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LÓGICA DOS PREDICADOS
2 Lógica de Predicados
3 Lógica de Predicados
Autores
Agostinho Iaqchan Ryokiti Homa1 Magda Leyser2
1 Bacharel em Matemática Aplicada a Informática e Mestre em Ensino de Ciências e Matemática pela
Universidade Luterana do Brasil. Professor dos Cursos de Ciência da Computação, Engenharias e
Licenciatura em Matemática da ULBRA.
2 Mestre em Ciência da Computação pela Universidade Federal do Rio Grande do Sul. Desde 1993 é
professora dos Cursos de Ciência da Computação, Engenharias e Licenciatura em Matemática da ULBRA.
Atualmente também atua como professora do curso de Licenciatura em Matemática em EAD da ULBRA
e como professora dos cursos de Análise e Desenvolvimento de Sistemas e Gestão Financeira da Faculdade
de Tecnologia Senac-RS.
4 Lógica de Predicados
Introdução
A Disciplina de Lógica de Predicados tem por objetivo familiarizar o aluno com
lógica formal, de maneira a desenvolver a capacidade de argumentação
inerente ao raciocínio lógico que permite a inferência, ou conclusão, de algo
baseado nas afirmações e/ou fatos disponíveis.
Destacamos que a lógica proposicional é composta de um sistema de provas e
demonstrações, que denominamos como argumentação, que apresenta de
maneira irrefutável a veracidade, ou não, do fato, ou do predicado do sujeito
analisado. É importante a consideração de duas importantes características, a
atemporalidade, isto é o que decidirmos não sofrerá alteração na
interpretação, e a bivalência, ou seja, só temos duas alternativas de
interpretação: verdadeiro ou falso.
Desejamos a todos um ótimo estudo durante o desenvolvimento do conteúdo
proposto ao longo dos capítulos desse livro.
5 Lógica de Predicados
Sumário
Lógica Proposicional ..................................................................... 6
Interpretação dos Conectivos ........................................................ 19
Equivalências Lógicas ................................................................. 37
Implicações Lógicas .................................................................... 54
Sistema de Dedução ................................................................... 76
Conceitos fundamentais de Conjunto ............................................... 90
Quantificadores: Existencial e Universal ......................................... 106
Lógica de Predicados ................................................................. 123
Silogismo Categórico ................................................................. 138
Tablês Semânticos .................................................................... 155
6 Lógica de Predicados
Lógica Proposicional
Magda Leyser3
3 Mestre em Ciência da Computação pela Universidade Federal do Rio Grande do Sul. Desde 1993 é
professora dos Cursos de Ciência da Computação, Engenharias e Licenciatura em Matemática da ULBRA.
Atualmente também atua como professora do curso de Licenciatura em Matemática em EAD da ULBRA
e como professora dos cursos de Análise e Desenvolvimento de Sistemas e Gestão Financeira da Faculdade
de Tecnologia Senac-RS.
7 Lógica de Predicados
Introdução
O capítulo que inicia essa disciplina tem por objetivo uma primeira aproximação
do que é lógica. A lógica é entendida como a ciência que estuda os princípios e
os métodos que estabelecem as condição de validade ou não validade dos
argumentos. Em nossa vida empregamos argumentos como parte de um
discurso falado ou escrito, onde organizamos uma ou mais sentenças
denominadas premissas e uma sentença que denominamos conclusão.
Neste capítulo estabeleceremos quais as sentenças podem ser usadas na lógica
proposicional, a qual é a lógica introdutória para apresentação dos conectivos
lógicos e suas variações em português.
Aproveitamos para apresentar como exemplo dessa organização o início da
teoria de Conjuntos, definição de conjuntos e a relações de pertinência entre
elemento e conjunto.
Lógica Proposicional
Iniciamos nosso estudo esclarecendo que uma proposição é qualquer sentença
declarativa que assume valor-verdade: verdadeiro ou falso. Entretanto, é
importante recordar que sentenças (afirmações, frases) podem ser formadas
por outros tipos de sentenças. Entretanto, nas linguagens naturais (ou
correntes) como português nos expressamos com interrogações e exclamações,
mas para comunicar fatos ou afirmações usamos sentenças
declarativas(proposições). Portanto existem outros tipos de sentenças, no caso:
Declarativa: Mário é engenheiro.
Interrogativa: Será que Márcia irá ao cinema?
Exclamativa: Feliz Natal!
Imperativas: Feche a porta.
Observe que das quatro sentenças acima somente a sentença declarativa temos
possibilidade de avaliar como verdadeira ou falsa. Do ponto de vista da lógica
não temos a preocupação de saber qual dessas situações estamos avaliando no
momento. Mas com certeza, uma dessas alternativas deve ocorrer. As demais
sentenças são necessárias mais informações para podemos saber o que ocorreu,
no caso da sentença interrogativa, precisamos da resposta. Na sentença
imperativa, há necessidade de sabermos que a ordem foi executada. Portanto,
essas situações estarão fora do escopo de estudo da lógica proposicional.
Podemos apresentar outros exemplos, agora esclarecido qual o tipo de sentença
que estudaremos na lógica proposicional.
8 Lógica de Predicados
Exemplos de sentenças declarativas:
O sol é um planeta.
Maria é gaúcha.
O valor numérico de seno de 90º é igual a 1.
Porto Alegre é capital de Santa Catarina.
Existe uma cidade que é capital de Pernambuco.
Qualquer pessoa é gaúcha.
Exemplos de sentenças não-declarativas:
Mario, venha aqui, agora! (sentença imperativa)
Meu Deus, que susto! (sentença exclamativa)
Quantos planetas existem no sistema solar? (sentença interrogativa)
Qual é a capital do Maranhão? (sentença interrogativa)
Observe que as sentenças que não são proposições não podemos estabelecer
um valor-verdade para elas. Já os exemplos de sentenças que são proposições,
mesmo tratanto de assuntos variados, tem um valor-verdade, que as vezes
podemos não conhecer, mas ele existe.
Também é importante destacar que as sentenças podem ter sujeito
determinado (fechado) ou indenterminado (aberto). Nos exemplos de sentencas
declarativas que estão acima, temos setenças declarativas de sujeito
determinado os exemplos:
O sol é um planeta.
Maria é gaúcha.
O valor numérico de seno de 90º é igual a 1.
Porto Alegre é capital de Santa Catarina.
Nos exemplos de sentencas declarativas que estão acima, temos setenças
declarativas de sujeito indeterminado os exemplos:
Existe uma cidade que é capital de Pernambuco.
Qualquer pessoa é gaúcha.
Observe que para essas proposições usamos as palavras existe e qualquer, as
quais estudaremos no capítulo 5, essas palavras são chamadas de
quantificadores.
9 Lógica de Predicados
Símbolos Proposicionais
Na lógica proposicional temos por objetivo estudar as relações lógicas
indiferente do assunto a ser tratado. Assim, para relacionarmos as proposições
não nos preocupando com o conteúdo das proposições e seu significado,
definiremos que cada proposição será representada por uma letra,
normalmente letra maiúscula do alfabeto latino.
Exemplo: Considerando os símbolos proposicionais: A, B, C,..., Z. Associamos a
seguinte interpretação, ou seja, as seguintes sentenças declarativas fechadas
(sujeito determinado):
A = Maria é gaúcha.
B= Maria é fluente em inglês.
C= Paulo é catarinense.
D= Paulo gosta de churrasco.
Sentença Simples e sentença composta
É importante destacar nesta etapa do nosso estudo que outra classificação
importante para as sentenças além da questão de classificá-las em afirmativas,
interrogativas, exclamativas e imperativas. É descrever se estamos usando na
argumentação uma sentença simples ou composta.
Dizemos que uma sentença é simples se, e somente neste caso, a sentença tem
uma única afirmação. Por exemplo: Maria é gaúcha.
Entretanto, chamaremos de sentença composta, quando a sentença é
constituída de pelo menos duas sentenças declarativas. Por exemplo: Maria é
gaúcha e Paulo é catarinense.
Exemplo: Indique nas sentenças abaixo com A as sentenças declarativas abertas
e F as sentenças declarativas fechadas. Depois, reveja os exemplos e associe S
para as sentenças simples e C para as sentenças compostas.
Alguém é filho de Pedro. (AS)
Pedro é canoense. (FS)
João e Paulo não são gaúchos. (FC)
Pedro não está de férias, mas não viajou. (FC)
Existe uma pessoa feliz. (AS)
Qualquer gaúcho é gremista. (AS)
10 Lógica de Predicados
Mario é gaúcho e gremista. (FC)
Algum gaúcho é gremista. (AS)
Se Maria é gaúcha então todos são gaúchos. (AC)
Nem todos são colorados. (AS)
Qualquer número inteiro é positivo. (AS)
Dois é número natural e primo. (FC)
Todas as pessoas são gaúchas e gremistas. (AC)
Paulo não é gremista, entretanto João é gremista. (FC)
Conectivos Proposicionais
Nos exemplos de sentenças compostas, você pode observar que aparecem
palavras e símbolos de pontuação que ligam uma sentença simples com outra
sentença simples de maneira a organizar o que chamamos de sentido da
sentença composta criada. As palavras que servem de ligação entre as
sentenças são chamadas de conectivos lógicos.
No estudo da lógica proposicional, nos limitaremos aos conectivos
proposicionais ou sentenciais da negação, conjunção, disjunção, condicional e
bicondicional. É importante comentar que em língua portuguesa não temos uma
única expressão para representar esses conectivos, assim relacionaremos
abaixo algumas alternativas para cada um deles.
Negação, esse conetivo não relaciona duas sentenças, mas nega uma afirmação
que a precede, dessa forma esse conetivo é denominado de conetivo unário.
São exemplos:
Maria não é gaúcha.
Não se dá que Maria é gaúcha.
Não se tem que Maria é gaúcha.
Não é fato que Maria gosta de churrasco.
Conjunção, esse conetivo relaciona duas sentenças, a expressão mais comum
em língua portuguesa é e, por relacionar duas sentenças esse conetivo é
denominado de conetivo binário. São exemplos de conjunção:
Maria é gaúcha e Paulo é catarinense.
11 Lógica de Predicados
Maria é gaúcha assim como Paulo é gaúcho.
Porto Alegre é capital do RS mas é uma cidade muito fria.
O Brasil sediará o campeonato mundial de futebol de 2014 embora seja um país
de grande extensão territorial.
Não só Porto Alegre é capital do RS, mas, ainda é capital do MERCOSUL.
Maria é gaúcha e também é brasileira.
Paulo tem cidadania italiana embora tenha nascido no Brasil.
Disjunção, esse conetivo relaciona duas sentenças, relacionadas pela palavra
ou, também por relacionar duas sentenças esse conetivo é denominado de
conetivo binário. São exemplos:
Maria é gaúcha ou Paulo é catarinense.
Maria ou Paulo é gaúcho.
Porto Alegre é capital do RS ou de SC.
É importante, destacar neste momento, que na linguagem do cotidiano, usamos
o ou em dois sentidos: inclusivo ou exclusivo.
Considere o exemplo Porto Alegre é capital do RS ou SC. No senso comum que
entendemos por Capital de um estado não se imagina que Porto Alegre seja ao
mesmo tempo capital do Rio Grande do Sul e de Santa Catarina, trata-se de um
uso do ou exclusivo. Mas quando dizemos que Paulo gosta de churrasco ou de
pastel, temos a possibilidade de um ou inclusivo. Ou seja, ele gostar das duas
opções de comida. Na lógica proposicional, estudaremos somente o ou
inclusivo.
Condicional, esse conetivo relaciona duas sentenças, pela seguinte expressão:
se proposição 1 então proposição 2. Também por relacionar duas sentenças
esse conetivo é denominado de conetivo binário. São exemplos:
Se Maria é gaúcha então ela gosta de chimarrão.
Dois ser par implica quatro ser par.
Dois é par só se quatro é par.
Dois é par apenas se quatro é par.
12 Lógica de Predicados
Se Fernando é físico isso significa que ele gosta de matemática.
Tendo-se Brasil campeão da competição então Paulo dará uma festa.
Brasil campeão da competição apenas se Paulo dará uma festa.
Brasil ser campeão da competição implica Paulo dar uma festa.
Brasil ser campeão da competição acarreta Paulo dar uma festa.
Paulo dar uma festa é consequencia de Brasil ser campeão da competição.
Uma condição necessária para Brasil ser campeão da competição é Paulo dar
uma festa.
Uma condição suficiente para Paulo dar uma festa é o Brasil ser campeão da
competição.
Brasil ser campeão da competição é antecedente e Paulo dar uma festa é
consequente.
Bicondicional, esse conetivo relaciona duas sentenças, pela seguinte
expressão: proposição 1 se, e somente se, proposição 2. Também por
relacionar duas sentenças esse conetivo é denominado de conetivo binário. A
proposição composta do bicondicional é uma abreviatura para a composição
pela conjunção de dois condicionais, que poderemos escrever como: (Se
proposição 1 então proposição 2) e (Se proposição 2 então proposição 1). São
exemplos:
Maria ganhará dinheiro se e somente se ela completar seu trabalho.
O Brasil será um país menos violento se e somente se a educação tornar-se
prioridade governamental.
Alfabeto Proposicional
A partir das ideias expostas anteriormente estamos em condições de
estabelecer um processo de formalização onde converteremos os parágrafos
que construímos na nossa argumentação em uma estrutura composta de
símbolos proposicionais, conectivos lógicos e símbolos de pontuação. Esse grupo
de símbolos forma o que chamamos de alfabeto proposicional.
13 Lógica de Predicados
Um alfabeto proposicional (A) é composto por:
Símbolos lógicos:
pontuação (separação): (,)
conectivos: (negação)
(conjunção)
(disjunção)
( condicional)
(bicondicional)
Símbolos não-lógicos: conjunto (P) de símbolos proposicionais que servem
para representar as sentenças declarativas fechadas (proposições, construção
em linguagem corrente do tipo sujeito determinado + verbo + complemento).
São os nomes dados às sentenças declarativas simples.
Para evitar ambiguidade na descrição da formalização de uma sentença
composta pelos símbolos relatados acima, é importante estabelecer uma
pontuação adequada, tal como realizamos na aritmética para as operações
aritméticas. Ou seja, temos as seguintes interpretações do uso dos símbolos:
Cada parênteses aberto deve ser fechado, os parênteses internos precedem os
parênteses mais externos.
A ordem de prioridade dos conectivos é:
1º negação
2º conjunção e disjunção
3º condicional e bicondicional.
Exemplo: Formalize pela Lógica Proposicional, através do alfabeto A um
alfabeto proposicional, e P um conjunto de símbolos proposicionais de A. Onde:
A= Patricia está na praia.
B= Patricia é alta.
C= Patricia gosta de surfar.
D= Pedro gosta de surfar.
14 Lógica de Predicados
E= Pedro é magro.
P= Pedro é alto.
Patrícia está na praia e gosta de surfar. Formalização dessa sentença
declarativa fechada composta é: (AC).
Pedro é alto e magro. Formalização dessa sentença declarativa fechada
composta é: (PE).
Pedro é magro ou alto. Formalização é (E P).
Pedro não gosta de surfar. Formalização é (D).
Se Patrícia gosta de surfar então ela está na praia. Formalização é (CA).
Patrícia gosta de surfar, embora Pedro não goste de surfar. Formalização é
(CD).
Pedro não é magro, mas é alto. Formalização é (EP).
Patrícia está na praia se e somente se gosta de surfar. Formalização é (AC).
Exemplo: Traduza para linguagem simbólica as proposições, usando letras
maiúsculas para representar as sentenças declarativas simples.
Dois ou quatro é número par.
P= Dois é número par.
Q= Quatro é número par
Formalização: (PQ)
Sete e quatro são números pares.
P= Sete é número par.
Q= Quatro é número par.
Formalização: (PQ)
Dois é número par, mas sete não é um número par.
P= Dois é número par.
Q= Sete é número par.
15 Lógica de Predicados
Formalização: (PQ)
Dois ou cinco é número par.
P= Dois é número par.
Q= Cinco é número par.
Formalização: (PQ)
Cinco não é número par, entretanto quatro é um número par.
P= Cinco é número par.
Q= Quatro é número par.
Formalização: (PQ)
Se oito dividido por dois tem resto igual a zero então oito é um número par.
P= Oito divido por dois tem resto igual a zero.
Q= Oito é número par.
Formalização: (PQ)
Se nove não é número par então nove é número ímpar.
P= Nove é número par.
Q= Nove é número ímpar.
Formalização: (PQ)
Oito é um número par se e somente se oito dividido por dois tem resto igual a
zero.
P= Oito é número par.
Q= Oito divido por dois tem resto igual a zero.
Formalização: (PQ)
Cinco é número primo, portanto os divisores de cinco são um e cinco.
P= Cinco é número primo.
Q= Um é divisor de cinco.
16 Lógica de Predicados
R= Cinco é divisor de cinco.
Formalização: (P(QR))
Como nove dividido por dois não tem resto igual a zero então: nove é ímpar.
P= Nove divido por dois tem resto igual a zero.
Q = Nove é ímpar.
Formalização: (P Q)
Recapitulando
Neste capítulo você foi apresentado a simbologia da lógica proposicional, onde
delimitamos que nas argumentações em lógica proposicional somente serão
representadas sentenças declarativas fechadas. Sendo que para generalizar
uma argumentação podemos formalizar as sentenças compostas através de uma
simbologia que omite o assunto tratado na argumentação. Para isso usaremos o
que se chama de símbolos proposicionais, normalmente as letras latinas
maiúsculas. E, as palavras que criam as sentenças compostas, os conectivos,
serão representadas por símbolos especiais.
No próximo capítulo apresentaremos o valor-verdade desses conectivos e a
metodologia de construção de uma tabela-verdade.
Referências bibliográficas do capítulo
ALENCAR FILHO, Edgard. Teoria Elementar dos Conjuntos. São Paulo: Nobel,
1971.
SCHEINERMAN, Edward R. Matemática Discreta: uma introdução. São Paulo:
Pioneira Thompson Learning, 2003.
17 Lógica de Predicados
Atividades
Indique nas sentenças abaixo com P as sentenças declarativas
(proposições), com I as sentenças interrogativas, com M as sentenças
imperativas e com E as sentenças exclamativas.
( ) Antônio é filho de Pedro.
( ) Pedro é canoense.
( ) Quem nesta turma é brasileiro?
( ) Algum avião é vermelho.
( ) Maria, feche a porta e estude!
( ) Como vai, tudo bem?
( ) Mario é gaúcho e gremista.
( ) Ah! Boa tarde!
Formalize através dos símbolos de um alfabeto proposicional as
sentenças abaixo:
Dois é número par, mas três é número ímpar.
Quatro ou sete é número par.
Quatro não é número par, portanto cinco é número par.
Se dois e quatro são números pares então oito é número par.
Considerando o apresentado neste capítulo, determine se as sentenças
abaixo são V (verdadeira) ou F (falsas).
O símbolo da disjunção é um símbolo lógico denominado de conetivo
e sua representação é . Em português é representado pela palavra
ou.
O símbolo lógico denominado de conetivo do condicional é
representado pelo símbolo . Em português é representado pela
palavra mas.
A frase Maria é filha de Pedro é um exemplo de sentença imperativa
que não pode ser usada na Lógica proposicional, pois é um exemplo
de sentença aberta.
A formalização ( A) é uma possibilidade na lógica proposicional para
representar a sentença declarativa fechada: Maria não é filha de
Pedro.
Qual das alternativas abaixo é a melhor representação pela lógica
proposicional para a sentença declarativa composta: Maria não é
brasileira. Mas se Maria fosse Pernambucana então Maria seria
brasileira. Logo Maria não é pernambucana.
(ABAB)
((AB)B)
18 Lógica de Predicados
(A(BA) B)
(A(AA) A)
(A(BA) B)
A sentença declarativa composta que melhor representa a fórmula
(A(CB)) é:
Maria é gaúcha, portanto Maria gosta de chimarrão e churrasco.
Se Maria não é gaúcha então ela não gosta de churrasco.
Maria não é gaúcha logo ela não é brasileira.
Se Maria gosta de chocolate então ela não gosta de salgado e não tem
receio de engordar.
Maria gosta de chocolate, mas tem medo de engordar.
Gabarito das atividades
a) P ;b) P ;c) I ;d)P ;e) M ;f)I ;g) P ;h) E
Fazendo as seguintes associações para os símbolos proposicionais:
P= Dois é número par.
Q= Três é número ímpar.
R= Quatro é número par.
S= Sete é número par.
T= Cinco é número par.
U= Oito é número par.
Teremos as seguintes formalizações para as sentenças declarativas
fechadas.
(PQ)
(PS)
(RT)
((PR)U)
a)Verdade. b) Falsa. c) Falsa. d)Verdadeira.
e.
d.
19 Lógica de Predicados
Interpretação dos Conectivos
Magda Leyser4
4 Mestre em Ciência da Computação pela Universidade Federal do Rio Grande do Sul. Desde 1993 é
professora dos Cursos de Ciência da Computação, Engenharias e Licenciatura em Matemática da ULBRA.
Atualmente também atua como professora do curso de Licenciatura em Matemática em EAD da ULBRA
e como professora dos cursos de Análise e Desenvolvimento de Sistemas e Gestão Financeira da Faculdade
Senac-Porto Alegre.
20 Lógica de Predicados
Introdução
Agora que já conhecemos os conectivos usados na construção das sentenças
declarativas compostas, partimos para a interpretação do seu valor-verdade.
Primeiro definiremos o valor-verdade de cada um dos conectivos. Depois,
estudaremos sentenças compostas que usam mais de um conetivo com o auxílio
da construção de uma tabela-verdade, que apresenta todas as possibilidades de
valor-verdade para os símbolos proposicionais presentes em uma formalização.
O valor-verdade de um conetivo é obtido de forma única a partir dos possíveis
valores-verdade da sentença declarativa simples representada pelo símbolo
proposicional. É interessante observar que o valor-verdade das sentenças
também pode ser chamado de interpretação, valor-lógico ou valor-booleano. A
fim de exemplificar o valor-verdade das formalizações das sentenças
declarativas que aprendemos a construir, vamos associar algumas possibilidades
para a sentença declarativa simples em linguagem natural, por exemplo, a
língua portuguesa.
Assim, sejam P e Q símbolos proposicionais que representam uma sentença
declarativa fechada de sujeito próprio como identificado nas tabelas a seguir.
Para determinar o valor-verdade (V para verdadeiro) ou (F para falso) das
proposições compostas, usaremos a apresentação no formato de tabela,
denominado de tabela-verdade. Onde representamos as possibilidades de valor-
verdade em cada linha e na respectiva coluna o valor-verdade do conetivo.
Negação
P Valor-verdade de P P Valor-verdade de P
Porto Alegre é capital do
RS. Verdadeiro
Porto Alegre não é capital do
RS. Falso
Porto Alegre é capital do
SC. Falso
Porto Alegre não é capital do
SC. Verdade
Observe que a negação é um conetivo unário, pois atua sobre no mínimo uma
sentença declarativa fechada, por esse motivo a descrição na tabela acima
usamos somente um símbolo proposicional e tem somente duas possibilidades.
Ou seja, o símbolo proposicional P represente uma sentença verdadeira ou
falsa. Nas lógicas clássicas, onde a lógica proposicional se insere existem
somente essas duas alternativas. Ou seja, não existe uma terceira alternativa
de valor-verdade, como: não sei, talvez, mais ou menos.
Agora para discutir o valor-verdade dos demais conectivos, conjunção,
disjunção, condicional e bicondicional, por se tratarem de conectivos binários,
teremos sentenças compostas formadas por duas sentenças. Assim, usaremos
dois símbolos proposicionais, P e Q, e associaremos sentenças declarativas
simples a esses símbolos proposicionais.
21 Lógica de Predicados
Disjunção (ou)
Teremos as seguintes interpretações para o conetivo da disjunção (ou)
P Q
Valor-
verdade de
P
Valor-
Verdade de
Q
PQ Valor-verdade de PQ
Porto Alegre é
capital do RS.
Florianópolis é
capital de SC. V V
Porto Alegre é capital do
RS ou Florianópolis é
capital de SC.
V
Porto Alegre é
capital do RS.
Porto Alegre é
capital do SC. V F
Porto Alegre é capital do
RS ou SC. V
Porto Alegre é
capital do SC.
Florianópolis é
capital do SC. F V
Porto Alegre ou
Florianópolis é capital de
SC.
V
Porto Alegre é
capital do SC.
Porto Alegre é
capital do
Paraná.
F F Porto Alegre é capital de
SC ou Paraná. F
Conjunção (e)
Teremos as seguintes interpretações para o conetivo da conjunção (e)
P Q
Valor-
verdade de
P
Valor-
Verdade de
Q
PQ Valor-verdade de PQ
Porto Alegre é
capital do RS.
Florianópolis é
capital de SC. V V
Porto Alegre é capital do
RS e Florianópolis é
capital de SC.
V
Porto Alegre é
capital do RS.
Porto Alegre é
capital do SC. V F
Porto Alegre é capital do
RS e SC. F
Porto Alegre é
capital do SC.
Florianópolis é
capital do SC. F V
Porto Alegre e
Florianópolis são capitais
de SC.
F
Porto Alegre é
capital do SC.
Porto Alegre é
capital do
Paraná.
