shows that these countries have suffered influences ofresearch findings in the area of mathematics education, including in officialdocuments orientations favoring problem solving, contextualization, the didacticvalue of history of mathematics, concepts of teaching mathematics,constructivism, the use of technology, especially the use of calculator. Fieldresearch allows us to understand the views of different education professionalson the design and development of curricula prescribed, points to the difficulties inachieving the curriculum practiced in public education systems, weaverecommendations that must be included in the teacher's work and highlightschallenges to implementing the prescribed curriculum.

Keywords: Mathematics Education, Mathematics Curriculum, CurriculumOrganization; comparison Curriculum.

SUMÁRIO

INTRODUÇÃO

APRESENTAÇÃO DA PESQUISA .... ................................................................ 15

CAPÍTULO 1

1.1 Introdução ................................................................................................... 31

1.2 Concepção de Currículo e níveis de concretização ..................................... 31

1.3 Currículos de Matemática: concepções e proposições ............................... 36

1.3.1 Antecedentes importantes.................................................................... 36

1.3.2 As contribuições da comunidade de Educação Matemáticapara a reflexão sobre currículos.......................................................... 38

1.3.2.1 O papel da matemática na formação dos alunos........................... 38

1.3.2.2 O papel da matemática no currículo .............................................. 40

1.3.2.3 As aplicações práticas e as especulações teóricas: queênfases são conferidas................................................................. 49

1.3.2.4 O que da grande teia de conhecimentos matemáticosdevemos selecionar para ensinar ................................................ 53

1.4 Como ensinar conhecimentos matemáticos ............................................... 58

1.4.1 O foco na resolução de problemas....................................................... 60

1.4.2 Outras contribuições ............................................................................ 62

1.5 Sobre o processo de avaliação da aprendizagem........................................ 67

1.5.1 Síntese do capítulo .............................................................................. 68

CAPÍTULO 2FUNDAMENTOS METODOLÓGICOS

2.1 Introdução .................................................................................................. 70

2.2 O campo da Educação Comparativa .......................................................... 70

2.3 Nossas escolhas e percurso ........................................................................ 77

2.4 Algumas informações sobre o processo de realização de entrevistas ....... 79

CAPÍTULO 3SISTEMAS EDUCACIONAIS DE BRASIL E CHILE

3.1 Introdução ................................................................................................... . 85

3.2 Contexto social, político e econômico (IDH, PIB, taxa deescolarização, contexto político, pós-ditadura, etc.) ................................. . 85

3.3 Participação de Pais ou responsáveis no sistema educativo ...................... . 89

3.4 Algumas comparações entre os sistemas educativos de Brasil e Chile ....... . 90

3.5 Sistema de avaliação em ambos os países................................................... . 92

3.6 Contexto educacional e políticas públicas ................................................... . 97

3.7 Configuração da educação básica em ambos os países............................... . 99

3.8 O processo de organização curricular nos dois países................................. .103

3.9 Síntese do capítulo....................................................................................... 108

CAPÍTULO 4ESTUDO COMPARATIVO DOS CURRÍCULOS PRESCRITOS DE MATEMÁTICA DOENSINO FUNDAMENTAL

4.1 Introdução ................................................................................................. 110

4.2 Comparando a estruturação dos currículos prescritos .............................. 110

4.3 O papel da matemática na formação dos alunos brasileiros e chilenos..... 112

4.4 Ênfase nas aplicações práticas ou nas especulações teóricas ................... 125

4.5 Com relação à seleção de conteúdos ......................................................... 132

4.6 Com relação a orientações metodológicas e didática ................................ 136

4.6.1 Resolução de problemas ........................................................................ 136

4.6.2 Conceitos da Didática da Matemática................................................... 138

4.6.2.1 Perspectiva de Matemática ............................................................. 139

4.7 Com relação a indagações sobre o processo de avaliação da aprendizagem 145

CAPÍTULO 5ESTUDO COMPARATIVO DOS CURRÍCULOS PRESCRITOS DE MATEMÁTICA DOENSINO MÉDIO

5.1 Introdução ................................................................................................... 148

5.2 Comparando a estruturação dos currículos prescritos ............................... 149

5.3 O papel da matemática na formação dos alunos brasileiros e chilenos ..... 152

5.4 Ênfases nas aplicações práticas ou nas especulações teóricas ................... 159

5.5 Com relação à seleção de conteúdos .......................................................... 162

5.6 Com relação a orientações metodológicas e didáticas ............................... 165

5.6.1 Resolução de Problemas ........................................................................ 166

5.6.2 Conceitos da Didática da Matemática ................................................... 168

5.6.2.1 Perspectivas de Matemática ........................................................... 168

5.7 Com relação a indicações sobre o processo de avaliação da aprendizagem .. 174

CAPÍTULO 6IMPRESSÕES SOBRE OS CURRÍCULOS DE MATEMÁTICA – DEPOIMENTO DEALGUNS AUTORES

6.1 Introdução ................................................................................................... 179

6.2 Perfil dos elaboradores de currículos .......................................................... 179

6.3 Com relação ao processo de construção dos currículos e suaobrigatoriedade ou não ............................................................................. 180

6.3.1 Na voz dos elaboradores dos currículos ................................................. 180

6.3.2 Na voz dos diretores de escola ............................................................... 186

6.3.3 Na voz dos professores que atuam em sala de aula............................... 190

6.4 Com relação à participação dos professores e/ou suas representações .... 191

6.5 Com relação a currículos apresentados e a perspectiva de serem moldados ...... 192

6.6 Com relação a currículos praticados ............................................................ 195

6.7 A voz dos professores que atuam na formação e pesquisas relacionadasao ensino da Matemática ........................................................................... 199

CONCLUSÕES

6.8 Considerações finais..................................................................................... 202

6.9 Explicitando semelhanças e/ou diferenças na etapa educacional .............. 204

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................................................ 213

APÊNDICE A – ANEXO 1 ............................................................................................ 223

APÊNDICE B – ANEXO 2 ............................................................................................ 227

APÊNDICE C – ANEXO 3 ............................................................................................ 233

APÊNDICE D – ANEXO 4 ........................................................................................... 238

APÊNDICE E – ANEXO 5 ............................................................................................ 242

APÊNDICE F – ANEXO 6 ............................................................................................ 248

APÊNDICE G – ANEXO 7 ........................................................................................... 253

LISTA DE QUADROS

Quadro 1 – Lista de documentos oficiais para pesquisa........................................... . 28

Quadro 2 – Número de entrevistados ...................................................................... . 82

Quadro 3 – Perfil dos entrevistados brasileiros ........................................................ . 83

Quadro 4 – Perfil dos entrevistados chilenos ........................................................... . 84

Quadro 5 – Análise de conteúdo – Orientações Curriculares do Brasil (1º e 2º ciclos) .. 128

Quadro 6 – Análise de conteúdo – Conteúdos Mínimos Obrigatórios do Chile............. 129

Quadro 7 – Análise de conteúdo – Orientações curriculares do Brasil ......................... 130

Quadro 8 – Análise de conteúdo/Conteúdos Mínimos Obrigatórios do Chile 5º ao 8º anos básicos 131

Quadro 9 – Análise de conteúdo/Orientações Curriculares do Brasil – Ensino Médio ... 160

Quadro 10 – Análise de conteúdo/Conteúdos Mínimos Obrigatórios do Chile 5ºao 8º anos básicos..................................................................................................... 161

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 – Objetivação do currículo no processo de seu desenvolvimento ............. . 33

Figura 2 – Objetivos Gerais do Ensino Fundamental ................................................ 122

Figura 3 – Caráter de transversalidade ..................................................................... 123

LISTA DE TABELAS

Tabela 1 – Categorias para análise dos documentos................................................ . 52

Tabela 2 – Indicadores econômicos, sociais e demográficos.................................... . 86

Tabela 3 – Configuração educacional dos países...................................................... . 90

Tabela 4 – Período letivo, horário escolar e carga mínima de horas de trabalhosescolares.................................................................................................................... . 91

Tabela 5 – Número de matrículas na Educação Básica por dependênciaadministrativa ........................................................................................................... . 97

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AAPPRREESSEENNTTAAÇÇÃÃOO DDAA PPEESSQQUUIISSAA

Introdução

Professor da Rede de Educação Estadual de São Paulo, por quinze

anos, adquiri experiências diversas. Era 1997, um ano conturbado e cheio de

incertezas. No Brasil, o Senado aprova em segundo turno a emenda que

possibilita reeleição de prefeitos, governadores e presidente, o mundo via de

perto uma eminente crise financeira com a Bolsa de valores de Hong Kong, uma

das maiores do mundo, cair 10,4%. Logo a crise se espalharia pelo resto do

mundo. Agora com 35 anos, via a necessidade de expansão de meus

conhecimentos, assim, com ímpeto dediquei-me a um programa do Governo

Estadual, que oferecia formação continuada para professores de Matemática. Até

então, possuía apenas formação em Ciências, onde outrora foi denominada

“Licenciatura Curta de dois anos”, que habilitava lecionar Ciência e Matemática

para o Ensino Fundamental II.

Assim, a Secretaria de Educação do Estado em parceria com a

Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, PUC/SP, oportunizou, aos

professores detentores da Licenciatura Curta em Ciências, que por sua vez

lecionavam Matemática para o Ensino Fundamental II na rede, concluir sua

formação em Licenciatura em Matemática.

Concluir essa licenciatura aguçou o interesse em prosseguir em novos

estudos e pesquisas. Nesse sentido, ao participar de formações continuadas

proporcionadas pela Rede Estadual de São Paulo, optei pelo ingresso no

Mestrado em Educação Matemática, também pela PUC/SP.

Em 2001 estava matriculado regularmente no Programa de Estudos

Pós-Graduados em Educação Matemática - PUC/SP. Em 2002 fui convidado para

a participação do Projeto “Construindo Sempre Matemática PUC-SP/SEEESP”,

na cidade de Serra Negra, interior do estado, dessa vez como formador de 100

professores do primeiro ano do Ensino Médio, que atuavam na rede.

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Participar desse projeto abriu caminhos, que consecutivamente

possibilitaram a construção da minha Dissertação de Mestrado, pois, cabia no

momento, a excelente oportunidade de análise e avaliação do projeto. Nesse

sentido, abriu-se um campo que proporcionou tecer e projetar minhas

considerações, onde apresentei uma nova proposta de discussão, sobre quais

conteúdos matemáticos ensinar no Ensino Médio, que ainda configurassem uma

Matemática voltada para a formação cidadã dos alunos.

Na dissertação, foram expostos meus anseios e temores,

principalmente pelo fato, de que era inédita minha atuação como formador de

professores. No ensejo, também aproveitei para expressar as contribuições,

fossem elas criticas ou sugestivas, partindo sempre dos professores acerca dos

materiais didáticos, que foram produzidos e entregues para esses profissionais

utilizarem com seus alunos.

Passadas muitas leituras e reflexões discorri sobre projetos de

formação continuada e de como deve ser concebido e revisto durante o período

da formação, priorizando sempre a busca no atendimento das necessidades dos

professores.

Após a conclusão do Mestrado, fui contratado para lecionar em uma

instituição de ensino superior para o curso de Licenciatura em Matemática,

momento em que ainda atuava na rede estadual lecionando para o Ensino

Fundamental II, somado a uma escola particular. Nesta última ministrava aulas

para o Ensino Médio.

Investi em formação de professores polivalentes e especialistas em

Matemática, que lecionam para o Ensino Fundamental II e Médio, dado a essa

premissa, assessorei diversas secretarias municipais de Educação tais como: Rio

Branco – AC, São Caetano do Sul – SP , São José dos Campos – SP e São

Paulo – Capital, entre outras.

Tornei-me confeccionador de materiais de Orientações Didáticas para

professores do 4º e 5º anos da Secretaria de Educação do Município de São

Paulo. Elaborei um Livro Didático para 9º ano, denominado “Asas da Florestania”.

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Também fui co-autor do livro didático para o Ensino Médio “O Universo da

Matemática” (2005).

Hoje tenho participado de diversas formações de professores,

oferecidas nas modalidades: presencial e a distância, também há cinco anos sou

professor orientador do Programa de Iniciação Científica dos alunos talentos das

Olimpíadas de Matemática das escolas públicas – OBMEP.

Assim, vejo que ao ser um formador de professores tenho muitas

responsabilidades, por isso, considero que uma destas é a de atualizar-me quanto

aos resultados de pesquisas que remetem ao processo de ensino e

aprendizagem em Matemática. Minha meta sempre será de enriquecimento de

meu repertório de experiências que deram certo, assim como, apresentar aos

professores em formação a idéia de busca pelo aprimoramento contínuo.

Não obstante, realizar leituras sobre as tendências em Educação

Matemática sem debatê-las causava-me alguns desconfortos, pois nem sempre

sabia se o meu entendimento de fato era o que eu poderia considerar como

verdadeiro. Dialogar sobre as leituras e nossas reflexões com pares, possibilitaria

“enxergar” outras possibilidades, rever posicionamentos e, por conseguinte

ampliar o campo de visão e de entendimento, proporcionando-me condições de

argumentar com os professores que realizavam formações, na qual atuava como

formador.

No Programa de Estudos Pós-Graduados em Educação Matemática da

PUC-SP, as segundas feiras, ocorrem reuniões de grupos de discussão em

Educação Matemática, assim, desde o término do mestrado, procurei não

distanciar-me desses encontros, uma vez que era possível estar constantemente

estudando e refletindo sobre os rumos do ensino e aprendizagem da Matemática.

O grupo de estudos ao qual tenho imenso orgulho em fazer parte,

refere-se à “Organização, Desenvolvimento Curricular e Formação de

Professores”, devidamente coordenado pela Profª Drª Célia Maria Carolino Pires.

Em uma dessas reuniões com o grupo, foi proposto a iniciativa de

caracterizarmos comparativamente, os currículos de Matemática prescritos entre

Brasil e países da América Latina, onde a posteriori tornou-se mote dessa tese.

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A tese de doutorado em questão insere-se no Projeto “Pesquisas

comparativas sobre organização e desenvolvimento curricular, na área de

Educação Matemática em países da América Latina”. Para tanto, reúne

doutorandos desenvolvedores de análises comparativas sobre Currículos de

Matemática para a Educação Básica.

Seu propósito é estabelecer e manter um espaço de crítica, debate e

comunicação sobre o estado atual e o desenvolvimento recente da investigação

na área de Educação Matemática em termos da organização e do

desenvolvimento curricular, pressupondo que tenha grande contribuição para a

formação de professores. Não obstante, analisa seus avanços teóricos e

metodológicos em países latino-americanos, tendo em vista possíveis

similaridades, além de considerar a importância na busca de soluções para

problemas desafiadores enfrentados.

A intenção parte da constituição de grupos investigatórios, que

trabalhem de forma sistemática e continuada nessa linha de pesquisa, com

intenção de servirem de referência para os especialistas que estejam conectados

com a comunidade investigadora internacional. Assim, os integrantes do projeto

pretendem produzir uma investigação qualificada, que por sua vez traga

contribuições específicas e originais às questões prioritárias na área de Educação

Matemática, onde também apresentem regularmente os resultados obtidos em

fóruns e meios de comunicações da comunidade de investigadores dessa área.

São objetivos dos proponentes do Projeto de Pesquisa:

1. Identificar aspectos comuns e especificidades dos currículos prescritos de Matemática implementados em cada um desses países, assim como as formas de organização;

2. Identificar semelhanças e diferenças entre materiais didáticos utilizados nesses países, pensados como currículos apresentados;

3. Buscar dados referentes aos currículos moldados pelos professores, que se aproximam do que é realizado nas salas de aula;

4. Identificar fontes, que evidenciem a adesão ou a rejeição dos professores de Matemática às orientações curriculares prescritas nos documentos oficiais.

A escolha do tema de pesquisa do grupo surgiu especialmente da

identificação da falta de estudos, que investiguem o processo de organização e

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desenvolvimento curricular em diferentes países, notadamente os países latino-

americanos, conforme detalharemos adiante.

Foi constatado, que o intercâmbio entre pesquisadores em Educação

Matemática de países ibero-americanos existe, onde possui uma de suas marcas

na criação da Federação Iberoamericana de Sociedades de Educação

Matemática - FISEM, criada em 2003, e que congrega as seguintes sociedades:

Sociedad Argentina de Educación Matemática (SOAREM), Sociedade Brasileira

de Educação Matemática (SBEM), Sociedad Chilena de Educación Matemática

(SOCHIEM), Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas

(FESPM), Asociación Nacional de Profesores de Matemáticas (ANPM, do

México), Asociación Mexicana de Investigadores del Uso de Tecnología en

Educación Matemática (AMIUTEM), Sociedad Peruana de Educación Matemática

(SOPEMAT), Associação de Professores de Matemática (APM/Portugal),

Sociedad de Educación Matemática de Uruguay (SEMUR), Sociedad Boliviana de

Educación Matemática (SOBEDM), Asociación Venezolana de Educación

Matemática (ASOVEMAT) , Comité de Educación Matemática de Paraguay

(CEMPA), Sociedad Ecuatoriana de Matemáticas (SEDEM) e a Asociación

Colombiana de Educación Matemática. A FISEM mantém uma revista de

divulgação científica, a Unión, que responsável pela organização do Congresso

Iberoamericano de Educação Matemática (CIBEM). Outros eventos também

mobilizam a comunidade, assim como a Conferência Interamericana de Educação

Matemática (CIAEM), da Reunião de Didática da Matemática do Cone Sul e

Reunião Latino Americana de Matemática Educativa (RELME).

Tais intercâmbios permitem formularmos conceitos e teorizações de estudos

sobre Educação Matemática, fazendo com que produzam impactos nas políticas

públicas, especialmente nas políticas curriculares desses países, contudo, esse

objeto de investigação, não coube a essa pesquisa.

Nesse contexto, em uma primeira etapa, cabe ao projeto organizar-se,

baseado referencialmente na comparação entre Brasil, Argentina, Chile, Paraguai,

Peru e Uruguai, abrindo espaço ainda, para que, à posteriori, outros países

possam ser incluídos. Especificamente nesse projeto de pesquisa, a contribuição

se resume em realizar um estudo comparativo sobre currículos de Matemática

entre Brasil e Chile.

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Para realizar um estudo comparado, o projeto de pesquisa

fundamentou-se em Ferrer (2002), citando sua afirmação de que a Educação

Comparada permite destacar quatro finalidades:

1. Ilustrar as diferenças ou semelhanças entre os sistemas dos vários países de educação;

2. Mostrar a importância que têm os fatores contextuais dos sistemas educativos como elementos explicativos de si mesmo;

3. Estabelecer as possiveis influências que tem os sistemas educativos sobre determinados fatores contextuais;

4. Contribuir para compreender melhor o nosso sistema educativo mediante o conhecimento do sistema educativos de outros países (FERRER, 2002, p.23).

O autor defende ainda, que a Educação Comparada tem uma ampla

tradição desde o inicio do século XIX, e que para abordar esse tema é necessário

estruturar a pesquisa em seis fases básicas, tais como descritas:

1. A fase pré – descritiva 2. A fase descritiva 3. A fase interpretativa 4. A fase de justaposição 5. A fase comparativa 6. A fase prospectiva

Assim, Ferrer (2002), considera que essas fases são características

dos estudos de Educação Comparada, realizada ao longo da História e que se

desenvolvem com exatidão. Também afirma ser uma classificação rigorosa do

ponto de vista cientifico e metodologicamente esclarecedora.

No capítulo referente aos fundamentos metodológicos, são escritos

cada uma das seis fases da proposta de Ferrer.

Dado a essas premissas, ao iniciar a pesquisa, de início foi efetuado

um levantamento sobre o tema em um Banco de Teses da Coordenação de

Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES)1, contudo, não foram

encontradas em dissertações de Mestrado, ou em teses de Doutorados,

quaisquer assuntos pertinentes ou relacionados a estudos comparativos de

currículos de Matemática entre o Brasil e outro países da América Latina.

1 Disponível em<http://servicos.capes.gov.br/capesdw>.

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Já na consulta ao banco de teses da CAPES, fora identificada uma

tese2, referente a um estudo comparativo entre Brasil e Portugal, outras duas3

relacionadas à organização de currículos e desigualdades, longe de tecer

relações com currículos de Matemática.

Foram também, realizadas buscas no Ministério de Educacion de Chile

e Biblioteca Nacional de Chile, mas não foi encontrada nenhuma tese sobre o

tema referido.

Para além da falta de investigações sobre o tema, a escolha tem como

justificativa, a importância de retomar e analisar movimentos de reestruturação

curricular, que por sua vez, vêm ocorrendo desde os anos 80 do século passado

em muitos países como França, Estados Unidos, Itália, Inglaterra, Japão,

Portugal, Espanha e Holanda, entre outros.

Pires (2000), afirma que muitos países têm se dedicado a rever seus

currículos educacionais, em especial o de Matemática, principalmente

impulsionados pelo fracasso reconhecido mundialmente do Movimento da

Matemática Moderna (MMM)4. No período que sucedeu a Matemática Moderna,

em vários países novas propostas começaram a ser elaboradas.

A autora destaca ainda, pontos comuns nos currículos de vários

países, ora especialmente elaborados na década de 80, logo após o refluxo do

Movimento Matemática Moderna:

A importância dada à presença do “mundo real”, a articulação vida/escola é uma constante nesses movimentos.

A construção da Matemática a partir dos problemas encontrados em outras disciplinas e a utilização dos conhecimentos matemáticos em

2 AGUIAR, G. S. Estudo comparativo entre Brasil e Portugal sobre diferenças nas ênfases curriculares de Matemática a partir da análise do Funcionamento Diferencial do Item (DIF) do PISA 2003. 2008. 246f. Tese (Doutorado em Educação). Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. Rio de Janeiro. 3 ORTIGÃO, M. I. R. Currículo de Matemática e Desigualdades Educacionais. 2005, 298f. Tese (Doutorado em Educação). Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. Rio de Janeiro. PIRES, C. M. C. Currículos de Matemática: da organização linear a idéia de rede. 1995. 267f. Tese (Doutorado em Educação) – Faculdade de Educação. Universidade de São Paulo. São Paulo. 4 O Movimento da Matemática Moderna (MMM) foi uma tendência pedagógica implementada nas décadas de 60 e 70 do século XX e foi marcado por uma nova abordagem que tinha como foco as estruturas algébricas e a teoria dos números. O ensino da Geometria praticamente foi relegado a um segundo plano. Esse movimento foi severamente criticado em vários países e no Brasil e, com a divulgação do livro de Morris Kline, “O fracasso da Matemática Moderna” as criticas ganharam força levando ao fim esse movimento.

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especialidades diversas é outra indicação que a “rainha das ciências” parece ter descido do trono para ocupar um lugar mais comum no currículo, ao lado das outras disciplinas, com o objetivo comum de construir uma escola comprometida com a formação democrática do futuro cidadão.

A ênfase conferida à atividade do aluno, consubstanciada na metodologia cada vez mais difundida da “resolução de problemas”, é outro aspecto comum; a estimulação das capacidades intuitivas do aluno também é resgatada fortemente.

A importância da estimativa, dos cálculos combinatórios e probabilísticos, do tratamento estatístico de dados, são os pontos que começam a emergir nos currículos mais recentes, dando conta da preocupação em tratar, já no 1º grau, temas que fazem parte, cada vez mais significativa, do cotidiano da sociedade contemporânea.

O papel da avaliação também é outro ponto frequente, destacando sua função diagnóstica e o papel construtivo do erro etc. (PIRES, 2000, p. 16).

Ao longo dos anos 90, já adentrando à primeira década do século XXI,

a discussão curricular teve prosseguimento tornando-se não só as características,

como também alguns impactos desse debate. Assim, cabe ser colocado como

meta investigatória para cumprimento desse trabalho.

Nesse cenário, entende-se como relevante, a discussão sobre

currículos de Matemática oficiais prescritos no Brasil e Chile, dado pelos motivos

que se passam na sequência.

Ao conceber um plano para a Educação, para alunos que tem idade

compreendida entre seis e dezessete anos, é necessário que os elaboradores

que estão à frente dessa iniciativa, explicitem quais são as finalidades da

Educação, suas concepções e os princípios que nortearão toda a trajetória para a

concretização dos objetivos traçados.

Outro aspecto que deve ser considerado é a pluralidade cultural

existente em diferentes regiões de um mesmo país. Essas diferentes culturas

devem ser valorizadas e privilegiadas, tampouco deve ser proposto um núcleo

comum de conhecimentos das diferentes disciplinas para serem ensinadas no

âmbito nacional, permitindo a inserção dos conhecimentos que cada secretaria

das diversas regiões entenda como importante para suas comunidades.

A esse conjunto de concepções, objetivos e finalidades do ensino

proposto, orientações didático-metodológicas, princípios, lista de conteúdos a

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serem trabalhados em sala de aula e exemplos de atividades com

encaminhamentos, entre outros, são entendidos como parte de um currículo.

Assim, mais adiante será observado que o currículo não se resume apenas nas

intenções dos elaboradores, das secretarias de Educação, ou da escola, dado ao

pressuposto que existem níveis, aos quais Sacristán (2000) propõe que seja

considerado na construção curricular. Tal afirmação deve considerar desde os

documentos prescritos até sua consecução em sala de aula.

Uma vez que o foco é o currículo de Matemática, deve-se considerar

que ao elaborar um currículo de Matemática, é necessário que se reflita sobre

quais orientações deverão ser oferecidas para se colocá-lo em prática, assim

como cabe questionar que modelo deve-se apresentar às escolas e aos

professores.

A fim de elucidar essas questões, foram buscadas respostas e

contribuições na Educação Matemática, que é um campo de conhecimento, e

vem se constituindo por diversas contribuições de pesquisas relacionadas ao

processo de ensino e aprendizagem.

Vimos que o problema central da Educação Matemática consiste em

promover condições, para que os estudantes construam os conhecimentos,

conceitual e processual, de tal forma que, permita o desenvolvimento de suas

competências e habilidades, a fim de analisar e tomar decisões sempre que se

depare com situações e problemas em diferentes contextos, mesmo que, nesse

momento, esteja sendo apresentado um novo conhecimento, que vai além de

suas capacidades cognitivas.

Paes (1999) discorre, que tanto no Brasil como em outros países, houve

um grande impulso nas reflexões relativas à área da Educação Matemática

abrangendo uma diversidade de temas, aspectos e questões inerentes ao

processo de ensino e aprendizagem do conhecimento matemático.

Assim, o autor expressa, que essas tendências revelam ainda variadas

concepções da própria Educação, passando pelo enfoque tradicional até uma

forma mais libertadora de idealizar a prática escolar.

É a partir da diversidade de pesquisas que é caracterizada a Educação

Matemática no Brasil, assim podemos destacar uma determinada forma particular

24

24

de descrever e compreender os fenômenos que chamamos de Didática da

Matemática.

Paes (1999) entende a Didática da Matemática não como um conjunto

de recomendações de modelos ou receitas de soluções a determinados

problemas de aprendizagem, destacando ainda que é somente a partir de seus

resultados de pesquisas, sobretudo em sala de aula, que se podem indicar

propostas pedagógicas com a finalidade de contribuir para uma melhor

compreensão do fenômeno da aprendizagem dessa disciplina. Dessa forma

contribui para uma consequente melhoria do seu ensino.

Outra justificativa plausível para a nossa pesquisa é identificar se, nos

currículos de matemática oficiais e prescritos para o ensino de Matemática do

Brasil e Chile, há um enfoque nas orientações veiculadas pela Educação

Matemática.

Uns dos fatores que chamou a atenção foram os dados divulgados em

2009 pelo Programa Internacional de Avaliação de Alunos (PISA5), momento em

que colocaram o Brasil em 53º lugar em Matemática. De acordo com esse órgão,

dentre os países da América Latina avaliados, o Brasil ficou ranqueado abaixo do

Uruguai (43º), Chile (45º) e México (50º). Apenas posicionou-se acima da

Colômbia (54º) e do Peru (59º).

O PISA busca medir o conhecimento e a habilidade em Leitura,

Matemática e Ciências de estudantes com 15 anos de idade, tanto de países

membros da Organização para a Cooperação e o Desenvolvimento Econômico

(OCDE), quanto de países parceiros. O exame feito pela OCDE avaliou em 2009,

o conhecimento de cerca de 470 mil estudantes em Leitura, Ciências e

Matemática de 65 países.

Embora as avaliações institucionais comparativas devam ser

analisadas com cautela, o fato é que o desempenho em Matemática dos

5 O Programa Internacional de Avaliação de Alunos (em inglês: Programme for International Student Assessment - PISA) é uma rede mundial de avaliação de desempenho escolar, realizado pela primeira vez em 2000 e repetido a cada três anos. É coordenado pela Organização para a Cooperação e Desenvolvimento Econômico (OCDE), com vista a melhorar as políticas e resultados educacionais.

25

25

estudantes da Educação Básica nos países latino-americanos parece ainda

enfrentar grandes desafios uma vez que ocupam posições muito distantes dos

primeiros colocados.

Em meio a avanços e desafios dos sistemas educativos na América

Latina, temos interesse em saber que contribuições à área de Educação

Matemática vêm dando e ainda tem para oferecer a esses países, pressupondo

que a produção na área vem crescendo significativamente, tanto nacional, como

internacionalmente.

Uma hipótese de nossa investigação consiste em reconhecer que nos

últimos 20 anos as mudanças curriculares, influenciadas pelas pesquisas na área

da Educação e da Educação específica de Matemática, tornaram-se relevantes

em diversos países, particularmente no Brasil e Chile.

No âmbito dessas discussões, essa pesquisa comparativa, sobre

organização e desenvolvimento curricular na área de Educação Matemática, entre

Brasil e Chile, considera de fundamental importância analisar:

a) A estrutura da Educação Básica formal nesses países observando tempo de escolaridade, abrangência do ensino obrigatório, os movimentos de reorganização curricular no que se refere ao ensino da Matemática etc.;

b) A Matemática proposta a ser ensinada a crianças e jovens desses países neste início de milênio.

c) Os pressupostos que norteiam os documentos curriculares nesses países e as influências da Educação Matemática presentes nos documentos curriculares e nos materiais didáticos.

d) A existência de experiências nesses dois países que podem ser compartilhadas no que se refere à busca de alternativas para melhorar o ensino de Matemática.

As análises propostas à realização por meio de leituras, observações,

entrevistas e reflexões devem, conduzir à meta, que se restringe à busca e

revelação de informações que permitam responder “quais são as influências da

Educação Matemática nos currículos de Matemática do Brasil e Chile?”.

Com o intuito de responder a essa questão, foram realizadas diversas

leituras de artigos científicos, que discorressem sobre currículos de Matemática

no Brasil e Chile, e que ainda pudessem caracterizar o sistema educacional dos

26

26

dois países pesquisados. Como fonte, também foram consultados documentos

oficiais de ambos os países.

A pesquisa documental, tem como objetivo identificar nas redes de

ensino público, as ações empreendidas pelos respectivos Ministérios de

Educação, no sentido de organizar currículos prescritos.

Para compreender o funcionamento dos sistemas educacionais nos

países pesquisados houve recorrência às pesquisas pela internet, ao acessar os

sites oficiais dos Ministérios de Educação do Brasil (MEC)6 e Ministerio de

Educación del Chile (MINEDUC)7.

O Brasil oferece um ambiente vasto para pesquisas relacionadas à

Educação. Ao navegar pelo site oficial do MEC foram encontrados links que

direcionam para uma busca mais refinada, tal como, a exemplo, o Instituto

Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais – Inep8. Por meio do Inep foram

obtidas as informações necessárias para que compreendêssemos o sistema

educacional do Brasil. Como país de origem da pesquisa, o Brasil tornou

obviamente possível, apresentar-se com mais familiaridade no que concernem

certos aspectos da Educação, permitindo-nos ainda, um aprofundamento nas

observações e análises.

Outros sites oficiais do governo brasileiro, também serviram de consulta

para nossa pesquisa, tal como o IBGE (Instituto Brasileiro de Geografia e

Estatística)9, assim, por meio desse, foi acessado o site da Pesquisa Nacional por

Amostra de Domicílios, o IBGE Instituto10. De igual forma, o Sistema de Medición

de la Calidad de la Educación del Chile (SIMCE)11, também foi cientificamente

vasculhado, dado a característica, que apresenta resultados de avaliações sobre

conhecimentos e habilidades dos alunos da Educação Básica. Sua finalidade é de

buscar elementos para nortear as ações, visando à melhoria do desempenho

daquelas escolas que não tiveram um bom aproveitamento.

6 www.mec.gov.br/ 7 Disponível> http://www.mineduc.cl 8 www.inep.gov.br/ 9 www.ibge.gov.br/ 10 www.ibge.gov.br/home/estatistica/populacao/.../pnad2009/2010/ 11 Disponível: www.simce.cl

27

27

Foi Constatado, que o Chile também mantém um acervo rico de

pesquisas na área de Educação, Centro de Aperfeiçoamento, Experimentação e

Investigações Pedagógicas (CEPEIP12), cujos arquivos são documentos sobre as

reformas curriculares, resultados de avaliações e desempenho de alunos e das

escolas por região e formação de professores. Visitamos o site e estivemos

pessoalmente nessa biblioteca colhendo informações que aclaravam as dúvidas

sobre os encaminhamentos propostos nos currículos e sobre as práticas dos

professores frente aos documentos oficiais.

O PNUD13 (Programa das Nações Unidas para o Desenvolvimento),

também foi consultado. Ainda foram buscadas informações no site do Mercosul14

e da OECD15 – Econômico, assim como na Sociedade Brasileira de Educação

Matemática – SBEM16 e na Sociedad Chilena de Educación Matemática o

SOCHIEM17. Não se pode esquecer dos artigos publicados na Revista Chilena de

Educación Matemática – RECHIEM.

Navegou-se também no site do Fisem (Federación Iberoamericana de

Sociedades de Educación)18, que apresenta diversos artigos na revista Union

(Revista Iberoamericana de Educación Matemática).

As informações coletadas nos sites possibilitaram não só conhecer os

sistemas educacionais dos dois países, mas também caracterizar o Brasil e Chile

frente aos indicadores nacionais e internacionais relacionados ao crescimento

populacional, taxas de alfabetização, crescimento econômico e social, a

diversidade cultural dos dois países, etc.

Na tabela a seguir são indicados os documentos oficiais analisados, a

fim de compreensão dos sistemas educacionais de Brasil e Chile:

12 http://www.cpeip.cl/index2.php?id_portal=41&id_seccion=3116&id_contenido=12364

13 www.pnud.org.br/ 14 www.mercosul.gov.br/ 15 www.oecd.org 16 www.sbem.com.br/ 17 www.sochiem.cl/ 18 www.fisem.org/

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28

Quadro 1 – Lista de documentos oficiais para pesqui sa

Documentos oficiais – Brasil Documentos oficiais – Chile

Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional –

LDB 9394/96

Ley 20 370 de 12/09/2009 – Establece la Ley

General de Educación.

Parâmetros Curriculares Nacionais – Matemática de

primeira a quarta série do Ensino Fundamental,

1997.

Ley 19532 de 17/11/1997 Crea el regimen de jornada

escolar completa diurna y dicta normas para su

aplicación.

Parâmetros Curriculares Nacionais – Matemática

terceiro e quarto ciclos do Ensino Fundamental,

1998.

Ley 19979 de 03/11/2004 Modifica el régimen de

jornada escolar completa diurna y otros cuerpos

legales.


Ensino Médio, 1999.

Guia Ayuda Mineduc/Educación Básica – 2010 –

MINEDUC


Ensino Médio – PCN+

Orientações Educacionais Complementares aos

Parâmetros Curriculares Nacionais, 2002

Objetivos Fundamentales y Contenidos Mínimos

Obligatorios de La Educación Media – MINEDUC

Relatório de análise de propostas curriculares de

ensino fundamental e ensino médio / Maria das

Mercês

Ferreira Sampaio (organizadora). – Brasília:

Ministério da Educação / Secretaria de Educação

Básica, 2010.

Conocimiento Pedagógico del Contenido y su

incidencia en la Enseñanza de la Matemática Nivel

de Educación Básica Fondo de Investigación y

Desarrollo en Educación – FONIDE, Departamento

de Estudios y Desarrollo. División de Planificación y

Presupuesto.

Bases Curriculares Consulta Pública Educación

Básica - Abril (2011)

Resultados para Docentes y Directivos SIMCE, 2007

a 2009

Programa de Estudio del primer a cuarto año Básico.

Programa de Estudio del quinto a octavo año Básico

Programa de Estudio del Educación Media primero a

cuarto año.

29

29

Além de documentos oficiais pesquisados por meio de pesquisas on-

line, foram encontrados diversos artigos publicados em congressos na área de

Educação Matemática, ora realizados nesses países e/ou lançados em revistas

especializadas na área de objeto de estudo, que por sua vez foram de grande

valia para a realização das investigações.

A Estruturação do trabalho foi organizada em seis capítulos, nesse

sentido, no primeiro capítulo, são apresentados os fundamentos teóricos que

permitiram as análises documentais realizadas em ambos países. Ao final desse

capítulo, será mostrada uma síntese, que descreve a intencionalidade quanto às

escolhas das categorias de análises comparativas de currículos de Matemática

prescritos e vigentes no Brasil e Chile.

No segundo capítulo, são destacados os procedimentos

metodológicos, que dão ênfase aos estudos comparados e à trajetória adotada

para a realização da pesquisa.

O terceiro capítulo expressou a devida configuração dos sistemas

educativos de Brasil e Chile, que descrevem o contexto social, político e

econômico (IDH, PIB, taxa de escolarização, contexto político pós-ditadura etc.),

além do contexto educacional e políticas públicas (o atendimento, a demanda, a

escolarização obrigatória, entre outros). Assim, o capítulo é finalizado com uma

síntese preliminar, que destaca as similaridades e diferenças presentes entre os

sistemas educacionais de Brasil e Chile.

No quarto capítulo, foi efetuada uma análise comparativa dos

currículos de Matemática prescritos e vigentes para alunos, cuja faixa etária está

compreendida entre 6 aos 14 anos, que no Brasil equivale ao Ensino

Fundamental e no Chile à Educação Primária. Assim, com base nas categorias

explicitadas e abarcadas pelos fundamentos teóricos apresentados no primeiro

capítulo, são evidenciados os processos de construção e elaboração. Tampouco

serão explicitadas as semelhanças e diferenças em termos de objetivos,

conteúdos, orientações didáticas e orientações para avaliação. Também, será

Indicada a existência dos pressupostos teóricos da Educação Matemática

presentes nas propostas curriculares.

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30

O capítulo quinto foi marcado pela efetuação da análise comparativa

dos currículos de Matemática prescritos e vigentes para os alunos com idades

compreendidas dos 15 aos 17 anos, que no Brasil é conhecido por Ensino Médio

e no Chile Educação Secundária. Nesse sentido, buscou-se evidenciar possíveis

diferenças e semelhanças respaldadas nas categorias de análise de nossa

pesquisa.

No sexto e último capitulo, predominou as análises das entrevistas

concedidas por profissionais que atuam na Educação e que lidam de forma direta

e ou indireta com currículos prescritos vigentes, ou seja, concordâncias e

discordâncias (autoridades educativas nacionais e regionais, da época da

implementação e atualmente), por meio de entrevistas, observações e

documentos que revelam suas participações nas reformas curriculares em cada

país.

Por fim, foram analisadas as entrevistas concedidas, baseando-se na

expectativa de, ou se possível, identificar, se os currículos oficiais prescritos e

vigentes se revelam na práxis do dia-a-dia.

Finalizarei minha pesquisa apresentando minhas conclusões e

considerações finais.

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CAPÍTULO 1

FUNDAMENTOS TEÓRICOS

1.1 Introdução

Como propósito, o capítulo a seguir expõe reflexões que permeiam o

campo da análise dos currículos oficiais, que por sua vez, foram prescritos do

Brasil e Chile à luz de estudos específicos de currículo, mais especificamente

correlacionado ao de Matemática. Em um primeiro momento, propõe-se a

apresentação de autores e estudiosos que discorrem sobre a temática. Assim,

valendo-se dessa premissa, usá-los-emos a fim de fundamentarmos as reflexões

em questão, e na ajuda no esclarecimento de alguns itens específicos de análise

de currículos de Matemática, tais como: o papel que atribuem à Matemática na

formação dos alunos; a ênfase nas aplicações práticas ou nas especulações

teóricas, a forma de estruturar o currículo prescrito, os critérios de seleção e de

organização dos conteúdos, as referências implícitas ou explícitas que constituem

a Educação Matemática, as orientações metodológicas e didáticas explícitas ou

subjacentes e por fim, as indicações sobre o processo de avaliação da

aprendizagem.

1.2 Concepção de Currículo e níveis de concretizaçã o

Diversos autores como Sacristán, Bishop, Doll, Rico, Fey e Pires,

dedicam-se na reflexão e apresentação de uma definição para currículo. Dentre

as várias proposições, pode ser destacado a de Sacristán (2000), por considerá-la

uma reflexão contemporânea e bastante pertinente.

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32

Quando definimos o currículo estamos descrevendo a concretização das funções da própria escola e a forma particular de enfocá-la num momento histórico e social determinado, para um nível ou modalidade de educação, numa trama institucional, etc. O currículo do ensino obrigatório não tem a mesma função que o de uma especialidade universitária, ou o de uma modalidade de ensino profissional, e isso se traduz em conteúdos, formas e esquemas de racionalização interna diferentes, por que é diferente a função social de cada nível e peculiar a realidade social e pedagógica que se criou historicamente em torno dos mesmos. Como acertadamente assinala Heubner (citado por McNeil, 1983), o currículo é a forma de ter acesso ao conhecimento, não podendo esgotar seu significado em algo estático, mas através das condições em que se realiza e se converte numa forma particular de entrar em contato com a cultura. O currículo é uma práxis antes que um objeto estático emanado de um modelo coerente de pensar a educação ou as aprendizagens necessárias das crianças e dos jovens, que tampouco se esgota na parte explícita do projeto de socialização cultural nas escolas. É uma prática, expressão da função socializadora e cultural que determinada instituição tem, que reagrupa em torno dele uma série de subsistemas ou práticas diversas, entre as quais se encontra a prática pedagógica desenvolvida em instituições escolares que comumente chamamos ensino (SACRISTÁN, 2000 p. 15-16).

É notória a necessidade de destaque de algumas das preocupações

que concernem a ideia de elaboração do currículo. Nesse caso, a definição de

Sacristán (2000), não só apresenta, como igualmente reforça o pensamento a

respeito da questão, uma vez que a intenção principal de um currículo é de

oportunizar aos estudantes acesso ao conhecimento, contudo é importante partir

da ideia sobre para quem está sendo proposto e o que se deseja alcançar.

Pires (2011) afirma que ao assumir a ideia apresentada por Sacristán,

marca-se a diferença entre essa concepção e aquela de que currículo é

simplesmente o processo centrado na definição de objetivos e conteúdos a serem

trabalhados em cada etapa da escolaridade, que ainda é muito presente na

tradição educacional.

Sacristán (2000) entende que o currículo para a Educação tem que ser

proposto ao ser considerando o processo de aprendizagem desde os primeiros

anos até o ultimo ano de escolaridade, ou seja, é um processo que leva anos:

(...) Desde um enfoque processual ou prático, o currículo é um objeto que se constrói no processo de configuração, implantação, concretização e expressão de determinadas práticas pedagógicas e em sua própria avaliação, como resultado das diversas intervenções que nele se operam. Seu valor real para os alunos, que aprendem seus conteúdos, depende desses processos de transformação aos quais se vê submetido (SACRISTÁN, 2000, p. 101).

33

33

Se o currículo é algo a ser construindo antes e durante o processo

escolar, temos que considerar que este sofrerá influência das pessoas que estão

à frente das tomadas de decisões referentes ao currículo, cada uma com uma

visão de ensino atrelada às suas experiências e crenças. Assim, Sacristán (2000)

propõe um modelo de interpretação do currículo como algo construído no

cruzamento de influências e campos de atividades diferenciados e inter-

relacionados.

Assim, o autor apresenta como mostra, o diagrama abaixo,

relacionando a estruturação em níveis ou fases. No entanto, ratifica que esses

níveis não são hierarquizados nem constituem – se de forma linear.

Sacristán (2000) busca caracterizar esses diferentes níveis, nesse

sentido, os currículos prescritos indicam a posição da instituição governamental

em termos de como ela vislumbra a educação, a escola, os processos de ensino

e de aprendizagem de uma dada área de conhecimento, em face de objetivos a

serem alcançados.

Configuram-se então, como um documento de referência para a

elaboração de currículos apresentados e para a elaboração dos currículos

34

34

moldados pelos professores no âmbito da escola. Além de fundamentos teóricos

os currículos prescritos indicam as expectativas de aprendizagem para cada ano

da escolaridade e que serão objeto do nível “currículo avaliado”.

Os currículos apresentados aos professores são em geral resultantes

da formulação de autores de livros didáticos e outros materiais, que objetivam

mostrar de forma traduzida as orientações curriculares expressas nos currículos

prescritos.

Os currículos moldados pelos professores, em seu planejamento no

início do ano letivo e no decorrer dele, são elaborados a partir dos currículos

prescritos e apresentados e levam em conta os diagnósticos preliminares que

cada professor faz sobre o que foi ensinado a esses alunos nos anos anteriores,

tanto quanto o que foi aprendido. Esse plano necessariamente se desdobra em

outros mais específicos, elaborados periodicamente e que inclui todas as

especificidades das atividades de aprendizagem que o professor pretende realizar

com seus alunos.

Os currículos em ação e os currículos efetivamente realizados, são

aqueles que se concretizam em sala de aula, em que as atividades vão sendo

ajustadas em função da interação entre professores, alunos e o conhecimento.

Muitas vezes o que foi planejado inicialmente precisa adequar-se melhor ao grupo

de alunos, seja porque são observadas dificuldades para a compreensão do que

está sendo trabalhado, seja porque se observa que os alunos são capazes de

realizarem atividades mais avançadas.

Para Sacristán (2000), os currículos realizados como consequência da

prática, produzem efeitos complexos dos mais diversos tipos: cognitivo, afetivo,

social, moral, entre outros. São efeitos aos quais, algumas vezes se presta

atenção porque são considerados “rendimentos” valiosos e proeminentes do

sistema ou dos métodos pedagógicos. Mas, a seu lado, se dão muitos outros

efeitos, que por falta de sensibilidade para com os mesmos e por dificuldade para

apreciá-los (pois muito deles, além de complexos e indefinidos, são efeitos a

médio e longo prazo), ficarão como efeitos ocultos do ensino. As consequências

do currículo não só se refletem em aprendizagens dos alunos, mas também

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35

afetam os professores, seja na forma de socialização profissional, ou inclusive na

projeção no ambiente social, familiar, etc.

Nessa visão emerge o papel do professor reflexivo, que Alarção19

(1996) sugere na ideia de que é importante que o professor reflita sobre sua

prática, com olhar aos conteúdos, como as sequências de atividades e a forma

como elas se processam no contexto de ensino.

Os currículos avaliados caracterizam-se como o momento do confronto

entre as expectativas de aprendizagens que o professor se propõe a trabalhar e

os resultados de aprendizagem dos alunos. O professor procura captar os

avanços e dificuldades que vão se manifestando ao longo do processo,

informando o que está acontecendo. Para tanto, é fundamental que ele tenha

clareza quanto às expectativas de aprendizagem que devem ser buscadas,

fazendo por fim um bom levantamento de conhecimentos prévios dos alunos além

de realizar uma avaliação criteriosa das atividades de aprendizagem que outrora

planejou e também da sua realização em sala de aula.

O nível dos currículos avaliados também pode se beneficiar das

avaliações institucionais que visam a obter indicadores educacionais que possam

subsidiar a elaboração de propostas de intervenção técnico-pedagógica no

sistema de ensino, visando a melhorar a sua qualidade e a corrigir eventuais

distorções detectadas.

Desse modo, ao longo de nosso trabalho, procuraremos apontar, nas

diversas análises, o nível ao qual estamos fazendo referência.

1.3 Currículos de Matemática: concepções e proposições 19 Para Alarcão (1996), o professor reflexivo, quando reflete sobre a sua prática “dá o primeiro passo para quebrar o ato de rotina, possibilitar a análise de opções múltiplas para cada situação e reforçar a sua autonomia face ao pensamento dominante de uma dada realidade” (CARDOSO, PEIXOTO, SERRANO E MOREIRA, 1996, p. 83). Na mesma linha de pensamento, BRUBACHER, CASE E REAGAN (1994) argumentam que nos professores, a prática reflexiva: � Ajuda-os a libertarem-se dos comportamentos impulsivos e rotineiros; � Permite-lhes actuar duma maneira intencional e deliberada; e � Distingue-os como seres humanos informados visto ser uma das características da

acção inteligente. Assim, uma prática reflexiva proporciona aos professores oportunidades para o seu desenvolvimento, tornando-os profissionais mais responsáveis, melhores e mais conscientes.

36

36

O tópico almeja apresentar a motivação que levou muitos países a

repensarem o ensino da Matemática, para tanto, mais uma vez, recorreu-se aos

estudos e pensamentos de diversos autores sobre a temática em questão, ou

seja, como ensinar e qual a finalidade desse conhecimento para o aluno. Não

obstante, pretende-se realizar as escolhas dos conceitos matemáticos que devem

estar presentes nos currículos oficiais prescritos.

1.3.1 Antecedentes importantes

Para situar as discussões sobre currículos de Matemática no Brasil e

Chile, na década de 90, período em que as reformas educacionais foram

impulsionadas e que se mantém atualmente num movimento de reorientação

curricular para o ensino de Matemática nos dois países, consideramos importante

recuperar algumas informações sobre o Movimento da Matemática Moderna

(MMM), um movimento mundial que impulsionou diversos países a reverem e

reconstruir seus currículos de Matemática. Esse inovador movimento sofreu

muitas críticas, algumas das quais expressas na obra “O fracasso da Matemática

Moderna”, do americano Morris Kline, professor da Universidade de Nova York. A

obra foi considerada de grande repercussão no meio acadêmico brasileiro, no

final dos anos 70. Pinto (2005), em seus estudos sobre o tema, destaca que para

Kline, o exagero da forma dedutiva de abordar os conteúdos, aliado ao excessivo

formalismo e simbolismo da linguagem utilizada pela matemática moderna,

empobreciam a vida e o espírito da Matemática.

A dificuldade em lembrar os significados e a desagradabilidade das expressões simbólicas afugentam e perturbam os estudantes; símbolos são como estandartes hostis adejando sobre uma cidadela aparentemente inexpugnável. O próprio fato de o simbolismo ter entrado na matemática até certo ponto significativo por volta dos séculos dezesseis e dezessete indica que não vem sem dificuldade para as pessoas. O simbolismo pode servir a três propósitos. Pode comunicar idéias eficazmente; pode ocultá-las e pode ocultar a ausência delas. Quase sempre parece dar-se a impressão de que os textos de matemática moderna empregam o simbolismo para ocultar a pobreza de idéias. Alternativamente, o propósito de seu simbolismo parece ser o de tornar inescrutável o que é óbvio e afugentar, portanto, a compreensão (KLINE, 1976, p.94, apud PINTO, 2005).

As críticas de Kline eram para o ensino americano, no entanto, elas

também adquiriam sentido no contexto educacional brasileiro, no momento em

que a abordagem tecnicista dominava as práticas escolares. Outro aspecto

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37

criticado por Kline foi a ênfase que o novo programa dava à Teoria dos Conjuntos,

especialmente na Matemática elementar. Para ele, conceitos abstratos não

deveriam ser explorados no nível elementar, pois além de confundir a cabeça dos

alunos, estimulavam sua aversão pela Matemática. Ao defender o princípio

pedagógico que toma como ponto de partida a experiência Matemática que o

aluno traz do cotidiano, sua concepção alinha-se com a teoria psicogenética

assumida por George Papy20.

Pinto (2005) afirma que as críticas de Kline parecem incidir muito mais

na abordagem metodológica utilizada para a renovação da matemática do que

propriamente na proposta dos conteúdos a serem trabalhados. Ao sugerir

estratégias para motivar o aluno a gostar da matemática, ressalta a importância

da seleção de problemas significativos para o estudante, de dar um sentido real

aos problemas matemáticos. Para ele, era preciso que os alunos soubessem que

as aplicações da matemática eram tanto partes do conhecimento dessa ciência,

quanto meios para que estes apreciassem seu valor instrumental.

Segundo Soares (2001), o livro de Kline, apesar de publicado no Brasil

três anos após sua divulgação nos Estados Unidos, foi um marco decisivo para o

esgotamento da Matemática Moderna em nosso país (SOARES, 2001 apud Pinto

2005).

Nesse contexto e partindo da premissa de que o ensino de Matemática

deverá levar o aluno a compreender os significados dos conceitos matemáticos e

de sua aplicabilidade a partir de situações do cotidiano, deve-se considerar ainda,

que as críticas contra o Movimento da Matemática Moderna eram necessárias

para mudanças nos rumos do ensino e aprendizagem do conhecimento

matemático. Nesse sentido, diversas pesquisas em Educação Matemática foram

produzidas e levaram diversos países a um movimento de reorganização

20 Georges Papy foi um matemático belga. Seus trabalhos incluem Introdução ao espaços vetoriais e matemática moderna. Doutorado em Matemática na Universidade de Bruxelas onde lecionou e passou por outras universidades no exterior. Dedicado à reforma do ensino de matemática na escola, desde 1961 dirigiu o Centro Belga de Educação Matemática. Embora as questões apresentadas neste trabalho são de grande importância na matemática moderna, o mérito fundamental é a utilização de recursos didáticos inovadores que tornam o tema mais acessível.

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curricular mundial. Essa nossa afirmação é respaldada por Pires (2006), quando

afirma que:

O Movimento Matemática Moderna foi, sem dúvida, um dos principais marcos de reformas, provocando alterações curriculares em países com sistemas educativos e realidades diversas. A preocupação central dos currículos formulados à luz do Movimento Matemática Moderna era a de uma Matemática útil: útil para a técnica, útil para a ciência, útil para a economia moderna (PIRES, 2008, p. 4).

1.3.2 As contribuições da comunidade de Educação Matemática para a reflexão sobre seus currículos

O item a seguir intenciona expor diversos estudos, que delineiam sobre

quais reflexões são de fato importantes, bem como devem ser contempladas no

que diz respeito aos documentos curriculares para o ensino da Matemática,

quando destinado à Educação Básica.

1.3.2.1 O papel da Matemática na formação dos aluno s

“Que papel a Matemática tem na formação de crianças e jovens de

países latino-americanos neste início de milênio?”

A questão acima tem seu surgimento no ambiente acadêmico do grupo

de pesquisa e discussões: Organização, Desenvolvimento Curricular e Formação

de Professores em Matemática, que está inserido na linha de pesquisa do

Programa de Estudos Pós-Graduados em Educação Matemática da PUC/SP, que

por sua vez detém a denominação de: Matemática na estrutura curricular e

formação de professores.

A base e pertinência para os estudos em questão, se deu na prática da

análise dos índices oficiais, que demonstravam o desempenho de alunos no

mundo, em particular na América Latina. Tais fatores, foram demonstrados nas

discussões como de extrema importância, fato que remeteram-nos à reflexões

diversas sobre questões mais amplas, a exemplo, da finalidade da Educação na

escola, como é inserido o currículo nesse contexto e sua especificidade.

Nesse caso, cabe concordar com Sacristán (2000):

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Quando se fala de currículo como seleção particular de cultura, vem em seguida à mente a imagem de uma relação de conteúdos intelectuais a serem aprendidos, pertencentes à diferentes âmbitos da ciência, das humanidades, das ciências sociais, das artes, da tecnologia, etc. Esta é a primeira acepção e a mais elementar. Mas, a função educadora e socializadora da escola não se esgota aí, embora se faça através dela, e, por isso mesmo, nos níveis do ensino obrigatório, também o currículo estabelecido vai logicamente além das finalidades que se circunscrevem a esses âmbitos culturais, introduzindo nas orientações, nos objetivos, em seus conteúdos, nas atividades sugeridas, diretrizes e componentes que colaborem para definir um plano educativo que ajude na consecução de um projeto global de educação para os alunos (SACRISTÁN, 2000, p.18).

Há um entendimento mútuo sobre a relevância da questão, quando o

conhecimento específico na escola é tratado essencialmente por meio da criação

de ações que busquem não só pensar em uma Educação de maneira mais ampla,

mas que também promovam para os alunos, um ensino que aflore atitudes, senso

crítico e ético, entre outros.

Nesse sentido, o conhecimento matemático aplicado nas escolas

deverá proporcionar aos alunos, possibilidades no desenvolvimento de suas

competências e habilidades para lidarem com diferentes situações, que, mais

tarde, como cidadãos, poderão vivenciar em uma sociedade produtiva.

Cabe, nesse caso, a defesa dos alunos que têm direito ao

conhecimento matemático, que por sua vez, deve ser proposto em sala de aula, a

partir de situações ligadas ao seu cotidiano. É importante que na abordagem dos

conhecimentos matemáticos, os alunos tenham a oportunidade de experimentar,

manipular objetos, conjecturar, validar e interagir com colegas, a fim de buscar

estratégias para a resolução do que se pede numa atividade. O professor deve

então, conduzir essa atividade fomentando nos alunos a curiosidade,

observações, análises e reflexões. Tampouco, somada a lista de obrigatoriedade

profissional, o mestre deve também fornecer adequadamente o suporte aos

alunos que apresentam dificuldades de compreensão do novo conceito, com isso,

cabe desenvolver ações didáticas e metodológicas, a fim de sanar as dificuldades

apresentadas.

40

40

Uma vez compreendido o conceito envolvido e os procedimentos

matemáticos para a resolução, o professor, deverá lançar outras situações-

problemas, que vão além das capacidades dos alunos naquele momento, com

isso, os levarão a percepção eminente da necessidade de se apropriarem de

outros conhecimentos matemáticos para a busca da solução, bem como o

entendimento de que a Matemática não se resume a problemas ligados ao dia-a-

dia dos alunos.

Mas, qual Matemática ensinar no ambiente escolar?

Para responder a essa questão, no próximo item, recorremos à

Educação Matemática, para identificar argumentos de diferentes autores que

justifiquem o ensino da Matemática e suas finalidades para a formação do aluno.

1.3.2.2 O papel da Matemática no currículo

Na busca de respostas à pergunta “qual Matemática ensinar na

escola?”, encontramos Rico (1997), que em seu trabalho Reflexión sobre los fines

de la Educación Matemática, analisa as considerações sobre as diferentes razões

que levaram vários pesquisadores a justificarem os fins da Educação Matemática,

num período de três décadas anteriores à publicação de seu artigo.

Rico (1997) identificou autores que procuraram responder a questão:

“Por que ensinar matemática?”, e cita a resposta dada por D’Ambrosio (1979),

que disserta que é preciso situar a Matemática num contexto de marco educativo

variável que tem se modificado pela realização de ideal de uma educação de

massa. Os benefícios da Educação devem estender-se a todos os níveis da

sociedade, sem atender às diferenças econômicas e sociais. Todas as crianças e

jovens têm o direito de alcançar as possibilidades que lhes permitem suas

próprias capacidades individuais, assim, nesse sentido, a Educação Matemática

tem a obrigação social de reduzir a zero as diferenças vividas na Educação.

O pesquisador apresenta dois pontos de vistas para a Educação

Matemática proposta por D’Ambrosio, considerando que, quando se fala de

Educação Matemática e sobre as funções sociais que esta deve atender, é

preciso considerar, prioritariamente a que classe social referiu. Pensando numa

sociedade do futuro, com toda a carga utópica que incluem os ideais de justiça,

41

41

liberdade, dignidade de vida e igualdade de oportunidades, entre outros, então, é

possível discutir sobre como orientar a educação para alcançar esse futuro. São

eles:

I. Ponto de vista utilitário cujas idéias principais são a necessidade de preparar matemáticos em todos os níveis para a aplicação e para o uso de tecnologias. Preocupação pelos matemáticos sobre o que se ensina e o que se aplica. A expectativa da sociedade de que tal conhecimento traga benefícios para ela.

