MA11_Unidades_5_e_6

Unidades 5 e 6Completeza e representao dos Nmeros ReaisSumrio5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 4 6 13 15 16 20 A Descrio Formal dos Reais Representao Decimal

. . . . . . . . . . . . . . . .

Representao Decimal dos Racionais . . . . . . . . Os Nmeros Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exerccios Recomendados . . . . . . . . . . . . . . . Exerccios Suplementares . . . . . . . . . . . . . . .

Textos Complementares . . . . . . . . . . . . . . . .

1

unidades 5 e 6

Introduo5.1 Introduo

Na unidade anterior, discutimos a noo de comensurabilidade na Matemtica grega e sua relao com a existncia de nmeros irracionais, que nos conduziram ao modelo dos nmeros reais como pontos de uma reta orientada, em que se destacam dois deles para representar a unidade de medida. Apesar de sua simplicidade, elegncia e de seu grande apelo geomtrico, este modelo para os nmeros reais no permitia ir to longe quanto a Matemtica do Sculo XIX exigia para o seu desenvolvimento. Por m, os matemticos do nal daquele sculo numa minuciosa reviso dos fundamentos da Matemtica nos proporcionaram um modelo algbrico-analtico para os nmeros reais de extrema ecincia, permitindo o extraordinrio avano desta cincia que se sucedeu. Na matemtica contempornea, existem duas construes principais equivalentes para o conjunto dos nmeros reais, uma atravs das sequncias de Cauchy, devida a Cantor [7] e a outra atravs da noo de corte nos racionais, devida a Dedekind [3]. Entretanto, no adotaremos aqui esta abordagem construtiva pois nos afastaria dos nossos objetivos, tornando o nosso caminho muito longo. Ao contrrio, adotaremos uma abordagem axiomtica, relativamente simples. Os nossos axiomas esto todos contidos na seguinte frase:

Os nmeros reais formam um corpo ordenado completo.O termo

corpo refere-se estrutura algbrica dos nmeros reais, constituda

pelas operaes de adio e multiplicao e de suas propriedades. O adjetivo

ordenado

refere-se existncia de relao de ordem nos reais de maneira com-

patvel com as operaes (em um sentido que explicitaremos em seguida). E, nalmente, temos a importante propriedade de

completeza

dos reais, que diz

respeito ao fato da reta real ser contnua, ou de no ter buracos (falando em linguagem gurativa).

Q tambm possui todas as propriedades das operaes e da ordem, isto , Q tambm um corpo ordenado, mas no completo.Assim, a propriedade de completeza que diferencia de

Observe que o conjunto

Q

e de qualquer outro corpo

caracteriza R, isto , que ordenado K, com Q K R.

o

Em particular embora esse aspecto quase sempre passe despercebido no ensino bsico a completeza essencial para garantir a existncia das principais classes de funes reais (tais como razes

n-simas,

exponenciais, logartmicas

2

Completeza e representao dos Nmeros Reais

Unidade 5

e trigonomtricas).

Para Saber Mais - As Letras dos Conjuntos Numricos - Clique para ler5.2 A Descrio Formal dos Reais

As construes geomtricas que usamos para fornecer interpretaes visuais para a soma e para o produto de nmeros reais j eram conhecidas desde a poca de Euclides (300 anos antes de Cristo). Entretanto, elas representavam operaes sobre grandezas geomtricas (no caso, segmentos de reta), que no eram associadas a nmeros. Esta viso geomtrica foi muito importante ao longo da histria da Matemtica, e ainda muito importante hoje, pois oferece uma representao que nos ajuda consideravelmente a pensar quando queremos resolver um problema ou vericar a validade de uma propriedade envolvendo os nmeros reais. Entretanto, com o progresso da Cincia, a diversicao das aplicaes da Matemtica, desde as mais corriqueiras at as de alta tecnologia, e o consequente aumento da complexidade dos problemas matemticos levaram necessidade de construir descries precisas para os conceitos, em termos formais rigorosos. Uma maneira de fazer isso por meio de uma lista de reais no so uma exceo.

axiomas.

Os nmeros

Para Saber Mais - O que um Axioma?consiste em estabelec-lo como um Quando dizemos apenas que

-

Clique para ler

Essencialmente, como mencionado na introduo, descrever

corpo ordenado completo.

R formalmente

R um corpo, isto signica que esto denidas

a as operaes de adio e multiplicao satisfazendo todas as propriedades algbricas usuais.

y , que compatvel com a adio e multiplicao pelas leis conhecidas como monotonicidades: Para todos x, y, z R,O termo relao de ordem

corpo ordenado refere-se

x

x

y = x + z

y + z,

e

x

y , z > 0 = x z

y z.