F F Porto Alegre é capital de
SC e do Paraná. F
Condicional (se... então...)
Teremos as seguintes interpretações para o conetivo do condicional (se...
então...)
P Q
Valor-
verdade de
P
Valor-
Verdade de
Q
P→Q Valor-verdade de P→Q
Porto Alegre é
capital do RS.
Florianópolis é
capital de SC. V V
Se Porto Alegre é capital
do RS então Florianópolis
é capital de SC.
V
Porto Alegre é
capital do RS.
Porto Alegre é
capital do SC. V F
Se Porto Alegre é capital
do RS então Porto Alegre
é capital de SC.
F
Porto Alegre é
capital do SC.
Florianópolis é
capital do SC. F V
Se Porto Alegre capital
de SC então Florianópolis
é capital de SC.
V
Porto Alegre é
capital do SC.
Porto Alegre é
capital do
Paraná.
F F
Se Porto Alegre é capital
de SC então Porto Alegre
é capital do Paraná.
V
22 Lógica de Predicados
Bicondicional (... se e somente se...)
Teremos as seguintes interpretações para o conetivo do bicondicional ( ... se e
somente se...)
P Q
Valor-
verdade de
P
Valor-
Verdade de
Q
P↔Q Valor-verdade de P↔Q
Porto Alegre é
capital do RS.
Florianópolis é
capital de SC. V V
Porto Alegre é capital do
RS se e somente se
Florianópolis é capital de
SC.
V
Porto Alegre é
capital do RS.
Porto Alegre é
capital do SC. V F
Porto Alegre é capital do
RS se e somente se Porto
Alegre é capital de SC.
F
Porto Alegre é
capital do SC.
Florianópolis é
capital do SC. F V
Porto Alegre capital de
SC se e somente se
Florianópolis é capital de
SC.
F
Porto Alegre é
capital do SC.
Porto Alegre é
capital do
Paraná.
F F
Porto Alegre é capital de
SC se e somente Porto
Alegre é capital do
Paraná.
V
Lembre-se que comentamos no capítulo anterior sobre a ordem de prioridade
dos conectivos, para determinar do valor-verdade das formalizações
compostas:
1º pares de parênteses
2º negação
3º conjunção e disjunção
4º condicional e bicondicional.
Também é usual respeitar no momento de avaliação a ordem da esquerda para
direita quando ocorrerem conectivos de mesma precedência.
Exemplo: Dados que os símbolos proposicionais A e B possuem valores-verdade
Verdadeiro e os símbolos proposicionais C e D tem valor-verdade Falso,
determine o valor-verdade das seguintes proposições compostas.
(D)
D (D)
Falso Verdadeiro
23 Lógica de Predicados
(AB)
A B A (AB)
Verdade Verdade Falso Verdade
(BC)
B C (BC)
Verdade Falso Falso
(BC)
B C B (BC)
Verdade Falso Falso Falso
BC →A
B C A (BC) (BC) →A
Verdade Falso Verdade Falsa Falso
BC ↔A
B C A C BC BC ↔A
Verdade Falso Verdade Verdade Verdade Verdade
DA ↔C
D A C D A DA DA ↔C
Falso Verdade Falso Verdade Falso Falso Verdade
Exemplo: Formalize as sentenças compostas abaixo e determine seu valor-
verdade.
Dois é número ímpar ou três é número par.
Formalização (DT) onde representamos os símbolos proposicionais por:
D= Dois é número ímpar.
24 Lógica de Predicados
T= Três é número par.
D T (DT)
Falso Falso Falso
Quatro e oito são número ímpares.
Formalização (QT) onde representamos os símbolos proposicionais por:
Q= Quatro é número ímpar.
T= Oito é número ímpar.
Q T (QT)
Falso Falso Falso
Quatro é número par, logo quatro não é número primo.
Formalização (Q→R) onde representamos os símbolos proposicionais por:
Q= Quatro é número par.
R= Quatro é número primo.
Q R R Q→ R
Verdade Falso Verdade Verdade
Se doze é número par, então treze é número ímpar.
Formalização (D→R) onde representamos os símbolos proposicionais por:
D= Doze é número par.
R= Treze é número ímpar.
D R D→ R
Verdade Verdade Verdade
Formalize as sentenças compostas abaixo considerando o conjunto A={2,3,4,5}
25 Lógica de Predicados
2 pertence ao conjunto A.
Formalização (Q) onde representamos o símbolo proposicional por:
Q= 2 pertence ao conjunto A.
Pode-se representar essa sentença declarativa usando o símbolo de pertinência
de conjuntos, ou seja: Q= 2A.
Q
Verdade
3 e 2 pertencem ao conjunto A.
Formalização (RQ) onde representamos o símbolo proposicional por:
R= 3 pertence ao conjunto A.
Q= 2 pertence ao conjunto A.
Usando o símbolo de pertinência de conjuntos, ou seja:
R= 3A.
Q= 2A.
R Q (RQ)
Verdade Verdade Verdade
6 não pertence ao conjunto A.
Formalização (S) onde representamos o símbolo proposicional por:
S= 6 pertence ao conjunto A.
Usando o símbolo de pertinência de conjuntos, ou seja:
S= 6A.
S S
Falso Verdade
26 Lógica de Predicados
6 não pertence ao conjunto A mas 5 pertence ao conjunto A.
Formalização (SC) onde representamos o símbolo proposicional por:
S= 6 pertence ao conjunto A.
C= 5 pertence ao conjunto A.
Usando o símbolo de pertinência de conjuntos, ou seja:
S= 6A.
C= 5A.
S C S (SC)
Falso Verdade Verdade Verdade
7 e 8 pertencem ao conjunto A.
Formalização (SR) onde representamos o símbolo proposicional por:
S= 7 pertence ao conjunto A.
R= 8 pertence ao conjunto A.
Usando o símbolo de pertinência de conjuntos, ou seja:
S= 7A.
R= 8A.
S R (SR)
Falso Falso Falso
Tabela-verdade
Para avaliarmos as formalizações compostas onde aparecem vários conectivos,
usaremos a construção no formato de tabela como já fizemos na definição do
valor-verdade dos conectivos.
Entretanto, é importante relembrar que os parênteses tem prioridade sobre
avaliação dos conectivos, sempre usados aos pares. Para exemplificar a
dinâmica da construção da tabela-verdade de uma formalização, destacamos
que:
27 Lógica de Predicados
Na primeira linha exibimos em cada coluna os símbolos proposicionais e as
respectivas avaliações dos conectivos conforme a presença de parênteses e
seguindo a ordem de prioridade dos conectivos.
Nas colunas aparece a avaliação do valor-verdade da formalização da primeira
linha conforme o valor-verdade dos símbolos proposicionais da respectiva linha.
O valor-verdade (valor-lógico) de uma sentença composta é determinado de
uma forma única a partir do valor-verdade atribuído a cada uma das sentenças
representadas pelos símbolos proposicionais A,B,C,D,..., e a partir da
distribuição das possibilidades de valor-lógico de cada um dos símbolos
proposicionais construímos. Essa construção é o que chamaremos de tabela-
verdade na qual em cada coluna apresentamos o resultado da avaliação das
possíveis combinações dos valores-verdade das proposições simples.
Exemplo: Construir a tabela-verdade das formalizações abaixo:
(PQ)(QP)
Essa formalização tem dois símbolos proposicionais, portanto iniciamos a
construção da tabela-verdade posicionando nas duas primeiras colunas os
símbolos proposicionais P e Q. Como tanto P quanto Q podem representar
sentenças declarativas simples que podem ser verdadeiras ou falsas teremos 4
casos possíveis. Assim, iniciamos a tabela-verdade com 5 linhas no total, a
primeira para os símbolos proposicionais e mais 4 linhas para as combinações
das 4 variações de valores-verdade.
P Q
Verdadeiro Verdadeiro
Verdadeiro Falso
Falso Verdadeiro
Falso Falso
A quantidade de colunas a seguir, depende da quantidade de conectivos
presentes na formalização, para tanto, usaremos a precedência dos conectivos
conforme a presença dos parentes, para a formalização desse exemplo teremos
mais 5 colunas para avaliar os seguintes conectivos.
28 Lógica de Predicados
P Q P (PQ) Q (QP) (PQ)(QP)
Verdadeiro Verdadeiro
Verdadeiro Falso
Falso Verdadeiro
Falso Falso
Agora estamos aptos a preencher as respectivas avaliações do valor-verdade do
conetivo presente na primeira linha para cada coluna, conforme os respectivos
valores-verdade presentes na linha. Resultando em:
P Q P (PQ) Q (QP) (PQ)(QP)
Verdadeiro Verdadeiro F V F V V
Verdadeiro Falso F F V V F
Falso Verdadeiro V V F F F
Falso Falso V V V V V
(PQ)(PR)
Essa formalização tem três símbolos proposicionais, portanto iniciamos a
construção da tabela-verdade posicionando nas duas primeiras colunas os
símbolos proposicionais P, Q e R. Cada símbolo proposicional representa um
valor-verdade (verdadeiro ou falso). Assim, combinando essas possibilidades
teremos 2x2x2=23= 8 linhas de valores-lógicos distintos para P, Q e R. Iniciamos
a tabela-verdade com 9 linhas no total, a primeira para os símbolos
proposicionais e mais 8 linhas para as combinações dos valores-verdade.
P Q R
V V V
V V F
V F V
V F F
29 Lógica de Predicados
F V V
F V F
F F V
F F F
Incluímos mais 3 colunas observando a presença dos parênteses e a precedência
dos conectivos, obtendo:
P Q R (PQ) (PR) (PQ)(PR)
V V V
V V F
V F V
V F F
F V V
F V F
F F V
F F F
Preenchendo as respectivas avaliações do valor-verdade do conetivo presente
na primeira linha para cada coluna, conforme os respectivos valores-verdade
presentes na linha. Resultando em:
P Q R (PQ) ( P R) (PQ) ( P R)
V V V V V V
V V F V F F
V F V V V V
V F F V F F
F V V V F F
30 Lógica de Predicados
F V F V F F
F F V F F F
F F F F F F
P P
Tem-se um único símbolo proposicional, isto é P. Assim, a tabela- verdade terá
2 linhas de valores-verdade distintos para P e mais a primeira tinha onde
aparecerá o símbolo proposicional P e os conectivos avaliados.
P
Verdadeiro
Falso
Incluímos mais duas colunas observando a presença do conetivo da negação e o
conetivo da conjunção. obtendo:
P P PP
Verdadeiro
Falso
Para completar a tabela-verdade compara-se a formalização (conetivo) da
primeira linha com o respectivo valor-verdade de P na linha obtendo-se os
seguintes resultados:
P P PP
Verdadeiro Falso Falso
Falso Verdadeiro Falso
31 Lógica de Predicados
Q(PR)
Essa formalização tem três símbolos proposicionais, portanto iniciamos a
construção da tabela-verdade posicionando nas duas primeiras colunas os
símbolos proposicionais P, Q e R. Cada símbolo proposicional representa um
valor-verdade (verdadeiro ou falso). Assim, combinando essas possibilidades
teremos 2x2x2=23= 8 linhas de valores-lógicos distintos para P, Q e R.
Iniciamos a tabela-verdade com 9 linhas no total, a primeira para os símbolos
proposicionais e mais 8 linhas para as combinações dos valores-verdade.
P Q R P R (PR) Q(PR)
V V V F F F F
V V F F V F F
V F V F F F F
V F F F V F F
F V V V F F F
F V F V V V V
F F V V F F F
F F F V V V F
P (PR)
Essa formalização tem dois símbolos proposicionais, portanto iniciamos a
construção da tabela-verdade posicionando nas duas primeiras colunas os
símbolos proposicionais P e R. Cada símbolo proposicional representa um valor-
verdade (verdadeiro ou falso). Assim, combinando essas possibilidades teremos
2x2=22= 4 linhas de valores-lógicos distintos para P e R. Iniciamos a tabela-
verdade com 5 linhas no total, a primeira para os símbolos proposicionais e mais
4 linhas para as combinações dos valores-verdade.
P R (PR) (PR) P (PR)
V V V F F
V F F V V
32 Lógica de Predicados
F V F V F
F F F V F
(PQ)
Essa formalização tem dois símbolos proposicionais, portanto iniciamos a
construção da tabela-verdade posicionando nas duas primeiras colunas os
símbolos proposicionais P e R. Cada símbolo proposicional representa um valor-
verdade (verdadeiro ou falso). Assim, combinando essas possibilidades teremos
2x2=22= 4 linhas de valores-lógicos distintos para P e R. Iniciamos a tabela-
verdade com 5 linhas no total, a primeira para os símbolos proposicionais e mais
4 linhas para as combinações dos valores-verdade.
P Q Q (PQ) (P Q)
V V F F V
V F V V F
F V F F V
F F V F V
Recapitulando
Neste capítulo você foi apresentado a metodologia de construção da tabela-
verdade, onde podemos de forma organizada avaliar o valor-verdade de uma
formalização de sentenças compostas. Depois, aplicamos essa formalização na
definição das operações entre conjuntos.
No próximo capítulo apresentaremos uma classificação para as possíveis
situações de avaliação de uma formalização, e a partir dessas formalizações
especiais elaboraremos as regras de dedução de um sistema de prova ou
argumentação.
Finalizamos relembrando a definição das atribuições de valores-verdade dos
conectivos na seguinte tabela:
33 Lógica de Predicados
P Q P PQ PQ (PQ) (PQ)
V V F V V V V
V F F F V F F
F V V F V V F
F F V F F V V
Referências bibliográficas do capítulo
ALENCAR FILHO, Edgard. Teoria Elementar dos Conjuntos. São Paulo: Nobel,
1971.
SCHEINERMAN, Edward R. Matemática Discreta: uma introdução. São Paulo:
Pioneira Thompson Learning, 2003.
Atividades
Considerando a construção da tabela-verdade da fórmula. Qual das
afirmações abaixo descreve o número correto de possibilidades para as
possíveis atribuições das combinações de valores-verdade.
(SQ) (SR) S
2 linhas de combinações de valores-verdade pois a fórmula possui
somente um símbolo proposicional.
4 linhas de combinações de valores-verdade pois a fórmula possui
somente dois símbolos proposicionais.
6 linhas de combinações de valores-verdade pois a fórmula possui
somente dois símbolos proposicionais.
8 linhas de combinações de valores-verdade pois a fórmula possui
somente três símbolos proposicionais.
10 linhas de combinações de valores-verdade pois a fórmula possui
somente 4 símbolos proposicionais.
Construa a tabela-verdade das fórmulas abaixo:
P PP
C(AE) EC
(AB)(BA)
34 Lógica de Predicados
(BA) BA
Transforme as proposiçõe em linguagem natural para linguagem formal,
atenção aos parênteses. Lembre-se de colocar a proposições na forma
afirmativa.
Não é verdade que, o salário é maior do que $2000 e as despesas
menores do que 1/3 do salário.
Não é verdade que o salário é maior do que $2000 e as despesas
menores do que 1/3 do salário.
Fritz foi ao cinema ou ao café mas acompanhado de Frida
x é primo se e somente se x é divisível por x e por 1.
Rescreva a as proposições em linguagem natural para
A:Fritz vai ao cinema ; B:Frida está em casa e C:Kranz vai ao café
(AB)
AB
AB→C
A(BC)
Construa a tabela verdade da seguinte proposição: Se x≥y então x<z e
sabendo que x≥z, temos que x<y.
Gabarito das atividades
d
As respectivas tabelas-verdade são:
P PP
P P PP P PP
V F V V
F V V V
35 Lógica de Predicados
C(AE) EC
(AB)(BA)
A B (AB) (BA) (BA) (AB)(BA)
V V V V F V
V F F F V V
F V V F V V
F F V F V V
(BA) BA
A B (BA) (BA) B A BA (BA) BA
V V V F F F F V
V F F V V F F F
F V F V F V F F
F F F V V V V V
C A E A (AE) C(AE) EC C(AE) EC
V V V F V V V V
V V F F V V F F
V F V V V V V V
V F F V F V F F
F V V F V V F F
F V F F V V F F
F F V V V V F F
F F F V F F F V
36 Lógica de Predicados
As proposições são:
P:salário é maior do que $2000 ;
Q:despesas menores do que 1/3 do salário
(P∧Q)
P:salário é maior do que $2000 ;
Q:despesas menores do que 1/3 do salário
P∧Q
P:Fritz foi ao cinema
Q:Fritz foi ao café
R:Fritz foi acompanhado de Frida
(P∨Q)∧R
P:x é primo
Q:x é divisível por x
R:x é divisível por 1
P↔Q∧R
Proposições em liguagem natural
Nego que, Fritz vai ao cinema ou Frida está em casa.
Fritz não vai ao cinema e Frida não está em casa.
É condição para que Kranz vá ao café que, Fritz vá ao cinema e Frida
esteja em casa.
Fritz vai ao cinema mas ou Frida está em casa ou Kranz vai ao café.
Tabela verdade. A:x≥y; B:x<z
A B A→B B A→BB A (A→BB )→A
F F V V V V V
F V V F F V V
V F F V F F V
V F V F F F V
37 Lógica de Predicados
Equivalências Lógicas
Agostinho Iaqchan Ryokiti Homa5
5 Bacharel em Matemática Aplicada a Informática e Mestre em Ensino de Ciências e Matemática pela
Universidade Luterana do Brasil. Professor dos Cursos de Ciência da Computação, Engenharias e
Licenciatura em Matemática da ULBRA.
38 Lógica de Predicados
Introdução
No capítulo anterior estudamos os operadores e as interpretações do valor
verdade das sentenças declarativas compostas através das tabelas verdade.
Nestes casos atribui-se os valores verdade às proposições e, de acordo com as
operações lógicas, faz-se a interpretação.
Estudaremos as equivalências lógicas, ou seja, proposições diferentes na sua
composição mas que têem a mesma interpretação do valor verdade.As
equivalências são muito úiteis para a interpretação e simplificação das
proposições compostas.
Equivalêncas Lógicas
Como visto nos capítulos anteriores, toda proposição lógica pode ser escrita na
forma de uma fórmula bem formada, ou wff (well formed formula). Para tal são
utilizados os conectivos lógicos de negação (¬), conjunção (∧) e disjunção (∨),
de maneira a organizar e definir as relações entre sujeito e predicado das
proposições.
Entendendo que as proposições possuem um valor verdade, que podem ser
expressas através de tabelas verdade, verificamos que diferentes proposições
possuem o mesmo valor verdade, ou seja, a mesma tabela verdade, deste modo
dizemos que as proposições são equivalentes.
Antes de verificarmos as equivalências lógicas apresentamos a classificação das
proposições quanto a presença de verdadeiro ou falso no resultado dos valores
verdade, pois a compreesão dessas classificações justificam as equivalências e
inferências lógicas, tópicos a serem estudados nos próximos capítulos.
Classificação das fórmulas
A álgebra booleana é uma 6-upla (𝛼 , ¬ , ∧, ∨, 𝐹 , 𝑉) para 𝛼 o conjunto das
operações ¬ , ∧, ∨ e os valores Falso (F) e Verdadeiro (V). Considerando que as
proposições podem assumir valores falso e verdadeiro de acordo com as
operações, classifica-se os resultados como sendo:
Tautologia: Para A uma proposição composta, se todos os resultados de A são
verdadeiro então A é uma Tautologia.
Tomamos como exemplo a operação P ∨ ¬P e verificamos que todos os
resultados são verdadeiro que caracteriza uma tautologia.
39 Lógica de Predicados
P P P ∨ P
Verdadeiro Falso Verdadeiro
Falso Verdadeiro Verdadeiro
Contradição: Para A uma proposição composta, se todos os resultados de A são
falso então A é uma Contradição.
Tomamos como exemplo a operação P ∧ ¬P e verificamos que todos os
resultados são falso que caracteriza uma contradição.
P P P ∧ P
Verdadeiro Falso Falso
Falso Verdadeiro Falso
Contingência: Para A uma proposição composta, se os resultados de A não são
todos verdadeiro ou todos falso então A é uma Contingência ou uma
indeterminação.
Tomamos como exemplo a operação P ∧ Q e verificamos que os resultados são
falso ou verdadeiros, dependendo dos valores de P e Q, que caracteriza uma
contingência.
P Q P ∧ Q
Falso Falso Falso
Falso Verdadeiro Falso
Verdadeiro Falso Falso
Verdadeiro Verdadeiro Verdadeiro
40 Lógica de Predicados
Simplificação da Tautologia
Uma tautologia é muito útil em simplificações se levarmos em conta a
proposição composta P ∨ ¬P ∨ Q para a qual verificamos que todos os
resultados da tabela verdade são verdadeiros, logo para P ∨ ¬P uma tautologia
(T) e fazendo a substituição na proposição original temos que T ∨ Q também
será uma tautologia.
P P Q P ∨ P ∨ Q
Falso Verdadeiro Falso Verdadeiro
Falso Verdadeiro Verdadeiro Verdadeiro
Verdadeiro Falso Falso Verdadeiro
Verdadeiro Falso Verdadeiro Verdadeiro
Para a proposição composta P ∨ ¬P ∧ Q verificamos que os resultados da tabela
verdade não são somente verdade, caracterizando uma contingência. Além
disso, verificamos que os valores resultado equivalem exatamente aos valores
de Q, logo para P ∨ ¬P uma tautologia (T) e fazendo a substituição na
proposição original temos que T ∧ Q pode ser simplificado para Q.
P P Q P ∨ P ∧ Q
Falso Verdadeiro Falso Falso
Falso Verdadeiro Verdadeiro Verdadeiro
Verdadeiro Falso Falso Falso
Verdadeiro Falso Verdadeiro Verdadeiro
41 Lógica de Predicados
Simplificação da Contradição
Analisando as mesmas operações para a contradição temos que para a
proposição composta P ∧ ¬P ∧ Q, verificamos que todos os resultados da tabela
verdade são falsos, logo para P ∧ ¬P uma contradição (C) e fazendo a
substituição na proposição original temos que C ∧ Q também será uma
contradição.
P P Q P ∧ P ∧ Q
Falso Verdadeiro Falso Falso
Falso Verdadeiro Verdadeiro Falso
Verdadeiro Falso Falso Falso
Verdadeiro Falso Verdadeiro Falso
Para a proposição composta P ∧ ¬P ∨ Q verificamos que os resultados da tabela
verdade não são todos falso, caracterizando uma contingência. Além disso,
verificamos que os valores resultado equivalem exatamente aos valores de Q,
logo para P ∧ ¬P uma contradição (C) e fazendo a substituição na proposição
original temos que C ∨ Q pode ser simplificado para Q.
P P Q P ∧ P ∨ Q
Falso Verdadeiro Falso Falso
Falso Verdadeiro Verdadeiro Verdadeiro
Verdadeiro Falso Falso Falso
Verdadeiro Falso Verdadeiro Verdadeiro
Tais simplificações são bem úteis para a interpretação de proposições
compostas e mais complexas.
42 Lógica de Predicados
Equivalências Lógicas
Consideramos duas proposições como sendo equivalentes quando as duas
proposições possuem o mesmo valor verdade, ou seja, a mesma tabela verdade.
Então para P ⟺ Q ( utiliza-se o símbolo ⟺ para denotar a equivalência entre
as duas proposições. Não usamos o simbolo da igualdade = pois as proposições
são diferentes na sua descrição apesar de terem o mesmo valor verdade)
Considerando as proposições P → Q e ¬P ∨ Q e suas respectivas tabelas verdade
temos:
P Q P→ Q P ∨ Q
F F V V
F V F F
V F V V
V V V V
Verificamos que os valores verdade das duas proposições são idênticos, deste
modo P → Q ⟺ ¬P ∨ Q. Para justificar podemos usar a operação do
bicondicional para verificarmos a equivalência entre as proposiçõe. Como na
operação do bicondiciona
P → Q ⟷ ¬P ∨ Q
P Q P→ Q P ∨ Q P → Q ⟷ ¬P ∨ Q
F F V V V
F V F F V
V F V V V
V V V V V
43 Lógica de Predicados
Ao realizarmos o bicondicional entre duas proposições que gera uma Tautologia
então temos que as duas proposições são equivalentes.
Verifique se as proposições (AB) e (AB) são equivalentes, para isso
realize a avaliação dos conectivos segundo sua ordem de precedência.
1º avaliar os pares de parênteses, iniciando pelos mais internos;
2º avaliar as negações
3º avaliar as conjunções e disjunção
4º avaliar os condicionais e bicondicionais
Na presença de conectivos de mesma precedência sem os parênteses que
priorize a ordem das operações, adota-se por avaliar as proposições da esquerda
para direita.
A B AB (AB) (AB) ⟷ (AB)
F F F F V
F V F F V
V F V V V
V V F F V
Propriedades de equivalência lógica
Para P(r, s, t), Q(r, s, t) e R(r, s, t) proposições compostas baseadas em proposições
atômicas ou simples r, s, t, as equivalências seguem as propriedades:
Reflexiva: P(r, s, t) ⇔ P(r, s, t) ,ou seja, a proposição P equivale a P.
Simétrica: Se P(r, s, t) ⇔ Q(r, s, t) então Q(r, s, t) ⇔ P(r, s, t) ou seja, se a
proposição P equivale a Q então Q equivale a P.