II. Ponto de vista especulativo é o esforço por desenvolver a Educação como livre e criadora, como aquisição da arte de usar o conhecimento (D’Ambrosio, 1979, apud RICO 1997, p. 8).

Ao explicitar os pontos de vistas de D’Ambrósio, para a Educação

Matemática, Rico (1997), apresenta a finalidade para a Educação Matemática.

A principal tarefa da educação matemática é propor estratégias para o desenvolvimento simultâneo destes dois objetivos, o primeiro baseado no conceito matemático de utilidade como um conjunto de técnicas e habilidades, pensado e projetado para atender as necessidades sociais, e o segundo considera o matemática como componentes de um grande corpo de modelos de pensamento e linguagem para simular fenômenos acima (RICO, 1997, p. 8).

Outra questão é analisada por Rico (1997): Por que se deve ensinar

matemática? Em Romberg (1991), ele encontra duas categorias de respostas,

sendo uma delas a justificativa funcional21 indicando que a formação

especializada da Matemática como requisito prévio e essencial para o estudo de

uma variedade de disciplinas, entendendo que o papel da escola é preparar

cidadãos para vida produtiva.

A segunda categoria é denominada como outras justificativas22, Assim

Rico (1997), afirma que uma justificativa comum é a de que deve – se ensinar

matemática por que supõem-se que ela promova o desenvolvimento das

destrezas de pensamento de alto nível. O esforço e a confiança para resolução de

exercícios é outra justificativa usual.

21 Grifo nosso.

22 Grifo nosso.

42

42

Ainda há o comentário de que a matemática tem uma beleza que traz

satisfação a quem a compreende, nesse sentido, finaliza com a justificativa de

ensinar matemática pela sua contribuição à nossa cultura ocidental.

Rico (1997), afirma que não está igualmente clara a correspondência

entre os fundamentos contemplados e as implicações curriculares que se

pretende derivar dos mesmos.

Rico (1997) encontrou em Niss (1995), o reconhecimento de dois tipos

de argumentos sobre os fins da Educação Matemática. O primeiro são os

utilitários que estão focados no interesse central da escola, na

formação Matemática que proporciona o desenvolvimento para a vida daqueles

que se interessam pelas necessidades profissionais e consideram sua

função como requisito prévio para o estudo de outras ciências.

O segundo argumento é o de formação geral dos alunos, que abarca-

se no que se refere ao desenvolvimento das capacidades formativas e na

promoção da personalidade e das atitudes. E há ainda, aqueles que consideram o

valor estético e o caráter lúdico e recreativo da matemática.

Diante de tais argumentos de diferentes autores, Rico (1997) propõe

as finalidades da Educação Matemática, organizadas em quatro dimensões que

passaremos a sintetizar:

A dimensão cultural, onde o autor destaca a matemática como um

aparato tecnológico construído no interior da cultura, entendendo que se trata de

patrimônio cultural básico de cada sociedade e, cuja transmissão é dada por meio

do sistema educacional. Pondera que a forma axiomática de apresentar a

matemática é construto ocidental, sendo que outras formas de apresentar o

conhecimento matemático são igualmente legítimas. Portanto, a finalidade cultural

da Educação Matemática desempenha um papel essencial na organização e

elaboração curricular.

Na dimensão social, estão as finalidades de caráter utilitário, mas Rico

(1997), alerta que não podem se reduzir nem serem confundidas como valores

utilitaristas. De acordo com o autor, essas finalidades cobrem necessidades de

três âmbitos sociais, tais como: I) a prática do matemático profissional; o contexto

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43

matemático, em que ferramentas matemáticas são empregadas em função da

prática laboral, os hábitos e práticas usuais no emprego da Matemática. Assim,

dizem respeito a ferramentas matemáticas referentes como se dá o

desenvolvimento desse conhecimento na sociedade pelo trabalho especializado

do matemático; II) às ferramentas matemáticas presentes no mundo do trabalho,

ou seja, no domínio da prática profissional; III) e, por fim, as ferramentas que

incidem nas práticas sociais, como necessidades básicas dos cidadãos.

Na dimensão educativa, a matemática tem importância no currículo,

uma vez que detém uma natureza formativa no raciocínio, que por sua vez é

necessária em qualquer área do conhecimento, na ação simbólica, na

identificação padrões e regularidades e na satisfação de sua beleza, cooperação

e esforço.

Finalizando, a dimensão política refere-se ao papel que a matemática

pode desempenhar na vida do cidadão, onde há uma sociedade cada vez mais

dependente pela tecnologia. Assim, o conhecimento matemático pode contribuir

na formação de competências formais, na capacidade de empregar conceitos

matemáticos na compreensão de fenômenos naturais ou sociais e como

conhecimento reflexivo, conectado à vida social do cidadão.

Outro autor que trazemos para nossa discussão é Bishop (1991), que se

define no pensamento de contraposição à ideia de que as apresentações da

Matemática são unicamente de conhecimento formal. Nesse contexto, o autor

propõe que ela se articule em torno de três componentes: simbólico, social e

cultural.

A seguir sintetizamos cada um desses componentes:

O componente simbólico , que, segundo Bishop (1991), organiza-se

em torno das seis atividades “universais”, ou seja, configura-se com premissa

para a elaboração de um currículo de Matemática. São elas:

• Contar: quantificar, valor posicional, números positivos e negativos, infinitamente grandes ou pequenos, potencias, relações numéricas, etc.

• Localizar: localizar no entorno, orientações com bussolas, para cima, para baixo, para direita e para esquerda, distância em linha

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44

reta e linha curvilínea, coordenadas cartesianas em 2 e 3 dimensões, longitude e latitude, lugar geométrico, circulo, elipse e vetores.

• Medir: comparar medidas, mais pesada ou mais leve, mais rápida ou mais lenta, etc. Precisão das medidas e estimativas com área, volume, sistema monetário, etc.

• Desenhar: desenhos abstratos e/ou estéticos, comparações de desenhos como grande ou pequeno, semelhança e congruência de figuras, propriedades das formas geométricas, razão e proporção, simetria, escala, etc.

• Jogos: diversão, modelagem da realidade, atividades regidas por regras, procedimentos, planos e estratégias. Jogos de cooperação, de competição e jogos de azar (probabilidade).

• Explicar: classificações semelhantes e convenções, explicações lingüísticas (argumentações lógicas e demonstrações). Explicações simbólicas (equações, inequações, algoritmos, funções). Explicações figurativas (gráficas, diagramas, tabelas e matrizes). Modelagem Matemática. Critérios (validação interna, generalização externa).

Bishop (1991), entende que ao se estruturar esse componente,

privilegiando as seis atividades, possibilitará uma cobertura ampla e elementar

das ideias Matemáticas importantes.

Um enfoque, segundo Bishop (1991), baseado em atividades

conceituais e explicativas significativas na tecnologia simbólica da Matemática,

fomenta basicamente que se explorem de maneira explícita os valores do

racionalismo e objetivismo.

O segundo componente, denomina-se componente social , que

segundo o autor pode ser baseado em projetos educacionais. Nesse sentido,

destaca, que trabalhar com projetos escolares aventa muitas possibilidades que

favorecem o processo de ensino e aprendizagem da Matemática, apresentando

três aspectos, para os quais têm uma relação com o componente social. São eles:

I. Os projetos permitem maior envolvimento pessoal, tal como almejado para uma determinada situação. Assim, como consequência, faz com que o ensino se torne mais individualizador e personalizador, características estas, frequentemente ausentes dos currículos de Matemática.

II. Os projetos fomentam o emprego de uma variedade de materiais que estimulam o pensamento sobre a importância do enfoque matemático e a interpretação e explicação da realidade. O simples fato de permitir o contato com livros, fitas de vídeo pode fazer com que os valores e as idéias matemáticas se conectem com outros aspectos do currículo escolar.

III. Os projetos permitem mais reflexão do estudante. Por meio de investigação e documentação de uma situação social e com apoio do professor para analisar relações entre as idéias matemáticas e as

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45

situações concretas, o aluno pode iniciar um processo de análise crítica de valores e idéias.

Bishop (1991) propõe ainda, temas como a sociedade no passado, a

sociedade atual e a sociedade no futuro, além das possibilidades de trabalho com

esses temas.

Por fim, o componente cultural , propõe que sua constituição deva ser

baseada em investigações, e que esta tenha duas fases, sendo a primeira a da

experimentação e a segunda a da reflexão, além da comunicação escrita da

experiência.

Para caracterizar o enfoque denominado “cultural”, Bishop (1991),

apresenta cinco princípios básicos orientadores do currículo de Matemática,

apresentados a seguir.

Principio da Representatividade : para o autor, em primeiro lugar

deveria representar adequadamente a cultura matemática. Isto é, não só deve se

ocupar da tecnologia simbólica da matemática, mas também tem que lidar com

um modo explícito e formal de valores culturais da Matemática. Assim, teme que

as demonstrações possam desaparecer indicando a falta de atenção ao

“racionalismo23”.

Para o pensador, a escassez geral de possibilidades criativa,

inovadora e inventiva nos currículos de matemática indica que o progresso está

relativamente desvalorizado e a falta de significado e compreensão

experimentada por estudantes em todo o mundo demonstra que a “abertura” não

é um valor importante nos currículos de matemática.

Portanto, é necessário introduzir uma estrutura curricular de

matemática, que permita destacar o racionalismo sobre o objetivismo, frisando

23 O racionalismo - Os racionalistas consideram que só é verdadeiro conhecimento aquele que for logicamente necessário e universalmente válido, isto é, o conhecimento matemático é o próprio modelo do conhecimento. Assim sendo, o racionalismo tem que admitir que há determinados tipos de conhecimento, em especial as noções matemáticas, que têm origem na razão. Não quer isso dizer que neguem a existência do conhecimento empírico. Admitem-no. Consideram-no, porém como simples opinião, desprovido de qualquer valor científico. O conhecimento, assim entendido, supõe a existência de ideias ou essências anteriores e independentes de toda a experiência. Disponível em: http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/descartes/conhecimento.htm

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mais o progresso do que o controle, onde a abertura é mais significativa do que

um mistério.

No Princípio do formalismo , Bishop (1991), ressalta a importância

de que o currículo deva objetivar o nível formal da cultura Matemática, mostrando

as conexões com o nível informal e oferecendo uma introdução ao nível técnico.

O autor entende que deva se privilegiar a Matemática como um fenômeno

cultural, ou seja, estabelecendo conexões entre a Matemática e a atual

sociedade. Afirma ainda, que o currículo de Matemática não deveria ser

concebido como uma simples preparação para o nível técnico.

No princípio da acessibilidade , o autor destaca que o currículo deve

ser acessível a todos os alunos, isto é, que os conteúdos curriculares têm que

atender a todos os alunos incluindo-se aqueles que apresentam dificuldades de

aprendizagem em Matemática. Em outras palavras os conteúdos propostos não

podem estar fora das capacidades intelectuais dos alunos. O autor ressalta que A

Educação Matemática deve ser para todos e alinhado com esse pensamento

propõe que será preciso criar oportunidades para que alguns alunos aprendam

observando-se seus interesses e antecedentes de aprendizagem.

O autor assegura que no princípio do poder explicativo, o currículo

Matemático deve basear-se no entorno do aluno e da sociedade. O currículo não

deve ser de aplicação universal e sim garantir o enfoque cultural de cada região.

A estrutura curricular deverá atender às individualidades dos alunos e, ao ser

concebido, deverá apresentar um equilíbrio entre o “fazer” e o “explicar”, pois a

Matemática como um fenômeno cultural pode ser uma rica fonte de explicações e

essa característica deve ser também incorporada nos currículos.

O principio da concepção ampla e elementar é uma extensão do

quarto. Em vez de ser relativamente limitado e tecnicamente exigente, o currículo

deveria ter uma concepção ampla e elementar ao mesmo tempo. Deveria oferecer

vários contextos, porque o poder de explicação que deriva da capacidade da

Matemática para conectar entre si grupos de fenômenos aparentemente díspares

deve manifestar-se por completo. Assim, o autor, acredita que os conteúdos

matemáticos deveriam ser elementares.

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No entanto, Bishop (1991), afirma que não é a favor de uma

Matemática simplista, recreativa, com jogos infantis, etc., ele chama a atenção

para que a matemática preserve sua pureza e sua explicação. Ressalta ainda,

que o currículo não é constituído para formar futuros matemáticos e por isso não

é conveniente propor exercícios mentais complexos e difíceis, ou seja, é

importante que a Matemática seja proposta de forma ampla e elementar em vez

de limitada e exigente em sua concepção.

Outro autor que busca uma reflexão sobre o papel da Matemática no

Currículo é Fey (1994), apresentando reflexões sobre o ensino de Matemática na

escola com a finalidade de que os estudantes de fato, se apropriem dos

conhecimentos. Para ele, esse debate envolve duas questões fundamentais:

(a) escolher quais são as idéias matemáticas mais importantes para os jovens aprenderem.

(b) encontrar maneiras de inserir, por meio de experiências, essas idéias de forma atraente e eficaz.

À primeira vista, parece que, para uma disciplina altamente estruturada

como a matemática, a concepção de currículos e estratégias instrucionais seria

tarefa simples já que são tratadas rotineiramente por especialistas nas áreas da

matemática e seu ensino. Mas, entendemos que isso não é verdade.

Ao analisar as influências de diversos fatores, tais como social e

cultural, entre outros, Fey (1994) explana que na formação do currículo escolar há

um amplo leque de interesses e conhecimentos, que pode ser organizado para

realizar essa tarefa de forma eficaz. Nesse sentido, cabe então, a dúvida de quais

seriam as perspectivas para a tomada de uma elementarização, em uma

atividade racional na ciência da didática da matemática.

Nesse caso, o autor argumenta que o lugar mais óbvio para se procurar

orientação para a construção de um currículo de matemática é na própria

disciplina. Assim, os responsáveis por essa organização e estruturação do

currículo deverão ser o professor de matemática e os que lidam com ela.

Para Fey (1994), a preocupação com o conteúdo e a organização dos

currículos escolares de matemática foi especialmente aguda durante a reforma da

década de 1950 e 1960, período do Movimento da Matemática Moderna, quando

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centenas de pesquisadores matemáticos envolviam-se no desenvolvimento

curricular e projetos concebidos para atualizar programas escolares. A influência

de muitos desses matemáticos levou à ênfase nos novos programas de estruturas

subjacentes no domínio da matemática, ao aumento na atenção na precisão da

linguagem para expressar idéias matemáticas e à introdução à Matemática

escolar de temas anteriormente vistos como parte do estudo.

A frase do psicólogo Jerome Bruner (1960) de que “qualquer disciplina

pode ser ensinada a qualquer pessoa de qualquer idade, desde que maneira

honesta” sugestionou que a matemática escolar deveria dar aos alunos uma

compreensão da disciplina e de métodos paralelos a matemáticos que se

encontram as fronteiras da pesquisa pura e aplicada.

As discussões acerca de qual matemática ensinar na escola

permearam debates nos quais, para Fey (1994), seria razoável perguntar se a

Matemática escolar deve ser concebida com um olho na formação acadêmica, ou

se nas considerações das diferentes formas que as pessoas usam matemática na

vida diária e no trabalho.

Fey (1994) argumenta que as tarefas de seleção são do

estabelecimento de objetivos dos conteúdos para os currículos escolares, que

foram ainda mais complicadas por uma dramática revolução na estrutura e nos

métodos da matemática propriamente dita. O efeito destas mudanças no

ambiente tecnológico para a matemática foi a mudança em formas fundamentais,

na estrutura do tema e em seus métodos.

Caberia o questionamento de quais seriam as perspectivas de

matemática que desempenham um papel na tarefa de elementarização na

concepção curricular para a escola. A estrutura da matemática obviamente

fornece algumas orientações para seleção e organização dos temas nos

currículos escolares. Contudo, parece claro que ao fazer as escolhas dos

conteúdos, há de considerar uma complexa teia de idéias sobre as maneiras que

o assunto pode e deve ser utilizado pelos estudantes. Tais decisões, podem ser

fundamentadas em análises de alternativas para as abordagens conceptuais dos

conteúdos, por avaliações de como o assunto é usado e por implicações

decorrentes das novas tecnologias.

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1.3.2.3 As aplicações práticas e as especulações te óricas: que ênfases são conferidas

Em sua tese sobre o tema “Da polarização entre aplicações e

especulações teóricas nos currículos de Matemática do Ensino Médio”, Almeida

(2011) aborda uma questão importante na análise de currículos de matemática

contemporâneos.

Almeida analisa o texto “Matemática do século XX, como o século em

breve revista”, do autor Shirley (2000), que coloca ênfase no caráter utilitário da

Matemática contemporânea, contribuindo para se ter uma visão mais ampla de

suas aplicações. Shirley (2000), apresenta o caráter dinâmico da Matemática,

quando afirma que os historiadores descobriram que mais da metade da

Matemática que se conhece foi desenvolvida desde 1900, alguns afirmariam, que

seria desde 1950 (apud Almeida, 2011).

Nesse texto, o autor dá ênfase às aplicações da Matemática como

sendo um caminho prazeroso para o ensino, voltado ainda para os objetos

matemáticos que tenham maior significado para os alunos.

Um contraponto a essa idéia é apresentado por Almeida ao debater o

posicionamento de George Harold Hardy (1877-1947), conhecido principalmente

pela Teoria dos Números e Análise Matemática e que publicou o livro

autobiográfico “A Mathematician's apology” (Em defesa de um matemático),

defendendo o valor da matemática pura e sua dimensão estética.

Almeida (2011), destaca que na leitura desse livro encontra uma visão

diferenciada da de Shirley (2000), pois para Hardy a Matemática não precisa ter

necessariamente uma aplicação prática, menos ainda uma aplicação prática

imediata. Almeida (2011) afirma que Hardy considera a significação da idéias

matemáticas é relativamente grandiosa comparando-se com as consequências

práticas das aplicações, uma vez que, segundo ele, estas aplicações são ínfimas.

Ele ressalta ainda a natureza estética da Matemática, que envolve a seriedade e

a beleza, como por exemplo, a de um teorema.

Além desses dois autores, Almeida destaca a contribuição de

Skovsmose (2001) que considera a dimensão da matemática desenvolvida na

sala de aula e as possibilidades de ensino, desenvolvendo a Matemática nos dois

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50

aspectos. Ele se posiciona no sentido de que é preciso desenvolver a Matemática

sob o ponto de vista da democracia, para que não se focalize o seu ensino sob as

características tradicionais (fazer exercícios e se apropriar das técnicas de

resolução).

O autor descreve cenários de investigação que podem contribuir para o

processo de aprendizagem de Matemática, privilegiando o aspecto crítico em

relação às atividades propostas em sala de aula; mais adiante veremos cada um

destes cenários. Estes cenários contemplam atividades e discussões que

favorecem a análise dos resultados matemáticos, sejam eles diretamente

aplicados ou de caráter especulativo.

Almeida (2011) em sua tese caracteriza dois pólos que se diferenciam,

no entanto, não se excluem, são eles: as aplicações práticas que nos remete a

idéia de aplicação imediata da Matemática na busca da solução de uma situação-

problema e as especulações teóricas com perfil diferente ao da prática.

Pertinente, vale citar:

A Matemática tem dois lados: o teórico e o prático. O que atrai a atenção geral é o lado prático. O lado teórico costuma ser considerado incompreensível a todos exceto aos especialistas. Esta dicotomia da ciência é tão velha quanto a própria ciência. Foram as invenções mecânicas de Arquimedes, o seu parafuso e o seu modelo (movido a água) do sistema planetário, que o tornaram famoso, mas ele preferia a teoria. O historiador Plutarco diz que, embora sua invenções lhe tenham dado a fama de uma sabedoria sobre-humana, Arquimedes não quis escrever sobre elas e manteve-se no mundo abstrato da matemática. Gauss, que fez muita matemática aplicada, teve a mesma atitude. Mas se pusermos de lado os grandes inovadores descobriremos que a avassaladora maioria das pessoas que dedicaram algum do seu tempo e energia a esta ciência a usaram como instrumento para conseguirem resultados numéricos interessantes e para entenderem situações mais ou menos complexas. A matemática é usada tanto para cálculo numérico como para a construção de modelos (GARDING, 1997, p. 289, Apud ALMEIDA, 2011, p. 34).

Para a autora, os currículos de Matemática trazem além dos conteúdos

orientações didáticas e metodológicas destacando as aplicações práticas a serem

desenvolvidas com vistas a garantir o aprendizado pelo aluno na dita disciplina.

Nesse contexto, a autora argumenta ainda, que um dos pólos permeia

a possibilidade de aplicações imediatas da Matemática enquanto a outra, a

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teórica, não tem essa aplicação imediata visível aos alunos, mas que tem um

valor

intrín

seco para o desenvolvimento da própria Matemática e também do pensamento

matemático dos indivíduos.

Almeida (2011), ao fazer suas escolhas para a análise quanto as

especulações teóricas ou práticas conferidas nos documentos curriculares

oficiais, optou pelo uso da metodologia de análise documental, a qual

entendemos como imprescindível para nossas análises e reflexões. “A análise

documental busca identificar informações factuais nos documentos a partir de

questões ou hipóteses de interesse” (CALULLEY, 1981, apud LÜDKE e ANDRÉ,

1986, p. 38).

Para realizarmos a análise nos documentos curriculares nos dois

países e, alertado por Almeida (2011), que considera longos os textos

documentais, buscaremos identificar palavras chaves propostas nos textos que

revelam tais especulações. Nesse caso, sugere categorias baseadas em frases,

pois para a autora “[...] contida numa frase, a palavra será mais bem

compreendida do que estando isolada, para que seja compreendida no seu

verdadeiro sentido” (ALMEIDA, 2011, p. 73).

Com essa escolha a autora entende que essa é uma análise temática

a qual consiste [...] descobrir <<núcleos de sentido>> que compõem a

comunicação e cuja presença ou freqüência podem significar alguma coisa para o

objetivo analítico escolhido. (BARDIN, 2010, p. 131, apud ALMEIDA, 2011, p. 72).

Nesse sentido, para as análises sobre qual ênfase são dadas nesses

documentos às aplicações práticas, ou às especulações teóricas, adotaremos

algumas das categorias de análise apresentadas por Almeida (2011) para nossas

conclusões, são elas:

Categorias Componentes

Especulações

práticas

Cotidiano

Vida real

Dia-a-dia

Fora da escola

52

52

Tabela 1 – Categorias para análise dos documentos

Assim, a escolha e mote para a pesquisa em questão, foi motivada

pelo fato, de que, em todos os documentos acessados trouxeram no bojo das

argumentações, palavras como: valorizar o cotidiano do aluno, estabelecer

conexões com outras áreas de conhecimentos, a Matemática como ferramenta,

etc.

Palavras como aplicação, prática, cotidiano, utilitária, têm necessidade de contexto para serem compreendidas no seu verdadeiro sentido. Assim, escolhemos de cada componente pelo menos uma frase para ilustrar a categoria. A frase é considerada de um ponto final ao outro, porém, em muitos casos, as frases não serão completas, por se tratar de frases longas, mas será suficiente para entendermos seu sentido” (ALMEIDA, 2011 p. 74).

Natureza da

Matemática

Utilitária

Ferramenta

Temas transversais

Meio ambiente

Saúde

Especulações

teóricas

Pensamento

matemático

Abstração

Própria Matemática

Estético

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53

1.3.2.4 O que da grande teia de conhecimentos matem áticos devemos selecionar para ensinar

A tomada de decisão no sentido de escolhas dos conteúdos de

Matemática para a Educação Básica deve ser analisada com cautela. Necessita-

se ter clareza quanto à finalidade dessa etapa de escolaridade.

Nas primeiras leituras realizadas, foi encontrado em Skovsmose

(2001), alguns apontamentos que direcionam o ensino da matemática com vistas

à formação cidadã. Esses apontamentos fomentam a idéia de um currículo crítico

que Silva (2009), relaciona com a Educação Crítica nascida da inspiração de

ideais da sociedade marxista e revela-se na criação da Escola de Frankfurt na

década de 20, do século passado.

O primeiro apontamento, denominado de competência critica, refere-se

à valorização do diálogo na interação professor aluno.

O segundo, remete à definição do currículo que atenda aos princípios

democráticos. Para Skovsmose (2001), alunos e professores devem estabelecer

uma distância crítica dos conteúdos da educação, com isso propõe que para a

seleção dos conteúdos matemáticos, seria necessário algumas reflexões sobre as

seguintes questões:

1. A aplicabilidade do assunto: quem o usa? Onde é usado? Que tipos de qualificação são desenvolvidos na Educação Matemática?

2. Os interesses por detrás do assunto: que interesses formadores de conhecimento estão conectados a esse assunto?

3. Os pressupostos por detrás do assunto: que questões e que problemas geraram os conceitos e os resultados na matemática? Que contextos têm promovido e controlado o desenvolvimento?

4. As funções do assunto: que possíveis funções sociais poderia ter o assunto? Essa questão não se remete primariamente às aplicações possíveis, mas à função implícita da EM nas atividades relacionadas a questões tecnológicas, nas atitudes dos estudantes em relação a suas próprias capacidades etc.

5. As limitações do assunto: em quais áreas e em relação a que questões esse assunto não tem qualquer relevância? (p. 19).

Segundo Skovsmose (2001), para o sucesso na aprendizagem de

Matemática por parte do aluno, dois aspectos importantes devem ser

considerados. O primeiro, parte da ideia de que o problema a ser tratado seja

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relevante para os alunos, o segundo é que o problema detém proximidade com

questões mais amplas, que por sua vez, extrapolam a necessidade de uso de

conceitos matemáticos para o seu entendimento.

Silva (2009) entende a necessidade da aplicabilidade do conteúdo, ou

seja, saber por “quem” ou “onde” um assunto é usado. O autor ressalta que a

questão chave seria “como ele é aplicado?”, não em termos de fins do assunto,

mas buscando compreender se esta aplicação justifica seu ensino. Não obstante,

considerando na medida em que, atualmente, os currículos de Matemática no

Ensino Médio brasileiro são praticamente os mesmos em todas as escolas,

decerto, há orientações governamentais centrais.

O terceiro é o engajamento crítico, que refere-se aos problemas que

emanam do contexto extra-escola, sendo necessárias precauções no processo de

ensino e aprendizagem: “O essencial é que o processo educacional está

relacionado a problemas existentes fora do universo educacional. (...) E o

objetivo: o problema deve ter relação próxima com problemas sociais

objetivamente existentes” (SKOVSMOSE, 2008, p. 19-20).

Para Skovsmose (2001), competência crítica, distância crítica e

engajamento críticos são elementos cruciais na organização e desenvolvimento

curricular na perspectiva de uma matemática cuja finalidade é a de formação do

homem contemporâneo critico, questionador, consciente, etc., que podemos

traduzir como a matemática formando o cidadão.

Quando refletimos sobre seleção dos conteúdos na organização

curricular, concordamos com Silva (2009), que alerta, que embora os aspectos

organizacionais do currículo estejam intimamente relacionados à escolha dos

temas a serem trabalhados em determinada etapa do ensino, é importante

algumas considerações sobre o que ele denomina de matéria-prima para a

organização curricular:

Primeiramente busca-se o que se entende por conhecimento, ação que

D’Ambrósio (1999) define como “um conjunto dinâmico de saberes e fazeres

acumulado ao longo da história de cada indivíduo e socializado no seu grupo”

(p.105). Ainda, sugere o ciclo do conhecimento e cita:

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A realidade [entorno natural e cultural] informa [estimula, impressiona] indivíduos e povos que em conseqüência geram conhecimento para explicar, entender, conviver com a realidade, e que é organizado intelectualmente, comunicado e socializado, compartilhado e organizado socialmente, e que é então expropriado pela estrutura de poder institucionalizado como sistemas [normas, códigos], e mediante esquemas de transmissão e de difusão, é devolvido ao povo mediante filtros [sistemas] para sua sobrevivência e servidão ao poder (D’AMBRÓSIO, 1999, p. 106).

Pertinente, o autor caracteriza a escola e a academia como duas

organizações distintas, onde a primeira transmite e se cria conhecimentos mais

imediatos, já a segunda preocupa-se em “elevar” o homem. Destaca também

como se dá o retorno desse conhecimento para o povo pelas “estruturas do

poder”.

O conhecimento, uma vez expropriado pelas estruturas de poder vai sendo convenientemente fragmentado em disciplinas e áreas de competência para justificar ações setoriais no exercício do poder. Naturalmente, essa fragmentação, como todo método, desencoraja critica. Assim, o conhecimento, que foi gerado e organizado para satisfazer os anseios de sobrevivência e de transcendência, e essa fase inclui crítica, é devolvido, já elaborado e organizado aos seus geradores, para que os mesmos sobrevivam e sirvam ao poder (Ibidem).

Apple, de acordo com Silva (2009), defende incisivamente seu parecer

a respeito da falta de neutralidade dos conhecimentos na elaboração de um

currículo, além da sua seleção decorrente de interesses dos diferentes setores de

uma sociedade decorrente.

Outro aspecto que Silva (2009) considera como matéria-prima, e não é

difícil concordar com ele, são as competências. Assim, recorremos a Perrenoud

(2000), que define competência como uma capacidade de mobilizar diversos

recursos cognitivos para enfrentar um tipo de situação e que apóiam-se em quatro

aspectos:

1. As competências não são elas mesmas saberes, savoir-faire ou atitudes, mas mobilizam, integram e orquestram tais recursos.

2. Essa mobilização só é pertinente em situação, sendo cada situação singular, mesmo que se possa tratá-la em analogia com outras, já encontradas.

3. O exercício da competência passa por operações mentais complexas subentendidas por esquemas de pensamento (Altet, 1996; Perrenoud, 1996, 1998g), que permitem determinar (mais ou menos consciente e rapidamente) e realizar ( de modo mais ou menos eficaz) uma ação relativamente adaptada à situação.

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4. As competências profissionais constroem-se, em formação, mais também ao sabor da navegação diária de um professor, de uma situação de trabalho à outra (LE BOTERF, 1997, apud PERRENOUD, 2000 p. 15).

Como mencionado anteriormente, sobre a estruturação organizacional

curricular e os elementos que se julgaram necessários para a seleção de

conteúdo, como a finalidade da matemática, para que ensinar, o que ensinar,

concepção de conhecimento e competências, há de se discutir a melhor forma de

organizar os conteúdos propostos.

Para Coll (1987, apud Pires, 2004), situando-nos em uma disciplina,

em uma área ou na opção de relacionar áreas e disciplinas diversas, a forma de

apresentar os conteúdos organizados e agrupados tem enorme importância,

porque a decisão que se toma, condiciona também as relações possíveis que o

aluno pode estabelecer em sua aprendizagem.

Pires (2004), salienta que Doll (1997), nos convida a pensar no

currículo, não em termos de conteúdo ou materiais (uma pista a ser corrida), mas

em termos de processo – um processo de desenvolvimento, diálogo, investigação

e transformação, por isso, ressalta que essa perspectiva é coerente com a de

muitos outros autores, fazendo referência a Pinar (1975), que propunha o uso da

forma infinitiva do currículo, currere, para enfatizar a pessoa e o processo de

“correr” pela pista, a experiência que o individuo vivencia ao aprender e ao

transformar e ao ser transformado.

Nesse caso, Doll (1997) volta a ponderar que o currículo deva ser um

processo, onde a aprendizagem e o entendimento ocorrem por meio do diálogo e

da reflexão. Esse autor ressalta que dessa forma a aprendizagem e o

entendimento são criados e não apenas transmitidos “conforme dialogamos com

outros, com isso refletimos sobre aquilo que nós e eles dissemos – conforme

“negociamos passagens” entre nós e os outros, entre nós e nossos textos”

(DOLL, p. 172).

Doll (1997) dita ainda, que o papel do currículo como processo é o de

ajuda na negociação dessas passagens, assim, acredita que para isso o currículo

deva ser rico, recursivo, relacional e rigoroso (Ibidem, p.173), entendendo que o

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currículo deve ser tratado como “uma integração mista e multivariada de

experiências rica e de final aberto como um mosaico complexo que sempre muda

o seu centro de atração” (DOLL, Apud PIRES, 2004, p. 172,173).

Nessa visão Doll (1997), propõe que a seleção e organização do

currículo devam ser elaboradas considerando os 4 “Rs” que passamos a

descrevê-los:

� A “riqueza ” – esse termo refere-se à profundidade do currículo, as

suas camadas de significado, a suas múltiplas possibilidades ou interpretações. Para que alunos e professores transformem e sejam transformados um currículo precisa ser concebido pelas escolhas de conteúdos que caracterize a própria Matemática como rica possibilitando a teoria e prática dialogarem como única relação da aprendizagem e que as escolhas dos conteúdos tenha a “quantidade certa” para que seja provocativamente generativo sem perder sua forma ou configuração.

� A “recursão ”, essencial na organização de um currículo transformativo, fundamenta-se no modelo de currículo em espiral de Bruner (1960) propondo que os conteúdos devem ser elencados e dispostos de maneira que possam ser retomados à medida com que os estudantes avancem os seus estudos, permeando retomá-los em outros contextos matemáticos levando-os a aprofundarem seus conhecimentos e não caracterizando como uma simples revisão.

� As “relações ” O conceito de relações é importante num currículo pós-moderno, transformativo, de duas maneiras: uma maneira pedagógica e de uma maneira cultural. A pedagógica foca as conexões dentro de uma estrutura curricular que lhe dão profundidade, a profundidade desenvolvida pela recursão. A cultural origina-se de uma cosmologia hermenêutica – uma cosmologia que enfatiza a narração e o dialogo como veículos essenciais na interpretação. Essas relações determinam a preocupação com a organização do currículo. Uma com a gestão do tempo para se cumprir o planejamento sendo que para isso, o professor deve conhecer seus alunos e tomar a decisão de qual “quantidade certa” abordará os conteúdos propostos, e outra, a de proporcionar o bem estar coletivo fomentando momentos para refletir sobre problemáticas comuns a todos, através de projetos que sejam constituídos em sentido duplo: dos problemas locais para discussões globais e dos anseios universais para debates locais;

� O “rigor ” está ligado a procedimentos, avaliações e principalmente, à interpretação de resultados inseridos em um novo contexto que pode ser definido como uma mistura - da indeterminância com interpretação. (...) os resultados deve ser interpretados levando-se em conta um grande número de variáveis envolvidas no processo de ensino e aprendizagem (DOLL, 1997, p. 192 – 199).

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Silva (2009), tanto quanto, também demonstra preocupações com a

seleção e organização do currículo e sugere ampliar esses critérios

acrescentando mais quatro aos do Doll.

(1) a “reflexão ” favorece a seleção de assuntos que sirvam ao interesse de determinada comunidade e, sob este aspecto os conteúdos seriam escolhidos apenas após a escolha ou eleição das problemáticas locais e (...) significa que o processo de escolha deva ser uma decisão fundamentada em pareceres de diversos especialistas de vários campos científicos (...); (2) a ”realidade ”, intrinsecamente ligada ao critério anterior, beneficia a opção por temas que possam ser modelados através de uma situação real. (...); (3) a “responsabilidade ” privilegia a prioridade de pontos de conteúdo matemático que possam ser utilizados para analisar, comparar, estimar e resolver problemas sociais (...);(4) a “ressignificação ” dá à História da Matemática sua devida importância em uma proposta curricular que deve ser organizada levando-se em conta a elaboração histórica da própria ciência, não como acessório das aulas de Matemática, mas como articuladora e esclarecedora do processo pelo qual o conhecimento foi construído. Além disso, esse critério privilegia a organização de conteúdos que possam ser abordados novamente em outros temas, destacando a variedade de representações e contextualizações matemática dentro da própria Matemática (SILVA, 2009, p. 223-225).

Nesse contexto, ao serem realizadas as análises comparativas, serão

verificados se os conteúdos estão organizados de acordo com esses critérios

sugeridos por Doll (1997) e Silva (2009).

1.4 Como ensinar conhecimentos matemáticos

As discussões sobre o processo de ensino e aprendizagem em

Matemática são antigas e vêm sendo realizadas em muitos lugares pelo fato de

se constatarem inúmeros problemas de ensino e de aprendizagem nessa

disciplina. As diversidades de problemas no processo de ensino e aprendizagem

fomentaram pesquisas e constituíram a Educação Matemática que tem sido

comumente chamada de “Didática da Matemática”. A “Educação Matemática” ou

“Didática da Matemática” tem como objetivo produzir conhecimentos que

potencializem o ensino e a aprendizagem do conhecimento matemático na

escola.

Então, não há porque não ter consciência de que as pesquisas na área

de Educação Matemática tiveram grande avanço ao longo das últimas décadas,

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principalmente a partir de meados de 1960. Nos eventos na área e nas

publicações internacionais e nacionais, surgem a cada dia novos pesquisadores,

com isso, as linhas de pesquisa vão se multiplicando.

Das primeiras investigações sobre os processos de aprendizagem

matemática, ora centrada especialmente nas relações entre aluno, professor e

saber matemático, atualmente pesquisadores vêm tentando compreender

questões mais amplas, como as propostas na organização de grupos do 11º.

Congresso Internacional de Educação Matemática (ICME 11), que elegeu como

temas: Desafios da pesquisa em Educação Matemática em relação ao

desenvolvimento dos países; Desafios sociais para a Educação Matemática em

diferentes países; Educação Matemática em contextos multiculturais e

multilinguísticos.

A preocupação com o ensinar e aprender matemática está presente em

diversos trabalhos de diversos congressos, com isso, ainda existe a preocupação

com a formação inicial e continuada dos professores da área. Nesse sentido, na

Educação Matemática há diversas produções sobre esse tema, as quais, aos

poucos vem ganhando notoriedade e espaço para debates e reflexões.

Muitos estudos que trazem contribuições para o ensino da Matemática

propõem o uso da Resolução de Problemas. Nesse sentido, ressaltam a

importância do uso de tecnologias para aprendizagem, o papel da Historia da

Matemática no planejamento escolar e da avaliação, esse último, considerado um

assunto sempre polêmico. Motes, que serão expostos nos próximos tópicos.

Contudo, torna-se reconhecível, que existam outras contribuições ao processo de

ensino e aprendizagem da Matemática, no entanto, a medida que as

identificarmos, na exposição de análises, nos currículos prescritos, serão tecidos

comentários a respeito, que por sua vez serão fundamentados com os devidos

aportes teóricos.

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1.4.1 O foco na resolução de problemas

Os problemas ocuparam lugar central para a Matemática desde a

Antigüidade, visto que há registros de problemas na antiga história egípcia,

chinesa e grega, mas foi recentemente que esse tema tomou uma maior

importância no processo ensino-aprendizagem da matemática.

Onuchic (1999) descreve um cenário escolar para o ensino da

Matemática no início do século XX totalmente voltado para a repetição. A ênfase

estava na memorização. Para autora, o aluno recebia a informação, escrevia,

memorizava e repetia. Repetia e treinava em casa os exercícios realizados na

sala de aula. O conhecimento do aluno era mensurado por meio da aplicação de

testes em que ele deveria repetir, mesmo sem compreensão, por meio de tudo

que o professor havia feito nas aulas.

Era necessário que a aprendizagem do conhecimento matemático se

efetivasse de maneira significativa para os estudantes e não apenas como uma

técnica sem compreensão. Portanto, era preciso mudanças na forma de ensinar

Matemática. Diversos pesquisadores nacional e internacionalmente se

propuseram a refletir sobre essa mudança e trouxeram suas contribuições com

foco na resolução de problemas no ensino da Matemática.

Dessa forma, no fim da década de 70, a resolução de problemas

começou a se destacar no mundo inteiro com um movimento a seu favor. Em

1980, foi editada nos Estados Unidos “Uma Agenda para a Ação Recomendações

para a Matemática Escolar de 1980” (NCTM, 1980), apresentou opções didáticas

que passaram a ser incorporados pelos currículos em diversos países, uma delas

centrava na resolução de problemas.

Esse documento tem como objetivo propor melhorias no ensino-

aprendizagem da matemática. A sua primeira recomendação é que a resolução

de problemas deve ser o foco principal da matemática escolar, sugerindo aos

educadores matemáticos dirigirem seus esforços para que seus alunos

desenvolvam a habilidade em resolvê-los, com isso destaca:

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O desenvolvimento da capacidade de resolução de problemas deve orientar os esforços dos educadores matemáticos por meio da próxima década. Desempenho na resolução de problemas vai medir a eficácia de nossa posse pessoal e nacional de competência matemática (NCTM, 1980).

Esse documento orienta que os currículos devem ser concebidos com

essa recomendação, apresentando algumas competências a serem

desenvolvidas:

O currículo de matemática deve ser organizado em torno de resolução de problemas. (...) Os programas de Matemática devem proporcionar aos estudantes experiência na aplicação da matemática, na seleção e combinar estratégias para a situação na mão. Os alunos devem aprender a: formular perguntas-chave; analisar e conceituar problemas; definir o problema e seu objetivo; descobrir padrões e semelhanças; buscar dados adequados, experimentando-nos; transferir as habilidades e estratégias a novas situações; basear-se no conhecimento para aplicar a matemática (NCTM, 1980).

Onuchic e Allevato (2011), afirmam que a Resolução de Problemas,

como uma metodologia de ensino, se torna o lema das pesquisas e estudos em

Resolução de Problemas para os anos 1990. Essa nova visão de ensino-

aprendizagem de Matemática se apóia especialmente nos estudos desenvolvidos

pelo NCTM, que culminaram com a publicação dos Standards 2000, oficialmente

chamados Principles and Standards in School Mathematics (NCTM, 2000).

As autoras assinalam que nesse documento são assumidos os

seguintes Princípios: Equidade, Currículo, Ensino, Aprendizagem, Avaliação e

Tecnologia. Como adrões de Conteúdo, que respondem à questão ”O quê

(ensinar)?”, apresentam Número e Operações, Álgebra, Geometria, Medida e

Análise de Dados e Probabilidade. Para os Padrões de Procedimento, que

respondem à questão “Como (ensinar)?”, são apontados Resolução de

Problemas, Raciocínio e Prova, Comunicação, Conexões e Representação.

Esse conjunto de orientações permeia a possibilidade de o aluno

aprender matemática de uma forma mais plausível, ou seja, ele tem a

possibilidade de compreender o conteúdo proposto de uma forma significativa,

entendendo onde esse conhecimento pode ou poderá ser utilizado na sociedade

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contemporânea. O recurso da resolução de problemas é algo que deve estar

prioritariamente no discurso e na prática do professor de Matemática a cada

planejamento diário de aula.

Encontramos respaldo para o que afirmamos no parágrafo anterior em

Lopes e Mansuti (1994) quando declaram que:

[...] “o aluno tanto aprende matemática resolvendo problemas como aprende matemática para resolver problemas”. Além disso, a prática de ensino nas escolas mostra que, embora existam algumas experiências que dedicam atenção às estratégias utilizadas pelos alunos durante a resolução de problemas, essas são utilizadas, em sua maioria, “[...] com a finalidade de verificar a aprendizagem e a aplicação de conceitos, algoritmos, propriedades e outros fatos da matemática” (p. 35).

Onuchic e Allevato (2011) entendem que esse movimento de reforma

na Educação Matemática, vigente até hoje, aponta para a Resolução de

Problemas como primeiro padrão de procedimento para o trabalho com os

padrões de conteúdo, sendo que o ensino de Matemática através da resolução de

problemas é nele fortemente recomendado.

1.4.2 Outras contribuições

Dentre as contribuições de grupos da educação matemática para a

reflexão sobre currículos dessa disciplina, destacamos dois recursos

frequentemente citados em documentos curriculares. A história da matemática e o

uso de tecnologias.

A História da Matemática tem por finalidade levar os alunos a

compreenderem a origem das idéias que formaram a nossa cultura, assim

fomenta visualizar homens que criaram essas idéias estudando as condições e

meios em que elas se desenvolveram, tornando-se um precioso instrumento para

o processo de ensino e aprendizagem da Matemática.

O uso desse recurso pedagógico aflora o estabelecimento de conexões

com a filosofia, a história, a geografia e outras áreas de conhecimento, bem como

outras manifestações de cultura.

O aluno ao tomar contato com a História da Matemática poderá refletir

sobre as teorias que hoje estão disponíveis para seus acessos que estão postas

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de forma organizada e elegante, mas que durante a trajetória humana necessitou

de muito esforço para a conclusão e aceitação.

As discussões sobre a inserção da História da Matemática como um

componente importante para o planejamento e a consecução do currículo de

Matemática, vem ocorrendo fortemente desde 1980. Autores tem apresentado

suas reflexões na tentativa de promover a aceitação desse recurso.

Brolezzi (1991) expõe assertivas a respeito do valor didático da História

da Matemática, defendendo que alguns componentes justificam sua inserção no

currículo de matemática:

Um componente importante do valor didático da História da Matemática é que nela se podem apreender caminhos lógicos para a construção de demonstrações pedagógicas em sala de aula. Os estudos históricos deixam muito clara uma distinção entre a forma lógica inicial, presente nas origens da Matemática, e sua posterior e paulatina sistematização. (...)

Outro componente advém do estudo da questão do significado da linguagem simbólica da Matemática. Sua aparência por vezes abstrusa é causa freqüente de aversão pelo aprendizado da Matemática, chegando inclusive a gerar uma espécie de analfabetismo matemático. (...) Mas uma vez que a linguagem da matemática sistematizada apresenta relações sintáticas distantes da semântica dos símbolos que emprega, é preciso resgatar as relações semânticas presentes na construção histórica da Matemática para que o aluno possa ter acesso ao significado desses símbolos.

É fundamental ainda considerar o valor do conhecimento histórico para proporcionar uma visão abrangente da Matemática elementar. Dentro do currículo elementar, pode ocorrer um isolamento entre os diversos assuntos, com a conseqüente perda da noção de conjunto do que é estudado. É possível, no entanto, através do recurso à História, distanciar-se do momento atual e evitar, com a perspectiva histórica, a tendência generalizada de extrapolar - para o passado ou para o futuro - o ponto de vista do presente, muitas vezes imbuído de uma idéia invariável de rigor.

Por outro lado, a dificuldade de lidar com a questão das aplicações práticas do conhecimento matemático também pode ser melhor superada pelo recurso à História, que é fundamental para se compreender que ter significado não é o mesmo que ter aplicações práticas. Pela visão de totalidade que fornece a História se aprende a dar valor também àqueles tópicos que não apresentam aplicações práticas imediatas, pois a razão de ser da Matemática não se reduz em absoluto a um pragmatismo direto. Os estudos históricos revelam que a Matemática às vezes se encaminha para uma direção aparentemente distante da prática, e mesmo lá encontra aplicações; outras vezes, um estudo inicialmente com objetivos práticos acaba deixando de ser prático com a passagem do tempo. Essa visão abrangente dificilmente pode ser adquirida sem o recurso à História da Matemática (BROLEZZI, 1991, p. 62-63).

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64

No entanto, Radford (1997) considera que seu uso educacional com

propósitos didáticos ficava em um nível superficial, limitando o trabalho do

professor, quando observou que a prática educativa em determinados momentos

resumia-se a relatos de anedotas históricas para os alunos, ou então a um rol de

problemas organizados cronologicamente a ser “importados” para sala de aula,

que os alunos têm que resolver.

Então, o autor sugere a exploração do desenvolvimento do

conhecimento matemático, estabelecendo uma conexão entre o significado do

conceito do ponto de vista do matemático do passado e do presente. Para isso, é

importante que o pesquisador não incorra em um olhar enviesado culturalmente,

por dispor de outros recursos para compreensão dos conceitos matemáticos

(RADFORD, 1997, p. 26). Porém, alerta que há necessidade de discutir a relação

entre o desenvolvimento psicológico e histórico na aprendizagem.

Oliveira (2012, apud Radford, 1997), afirma que nesse debate, entende

como necessário a superação da crença - comum na transposição da história da

matemática para sala de aula – conhecida como lei do recapitulacionismo de

Haeckel, ou seja, que a ontogênese (o desenvolvimento do conceito pelo sujeito)

recapitula a filogênese (o desenvolvimento histórico do conceito), que significa

compreender que o conhecimento é necessariamente conhecimento social, não

havendo, portanto, um quadro de evolução natural dos conceitos na história da

matemática (OTTE, apud RADFORD, 1997, p. 28). O que significa dizer que o

desenvolvimento cognitivo do aluno não concomitante ao que é desenvolvimento

histórico do conceito, quando o professor leva para sala de aula conteúdos

vinculados à história da matemática. Oliveira (2012) indica como sugerido por

Radford, que a abordagem histórica está intimamente ligada à cultura:

“conhecimento matemático é mais do que meramente concomitante com o seu

ambiente cultural e que a configuração e o conteúdo do conhecimento

matemático é adequada e intimamente definido pelo cultura em que se

desenvolve e em que está inserido” (1997, p. 32).

É nesse cenário que a História da Matemática revela-se com seu valor

didático na orientação da compreensão do processo de ensino e aprendizagem

da Matemática em determinados contextos culturais.

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Com relação ao uso de tecnologias, na Agenda para Ação de 1980, o

documento denominado “computer literacy”, cuja tradução é “letramento

computacional” já apresentava a discussão sobre o uso de tecnologias no

processo de ensino e aprendizagem da Matemática, porém, o conhecimento

computacional faz parte de um espectro maior de habilidades a ser desenvolvido

na escola:

Deve haver uma aceitação de todo espectro de habilidades básicas e o reconhecimento de que existe uma grande variedade de tais habilidades, para além das mera computacional, se quisermos projetar um componente de competências básicas do currículo que aumenta ao invés de minar a educação.

Reconhecemos como válida e verdadeira a preocupação expressa por muitos segmentos da sociedade de que as habilidades básicas são parte da educação de cada criança. No entanto, o escopo completo do que é básico deve incluir aquilo que é essencial para a cidadania significativa e produtiva, tanto imediatas e futuras (NCTM, 1989).

Uma maneira para constituir o conhecimento computacional seria

incentivando o uso de calculadoras e posteriormente o computador:

Além de uma familiaridade com o papel dos computadores e calculadoras na sociedade, a maioria dos alunos deve obter um conhecimento prático de como usá-los, incluindo as maneiras pelas quais a pessoas comunicam-se por meio de cada um e fazem seu uso deles na resolução de problemas (NCTM,1989).

Além do uso de tecnologias como papel, lápis, caneta e calculadoras o

uso do computador ocupa um espaço dentro do processo de ensino e

aprendizagem da matemática. No entanto, existem algumas controversas à

respeito do uso dessa ferramenta na sala de aula.

Borba (2010), aponta que Informática e Educação têm sido um tema de

debate recorrente nas últimas duas décadas no Brasil, e, há um pouco mais de

tempo, em outros lugares do mundo. O autor relembra os discursos sobre o

perigo que a utilização da informática poderia trazer para a aprendizagem dos

alunos. Um deles era o de que o aluno iria só apertar teclas e obedecer à

orientação dada pela máquina. Isso contribuiria ainda mais para torná-lo um mero

repetidor de tarefas.

Borba (2010) garante que ainda hoje essa preocupação está presente

nos diversos cursos, palestras e aulas que ele tem ministrado. Ele afirma que

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esse argumento é mais comum dentro de parte da comunidade de educação

matemática. Em especial para aqueles que concebem a matemática como a

matriz do pensamento lógico. Nesse sentido, se o raciocínio matemático passa a

ser realizado pelo computador, o aluno não precisará raciocinar mais e deixará de

desenvolver sua inteligência.

Por outro lado, para esse autor, tem havido, mais recentemente,

argumentos que apontam “o computador” como a solução para os problemas

educacionais. Entretanto, diferentemente do que acontece quando se trata de

apontar os perigos, nem sempre aparece de forma explícita para qual problema o

computador é a solução. Nem sempre é feita a pergunta: “qual é o problema?” ou

“qual é o problema para o qual o computador é a resposta?” Em particular, essa

pergunta também faz sentido na Educação Matemática.

Encontramos em Almeida (2001), argumentos que possibilitam reflexões

e aceitação do uso do computador em ambientes propícios a aprendizagem por

meio deles quando ela afirma que:

Os ambientes virtuais de colaboração e aprendizagem se constituem a partir de um grupo de pessoas que aprendem em colaboração por meio de uso de softwares específicos para comunicação à distancia mediada pelas tecnologias da informação e comunicação (ALMEIDA, 2001, p. 35).

Esse ambiente propicia trocas individuais e a constituição de grupos que

interagem, pesquisam, criam produtos e ao mesmo tempo se desenvolvem. Para

Almeida (2001, p.35), devemos considerar que o foco não é a tecnologia, mas a

atividade realizada por meio da tecnologia, caracterizada pela diversidade

contínua, evolução e sentido de localidade, em certo contexto em que aspectos

sócio-culturais, afetivos, cognitivos e técnicos co-evoluem.

Almeida (2008) acentua que para além de considerar as tecnologias

como ferramentas, a organização dos seres humanos em redes, por meio das

tecnologias permitem articular conhecimento, criatividade, crenças e valores em

processos nos quais as competências, habilidades e experiências dos

participantes - em territórios sem fronteiras - entre o real e o virtual, se encontram

imbricadas em um processo simbiótico que propicia a multiplicidade de

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representações e significados, que envolvem a sensibilidade corporal, física e

mental (SANTAELLA, 2004, apud ALMEIDA, 2008).

1.5 Sobre o processo de avaliação da aprendiz agem

Em nossas leituras sobre avaliação da aprendizagem deparamo-nos

com o seguinte questionamento: No espaço escolar, não deveria a atividade de

avaliação ser construída, antes de tudo, como uma prática pedagógica a serviço

das aprendizagens?”(HADJI, 2001, p. 9).

Esse questionamento fomenta reflexões sobre uma prática verificada

no sistema escolar onde por um lado temos as avaliações externas de

aprendizagens e por outro, professores e alunos envolvidos num processo que

possivelmente favorece um distanciamento do verdadeiro significado da

aprendizagem em matemática em detrimento de melhores resultados nessas

avaliações externas oficiais.

Lopes e Mondoni (2009) delineiam que esta reflexão proposta pelo

Hadji faz considerar a importância de buscar novas formas de avaliar. Na

verdade, os professores têm estado, há muito tempo, presos a um modelo único

de avaliação — a prova —, que apenas evidência o que os alunos não sabem ou,

muitas vezes, o que simplesmente memorizaram.

Doll (1997) faz uma crítica à avaliação escolar com base em duas

suposições. A primeira dessas suposições sustenta que o propósito dos

professores é fazer com que os alunos adquiram um conjunto específico de

conhecimento de uma forma “aceitável” (DOLL 1997, p. 188).

Já a segunda suposição é de que a avaliação é a avaliação de quanto

deste cânone e seu método o estudante adquiriu.

O autor, com uma visão pós-moderna de currículo, considera que a

avaliação passaria a ser um processo recursivo, com um caráter que levasse à

transformação dos envolvidos e permeasse a crítica pública:

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a avaliação seria essencialmente um processo de negociação com um ambiente comunal para o propósito de transformação. Obviamente, o professor desempenharia um papel central no processo, mas não seria o avaliador exclusivo; a avaliação seria comunal e interativa. Ela seria usada como um feedback, parte do processo interativo de fazer-criticar (Ibidem, p. 190).

1.5.1 Síntese do capítulo

O capítulo a seguir preconiza e dá ênfase à preocupação na exposição

de aportes teóricos sobre estudos comparativos, que por sua vez, tornam-se

fundamentais para as análises documentais, e principalmente no que concerne às

entrevistas concedidas pelos diferentes profissionais, que atuam de forma direta

ou indireta no processo de ensino e aprendizagem do conhecimento matemático

nos dois países pesquisados

Nesse sentido, o trabalho, nesse primeiro capítulo, busca explicitar o

que se entende de fato como currículo de Matemática, para tanto, como

fundamentação é apresentado o ponto de vista de Sacristán (2000) que explicita

os níveis na objetivação do significado do currículo.

Tampouco, são apresentadas as motivações que levaram diversos

países a refletirem e reorientarem as reformas curriculares para o ensino de

Matemática. Outra relevância é a de chamar a atenção às preocupações de

diversos autores sobre “quais seriam as finalidades do ensino da Matemática no

ambiente escolar?”, “O que ensinar aos alunos?” e “Para que ensinar

Matemática”, etc.

Busca-se então, trazer indicações sobre o que se deve considerar ao

conceber o currículo de matemática para a Educação Básica, como as quatro

dimensões da educação matemática de Rico (1997) , os componentes simbólicos

de Bishop (1991) e os apontamentos de Skovsmose (2001), que possibilita um

ensino aprendizagem com o foco na formação cidadã dos alunos.

Pertinente, são citadas as preocupações de Doll (1997) quanto à

escolha dos conteúdos matemáticos, nesse contexto, sugerindo que

consideremos os critérios: riqueza, recursão, relações e rigor ao conceber o

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currículo de Matemática e Silva (2009) apresenta outros quatro critérios: reflexão,

realidade, responsabilidade e ressignificação complementando os de Doll.

A forma como se ensina matemática, também é contemplada no

primeiro capítulo, onde há a resolução de problemas no processo de ensino e

aprendizagem de matemática, qual ênfase está presente nos documentos

curriculares de Brasil e Chile, quanto às especulações teóricas e ou práticas, o

recurso da História da Matemática como elemento que desperta interesses no

aluno na compreensão como ol fato ocorre e como as pessoas lidaram com isso

na época em questão, e por fim, o uso de tecnologias no ensino e aprendizagem

escolar.

As reflexões promovidas por Fey (1994) quanto a elementarização

da Matemática no ambiente escolar ganham destaque nesse trabalho.

Finalizando, discorre-se a respeito do processo de avaliação no ensino

e na aprendizagem da disciplina em questão.

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70

CAPÍTULO 2

FUNDAMENTOS METODOLÓGICOS

2.1 Introdução

Neste capítulo não só é apresentada uma síntese de leituras realizadas

sobre questões de natureza metodológica, como também são expressos

procedimentos de pesquisa. Nesse sentido, cabem reflexões sobre a metodologia

comparada, por meio da contribuição de alguns autores.

2.2 O campo da Educação Comparativa

Carvalho24 (2008), pesquisadora na área Educação Comparativa,

afirma a importância dessa metodologia como instrumento analítico dos sistemas

educativos. Assim, permite explicitar diferenças e semelhanças, amplia o campo

de análise e de compreensão da realidade nacional em face de outros países,

que por sua vez, fornecem aos governos informações que orientam a tomada de

decisões políticas educacionais nacionais.

A autora afirma, que essa metodologia era muito utilizada em diversos

países da Europa, nos Estados Unidos e também no Brasil no século XIX. No

decorrer do século XX, essa mesma metodologia ganhou o status de ciência, uma

vez que eram claros os objetivos, campos de ação, procedimentos e métodos de

investigações mais seguros.

Carvalho (2008) relata que embora a Educação Comparada tenha

assumido perspectivas teórico-metodológicas distintas, em diferentes momentos,

alguns componentes comuns podem ser identificados como:

24 Disponível em: http://www.sbec.org.br/evt_2008.php

71

71

1) os Estado-nação como referência para a análise dos sistemas educativos25;

2) a ideologia do progresso; 3) a crença na ciência e no conhecimento objetivo para a

compreensão dos fenômenos; 4) os princípios comuns e universais sobre o funcionamento dos

sistemas educativos.

