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1 4

1

F u n o E x p o n e n c i a l

S u m r i o

1 3 . 1 I n t r o d u o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1 3 . 2 D o i s E x e m p l o s F u n d a m e n t a i s . . . . . . . . . . . . . 3

1 3 . 3 P o t n c i a s d e E x p o e n t e R a c i o n a l . . . . . . . . . . . 5

1 3 . 4 T e x t o s C o m p l e m e n t a r e s . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1

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U n i d a d e 1 4

I n t r o d u o

1 4 . 1 I n t r o d u o

N e s t a u n i d a d e , c o n t i n u a r e m o s o e s t u d o d e f u n e s e x p o n e n c i a i s q u e i n i c i -

a m o s n a u n i d a d e a n t e r i o r , o n d e f o i a p r e s e n t a d a a d e n i o d a e x p o n e n c i a o

a p e n a s p a r a e x p o e n t e s r a c i o n a i s .

N a S e o 2 , d i s c u t i d a a s u a e x t e n s o p a r a e x p o e n t e s r e a i s , n e c e s s r i a

p a r a q u e p o s s a m o s d e n i r a f u n o e x p o n e n c i a l c o m d o m n i o e m R

. F a z e r

e s s a e x t e n s o s i g n i c a q u e , p a r a a > 0

x a d o , d e v e m o s d e n i r u m a f u n o f

,

c o m d o m n i o e m R

, q u e s a t i s f a a p a r a q u a i s q u e r x e y e m R a s p r o p r i e d a d e s

f u n d a m e n t a i s :

( 1 )ax.ay = ax+y;

( 2 ) a1 = a;

( 3 ) x < y

ax < ay,q u a n d o

a > 1

ay < ax, q u a n d o 0 < a < 1.

E m p r i m e i r o l u g a r , o b s e r v a r e m o s q u e t a l f u n o e s t r i t a m e n t e p o s i t i v a .

P o r t a n t o , p o d e r e m o s d e n i r f: R R+ . A l m d i s s o , p a r a r Q, a f u n o c o i n c i d i r c o m a e x p o n e n c i a o

ar, j d e n i d a .

P o r o u t r o l a d o , x a d o a > 1 ( o c a s o 0 < a < 1 a n l o g o ) , g r a a s

m o n o t o n i c i d a d e d a e x p o n e n c i a l e m Q, m o s t r a r e m o s q u e , d a d o x i r r a c i o n a l ,

e x i s t e u m n i c o n m e r o r e a l y c o m a s e g u i n t e p r o p r i e d a d e :

r, s Q, r < x < s ar < y < as.

P o d e r e m o s e n t o d e n i r ax = y . A s s i m , c a r b e m d e n i d a u m a f u n o f

q u e s a t i s f a z a s p r o p r i e d a d e s ( 1 ) , ( 2 ) e ( 3 ) . A p a r t i r d a , p o d e r e m o s e s t a b e l e c e r

a s o u t r a s p r o p r i e d a d e s i m p o r t a n t e s d a f u n o e x p o n e n c i a l f: R R+ , c o m o c o n t i n u i d a d e , i n j e t i v i d a d e , s o b r e j e t i v i d a d e e l i m i t e s e m

.

C o m r e l a o a o g r c o d a f u n o e x p o n e n c i a l , r e c o m e n d a m o s p a r t i c u l a r

a t e n o c o m p a r a o e n t r e f u n e s e x p o n e n c i a i s e p o l i n o m i a i s :

O c r e s c i m e n t o e x p o n e n c i a l , q u a n d o a > 1 , s u p e r a o d e q u a l q u e r p o l i n m i o .

N o E n s i n o M d i o , g r c o s d e f u n e s e x p o n e n c i a i s s o m u i t a s v e z e s t r a -

a d o s d e f o r m a d i s p l i c e n t e , c o m o s e f o s s e m a r c o s d e p a r b o l a . E n t r e t a n t o ,

i m p o r t a n t e o b s e r v a r q u e o c r e s c i m e n t o e x p o n e n c i a l q u a l i t a t i v a m e n t e b a s -

t a n t e d i f e r e n t e d o c r e s c i m e n t o p o l i n o m i a l . P a r a e n t e n d e r b e m e s t a d i f e r e n a

2

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U n i d a d e 1 4

F u n o E x p o n e n c i a l

q u a l i t a t i v a , r e l e i a a d i s c u s s o s o b r e v a r i a o d a f u n o e x p o n e n c i a l n a u n i d a d e

a n t e r i o r , c a r a c t e r i z a d a p e l a p r o p r i e d a d e :

O c r e s c i m e n t o e x p o n e n c i a l s e c a r a c t e r i z a p e l o f a t o d e q u e a v a r i a o d a

v a r i v e l d e p e n d e n t e p r o p o r c i o n a l a o s e u p r p r i o v a l o r .