Transitiva: Se P(r, s, t) ⇔ Q(r, s, t) e Q(r, s, t) ⇔ R(r, s, t) então
P(r, s, t) ⇔ R(r, s, t) ou seja, se a proposição P equivale a Q e Q equivale a R,
então P equivale a R.
Equivalências Notáveis
44 Lógica de Predicados
Algumas equivalências são bem conhecida e são denominadas como
equivalências notáveis. A seguir são apresentadas as equvalências e suas tabelas
verdade.
Equivalência da dupla negação (A) A
A A (A) (A) A
F V F V
V F V V
Equivalência da Idempotência
Idempotente da disjunção A A A
A A A A A A A
F F F V
V V V V
Idempotente da conjunção - A A A, construa a tabela verdade e verifique
a tautologia.
Equivalência da comutatividade
Comutativa da disjunção apresenta o operador entre as proposições,
(AB)(BA).
A B (AB) (BA) (AB) (BA)
F F F F V
F V V V V
V F V V V
V V V V V
Comutativa da conjunção apresenta o operador entre as proposições,
(AB)(BA), construa a tabela verdade e verifique a tautologia.
45 Lógica de Predicados
Equivalência da Associatividade
Associativa para disjunção apresenta o operador entre as proposições
((AB)C)(A(BC)).
A B C (AB) ((AB)C) (BC) (A(BC)) ((AB)C)(A(BC))
F F F F F F F V
F F V F V V V V
F V F V V V V V
F V V V V V V V
V F F V V F V V
V F V V V V V V
V V F V V V V V
V V V V V V V V
Associativa para conjunção apresenta o operador entre as proposições
((AB)C)(A(BC)), construa a tabela verdade e verifique a tautologia.
Para a associatividade é importante a observação de que ela é válida para a
mesma operação entre as proposições. Verifique que ((AB)C)(A(BC))
não é uma Tautologia, logo, não é uma equivalência lógica.
Equivalência da Identidade
Indentidade da disjunção apresenta o operador entre a proposição e a
Tautologia e a Contradição, A T T; A C A.
A T A T A T T A T A C A C A
F V V V F V F V
V V V V V V V V
Indentidade da conjunção apresenta o operador entre a proposição e a
Tautologia e a Contradição, construa a tabela verdade e verifique a tautologia,
A T A; A C C.
46 Lógica de Predicados
Equivalência da Distributividade
Distributiva da disjunção para a conjunção (A(BC)) ((AB)(AC)).
A B C (BC) (A(BC)) (AB) (AC) ((AB)(AC)) (A(BC))
((AB)(AC))
F F F F F F F F V
F F V V F F F F V
F V F V F F F F V
F V V V F F F F V
V F F F F F F F V
V F V V V F V V V
V V F V V V F V V
V V V V V V V V V
Distributiva da conjunção para a disjunção (A(BC)) ((AB)(AC)),
construa a tabela verdade e verifique a tautologia.
Equivalência das Leis de De Morgan
De Morgan para disjunção (AB)AB
A B (AB) (AB) A B (AB) ((AB))(AB)
F F F V V V V V
F V V F V F F V
V F V F F V F V
V V V F F F F V
De Morgan para conjunção (AB)AB, construa a tabela verdade e
verifique a tautologia.
47 Lógica de Predicados
Equivalência da Complementação
Complementação da disjunção (AA) T
A A A A T A A T
F V V V V
V F V V V
Complementação da conjunção (A A) C, construa a tabela verdade e
verifique a tautologia.
Equivalência do Condicional (AB)(AB)
A B (AB) A (AB) (AB)(AB)
F F V V V V
F V V V V V
V F F F F V
V V V F V V
Equivalência do Bicondiconal
Bicondicional para a conjunção (AB)(AB) (BA)
A B AB AB BA (AB)(AB) (AB)
F F V V V V
F V F V F V
V F F F V V
V V V F V V
Bicondicional para a disjunção (AB)(AB) (AB) , construa a tabela
verdade e verifique a tautologia.
48 Lógica de Predicados
Equivalência da Contraposição (AB)(BA)
A B (AB) B A (BA) (AB)(BA)
F F V V V V V
F V V F V V V
V F F V F F V
V V V F F V V
Equivalência da Exportação Importação (AB)C A(BC)
A B C (AB) (AB)C (BC) A(BC) (AB)C
A(BC)
F F F F V V V V
F F V F V V V V
F V F F V F V V
F V V F V V V V
V F F F V V V V
V F V F V V V V
V V F V F F F V
V V V V V V V V
Munido das regras de equivalência, é possível realizar reescritas, simplificações
e até mesmo provas de tautologias, contradições ou contingências.
Podemos exemplificar a aplicação das equivalências na proposição composta
P(QR). Para uma melhor organziação apresentamos a proposição
reescrita e a equivalência utilizada.
P(QR)
P (QR) Condicional
P (QR) Dupla Negação
49 Lógica de Predicados
P (Q R) De Morgan
P (Q R) Dupla Negação
P Q R Associatividade
Outro exemplo é o uso das equivalências para provar outras equivalências.
Procedendo da mesma maneira reescrevemos as proposições linha a linha
identificando as equivalências utilizadas terminando em uma tautologia ou
pode-se reescrever uma das equivalências até que fique ‘igual’ a outra.
Provando que a equivalênca da Exportação Importação (AB)C A(BC)
através das equivalências, podemos reescrever (AB)C até que ela fique igual
a A(BC). Observe que mudamos de equivalente para igual aplicando as
outras equivalências.
(AB)C
(AB) C Condicional
(AB) C De Morgan
A(B C) Associativa
A( B C) Condicional
A ( B C) Condicional
Existem ooutras maneiras de se provar utilizando de outra sequencia de
equivalências.
(AB)C
(AB) C Dupla Negação
(AB) C De Morgan
(AB) C Condicional
(AB) C Dupla Negação
A(B C) Associativa
A(B C) Condicional
A (B C) Condicional
50 Lógica de Predicados
Esse método é eficaz e mais otimizado que as tabelas verdade para proposições
compostas por mais de 5 proposições simples ou com muitas operações pois,
considerando as combinações de valor das proposição teríamos para 5
proposições uma tabela verdade com 25 linhas, que torna a avaliação do valor-
verdade bem trabalhosa.
Recapitulando
Neste capítulo apresentamos as equivalências lógicas e como utiliza-las para
comprovar equivalências de proposições compostas, assim como métodos para
simplificar ou somente reescrever proposições.
No próximo capítulo apresentaremos as Regras de inferência, que em conjunto
com as equivalências são a chave para realizar argumentações e provas lógicas.
Referências bibliográficas do capítulo
ALENCAR FILHO, Edgard. Teoria Elementar dos Conjuntos. São Paulo: Nobel,
1971.
SCHEINERMAN, Edward R. Matemática Discreta: uma introdução. São Paulo:
Pioneira Thompson Learning, 2003.
Atividades
1) Sabendo que proposições equivalentes são uma tautologia, construa as
tabelas verdade das seguintes equivalências lógicas:
(Q(RS)) (QRS)
(P(QR)) (P(QR))
(RS) (RS)
2) Sabendo que P(QR) P Q R , comprove sua equivalência
utilizando das equivalências estudadas e fazendo com que uma das
proposições se torne a outra.
3) Sabendo que (QR) (RQ), comprove sua equivalência
utilizando das equivalências estudadas e fazendo com que uma das
proposições se torne a outra.
4) Aplique a sequência de equivalências dadas e comprove que
R(QR)(QR); Condicional, Dupla Negação, Distributiva,
Complementação, Identidade, Comutação
51 Lógica de Predicados
5) Verifique se a seguintes equivalências estão corretamente aplicadas.
A(B↔C)
A(B→C) (C→B)
A(BC) (CB)
((AB)(AC)) (CB)
((AB) (CB))((AC) (CB))
((ABC)(AB B)) ((ACC)(ACB))
((ABC)F) (F(ACB))
((ABC) (ACB))
Gabarito das atividades
As tabelas verdade das proposições
(Q(RS))(QRS)
Q R S (RS) (Q(RS)) R (QRS) (Q(RS))(QRS)
F F F V V V V V
F F V V V V V V
F V F F F F F V
F V V V V F V V
V F F V V V V V
V F V V V V V V
V V F F V F V V
V V V V V F V V
52 Lógica de Predicados
(P(QR)) (P(QR))
P Q R QR P(QR) P (P(QR)) (P(QR)) (P(QR))
F F F F V V V V
F F V F V V V V
F V F F V V V V
F V V V V V V V
V F F F F F F V
V F V F F F F V
V V F F F F F V
V V V V V F V V
(RS) (RS)
R S S (RS) R (RS) (RS) (RS) (SR)
F F V F V V F V
F V F F V V F V
V F V V F F V V
V V F F F V F V
P(QR) P Q R
P(QR) P Q R De Morgan
P(QR) P Q R Condicional
P(QR) P Q R Dupla Negação
PQR PQR Associativa
(QR) (RQ)
(QR) (RQ) Condicional
(RQ) (RQ) Comutativa
(RQ) (RQ) Condicional
53 Lógica de Predicados
R(QR)(QR)
R(QR)(QR) Condicional
R(QR)(QR) Dupla Negação
(RQ) (RR)(QR) Distributiva
(RQ) T(QR) Completação
(RQ) (QR) Identidade
(QR) (QR) Comuntação
Verdade
54 Lógica de Predicados
Implicações Lógicas
Agostinho Iaqchan Ryokiti Homa6
6 Bacharel em Matemática Aplicada a Informática e Mestre em Ensino de Ciências e Matemática pela
Universidade Luterana do Brasil. Professor dos Cursos de Ciência da Computação, Engenharias e
Licenciatura em Matemática da ULBRA.
55 Lógica de Predicados
Introdução
No capítulo anterior estudamos as equivalências lógicas e como elas podem ser
úteis na simplificação de proposições compostas. Verificamos que duas
proposições lógicas são equivalentes quando, ao utilizarmos a operação do
bicondicional entre elas, obtemos uma Tautologia, podendo ser comprovada
por uma tabela verdade.
Aprendemos que podemos verificar as equivalências de outras proposições
tornando-as iguais ao reescrevermos uma delas fazendo uso das equivalências
notáveis.
Estudaremos nesse capítulo as deduções lógicas que associam proposições
atômica e permitem inferir ou concluir uma proposição como verdadeira com
base na veracidade da premissa antecedente.
Implicação Lógica ou Consequência Lógica
A definição de uma implicação lógica considera que uma proposição P implica
logicamente uma proposição Q, se Q é verdadeira toda vez que P é verdadeira.
A notação para a implicação lógica é dada por P ⇒ Q , onde se lê que
P implica Q.
Devemos observar que a implicação lógica (⇒) estabelece uma relação
condicional entre P e Q de modo que para Q ser verdadeiro é condição
necessária que P seja verdadeiro, enquanto que o conectivo lógico de
condicional, ou simplesmente condicional, (→) é uma operação lógica.
Deste modo podemos então verificar através de tabelas verdade as implicações
lógicas a seguir:
P ⇒ P∨Q
P Q P∨Q
F F F
F V V
V F V
V V V
Verifica-se que quando P é verdadeiro P∨Q também o é, logo P verdadeiro
implica em P∨Q verdadeiro também. Salienta-se que isso não significa que P∨Q
56 Lógica de Predicados
é verdadeiro somente quando P é verdadeiro, podemos ver na segunda linha da
tabela verdade que P∨Q é verdadeiro mesmo com P falso, logo não temos uma
equivalência mas uma implicação de maneira que, para P∨Q ser verdadeiro é
condição que P seja verdadeiro, mas não necessariamente a única condição.
Veja as tabelas verdade das seguintes implicações lógicas
Q ⇒ P∨Q
P Q P∨Q
F F F
F V V
V F V
V V V
P∧Q ⇒ P
P Q P∧Q
F F F
F V F
V F F
V V V
P∧Q ⇒Q
P Q P∧Q
F F F
F V F
V F F
V V V
Uma maneira de verificar se as proposições são uma implicação lógica é
substituir a implicação lógica pela operação de condicional e verificamos se a
operação é uma Tautologia, ou seja, se ela é verdadeira sempre. Deste modo
temos que Q ⇒ P∨Q pode ser verIficado por Q → P∨Q é uma tautologia
57 Lógica de Predicados
Q→P∨Q
P Q P∨Q Q→P∨Q
F F F V
F V V V
V F V V
V V V V
Pode-se verificar a tautologia fazendo uso das equivalências lógicas de modo
que Q → P∨Q ⟺T.
Q→P∨Q
¬Q∨P∨Q Condicional
¬Q∨Q∨P Comutativa
(¬Q∨Q) ∨P Associativa
T∨P Complementativa
T Identidade
Verifique as implicações lógicas P ⇒ P∨Q ; P∧Q ⇒ P ; P∧Q ⇒ Q pela tabela
verdade e também usando das equivalências lógicas, como no exemplo dado,
mostrando que as mesmas são Tautologias.
Propriedades de Implicação lógica
Para P(r,s,t), Q(r,s,t) e R(r,s,t) proposições compostas baseadas em proposições
atômicas ou simples r,s,t, as implicações lógicas seguem as propriedades:
Reflexiva: P(r,s,t) ⇒ P(r,s,t) ,ou seja, a proposição P implica em P.
Transitiva: Se P(r,s,t) ⇒ Q(r,s,t) ∧ Q(r,s,t) ⇒ R(r,s,t) então P(r,s,t) ⇒ R(r,s,t) ,
ou seja, se a proposição P implica em Q e Q implica em R, então P implica em
R.
Asssim como nas equivalências lógicas, temos implicações lógicas mais usuais
que são bem conhecidas e que são utilizadas no processo de argumentação e
dedução lógica.
58 Lógica de Predicados
Adição
A implicação P⇒P∨Q utilizada na apresentação do conceito de implicação lógica
é denominada como Adição pois se considerarmos as proposições em linguagem
natural:
P = Sigfrid é paulista; Q = Frida é carioca
podemos afirmar que com certeza que:
Sigfrid é paulista logo Sigfrid é paulista ou Frida é carioca, ou seja, para P
verdadeiro a inclusão de Q falsa ou verdadeira não afeta P⇒P∨Q, de modo que
P∨Q será verdadeiro toda vez que P for verdadeiro.
De maneira análoga temos que Q⇒P∨Q também é uma implicação de Adição
pois para Q verdadeiro a inclusão de P falsa ou verdadeira não afeta Q⇒P∨Q,
de modo que P∨Q será verdadeiro toda vez que Q for verdadeiro. Para o
exemplo dado temos que para:
Frida é carioca logo Sigfrid é paulista ou Frida é carioca.
Simplificação
Outra implicação lógica importante a é Simplificação. Esta implicação permite
simplificar uma proposição composta, dentro de um processo dedutivo.
Verificamos que as proposições:
P = Sigfrid é paulista e Q = Frida é carioca
Se tivermos como verdadeiro que Sigfrid é paulista e Frida é carioca logo será
sempre verdade que Sigfrid é paulista. De maneira análoga sempre será verdade
que Frida é carioca.
Logo temos que P∧Q ⇒ Q e P∧Q ⇒ P são implicações lógicas
Verificando a tautologia P∧Q → P pela tabela verdade temos:
P Q P∧Q P∧Q → P
F F F V
F V F V
V F F V
V V V V
59 Lógica de Predicados
Também podemos utilizar das equivalências lógicas de modo que:
P∧Q → P
¬ (P∧Q) ∨ P Condicional
(¬P∨¬Q) ∨ P De Morgan
P ∨ (¬P∨¬Q) Comutativa
(P ∨ ¬P)∨¬Q Associativa
T∨¬Q Complementativa
T Identidade
Absorção
Na implicação da Absorção
P→(P∧Q) ⇒ P→Q
Vemos que P de P∧Q “desaparece”, ou seja, é absorvido pelo P que antecede a
operação de condicional. Podemos confirmar que essa é uma implicação válida
verificando que (P→(P∧Q)) → (P→Q) é uma tautologia.
Para tal verificação podemos usar a tabela verdade:
P Q P∧Q P→(P∧Q) P→Q (P→(P∧Q)) → (P→Q)
F F F V V V
F V F V V V
V F F F F V
V V V V V V
Também podemos utilizar das equivalências lógicas de modo que:
(P→(P∧Q)) → (P→Q)
¬ (¬P∨(P∧Q)) ∨ (¬P∨Q) Condicional
¬ ((¬P∨P)∧(¬P∨Q)) ∨ (¬P∨Q) Distributiva
¬ (T∧(¬P∨Q)) ∨ (¬P∨Q) Complementativa
¬ (¬P∨Q) ∨ (¬P∨Q) Identidade
60 Lógica de Predicados
OBS: para W:(¬P∨Q) temos que ¬(¬P∨Q) ∨ (¬P∨Q) é ¬W ∨ W, logo
T Complementativa
Se considerarmos as proposições em linguagem natural
P = Sigfrid é paulista e Q = Sigfrid é brasileiro
Se Sigfrid é paulista então Sigfrid é paulista e Sigfrid é brasileiro, logo Se Sigfrid
é paulista então Sigfrid é brasileiro.
Conjunção
Considerando duas proposições dadas como verdadeiras, podemos usá-las para
declarar uma proposição composta deste modo podemos usar a implicação
lógica da conjunção, ou seja, para P verdadeiro e Q verdadeiro podemos inferir
que P∧Q é verdadeiro.
P, Q ⇒ P∧Q
Em linguagem natural, para as proposições P = a < 3 ; Q = b < 4 podemos
a < 3, b < 4, logo a < 3 e b < 4
ou
a < 3, b < 4, logo b < 4 e a < 3
No próximo capítulo apresentaremos a aplicação das implicações lógicas e de
que modo elas podem ser utilizadas no processo dedutivo.
Modus Ponens - Método da afirmação
O método da afirmação mais conhecido como Modus Ponens requer duas
proposições, uma proposição composta P→Q e uma proposição P. Podemos
avaliar para P→Q que Q será verdadeiro com a condição de P ser verdadeiro,
e a segunda proposição P garante isso, logo temos que (P→Q) ∧ P ⇒ Q.
Para as proposições em linguagem natural P = Sigfrid é paulista e Q = Sigfrid é
brasileiro, temos:
Se Sigfrid é paulista então Sigfrid é brasileiro e Sigfrid é paulista logo Sigfrid é
brasileiro.
Verificando a implicação lógica (P→Q) ∧ P ⇒ Q pela tabela verdade temos que
((P→Q) ∧ P)→Q é uma tautologia
61 Lógica de Predicados
P Q P→Q (P→Q) ∧ P ((P→Q) ∧ P)→Q
F F V F V
F V V F V
V F F F V
V V V V V
Utilizando das equivalências lógicas para comprovar a Tautologia temos que:
((P→Q) ∧ P)→Q
¬ ((¬P∨Q) ∧ P) ∨ Q Condicional
(¬(¬P∨Q) ∨ ¬P) ∨ Q De Morgan
¬(¬P∨Q) ∨ (¬P ∨ Q) Associativa
OBS: para W:(¬P∨Q) temos que ¬(¬P∨Q) ∨ (¬P∨Q) é ¬W ∨ W, logo
T Complementativa
Observação: Caso P seja falso isso não leva a implicação de que Q será falso, ou seja, (P→Q) ∧ ¬P → ¬Q não é uma Tautologia !!!!!
Podemos verificar pela tabela verdade que (P→Q) ∧ ¬P → ¬Q é uma
indeterminação (contingência)
P Q P→Q ¬P ¬Q (P→Q) ∧ ¬P ((P→Q) ∧ P)→ ¬Q
F F V V V V V
F V V V F V F
V F F F V V V
V V V F F F V
Modus Tollens - Método da negação
O método da negação mais conhecido como Modus Tollens requer duas
proposições, uma proposição composta P→Q e uma proposição ¬Q de maneira
que (P→Q) ∧ ¬Q ⇒ ¬P.
O método da Negação costuma ser de dificil compreensão por não ser usual na
linguagem natural. Podemos avaliar o método da negação da seguinte maneira,
62 Lógica de Predicados
se temos a proposição P→Q verdadeira, tal que P verdadeiro é condição para Q
verdadeiro então se temos que ¬Q verdadeiro, ou seja, Q é falso, então, com
certeza P é falso, que é o mesmo que ¬P verdadeiro.
Verificando a implicação lógica (P→Q) ∧ ¬Q ⇒ ¬P pela tabela verdade, temos
que (P→Q) ∧ ¬Q →¬P é uma tautologia.
P Q P→Q ¬P ¬Q (P→Q) ∧ ¬Q ((P→Q) ∧ P)→ ¬Q
F F V V V V V
F V V V F F V
V F F F V F V
V V V F F F V
Utilizando das equivalências lógicas para comprovar a Tautologia temos que:
((P→Q) ∧ ¬Q)→ ¬P
¬ ((¬P∨Q) ∧ ¬Q) ∨ ¬P Condicional
(¬(¬P∨Q) ∨ ¬¬Q) ∨ ¬P De Morgan
(¬(¬P∨Q) ∨ Q) ∨ ¬P Dupla Negação
¬(¬P∨Q) ∨ (Q ∨ ¬P) Associativa
¬(¬P∨Q) ∨ (¬P∨Q) Comutativa
OBS: para W:(¬P∨Q) temos que ¬(¬P∨Q) ∨ (¬P∨Q) é ¬W ∨ W, logo
T Complementativa
Para as proposições em linguagem natural P = Sigfrid é paulista e Q = Sigfrid é
brasileiro, temos:
Se Sigfrid é paulista então Sigfrid é brasileiro e Sigfrid não é brasileiro logo
Sigfrid não é paulista.
Silogismo hipotético
No silogismo hipotético identificamos a propriedade transitiva de modo que se
temos duas proposições verdadeiras e interligadas na qual o consequente da
primeira é o antecedente da segunda podemos inferir que:
(P→Q)∧(Q→R) ⇒ P→R
63 Lógica de Predicados
Para as proposições em linguagem natural P = a < b; Q = b < c e R = c < d
Se a < b então b < c e se b <c então R = c < d logo se a < b então c < d.
(P→Q)∧(Q→R) ⇒ P→R
Verificando a implicação lógica (P→Q)∧(Q→R) ⇒ P→R pela tabela verdade,
temos que (P→Q)∧(Q→R) → (P→R) é uma tautologia.
P Q R P→Q Q→R (P→Q)∧(Q→R) P→R (P→Q)∧(Q→R) → (P→R)
F F F V V V V V
F F V V V V V V
F V F V F F V V
F V V V V V V V
V F F F V F F V
V F V F V F V V
V V F V F F F V
V V V V V V V V
Utilizando das equivalências lógicas para comprovar a Tautologia temos que:
(P→Q)∧(Q→R) → (P→R)
¬((¬P∨Q)∧(¬Q∨R)) ∨ (¬P∨R) Condicional
((¬¬P∧¬Q) ∨ (¬¬Q∧¬R)) ∨ (¬P∨R) De Morgan
((P∧¬Q) ∨ (Q∧¬R)) ∨ (¬P∨R) Dupla Negação
(P∧¬Q) ∨ (Q∧¬R) ∨ ¬P ∨ R Associativa
(P∧¬Q) ∨ ¬P ∨ (Q∧¬R) ∨ R Comutativa
((P∨¬P) ∧ (¬Q∨¬P)) ∨ ((Q ∨ R)∧(¬R∨ R)) Distributiva
( T∧ (¬Q∨¬P)) ∨ ((Q ∨ R)∧T) Complementativa
(¬Q∨¬P) ∨ (Q ∨ R) Identidade
64 Lógica de Predicados
(¬Q ∨ Q)∨¬P ∨ R Associativa
T ∨¬P ∨ R Complementativa
T Identidade
Silogismo disjuntivo
No silogismo disjuntivo temos uma proposição composta P∨Q verdadeira.
Sabendo para para a mesma ser verdadeira um ou as duas são verdadeiras,
temos que a afirmação de que uma delas não é verdadeira, obrigatóriamente a
outra deverá ser verdadeira, logo temos a seguinte implicação
(P∨Q) ∧ ¬P ⇒ Q
Analogamente
(P∨Q) ∧ ¬Q ⇒ P
Para as proposições em linguagem natural P = Sigfrid é santista e Q = Sigfrid é
palmerense, temos que:
Sigfrid é santista ou Sigfrid é palmerense. Sigfrid não é palmerense logo Sigfrid
é santista
(P∨Q) ∧ ¬Q ⇒ P
Verificando a implicação lógica (P∨Q) ∧ ¬Q ⇒ P pela tabela verdade temos que
(P∨Q) ∧ ¬Q→P é uma tautologia
P Q P∨Q ¬Q (P∨Q) ∧ ¬Q (P∨Q) ∧ ¬Q→P
F F F V F V
F V V F F V
V F V V V V
V V V F F V
Utilizando das equivalências lógicas para comprovar a Tautologia temos que:
(P∨Q) ∧ ¬Q→P
¬((P∨Q) ∧ ¬Q) ∨ P Condicional
65 Lógica de Predicados
¬(P∨Q) ∨ ¬¬Q ∨ P De Morgan
¬(P∨Q) ∨ Q ∨ P Dupla negação
¬(P∨Q) ∨ P ∨ Q Comutativa
¬(P∨Q) ∨ (P ∨ Q) Associativa
OBS: para W:(P∨Q) temos que ¬(P∨Q) ∨ (P∨Q) é ¬W ∨ W, logo
T Complementativa
Dilema Construtivo
No dilema construtivo temos duas proposições condicionais P→Q; R→S e uma
terceira P∨R que leva ao dilema Q∨S. Basicamente temos o Modus Ponens
aplicado simuntâneamente a duas proposições condicionais.