Essa autora destaca que, nas décadas de 80 e 90, essa metodologia

perdeu prestigio no Brasil, esse declínio foi acompanhado pela escassez da

produção científica e pela exclusão progressiva da disciplina Educação

Comparada dos cursos de graduação e pós-graduação em Educação26. Na

América Latina, ocorreu o mesmo processo, conforme nos expõem Lamarra;

Mollis e Rubio (2005):

[...] la Educación Comparada tiene un limitado desarrollo académico en América Latina. El escaso desarrollo de esta disciplina es directamente proporcional con el escaso fundamento académico-racional o de investigación comparada, aplicado a la toma de decisiones político-educativas. La ausencia de pensamiento sistemático, reflexivo, comparado, ha caracterizado la implementación de numerosos dispositivos de políticas educativas que han dado como resultado fracasos sin precedentes en la historia de los sistemas públicos de educación latinoamericana. La adopción de «prescripciones educativas internacionales» que sustentaron las reformas de la región y la de los países pos-socialistas, se realizó al margen de la contribución de la investigación comparada regional (LAMARRA; MOLLIS E RUBIO, 2005, p. 180, apud CARVALHO, 2008 p. 4).

Hoje, apesar dos movimentos de retomada desse recurso, ele ainda é

pouco explorado no campo das políticas públicas para a gestão da educação

brasileira, assim apresenta alegações pelas quais, os estudos comparados se

25 Wallerstein et al. (1996, p. 118) sublinham: “[...] os Estados eram a unidade de comparação, ora de estudos de ‘política externa’, cujo objeto consistia no estudo das políticas dos estados uns para com os outros, e não no estudo das características emergentes das estruturas transestatais”. 26 Em estudo recente sobre a educação comparada na América Latina, Lamarra; Mollis e Rubio (2005, p. 166) informam: “Con excepción de la Universidad Federal de Paraná, ninguna otra universidad federal en el Estado de Paraná incluye la materia Educación Comparada en los planes de estudio de las carreras de grado. Tampoco lo hace una de las universidades privadas más antiguas y prestigiosas del estado como es la Universidad Católica. A su vez, la reconocida Universidad de Campinas que funciona en el estado de San Pablo (UNICAMP) tampoco dicta Educación Comparada en ninguna de las carreras de grado del área de Pedagogía”.

72

72

configuram como uma área de estudos de progressiva importância no contexto da

globalização.

A autora entende a Educação Comparada como área do conhecimento,

além de que é de suma importância para o entendimento e reflexões do que

ocorre na Educação atualmente.

Carvalho (2008), dita que nos últimos anos, no entanto, especialmente

no meio acadêmico27, ocorreu no Brasil um movimento de resgate desse campo

de estudos. Observa-se o aumento progressivo das publicações científicas

nacionais (WERLE e CASTRO, 2000), particularmente no que se refere às

políticas e gestão da educação. A realização de encontros e congressos também

favoreceu o intercâmbio entre pesquisadores, por isso ampliou as possibilidades

de desenvolvimento de projetos comuns de investigação (SAVIANI, 2001, apud

CARVALHO, 2008, p. 4).

A autora destaca ainda, que de acordo com Malet (2004, p.1301), na

atualidade, a Educação Comparada enfrenta novos desafios: “o crescimento de

problemáticas educativas transculturais, o enfraquecimento dos Estados-nação

que acompanhou o crescimento dos territórios identitários supranacionais (como a

Europa) ou infranacionais, como as regras, e fenômenos de expansão e

interdependência cultural (globalização)”. A renovação da área e a adoção de

novas perspectivas devem-se, em grande parte, a esses desafios.

Pertinente, Carvalho (2008) explicita que os estudiosos comparatistas

preocupam-se em revelar os processos de apropriação dos fenômenos

educativos pelos próprios atores.

Quando falamos de Estudos Comparados Franco (1992) defende:

O princípio da comparação é a questão do outro, o reconhecimento do outro e de si mesmo pelo outro. A comparação é um processo de perceber as diferenças e semelhanças e de assumir valores nessa relação de mútuo conhecimento. Trata-se de entender o outro a partir dele mesmo e, por exclusão, se perceber na diferença ( FRANCO, 1992, p.2, apud TROJAN 2009, p.2).

27 Conforme Nogueira (1994, p. 35), “a Sociedade Brasileira de Educação Comparada, fundada em 1983, o Grupo de Estudos e Pesquisas sobre Educação na América Latina e Caribe, da Faculdade de Educação da UNICAMP e FLACSO caracterizam ações nesse sentido”.

73

73

A esse propósito Nóvoa (2004), sinaliza como resultado de um

movimento duplo. De um lado, é marcada “por uma presença crescente das

questões educativas na criação de identidades escolares definidas, não tanto

numa perspectiva geográfica, mas no sentido de uma pertença a certas

comunidades discursivas”. De outro, caracteriza-se por “uma reorganização dos

espaços educativos, por meio das regulações econômicas e políticas que

atravessam as fronteiras dos diferentes países”. (NÓVOA, 1994, p. 105, apud

CARVALHO, 2008).

Carvalho (2008) relata ao citar Nóvoa (1994), que em tal situação, o

conceito de comparação adquire novas conotações, “deslocando-se da referência

tradicional inter-países para dimensões simultaneamente intra e extra nacionais,

isto é, centradas nas comunidades de referência dos atores locais e nos

processos de regulação ao nível internacional” (Ibid, p. 105).

Já Cristofoli (2009), afirma que a Educação comparada não é uma

disciplina e sim uma área interdisciplinar (Bonitatibus, 1989, Lourenço Filho,

2004), e, por isso, dialoga com outras áreas como a História a Sociologia, a

Antropologia e a Ciência Política.

Um estudo comparativo, segundo a autora, busca examinar dois ou

mais elementos ao mesmo tempo, a fim de buscar semelhanças e diferenças,

mas sem que isto gere uma categorização ou classificação.

Para Trojan (2009), a comparação deve apoiar-se no respeito mútuo e

na igualdade de direitos, pois:

A inclusão da percepção do outro, da diferença, pode não apenas ter o efeito das determinações espaço-temporais dos processos geradores do que somos. A percepção da diferença sob o postulado da igualdade de direitos à sobrevivência, à política, à cultura, desfaz homogeneidade pastosa da igualdade abstrata. Da relativização das posições colonizador/colonizado emerge a possibilidade de uma nova identidade na diferença (FRANCO, 1992, p. 33, apud TROJAN, 2009, p.3 ).

A autora insiste que se deve, portanto, superar a análise classificatória

como resultado da comparação. O reconhecimento dos avanços e dos limites que

se apresentam deve constituir um ponto de partida para a identificação dos

elementos que determinam processos desiguais de desenvolvimento que

74

74

decorrem das estratégias de expansão do capitalismo global. No que se refere ao

campo educacional:

A América Latina constitui um novo capítulo da história da educação ocidental: e não se trata de que por fim a América seja o diálogo ou o espelho da Europa ou dos EE. UU. Não se trata de introduzir o atraso ou a desarticulação do Estado como categoria historiográfica da diferença centro e sul-americana, nem de incluir o realismo mágico-pedagógico como nosso grande aporte, nem de reivindicar ‘a vitória dos vencidos’ (PUIGGRÓS; LOZANO, 1993, p. 19, apud TROJAN, 2009, p. 3.).

Assim, Trojan (2009), insiste que se faz necessária uma reflexão crítica

sobre o presente e o passado, que superem os estudos comparativos baseados

nos modelos europeus e norte-americanos, que tendem a impor sua cultura e

realizar análises assimétricas, mantendo a relação estabelecida entre colonizador

e colonizado.

Após anos de tecnocratismo em nossos sistemas educacionais e nos planos de formação de docentes e pesquisadores, se faz necessária a reflexão crítica sobre o presente e a história, não só a mais recente. A pobreza, o atraso, a dívida, Cuba, América Central, Peru, Haiti... são casos extremos que a América, os jovens americanos – os jovens do mundo – necessitam explicar e conhecer para mudar (PUIGGRÓS ; LOZANO, 1993, p. 25, apud TROJAN, 2009, p.3).

Uma vez que esteja clara a finalidade da Estudos Comparados e que

esta não tenha caráter classificatória, Carvalho (2008) discorre:

No que diz respeito às políticas públicas da gestão em educação28 , não se pode desprezar a validade metodológica e instrumental dos estudos comparativos, especialmente quando se considera que existe um processo econômico-financeiro de “globalização”, com desdobramentos políticos, culturais e educacionais. São indicativas desse processo a internacionalização de fóruns de consulta e de decisões políticas e a influência crescente das agências internacionais (OCDE, UNESCO, FMI, Banco Mundial e etc.) na elaboração das políticas internas dos “países de periferia”. Lideradas pelos “países centrais”, por meio de programas de cooperação, essas agências prescrevem o modo como os países devem operar as reformas29 (BARROSO 2003, BARROSO e VISEU, 2003),

28 Velloso e Pedró (1993, p. 371) apontam para a falta de interesse, tanto por parte dos pesquisadores como dos programas de formação docente, por estudos comparativos no campo da Administração da Educação nos últimos cinquenta anos, de forma que este vem sendo contemplado como um campo emergente de investigação.

29 No campo educacional, a agenda geralmente privilegia certas políticas de avaliação, financiamento, padrões de formação de professor, currículo e procedimentos de avaliação de desempenhos e prestação de contas que aproximam as organizações escolares da lógica do mercado. Ou seja, sugerem medidas que enfatizam a redução do patrocínio e financiamento estatal, passando a conceder subsídios e a estabelecer parcerias; a introdução de mecanismos de mercado para regular as trocas educativas, e impõem modelos de eficiência e eficácia emprestados do setor empresarial (BURBULES e TORRES, 2004).

75

75

desempenhando, assim, um papel decisivo na normatização e padronização das estruturas organizacionais e das políticas educativas” (CARVALHO, 2008, p.10).

Para o autor, alguns estudos de caráter comparativo têm demonstrado

que países diferentes, ocupando lugares distintos no sistema mundial, estão

percorrendo caminhos bastante semelhantes no desenvolvimento das políticas

públicas em educação. Nesse contexto, considera que “os sistemas educativos

modernos são no essencial, muito mais similares do que distintos, qualquer que

sejam as diferenças e práticas políticas que separam as sociedades modernas”

(BERNESTEIN, 1990, p. 139).

Em relação à América Latina, Carvalho (2008), aponta-nos os estudos

de Rosar e Krawczyk (2001), que demonstram que as circunstâncias não são

distintas:

Nos últimos 10 anos, quase todos os países da América Latina iniciaram reformas educacionais, resultantes, em grande medida, de um processo de indução externa articulado com as políticas dos organismos internacionais de empréstimos para os países da região. A necessidade dessas reformas foi justificada mediante a publicação de pesquisas, que evidenciaram os logros e deficiências do sistema educativo à luz dos condicionantes da reestruturação do setor produtivo e das mudanças institucionais, que alteram a estrutura do Estado e das relações sociais no âmbito de uma nova ordem mundial. De fato, esses estudos vieram a ilustrar pontos de vista já assumidos pelos organismos internacionais e justificar um modelo pré-estabelecido de reforma educacional (ROSAR e KRAWCZYK, 2001, p. 33-34, apud CARVALHO, 2008, p. 12-13).

Carvalho (2008) enfatiza ainda, que para Rosar e Krawczyk (2001), “as

reformas educativas em curso têm um caráter homogeneizador, tanto na leitura

das realidades nacionais quanto nas suas propostas, impondo uma padronização

de política educacional para a região” (Ibid., p. 40).

Nesse sentido, pelo exposto, entendemos que os estudos comparados

são fundamentais e corroboram no que destaca Almerindo Afonso (2000, p. 63,

apud Carvalho, 2008, p.13), sobre as políticas educativas: “só podem ser

adequadamente compreendidas se forem referenciadas ao contexto mundial,

ultrapassando assim algumas limitações inerentes às perspectivas tradicionais

que circunscrevem a análise das reformas às fronteiras do Estado-nação”,

destacamos a relevância atual do estudo comparado.

76

76

O autor considera então, que a comparação não é uma operação

simples e implica o recurso a uma teoria da comparação, conforme defende

Nóvoa (1998) quando defende a importância de uma estreita ligação entre as

questões metodológicas e as discussões teóricas, bem como da identificação das

bases ideológicas que subjazem às diferentes comunidades discursivas da

educação comparada.

Na apresentação desse trabalho fora citado Ferrer (2002), outro

estudioso sobre Estudos Comparados, que sugere fases para estruturarmos uma

pesquisa comparativa. Assim, torna conveniente retomá-las e destacá-las nos

principais pontos, de cada uma delas.

Fase Pré- Descritiva : a fim de realizar um estudo comparativo, Ferrer

(2002), destaca três passos imprescindíveis para sua realização corretamente:

1) Seleção, Identificação e Justificativa do problema: como em qualquer método cientifico o primeiro passo do investigador é determinar a problemática e justificar a pesquisa do tema escolhido.

2) Formulação das hipóteses: acredita-se que nessa fase estabelecer possíveis hipóteses para a pesquisa.

3) Delimitação da Investigação: Ferrer (2002) entende que essa etapa é primordial para o estudo comparativo e destaca alguns itens que nortearão os trabalhos de pesquisa: 3.a. Delimitação dos conceitos empregados: aqui o alerta é para os termos que são utilizados e não criar confusão quanto a tradução para fins de comparação. 3.b. Delimitação do objeto de estudo: identificar o que se pretende investigar. 3.c. Delimitação da área de estudo: aqui entendemos que é necessário estabelecer os critérios da pesquisa, ou seja, as categorias de análises. 3.d. Delimitação do processo de investigação: estabelecer quais serão as diferentes etapas da pesquisa. 3.e. Delimitação dos instrumentos de medida: Aqui temos que ter o cuidado ao valorizar os prós e os contras ao obtermos e analisarmos os dados da coleta. 3.f. Delimitação das técnicas de análise: Refletir sobre as escolhas para a consecução da pesquisa.(p.97-98

Fase descritiva: é a fase onde se apresentam os dados re-copilados e

onde se descreve os dados contextuais, caracterizando corretamente o sistema

educacional.

Fase interpretativa : O objetivo dessa fase é o de interpretar os dados

descritos na fase anterior. Ferrer (2002), relata que o professor J. L. Carcia

77

77

Garrido sugere que esta fase seja finalizada com uma síntese analítica tecendo

conclusões.

Fase da Justaposição : Esta fase pode ser considerada como uma

confrontação dos dados que temos presentes na descrição e que depois foram

interpretados.

Fase comparativa : O objetivo primordial dessa fase é demonstrar a

aceitação ou rejeição das nossas hipóteses, em especial, aos apresentados na

etapa anterior.

Fase prospectiva (Optativa): essa fase tem como premissa

apresentar as tendências em Educação nos países estudados.

Assim, a pesquisa, por meio da comparação entre Brasil e Chile,

pretende apreender o objeto de estudo, qual seja, o currículo de Matemática, em

seu contexto, com base no que lhe é específico, mas sem tratá-lo como objeto

isolado, separado daquilo que lhe dá significado, ou da totalidade social da qual é

parte, ou seja, abordá-lo como uma particularidade histórica. Nessa perspectiva,

vale apoiar em Franco (2000), que índica a necessidade de:

[...] não perder a especificidade local do fenômeno e tratá-lo dentro das complexas relações sociais que o constituem enquanto preparação para o trabalho, em um mundo cultural e economicamente globalizado. O que significa compreendê-lo enquanto resposta estratégica aos problemas postos pela globalização econômica, pela reestruturação produtiva, pelos objetivos de qualidade e de competitividade, pelas transformações do mundo do trabalho e pelo desemprego estrutural (FRANCO, 2000, p. 222).

2.3 Nossas escolhas e percursos

Para o desenvolvimento da pesquisa, houve a necessidade de

organização em momentos específicos, devidamente caracterizados como:

Aproximações com a temática , onde nessa etapa o trabalho concentrou-se na

busca de aportes teóricos, para que fossem realizados levantamentos de teses no

portal da Capes, assim foi efetuada uma imersão, por meio de pesquisa

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78

bibliográfica nos trabalhos que pudessem trazer contribuições ao problema de

pesquisa que foi efetivamente proposto a investigar.

Pesquisa de documentos oficiais . Uma etapa, onde foi procurado

localizar documentos legais que possibilitassem a análise de currículos prescritos

nos dois países pesquisados para o nível de Educação Básica, conforme ditam

Ludke e André (1986):

Embora pouco explorada não só na área de educação como em outras áreas de ação social, a análise documental pode se constituir numa técnica valiosa de abordagem de dados qualitativos, seja complementando as informações obtidas por outras técnicas, seja desvelando aspectos novos de um tema ou problema. São considerados documentos “quaisquer materiais escritos que possam ser usados como fonte de informação sobre o comportamento humano” (Phillips, 1974, p.187). Estes incluem desde leis e regulamentos, normas, pareceres, cartas memorandos, diários pessoais, autobiografias, jornais, revistas, discursos, roteiros de programas de rádio e televisão até livros, estatísticas e arquivos escolares (LUDKE e ANDRÉ 1986, p.38).

Levantamento de informações sobre dados de ambos os países :

nessa etapa buscou-se levantar e organizar, informações sobre dados

socioeconômicos dos dois países, mas principalmente as que se referem aos

sistemas educativos de cada um. Dado a essas premissas foram analisadas leis

magnas e principais diretrizes para a educação.

Preparação para a pesquisa de campo : nessa etapa a dedicação foi

voltada para entrar em contato com pessoas que pudessem contribuir para o

trabalho, por meio de entrevistas, tanto no Brasil como no Chile. A meta foi de

entrevista com igual número de pessoas em ambos os países, desde que

houvesse experiências similares nas suas relações com os currículos de

Matemática, ou seja, elaboradores, gestores e professores. Além dos contatos,

da etapa organizaram-se instrumentos de coleta de dados, onde foi devidamente

elaborado roteiros de entrevistas semi-estruturados, com a providência de

documentos como termos de consentimento para divulgação do conteúdo das

referidas entrevistas.

Realização da pesquisa de campo : no período de 25 a 29 de julho de

2011 foram visitadas no Chile, as cidades de Santiago, Val Paraíso e Viña Del

Mar, onde foram realizadas as entrevistas com profissionais chilenos. No decorrer

79

79

de 2011 e inicio de 2012, o mesmo trabalho fora feito com profissionais

brasileiros. As entrevistas foram gravadas em áudio e posteriormente transcritas.

Desenvolvimento da análise comparativa entre os doc umentos e

entre as entrevistas : nessa etapa, as informações foram organizadas e

coletadas. Também fora efetuado o texto a ser apresentado no exame de

qualificação.

2.4 Algumas informações sobre o processo de realização de entrevistas

A pesquisa de campo com profissionais que atuam em diferentes postos

nas redes de ensino públicos dos países pesquisados não só pretendeu desvelar,

como vem sendo a implementação dos currículos de Matemática, mas também

explicitar as recomendações metodológicas apontadas nos documentos oficiais

do Brasil e Chile. A pesquisa de campo foi realizada por meio de entrevistas e

observações.

Usada como principal método de investigação ou associada a outras técnicas de coleta, a observação possibilita um contrato pessoal e estreito do pesquisador como fenômeno pesquisado, o que apresenta uma série de vantagens. Em primeiro lugar, a experiência direta é sem dúvida o melhor teste de verificação da ocorrência de um determinado fenômeno. “Ver para crer” diz o ditado popular.

Sendo o principal instrumento da investigação, o observador pode recorrer aos conhecimentos e experiências pessoais como auxiliares no processo de compreensão e interpretação do fenômeno estudado. A instrospecção e a reflexão pessoal têm papel importante na pesquisa naturalística (LUDKE e ANDRÉ, 1986, p.26).

As entrevistas realizadas com os profissionais que atuam nos sistemas

educativos dos países pesquisados, configuraram-se como um tipo de

investigação em educação que se insere no contexto das denominadas pesquisas

qualitativas, dado ao fato de apresentarem em sua metodologia, algumas

características singulares.

Segundo a visão teórica de Bogdan e Biklen (1994), essas pesquisas

apresentam como características:

80

80

1. Na investigação qualitativa a fonte direta de dados é o ambiente

natural constituindo-se o investigador o instrument o principal .

2. A investigação qualitativa é descritiva . Os dados recolhidos são em

forma de palavras ou imagens e não em números. Os resultados

escritos da investigação contêm citações feitas com base nos dados

para ilustrar e substanciar a apresentação.

3. Os investigadores qualitativos interessam-se mais p elo processo

do que simplesmente pelos resultados ou produtos .

4. Os investigadores qualitativos tendem a investigar os seus

dados de forma indutiva . Não recolhem dados ou provas com o

objetivo de confirmar ou informar hipóteses construídas previamente;

ao invés disso, as abstrações são construídas à medida que os dados

particulares que foram recolhidos se vão agrupando.

5. O significado é vital na investigação qualitativa . Os investigadores

que fazem uso deste tipo de abordagem estão interessados no modo

como diferentes pessoas dão sentido às suas vidas. (p. 47-50)

Em visita a Santiago e Valparaiso no Chile, em julho de 2011, houve o

privilégio contato pessoal e de entrevista com o Professor Doutor Fidel Oteiza,

com a Professora Doutora Ismenia Guzmán Retamal e também com o Professor

Doutor Raimundo Olfos, acadêmicos que possuem ligação com a elaboração dos

currículos de Matemática, de maneira direta e/ou indireta.

São pesquisadores em Educação Matemática, que publicaram diversos

artigos sobre o ensino e aprendizagem de Matemática na Educação Básica e que

aceitaram receber e conceder entrevista, contribuindo assim com a pesquisa de

doutorado.

Dr. Oteiza, que tem atuado como coordenador das últimas reformas

curriculares no Chile, concedeu uma entrevista em Santiago, que pode ser

gravada, se propondo a fornecer documentos que pudessem elucidar possíveis

dúvidas.

81

81

Em Valparaíso, Dra. Ismênia conversou informalmente, na sede do

Instituto de Matemática, contudo, não foi possível gravar ou filmar, pois havia para

ela, compromissos agendados. No entanto, estava combinado que apresentasse

Raimundo Olfos, que poderia dar atenção às dúvidas, além de apresentar

escolas e professores para observações e entrevistas.

Dr. Olfos, caracterizou o cenário de implementações de currículos em

seu país, desde Frei Montalva, no ano de 1966. A conversa foi muito

esclarecedora para algumas dúvidas sobre aspectos, os quais nos documentos

oficiais não estavam claros.

Mais tarde, Dr Olfos encaminhou algumas escolas subvencionadas30,

contudo a intenção fosse a de conhecer escolas públicas. Por seu intermédio

conhecemos um professor que atua na rede pública e na rede particular, assim foi

aberto caminho para a entrevista nas dependências da biblioteca da Universidade

Católica de Valparaiso em Vina Del Mar.

Uma professora e um diretor de escola subvencionada, que alegaram

ter experiência na rede pública ficaram de enviar por e-mail, respostas para os

questionamentos, pois alegaram não haver tempo no período destinado a esse

trabalho no Chile, contudo não enviaram.

Dr. Olfos entregou vários documentos para trazer ao Brasil e analisar

com tranquilidade. Alguns documentos considerados por ele como “únicos”, assim

foram fotografados ou xerografados para posterior análise.

Dra Ismênia tem contribuído muito com o trabalho por e-mail, além de

indicações de endereços eletrônicos para coleta de informações e pessoas que

podem contribuir com a investigação.

No período de visita ao Chile, muitas escolas públicas estavam em

greve (Santiago e Valparaiso), por esse motivo algumas observações foram

comprometidas. Não houve oportunidade de ver os cadernos de alunos e de

conversar com mais professores e gestores atuantes nessa rede.

30 Escolas subvencionadas são escolas particulares que recebem subsídio do governo federal (50% das matrículas) e ainda podem cobrar mensalidades

82

82

No Brasil participou da entrevista, o Prof. Dr. Ruy César Pietropaolo,

que de maneira ativa contribuiu na elaboração dos Parâmetros Curriculares

Nacionais de Matemática para o Ensino Fundamental

Contatado também, um professor da rede municipal de São Caetano do

Sul, que aceitou e concedeu entrevista.

Foi solicitada ajuda para um diretor da escola estadual paulista situada

em Guarulhos.

Foram igualmente entrevistados, mais seis professores que trabalham

na rede estadual de São Paulo, onde lecionavam para o Ensino Fundamental II e

Ensino Médio. Dois deles atuam como formadores de professores do Ensino

Fundamental Ciclo I e II.

Outras duas profissionais da Educação, sendo uma diretora e uma

professora do Ensino Fundamental Ciclo I, foram convidadas, e que, também,

atuam em São Caetano do Sul como formadoras de professores polivalentes31.

A seguir apresentamos um quadro com o total de entrevistados nos

dois países:

Quadro 2: Número de entrevistados

IDENTIFICAÇÃO Entrevistado

Brasil Chile

Elaboradores do currículo

prescrito e vigente

EBR 01 ECH 01

Diretor(a) de Escola DIRBR 02 DIRCH -

Formador(a)

Pedagógico(a)/pesquisador (a)

FPBR 03 FPCH 02

Professores da escola pública

do Ciclo I e II

PBR 05 PCH 01

Número de entrevistados 11 04

31 Professores polivalente são aqueles que lecionam para o Ensino Fundamental Ciclo I.

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83

A seguir, é apresentado o perfil dos entrevistados brasileiros, onde

identificamos a idade, o sexo, o tempo de experiência no magistério e o local que

trabalham atualmente.

Quadro 3: Perfil dos entrevistados brasileiros

PESQUISADO SEXO TEMPO NO

MAGISTÉRIO CAMPO DE ATUAÇÃO

EBR1 – Doutor em

Educação

Matemática

Masculino � 30 anos Pesquisa, Formação de Professores e

Ensino Superior

DIRBR1 – Pedagoga

com Pós em

Psicopedagogia

Feminino � 30 anos Formação de Professores

DIRBR2 – Mestre em

Educação

Matemática

Masculino � 30 anos Diretor, Professor da Educação Básica e

do Ensino Superior

FPBR1 – Mestre em

Educação

Matemática

Masculino � 10 anos Professor da Educação Básica e do Ensino

Superior

FPBR2 – Mestre em

Educação

Matemática

Masculino � 15 anos

Pesquisa, Formação de Professores

Professor da Educação Básica e do Ensino

Superior

PBR1 – Graduado Masculino � 5 anos Professor da Educação Básica

PBR2 – Graduada Feminino � 10 anos Professor da Educação Básica

PBR3 – Graduado Masculino � 15 anos Professor da Educação Básica

PBR4 – Mestre em

Educação

Matemática


Professor da Educação Básica e de Ensino

Superior

PBR5 – Mestre em

Educação

Matemática


Professor da Educação Básica e de Ensino

Superior

Na sequência apresentamos o perfil dos entrevistados chilenos.

84

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Quadro 4: Perfil dos entrevistados chilenos

PESQUISADO SEXO TEMPO NO

MAGISTÉRIO CAMPO DE ATUAÇÃO

ECH – Doutor em

Currículo e Instrução

Masculino � 30 anos Pesquisa, Consultor e Professo de Ensino

Superior

FPCH1 – Doutora em

Educação Matemática

Feminino � 20 anos Pesquisa, Formação de Professores e

Ensino Superior

FPCH2 – Doutor em

Educação Matemática

Masculino � 31 anos Pesquisa, Formação de Professores e

Ensino Superior

PCH1 – Graduado

Masculino � 10 anos Professor

85

85

CAPÍTULO 3

SISTEMAS EDUCACIONAIS DE BRASIL E CHILE

3.1 Introdução

Para as análises e reflexões sobre os sistemas educacionais de Brasil

e Chile, entendeu-se como necessidade a caracterização dos países

pesquisados, evidenciando seus principais indicadores econômicos, sociais e

culturais. Possivelmente, a partir dos dados levantados possa delinear com mais

clareza, algumas questões futuras no desenrolar da nossa investigação.

3.2 Contexto social, político e econômico (I DH, PIB, taxa de escolarização, contexto político pós-ditadu ra etc.)

A seção seguinte pretende apresentar um panorama geral sobre os

países pesquisados. Nesse sentido, foi explorado por meio de um levante,

diversos institutos fidedignos, que trabalham com índices estatísticos, e por sua

vez monitoram em diversos países da América Latina, índices de crescimento

populacionais, de crescimento econômico com suas principais atividades (entre

países), índices relacionados com a Educação e índices relacionados à Saúde,

entre outros.

Os indicadores sociais, políticos e econômicos do Brasil e Chile,

devidamente organizados na tabela 2, foram extraídos do Portal Brasil32, do

32 Disponível em: http://www.portalbrasil.net/americas_chile.htm

86

86

Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística - IBGE33 e dos relatórios do

Programa das Nações Unidas para o Desenvolvimento – PNUD34 2010.

Tabela 2 – Indicadores econômicos, sociais e demogr áficos

BRASIL CHILE

Renda Per

Capita US$ 11 147,00 US$ 15 235,00

IDH 0,699 0,783

PIB US$ 2,1 trilhões US$ 256,8 bilhões

População 191 milhões de

habitantes.

17,09 milhões de

habitantes.

Taxa de

analfabetismo 9,7 % 3,5 %

Área territorial 8.514.876 km² 756.945 km²

População 190,76 milhões de

habitantes

17,09 milhões de

habitantes

Densidade

demográfica 22,4 hab./km² 22,58 hab./km²

Taxa de

crescimento

demográfico

1,17% ao ano (2000 a

2010).

1,4% ao ano (1995 a

2000)

Expectativa de

vida 73 anos 79 anos

Agrícolas: algodão,

arroz, café, cana-de-

açúcar, laranja, soja.

Agrícolas: trigo, aveia,

cevada, milho, frutas,

hortaliças, feijão,

beterraba, alho, uva,

semente de girassol.

Principais

produtos da

economia

Pecuária : Bovinos,

Aves, Equinos,

Pecuária : bovinos,

suínos, ovinos, aves; 33 Disponível em: www.ibge.org.br 34 Disponível em http://www.pnud.org.br/cidadania/reportagens/index.php?id01=3598&lay=cid

87

87

Muares, Caprinos,

Asinino, Suínos,

Ovinos, Coelhos.

Mineração : bauxita,

ferro, manganês, ouro

e petróleo.

Mineração : produtos

minerais (35% do cobre

utilizado no mundo,

molibdênio, prata e

ouro), manganês,

chumbo, e carvão.

Indústria : de

transformação, de

bens de consumo e

bens duráveis.

Indústria : produtos

industriais e

agroindustriais (metanol,

celulose, madeira,

salmão e vinho de

qualidade

internacionalmente

reconhecida).

O Brasil, cuja denominação oficial se designa como República

Federativa do Brasil, tem um regime presidencialista. Sua última constituição

vigora desde 1988.

O Chile35, oficialmente República do Chile é igualmente uma

República Presidencialista. Apresenta divisão administrativa separada em 12

regiões, que por sua vez são subdivididas em províncias de área metropolitana.

Sua constituição atual vigora desde 1981.

A população brasileira, de acordo com Censo IBGE 2010, é formada

por Pardos, 43,2%, Brancos, 47,7%, Negros, 7,6%, Indígenas, 0,4% e Amarelos

1,1%.

A população chilena36 é formada em sua maioria por

brancos, de origem europeia (europeus ibéricos), mesclados com indígenas

35 Disponível em: http://www.consulados.com.br/chile/#informacoes 36 Disponível em: http://www.suapesquisa.com/paises/chile/

88

88

(eurameríndios), equivalentes a 95% da população, ameríndios37, 3% (índios

arauncãs e aimarás) e outros 2%.

O idioma oficial brasileiro é a Língua Portuguesa, sua religião oficial é o

catolicismo com 73,8% da população, Evangélicos 15,4%, sem religião 7,4 % e

outras 3,4%.

O idioma chileno é o espanhol e a religião predominante é o

cristianismo 89,9% (católicos 76,7%, protestantes 13,2%), sem filiação e ateísmo

5,8%, outras 4,3%.

A economia brasileira é voltada para importação e exportação. Tal

como o Chile, o Brasil mantém estreitas relações com diversas instituições

mundiais ligadas a problemas sociais, políticos e econômicos, tais como:

Cooperação Econômica da Ásia (APEC) , Banco Mundial, Fundo Monetário

Internacional (FMI), Mercosul (membro associado), Organização dos Estados

Americanos (OEA), Organização Mundial do Comércio (OMC) e Organização das

Nações Únicas (ONU).

A economia chilena é voltada para a exportação, sendo conhecida

como economia aberta. Mantém relações exteriores com agencias internacionais

tais como: Cooperação Econômica da Ásia (APEC) , Banco Mundial, Fundo

Monetário Internacional (FMI), Mercosul (membro associado), Organização dos

Estados Americanos (OEA), Organização Mundial do Comércio (OMC) e

Organização das Nações Únicas (ONU).

Atualmente, de acordo com o IBGE 2010, o Brasil é dividido política e

administrativamente em 27 unidades federativas, sendo 26 estados e um distrito

federal.

O Chile está dividido política e administrativamente em 13 regioes38,

sendo suas principais cidades: Santiago do Chile, Concepción, Puente Alto, Viña

del Mar, Valparaíso, Talcahuano e Antofagasta.

37 Povos Ameríndios. Denominação genérica dos diferentes povos que viviam na América antes da chegada dos europeus no século XVI. 38 Disponível em: http://www.portalsaofrancisco.com.br/alfa/chile/chile-4.php e http://pt.wikipedia.org/wiki/Regi%C3%A3o_Metropolitana_de_Santiago

89

89

3.3 Participação de Pais ou responsáveis no sistema educativo

Em alguns estados do Brasil, existe a Associação de Pais e Mestres

(APM), que tem a responsabilidade de gerir verbas públicas para que a escola

tenha condições de atender os alunos. A verba é destinada para compra de

materiais didáticos (papel sulfite, lápis, caderno, folhas de seda, etc...) também

matériais de limpeza e ainda, para pequenas reformas.

No Chile existe o Centro de Pais e Apoderados39 (CPA), que

acompanha o desenvolvimento curricular nas escolas e auxilia alunos que

apresentam dificuldades de aprendizagem

Rodriguez (2004), afirma que este nível de participação do CPA junto

ao controle de Eficácia, são aqueles considerados mais efetivo no contexto da

participação dos cidadãos. Pais e Apoderados aparecem como os níveis mais

elevados de participação com um maior impacto na qualidade e a equidade do

sistema de educação.

Há dois sub-níveis, considerando o tipo de influência e

responsabilidades adotado pelas partes. No primeiro, um ou mais representantes

do CPA participam com direito a voz e voto nas instâncias máximas de tomada de

decisão na escola. Espera-se que os pais, mães e responsáveis participem de

forma propositiva devidamente informados e capacitados.

O segundo, permite que os agentes e os signatários autorizados

assumam a responsabilidade ou encargos em nível de escola administrativa ou

de ensino. Em geral, esta tomada de decisão é geralmente limitada a uma área

muito restrita atividades das escolas.

39 Segundo Rodríguez (2004), Os apoderados são pessoas voluntárias, autorizadas pelo MINEDUC, que devem fornecer mais informações para os professores, especialmente em termos de características e aspectos seus filhos, para que possam ter maior conhecimento e potencializar seu desenvolvimento, incentivando assim os aspectos acadêmicos que estão trabalhando. Os professores precisam repassar aos apoderados as atividades que estão desenvolvendo para que eles tenham condições de ajudar os alunos na sua aprendizagem.

90

90

O CPA recebe verba governamental para produção de materiais

didáticos que auxiliem os alunos e também de materiais para limpeza,

manutenção, etc.

3.4 Algumas comparações entre os sistemas educativos de Brasil e Chile

Na busca de informações sobre os sistemas educacionais nos dois

países para a pesquisa, viu-se a necessidade da busca de documentos oficiais

que caracterizam os sistemas de Educação Básica.

Os dados apresentados na tabela 03 foram extraídos de documentos

oficiais do Ministério de Educación Del Chile (MINEDUC) e do Instituto Nacional

de Estatística e Pesquisa (INEP), órgão pertencente ao Ministério de Educação e

Cultura (MEC), do Brasil.

Tabela 3 – Configuração educacional dos países

BRASIL CHILE Educação Infantil, não obrigatório, dividida em:

� Creche (idades de 0 a 3 anos);

� Pré-escola (idades de 4 a 6 anos)

Educação parvulária, não obrigatória atende crianças entre 84 dias e 06 anos sendo: I) Sala cuna: (84 dias a 2 anos); II) Medio: (de 2 a 4 anos) e III) Transición: (de 4 a 6 anos). Se diferencia neste nível o Primer nivel (prekinder, 4 a 5 anos) e Segundo Nivel (kinder, 5 a 6 anos).

Ensino fundamental obrigatório de nove anos

(ciclos I e II) para crianças com idades de 6 a 14

anos. Lei Nº 11 274 de 06/02/2006.

Educação básica, obrigatória, de seis anos40.

Artículo 25.- El nivel de educación básica regular tendrá una duración de seis años y el nivel de educación media regular tendrá una duración de seis años, cuatro de los cuales, en el segundo caso, serán de formación general y los dos finales de formación diferenciada. La educación parvularia no tendrá una duración obligatoria (Ley 20370, 2009).

Ensino Médio, não obrigatório , de três anos, regular ou profissionalizante, para adolescentes com idade de 15 a 17 anos.

Educação Média, obrigatória , de seis anos.

40 No Chile a educação básica era de 8 anos e a educação média de 4 anos. Atualmente está num momento de transição de acordo com a Ley 20.370 de 09/2009 em que a Educação Básica e Média serão denominadas, primária e secundária, respectivamente com seis anos cada.

91

91

No Brasil o Ensino Fundamental é de nove anos de escolaridade, que

por sua vez é obrigatório e atende a uma grande demanda41.

No Chile o equivalente ao Ensino Fundamental no Brasil é de seis anos e é obrigatório.

Ensino Médio brasileiro corresponde a três anos de estudos, contudo

não é obrigatório, enquanto no Chile é obrigatório (quatro anos), onde está sendo

reestruturado de tal forma, que os 7º e 8º anos de Educação Primária passarão a

fazer parte da Educação Secundária.

Embora o Ensino Médio no Brasil não seja obrigatório, tem atendido um

número muito grande de alunos, como demonstrado um pouco mais adiante. É

importante ressaltar, que nos últimos anos essa demanda tem aumentado frente

às necessidades de inserção no mercado de trabalho.

A seguir serão descritos qual o tempo e carga horária escolar, que os

alunos cumprem anualmente nas escolas, além de qual a lei magna que rege a

Educação no Brasil e Chile.

Tabela 4 – Período letivo, horário escolar e carga mínima de horas de trabalhos escolares anuais

BRASIL CHILE A educação brasileira é oferecida em até

três turnos: matutino, das 7h às 12h;

vespertino, das 13h às 18h e noturno, das

19h às 23h.

A educação chilena é oferecida em

período integral (Lei 19532 de 06/11/2004).

Tem escolas que iniciam as 08h00 e

terminam as 13h00 outras encerram as

16h00, mas ainda não é uma unanimidade

no país.

O ano letivo inicia-se em fevereiro e

termina em dezembro, com interrupção de

uma ou duas semanas nos meses de julho

e dezembro, para o recesso escolar, e em

janeiro, para as férias escolares. Essas

O ano letivo inicia-se em março e

termina no final de novembro ou inicio de

dezembro. Em Julho tem-se duas semanas

de descanso

41 Mais a frente serão apresentados os números dessa demanda.

92

92

definições são seguidas em todo o país,

com algumas modificações condicionadas

às normas de cada rede e/ou instituição

escolar.

A Lei de Diretrizes e Bases da

Educação Nacional Nº 9394/96 defini para

a educação básica, nos níveis fundamental

e médio a carga horária mínima de 800

horas distribuídas no mínimo em 200 dias

letivos de efetivo trabalho escolar,

excluindo o tempo para os exames finais.

A Ley 20.370/2009 definiu como

obrigatória e subdivide a educação

básica em seis anos e média em seis

anos denominando-as de primária e

secundária, respectivamente. A carga

horária42 chilena para 2012 é de 1680

horas distribuídas do inicio de março

ao fim de novembro.

Pode-se observar, que a carga horária escolar do Chile para 2012 é

muito superior à do Brasil, que no período diurno, pode chegar a até 1000 horas

aulas. No Chile a carga horária era de 1200 horas aula, sendo que para 2012 teve

um aumento de 40%.

3.5 Sistemas de avaliação nos dois países

No Brasil, diversos instrumentos avaliativos oficiais externos criados,

afim de acompanhar os avanços na aprendizagem dos alunos, e identificar

problemas de aprendizagem e reorientar os caminhos, buscando a melhoria da

aprendizagem.

Um desses instrumentos é o Índice de Desenvolvimento da Educação

Básica43 (Ideb) que foi criado em 2007 para medir a qualidade de cada escola e

de cada rede de ensino. O indicador é calculado com base no desempenho do

estudante em avaliações do Inep e em taxas de aprovação e evasão escolar.

42 Disponível em: http://www.educarchile.cl/Portal.Base/Web/VerContenido.aspx?ID=206262 43 Disponível em: http://portal.mec.gov.br/index.php?Itemid=336&id=180&option=com_content&view=article

93

93

Assim, para que o Ideb de uma escola ou rede cresça é preciso que o aluno

aprenda, não repita o ano e frequente a sala de aula.

Como parte do Plano de Desenvolvimento da Educação (PDE), ele é

calculado com base na taxa de rendimento escolar (aprovação e evasão) e no

desempenho dos alunos no Saeb (Sistema Nacional de Avaliação da Educação

Básica) e na Prova Brasil. Ou seja, quanto maior for a nota da instituição no teste

e quanto menos repetências e desistências ela registrar, melhor será a sua

classificação, numa escala de zero a dez. O mecanismo foi muito bem avaliado

por especialistas justamente por unir esses fatores. Sendo assim, se uma escola

passar seus alunos de ano sem que eles tenham realmente aprendido, por

exemplo, isso ficará claro a partir da análise do desempenho dela no Ideb.

O índice é medido a cada dois anos e o objetivo é que o país, a partir

do alcance das metas municipais e estaduais, tenha nota 6 em 2022 –

correspondente à qualidade do ensino em países desenvolvidos.

Para que pais e responsáveis acompanhem o desempenho da escola

de seus filhos, basta verificar o Ideb da instituição, que é apresentado nessa

escala de zero a dez. Da mesma forma, gestores acompanham o trabalho das

secretarias municipais e estaduais pela melhoria da Educação:

• Provinha Brasil 44: de acordo com o Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira – Inep a Provinha Brasil é uma avaliação diagnóstica do nível de alfabetização das crianças matriculadas no segundo ano de escolarização das escolas públicas brasileiras. Essa avaliação acontece em duas etapas, uma no início e a outra ao término do ano letivo. A aplicação em períodos distintos possibilita aos professores e gestores educacionais a realização de um diagnóstico mais preciso que permite conhecer o que foi agregado na aprendizagem das crianças, em termos de habilidades de leitura dentro do período avaliado.

• Prova Brasil e Saeb : o Inep explicita que o Sistema de Avaliação da Educação Básica é composto por duas avaliações complementares. A primeira, denominada Aneb – Avaliação Nacional da Educação Básica, abrange de maneira amostral os estudantes das redes públicas e privadas do país, localizados na área rural e urbana e matriculados no 5º e 9º anos do ensino fundamental e também no 3º ano do ensino médio. Nesses estratos, os resultados são apresentados para cada Unidade da Federação, Região e para o Brasil como um todo.

• A segunda, denominada Anresc - Avaliação Nacional do Rendimento Escolar é aplicada censitariamente alunos de 5º e 9º

44 Disponível em: http://provinhabrasil.inep.gov.br/

94

94

anos do ensino fundamental público, nas redes estaduais, municipais e federais, de área rural e urbana, em escolas que tenham no mínimo 20 alunos matriculados na série avaliada. Nesse estrato, a prova recebe o nome de Prova Brasil e oferece resultados por escola, município, Unidade da Federação e país que também são utilizados no cálculo do Ideb45.

• As avaliações que compõem o Saeb são realizadas a cada dois anos, quando são aplicadas provas de Língua Portuguesa e Matemática, além de questionários socioeconômicos aos alunos participantes e à comunidade escolar.

• O Exame Nacional do Ensino Médio (Enem) é uma prova criada em 1998 pelo Ministério da Educação do Brasil (MEC), quando tinha como única finalidade avaliar a qualidade geral do Ensino Médio no país.

O MEC em 2009 apresentou uma proposta de reformulação do Exame

Nacional do Ensino Médio (Enem) e sua utilização como forma de seleção

unificada nos processos seletivos das universidades públicas federais. A proposta

tem como principais objetivos democratizar as oportunidades de acesso às vagas

federais de ensino superior, possibilitar a mobilidade acadêmica e induzir a

reestruturação dos currículos do ensino médio.

As universidades possuem autonomia e poderão optar entre quatro

possibilidades de utilização do novo exame como processo seletivo:

• Como fase única, com o sistema de seleção unificada, informatizado e

on-line;

• Como primeira fase;

• Combinado com o vestibular da instituição;

• Como fase única para as vagas remanescentes do vestibular.

Entendemos que a nova identidade que é conferida ao Enem, permeia

oportunidades para todos os alunos, quaisquer que sejam suas classes sociais,

inserirem-se no ensino propedêutico, principalmente, as instituições públicas que

são concorridas.

Além das avaliações da esfera federal temos também avaliações que

são propostas por secretarias municipais de Educação. É o caso do Sistema de

Avaliação de Rendimento Escolar Municipal – Sarem, e de avaliações estaduais,

45 Disponível em: http://educarparacrescer.abril.com.br/indicadores/ideb-299357.shtml

95

95

como no caso de São Paulo, que adotou o Sistema de Avaliação de Rendimento

Escolar de São Paulo – Saresp.

Parece-nos que a ampliação de oportunidades educacionais é uma

preocupação forte também no Chile. Nossa impressão é pautada também nas

leituras realizadas nos documentos oficiais chilenos, que demonstram que desde

a década de 60, acentuando-se na década de 90, várias reformas e iniciativas

como aumento da jornada escolar e ampliação da escolaridade na Educação

Média vêm ocorrendo no Chile.

Além da ampliação de oportunidades é conveniente destacar que foi

criado um órgão, Sistema de Medición de la Calidad de la Educación del Chile

(SIMCE)46, que monitora, por meio de avaliações, as escolas e propõe-nas

sugestões e encaminhamentos para superar algumas as dificuldades

identificadas.

As provas avaliam a realização e o alcance dos objetivos fundamentais

e conteúdos mínimos obrigatórios do Marco Curricular nacional.

As provas do SIMCE avaliam a realização dos Objetivos Fundamentais

– (OF) e Conteúdos Mínimos Obrigatórios (CMO) do quadro curricular atual de

aprendizagem em diferentes setores, por meio de uma medida que se aplica a

nível nacional, uma vez por ano, para os alunos matriculados em um determinado

nível de ensino.

Até 2005, a aplicação de testes alternaram-se entre 4º básico, 8º

básico e 2º Médio. Desde 2006, isso mudou, sendo que a avaliação é proposta

anualmente para todos os alunos que estão cursando o 4º Básico e alterna-se

para os alunos do 8º Básico e 2º Médio. Desde 2010, a cada dois anos, aplica-se

a avaliação de Inglês para alunos do 3º Médio, e a cada ano uma avaliação, por

amostragem, em Educação Física para o 8º ano, a fim de diagnosticar a condição

física dos alunos.

O SIMCE também coleta informações sobre os professores, pais,

alunos e encarregados de educação por meio de questionários de contextos. Tais

46 Disponível: http://www.simce.cl/

96

96

informações são usadas para contextualizar e analisar os resultados do teste de

SIMCE estudante.

A seguir são apresentadas as provas que são instrumentos de análise

do SIMCE, são elas:

• Pruebas nacionales SIMCE Evalúa Lenguaje, Matemática y Ciencias (Naturales y Sociales) en alumnos y alumnas de 4° B ásico y 8° Básico

• CÍVICA Civic Education Study. Evalúa educación cívica en alumnos y alumnas de 8° Básico y 4° Medio.

• TIMSS Trends in International Mathematics and Science Study. Evalúa Matemática y Ciencias en alumnos y alumnas de 8° Básico y 4° Básico (Chile solo ha participado en 8° Básico).

• LLECE Laboratorio Latinoamericano de la Calidad de la Educación. Estudio Internacional Comparativo sobre Lenguaje, Matemática y Factores Asociados. Evalúa Lenguaje y Matemática en alumnos y alumnas de 3° Básico, 4° Básico y 6° Básico de país es latinoamericanos.

No Chile existe uma disputa acirrada entre as escolas para um melhor

desempenho nas avaliações do SIMCE, pois, o Sistema Nacional de Avaliação do

Desempenho dos Estabelecimentos Educacionais Subvencionados (SNDE),

criado em 1996, identifica as escolas que recebem subvenção estatal (tanto

particulares subvencionados como as municipais) que apresentam melhor

desempenho em cada região. O SNDE utiliza os resultados das avaliações do

SIMCE que são realizadas pelos alunos para pagamento de um premio a fim de

motivar os professores.

As escolas que forem classificadas como excelente recebem essa

subvenção (valor em pesos) por desempenho de excelência durante dois anos.

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97

3.6 Contexto educacional e políticas públicas

A seguir são apresentados dados, que revelam o número de alunos

matriculados em 2010 na Educação Básica dos dois países.

Tabela 5 – Número de matrículas na Educação Básica por Dependência Administrativa – Censo 2010

Matrícula na Educação

Total Geral

Pública Federal Estadual Municipal Privada

Brasil47 51 549 889 43 989 507 235108 20 031 988 23 722 411 7 560 382

Chile48 3 205 699 - - - 1 960 185 1 245 514

De acordo com a tabela acima, o Censo Escolar 2010 apontou que o

Brasil tem 51,5 milhões de estudantes matriculados na educação básica das

redes pública e privada, sendo creches, pré-escola, ensino fundamental e médio,

educação profissional, educação especial e de jovens e adultos. Dos 51,5

milhões, 43,9 milhões estudam nas redes públicas (85,4%) e 7,5 milhões em

escolas particulares (14,6%). Atendem estudantes da educação básica 194.939

estabelecimentos de ensino. Em 2009, o censo registrou 52,5 milhões de alunos

na educação básica.

Embora a Educação Básica seja “gratuita” o Brasil tem desafios a

enfrentar referentes às taxas de reprovação e de evasão escolar. A seguir

apresentamos na tabela 06 os índices de aprovação e reprovação em países do

MERCOSUL.

O Chile tem atualmente cerca de 3,2 milhões de estudantes no Ensino

Básico (oito séries) e 987,6 mil no Ensino Médio (quatro séries), distribuídos em

10803 escolas.

47 Disponível em: http://www.oei.es/noticias/spip.php?article8057&debut_5ultimasOEI=40 48 Disponível em: http://www.dipres.gob. f División de Planifcación y Presupuesto; División Educación Superior. Ministerio de Educación.

98

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As autoridades chilenas apresentam por meio do Compendio

Estatístico 2011, um total de 4.688.935 alunos matriculados, sendo que nesse

número está inserido 987.643 alunos matriculados no ensino superior, 349.720

alunos na pré-básica e 145.873 alunos na educação especial.

Segundo o PNAD49, o Brasil apresenta resultados menos satisfatórios

em relação aos demais países do Mercosul citados.

No Ensino Fundamental do Brasil, a evasão escolar é menor, com

3,2% das crianças fora das salas de aulas. Mesmo assim, essa taxa ainda é

preocupante, sendo essa, uma das maiores dos países que compõem o

MERCOSUL. Dentre todos os países citados, a menor taxa de evasão escolar

está com o Uruguai, com apenas 0,3% dos jovens fora das salas de aula do

Ensino Médio. Já a Venezuela, possui 1%.

Opazo (2009) realizou um estudo50 sobre o abandono escolar no Chile,

com isso, assegura que “En el ámbito de la enseñanza básica, la tasa de

deserción se mantiene relativamente constante en torno al 1% hasta el nivel del 6º

año. En el séptimo año de educación básica, esta tendencia experimenta un salto

importante, aumentando al doble” (OPAZO, 2009, p. 121).

Políticas de melhorias da Educação Básica têm sido uma constante no

Chile. De acordo com Cox51 (2005) uma dessas ações foram a criação do

Programa 900 escolas. Para Cox (2005), esse programa inaugurou o inicio da

discriminação positiva na educação chilena, dando atenção especial às 900

escolas com os piores resultados de aprendizagem em todo o país e tem como

prerrogativa fornecer material didático e montar bibliotecas de ensino;

desenvolver workshops de aprendizagem em horários alternativos para crianças

com atraso escolar ou com problemas sócio-afetivos. Monitores da comunidade,

que são bolsistas capacitados pelo Ministério da Educação, dão oficinas para os

docentes. As escolas atendidas por esse projeto aumentam as pontuações no

sistema de avaliação numa proporção superior à obtida pelas demais.

49 Disponível em: www.ibge.gov.br/home/estatistica/.../pnad2009/pnad_sintese_2009 50 Disponivel em: http://www.rinace.net/reice/numeros/arts/vol7num4/art6.pdf. 51 http://revistaescola.abril.com.br/politicas-publicas/planejamento-e-financiamento/educacao-chile-

nosso-desafio-426076.shtml

99

99

A finalidade do Programa 900 escolas, além de melhorar o

desempenho dos alunos em Leitura e Matemática, é também de reorientar as

políticas de reformas curriculares.

No Brasil diversas ações têm sido tomadas desde 1997 com cursos de

capacitação para os professores atuantes na Educação Básica. Essas ações têm

sido fomentadas pelas secretarias municipais e estaduais de Educação e tem

como finalidade aprimorar o trabalho pedagógico dos professores discutindo e

refletindo sobre sua prática escolar frente ao ensino e aprendizagem da

Matemática.

3.7 Configuração da Educação Básica em ambos os países

O sistema brasileiro de Educação, de acordo com art. 21 da Lei de

Diretrizes e Bases da Educação Nacional (LDBEN 9394/96), é composto pela

Educação Básica, formada pela Educação Infantil, Ensino Fundamental, Médio e

pela Educação Superior. A educação básica é oferecida por quatro redes distintas

de ensino, são eles:

� Rede municipal de ensino que oferece desde o infantil até o ensino médio.

� Rede estadual de ensino atendendo desde o Ensino Fundamental I ao Ensino Médio.

� Rede Federal de ensino: composta pelas Universidades Federais e; pelos Instituto Federal de Tecnologia que atende exclusivamente ao Ensino Médio Técnico e Superior;

� Redes Particulares de ensino que atendem desde a Educação Infantil ao Ensino Superior. Estas não possuem vínculos financeiros com os governos sejam eles municipais, estaduais ou federais. As escolas das redes particulares reportam-se diretamente as Diretorias Regionais de Ensino Estaduais.

No Brasil, o Ensino Fundamental I e II vem sendo municipalizado nos

últimos anos e a tendência é de que o Estado atenda apenas ao Ensino Médio.

De acordo com o Artigo 17 da Lei 20 370/2009, a educação formal no

Chile está organizada em quatro níveis: parvularia, básica, media y superior, y por

modalidades educativas dirigidas a atender a poblaciones específicas. Os níveis

100

100

referentes a Educação Básica e Média são oferecidas pelas redes municipais,

subvencionadas e particulares

No Brasil, uma diferença marcante entre a LDB 9394/96 das anteriores

foi a expansão da escolaridade obrigatória, ou seja, é dever do Estado oferecer o

Ensino Médio, pois essa etapa educacional está compreendida na Educação

Básica, no entanto, como já afirmamos anteriormente é um dever do estado mas

não é obrigatório para o aluno.

Mesmo que a obrigatoriedade não recaia sobre o aluno Franco (2001)

considera que:

... sem dúvida, esta configuração representa um avanço em relação às leis anteriores, embora seja preciso lembrar que existe uma distância muito grande entre o que está prescrito por lei e a realidade. Resta, pois saber que condições concretas possibilitarão ou dificultarão a expansão da escolaridade obrigatória.

O avanço ao qual Franco (2001) menciona refere-se ao fato de que até

final de 1996 o governo brasileiro não tinha nenhuma obrigação em oferecer a

população, o ensino no nível Médio e que a partir da LDBEM 9394/96 essa triste

realidade mudou.

A Educação Superior brasileira é oferecida por instituições públicas

(municipais, estaduais e federais) e particulares.

A Lei de Diretrizes e Bases Nacionais 9394/96 é a atual lei máxima

na Educação brasileira.

Cox52 (1997) define o sistema educacional chileno como organizado

de forma descentralizada dos estabelecimentos escolares, sua administração é

de responsabilidade das institucionais municipais e particulares que antes do

Estado tem a responsabilidade de manter o sistema em funcionamento.

Retamal (2005) afirma que a educação chilena é administrada por um

sistema misto, com um rol condutor do Estado nacional, uma operação

52 Sociólogo formado pela Universidade Católica do Chile e Doutor pela Universidade de Londres, Cristián Cox foi responsável pelo planejamento e pela execução do Programa de Melhoria da Qualidade e Equidade da Educação (MECE). Desde 1997 é coordenador da Unidade de Currículo e Avaliação do Ministério da Educação do Chile, de onde lidera a reforma curricular que está sendo feita desde a pré-escola até o Ensino Médio.

101

101

descentralizada da Educação pública e uma forte área de gestão privada (43%

dos escolares concorrem a instituições de ensino privado). O Estado mantém

funções normativas, avaliativas, de supervisão e apoio técnico, de financiamento

e controle.

Outra característica do sistema educacional chileno de acordo com Cox

(1997) e ratificado por Retamal (2005) é o seu financiamento: há escolas

particulares que recebem subsídio do governo federal (50% das matrículas) e

ainda podem cobrar mensalidade; as municipais, que também recebem dinheiro

do Estado (42% da rede); e as particulares sem recursos estatais (8%).

A cobertura do sistema educacional é praticamente universal, como na

maioria dos países desenvolvidos, resultando em índices de matrículas que

representam esta realidade. O índice de matrículas na educação primária é de

99,7% das crianças entre 6 e 14 anos, enquanto na educação secundária é de

87,7% dos adolescentes de 15 a 18 anos (Retamal, 2005).

A Lei 20.370 set/2009 é a mais recente Lei Geral da Educação e explicita no

articulo 1º que:

La presente ley regula los derechos y deberes de los integrantes dela comunidad educativa; fija los requisitos mínimos que deberán exigirse en cada uno de los niveles de educación parvularia, básica y media; regula el deber del Estado de velar por su cumplimiento, y establece los requisitos y el proceso para el reconocimiento oficial de los establecimientos e instituciones educacionales de todo nivel, con el objetivo de tener un sistema educativo caracterizado por la equidad y calidad de su servicio.

Já o artigo 3º estabelece que:

O sistema educativo chileno se construye sobre la base de los derechos garantizados en la Constitución, así como en los tratados internacionales ratificados por Chile y que se encuentren vigentes y, en especial, del derecho a la educación y la libertad de enseñanza. Se inspira, además, en los siguientes principios:

a) Universalidad y educación permanente. La educación debe estar al alcance de todas las personas a lo largo de toda la vida.

b) Calidad de la educación. La educación debe propender a asegurar que todos los alumnos y alumnas, independientemente de sus condiciones y circunstancias, alcancen los objetivos generales y los

102

102

estándares de aprendizaje que se definan en la forma que establezca la ley.

c) Equidad del sistema educativo. El sistema propenderá a asegurar que todos los estudiantes tengan las mismas oportunidades de recibir una educación de calidad, con especial atención en aquellas personas o grupos que requieran apoyo especial.

d) Autonomía. El sistema se basa en el respeto y fomento de la autonomía de los establecimientos educativos. Consiste en la definición y desarrollo de sus proyectos educativos, en el marco de las leyes que los rijan.

e) Diversidad. El sistema debe promover y respetar la diversidad de procesos y proyectos educativos institucionales, así como la diversidad cultural, religiosa y social de las poblaciones que son atendidas por él.

f) Responsabilidad. Todos los actores del proceso educativo deben cumplir sus deberes y rendir cuenta pública cuando corresponda.

g) Participación. Los miembros de la comunidad educativa tienen derecho a ser informados y a participar en el proceso educativo en conformidad a la normativa vigente.

h) Flexibilidad. El sistema debe permitir la adecuación del proceso a la diversidad de realidades y proyectos educativos institucionales.

i) Transparencia. La información desagregada del conjunto del sistema educativo, incluyendo los ingresos y gastos y los resultados académicos debe estar a disposición de los ciudadanos, a nivel de establecimiento, comuna, provincia, región y país.

j) Integración. El sistema propiciará la incorporación de alumnos de diversas condiciones sociales, étnicas, religiosas, económicas y culturales.

k) Sustentabilidad. El sistema fomentará el respeto al medio ambiente y el uso racional de los recursos naturales, como expresión concreta de la solidaridad con las futuras generaciones.

l) Interculturalidad. El sistema debe reconocer y valorar al individuo en su especificidad cultural y de origen, considerando su lengua, cosmovisión e historia.