N a S e o 3 , s o d e m o n s t r a d a s d u a s f o r m a s d e c a r a c t e r i z a r e s t e t i p o d e f u n -

o . A p r i m e i r a d i z r e s p e i t o a s u a s p r o p r i e d a d e s a l g b r i c a s , e a s e g u n d a e n v o l v e

a i d e i a d e v a r i a o . A o l e r e s s a s d e m o n s t r a e s , p r e s t e a t e n o n a i m p o r t n c i a

d a h i p t e s e d e m o n o t o n i c i d a d e ( q u e p o d e s e r s u b s t i t u d a p o r c o n t i n u i d a d e ) e

d o l e m a d e d e n s i d a d e p r o v a d o n a u n i d a d e a n t e r i o r .

1 4 . 2 A F u n o E x p o n e n c i a l

S e j a a u m n m e r o r e a l p o s i t i v o d i f e r e n t e d e 1

. A f u n o e x p o n e n c i a l f: R

R+d e b a s e a , i n d i c a d a p e l a n o t a o f(x) = ax , d e v e s e r d e n i d a d e m o d o a

t e r a s s e g u i n t e s p r o p r i e d a d e s f u n d a m e n t a i s . P a r a q u a i s q u e r x, y R

:

( 1 ) ax.ay = ax+y;

( 2 ) a1 = a;

( 3 ) x < y

ax < ay,q u a n d o

a > 1

ay < ax, q u a n d o 0 < a < 1.

i n t e r e s s a n t e o b s e r v a r q u e s e u m a f u n o f: R R

t e m a p r o p r i e d a d e

(1) a c i m a , i s t o , f(x + y) = f(x) f(y) , e n t o f n o p o d e a s s u m i r o v a l o r 0,a m e n o s q u e s e j a i d e n t i c a m e n t e n u l a . C o m e f e i t o , s e e x i s t i r a l g u m x0 R t a lq u e f(x0) = 0 e n t o , p a r a t o d o x R t e r e m o s

f(x) = f(x0 + (x

x0)) = f(x0)

f(x

x0) = 0

f(x

x0) = 0,

l o g o f s e r i d e n t i c a m e n t e n u l a .

M a i s a i n d a , s e f: R R t e m a p r o p r i e d a d e ( 1 ) e n o i d e n t i c a m e n t e n u l a ,e n t o

f(x) > 0p a r a t o d o

x R, p o i s

f(x) = fx

2+

x

2

= f

x2

fx

2

=

fx

2

2> 0.

3

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U n i d a d e 1 4

A F u n o E x p o n e n c i a l

A s s i m , d i a n t e d a p r o p r i e d a d e (1), t a n t o f a z d i z e r q u e o c o n t r a d o m n i o d e

fR

c o m o d i z e r q u e R+

. A v a n t a g e m d e t o m a r R+

c o m o c o n t r a d o m n i o

q u e s e t e r f s o b r e j e t i v a , c o m o v e r e m o s .

S e u m a f u n o f: R R t e m a s p r o p r i e d a d e s (1) e (2), e n t o p a r a t o d o n N

t e m - s e

f(n) = f(1 + 1 + + 1) = f(1) f(1) f(1) = a a a = an.

U s a n d o a p r o p r i e d a d e (1), r e s u l t a d a , c o m o m o s t r a m o s n a u n i d a d e a n t e r i o r ,

q u e p a r a t o d o n m e r o r a c i o n a l r = m/n , c o m m Z e n N, d e v e - s e t e r

f(r) = ar = n

am.

P o r t a n t o , f(r) = ar a n i c a f u n o f: Q R+ t a l q u e f(r + s) =f(r) f(s) p a r a q u a i s q u e r r , s Q e f(1) = a.