Deste modo temos que (P→Q) ∧ (R→S) ∧ (P∨R) ⇒ (Q∨S)
Para as proposições em linguagem natural:
P = x é múltiplo de 2
Q = x é par
R = y é impar
S = y+1 é par
Se x é múltiplo de 2 então x é par; Se y é impar então y+1 é par.
x é múltiplo de 2 ou y é impar logo x é par ou y+1 é par
Verifica-se no exemplo dado que para verdadeira a afirmação x é múltiplo de 2
ou y é impar, então pelo menos uma delas é verdadeira, logo uma das duas
afirmações condicionais será atendida, que leva a pelo menos uma das
consequencias lógicas ser verdadeira, ou seja, x é par ou y+1 é par.
Verificando a implicação lógica (P→Q) ∧ (R→S) ∧ (P∨R) ⇒ (Q∨S) pela tabela
verdade temos que (P→Q) ∧ (R→S) ∧ (P∨R) → (Q∨S) é uma tautologia.
66 Lógica de Predicados
P Q R S P→Q R→S P∨R (P→Q)∧(R→S) ∧(P∨R)
(Q∨S) (P→Q)∧(R→S) ∧(P∨R)→(Q∨S)
F F F F V V F F F V
F F F V V V F F V V
F F V F V F V F F V
F F V V V V V V V V
F V F F V V F F V V
F V F V V V F F V V
F V V F V F V F V V
F V V V V V V V V V
V F F F F V V F F V
V F F V F V V F V V
V F V F F F V F F V
V F V V F V V F V V
V V F F V V V V V V
V V F V V V V V V V
V V V F V F V F V V
V V V V V V V V V V
Utilizando das equivalências lógicas para comprovar a Tautologia temos que:
(P→Q) ∧ (R→S) ∧ (P∨R) → (Q∨S)
¬((¬P∨Q) ∧ (¬R∨S) ∧ (P∨R)) ∨ (Q∨S) Condicional
¬(¬P∨Q) ∨ ¬(¬R∨S) ∨ ¬(P∨R) ∨ (Q∨S) Condicional
(P ∧ ¬Q) ∨ (R ∧ ¬S) ∨ (¬P ∧ ¬R) ∨ Q ∨ S De Morgan
(P ∧ ¬Q) ∨ Q ∨ (R ∧¬S) ∨ S ∨ (¬P∧¬R) Comutativo
((P ∨ Q) ∧(¬Q ∨ Q)) ∨ ((R ∨ S) ∧ (¬S ∨ S)) ∨ (¬P∧¬R) Distributiva
((P ∨ Q) ∧ T) ∨ ((R ∨ S) ∧ T) ∨ (¬P∧¬R) Complementativa
67 Lógica de Predicados
(P ∨ Q) ∨ (R ∨ S) ∨ (P∧¬R) Identidade
P ∨ Q ∨ S ∨ R ∨ (¬P∧¬R) Associativa
P ∨ Q ∨ S ∨ ((R ∨ ¬P) ∧ (R ∨ ¬R)) Distributiva
P ∨ Q ∨ S ∨ ((R ∨ ¬P) ∧ T) Complementativa
P ∨ Q ∨ S ∨ (R ∨ ¬P) Identidade
Q ∨ S ∨ R ∨ (P ∨ ¬P) Associativa
Q ∨ S ∨ R ∨ T Complementativa
T Identidade
Dilema Destrutivo
No dilema destrutivo temos duas proposições condicionais P→Q; R→S e uma
terceira P∨R que leva ao dilema Q∨S. Basicamente temos o Modus Ponens
aplicado simuntâneamente a duas proposições condicionais.
Deste modo temos que (P→Q) ∧ (R→S) ∧ (¬Q∨¬S) ⇒ (¬P∨¬R)
Para as proposições em linguagem natural:
P = x é múltiplo de 2
Q = x é par
R = y é impar
S = y+1 é par
Se x é múltiplo de 2 então x é par; Se y é impar então y+1 é par.
x não é par ou y+1 não é par logo x não é múltiplo de 2 ou y não é impar
Verifica-se no exemplo dado que para verdadeira a afirmação x não é par ou
y+1 não é par, então pelo menos uma delas é verdadeira, logo uma das
afirmações condicionais não está sendo atendida, ou seja, x não é par ou y+1
não é par.
Verificando a implicação lógica (P→Q) ∧ (R→S) ∧ (¬Q∨¬S) ⇒ (¬P∨¬R) pela tabela
verdade temos que (P→Q) ∧ (R→S) ∧ (¬Q∨¬S) → (¬P∨¬R) é uma tautologia.
68 Lógica de Predicados
P Q R S P→Q R→S ¬Q∨¬S (P→Q)∧(R→S)∧ (¬Q∨¬S)
¬P∨¬R (P→Q) ∧ (R→S) ∧ (¬Q∨¬S) →(¬P∨¬R)
F F F F V V V V V V
F F F V V V F F V V
F F V F V F V F F V
F F V V V V F F F V
F V F F V V F F V V
F V F V V V F F V V
F V V F V F F F F V
F V V V V V F F F V
V F F F F V V F F V
V F F V F V F F F V
V F V F F F V F F V
V F V V F V F F F V
V V F F V V F F F V
V V F V V V F F F V
V V V F V F F F F V
V V V V V V F F F V
Utilizando das equivalências lógicas para comprovar a Tautologia temos que:
(P→Q) ∧ (R→S) ∧ (¬Q∨¬S) →(¬P∨¬R)
¬((¬P∨Q) ∧ (¬R∨S) ∧ (¬Q∨¬S)) ∨ (¬P∨¬R) Condicional
¬(¬P∨Q) ∨ ¬(¬R∨S) ∨ ¬(¬Q∨¬S)) ∨ (¬P∨¬R) Condicional
(P ∧ ¬Q) ∨ (R ∧ ¬S) ∨ (Q ∧ S) ∨ ¬P ∨ ¬R De Morgan
(P ∧ ¬Q) ∨ ¬P ∨ (R ∧¬S) ∨ ¬R ∨ (Q ∧ S) Comutativo
((P∨¬P) ∧ (¬Q∨¬P)) ∨ ((R∨¬R) ∧ (¬S∨¬R)) ∨ (Q ∧ S) Distributiva
(T∧ (¬Q∨¬P)) ∨ (T ∧ (¬S∨¬R)) ∨ (Q ∧ S) Complementativa
69 Lógica de Predicados
(¬Q∨¬P) ∨ (¬S∨¬R) ∨ (Q ∧ S) Identidade
¬Q ∨¬P ∨ ¬S∨¬R ∨ (Q ∧ S) Associativa
¬Q ∨¬P ∨ R ∨ ((¬S∨Q) ∧ (¬S∨S)) Distributiva
¬Q ∨¬P ∨ ¬R ∨ ((¬S∨Q) ∧ T) Complementativa
¬Q ∨¬P ∨ ¬R ∨ ¬S ∨ Q Identidade
¬P ∨ ¬R ∨ ¬S (¬Q ∨ Q) Associativa
Q ∨ S ∨ R ∨ T Complementativa
T Identidade
Recapitulando
Neste capítulo estudamos as tautologias das implicações lógicas. Essas
tautologias, em conjunto com as tautologias das equivalências lógicas formam
o conjunto de instrumentos para a argumentação e dedução lógica que
estudaremos nos capítulos posterioes.
Apresentamos um resumo das tautologias da implicações lógicas e as
abreviaturas comumente utilizadas durante as demonstrações. Convém sempre
referenciar a implicação lógica utilizada para auxiliar a interpretação dando
AD Adição P ⇒ P ∨ Q Q ⇒ P ∨ Q
SM Simplificação P ∧ Q ⇒ P P ∧ Q ⇒ Q
ABS Absorção P → (P ∧ Q) ⇒ P → Q
CJ Conjunção P, Q ⇒ P ∧ Q P, Q ⇒ Q ∧ P
MP Modus Ponens P, P → Q ⇒ Q
MT Modus Tollens P → Q, ¬Q ⇒ ¬P
SH Silogismo Hipotético
P → Q, Q → R ⇒ P → R
SD Silogismo Disjuntivo P ∨ Q , ¬Q ⇒ P
DC Dilema Construtivo P → Q, R → S, P ∨ R ⇒ Q ∨ S
DD Dilema Destrutivo P → Q, R → S, ¬Q ∨ ¬S ⇒ ¬P ∨ ¬R
70 Lógica de Predicados
Referências bibliográficas do capítulo
ALENCAR FILHO, Edgard. Teoria Elementar dos Conjuntos. São Paulo: Nobel,
1971.
SCHEINERMAN, Edward R. Matemática Discreta: uma introdução. São Paulo:
Pioneira Thompson Learning, 2003.
BARONETT, Stan. Lógica: Uma introdução voltadas para as ciências. Porto
Alegre: Bookman, 2009.
71 Lógica de Predicados
Atividades
Tabelas verdade
(¬A ∨ ¬B) ∧ B ∧ (¬(B ∧ C) → A) ⇒ B
(C → (A ∨ B)) ∧ C ∧ ¬B ⇒ A
Verifique que seguinte implicação lógica é verdadeira utilizando as
seguintes regras de equivalência.
Condicional, De Morgan, De Morgan, Distributiva, Complementação,
Identidade, Comutativa, Distributiva, Complementação, Identidade,
Comutativa, Complementação, Identidade.
(¬A ∨ B)∧(¬A → C) ∧¬C ⇒ B
Verifique que seguinte implicação lógica é falsa utilizando as seguintes
regras de equivalência.
Condicional, De Morgan, De Morgan, Distributiva, Associativa,
Complementação, Absorvente.
¬A ∧ (A→B)⇒¬B
Verifique se seguinte implicação lógica é verdadeira ou falsa utilizando
tabela verdade
(B → ¬A) ∧ B ∧ (¬A → C ) ⇒ C
Verifque a implicação lógica utilizando de regras de equivalências
a) (A → B) ∧ (¬A → C) ∧ ¬B ⇒ C
72 Lógica de Predicados
Gabarito das Atividades
Verifique que as seguintes implicações lógica são verdadeiras utilizando
tabelas verdade.
(¬A ∨ ¬B) ∧ B ∧ (¬(B ∧ C) → A) → B
A B C ¬A ∨ ¬B ¬(B ∧ C) ¬(B ∧ C) → A (¬A ∨ ¬B) ∧ B ∧ (¬(B ∧ C) → A) → B
F F F V V F V
F F V V V F V
F V F V V F V
F V V V F V V
V F F V V V V
V F V V V V V
V V F F V V V
V V V F F V V
(C → (A ∨ B)) ∧ C ∧ ¬B→A
A B C (A ∨ B) C→(A ∨ B) ¬B (C→(A ∨ B))∧C∧ ¬B→A
F F F F V V V
F F V F F V V
F V F V V F V
F V V V V F V
V F F V V V V
V F V V V V V
V V F V V F V
V V V V V F V
73 Lógica de Predicados
Demonstração
(¬A ∨ B)∧(¬A → C) ∧¬C → B
¬((¬A ∨ B)∧(A ∨ C) ∧¬C) ∨ B Condicional
¬(¬A ∨ B) ∨ ¬(A ∨ C) ∨ C ∨ B De Morgan
(A ∧ ¬B) ∨ (¬A ∧ ¬C) ∨ C ∨ B De Morgan
(A ∧ ¬B) ∨ ((¬A ∨ C) ∧ (¬C ∨ C)) ∨ B Distributiva
(A ∧ ¬B) ∨ ((¬A ∨ C) ∧ T) ∨ B Complementação
(A ∧ ¬B) ∨ (¬A ∨ C) ∨ B Identidade
(A ∧ ¬B) ∨ B ∨ (¬A ∨ C) Comutativa
((A ∨ B) ∧ (¬B∨ B)) ∨ (¬A ∨ C) Distributiva
((A ∨ B) ∧ T) ∨ (¬A ∨ C) Complementação
(A ∨ B) ∨ (¬A ∨ C) Identidade
A ∨ ¬A ∨ B ∨ C Comutativa
T ∨ B ∨ C Complementação
T Identidade
Demonstração
(¬A ∧ (A→B)) →¬B
¬(¬A ∧ (¬A ∨ B)) ∨ ¬B Condicional
(A ∨ ¬ (¬A ∨ B)) ∨ ¬B De Morgan
A ∨ (A ∧ ¬B) ∨ ¬B De Morgan
(A ∨ A) ∧ (A ∨ ¬B) ∨ ¬B Distributiva
(A ∨ A) ∧ (A ∨ ¬B ∨ ¬B) Associativa
A ∧ (A ∨ ¬B) Complementação
A Absorvente
Logo não é um Tautologia
Verifique se seguinte implicação lógica é verdadeira ou falsa utilizando
tabela verdade
(B → ¬A) ∧ B ∧ (¬A → C ) ⇒ C
A B C ¬A B → ¬A ¬A → C ¬B (B → ¬A) ∧ B ∧ (¬A → C ) → C
F F F V V F V V
F F V V V V V V
F V F V V F F V
F V V V V V F V
74 Lógica de Predicados
V F F F V F V V
V F V F V V V V
V V F F F V F V
V V V F F V F V
Verifque as implicações logicas utilizando de regras de equivalências
a) (A → B) ∧ (¬A → C) ∧ ¬B → C
¬((¬A ∨ B) ∧ (A ∨ C) ∧ ¬B) ∨ C
¬(¬A ∨ B) ∨ ¬(A ∨ C) ∨ B ∨ C
(A ∧ ¬B) ∨ (¬A ∧ ¬C) ∨ B ∨ C
(A ∧ ¬B) ∨ B ∨ (¬A ∧ ¬C) ∨ C
((A ∨ B) ∧ (¬B ∨ B)) ∨ ((¬A ∨ C) ∧ (¬C ∨ C))
((A ∨ B) ∧ T) ∨ ((¬A ∨ C) ∧ T)
(A ∨ B) ∨ (¬A ∨ C)
A ∨ B ∨ ¬A ∨ C
(A ∨ ¬A) ∨ B ∨ C
T ∨ B ∨ C
T
75 Lógica de Predicados
76 Lógica de Predicados
Sistema de Dedução
Magda Leyser7
7 Mestre em Ciência da Computação pela Universidade Federal do Rio Grande do Sul. Desde 1993 é
professora dos Cursos de Ciência da Computação, Engenharias e Licenciatura em Matemática da ULBRA.
Atualmente também atua como professora do curso de Licenciatura em Matemática em EAD da ULBRA
e como professora dos cursos de Análise e Desenvolvimento de Sistemas e Gestão Financeira da Faculdade
Senac- Porto Alegre-RS.
77 Lógica de Predicados
Introdução
Identificamos no capítulo anterior as tautologias chamadas de eHquivalências
e consequências lógicas. Agora, usaremos essas tautologias conhecidas como
regras de inferência ou dedução para provarmos outras tautologias. Para isso
usaremos uma sistemática de representação onde a partir das premissas iniciais
(sentenças declarativas inicias) que supomos verdadeiras chegaremos a
dedução de uma tese (conclusão) também verdadeira. Normalmente
associamos as seguintes etapas, identificamos o conetivo principal,
normalmente um condicional, e a argumentação funciona supondo que se
condição é verdadeira (hipóteses) então a consequência será deduzida como
verdadeira através do uso das tautologias do tipo equivalência e consequência
lógica sobre as hipóteses.
Um dos objetivos da lógica é estudar as estruturas que possam ser usadas na
dedução do conhecimento. Nosso objetivo é construir um sistema de dedução
em lógica proposicional, que determine as estruturas que permitem dedução
de conhecimento. Para essa construção usaremos além das tautologias
conhecidas como equivalências, as tautologias conhecidas como conseqüências
lógicas, elas servem de suporte para construirmos uma argumentação.
Existem diversas maneiras de apresentar essa argumentação, adotaremos a
representação de numerar cada hipótese a ser usada na argumentação
chamando-as também de premissas. A partir da identificação das hipóteses
usaremos as tautologias conhecidas, identificando o seu nome conforme
estudado no capítulo anterior e o número da linha da hipótese que se baseia a
tautologia.
Existem diversas maneiras de apresentar essa argumentação, que chamamos de
prova ou demonstração. Podemos usar a estratégia de substituição de
equivalentes sobre a hipótese. Ou no caso da argumentação de condicionais,
podemos realizar uma prova direta, por contraposição ou por redução ao
absurdo.
Argumentação por substituição de equivalências lógicas
Nesta estratégia de argumentação partimos de uma fórmula inicial (hipótese ou
premissa) e por sucessivas transformações por equivalência lógica conhecida
chegamos a uma fórmula que terá o mesmo valor-verdade, entretanto, com
conectivos diferentes da fórmula inicial. Normalmente essa estratégia é usada
no intuito de simplificar uma formalização.
Para apresentar essa estratégia, usaremos uma forma de representação onde
numeramos cada uma das transformações ou reescrita por equivalência da
fórmula inicial. Também é importante salientar que normalmente não existe
78 Lógica de Predicados
uma única maneira de iniciar e desenvolver esse procedimento, assim os
exemplos abaixo não são soluções únicas.
Iniciamos relembrando na tabela abaixo as equivalências estudadas no capítulo
anterior e que servirão de referência para esse sistema de argumentação.
ID IdemPotência
P ∧ P ⇔ P P ∨ P ⇔ P
CM Comutação
P ∧ Q ⇔ Q ∧ P P ∨ Q ⇔ Q ∨ P
ASS Associação
(P ∧ Q) ∧ R ⇔ P ∧ (Q ∧ R) (P ∨ Q) ∨ R ⇔ P ∨ (Q ∨ R)
DIS Distribuição
P ∧ (Q ∨ R) ⇔ (P ∧ Q) ∨ (P ∧ Q) P ∨ (Q ∧ R) ⇔ (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R)
DN DuPla negação
¬ ¬ P ⇔ P
DM Regra de Morgan
¬(P ∧ Q) ⇔ ¬P ∨ ¬Q ¬(P v Q) ⇔ ¬P ∧ ¬Q
COMP Complementativa ¬p ∧ p ⇔ c ¬p ∨ p ⇔ t Absv Absorvente p ∧ (p ∨ q) ⇔ p p ∨ (p ∧ q) ⇔ p COND Condicional
(P → Q) ⇔ ¬P ∨ Q ¬(P → Q) ⇔ P ∧ ¬Q
BICOND Bicondicional
P ⟷ Q ⇔ (P → Q) ∧ (Q → P) P ⟷ Q ⇔ (P ∧ Q) ∨ (¬P ∧ ¬Q)
CP Contraposição
(P → Q) ⇔ ¬Q → ¬P
EI Exportação Importação
P ∧ Q → R ⇔ P → (Q → R)
Exemplo: A partir da fórmula (A(Q R)) que será nossa fórmula inicial
(hipótese, premissa ou suposição inicial) apresente 5 fórmulas equivalentes
pelas tautologias estudadas.
1. (A(QR)) (premissa, hipótese ou suposição)
2. (A(QR)) ( aplicando na fórmula da linha 1 a equivalência do
condicional)
3. (A ( R Q)) (aplicando na fórmula da linha 2 a equivalência da
comutatividade para disjunção)
4. ((A R) Q) (aplicando na fórmula da linha 3 a equivalência da
associatividade para disjunção)
5. ((A R) Q) (aplicando na fórmula da linha 4 a equivalência de De
Morgan)
6. (AR)Q (aplicando na fórmula da linha 5 a equivalência do
condicional)
79 Lógica de Predicados
Observamos que a escolha de usar a equivalência na fórmula anteriormente
transformada por uma equivalência é uma opção. Assim, podemos escolher qual
das alternativas obtidas é a que favorece nosso interesse em apresentar a
relação lógica descrita pela sentença composta em estudo. No exemplo a seguir
fazemos outra argumentação por equivalentes iniciando por uma equivalência
diferente do apresentado no exemplo acima.
Exemplo: A partir da fórmula (A(Q R)) que será nossa fórmula inicial
(hipótese, premissa ou suposição inicial) apresente 3 fórmulas equivalentes
pelas tautologias estudadas.
1. (A(QR)) (premissa, hipótese ou suposição)
2. ((QR) A) ( aplicando na fórmula da linha 1 a contraposição).
3. ( (QR)A) (aplicando na fórmula da linha 2 a equivalência de
De Morgan).
4. ( (QR)A) (aplicando na fórmula da linha 3 a equivalência da
dupla negação).
Exemplo: A partir da fórmula (P(Q P)) que será nossa fórmula inicial
(hipótese, premissa ou suposição inicial) apresente 3 fórmulas equivalentes
pelas tautologias estudadas.
1. (P(Q P)) (premissa, hipótese ou suposição)
2. (P(QP)) ( aplicando na fórmula da linha 1 a dupla negação).
3. ( P (QP)) (aplicando na fórmula da linha 2 a equivalência de
De Morgan).
4. (P (QP)) (aplicando na fórmula da linha 3 a equivalência da dupla
negação).
5. (P (QP)) (aplicando na fórmula da linha 4 a equivalência de De
Morgan).
Argumentação por Consequência Lógica
Nesta estratégia de argumentação usaremos um encadeamento de
proposicionais formalizadas onde uma delas é consequência lógica das
anteriores, ou seja, ocorrem encadeamentos de verdades a partir das hipóteses
(fórmulas iniciais que supomos verdadeiras) até obtermos a dedução da
conclusão (tese) da argumentação.
Chama-se de argumento toda afirmação de que de uma dada sequência finita
de proposições chamadas de premissa 1, premissa 2, ..., premissa k que
representaremos por: P1, P2, ... Pk, que tem como consequência uma
80 Lógica de Predicados
proposição C. As proposições P1, P2, ... Pk são chamadas de premissas do
argumento e proposição final C chama-se conclusão ou tese do argumento.
Podemos esquematizar essa argumentação dizendo que de um grupo de
premissas que enumeramos como premissa 1, premissa 2, premissa 3 e assim
sucessivamente chegamos por uso das consequências lógicas e se necessário as
equivalências na conclusão da argumentação. Essa organização pode ser
representada por:
1. Premissa 1
2. Premissa 2
3. Premissa 3
4. ... Premissa k
5. .... argumentação usando as tautologias conhecidas que pode ter
várias etapas.
...
n. Conclusão.
A partir dessa organização também poderemos formalizar que:
(Premissa 1Premissa 2Premissa 3...Premissa k) ⇒ Conclusão.
Vamos continuar usando a representação de identificar por um número cada
fórmula apresentada na argumentação, iniciando pelas premissas (hipóteses,
fórmulas inicias que supomos verdadeiras) e desenvolvendo a argumentação
identificando as linhas anteriores usadas para gerar a dedução verdadeira pelas
equivalências e consequências lógicas.
Assim, resumidamente teremos os seguintes passos presentes na argumentação
ou prova:
Iniciamos relacionando cada premissa em uma linha que recebe uma numeração, iniciando com o número 1 e seguindo em ordem crescente: 2, 3, 4, ... até a última premissa.
Cada formalização entre as premissas e a conclusão deve ser também numerada e acompanhada de uma justificativa da origem da sua dedução através das linhas anteriores e do nome da tautologia usada na dedução.
Essa organização descrita acima é denominada de prova direta ou condicional.
Apresentamos no exemplo abaixo uma sentença declarativa composta que
representa uma afirmação que provaremos por essa estratégia que se trata de
uma verdade.
81 Lógica de Predicados
Exemplo: Considere o seguinte texto, o qual deve ser comprovado através de
uma prova direta de que se trata de uma argumentação verdadeira.
Pedro estava no escritório ou havia ido para Santos, além disso, se ele estava
no escritório então os papéis foram assinados. Sabe-se que Pedro não foi para
Santos. Logo, os papéis foram assinados.
Iniciamos criando uma formalização para essa sentença composta, onde
consideremos a seguinte interpretação para os símbolos proposicionais:
E= Pedro estava no escritório.
S= Pedro foi para Santos.
A= Os papéis foram assinados.
Fórmula: (ES)( EA)S ⇒A
Assim, no exemplo 1 a partir da fórmula construída, podemos justificar a
verdade de que os papéis foram assinados, através da seguinte prova que está
parcialmente justificada. Onde a suposição inicial é de que as premissas são
verdadeiras. Isto é, que o antecedente (condição ou teste) da implicação
principal sendo verdadeira garante a verdade da tese.
Assim sendo, podemos desenvolver a argumentação dizendo que: (ES), ( EA)
e S são as premissas (hipóteses) e que A é a conclusão. O que será
representado por:
1. ( ES) (premissa 1)
2. (EA) (premissa 2)
3. S (premissa3)
4. (SE) (Aplicando na linha 1 a equivalência comutativa da disjunção ).
5. E (Aplicando nas linhas 3 e 4 a consequência lógica do silogismo
disjuntivo).
6. A (Aplicando nas fórmulas das linhas 5 e 2 a consequência lógica de
modus ponens).