Os princípios acima descritos revelam que o governo chileno tem

clareza quanto às finalidades da Educação, que é a formação cidadã.

103

103

3.8 O processo de organização curricular nos dois países

Um primeiro questionamento que surgiu no grupo de pesquisa foi

exatamente em relação a qual documento recorrer para análise no caso brasileiro.

No texto Currículo, Avaliação e Aprendizagem Matemática na Educação

Básica, produzido para Seminário realizado no INEP, Pires (2011) traz

contribuições para análise dessa questão.

A autora sinaliza que currículo e avaliação são dois dos pilares de

sustentação das políticas educacionais de um país53, o que, em termos de Brasil,

traduz-se na Lei nº 9.394 (BRASIL, 1996), de 20 de dezembro de 1996, que

estabelece as diretrizes e bases da educação nacional. Em seu Art. 9º, a Lei

estabelece que a União incumbir-se-á de:

IV – estabelecer, em colaboração com os Estados, o Distrito Federal e os Municípios, competências e diretrizes para a educação infantil, o ensino fundamental e o ensino médio, que nortearão os currículos e seus conteúdos mínimos, de modo a assegurar formação básica comum;

VI – assegurar processo nacional de avaliação do rendimento escolar no ensino fundamental, médio e superior, em colaboração com os sistemas de ensino, objetivando a definição de prioridades e a melhoria da qualidade do ensino.

Pires (2011) reflete e argumenta que após quinze anos da promulgação

da Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional, é importante retomar fatos

recentes que marcaram a implementação desses itens constitucionais, em

particular do item IV. No período de 1995 a 2002, além da promulgação da Lei de

Diretrizes e Bases da Educação Nacional (LDB), foram publicados os pareceres54

53 Outro pilar fundamental intrinsecamente ligado a estes dois é a formação de professores.

54 Parecer CNE/CEB nº 4/1998, aprovado em 29 de janeiro de 1998, Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Fundamental. Parecer CNE/CEB nº 15/1998, aprovado em 1º de junho de 1998, Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Médio (BRASIL, 1998c). Parecer CNE/CEB nº 22/1998, aprovado em 17 de dezembro de 1998, Diretrizes Curriculares Nacionais da Educação Infantil.

104

104

e as resoluções55 do Conselho Nacional de Educação por intermédio da Câmara

de Educação Básica – CNE/CEB, apresentando diretrizes curriculares nacionais

para os vários segmentos da Educação Básica. Concomitantemente, o Ministério

da Educação elaborou, colocou em discussão nacional, reelaborou e distribuiu um

conjunto de publicações denominadas “Parâmetros Curriculares Nacionais”

(PCN).

Em março de 1997, por meio do Parecer nº 03/97, a CEB/CNE assim

se pronuncia:

Os PCN resultam de uma ação legítima, de competência privativa do MEC e se constituem em uma proposição pedagógica, sem caráter obrigatório, que visa à melhoria da qualidade do ensino fundamental e o desenvolvimento profissional do professor. Contudo, a existência de tal proposição não dispensa a necessidade de formulação de diretrizes curriculares nacionais, de acordo com a CF/88 e com a LDB. Assim, as orientações propostas no âmbito dos Parâmetros Curriculares Nacionais são um modo pelo qual a União exerce o disposto no art. 9o. III da LDB56. As diretrizes, por sua vez, decorrem explicitamente de um mandato legal e devem se constituir a partir do disposto no art. 9o. § 1o., letra c da Lei n. 9.131/95 em consonância com os art. 9, IV, 26 e 27 da Lei n. 9.394/96 as quais, por seu lado, devem ser coerentes com o art. 210 da Constituição Federal de 1988. Ao dar sequência a esta obrigação legal, a CEB/CNE trabalhou intensamente em torno das diretrizes nacionais curriculares do ensino fundamental e do ensino médio. (BRASIL, 1997, p. 280)

No Parecer CNE/CEB nº 04/1998, que formula Diretrizes Curriculares

Nacionais para o Ensino Fundamental, a relatora assim escreve:

[...] para elaborar suas propostas pedagógicas, as Escolas devem examinar, para posterior escolha, os Parâmetros Curriculares Nacionais e as Propostas Curriculares de seus Estados e Municípios, buscando definir com clareza a finalidade de seu trabalho, para a variedade de alunos presentes em suas salas de aula. Tópicos regionais e locais muito enriquecerão suas propostas, incluídos na Parte Diversificada, mas integrando-se à Base Nacional Comum. (BRASIL, 1998, p. 10)

55 Resolução CNE/CEB n.º 2, de 7 de abril de 1998. Institui as Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Fundamental. Resolução CNE/CEB n.º 3, de 26 de junho de 1998. Institui as Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Médio. Resolução CNE/CEB n.º 1, de 7 de abril de 1999 Institui as Diretrizes Curriculares Nacionais para a Educação Infantil.

56 III - prestar assistência técnica e financeira aos Estados, ao Distrito Federal e aos Municípios para o desenvolvimento de seus sistemas de ensino e o atendimento prioritário à escolaridade obrigatória, exercendo sua função redistributiva e supletiva.

105

105

Por sua vez, o texto do Plano Nacional de Educação assinalava os

Parâmetros Curriculares Nacionais - PCN como a expressão de uma reforma

curricular:

A atualidade do currículo, valorizando um paradigma curricular que possibilite a interdisciplinaridade, abre novas perspectivas no desenvolvimento de habilidades para dominar esse novo mundo que se desenha. As novas concepções pedagógicas, embasadas na ciência da educação, sinalizaram a reforma curricular expressa nos Parâmetros Curriculares Nacionais, que surgiram como importante proposta e eficiente orientação para os professores. Os temas estão vinculados ao cotidiano da maioria da população. Além do currículo composto pelas disciplinas tradicionais, propõem a inserção de temas transversais como ética, meio ambiente, pluralidade cultural, trabalho e consumo, entre outros. Esta estrutura curricular deverá estar sempre em consonância com as diretrizes emanadas do Conselho Nacional de Educação e dos conselhos de educação dos Estados e Municípios. (BRASIL, 2001, p.23)

Com esses destaques Pires nos chama a atenção para a ambiguidade

da legislação brasileira no tocante a currículos prescritos,

Ela prossegue, relatando que mesmo estabelecido o status de não

obrigatoriedade para os PCN, no período de 1999 a 2002, projetos foram

desenvolvidos em diversas localidades do País, configurando-se como uma etapa

inicial de implementação das idéias veiculadas nos PCN. Também os livros

didáticos passaram a exibir o carimbo “de acordo com os PCN”. Desse modo,

criou-se certa redundância referente ao papel desses documentos.

Quando nos referimos a essa duplicidade documental, estamos

dizendo que a primeira intenção preconizada nos PCN era o de ser um

documento norteador que poderia ser utilizado como base para construção de

currículos pelas secretarias municipais e estaduais. Contudo, mais adiante

veremos que os PCN foram incorporados aos documentos de diversas secretarias

na íntegra e os livros didáticos foram elaborados com base nos PCN.

No período de 2000 a 2010, o Ministério publicou

“Orientações Curriculares Nacionais para o Ensino Médio” (BRASIL, 2000, 2002,

2006), mas não coordenou ações focadas no debate curricular.

Por sua vez, nesse período, estados da federação e municípios

desenvolveram suas propostas curriculares para a Educação Básica. O Relatório

de Análise de Propostas Curriculares de Ensino Fundamental e Ensino Médio,

106

106

publicado em 2010 pelo Ministério da Educação57 (BRASIL, 2010) traz

contribuições importantes.

O relatório afirma que há semelhança indiscutível entre as propostas,

na medida em que levam em conta orientações nacionais, destacando-se os

fundamentos da psicologia da aprendizagem, na perspectiva do construtivismo.

Quanto à fundamentação das propostas, é central a concordância com as indicações legais e com as perspectivas teóricas presentes nas orientações oficiais centrais, principalmente a Lei de Diretrizes e Bases da Educação (LDB 9.394/96), as Diretrizes e Parâmetros Curriculares Nacionais (DCN e PCN), os fundamentos da psicologia da aprendizagem, na perspectiva do construtivismo. Diferentes concepções, tendências e tradições pedagógicas, presentes no campo pedagógico, misturam-se, fundem-se com as orientações citadas, produzindo explicações e abordagens que fazem sentido e confirmam o hibridismo de contribuições distintas na constituição do discurso curricular no país, apontado por muitos estudiosos do currículo (BRASIL, 2010, p. 441).

Pires (2011) adverte que esse estudo, de grande importância, nos

permite constatar que temos uma construção curricular em movimento no Brasil,

fato que não podemos ignorar em nenhum momento, ao pensar em políticas

públicas, sejam elas conduzidas nacional ou regionalmente.

Para essa autora é possível conjecturar que as experiências

vivenciadas ao longo da última década em diferentes estados da federação

tenham conduzido a um razoável consenso, quanto à necessidade de definição

coletiva de expectativas de aprendizagem básicas que se pretende sejam

alcançadas pelos estudantes em cada etapa da escolaridade.

Com essas ponderações, consideramos que seria adequado utilizar, no

caso do Brasil, os Parâmetros Curriculares Nacionais como representantes dos

currículos prescritos no Brasil.

57 Documento da Secretaria de Educação Básica, Diretoria de Concepções e Orientações Curriculares para Educação Básica. Foram analisadas propostas das secretarias municipais das capitais, compondo uma amostra de 13 propostas de Ensino Fundamental. A análise incidiu sobre um total de 60 propostas, sendo 34 de Ensino Fundamental (incluindo as 13 citadas e 21 de secretarias estaduais) e 26 propostas de Ensino Médio. Não apresentaram propostas de Ensino Fundamental os estados: Roraima, Maranhão, Paraíba, Rio Grande do Norte, Sergipe e Piauí. De Ensino Médio, apenas o estado de Rondônia não apresentou proposta. Para o Ensino Fundamental as propostas elaboradas pelas secretarias municipais das capitais e incluídas no estudo foram: Fortaleza, Campo Grande, Boa Vista, Macapá, Maceió, João Pessoa, Recife, Goiânia, Cuiabá, Vitória, São Paulo, Curitiba e Florianópolis.

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No caso do Chile está claro que existem dois documentos referenciais

para a Educação. Um documento contemplando as orientações didático-

metodológica, os princípios norteadores da ação didática do professor, lista de

conteúdos a serem ensinados em cada ano de escolaridade, orientações quanto

as tendências no ensino e aprendizagem da Matemática tais como: a resolução

de problemas, temas transversais, a contextualização, o papel do erro na

aprendizagem, entre outros. O documento ao qual estamos nos referindo é

denominado Programa de Estúdio, que em nossas análises denotaremos por

PE/CHILE.

O segundo documento também importante é o Bases Curriculares

Consulta Pública Educación Básica, que mencionaremos pela sigla BC/CHILE.

Esse documento traz indicações do que se deve privilegiar na sala de aula quanto

aos aspectos pedagógicos e didáticos; ainda oferece sugestões de

encaminhamentos e orientações sobre a prática na sala de aula frente alguns

conceitos matemáticos e as expectativas de aprendizagem que se quer alcançar.

Contudo, para as análises comparativas de currículos, consideraremos

a Educação Básica como segmento chileno equivalente ao Ensino Fundamental

no Brasil e a Educação Média do Chile equivalente ao Ensino Médio no Brasil.

Tal qual, no Brasil identificamos dois pilares de sustentação das

políticas públicas no Chile – Currículo e Avaliação.

A lei máxima da Educação Chilena 20 370 estabelece em seu artigo 1º

os direitos e deveres dos integrantes da comunidade educativa, fixando os

requisitos mínimos que deverão ser exigidos em cada ano escolar e as ações que

o Estado deverá desempenhar para a garantia de igualdade e da qualidade para

todos.

Na tentativa de garantir a qualidade do ensino aprendizagem propõe

que:

Artículo 6º - Es deber del Estado propender a asegurar una educación de calidad y procurar que ésta sea impartida a todos, tanto en el ámbito público como en el privado. Corresponderá al Ministerio de Educación, al Consejo Nacional de Educación, a la Agencia de Calidad de la Educación y a la Superintendencia de Educación, en el ámbito de sus competencias, la administración del Sistema Nacional de Aseguramiento de la Calidad de la Educación, de conformidad a las normas establecidas en la ley.

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108

Artículo 7º - El Ministerio de Educación y la Agencia de Calidad de la Educación velarán, de conformidad a la ley, y en el ámbito de sus competencias, por la evaluación continua y periódica del sistema educativo, a fin de contribuir a mejorar la calidad de la educación.

Para ello, la Agencia de Calidad de la Educación evaluará los logros de aprendizaje de los alumnos y el desempeño de los establecimientos educacionales en base a estándares indicativos.

La evaluación de los alumnos deberá incluir indicadores que permitan efectuar una evaluación conforme a criterios objetivos y transparentes.

3.9 Síntese do capítulo

Em termos de dimensão, o Brasil é um país continental com área

territorial de aproximadamente 11 vezes maior e com uma população 11 vezes

maior que a do Chile. O PIB brasileiro equivale a 122,86 vezes o PIB chileno, mas

o IDH chileno é melhor que a do Brasil e, a expectativa de vida do aluno também

é maior que a do brasileiro.

Observando os dados apresentados nesse capitulo podemos verificar

que, embora o Chile apresente a Educação Básica configurada em Educação

Primária e Secundária de seis anos cada etapa, totalizando doze anos de

escolaridade, no Brasil, o tempo de escolaridade também é de doze anos

compreendidos em nove anos do Ensino Fundamental e três anos de Ensino

Médio. A diferença ocorre na obrigatoriedade que o Chile exige em relação à

Educação Média, mesmo quando era de quatro anos. Como dissemos

anteriormente, a não obrigatoriedade, no Brasil, é relativa, pois os índices

apresentados pelas secretarias nos últimos anos demonstram crescimento

acentuado das matriculas no Ensino Médio. Uma justificativa para isso talvez seja

o fato de que para o jovem se inserir no mercado de trabalho uma das condições

seja ter completado ou ainda estar cursando o Ensino Médio.

Acreditamos que proporcionalmente o Brasil esteja em igualdade no

quesito índice de evasão escolar e de aprovação. Isso também não quer dizer

que nesses dois países não existam problemas e desafios a serem enfrentados,

contudo num país como dissemos anteriormente, continental, onde se tem uma

enorme diversidade cultural, de crença, social e econômica, podemos acenar que

estamos num caminho coerente com as intencionalidades mencionadas, o de

109

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propor uma formação cidadã, nos documentos curriculares oficiais prescritos e

vigentes.

Ambos os países demonstram preocupações com o desempenho do

processo de ensino e aprendizagem da Matemática e criam diversos instrumentos

de avaliação e análise dos resultados na busca de novos direcionamentos a

serem adotados, porém toda boa intenção concorre com entendimentos

incorretos sobre esses documentos avaliativos que acabam por tornar-se uma

ferramenta de ranqueamento e de publicidade. Outra diferença verificada é a

respeito da carga horária anual que no Chile para 2012 corresponde quase ao

dobro da brasileira.

Com relação a prescrições curriculares salientamos a ambiguidade das

políticas públicas no Brasil, assim são apresentados argumentos que justificam

para a pesquisa, a escolha dos Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino

Fundamental e Médio como currículo oficial brasileiro prescrito e vigente.

No Chile também se verificou que a redundância das políticas públicas

também está presente na construção e execução do currículo de Matemática.

110

110

CAPÍTULO 4

ESTUDO COMPARATIVO DOS CURRÍCULOS PRESCRITOS DE MATEMÁTICA DO ENSINO FUNDAMENTAL

4.1 Introdução

As leituras sobre as referencias teóricas, apresentadas no capítulo

primeiro, sobre currículos, permearam elencar as categorias de análises em seus

diferentes níveis de concretização:

1. O papel da Matemática na formação dos alunos brasileiros e chilenos;

2. Com relação à forma de estruturar o currículo prescrito

3. Ênfase nas aplicações práticas ou nas especulações teóricas;

4. Com relação à seleção de conteúdos;

5. Com relação às orientações metodológicas e didáticas;

6. Com relação a indicações sobre o processo de avaliação da aprendizagem.

Uma vez tomada à decisão de escolhas das categorias de análise para

o nosso trabalho passaremos à análise documental referente ao Ensino

Fundamental no Brasil e Educação Primária no Chile.

4.2 Comparando a estruturação dos currículo s prescritos

Nessa seção será analisado comparativamente os documentos

curriculares do Brasil e Chile. Os documentos brasileiros eleitos são os

Parâmetros Curriculares Nacional para o Ensino Fundamental (PCN) e os do

Chile são os Programas de Estúdio (PE).

É importante ressaltarmos, que os olhares estarão sempre

direcionados aos PCN e PE, no entanto, analisaremos as orientações veiculadas

111

111

pela LDBEN 9394/96 e a Ley 20 370/2009, que são as leis máximas vigentes da

Educação no Brasil e Chile, respectivamente.

No Brasil, os conteúdos para o Ensino Fundamental propostos nos

PCN de 1996 estão organizados em quatro ciclos, sendo que cada ciclo

representa dois anos de escolaridade, ou seja, Ciclo I refere-se aos primeiros e

segundos anos, Ciclo II aos terceiros e quartos anos, Ciclo III ao quinto e sexto

anos e Ciclo IV aos sétimo e oitavo anos. Cada ano representava uma série

escolar.

O Ensino Fundamental de nove anos está dividido em duas etapas:

Ensino Fundamental I, que representa os cinco primeiros anos de escolaridade e

os conteúdos propostos para essa etapa educacional que equivalem aos ciclos I

e II. O Ensino Fundamental II equivale do sexto ao nono ano, antes era

denominado 5ª a 8ª series e os conteúdos propostos referem-se aos ciclos III e

IV.

No Chile a Educação Básica contempla do 1º ao 8º anos de

escolaridade. O Programa de Estúdio do Chile, documento que traz a lista de

conteúdos e orientações didático-metodológicas, está proposto ano a ano, ou

seja, tem um programa para o 1º ano, para o 2º ano e assim por diante até o

último ano da Educação Primária.

Dessa forma ao analisarmos a lista de conteúdos para o Ensino

Fundamental desses países, tomamos a decisão de organizá-los numa tabela58

comparando-os de dois em dois anos.

Os conteúdos matemáticos para o Ensino Fundamental59, no Brasil,

foram organizados em quatro ciclos sendo que atualmente os ciclos I e II

equivalem aos cinco primeiros anos de escolaridade do Ensino Fundamental I e

os ciclos III e IV referem-se aos quatro últimos anos do Ensino Fundamental II.

Os conteúdos matemáticos, no Brasil, estão estruturados para o Ensino

Fundamental em quatro blocos temáticos, são eles: 58 Vide anexos 1 ao 4

59 Brasil. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares nacionais: Matemática / Secretaria de Educação Fundamental. Brasília: MEC /SEF, 1998. Parâmetros curriculares nacionais. 2. Matemática: Ensino de quinta a oitava séries. I. Título. Pág. 50

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• Números e operações;

• Espaço e Forma;

• Grandezas e medidas;

• Tratamento da informação.

No Chile, nos Programas de estudo da Matemática do 1º ao 8º anos,

identificamos o eixo Resolução de problemas com o caráter de transversalidade,

com isso vimos que estão inseridos nos cinco eixos:

• Números y Operações;

• Álgebra;

• Patrones y Relaciones;

• Geometría;

• mediciones y datos.

Embora no Chile os conteúdos estejam organizados em cinco blocos e

no Brasil em quatro, observamos que os conceitos matemáticos se equivalem.

Notamos uma ênfase maior no eixo “Álgebra”. Os chilenos dedicam um maior

tempo escolar privilegiando esse tema.

4.6 O papel da Matemática na formação dos alunos brasileiros e chilenos

Com o currículo organizado em blocos foi necessário, no Brasil, traçar

algumas metas baseadas em princípios norteadores sobre os objetivos para

aprendizagem da Matemática.

Nos PCN identificamos a preocupação sobre qual o papel da

Matemática na formação dos alunos no trecho a seguir:

Para dimensionar a Matemática no currículo do ensino fundamental é importante que se discuta sobre a natureza desse conhecimento e que se identifiquem suas características principais e seus métodos particulares como base para a reflexão sobre o papel que essa área desempenha no currículo, a fim de contribuir para a formação da cidadania (BRASIL, 1998 p. 24).

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No documento chileno também nos deparamos com um trecho do texto

que descreve a importância de se aprender Matemática:

Aprender matemática es fundamental para la formación general de un estudiante, ya que le entrega herramientas únicas y poderosas para entender el mundo (BC/CHILE, 2011).

Os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN), influenciados pela

concepção de currículo discutido nas reformas educativas da década de 1990, em

especial o currículo espanhol, propõem os conteúdos em conceituais,

procedimentais e atitudinais. Os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN,1998 p.

49) explicitam que:

Conceitos permitem interpretar fatos e dados e são generalizações úteis que permitem organizar a realidade, interpretá-la e predizê-la. Os procedimentos por sua vez estão direcionados à consecução de uma meta e desempenham um papel importante pois grande parte do que se aprende em Matemática são conteúdos relacionados a procedimentos. Os procedimentos não devem ser encarados apenas como aproximação metodológica para aquisição de um dado conceito, mas como conteúdos que possibilitem o desenvolvimento de capacidades relacionadas com o saber fazer, aplicáveis a distintas situações. Esse “saber fazer” implica construir as estratégias e os procedimentos, compreendendo os conceitos e processos neles envolvidos. As atitudes envolvem o componente afetivo – predisposição, interesse, motivação – que é fundamental no processo de ensino e aprendizagem. As atitudes têm a mesma importância que os conceitos e procedimentos, pois, de certa forma, funcionam como condições para que eles se desenvolvam.

No Chile, documentos oficiais, como Implementación Curricular em el

Aula Matemáticas Primer Ciclo Básico (NB1 y NB2)60 de 2004 e Programa de

Estúdio – Educación Matemática do Primer Año Básico (pag. 20) ao Octavo Año

Básico, ressaltam que aprender Matemática ajuda na compreensão da realidade

e proporciona ferramentas para desenvolver situações e problemas na vida

cotidiana. Destaca entre as ferramentas matemáticas, o cálculo e a análise da

informação que surgem de diversas fontes, a capacidade de generalizar

situações, formular, conjecturar, validar os resultados e selecionar estratégias

para resolver problemas. Essas habilidades contribuem para o desenvolvimento

de pensamento lógico, ordenado, critico e autônomo e desenvolvem atitudes tais

como a precisão, o rigor, a perseverança e confiança em si mesmo as quais se 60 Implementación Curricular en el Aula Matemáticas Primer Ciclo Básico (NB1 y NB2). Seguimiento a la Implementación Curricular Unidad de Currículum y Evaluación, Ministerio de Educación del Chile.

114

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valorizam não somente na Ciência e a Tecnologia, mas, também em todos os

aspectos da vida cotidiana.

No programa de estudo da Matemática do 1º ao 8º anos é ressaltado

que o eixo Resolução de problemas está em conexão em os outros eixos e

justifica-se pelo fato de Resoluções de Problemas constituírem-se como núcleo

central da atividade matemática e em consequência deve ocupar um lugar

importante na aprendizagem dessa disciplina desde os níveis mais elementares.

Esse eixo, segundo o documento tem a ver com o desenvolvimento das

habilidades do aluno para resolver problemas para o qual se fomenta a

apropriação dos aspectos básicos das etapas do processo de resolução e o

desenvolvimento da confiança na própria capacidade de formular e resolver

problemas.

As orientações didáticas, nesse documento, destacam a importância do

uso de situações contextualizadas, atividades desafiadoras, o uso do erro no

processo de ensino aprendizagem, motivar os alunos, da descoberta dos padrões

e regularidades etc.

Os PCN, ao definirem os objetivos para o Ensino Fundamental,

destacam a importância de o aluno valorizar a Matemática como instrumental

para compreender o mundo à sua volta e de vê-la como área do conhecimento

que estimula o interesse, a curiosidade, o espírito de investigação e o

desenvolvimento da capacidade para resolver problemas.

Ressaltam a importância do estabelecimento de conexões da

Matemática com as demais disciplinas e, em particular, com os conteúdos

relacionados à Convivência Social e Ética, de modo a romper o isolamento que a

caracteriza nos currículos e a derrubar crenças e preconceitos ligados ao

conhecimento matemático, retomando o pressuposto de que acesso ao

conhecimento é a possibilidade de desenvolver a consciência sobre a importância

da Matemática nas ciências básicas e aplicadas.

No Chile também é reforçada a idéia de trabalho em conexões com

outras áreas de conhecimento privilegiando e valorizando o desenvolvimento de

115

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habilidades, atitudes e a ética. No Decreto 40 del año 199661 que Establece

Objetivos Fundamentales y Contenidos Mínimos Obligatorios para la Educación

Básica y fija normas generales para su aplicación e o Guía Ayuda Mineduc

/Educación Básica, 2010 é explicitado que:

Los Objetivos Fundamentales (OF) son los aprendizajes que los alumnos/as deben lograr al finalizar los distintos niveles de la educación Básica y Media. Se refieren a conocimientos, habilidades y actitudes que han sido seleccionados considerando que favorezcan el desarrollo integral de alumnos/as y su desenvolvimiento en distintos ámbitos, lo que constituye el fin del proceso educativo.

El Marco Curricular distingue entre dos clases de Objetivos Fundamentales:

a. Objetivos Fundamentales Verticales: Son los aprendizajes directamente vinculados a los sectores curriculares, o a las especialidades de la formación diferenciada. (Educación Media).

b. Objetivos Fundamentales Transversales: Corresponden a los objetivos formativos que subyacen al conjunto del currículum. Tienen un carácter comprensivo y general orientado al desarrollo personal, cognitivo, social y moral de los alumnos.

Los OFT deben ser desarrollados tanto a través del currículum manifiesto de los diferentes sectores curriculares, como a través de otras actividades propias del establecimiento educacional y del clima de convivencia interno. Su fin es:

• Contribuir a fortalecer la formación ética de la persona;

• orientar el proceso de crecimiento y autoafirmación personal;

• orientar la forma en que la persona se relaciona con otras personas y con el mundo;

• contribuir al desarrollo del pensamiento crítico – reflexivo.

Los contenidos Mínimos Obligatorios (CMO) explicitan los conocimientos, habilidades y actitudes implicados en los Objetivos Fundamentales y, que el proceso de enseñanza debe convertir de oportunidades de aprendizaje para cada estudiante.

Os Parâmetros Curriculares Nacionais para o ensino da Matemática

foram concebidos a partir de estudos e reflexões apresentadas por pesquisas e

debates decorrentes dos anos anteriores à sua elaboração tendo como objetivo

principal adequar o trabalho escolar a uma nova realidade, marcada pela

crescente presença dessa área do conhecimento em diversos campos da

atividade humana. Nesse documento (PCN, 1998 p. 56) são propostos os

seguintes princípios:

61 http://www.mineduc.cl/biblio/documento/dec19960040.pdf

116

116

• a Matemática é importante na medida em que a sociedade necessita e se utiliza, cada vez mais, de conhecimentos científicos e recursos tecnológicos, que por sua vez são essenciais para a inserção das pessoas como cidadãos no mundo do trabalho, da cultura e das relações sociais;

• a atividade matemática escolar não é olhar para coisas prontas e definitivas”, mas a construção e a apropriação de um conhecimento pelo aluno, que se servirá dele para compreender e transformar sua realidade;

• recursos didáticos como livros, vídeos, televisão, rádio, calculadoras, computadores, jogos e outros materiais têm um papel importante no processo de ensino e aprendizagem. Contudo, eles precisam estar integrados a situações que levem ao exercício da análise e da reflexão;

Nas análises dos documentos oficiais e dos Programas de Estúdio que

trazem a lista de conteúdo para cada ano de escolaridade identificamos

pressupostos teóricos tais como o de resolução de problemas, o estabelecimento

de conexões com outras áreas de conhecimento, preocupações com o registro de

representações, o papel do jogo no processo de ensino aprendizagem, o uso de

tecnologias, o papel do erro no ensino da matemática, entre outros presentes nos

documentos oficiais brasileiros, em particular, os Parâmetros Curriculares para o

Ensino da Matemática.

Nos currículos de Matemática do Brasil e Chile é marcante a presença

da recomendação do uso da Resolução de Problema preconizada pelo National

Council of Teachers of Mathmatics (NTCM) na década de 1980 (Lorenzato e Vila,

1993), bem como da concepção construtivista (Coll et al., 2009).

Nos dois países é ressaltada a ideia de que aprender Matemática

possibilita ao indivíduo uma poderosa ferramenta para compreensão e resolução

de problemas na sociedade. As apreensões que Fey (1994) manifesta sobre qual

o papel da Matemática na formação dos alunos, parece-nos que Brasil e Chile

entendem que a Matemática a ser ensinada deverá ser aquela que permita o

exercício da cidadania estabelecendo a elementarização da disciplina.

Os documentos curriculares de Brasil e Chile sugerem que ao

apresentar a Matemática para os alunos essa tenha significado para suas vidas.

O conhecimento matemático deverá estar em conexão com outras áreas de

conhecimentos perpassando pelos temas transversais (ética, saúde, meio

117

117

ambiente, educação sexual e pluralidade cultural), que contribuem na formação

cidadã dos alunos.

Ao analisarmos as dimensões do currículo implícitas ou explicitas nos

currículos de Matemática dos dois países desvelamos o que Rico (1997)

denomina de Justificativa funcional, pois nos documentos oficiais do Brasil e Chile

são marcantes as orientações no que se refere à formação cidadã e preparação

para a vida produtiva dos alunos.

Nos PCN encontramos:

Falar em formação básica para a cidadania significa refletir sobre as condições humanas de sobrevivência, sobre a inserção das pessoas no mundo do trabalho, das relações sociais e da cultura e sobre o desenvolvimento da crítica e do posicionamento diante das questões sociais. Assim, é importante refletir a respeito da colaboração que a Matemática tem a oferecer com vistas à formação da cidadania(BRASIL: 1996, p. 26).

Nos PE/CHILE obtem-se a afirmação:

(…) El proceso de aprender matemática, por lo tanto, interviene en la capacidad de la persona para sentirse un ser autónomo y valioso en la sociedad. En consecuencia, la calidad, pertinencia y amplitud de ese conocimiento afecta las posibilidades y la calidad de vida de las personas, y a nivel de la sociedad, afecta el potencial de desarrollo del país (PE/CHILE, 2010 p. 20).

Três das quatro dimensões que definem as finalidades da Educação

Matemática, que Rico (1997) sinaliza, se configuram presentes na organização

dos currículos de Matemática do Brasil e Chile.

A dimensão social está contemplada nas orientações e sugestões de

atividades e de encaminhamentos destacando a importância das ferramentas

matemáticas para resolução de problemas.

No bloco de conteúdos sobre Tratamento da Informação destacamos

as orientações que corroboram com a explicitação dessa dimensão social.

118

118

Los gráficos de líneas y barras múltiples no solo amplían el repertorio de herramientas que los estudiantes tienen para representar información, sino que también les permitirá analizar la relación entre variables y comparar dos o más conjuntos de datos. En la construcción de gráficos de líneas y barras se debe tener especial cuidado en guiar a los estudiantes en la adecuada construcción de los intervalos de los ejes, tanto en la secuencia de los valores como las magnitudes que se representan. Lo anterior suele ser un error que se repite con frecuencia y que origina interpretaciones equivocadas y errores en las conclusiones establecidas (PE/CHILE, 2010 p. 40)

Nos PCN, também no bloco Tratamento da Informação, as orientações

reforçam a dimensão social do currículo.

(...) Com relação à estatística, a finalidade é fazer com que o aluno venha a construir procedimentos para coletar, organizar, comunicar e interpretar dados, utilizando tabelas, gráficos e representações que aparecem frequentemente em seu dia-a-dia.

Relativamente à combinatória, o objetivo é levar o aluno a lidar com situações-problema que envolva combinações, arranjos, permutações e, especialmente, o princípio multiplicativo da contagem. Com relação à probabilidade, a principal finalidade é a de que o aluno compreenda que grande parte dos acontecimentos do cotidiano é de natureza aleatória e é possível identificar prováveis resultados desses acontecimentos. As noções de acaso e incerteza, que se manifestam intuitivamente, podem ser exploradas na escola, em situações nas qual o aluno realiza experimentos e observa eventos (em espaços equiprováveis) (BRASIL, 1996 p. 40).

Importante destacar aqui, que a dimensão social está presente em

todos os blocos de conteúdos dos currículos prescritos do Brasil e Chile, assim

apenas tomamos, como exemplo para citação, um desses blocos:

Identificamos também a dimensão educativa, presentes nos

documentos dos dois países, pressupondo que o ensino de Matemática na

dimensão educativa tem importância no desenvolvimento do raciocínio dos

alunos, levando-os a compreenderem padrões e regularidades. Nos PCN tem-se

a afirmação de que:

(...) a aprendizagem em Matemática está ligada à compreensão, isto é, à atribuição e apreensão de significado; apreender o significado de um objeto ou acontecimento pressupõe identificar suas relações com outros objetos e acontecimentos. (...) O significado da Matemática para o aluno resulta das conexões que ele estabelece entre ela e as demais áreas, entre ela e os Temas Transversais, entre ela e o cotidiano e das conexões que ele estabelece entre os diferentes temas matemáticos (BRASIL, 1996, p. 57)

No Plano de Estudo chileno também é proposto que:

119

119

El conocimiento matemático y la capacidad para usarlo tienen profundas e importantes consecuencias en desarrollo, desempeño y vida de las personas. En efecto, el entorno social valora el conocimiento matemático y lo asocia a logros, beneficios y capacidades de orden superior. De esta forma el aprendizaje de la la matemática influye en el concepto que niños, jóvenes y adultos construyen sobre sí mismos y sus capacidades (PE/CHILE, 2010 p. 20)

A dimensão política que se refere ao papel que a Matemática pode

desempenhar na vida do cidadão em uma sociedade cada vez mais dependente

pela tecnologia, também se revela nos documentos oficiais dos dois países.

Na lista de conteúdos e nas orientações curriculares estão presentes

indicativos de utilização de recursos tecnológicos tais como calculadoras e

computadores. São propostos aos professores, atividades e encaminhamentos

que os instigue a analisar os resultados da aplicação dessas atividades e de

como conduzi-las durante suas aulas, fomentando o trabalho com padrões e

regularidades, levando os alunos a argumentarem suas hipóteses e conclusões e

as validá-las.

Ainda, com vistas a uma formação cidadã, nos documentos oficiais é

reforçada a necessidade de que os conhecimentos matemáticos estejam

conectados com propostas de urgência social numa perspectiva de

transversalidade desempenhando um papel para o desenvolvimento da

aprendizagem de conceitos, procedimentos e atitudes.

Nesse sentido, a seleção de conteúdos perpassa por temas transversais

como ética:

Em sociedade, a Matemática usufrui de um status privilegiado em relação a outras áreas do conhecimento, e isso traz como consequência o cultivo de crenças e preconceitos. Muitos acreditam que a Matemática é direcionada às pessoas mais talentosas e também que essa forma de conhecimento é produzida exclusivamente por grupos sociais ou sociedades mais desenvolvidas (BRASIL, 1998, p. 29).

A história da humanidade já mostrou que as pessoas ao se depararem

com situações cotidianas desenvolvem capacidades de natureza prática para lidar

com a atividade matemática permitindo o reconhecimento dos problemas,

tomadas de decisões, buscar e selecionar informações, adotar procedimentos

120

120

para a resolução, etc. Assim é importante não subestimar o potencial matemático

dos alunos em sala de aula.

Outro tema transversal considerado é orientação sexual e nesse sentido

um bloco temático da Matemática tem destaque quando trata da orientação

sexual. É o Tratamento da Informação, pois é possível analisar dados estatísticos

o aumento de doenças entre homens e mulheres, os índices da incidência de

gravidez prematura e discutir as informações veiculadas sobre doenças

sexualmente transmissíveis etc.:

As medidas estatísticas permitem aos jovens compreender, por exemplo, a evolução da Aids nos diferentes grupos: se, por um lado, o número de homens infectados é maior que o de mulheres, por outro, a taxa de crescimento da doença entre as mulheres é maior do que a dos homens o que leva a prever que no futuro serão elas as maiores vítimas. Por outro lado situar num mesmo patamar os papéis desempenhados por homens e mulheres na construção da sociedade contemporânea ainda encontra barreiras que ancoram expectativas bastante diferenciadas com relação ao papel futuro de meninos e meninas (BRASIL, 1998, p. 30).

O tema transversal meio ambiente também tem sua parcela de

contribuição no que tange ao ensino de Matemática, pois:

O estudo detalhado das grandes questões do Meio Ambiente, poluição, desmatamento, limites para uso dos recursos naturais, sustentabilidade, desperdício, camada, de ozônio pressupõe que o aluno tenha construído determinados conceitos matemáticos (áreas, volumes, proporcionalidade etc.) e procedimentos (coleta, organização, interpretação de dados estatísticos, formulação de hipóteses, realização de cálculos, modelização, prática da argumentação etc.).Desse modo, as possibilidades de trabalhar as questões do Meio Ambiente em Matemática parecem evidentes (BRASIL, 1998, p. 31).

No bloco Tratamento da informação outras questões interessantes de

serem analisadas e compreendidas via Matemática muitas vezes estão

relacionadas à saúde que é outro tema transversal.

As questões relacionadas à saúde no Brasil são bastante complexas e muitas vezes contraditórias. Por um lado, há informações de que a média de nossos padrões de saúde é aceitável dentro dos critérios apresentados pela Organização Mundial de Saúde. Por outro, existem estatísticas alarmantes quanto aos índices da fome, da subnutrição e da mortalidade infantil em várias regiões do país (BRASIL, 1998, p. 32).

121

121

Esse tema permite explorar as relações de número de médicos e

número de habitantes de uma determinada cidade, o tempo real dos médicos, etc.

A análise dessas situações, tão presentes na vida da maioria dos alunos, é bastante favorável para que eles compreendam a relatividade das medidas estatísticas e de como elas podem ser manipuladas, em função de determinados interesses (BRASI, 1998, p. 33).

Destacamos também o tema transversal Pluralidade Cultural como

outro elemento inserido no contexto da elaboração do currículo de Matemática:

A construção e a utilização do conhecimento matemático não são feitas apenas por matemáticos, cientistas ou engenheiros, mas, de formas diferenciadas, por todos os grupos socioculturais, que desenvolvem e utilizam habilidades para contar, localizar, medir, desenhar, representar, jogar e explicar, em função de suas necessidades e interesses. Valorizar esse saber matemático cultural e aproximá-lo do saber escolar em que o aluno está inserido, é de fundamental importância para o processo de ensino e aprendizagem (BRASIL: 1998, p. 33).

Finalmente temos o tema Trabalho e Consumo:

Uma primeira aproximação entre o tema do Trabalho e a Matemática está em reconhecer que o conhecimento matemático é fruto do trabalho humano e que as idéias, conceitos e princípios que hoje são reconhecidos como conhecimento científico e fazem parte da cultura universal, surgiram de necessidades e de problemas com os quais os homens depararam ao longo da história e para os quais encontraram soluções brilhantes e engenhosas, graças a sua inteligência, esforço, dedicação e perseverança (BRASIL, 1998, p. 33).

Esse tema tem forte ligação com o ensino da Matemática ligada às

práticas cotidianas como consumidor consciente, pois:

Aspectos ligados aos direitos do consumidor também necessitam da Matemática para serem mais bem compreendidos. Por exemplo, para analisar a composição e a qualidade dos produtos e avaliar seu impacto sobre a saúde e o meio ambiente, ou para analisar a razão entre menor preço/maior quantidade. Nesse caso, situações de oferta como, compre 3 e pague 2, nem sempre são vantajosas, pois geralmente são feitas para produtos que não estão com muita saída, portanto, não há, muitas vezes, necessidade de comprá-los em grande quantidade, ou que estão com os prazos de validade próximos do vencimento(...).

(...) Habituar-se a analisar essas situações é fundamental para que os alunos possam reconhecer e criar formas de proteção contra a propaganda enganosa e contra os estratagemas de marketing a que são submetidos os potenciais consumidores (BRASIL, 1998, p. 35).

O esquema a seguir apresenta os objetivos gerais referentes ao

currículo brasileiro.

122

122

No Chile identificamos orientações no sentido de propor uma

Matemática que leve os alunos a compreenderem de maneira significativa seu

entorno.

Los aprendizajes que promueven el marco curricular y los programas de estudio apuntan a un desarrollo integral de los estudiantes. Para estos efectos, estos aprendizajes involucran tanto al desarrollo de conocimientos propios de la disciplina, como habilidades y actitudes.

(…) Se busca que los estudiantes pongan en juego estos conocimientos, habilidades y actitudes para enfrentar diversos desafíos, tanto en el contexto del sector de aprendizaje, como al desenvolverse en su entorno. Esto supone una orientación hacia el logro de competencias, entendidas como la movilización de conocimientos, habilidades y actitudes para desarrollar de manera efectiva una acción determinada (PE, 2010 p. 5).

123

123

A educação chilena também se caracteriza perpassando pelos temas

transversais e apresentam Objetivos Fundamentales Transversales (OFT)

destacando que:

(OFT) son aprendizajes que tienen un carácter comprensivo y general, y que apuntan al desarrollo personal, ético, social e intelectual de los estudiantes. Forman parte constitutiva del currículum nacional, y por lo tanto los establecimientos deben hacerse cargo de promover su logro (PE, 2010 p. 5).

O esquema a seguir nos dá uma visão geral de que todas as

disciplinas são desenvolvidas com caráter de transversalidade.

Figura 3 – Caráter de Transversalidade

Os componentes simbólicos que se caracterizam pelas atividades de

contar, localizar, medir, desenhar, jogos e explicar configuram-se presentes na

estrutura curricular de Matemática dos dois países.

O componente social que está relacionado com o trabalho escolar por

meio de projetos não é proposto explicitamente no currículo brasileiro, porém, nas

orientações didáticas – metodológicas é sugerido que haja interação entre os

alunos no desenvolvimento das atividades escolares, trocando ideias e

experiências que contribuam para as escolhas dos procedimentos para a

124

124

resolução de determinadas situações – problema. Ao nosso ver, essas

orientações aventam possibilidades de o professor desenvolver projetos escolares

fomentando a interação entre os alunos, alunos e professor, etc.

No Chile é mencionada a possibilidade de se trabalhar com projetos

educativos institucionais no art. 3º da lei 20.370/2009. Tais projetos são propostos

para serem desenvolvidos na escola e fora dela. Nos demais documentos chileno

por nós analisados nenhuma indicação sobre o uso de projetos na sala de aula.

Já o componente cultural que Bishop (1991) sugere, e que se baseia

em investigações na sala de aula estão presentes, principalmente, pelo fato da

estrutura curricular dos dois países considerarem como ponto de partida do

processo de ensino e aprendizagem da Matemática a Resolução de Problemas

que permeia a experimentação e reflexão e ainda, a argumentação e o registro

escrito pelos alunos.

Os esquemas com objetivos do ensino, que apresentamos (fig. 2 e 3), dos

dois países, remetem-nos a um conjunto de orientações e objetivos enfatizados

nos documentos prescritos de Brasil e Chile e nos levam a questionar:

“E os princípios básicos do componente cultural que Bishop (1991) ressalta

ser importantes e que devem ser inseridos nos currículos de Matemática se

revelam nos currículos de Matemática de Brasil e Chile”?

Verificamos que o princípio da representatividade, que deveria

representar adequadamente a cultura Matemática como por exemplo: as

demonstrações Matemáticas, não estão presentes nos documentos oficiais dos

dois países. Talvez isso justifica-se pelo fato do currículo de Matemática ter uma

finalidade: a de formar cidadãos para o mercado de trabalho em detrimento a

cultura Matemática.

O princípio do formalismo que tem como premissa levar o aluno a

compreender a Matemática como um fenômeno cultural, ou seja, estabelecendo

conexões entre a Matemática e a atual sociedade, é identificado nas atividades

Matemáticas, propostas pelos dois países. Tais atividades são elaboradas de tal

forma que estabelecem interfaces com outras áreas de conhecimento,

possibilitando aos alunos uma compreensão da importância dos conhecimentos

matemáticos para a sociedade na qual ele está inserido.

125

125

Entendemos que o principio da acessibilidade ao qual Bishop (1991)

considera que os conteúdos propostos não podem estar fora das capacidades

intelectuais dos alunos, é revelado nos currículos dos dois países.

O princípio do poder explicativo que promove o ensino e aprendizagem

da Matemática considerando o entorno do aluno é presente na estrutura curricular

de Brasil e Chile, onde se propõe que as atividades tenham algum significado e

que atenda às individualidades dos alunos e permita o “fazer” e o “explicar”.

Finalmente o principio da concepção ampla e elementar está presente

no discurso referentes aos objetivos e orientações sobre o enfoque que a

Matemática precisa ter no processo de ensino e aprendizagem dos alunos. Esse

principio é uma continuação do principio do poder explicativo e que tem como

característica de proporcionar atividades mais complexas não reduzindo a

Matemática a situações – problema simplista.

4.6 Ênfase nas aplicações práticas ou nas especulações teóricas

Neste item temos como objetivo analisar qual ênfase é dada nos

documentos curriculares quanto às aplicações práticas e/ou especulações

teóricas que Almeida (2011) entende como importante na análise de curriculos de

Matemática e que discorremos na seção 1.3.2.3.

Nos PCN há a preocupação com as aplicações práticas no processo de

ensino e aprendizagem da Matemática:

As necessidades cotidianas fazem com que os alunos desenvolvam capacidades de natureza prática para lidar com a atividade matemática, o que lhes permite reconhecer problemas, buscar e selecionar informações, tomar decisões. Quando essa capacidade é potencializada pela escola, a aprendizagem apresenta melhor resultado” (BRASIL, 1996, p. 37).

Essa preocupação manifesta-se no item “conhecimento matemático”

proposto nos PCN que ressalta:

126

126

(...) Duas forças indissociáveis estão sempre a impulsionar o trabalho em Matemática. De um lado, o permanente apelo das aplicações às mais variadas atividades humanas, das mais simples na vida cotidiana, às mais complexas elaborações de outras ciências. De outro lado, a especulação pura, a busca de respostas a questões geradas no próprio edifício da Matemática. A indissociabilidade desses dois aspectos fica evidenciada pelos inúmeros exemplos de belas construções abstratas originadas em problemas aplicados e, por outro lado, de surpreendentes aplicações encontradas para as mais puras especulações.

A Matemática faz-se presente na quantificação do real, contagem, medição de grandezas e no desenvolvimento das técnicas de cálculo com os números e com as grandezas. No entanto, esse conhecimento vai muito além, criando sistemas abstratos, ideais, que organizam, inter-relacionam e revelam fenômenos do espaço, do movimento, das formas e dos números, associados quase sempre a fenômenos do mundo físico (BRASIL, 1996, p. 25).

No documento BC/CHILE selecionamos um trecho do texto que

descreve o aprendizado em Matemática de caráter prático levando o aluno a

transcender para o abstrato.

Aprender matemática es fundamental para la formación general de un estudiante, ya que le entrega herramientas únicas y poderosas para entender el mundo. Estas incluyen la habilidad de resolver problemas, el razonamiento lógico y el pensamiento matemático con el mundo que los rodea, es decir, el quehacer práctico con la reflexión abstracta. La Matemática está siempre presente en la vida cotidiana y juega un papel fundamental en la toma de decisiones, además de ser una herramienta imprescindible en áreas como la ciencia y la tecnología, la medicina, la economía, el estudio del medio ambiente, entre otras. (BC/CHILE, 2011)

Almeida (2011) em sua tese de doutorado apresentou as categorias

que utilizou para seus estudos sobre qual ênfase é dada nos currículos de

Matemática no Ensino Médio e, dessas categorias escolhemos algumas que

julgamos ser pertinente para nossas análises. São elas: Aplicações Práticas,

Cotidiano, Natureza da Matemática, Temas Transversais e Especulações

Teóricas.

A seguir apresentamos a análise quanto às frases que identificam os

componentes relacionados ao cotidiano, a natureza da Matemática, aos temas

transversais e especulações teóricas propostos para o Ensino Fundamental no

Brasil.

As frases que apresentamos como exemplos foram extraídas dos

textos propostos nos currículos oficiais e prescritos para os alunos que tem de 6 a

127

127

10 anos de idade. Evitamos frases repetidas ou que apresentavam palavras

sinônimas.

Nos PCN encontramos na apresentação e nas justificativas o porquê

ensinar Matemática no Ensino Fundamental, frases como essas a seguir:

<A Matemática caracteriza-se como uma forma de compreender e atuar no mundo e...>

<o vínculo da Matemática com as situações do cotidiano>

< para a solução tanto de problemas do cotidiano como de problemas ligados à investigação científica.>

< os conhecimentos matemáticos como meios que o auxiliam a compreender e atuar no mundo.>

<o aspecto estético da Matemática>

< identificar os conhecimentos matemáticos como meios para compreender e transformar o mundo à sua volta e perceber o caráter de jogo intelectual>

<comunicar-se matematicamente>

<sentir-se seguro da própria capacidade de construir conhecimentos matemáticos>

Desconsideramos frases repetidas que tinham como intencionalidade

reforçar determinados argumentos sobre os benefícios a fim de alcançar os

objetivos propostos, nos documentos oficiais e prescritos, para o processo de

ensino e aprendizagem da Matemática. Para calcularmos a porcentagem, nos

quadros a seguir, utilizamos a fórmula:

Porcentagem = ∑ if

linha da if

128

128

Quadro 5 – Análise de conteúdo – Orientações Curric ulares do Brasil – 1º e 2º Ciclos (alunos com idades entre 6 e 10 anos)

Categorias

Componentes Frases selecionadas Frequência ( f i )

%

Cotidiano

Vida real Dia-a-dia Fora da escola

• Reconhecimento de números no contexto diário

• Número como código na organização de informações (linhas de ônibus, telefones, placas de carros, registros de identidade, bibliotecas, roupas, calçados);

• Cédulas e moedas que circulam no Brasil e de possíveis trocas entre cédulas;

• Uso de instrumentos de medida conhecidos — fita métrica, balança, recipientes de um litro, etc.

• Identificação de unidades de tempo: dia, semana, mês, bimestre, ano e utilização do calendário.

• Identificação dos elementos necessários para comunicar o resultado de uma medição e produção de escritas que representem essa medição;

• Leitura de horas, comparando relógios digitais e de ponteiros;

7

39

Natureza da Matemática

Utilitária

Ferramenta

• Recursos que funcionam como ferramentas de visualização;

• Criação de registros pessoais para comunicação das informações coletadas;

• Utilização de calculadoras para produzir escritas numéricas;

• Construção e representação de formas geométricas;

• Produção de textos escritos a partir da interpretação de gráficos e tabelas.

5

28

Temas transversais

Meio ambiente Saúde

0

0

Especulações teóricas.

Pensamento matemático Abstração Própria Matemática Estético

• Representação de posição e de movimentação no espaço a partir da análise de maquetes, esboços, croquis e itinerários;

• Percepção de semelhanças e diferenças entre...;

• Utilizar de representações algébricas para expressar generalizações ...;

• Descrição da localização e movimentação de pessoas ou objetos no espaço, usando sua própria terminologia;

• Construção dos fatos básicos das operações a partir de situações-problema, para constituição de um repertório a ser utilizado no cálculo;

• Comparação de grandezas;

6

33

∑= 18

129

129

Tal como se pode observar no quadro acima, no Ensino Fundamental

Ciclos I e II no Brasil há uma maior ênfase, que está presente nos documentos

oficiais e prescritos, sendo referente às aplicações práticas.

Quadro 6 – Análise de conteúdo – Conteúdos Mínimo s Obrigatórios do Chile – Primeiro ao

quarto Anos Básicos ( alunos com idades entre 6 e 1 0 anos)

Categorias


%

Cotidiano


• reconocer la diversidad de formas de los objetos que les rodean.

• Uso de fracciones en contexto cotidiano;

• Resolução de situações – problema.

3

25


Utilitária

Ferramenta

• Estimación de una cantidad o medida, a partir de la visualización y manipulación tanto de conjuntos de objetos como de magnitudes físicas;

• Medición de longitud, volumen, masa

(peso) y reconocimiento de unidades correspondientes a cada una de estas magnitudes (metro, centímetro; litro, centímetro cúbico; kilogramo, gramo).

• … con apoyo de material concreto; • en manipulaciones y visualizaciones de

material concreto; • repertorio de herramientas; • Uso de tablas, cuadros de doble

entrada.

6

50

Temas transversais


0

0

Especulações teóricas


• el razonamiento lógico y el pensamiento matemático con el mundo que los rodea, es decir, el quehacer práctico con la reflexión abstracta.;

• el aspecto estético da Matemática. • Estimación y comparación de

cantidades…;

3

25

∑= 12

No Chile também são enfatizadas as aplicações práticas.

130

130

Quadro 7 – Análise de conteúdo – Orientações Curric ulares do Brasil – 3º e 4º Ciclos (alunos com idades entre 11 a 14 anos)

Categorias


%

Cotidiano


• Em diferentes contextos – cotidiano e histórico;

• Uso de instrumentos de medida conhecidos — fita métrica, balança, recipientes de um litro, etc.

• Resolução de situações – problema. • Reconhecimento de números inteiros em

diferentes contextos — cotidianos e históricos

4

22,2


Utilitária

Ferramenta

• recursos que funcionam como ferramentas de visualização,

• Interpretação, a partir de situações-problema (leitura de plantas, croquis, mapas);

• Utilização de instrumentos de medida, como régua, escalímetro, transferidor, esquadro, trena, relógios, cronômetros, balanças para fazer medições,

• Construção do espaço amostral; • Como ferramenta para realizar

determinadas atividades

5

27,8

Temas transversais


0

0



• Relacionar idéias matemáticas entre si; • Compreensão do sistema de numeração; • Tradução de situações-problema por

equações ou inequações do primeiro grau; • Verificar propriedades de triângulos e

quadriláteros pelo reconhecimento dos casos de congruência de triângulos;

• Algarismo duvidoso, algarismo significativo e erro de medição, na utilização de instrumentos de medida;

• Utilização de expressões algébricas para; • Desenvolvimento do conceito de

congruência de figuras planas a partir de transformações (reflexões em retas, translações, rotações e composições destas), identificando as medidas invariantes (dos lados, dos ângulos, da superfície).

• Identificação de um número irracional como um número de representação decimal infinita

• significado à potência de expoente nulo e negativo pela observação de regularidades e pela extensão das propriedades das potências com expoente positivo.

9

50

∑= 18

131

131

Na lista de conteúdos propostos para o 3º e 4º ciclos do Ensino

Fundamental no Brasil, e nas orientações didático-metodológicas proposta para

esse segmento educacional, observou-se que há um equilíbrio entre as

especulações práticas e teóricas. Possivelmente, justificada pelo fato de ser a

etapa final do Ensino Fundamental, com a intenção de que seja de oferecimento

de um ensino de Matemática aos alunos, além de possibilitar o uso desse

conhecimento para suas vidas produtivas em sociedade e ao mesmo tempo uma

compreensão da própria Matemática como um campo de conhecimento

organizado e estruturado. Nos conteúdos propostos para o Ensino Fundamental,

não identificamos nenhum aspecto que relacione os conceitos com os temas

transversais.

Quadro 8 – Análise de conteúdo – Conteúdos Mínimos Obrigatórios do Chile – Quinto ao

oitavo Anos Básicos ( alunos com idades entre 11 e 14 anos)

Categorias


%

Cotidiano


• ...em diferentes contextos – cotidiano e histórico;

• Formular y conjecturar e aplycar...;

• ...uso de instrumentos de medida conhecidos — fita métrica, balança, recipientes de um litro, etc.

• Resolver problemas em situaciones variadas...;

4

27


Utilitária

Ferramenta

• ...recursos que funcionam como ferramentas de visualização,

• ...construção do espaço amostral como ferramenta para realizar determinadas atividades

2

13

Temas transversais


0

0



• Relacionar idéias matemáticas entre si;

• Compreensão do sistema de numeração;

• Reconocer regularidades en la multiplicación por potencias;

• Mínimo Común Múltiplo y el Máximo Común Divisor

• Calcular expresiones algebraicas reemplazando la letras por el valor numérico;

• Representar generalizaciones que surjan a partir de relaciones numéricas utilizando letras como variables;

• Reconocer funciones en diversos contextos, identificar sus elementos y representar diversas situaciones por meio de ellas.

• Establecer estrategias

• Utilização de expressões algébricas para;

9

60

∑= 15

132

132

No Chile, constatamos que a ênfase nos documentos curriculares para

o ensino da Matemática, está nas especulações teóricas, embora, tenhamos

identificado uma presença marcante, nos documentos oficiais, das orientações no

sentido de se propor um ensino da Matemática para formar cidadãos, que possam

conviver numa sociedade, resolvendo problemas por meio dos conhecimentos

matemáticos.

4.6 Com relação à seleção de conteúdos

A organização dos conteúdos de Matemática é apresentada de forma

linear e traz no texto um discurso para estimular os alunos a refletirem sobre o

objeto de estudo a partir da visualização, manipulação e experimentação.

Nessa organização dos conteúdos são sugeridos, textualmente, dois

aspectos importantes no processo de ensino e aprendizagem da Matemática.

Primeiro, a importância do significado da aprendizagem do conceito estudado e,

segundo, trabalhar os conteúdos sem esgotar num determinado momento,

retomando-os posteriormente, ou seja, propondo um currículo em espiral.

De maneira implícita fica subtendido que tais conhecimentos

matemáticos servirão a um propósito para uma sociedade produtiva, revelando

um aspecto para o qual Silva (2009), chama a atenção: o de que a justificação do

ensino pela aplicação sabendo “por quem” ou “onde” é usado manifestando-se

aqui a distância crítica dos conteúdos da Educação que Skovsmose (2001)

defende com principio de um currículo democrático.

Os PCN destacam uma preocupação com a seleção de conteúdos na

organização curricular para o ensino da Matemática revelando a “riqueza”.

Um dos critérios de organização do currículo que Doll (1997) defende é

o de “responsabilidade”, devidamente proposto por Silva (2009):

Atualmente, há consenso a fim de que os currículos de Matemática para o ensino fundamental devam contemplar o estudo dos números e das Operações (no campo da Aritmética e da Álgebra), o estudo do espaço e das formas (no campo da Geometria) e o estudo das grandezas e das medidas (que permite interligações entre os campos da Aritmética, da

133

133

Álgebra, e da Geometria e de outros campos do conhecimento). Um olhar mais atento para nossa sociedade mostra a necessidade de acrescentar a esses conteúdos aqueles que permitam ao cidadão, tratar, as informações que recebe cotidianamente, aprendendo a lidar com dados estatísticos, tabelas e gráficos, a raciocinar utilizando idéias relativas à probabilidade e à combinatória (BRASIL,1998, p. 49).