3

unidades 5 e 6

Representao Decimalcompleteza

Finalmente, a

de

R

equivale continuidade da reta, isto ,

ausncia de buracos. Esta ltima propriedade pode ser enunciada de vrias maneiras equivalentes. Recapitulando, a nossa apresentao axiomtica de

R

constitui-se de uma

lista de axiomas que podem ser organizados em trs grupos.

O primeiro grupo estabelece as propriedades algbricas das operaes: associatividade, comutatividade e elemento neutro da adio e da multiplicao; distributividade da multiplicao em relao adio; elemento inverso da adio e, em especial, elemento inverso da multiplicao, de todo elemento no nulo. A existncia dos inversos aditivo e multiplicativo permitem que a subtrao e diviso quem bem denidas.

O segundo grupo de axiomas estabelece as propriedades referentes ordem: as propriedades reexiva, antissimtrica e transitiva, que so as condies mnimas para que se tenha uma relao de ordem; a tricotomia, que garante que dois nmeros reais

x

e

y

quaisquer so comparveis,

isto , vale uma e somente uma das possibilidades

x < y, x = y

ou

x > y;

e as monotonicidades da adio e da multiplicao, que tornam a

relao de ordem compatvel com as operaes algbricas. O terceiro grupo formado por apenas um axioma, mas com um papel crucial na caracterizao de

R:

o axioma que estabelece a propriedade de

completeza.Explicitaremos esse ltimo axioma na prxima seo, quando trataremos da representao decimal dos nmeros reais.

Para Saber Mais - O Corpo Ordenado Completo - Clique para ler5.3 Representao Decimal

A forma mais comum de representar os nmeros reais por meio de expresses decimais. Vamos falar um pouco sobre elas. E claro que basta considerar os nmeros reais positivos, pois, para tratar de nmeros negativos, basta acrescentar o sinal de menos.

4


Unidade 5

Uma

expresso decimal um smbolo da forma = a0 , a1 a1 . . . an . . . ,(5.1)

Definio 1

em que

0 e a1 , a2 , . . . , an , . . . so dgitos, isto , nmeros inteiros tais que 0 an < 10. Para cada n N, tem-se um dgito an , chamado o n-simo dgito da expresso decimal . O nmero natural a0 chama-se a parte inteira de . a0 um nmero inteiro

= 13, 42800 . . ., = 25, 121212 . . . e = 3, 14159265 . . . so expresses decimais. Nos casos de e , est implcito como se obtm os dgitos que so omitidos. No caso de , o que est escrito aqui no permite saber qual a regrapara achar os dgitos a partir do nono, mas isto no quer dizer que estes dgitos no estejam bem denidos. para determin-los. De fato, existem processos precisos e ecientes

Exemplo 1

Mas de que forma uma sequncia de dgitos precedida de um nmero inteiro na forma (5.1), representa um nmero real? A resposta : a expresso decimal

corresponde a uma forma de representar a soma

a0 +

a1 a2 an + 2 + + n + . 10 10 10

(5.2)

importante compreender o signicado das reticncias no nal da expresso. Elas do a entender de que se trata de uma soma com innitas parcelas, mas isto uma coisa que no tem sentido, pelo menos em princpio. O signicado preciso da igualdade 5.2 o seguinte: o nmero real nmeros racionais

tem por valores aproximados os

n = a0 +Quando se substitui

a1 an + + n, 10 10 n , 1 = 10n . 10n

n = 1, 2, . . . .

(5.3)

por

o erro cometido no superior a

Assim,

a0

o maior nmero natural contido em

, a1

o maior dgito tal que

a0 +

a1 10

,

5

unidades 5 e 6

Representao Decimal dos Racionais

a2


a0 +

a1 a2 + 2 10 10

, etc.

Deste modo, tem-se uma sequncia no decrescente de nmeros racionais

0

1

2

< n

que so valores (cada vez mais) aproximados do nmero real

. Mais precisamente, tem-se 0 n 10 para cada n = 0, 1, 2, 3, 4, . . .. Diz-se ento que o nmero real o limite desta sequncia de nmeros racionais. O fato de que existe sempre um nmero real que limite desta sequncia (isto , que tem os n como seus valores aproximados) uma forman

de dizer que o corpo ordenado dos nmeros reais completo. Portanto, o nosso axioma da completeza l-se:

Axioma 2

Completeza

Toda expresso decimal representa um nmero real e todo nmero real pode ser representado por uma expresso decimal.

Veremos, a seguir, como os nmeros racionais se caracterizam por suas expresses decimais.

5.4


Algumas caractersticas particulares das expresses decimais correspondem a propriedades especcas dos nmeros que elas representam. A primeira delas quando, a partir de um certo ponto, todos os dgitos zero

an

se tornam iguais a

= a0 , a1 a2 . . . an 000 . . . .Ento,

= a0 + 10).

a1 an + + n 10 10

um nmero racional; na realidade uma frao decimal (frao cujo denominador uma potncia de Por exemplo,

13, 42800 . . . = 13 +

2 8 13428 4 + + = . 10 100 1000 1000

6


Unidade 5

Mais geralmente, mesmo que no termine em zeros, a expresso decimal de

= a0 , a1 a2 . . . an . . .

pode representar um nmero racional, desde que

seja peridica.

