Lógica de Predicados - SOL -...

Lógica de Predicados

Quantificadores

Conteúdo

� Correção de Exercícios� Operações Lógicas� Quantificadores – Rosen (pg 33)� Tradução Português – Lógica – Rosen (pg 42)

Exercícios

� Determinar o conjunto verdade em N dos predicados.� P(x) = “2x = 6”� P(x) = “x – 1 < 4”� P(x) = “5x + 6 = 0”� P(x) =“x2-x-2”

Exercícios

� Determinar o conjunto verdade em N dos predicados.� P(x) = “2x = 6” CV={3}� P(x) = “x – 1 < 4”� P(x) = “5x + 6 = 0”� P(x) =“x2-x-2”

Exercícios

� Determinar o conjunto verdade em N dos predicados.� P(x) = “2x = 6” CV={3}� P(x) = “x – 1 < 4” CV={0,1,2,3,4}� P(x) = “5x + 6 = 0”� P(x) =“x2-x-2”

Exercícios

� Determinar o conjunto verdade em N dos predicados.� P(x) = “2x = 6” CV={3}� P(x) = “x – 1 < 4” CV={0,1,2,3,4}� P(x) = “5x + 6 = 0” CV={ }� P(x) =“x2-x-2”

Exercícios

� Determinar o conjunto verdade em N dos predicados.� P(x) = “2x = 6” CV={3}� P(x) = “x – 1 < 4” CV={0,1,2,3,4}� P(x) = “5x + 6 = 0” CV={ }� P(x) =“x2-x-2” CV={2}

Exercícios

� Dados os conjuntosA={ -2,0,1,2}B={-1,0,3}

Determinar o conjunto verdade de P(x,y)=“x+y < 1” x�A e y�B

Exercícios

� Dados os conjuntosA={ -2,0,1,2}B={-1,0,3}

Determinar o conjunto verdade de P(x,y)=“x+y < 1” x�A e y�B

CV = { (-2,-1), (-2,0), (0,-1), (0,0), (1,-1)}

Exercícios Rosen – pg 46

1) Considere P(x) como o predicado “x� 4”. Quais são os valores verdade das proposições abaixo?

a) P(0)b) P(4)c) P(6)


1) Considere P(x) como o predicado “x� 4”. Quais são os valores verdade das proposições abaixo?

a) P(0) é Verdadeb) P(4) é Verdadec) P(6) é Falso


2) Considere P(x) como o predicado “a palavra x contém a letra a”. Quais são os valores verdade das proposições abaixo?

a) P(orange)b) P(lemon)c) P(true)d) P(false)


2) Considere P(x) como o predicado “a palavra x contém a letra a”. Quais são os valores verdade das proposições abaixo?

a) P(orange) é Verdadeb) P(lemon) é Falsoc) P(true) é Falsod) P(false) é Verdade


2) Considere Q(x,y) como o predicado “x é a capital de y”. Quais são os valores verdade das proposições abaixo?

a) Q(Denver, Colorado)



a) Q(Denver, Colorado) é Verdadeb) Q(Detroir, Michigan)



a) Q(Denver, Colorado) é Verdadeb) Q(Detroir, Michigan) é Falso capital é Lansingc) Q(Massachusetts, Boston)



a) Q(Denver, Colorado) é Verdadeb) Q(Detroir, Michigan) é Falso capital é Lansingc) Q(Massachusetts, Boston) é Verdaded) Q(Nova York, Nova York)



a) Q(Denver, Colorado) é Verdadeb) Q(Detroir, Michigan) é Falso capital é Lansingc) Q(Massachusetts, Boston) é Verdaded) Q(Nova York, Nova York) é F capital é Albany


4) Constate o valor de x depois que o comando if P(x) then x:=1 for executada, em que P(x) é a proposição “x>1”, se o valor de x, quando essa proposição for alcançada, for

a) x=0; Resp. 0b) x=1; Resp. 1c) x=2; Resp 1

Operações Lógicas Sobre Predicados

� As operações lógicas que usamos para proposições estendem se a predicados.

� M(x) = “x é médico”� P(x) = “x é professor”

� M(x) ^ P(x) x é médico e professor

Operações Lógicas sobre Predicados

� Conjunção

P(x) = “x>2”Q(x) = “x<8”

P(x) ^ Q(x) = “2 < x < 8”

CV = ??? em N


� Conjunção

P(x) = “x > 2”Q(x) = “x < 8”

P(x) ^ Q(x) = “2 < x < 8”

CV = {3,4,5,6,7}


� Disjunção

P(x) = “x < 2”Q(x) = “x > 8”

P(x) v Q(x) = “x > 2 ou x < 8”

CV em N ??? 0? 1? 2? 5?


� Negação

P(x) = “x é par”~P(x) = ???

O conjunto verdade de um é o complemento do conjunto verdade do outro.


� Negação

P(x) = “x é par”~P(x) = “x é impar”



� Negação

P(x) = “x é par”~P(x) =“x é impar”

Q(x) = “x < y”~Q(x) = ???