Nos documentos, Bases Curriculares de Consulta Pública do Ministério

de Educacion Del Chile e nos Planos de Estúdio do primer ao octavo años

chileno, identificamos o critério “riqueza” e “responsabilidade”:

Para desarrollar los conceptos y habilidades básicas en Matemática, es necesario que el alumno descubra los conceptos trabajando en ámbitos numéricos pequeño, y siempre con material concreto. De esta manera se logrará una base sólida tanto en los conceptos de número y su operatoria como en geometría, álgebra, medición y datos. (BC/CHILE, 2011, p. 54).

Nos PCN também identificamos o critério que Silva (2009) entende por

“realidade” e “reflexão” e o que Doll (1997) estabelece como “relações”:

O desafio que se apresenta é o de identificar, dentro de cada um desses vastos campos que conceitos, procedimentos e atitudes são socialmente relevantes. Também apontar em que medida os conteúdos contribuem para o desenvolvimento intelectual do aluno, os seja, para a construção e coordenação do pensamento lógico-matemático, para o desenvolvimento da criatividade, da intuição, da capacidade de análise e de crítica, que constituem esquemas lógicos de referência para interpretar fatos e fenômenos (BRASIL, 1998, p. 49).

Nos documentos, Bases Curriculares e Consulta Pública do Ministério

de Educacion Del Chile e nos Planos de Estúdio do primer ao octavo años,

também evidenciamos os critérios que Silva (2009) entende por “realidade” e

“reflexão” e o que Doll (1997) estabelece como “relações”:

Es por esto que se ha considerado de gran importancia el proveer a los profesores de una estructura curricular con una secuencia y una progresión clara, para así dar continuidad al desarrollo de los conocimientos, y asegurando a lo s estudiantes un tránsito exitoso y sólido hacia el logro de los aprendizajes (BC/CHILE, 2011, p. 54).

Nesse sentido, não Identificamos na seleção de conteúdos conceituais,

o que Doll (1997) entende por “recursão”, pois, uma vez que esses estão

134

134

organizados linearmente, não fica claro, que o professor deva desenvolver suas

ações didáticas num movimento de retomada de conteúdos no mesmo ano letivo.

Nossa impressão é de que, fica a cargo do professor de trabalhar com

determinados conteúdos inseridos em outros contextos privilegiando o currículo

em espiral, pois nas orientações veiculadas nos PCN encontramos:

(...) Por outro lado, um conhecimento só é pleno se for mobilizado em situações diferentes daquelas que serviram para lhe dar origem. Para que sejam transferíveis a novas situações e generalizados, os conhecimentos devem ser descontextualizados, para serem novamente contextualizados em outras situações (BRASIL,1998, p. 36).

Nessa citação temos a clareza de que um conhecimento aprendido

deva ser utilizado em outros blocos temáticos e em situações diversas, tornando-

se um conhecimento apreendido. Portanto, o ensino e aprendizagem em

Matemática devem ser propostos numa perspectiva de retomada de conceitos

trabalhados anteriormente, seja em anos anteriores e/ou no mesmo ano letivo.

Nesse documento temos também:

Nos terceiro e quarto ciclos alguns conceitos serão consolidados, uma vez que eles já vêm sendo trabalhados desde os ciclos anteriores, como o conceito de número racional. Outros serão iniciados como noções/idéias que vão se completar e consolidar no ensino médio, como é o caso do conceito de número irracional (BRASIL, 1998, p. 49).

Nessa citação evidencia-se a intencionalidade de se trabalhar com o

currículo em rede, mas por segmentos educacionais, começando pelo Ensino

Fundamental Ciclo I, depois o Fundamental Ciclo II e finalmente o Ensino Médio.

Na seleção de conteúdos matemáticos propostos nos Planos de

Estúdio do primer ao octavo años, no Chile, também não identificamos esse

mesmo critério, o da “recursão”, assumindo não termos desvelado no currículo

brasileiro. 62

O critério “ressignificação” proposto por Silva (2009) está presente nas

orientações didático – metodológicas, que incentiva que um dos caminhos

possíveis para o “fazer Matemática” seja com o recurso à Historia da Matemática:

62 A questão é pressuposta, uma vez que não há dados científicos ou entrevistas, que podem afirmar tal questão.

135

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A História da Matemática pode oferecer uma importante contribuição ao processo de ensino e aprendizagem dessa área do conhecimento. Ao revelar a Matemática como uma criação humana, ao mostrar necessidades e preocupações de diferentes culturas, em diferentes momentos históricos, ao estabelecer comparações entre os conceitos e processos matemáticos do passado e do presente, o professor cria condições para que o aluno desenvolva atitudes e valores mais favoráveis diante desse conhecimento (BRASIL, 1998, p. 42).

Não identificamos nas Bases Curriculares, Consulta Pública do

Ministério de Educacion Del Chile e nos Planos de Estúdio do primer ao octavo

años, o critério de ressignificação, ou seja, não é mencionado explicitamente o

uso da História da Matemática como recurso para aprender Matemática.

O critério “rigor” ao qual Doll (1997) faz referência sobre a avaliação e

interpretação dos resultados dessa avaliação é fortemente marcante nos dois

países. No capítulo três apresentamos vários tipos de avaliações que são

propostas para os alunos matriculados nas escolas desses dois países. As

análises, por parte das secretarias responsáveis pelas avaliações oficiais

externas, têm notoriamente, permeadas mudanças nas propostas curriculares e

fomentado formações continuadas de professores e também, análises para

escolha dos livros didáticos.

A lista de conteúdos, os princípios norteadores e as orientações

curriculares compõem uma estrutura que é permeada por alertas e orientações

aos professores de como trabalhar e o que privilegiar no processo de ensino e

aprendizagem da Matemática.

Nos currículos de Matemática para o Ensino Fundamental nos dois

países temos algumas diferenças quanto às escolhas de conteúdos em cada ano

de escolaridade. Essas escolhas, a nosso ver, são subjetivas, pois, no Chile

dependendo do ano de escolaridade é dada maior ênfase a determinados

conteúdos e menos a outros.

Nos quatro primeiros anos de escolaridade no Chile a ênfase maior

está nas operações aritméticas. O trabalho com Grandezas e Medidas está

inserido nos demais blocos de conteúdos. O Tratamento da informação não está

sugerido nessa etapa educacional.

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O ensino nessa etapa é focado em Números, nas Operações

aritméticas e no tema Espaço e Forma.

Já no Brasil, o ensino da Matemática está centrado, no

desenvolvimento dos Números e operações, Espaço e Forma, Grandezas e

Medidas e Tratamento da Informação. Durante os anos de escolaridade do

Ensino Fundamental Ciclo I esses quatro blocos temáticos são trabalhados ano a

ano.

No Ensino Fundamental Ciclo II, os conteúdos elencados e propostos,

do 5º ao 8º anos, nos PCN são desenvolvidos, ao longo de cada ano letivo

perpassando pelos quatros blocos temáticos. No Chile os conteúdos

desenvolvidos, para os alunos com idade entre 11 e 14 anos também são

semelhantes aos propostos no Brasil.

4.6 Com relação a orientações metodológicas e didáticas

Nessa seção, explicitaremos nossas análises sobre as orientações

metodológicas e didáticas presentes nos documentos prescritos do Brasil e Chile.

Analisaremos se as influências da Educação Matemática estão presentes nesses

documentos em relação aos aspectos que podem favorecer a aprendizagem em

sala de aula, bem como quais princípios construtivistas perfazem as orientações

para a ação didática do professor.

4.6.1 Resolução de Problemas

Na década de 80, o Brasil também começa a questionar o período

chamado de Matemática Moderna (décadas de 60 e 70), ora mencionamos

anteriormente. Também existem discussões a respeito de resoluções de

problemas, que começam a ter destaque e tomam forma em 1996, com os

Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Fundamental (PCN).

137

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Nos PCN, as orientações reforçam o uso de resolução de problemas

como ponto de partida da atividade matemática:

a situação-problema é o ponto de partida da atividade matemática e não a definição. No processo de ensino e aprendizagem, conceitos, idéias e métodos matemáticos devem ser abordados mediante a exploração de problemas, ou seja, de situações em que os alunos precisem desenvolver algum tipo de estratégia para resolvê-las (BRASIL, 1998, p. 40-41)..

No Brasil a resolução de problemas é o eixo norteador e organizador do

processo de ensino aprendizagem em Matemática e apresenta os seguintes

princípios.

A resolução de problemas não é uma atividade para ser desenvolvida em paralelo ou como aplicação da aprendizagem, mas uma orientação para a aprendizagem, pois proporciona o contexto em que se pode apreender conceitos, procedimentos e atitudes matemáticas (BRASIL,1998, p. 40-41).

O currículo de Matemática chileno do primeiro ao oitavo ano está

estruturado e centrado na resolução de problemas:

La resolución de problemas debe ser el foco de toda la enseñanza de la Matemática, ya que da un sentido al aprendizaje de esta disciplina, permitiéndole al estudiante aplicar y hacer conexiones con sus experiencias cotidianas. La comprensión de todos los conceptos y habilidades que debe aprender un estudiante en estas edades; como el significado de los números, la operatoria básica, la geometría y la medición, se ven maximizados desde la comprensión cuando se enseñan desde ele foco de la resolución de problemas. Esta actividad fundamental proporciona al profesor una visión sobre el pensamiento matemático de sus estudiantes cuando éstos seleccionan las estrategias y comunican su pensamiento para solucionar el problema, y entregan una evidencia muy relevante a la hora de apoyar y ajustar la enseñanza a las necesidades de los alumnos (BC/CHILE, 2011).

Os planos de estudos chilenos apresentam, além dos conteúdos

distribuídos em eixos temáticos e a “resolução de problemas” como eixo

metodológico, orientações de como abordar os temas propostos para cada ano de

escolaridade destacando as necessidades e encaminhamentos metodológicos

afirmando:

Como ya se ha señalado, el eje Resolución de problemas atraviesa los otros ejes ya descritos; este hecho se justifica por cuanto la resolución de problemas constituye el núcleo central de la actividad matemática y, en consecuencia, debe ocupar un lugar importante en el aprendizaje de esta disciplina, desde los niveles más elementales. En este eje se

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diferencian claramente dos aspectos. El primero tiene que ver con el desarrollo de la habilidad para resolver problemas, para lo cual se propone la apropiación de los aspectos básicos de las etapas del proceso de resolución, y el desarrollo de la confianza en la propia capacidad de formular y resolver problemas. El segundo aspecto se refiere al tipo de problemas que los niños deben resolver, los que deberán tener relación con los contenidos de cada uno de los otros ejes, y no sólo con el eje de operaciones aritméticas (BASES CURRICULARES / CONSULTA PÚLICA, EDUCACIÓN BÁSICA, 2011).

As citações apresentadas confirmam que as orientações, referentes ao

uso da Resolução de Problemas, propostas pelo NCTM (1980) influenciaram os

documentos oficiais prescritos para o ensino de Matemática tanto no Brasil como

no Chile.

As orientações propostas nos documentos brasileiros e chilenos

revelam que “esse movimento de reforma na Educação Matemática, vigente até

hoje, aponta para a Resolução de Problemas como primeiro padrão de

procedimento para o trabalho com os padrões de conteúdo, sendo que o ensino

de Matemática por meio da resolução de problemas é nele fortemente

recomendado” (ONUCHIC e ALLEVATO, 2011 p.3).

4.6.2 Conceitos da Educação Matemática

O tópico almeja a perspectiva de elucidamento de perspectivas do

pesquisador Fey (1994), os quais restringem na concepção de que: “se a

Matemática escolar deve ser concebida com um olho na formação acadêmica, ou

se nas considerações das diferentes formas de as pessoas usarem Matemática

na vida diária e no trabalho”.

Ao refletir sobre esses anseios, emerge a questão de “quais seriam as

perspectivas de Matemática que desempenham um papel na tarefa de

elementarização na concepção curricular para a escola”.

Nesse sentido, a fim de buscar respostas para a questão, serão

analisados os aspectos de como se evidenciam tais perspectivas nos currículos

prescritos de Matemática, além de buscar informações sobre métodos de como

ensinar e aprender Matemática no ambiente escolar.

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139

4.6.2.1 Perspectivas de Matemática

Nos Parâmetros Curriculares Nacional para o Ensino Fundamental no

Brasil é evidenciada tal preocupação:

Para dimensionar a Matemática no currículo do ensino fundamental é importante que se discuta sobre a natureza desse conhecimento e que se identifiquem suas características principais e seus métodos particulares como base para a reflexão sobre o papel que essa área desempenha no currículo, a fim de contribuir para a formação da cidadania (BRASIL, 1998, p. 24).

No Chile também, na lei 20.370/2009, são incitadas preocupações com

relação a qual perspectiva o ensino da Matemática deve considerar na Educação

Básica:

La Educación Básica es el nivel educacional que se orienta hacia la formación integral de los alumnos, en sus dimensiones física, afectiva, cognitiva, social, cultural, moral y espiritual, desarrollando sus capacidades de acuerdo a los conocimientos, habilidades y actitudes definidos en las bases curriculares que se determinen en conformidad a esta ley, y que les permiten continuar el proceso educativo formal (Artículo 19).

Fato é que o ensino de Matemática proposto nos currículos de Brasil e

Chile tem como finalidade a formação cidadã dos alunos e de que o currículo de

Matemática para esses dois países está organizado de forma a possibilitar essa

formação. A estruturação em blocos temáticos contempla diversos aspectos

relacionados com o cotidiano dos alunos, levando-os a perceber-se como parte

integrante de uma sociedade compreendendo os fenômenos que os rodeiam,

interpretando-os e solucionando-os via os conhecimentos matemáticos.

Em nossas análises queremos, ainda, buscar elementos que

evidenciem se as contribuições da Educação Matemática estão presentes nos

currículos oficiais e prescritos do Brasil e Chile.

Quando nos referimos às perspectivas da Matemática no ambiente

escolar não podemos esquecer-nos das contribuições da área de Psicologia para

o processo de ensino e aprendizagem da Matemática.

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Existe uma longa tradição de investigação por Psicólogos americanos

e europeus sobre questões relacionadas com o ensino e aprendizagem da

matemática Kilpatrick (1996) e Schoenfeld, (1992).

Às vezes essa investigação centra-se na Matemática, porque o

assunto parece oferecer um domínio do conteúdo bem definido, no qual o

conhecimento pode ser objetivamente medido, mas também investigações

psicológicas abordam questões que são fundamentais para a educação

matemática.

No apogeu do conectivismo63 e da psicologia comportamental64,

estudos de aprendizagem em Matemática são examinados com vistas aos

aspectos processuais65 da aritmética e álgebra.

Podemos citar com exemplo Piaget e seus descendentes na escola

construtivista da aprendizagem e do ensino. Tais perspectivas têm sido

enormemente influentes no pensamento sobre ensino e aprendizagem na

Matemática escolar.

Existe então, uma forte e ativa colaboração de investigação de

psicólogos em Matemática e de educadores, que se traduziu em investigações

centradas da aprendizagem humana nas questões que são centrais para a

Educação Matemática na escola.

63 A Teoria do Conectivismo foi desenvolvida por George Siemens e Stephen Downes essa teoria de aprendizagem utilizada em ciência da computação que se baseia na premissa de que o conhecimento existe no mundo ao contrário do que rezam outras Teorias da Aprendizagem que afirmam que simplesmente existe na cabeça de um indivíduo. Em termos gerais, a teoria da atividade e a cognição distribuída são as disciplinas em torno do paradigma conectivista, como conta o conhecimento que existe dentro de sistemas que são acessados por meio de pessoas que participam em atividades. Foi apelidado de "uma teoria de aprendizagem para a era digital", devido a como ela tem sido utilizada para explicar o efeito que a tecnologia teve sobre a forma como as pessoas vivem, como elas se comunicam, e como elas aprendem. 64 Psicologia comportamental é um ramo de atuação dos profissionais da psicologia o qual dá ênfase às interações entre as emoções, pensamentos, comportamento e estados fisiológicos. A base teórica deste ramo de atuação do psicólogo é o behaviorismo. Edward L. Thorndike e John Watson foram um dos precursores dessa teoria. 65 Quando estamos nos referimos ao aspecto processual da Álgebra, estamos considerando as operações aritméticas que são realizadas com números e que produzirão como resultado também números. Podemos citar um exemplo para ilustrar. Se tomarmos a expressão algébrica 5x - 2y e substituirmos x e y por 3 e 5, respectivamente, o resultado será 5. Sendo assim, observamos que esse exemplo esconde uma falsa impressão de estar trabalhando com as estruturas da Álgebra, porém, ele ilustra uma perspectiva processual da Álgebra.

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Por exemplo, nas modernas teorias cognitivas uma das questões

centrais é a representação do conhecimento na memória. Representação dos

fatos e das relações é um aspecto muito importante do pensamento matemático e

da aprendizagem, matemática tornou-se vital para educadores interessados em

investigação na psicologia que contribua para a compreensão das

representações.

Na pesquisa psicológica contemporânea, há também um interesse

considerável em processos de meta-cognição e de auto-regulação do controle

mental de atividade.

Com base no exposto nossa impressão, sobre os documentos

curriculares de Matemática oficiais do Brasil e Chile, é de que esses documentos

têm fortes ligações com o princípio do construtivismo, pois nas orientações

didáticas e metodológicas observamos que implicitamente, é permeado todo o

trabalho na sala de aula com preocupação em valorização do aluno, da

autoestima, etc., estimulando o fazer em sala de aula e considerando que alguns

slogans são aventados, por exemplo:

[...] importância do desempenho de um papel ativo do aluno na construção do seu conhecimento; [...] necessidade de levar os alunos a compreender a importância do uso da tecnologia e a acompanhar sua permanente renovação (BRASIL, 1998, p. 20).

[…] A modo de ejemplo, los aprendizajes involucran actitudes tales como perseverancia, rigor, flexibilidad y originalidad al resolver problemas matemáticos, trabajo en equipo e iniciativa personal en la resolución de problemas en contextos diversos y respeto por ideas distintas a las propias. (PE/CHILE, p. 6).

Nos documentos curriculares de Brasil e Chile encontramos em vários

momentos, um discurso textual, relacionado ao ensino e aprendizagem da

Matemática, demonstrando assim, reocupações com a linguagem Matemática e

as escolhas de situações contextualizadas que leve os alunos a compreenderem

os significados matemáticos. Nesse contexto o texto do PE/CHILE ressalta:

El uso del contexto: Es importante que la matemática sea presentada como una disciplina culturalmente situada, con historia, con impacto en otras áreas del conocimiento científico o tecnológico, con consecuencias y aplicaciones. La pregunta acerca del origen de los conceptos y modelos matemáticos, y su ubicación histórica en el desarrollo del pensamiento de

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la humanidad, son anclas importantes del conocimiento que debemos proponer a nuestros estudiantes. El uso de analogías y representaciones cercanas a los estudiantes, son un recurso didáctico altamente recomendado, especialmente en las etapas de exploración. A su vez, se sugiere el uso de las aplicaciones de la matemática a otras áreas del conocimiento y en la vida diaria, como un apoyo en la construcción del conocimiento matemático (p.22).

Entendemos que o problema central da Educação Matemática consiste

em ajudar os estudantes a adquirir um repertório de conhecimento conceitual e

processual, significativos da habilidade de transferir esse conhecimento a partir de

contextos específicos em que é apresentado ao novo e, aparentemente, de

diferentes configurações. Estudos recentes sobre cognição situada vêm sugerindo

que é impossível separar o que é “aprendido a partir da atividade e do contexto

em que assume lugar na aprendizagem, essa aprendizagem e cognição..., são

situações fundamentais". (Brown, Collins, & Duguid, 1989) Nos PCN é enfatizado

que:

A contextualização pode ser um recurso para conseguir esse objetivo. Contextualizar o conteúdo que se quer aprendido significa, em primeiro lugar, assumir que todo conhecimento envolve uma relação entre sujeito e objeto (BRASIL, 1999, p. 91).

Outro aspecto importante é o papel do professor na sala de aula, nesse

sentido os PCN enfatizam:

Numa perspectiva de trabalho em que se considere o aluno como protagonista da construção de sua aprendizagem, o papel do professor ganha novas dimensões. Uma faceta desse papel é a de organizador da aprendizagem; para desempenhá-la, além de conhecer as condições socioculturais, expectativas e competência cognitiva dos alunos, precisará escolher os problemas que possibilitam a construção de conceitos e procedimentos e alimentar os processos de resolução que surgirem, sempre tendo em vista os objetivos a que se propõe atingir (BRASIL, 1998, p. 38).

Na lei geral de Educação Chilena 20370/2009 são explicitados os

deveres do professor como mediador da aprendizagem dos alunos:

[…]son deberes de los profesionales de la educación ejercer la función docente en forma idónea y responsable; orientar vocacionalmente a sus alumnos cuando corresponda; actualizar sus conocimientos y evaluarse periódicamente; investigar, exponery enseñar los contenidos curriculares correspondientes a cada nivel educativo establecidos por las bases curriculares y los planes y programas de estudio; respetar tanto las normas del establecimiento en que se desempeñan como los derechos de

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los alumnos y alumnas, y tener un trato respetuoso y sin discriminación arbitraria con los estudiantes y demás miembros de la comunidad educativa (Articulo 10º).

Nessa perspectiva, considerando o professor e o saber Matemático, o

aluno e o saber matemático e as relações professor – alunos e aluno – aluno

(BRASIL, 1998, p. 36-37) temos a configuração do triângulo pedagógico que nos

remete à noção de Contrato Didático proposta por Brosseau.

Contrato didático é o conjunto das regras que determinam explicitamente, para uma pequena parte, mas, sobretudo implicitamente, o que cada parceiro da relação didática vai ter a gerenciar e o que cada um, de uma maneira ou outra, terá que computar frente ao outro (BROUSSEAU, 1986, p.51).

Outro aspecto que está presente nos documentos de Brasil e Chile é

quanto ao papel do erro no processo de ensino da Matemática:

Uso del error: Asociado a un ambiente de búsqueda y de creación, está el uso adecuado del error. En un clima de construcción, un error puede, en manos de un educador, ser una oportunidad para aprendizajes especialmente significativos. El error debe considerarse como un elemento concreto para trabajar en clases la diversidad, permitiendo que todos los alumnos alcancen los aprendizajes propuesto (PE/CHILE, p. 22).

Quanto a essa questão, os PCN destacam que:

(...) Assim, considera-se que uma reprodução correta é evidência de que ocorreu a aprendizagem. Essa prática de ensino tem se mostrado ineficaz, pois a reprodução correta pode ser apenas uma simples indicação de que o aluno aprendeu a reproduzir alguns procedimentos mecânicos, mas não apreendeu o conteúdo e não sabe utilizá-lo em outros contextos. É relativamente recente a atenção ao fato de que o aluno é agente da construção do seu conhecimento, pelas conexões que estabelece com seu conhecimento prévio num contexto de resolução de problemas (BRASIL, 1998, p. 37).

O entendimento a esse respeito é de que o erro deve ser visto como

possibilidade de o aluno refletir e mobilizar conhecimentos na busca da solução

da situação apresentada. Essa ação, por parte do aluno deve ser valorizada e

cabe ao professor mediar e conduzir os alunos na construção de seu

conhecimento matemático.

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O recurso à História da Matemática também é valorizado nos discursos

presentes nos documentos curriculares do Brasil. Os PCN ressaltam que:

A História da Matemática pode oferecer uma importante contribuição ao processo e ensino e aprendizagem dessa área do conhecimento. Ao revelar a Matemática como ma criação humana, ao mostrar necessidades e preocupações de diferentes culturas, em diferentes momentos históricos, ao estabelecer comparações entre os conceitos e processos matemáticos do passado e do presente, o professor cria condições para que o aluno desenvolva atitudes e valores mais favoráveis diante desse conhecimento (BRASIL, 1998, p. 42).

Já no Chile, não observamos a utilização desse recurso de maneira

explicita nos currículos oficiais e prescritos.

O recurso ao uso das tecnologias está presente nos currículos de

ambos os países. No Chile é enfatizado que “El desarrollo de las capacidades

para utilizar las tecnologías de la información y comunicación (TICs) está

contemplado de manera explícita como uno de los Objetivos Fundamentales

Transversales del marco curricular. Esto demanda que el dominio y uso de estas

tecnologías se promueva de manera integrada al trabajo realizado al interior de

los sectores de aprendizaje” (PE/CHILE, 2010, p.12).

No Brasil também é marcante as orientações quanto ao uso dos

recursos tecnológicos, pois “é fato que as calculadoras, computadores e outros

elementos tecnológicos estão cada vez mais presentes nas diferentes atividades

da população. O uso desses recursos traz significativas contribuições para se

repensar sobre o processo de ensino e aprendizagem de Matemática” (BRASIL,

1998, p. 43).

Nos documentos curriculares do Chile não identificamos explicitamente

o recurso à História da Matemática como elemento que pode vir a favorecer o

aprendizado em Matemática.

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4.7 Com relação a indicações sobre o processo de avaliação da aprendizagem

Nesse item vamos analisar como são as orientações de avaliação do

desempenho dos alunos em Matemática. Analisaremos com olhar nas avaliações

institucionais e as oficiais externas.

A Lei de Diretrizes e Bases Nacionais, a LDB 9394/96 manteve um

currículo caracterizado por uma base nacional comum e uma parte diversificada

que permite de acordo com a Lei 5472/1971:

Art. 26. Os currículos do ensino fundamental e médio devem ter uma base nacional comum, a ser complementada, em cada sistema de ensino e estabelecimento escolar, por uma parte diversificada, exigida pelas características regionais e locais da sociedade, da cultura, da economia e da clientela.

§ 1o Os currículos a que se refere o caput devem abranger, obrigatoriamente, o estudo da língua portuguesa e da matemática, o conhecimento do mundo físico e natural e da realidade social e política, especialmente do Brasil ( LDB, 1971, p. 23).

Porém, resultados obtidos pelos alunos do Ensino Fundamental nos

testes de rendimento em Matemática, aplicados em todo o país, também são

indicadores expressivos de como se encontra o ensino dessa área.

As provas de Matemática aplicadas em 1993, pelo Sistema Nacional

de Avaliação Escolar da Educação Básica (SAEB), indicavam que, na primeira

série do ensino fundamental, 67,7% dos alunos acertavam pelo menos metade

dos testes. Esse índice caía para 17,9% na terceira série, tornava a cair para

3,1%, na quinta série e subia para 5,9% na sétima série. Nas provas de

Matemática, aplicadas em 1995, abrangendo alunos de quartas e oitavas séries

do ensino fundamental, os percentuais de acerto por série/grau e por capacidades

cognitivas, além de continuar diminuindo à medida que aumentavam os anos de

escolaridade, indicavam também que as maiores dificuldades encontravam-se

nas questões relacionadas à aplicação de conceitos e à resolução de problemas.

Nesse sentido, concluímos que em relação ao ensino de Matemática há

problemas antigos e novos, a serem enfrentados, tarefa que requer

operacionalização efetiva das intenções anunciadas nas diretrizes curriculares

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dos anos 80 e início dos anos 90, e a inclusão de novos elementos na pauta de

discussões e que este documento procura contemplar.

No entanto, acreditamos haver um exagero de avaliações externas que

“bombardeiam” os alunos e refletem na forma de atuação dos professores que

preocupados com os índices insatisfatórios tendem a trabalhar na sala de aula

preparando os alunos para as avaliações do tipo municipal em São Paulo – prova

cidade de São Paulo, referente ao estado de São Paulo (SARESP) em nível

nacional SAEB, ENEM, etc.

Segundo os PCN, os critérios de avaliação não expressam todos os

conteúdos que foram trabalhados no ciclo, mas apenas aqueles que são

fundamentais para que se possa considerar que um aluno desenvolveu as

capacidades previstas de modo que possa continuar aprendendo no ciclo

seguinte, sem que seu aproveitamento seja comprometido (BRASIL, 1998, p. 75).

No Chile, como no Brasil, avaliação é parte do processo de ensino e

aprendizagem em Matemática:

La evaluación es un proceso que forma parte constitutiva del proceso de enseñanza.

No sólo debe ser utilizada como un medio para controlar qué saben los estudiantes, sino que cumple un rol central en la promoción y desarrollo del aprendizaje. Para que la evaluación efectivamente cumpla con esta función debe tener como objetivos.

• Ser un medio con el cual medimos progreso en el logro de los aprendizajes.

• Proporcionar información que permita conocer fortalezas y debilidades de los

• estudiantes, y sobre esta base retroalimentar la enseñanza y potenciar los logros esperados dentro del sector.

Ser una herramienta útil para la planificación (Programa de Estudio, MINEDUC, p. 17).

O governo chileno criou o SIMCE que é a Avaliação Nacional de

resultados de aprendizagem do Ministério da Educação do Chile. Seu principal

objetivo é ajudar a melhorar a qualidade e promover a equidade da

educação, elaborar relatórios sobre o desempenho dos alunos em diferentes

segmentos do currículo nacional e, relacioná-los à escola e contexto social em

que eles aprendem.

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147

É importante que se tenha transparência e clareza na fixação dos

critérios e na análise dos resultados dessas avaliações, pois nas leituras

realizadas, mesmo com todas as orientações propostas no sentido de tornar os

alunos agentes da construção de seu próprio conhecimento, encontramos

autores, como Martín (2009) afirmando haver diferenças de aprendizagens e/ou

dos resultados de aprendizagens quando se considera aspectos econômicos e

sociais dos alunos:

[…] Por otra parte, es sabido que en la educación media chilena existe una fuerte segmentación estructural. En efecto, más de 50% de los liceos municipales (con el menor nivel socioeconómico) obtienen un promedio menor a la media nacional. Bajo esta fuerte segmentación de resultados existe una dispersión interna, no despreciable, en los logros de aprendizaje de los alumnos (Bellei, 2002). Por ejemplo, los resultados de la prueba del Sistema de Medición de Calidad de la Educación (SIMCE) de Matemática, aplicada a alumnos de 2° med io en el año 2001, muestra que si se considera al conjunto de alumnos de los grupos socioeconómicos bajo, medio bajo y medio que son atendidos por el sector municipalizado se encuentra que existe una diferencia de 52 puntos si se compara el nivel medio con el bajo y una diferencia de 43 puntos cuando la comparación se hace con el sector medio bajo (SIMCE, 2002).

Observamos, que tanto no Brasil e Chile existem vários instrumentos

de avaliação que são levados em consideração para a busca da melhoria

educacional principalmente com relação ao ensino da Matemática. Porém

queremos deixar claro que esses instrumentos que têm como objetivo identificar

problemas pontuais para uma reflexão de como superar as dificuldades

levantadas, são utilizadas em muitos casos para classificar escolas, regiões,

países, etc.

Nos dois países é evidente a dicotomia das políticas publicas que

discorremos no capítulo três considerando que Currículo e Avaliação são dois

pilares que as sustentam.

148

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CAPÍTULO 5

ESTUDO COMPARATIVO DOS CURRÍCULOS PRESCRITOS DE MATEMÁTICA DO ENSINO MÉDIO

5.1 Introdução

O quarto capítulo do trabalho foi marcado pela realização do estudo

comparativo dos currículos prescritos e vigentes de Matemática do Ensino

Fundamental e Educação Básica, entre Brasil e Chile, nesse, será realizada uma

análise técnica-comparativa em analogia ao Ensino Médio de ambos os países.

Nesse sentido, serão afastadas quaisquer possibilidades de prolixidade,

uma vez que foram observados muitos aspectos entre as etapas educacionais do

Ensino Médio e Ensino Fundamental no Brasil e Educação Básica e Média no

Chile. Decerto podemos considerados semelhantes, haja vista que o Ensino

Médio nos dois países é composto por um segmento de continuidade na

formação educacional.

A Lei 9394 de 20 de dezembro de 1996, defini o Ensino Médio no

Brasil:

O ensino médio, etapa final da educação básica, com duração mínima de três anos, terá como finalidades:

I - a consolidação e o aprofundamento dos conhecimentos adquiridos no ensino fundamental, possibilitando o prosseguimento de estudos; [...] (art. 35)

Nos Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio (PCNEM),

essa definição é ratificada quanto aos conhecimentos que os alunos irão aprender

e ou aprofundar nesse segmento educacional:

A essas concepções da Matemática no Ensino Médio se junta a idéia de que, no Ensino Fundamental, os alunos devem ter se aproximado de vários campos do conhecimento matemático e agora estão em condições de utilizá-los e ampliá-los e desenvolver de modo mais amplo

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capacidades tão importantes quanto as de abstração, raciocínio em todas as suas vertentes, resolução de problemas de qualquer tipo, investigação, análise e compreensão de fatos matemáticos e de interpretação da própria realidade (BRASIL: 1999, p. 252).

No Chile, a Lei 20.370 de 2009 enfatiza que:

La Educación Media es el nivel educacional que atiende a la población escolar que haya finalizado el nivel de educación básica y tiene por finalidad procurar que cada alumno expanda y profundice su formación general y desarrolle los conocimientos, habilidades y actitudes (Artículo 20).

Serão utilizadas as mesmas categorias de análises:

1. Com relação à forma de estruturar o currículo prescrito;

2. O papel da Matemática na formação dos alunos brasileiros e chilenos;

3. Ênfase nas aplicações práticas ou nas especulações teóricas;

4. Com relação à seleção de conteúdos;

5. Com relação a orientações metodológicas e didáticas;

6. Com relação a indicações sobre o processo de avaliação da aprendizagem.

5.2 Comparando a estruturação dos currículos prescritos

Essa seção tem a pretensão de mapear a organização e estrutura dos

currículos de Matemática para o Ensino Médio, prescritos e vigentes no Brasil e

Chile respectivamente.

Tal como já deve ter sido identificado pelo leitor, os documentos

curriculares utilizados pela pesquisa, são os PCNEM no Brasil e o PE para a

Educação Média no Chile. Contudo, no Brasil há o PCNEM + (2002), que

complementa o PCNEM e Diretrizes que ao longo dos anos foram sendo

implementadas para suprirem alguns aspectos que não foram contemplados na

elaboração dos PCNEM e “PCNEM +”.

150

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O Ensino Médio no Brasil compõe a Educação Básica (art. 21 LDB

9394/96)66. Sua duração é de três anos, de acordo com Lei Nº 11.274, de

06/02/2006, contudo, não é obrigatório. No entanto, a LDB 9394/96 dita que é um

dever do estado o anúncio de que “O Ensino Médio é a etapa final da educação

básica” (Art.36).

No Brasil, embora o Ensino Médio não seja obrigatório, dados

divulgados no sitio do INEP, apontam que, nos últimos anos, o Ensino Médio foi o

que mais se expandiu no Brasil. No período de 1987 a 1997, o crescimento da

demanda superou 90% das matriculas até então existentes. Em 1998, o Ensino

Médio do Estado de São Paulo atendeu aproximadamente 30% dos alunos

matriculados em todo o país, ou seja, 1.900.000 estudantes. Deste universo, 80%

eram alunos da rede estadual de ensino, um total aproximado de 1.600.000

alunos. A grande expansão, porém, deu-se no período noturno por alunos que

estão trabalhando ou desejam trabalhar.

É importante ressaltar que embora, no Brasil, o Ensino Médio não seja

obrigatório para o aluno, já existe um projeto de lei que está tramitando no

Congresso Nacional, onde está sendo proposto que esse segmento educacional

seja obrigatório para os alunos cursarem.

No Chile, a Educação Média compreende seis anos de escolaridades.

Antes da promulgação da nova lei, a Educação Média era de quatro anos nesse

país. Atualmente os sétimos e oitavos anos passaram a compor essa etapa

educacional.

Artículo 25.- El nivel de educación básica regular tendrá una duración de seis años y el nivel de educación media regular tendrá una duración de seis años.[…] (Ley 20370, 2009).

Como já mencionado anteriormente, para fins de análise e comparação

do currículo de Matemática chileno com o do Ensino Médio brasileiro, o objeto de

estudo em questão se apoiará na Educação Média chilena de quatro anos, pois o

sétimo e oitavo ano já foi devidamente analisado no capítulo quatro.

66 LDB – Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional

151

151

Em face do crescimento da demanda de matriculas no Ensino Médio

no Brasil, a LDBEN 9394/96 incentiva transformações nessa etapa escolar,

desvinculando-o do vestibular e flexibilizando os mecanismos de acesso ao

ensino superior. Além disso, delineia no artigo 36 parágrafo 1o, o perfil de saída

do aluno estipulando que, ao final do Ensino Médio, ele demonstre:

• Domínio dos princípios científicos e tecnológicos que presidem a

produção moderna;

• Conhecimento das formas contemporâneas de linguagem;

• Domínio dos conhecimentos de Filosofia e de Sociologia necessários

ao exercício da cidadania.

Os PCNEM enfatizam que o papel da Matemática no Ensino Médio

não é apenas formativo (que ajuda a estruturar o raciocínio dedutivo) ou

instrumental (ferramenta que auxilia em todas as atividades humanas), mas que

também deve ser vista como ciência, com suas características estruturais

específicas (BRASIL, 1999, p. 251). Destaca também a importância do aluno

perceber que as definições, demonstrações e encadeamentos conceituais e

lógicos têm a função de construir novos conceitos e estruturas a partir de outros e

que servem para validar intuições e dar sentido às técnicas aplicadas. Cabe ainda

apresentar ao aluno o conhecimento matemático de modo a que ele possa buscar

novas informações e instrumentos necessários para que seja possível continuar

aprendendo.

Diante do exposto, tendo em vista cumprir os objetivos dessa

formação são propostos nos PCNEM três eixos ou temas estruturadores para

serem desenvolvidos de forma concomitante nas três séries do ensino médio

(BRASIL, 2002, p. 120):

• Álgebra: números e funções;

• Geometria e medidas;

• Análise de dados.

152

152

No Chile evidenciamos tais preocupações com a preparação dos

alunos para o exercício da cidadania ao fim da Educação Média.

Retomamos o artigo 20 da lei 20 370/2009 onde é manifestado que:

La Educación Media es el nivel educacional que atiende a la población escolar que haya finalizado el nivel de educación básica y tiene por finalidad procurar que cada alumno expanda y profundice su formación general y desarrolle los conocimientos, habilidades y actitudes que le permitan ejercer una ciudadanía activa e integrarse a la sociedad, los cuales son definidos por las bases curriculares que se determinen en conformidad a esta ley. Este nivel educativo ofrece una formación general común y formaciones diferenciadas. Estas son la humanístico-científica, técnico-profesional y artística, u otras que se podrán determinar a través de las referidas bases curriculares.

Na expectativa de atender essa formação o currículo de Matemática

chileno é dividido em cinco blocos temáticos, são eles:

• Números;

• Álgebra y Funciones;

• Geometria;

• dados e azar;

• Álgebra.

A diferença constatada nos documentos curriculares está no número

de eixos estruturadores, mas, que não se revela no conjunto de saberes

matemáticos que são propostos aos alunos do inicio ao fim dessa etapa de

escolaridade.

5.3 O papel da Matemática na formação dos alunos brasileiros e chilenos

Os currículos de Matemática prescritos e vigentes no Brasil e Chile

para o Ensino Médio e Educação Média respectivamente, sugerem que ao

apresentar a Matemática para os alunos, essa tenha significado para suas vidas.

O conhecimento matemático deverá estar em conexão com outras áreas de

conhecimentos perpassando pelos temas transversais (ética, saúde, meio

ambiente, educação sexual e pluralidade cultural), que contribuem na formação

cidadã dos alunos.

153

153

Nos PCNEM é aventada também essa preocupação

A Matemática no Ensino Médio tem um valor formativo, que ajuda a estruturar o pensamento e o raciocínio dedutivo, porém também desempenha um papel instrumental, pois é uma ferramenta que serve para a vida cotidiana e para muitas tarefas específicas em quase todas as atividades humanas (BRASIL: 1999, p. 251).

Para atender essa realidade os PCNEM sugerem que isso ocorra por

meio das conexões entre os conceitos a serem aprendidos nas diferentes formas

de pensamento matemático, sendo que para que isso ocorra é primordial que

tenhamos como critério central a contextualização e a interdisciplinaridade

(BRASIL, 1999, p. 255).

As orientações curriculares para o ensino de Matemática são

permeadas com reflexões que levem os alunos a desenvolverem seus

conhecimentos, valorizando as dimensões do conteúdo como os conceituais

procedimentais e atitudinais.

Nessa perspectiva de ensino e aprendizagem da Matemática no

ambiente escolar, explorando os temas transversais e os aspectos relacionados

aos conceitos, procedimentos e atitudes, os PCNEM explicitam as finalidades do

ensino de Matemática no Brasil, e por fim indicam como objetivos do Ensino

Médio, levar o aluno a:

• compreender os conceitos, procedimentos e estratégias matemáticas que permitam a ele desenvolver estudos posteriores e adquirir uma formação científica geral;

• aplicar seus conhecimentos matemáticos a situações diversas, utilizando-os na interpretação da ciência, na atividade tecnológica e nas atividades cotidianas;

• analisar e valorizar informações provenientes de diferentes fontes, utilizando ferramentas matemáticas para formar uma opinião própria que lhe permita expressar-se criticamente sobre problemas da Matemática, das outras áreas do conhecimento e da atualidade;

• desenvolver as capacidades de raciocínio e resolução de problemas, de comunicação, bem como o espírito crítico e criativo;

• utilizar com confiança procedimentos de resolução de problemas para desenvolver a compreensão dos conceitos matemáticos;

• expressar-se oral, escrita e graficamente em situações matemáticas e valorizar a precisão da linguagem e as demonstrações em Matemática;

• estabelecer conexões entre diferentes temas matemáticos e entre esses temas e o conhecimento de outras áreas do currículo;

154

154

• reconhecer representações equivalentes de um mesmo conceito, relacionando procedimentos associados às diferentes representações;

• promover a realização pessoal mediante o sentimento de segurança em relação às suas capacidades matemáticas, o desenvolvimento de atitudes de autonomia e cooperação (BRASIL, 1999, p. 254).

No Chile a formação dos alunos na Educação Média tem como

premissa a formação para o exercício da cidadania. No artigo 30 da Lei 20

370/2009 é enfatizado que:

La educación media tendrá como objetivos generales, sin que esto implique que cada objetivo sea necesariamente una asignatura, que los educandos desarrollen los conocimientos, habilidades y actitudes que les permitan: 1) En el ámbito personal y social: a) Alcanzar el desarrollo moral, espiritual, intelectual, afectivo y físico que los faculte para conducir su propia vida en forma autónoma, plena, libre y responsable. b) Desarrollar planes de vida y proyectos personales, con discernimiento sobre los propios derechos, necesidades e intereses, así como sobre las responsabilidades con los demás y, en especial, en el ámbito de la familia. c) Trabajar en equipo e interactuar en contextos socio-culturalmente heterogéneos, relacionándose positivamente con otros, cooperando y resolviendo adecuadamente los conflictos. d) Conocer y apreciar los fundamentos de la vida democrática y sus instituciones, los derechos humanos y valorar la participación ciudadana activa, solidaria y responsable, con conciencia de sus deberes y derechos, y respeto por la diversidad de ideas, formas de vida e intereses. e) Desarrollar capacidades de emprendimiento y hábitos, competencias y cualidades que les permitan aportar con su trabajo, iniciativa y creatividad al desarrollo de la sociedad. f) Tener hábitos de vida activa y saludable.

A Educação Média no Chile se caracteriza perpassando pelos temas

transversais, por isso apresentam os Objetivos Fundamentais Transversais (OFT,

Decreto Nº 220), que tem como finalidade geral da educação, o desenvolvimento

pessoal e a formação ética e intelectual dos alunos que são:

Los OFT de ámbito Crecimiento y Autoafirmación Personal referidos al interés y capa cidad de conocer la realidad y utilizar el conocimiento y la información.

Los OFT del ámbito Desarrollo del Pensamiento, en especial los relativos a habilidades de investigación, a través de las actividades que suponen selección y organización de información y datos; y las de resolución de problemas y de pensamiento lógico, a través del conjunto de contenidos y actividades orientados al aprendizaje de algoritmos o procedimientos rutinarios, así como a la aplicación de leyes y principios, por un lado, y de generalización a partir de relaciones observadas, por otro. El

155

155

desarrollo del pensamiento probabilístico así como el análisis estadístico contribuye a tomar decisiones fundamentadas en situaciones sociales.

Los OFT del ámbito Persona y su Entorno referidos al trabajo, y que plantean el desarrollo de actitudes de rigor y perseverancia, así como de flexibilidad, originalidad y asunción del riesgo, y las capacidades de recibir y aceptar consejos y críticas.

A través de los problemas a resolver matemáticamente y el estudio de la estadística, que plantean las actividades del programa es posible ampliar el trabajo de los OFT con alumnos y alumnas a su capacidad de juicio, y la aplicación de criterios morales, a problemas del medio ambiente, económicos y sociales (PE/CHILE, 2010 p. 12).

Desvelamos nas finalidades e objetivos, para essa etapa educacional

dos dois países, que três das quatro dimensões que definem as finalidades da

Educação Matemática, a qual Rico (1997) propõe, estão presentes na

organização dos currículos de Matemática para o Ensino Médio e Educação

Média do Brasil e Chile, respectivamente.

A dimensão social está contemplada no discurso textual dos currículos

ressaltando a importância das ferramentas matemáticas para resolução de

situações-problemas no domínio da prática profissional.

[...] además de ser una herramienta imprescindible en áreas como la ciencia y la tecnología, la medicina, la economía, el estudio del medio ambiente, entre otras […] (BC/CHILE, 2011, p. 54).

Nos PCNEM também é reforçada essa dimensão:

No que diz respeito ao caráter instrumental da Matemática no Ensino Médio, ela deve ser vista pelo aluno como um conjunto de técnicas e estratégias para serem aplicadas a outras áreas do conhecimento, assim como para a atividade profissional. Não se trata de os alunos possuírem muitas e sofisticadas estratégias, mas sim de desenvolverem a iniciativa e a segurança para adaptá-las a diferentes contextos, usando-as adequadamente no momento oportuno (BRASIL, 1999, p. 251).

Identificamos também as dimensões, educativa e política, presentes

nas citações da dimensão social, pois o ensino de matemática na dimensão

educativa tem importância no desenvolvimento do raciocínio dos alunos, levando-

os a compreenderem padrões e regularidades. Já na dimensão política, no que se

refere ao papel da matemática, pode se desempenhar na vida do cidadão, uma

sociedade cada vez mais dependente pela tecnologia.

156

156

Para ilustrarmos a presença dessas dimensões nos currículos de

Matemática, nos PCNEM (BRASIL, 1999, p. 259), são preconizadas as

competências e habilidades a serem desenvolvidas em Matemática, tais como:

Representa ção e comunicação

• Ler e interpretar textos de Matemática.

• Ler, interpretar e utilizar representações matemáticas (tabelas, gráficos, expressões etc).

• Transcrever mensagens matemáticas da linguagem corrente para linguagem simbólica (equações, gráficos, diagramas, fórmulas, tabelas etc.) e vice-versa.

• Exprimir-se com correção e clareza, tanto na língua materna, como na linguagem matemática, usando a terminologia correta.

• Produzir textos matemáticos adequados.

• Utilizar adequadamente os recursos tecnológicos como instrumentos de produção e de comunicação.

• Utilizar corretamente instrumentos de medição e de desenho.

Investigação e compreensão

• Identificar o problema (compreender enunciados, formular questões etc).

• Procurar, selecionar e interpretar informações relativas ao problema.

• Formular hipóteses e prever resultados.

• Selecionar estratégias de resolução de problemas.

• Interpretar e criticar resultados numa situação concreta.

• Distinguir e utilizar raciocínios dedutivos e indutivos.

• Fazer e validar conjecturas, experimentando, recorrendo a modelos, esboços, fatos conhecidos, relações e propriedades.

• Discutir idéias e produzir argumentos convincentes.

Contextual ização sócio-cultural

• Desenvolver a capacidade de utilizar a Matemática na interpretação e intervenção no real.

• Aplicar conhecimentos e métodos matemáticos em situações reais, em especial em outras áreas do conhecimento.

• Relacionar etapas da história da Matemática com a evolução da humanidade.

• Utilizar adequadamente calculadoras e computador, reconhecendo suas limitações e potencialidades.

No Chile também se busca meio de se alcançar a excelência de uma

formação cidadã para os alunos passando pela Matemática.

157

157

O documento chileno Bases Curriculares / Consulta Pública do Chile,

2011 destaca que:

[…] Aplicar el proceso de formulación de modelos matemáticos al análisis de situaciones y a la resolución de problemas.

Reconocer y analizar las propias aproximaciones a la resolución de problemas matemáticos y perseverar en la sistematización y búsqueda de formas de resolución.

Percibir la matemática como una disciplina que ha evolucionado y que continúa desarrollándose, respondiendo a veces a la necesidad de resolver problemas prácticos, pero también planteándose problemas propios, a menudo por el sólo placer intelectual o estético (p. 14).

As dimensões do currículo implícitas ou explicitas nos currículos de

Matemática dos dois países que Rico (1997) denomina de Justificativa funcional,

estão presentes nas orientações referentes à formação cidadã e preparação para

a vida produtiva dos alunos.

A Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional 9394/96, explicita

que o Ensino Médio é a “etapa final da educação básica” (Art.36), o que concorre

para a construção de sua identidade.

Nessa perspectiva, o Ensino Médio passa a ter a característica da

terminalidade, o que significa:

... assegurar a todos os cidadãos a oportunidade de consolidar e aprofundar os conhecimentos adquiridos no Ensino Fundamental; aprimorar o educando como pessoa humana; possibilitar o prosseguimento de estudos; garantir a preparação básica para o trabalho e a cidadania; dotar o educando dos instrumentos que o permitam “continuar aprendendo”, tendo em vista o desenvolvimento da compreensão dos “fundamentos científicos e tecnológicos dos processos produtivos” (Art.35, incisos I a IV).

Nos PE/CHILE retomamos a afirmação de que:

El conocimiento matemático y la capacidad para usarlo tienen profundas e importantes consecuencias en desarrollo, desempeño y vida de las personas. En efecto, el entorno social valora el conocimiento matemático y lo asocia a logros, beneficios y capacidades de orden superior. De esta forma el aprendizaje de la la matemática influye en el concepto que niños, jóvenes y adultos construyen sobre sí mismos y sus capacidades. El proceso de aprender matemática, por lo tanto, interviene en la capacidad de la persona para sentirse un ser autónomo y valioso en la sociedad. En consecuencia, la calidad, pertinencia y amplitud de ese conocimiento afecta las posibilidades y la calidad de vida de las personas, y a nivel de la sociedad, afecta el potencial de desarrollo del país (PE/CHILE, 2010 p. 20).

158

158

A fim de prosseguir com essas reflexões, pode-se observar que o

componente simbólico proposto por Bishop (1991), se caracteriza pelas seis

atividades de contar, localizar, medir, desenhar, jogos e explicar, revelando-se

presente na organização curricular tanto do Brasil como no Chile.

O componente social, no Chile, somente é identificado no artigo 3º da lei

20.370/2009, nos PE não é explicitado essa sugestão de trabalho pedagógico.

No Brasil, a recomendação, é o de proporcionar o ensino da Matemática

com enfoque em realização de projetos escolares;

Os projetos coletivos são particularmente apropriados para esse propósito educacional, envolvendo turmas de alunos em projetos de produção e de difusão do conhecimento, em torno de temas amplos, como edificações e habitação ou veículos e transporte, ou ambiente, saneamento e poluição, ou ainda produção, distribuição e uso social da energia, temas geralmente interdisciplinares (BRASIL, 1999, p. 269).

O componente cultural que Bishop (1991) sugere, revela-se tanto nas

orientações curriculares dos Planos de Estudo, como no PCNEM com o caráter

de investigação na sala de aula. Essa investigação é permeada, como já

afirmamos no capítulo quatro, pela Resolução de Problemas como eixo

metodológico no processo de ensino e aprendizagem da Matemática.

Nossas análises sobre orientações e objetivos propostos nos

documentos curriculares prescritos de Brasil e Chile reforçam nossas

considerações apontadas no capitulo quatro, de que os princípios básicos que

Bishop (1991) enfatiza serem importantes e que devem ser inseridos nos

currículos de Matemática, que são o princípio da representatividade, princípio do

poder explicativo, princípio do formalismo, e os da acessibilidade, estão presentes

no discurso referentes aos objetivos e orientações sobre o enfoque que a

Matemática precisa ter no processo de ensino e aprendizagem dos alunos.

Os argumentos que justificam as nossas conclusões sobre a presença

ou não desses princípios nos currículos de Matemática para o Ensino Médio e

Educação Média, respectivamente, de Brasil e Chile, são os mesmos que

discorremos no capítulo anterior e não queremos ser redundantes.

159

159

Ainda ratificamos o que já dissemos anteriormente sobre as dimensões

do currículo implícitas ou explicitas nos currículos de Matemática dos dois países

e que Rico (1997) denomina de Justificativa funcional, pois nos documentos

curriculares de Matemática do Brasil e Chile é constantemente enfatizada que o

ensino de Matemática é centrado na formação cidadã e preparação para a vida

produtiva dos alunos.

[…] e los propósitos formativos de la Educación Media en cuatro ámbitos: Crecimiento y Autoafirmación Personal, Desarrollo del Pensamiento, Formación Ética, Persona y Entorno; su realización, como se dijo, es responsabilidad de la institución escolar y la experiencia de aprendizaje y de vida que ésta ofrece en su conjunto a alumnos y alumnas (PE/CHILE, 2010 p. 12).

Nos PCNEM encontramos:

A Matemática no Ensino Médio tem um valor formativo, que ajuda a estruturar o pensamento e o raciocínio dedutivo, porém também desempenha um papel instrumental, pois é uma ferramenta que serve para a vida cotidiana e para muitas tarefas específicas em quase todas as atividades humanas (BRASIL, 1999, p. 251).

5.4 Ênfase nas aplicações práticas ou nas especulações teóricas

Nessa seção serão verificados qual ênfase são dadas aos documentos

curriculares, quanto às aplicações prática e/ou especulações teóricas. Os PCNEM

foram concebidos com a iniciativa formativa, apresentando como meta, a ajuda na

estrutura do pensamento e do raciocínio dedutivo, porém também desempenha

um papel instrumental, pois é uma ferramenta que serve para a vida cotidiana e

para muitas tarefas especificas em quase todas as atividades humanas:

Nesse sentido, é preciso que o aluno perceba a Matemática como um sistema de códigos e regras que a tornam uma linguagem de comunicação de idéias e permite modelar a realidade e interpretá-la. Assim, os números e a álgebra como sistemas de códigos, a geometria na leitura e interpretação do espaço, a estatística e a probabilidade na compreensão de fenômenos em universos finitos são subáreas da Matemática especialmente ligadas às aplicações. Contudo, a Matemática no Ensino Médio não possui apenas o caráter formativo ou instrumental, mas também deve ser vista como ciência, com suas características estruturais específicas. É importante que o aluno perceba que as definições, demonstrações e encadeamentos conceituais e lógicos têm a função de construir novos conceitos e estruturas a partir de outros e que servem para validar intuições e dar sentido às técnicas aplicadas (BRASIL, 1999, p. 251).

160

160

No Chile esse caráter instrumental de preparação para a vida pelo

ensino da Matemática também está presente nos documentos curriculares:

El pensamiento matemático comprende cuatro habilidades interrelacionadas: resolver problemas como las más importantes, razonar y comunicar, modelar y representar. Todas ellas tienen un rol importante en el desarrollo de nuevas destrezas y conceptos y en la aplicación de conocimientos para la resolución de los problemas propios de la matemática (rutinarios y no rutinarios) y de otros ámbitos. Es fundamental que el desarrollo de los ejes temáticos se organice de manera que los alumnos puedan adquirir a través de un trabajo activo en la sala de clases, en forma constructiva y por descubrimiento, las habilidades propias del pensamiento matemático (BC/CHILE, 2011, p. 55).

A seguir é apresentada a análise quanto às frases que identificam os

componentes relacionados ao cotidiano, a natureza da Matemática, aos temas

transversais e especulações teóricas propostas para o Ensino Médio no Brasil.

Para a elaboração do quadro abaixo, observamos nos documentos analisados

quantas frases apresentavam o mesmo sentido, com isso, apontamo-nos na

frequência.

Para calcular a porcentagem utilizaremos: Porcentagem = ∑ if

linha da if

Quadro 9 – Análise de conteúdo – Orientações Curric ulares do Brasil – Ensino Médio

Categorias

Componentes Algumas frases selecionadas Frequência ( f i )

%

Cotidiano


• compreender o conceito de função associando-o a exemplos da vida cotidiana;

• usar formas geométricas planas para representar ou visualizar partes do mundo real;

• descrever e representar dados numéricos e informações de natureza social, econômica, política, cientifico-tecnológica ou abstrata;

8

44,4


Utilitária

Ferramenta

• descrição de dados; • representações gráficas; • análise de dados;

4

22,2

Temas transversais


0

0

Especulações Pensamento • compreender o conhecimento

161

161

teóricas

matemático Abstração Própria Matemática Estético

cientifico e tecnológico; • identificar regularidades em

expressões matemáticas; • reconhecer e utilizar a linguagem

algébrica nas ciências; • regularidades para estabelecer

regras e propriedades em processos;

• Identificar em diferentes áreas científicas e outras atividades práticas modelos e problemas que fazem uso de;

6

33,4

∑= 18

As análises permitem afirmar, que na lista dos conteúdos de

Matemática para o Ensino Médio no Brasil, a ênfase maior é referente às

aplicações práticas. Nesse sentido, apresentaremos as análises referentes aos

conteúdos propostos para a Educação Média no Chile.

Quadro 10 – Analice de contenido – Contenidos Mínim os Obligatorios del Chile – Primer a Cuarto Año Medio – Programa de Estudio de Chile

Categorias

Componentes Algumas frases selecionadas Frequência ( f i )

%

Cotidiano


• Noción de variable. Análisis y descripción de fenómenos y situaciones que ilustren la idea de variabilidad;

• Lectura e interpretación de información científica y publicitaria>

2

18,0


Utilitária

Ferramenta

• Selección de diversas formas de organizar, presentar y sintetizar un conjunto de datos;

• Aplicaciones de las transformaciones geométricas en las artes;

2

18,0

Temas transversais


0

0



• Demostración de propiedades asociadas a los conceptos;

• Comentarios históricos acerca de…;

• Evolución del pensamiento geométrico durante los siglos XVI y XVII; aporte de René

7

64

162

162

Descartes al desarrollo de la relación entre álgebra y geometría>

∑=11

No Chile, como pode ser observado no quadro acima, identifica-se na

organização dos conteúdos para o ensino de Matemática na Educação Média,

que a ênfase está nas especulações teóricas.

5.5 Com relação à seleção de conteúdos

Os PCNEM enfatizam como critério essencial para a escolha do

conteúdo a ser ensinado o potencial de permitir conexões entre diferentes temas

matemáticos, entre temas matemáticos e de outras áreas do conhecimento e

entre temas matemáticos e temas transversais. O critério central é o da

contextualização e da interdisciplinaridade, ou seja, é o potencial de um tema

permitir conexões entre diversos conceitos matemáticos e entre diferentes formas

de pensamento matemático, ou, ainda, a relevância cultural do tema, tanto no que

diz respeito às suas aplicações dentro ou fora da Matemática, como à sua

importância histórica no desenvolvimento da própria ciência. (BRASIL, 1999, p.

254-255)

Tendo em vista que esses princípios se concretizem é importante

observar a relevância cientifica e cultural dos temas selecionados, privilegiando

“além das justificativas relativas às aplicações e à linguagem, sua importância em

seu potencial explicativo” (BRASIL, 2002, p. 119).

Silva (2009) analisou diferentes pressupostos atribuído ao Ensino Médio

em meio a diferentes perspectivas teóricas da Educação e da Educação

Matemática, com isso teceu criticas a organização curricular veiculadas nos

documentos que compõem os Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino

Médio (PCNEM) e concluiu que ainda está presente o paradigma linear nos

currículos de Matemática e não o da ideia de rede e, ainda, enfatiza que existe

uma grande distância entre a apresentação e a articulação das áreas de pesquisa

e eixos norteadores da Matemática nessa etapa educacional.