A p r o p r i e d a d e (3), v l i d a e m Q, d i z q u e a f u n o e x p o n e n c i a l d a d a p o r

f(r) = arp a r a

r Q c r e s c e n t e q u a n d o

a > 1e d e c r e s c e n t e q u a n d o

0 < a 1 . E n t o y = ax

t e m a s e g u i n t e p r o p r i e d a d e :

r, s Q, r < x < s ar < y < as.

O u s e j a ,ax

u m n m e r o r e a l c u j a s a p r o x i m a e s p o r f a l t a s o ar

, c o m r 1

e n t o ax

c r e s c e s e m l i m i t e s q u a n d o

x > 0 m u i t o g r a n d e . E s e 0 < a < 1 e n t o ax t o r n a - s e a r b i t r a r i a m e n t e g r a n d e

q u a n d o x < 0

t e m v a l o r a b s o l u t o g r a n d e .

( 5 ) A f u n o e x p o n e n c i a l c o n t n u a .

I s t o s i g n i c a q u e , d a d o x0 R, p o s s v e l t o r n a r a d i f e r e n a |ax ax0| t op e q u e n a q u a n t o s e d e s e j e , d e s d e q u e

xs e j a t o m a d o s u c i e n t e m e n t e p r x i m o

d e x0 . D i t o d e o u t r o m o d o : o l i m i t e d e ax q u a n d o x t e n d e a x0 i g u a l a ax0 .

E m s m b o l o s :limxx0 a

x = ax0.

E s t a a r m a o p o d e s e r p r o v a d a a s s i m : e s c r e v e m o s x = x0 + h, l o g o

x x0 = h e e n t o |ax ax0| = ax0|ah 1| . O r a , p o d e - s e m o s t r a r q u e ahp o d e s e r t o r n a d o t o p r x i m o d e 1 q u a n t o d e s e j e m o s , d e s d e q u e t o m e m o s h

s u c i e n t e m e n t e p e q u e n o ( v e j a E x e r c c i o 3 ) . C o m o ax0

c o n s t a n t e , p o d e m o s

f a z e r o p r o d u t o ax0|ah 1| t o p e q u e n o q u a n t o o q u e i r a m o s . I s t o i m p l i c a q u e limxx0 |ax ax0| = 0 , o u s e j a , limxx0 ax = ax0 .( 6 ) A f u n o e x p o n e n c i a l f: R R+, f(x) = ax, a = 1, s o b r e j e t i v a .

E s t a a r m a o q u e r d i z e r q u e p a r a t o d o n m e r o r e a l b > 0 e x i s t e a l g u m

x Rt a l q u e

ax = b. ( T o d o n m e r o r e a l p o s i t i v o u m a p o t n c i a d e

a. ) P a r a

p r o v - l a , u s a m o s o l e m a d a u n i d a d e a n t e r i o r e e s c o l h e m o s , p a r a c a d a n N,u m a p o t n c i a

arn, c o m

rn Q, n o i n t e r v a l o (b 1n , b + 1n), d e m o d o q u e |b arn| < 1/n . P o r t a n t o limn arn = b . P a r a x a r a s i d e i a s , s u p o m o s a > 1

. E s c o l h e m o s a s p o t n c i a s arn

s u c e s s i v a m e n t e , t a i s q u e

ar1 < ar2 1, p o r e x e m p l o , e n t o

x > y ax > aye

x < y ax < ay . P o r t a n t o , x = y ax = ay .T e m - s e a i n d a

limx+

ax = + s e a > 1,lim

x+ax = 0 s e 0 < a < 1,

limx

ax = 0 s e a > 1 e

limx

ax = + s e 0 < a < 1.

A g u r a e x i b e o g r c o d e f(x) = ax

n o s c a s o s a > 1

e0 < a < 1

.