� Negação

P(x) = “x é par”~P(x) = “x é impar”

Q(x) = “x < y”~Q(x) = “x � y”


Operações Lógicas sobre Operadores

� As operações:

� Condicional� Bicondicional

também podem ser estendidas para a lógica de predicados. Falaremos sobre elas em aulas futuras.

Quantificadores

� São frases do tipo:� “para todo”� “para cada”� “para algum”

� Ou seja, frases que dizem quantos objetos, em algum sentido, têm uma determinada propriedade.

Quantificadores - Tipos

� Universal: � considera todos os elementos de um conjunto

� Existencial:� Existe um ou mais elementos de um conjunto.

Quantificador Universal

� Propriedade é verdadeira para todos os valores de uma variável em um determinado domínio, ou seja, todos os elementos do domínio tornam o predicado verdadeiro.

� Domínio = Conjunto Verdade

� Símbolo Usado: �


� Notação:� (�x ��A) (P(x)) � �x ��A, P(x)� �x ��A: P(x) � (�x ) P(x)� �x, P(x)� �x: P(x)� �x P(x)


� Seja A = {a1,a2, ... , an} o domínio considerado para o predicado P(x).

� Então �x P(x) equivale à conjunção das proposições.

�x P(x) � P(a1)^ P(a2) ^ ... P(an)



� Então �x P(x) equivale à conjunção das proposições.

�x P(x) � P(a1)^ P(a2) ^ ... ^P(an)

� Sendo assim ao usarmos o quantificador universal no predicado este torna se uma proposição pois tem um valor verdade.


� Exemplo:A= {3,5,7}P(x) = “x é primo”�x P(x) é ???


� Exemplo:A= {3,5,7}P(x) = “x é primo”�x P(x) é Verdade

� Um elemento para o qual P(x) é falsa é chamado de contra exemplo para �x P(x) e torna �x P(x) falso também.


� Exemplo:

P(x) = “x +1 > x”Domínio: o conjunto dos números reais.

�x P(x) é ?


� Exemplo:

P(x) = “x +1 > x”Domínio: o conjunto dos números reais.

�x P(x) é Verdade


� Exemplo:

Q(x) = “x < 2”Domínio: o conjunto dos números reais

�x Q(x) é ???


� Exemplo:

Q(x) = “x < 2”Domínio: o conjunto dos números reais

Q(3) é Falso logo �x Q(x) é Falso

Contra exemplo

Quantificador Existencial

� Propriedade é verdadeira para pelo menos um valor de uma variável em um determinado domínio, ou seja, existe um elemento do domínio que torna o predicado verdadeiro.

� Símbolo Usado: �

Quantificador Existencial� Exemplo

P(x) = “x é aluno de fundamentos 1 que tem N1=10.0”

Domínio = {alunos desta sala}

Podemos escrever que: �x P(x)


� Notação:� (�x ��A) (P(x)) � �x ��A, P(x)� �x ��A: P(x) � (�x ) P(x)� �x, P(x)� �x: P(x)� �x P(x)



� Então �x P(x) equivale à disjunção das proposições.

�x P(x) � P(a1) v P(a2) v ... v P(an)



� Então �x P(x) equivale à disjunção das proposições.

�x P(x) � P(a1) v P(a2) v ... v P(an)

� Sendo assim ao usarmos o quantificador existencial no predicado este torna se uma proposição pois tem um valor verdade.


Exemplo: P(x) = “x > 3”Domínio: conjunto dos números reais.Temos que 4 > 3 logo �x P(x) é V


� �x P(x) será falso quando o conjunto verdade for vazio.

� Exemplo:(�x �N) (n+4<8)

O Conjunto Verdade = {0,1,2,3}, logo o predicado é verdadeiro

�x P(x) é Verdade


� �x P(x) será falso quando o conjunto verdade for vazio.

� Exemplo:(�x �N) (n+4 < 4)

O Conjunto Verdade = { }, logo o predicado é falso

�x P(x) é Falso

Traduzindo do Português

Todo estudante desta classe estudou lógica.

Como podemosrepresentar isso na lógica?


� Todo estudante desta classe estudou lógica.

1) Definir o predicadoC(x) = “x estudou lógica”




2) Definir o domínioDomínio = {estudantes desta classe}





3) Escrever a proposição: �x C(x)



1) Definir o predicadoC(x) = “x estudou calculo”


3) Escrever a proposição: �x C(x)

Existem várias maneiras de tradução!!!!

Rosen Pg 46 Ex. 5

� Considere P(x) como o predicado “x passa mais do que cinco horas em aula todos os dias”, em que o domínio de x são todos os estudantes. Expresse cada uma dessas quantificações em português.

a) �x P(x) b) �x P(x)c) �x ~P(x) d) �x ~P(x)

Exercícios – Rosen(47)

� 6 a) e 6 b)� 11� 12� 13� 14

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