Assim, a argumentação está comprovada, pois, a partir da verdade das
premissas (ES)(EA)S deduzimos por tautologias conhecidas a verdade da
tese A. Então também estamos garantindo que (ES)( EA)SA é uma
fórmula válida, ou seja uma tautologia. Pois toda vez que as premissas, isto é
o antecedente do condicional é verdadeiro, o consequente também é
verdadeiro. Podemos resgatar a confirmação dessa afirmação, também pela
construção da tabela verdade da fórmula:
82 Lógica de Predicados
(ES)(EA)S A
E S A (ES) (EA) S (ES)(EA) (ES)(EA)S (ES)(EA)S A
F F F F V V F F V
F F V F V V F F V
F V F V V F V F V
F V V V V F V F V
V F F V F V F F V
V F V V V V V V V
V V F V F F F F V
V V V V V F V F V
Neste caso temos a Tautologia da consequência, ou implicação, lógica, ou seja,
com todas a premissas verdadeiras sendo o antecedente, e a conclusão como o
consequente, do condicional temos como verdadeiro todas linhas da tabela
verdade.
Exemplo: Apresente uma argumentação que justifique a validade da fórmula
(DE)(AB)(BE)D⇒A .
Iniciamos a argumentação identificando que a conclusão é A, a partir das
premissas numeradas das linhas 1 a 4, abaixo, e a partir da linha 5 temos uma
possível argumentação. Também nesse e nos demais exemplos omitiremos na
justificativa a identificação do texto que fala sobre as linhas das premissas e
exibiremos somente os números das linhas usadas na dedução. Teremos que
uma argumentação possível é:
1. (DE) (premissa ou hipótese)
2. (AB) (premissa ou hipótese)
3. (BE) (premissa ou hipótese)
4. D(premissa ou hipótese)
5. (AE) ( 2, 3, silogismo hipotético)
6. E (4, 1, modus ponens)
7. A ( 6, 5, modus tollens)
Observe que nessa argumentação para justificar dedução da verdade da linha 4 em vez de justificar escrevendo:
83 Lógica de Predicados
5. (AE) (Aplicando a conjunção das linhas 2 e 3 a consequência lógica do
silogismo hipotético onde teremos que ((AB)(BE))(AE) e assim
deduzimos que (AE) é verdadeiro. Escrevemos somente o número das linhas
e o nome da consequência lógica usada para comprovar a argumentação. Assim
nos demais exemplos e exercícios passaremos a usar essa representação para
justificar as soluções.
Exemplo: Apresente uma argumentação que justifique a validade da fórmula P
(P R) (TR) (TC) ⇒C.
Temos 4 premissas ou hipóteses para obter a conclusão C, que pode ser
argumentado por:
1. P (premissa)
2. (P R) (premissa)
3. (TR) (premissa)
4. (TC) (premissa)
5. R (1, 2 , Modus ponens)
6. T(3, 5 , Modus tollens)
7. C( 6,4, silogismo disjuntivo )
Exemplo: Apresente uma argumentação que justifique a validade da fórmula P
(R P) (TR) ⇒ T
Temos 3 premissas ou hipóteses para obter a conclusão T, que pode ser
argumentado por:
1. P (premissa)
2. (R P) (premissa)
3. (TR) (premissa)
4. (T P) (2, 3, silogismo hipotético)
5. (P T) (4, contraposição)
6. (P T) (5, dupla negação)
7. T (1, 2, modus ponens)
Argumentação por Redução ao Absurdo (RAA)
Nesta estratégia de argumentação continuaremos trabalhando com uma
argumentação usando consequência lógica e equivalências na argumentação,
entretanto faremos a inclusão de uma premissa adicional, chamada de hipótese
de absurdo. Essa hipótese de absurdo é definida com a negação da conclusão.
Assim, a apresentação da argumentação terá uma dada sequência finita de
proposições chamadas de premissa 1, premissa 2, ..., premissa k, mais a
hipótese de absurdo, negação da conclusão. Representaremos por: P1, P2, ...
84 Lógica de Predicados
Pk e C, daí ao realizarmos a dedução surgirá na argumentação uma fórmula
contraditória, isto é, uma fórmula sempre falsa. A contradição mais comum é
através da introdução da conjunção formando uma dedução do tipo: (AA)
associada a alguma das premissas.
Com a dedução dessa contradição precisamos revisar os componentes usados na
argumentação. Como a única inclusão indevida é a fórmula da hipótese de
absurdo, ou a suposição de que a negação da conclusão verdadeira chegou a
conclusão que a dedução dessa falsidade é porque a hipótese de absurdo não
pode ser verdadeira. Bem, se a negação da conclusão não pode ser verdadeira,
então a única alternativa é ter valor-verdade falso.
Portanto, se a negação da conclusão tem valor-verdade falso então a conclusão
é verdadeira. Essa é a definição da interpretação do conetivo da negação.
Nos exemplos dessa estratégia de argumentação usaremos os mesmos exemplos
da prova direta usadas anteriormente neste capítulo. Assim, queremos reforças
que do ponto de vista de argumentação tanto a prova direta (condicional)
quanto a por redução ao absurdo são válidas. São estilos diferentes de organizar
as argumentações. Normalmente decidimos por uma ou outra estratégia pela
facilidade de identificação das tautologias durante a argumentação. Algumas
pessoas acham mais fácil trabalhar com a negação.
Exemplo: Apresente uma argumentação pela estratégica de Redução ao absurdo
(RAA) que justifique a validade da fórmula (DE)(AB)(BE)D⇒A .
Iniciamos a argumentação identificando que a conclusão é A, portanto a
hipótese de absurdo é a negação de A, que podemos representar por (A).
Após as premissas numeradas das linhas 1 a 4, incluímos a hipótese de absurdo.
Teremos que uma argumentação possível é:
1. (DE) (premissa ou hipótese)
2. (AB) (premissa ou hipótese)
3. (BE) (premissa ou hipótese)
4. D(premissa ou hipótese)
5. (A) ( hipótese de absurdo)
6. A ( 5, dupla negação)
7. (AE) (2, 3, silogismo hipotético)
8. E (6, 7, modus ponens)
9. E (4, 1, modus ponens)
10. (EE) (8, 9, introdução da conjunção) É uma contradição.
11. A (10, RAA).
85 Lógica de Predicados
Observe que nessa argumentação a penúltima afirmação é a fórmula deduzida
que é uma contradição, assim, na justificativa que encerra a argumentação é a
apresentação da conclusão identificando como justificativa a linha da
contradição e a estratégia de redução ao absurdo pela abreviatura RAA.
Exemplo: Apresente uma argumentação pela estratégia de redução ao absurdo
para justificar a validade da fórmula P(P R)(TR)(TC) ⇒C.
Temos 4 premissas ou hipóteses, mas a hipótese de absurdo para obter a
conclusão C, que pode ser argumentado por:
1. P (premissa)
2. (P R) (premissa)
3. (TR) (premissa)
4. (TC) (premissa)
5. C(hipótese de absurdo)
6. T (5, 4, silogismo disjuntivo)
7. R (6, 3, Modus ponens)
8. R (1,2, modus ponens)
9. RR (7,8, introdução da conjunção)
10. C ( 9, RAA).
É importante destacar que para uma argumentação por RAA estar correta deve-
se usar a hipótese de absurdo. Caso contrário, poderemos nunca chegar a uma
contradição e acabarmos por realizar uma prova direta. Também se no decorrer
da argumentação verificamos que não obteremos uma contradição, podemos
estudar uma atribuição de combinação de valores-verdade que mostrem que a
fórmula é falsa.
Recapitulando
Neste capítulo você foi apresentado alguns exemplos das estratégias de
apresentação de uma argumentação. Essas argumentações serão ferramentas
para o seu estudo ao longo do curso para justificar os teoremas matemáticos,
normalmente chamados de demonstração.
86 Lógica de Predicados
Referências bibliográficas do capítulo
ALENCAR FILHO, Edgard. Teoria Elementar dos Conjuntos. São Paulo: Nobel,
1971.
RENZ, S. P.; POFFAL, C. A. Fundamentos de Lógica Matemática. Porto Alegre:
La Salle, 2001
SCHEINERMAN, Edward R. Matemática Discreta: uma introdução. São Paulo:
Pioneira Thompson Learning, 2003.
87 Lógica de Predicados
Atividades
Complete a argumentação por substituição de equivalente indicando o
nome da equivalência usada para a fórmula ((PR)Q).
1. ((PR) Q) (fórmula inicial)
2. ( (PR) Q) (1, )
3. ( (PR) Q) (2, )
4. ( P(RQ)) (3, )
5. ( P (RQ)) (4, )
Complete a argumentação por substituição de equivalente a fórmula
equivalente pela tautologia indicada.
1. (PQ) (suposição inicial)
2. ____________________ (1, definição do bicondicional)
3. ____________________ (2, definição da implicação)
4. ____________________ (3, dupla negação)
5. ____________________ (4, comutativa)
Complete a argumentação direta apresentada abaixo que prova a
verdade da fórmula
(PQ)(Q(RS))(PT)(RS)(T(UP))U
1. P Q (premissa)
2. Q(RS) (premissa)
3. PT (premissa)
4. (RS ) (premissa)
5. T(UP) (premissa)
6. (1,2, silogismo hipotético)
7. (4,6, modus tollens)
8. (3,7, modus ponens)
9. (5,8, modus ponens)
10. (9,7, silogismo disjuntivo)
Complete a argumentação por redução por absurdo para justificar a
verdade da fórmula (AB)A(CB) ⇒C
1. (A B) (premissa ou hipótese ou suposição)
2. A (premissa ou hipótese ou suposição)
88 Lógica de Predicados
3. (CB) (premissa ou hipótese ou suposição)
4. ________ (hipótese de absurdo)
5. (4, dupla negação)
6. _____ (5,3, modus _______)
7. _____ (2,1, modus _______)
8. ___ __ (__ ,__ , introdução da conjunção)
9. ____ (8, RAA)
Desenvolva uma argumentação para provas que a fórmula (AB)(
BC) C ⇒ A é verdadeira.
Gabarito das atividades
Temos a seguinte solução para a atividade apresentada.
1. ((PR) Q) (fórmula inicial)
2. ( (PR) Q) (1,De Morgan)
3. ( (PR) Q) (2, Dupla Negação)
4. ( P(RQ)) (3, associativa para disjunção )
5. ( P (RQ)) (4, De Morgan )
Temos a seguinte solução para a atividade apresentada.
1. (PQ) (suposição inicial)
2. (PQ) (QP) (1, definição do bicondicional)
3. (PQ) (QP) (2, definição da implicação)
4. (PQ) (QP) (3, dupla negação)
5. (QP) (PQ) (4, comutativa)
89 Lógica de Predicados
Temos a seguinte solução para a atividade apresentada, podendo
apresentar algumas variações corretas.
1. P Q (premissa)
2. Q(RS) (premissa)
3. PT (premissa)
4. (RS ) (premissa)
5. T(UP) (premissa)
6. P(RS) (1,2, silogismo hipotético)
7. P (4,6, modus tollens)
8. T (3,7, modus ponens)
9. (UP) (5,8, modus ponens)
10. U (9,7, silogismo disjuntivo)
Temos a seguinte solução para a atividade apresentada.
1. (A B) (premissa ou hipótese ou suposição)
2. A (premissa ou hipótese ou suposição)
3. (CB) (premissa ou hipótese ou suposição)
4. C (hipótese de absurdo)
5. C (4, dupla negação)
6. B (5,3, modus ponens)
7. B (2,1, modus ponens)
8. B B (6,7 , introdução da conjunção)
9. C (8, RAA)
Observe que a dedução apresentada abaixo é uma sugestão, você pode
desenvolver outras sequências de argumentação que também é correta.
1. (AB) (premissa ou suposição)
2. ( BC) (premissa ou suposição)
3. C (premissa ou suposição)
4. (BC) (2, definição da implicação)
5. (AC) (1,4, silogismo hipotético)
6. A (3 , 5, modus tollens)
7. A (6, dupla negação).
90 Lógica de Predicados
Conceitos fundamentais de Conjunto
Agostinho Iaqchan Ryokiti Homa8
8 Bacharel em Matemática Aplicada a Informática e Mestre em Ensino de Ciências e Matemática pela
Universidade Luterana do Brasil. Professor dos Cursos de Ciência da Computação, Engenharias e
Licenciatura em Matemática da ULBRA.
91 Lógica de Predicados
Introdução
Aqui aproveitaremos para apresentar uma noção primitiva importante para a
matemática. A noção intuitiva de conjunto, que entenderemos como toda
coleção bem definida de objetos. A ideia de conjuntos e elementos e a
compreensão das relações de pertinência, entre conjunto e elemento, e a de
inclusão, entre conjuntos, permitirá a interpretação das situações e a
transformação da linguagem natural em formal, e vice-versa.
Conjuntos
Evitaremos a redefinição de conjuntos apresentando algumas definições
fornecidas por matemáticos importantes na história, retirado de ALENCAR
(1971).
Segundo BOURBAKI: “Um conjunto é formado de elementos suscetíveis de
possuírem certas propriedades e terem entre si, ou com elementos de outros
conjuntos, certas relações.”
Para CANTOR: “Chama-se conjunto o grupamento em um todo de objetos, bem
definidos e discernívies, de nossa percepção ou de nosso entendimento,
chamados os elementos do conjunto.”
Exemplos:
Conjunto dos livros da biblioteca.
Conjunto das letras da palavra FELICIDADE.
Conjunto das vogais.
Conjunto dos algarismos do número 1978.
Notação:
A notação para representar um conjunto de elementos segue um padrão. Um
conjunto é identificado por uma letra latina maiúscula: A, B, C, ...
Os objetos que formam um conjunto são denominados como elementos e, caso
caso não sejam conhecidos, é usual representá-los pelas letras minúsculas do
alfabeto latino.
Um conjunto pode ser representado de duas maneiras, por compreensão ou por
extensão. Por comrpreensão apresenta-se a característica comum aos
elementos que pertencem ao conjunto, na representação por extensão os
elementos são listados entre chaves.
92 Lógica de Predicados
Exemplo: O conjunto das estações do ano pode ser representado por
compreensão como:
A={ estações do ano }
ou por extensão como:
A={verão, outono, inverno, primavera}
Ressalta-se que a representação por compreensão é particularmente mais
conveniente quando tem-se muitos elementos, de maneira que a descrição de
uma característica comum é mais eficiente e econômica de representação.
Exemplo: O conjunto dos números inteiros entre -100 e 1000. Neste caso a
representação por extensão é particularmente trabalhosa, mas não impossível,
mas por compreensão pode-se representar o conjunto da seguinte maneira:
𝐵 = {𝑥 ∈ ℤ| − 100 < 𝑥 < 1000}
Para conjuntos com uma quantidade pequena de elementos e sem uma
característica bem particular que possa distinguir seus elementos de outros.
Exemplo: O conjunto das letras da palavra ABACAXI, pode ser representado por:
P={A, B, C, I, X}
Observe que nessa noção intuitiva, os elementos não se repetem caso eles
apareçam mais de uma vez. Também é relevante dizer que os elementos não
tem ordem de sequencia assim também é o mesmo conjunto se escrevermos:
P={ C, I, B, A, X } ou outra ordem qualquer de distribuição dos elementos que
sempre são separados por vírgula e entre chaves.
Para um conjunto A sem nenhum elemento, denomina-se A como sendo o
conjunto Vazio.
Notação:
A={ } ou A=∅
O conjunto que possui somente um elemento é chamado de conjunto unitário.
93 Lógica de Predicados
Relação de Pertinência
A relação entre os elementos e os conjuntos é uma relação de pertinência, isto
é, um elemento pertence, ou não , a um determinado conjunto. A notação para
pertence é ∈, e não pertence é ∉.
Exemplo:
Para P={ A, B, C, I, X }
temos que A ∈ P, O ∉ P.
Para B = {x ∈ ℤ| − 100 < x < 1000}
temos que 99 ∈ B, 1013 ∉ B
Subconjunto
Por definição se e somente se todo e qualquer elemento do conjunto A
pertence ao conjunto B, então A é subconjunto de B, ou seja, denomina-se
como subconjunto o conjunto formado pelo elementos de outro conjunto.
Deste modo temos as seguintes situações particulares:
Para A=B, A é subconjunto de B e B é subconjunto de A
Para A={ } e B um conjunto não vazio, A é subconjunto de B, ou seja, o conjunto vazio é subconjunto de todo e qualquer conjunto, inclusive dele mesmo.
Para A e B conjuntos não vazios, A é subconjunto próprio de B se e somente
se todo e qualquer elemento de A está em B mas existe pelo menos um
elemento de B que não pertence a A
Conjunto Universo
Para a definição inicial dada de que um conjunto é uma coleção de elementos,
podendo ter esses uma caracteristica em comum, que permite a representação
por compreeensão, ou não, e neste caso somente a preserentação por extensão
é possível.
Deste modo, se pensarmos em quais são posssíveis elementos que podem
compor um conjunto, deparamos com a ideia de um conjunto maior que todos,
e este conjunto tem todos os possíveis elementos que podem fazer parte do
conjunto a ser definido.
94 Lógica de Predicados
Chama-se de conjunto universo ou universo de discurso, aquele conjunto que
define o contexto dos objetos que estamos trabalhando, trata-se o conjunto a
ser usado como referência.
Notação: Conjunto Universo: U ou S
Podemos utilizar o exemplo anterior para exemplificar o que denominamos
como conjunto Universo. Para B = {x ∈ ℤ| − 100 < x < 1000} temos como
elementos os números inteiros que atendem os requisitos simultânos de serem
maiores que 100 e menores que 1000. Neste caso selecionamos alguns números
que pertencem ao conjunto dos Inteiros, logo o cojunto Universo é o conjunto
dos números Inteiros. Deste modo o conjunto B é subconjunto do conjunto
Universo.
Relação de Pertinência
A relação entre os conjuntos é uma relação de inclusão, isto é, um conjunto A
está incluso, ou faz parte, de B se A é subconjunto de B. Usualmente para
expressarmos a relação de inclusão dizemos que B contém A ou A está contido
em B quando A é subconjunto de B.
Notação:
Para A subconjunto de B, temos que:
A ⊂ B leia-se A está contido em B
B ⊃A leia-se B contém A
Análogamente
B ⊄ A leia-se B não está contido em A
A ⊅ B leia-se A não contém B
Os simbolos ⊆ e ⊇ são respectivamente “está contido e igual a” , “contém e
igual a”, e são usados para expressar a relação de inclusão nas situações nas
quais dois conjuntos são compostos pelos mesmos elementos.
Para A, B e U conjuntos não vazio, temos as situações particulares:
A ⊆ U, o conjunto A está contido e igual o conjunto Universo
{ } ⊂ A, o conjunto vazio está contido em A
A ⊂ B ⇔ A ⊆ B e A ≠ B , logo A é um subconjunto próprio de B
95 Lógica de Predicados
Diagrama de Venn
Além da notação por compreensão e extensão é possível representar de maneira
gráfica um conjunto e seus elementos. Esse tipo de representação é
denominado de diagrama de Venn. Nele o conjunto é representado por uma
região limitada por uma curva fechada. Em geral, utiliza-se de curvas na forma
de círculos ou elípses que são dispostos dentro de um retângulo maior que está
associado ao conjunto universo, podendo este estar representado ou não,
dependendo do contexto e do objetivo da representação.
Destaca-se que:
O tamanho do diagrama não está relacionado com o número de elementos do conjunto (no caso finito) ou cardinalidade (no caso infinito);
Quando um mesmo elemento pertencer a mais de um conjunto os diagramas devem se sobrepor parcialmente, delimitando uma parte em comum;
Quando todo elemento de um pertencer ao outro, isto é, o primeiro será um subconjunto do outro, os círculos ficam superpostos.
U={letras do alfabeto}
A={vogais do alfabeto}
B={m, n}
C={m, n, s, d, g, b, w, c, v ,p}
D={c, w, p, v, h , j, q, l, r}
Figura 1 – Diagrama de Venn Fonte - Autor
96 Lógica de Predicados
Para o exemplo da figura 1 algumas relações de pertinência e inclusão são:
A⊂U, B⊂U, C⊂U, D⊂U, E⊂U
U⊃A, U⊃B, U⊃C, U⊃D, U⊃E
B⊂C, C⊃B, C⊄D
x∈C ∧ x∈D
{xcvp} ⊂ C ∧ {xcvp} ⊂ D
z∈U ∧ z∉A
a∈A , ou seja o elemento a pertence ao conjunto A
{a} ⊂ A , ou seja, o subconjunto unitário com o elemento a, está contido em A
Operações com conjuntos
Dado um conjunto S, podemos definir algumas operações unárias ou binárias a
partir de um conjunto (S). S neste caso é chamado de conjunto universo ou
universo de discurso, o qual define o contexto dos objetos em questão. Se S=N,
todos os conjuntos, que são subconjuntos de S, conterão apenas números
Naturais.
Uma operação binária em (S) precisa atuar em quaisquer dois subconjuntos
de S para produzir um único outro subconjunto de S.
Definição 1: Seja A e B (S). A união de A e B, denotada por A U B, é { x|xA
ou xB}.
Definição 2: Seja A e B (S). A interseção de A e B, denotada por A∩B, é {
x|xA e xB}.
Definição 3: Seja A (S). O complemento do conjunto A em relação ao
conjunto S , denotada por A’ ou CS A ou CS(A) , é { x|xS e xA}.
Definição 4: Seja A e B (S). A diferença entre A e B, denotada por A-B = {
x|xA e xB}. Que pode ser escrita como A-B = { x|xA e xB’}. Ou ainda,
pode-se entender A-B como sendo o complementar de B em relação a A e
escreve-se:
A-B = CAB = A∩B’
97 Lógica de Predicados
Observação: Sendo A e B dois conjuntos disjuntos então A∩B = ∅, neste caso
estes conjuntos são ditos disjuntos. Portanto A-B e B-A, por exemplo são
conjuntos disjuntos.
Eemplo: Sejam A={1, 2, 3, 8} e B={2, 7, 8, 9} subconjuntos de
S={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.
AUB = {1, 2, 3, 7, 8, 9}
A-B = {1, 3}
A∩B = {2, 8}
AUB’ = {1, 2, 3, 8} U {1, 3, 4, 5, 6, 10} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10}
Princípio de Inclusão e Exclusão
No caso de conjuntos finitos é possível identificar a quantidade de elementos.
O número de elementos de um conjunto é denominado de cardinalidade do
conjunto. Utiliza-se a notação #(A) ou n(A) para denotar a cardinalidade de A.
Sejam A e B conjuntos finitos disjuntos, ou seja, A∩B = ∅, em um universo U.
Então #AUB = #A + #B .
Sejam A e B conjuntos não disjuntos finitos em um universo U.
(AUB) = (A U (B-A)), logo
#(AUB) = #(A U (B-A)) para A e (B-A) disjuntos temos
#(AUB) = #A + #(B-A)
considerando que #B = #(B-A) + #(A∩B) ⇒ #(B–A) = #B - #(A∩B) temos então
#(AUB) = #A + #B - #(A∩B) que denominamos como Princípio de Inclusão e
Exclusão.
98 Lógica de Predicados
Sejam A, B e C conjuntos finitos não disjuntos dois a dois em um universo U
pelo Princípio da Inclusão e Exclusão, temos que
#(AUBUC) = #A + #B +#C - #(A∩B) - #(A∩C) - #(B∩C) + #(A∩B∩C)
Observando o diagrama de Venn identificamos que:
A = {1, 2,3,9,5,10} tem 6 elementos
B = {2,4,6,9,7 } tem 5 elementos.
C = {5, 10, 9, 6, 8} tem 5 elementos.
(A∩B) = {2, 9}
(A∩C) = {5, 9, 10}
(B∩C) = {6, 9}
(A∩B∩C) = {1}
#(AUBUC) = #A + #B +#C - #(A∩B) - #(A∩C) - #(B∩C) + #(A∩B∩C)
Logo #(AUBUC) = 6 + 5 + 5 – 2 – 3 -2 + 1 = 10
Observando a figura do diagrama de Venn identificamos que:
A={ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10} tem 10 elementos
99 Lógica de Predicados
B={1,2,4,5,6,7,9 } tem 7 elementos.
C= {5, 10, 9, 6} tem 4 elementos.
#(AUBUC) = #A + #B +#C - #(A∩B) - #(A∩C) - #(B∩C) + #(A∩B∩C)
#(AUBUC) = 10 + 7 + 4 – 7 – 4 - 3 + 3 = 10
Conjuntos Numéricos Fundamentais
No desenvolvimento da Matemática os conjuntos númericos foram
desenvolvidos de acordo com as necessidades matemáticas para formalização
do pensamento matemático.
O primeiro conjunto numérico surge intuitivamente da necessidade de
contagem e ordenação. Alguns apresentam os números naturais como sendo
números inteiros não negativos, mas tal definição é insipiente visto que a
definição do conjunto dos números Inteiros é baseada na definição dos números
Naturais, e apresentado como sendo o conjunto formado pelo números naturais
e seus simétricos negativos.
Não apresentaremos as definições formais dos conjuntos númericos, pois o
objetivo é a compreensão dos conceitos fundamentais de conjuntos e dos
conjuntos numéricos.
A seguir apresentamos os conjuntos numéricos e suas relações de inclusão, para
melhor compreensão d
Conjunto dos números Naturais: ℕ = {1,2,3,4,5, . . . }
100 Lógica de Predicados
Conjunto dos números Inteiros: ℤ = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . . }, conjunto
formado pelo números naturais e seus simétricos negativos.