Comecemos com o caso mais simples, que tambm o mais

intrigante. Trata-se da expresso decimal, ou seja, do nmero real

= 0, 999 . . . =Armamos que

9 9 9 + + + . 10 100 1000

= 1. De fato, os valores aproximados de so 1 = 0, 9, 2 = 0, 99, 3 = 0, 999, etc. Ora, 1 1 = 0, 1; 1 2 = 0, 01; 1 3 = 0, 001 e, geralmente, 1 n = 10n . Vemos, portanto, que, tomando n sucientemente grande, a diferena 1n pode tornar-se to pequena quanto se deseje. Noutras palavras, os nmeros racionais n = 0, 99 . . . 99 so valores cada vez mais aproximados de 1, ou seja, tm 1 como limite. A igualdade 1 = 0, 999 . . . costuma causar perplexidade aos menos experientes. A nica maneira de dirimir o aparente paradoxo esclarecer que o smbolo

0, 999 . . . na realidade 0, 99, 0, 999, etc. E,

signica o nmero cujos valores aproximados so como vimos acima,

0, 9,

esse o nmero 1. Assim, como j observamos, importante entender que 0, 999 . . . representa o prprio limite da sequncia de nmeros racionais cujos termos so n = 0, 99 . . . 99 (em que o dgito 9 aparece n vezes). Portanto, esse nmero igual a 1, e no uma aproximao de 1.

Na Sala de Aula - Por que 0, 9999... = 1?Uma vez estabelecido que

-

Clique para ler

0, 999 . . . =resulta imediatamente que

9 9 9 + + n + = 1, 10 100 10

0, 111 . . . =

1 1 1 1 + + + n + = . 10 100 10 9 a,tem-se

Consequentemente, para todo dgito

0, aaa . . . =Por exemplo,

a a a a + + + n + = . 10 100 10 97 . 9

0, 777 . . . =

7

unidades 5 e 6


Podemos ir mais alm, observando que

9 99 9 9 99 9 + = , + = , 10 100 100 1000 10000 10000 9 9 99 + 2k = 2k , ..., 2k1 10 10 10obtemos

...,

1=

9 9 9 9 + 2 + + 4 3 10 10 10 10 1 1 + + , = 99 100 1002

+ =

99 99 + + 100 1002

logo

1 1 1 1 + + + = . 2 3 100 100 100 99Da resulta que, para quaisquer dgitos

a

e

b,

tem-se

1

0, abab . . . =Ento,

ab ab ab + + + = ab 2 100 100 1003

1 1 + + 100 1002

.

0, abab . . . =Por exemplo,

ab . 99

(5.4)

0, 3737 . . . =

37 37 37 + + = 37 + 2 100 100 1003

1 1 + + 100 1002

=

37 . 99

Definio 3

Uma expresso decimal

dica simples, de perodo

= a0 , a1 . . . ap . . . chama-se uma dzima a1 a2 . . . ap , se os primeiros p dgitos aps a = a0 , a1 . . . ap .

perivrgula

repetem-se indenidamente na mesma ordem. Para indicar de forma mais precisa o perodo, empregamos tambm a notao1 Para

evitar confuses, convm esclarecer que a partir daqui e at o m desta unidade, aparecero com frequncia sequncias de dgitos justapostos lado a lado. Nestes casos, esta notao no signica um produto, e sim o nmero representado pela sequncia de dgitos em notao decimal, na ordem dada. Assim, an . . . a0 = 10n an + + a0 .

8


Unidade 5

Por exemplo,

0, 7

e

0, 37

so dzimas peridicas simples com perodos

7

e

37,

respectivamente. Adaptando o raciocnio acima para

p N,

xo, podemos

generalizar a frmula (5.4) para uma dzima peridica cujo perodo tem Observando que

p dgitos.

9 9 99 10p 1 + + p = = , 10 10 10p 10p 9 9 99 10p 1 + + 2p = = , 10p+1 10 102p 102pobtemos

,

1=

9 10

+ +

9 10p

+

9 + + 2p 10p+1 10 1 10p

9

+ 1 102p +

=logo,

10p 1 10p

+

10p 1 102p

+ = (10p 1)

+

,

1 1 1 1 + 2p + 3p + = p . 10 10 10 10 1 Portanto, para quaisquer p dgitos a1 . . . ap , tem-se que ap . . . a1 ap . . . a1 ap . . . a1 + + + 0, a1 . . . ap = 10p 102p 103p 1 1 1 = ap . . . a1 + 2p + 3p + . 10p 10 10Ento,

ap . . . a1 . (5.5) 10p 1 p Na expresso acima, lembramos que 10 1 = 9 . . . 9 (em que o dgito 9 5231 aparece p vezes). Por exemplo, 0, 5231 = . Este argumento permite-nos 9999 concluir que toda dzima peridica simples representa um nmero racional. A 0, a1 . . . ap =representao desse nmero na forma de frao chamada da dzima peridica (ou, simplesmente, sua

frao geratriz

geratriz).