F i g u r a 1 4 . 1 : G r c o d a f u n o e x p o n e n c i a l

Q u a n d o a > 1

, n o t a - s e q u e , q u a n d o x

v a r i a d a e s q u e r d a p a r a a d i r e i t a , a

c u r v a e x p o n e n c i a l y = ax a p r e s e n t a u m c r e s c i m e n t o b a s t a n t e l e n t o e n q u a n d o x

n e g a t i v o . A m e d i d a q u e x

c r e s c e , o c r e s c i m e n t o d e y

s e t o r n a c a d a v e z m a i s

a c e l e r a d o . I s t o s e r e e t e n a i n c l i n a o d a t a n g e n t e a o g r c o ; p a r a v a l o r e s

p o s i t i v o s m u i t o g r a n d e s d e x

, a t a n g e n t e q u a s e v e r t i c a l . O c r e s c i m e n t o

e x p o n e n c i a l s u p e r a o d e q u a l q u e r p o l i n m i o . S e c o m p a r a r m o s o g r c o d e

6

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7/14

U n i d a d e 1 4

F u n o E x p o n e n c i a l

y = 2x ( p o r e x e m p l o ) c o m o d e y = x10 , v e r e m o s q u e , p a r a 0 < x < 1, 077

t e m o s x10 < 2x

. P a r a 1, 077 < x < 58, 77

t e m - s e x10 > 2x

e , p a r a t o d o

x > 58, 77 t e m - s e s e m p r e 2x > x10 .

F i g u r a 1 4 . 2 : C o m p a r a n d o g r c o s d e p o l i n m i o s e e x p o n e n c i a i s

1 4 . 3 C a r a c t e r i z a o d a F u n o E x p o n e n c i a l

A s f u n e s e x p o n e n c i a i s s o , j u n t a m e n t e c o m a s f u n e s a n s e a s q u a d r -

t i c a s , o s m o d e l o s m a t e m t i c o s m a i s u t i l i z a d o s p a r a r e s o l v e r p r o b l e m a s e l e m e n -

t a r e s . A s f u n e s a n s o c o r r e m e m p r a t i c a m e n t e t o d o s o s p r o b l e m a s d u r a n t e

o s n o v e p r i m e i r o s a n o s d a e s c o l a e , c o m m e n o s e x c l u s i v i d a d e , p o r m a i n d a c o m

g r a n d e d e s t a q u e , n o s t r s a n o s n a i s . P o r s u a v e z , a s f u n e s q u a d r t i c a s e e x -

p o n e n c i a i s a p a r e c e m n e s s e s t r s l t i m o s a n o s , e m b o r a t e n h a m , p r i n c i p a l m e n t e

a s l t i m a s , i m p o r t n c i a c o n s i d e r v e l n a u n i v e r s i d a d e , b e m c o m o n a s a p l i c a e s

d e M a t e m t i c a e m a t i v i d a d e s c i e n t c a s o u p r o s s i o n a i s .

U m a v e z d e c i d i d o q u e o m o d e l o a d e q u a d o p a r a u m d e t e r m i n a d o p r o b l e m a

u m a f u n o a m , q u a d r t i c a o u e x p o n e n c i a l , a p a r t i r d a o t r a t a m e n t o m a -

t e m t i c o d a q u e s t o n o o f e r e c e m a i o r e s d i c u l d a d e s . A s d v i d a s q u e p o s s a m

s u r g i r a c o n t e c e m g e r a l m e n t e , a n t e s , n a e s c o l h a d o i n s t r u m e n t o m a t e m t i c o

a p r o p r i a d o p a r a o p r o b l e m a q u e s e e s t u d a . P a r a q u e e s s a e s c o l h a p o s s a s e r

f e i t a c o r r e t a m e n t e , p r e c i s o s a b e r q u a i s s o a s p r o p r i e d a d e s c a r a c t e r s t i c a s d e

c a d a t i p o d e f u n o . N a s U n i d a d e s 9 e 1 0 , v i m o s p r o p r i e d a d e s q u e c a r a c t e r i z a m

a s f u n e s a n s e q u a d r t i c a s . V a m o s a g o r a f a z e r o m e s m o c o m a s f u n e s

7

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U n i d a d e 1 4

C a r a c t e r i z a o d a F u n o E x p o n e n c i a l

e x p o n e n c i a i s .

T e o r e m a 1

C a r a c t e r i z a o d a

F u n o E x p o n e n c i a l

S e j a f: R

R+

u m a f u n o m o n t o n a i n j e t i v a ( i s t o , c r e s c e n t e o u

d e c r e s c e n t e ) . A s s e g u i n t e s a r m a e s s o e q u i v a l e n t e s :

( 1 ) f(nx) = f(x)n p a r a t o d o n Z e t o d o x R;

( 2 ) f(x) = ax p a r a t o d o x R, o n d e a = f(1);

( 3 )f(x + y) = f(x) f(y)

p a r a q u a i s q u e r x, y R

.