Conjunto dos números Racionais: ℚ = {𝑎
𝑏 |𝑎 ∧ 𝑏 ℤ ∧ 𝑏 ≠ 0 }, lê-se que o
conjunto dos Racionais é formado pelos números na forma 𝑎
𝑏, tal que 𝑎
e 𝑏 pertencem ao conjunto dos números inteiros e 𝑏 é diferente de zero.
Observa-se que todo número que não pode ser escrito na forma de uma razão
de dois números inteiros, é denominado como sendo um número irracional.
Conjunto dos números Reais: ℝ é formado pelos números racionais e os
os números irracionais.
Entendendo que cada um dos conjuntos apresentados têm uma relacão de
inclusão, temos que ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ
Recapitulando
Neste capítulo foi apresentado a noção de conjunto e as relações de pertinência
e inclusão que, sendo sentenças declarativas, são importantes para os estudos
desenvolvidos nos próximos capítulos
que serão usadas como exemplos para nosso estudo da lógica proposicional.
101 Lógica de Predicados
Referências bibliográficas do capítulo
ALENCAR FILHO, Edgard. Teoria Elementar dos Conjuntos. São Paulo: Nobel,
1971.
SCHEINERMAN, Edward R. Matemática Discreta: uma introdução. São Paulo:
Pioneira Thompson Learning, 2003.
102 Lógica de Predicados
Atividade
Considere o conjunto universo S={xN tal que 0x9} onde escolhemos
os subconjuntos A={3, 4, 5,6} e B={ 4, 5, 7,8}, C={ 0, 1,3,5, 7},
determinar o conjunto resultante das operações abaixo:
(AB) =
(AB) =
(AC) =
(AC) =
(BA) =
(BC) =
(CB) =
(CB) (BA) =
(CB) (BA) =
(CB) (BA) =
(A-B) =
(B-A) =
(A-C) =
(C-B) =
Num grupo de 30 crianças, 16 tocam violão e 20 estudam canto.
Quantas crianças só tocam violão?
Quantas crianças só estudam canto?
Quantas crianças tocam violão e estudam canto?
Sabe-se que em uma escola 56 alunos lêem o jornal A, 21 lêem os jornais
A e B, 106 lêem apenas um dos jornais e 66 não lêem o jornal B. Sendo
assim,
Qual é o total de alunos da escola?
Quantos alunos lêem o jornal B?
Quantos alunos lêem apenas o jornal A?
Quantos alunos não lêem nem o jornal A nem o jornal B?
Em uma pesquisa sobre hábitos alimentares, realizada com empregados
de um Tribunal Regional, verificou-se que todos se alimentam ao menos
uma vez ao dia, e que os únicos momentos de alimentação são: manhã,
almoço e jantar. Alguns dados tabelados dessa pesquisa são:
- 5 se alimentam apenas pela manhã; - 28 se alimentam pela manhã e no jantar;
- 12 se alimentam apenas no jantar; - 26 se alimentam no almoço e no jantar;
103 Lógica de Predicados
- 53 se alimentam no almoço; - 18 se alimentam pela manhã, no almoço e
no jantar;
- 30 se alimentam pela manhã e pelo
almoço;
Dos funcionários pesquisados, o número daqueles que se alimentam
apenas no almoço é o triplo dos que se alimentam apenas pela manhã?
Quantos funcionários foram entrevistados na pesquisa?
Quantos se alimentam pela manhã?
Quantos se alimentam no jantar?
Uma população utiliza três marcas diferentes de sabonete: A, B e C. Feita
uma pesquisa de mercado colheram-se os resultados na tabela abaixo:
Marcas A B C A e B B e C A e C A, B e C
Nro de
consumidores 21 17 15 4 6 7 3
O número dos consumidores que só utilizam a marca B é o dobro dos
que só utilizam a marca C?
Quantos consumidores só utilizam a marca A?
Qual o total de consumidores entrevistados?
104 Lógica de Predicados
Gabarito da Atividades
Considere o conjunto universo S={xN tal que 0x9} onde escolhemos
os subconjuntos A={3,4,5,6} e B={ 4,5,7,8}, C={ 0,1,3,5,7}, determinar o
conjunto resultante das operações abaixo:
(AB) = {4,5}
(AB) = {3,4,5,6,7,8}
(AC) = {0,1,3,4,5,6,7}
(AC) = {3,5}
(BA) = {4,5}
(BC) = {5,7}
(CB) = {5,7}
(CB) (BA) = {4,5,7}
(CB) (BA) = {3,4,5,7,8}
(CB) (BA) = {5}
(A-B) = {3,6}
(B-A) = {7,8}
(A-C) = {4,6}
(C-B) = {0,1,3}
Num grupo de 30 crianças, 16 tocam violão e 20 estudam canto.
Quantas crianças só tocam violão? 10
Quantas crianças só estudam canto? 14
Quantas crianças tocam violão e estudam canto? 6
Sabe-se que em uma escola 56 alunos lêem o jornal A, 21 lêem os jornais
A e B, 106 lêem apenas um dos jornais e 66 não lêem o jornal B. Sendo
assim,
Qual é o total de alunos da escola? 158
Quantos alunos lêem o jornal B? 92
Quantos alunos lêem apenas o jornal A? 35
Quantos alunos não lêem nem o jornal A nem o jornal B? 31
Em uma pesquisa sobre hábitos alimentares, realizada com empregados
de um Tribunal Regional, verificou-se que todos se alimentam ao menos
uma vez ao dia, e que os únicos momentos de alimentação são: manhã,
almoço e jantar. Alguns dados tabelados dessa pesquisa são:
- 5 se alimentam apenas pela manhã; - 28 se alimentam pela manhã e no jantar;
- 12 se alimentam apenas no jantar; - 26 se alimentam no almoço e no jantar;
105 Lógica de Predicados
- 53 se alimentam no almoço; - 18 se alimentam pela manhã, no almoço e
no jantar;
- 30 se alimentam pela manhã e pelo
almoço;
Dos funcionários pesquisados, o número daqueles que se alimentam
apenas no almoço é o triplo dos que se alimentam apenas pela manhã?
Sim
Quantos funcionários foram entrevistados na pesquisa? 80
Quantos se alimentam pela manhã? 45
Quantos se alimentam no jantar? 48
Uma população utiliza três marcas diferentes de sabonete: A, B e C. Feita
uma pesquisa de mercado colheram-se os resultados na tabela abaixo:
Marcas A B C A e B B e C A e C A, B e C
Nro de
consumidores 21 17 15 4 6 7 3
O número dos consumidores que só utilizam a marca B é o dobro dos
que só utilizam a marca C? sim
Quantos consumidores só utilizam a marca A? 13
Qual o total de consumidores entrevistados? 39
106 Lógica de Predicados
Quantificadores: Existencial e Universal
Magda Leyser9
9 Mestre em Ciência da Computação pela Universidade Federal do Rio Grande do Sul. Desde 1993 é
professora dos Cursos de Ciência da Computação, Engenharias e Licenciatura em Matemática da ULBRA.
Atualmente também atua como professora do curso de Licenciatura em Matemática em EAD da ULBRA
e como professora dos cursos de Análise e Desenvolvimento de Sistemas e Gestão Financeira da Faculdade
Senac Porto Alegre -RS.
107 Lógica de Predicados
Introdução
Estudaremos neste capítulo a inclusão de sentenças declarativas abertas,
aquelas em que o sujeito é indeterminado. Para tanto identificaremos a
necessidade de ampliarmos a representação do nosso alfabeto. Incluiremos um
novo tipo de símbolo chamado de quantificador. Verificaremos que existem dois
tipos de quantificadores: existencial e universal. Também para diferenciar as
sentenças fechadas das sentenças abertas chamaremos o sujeito próprio com
uma representação específica, tornando-se aparente na formalização.
Na lógica proposicional, foram estudadas aquelas relações lógicas que
dependiam de como algumas sentenças eram compostas a partir de outras
sentenças através do uso operações de combinações das mesmas, (expressas
pelos conectivos lógicos , , , , ), nas quais cada uma das sentenças era
analisada como um todo. Estávamos limitados ao uso de sentenças declarativas
fechadas, isto é onde o sujeito da oração deve ser determinado (próprio).
Para começarmos a diferenciar a lógica de predicados, em relação a lógica
proposicional podemos apontar as seguintes características, as quais serão
aprofundadas durante este capítulo.
Primeira característica considera que as sentenças da lógica proposicional
continuarão válidas na lógica de predicados, no entanto teremos a possibilidade
de expressar nossas ideias através de sentenças abertas, isto é poderemos fazer
generalizações a partir de sentenças com sujeito indeterminado, para tanto
aparecem dois novos símbolos lógicos chamados de quantificadores:
Quantificador existencial: cujo símbolo é e serve para representar a ideia de existência;
Quantificador universal: cujo símbolo é e serve para representar a ideia de todo ou qualquer.
Exemplo: Assinale as sentenças declarativas abertas, onde temos a presença de
quantificadores.
( ) Dois é número natural.
(x) Algum número natural é par.
(x) Todos os números inteiros são positivos.
(x) Nego que alguém é gremista.
(x) Nem todos são colorados.
(x) Se Maria é gaúcha então todos são gaúchos.
(x) Ninguém gosta de futebol.
( ) Paulo não é gremista.
( ) Maria é gaúcha e gremista.
108 Lógica de Predicados
Como temos a possibilidade de expressar as afirmações através de sentenças
abertas e sentenças fechadas, precisamos melhorar as características dos
símbolos usados para representar as sentenças, e uma das principais questões
é identificar o tipo de sujeito da oração e para tanto diferenciá-lo do verbo e
complemento da oração.
Assim na sentença: 2 é par teremos um símbolo para o sujeito da oração, no caso, o número 2 e um símbolo para o verbo+ predicado, no caso ____ é par
Por exemplo, a=2 e P(__)= ___ é par e portanto a sentença 2 é par será
representada por P(a).
No caso da sentença 2 é par e primo, temos para o mesmo sujeito determinado
dois predicados (qualidades) se optarmos por representar R(___) =___ é primo
então a sentença 2 é par e primo será representada por P(a)R(a), observe que
os conectivos continuam com as mesmas funções da lógica proposicional.
Os sujeitos determinados serão chamados de constantes, e constituirão um
conjunto chamado de domínio ou universo de discurso. Observe também que no
caso de predicados que relacionam dois ou mais elementos do domínio
(constantes) precisaremos adaptar o símbolo de predicado, por exemplo na
sentença : 2 é maior que 3 poderá ser representada por: M(a,b) onde:
M( __, ___) = ___ é maior que ____
a=2 e b=3
Os símbolos de predicados sempre estarão associados a uma aridade, isto é
número de constantes necessárias para definir o predicado, assim:
O predicado ___ é par = P( _ ) tem aridade 1 ou chamado de predicado unário
O predicado ___ é maior que ___ = M( _ , _ ) tem aridade 2 ou chamado de
predicado binário pois relaciona dois elementos de um conjunto.
A terceira característica está associada a representação das sentenças abertas,
pois como as sentenças declarativas podem ter sujeito indeterminado,
necessitaremos de um novo símbolo chamado de variável, para generalizar a
posição do sujeito indeterminado. Normalmente as variáveis são identificadas
por: x, y, z, u. Servem para junto com os quantificadores representar as
sentenças abertas. Por uma questão de notação, as variáveis associadas a um
quantificador aparecem do lado direito do quantificador, e para determinar o
predicado associado ao quantificador usamos parêntese ou na ausência deste
109 Lógica de Predicados
fica estabelecido que o quantificador e sua respectiva variável esteja associada
somente ao primeiro predicado a sua direita. A fórmula associada ao
quantificador é chamada de escopo do quantificador.
Assim:
Existe um número natural par será representado por (x) P(x)
Todos os números naturais são primos será representado por (x) R(x)
Pelo menos um número natural é par e primo será representado por (x)
(P(x)R(x))
Ou seja, no alfabeto serão incluídos os seguintes símbolos com os significados
associados:
Quantificador Existencial Quantificador Universal
Exemplo Alguém é professor. Todos são professores.
Símbolo
Significado Existe, pelo menos um, algum Qualquer, todos, qualquer que
seja
Considerando estas características observamos que estamos ampliando as
características de uma argumentação, pois estamos analisando a estrutura da
sentença (que em gramática se chama estrutura sujeito-predicado), assim,
temos definido uma ampliação da lógica proposicional. Essa característica de
permitir raciocínio com sentenças abertas ou fechadas define o que se chama
de Lógica de Predicados ou de 1ª ordem.
110 Lógica de Predicados
De maneira resumida podemos apresentar as características que diferenciam a
lógica proposicional da lógica de predicados da seguinte forma:
Lógica Proposicional Lógica de Predicados
Sentenças Fechadas
Mário é professor. Mário é professor. Sujeito da oração é próprio
(determinado)
Sentenças Abertas
Alguém é professor.
Todos são professores. Sujeito da oração é
indeterminado
Alfabeto da Lógica de Predicados
Linguagens de 1a ordem nos permitem exprimir sentenças genéricas, tais como:
para todo x, -1sen(x)1
para todo x, existe y tal que x é o gerente de y
para todo x, y, z, se x é ancestral de y e, y é ancestral de z então x
é ancestral de z
Um alfabeto de 1a Ordem A consiste de:
símbolos lógicos:
pontuação (separação): [,],(,)
conectivos: , , , ,
quantificadores:
(para todo, quantificador universal): é usado para representar a
expressão ”para todo indivíduo”
(existe, para algum, quantificador existencial): é usado para
representar a expressão ”existe ao menos um indivíduo”
variáveis: um conjunto de símbolos diferentes dos demais, que servem para
identificar qualquer elemento do domínio, ou qualquer indivíduo do universo;
utilizaremos as letras: x, u, v, z ( minúsculas), ou x1,x2, x3, ...,xk.
símbolos não lógicos:
Um conjunto possivelmente vazio, de constantes, serve para
identificar um elemento específico do domínio, ou servem para dar
111 Lógica de Predicados
nomes aos indivíduos do universo ou domínio; utilizaremos as letras:
a, b, c, d, ...( minúsculas).
Um conjunto de símbolos predicativos (de predicados) n-ário (n>0),
que servem para identificar as qualidades ou predicados entre os
elementos do domínio, ou propriedades ou relações entre os
indivíduos. Exemplo: P(x,y)=x ama y. Utilizaremos letras maiúsculas
do alfabeto, como P, Q, R, O, ou palavras que identifiquem o
predicado descrito.
Os demais símbolos têm os mesmos papéis a eles atribuídos na lógica
proposicional.
Exemplo: Considere o Dom={1, 2, 3, 4, 5} e os seguintes símbolos de predicados
e constantes (interpretação):
Predicados unários Predicados binários constantes
P( )= __ é par
Q( )= __é ímpar
R( _ ,_ )= __ é maior que __
I( _, _ ) = _ é igual a _
a= 2
b=3
Base de conhecimento é listagem (apresentação) das situações verdadeiras para
os predicados (propriedades).
Predicados unários Predicados binários
P(2)
P(4)
Q(1)
Q(3)
Q(5)
R(2,1)
R(3,1)
R(3,2)
R(4,1)
R(4,2)
R(4,3)
R(5,1)
R(5,2)
R(5,3)
R(5,4)
I(1,1)
I(2,2)
I(3,3)
I(4,4)
I(5,5)
112 Lógica de Predicados
Considerando P(x): x é par, Q(x):x é impar, a=2, b=3.
Determine o significado em português para as seguintes fórmulas.
P(a) P(b)
2 é par e 3 é par
2 e 3 são pares.
P(a) Q(b)
2 é par ou 3 é impar.
(x) P(x)
Existe um número que é par.
Alguns números são pares.
(x) (P(x) Q(x))
Existe número que é par e impar.
Existe um mesmo número que é par e ímpar.
(x) (P(x))(x) Q(x)
Existe número par e existe número ímpar.
(x)I(x,a)
Existe número igual a 2.
(x) (P(x)Q(x))
Existe número que é par e não é ímpar.
Existe número que é par mas não é ímpar.
Algum número é par e não é ímpar.
(x)(P(x))
Qualquer número do domínio é par.
Todos os números do universo são pares.
(x) (P(x))
Todos os números do domínio não são pares.
Todos os números do domínio são ímpares.
(x) (R(x,a) Q(x))
113 Lógica de Predicados
Existe número maior que 2 e é ímpar.
Existe número ímpar maior que 2.
Existe número ímpar e esse número é maior que 2.
Interpretação dos quantificadores
Considere a sentença “______é bonita”. Esta sentença não é uma proposição,
pois como não sabemos a quem a vaga se refere, não é possível atribuir-lhe um
valor lógico (V ou F).
Dizemos que a sentença como a acima é uma sentença aberta.
Uma sentença aberta (“______é bonita”) torna-se uma proposição quando
substituímos a vaga por um nome (“Maria é bonita”).
Para isso, devemos considerar um universo de discurso ou universo U ou universo
de interpretação que é o conjunto cujos elementos podem ser utilizados em
uma proposição aberta para obtermos uma proposição.
Numa sentença aberta, a vaga pode ser substituída por uma letra
representativa de um elemento qualquer do universo, que denominamos de
variável.
Exemplo: “x é bonita.”
Dependendo do valor atribuído a x, uma sentença aberta pode se tornar uma
proposição verdadeira ou falsa.
Uma interpretação de uma expressão (fórmula) envolvendo predicados
consiste:
de um conjunto de objetos chamado de domínio da interpretação (universo
de discurso), contendo pelo menos um objeto ( Dom{ });
da atribuição de uma propriedade dos objetos para cada predicado da expressão;
da atribuição de um objeto particular no domínio a cada símbolo constante da expressão.
Chamaremos de conjunto verdade de uma sentença aberta P(X) em um
conjunto A, o conjunto de todos os elementos de Dom, abreviação para
Domínio, tais que P(a) é uma proposição verdadeira. Representaremos o
conjunto verdade de P por Vp, assim:
Vp={ x Dom onde P(x) é verdadeira}
114 Lógica de Predicados
Exemplo:Considere como domínio o conjunto A= {3,4,5,6,7,8} determine o
conjunto verdade, Vp para:
P(x) representa x>5
Vp={ x tal que x Dom e P(x) é verdadeira} = {6,7,8}
Vp={ x {3,4,5,6,7,8} e x>5 é verdadeiro} = {6,7,8}
P(x) representa x+1=7
Vp={ x tal que x Dom e P(x) é verdadeira} = {6}
Vp={ x {3,4,5,6,7,8} e x+1=7 é verdadeiro} = {6}
P(x) representa x-2<5
Vp={ x tal que x Dom e P(x) é verdadeira} = {3,4,5,6}
Vp={ x {3,4,5,6,7,8} e x-2<5 é verdadeiro} = {3,4,5,6}
P(x) representa x é par
Vp={ x tal que x Dom e P(x) é verdadeira} = {4, 6, 8}
Vp={ x {3,4,5,6,7,8} e x é par é verdadeiro} = {4, 6, 8}
P(x) representa x >8
Vp={ x tal que x Dom e P(x) é verdadeira} = ∅
Vp={ x {3,4,5,6,7,8} e x>8 é verdadeiro} = { } = ∅
P(x) representa (x é par x>5)
Vp={ x tal que xDom e P(x) é verdadeira} = {6, 8}
Vp={ x {3,4,5,6,7,8} e (x é par x>5) é verdadeiro} = {6, 8}
Dos exemplos acima de sentenças abertas de uma variável, temos 3 casos:
P(x) é verdadeira para todos os elementos de A (domínio), isto é o conjunto
verdade, Vp coincide com o universo, podemos afirmar que P(x) exprime uma
condição universal no conjunto A.
P(x) é verdadeira para alguns elementos de A (domínio), isto é o conjunto
verdade, Vp é um subconjunto próprio do universo, Vp A, podemos afirmar
que P(x) exprime uma condição possível no conjunto A.
P(x) não é verdadeira para elementos de A (domínio), isto é o conjunto
verdade, Vp é um conjunto vazio, Vp = { } = ∅, podemos afirmar que P(x)
exprime uma condição impossível no conjunto A.
115 Lógica de Predicados
Quantificador Universal
Seja P(x) uma sentença aberta em um conjunto não vazio A e Vp seu conjunto
verdade, isto é:
Vp={ x talque x A e P(x) é verdadeira}
Quando Vp=A, isto é todos os elementos do conjunto A satisfazem a sentença
aberta P(x), podemos dizer:
Para todo elemento x de A, P(x) é verdade.
Qualquer elemento x de A, P(x) é verdade.
Esse tipo de afirmação será representado através de um novo símbolo lógico
chamado de quantificador universal, representado por: e as sentenças acima
podem ser representadas através das fórmulas:
((xA) P(x))
(x) P(x)
x, P(x)
Quantificador Existencial
Seja P(x) uma sentença aberta em um conjunto não vazio A e Vp seu conjunto
verdade, isto é:
Vp={ x talque x A e P(x) é verdadeira}
Quando Vp { } ou , isto é o conjunto verdade tem pelo menos um elemento
do conjunto A que satisfaz a sentença aberta P(x), podemos dizer:
Algum elemento x de A, P(x) é verdade.
Pelo menos um elemento x de A, P(x) é verdade.
Existe um elemento x de A, P(x) é verdade.
Esse tipo de afirmação será representado através de um novo símbolo lógico
chamado de quantificador universal, representado por: e as sentenças acima
podem ser representadas através das fórmulas:
((xA) P(x))
(x) P(x)
x, P(x)
Assim podemos generalizar a interpretação dos quantificadores da seguinte
forma:
116 Lógica de Predicados
(x)P(x)
Verdadeiro se Vp=Domínio, isto é a propriedade P é Verdadeira
para todo e qualquer valor possível x do Domínio (xDom)
Falso caso contrário, VpDomínio isto é, a propriedade P é falsa
para pelo menos um único valor possível do Domínio (xDom)
(x)P(x)
Verdadeiro se Vp∅, isto é a propriedade P é Verdadeira para
pelo menos um valor possível x do Domínio (xD0m)
Falso caso contrário, Vp=∅ isto é, a propriedade P é falsa para
qualquer valor possível do Domínio (xDom), ou todos os
elementos do Domínio não possuem o predicado P
Exemplo: Considere como domínio o conjunto A= {2,3,4,5,6,7,8,9} determine o
conjunto verdade, Vp para cada um dos predicados abaixo:
P(x) Vp={ x A talque P(x) é verdadeira}
(x)P(x) (x)P(x)
x é par Vp={ x A talque x é par é verdadeira} Vp={2,4,6,8}
Algum número do domínio é par. Verdadeiro
Todo número do domínio é par. Falso
x é ímpar
Vp={ x A talque x é ímpar é verdadeira} Vp=={3,5,7,9}
Existe no domínio um número ímpar. Verdadeiro
Qualquer x do domínio é ímpar. Falso
x é primo
Vp={ x A talque x é primo é verdadeira} Vp=={2,3,5,7}
Pelo menos um número do domínio é primo. Verdadeiro
Todos os números do domínio são primos. Falso
X é divisível por 3
Vp={ x A talque x é divisível por 3 é verdadeira} Vp={3,6,9}
Há do domínio um número divisível por 3. Verdadeiro
Qualquer x do domínio é divisível por 3. Falso
x é maior que 8
Vp={ x A talque x é maior que 8 é verdadeira} = Vp={ 9 }
Algum x do domínio é maior que 8. Verdadeiro.
Todos os números do domínio são maiores que 8. Falso
x é menor que 2
Vp={ x A talque x é par é verdadeira} = Vp={ }
Algum x do domínio é menor que 2. Falso.
Todos os números do domínio são menor que 2. Falso
117 Lógica de Predicados
Exemplo: Apresente o valor-lógico (Verdadeiro ou Falso), justificando sua
resposta através do conjunto verdade, das fórmulas abaixo para cada um dos
domínios indicados na tabela. Para auxiliar a interpretação indique em
linguagem natural o significado da fórmula.
Linguagem Natural Domínio= {2,4,6,8} Domínio= {1,3,5,7,9}
(x) (x+7>0)
Todos os números
do domínio somados
com 7 são maiores
que 0.
Valor–lógico com
justificativa:
Vp= {x{2,4,6,8} onde
x+7>0}
Vp= {2,4,6,8}
Verdadeiro
Valor–lógico com justificativa:
Vp= {x{1,3,5,7,9} onde
x+7>0}
Vp= {1,3,5,7,9}
Verdadeiro
(x) (x<2)
Todos os números
do domínio são
menores que 2.
Valor–lógico com
justificativa:
Vp= {x{2,4,6,8} onde
x<2}
Vp= { }
Falso
Valor–lógico com justificativa:
Vp= {x{1,3,5,7,9}onde x<2}
Vp= { 1}
Falso
(x) (x é ímpar )
Algum número do
domínio é ímpar.
Valor–lógico com
justificativa:
Vp= {x{2,4,6,8} onde x
é ímpar}
Vp= { } =
Falso
Valor–lógico com justificativa:
Vp= {x Dom onde x é ímpar}
Vp= {1,3,5,7,9}
Verdadeiro
(x) (x é par)
Algum número do
domínio par.
Valor–lógico com
justificativa:
Vp= {x{2,4,6,8} onde x
é par}
Vp= {2,4,6,8}
Verdadeiro
Valor–lógico com justificativa:
Vp= {x Domonde x é par}
Vp= { }
Falso
(x) (x é par)
Todos os números do
domínio são pares.