163

163

Skovsmose (2001) ressalta a importância da justificação do ensino pela

aplicação, sabendo “por quem” ou “onde” é usado, manifestando-se assim a

distância crítica que defende o princípio de um currículo democrático.

Nessa perspectiva de um currículo democrático observarmos que os 4

Rs, a riqueza, a recursão, as relações e o rigor, que Doll (1997) propõe como

critérios imprescindíveis para a seleção e organização dos conteúdos para o

Ensino Médio no Brasil e Educação Média no Chile emergem nos documentos

curriculares dos dois países.

Os PCNEM+ demonstram a preocupação com a seleção de conteúdos

na organização curricular para o ensino da Matemática: “Um primeiro critério,

básico e geral, é que os conteúdos ou temas escolhidos devem permitir ao aluno

desenvolver competências avançando a partir do ponto em que se encontra”.

(BRASIL, 2002, p. 119)

Nessa preocupação, identificamos alguns critérios como à “riqueza”

proposta por Doll (1997) e a “responsabilidade” indicada por Silva (2009).

Ainda, os PCNEM+ manifesta outra preocupação que é:

Explorar conteúdos relativos aos temas números, álgebra, medidas, geometria e noções de estatística e probabilidade envolve diferentes formas do pensar em Matemática, diferentes contextos para as aplicações, bem como a existência de razões históricas que deram origem e importância a esses conhecimentos. Mas para evitar a quantidade [...] (BRASIL, 2002, p. 119).

Nesse trecho entendemos que os critérios de “recursão” e “relações”

de Doll (1997) são evidenciados, pois a intencionalidade é de propor os

conteúdos de forma que se possa retomar à medida que os alunos

compreendam, sua relevância, os fatos históricos e a evolução desse

conhecimento.

No Chile o Programa de Matemática para a Educação Média contém

na sua apresentação os objetivos fundamentais, os conteúdos mínimos de cada

nível e as aprendizagens esperadas. As orientações didáticas, nesse documento,

destacam a importância do uso de situações contextualizadas, atividades

164

164

desafiadoras, o uso do erro no processo de ensino aprendizagem, motivar os

alunos, da descoberta dos padrões e regularidades, etc.

Nessa etapa educacional, no Chile, também é priorizado o eixo

metodológico, Resolução de Problema, com caráter de transversalidade, com isso

está proposto seu desenvolvimento ao longo da Educação Média.

Nas Bases Curriculares Consulta Pública do Ministério de Educacion

Del Chile e nos Planos de Estúdio do primer ao cuarto años da Educação Média,

identificamos, em relação a seleção de conteúdos, os critérios como “riqueza”, a

“reflexão’, a “realidade” e a “responsabilidade”.

Nas Bases Curriculares de Consulta Pública do Ministerio de Educacion

Del Chile extraímos o trecho:

Para desarrollar los conceptos y habilidades básicas en Matemática, es necesario que el alumno descubra los conceptos trabajando en ámbitos numéricos pequeño, y siempre con material concreto. De esta manera se logrará una base sólida tanto en los conceptos de número y su operatoria como en geometría, álgebra, medición y datos. Es por esto que se ha considerado de gran importancia el proveer a los profesores de una estructura curricular con una secuencia y una progresión clara, para así dar continuidad al desarrollo de los conocimientos, y asegurando a lo s estudiantes un tránsito exitoso y sólido hacia el logro de los aprendizajes (p. 54).

Nesse trecho, também são desvelados os critérios de “recursão” e

“relações” como um dos nortes para a concepção do currículo de Matemática no

Chile.

Entendemos que, embora no Brasil o Ensino Médio seja de três anos e

no Chile de quatro anos, existe um equilíbrio, ao analisarmos comparativamente

os conteúdos de Matemática prescritos nos dois paises, entre as escolhas dos

temas e conceitos para serem desenvolvidos ao longo dessa etapa escolar.

A revermos as orientações quanto a seleção dos conteúdos a serem

ensinados no Ensino Médio e Educação Média de Brasil e Chile, respectivamente,

visualizamos o enfoque dado a preparação do aluno para uma sociedade

produtiva possibilitando aos mesmos situações-problema que inicia-se

privilegiando o entorno dos alunos e transcendendo para outras áreas de

conhecimento.

165

165

Bruner (1960), entende que essa “possibilidade de compreensão dos

problemas dentro e fora da Matemática permeia a possibilidade de discussão dos

problemas do cotidiano transcendendo para problemas globais respeitando os

níveis de aprendizagem dos alunos”.

Quanto ao critério de “ressignificação” mencionado por Silva (2009),

que remete ao uso da História da Matemática em sala de aula, no Chile, não

identificamos orientações à respeito desse recurso de maneira explicita. Já no

Brasil é mencionada sua utilização timidamente nas orientações didática –

metodológicas.

Quanto ao “rigor” proposto por Doll (1997), está fortemente presente

nos dois países. Esse critério tem haver com os procedimentos, as avaliações, os

resultados dessas avaliações e principalmente com as interpretações dos

resultados. Mencionamos no capitulo três, que diversos instrumentos são

utilizados como forma de avaliar o processo de ensino e aprendizagem nos dois

países evidenciando-se assim, a presença na elaboração e consecução do

currículo de Matemática desse critério.

5.6 Com relação a orientações metodológicas e didáticas

Essa seção apresenta as análises pesquisadas, as quais se designam

como comparativas sobre as orientações metodológicas e didáticas presentes nos

documentos prescritos do Brasil e Chile. Dada a essas premissas, almeja-se a

compreensão, se de fato a Educação Matemática de alguma forma tem

contribuído para a confecção dos documentos curriculares nos dois países.

Na análise dessa categoria observa-se que são fortes as influências da

Educação Matemática no contexto da concepção e construção dos currículos da

disciplina prescritos de Brasil e Chile.

166

166

Basta relembrar quais são os diferentes campos de investigações, que

podem contribuir na construção de um currículo de Matemática. Segundo Pires

(2002), são eles:

• os que fazem referência ao pensamento do professor e à influência de seu marco conceitual sobre suas maneira de agir;

• os que fazem referência aos alunos, que buscam compreender as idéias dos alunos, as dificuldades que têm na aprendizagem, a influência do meio social, cultural e afetivo sobre a aprendizagem, o papel da motivação e dos interesses dos alunos, das atitudes e das aptidões, das interações entre estudantes e entre professores e estudantes;

• os que fazem referência às propostas curriculares, e também às tendências educacionais que interferem nessas propostas (como ênfase nos recursos de ensino, foco nas teorias sobre a aprendizagem, resolução de problemas, etc).

• os que fazem referência ao marco em que se desenvolve o ensino (contexto), como é a escola, a aula, a oficina, o laboratório, as interrelações aluno-aluno, professor-aluno, professor-classe.

• os que se referem a multiculturalismo e questões relacionadas, como a Etnomatemática e os problemas relativos a questões de gênero e de discriminação.

• os que investigam a História da Matemática e de seu ensino como elemento motivador e como caminho para esclarecer a origem das idéias matemáticas.

5.6.1 Resolução de Problemas

Toda a trajetória desse trabalho está focada na explicitação das

possíveis semelhanças e ou diferenças presentes nos documentos curriculares de

Matemática prescritos e vigentes nos dois países pesquisados. Nesse sentido, tal

como discutido anteriormente, uma tendência presente nos dois países é a de

privilegiar o tratamento de situações-problemas para atingir as finalidades

estabelecidas de promoção de competências, habilidades e o conhecimento de

Matemática.

No PCNEM é enfatizado que “a resolução de problemas é a

perspectiva metodológica escolhida nesta proposta e deve ser entendida como a

postura de investigação frente a qualquer situação ou fato que possa ser

questionado” (BRASIL, 2002, p. 129).

Concebendo as sequências de atividades matemáticas nessa

perspectiva metodológica, possivelmente esteja oportunizando momentos para

167

167

que os alunos envolvam-se para a busca de solução, as suas argumentações,

hipóteses diversas e seus ritmos de aprendizagens, etc.

Os currículos de Matemática chileno, do primeiro ao oitavo ano e da

Educação Média, estão estruturados no eixo metodológico “resolução de

problemas”:

La resolución de problemas debe ser el foco de toda la enseñanza de la Matemática, ya que da un sentido al aprendizaje de esta disciplina, permitiéndole al estudiante aplicar y hacer conexiones con sus experiencias cotidianas. La comprensión de todos los conceptos y habilidades que debe aprender un estudiante en estas edades; como el significado de los números, la operatoria básica, la geometría y la medición, se ven maximizados desde la comprensión cuando se enseñan desde ele foco de la resolución de problemas (Bases Curriculares/ Consulta Pública, Educación Básica, 2011).

Nos Programas de Estudo (2001), para Educação Matemática e para a

Educação Média do Chile, destacamos um trecho das orientações que ressalta a

importância da resolução de problemas nas atividades matemáticas:

Las actividades explicitan acciones y procesos que importa e interesa que vivan los alumnos y las alumnas para el logro de los aprendizajes esperados. No existe una correspondencia biunívoca entre los aprendizajes esperados y las actividades; una actividad puede estar al servicio de varios aprendizajes esperados; además, la dinámica que se dé en el desarrollo de la clase puede favorecer más a unos que a otros.

Para la realización de cada actividad se sugieren ejemplos que pueden ser implementados tal cual se propone en el programa, adaptados a la realidad escolar o sustituidos por otros que se consideren más pertinentes. Al hacer estas adecuaciones locales hay que procurar el desarrollo de las habilidades de pensamiento que el programa promueve (p. 10).

Os dois países preocupam-se em atender as recomendações do NCTM

(1980), pelo menos nos documentos oficiais, em relação ao tratamento das

atividades matemáticas.

168

168

5.6.2 Conceitos da Educação Matemática

Nessa seção buscaremos explicitar de que forma está proposto nos

currículos prescritos de Matemática do Ensino Médio no Brasil e da Educação

Média no Chile, como ensinar e aprender matemática no ambiente escolar nessa

etapa educacional.

5.6.2.1 Perspectivas de Matemática

Fey (2004), questiona “se a matemática escolar deve ser concebida

com um olho na formação acadêmica ou nas considerações das diferentes formas

que as pessoas usam matemática na diária e do trabalho”.

As análises dos currículos prescritos de Matemática do Brasil e Chile

revelam que a Matemática que deve ser ensinada no ambiente escolar é aquela

da elementarização, ou seja, voltada para a formação cidadã.

Nos Parâmetros Curriculares Nacional para o Ensino Médio no Brasil é

evidenciado que:

[...] cabe à Matemática do Ensino Médio apresentar ao aluno o conhecimento de novas informações e instrumentos necessários para que seja possível a ele continuar aprendendo. Saber aprender é a condição básica para prosseguir aperfeiçoando-se ao longo da vida. Sem dúvida, cabe a todas as áreas do Ensino Médio auxiliar no desenvolvimento da autonomia e da capacidade de pesquisa, para que cada aluno possa confiar em seu próprio conhecimento (BRASIL, 1999, p. 252).

Ainda acena que:

O currículo do Ensino Médio deve garantir também espaço para que os alunos possam estender e aprofundar seus conhecimentos sobre números e álgebra, mas não isoladamente de outros conceitos, nem em separado dos problemas e da perspectiva sócio-histórica que está na origem desses temas. Estes conteúdos estão diretamente relacionados ao desenvolvimento de habilidades que dizem respeito à resolução de problemas, à apropriação da linguagem simbólica, à validação de argumentos, à descrição de modelos e à capacidade de utilizar a Matemática na interpretação e intervenção no real (BRASIL, 1999, p. 257).

169

169

No Chile também, o enfoque que é dado a Educação Média é a da

formação para o exercício da cidadania:

La Educación Media es el nivel educacional que atiende a la población escolar que haya finalizado el nivel de educación básica y tiene por finalidad procurar que cada alumno expanda y profundice su formación general y desarrolle los conocimientos, habilidades y actitudes que le permitan ejercer una ciudadanía activa (CHILE, Artículo 20).

Retomamos as considerações veiculadas nos Programas de Estudo que

assegura:

El aprendizaje de la Matemática ayuda en la comprensión de la realidad y proporciona herramientas para desenvolverse en la vida cotidiana. Entre estas herramientas se encuentra el cálculo, el análisis de la información proveniente de diversas fuentes, la capacidad de generalizar situaciones, formular conjeturas, evaluar la validez de resultados y la selección de estrategias para resolver problemas. Todo esto contribuye al desarrollo de un pensamiento lógico, ordenado, crítico y autónomo y al desarrollo de actitudes tales como la precisión, rigurosidad, perseverancia y confianza en sí mismo, las cuales se valoran no sólo en la Ciencia y la Tecnología sino también en todos los aspectos de la vida cotidiana (PE/CHILE, p. 20).

Nos documentos brasileiros e chilenos encontramos o discurso de que o

ensino da Matemática deve ser proposto não somente com vistas a formação

cidadã, mas, também pelo valor cientifico desse saber cientifico:

Contudo, a Matemática no Ensino Médio não possui apenas o caráter formativo ou instrumental, mas também deve ser vista como ciência, com suas características estruturais específicas. É importante que o aluno perceba que as definições, demonstrações e encadeamentos conceituais e lógicos têm a função de construir novos conceitos e estruturas a partir de outros e que servem para validar intuições e dar sentido às técnicas aplicadas (BRASIL, 1999, p. 252).

Continua:

Nessa etapa da escolaridade, portanto, a Matemática vai além de seu caráter instrumental, colocando-se como ciência com características próprias de investigação e de linguagem e com papel integrador importante junto às demais Ciências da Natureza. Enquanto ciência, sua dimensão histórica e sua estreita relação com a sociedade e a cultura em diferentes épocas ampliam e aprofundam o espaço de conhecimentos não só nesta disciplina, mas nas suas inter-relações com outras áreas do saber (BRASIL, 2002, p. 111).

Nos documentos chilenos também é ressaltado essas orientações:

170

170

[…] 2) En el ámbito del conocimiento y la cultura: a) Conocer diversas formas de responder a las preguntas sobre el sentido de la existencia, la naturaleza de la realidad y del conocimiento humano. b) Pensar en forma libre y reflexiva, siendo capaces de evaluar críticamente la propia actividad y de conocer y organizar la experiencia. c) Analizar procesos y fenómenos complejos, reconociendo su multidimensionalidad y multicausalidad. d) Expresarse en lengua castellana en forma clara y eficaz, de modo oral y escrito; leer comprensiva y críticamente diversos textos de diferente nivel de complejidad, que representen lo mejor de la cultura, y tomar conciencia del poder del lenguaje para construir significados e interactuar con otros. e) Usar tecnología de la información en forma reflexiva y eficaz, para obtenerla, procesarla y comunicarla. f) Comprender el lenguaje oral y escrito de uno o más idiomas extranjeros, y expresarse en forma adecuada. g) Comprender y aplicar conceptos, procedimientos y formas de razonamiento matemático para resolver problemas numéricos, geométricos, algebraicos y estadísticos, y para modelar situaciones y fenómenos reales, formular inferencias y tomar decisiones fundadas. h) Comprender y aplicar conceptos, teorías y formas de razonamiento científico, y utilizar evidencias empíricas, en el análisis y comprensión de fenómenos relacionados con ciencia y tecnología. i) Conocer la importancia de la problemática ambiental global y desarrollar actitudes favorables a la conservación del entorno natural. j) Comprender y valorar la historia y la geografía de Chile, su institucionalidad democrática y los valores cívicos que la fundamentan. k) Conocer los principales hitos y procesos de la historia de la humanidad y en especial aquellos aspectos de carácter político, culturales y religiosos de relevancia para la sociedad chilena y tener conciencia de ser parte de un mundo globalizado. l) Tener un sentido estético informado y expresarlo utilizando recursos artísticos de acuerdo a sus intereses y aptitudes (CHILE, art. 30).

Essas ponderações sobre qual Matemática a ser ensinada nesse

segmento educacional são manifestadas timidamente. A ênfase que dada é a de

preparação de pessoas produtivas para se inserirem no mercado de trabalho em

ambos os países.

As análises dos documentos curriculares para a etapa final da

Educação Média nos dois países, reforçam as conclusões já mencionadas nas

análises do Ensino Fundamental e Básica, de que o princípio do construtivismo

está presente nas orientações didáticas e metodológicas de Brasil e Chile.

Sabemos que o Brasil sofreu influências do Movimento da Matemática

Moderna (MMM) e que estas tiveram impactos no Ensino Médio também. Ao se

promulgar a LDB 4024/61, o cenário escolar era dominado pelo ensino tradicional,

ainda que esforços de renovação estivessem em processo. As propostas para o

ensino de ciências debatidas para a confecção daquela lei orientavam-se pela

necessidade de o currículo responder ao avanço do conhecimento científico e às

novas concepções educacionais, deslocando o eixo da questão pedagógica, dos

171

171

aspectos puramente lógicos para aspectos psicológicos, valorizando a

participação ativa do aluno no processo de aprendizagem (BRASIL, 1999, p. 261).

Posteriormente o Brasil buscou novos rumos para o ensino da

Matemática, uma vez que havia no mundo ocidental uma aceleração do modelo

industrial e tecnológico. Os impactos sobre os custos sociais e ambientais

começaram a surgir nos currículos escolares e pela LDB 5692/71 legitimava a

formação de profissionais em nível técnico formado pelo “Ensino Médio” que não

teve sucesso.

Nesse período, diferentes correntes denominadas “construtivistas” cujo

pressuposto básico “é tomar a aprendizagem como resultado da construção do

conhecimento pelo aluno, processo em que se respeitam às idéias dos alunos

prévias ao processo de aprendizagem” (BRASIL, 1999, p. 262), surgiram e

influenciou as novas propostas curriculares de Matemática.

De acordo com os PCNEM a nova LDB/96, assim como seu

detalhamento e encaminhamento pela Resolução CNE/98, apontam para uma

revisão e uma atualização na direção correta. Vários dos artigos daquela

Resolução são dedicados a orientar o aprendizado para uma maior

contextualização, uma efetiva interdisciplinaridade e uma formação humana mais

ampla, não só técnica, já recomendando uma maior relação entre teoria e prática

no próprio processo de aprendizado.

Esse documento enfatiza que entre os maiores desafios para a

atualização pretendida no aprendizado de Matemática, no Ensino Médio, está a

formação adequada de professores, a elaboração de materiais instrucionais

apropriados e até mesmo a modificação do posicionamento e da estrutura da

própria escola, relativamente ao aprendizado individual e coletivo e a sua

avaliação.

O currículo oficial do Brasil contempla as idéias veiculas pelos

construtivistas ressaltando:

[...] podemos destacar que ter iniciativa na busca de informações, demonstrar responsabilidade, ter confiança em suas formas de pensar, fundamentar suas idéias e argumentações são essenciais para que o aluno possa aprender, se comunicar, perceber o valor da Matemática como bem cultural de leitura e interpretação da realidade e possa estar

172

172

melhor preparado para sua inserção no mundo do conhecimento e do trabalho (BRASIL,1999, p. 258).

No Chile emanam também essas reflexões sobre o aprendizado em

Matemática dos alunos e os princípios construtivistas estão presentes de forma

implícita nos textos curriculares:

Las habilidades, conocimientos y actitudes no se adquieren espontáneamente a través del estudio de las disciplinas. Requieren ser promovidas de manera metódica y estar explícitas en los propósitos que articulan el trabajo de los docentes (PE, 2001, MINEDUC, p. 5).

O trabalho no Ensino Médio no Brasil é orientado que se desenvolva

por meio de projetos e em grupos:

Um importante recurso para o desenvolvimento das competências é o trabalho em grupo. Apesar de rejeitado por muitos, sob alegação de que os alunos fazem muito barulho e não sabem trabalhar coletivamente, essa modalidade de trabalho é valiosa para várias das competências que se deseja desenvolver (BRASIL, 2002, p. 129).

Os PCNEM+ sinalizam que esses trabalhos devem ser desenvolvidos

em forma de projetos e nesse sentido o professor tem um papel importante que é

o de:

[...] propor aos alunos o que deseja e buscar com eles, numa primeira negociação, seu engajamento na tarefa, questionando o que significa descrever o perfil dos alunos da classe e sua importância, não só para que seus professores os conheçam e possam aproximar seus planos de trabalho das suas histórias, expectativas e interesses, como para que eles próprios também se conheçam mais, ampliando seus espaços de interação e trocas (BRASIL, 2002, p. 130).

Essa postura esperada do professor em sala de aula configura a noção

de Contrato Didático proposta por Brosseau (2000) .

A lei geral de Educação Chilena 20370/2009 é o documento que define

a educação de modo geral desde a parvulária a média, por isso, recorremos ao

que é explicitado como os deveres do professor como mediador da aprendizagem

dos alunos:

[…]son deberes de los profesionales de la educación ejercer la función docente en forma idónea y responsable; orientar vocacionalmente a sus alumnos cuando corresponda; actualizar sus conocimientos y evaluarse periódicamente; investigar, exponery enseñar los contenidos curriculares

173

173

correspondientes a cada nivel educativo establecidos por las bases curriculares y los planes y programas de estudio; respetar tanto las normas del establecimiento en que se desempeñan como los derechos de los alumnos y alumnas, y tener un trato respetuoso y sin discriminación arbitraria con los estudiantes y demás miembros de la comunidad educativa (Articulo 10º).

O recurso ao uso das tecnologias:

El desarrollo de las capacidades para utilizar las tecnologías de la información y comunicación (TICs) está contemplado de manera explícita como uno de los Objetivos Fundamentales Transversales del marco curricular. Esto demanda que el dominio y uso de estas tecnologías se promueva de manera integrada al trabajo realizado al interior de los sectores de aprendizaje. Para esto se debe procurar que la labor de los estudiantes incluya el uso de las TICs para:

- buscar, acceder y recolectar información en páginas web y otras fuentes; y seleccionar esta información examinando críticamente su relevancia y calidad

- procesar y organizar datos utilizando plantillas de cálculo, y manipular la información sistematizada en éstas para identificar tendencias, regularidades y patrones relativos a los fenómenos estudiados en el sector

- desarrollar y presentar información a través del uso de procesadores de texto, plantillas de

presentación (Power Point), así como herramientas y aplicaciones de imagen, audio y video

- intercambiar información a través de las herramientas que ofrece Internet como el correo

electrónico, Chat, espacios interactivos en sitios web, o comunidades virtuales

- respetar y asumir consideraciones éticas en el uso de las TICs, como el cuidado personal y el respeto por el otro al utilizar estas herramientas, señalar las fuentes de donde se obtiene la información, y respetar las normas de uso y de seguridad de los espacios virtuales (PE/CHILE, 2010, p.12).

Nos PCNEM é enfatizado que:

O impacto da tecnologia na vida de cada indivíduo vai exigir competências

que vão além do simples lidar com as máquinas. A velocidade do

surgimento e renovação de saberes e de formas de fazer em todas as

atividades humanas tornarão rapidamente ultrapassadas a maior parte das

competências adquiridas por uma pessoa ao início de sua vida

profissional. O trabalho ganha então uma nova exigência, que é a de

aprender continuamente em um processo não mais solitário. O indivíduo,

imerso em um mar de informações, se liga a outras pessoas, que, juntas,

complementar-se-ão em um exercício coletivo de memória, imaginação,

174

174

percepção, raciocínios e competências para a produção e transmissão de

conhecimentos. Esse impacto da tecnologia, cujo instrumento mais

relevante é hoje o computador, exigirá do ensino de Matemática um

redirecionamento sob uma perspectiva curricular que favoreça o

desenvolvimento de habilidades e procedimentos com os quais o indivíduo

possa se reconhecer e se orientar nesse mundo do conhecimento em

constante movimento. (BRASIL, 1999, p. 252).

Nos PCNEM e PCNEM+ o texto proposto permite ao leitor reflexões

sobre o que é importante no processo de ensino aprendizagem, não faz menção

explicita as noções de didática da Matemática, no entanto tece considerações

sobre a importância de se trabalhar em grupo e em projetos, destaca a

importância da resolução de problemas como eixo metodológico. Discute algumas

deficiências que se perpetuam no ensino tais como formação de professores,

elaboração de materiais adequados, etc.

5.7 Com relação a indicações sobre o processo de avaliação da aprendizagem

Nesse item vamos analisar como são as orientações de avaliação do

desempenho dos alunos em Matemática no Ensino Médio e Educação Média de

Brasil e Chile, respectivamente, frente avaliações oficiais externas.

A Lei de Diretrizes e Bases Nacional – LDB 9394/96 manteve um currículo

caracterizado por uma base nacional comum e uma parte diversificada que

permite de acordo com a Lei 5472/1971:

Art. 26. Os currículos do ensino fundamental e médio devem ter uma base nacional comum, a ser complementada, em cada sistema de ensino e estabelecimento escolar, por uma parte diversificada, exigida pelas características regionais e locais da sociedade, da cultura, da economia e da clientela.

§ 1o Os currículos a que se refere o caput devem abranger, obrigatoriamente, o estudo da língua portuguesa e da matemática, o conhecimento do mundo físico e natural e da realidade social e política, especialmente do Brasil. (p. 23)

Art. 36. O currículo do ensino médio observará o disposto na Seção I deste Capítulo e as seguintes diretrizes:

175

175

I – destacará a educação tecnológica básica, a compreensão do significado da ciência, das letras e das artes; o processo histórico de transformação da sociedade e da cultura; a língua portuguesa como instrumento de comunicação, acesso ao conhecimento e exercício;

da cidadania;

II – adotará metodologias de ensino e de avaliações que estimulem a iniciativa dos estudantes;

(...)

§ 1o Os conteúdos, as metodologias e as formas de avaliações serão organizados de tal forma que ao final do ensino médio o educando demonstre:

I – domínio dos princípios científicos e tecnológicos que presidem a produção moderna;

II – conhecimento das formas contemporâneas de linguagem (LDB, 1996, p. 29-30)

As preocupações com o desempenho escolar, em face de uma

aprendizagem significativa em Matemática, fomentaram os Ministérios de

Educação dos dois países a conceberem alguns instrumentos de avaliação oficial,

com a finalidade de que, após as análises dos resultados, orientem os novos

rumos à serem seguidos para alcançar as metas educacionais para essa etapa

final da Educação Básica nos dois países.

Tais preocupações se justificam pelo que Cerqueira (2003), apurou em

documentos da Secretaria de Estado da Educação de São Paulo, divulgado em

1997, indicando que nas séries iniciais do ensino fundamental os alunos revelam

um desempenho mais razoável na aplicação de conhecimentos matemáticos -

50% segundo resultados do Sistema de Avaliação de Rendimento Escolar do

Estado de São Paulo (SARESP), mas nas séries finais o desempenho cai para

cerca de 30% e ao final do Ensino Médio cai mais ainda para cerca de 27%.

No ano de 1997, os alunos concluintes da terceira série do Ensino

Médio da rede estadual do Estado de São Paulo participaram de uma avaliação

promovida pelo INEP/MEC. Os dados do desempenho escolar em Matemática

foram analisados por uma equipe de técnicos da Secretaria de Estado de

Educação de São Paulo e esta análise deu origem a um documento publicado em

1998.

176

176

Os itens da prova de Matemática abordaram os seguintes conteúdos:

Geometria, Geometria Analítica, Trigonometria, Sistema Cartesiano, Função,

Equação Modular, Logaritmo, Matrizes, Determinantes, Sistemas Lineares,

Análise Combinatória, Estatística, Números Complexos e Polinômios, ou seja

conteúdos básicos apontados como essenciais por professores que lecionam no

Ensino Médio em conversas informais.

O índice médio de acertos, de acordo com Cerqueira (2003), dos alunos

foi de 27%. Esse desempenho dos alunos foi considerado insatisfatório, se

levarmos em conta, principalmente, os dez anos de escolaridade, que no mínimo

os estudantes já frequentaram.

Possivelmente, o desempenho ruim dos alunos no Ensino Médio seja

uma das justificativa da tomada de decisão por parte do Ministério da Educação

de ter criado o Exame Nacional para o Ensino Médio – ENEM em 1998, para

avaliar conhecimentos obtidos até o término do Ensino Médio.

Atualmente o ENEM67 é usado como forma de seleção unificada nos

processos seletivos das universidades públicas federais e privado.

A nova proposta tem como principais objetivos democratizar as

oportunidades de acesso às vagas federais de ensino superior, possibilitar a

mobilidade acadêmica e induzir a reestruturação dos currículos do ensino médio.

As universidades possuem autonomia e poderão optar entre quatro

possibilidades de utilização do novo exame como processo seletivo:

• Como fase única, com o sistema de seleção unificada, informatizado e on-line;

• Como primeira fase;

• Combinado com o vestibular da instituição;

• Como fase única para as vagas remanescentes do vestibular.

Além dessa possibilidade proposta pelo MEC do Brasil o Exame

Nacional para o Ensino Médio tem sido usado de forma publicitária como

67 Disponível em: http://portal.mec.gov.br/index.php?Itemid=310&id=13318&option=com_content&view=article

177

177

rankiamento por muitas escolas e algumas revistas educacionais, sem a

preocupação de analisar os avanços pessoais dos alunos e das instituições

escolares.

Em muitos casos pode se tornar um instrumento que servirá a

propósitos distantes dos preconizados pelos Ministérios Educacionais.

No Chile, diferente do Brasil, a avaliação é parte constitutiva do

processo de ensino e aprendizagem em Matemática. As avaliações são propostas

regularmente dentro do ano letivo. Retomamos a citação já mencionada no quarto

capitulo onde é enfatizado que:

La evaluación es un proceso que forma parte constitutiva del proceso de enseñanza.

No sólo debe ser utilizada como un medio para controlar qué saben los estudiantes, sino que cumple un rol central en la promoción y desarrollo del aprendizaje. Para que la evaluación efectivamente cumpla con esta función debe tener como objetivos.

• Ser un medio con el cual medimos progreso en el logro de los aprendizajes.

• Proporcionar información que permita conocer fortalezas y debilidades de los

• estudiantes, y sobre esta base retroalimentar la enseñanza y potenciar los logros esperados dentro del sector.

Ser una herramienta útil para la planificación (Programa de Estudio, MINEDUC, p. 17).

Como mencionado anteriormente, as provas do SIMCE são

instrumentos para avaliar a realização dos objetivos fundamentais

e conteúdos mínimos obrigatórios (OF-CMO).

Diversos instrumentos avaliativos compõem as análises do SIMCE

para a Educação Média, são elas:

• Pruebas nacionales SIMCE Evalúa Lenguaje, Matemática y Ciencias (Naturales y Sociales) en alumnos y alumnas de 2° M edio. El subsector de Inglés es evaluado en 3° Medio.

• CÍVICA Civic Education Study. Evalúa educación cívica en alumnos y alumnas de 4° Medio.

178

178

• PISA Programme for International Student Assessment. Evalúa Lenguaje, Matemática y Ciencias en alumnos y alumnas de 15 años (2° Medio principalmente).

Os resultados apresentados nos relatórios referentes aos resultados

das avaliações no Ensino Médio no Brasil e Chile têm motivado reflexões e a

busca de alternativas para a elaboração e consecução de planos curriculares para

o ensino de Matemática que atendam as necessidades dos alunos e que

garantam o ensino e aprendizagem da Matemática nos dois países.

179

179

CAPÍTULO 6

IMPRESSÕES SOBRE OS CURRÍCULOS DE MATEMÁTICA – DEPOIMENTOS DE ALGUNS ATORES

6.1 Introdução

O capítulo objetiva uma tomada de realizações analíticas referentes às

entrevistas realizadas no Brasil e Chile, dadas por gestores que conceberam e/ou

acompanham a execução dos currículos nas escolas. Na exposição, não poderia

faltar os professores que, em tese, têm o papel de desempenhar o que está

preconizado nos documentos curriculares para o ensino da Matemática.

6.2 Perfil dos elaboradores de currículos

O entrevistado brasileiro, professor Ruy César Pietropaolo, participou

da equipe de elaboração do PCN de Matemática para o Ensino Fundamental II.

Na época era mestre em Educação e atualmente é Doutor em Educação

Matemática pela Pontifícia Universidade Católica de São Paulo. Atua como

pesquisador e formador de professores. É co-autor de livros didáticos para o

ensino Fundamental II.

Nosso entrevistado no Chile, o professor Fidel Oteiza, é Mestre em

Educação Matemática e Doutor em Currículo e Instrução pela Universidade do

Estado da Pensilvânia, EUA. Atualmente é professor titular do Departamento de

Matemática e Ciências da Computação da Faculdade de Ciências da

Universidade de Santiago, no Chile e Co-autor de livros didáticos.

Foi fundador e primeiro presidente da Sociedade Chilena de Educação

Matemática - SOCHIEM. Também ocupa as presidências da Associação Chilena

de Informática e Computação na Educação (ACHICE), do Comitê Interamericano

de Educação Matemática (1995/99), além de ser membro da National Council of

180

180

Teachers of Mathematics (NCTM-EUA). Teve ativa participação no governo

chileno na reorganização de currículos para o ensino da Matemática.

A apresentação analítica das entrevistas objetiva desvelar o que há de

positivo, ou não na constituição dos currículos nas especificidades propostas por

Sacristán (2000):

• Os Currículos prescritos;

• Os Currículos apresentados aos professores;

• Os Currículos moldados pelos professores;

• Os Currículos em ação;

• Os Currículos realizados;

• Os Currículos avaliados

6.3 Com relação ao processo de construção dos currículos e sua obrigatoriedade ou não

Nessa seção iniciaremos nossas análises das entrevistas concedidas

por duas pessoas, uma em cada país, que participaram ativamente na construção

e elaboração dos documentos curriculares prescritos de Matemática.

6.3.3 Na voz dos elaboradores dos currículos

O professor Dr. Ruy Cesar Pietropaolo, fora questionado se para ele, o

Brasil detinha um currículo oficial de Matemática. Como resposta declarou:

Sim e não, na verdade nos estados, sabemos que as únicas referências curriculares são os PCN ainda, e as escolas fazem uma interpretação desses currículos. As secretarias de educação sejam municipal ou estadual fazem interpretação e têm esses currículos vamos dizer assim. Outros estados já há uma interpretação dos currículos locais, quer dizer, a própria secretaria investiu na elaboração dos currículos, mais especifico obedecendo as grandes diretrizes dos PCN mas fizeram um currículo mais especifico e outros estados não. Agora, eu penso, que, na verdade o grande currículo, o currículo nacional de matemática e, são os livros didáticos. Parece-me que os livros didáticos, eles acabam fazendo o papel desses currículos dentro das escolas. Na verdade, apesar de ter esses currículos aqui e ali os livros didáticos que são verdadeiramente no Brasil inteiro, são vendidos em São Paulo, são vendidos no Amazonas em outros lugares... outro fator que a escola segue, na hora de elaborar o plano de aula o professor vai olhar para o

181

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livro didático, entendeu? Então, por um outro lado o currículo tenta implementar, tenta fazer suas ações seja de formação contínua tentando seguir o currículo por outro lado o professor na sala de aula , só sua, lá no âmbito dele, na sua sala tentando fazer sua aula com sua turma ele se baseia fundamentalmente no livro didático. Lógico que ele tenta uma vez ou outra alguma inovação aqui e ali e mesmo porque algumas dessas inovações que o currículo traz são encontradas no livro didático também que eles incorporam.

Uma vez obtida a resposta do Dr. Ruy, podemos tornar evidente a

concepção processual que Sacristán (2000) entende como currículo, ou seja, que

é um objeto que se constrói, e que sua implantação, concretização e expressão

de determinadas práticas pedagógicas nos “leva a ver seu significado e

importância real como o resultado das diversas operações” (SACRISTÁN, 2000,

p. 101). Na fala do entrevistado entendemos que a implantação do currículo de

Matemática fica delegada ao professor, na sala de aula, e ele deposita toda sua

crença no livro didático para a concretização por falta de um currículo oficial

prescrito.

Tampouco, observamos também na fala do entrevistado dois níveis de

importância na concepção da objetivação do significado do currículo por Sacristán

(2000), ou seja, o currículo prescrito e o currículo apresentado aos professores.

Qual é o currículo prescrito de Matemática? São os PCN? E qual currículo é

apresentado para os professores? É o livro didático? Tais questionamentos

suscitam preocupações uma vez que o governo brasileiro não se definiu quanto

ao currículo de Matemática prescrito, a fim de sanar essas dúvidas.

Perguntado ao entrevistado, como ocorreu o convite para participar da

elaboração dos PCN e se houve alguma influência da Educação Matemática para

as reflexões e construção desses parâmetros, ele respondeu:

Participei da elaboração da Proposta Curricular do Estado de São Paulo nos anos 80 juntamente com outras pessoas que inclusive mantínhamos contato muitas vezes por meio de reuniões ou no trabalho em instituições de nível superior e acredito que o MEC ao analisar as propostas de todos os estados entendeu que a de São Paulo estava adequada para as pretensões deles uma vez que a proposta de São Paulo trazia os pressupostos da Educação Matemática e acredito que o convite para participar da elaboração foi natural uma vez que as pessoas convidadas estavam a frente da elaboração de documentos curriculares para o estado de São Paulo nos anos 80 e entendo que houve sim grande influencia da Educação Matemática na preparação dos PCN..

182

182

Prosseguindo a entrevista, Dr. Ry foi indagado sobre seu crédulo no

que tange a possibilidade de influência dos PCN no livro didático e nas propostas

municipais e estaduais. Assim, respondeu:

Eu acho que sim [...] No Ensino Fundamental, o PCN, é mais compreensível, ele tem uma linguagem mais direta, diversas interlocuções, ele explicita as capacidades e habilidades, ele fala dos conteúdos e dá várias indicações interessantes; Já os PCNEM ele foram tão vagos que vem sendo modificados ao longo dos anos [...] por isso, acredito que influencia de formas diferentes no ensino Fundamental e Médio, nos livros didáticos.

[...] qualquer autor de livro didático não olha para o Ensino Fundamental e o Ensino Médio da mesma forma, pois para o Ensino Médio são vários documentos que em alguns casos, apresentam alguma contradição.

Quanto às secretarias não tem no Ensino Médio um documento para basearem-se [...] qual é o documento PCNEM, PCNEM+, diretrizes, etc..? Eu sei que o Ensino Médio é complicado[...] no próprio Ensino Médio o professor não sabe a qual documento recorrer enquanto no Ensino Fundamental está claro, ele tem uma interlocução mais fácil com o professor direto com a secretaria de Educação[...]

Essa resposta pode levar ao entendimento de que é reforçada a idéia

sobre o currículo apresentado ao professor e que é cabível considerarmos o

currículo moldado, os quais Sacristán (2000) menciona e caracteriza no primeiro

capítulo dessa pesquisa.

Sacristán (2000) afirma que existem diferentes meios para a

transposição do significado e dos conteúdos do currículo prescrito, até que o

professor tenha contato e assim possa interpretá-los. O autor ainda ratifica, que

como as descrições prescritas costumam ser muito genéricas, o livro didático,

desempenha um papel importante nesse cenário.

Na resposta dada pelo professor, é possível explicitarmos

preocupações sobre os documentos curriculares brasileiros, os quais nos servem

de apoio para essa pesquisa. Fato é, que para o Ensino Fundamental está

basicamente definido, uma vez que sofreram poucas modificações. Contudo, os

documentos curriculares referentes ao Ensino Médio vêm sofrendo diversas

intervenções e modificações68 caracterizando-se assim, um documento que ainda

não está alicerçado.

68 Leis que alteraram a LDB, no que se relaciona direta ou indiretamente com o Ensino Médio, e cujas alterações estão em vigor atualmente:

183

183

De forma semelhante, no que concerne os questionamentos anteriores,

coube ao professor Oteiza a seguinte pergunta: “Para o senhor o Chile tem um

currículo oficial de Matemática?” Traduzida, a resposta foi a seguinte:

Sim, o Chile está em constante movimento de reflexão e retomada de direcionamento da Educação obrigatória. Antes era de oito a educação primária e quatro anos para a educação secundária, agora, será de seis anos para a educação básica e seis anos para Educação Média. Essa política de seis e seis anos é uma tentativa de consolidar na etapa final os conhecimentos aprendidos na primeira etapa.

Até pouco tempo o currículo era organizado em quatro eixos agora são cinco. Os conteúdos são aqueles que contribuem com a formação do aluno[...] somos como carpinteiro e vamos moldando até conseguir atingir o objetivo pretendido..

A fim de aprofundar mais na discussão, o referido professor foi

questionado se existem documentos curriculares para apoiarem os professores

na execução do currículo em sala de aula. Como resposta, obteve-se:

Sim, temos os guias de ajuda e orientação ao professor, os planos de estudo ano a ano e os livros didáticos também são documentos que atendem as orientações curriculares.

- Lei nº 12.061/2009: alterou o inciso II do art. 4º e o inciso VI do art. 10 da LDB, para assegurar o acesso de todos os interessados ao Ensino Médio público. - Lei nº 12.020/2009: alterou a redação do inciso II do art. 20, que define instituições de ensino comunitárias. - Lei nº 12.014/2009: alterou o art. 61 para discriminar as categorias de trabalhadores que se devem considerar profissionais da Educação Básica. - Lei nº 12.013/2009: alterou o art. 12, determinando às instituições de ensino obrigatoriedade no envio de informações escolares aos pais, conviventes ou não com seus filhos. - Lei nº 11.788/2008: alterou o art. 82, sobre o estágio de estudantes. - Lei nº 11.741/2008: redimensionou, institucionalizou e integrou as ações da Educação Profissional Técnica de nível médio, da Educação de Jovens e Adultos e da Educação Profissional e Tecnológica. - Lei nº 11.769/2008: incluiu parágrafo no art. 26, sobre a Música como conteúdo obrigatório, mas não exclusivo. - Lei nº 11.684/2008: incluiu Filosofia e Sociologia como obrigatórias no Ensino Médio. - Lei nº 11.645/2008: alterou a redação do art. 26-A, para incluir no currículo a obrigatoriedade do estudo da História e Cultura Afro-Brasileira e Indígena. - Lei nº 11.301/2006: alterou o art. 67, incluindo, para os efeitos do disposto no § 5º do art. 40 e no § 8º do art. 201 da Constituição Federal, definição de funções de magistério. - Lei nº 10.793/2003: alterou a redação do art. 26, § 3o, e do art. 92, com referência à Educação Física nos Ensinos Fundamental e Médio. - Lei nº 10.709/2003: acrescentou incisos aos art. 10 e 11, referentes ao transporte escolar. - Lei nº 10.287/2001: incluiu inciso no art. 12, referente à notificação ao Conselho Tutelar do Município, ao juiz competente da Comarca e ao respectivo representante do Ministério Publico da relação dos estudantes que apresentem quantidade de faltas acima de cinquenta por cento do percentual permitido em lei.

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Destaca-se na fala do professor Oteiza o que Sacristán identifica como

currículo prescrito, algo que tem influências sociais que orientam sobre o

conteúdo e as finalidades da educação obrigatória. As orientações são

explicitadas nos Planos de Estudo, Guias de Ajuda Básica e como foi dito o livro

didático desempenha um papel importante sendo uma extensão das orientações

curriculares.

Perguntado sobre a influência da Educação Matemática na elaboração

dos currículos prescritos, o mesmo, preferiu não emitir nenhuma opinião a esse

respeito. Já ao ser questionado sobre a organização e elaboração dos livros

didáticos, ou seja, quais são os parâmetros para sua elaboração. A resposta foi

simples, ao afirmar que os livros têm que estar de acordo com os princípios e

orientações didático-metodológicas preconizadas no documento oficial chileno,

caso contrário não é aprovado pelo Mineduc.

As impressões tomadas por essas entrevistas, tal como aportadas com

base nas leituras dos documentos oficiais curriculares são de que no Chile, é que

se tem um documento único, aos quais os professores, secretarias de Educação

e demais interessados recorrem para pesquisas de quaisquer naturezas,

enquanto que no Brasil temos documentos fragmentados para a Educação

Básica, um documento para o Ensino Fundamental e outros para o Ensino Médio.

Na fala dos elaboradores é evidenciado em alguns momentos que o

livro didático, na verdade desempenha a função dos documentos curriculares

prescritos e vigentes na sala de aula, principalmente no Brasil que não tem

oficialmente um currículo de Matemática anunciado. No Chile, embora tenha o

documento curricular de Matemática definido nas entrevistas é enfatizada que o

currículo chega à mão do professor por meio do livro didático.

Perguntado aos elaboradores de currículos do Brasil e Chile quanto a

participação dos professores nas reformas curriculares temos o sentimento de

que a grande maioria não tem participado das discussões e muitos tomam

conhecimento somente quando já está sendo implementado oficialmente.

O professor Ruy relembra que ao participar da elaboração do PCN,

diversas instituições superiores e associações ligadas ao ensino da Matemática,

185

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bem como secretarias de educação do país todo, participaram enviando

pareceres. Aos coordenadores que estavam à frente da construção dos PCN na

época, cabia a responsabilidade de analisá-los juntamente com os participantes,

fazendo as devidas inserções e mudanças dos textos.

Dado a essas premissas, a sensação é de que possivelmente os livros

didáticos que tem como função, segundo os elaboradores de currículos dos dois

países, de apresentar o currículo oficial aos professores, num primeiro momento

não atendam a tais expectativas contempladas. Tal conclusão pode ser dada

partindo do pressuposto de que ao acreditar na implementação dos novos

currículos pelas secretarias de Educação dos âmbitos municipal, estadual ou

federal, não seja possível apresentar, aos professores, também livros didáticos,

que por sua vez tenham sido elaborados na nova concepção.

A credulidade se dá na necessidade de um determinado tempo para

que se absorvam as novas orientações por parte de autores, afim de que se

estruture o novo livro didático sob uma nova visão que atenda às necessidades

dos professores e alunos à luz dos princípios norteadores do currículo proposto.

No Brasil os PCN não são documentos obrigatórios, no entanto o

Relatório de Análise de Propostas Curriculares de Ensino Fundamental e Ensino

Médio de 2010, demonstram que a grande maioria das secretarias municipais e

estaduais no Brasil têm utilizado frequentemente as orientações e princípios

sugeridos por eles.

[...] As propostas atuais trazem as marcas das orientações presentes nos parâmetros e diretrizes curriculares nacionais para a escola básica. Afinal, são documentos produzidos no âmbito estadual e no municipal, como propostas oficiais, elaboradas na interlocução com essas proposições.

Nas propostas analisadas há muitas semelhanças e significativa concordância com essas orientações [...] (p. 6).

Essa citação ratifica a fala do professor Ruy que salienta que o PCN

que deveria servir como uma base de construção dos currículos de Matemática

das secretarias, na verdade foram sendo apropriados, na sua totalidade, por

diversas secretárias de Educação.

186

186

6.3.2 Na voz dos diretores de escola

Nessa seção será apresentada uma análise das respostas às questões

ligadas à execução dos currículos no âmbito escolar, tal como o diretor lida com

as orientações oficiais prescritas e vigentes e como é feita a adaptação dessas

orientações para serem colocadas em prática na sala de aula.

Entendemos que o diretor desempenha uma função pedagógica e

também administrativa. Ele ocupa uma função importante na cadeia “política”,

“administrativa”, de gestão, mais propriamente, na Educação. Além de o diretor

gerir toda a dinâmica escolar do ponto de vista administrativo ele também, de

forma, direta ou indireta, tem que se preocupar com a execução do plano político

pedagógico e isso inclui o cumprimento do currículo oficial prescrito.

Na realização da entrevistas foram efetuados vários questionamentos

aos diretores de escolas na tentativa de elucidar se nossa afirmação anterior de

fato se revela na prática escolar. Como ponto de partida, a entrevista foi iniciada

com a pergunta:

a) “Qual a relação do currículo de Matemática da escola com o PCN? A

escola segue o PCN? Em quais aspectos”?

DIRBR1: Utilizamos o PCN observando os princípios e orientações didáticas e metodológicas. O currículo de matemática da escola precisa ter os PCN como medida uma vez que objetiva a construção do conhecimento dos alunos.É um documento nacional que a maioria das secretarias incorporam ao seu discurso. As provas de concurso para professores trazem claramente essas perspectivas contempladas, se o professor não estiver antenado com isso, ele não passará no concurso, não podendo assim, assumir o cargo. Então, “para mim está muito claro que a escola tem que seguir os PCN em todos os aspectos neles propostos. (grifo nosso)

Na fala do DIRBR1 evidencia-se que o currículo prescrito de

Matemática de fato é o PCN.

DIRBR2: Deveria seguir a risca, mas existe uma grande diferença nos conteúdos desenvolvidos nas escolas públicas e nas privadas. Nas públicas os conteúdos devem coincidir com o programa das apostilas desenvolvidas pela SEE e embasadas nos PCN. Enquanto que nas escolas privadas que são conteudistas e seguem seus materiais elaborados dentro dos PCN mas com muito mais conteúdos. Deve segui-lo na maioria de seus aspectos atendendo sempre as características de

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sua comunidade escolar, quanto à cultura, desenvolvimento educacional familiar, classe social e regional.

Na resposta do DIRBR2, revelam-se duas assertivas. Uma a de que o

PCN é o currículo de Matemática prescrito e, a segunda, de que possivelmente

não há o cumprimento desse currículo em sala de aula.

b) A escola tem autonomia para elaborar seu currículo de matemática?

DIRBR1: A partir das orientações dos PCN a escola tem autonomia para escolher o currículo a ser trabalhado. Toda escola tem que ter um currículo político pedagógico que represente o ensino e aprendizagem dos alunos. A escola tem um currículo de matemática dividido em bimestre e acompanha como está sendo trabalhado e cumprido.

DIRBR2: Desde que não fuja aos PCN, as variações estão em trabalhar conteúdos com maior ou menor ênfase.

Na fala dos dois diretores, novamente, é explicitado que o currículo

prescrito são os PCN.

c) Como a escola elabora seu currículo de matemática?

DIRBR1: Aqui em São Caetano, elaboramos o currículo de Matemática com olhar nos PCN e no currículo argentino que apresenta diversas pesquisas com sequências didáticas que foram testadas e validadas e também com base nos livros didáticos.

DIRBR2: O currículo é elaborado pelos professores da área e depois apresentado à Coordenação e Direção, sempre embasados e estruturados nos PCN.

Novamente é enfatizado que os PCN são os aportes para a elaboração

de quaisquer materiais didáticos e currículos de Matemática.

d) Quais textos/materiais didáticos são consultados para elaborar o

currículo escolar/aula? Como a direção/coordenação pedagógica acompanha a

execução do currículo de matemática?

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DIRBR1: Como diretora, sentava com os professores e coordenadores para analisar e decidir os ajustes do currículo. Duas vezes ao ano, observarmos se havia sido cumprido com qualidade, se atingiu as metas... Fazíamos análises dos materiais utilizados... Esse livro atendia as necessidades dos alunos? Se o livro não atendesse 75% das necessidades dos alunos, nós não adotávamos. Quanto aos livros didáticos, porém entendemos que era muito essa porcentagem, mas tínhamos que tomar um número como parâmetro para justificar se ele era ou não coerente com as propostas dos PCN.

DIRBR2: Geralmente os professores o fazem consultando os PCN, quanto aos materiais didáticos, os livros, servem de referência. Esse trabalho de constatação do currículo em sala de aula é realizado mais pelo coordenador e/ou supervisão. O trabalho é de apoio ao professor do que de intervenção, mesmo porque nem sempre, os coordenadores ou supervisores, têm conhecimento matemático para poder intervir ou interferir.

e) Qual o papel da direção/coordenação pedagógica na elaboração do

currículo de matemática?

DIRBR1: proporcionar um espaço para reflexão, contribuindo com materiais que sejam necessários a essas reflexões, como disponibilizando os PCN, resultados de pesquisas da área, fazendo sugestões, etc.”

DIRBR2: Normalmente tem o papel de subsidiar as pesquisas dos professores com material de orientação e direcionamento para que os mesmos não deixem de cumprir os PCN.

As reflexões sobre as respostas obtidas pelos diretores nos conduzem

a pensar que de fato os PCN são a maior referência documental oficial prescrita e

vigente. Todas as iniciativas dentro da escola para a concretização do currículo

de Matemática estão respaldadas nesses documentos. Mesmo trazendo

informações e contribuições de outros países, como o caso da Argentina,

mencionado pelo DIRBR1 de São Caetano do Sul, quaisquer inserções devem

ser compreendidas nas orientações e princípios didáticos e metodológicos

decorrentes dos PCN.

Na fala de Sacristán (2000), que reforça nossa análise de que “[...] Em

todo sistema educativo, como consequência das regulações inexoráveis à quais

está submetido, levando em conta sua significação social, existe algum tipo de

prescrição ou orientação do que deve ser seu conteúdo, principalmente em

relação à escolaridade obrigatória. São aspectos que atuam na ordenação do

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sistema curricular servindo de ponto de partida para a elaboração de materiais,

controle do sistema, etc. [...]” (p. 104).

No Chile, não houve a oportunidade de entrevistar diretores de escola

por motivo das escolas estarem em greve em nossa visita a esse país. Raimundo

Olfos, no entanto, procurou esclarecer alguns questionamentos semelhantes ao

que foram direcionadas aos diretores brasileiros e que foram sintetizadas a

seguir.

O currículo chileno apresenta estrutura com uma base comum de

conteúdos matemáticos, que devem ser obrigatoriamente cumpridos. As

secretarias de Educação, de cada região, têm autonomia para agregar

conhecimentos que julgarem necessários para suas comunidades. A escola e o

professor também têm essa autonomia.

Como mencionado anteriormente, o SIMCE acompanha por meio de

questionários de contexto e avaliações para alunos, o desempenho das escolas,

que existe uma competição entre elas pleiteando subvenções por dois anos.

Dentre as análises sobre o desempenho escolar que o SIMCE avalia, está a

verificação do cumprimento do currículo proposto pelo ministério da Educação.

Ainda no Chile, existe o Centro de Pais e Apoderados (CPA), que tem

como finalidade auxiliar alunos com dificuldades, orientá-los quanto sua postura

disciplinar, inclusive a de como se vestir, higienizar-se, cortar os cabelos, etc.,

também acompanha o desenvolvimento curricular nas escolas.

Esses esclarecimentos permite-nos compreender que, no Chile, como

existe um currículo definido e proposto pelo governo, possivelmente este esteja

sendo implementado em sala de aula, pelo fato das avaliações que o SIMCE

promove e ainda, pela gratificação aos quais os professores e escola passam a

ter pelo período de dois anos. Acreditamos que a participação dos pais e

apoderados seja, também, uma forma do governo chileno verificar se está sendo

de fato cumprido o currículo de Matemática na sala de aula. Pois, caso isto não

seja uma verdade as escolas, provavelmente, não atingirão o nível de

“excelência” e não receberão a subvenção em peso.

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190

6.3.3 Na voz dos professores que atuam em sala de a ula

O objeto de estudo busca explicitar o que pensam os elaboradores de

currículos sobre o papel do currículo de Matemática como documento oficial.

Nesse sentido, entendemos que de fato, esse procedimento deveria estar sendo

concretizado em sala de aula. Cabe ao trabalho então, explorar a análise das

entrevistas de diferentes profissionais em educação, que atuam de forma direta e

ou indireta, com a execução dos currículos de Matemática na práxis.

Assim, buscamos Identificar e convidar, para entrevistarmos,

profissionais que atuam de maneira direta – o professor em sala de aula – e os de

forma indireta – aqueles que lidam com formações de professores e os diretores.

Nossa experiência permite afirmar que os formadores têm

preocupações centradas nas sequências didáticas, contribuindo com

pressupostos teóricos que justificam o uso de determinados parâmetros, assim

como, seus encaminhamentos. Tais posições, se valem da prerrogativa de se

efetivar o processo de aprendizagem da matemática, sejam pelos alunos

respaldados, sejam pelas orientações curriculares oficiais prescritas e vigentes. O

diretor tem o papel administrativo de verificar se o currículo está sendo cumprido

e se é necessário ajustamentos, para que, seja de fato executado e satisfeito.

Nas entrevistas uma questão proposta está relacionada com a

participação do professor nos movimentos de reconstrução dos currículos de

Matemática.

No próximo item objetiva-se a verificação da ideia de

acompanhamento, assim como, da atuação, de forma que possa ser ouvido e

compreendido no processo de discussão para elaboração do novo currículo oficial

de Matemática.

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6.4 Com relação à participação dos professores e/o u suas representações

A participação dos professores seja ela pessoal, ou por meio de

instituições representativas da categoria, é uma atitude que possibilita ao

professor atuante ser ouvido. Isso não quer dizer que ele será atendido, mas, num

estado democrático poderá debater suas idéias, assim no final poderá convergir

para uma decisão que seja alentadora para todos.

Nesse sentido, foi realizada a seguinte pergunta aos entrevistados:

“Você participa de alguma maneira, pessoalmente ou por meio de instituições

relacionadas ao ensino de matemática, das reformas curriculares”?

Como resposta dos entrevistados:

PBR1 – “Participo das formações que ocorrem no CECAPE (centro de formação em SCS), onde tenho a oportunidade de discutir e elaborar atividades que tenham significado para o aluno”.

PBR2 – “Não”.


PBR4 – “Sim, de reuniões e discussões feitas no período da elaboração da nova proposta curricular do estado, porém, desde sua implantação (há 5 anos atrás) não houve momentos para reflexão sobre a eficácia de tal proposta quanto à ensino-aprendizagem da Matemática, mesmo frente à resultados insatisfatórios apontados por indicadores da qualidade do ensino (Saresp, Enem, prova Brasil, etc). Portanto, mais importante que a implantação de uma proposta curricular, é a sua manutenção, para que ajustes possam ser feitos visando a excelência do ensino público”.


PCH1 – “Não”.

Os professores entrevistados demonstraram que, não vivenciam

democraticamente, de forma direta ou por meio de comunidades representativas

da categoria educacional, de discussões sobre os movimentos de reorientação

curricular em seus países.

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6.5 Com relação a currículos apresentados e a perspectiva de serem moldados.

Nesse tópico tentaremos elucidar qual a visão que os professores têm

acerca dos Currículos Oficiais Prescritos e Vigentes que são apresentados. As

questões propostas tendem a permitir uma análise de quais são as concepções

desses profissionais, que lidam de forma direta com o ensino e aprendizagem de

Matemática, quanto à utilização do currículo apresentado. É intenção explicitar se

eles tem autonomia para realizar escolhas dos conteúdos a serem ensinados na

sala de aula e ainda, se trabalham de maneira linear ou com uma proposta mais

dinâmica, retomando os conteúdos em diversos contextos além de

estabelecerinterfaces com outras áreas de conhecimento e conexões entre os

diversos temas matemáticos propostos para o ano letivo em que lecionam.

A seguinte pergunta foi aferida aos professores: “Você tem autonomia

para elaborar o currículo de matemática”?

Como resposta da questão, obtivemos de cada professor brasileiro:

PBR1: “Acredito que indiretamente, por meio da formação de professores que a Prefeitura de São Caetano do Sul oferece. Nessas formações tenho aprendido que é importante rever minha postura em sala de aula e sobre as escolhas de sequências didáticas que apresento aos alunos. No entanto não posso fugir do que é proposto pela secretaria de Educação daqui.”

PBR2: “Sim e neste ano faremos nas primeiras semanas iniciais, uma avaliação diagnóstica, para depois decidirmos o currículo, mas sempre abordando os conteúdos da Proposta Curricular do Estado de São Paulo.”

PBR3: “Sim, desde que não fuja muito dos conteúdos da Proposta Curricular e que contemple a continuidade deste currículo. Neste ano, por exemplo, aplicaremos uma avaliação diagnóstica nas semanas iniciais e só depois decidiremos o currículo. Esta avaliação visa detectar as principais dificuldades do aluno, traçar estratégias para promover o aprendizado efetivo, corrigir práticas pedagógicas não eficazes e tentar outras possíveis.”