A expresso (5.5) cor-

responde seguinte regra, comumente enunciada nos antigos compndios de Aritmtica como segue:

A geratriz de uma dzima peridica simples uma frao cujo numerador o perodo e cujo denominador o nmero formado por tantos noves quantos so os algarismos do perodo.

9

unidades 5 e 6


Como sabemos, existem ainda as dzimas peridicas ditas compostas. So aquelas que depois da vrgula tm uma parte que no se repete, seguida por uma parte peridica.

Definio 4

= a0 , b1 . . . bm a1 . . . ap chama-se uma dzima peridica composta, de perodo a1 a2 . . . ap , se os p dgitos, de posies m+1 a m + p, aps a vrgula repetem-se indenidamente na mesma ordem.Uma expresso decimal Para obter a geratriz de uma dzima peridica composta, procede-se como no exemplo a seguir:

= 0, 35172

172 35 999 + 172 100 = 35, 172 = 35 + = = 999 999 35(1000 1) + 172 35000 + 172 35 35172 35 = = = . 999 999 999Portanto,

=

35172 35 . 99900

Podemos generalizar o argumento acima para um dzima peridica composta qualquer:

m

10 = b1 . . . bm , a1 . . . ap = b1 . . . bm +

a1 . . . ap = 10p 1 b1 . . . bm (10p 1) + a1 . . . ap b1 . . . bm 10p b1 . . . bm + a1 . . . ap = = 10p 1 10p 1 b1 . . . bm a1 . . . ap b1 . . . bm = . 10p 1

= 0, b1 . . . bm a1 . . . ap

Logo,

0, b1 . . . bm a1 . . . ap =

b1 . . . bm a1 . . . ap b1 . . . bm . 10m (10p 1)

(5.6)

Chegamos assim seguinte regra tradicional, que muitos de ns decoramos desde nossa infncia:

10

Completeza e representao dos Nmeros ReaisA geratriz de uma dzima peridica composta a frao cujo numerador igual parte no-peridica, seguida de um perodo menos a parte no-peridica, e cujo denominador formado por tantos noves quantos so os algarismos do perodo, seguidos de tantos zeros quantos so os algarismos da parte no-peridica.

Unidade 5

Na Sala de Aula - Regras para Fraes Geratrizes - Clique para ler Para Saber Mais - Operaes com Limites - Clique para lerexpresses decimais peridicas (simples ou compostas) representam nmeros racionais. Reciprocamente, todo nmero racional representado por uma expresso decimal nita (que acaba em zeros) ou peridica, comoEm suma, mostraremos a seguir. Para obter a expresso decimal do nmero racional diviso continuada de

p , faz-se o processo de q

p por q , acrescentando-se zero ao dividendo p enquanto

se tiver um resto no nulo, como no exemplo abaixo.

140 27 50 0, 518 . . . 230 140 ...

14 = 0, 518518 . . . 27

No difcil perceber por que esse processo gera dzimas peridicas. Como nas divises sucessivas s podem ocorrer os restos mximo

0, 1, 2, . . . q 1,

aps no

q

divises um resto vai repetir-se e, a partir da, os dgitos no quociente

vo reaparecer na mesma ordem, logo tem-se uma expresso peridica. Mas, por que esse procedimento gera, de fato, os dgitos da representao decimal da frao

p ? Isto , por que esse algoritmo funciona? q

De forma mais geral, o procedimento pode ser descrito como a seguir. Primeiro, divide-se e

p por q , obtendo-se p = a0 q + r0 , em que a0 N o quociente r0 N, r0 < q , o resto. Isto equivalente a escrever p r0 = a0 + , q q a0 N, 0 r0 < 1. q(5.7)

11

unidades 5 e 6

Representao Decimal dos Racionaisp . No segundo passo, q

Podemos concluir ento que acrescenta-se um

a0

a parte inteira de

0

direita do resto

r0 ,

o que corresponde a multiplica-lo por

10, e divide-se o nmero obtido novamente por q . Assim, obtm-se 10r0 = a1 q + r1 , em que a1 N o quociente e r1 N, r0 < q , o resto, o queequivale a

10r0 r1 = a1 + , q q

a1 N,

0 a1

r1 < 1. q10r0 q

Da expresso acima, podemos concluir que

< 10.