D e m o n s t r a o

P r o v a r e m o s a s i m p l i c a e s (1)

(2)

(3)

(1). A m d e m o s t r a r q u e

(1) (2)o b s e r v a m o s i n i c i a l m e n t e q u e a h i p t e s e

(1)a c a r r e t a q u e , p a r a t o d o

n m e r o r a c i o n a l r = m/n ( c o m m Z e n N) , t e m - s e f(rx) = f(x)r p a r a t o d o

x R. C o m e f e i t o , c o m o

nr = m, p o d e m o s e s c r e v e r

f(rx)n = f(nrx) = f(mx) = f(x)m,

l o g o f(rx) = f(x)m/n = f(x)r

p a r a t o d o x R

.

A s s i m , s e p u s e r m o s f(1) = a

, t e r e m o s f(r) = f(r 1) = f(1)r = ar

p a r a

t o d o r

Q

. P a r a c o m p l e t a r a d e m o n s t r a o d e q u e (1)

(2) s u p o n h a m o s ,

a m d e x a r a s i d e i a s , q u e f

s e j a c r e s c e n t e , l o g o 1 = f(0) < f(1) = a

.

A d m i t a m o s , p o r a b s u r d o , q u e e x i s t a u m x R t a l q u e f(x) = ax . D i g a m o s , p o r e x e m p l o , q u e s e j a

f(x) < ax( o c a s o

f(x) > axs e r i a t r a t a d o a n a l o g a m e n t e ) .

E n t o , p e l o l e m a d a U n i d a d e 1 3 , e x i s t e u m n m e r o r a c i o n a l r t a l q u e f(x) 1

,g

c r e s c e n t e e s e 0 < a < 1, g d e c r e s c e n t e .

8

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9/14

U n i d a d e 1 4

F u n o E x p o n e n c i a l

S e a f u n o g : R R d e t i p o e x p o n e n c i a l e n t o , p a r a q u a i s q u e r x, h R,o s q u o c i e n t e s

g(x + h) g(x)g(x) = ah 1 e g(x + h)g(x) = ah

d e p e n d e m a p e n a s d e h, m a s n o d e x . M o s t r a r e m o s a g o r a q u e v a l e a r e c p r o c a .

T e o r e m a 2

C a r a c t e r i z a o d a s

f u n e s d e t i p o

e x p o n e n c i a l

S e j a g : R R+ u m a f u n o m o n t o n a i n j e t i v a ( i s t o , c r e s c e n t e o u d e c r e s c e n t e ) . S u p o n h a m o s q u e , p a r a q u a i s q u e r

xe

he m

R, o a c r s c i m o r e l a t i v o

[g(x + h)g(x)]/g(x) d e p e n d a a p e n a s d e h, m a s n o d e x . E n t o , s e b = g(0)e

a = g(1)/g(0), t e m - s e

g(x) = baxp a r a t o d o

x R

P a r a S a b e r M a i s - D e m o n t r a o d o T e o r e m a - C l i q u e p a r a l e r

1 4 . 4 F u n e s E x p o n e n c i a i s e P r o g r e s s e s

S e j a f : R R, f(x) = bax , u m a f u n o d e t i p o e x p o n e n c i a l . S e x1, x2, . . . , xn, . . . u m a p r o g r e s s o a r i t m t i c a d e r a z o h , i s t o , xn+1 = xn+h,

e n t o o s v a l o r e s

f(x1) = bax1 , f(x2) = ba

x2 , . . . , f (xn) = baxn, . . . ,

f o r m a m u m a p r o g r e s s o g e o m t r i c a d e r a z o ah

, p o i s

f(xn+1) = baxn+1 = baxn+h = (baxn) ah.

C o m o o (n + 1)- s i m o t e r m o d a p r o g r e s s o a r i t m t i c a d a d a xn+1 = x1 + nh,

s e g u e - s e q u e f(xn+1) = f(x1) An , o n d e A = ah . E m p a r t i c u l a r , s e x1 = 0

e n t o

f(x1) = b, l o g o

f(xn+1) = b An

.