PBR4: “Não, tendo em vista que a determinação dos conteúdos a serem ministrados em cada série deverá ser obedecido conforme a proposta curricular do estado”.

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PBR5: “Sim, desde que esteja dentro das orientações da Proposta do Estado de São Paulo. No inicio de cada ano analisamos cada sala para verificarmos como está o nível de aprendizagem em Matemática e assim em conjunto com os demais professores tomamos a decisão de quais inserções, resgates e conteúdos devem ser realizadas. A autonomia que temos é no sentido de fazer com que o aluno ganhe com isso, jamais para simplesmente acomodar um currículo que facilite a vida do professor”.

PCH1 – “Sim, existe um currículo que é considerado núcleo comum e obrigatório e os professores tem autonomia para acrescentar o que considerar ser importante para o aluno. “Isso pode variar de acordo com a região onde o aluno reside”.

As análises sobre essas respostas enredam o nível de objetivação do

currículo, que Sacristán (2000) menciona com “O currículo apresentado aos

professores”. Não obstante, afirma que comumente os currículos prescritos são

muito genéricos e que para o professor, necessita de uma adequação da

linguagem que revela-se nos livros didáticos. Assim, ao questionar os professores

queríamos explicitar se ele pode realizar escolhas dos conteúdos propostos de

acordo com a realidade e necessidade de seus alunos.

Quanto ao nível, “O currículo moldado pelos professores”, Sacristán

(2000) entende que o professor é o agente ativo e decisivo na concretização dos

conteúdos e dos significados dos currículos.

Os professores, em suas respostas, revelam que possuem certa

autonomia para incorporarem algumas mudanças no currículo proposto, porém,

devem seguir aquilo que é determinado pelas secretarias sejam elas municipais

ou estaduais. Essas determinações têm sido apresentadas aos professores por

meio de sequências didáticas prontas, propostas, livros didáticos etc.

É a decisão do professor que determinará o currículo a ser praticado na

sala de aula. O professor mediará às atividades conduzindo o aluno a construir

seu próprio conhecimento por meio de diferentes estratégias e experiências que

viverão na sala de aula.

Pertinente, foi dirigida aos professores, a seguinte pergunta: “Você

segue o PCN? Em quais aspectos”?

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PBR1: “Sim. O currículo é elaborado com base nos PCN’s. E ainda, desenvolvo projetos que abordam os temas transversais. Este ano, por exemplo, trabalharei Meio Ambiente. E os objetivos para o Ensino Fundamental II estão de acordo com o que é exigido pelo PCN”.

PBR2: “Sim, porque a Proposta Curricular está baseada no PCN. Sempre no aspecto de garantir ao aluno o direito de usufruir do conjunto de conhecimentos reconhecidos como necessários para o exercício de sua cidadania”.

PBR3: “Sim, visto que a Proposta Curricular está baseada no PCN, sigo sim”.

PBR4: “Na medida do possível sim, principalmente em temas transversais que podem ser incorporados a determinados conteúdos no decorrer do ano letivo, em forma de trabalhos complementares, sem comprometer o cumprimento dos conteúdos e atividades direcionados pela proposta curricular e os respectivos cadernos do aluno, distribuídos e seguidos bimestralmente”.

PBR5: “Sim, em relação a atividades que relacionam a matemática com o cotidiano do aluno”.

As respostas dadas sacramentam a existência de um currículo oficial

prescrito e vigente no Brasil, na visão dos professores, pois todos são unânimes

ao afirmarem que as atividades devem estar de acordo com as orientações dos

PCN. Na fala deles, as propostas de São Paulo, por exemplo, estão

fundamentadas nas orientações e princípios do PCN. Identificamos nesse

momento o nível “O currículo prescrito” de Sacristán.

Para o professor chileno foi perguntado: “Você segue algum documento

oficial para lecionar Matemática? Em quais aspectos”? Como resposta:

PCH1: “Sim, temos a Lei Geral da Educação que traz todas as orientações didáticas e metodológicas, os Plano de Estudo, além dos pressupostos teóricos que embasam os princípios e orientações curriculares.

Seguindo, também foi perguntado: “Você tem autonomia decidir o que

ensinar de Matemática na sala de aula?” Obteve-se a seguinte resposta:

PCH1: “Como disse anteriormente, existe uma lista de conteúdos obrigatórios, mas temos autonomia para acrescentar outros temas que entendemos ser importantes”.

Pelas respostas dadas, entendemos que o professor tem amparo de

documentos curriculares, para embasar seu trabalho pedagógico. Existem

determinados conteúdos, dos quais ele tem que cumprir ao longo do ano letivo e

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ainda, pode inserir outros conteúdos matemáticos que julgar pertinente para seus

alunos. É marcante nesse cenário a presença do nível “O currículo prescrito”

proposto por Sacristán (2000), que ratifica “existe algum tipo de prescrição ou

orientação do que deve ser seu conteúdo, principalmente em relação à

escolaridade obrigatória” (SACRISTÁN, 2000, p. 104).

6.6 Com relação a currículos praticados

Busca-se então, a compreensão de qual é o currículo praticado pelos

professores na sala de aula baseados na fala deles.

Para isso, elege-se algumas perguntas que possibilitarão percebe

indícios dessa prática, tanto para os professores brasileiros, como para os

chilenos.

A primeira pergunta feita aos professores foi a seguinte: “ Como você

elabora seu plano de ensino”?

PBR1: “O plano de ensino é elaborado com base no livro didático e no PTD – Planejamento do Trabalho Didático já elaborado pela Prefeitura de São Caetano. Acrescento projetos que serão desenvolvidos ao longo do ano, como por exemplo, a Mostra Cultural, Desafios de Matemática, etc”.

PBR2: “A base para a elaboração do plano de ensino é a Proposta Curricular do Estado de São Paulo. Na minha unidade escolar, nos reunimos por disciplina para discutir e decidir o conteúdo programático e os projetos pedagógicos para o 1º semestre letivo”.

PBR3: “A base para a elaboração do plano de ensino é a Proposta Curricular do Estado de São Paulo, visto que leciono em duas escolas estaduais. Ao mesmo tempo em que o grupo de professores se reúne por disciplina para discutir e escolher o conteúdo programático e os projeto s pedagógicos para o 1º semestre letivo, a coordenação faz o elo entre as diversas disciplinas. Eu, pondero o que a equipe decide com o que o estado delibera”.

PBR4: “O plano de ensino é elaborado nos encontros de planejamento que antecedem cada período letivo, em conjunto com outros professores de Matemática, a partir de determinações da proposta curricular a ser seguida e também das necessidades dos alunos da escola, com base em experiências de anos anteriores e índices apontados por indicadores oficiais do rendimento escolar (Saresp e ENEM)”.

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PBR5: “No Ensino Fundamental da escola pública o plano de ensino já está estabelecido desde a implementação do novo currículo prescrito pelo Projeto São Paulo faz escola, porém existe uma autonomia, onde o professor pode melhorar a abordagem dos assuntos previstos para cada série. Em uma escola particular o plano é elaborado levando em conta os tópicos que são exigidos nos vestibulares de universidades públicas. Em outro colégio particular o plano é elaborado segundo uma sequência de conteúdos que o material do Sistema Didático de Ensino propõe”.

PCH1: “ temos os livros didáticos, o guia básico e lei que norteiam as tomadas de decisão, além disso temos também os resultados do SIMCE que indicam os rumos à serem tomados e o que priorizar na sala de aula.

Na sequência da entrevista foi efetuada a seguinte pergunta: “ Quais

textos/materiais didáticos são consultados para elaborar o currículo escolar/aula”?

As respostas dadas foram as seguintes:

PBR1: “Gosto de trabalhar com “O homem que calculava” como leitura em sala de aula. Ano passado desenvolvemos uma peça teatral que abordou uma passagem do livro em questão. Foi um trabalho bacana. Trabalho também com as sequências propostas pela secretaria de educação e o Livro Didático adotado”.

PBR2: “O Caderno do Aluno fornecido pela SEESP, livros didáticos escolhidos no PNLD – Programa Nacional do Livro Didático e internet”.

PBR3: “A base da consulta é o Caderno do Aluno fornecido pela SEESP. Optei pela consulta de muitos livros didáticos (diversos autores) que foram escolhidos no PNDL. Assim, tenho um visão mais real do que a sociedade espera que este aluno aprenda para ser inserido no mercado de trabalho e/ou dar continuidade à seus estudos. A internet, também, é uma fonte muito boa fonte de consulta para mim e para os alunos. Particularmente, utilizo muito meus blog, site, twitter e face como ferramentas complementares de informação. Softwares matemáticos são excelentes para a contextualização do conhecimento mas, o uso da sala de informática da escola é muito limitado (para não dizer nulo). Mesmo assim, indico aos alunos softwares grátis para que eles mesmos possam ter tal contato”.

PBR4: “São utilizados os livros didáticos distribuídos aos alunos pelo estado no começo de cada ano letivo, a partir da escolha dos professores nos anos anteriores por meio dos programas PNLD ou PNLEM. Nem sempre o livro didático utilizado é a melhor escolha frente à outros materiais disponíveis em cada ocasião, tais como softwares, apostilas, etc, porém, utilizá-los, é uma forma de familiarizar o aluno com o livro que ele possui e que o acompanhará tanto em casa quanto na escola”.

PBR5: “Parâmetros Curriculares Nacionais e Proposta Curricular do Estado de São Paulo”.

PCH1: “Como disse utilizando os resultados das avaliações que indicam as necessidades dos alunos, a lista de conteúdos oficial, etc.”.

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Por fim, foi efetuada a terceira pergunta, ora restrita à ideia de: “como

você trabalha em sala de aula (organização do trabalho com o aluno, forma de

participação do aluno, dinâmica de aula etc.)”.

PBR1: “Os alunos realizam atividades em grupo, em duplas ou mesmo, individualmente. Trabalho com atividades concretas, como por exemplo, um trabalho que já realizei este ano sobre sistemas de numeração. Os alunos aprenderam a registrar números em papiros e tábuas de argila produzidas em sala de aula. Utilizo o recurso da lousa interativa, assim como os nets para pesquisas, registros e elaboração e construção de tabelas e gráficos. As vezes ministro aulas ao ar livre. Acredito que os alunos mantém uma concentração maior. Trabalho de uma forma que possibilita ao aluno desenvolver sua autonomia”.

PBR2: “Por lecionar na parte da manhã e tarde, início pela parte teórica com exercícios resolvidos para exemplificação e após, o caderno do aluno por conter muitos exercícios com situações-problema, sempre verificando a realidade dos meus alunos. Por falta de espaço físico e recursos visuais, utilizo à lousa”.

PBR3: “Vezes começo pelo caderno do aluno, visto que este trabalha muito com situações-problema, onde o aluno vai construindo seu conhecimento. Mas, na maioria das outras vezes, como leciono no período noturno e dependendo da sinergia da sala, opto pela base teórica com exemplificações de exercícios resolvidos. Prefiro o aluno fazendo com a minha ajuda do que esperando acontecer o “insight” pois, o fator tempo atrapalha muito. Por falta de recursos visuais e até de espaço físico adequado, a maior parte das aulas é na lousa. Vez ou outra uma aula prática, um vídeo, etc, e muitas dicas do uso de software e referências na internet. Quando a sala de vídeo (que tem o computador e o projetor) está ocupada, trago o meu computador pessoal e utilizo-o”.

PBR4: “O trabalho em sala de aula é feito de forma restrita, com aula expositiva em quadro negro (lousa), demonstração do conteúdo e exemplos , seguido da resolução de exercícios por parte dos alunos. Um trabalho diferenciado como o uso da sala de informática ou debate de idéias com os alunos sentados em círculo é dificultado, em geral, devido a grande quantidade de alunos por sala de que ainda ocorre em escolas estaduais em São Paulo aula (normalmente mais de 40 alunos por sala, que confortavelmente, comportaria no máximo 30 alunos), o que muitas vezes, dificulta inclusive que o aluno possa participar da aula de outras maneiras diferente de somente “prestar atenção na aula e fazer sua lição no seu lugar”.

PBR5: “Na rede pública as aulas são expositivas utilizando o caderno do aluno e o livro didático. Dependendo do assunto é possível trabalhar utilizando atividades que explorem a criatividade do aluno. Montar sólidos geométricos, atividades de raciocínio lógico”.

PCH1: “No Chile o eixo principal em todas as séries é o da Resolução de Problemas, então trabalhamos diversas situações contextualizadas que

198

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são significativas para os alunos e depois apresentamos outras atividades que levem eles a capacidade de abstração. Os livros trazem muitas atividades que ajudam o professor e os alunos a entenderem os conceitos matemáticos. Utilizamos também os recursos de jogos, calculadoras e em alguns casos o uso de softwares. Os softwares são mais utilizados no ensino da Geometria.

Uma analise mais profunda, do material colhido, ou seja nas respostas

dos professores, concluímos que nos três questionamentos, somos remetidos a

visualização dos níveis de objetivação do currículo que Sacristán (2000) descreve

como “o currículo moldado pelo professor” e “o currículo em ação”. São vários os

fatores que estão presentes no momento da elaboração do plano de aula e de

sua realização na sala de aula, desde os efeitos cognitivos, afetivos, sociais e

morais.

Muitas vezes o professor debruça apenas no material que possui no

momento, como o livro didático, a fim de ajudá-lo a desenvolver suas aulas e

cumprir minimamente o que está prescrito nos documentos oficiais.

Essa conclusão é reforçada pela necessidade de diversas secretarias

de Educação terem que elaborar materiais didáticos, sejam elas sequências

didáticas propostas em cadernos de apoio ou apostilas, entre outros. Qualquer

que seja sua denominação, para que o professor se aproprie das idéias e

concepções dos documentos oficiais e façam uso delas na sala de aula.

Assim, entendemos que ainda há um distanciamento entre o que está

proposto nos documentos curriculares oficiais vigentes e o que está sendo

praticado em sala de aula. Mesmo que os discursos de diretores e professores

que apresentamos nas entrevistas nos levem a crer que esse distanciamento não

exista mais. No entanto, se o professor tem no livro didático, todo a seu

planejamento e suas escolhas didáticas, é preciso que esses livros, de fato,

revelem o currículo prescrito. Embora, não seja objeto de nossa pesquisa,

entendemos ser importante destacar que os livros didáticos de Matemática no

Brasil têm sido alvos de muitas críticas e, em muitos casos de não aprovação pelo

Programa Nacional do Livro Didático (PNLD).

Acreditamos que uma vez que os materiais são elaborados pelas

secretarias municipais e estaduais, eles tendem a diminuir esse distanciamento.

199

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Nas entrevistas realizadas com professores, eles foram questionados

sobre quais eram as teorias que conheciam sobre o ensino e aprendizagem de

Matemática, assim, muitos deles fizeram menção as teorias cognitivas de Piaget e

Vygotsky. Não mencionaram teorias relacionadas ao uso de sequências didáticas,

aos níveis de aprendizagem de geometria de Van Hiele, Parzis, Aline Robert, e

outras teorias que consubstanciam o planejamento da aula do professor de

Matemática.

A resolução de Problemas e Contextualização ficou subtendida na fala

deles, como o uso de sequências didáticas relacionadas ao dia-a-dia do aluno.

O professor chileno fez menção ao uso de alguns recursos que são

sugeridos nos documentos oficiais prescritos, tais como, o recurso às tecnologias,

o uso de jogos e o trabalho com enfoque na resolução de problemas.

6.7 A voz dos professores que atuam na formação e pesquisas relacionadas ao ensino da Matemática

A seção objetiva a exploração das indagações de professores do Brasil

e Chile, de pesquisadores do processo de ensino e aprendizagem em Matemática

e atuantes como formadores de professores da Educação Básica, que tenham

participação direta ou indireta na elaboração das propostas curriculares de

Matemática.

Nesse caso, a pesquisa parte do pressupondo, que o pesquisador

atuante na formação de professores de Matemática, desempenha um papel ligado

à implementação curricular, tornando uma ponte entre o que está disposto nos

documentos (oficiais prescritos e vigentes), com a efetiva ação pedagógica do

professor.

Nesse sentido, o professor por meio dos projetos de formação tem

oportunidades de se apropriar de novas orientações curriculares e dos

pressupostos que norteiam essas orientações, bem como, de estudar, analisar e

refletir sobre novas tendências em Educação Matemática.

200

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Com essa nossa visão de formação, a pesquisa almejou alcançar na

fala dos formadores, o que pensam sobre as reorganizações curriculares e como

é a atuação deles frente aos professores, buscando ainda, entender se eles

acreditam que de fato o currículo prescrito e vigente se revela na prática pelos

professores. Assim, Questionado:

a) Você tem alguma participação direta na elaboração do currículo de

Matemática?

FPCH1: “Diretamente não tenho nenhuma, no entanto a maioria das pessoas que estão a frente dessas mudanças no Ministério de Educação foram alunos meus e queira ou não de forma indireta acredito que tenha sim alguma influência”.

FPCH2: “Não, algumas vezes fui chamado para levantamento e/ou acompanhamento das ações de implementações, para fins de estudo do MINEDUC”

FPBR1 – “ Não participo de nenhuma instituição que possibilita na mudança da reforma curricular de forma direta, mas desenvolvo mini-projetos em outras instituições para sensibilizar professores de matemáticas a participarem de mudanças curriculares nos diversos níveis de ensino. Esses mini-projetos englobam a discussão de artigos científicos no âmbito da Educação Matemática, curso de álgebra, geometria e tendências da área da Educação Matemática como Modelagem Matemática, formação de professores, enfim, tendências que tratam desde questões pertinentes a Matemática, Filosofia, Pedagogia, História da Matemática e da Educação Matemática, Epistemologia, didática e Currículo”.

FPBR2 – “ Fiz parte de Departamento que trabalha na formação continuada de professores de matemática num período pequeno na CENP ( Centro de Estudos e Normas Pedagógicas do Estado de São Paulo) no período da elaboração do currículo, mas não tive espaço para opinar, pois o material já vinha pronto”.

b) Quais são as dificuldades encontradas durante o desenvolvimento

dos planos curriculares de matemática?

FPCH1: “Acredito que a maioria dos professores demoram muito tempo para compreender o que está sendo proposto nos documentos oficiais. Essa compreensão ela acaba sendo concretizada por meio dos materiais didáticos. Toda reforma curricular demanda tempo para ser compreendida e posta em prática”.

FPCH2: “Quando se tem uma nova proposta curricular ela é apresentada ao professor após estar finalizada, pronta... alguns professores desde 1960 com a reforma de Frei Montalva, por conta própria participavam de formações, grupos de verão, para se apropriarem das informações contidas no novo documento, mas eram poucos os que faziam isso.... então entendo que falta uma ação por parte do governo que atenda a todos.... essa função é desempenhada pelas editoras com seus livros didáticos, apostilamentos, etc.”

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FPBR1 – “Acesso aos documentos e tempo para que se apropriem das reorientações. Nas formações observo que muitos professores apesar de já terem passado dezesseis anos de PCN, alguns ainda demonstram não ter compreensão das propostas neles contidos. As jornadas dos professores são cansativas, exaustivas e estressantes, indo de uma escola para outra num curto espaço de tempo, não sobrando “tempo” para sua formação continuada”.

FPBR2 – “Acredito que é a falta de informação por parte de muitos professores.. hoje num mundo tecnológico a informação circula mais rapidamente, mas mesmo assim encontramos professores que não estão em consonância com os Parâmetros Curriculares Nacionais sejam para o Ensino Fundamental e ou Médio. A falta da iniciativa de participação por meio de associações que representam os professores também é um atenuante que depõe contra os professores”.

c) Que materiais educativos disponíveis para discussão e

implementação da reforma curricular são propostos nos encontros de formações?

FPCH1: “Toda a formação é pautada na lei magna do país, e são incorporadas sequências que possibilitem aos professores compreender como ocorre a aprendizagem de Matemática pelos alunos. Os resultados pelos órgãos oficiais chilenos – as avaliações do SIMCE, as produções do CPEIP e as pesquisas em Educação Matemática são avaliadas e disponibilizadas para o grupo em formação”.

FPCH2: “Toda a formação tem uma finalidade e se é intenção dialogar com os professores sobre a implementação curricular entendo que deva ser discutido os “por quês” da reorganização curricular. Assim, acredito que é mais compreensível para os professores e sua aceitação torna-se mais amena a medida que entendam as novas necessidades da aprendizagem no ambiente escolar. Posteriormente, trabalhamos os aportes teóricos que são frutos de pesquisa que auxiliam o professor tem uma visão mais ampliada da sua ação didática”.

FPBR1 – “Muitos materiais são preparados pelas secretarias que levam o professor a compreender e incorporar as novas tendências do ensino da Matemática. Trabalhamos prioritariamente sequências de atividades que sejam significativas para os alunos e possibilitem a compreensão dos conteúdos matemáticos”.

FPBR2 – “Entendo que estamos vivendo desde 1997 muitos movimentos de reorientação curricular no ensino da Matemática, são secretarias produzindo materiais desde orientação curriculares e expectativas de aprendizagem até sequências de atividades para serem trabalhadas na sala de aula. Nesse sentido nas formações são discutidas as dinâmicas pedagógicas e analise didáticas das atividades. Todas as orientações são aportadas pelos documentos oficiais vigentes”.

202

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6.8 Considerações finais

Na realização dessa pesquisa procuramos nos ater as fases que Ferrer

(2002) sugere como primordiais para um estudo comparativo.

Na Fase Pré- Descritiva fizemos nossas escolhas quanto a seleção,

Identificação e Justificativa da problemática em questão. Em seguida

apresentamos a hipótese de reconhecimento, de que nos últimos 20 anos as

mudanças curriculares influenciadas pelas pesquisas na área da Educação e da

Educação Matemática, tornaram-se relevantes em diversos países, em especial,

no Brasil e no Chile.

Ao delimitarmos nossa investigação, nos deparamos com termos que

cada país utiliza a fim de indicar a etapa educacional. No primeiro momento no

Chile, havia uma educação primária e outra secundária. Atualmente é

denominada Básica e Média, respectivamente, porém com uma diferença. A

educação primária era de oito anos e a secundária de quatro anos.

Atualmente, a Básica e Média são compostas por seis anos de

escolaridade cada. No Brasil, para efeitos comparativos, temos o Ensino

Fundamental e Médio. Por isso, ao identificarmos os segmentos educacionais

para comparação, indicávamos também, a faixa etária dos alunos inseridos

nessas etapas escolares.

Não obstante, estabelecemos nossa questão de investigação que é de

explicitação direcionada à questão de quais são as influências da Educação

Matemática nos currículos de Matemática do Brasil e Chile.

Para a busca de uma resposta plausível, nosso questionamento de

pesquisa procurou estabelecer categorias de análises para comparar os

currículos de Matemática prescritos em ambos os países, assim como as

categorias de análises das entrevistas.

Destacamos que nosso estudo seria realizado em três etapas, ao

considerar, a primeira etapa compreende pesquisa bibliográfica, a segunda,

pesquisa de campo, e a terceira, análises documentais das entrevistas

concedidas.

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A intenção inicial resumiu-se em parear as entrevistas, ou seja,

entrevistar um diretor no Brasil e um diretor no Chile, um professor de uma etapa

educacional no Brasil e outro no Chile, além de um professor na etapa

equivalente ao do Brasil. Contudo, isso não foi possível, pois em visita ao Chile,

em julho de 2011, havia greve geral da Educação, encerrou-se no final do ano

referido. Mesmo ao contatar alguns professores, eles se negaram em conceder

entrevistas.

No Brasil, houve diversas dificuldades para entrevistar professores e/ou

diretores, pois muitos se negaram. Entretanto, obtivemos sucesso, pois colhemos

alguns depoimentos de professores, diretores e formadores de professores que

se disponibilizaram em atender-nos.

Uma dúvida suscitou-nos, a de escolher apenas uma entrevista com

professor no Brasil e parear com o professor do Chile que nos concedeu a

entrevista. E os demais professores brasileiros que concederam a entrevista?

Excluir ou manter todas as entrevistas, mesmo não sendo possível parear por

segmento educacional.

Nossa decisão foi a de manter todas as contribuições dos professores e

diretores, além de acrescentar informações obtidas por meio de observações e

conversas informais com as pessoas receptivas do Brasil e Chile. Tampouco,

foram lícitas as informações colhidas em comunicações via e-mails.

Na fase descritiva e interpretativa da pesquisa, houve interação com a

fase da justaposição, pois, foi nesse momento, que descrevemos, interpretamos e

confrontamos os dados levantados. Para tanto, apresentamos no final dos

capítulos 1 e 3, uma síntese das coletas. Já no capitulo 2, entendemos não ser

necessário a síntese, pelo fato de dissertamos integralmente sobre a importância

da Educação Comparada, que por sua vez intui ao trabalho e na dinâmica de

pesquisa, a ideia de que desenvolveríamos coleta de dados e entrevistas.

Nos capítulos 4 e 5 analisamos comparativamente os ensinos por etapa

educacional, sendo que a primeira compreende alunos com faixa etária dos 6 aos

14 anos, e a segunda dos 15 aos 17 anos.

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6.9 Explicitando semelhanças e ou diferenças na etapa educacional para alunos com idades entre 6 a 17 anos

Nesse momento passaremos a fase comparativa, objetivo final, ou

seja, apresentarmos quais são as semelhanças e ou diferenças nesses currículos

de Matemática, tratando o cerne da questão de nosso objeto de pesquisa.

A primeira e significativa diferença identificada é quanto ao currículo

oficial prescrito. No Chile, todos os envolvidos na Educação sabem qual

documento curricular que deverá usar para lecionar Matemática na Educação

Básica e Média.

No Brasil, não há definição por parte do Ministério de Educação, de

qual é o documento oficial, prescrito e aplicável, que o professor deverá apoiar-se.

Para os que atuam no Ensino Fundamental, a escolha são os Parâmetros

Curriculares Nacionais, que possivelmente poderá ajudá-lo a pensar em suas

aulas.

Para o Ensino Médio têm-se os Parâmetros Curriculares Nacionais

para o Ensino Médio, PCNEM, o PCNEM + e diversas Diretrizes69, as quais vem

69 Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Médio.

• Parecer CEB n.º 15, de 1 de junho de 1998

• Resolução n.º 3, de 26 de junho de 1998 Institui as Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Médio.

• Parecer CNE/CEB nº 39/2004, aprovado em 08 de dezembro de 2004

Aplicação do Decreto nº 5.154/2004 na Educação Profissional Técnica de nível médio e no Ensino Médio.

• Resolução CNE/CEB nº 1, de3 de fevereiro de 2005, Atualiza as Diretrizes Curriculares Nacionais definidas pelo Conselho Nacional de Educação para o Ensino Médio e para a Educação Profissional Técnica de nível médio às disposições do Decreto nº 5.154/2004.

• Parecer CNE/CEB nº 20/2005, aprovado em 15 de setembro de 2005, Inclusão da Educação de Jovens e Adultos, prevista no Decreto nº 5.478/2005, como alternativa para a oferta da Educação Profissional Técnica de nível médio de forma integrada com o Ensino Médio.

• Resolução CNE/CEB nº 4, de 27 de outubro de 2005, Inclui novo dispositivo à Resolução CNE/CEB 1/2005, que atualiza as Diretrizes Curriculares Nacionais definidas pelo Conselho Nacional de Educação para o Ensino Médio e para a Educação Profissional Técnica de nível médio às disposições do Decreto nº 5.154/2004.

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sendo anunciadas ao longo dos últimos anos, para elucidar dúvidas e propor

encaminhamentos para a concretização do ensino da Matemática nessa etapa de

escolaridade.

No ensino Médio, os livros didáticos brasileiros que, muitos dos

entrevistados, afirmaram ser o currículo oficial de Matemática apresentado nas

escolas, apresentam os conteúdos que estão propostos nos PCNEM+ e outros,

que não estão contemplados, como é o caso dos Números Complexos. Também

poderíamos indicar funções modulares e funções inversas, que não estão

explicitados no documento curricular.

Isso remete os professores a quererem cumprir todos os conteúdos do

livro didático, principalmente, se levarem em conta o processo seletivo para

inserção no curso superior de diversas instituições públicas, que tradicionalmente

elaboram provas sem contexto, valorando as técnicas matemáticas presentes em

cada questão da prova. Esse fato é muito comum nas instituições particulares do

que nas públicas. Mas, incomoda-nos pensar que realmente temos duas

realidades distintas na Educação, uma vinculada aos Parâmetros Curriculares

Nacionais para ensino Fundamental e Médio, que é o da formação cidadã, e a

outra que além da preparação para a cidadania, prepara os alunos para o ensino • Parecer CNE/CEB nº 38/2006, aprovado em 7 de julho de 2006, Inclusão obrigatória das disciplinas de Filosofia e Sociologia no currículo do Ensino Médio.

• Resolução CNE/CEB nº 4, de 16 de agosto de 2006, Altera o artigo 10 da Resolução CNE/CEB nº 3/98, que institui as Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Médio.

• Parecer CNE/CEB nº 18/2007, aprovado em 8 de agosto de 2007, Esclarecimentos para a implementação da Língua Espanhola como obrigatória no Ensino Médio, conforme dispõe a Lei nº 11.161/2005.

• Parecer CNE/CEB nº 22/2008, aprovado em 8 de outubro de 2008

Consulta sobre a implementação das disciplinas Filosofia e Sociologia no currículo do Ensino Médio.

• Resolução CNE/CEB nº 1, de 18 de maio de 2009, Dispõe sobre a implementação da Filosofia e da Sociologia no currículo do Ensino Médio, a partir da edição da Lei nº 11.684/2008, que alterou a Lei nº 9.394/1996, de Diretrizes e Bases da Educação Nacional (LDB).

• Parecer CNE/CP nº 11/2009, aprovado em 30 de junho de 2009, Proposta de experiência curricular inovadora do Ensino.

• Parecer CNE/CEB nº 5/2011, aprovado em 5 de maio de 2011 - Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Médio.

206

206

propedêutico de instituições públicas, que apresentam avaliações para inserção

de dados, que privilegiam técnicas em detrimento das competências e habilidades

dos candidatos ao ingresso nessas instituições.

Em nossas investigações, essa dicotomia não se revelou no Chile.

Embora, o SIMCE ratifica que analisa e respeita as limitações concernentes ao

processo de aprendizagem em Matemática das comunidades, na qual, o aluno

está inserido, promove a ideia de que há diferenças sócio-econômicas entre

diversas regiões chilenas, além de que, dependendo da atividade econômica

dessas regiões, os resultados de desempenho nas avaliações da aprendizagem

demonstram significativas diferenças, assim isto pode influenciar na decisão dos

alunos em prosseguir seus estudos em nível superior.

No Ensino Fundamental e Médio do Brasil e Educação Básica e Média

do Chile, observamos que a estrutura curricular difere em números de blocos de

conteúdos, no entanto, essa diferença é apenas escolha de cada país na forma

de organização e distribuição dos conteúdos a serem desenvolvidos no decorrer

dessas etapas educacionais. Verificamos conteúdos elencados em um país, que

pareiam com a do outro, isto é, não identificamos diferenças nas listas de

conteúdos matemáticos.

A tendência do processo de ensino e aprendizagem da Matemática,

indicada nos documentos de Brasil e Chile, é permeada pelo eixo metodológico,

Resolução de Problemas. Essa metodologia é fomentada por diversos

organismos, fundamentados nas diversas pesquisas em Educação Matemática.

Nos dois países é reforçada a necessidade de uma formação

conceitual, procedimental e atitudinal, mas para isso, dialogam os conhecimentos,

perpassando, no caso do ensino Fundamental, pelos temas transversais e no

ensino Médio por meio de projetos escolares.

Na Educação Básica chilena, há uma ênfase maior em Álgebra. A

ênfase dada no ensino Fundamental está relacionada à prática em detrimento às

especulações teóricas.

Já na etapa educacional para alunos com idades compreendidas de 15

a 17 anos, que no Brasil equivale ao Ensino Médio e no Chile Educação Média,

207

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existe quase um equilíbrio, tendendo um pouco mais para as especulações

teóricas. Acreditamos que, como essa etapa é a da finalização dos estudos antes

ligados ao nível superior, existam uma ponderação entre os conhecimentos para

o aluno exercer sua cidadania, assim como apresentá-lo a uma estrutura

matemática organizada, estruturada e axiomátizada. Estamos nos referindo ao

rigor da Matemática, para que o aluno compreenda sua cultura.

Revelamos preocupações e orientações com o papel do erro no

processo de ensino e aprendizagem da Matemática. Em ambos os países, as

relações devem ser desenvolvidas no ambiente escolar, entre professores e

alunos, alunos e alunos, etc.

Identificamos alguns princípios do construtivismo nos currículos de

Matemática dos dois países, tais como, o aluno como ser ativo no processo de

construção de seu conhecimento.

Uma característica importante e que difere com o Brasil, é a

participação do Centro de Professores e Apoderados (CPA), que é uma

organização reconhecida pelo Ministério de Educação chilena e que tem uma

presença importante nas escolas, como discorrido antes.

No Brasil, essa ação por parte dos pais e responsáveis pelos alunos

não existe, pelo menos oficialmente reconhecido pelo governo brasileiro.

Nos documentos curriculares que elegemos para nossas análises,

foram contempladas diversas orientações para o uso dos recursos tecnológicos,

principalmente calculadoras e computadores. No discurso textual desses

documentos é preconizado que as tecnologias estão a serviço da sociedade e por

isso, é elementar que os alunos tenham acesso a elas e aprendam a utilizá-las

adequadamente, atendendo as necessidades peculiares de cada disciplina

Outro aspecto marcante e presente nos dois países é o da avaliação de

aprendizagem dos alunos. Existem diversos instrumentos para esse fim nos dois

países.

No Brasil e Chile, os resultados das avaliações podem oferecer

indicativos de possíveis problemas que obstruam os avanços no processo de

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ensino e aprendizagem da Matemática e, após as análises e reflexão, por parte

dos governos de cada país, a partir desses resultados, estabelecer quais rumos

tomarem. Tomada de decisão, que tem a finalidade de reorientar a jornada

pedagógica com perspectivas a concretizar as finalidades para o ensino da

Matemática. Retomamos a fala de Sacristám (2002) anunciando que o “currículo

desde um enfoque processual ou prático e é um objeto que se constrói durante

sua configuração, implantação, concretização e expressão de determinadas

práticas pedagógicas e em sua própria avaliação, como resultado de diversas

intervenções que nele se operam”. (SACRISTÁM, 2002, p.101)

Outra diferença que observamos é relacionada com a carga horária

anual letiva de cada país. No Chile é de 1680 horas/aula, enquanto que no Brasil

pode chegar a 1000 horas. No Chile e no Brasil está sendo implantada, muito

lentamente, a jornada integral para a Educação Básica nesses países.

Uma diferença entre Brasil e Chile nesse aspecto, é que no Chile existe

a possibilidade de gratificação por desempenho escolar durante dois anos. Essa

prática, a nosso ver, promove uma disputa acirrada entre as escolas, fomentando,

provavelmente, a consecução do currículo prescrito naquele país.

No Brasil, alguns estados oferecem um bônus, atrelado a metas, que

determinadas secretarias de educação estipulam. Em São Paulo, isso vem

acontecendo há alguns anos e é denominado de 14º (décimo quarto pagamento).

Esse bônus é pago apenas uma vez no inicio do ano.

Retomando nossa pergunta de pesquisa:

Quais são as influências da Educaç ão Matemática nos currículos

de Matemática do Brasil e Chile?

Elencamos diversas tendências, que vêm sendo verbalizadas e

dialogadas em seminários e congressos em Educação Matemática, tais como, o

uso da contextualização para o ensino da Matemática, resolução de problemas

como ponto de partida para o ensino da Matemática, o desenvolvimento das

capacidades e habilidades dos alunos, o recurso ao uso das tecnologias e da

História nas aulas de Matemática, valorizar o erro e idéias relacionadas ao

contrato didático.

209

209

Verificamos que os currículos de Matemática do Brasil e Chile estão

estruturados com uma visão modernista, considerando as dimensões que Rico

(1997) evidencia presente nas análises que realizamos nos capítulos quatro e

cinco.

Os três componentes que constituem um currículo pós modernista, que

Bishop (1991) considera relevante, assim como os componentes simbólicos que

são definidos pelas seis atividades de contar, localizar, medir, desenhar, jogar e

explicar configura-se presentes nos currículos analisados. Isso, partindo da

premissa de que essas atividades constituem a base para a formação cidadã dos

alunos. O componente social é ressaltado pelas propostas de se trabalhar nas

escolas, por meio de projetos educativos. E o componente cultural é que se

caracteriza mais no Ensino Médio do Brasil e Educação Média do Chile, uma vez

que a estrutura e os encaminhamentos pedagógicos sugerem um tratamento pelo

rigor da Matemática, atendendo os cinco princípios enunciados que são: os da

representatividade, o do formalismo, da acessibilidade, do poder explicativo e da

concepção ampla e elementar.

Nas comparações de currículos entre os dois países, desvelou-se que

Matemática ensinar para os alunos, e que Fey (1994) anunciava, ou seja, uma

Matemática Pura ou o da elementarização. A estrutura curricular, da forma como

está organizada, nos permite afirmar que a Matemática presente para os alunos

nas etapas educacionais, por nós investigadas é o da elementarização. Somente

na etapa final dos estudos pelos alunos é que se notam preocupações com os

aspectos do rigor.

Os quatro critérios que Doll (1997) destaca como essenciais na

construção do currículo pós modernista, foram por nós explicitados nas

comparações entre nosso Ensino Fundamental e Médio com os da Educação

Básica e Média do Chile, ou seja, nos currículos dos dois países. Os quatro

critérios que Silva (2009) sugeriu, também se mostraram presentes na

configuração dos currículos brasileiros e chilenos.

Os elementos necessários que Skovsmose (2001), defende para a

elaboração e consecução do currículo como a competência crítica, a distância

210

210

crítica e o engajamento crítico, manifestaram-se na organização desses currículos

com vistas a formação cidadã dos alunos.

E finalmente, os níveis ou fases na objetivação do significado e

concretização dos currículos que Sacristán (2000) argumenta, foram identificados

nas entrevistas concedidas. Ao analisarmos as respostas dadas pelos diversos

atores envolvidos na Educação, desvelamos que no Brasil o documento curricular

oficial prescrito de fato são os Parâmetros Curriculares Nacionais (currículo

prescrito) para o Ensino Fundamental e Médio e que o currículo apresentado aos

professores, nas escolas, são os livros didáticos e os outros materiais produzidos

por secretarias de Educação.

Nas falas dos diretores quanto ao currículo apresentado, a

possibilidade de rever o que será ensinado e de aberta a possibilidade de inserir

outros conceitos, é revelado que os livros didáticos e materiais confeccionados

por secretarias de Educação das esferas municipais e estaduais são concebidos

fundamentados nos Parâmetros Curriculares Nacionais para o ensino

fundamental e médio. Nesse contexto, a maioria dos professores seguem os

conteúdos matemáticos propostos.

Alguns demonstraram terem uma visão limitada acerca do ensino de

Matemática, quando afirmaram para nós que a autonomia que possuem é de dar

mais ou menos ênfase a determinados conteúdos

Já os professores, apresentaram um discurso que demonstra

entendimento sobre o seu papel no processo de ensino e aprendizagem em

Matemática, alegando que respeitam as orientações curriculares anunciadas nos

currículos apresentados. Contudo, refletem e fazem escolhas de como ensinar

seus alunos a aprenderem Matemática. Configura então, uma espécie de

currículo moldado pelos professores, que por sua vez define suas

intencionalidades.

Quanto ao currículo realizado, que remete ao nível da concretização

dos currículos, os professores, afirmaram que em conjunto com os demais pares

da profissão de docente, refletem sobre os conteúdos propostos nos currículos

apresentados. Tomam o devido cuidado em não fugir da proposta veiculada pela

211

211

secretaria de Educação ao qual, está inserido. Contudo, organizam seus

planejamentos para o ensino da Matemática a partir das necessidades de

aprendizagem dos alunos e também, dos indicadores de desempenhos oficiais de

rendimentos escolares, caracterizando também, o currículo avaliado.

Nossa experiência em Educação no Brasil, aportados pelos

depoimentos dos entrevistados por nós, é revelado por uma tendência no ensino

de Matemática no Brasil e pelas diversas secretarias de Educação, que é a de

produzir materiais didáticos com ênfase em sequências didáticas, que por sua vez

é permeada pela resolução de problemas, além de ligada ao cotidiano dos alunos.

No Chile, os entrevistados asseguram possuir autonomia para fazer

inserções de conceitos matemáticos, além daqueles que são obrigatórios para

cada ano letivo. Como no Chile existe um currículo oficial todas as instâncias

ligadas ao ensino obrigatório e de nível superior, há clareza de onde buscar

orientações para avaliar o conhecimento dos alunos, para quaisquer que sejam as

finalidades; como a de verificar o nível de desenvolvimento do aluno bem como a

de acesso aos cursos promovidos pelos Liceus e instituições em nível superior.

Não identificamos a dualidade que mencionamos existir no

Brasil, principalmente nas instituições particulares, no que se refere à formação

cidadã, e ou a preparação para o vestibular, que não ocorre no Chile por conta da

existência da obrigatoriedade da Educação Básica e Média e do currículo oficial

prescrito nesse país. Nesse sentido, é desejável que o Ministério de Educação do

Brasil posicione-se o mais urgente possível e institua o Currículo Oficial Prescrito

para o ensino de Matemática na Educação Básica.

No Chile, a mudança quanto ao número de anos em cada etapa de

escolaridade – seis anos para a Educação Básica e seis para a Educação Média

– está ligada às necessidades de mercado de trabalho. Antes a Educação Básica

era de oito anos e, agora sendo de seis, possibilita aos jovens (principalmente de

classes sociais mais desfavorecidas), serem aproveitados no mercado de

212

212

trabalho, pois a cada ano concluído na Educação Média, ele recebe uma

certificação dessa conclusão assegurando o prosseguimento de seus estudos.70

Diante do que expusemos sobre o levante das análises e reflexões,

acreditamos na possibilidade de afirmar, que existem vários elementos

indicadores de que as contribuições da Educação Matemática têm de fato, não só

influenciado, mas também, foram de suma importância para a elaboração dos

currículos prescritos do Brasil e Chile.

70 Tais afirmativas são baseadas em pressupostos. Nesse sentido, não há especificações técnicas ou documentais que possas fundamentar essa afirmativa.

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ANEXO 1 – Comparação do PCN e Programa de Estúdio

BRASIL CHILE Conceitos e procedimentos para o

primeiro ciclo do Ensino Fundamental - PCN

Programa de Estudio Del Primer y Segundo Años Básico

Números Naturais e Sistema de Numeração Decimal • Reconhecimento de números no contexto diário. • Utilização de diferentes estratégias para quantificar elementos de uma coleção: contagem, pareamento, estimativa e correspondência de agrupamentos. • Utilização de diferentes estratégias para identificar números em situações que envolvem contagens e medidas. • Comparação e ordenação de coleções pela quantidade de elementos e ordenação de grandezas pelo aspecto da medida. • Formulação de hipóteses sobre a grandeza numérica, pela identificação da quantidade de algarismos e da posição ocupada por eles na escrita numérica. • Leitura, escrita, comparação e ordenação de números familiares ou frequentes. • Observação de critérios que definem uma classificação de números (maior que, menor que, estar entre) e de regras usadas em seriações (mais 1, mais 2, dobro, metade). • Contagem em escalas ascendentes e descendentes de um em um, de dois em dois, de cinco em cinco, de dez em dez, etc., a partir de qualquer número dado. • Identificação de regularidades na série numérica para nomear, ler e escrever números menos frequentes. • Utilização de calculadora para produzir e comparar escritas numéricas. • Organização em agrupamentos para facilitar a contagem e a comparação entre grandes coleções. • Leitura, escrita, comparação e ordenação de notações numéricas pela compreensão das características do sistema de numeração decimal (base, valor posicional).

Números Lectura de números: nombres, secuencia numérica y reglas a considerar (lectura de izquierda a derecha, reiteraciones en los nombres). Escritura de números: formación de números de dos y tres cifras y reglas a considerar (escritura de izquierda a derecha, la posición de cada dígito). Usos de los números en contextos en que sirven para identificar objetos, para ordenar elementos de un conjunto, para cuantificar, ya sea contando, midiendo o calculando Conteo de cantidades: de uno en uno, y formando grupos, si procede (de 10, de 5, de 2). Medición de longitud, volumen, masa (peso) y reconocimiento de unidades correspondientes a cada una de estas magnitudes (metro, centímetro; litro, centímetro cúbico; kilogramo, gramo). Comparación de números y empleo de las relaciones “igual que”, “mayor que” y “menor que”. Estimación de una cantidad o medida, a partir de la visualización y manipulación tanto de conjuntos de objetos como de magnitudes físicas. Comparación de cantidades y de medidas utilizando relaciones de orden entre los números correspondientes. Transformación de números por aplicación reiterada de una regla aditiva y estudio de secuencias numéricas para determinar regularidades (Ej: números terminados en 0 o en 5, números pares e impares). Descomposiciones aditivas de un número y representación con objetos concretos o dibujos. (Ejs: 9 como 4 + 5, como 3 + 6, etc., 23 como 19 + 4, como 10 + 13, etc.). Variación del valor de un dígito de acuerdo a la posición que ocupa: centenas, decenas, unidades y transformación de un número por cambio de posición de sus dígitos. Composición y descomposición aditiva de un número en un múltiplo de 100, un múltiplo de

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10 y unidades.

Operações com Números Naturais • Análise, interpretação, resolução e formulação de situações-problema, compreendendo alguns dos significados das operações, em especial da adição e da subtração. • Reconhecimento de que diferentes situações-problema podem ser resolvidas por uma única operação e de que diferentes operações podem resolver um mesmo problema. • Utilização de sinais convencionais (+, -, x, :, =) na escrita das operações. • Construção dos fatos básicos das operações a partir de situações-problema, para constituição de um repertório a ser utilizado no cálculo. • Organização dos fatos básicos das operações pela identificação de regularidades e propriedades. • Utilização da decomposição das escritas numéricas para a realização do cálculo mental exato e aproximado. • Cálculos de adição e subtração, por meio de estratégias pessoais e algumas técnicas convencionais. • Cálculos de multiplicação e divisão por meio de estratégias pessoais. • Utilização de estimativas para avaliar a adequação de um resultado e uso de calculadora para desenvolvimento de estratégias de verificação e controle de cálculos.

Operaciones aritméticas Asociación de situaciones que implican: • juntar y separar, agregar y quitar • avanzar y retroceder • y comparar por diferencia, con las operaciones de adición y sustracción Utilización de adiciones y sustracciones para relacionar la información disponible (datos) con la información no conocida (incógnita), al interior de una situación de carácter aditivo. Descripción de resultados de adiciones y sustracciones en el contexto de la situación en que han sido aplicadas. Conteo de objetos concretos o de dibujos para determinar sumas y restas. Combinaciones aditivas básicas: memorización gradual de adiciones de dos números de una cifra (Ej. 2 + 4 = 6), apoyada en manipulaciones y visualizaciones de material concreto. Deducción de las sustracciones respectivas considerando la reversibilidad de las acciones (Ej. 6 - 4 = 2 y 6 - 2 = 4) Generalización de las combinaciones aditivas básicas a las correspondientes decenas (Ej. 20 + 40 = 60) y centenas (Ej. 200 + 400 = 600). Cálculo mental de sumas de números de dos y de tres cifras con un número de una cifra, utilizando estrategias tales como: descomposición aditiva de un sumando para completar decenas (Ej. 25 + 7 como 25 + 5 + 2). Conmutación de sumandos (Ej. 6 + 241 como 241 + 6). Cálculo por proximidad a una suma de dobles (Ej. 8 + 9 como 8 + 8 + 1). Cálculo mental de restas de números de dos y de tres cifrasmenos un número de una cifra, utilizando descomposición aditiva para completar decenas (Ej. 37 - 9 como 37 - 7 = 30 y 30 - 2 = 28). Simbología asociada a adiciones y sustracciones escritas Cálculo escrito de sumas y restas con números de dos y tres cifras, con complejidad creciente de las relaciones entre ellos: • para la adición, utilizando estrategias como la descomposición aditiva de cada sumando. Ejs. 40 +1 3 = 40 + 10 + 3; 57 + 38 = 50 + 30 + 7 + 8. En forma similar al sumar números con tres cifras. Ejs. 125 + 24 = 100 +20 + 5 + 20 + 4; 237 + 452 = 200 + 30 + 7 + 400 + 50 + 2. • para la sustracción, completando decenas y centenas a

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partir del sustraendo. Ejemplos: (a) 54 - 30 como 30 + ___ = 54 ; 30 + 20 + 4 = 54; (b) 50 - 28 como 28 +____= 50 ; 28 + 2+ 20 = 50. Estimación de resultados de adiciones y sustracciones a partir del redondeo de los términos involucrados Comparación de variados ejemplos de adiciones con el mismo resultado, correspondientes a cambio de orden de los sumandos (conmutatividad) y a la secuencia en que se realizan las adiciones de más de dos sumandos (asociatividad) y formulación de afirmaciones que implican un reconocimiento de estas propiedades. Comparación de variados ejemplos de adiciones y sustracciones en que uno de los términos es 0 (elemento neutro) y formulación de afirmaciones respecto al comportamiento del 0 en sumas y restas. Comparación de variados ejemplos de adiciones y sustracciones que corresponden a acciones inversas como agregar5 y quitar 5 y formulación de afirmaciones que implican un reconocimiento de la relación inversa entre adición y sustracción

Espaço e Forma • Localização de pessoas ou objetos no espaço, com base em diferentes pontos de referência e algumas indicações de posição. • Movimentação de pessoas ou objetos no espaço, com base em diferentes pontos de referência e algumas indicações de direção e sentido. • Descrição da localização e movimentação de pessoas ou objetos no espaço, usando sua própria terminologia. • Dimensionamento de espaços, percebendo relações de tamanho e forma. • Interpretação e representação de posição e de movimentação no espaço a partir da análise de maquetes, esboços, croquis e itinerários. • Observação de formas geométricas presentes em elementos naturais e nos objetos criados pelo homem e de suas características: arredondadas ou não, simétricas ou não, etc. • Estabelecimento de comparações entre objetos do espaço físico e objetos geométricos — esféricos, cilíndricos, cônicos, cúbicos, piramidais, prismáticos — sem uso obrigatório de nomenclatura. • Percepção de semelhanças e diferenças entre cubos e quadrados, paralelepípedos e retângulos, pirâmides e triângulos, esferas e círculos. • Construção e representação de formas geométricas.

Formas y espacio Asociación entre objetos del entorno y formas geométricas (líneas curvas y rectas, cuadrados, rectángulos, triángulos, círculos, cubos, prismas rectos, cilindros y esferas), utilizando los nombres geométricos correspondientes. Número de dimensiones de las formas geométricas: distinción entre líneas (una dimensión), figuras planas (dos dimensiones) y cuerpos (tres dimensiones). Reconocimiento del carácter curvo o recto en las formas geométricas de una y dos dimensiones y del carácter curvo o plano, en las formas de tres dimensiones. Identificación de lados, vértices, ángulos, en una figura plana y descripción de cuadrados, rectángulos y triángulos considerando número y longitud de los lados y presencia de ángulos rectos. Exploración de figuras planas empleando materiales de apoyo (varillas, geoplanos, redes de puntos y otros); trazado y armado de cuadrados, rectángulos y triángulos. Formación y transformación de figuras planas mediante yuxtaposición y corte de formas cuadradas, triangulares y rectangulares. Identificación de caras, aristas y vértices en cuerpos geométricos y descripción de cubos y prismas rectos con bases de distintas formas, considerando número de aristas y de vértices, número y forma de las caras y percepción de la perpendicularidad entre ellas.

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Exploración de cuerpos geométricos; modelado y armado de cubos y prismas rectos. Transformación de cuerpos geométricos mediante yuxtaposición y separación de cubos y prismas rectos. Posiciones y trayectorias de objetos: descripción considerando referentes, direcciones y cambios de dirección.

Grandezas e Medidas • Comparação de grandezas de mesma natureza, por meio de estratégias pessoais e uso de instrumentos de medida conhecidos — fita métrica, balança, recipientes de um litro, etc. • Identificação de unidades de tempo — dia, semana, mês, bimestre, semestre, ano — e utilização de calendários. • Relação entre unidades de tempo — dia, semana, mês, bimestre, semestre, ano. • Reconhecimento de cédulas e moedas que circulam no Brasil e de possíveis trocas entre cédulas e moedas em função de seus valores. • Identificação dos elementos necessários para comunicar o resultado de uma medição e produção de escritas que representem essa medição. • Leitura de horas, comparando relógios digitais e de ponteiros.

Tratamento da Informação • Leitura e interpretação de informações contidas em imagens. • Coleta e organização de informações. • Criação de registros pessoais para comunicação das informações coletadas. • Exploração da função do número como código na organização de informações (linhas de ônibus, telefones, placas de carros, registros de identidade, bibliotecas, roupas, calçados). • Interpretação e elaboração de listas, tabelas simples, de dupla entrada e gráficos de barra para comunicar a informação obtida. • Produção de textos escritos a partir da interpretação de gráficos e tabelas.

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BRASIL CHILE Conceitos e procedimentos para o

Segundo Ciclo do Ensino Fundamental PCN

Programa de Estudio Del Tercer y Cuarto Años Básico

Números Naturais, Sistema de Numeração Decimal e Números Racionais. • Reconhecimento de números naturais e racionais no contexto diário. • Compreensão e utilização das regras do sistema de numeração decimal, para leitura, escrita, comparação e ordenação de números naturais de qualquer ordem de grandeza. • Formulação de hipóteses sobre a grandeza numérica, pela observação da posição dos algarismos na representação decimal de um número racional. • Extensão das regras do sistema de numeração decimal para compreensão, leitura e representação dos números racionais na forma decimal. • Comparação e ordenação de números racionais na forma decimal. • Localização na reta numérica, de números racionais na forma decimal. • Leitura, escrita, comparação e ordenação de representações fracionárias de uso frequente. • Reconhecimento de que os números racionais admitem diferentes (infinitas) representações na forma fracionária. • Identificação e produção de frações equivalentes, pela observação de representações gráficas e de regularidades nas escritas numéricas. • Exploração dos diferentes significados das frações em situações-problema: parte-todo, quociente e razão. • Observação de que os números naturais podem ser expressos na forma fracionária. • Relação entre representações fracionária e decimal de um mesmo número racional. • Reconhecimento do uso da porcentagem no contexto diário.

Números Números naturales: del 0 al 1 000 000 Lectura de números: nombres, tramos de secuencia, consideración del cero en distintas posiciones, regularidades(reiteración de los nombres de los números de una, dos y tres cifras a los que se agrega la palabra “mil” para nominar números de cuatro, cinco y seis cifras). Escritura de números: formación de números de cuatro, cinco y seis cifras a partir de los ya conocidos, a los que se agrega una, dos y tres cifras según se trate de miles, decenas de miles o centenas de miles, respectivamente. Representación de números, cantidades y medidas en una recta graduada y lectura de escalas en instrumentos de medición. Uso de tablas, cuadros de doble entrada, gráficos de barra para seleccionar y organizar datos Usos de los números en situaciones diversas, tales como: comunicar resultados, responder preguntas, relatar experiencias Procedimiento para comparar números, considerando el número de cifras y el valor posicional de ellas y para redondear números a distintos niveles de aproximación (a decenas, a unidades de mil, etc.) y uso de los símbolos asociados al orden de los números. Estimación y comparación de cantidades y medidas, directa mente, por visualización o manipulación, o mediante redondeo de acuerdo al contexto de los datos. Transformación de números por aplicación reiterada de una regla aditiva y estudio de secuencias numéricas constituidas por múltiplos de un número. Descomposición multiplicativa de un número, representación con objetos concretos o dibujos y exploración de distintas descomposiciones de un mismo número (Ejemplo: 24 como 12 x 2, como 8 x 3, como 6 x 4, etc.). Valor representado por cada cifra de acuerdo a su posición en un número expresado en unidades y transformación de un número de más de 3 cifras por cambio de posición de sus dígitos Composición y descomposición aditiva y multiplicativa de un número en unidades y múltiplos de potencias de 10. (Ejemplo 2 384 = 2 x 1 000 + 3 x 100 + 8 x 10 + 4). Sistema monetario nacional: monedas,

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billetes, sus equivalencias y su relación con el sistema de numeración decimal. Unidades de medida: de longitud (kilómetros, metros, centímetros), de superficie (metros cuadrados, centímetros cuadrados), de volumen (litros, centímetros cúbicos), de masa o “peso” (toneladas, kilogramos, gramos), equivalencias dentro de unidades de medida para una misma magnitud y su relación con el sistema de numeración decimal. Unidades de medida de tiempo: días, horas, minutos, segundos, como ejemplos de un sistema de medida no decimal. Números racionales: las fracciones Situaciones de reparto equitativo y de medición que dan lugar a la necesidad de incorporar las fracciones. Fraccionamiento en partes iguales de objetos, de unidades de medida (longitud, superficie, volumen) mediante procedimientos tales como, dobleces y cortes, trazado de líneas y coloreo de partes, trasvasamientos. Reconstrucción del entero a partir de las partes, en cada caso. Lectura y escritura de fracciones: medios, tercios, cuartos, octavos, décimos y centésimos, usando como referente un objeto, un conjunto de objetos fraccionables o una unidad de medida. Uso de fracciones: en la representación de cantidades y medidas de diferentes magnitudes, en contextos cotidianos. Familias de fracciones de igual valor con apoyo de material concreto. Comparación de fracciones mediante representación gráfica y ubicación en tramos de una recta numérica graduada en unidades enteras.