Assim, a

expresso acima pode ser escrita da seguinte forma:

r0 a1 r1 = + , q 10 10q

a1 N, 0

a1 < 10,

0

r1 1 < . 10q 10

(5.8)

Juntando (5.7) e (5.8), obtemos

a1 r1 p = a0 + + , q 10 10q

a0 , a1 N, 0

a1 < 10,

0

r1 1 < . 10q 10

(5.9)

Generalizando o raciocnio acima, podemos concluir que, se o processo de divises sucessivas for continuado indenidamente, obter-se- a expresso decimal do nmero

p . q

Para um estudo mais detalhado sobre os casos em que

p o racional gera uma dzima peridica simples, composta ou uma expresso qdecimal nita, bem como uma estimativa do nmero de algarismos do perodo, veja [12, pp. 158-171].

toda expresso decimal peridica representa um nmero racional e que, reciprocamente, todo nmero racional pode ser representado por uma expresso decimal peridica. Ao enunciarEm resumo, nesta seo, mostramos que estes fatos, observamos que podemos considerar expresses decimais nitas como casos particulares de expresses peridicas, com perodo

0.

Por exemplo,

0, 35000 . . .

peridica, com perodo

0.

Em sala de aula, costume separar

este caso, por ser muito particular. Os argumentos desta seo consistem na demonstrao do seguinte teorema.

12


Unidade 5

Um nmero peridica.

R

racional se, e somente se,

tem expresso decimal

Teorema 5

5.5

Os Nmeros Reais

Vejamos agora como comparar e operar com nmeros reais por meio de suas representaes decimais. No possvel generalizar os algoritmos usuais das quatro operaes com nmeros naturais para expresses decimais de nmeros reais. Os algoritmos

so estruturados da direita para a esquerda, enquanto as expresses decimais so organizadas da esquerda para a direita. exemplo? Podemos entretanto usar os algoritmos para calcular aproximaes racionais Como comear uma adio, por

= a0 , a1 a2 . . . e = b0 , b1 b2 . . ., (se = 0), xado n N, considera-se para calcular + , , e as aproximaes n = a0 , a1 . . . an , n = b0 , b1 . . . bn . Os nmeros racionais n n + n , n n , n n e so aproximaes para os resultados que n desejamos obter, tanto mais aproximados quanto maior for n.para os resultados das operaes. Dados

Para Saber Mais - A Correspondncia entre Expresses Decimais e

Nmeros Reais -

Clique para ler

A relao de ordem em

R,

quando os seus elementos so representados

por expresses decimais, traduz-se na ordem lexicogrca. Vejamos o que isto signica. Sejam

= a0 , a1 a2 . . . an . . .

e

= b0 , b1 b2 . . . bn . . .

dois nmeros reais

escritos na sua representao decimal de modo que essas representaes no terminem numa sequncia de noves. A relao de ordem seguinte modo (cf. Exerccio 7): ndice

traduz-se do se = , tem-se que an < bn para o primeiro

n

tal que

an = b n .

Algumas propriedades dos nmeros reais se deduzem sem diculdade do axioma da completeza que adotamos. Citamos como exemplo as importantes propriedades a seguir.

13

unidades 5 e 6

Os Nmeros ReaisPropriedade Arquimediana Essa propriedade garante que dado um nmeroreal

,

sempre existe um nmero natural

n

tal que

n>

(cf. Exerccio 8).

Densidade dos Racionais Essa propriedade nos diz que os nmeros racionaisformam um conjunto denso nos nmeros reais, ou seja, dados dois nmeros reais

e

,

com

< ,

existe um nmero racional

r

tal que

0

e

m, n N, an = 1 , an an =m

n

am .

Mas, o que

2 ? Qpara

A diculdade em responder a esta pergunta est ligada ao fato de que a extenso da potenciao de

R

no pode ser feita apenas por meio da

preservao das propriedades algbricas da operao. Como observamos anteriormente, esta extenso envolve necessariamente a propriedade de dos reais. Se j conhecemos a operao em

Q,

devemos

completeza estend-la para R por

meio da completeza, usando a densidade dos racionais. Por isso, no ensino mdio, muito mais difcil apresentar uma denio para

ax ,

com

xR

qualquer, de forma que o aluno de fato associe um sig-

nicado a este smbolo. Entretanto, isto no motivo para que esta questo

23

unidades 5 e 6

Textos Complementares

seja simplesmente ignorada. Muitos livros didticos denem potenciao apenas at expoentes racionais, e, alguns captulos depois, apresentam a funo exponencial com domnio em

R,

sem qualquer meno a essa inconsistncia.

Evidentemente, a compreenso da completeza dos reais est muito alm dos objetivos do ensino mdio. Porm, podemos usar uma ideia de

aproximao para

ajudar os alunos a atriburem algum signicado, mesmo que intuitivo e informal, ao smbolo

2 ,

por exemplo.