E s t a s i m p l e s o b s e r v a o u s a d a n a p r t i c a p a r a d i s c r e t i z a r a a n l i s e d a s

s i t u a e s , c o m o a q u e l a s a p r e s e n t a d a s n a S e o 2 d a U n i d a d e 1 3 , e m q u e s e

t e m c r e s c i m e n t o o u d e c r e s c i m e n t o e x p o n e n c i a l .

P o r e x e m p l o , s e u m c a p i t a l i n i c i a l c0 a p l i c a d o a j u r o s x o s e n t o , d e p o i s d e

d e c o r r i d o u m t e m p o t

, o c a p i t a l e x i s t e n t e d a d o p o r c(t) = c0 at . S e t i r a r m o s

e x t r a t o s d a c o n t a n o s t e m p o s 0, h, 2h, 3h , . . . t e r e m o s c(0) = c0 , c(h) = c0A,

9

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10/14

U n i d a d e 1 4

F u n e s E x p o n e n c i a i s e P r o g r e s s e s

c(2h) = c0 A2 , c(3h) = c0 A3, . . . o n d e A = ah . P o r t a n t o , a e v o l u o d o s a l d o , q u a n d o c a l c u l a d o e m i n t e r v a l o s d e

hu n i d a d e s d e t e m p o , d a d a p e l a

p r o g r e s s o g e o m t r i c a :

c0, c0 A, c0 A2, c0 A3, . . . .

E s t a p r o p r i e d a d e c a r a c t e r s t i c a d a s f u n e s d e t i p o e x p o n e n c i a l , c o n f o r m e

o r e s u l t a d o a s e g u i r .

T e o r e m a 3

S e j a f: R R

u m a f u n o m o n t o n a i n j e t i v a ( i s t o , c r e s c e n t e o u d e c r e s -

c e n t e ) q u e t r a n s f o r m a t o d a p r o g r e s s o a r i t m t i c a x1, x2, . . . , xn, . . . n u m a p r o -

g r e s s o g e o m t r i c a y1, y2, . . . , yn, . . ., o n d e yn = f(xn). S e p u s e r m o s b = f(0)

e a = f(1)/f(0) t e r e m o s f(x) = bax p a r a t o d o x R.

P a r a S a b e r M a i s - P r o v a d o T e o r e m a - C l i q u e p a r a l e r

1 0

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11/14

U n i d a d e 1 4

F u n o E x p o n e n c i a l

E x e r c c i o s R e c o m e n d a d o s

1 . C o m o v i m o s n e s t a u n i d a d e , a d e n i o d a f u n o e x p o n e n c i a l r e a l e n v o l v e

u m a n o o d e c o n v e r g n c i a , o u d e c o n t i n u i d a d e . E v i d e n t e m e n t e , e s t e s

c o n c e i t o s n o s o a d e q u a d o s p a r a o E n s i n o M d i o . E n t r e t a n t o , p o d e m o s

i n t r o d u z i r u m a i d e i a i n t u i t i v a d o s i g n i c a d o d e ax

, c o m x

i r r a c i o n a l , c o m

b a s e e m u m a n o o d e a p r o x i m a o , c o m o a p o i o d a c a l c u l a d o r a o u d o

c o m p u t a d o r . E l a b o r e u m a a t i v i d a d e p a r a e x p l i c a r a o s s e u s a l u n o s n o

E n s i n o M d i o o s i g n i c a d o d e 2 ( p o r e x e m p l o ) .

2 . E s b o c e o s g r c o s d a s f u n e s f: R R a b a i x o ( s e m u s a r t c n i c a s d e c l c u l o d i f e r e n c i a l ) .

( a )f(x) = 2x

2

;

( b )f(x) = 2x

2

;

( c ) f(x) = 21x2

;

( d ) f(x) = 21

x;

( e ) f(x) = 2x 3 ;

( f )f(x) = 3

1

2x

.

3 . S a b e n d o - s e q u e o s g r c o s d a s f u n e s f(x) = ax

eg(x) = x2 1

s e

i n t e r s e c t a m e m u m p o n t o d e a b s c i s s a 3, d e t e r m i n e o n m e r o a.

4 . R e s o l v a a s s e g u i n t e s i n e q u a e s e x p o n e n c i a i s :

( a )32x+2 3x+3 > 3x 3

;

( b )2x 1 > 21x ;

( c ) 4x+1

2 + 5

2x + 2 > 0.