Valor–lógico com
justificativa:
Vp= {x2,4,6,8} onde x
é par}
Vp= {2,4,6,8}
Verdadeiro
Valor–lógico com justificativa:
Vp= {x Dom onde x é par}
Vp= { }
Falso
(x) (x é primo)
Algum número do
domínio é primo
Valor–lógico com
justificativa:
Vp= {x {2,4,6,8} onde
x é primo}
Vp= {2}
Verdadeiro
Valor–lógico com justificativa:
Vp= {x Dom onde x é primo}
Vp= {3,5,7}
Verdadeiro
118 Lógica de Predicados
(x) (2x=16)
Algum número do
domínio
multiplicado por 2
não é igual a 16.
Existe um número
cujo dobro não é
igual a 16.
Valor–lógico com
justificativa:
Vp= {x{2,4,6,8} onde
(2x=16)}
Vp= {2,6,8}
Verdadeiro
Valor–lógico com justificativa:
Vp= {x Dom onde (2x=16)}
Vp= { }
Verdadeiro
(x) (x=8)
Nego que todos os
números do domínio
são iguais a 8.
Nem todos os
números do domínio
são iguais a 8.
Valor–lógico com
justificativa:
Vp= {x{2,4,6,8} onde
x=8}
Vp= {8}
(x) (x=8) é falso
falso é verdadeiro,
logo
(x) (x=8) é
verdadeiro
Valor–lógico com justificativa:
Vp= {x Dom, onde x=8}
Vp= { }
(x) (x=8) é falso
falso é verdadeiro, logo
(x) (x=8) é verdadeiro
Equivalências dos quantificadores
No caso da lógica proposicional, podia-se decidir da validade pelo processo da
tabela-verdade. Dado um enunciado, construía-se a tabela, se nessa tabela só
figurassem V ( nenhum F) , o enunciado seria válido. Aqui com a presença dos
quantificadores, não há um método de decisão geral (provado por Church).
Vamos ilustrar como pode ocorrer uma tautologia nas sentenças abertas pelo
exemplo a seguir.
Exemplo : Podemos usar como referência o predicado P(x)= x é par e
determinarmos o valor lógico para os seguintes domínios das fórmulas abaixo e
observar que algumas fórmulas mantém o mesmo valor-verdade mesmo
modificando o domínio.
Dom={2,4,6,8} Dom={3,5,7,9} Dom={2,3,4,5,6,7,8}
(x) P(x)
Verdade, pois
4épar.
Vp={4,8,2,6}{}
Falso por Vp={} Verdade, pois 4épar.
Vp={4,8,2,6}{}
(x) P(x) Verdade, pois
Vp={4,8,2,6}=Dom
Falsa pois
5 é par é falso ou 5
não é par.
Vp={ }Dom
Falsa pois
5 é par é falso ou
5 não é par.
Vp={2,4,6,8 }Dom
(x) P(x) Falso por Vp={} Verdade, pois
3 não é par.
Verdade, pois
3 não é par.
119 Lógica de Predicados
Vp={3,5,7,9}{} Vp={3,5,7}{}
(x) P(x) Falso por
Vp={ }Dom
Verdade,
Vp={3,5,7,9}=Dom
Falso por
Vp={3,5,7}Dom
(x) P(x)
Falso, pois
(x) P(x) é
Verdade, pois
4épar.
Vp={4,8,2,6}{}
Verdadeiro pois (x)
P(x) é Falso por
Vp={}
Falso, pois (x) P(x) é
Verdade, pois 4épar.
Vp={4,8,2,6}{}
(x) P(x)
Falsa pois (x)
P(x) é Verdade,
pois
Vp={4,8,2,6}=Dom
Verdadeira Pois (x)
P(x) é Falsa pois
5 é par é falso ou 5
não é par.
Vp={ }Dom
Verdadeira pois (x)
P(x) é Falsa pois
5 é par é falso ou
5 não é par.
Vp={2,4,6,8 }Dom
(x) P(x)
Verdadeiro pois
(x) P(x) é Falso
por Vp={}
Falso Pois
(x) P(x) é
Verdade, pois
3 não é par.
Vp={3,5,7,9}{}
Falso Pois (x) P(x) é
Verdade, pois
3 não é par.
Vp={3,5,7}{}
(x) P(x)
Verdade Pois (x)
P(x) é Falso por
Vp={ }Dom
Falsa Pois (x)
P(x) é Verdade,
Vp={3,5,7,9}=Dom
Verdade Pois (x)
P(x) Falso por
Vp={3,5,7}Dom
Observando as linhas dos valores lógicos coincidentes, ou seja, a primeira linha
repete o mesmo valor-verdade da última linha, a segunda linha repete o valor-
verdade da penúltima linha, a terceira linha repete o valor-verdade da
antepenúltima linha, e finalmente a quarta linha repete o valor-verdade da
quinta linha. Essa regularidade pode ser obtida se modificarmos o predicado e
tomarmos outros domínios. Essas tautologias serão chamadas de intercâmbio
de quantificadores e podemos organizar essa ocorrência dizendo que o
bicondicional entre essas fórmulas é verdadeiro, e, portanto escrever:
(x)P(x) (x)P(x) Negação do Existencial (NE)
(x)P(x) (x) P(x) Negação do Existencial (NE)
(x) P(x) (x)P(x) Negação do Universal (NU)
(x) P(x) (x)P(x) Negação do universal (NU)
120 Lógica de Predicados
Recapitulando
Neste capítulo você foi apresentado a simbologia da lógica de predicados ou de
1ª ordem em que aparecem as sentenças declarativas abertas e fechadas.
Conhecemos a interpretação dos quantificadores universal e existência e
algumas equivalência entre sentenças abertas.
Referências bibliográficas do capítulo
ALENCAR FILHO, Edgard. Teoria Elementar dos Conjuntos. São Paulo: Nobel,
1971.
SCHEINERMAN, Edward R. Matemática Discreta: uma introdução. São Paulo:
Pioneira Thompson Learning, 2003.
RENZ, S. P.; POFFAL, C. A. Fundamentos de Lógica Matemática. Porto Alegre:
La Salle, 2001.
121 Lógica de Predicados
Atividades
Marque as sentenças onde temos a presença de quantificadores.
Quatro é número natural.
Algum número inteiro é par.
Existem números inteiros divisíveis por 4.
Nego que algum número natural é primo.
Se existe um quadrado com 4 lados de mesma medida então todos
seus ângulos internos também tem mesma medida.
Nenhum número inteiro tem seu quadrado negativo.
Quatro não é número primo.
Dez é múltiplo de 2 e 5, mas não é múltiplo de 3 e 4.
Marque a(s) sentença(s) equivalente(s) pelo intercâmbio de
quantificadores a afirmação: Alguém não é colorado.
Ninguém é colorado.
Todos são colorados.
Nem todos são colorados.
Todos não são colorados.
Não existe colorado.
Nego que todos são colorados.
Indique Determine o valor-verdade para as proposições abaixo, sendo
xDOM={0,1,2,3,4,5,6}.
(x) (x +2 4)
(x) (x +2 4)
(x) (x2 – 1 = 3)
(x) (3x – 1 = 14)
(x) (x – 5 1)
Sendo Domínio = {1,2,3,4,5,6,7}, escolha um quantificador adequado
para que a sentença possua valor-lógico verdadeira.
x + 4 = 8
x2 – 5x + 6 = 0
5x + 2 4
–x2 + 8x = 0
Marque o domínio abaixo onde a sentença:Qualquer número do domínio
é ímpar é verdadeira.
Dom = { 2,3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
Dom = { 12, 24,56, 38, 94,106}
122 Lógica de Predicados
Dom = { 5, 3, 9, 17, 27}
Dom = { 11, 21, 41, 51, 61, 31, 81, 91, 101, 61, 60}
Dom = { }
Gabarito das atividades
b, c, d, e, f.
e.
Falso pois Vp= {x{0,1,2,3,4,5,6}onde x +2 4}= {3,4,5,6}
Verdade pois Vp= {x{0,1,2,3,4,5,6}onde x +2 4}= {3,4,5,6}
Verdadeiro pois Vp= {x0,1,2,3,4,5,6}onde x2 – 1 = 3}= {2}
Verdadeiro pois Vp= {x0,1,2,3,4,5,6}onde (3x – 1 = 14)}= {5}
Falso pois Vp= {x{0,1,2,3,4,5,6}onde (x – 5 1)}= {0,1,2,3,4,5}
Vp= {x{1,2,3,4,5,6,7} onde x +4 = 8}= {4} Assim, (x) x + 4 = 8 é
Verdadeiro, pois Dom tem outros números além do 4, portanto não
podemos usar o quantificador universal.
Vp= {x{1,2,3,4,5,6,7}onde x2 – 5x + 6 = 0}= {2,3} ;
(x) x2 – 5x + 6 = 0 é verdadeiro pois Vp= {x{1,2,3,4,5,6,7} onde
x2 – 5x + 6 = 0}= {2,3 }
Vp= {x{1,2,3,4,5,6,7}onde 5x + 2 4}= {1,2,3,4,5,6,7}
(x) (5x + 2 4) é Verdadeiro, pois Vp= {x{1,2,3,4,5,6,7} ,onde
5x + 2 4}= {1,2,3,4,5,6,7}
(x) (5x + 2 4 é Verdadeiro pois Vp= {x {1,2,3,4,5,6,7} onde 5x + 2
4}= {1,2,3,4,5,6,7}
Essa propriedade só é verdadeira para x=0 ou x=8 que não fazem
parte do domínio logo é impossível ser verdadeira para o domínio
indicado.
c
123 Lógica de Predicados
Lógica de Predicados
Agostinho Iaqchan Ryokiti Homa10
10 Bacharel em Matemática Aplicada a Informática e Mestre em Ensino de Ciências e Matemática pela
Universidade Luterana do Brasil. Professor dos Cursos de Ciência da Computação, Engenharias e
Licenciatura em Matemática da ULBRA.
124 Lógica de Predicados
Introdução
Vimos no capítulo anterior os quantificadores Universal e Existencial que
constituem as sentenças abertas. Verificamos que as sentenças abertas podem
se tornar uma proposição quando avaliadas, assumindo um valor verdade de
falso ou verdadeiro.
Na lógica de predicados o processo de dedução adquire um grau de
complexidade devido a necessidade de que as sentenças abertas sejam
premissas, isto é, sejam sempre verdadeiras, para que, associadas com as
implicações lógicas, permitam a construção de um argumento consistente para
chegarmos a uma conclusão consistente e irrefutavelmente verdadeira.
Demonstrações com Quantificadores
Para o processo de demonstração de uma dedução lógica consistente com
pressimisas contendo quantificadores, é necessário expandir as implicações e
as equivalências lógicas.
Começaremos com a expansão das implicações lógicas envolvendo
quantificadores e que possibilitará ao leitor avaliar argumentos que contenham
premissas com quantificadores.
Sentenças abertas contendo quantificadores têm uma variável e um conceito,
podendo este conceito ser classificado em universal, particular e singular.
O conceito universal é interpretado em toda a extensão e abrange todos os
elementos aos quais se aplica o conceito. Tomamos como exemplo a sentença
“Todo filho tem mãe”, neste caso para “Todo filho” consideramos no Universo
dos indivíduos aqueles que são filho, que neste caso são todos os indivíduos do
conjunto Universo.
O conceito particular é quando se toma parte indeterminada da extensão, ou
seja, alguns elementos aos quais se aplica o conceito. Para a sentença aberta
“Algumas mulheres são mães” temos que, do Universo dos indivíduos do sexo
feminino, parte dos elementos atende a característica de serem mães. Notas-
se que não é determinado qual o indivíduo que atende a caracerística.
O conceito singular é quando se toma parte da extensão mas de maneira
determinada, como é o caso da sentença “Esta mãe tem três filhos”,“Aquela
mulher não tem filhos”, “Maria tem filhos”, nestes casos está se fazendo
referência a um determinado elemento do Universo.
125 Lógica de Predicados
Instanciação Universal
Na Instanciação Universal temos uma variável e o conceito universal
apresentado na forma de uma função proposicional de modo que a instanciação
universal afirma que qualquer instância de substituição da função pode ser
validada.
Isto que dizer que ao instanciarmos, ou seja, substituirmos a variável livre por
um valor singular, temos essa instância como válida.
Exemplo:
∀xP(x)
P(a) IU x=a
Em uma demonstração a instanciação universal permite a conclusão ao
analisarmos as premissas para o caso singular, haja vistas que se para para todas
as instancias conclusão é verdadade, então para uma instancia também será
verdade.
∀x(P(x)→Q(x))
P(a)
P(a)→Q(a) 1, IU (Instanciação Universal)
Q(a) 2,3 MD (Modus Ponens)
Nesse argumento temos a primeira premissa dada por duas funções
proposicionais com variável ligada de modo que a variável livre (x), quanto
instanciada, será válida para as duas funções. A segunda premissa é uma
premissa com conceito singular para o elemento “a”. Com base nessas duas
premissas, é relizada a instanciação universal em 1 transformando a mesma em
uma premissa auxiliar 3 com o conceito singular para “a”. Usando da implicação
lógica do método da afirmação (Modus Ponens) temos que a premissa 2 atende
a condição de 3 , logo temos a consequência lógica Q(a) em 4.
Generalização Universal
Na Generalização Universal partimos de uma situação singular da qual obtemos
um conceito universal, para isso substituimos o elemento singular por uma
variável que represente todo e qualquer elemento do contexto ou universo que
se está trabalhando. Ressalta-se que a generalização universal deve ser
utilizada com certa restrição e análise formal do contexto trabalhado para
evitar uma generalização falsa.
126 Lógica de Predicados
Ela é particularmente útil e quando derivada de premissas advindas de
instanciações universais, ou seja, de um conceito universal derivamos para um
particular, aplicamos todas as implicações lógicas e depois retornamos para um
conceito universal através da Generalização Universal (GU).
P(y) Para y uma variável
∀xP(x) GU, x é uma variável que representa todo e qualquer elemento do contexto
Em uma demonstração a Generalização Universal (GU) permite a conclusão para
todos os elementos do contexto ao analisarmos as premissas para um caso
singular mas que se aplica a todo e qualquer elemento do contexto.
Observa-se que se para uma instancia é verdade não significa que seja
verdadeiro para todas as instâncias.
∀x(P(x)→Q(x))
∀x P(x)
P(y)→Q(y) 1, IU (Instanciação Universal)
P(y) 2, IU (Instanciação Universal)
Q(y) 3,4 MD (Modus Ponens)
∀xQ(x) 5, GU (Generalização Universal)
Utilizando do exemplo semelhante ao da Instanciação Universal, partimos de
dois conceitos universais reduzidos a uma variável y e depois, usando da
Generalização Universal, obtemos a conclusão 5 que se aplica a todos os
elementos do contexto. Tal aplicação da regra da Generalização Universal não
apresenta problemas em função de que a dedução é baseada em premissas
iniciais com conceitos universais.
A seguinte argumentação não está correta pois uma das premisas iniciais
envolve um caso singular, e não é correto generalizar com base em um caso
singular.
127 Lógica de Predicados
∀x(P(x)→Q(x))
P(a)
P(a)→Q(a) 1, IU (Instanciação Universal)
Q(a) 2,3 MD (Modus Ponens)
∀xQ(x) 5, GU (Generalização Universal)
Instanciação Existencial
Na Instanciação Existencial temos uma variável e o conceito particular
apresentado na forma de uma função proposicional de modo que a Instanciação
Existencial afirma que qualquer instância de substituição da função pode ser
validada.
Isto que dizer que ao instanciarmos, ou seja, substituirmos a variável livre por
um valor singular, temos essa instância como válida.
Exemplo:
∃xP(x)
P(a) IE x=a
Em uma demonstração a Instanciação Existencial permite a conclusão ao
analisarmos as premissas para o caso singular, haja vistas que se para algumas
instancias conclusão é verdadade, então para uma instancia particular também
será verdade.
∀x(P(x)→Q(x))
∃x (P(x) ∧ R(x))
P(a)→Q(a) 1, IU (Instanciação Universal)
P(a) ∧ R(a) 2, IE (Instanciação Existencial)
P(a) 4, SM (Simplificação)
Q(a) 5,4 MP (Modus Ponens)
R(a) 4, SM (Simplificação)
Q(a) ∧ R(a) 6,7 CJ (Conjunção)
128 Lógica de Predicados
Nesse argumento temos a primeira e a segunda premissa definida por duas
funções proposicionais com variável ligada de modo que a variável livre (x),
quanto instanciada, será válida para as duas funções.
A primeira premissa é uma premissa com conceito universal, e a segunda é uma
premissa com conceito particular, ou seja, éla é verdadeira para alguns
elementos do contexto.
Com base nessas duas premissas, é relizada a Instanciação Universal em 1
transformando a mesma em uma premissa auxiliar 3, e uma Instanciação
Existencial em 2 obtendo a premissa auxiliar em 4. Chamamos a atenção que a
variável livre x é usada tanto em 1 como em 2, logo nas duas instanciações
substituimos pela mesma constante “a”.
Na Instanciação Existencial deve-se ter a atenção de não utilizar uma constante
ou variável que já tenha sido utilizada na instanciação de outra variável livre.
Generalização Existencial
Na Generalização Existencial partimos de uma situação singularda qual obtemos
um conceito particular, para isso substituimos o elemento singular por uma
variável que represente parte do contexto ou universo que se está trabalhando.
Ressalta-se que a Generalização Existencial será válida desde que seja verdade
para um caso singular pois a ideia do quantificador existencial está associado a
“existe pelo menos um” de modo que o caso singular atende o caso particular.
Ela é particularmente útil para generalizações em situações que pelo menos um
caso do contexto seja verdade.
P(a) Para “a” uma contante
∃xP(x) GE, x é uma variável que representa parte do contexto
Verifique a Generalização Existencial a seguir.
∃x(P(x)→Q(x))
P(a)
P(a)→Q(a) 1, IU (Instanciação Existencial)
Q(a) 2,3 MD (Modus Ponens)
∃xQ(x) 5, GE (Generalização Existencial)
129 Lógica de Predicados
No exemplo apresentado, temos uma Instanciação Existencial e uma premissa
singular, neste caso utilizamos a constante da premissa com o conceito singular
para instanciar a função proposicional. Aplicando as implicações lógicas
conclui-se o conceito singular 4 que permite a Generalização Existencial dado
que pelo menos o elemento “a” atende a função proposicional Q(x).
Compare a Generalização Universal e a Existencial com atenção às premissas e
verifique as diferenças quando é utilizado uma e quando é utilizado a outra de
maneira inequívoca.
Demonstrações com quantificadores
Os métodos de demonstração que utilizam as equivalências e as implicações
lógicas com inferências contendo quantificados são apresetnados a seguir.
Relembramos as equivalências logicas com quantificadores temos que:
(x)P(x) (x)P(x) Negação do Existencial (NE)
(x)P(x) (x) P(x) Negação do Existencial (NE)
(x) P(x) (x)P(x) Negação do Universal (NU)
(x) P(x) (x)P(x) Negação do universal (NU)
Faremos as demonstrações indicando as equivalências e implicações lógicas de
maneira abreviada. Caso tenha dúvida de qual tautologia foi aplicada, verifique
nos capítulos 3 e 4 as abreviações utilizadas.
∃x(P(x) ∧ Q(x))
x P(x)
x (R(x)→ Q(x))
x(P(x) ∧ Q(x)) 1, NE
x (P(x) ∨ Q(x)) 2, MD
R(a)→ Q(a) 3, IU
P(a) ∨ Q(a) 5, IU
P(a) 6, IU
Q(a) 8,7, SD
R(a) 9,6 MT
x R(x) 10, GU
130 Lógica de Predicados
Note que a conclusão é uma Generallização Universal, lembramos que para isso
temos que ter todas as premissas contendo o quantificador universal e nesse
argumento não temos todas as premissas atendendo esse requisito.
Apesar de não estar expresso com o quantificador universal, a primeira premissa
pode ser reescrita utilizando a equivalência de quantificadores que permite
interpreta-la como sendo uma premissa com conceito universal, deste modo é
possível a Generalização Universal na conclusão.
Ressalta-se que por serem todas as premissas com quantificadores universais
utilizou-se da variável “y” nas instanciações.
∃x(P(x) ∧ Q(x))
x (R(x)↔Q(x))
x(S(x) ∨ R(x))
P(a) ∧ Q(a) 1, IE
R(a)↔Q(a) 2, IU
S(a) ∨ R(a) 3, IU
(R(a)→Q(a))∧(Q(a)→R(a)) 5, BC
Q(a)→R(a) 7, SM
Q(a) 4, SM
R(a) 8,9 MP
S(a) 10,6 SD
∃xS(x) 11, GE
Nesse exemplo a premissa 2 abrange um conceito universal, mas como 10 é
obtido de 9 que por sua vez vem de uma Instanciação Existencial 4, verificamos
que não temos 10 para todo e qualquer “a”. Essa mesma restrição dos
elementos do contexto que atendem 10 passa para a interpretação da
implicação 6 cujo resultado 11 também pode ser interpretado como um
conceito particular. Dadas as circunstâncias das imterpretações só é possível a
Generalização Existencial da conclusão final.
131 Lógica de Predicados
Demonstração Condicional
No método de demonstração ou argumentação condiconal, o antecedente da
conclusão condicional é trazida como uma premissa adicional para ser usada no
processo de dedução.
∃xP(x)→ x Q(x)
∃x R(x) →∃x(P(x) ∧ S(x)) x(R(x) → Q(x))
R(x) Q(x) nova conclusão
∃x R(x) 3, GE
∃x(P(x) ∧ S(x)) 4,2 MP
P(a) ∧ S(a) 5, IE
P(a) 6, SM
∃xP(x) 7, GE
x Q(x) 8,1 MP
Q(x) 9, IU
R(x)→Q(x) 3,10 Argumento condicional
xR(x)→Q(x) 11, GU
Apesar do quantificador existencial em 1, é possível generalizar para o
quantificador universal em 12, dado que em 1 as funções proposicionais não são
integradas, ou seja, o quantificador existencial está associado somente ao
antecedente e o qunatificador universal ao consequente, logo a conclusão pode
ser generalizada ao universal.
132 Lógica de Predicados
Demonstração por redução ao absurdo
P(a) ∨ P(b)
x(P(x) →(Q(x) ∧ R(x))) ∃xQ(x)
∃xQ(x) C (contradição) nova conclusão
x Q(x) 3, NE
Q(a) 4,IU
Q(a) ∨ R(a) 5, AD
(Q(a) ∧ R(a)) 6, DM
Q(b) 4,IU
Q(b) ∨ R(b) 5, AD
(Q(b) ∧ R(b)) 9, DM
P(a) →(Q(a) ∧ R(a)) 2, IU
P(b) →(Q(b) ∧ R(b)) 2, IU
P(a) 7,11 MT
P(b) 9,12 MT
P(a) ∧ P(b) 13,14 CJ
(P(a) ∨ P(b)) 15, DM
(P(a) ∨ P(b)) ∧ (P(a) ∨ P(b)) 1,16 Cj
C 17 CMP
∃xQ(x) 3, RAA (redução ao absurdo)
∃xQ(x) 19, DN
Nesse exemplo foi necessário o uso da demonstração por absurdo por que as
premissas disponíveis não permitem realizar equivalências ou inferencias
somente a partir delas. Também devemos ter atenção que a premissa 1
apresenta um caso singular para “a,b”, logo todas as instanciações devem ser
para “a,b”. A conclusão em 18 de uma contradição nos leva a negar a premissa
adicional 3, que por sua vez nos leva a conclusão inicial que se deseja provar.
133 Lógica de Predicados
Recapitulando
Neste capítulo expandimos as implicações lógicas que permite aplicar o método
dedutivo para premissas compostas por sentenças abertas com os
quantificadores universal e existencial. Deste modo é possível avaliar a
argumentação e a veracidade das conclusões e suas generalizações.
Referências bibliográficas do capítulo
LAUSCHE, Roque. Lógica formal: Técnica deo desenvolvimento do raciocínio.
Porto Alegre: Sulina, 1997.
SCHEINERMAN, Edward R. Matemática Discreta: uma introdução. São Paulo:
Pioneira Thompson Learning, 2003.
BARONETT, Stan. Lógica: Uma introdução voltadas para as ciências. Porto
Alegre: Bookman, 2009.
134 Lógica de Predicados
Atividades
No argumento apresentado a linha 3 e 6 estão corretas?
1 ¬ ∃x(Px Qx)
2 Pa
3 ¬(Pa Qa) IE - Instânciação Existencial de 1
4 ¬Pa ∨ ¬Qa DM - De Morgan de 3
5 ¬Qa SD – Silogismo Disjuntivo de 2 e 4
6 ¬∃xQx GE – Generalização Existencial de 5
No argumento apresentado a linha 3, 7 estão corretas?