Todo nmero irracional pode ser aproximado Um exemplo natural desta aproximao

por uma sequncia de racionais.

dada pelos truncamentos nitos da representao decimal. Usando esta ideia, com ajuda de uma calculadora ou computador, podemos sugerir que o aluno complete uma tabela do tipo:

x 3 3, 1 3, 14 3, 141 3, 1415

2x

Enquanto a coluna da esquerda aproxima-se de aproxima-se de algum nmero real

,

a coluna da direita

,

que deniremos como

2 .

No s essa uma forma de ajudar os alunos a perceberem que de fato

2 um nmero,

isto existe

R

tal que

= 2 ,

como tambm uma

construo intuitiva bem prxima da denio formal.

24


Unidade 5

Densidade dos RacionaisMuitas vezes o professor do ensino mdio se pergunta o porqu da necessidade de aprender, por exemplo, que os racionais so densos em

Na Sala de AulaR.De fato,

o argumento de aproximar um nmero real por nmeros racionais ser fundamental na nossa abordagem das funes elementares e ser utilizado em vrias ocasies, como por exemplo, na demonstrao do Teorema Fundamental da Propocionalidade, que ser apresentada na Unidade 9, e para denirmos, na Unidade 13, a exponencial de um nmero real arbitrrio. Terminamos comentando que, no contexto dos nmeros reais, a densidade de

Q

parece ser mais til que a densidade de

R \ Q.

Um ponto a favor dos

racionais em relao aos irracionais a escrita simples que estes nmeros reais apresentam, a saber, a escrita na forma ponto a favor de Matemtica.

Q

a sua enumerabilidade, muitas vezes utilizada na Anlise

a , b

onde

aZ

e

b N.

Um outro

Assim, em muitos casos, para provarmos que um determinado

resultado vlido para todo nmero real, sem diculdade, o provamos para os racionais a partir da validade do resultado para os inteiros. S depois provamos o resultado para os irracionais usando aproximaes por racionais, ou seja, usando a densidade de

Q

em

R.

Este o pulo do gato que muitas vezes o professor

do ensino mdio acaba achando desnecessrio, pois na maioria dos textos esta passagem omitida. claro que no se espera que o professor do ensino mdio ensine isso aos seus alunos com todo o formalismo, mas necessrio que ele tenha bem claro em mente o signicado do que est tentando ensinar.

25

unidades 5 e 6


Na Sala de Aula

Mais Irracionais que RacionaisEmbora a teoria de cardinalidades innitas nos mostre que existem muito mais nmeros sem representao por radicais ou na forma de fraes, ironicamente, os nmeros que admitem tais representaes constituem a grande maioria dos exemplos com que os alunos tm contato no ensino bsico. Se pedirmos a um aluno do ensino mdio que cite alguns nmeros racionais e alguns nmeros irracionais, muito provvel que ele seja capaz de fornecer muito mais exemplos dos primeiros do que dos ltimos. Os exemplos de irracionais

familiares no devem ir muito alm de

2,

3

e

...

claro que os argumentos matemticos formais sobre as cardinalidades dos conjuntos numricos no so acessveis ao ensino mdio. Entretanto, uma noo intuitiva sobre a comparao entre as cardinalidades de

Q

e

Qc

pode

ajudar a construir uma ideia rica do conjunto dos nmeros reais.

Podemos

ajudar os alunos do ensino mdio a construir tal noo intuitiva por meio da representao decimal. No difcil ver que, se pudssemos construir uma

expresso decimal innita sorteando ao acaso dgito por dgito, a probabilidade de aparecer um perodo que se repetisse indenidamente seria muito pequena. Assim, a probabilidade de escolhermos ao acaso uma dzima peridica, isto , um nmero racional, muito menor que a de escolhermos um nmero irracional. De fato, essa probabilidade igual a

0!

26


Unidade 5

As Letras dos Conjuntos NumricosAs letras

Para Saber Maisnmero(ou

N, Q

e

R

so as iniciais das palavras

ente e real, respectivamente.nmero em alemo.

natural), quociA letra Z a inicial da palavra zahl, que signica

27

unidades 5 e 6


Para Saber Mais

O que um Axioma?Como sabemos,

teoremas

so fatos matemticos, cuja veracidade de-

monstrada logicamente, a partir de hipteses e de outros fatos verdadeiros, previamente estabelecidos. Desta forma, teoremas encadeiam-se uns nos ou-

tros por meio de implicaes lgicas. Entretanto, como para demonstrar fatos matemticos, precisamos conhecer previamente outros fatos verdadeiros, essas cadeias de implicaes no podem regredir indenidamente, preciso comear de algum lugar. Por isso, muitas teorias matemticas so estabelecidas axiomaticamente, isto , construdas tendo como alicerce uma lista de

axiomas,

que so

fatos

cuja veracidade admitida sem demonstrao,

a partir dos quais todos os de-

mais so demonstrados como teoremas. Por exemplo, os axiomas mais usados atualmente para a Geometria Euclidiana foram propostos por David Hilbert (1862 - 1943) em 1899. Ao elaborar uma lista de Axiomas, devemos visar duas caractersticas desejveis. Em primeiro lugar, esta deve ser matemtico descrito que

suciente, no sentido perfeitamente caracterizado, sem queAlm disso, tal lista deve ser

que o objeto haja a possi-

bilidade de mais de uma interpretao e de forma que todas as propriedades

mnima, no sentido que no devem ser includos como axiomas fatos que possam ser demonstrados como teoremas a partir dos demais axiomas.possam ser estabelecidas.