5 . M o s t r e q u e limh0 a

h = 1.

1 1

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12/14

U n i d a d e 1 4 T e x t o s C o m p l e m e n t a r e s

1 4 . 5 T e x t o s C o m p l e m e n t a r e s

P a r a S a b e r M a i s C a r a c t e r i z a o p e l a C o n t i n u i d a d e

O T e o r e m a d e C a r a c t e r i z a o p o d e s e r e n u n c i a d o d e u m m o d o l i g e i r a m e n t e

d i f e r e n t e , s u b s t i t u i n d o a h i p t e s e d e m o n o t o n i c i d a d e p e l a s u p o s i o d e q u e f

s e j a c o n t n u a . A d e m o n s t r a o d o p a s s o (1) (2) m u d a a p e n a s n o c a s o xi r r a c i o n a l . E n t o t e m - s e

x = limn rn , rn Q. L o g o , p e l a c o n t i n u i d a d e d e f, d e v e s e r

f(x) = limn

f(rn) = limn

arn = ax.

1 2

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13/14

U n i d a d e 1 4

F u n o E x p o n e n c i a l

P a r a S a b e r M a i s D e m o n t r a o d o T e o r e m a

C o m o v i m o s a c i m a , a h i p t e s e f e i t a e q u i v a l e a s u p o r q u e a f u n o (h) =

g(x + h)/g(x)i n d e p e n d e d e

x. S u b s t i t u i n d o , s e n e c e s s r i o ,

g(x)p o r

f(x) =g(x)/b , o n d e b = g(0), f c o n t n u a m o n t o n a i n j e t i v a , c o m f(x + h)/f(x)

i n d e p e n d e n t e d e x

e , a g o r a , c o m f(0) = 1

. E n t o , p o n d o x = 0

n a r e l a o

(h) = f(x + h)/f(x), o b t e m o s (h) = f(h) p a r a t o d o h R. V e m o s a s s i m q u e a f u n o m o n t o n a i n j e t i v a

fc u m p r e

f(x + h) = f(x) f(h), o u s e j a ,

f(x + y) = f(x) f(y) p a r a q u a i s q u e r x, y R. S e g u e - s e e n t o d o t e o r e m a a n t e r i o r q u e

f(x) = ax, l o g o

g(x) = bf(x) = bax, c o m o q u e r a m o s d e m o n s t r a r .

1 3

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14/14

U n i d a d e 1 4 T e x t o s C o m p l e m e n t a r e s

P a r a S a b e r M a i s P r o v a d o T e o r e m a

S e j a b = f(0). A f u n o g : R R+ , d e n i d a p o r g(x) = f(x)/b , m o n t o n a i n j e t i v a , c o n t i n u a t r a n s f o r m a n d o p r o g r e s s e s a r i t m t i c a s e m p r o -

g r e s s e s g e o m t r i c a s e a g o r a t e m - s e g(0) = 1 . D a d o x R q u a l q u e r , a s e q u n c i a

x, 0,x u m a p r o g r e s s o a r i t m t i c a , l o g o

g(x), 1, g(x) u m a p r o -

g r e s s o g e o m t r i c a d e r a z o g(x). S e g u e - s e g(x) = 1/g(x). S e j a m a g o r a n N

ex R

. A s e q u n c i a 0, x, 2x , . . . , n x

u m a p r o g r e s s o a r i t m t i c a ,

l o g o 1, g(x), g(2x), . . . , g(nx) u m a p r o g r e s s o g e o m t r i c a , c u j a r a z o e v i d e n -

t e m e n t e g(x)

. E n t o s e u (n + 1)

- s i m o t e r m o g(nx) = g(x)n

. S en

u m i n t e i r o n e g a t i v o e n t o g(nx) = 1/g(nx) = 1/g(x)n = g(x)n . P o r t a n t o ,v a l e g(nx) = g(x)n p a r a q u a i s q u e r n

Z

e x

R

. S e g u e - s e d o T e o r e m a d e

C a r a c t e r i z a o a c i m a q u e , p o n d o a = g(1) = f(1)/f(0), t e m - s e g(x) = ax , o u

s e j a , f(x) = bax , p a r a t o d o x R.

1 4