Operações com Números Naturais e Racionais • Análise, interpretação, formulação e resolução de situações-problema, compreendendo diferentes significados das operações envolvendo números naturais e racionais. • Reconhecimento de que diferentes situações-problema podem ser resolvidas por uma única operação e de que diferentes operações podem resolver um mesmo problema. • Resolução das operações com números naturais, por meio de estratégias pessoais e do uso de técnicas operatórias convencionais, com compreensão dos processos nelas envolvidos. • Ampliação do repertório básico das operações com números naturais para o

Operaciones aritméticas Adiciones y sustracciones en situaciones que: implican una combinación de ambas operaciones, contienen la incógnita en distintos lugares; permiten diferentes respuestas. Generalización de combinaciones aditivas básicas a múltiplos de 1 000 (Ejemplos: 3 000 + 4 000; 30 000 + 40 000; 300 000 + 400 000) y empleo de estrategias de cálculo mental conocidas (Ejemplo: 25 + 7 como 25 + 5 + 2 ) en números de la familia de los miles (Ejemplo: 25 000 + 7 000 como 25 000 + 5 000 + 2 000). Procedimientos de cálculo escrito de adiciones y sustracciones que, partiendo de la descomposición aditiva de los sumandos y de la completación de decenas y centenas, gradualmente se van resumiendo hasta llegar

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desenvolvimento do cálculo mental e escrito. • Cálculo de adição e subtração de números racionais na forma decimal, por meio de estratégias pessoais e pelo uso de técnicas operatórias convencionais. • Desenvolvimento de estratégias de verificação e controle de resultados pelo uso do cálculo mental e da calculadora. • Decisão sobre a adequação do uso do cálculo mental — exato ou aproximado — ou da técnica operatória, em função do problema, dos números e das operações envolvidas. • Cálculo simples de porcentagens.

a alguna versión de los algoritmos convencionales. Aplicación de estos procedimientos en el ámbito de los números conocidos. Asociación de situaciones correspondientes a una adición reiterada, un arreglo bidimensional (elementos ordenados en filas y columnas), una relación de proporcionalidad (correspondencia uno a varios), un reparto equitativo y una comparación por cuociente, con las operaciones de multiplicación y división. Utilización de multiplicaciones y divisiones para relacionar la información disponible (datos) con la información no conocida (incógnita), al interior de una situación de carácter multiplicativo. Descripción del significado de resultados de multiplicaciones y divisiones en el contexto de la situación en que han sido aplicadas. Manipulación de objetos y representación gráfica de situaciones multiplicativas y utilización de técnicas tales como adiciones o sustracciones reiteradas, para determinar productos y cuocientes. Combinaciones multiplicativas básicas: memorización paulatina de multiplicaciones con factores hasta 10 (Ejemplo: 3 x 4 = 12), apoyada en manipulaciones y visualizaciones con material concreto. Deducción de las divisiones respectivas (Ejemplo: 12 : 4 = 3 y 12 : 3 = 4). Multiplicación de un número por potencias de 10 (Ejemplo: 23 x 1 000= 23 000) y las divisiones respectivas (Ejemplo: 23 000 : 1 000 = 23). Cálculo mental de productos y cuocientes utilizando estrategias tales como: descomposición aditiva de factores (Ejemplo: 25 x 12 como 25 x 10 + 25 x 2), descomposición multiplicativa de factores (Ejemplo: 32 x 4 como 32 x 2 x 2), reemplazo de un factor por un cuociente equivalente (Ejemplo: 48 x 50 como 48 x 100 : 2). Simbología asociada a multiplicaciones y divisiones escritas. División con resto distinto de 0 y establecimiento de igualdades del tipo: 29 = 7 x 4 + 1 que proviene de la división 29 : 4. Prioridad de la multiplicación y la división sobre la adición y la sustracción en la realización de cálculos combinados (Ejemplo: 16 – 4 x 2 = 16 – 8). Cálculo escrito de productos en que uno de los factores es un número de una o dos cifras o múltiplo de 10, 100 y 1 000; y de cuocientes y restos en que el divisor es un número de una cifra: • para la multiplicación, utilizando inicialmente estrategias basadas en la descomposición

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aditiva de los factores y en la propiedad distributiva de la multiplicación sobre la adición, que evolucionan hasta llegar a alguna versión del algoritmo convencional; • para la división, basándose en la determinación del factor por el cual hay que multiplicar el divisor para acercarse al dividendo, de modo que el resto sea inferior al divisor. Uso de la calculadora en base a consideraciones tales como, cantidad de cálculos a realizar, tamaño de los números, complejidad de los cálculos. Técnicas de estimación y redondeo para controlar la validez de un cálculo y detectar eventuales errores. Comparación de variados ejemplos de multiplicaciones con resultado constante y formulación de afirmaciones que implican un reconocimiento de las propiedades en juego, correspondientes a: • cambio de orden de los factores (conmutatividad); • secuencia en que se realizan las multiplicaciones de más de dos factores (asociatividad); • productos en los que uno de los factores es una suma (distributividad de la multiplicación respecto a la adición). Comparación de variados ejemplos de multiplicaciones y divisiones en las que intervienen el 0 y el 1 (Ejemplos: 24 x 1 = 24; 84 x 0 = 0; 18 : 0 no está definida), y formulación de afirmaciones respecto del comportamiento del 0 y el 1 en multiplicaciones y divisiones. Comparación de variados ejemplos de multiplicaciones y divisiones que corresponden a situaciones inversas como: repartir equitativamente entre 5 y luego volver a juntar lo repartido, y formulación de afirmaciones que implican un reconocimiento de la relación inversa entre la multiplicación y la división.

Espaço e Forma • Descrição, interpretação e representação da posição de uma pessoa ou objeto no espaço, de diferentes pontos de vista. • Utilização de malhas ou redes para representar, no plano, a posição de uma pessoa ou objeto. • Descrição, interpretação e representação da movimentação de uma pessoa ou objeto no espaço e construção de itinerários. • Representação do espaço por meio de maquetes. • Reconhecimento de semelhanças e diferenças entre corpos redondos, como a esfera, o cone, o cilindro e outros. • Reconhecimento de semelhanças e

Formas y espacio Elementos geométricos en figuras planas: rectas paralelas y rectas perpendiculares (percepción y verificación); clasificación de ángulos en rectos, agudos (menor que el ángulo recto), y obtusos (mayor que el ángulo recto). Triángulos: Exploración de diversos tipos de triángulos y clasificación en relación con: • la longitud de sus lados (3 lados iguales, sólo 2 lados iguales, 3 lados desiguales); • la medida de sus ángulos (1 ángulo recto, sólo ángulos agudos, 1 ángulo obtuso); • el número de ejes de simetría (con 0, con 1 o con 3 ejes de simetría).

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diferenças entre poliedros (como os prismas, as pirâmides e outros) e identificação de elementos como faces, vértices e arestas. • Composição e decomposição de figuras tridimensionais, identificando diferentes possibilidades. • Identificação da simetria em figuras tridimensionais. • Exploração das planificações de algumas figuras tridimensionais. • Identificação de figuras poligonais e circulares nas superfícies planas das figuras tridimensionais. • Identificação de semelhanças e diferenças entre polígonos, usando critérios como número de lados, número de ângulos, eixos de simetria, etc. • Exploração de características de algumas figuras planas, tais como: rigidez triangular, paralelismo e perpendicularismo de lados, etc. • Composição e decomposição de figuras planas e identificação de que qualquer polígono pode ser composto a partir de figuras triangulares. • Ampliação e redução de figuras planas pelo uso de malhas. • Percepção de elementos geométricos nas formas da natureza e nas criações artísticas. • Representação de figuras geométricas.

Trazado de triángulos pertenecientes a las clases estudiadas. Cuadriláteros: Exploración de diversos tipos de cuadriláteros y clasificación en relación con: • la longitud de sus lados (todos los lados iguales, todos los lados diferentes y 2 pares de lados iguales); • el número de pares de lados paralelos (con 0, con 1 o con 2 pares); • el número de ángulos rectos (con 0, con 2 o con 4); • el número de ejes de simetría (con 0, con 1, con 2, con 4). Trazado de cuadriláteros pertenecientes a las clases estudiadas. Realización de traslaciones, reflexiones y rotaciones manipulando dibujos de objetos y de formas geométricas, para observar qué características cambian y cuáles se mantienen. Ampliación y reducción de dibujos de objetos y de formas geométricas para observar qué características cambian y cuáles se mantienen. Prismas rectos, pirámides, cilindros y conos: Exploración y descripción en relación con: • el número y forma de las caras • el número de aristas y de vértices Armado de estos cuerpos en base a una red. Representación plana de objetos y cuerpos geométricos, e identificación del objeto representado y de la posición desde la cual se realizó. Representación gráfica de trayectorias: dibujar considerando referentes, direcciones y cambios de dirección e interpretación que permita ejecutar la trayectoria representada.

Grandezas e Medidas • Comparação de grandezas de mesma natureza, com escolha de uma unidade de medida da mesma espécie do atributo a ser mensurado. • Identificação de grandezas mensuráveis no contexto diário: comprimento, massa, capacidade, superfície, etc. • Reconhecimento e utilização de unidades usuais de medida como metro, centímetro, quilômetro, grama, miligrama, quilograma, litro, mililitro, metro quadrado, alqueire, etc. • Reconhecimento e utilização de unidades usuais de tempo e de temperatura. • Estabelecimento das relações entre unidades usuais de medida de uma mesma grandeza. • Reconhecimento dos sistemas de medida que são decimais e conversões usuais, utilizando-as nas regras desse sistema. • Reconhecimento e utilização das medidas de tempo e realização de conversões

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simples. • Utilização de procedimentos e instrumentos de medida, em função do problema e da precisão do resultado. • Utilização do sistema monetário brasileiro em situações-problema. • Cálculo de perímetro e de área de figuras desenhadas em malhas quadriculadas e comparação de perímetros e áreas de duas figuras sem uso de fórmulas. Tratamento da Informação • Coleta, organização e descrição de dados. • Leitura e interpretação de dados apresentados de maneira organizada (por meio de listas, tabelas, diagramas e gráficos) e construção dessas representações. • Interpretação de dados apresentados por meio de tabelas e gráficos, para identificação de características previsíveis ou aleatórias de acontecimentos. • Produção de textos escritos, a partir da interpretação de gráficos e tabelas, construção de gráficos e tabelas com base em informações contidas em textos jornalísticos, científicos ou outros. • Obtenção e interpretação de média aritmética. • Exploração da idéia de probabilidade em situações-problema simples, identificando sucessos possíveis, sucessos seguros e as situações de “sorte”. • Utilização de informações dadas para avaliar probabilidades. • Identificação das possíveis maneiras de combinar elementos de uma coleção e de contabilizá-las usando estratégias pessoais.

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ANEXO 3 – Comparação do PCN e Programa de Estúdio BRASIL CHILE

Conceitos e procedimentos para o terceiro ciclo do Ensino Fundamental II

Programa de Estudio Del quinto e Sexto Años Básico

Números e Operações • Reconhecimento dos significados dos números naturais em diferentes contextos e estabelecimento de relações entre números naturais, tais como “ser múltiplo de”, “ser divisor de”. • Compreensão do sistema de numeração decimal, identificando o conjunto de regras e símbolos que o caracterizam e extensão das regras desse sistema para leitura, escrita e representação dos números racionais na forma decimal. • Reconhecimento de números inteiros em diferentes contextos — cotidianos e históricos — e exploração de situações-problema em que indicam falta, diferença, orientação (origem) e deslocamento entre dois pontos. • Reconhecimento de números racionais em diferentes contextos — cotidianos e históricos — e exploração de situações-problema em que indicam relação parte/todo, quociente, razão ou funcionam como operador. • Localização na reta numérica de números racionais e reconhecimento de que estes podem ser expressos na forma fracionária e decimal, estabelecendo relações entre essas representações. • Análise, interpretação, formulação e resolução de situações-problema, compreendendo diferentes significados das operações, envolvendo números naturais, inteiros e racionais, reconhecendo que diferentes situações-problema podem ser resolvidas por uma única operação e que eventualmente diferentes operações podem resolver um mesmo problema. • Cálculos (mentais ou escritos, exatos ou aproximados) envolvendo operações — com números naturais, inteiros e racionais —, por meio de estratégias variadas, com compreensão dos processos nelas envolvidos, utilizando a calculadora para verificar e controlar resultados. • Compreensão da potência com expoente inteiro positivo como produto reiterado de fatores iguais, identificando e fazendo uso das propriedades da potenciação em situações-problema. • Atribuição de significado à potência de expoente nulo e negativo pela observação de regularidades e pela extensão das propriedades das potências com expoente positivo. • Compreensão da raiz quadrada e cúbica de um número, a partir de problemas como a determinação do lado de um quadrado de

Unidad 1 – Números para 5º ano 1. Escribir, ordenar y comparar números naturales de más de seis dígitos. 2. Comunicar información relativa a situaciones representadas por números de más de seis cifras. 3. Reconocer números primos de una, dos y tres cifras y resolver problemas matemáticos donde ellos intervienen. 4. Calcular el Mínimo Común Múltiplo y el Máximo Común Divisor de números Naturales. 5. Descubrir regularidades que se establecen entre divisores, factores y múltiplos de números naturales al descomponer éstos en factores primos. 6. Reconocer regularidades en la multiplicación por potencias de diez con números naturales. 7. Resolver en forma oral y escrita los procedimientos utilizados en la multiplicación y en la división. 8. Resolver problemas con:

• adición, sustracción y multiplicación. • divisiones, utilizando la relación entre

el dividendo, divisor y resto de esas divisiones.

úmeros y Álgebra para 5º ano 1. Calcular expresiones algebraicas reemplazando la letras por el valor numérico. 2. Representar situaciones numéricas utilizando letras. 3. Utilizar el procedimiento de reducción de términos semejantes. 4. Demostrar y comprender las fracciones utilizando representaciones concretas y pictóricas para:

• Escribir grupos de fracciones iguales • Comparar fracciones con igual y

distinto denominador 5. Describir y representar decimales (decimos, centésimos y milésimos) en forma concreta pictórica y simbólica. 6. Relacionar decimales con fracciones (hasta centésimas). 7. Utilizar estrategias para representar y ordenar fracciones y decimales positivos en la recta numérica. 8. Utilizar procedimientos escritos para efectuar adiciones y sustracciones con fracciones. 9. Utilizar procedimientos de cálculo mental y escrito para efectuar adiciones y sustracciones con decimales positivos.

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área conhecida ou da aresta de um cubo de volume dado. • Cálculos aproximados de raízes quadradas por meio de estimativas e fazendo uso de calculadoras. • Resolução de situações-problema que envolve a idéia de proporcionalidade, incluindo os cálculos com porcentagens, pelo uso de estratégias não-convencionais. • Resolução de problemas de contagem, incluindo os que envolvem o princípio multiplicativo, por meio de estratégias variadas, como a construção de esquemas e tabelas. • Utilização de representações algébricas para expressar generalizações sobre propriedades das operações aritméticas e regularidades observadas em algumas sequências numéricas. • Compreensão da noção de variável pela interdependência da variação de grandezas. • Construção de procedimentos para calcular o valor numérico de expressões algébricas simples.

10. Resolver problemas en contextos diversos utilizando operatorias con fracciones y decimales Unidad 1 – Números y Algebra I para 6º ano 1. Identificar regularidades en la multiplicación y división de un número decimal por 10, 100, o 1.000. 2. Calcular en forma escrita y mental multiplicaciones y divisiones de fracciones. 3. Relacionar las fracciones impropias Con números mixtos. 4. Demostrar que comprenden la multiplicación y la división de decimales. 5. Estudiar regularidades en la multiplicación y división de fracciones y números decimales positivos utilizando la calculadora. 6. Demostrar que comprenden las razones utilizando material concreto, en forma gráfica y simbólica. 7. Demostrar que comprenden porcentajes (en el ámbito de los números naturales) con material concreto, gráficamente, y simbólicamente. 8. Establecer la relación que existe entre porcentajes y su expresión como fracción o decimal y aplicarla en la resolución de problemas. 9. Formular y verificar conjeturas respecto del comportamiento de algún fenómeno mediante el estudio de variaciones porcentuales. 10. Resolver problemas en contextos diversos que:

- Involucran las cuatro operaciones aritméticas en el ámbito de los números naturales, fracciones y decimales positivos.

Unidad 2 – Números y Algebra II para 6º ano 1. Expresar potencias de base 10 y exponente natural y aplicarlas en situaciones diversas. 2. Identificar regularidades al multiplicar y dividir potencias de igual base y exponente natural. 3. Representar generalizaciones que surjan a partir de relaciones numéricas utilizando letras como variables. 4. Reconocer ecuaciones de primer grado con una incógnita en el ámbito de los números naturales verificando la igualdad. 5. Utilizar estrategias para resolver ecuaciones de primer grado que son

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modelos de diversas situaciones de la vida cotidiana. 6. Verificar soluciones de ecuaciones de primer grado con una incógnita obtenidas en la resolución de ellas, mediante sustitución de la incógnita o el análisis del contexto.

Tratamento da Informação • Coleta, organização de dados e utilização de recursos visuais adequados (fluxogramas, tabelas e gráficos) para sintetizá-los, comunicá-los e permitir a elaboração de conclusões. • Leitura e interpretação de dados expressos em tabelas e gráficos. • Compreensão do significado da média aritmética como um indicador da tendência de uma pesquisa. • Representação e contagem dos casos possíveis em situações combinatórias. • Construção do espaço amostral e indicação da possibilidade de sucesso de um evento pelo uso de uma razão.

Unidad 2 – Dato y Azar para 5º ano 1. Extraer información a partir de datos organizados en gráficos de línea y barras múltiples. 2. Comparar información extraída de datos organizados en gráficos de línea, barras múltiples y responder preguntas a partir de la información obtenida. 3. Construir gráficos de líneas, manualmente o usando herramientas tecnológicas a partir de datos organizados en tablas. 4. Construir gráficos de barras múltiples, manualmente o usando herramientas tecnológicas a partir de datos organizados en tablas. 5. Reconocer como se comportan ciertas variables cuya relación se expresa en un gráfico de barras múltiples y de línea. 6. Expresar la probabilidad de ocurrencia de un evento mediante un lenguaje simple. Unidad 2 – Dato y Azar para 6º ano 1. Demostrar que comprenden las medidas de tendencia central: • determinando las medidas de tendencia central (media, mediana, moda) y el conjunto de datos. • determinando la más apropiada de las medidas de tendencia central que Entregue resultados y conclusiones. • interpretando su significado a partir de información obtenida en medios de comunicación. 2. Construir y rotular gráficos circulares. 3. Resolver problemas que impliquen interpretar información desde gráficos circulares. 4. Comprender los conceptos de población y muestra. 5. Identificar situaciones donde es necesario tomar muestras. 6. Estimar la probabilidad de ocurrencia de eventos, a partir de la identificación de patrones en el comportamiento de resultados de experimentos aleatorios simples en contextos lúdicos.

Espaço e Forma • Interpretação, a partir de situações-problema (leitura de plantas, croquis, mapas), da posição de pontos e de seus deslocamentos no plano, pelo estudo das representações em um sistema de

Unidad 4 – Geometría para 5º ano 1. Estimar áreas de figuras del plano utilizando distintas estrategias: concreta, pictórica y simbólica. 2.Elaborar y utilizar estrategias para calcular

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coordenadas cartesianas. • Distinção, em contextos variados, de figuras bidimensionais e tridimensionais, descrevendo algumas de suas características, estabelecendo relações entre elas e utilizando nomenclatura própria. • Classificação de figuras tridimensionais e bidimensionais, segundo critérios diversos, como: corpos redondos e poliedros; poliedros regulares e não-regulares; prismas, pirâmides e outros poliedros; círculos, polígonos e outras figuras; número de lados dos polígonos; eixos de simetria de um polígono; paralelismo de lados, medidas de ângulos e de lados. • Composição e decomposição de figuras planas. • Identificação de diferentes planificações de alguns poliedros. • Transformação de uma figura no plano por meio de reflexões, translações e rotações e identificação de medidas que permanecem invariantes nessas transformações (medidas dos lados, dos ângulos, da superfície). • Ampliação e redução de figuras planas segundo uma razão e identificação dos elementos que não se alteram (medidas de ângulos) e dos que se modificam (medidas dos lados, do perímetro e da área). • Quantificação e estabelecimento de relações entre o número de vértices, faces e arestas de prismas e de pirâmides, da relação desse número com o polígono da base e identificação de algumas propriedades, que caracterizam cada um desses sólidos, em função desses números. • Construção da noção de ângulo associada à idéia de mudança de direção e pelo seu reconhecimento em figuras planas. • Verificação de que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º. Grandezas e Medidas • Reconhecimento de grandezas como comprimento, massa, capacidade, superfície, volume, ângulo, tempo, temperatura, velocidade e identificação de unidades adequadas (padronizadas ou não) para medi-las, fazendo uso de terminologia própria. • Reconhecimento e compreensão das unidades de memória da informática, como bytes, quilobytes, megabytes e gigabytes em contextos apropriados, pela utilização da potenciação. • Obtenção de medidas por meio de estimativas e aproximações e decisão quanto a resultados razoáveis dependendo da situação-problema. • Utilização de instrumentos de medida, como régua, escalímetro, transferidor, esquadro,

áreas de rectángulos y figuras que se descomponen en rectángulos expresando el resultado en metros, centímetros o milímetros cuadrados. 3. Elaborar y utilizar estrategias para obtener áreas de triángulos y aplicar este cálculo para obtener áreas de paralelogramos. 4. Formular y verificar conjeturas en casos particulares relativa al cambio en el área de paralelogramos al variar uno o más de sus lados y de triángulos al variar los lados y su altura correspondiente. 5. Resolver problemas en contextos diversos que implican áreas de triángulos y paralelogramos utilizando diversas estrategias. Unidad 3 – Geometría para 6º ano 1. Demostrar que comprenden los ángulos: • identificando ejemplos de ángulos en el ambiente. • clasificando ángulos de acuerdo a sus medidas. • estimando las medidas de ángulos, utilizando 45°, 90° y 180° como ángulos de referencia. • determinando ángulos en grados. • dibujando y rotulando ángulos cuando la medida es específica. 2. Resolver problemas relativos a ángulos que se forman en rectas paralelas cortadas por una transversal. 3. Formular y demostrar conjeturas acerca de la suma de ángulos en: • Triángulos • Cuadriláteros 4. Resolver problemas en situaciones variadas que implican el cálculo de la medida de ángulos interiores y exteriores en triángulos y cuadriláteros

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trena, relógios, cronômetros, balanças para fazer medições, selecionando os instrumentos e unidades de medida adequadas à precisão que se requerem, em função da situação-problema. • Compreensão da noção de medida de superfície e de equivalência de figuras planas por meio da composição e decomposição de figuras. • Cálculo da área de figuras planas pela decomposição e/ou composição em figuras de áreas conhecidas, ou por meio de estimativas. • Indicar o volume de um recipiente em forma de paralelepípedo retângulo pela contagem de cubos utilizados para preencher seu interior. • Estabelecimento de conversões entre algumas unidades de medida mais usuais (para comprimento, massa, capacidade, tempo) em resolução de situações-problema.

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BRASIL CHILE Conceitos e procedimentos para o quarto

ciclo do Ensino Fundamental II Programa de Estudio

Del setimo e octavo Años Básico Números e Operações • Constatação que existem situações-problema, em particular algumas vinculadas à Geometria e medidas, cujas soluções não são dadas por números racionais (caso do p, da 23 , etc.). • Identificação de um número irracional como um número de representação decimal infinita, e não-periódica, e localização de alguns deles na reta numérica, com régua e compasso. • Análise, interpretação, formulação e resolução de situações-problema, compreendendo diferentes significados das operações, envolvendo números naturais, inteiros, racionais e irracionais aproximados por racionais. • Resolução de situações-problema de contagem, que envolvem o princípio multiplicativo, por meio de estratégias variadas, como a construção de diagramas, tabelas e esquemas sem a aplicação de fórmulas. • Construção de procedimentos para calcular o número de diagonais de um polígono pela observação de regularidades existentes entre o número de lados e o de diagonais. • Identificação da natureza da variação de duas grandezas diretamente proporcionais, inversamente proporcionais ou não-proporcionais (afim ou quadrática), expressando a relação existente por meio de uma sentença algébrica e representando-a no plano cartesiano. • Resolução de problemas que envolvem grandezas diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais por meio de estratégias variadas, incluindo a regra de três. • Resolução de situações-problema que envolvem juros simples e alguns casos de juros compostos, construindo estratégias variadas, particularmente as que fazem uso de calculadora. • Tradução de situações-problema por equações ou inequações do primeiro grau, utilizando as propriedades da igualdade ou desigualdade, na construção de procedimentos para resolvê-las, discutindo o significado das raízes encontradas em confronto com a situação proposta. • Resolução de situações-problema por meio de um sistema de equações do primeiro grau, construindo diferentes procedimentos para resolvê-lo, inclusive o da representação das equações no plano cartesiano, discutindo o

Unidad 1 – úmeros y Álgebra para 7º ano 1. Identificar problemas que no admiten solución en los números naturales y que pueden ser resueltos en los números enteros. 2. Establecer relaciones de orden entre números enteros y ubicar estos números en la recta numérica. 3. Sumar y restar números enteros e interpretar estas operaciones. 4. Reconocer propiedades relativas a la adición y sustracción de números enteros y aplicarlas en cálculos numéricos. 5. Reconocer una proporción como una igualdad entre dos razones. 6. Caracterizar expresiones semejantes y reconocerlas en contextos diversos. 7. Establecer estrategias para reducir términos semejantes. 8. Resolver problemas que impliquen plantear y resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita en el ámbito de los números enteros y fracciones o decimales positivos, y problemas que involucran proporcionalidad. Unidad 1 – Números y Algebra para 8º ano 1. Establecer estrategias para calcular multiplicaciones y divisiones de números enteros. 2. Utilizar estrategias para determinar el valor de potencias de base entera y exponente natural. 3. Determinar propiedades de multiplicación y división de potencias de base entera y exponente natural. 4. Verificar que propiedades de potencias de base entera y exponente natural se cumplen en potencias de base fraccionaria positiva, decimal positiva y exponente natural. 5. Resolver problemas que involucren las operaciones con números enteros Y las potencias de base entera, fraccionaria o decimal positiva y exponente natural Unidad 4 – Algebra para 8º ano 1. Plantear ecuaciones que representan la relación entre dos variables en diversos contextos. 2. Reconocer funciones en diversos contextos, identificar sus elementos y representar diversas situaciones por meio de ellas. 3. Identificar variables relacionadas en

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significado das raízes encontradas em confronto com a situação proposta. • Construção de procedimentos para calcular o valor numérico e efetuar operações com expressões algébricas, utilizando as propriedades conhecidas. • Obtenção de expressões equivalentes a uma expressão algébrica por meio de fatorações e simplificações. • Resolução de situações-problema que podem ser resolvidas por uma equação do segundo grau cujas raízes sejam obtidas pela fatoração, discutindo o significado dessas raízes em confronto com a situação proposta.

forma proporcional y en forma no proporcional. 4. Analizar mediante el uso de software gráficos situaciones de proporcionalidad 5. Resolver problemas en diversos contextos que implican proporcionalidad directa y problemas que implican proporcionalidad inversa.

Tratamento da Informação • Leitura e interpretação de dados expressos em gráficos de colunas, de setores, histogramas e polígonos de frequência. • Organização de dados e construção de recursos visuais adequados, como gráficos (de colunas, de setores, histogramas e polígonos de frequência) para apresentar globalmente os dados, destacar aspectos relevantes, sintetizar informações e permitir a elaboração de inferências. • Compreensão de termos como frequência, frequência relativa, amostra de uma população para interpretar informações de uma pesquisa. • Distribuição das frequências de uma variável de uma pesquisa em classes de modo que resuma os dados com um grau de precisão razoável. • Obtenção das medidas de tendência central de uma pesquisa (média, moda e mediana), compreendendo seus significados para fazer inferências. • Construção do espaço amostral, utilizando o princípio multiplicativo e a indicação da probabilidade de um evento por meio de uma razão. • Elaboração de experimentos e simulações para estimar probabilidades e verificar probabilidades previstas.

Unidad 2 – Dato y Azar para 7º ano 1. Analizar información presente en diversos tipos de tablas y gráficos. 2. Seleccionar formas de organización y representación de datos de acuerdo al tipo de análisis que se quiere realizar. 3. Reconocer que la naturaleza y el método de selección de muestras inciden en el estudio de una población. 4. Predecir la probabilidad de ocurrencia de eventos a partir de la frecuencia relativa obtenida en la realización de experimentos aleatorios simples Unidad 3 – Dato y Azar para 8º ano 1. Interpretar información a partir de tablas de frecuencia, cuyos datos están agrupados en intervalos. 2. Representar datos, provenientes de diversas fuentes, en tablas de frecuencias con datos agrupados en intervalos. 3. Interpretar y producir información, en contextos diversos, mediante el uso de medidas de tendencia central, extendiendo al caso de datos agrupados en intervalos. 4. Comprender el concepto de aleatoriedad en el uso de muestras y su importancia en la realización de inferencias. 5. Asignar probabilidades teóricamente a la ocurrencia de eventos, en experimentos aleatorios con resultados finitos y equiprobables, y contrastarlas con resultados experimentales.

Espaço e Forma • Representação e interpretação do deslocamento de um ponto num plano cartesiano por um segmento de reta orientado. • Secções de figuras tridimensionais por um plano e análise das figuras obtidas. • Análise em poliedros da posição relativa de duas arestas (paralelas, perpendiculares, reversas) e de duas faces (paralelas,

Unidad 4 – Geometría para 7º ano 1. Construir rectas perpendiculares, paralelas y bisectrices de ángulos usando regla y compás o procesadores geométricos. 2. Comprobar propiedades de alturas, simetrales, bisectrices y transversales de gravedad de triángulos utilizando regla y compás o procesadores geométricos. 3. Construir triángulos a partir de la medida

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perpendiculares). • Representação de diferentes vistas (lateral, frontal e superior) de figuras tridimensionais e reconhecimento da figura representada por diferentes vistas. • Divisão de segmentos em partes proporcionais e construção de retas paralelas e retas perpendiculares com régua e compasso. • Identificação de ângulos congruentes, complementares e suplementares em feixes de retas paralelas cortadas por retas transversais. • Estabelecimento da razão aproximada entre a medida do comprimento de uma circunferência e seu diâmetro. • Determinação da soma dos ângulos internos de um polígono convexo qualquer. • Verificação da validade da soma dos ângulos internos de um polígono convexo para os polígonos não-convexos. • Resolução de situações-problema que envolvam a obtenção da mediatriz de um segmento, da bissetriz de um ângulo, de retas paralelas e perpendiculares e de alguns ângulos notáveis, fazendo uso de instrumentos como régua, compasso, esquadro e transferidor. • Desenvolvimento do conceito de congruência de figuras planas a partir de transformações (reflexões em retas, translações, rotações e composições destas), identificando as medidas invariantes (dos lados, dos ângulos, da superfície). • Verificar propriedades de triângulos e quadriláteros pelo reconhecimento dos casos de congruência de triângulos. • Identificação e construção das alturas, bissetrizes, medianas e mediatrizes de um triângulo utilizando régua e compasso. • Desenvolvimento da noção de semelhança de figuras planas a partir de ampliações ou reduções, identificando as medidas que não se alteram (ângulos) e as que se modificam (dos lados, da superfície e perímetro). • Verificações experimentais e aplicações do teorema de Tales. • Verificações experimentais, aplicações e demonstração do teorema de Pitágoras. Grandezas e Medidas • Resolução de situações-problema envolvendo grandezas (capacidade, tempo, massa, temperatura) e as respectivas unidades de medida, fazendo conversões adequadas para efetuar cálculos e expressar resultados. • Cálculo da área de superfícies planas por meio da composição e decomposição de figuras e por aproximações.

de sus lados y/o ángulos, usando regla y compás o procesadores geométricos. 4. Construir ángulos utilizando regla y compás o un procesador geométrico. Unidad 3 – Números y Geometría para 7º ano 1. Interpretar potencias de exponente natural cuya base es un número fraccionario o decimal positivo. 2. Interpretar potencias de base 10 y exponente entero. 3. Conjeturar y verificar algunas propiedades de las potencias de base y exponente natural. 4. Calcular multiplicaciones y cocientes de potencias de base y exponente natural. 5. Calcular multiplicaciones y cocientes de potencias de base 10 y exponente entero. 6. Comprender el significado de la raíz cuadrada de un número entero positivo. 7. Determinar y estimar el valor de raíces cuadradas. 8. Comprender el Teorema de Pitágoras y el teorema recíproco de Pitágoras. 9. Utilizar estrategias para obtener el volumen en prismas rectos y pirámides en contextos diversos, y expresar los resultados en las unidades de medida correspondiente. 10. Formular y verificar conjeturas, en casos particulares, relativas a cambios en el perímetro de polígonos al variar uno o más de sus elementos lineales. 11. Formular y verificar conjeturas, en casos particulares, relativas a cambios en el volumen de prismas rectos y pirámides al variar uno o más de sus elementos lineales. 12. Resolver problemas en contextos diversos: a.7Aplicando propiedades de las potencias de base y exponente natural, y las potencias de base 10 y exponente entero. b. Utilizando el teorema de Pitágoras y el teorema recíproco de Pitágoras. Unidad 2 – Geometría para 8º ano 1. Caracterizar transformaciones isométricas de figuras planas y reconocerlas en diversas situaciones y contextos. 2. Reconocer algunas propiedades de las transformaciones isométricas. 3. Construir transformaciones isométricas de figuras geométricas planas utilizando regla y compás o procesadores geométricos. 4. Teselar el plano con polígonos regulares utilizando regla y compás o procesadores geométricos. 5. Utilizar las transformaciones isométricas como herramienta para realizar teselaciones

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• Construção de procedimentos para o cálculo de áreas e perímetros de superfícies planas (limitadas por segmentos de reta e/ou arcos de circunferência). • Cálculo da área da superfície total de alguns sólidos geométricos (prismas e cilindros). • Cálculo do volume de alguns prismas retos e composições destes. • Análise das variações do perímetro e da área de um quadrado em relação à variação da medida do lado e construção dos gráficos cartesianos para representar essas interdependências. • Resolução de situações-problema envolvendo grandezas determinadas pela razão de duas outras (densidade e velocidade) ou pelo produto (energia elétrica: kWh). • Compreensão dos termos algarismo duvidoso, algarismo significativo e erro de medição, na utilização de instrumentos de medida. • Estabelecimento da relação entre a medida da diagonal e a medida do lado de um quadrado e a relação entre as medidas do perímetro e do diâmetro de um círculo.

regulares y teselaciones semirregulares. 6. Caracterizar la circunferencia y el círculo como lugares geométricos. 7. Calcular el perímetro de circunferencias y de arcos de ellas. 8. Calcular el área del círculo y de sectores de él. 9. Calcular medidas de superficies de cilindros, conos y pirámides utilizando fórmulas. 10.Calcular volúmenes de cilindros y conos utilizando fórmulas. 11. Resolver problemas en contextos diversos relativos a cálculos de: - Perímetros de circunferencias y áreas de círculos. - Áreas de superficies de cilindros, conos y pirámides. - Volúmenes de cilindros y conos

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ANEXO 5 – Comparação do PCN e Programa de Estúdio BRASIL CHILE

Conteúdos para o 1º ao 3º Ensino Médio – PCNEM+

Contenidos Mínimos Obligatorios Primer a Cuarto Año Medio –

Programa de Estudio - Mineduc Álgebra: números e funções 1. Variação de grandezas: • noção de função; funções analíticas e não-analíticas; representação e análise gráfica; sequências numéricas: progressões e noção de infinito; variações exponenciais ou logarítmicas; funções seno, cosseno e tangente; taxa de variação de grandezas. • Reconhecer e utilizar a linguagem algébrica nas ciências, necessária para expressar a relação entre grandezas e modelar situações-problema, construindo modelos descritivos de fenômenos e fazendo conexões dentro e fora da Matemática. • Compreender o conceito de função, associando-o a exemplos da vida cotidiana. • Associar diferentes funções a seus gráficos correspondentes. • Ler e interpretar diferentes linguagens e representações envolvendo variações de grandezas. • Identificar regularidades em expressões matemáticas e estabelecer relações entre variáveis. 2. Trigonometria: do triângulo retângulo; do triângulo qualquer; da primeira volta. • Utilizar e interpretar modelos para resolução de situações-problema que envolvam medições, em especial o cálculo de distâncias inacessíveis, e para construir modelos que correspondem a fenômenos periódicos. • Compreender o conhecimento científico e tecnológico como resultado de uma construção humana em um processo histórico e social, reconhecendo o uso de relações trigonométricas em diferentes épocas e contextos sociais.

Números y Proporcionalidad 1. Números a. Distinción entre números racionales e irracionales. Aproximación y estimación de números irracionales. Estimaciones de cálculos, redondeos. Construcción de decimales no periódicos. Distinción entre una aproximación y un número exacto. b. Análisis de la significación de las cifras en la resolución de problemas. Conocimiento sobre las limitaciones de las calculadoras en relación con truncar y aproximar decimales. c. Resolución de desafíos y problemas numéricos, tales como cuadrados mágicos o cálculos orientados a la identificación de regularidades numéricas. d. Comentario histórico sobre la invención del cero, de los números negativos y de los decimales. e. Potencias de base positiva y exponente entero. Multiplicación de potencias. 2. Proporcionalidad a. Noción de variable. Análisis y descripción de fenómenos y situaciones que ilustren la idea de variabilidad. Tablas y gráficos. b. Proporcionalidad directa e inversa. Constante de proporcionalidad. Gráfico cartesiano asociado a la proporcionalidad directa e inversa (primer cuadrante). c. Porcentaje. Lectura e interpretación de información científica y publicitaria que involucre porcentaje. Análisis de indicadores económicos y sociales. Planteo y resolución de problemas que perfilen el aspecto multiplicativo del porcentaje. Análisis de la pertinencia de las soluciones. Relación entre porcentaje, números decimales y fracciones. d. Planteo y resolución de problemas que involucren proporciones directa e inversa. Análisis de la pertinencia de las soluciones. Construcción de tablas y gráficos asociados a problemas de proporcionalidad directa e inversa. Resolución de ecuaciones con proporciones. e. Relación entre las tablas, los gráficos y la expresión algebraica de la proporcionalidad directa e inversa. Relación entre la proporcionalidad directa y cuocientes constantes y entre la proporcionalidad inversa y productos constantes. I. Algebra y Funciones a.Sentido, notación y uso de las letras en el lenguaje algebraico. Expresiones algebraicas

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no fraccionarias y su operatoria. Múltiplos, factores, divisibilidad. Transformación de expresiones algebraicas por eliminación de paréntesis, por reducción de términos semejantes y por factorización. Cálculo de productos, factorizaciones y productos notables. b. Análisis de fórmulas de perímetros, áreas y volúmenes en relación con la incidencia de la variación de los elementos lineales y viceversa. c. Generalización de la operatoria aritmética a través del uso de símbolos. Convención de uso de los paréntesis. d. Comentario histórico sobre la evolución del lenguaje algebraico. e. Demostración de propiedades asociadas a los conceptos de múltiplos, factores y divisibilidad. Interpretación geométrica de los productos notables. f. Ecuación de primer grado. Resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita. Planteo y resolución de problemas que involucren ecuaciones de primer grado con una incógnita. Análisis de los datos, las soluciones y su pertinencia. II. Algebra y Funciones 1. Lenguaje algebraico a. Expresiones algebraicas fraccionarias simples, (con binomios o productos notables en el numerador y en el denominador). Simplificación, multiplicación y adición de expresiones fraccionarias simples. b. Relación entre la operatoria con fracciones y la operatoria con expresiones fraccionarias. c. Resolución de desafíos y problemas no rutinarios que involucren sustitución de variables por dígitos y/o números. d. Potencias con exponente entero. Multiplicación y división de potencias. Uso de paréntesis. 2. Funciones a. Representación, análisis y resolución de problemas contextualizados en situaciones como la asignación de precios por tramos de consumo, por ejemplo, de agua, luz, gas, etc. Variables dependientes e independientes. Función parte entera. Gráfico de la función. b. Evolución del pensamiento geométrico durante los siglos XVI y XVII; aporte de René Descartes al desarrollo de la relación entre álgebra y geometría. c. Ecuación de la recta. Interpretación de la pendiente y del intercepto con el eje de las ordenadas. Condición de paralelismo y de perpendicularidad. d. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas. Gráfico de las

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rectas. Planteo y resolución de problemas y desafíos que involucren sistemas de ecuaciones. Análisis y pertinencia de las soluciones. Relación entre las expresiones gráficas y algebraicas de los sistemas de ecuaciones lineales y sus soluciones. e. Función valor absoluto; gráfico de esta función. Interpretación del valor absoluto como expresión de distancia en la recta real. f. Uso de algún programa computacional de manipulación algebraica y gráfica. III. Algebra a. Raíces cuadradas y cúbicas. Raíz de un producto y de un cuociente. Estimación y comparación de fracciones que tengan raíces en el denominador. b. Sistemas de inecuaciones lineales sencillas con una incógnita. Intervalos en los números reales. Planteo y resolución de sistemas de inecuaciones con una incógnita. Análisis de la existencia y pertinencia de las soluciones. Relación entre las ecuaciones y las inecuaciones lineales. 2. Funciones a. Función cuadrática. Gráfico de las siguientes funciones: y = x² y = x² ± a, a > 0 y = (x ± a) 2, a > 0

y = ax² + bx + c Discusión de los casos de intersección de la parábola con el eje x. Resolución de ecuaciones de segundo grado por completación de cuadrados y su aplicación en la resolución de problemas. b. Función raíz cuadrada. Gráfico de: y =

x , enfatizando que los valores de x, deben ser siempre mayores o iguales a cero.

Identificación de ²x = |x|. Comentario histórico sobre los números irracionales; tríos pitagóricos; comentario sobre el Teorema de Fermat. c. Uso de algún programa computacional de manipulación algebraica y gráfica. IV. Algebra y Funciones a. Función potencia: y = a xn , a > 0, para n = 2, 3 y 4, y su gráfico correspondiente. Análisis del gráfico de la función potencia y su comportamiento para distintos valores de a. b. Funciones logarítmica y exponencial, sus gráficos correspondientes. Modelación de fenómenos naturales y/o sociales a través de esas funciones. Análisis de las expresiones algebraicas y gráficas de las funciones logarítmica y exponencial. Historia de los logaritmos; de las tablas a las calculadoras.

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c. Análisis y comparación de tasas de crecimiento. Crecimiento aritmético y geométrico. Plantear y resolver problemas sencillos que involucren el cálculo de interés compuesto. e. Uso de programas computacionales de manipulación algebraica y gráfica.

Geometria e medidas 1. Geometria plana : semelhança e congruência; representações de figuras. • Identificar dados e relações geométricas relevantes na resolução de situações-problema. • Analisar e interpretar diferentes representações de figuras planas, como desenhos, mapas, plantas de edifícios etc. • Usar formas geométricas planas para representar ou visualizar partes do mundo real. • Utilizar as propriedades geométricas relativas aos conceitos de congruência e semelhança de figuras. • Fazer uso de escalas em representações planas. Geometria espacial: elementos dos poliedros, sua classificação e representação; sólidos redondos; propriedades relativas à posição: intersecção, paralelismo e perpendicularismo; inscrição e circunscrição de sólidos. • Usar formas geométricas espaciais para representar ou visualizar partes do mundo real, como peças mecânicas, embalagens e construções. • Interpretar e associar objetos sólidos a suas diferentes representações bidimensionais, como projeções, planificações, cortes e desenhos. • Utilizar o conhecimento geométrico para leitura, compreensão e ação sobre a realidade. • Compreender o significado de postulados ou axiomas e teoremas e reconhecer o valor de demonstrações para perceber a Matemática como ciência com forma específica para validar resultados. 3. Métrica : áreas e volumes; estimativa, valor exato e aproximado. • Identificar e fazer uso de diferentes formas para realizar medidas e cálculos. • Utilizar propriedades geométricas para medir, quantificar e fazer estimativas de comprimentos, áreas e volumes em situações reais relativas, por exemplo, de recipientes, refrigeradores, veículos de carga, móveis,

I. Geometría a. Semejanza de figuras planas. Criterios de semejanza Dibujo a escala en diversos contextos. b. Teorema de Thales sobre trazos proporcionales. División interior de un trazo en una razón dada. Planteo y resolución de problemas relativos a trazos proporcionales. Análisis de los datos y de la factibilidad de las soluciones. c. Teoremas relativos a proporcionalidad de trazos, en triángulos, cuadriláteros y circunferencia, como aplicación del Teorema de Thales. Relación entre paralelismo, semejanza y la proporcionalidad entre trazos. Presencia de la geometría en expresiones artísticas; por ejemplo, la razón áurea. d. Ángulos del centro y ángulos inscritos en una circunferencia. Teorema que relaciona la medida del ángulo del centro con la del correspondiente ángulo inscrito. Distinción entre hipótesis y tesis. Organización lógica de los argumentos. e. Uso de algún programa computacional geométrico que permita medir ángulos, y ampliar y reducir figuras. II.Geometría a. Demostración de los Teoremas de Euclides relativos a la proporcionalidad en el triángulo rectángulo. b. Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo. c. Resolución de problemas relativos a cálculos de alturas o distancias inaccesibles que pueden involucrar proporcionalidad en triángulos rectángulos. Análisis y pertinencia de las soluciones. Uso de calculadora científica para apoyar la resolución de problemas. III.Geometría a. Resolución de problemas sencillos sobre áreas y volúmenes de cuerpos generados por rotación o traslación de figuras planas. Resolución de problemas que plantean diversas relaciones entre cuerpos geométricos; por ejemplo, uno inscrito en otro. b. Rectas en el espacio, oblicuas y coplanares. Planos en el espacio,

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cômodos, espaços públicos. • Efetuar medições, reconhecendo, em cada situação, a necessária precisão de dados ou de resultados e estimando margens de erro. 4. Geometria analítica : representações no plano cartesiano e equações; intersecção e posições relativas de figuras. • Interpretar e fazer uso de modelos para a resolução de problemas geométricos. • Reconhecer que uma mesma situação pode ser tratada com diferentes instrumentais matemáticos, de acordo com suas características. • Associar situações e problemas geométricos a suas correspondentes formas algébricas e representações gráficas e vice-versa. • Construir uma visão sistemática das diferentes linguagens e campos de estudo da Matemática, estabelecendo conexões entre eles.

determinación por tres puntos no colineales. Planos paralelos, intersección de dos planos. Ángulos diedros, planos perpendiculares, intersección detres o más planos. Coordenadas cartesianas en el espacio. IV. Geometría 1. Congruencia a. Congruencia de dos figuras planas. Criterios de congruencia de triángulos. b. Resolución de problemas relativos a congruencia de trazos, ángulos y triángulos. Resolución de problemas relativos a polígonos, descomposición en figuras elementales congruentes o puzzles con figuras geométricas. c. Demostración de propiedades de triángulos, cuadriláteros y circunferencia, relacionadas con congruencia. Aporte de Euclides al desarrollo de la Geometría. 2. Transformaciones a. Traslaciones, simetrías y rotaciones de figuras planas. Construcción de figuras por traslación, por simetría y por rotación en 60, 90, 120 y 180 grados. Traslación y simetrías de figuras en sistemas de coordenadas. b. Análisis de la posibilidad de embaldosar el plano con algunos polígonos. Aplicaciones de las transformaciones geométricas en las artes, por ejemplo, M.C. Escher. c. Clasificación de triángulos y cuadriláteros considerando sus ejes y centros de simetría. d. Uso de regla y compás; de escuadra y transportador; manejo de un programa computacional que permita dibujar y transformar figuras geométricas.

Análise de dados 1. Estatística : descrição de dados; representações gráficas; análise de dados: médias, moda e mediana, variância e desvio padrão. • Identificar formas adequadas para descrever e representar dados numéricos e informações de natureza social, econômica, política, científico-tecnológica ou abstrata. • Ler e interpretar dados e informações de caráter estatístico apresentados em diferentes linguagens e representações, na mídia ou em outros textos e meios de comunicação. • Obter médias e avaliar desvios de conjuntos de dados ou informações de diferentes naturezas. • Compreender e emitir juízos sobre informações estatísticas de natureza social, econômica, política ou científica apresentadas em textos, notícias, propagandas, censos,

I. Estadística y Probabilidad a. Variable aleatoria: estudio y experimentación en casos concretos. Gráfico de frecuencia de una variable aleatoria a partir de un experimento estadístico. b. Relación entre la probabilidad y la frecuencia relativa. Ley de los grandes números. Uso de programas computacionales para la simulación de experimentos aleatorios. c. Resolución de problemas sencillos que involucren suma o producto de probabilidades. Probabilidad condicionada. II. Estadística y Probabilidad a. Graficación e interpretación de datos estadísticos provenientes de diversos contextos. Crítica del uso de ciertos descriptores utilizados en distintas informaciones.

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pesquisas e outros meios. 2. Contagem : princípio multiplicativo; problemas de contagem. • Decidir sobre a forma mais adequada de organizar números e informações com o objetivo de simplificar cálculos em situações reais envolvendo grande quantidade de dados ou de eventos. • Identificar regularidades para estabelecer regras e propriedades em processos nos quais se fazem necessários os processos de contagem. • Identificar dados e relações envolvidas numa situação-problema que envolva o raciocínio combinatório, utilizando os processos de contagem. 3. Probabilidade: possibilidades; cálculo de probabilidades. • Reconhecer o caráter aleatório de fenômenos e eventos naturais, científico tecnológicos ou sociais, compreendendo o significado e a importância da probabilidade como meio de prever resultados. • Quantificar e fazer previsões em situações aplicadas a diferentes áreas do conhecimento e da vida cotidiana que envolvam o pensamento probabilístico. • Identificar em diferentes áreas científicas e outras atividades práticas modelos e problemas que fazem uso de estatísticas e probabilidades.

b. Selección de diversas formas de organizar, presentar y sintetizar un conjunto de datos. Ventajas y desventajas. Comentario histórico sobre los orígenes de la estadística. c. Uso de planilla de cálculo para análisis estadístico y para construcción de tablas y gráficos. d. Muestra al azar, considerando situaciones de la vida cotidiana; por ejemplo, ecología, salud pública, control de calidad, juegos de azar, etc. Inferencias a partir de distintos tipos de muestra. III. Estadística y Probabilidad a. Juegos de azar sencillos; representación y análisis de los resultados; uso de tablas y gráficos. Comentarios históricos acerca de los inicios del estudio de la probabilidad. b. La probabilidad como proporción entre el número de resultados favorables y el número total de resultados posibles, en el caso de experimentos con resultados equiprobables. Sistematización de recuentos por medio de diagramas de árbol. c. Iteración de experimentos sencillos, por ejemplo, lanzamiento de una moneda; relación con el triángulo de Pascal. Interpretaciones combinatorias.

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ANEXO 6 – Instrumento de coleta de dados 6.1. Entrevista no Brasil 1. representante da Sociedade (SOCHIEM)

a) qual foi a participação dos dirigentes e associados da SBEM na elaboração do PCN?

b) quais os avanços da área de EDMAT que foram contemplados na proposição do PCN?

c) Quais foram os questionamentos dos professores durante a elaboração do PCN?

2. autoridade do sistema educativo nacional ligada à projetos curriculares

a) qual foi sua participação efetiva na elaboração do PCN?

b) quais os avanços da área de EDMAT foram considerados importantes na elaboração do PCN?

c) qual o papel do Ministério de Educação na elaboração do PCN? E na implementação? E no acompanhamento?

d) Em matemática, quais os pontos-chave da proposta curricular?

e) Quais as contribuições dos professores ao PCN?

f) Quais as contribuições da comunidade acadêmica ao PCN?

g) Qual o perfil de professor de matemática a proposta previa?

h) os materiais didáticos disponíveis foram compatíveis com a reforma curricular?

i) Houve reformulação do PCN?

3. autoridade do sistema educativo nacional ligada à avaliação (se houver)

a) qual foi a avaliação institucional do sistema educativo, para validar a reforma curricular?

b) Como é divulgado ao sistema educativo regional (e ao público em geral) o resultado das avaliações institucionais?

c) qual acompanhamento (orientação) é dado (a) ao sistema educativo regional?

4. autoridade do sistema educativo regional ligada à projetos curriculares

a) qual foi sua participação do sistema educativo regional na elaboração do PCN?

b) Quais as dificuldades encontradas durante a elaboração do PCN?

c) qual o papel da Secretaria de Educação na elaboração do PCN? E na implementação? E no acompanhamento?

249

249

d) Como foi organizada a participação dos professores na elaboração do PCN?

e) quais os materiais didáticos disponíveis para discussão e implementação da reforma curricular na escola?

5. autoridade do sistema educativo regional ligada à avaliação (se houver)

a) quais são as avaliações institucionais das escolas?

b) a análise das avaliações evidencia a viabilidade do PCN?

c) qual acompanhamento (orientação) é dado (a) às escolas com baixo desempenho nas avaliações institucionais?

5.1 Diretor/CP

a) Qual a relação do currículo de matemática da escola com o PCN?

b) A escola tem autonomia para elaborar seu currículo de matemática?

c) A escola segue o PCN? Em quais aspectos?

d) Como a escola elabora seu currículo de matemática?

e) Quais textos/materiais didáticos são consultados para elaborar o currículo escolar/aula?

f) Qual o papel da direção/coordenação pedagógica na elaboração do currículo de matemática?

g) Como a direção/coordenação pedagógica acompanha a execução do currículo de matemática?

5.2 Professor

a) Como você elabora seu plano de ensino?

b) Você tem autonomia para elaborar o currículo de matemática?

c) Você segue o PCN? Em quais aspectos?

d) Quais textos/materiais didáticos são consultados para elaborar o currículo escolar/aula?

e) como você trabalha em sala de aula (organização do trabalho com o aluno, forma de participação do aluno, dinâmica de aula etc.)

250

250

6.2. Instrumento de entrevista no Chile

1. representante de la Sociedad (SOCHIEM)

a) ¿cuál fue la participación de dirigentes y asociados de la SOCHIEM en la preparación del planos curriculares de las matemáticas?

b) ¿qué avances del campo de la EDMAT que fueron considerados en la propuesta del del planos curriculares de las matemáticas??

c) ¿Cuáles fueron las preguntas de los profesores durante el desarrollo del del planos curriculares de las matemáticas?

2. autoridad del sistema nacional de educación vinc uladas a los proyectos curriculares

a) ¿cuál fue su participación efectiva en el desarrollo del del planos curriculares de las matemáticas?

b) ¿qué avances del campo de la EDMAT se consideraron importantes en el desarrollo del del planos curriculares de las matemáticas?

c) ¿cuál es el papel del Ministerio de Educación en la preparación del del planos curriculares de las matemáticas?

Y en la ejecución? Y el acompañamiento?

d) En matemáticas, ¿cuáles son los puntos clave del plan de estudios?

e) ¿Cuáles son las contribuciones de los profesores para el del planos curriculares de las matemáticas?

f) ¿Cuáles son las contribuciones de la comunidad académica para el del planos curriculares de las matemáticas?

g) ¿Cuál es el perfil del profesor de matemáticas que la propuesta preveía?

materiales de instrucción

h) disponibles son compatibles con la reforma curricular?

i) ¿Se incluyó una reformulación de la del planos curriculares de las matemáticas??

3. autoridad del sistema de educación nacional en l a evaluación (si procede)

a) ¿Cuál fue la evaluación institucional del sistema educativo, para validar la reforma curricular?

b) ¿Cómo se libera al sistema de educación regional (y el público en general) el resultado de las evaluaciones institucionales?

c) ¿Qué seguimiento (orientación) es dado (a) el sistema regional de educación?

4. autoridad de los proyectos regionales de educaci ón vinculada al plan de estudios

251

251

a) ¿cuál fue su participación en el sistema educativo regional en la preparación del del planos curriculares de las matemáticas??

b) ¿Cuáles son las dificultades encontradas durante el desarrollo del del planos curriculares de las matemáticas??

c) ¿cuál es el papel del Departamento de Educación en la preparación del del planos curriculares de las matemáticas? Y en la ejecución? Y el acompañamiento?

d) ¿Cómo se organizó para que los profesores participen en el desarrollo del del planos curriculares de las matemáticas?

e) ¿Qué materiales educativos disponibles para la discusión e implementación de la reforma curricular en la escuela?

5. autoridad del sistema educativo regional en la e valuación (si procede)

a) ¿cuáles son las evaluaciones institucionales de las escuelas?

b) ¿los resultados de las evaluaciones demuestra la viabilidad del del planos curriculares de las matemáticas?

c) ¿Qué seguimiento (orientación) es dado (a) a las escuelas con bajo rendimiento en las evaluaciones institucionales?

5.1 Director / PL

a) ¿Cuál es la relación del currículo de matemáticas de la escuela con el del planos curriculares de las matemáticas??

b) ¿la escuela tiene autonomía para desarrollar su plan de estudios de matemáticas?

c) ¿El colegio sigue el del planos curriculares de las matemáticas? ¿En qué aspectos?

d) ¿Cómo la escuela prepara su plan de estudios de matemáticas?

e) ¿Qué textos o materiales son consultados para desarrollar el currículo de la escuela / clase?

f) ¿Cuál es el papel de liderazgo y coordinación de la educación en la elaboración del currículo de matemáticas?

g) ¿Como que la dirección y coordinación pedagógica supervisa la aplicación del currículo de matemáticas?

5.2 Profesor

a) ¿Cómo te preparas tu plan de estudios?

b) ¿Usted tiene la autonomía para desarrollar el currículo de matemáticas?

c) ¿Se siguen las del planos curriculares de las matemáticas? ¿En qué aspectos?

d) ¿Qué textos o materiales son consultados para desarrollar el currículo de la escuela / clase?

252

252

e) ¿Cómo se trabaja en el aula (organización del trabajo con el alumno, forma de participación de los estudiantes, la dinámica del aula, etc.)

253

253

ANEXO 7 – Termo de Consentimento Livre e Esclarecid o

7.1. Documentos para os entrevistados da Educação b rasileira

TERMO DE CONSENTIMENTO LIVRE E ESCLARECIDO

Prezado Professor:

Eu, Dermeval Santos Cerqueira , sou doutorando do Programa de Estudos Pós-Graduados em

Educação Matemática da Faculdade de Ciências Exatas e Tecnologia – FCET da Pontifícia

Universidade Católica de São Paulo. Estou realizando uma pesquisa sob orientação da professora

doutora Célia Maria Carolino Pires, cujo objetivo é estudar as influências da Educação Matemática

nos currículos oficiais e praticados por Brasil e Chile.

Sua participação envolve uma entrevista, que será gravada, se assim você permitir, e que

tem a duração aproximada de 20 minutos. A participação nesse estudo é voluntária e se você

decidir não participar ou quiser desistir de continuar em qualquer momento, tem absoluta

liberdade de fazê-lo.

Na publicação dos resultados desta pesquisa, sua identidade será mantida no mais

rigoroso sigilo. Serão omitidas todas as informações que permitam identificá-lo(a).

Mesmo não tendo benefícios diretos em participar, indiretamente você estará contribuindo

para a compreensão do fenômeno estudado e para a produção de conhecimento científico.

Quaisquer dúvidas relativas à pesquisa poderão ser esclarecidas pelo(s) pesquisador fone (55-11)

9931-3127 ou direto no Programa, tel. (55-11) 3124.7200 - ramal 7210 - fax. (55-11) 3159.0189 -

e-mail: [email protected]

Atenciosamente;

___________________________ Dermeval Santos Cerqueira

Documento de Identidad: 14.219.772-5 SP São Paulo,___/____________/201__

______________________________________ Célia Maria Carolino Pires - CPF 072 345 468 04 Coordinadora del Proyecto de investigación --------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Consinto em participar deste estudo e declaro ter r ecebido uma cópia deste termo de consentimento.

_____________________________

Profº

Guarulhos, ___ de ________________ de 201__

CPF: ______________________________________R.G.Nº _________________________

254

254

7.2. Documentos para os entrevistados da Educação c hilena

TÉRMINO DE CONSENTIMIENTO LIBRE Y ESCLARECIDO

Estimado Profesor __________________________________________________________

Yo, Dermeval Santos Cerqueira , soy estudiante de doctorado del Programa de Estudios de Postgrado en Educación Matemática de la Facultad de Ciencias y Tecnología - FCET de la Universidad Católica de São Paulo. Estoy realizando una investigación bajo la dirección del Profesora Dra. Célia Maria Carolino Pires, cuyo objetivo es estudiar la influencia de la Educación Matemática en los planes de estudio oficiales y practicados por Brasil y Chile.

Su participación consiste en una entrevista, que será registrada con su permisión, y que dura aproximadamente 20 minutos.

La participación en este estudio es voluntaria y si usted decidir renunciar a continuar en cualquier momento, tiene absoluta libertad para hacerlo.

En la publicación de resultados de la investigación, su identidad se mantendrá en el más absoluto secreto. Se omite toda la información para identificarlo (a).

Mismo sin recibir beneficios directos en participar, indirectamente estará contribuyendo para la comprensión del fenómeno estudiado y la producción de conocimiento científico. Cualquier pregunta con respecto a la encuesta puede ser aclarada por el E-mail: [email protected] o [email protected].

Gracias,

___________________________ Dermeval Santos Cerqueira

Documento de Identidad: 14.219.772-5 SP

Santiago, ____ /__________ /201___

_______________________________________ Célia Maria Carolino Pires - CPF 072 345 468 04 Coordinadora del Proyecto de investigación --------------------------------------------------------------------------------------------------------------

TÉRMINO DE CONSENTIMIENTO LIBRE Y ESCLARECIDO Doy mi consentimiento para participar en este estudio y declaro que he recibido

una copia de este formulario de consentimiento. ____________________________ Nombre y firma del participante Santiago, ___/____/201___

Restos

DOUTORADO EM EDUCA˙ˆO MATEM`TICA Santos... · SOBRE EDUCA˙ˆO MATEM`TICA E SUA INFLU˚NCIA NOS...

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