28


Unidade 5

O Corpo Ordenado CompletoDescrever tido que

Para Saber MaissenIsto

R como corpo ordenado completo de fato caracteriza R, no R o nico corpo ordenado completo (a menos de isomorsmo).

signica que qualquer conjunto, munido de duas operaes e de uma relao de ordem, que satisfaam todas as propriedades listadas acima, ser equivalente a

R

(diferindo apenas, possivelmente, na forma como seus elementos so

representados). Em particular, a propriedade de caracterizao. Observe que

completeza

tem um papel crucial nesta

Q,

por exemplo, tem todas essas propriedades, a

no ser a completeza. Portanto, completo. Assim como que que

Q

tambm um corpo ordenado mas no

Q, existem outros innitos corpos ordenados K tais Q K R. Porm, o nico completo R. Assim, no incorreto dizer R o (nico) corpo ordenado completo.

29

unidades 5 e 6


Para Saber Mais

Operaes com Limites sempre bom lembrar que, como toda expresso decimal innita representa o limite de uma srie, ento as operaes que zemos para deduzir as frmulas (5.5) e (5.6) no so simples operaes no sentido algbrico, e sim operaes com limites. Portanto, essas operaes s so vlidas porque sabemos de antemo que todos os limites com que operamos existem. Se aplicarmos operaes com limites sem ter essa certeza, podemos chegar a resultados inconsistentes.

30


Unidade 5

A Correspondncia entre Expresses Decimais e Nmeros ReaisObservemos que a correspondncia expresso decimal

Para Saber Mais

nmero real,

que associa a cada expresso decimal um nmero real uma funo sobrejetiva e quase injetiva. A primeira das armaes acima (sobrejetividade) signica que, arbitrariamente um nmero real positivo dado

,

existe uma expresso decimal

a0 , a1 a2 . . . an . . .

tal que

a0 + a1 101 + a2 102 + + an 10n + = .Como de costume, basta considerar o caso em que observamos, obtemos a expresso decimal de

> 0.

Ento, como j

a

tomando sucessivamente

a0 a1 a2 an

= = = . . . = . . .

o maior nmero natural o maior dgito tal que o maior dgito tal que

; 1 = a0 + 2 = a0 +

a1 10 a1 10

; +a2 102

;an 10n


n = a0 +

a1 10

+ ... +

;

Por exemplo, quando escrevemos que que

= 3, 14159265...

estamos dizendo

3 < < 4; 3, 1 < < 3, 2; 3, 14 < < 3, 15,

etc.

Quanto quase injetividade da correspondncia, o que queremos dizer que, se

0

an

8,

ento as expresses decimais e

a0 , a1 . . . an 999 . . .

a0 , a1 . . . (an + 1)000 . . . .

denem o mesmo nmero real. Por exemplo,

3, 275999 . . . = 3, 276000 . . .

e

0, 999 . . . = 1, 000 . . . .

31

unidades 5 e 6


A armao (um tanto imprecisa) de que uma correspondncia quase injetiva no tem sentido algum em geral. No presente caso, estamos querendo dizer que a situao acima descrita a nica em que h quebra de injetividade. Isto pode ser provado mas no haveria muita vantagem em faz-lo aqui. Portanto, para obter-se uma correspondncia biunvoca entre os nmeros reais e as expresses decimais, basta descartar aquelas que terminam por uma sequncia innita de noves.

32


Unidade 5

A Diagonal de CantorGeorg Cantor (1845-1918) foi o primeiro a provar que existem diferentes nmeros cardinais innitos. Mais precisamente, Cantor demonstrou que, em-

Para Saber Mais

N e R so ambos innitos, no pode existir nenhuma funo sobrejetiva f : N R. Em particular, no pode existir uma correspondncia biunvoca entre N e R. Como certamente existe uma funo injetiva de N em R (a saber, aquela que a cada n N faz corresponder o prprio n, pensado como elemento de R), diz-se ento que a cardinalidade de N estritamente menor do que a de R.A demonstrao de Cantor consiste em mostrar que, dada qualquer funo

bora os conjuntos

y R que no pertence imagem f (N), isto , tal que f (n) = y , seja qual for n N. Basta tomar um nmero real y cuja representao decimal tenha seu n-simo dgito diferente do n-simo dgito de f (n), para cada n N. Isto garante que y = f (n), seja qual for n N, portanto y f (N). / sempre possvel achar O argumento de Cantor pode ser ilustrado da seguinte forma: Denir uma funo

f : N R,

f : N R corresponde a construir uma lista innita

de

nmeros reais. Podemos construir essa lista representando cada um dos nmeros reais na forma decimal (por simplicidade, consideramos apenas nmeros reais entre

0

e

1): 1 2 3 4 5. . .

f (1) = 0, a11 a12 a13 a14 a15 . . . f (2) = 0, a21 a22 a23 a24 a25 . . . f (3) = 0, a31 a32 a33 a34 a35 . . . f (4) = 0, a41 a42 a43 a44 a45 . . . f (5) = 0, a51 a52 a53 a54 a55 . . .. . .

Agora, suponhamos que percorramos essa lista, cando cada um dos dgitos por outro qualquer.

ao longo da diagonal,

tro-

Com esses dgitos trocados,

formamos uma nova expresso decimal, que representa um nmero real. Por construo, o nmero real assim formado difere de qualquer um dos presentes na lista,

em pelo menos um dgito (o n-simo).

Assim, este nmero diferente

de todos aqueles constantes da lista. Com isso, conclumos que nenhuma funo

f :NR

pode cobrir os reais totalmente, pois sempre que for dada tal

33

unidades 5 e 6


funo, seremos capazes de exibir um nmero real que no pertence sua imagem. Por causa dessa ilustrao, o argumento cou conhecido como

diagonalN,diz-se

de Cantor.Quando um conjunto nito ou tem a mesma cardinalidade que que ele

enumervel.

O argumento de Cantor mostra que

vel. Na Unidade 2, demos um argumento para mostrar

R no enumerque Q enumervel.

Tambm no difcil ver que a reunio de dois conjuntos enumerveis ainda um conjunto enumervel. Se denotarmos por racionais, teremos

Qc

o conjunto dos nmeros ir-

Qc dos nmeros c irracionais no-enumervel (pois, como Q enumervel, se Q fosse enumervel, R tambm seria). Isto signica que existem muito mais nmeros irracionais R = QQ. Resulta da que o conjunto do que racionais! Podemos ir ainda mais alm. Veremos no Exercco 3 que, se acrescentarmos aos racionais todos os nmeros irracionais que possuem expresso por radicais

c

(tais como

3,

3

5,

4

3

2 + 1, etc.), o conjunto obtido ainda seria enumervel. e

Isto quer dizer que existem muito mais nmeros que no admitem representao por radicais ou como fraes (tais como tais representaes!

e),

do que nmeros que possuem

34

Referncias Bibliogrcas[1] Carmo, Manfredo P.; Morgado, Augusto C., Wagner, Eduardo & Pitombeira, Joo Bosco.

Trigonometria e Nmeros Complexos.

Rio de Janeiro:

SBM, Coleo Professor de Matemtica. [2] Eves, Howard.

An Introduction to the History of Mathematics.

New York:

Holt, Rinehart and Winston, 1964. 14, 3 [3] Ferreira, J.

A Construo dos Nmeros. Anlise I

Rio de Janeiro:

SBM, Coleo

Textos Universitrios, 2010. 2 [4] Figueiredo, Djairo G. [5] Figueiredo, Djairo G. Rio de Janeiro: LTC, 1996. 3 Rio de Janeiro:

Nmeros Irracionais e Transcedentes

SBM, Coleo Iniciao Cientca. [6] Halmos, Paul. [7] Hefez, A.

Naive Set Theory.

New York: Springer, 1974. Edio. Rio de Janeiro: IMPA,

Curso de lgebra Volume 1. 4a

Coleo Matemtica Universitria, 2010. 2 [8] Hefez, Abramo e Fernandez, Ceclia de Souza.

Introduo lgebra Linear.

Rio de Janeiro: SBM, Coleo PROFMAT, 2012. [9] Lima, Elon Lages.

Coordenadas no Espao.

Rio de Janeiro: SBM, Coleo

Professor de Matemtica. [10] Lima, Elon Lages. Euclides, 1976. [11] Lima, Elon Lages. Matemtica. [12] Lima, Elon Lages.

Curso de Anlise, Vol. 1. Rio de Janeiro: Logaritmos. Rio de Janeiro:

SBM, Projeto

SBM, Coleo Professor de

Meu Professor de Matemtica e Outras Histrias.

Rio

de Janeiro: SBM, Coleo Professor de Matemtica. 12

35

unidades 5 e 6

REFERNCIAS BIBLIOGRFICASAnlise Real,

[13] Lima, Elon Lages.

Vol. 1. Rio de Janeiro: IMPA, Coleo

Matemtica Universitria.

36

MA11_Unidades_5_e_6

Documents

Transcript of MA11_Unidades_5_e_6