1 ∃x (Px Qx)
2 ∀x(Px → ¬Qx)
3 (Pa Qa) IE - Instânciação Existencial de 1
4 Qa SM – Simplificação de 3
5 Pa → ¬Qa IU - Instânciação Universal de 2
6 ¬Pa MT – Modus Tollens
7 ∃x¬Pa GE – Generalização Existencial de 6
8 ¬¬∃x¬Pa DN – Dupla Negação
9 ¬∀x¬¬Pa NE – Negação Existencial de 8
10 ¬∀xPa DN – Dupla Negação
Demonstre a validade do argumento
∀x(Px→Qx),Pa⊢∃xQx
Demonstre a validade do argumento condicional
∀x(Px ∨ (Qx→Rx),∃x¬Rx⊢∃x(Qx→Px)
Demonstre a validade do argumento por redução ao absurdo
135 Lógica de Predicados
∀x(Px→¬Qx), ∀x(Rx→Qx)⊢∃x¬(Px Rx)
Gabarito das atividades
No argumento apresentado a linha 3 e 6 estão corretas?
1 ¬ ∃x(Px Qx)
2 Pa
3 ¬(Pa Qa) IE - Instânciação Existencial de 1
4 ¬Pa ∨ ¬Qa DM - De Morgan de 3
5 ¬Qa SD – Silogismo Disjuntivo de 2 e 4
6 ¬∃xQx GE – Generalização Existencial de 5
Linha 3, primeiro tem-se que reescrever ∀x ¬(Px Qx), logo a linha 6
também está errada pois ela se baseia no quantificador existencial de 1 e
não em um universal.
No argumento apresentado a linha 3, 7 estão corretas?
1 ∃x (Px Qx)
2 ∀x(Px → ¬Qx)
3 (Pa Qa) IE - Instânciação Existencial de 1
4 Qa SM – Simplificação de 3
5 Pa → ¬Qa IU - Instânciação Universal de 2
6 ¬Pa MT – Modus Tollens
7 ∃x¬Pa GE – Generalização Existencial de 6
8 ¬¬∃x¬Pa DN – Dupla Negação
9 ¬∀x¬¬Pa NE – Negação Existencial de 8
10 ¬∀xPa DN – Dupla Negação
Sim estão corretas.
Demonstre a validade do argumento
∀x(Px→Qx),Pa⊢∃xQx
136 Lógica de Predicados
1 ∀x(Px→Qx)
2 Pa
3 Pa→Qa IU – Instanciação Universal de 1
4 Qa MP – Modus Ponnens de 2 em 3
5 ∃xQx GE – Generalização Existencial de 4
Demonstre a validade do argumento condicional
∀x(Px ∨ (Qx→Rx),∃x¬Rx⊢∃x(Qx→Px)
1 ∀x(Px ∨ (Qx→Rx))
2 ∀x¬Rx
3 (Qa→Pa) IE – Instanciação Existencial da conclusão
4 Qa Premissa adicional antecedente da conclusão, com a nova conclusão Pa
5 ¬Ra IU – Instanciação Universal de 2
6 Pa ∨ (Qa→Ra) IU – Instanciação Universal de 1
7 Pa ∨ (¬Qa ∨ Ra) COND – Condicional de 6
8 (Pa ∨ ¬Qa) ∨ Ra COM - Comutativo
9 (Pa ∨ ¬Qa) SD – Silogismo Disjuntivo de 5 e 8
10 Pa SD – Silogismo Disjuntivo de 4 e 9
Demonstre a validade do argumento por redução ao absurdo
∀x(Px→¬Qx), ∀x(Rx→Qx)⊢∃x¬(Px Rx)
1 ∀x(Px→¬Qx)
2 ∀x(Rx→Qx)
3 ¬∃x¬(Px Rx) Premissa adicional da negção da conclusão
4 ∀x(Px Rx) NE - Negação do existencial 3
5 Pa Ra IU – Instanciação Universal de 4
6 Pa SM – Simplificação de 5
137 Lógica de Predicados
7 Ra SM – Simplificação de 5
8 Pa→¬Qa IU – Instanciação Universal de 1
9 Ra→Qa IU – Instanciação Universal de 2
10 ¬Qa MP – Modus Ponens de 6 em 8
11 Qa MP – Modus Ponens de 7 em 9
12 ¬Qa Qa CJ - Conjunção de 10 e 11
13 C CP - Complementação
138 Lógica de Predicados
Silogismo Categórico
Agostinho Iaqchan Ryokiti Homa11
11 Bacharel em Matemática Aplicada a Informática e Mestre em Ensino de Ciências e Matemática pela
Universidade Luterana do Brasil. Professor dos Cursos de Ciência da Computação, Engenharias e
Licenciatura em Matemática da ULBRA.
ANEXO I
139 Lógica de Predicados
Introdução
Vimos as proposições verofuncionais e estudamos as deduções lógicas a partir
destas através das regras de equivalências e inferências. Neste capítulo
veremos as proposições categóricas (que as vezes são tratadas com
verofuncionais). Aristóteles estudou as proposições categóricas e os silogismos
categóricos, desenvolvendo o quadro aristolélico das oposições que estabelece
relações entre as proposições de maneira a poder inferir com base nas
proposições dadas.
Proposições Categóricas
A ideia de categorias, está associada às classes ou cojuntos de objetos. Como
vimos, objetos que têm características em comum podem ser agurupadas em
um conjunto, ou seja, compõem uma classe.
Nas proposições categóricas identificamos uma relação entre a classe dos
sujeitos, designada como termo sujeito, e a classe dos predicados, designada
como termo predicado. Deste modo toda proposição categórica afirma uma
relação entre o termo sujeito e o termo predicado, podendo esta ser uma
relação parcial ou total entre os termos.
Dentro do método dedutivo envolvendo as proposições categóricas, adota-se a
notação S para o termo sujeito e P para o termo predicado, assim sendo, nas
proposições categóricas afirmamos uma das seguintes relações entre sujeito e
predicado:
Todo S é P
Nenhum S é P, também entendido como Todo S não é P
Algum S é P, também entendido como Pelo menos um S é P
Algum S não é P, também entendido como Pelo menos um S não é P
Nas proposições categóricas a relação entre sujeito e predicado se utiliza do
verbo ser como o verbo de ligação, ou de relaçao, pois estabelece que os
elementos da classe sujeito pertencem, ou não pertencem, a classe do
predicado.
Para as relações entre os termos sujeito e predicado as quatro proposições
categóricas são classificadas quanto aos seus quantificadores como Universal ou
Particular, semelhante as proposições verofuncionais.
140 Lógica de Predicados
A proposição Todo S é P é denominada como proposição Universal Afirmativa,
pois para tal proposição ser verdadeira temos que todo e qualquer elemento da
classe sujeito é elemento da classe predicado.
Escrito na froma de uma proposição verofuncional temos:
∀xP(x) para x: ‘S’ e P(x): ‘x é P’
Temos também que algumas porposições verofuncionais podem ser escritas na
forma de uma proposição categórica. A proposição verofuncional “Todo filho
tem mãe” pode ser convertida na proposição categórica “Todo indivíduo é
filho” dado que filho é aquele que tem mãe. Nesse caso filho determina a classe
predicado da qual todo elemento (indivíduo) da classe sujeito pertence.
A proposição “Nenhum S é P” uma proposição Universal negativa. Aqui devemos
ter atenção e converter a proposição, pois não existe um quantificador para
“nenhum”. Se entendermos que “Nenhum S é P” como não existe pelo menos
um elemento da classe sujeito que pertença classe predicado, podemos
reescrever que “Todo S não é P” utilizando as equivalências de quantificadores.
Escrevendo “Não existe pelo menos um S que seja P” como uma proposição
verofuncional na forma:
¬∃xP(x)
para x: ‘S’ e P(x): ‘x que seja P’
então usando as equivalências de quantificadores temos que:
¬∃xP(x)⇔∀x¬P(x)
ou seja “Todo S não é P”
A proposição do tipo “Algum S é P”, como por exemplo “Algumas mulheres são
mães”, é denominada como uma proposição particular afirmativa. Essa
proposição declara que alguns elementos da classe sujeito pertencem a classe
predicado, ou que pelo menos um elemento da classe sujeito pertence a classe
predicado.
A proposição do tipo “Algum S não é P”, como por exemplo “Algumas mulheres
não são mães”, é denominada como uma proposição particular negativa. Essa
proposição declara que alguns elementos da classe sujeito não pertencem a
classe predicado, ou que pelo menos um elemento da classe sujeito não
pertence a classe predicado.
141 Lógica de Predicados
Ressaltamos que a classificação da proposições está relacionada a quantidade
e qualidade dor seus termos. As denominações como afirmativa ou negativa
refere-se a sua qualidade, ou seja, afirmam a inclusão ou negam a inclusão da
classe sujeito na classe predicado. Já a denominação Universal e Particular está
relacionada a quantidade dos elementos da classe sujeito, ou seja, a extensão
da inclusão ou exclusão da classe sujeito em relação a classe predicado. Sendo
totalmente inclusa na Universal com o quantificador “todo” ou parcialmente
inclusa com o quantificador “algum”.
Por convenção atribui-se as letras A, E, I, O às proposições quanto a sua
qualidade e quantidade.
A: Todo S é P Universal Afirmativa
E: Nenhum S é P Universal Negativa
I: Algum S é P Particular Afirmativa
O: Algum S não é P Particular Negativa
Apresentamos as estruturas lógicas das proposições sem considerar o valor
verdade das mesmas. Se considerarmos as proposições levando em conta sua
extensão, qualidade e seus valores verdade, verificando as relações entre elas.
Quadro das oposições
Ao organizarmos as proposições como na figura x podemos representar as
relações dois a dois. Primeiro apresentamos as relações contraditórias, nesse
tipo de relação temos que se uma é verdadeira a outra será falsa, mas a
falsidade de uma não implica na falsidade da outra.
Verificamos que as proposições contraditórias são diferente em qualidade e
extensão, comparando as proposições A, universal e afirmativa, com a O,
particular negativa, e a proposição E, universal negativa, com a I, particular
142 Lógica de Predicados
afirmativa confirmamos essa relação. Entende-se por contaditório a
característica de que se uma proposição é verdadeira a outra necessariamente
será falsa, logo as proposições contraditórias não podem ser verdadeiras ou
falsas ao mesmo tempo.
Uma outra relação que tem-se no quadro de oposições é a de que as proposições
são contrárias. Neste caso temos A, universal e afirmativa, e a E, universal
negativa, que diferem em qualidade. Se analisarmos as duas em relação a seus
valores verdade verificamos que: se A é verdade, E é falsa e que se E é verdade,
A é falsa, logo as duas não podem ser verdadeiras ao mesmo tempo, mas podem
ser falsas!
Usando da negação de quantificadores temos que:
¬∀xP(x)⇔ ∃x¬P(x)
¬∀x¬P(x)⇔ ∃xP(x)
Usando da linguagem natural para x:fruta e P(x): x é vermelho podemos afirmar
com certeza que “Todas as frutas são vermelhas” é falso assim como “Nenhuma
fruta é vermelha” também é falso. Resumindo nas proposições contrárias se
uma é verdadeira a outra será falsa, ou as duas serão falsas.
Semellhante as proposições contrárias, temos as proposições subcontrárias,
podemos notar que a proposição O, particular negativa, e a I, particular
afirmativa, também diferem em qualidade e não em extensão, mas diferente
das contrárias ao avaliarmos seus valores verdade temos que: se O é falsa, I é
verdadeira e que se I é verdadeira, O é falsa, logo as duas não podem ser falsas
ao mesmo tempo, mas podem ser verdadeiras!
143 Lógica de Predicados
Usando da negação de quantificadores temos que:
¬∃xP(x)⇔ ∀x¬P(x)
¬x¬P(x)⇔ ∀xP(x)
Usando da linguagem natural para x:fruta e P(x): x é vermelho, podemos
afirmar com certeza que “Algumas frutas são vermelhas” é verdade assim como
“Algumas fruta não são vermelhas” também é verdade. Para analisarmos a
outras condições temos que analisar uma proposição em linguagem natural que
seja falsa como por exemplo “Algum ovo de galinha é azul” que sendo falso leva
necessariamente “Algum ovo de galinha não é azul” a ser verdade.
Resumindo nas proposições subcontrárias se uma é falsa a outra será
verdadeira, ou as duas serão verdadeiras.
A relação entre as proposições iguais em qualidade mas diferentes em extensão
são denominadas como subalternação, quando analizamos os valores verdade
partindo das proposições universais temos que se a proposição A é verdade
então I será verdade, asssim como se E for verdade então O também o será.
Podemos analisar a veracidade dessas relações fazendo uso dos diagramas de
Venn da figura x. No diagrama A:I verificamos que, se todos os elementos de S
144 Lógica de Predicados
são P, então é possivel afirmar, também, que pelo menos um S é P. Pelo
diagrama E:O se nenhum elemento de S é P então é verdade também que pelo
menos um, ou algum, S não seja P. Denomina-se como superalternas as relações
quando analisadas a partir das proposições universais.
Ao analisarmos os valores verdade a partir das proposições particulares temos
que para a proposição I falso temos a proposição A será falsa também, assim
como para a proposição O falsa temos que E será falsa. Para analisar as
proposições subalternas, quando parte-se da proposição particular para a
universal, utilizaremos as negações dos quantificadores.
Para I: ∃xP(x) e A: ∀xP(x) a falsidade de I é dada por:
¬∃xP(x)⇔ ∀x¬P(x) ⇎ ∀xP(x), logo se I é falso, A também será.
Para O: ∃x¬P(x) e E: ∀x¬P(x) a falsidade de O é dada por:
¬∃x¬P(x)⇔ ∀x¬¬P(x) ⇔ ∀xP(x) ⇎ ∀x¬P(x), logo se I é falso, O também será.
Em linguagem natural podemos verificar pelas proposições em linguagem
natural I:”Alguns ovos de galinha são azul” e “A:Todo ovo de galinha é azul”,
que a falsidade de I leva a falsidade de A. Para as proposições negativas
podemos usar as proposições O:”Alguns ovos de galinha não são brancos”
E:”Todos os ovos de galinha não são brancos” de maneira que a falsidade de O
leva a falsidade de E.
Nas relações de subalternação são definidas a veracidade superalterna e a
falsidade subalterna, mas não são definidas a falsidade superalterna assim
como a veracidade subalterna, isso por que as mesmas são consideradas
indefinidas.
145 Lógica de Predicados
Analisando um exemplo em linguagem natural da superalterna para A:”Todos
os ovos de galinha são brancos” e I:”Alguns os ovos de galinha são brancos”,
temos que a falsidade e A não leva, necessariamente, à falsidade de I.
Para a falsidade da subalternação, também temos que para I:”Alguns corvos são
pretos” e A:”Todos os corvos são pretos” a veracidade de I não leva a
veracidade de A, não temos como comprovar que TODOS os corvos do MUNDO
são pretos. Aliás veja alguns fatos interessantes em
https://www.fatosdesconhecidos.com.br/conheca-os-20-animais-albinos-
mais-fantasticos-do-planeta/.
Lembramos que a definição do conjunto Universo ou contexto é importante
para o desenvolvimento das inferências lógicas. Para o exemplo dado, se
definir-se o conjunto Universo como U={Animais do planeta terra} ou para
U={corvo do zooológico X} mudamos a proposição A pode mudar de falso para
verdadeiro.
Deste modo temos que o quadro aristotélico das oposições (figura x) pode ser
utilizado para inferências imediatas.
Conversão
Algumas proposições podem ser reescritas trocando o termo sujeito pelo termo
predicado mantendo a sua validade. Denomina-se esse processo como
conversão, de modo que a proposição resultante é uma inferência obtida da
proposição inicial. A proposição inicial é denominada como convertenda e a
proposição final como conversa.
Vejamos agora como converter cada uma das proposições categóricas
conhecidas, para isso começaremos com exemplos de proposições em
linguagem natural.
Para uma proposição E:”Nenhuma galinha é mamífero”, pode ser convertido
para E:”Nenhum maífero é galinha”.
146 Lógica de Predicados
Para uma proposição I, tal conversão também é possível, I:”Alguns filmes de
ação são bons filmes”, pode ser convertido para I:”Alguns bons filmes são filmes
de ação”.
Para as proposições A:”Todos S é P” a conversão propriemente dita não
funciona, mas se usarmos a subalternação superalterna em conjunto com a
conversão podemos inferir que “Alguns P são S”.
Por exemplo para A:”Todos os peixes são animais que vivem na água” a
conversão direta para :”Todos animais que vivem na água são peixes”. É notória
a inconsistência da afirmação sabendo existem outros animais que vivem na
água com a foca, o pinguim, o lobo marinho, a lontra, mas se usarmos a
subalternação superalterna antes podemos fazer a seguinte conversão
A:”Todos os peixes são animais que vivem na água”
Inferência por subalternação superalterna
I:”Alguns peixes são animais que vivem na água”
Conversão da proposição I
I:”Alguns animais que vivem na água são peixes”
Logo temos a conversão de A para I mantendo a veracidade.
A conversão da proposição O:”Todos os ovos de galinha não são não são ovos
brancos” para O:”Todos os ovos brancos não são ovos de galinha” é aúnica das
quatro que não funciona a conversão, ou que a conversão é inválida.
Deste modo temos o quadro das conversões que considera todo conversão,
possível, uma inferência dado que a veracidade da primeira leva à segunda
também verdadeira.
A: Todo S é P I: Algum P é S
E: Nenhum S é P E: Nenhum P é S
I: Algum S é P I:Algum P é S
O: Algum S não é P conversão inválida
Obversão
Na obversão as proposições universais a proposição inferida da primeira é obtida
trocando a qualidade de afirmativa para negativa, ou seja, usando o
complemento do termo predicado e mudando a designação universal de
“Todos” para “Nenhum” e vice-versa.
147 Lógica de Predicados
Nas proposições particulares mantém-se a extensão e troca-se a qualidade de
afirmativa para negativa, ou seja, usando o complemento do termo predicado.
Resultando nas seguintes obverções.
A: Todo S é P E: Nenhum S não é P
E: Nenhum S é P A: Todo S não é P
I: Algum S é P O: Algum S é P (pela dupla negação)
O: Algum S não é P I: Algum S não é P
Contraposição
Na contraposição a proposição inferida da primeira é obtida trocando o termo
sujeito pelo complemento do termo predicado e o termo predicado pelo
complemento do termo sujeito.
Fazendo a análise das proposições em linguagem natural temos que para
A:”Todos os peixes são animais que vivem na água” a contrapositiva fica como
A:”Todos os animais que não vivem na água não são peixes”, que é uma
inferência verdadeira para a proposição verdadeira dada.
Para uma proposição E:”Nenhuma galinha é animal mamífero”, sua
contrapositiva seria E:”Nenhum animal não maífero não é galinha” que não é
verdadeiro. Neste caso usamos processo semelhante a obversão e realizamos
uma subalternação antes da contraposição.
E:”Nenhuma galinha é animal mamífero”
Inferência por subalternação subalterna
O: “Alguma galinha não é animal mamífero”
Contraposição da proposição O
O: “Algum animal não mamífero não é não galinha” ou resolvendo a dupla
negação, O: “Algum animal não mamífero é galinha”
Para a proposição I:”Alguns animais que vivem na água são peixes” sua
contraposição seria ”Alguns não peixes são animais que não vivem na água” e
como sabemos existem animais não peixes e que vivem na água, logo essa
contraposição é inválida.
148 Lógica de Predicados
Para a proposição O:”Alguns ovos de galinha não são ovos brancos” sua
contraposição é O: ”Alguns ovos não brancos não, não são de galinha”,
aplicando a dupla negação O: ”Alguns ovos não brancos são de galinha” que é
verdadeiro para aproposição inicial verdadeira.
Resultando nas seguintes contaposições.
A: Todo S é P A: Todo não P não é S
E: Nenhum S é P O: Algum não P é S (pela dupla negação)
I: Algum S é P contraposição inválida
O: Algum S não é P O: Algum não P é S (pela dupla negação)
Silogismo categórico
Em um sistema dedutivo com proposições categóricas, mais de uma proposição
categórica é apresentadas como premissa. A análise das premissas através do
diagrama de Venn é uma maneira de chegar a uma inferência válida, inválida
ou indeterminada.
Apresentamos a representação dos diagramas de Venn para as proposições
categóricas, na representação geral temos que (X) significa que não há
elementos de S na região onde o símbolo se encontra, e (/) indica que há pelo
menos 1 elemento na região onde o símbolo se encontra. Deste modo temos as
seguintes interpretações
de A, temos que todos os elementos da classe S estão incluidos na classe P,
Em um argumento categórico tem-se duas premissas nas quais deve-se aplicar
o método do silogismo categórico para chegar a uma ou mais conclusões. No
silogismo categórico com duas premisas tem-se três termos o termo sujeito, o
termo predicado, já conhecidos, e o termo médio, de modo que uma das
premissas apresenta uma relação entre o termo sujeito e termo médio e a outra
entre o termo médio e o predicado.
Como exemplo podemos usar a notação S para sujeito, M para médio e P para
predicado. O diagrama utilizado para analisar o silogismo categórico é um
diagrama de Venn com a representação das três classes S,M e P como ilustra a
149 Lógica de Predicados
figura X. No silogismo catgórico para que seja possível inferir sobre a relaçao
entre S e P é necessário que o termo médio esteja distribuido nas duas
premissas.
Para exemplificar a aplicação do silogismo
categórico, vamos utilizar as seguintes
premissas:
Todo S é M
Todo M é P
O X indica que naquelas regiões não existe
elementos da classe S em relação a M, e o X
indica que naquelas regiões não existe
elementos da classe M em relação a P. O
simbolo (?) indica que não tem-se nenhuma afirmação sobre S em relação a
região, logo temos uma indefinição. Desse modo a relação de S e P é a única
intersecção entre S e P, logo Todo S é P.
Usando da conversão temos que se “Todo S é M” então “Algum M é S”, neste
caso representado pela interseção das três classes, mas nada podemos afirmar
sobre existir algum elemento da classe M que não seja S, ou seja, “Algum M não
é S” é indefinido, pois a região marcada com (?) pode ser vazia.
Outro exemplo seria com as premissas:
Algum S é M
Algum M é P
Neste caso temos um elemento de S em uma
das duas regioes de M marcadas com (/). A
seta indica que o elemento pode estar em
uma das duas marcações e não
necessariamente nas duas regiões de M.
150 Lógica de Predicados
Neste caso também temos que pelo menos um
dos elementos de M está em uma das regiões
da interseção M,P, logo não é possível afirmar
nada sobre a relação entre S e P.
Outro exemplo seria com as premissas:
Algum S é M
Nenhum M é P
Nesse argumento temos que um elemento de S
está em uma das duas regioes de M marcadas
com (/), mas como nenhum M pertence a P, então (X) anula uma das
possibilidades de S em M. Analisando o Diagrama em relação a S e P, poderíamos
dizer que “Nenhum S é P” se não fosse a incerteza (?), logo neste caso não a
relação entre S e P é indefinida.
Outro exemplo seria com as premissas:
Algum S é M
Nenhum M não é P
Neste caso podemos fazer a conversão da
segunda premissa e transforma-la em:
Todo M é P
Agora analisando o diagrama podemos inferir que
“Algum S é P” mesmo com a região de
indefinição.
Vimos exemplos onde M é predicado em uma premissa e depois sujeito em
outra. Temos situaões nas quais M é sujeito nas duas premissas.
Algum M é S
Nenhum M é P
Neste caso temos várias regiões indefinidas de
modo que a única inferência possível entre S e
P é:
Algum S não é P
151 Lógica de Predicados
Recapitulando
As proposições categóricas são classificadas em Universais e Existenciais
A: Todo S é P Universal Afirmativa
E: Nenhum S é P Universal Negativa
I: Algum S é P Particular Afirmativa
O: Algum S não é P Particular Negativa
O silogismo categórico é um argumento com duas proposições verdadeiras, ou
premissas, e uma conclusão. As premissas são do tipo universais ou existenciais
que estabelecem a relação entre três termos, o termo menos, o maior, e o
menor que aparecem uma vez em cada premissa com o termo médio presente
em duas delas.
O quadro das oposições estabelece as relações entre as proposições, sendo útil
para as inferências auxiliares no processo dedutivo do silogismo categórico.O
uso do diagrama de Venn também auxilia no silogismo categórico.
Referências bibliográficas do capítulo
LAUSCHE, Roque. Lógica formal: Técnica deo desenvolvimento do raciocínio.
Porto Alegre: Sulina, 1997.
BARONETT, Stan. Lógica: Uma introdução voltadas para as ciências. Porto
Alegre: Bookman, 2009.
Atividades
Identifique os termos sujeito, médio e predicado dos seguintes silogismos
categóricos
Todos os artistas são seres criadores
Todos os seres criadores são homens
Logo, todos os artistas são homens
Termo sujeito: artistas
Termo médio: criadores
Termo predicado: homens
Alguns mamíferos são quadrúpedes
Todos os mamíferos são animais
Logo, alguns animais são quadrúpedes
152 Lógica de Predicados
Termo sujeito: animais
Termo médio: mamíferos
Termo predicado: quadrúpedes
Formule a negação das sentenças abaixo:
Nenhum filósofo é grego.
Algum filósofo é grego.
Todo brasileiro é fanático por futebol.
Algum brasileiro não é fanático por futebol.
Existem mamíferos aquáticos.
Nenhum mamífero é aquático.
Filósofos são bons matemáticos.
Algum filósofo é mau matemático.
Algumas guerras são justas.
Nenhuma guerra é justa.
Determine os silogismos categóricos quantificando S em relaçao a P
Todo M não é S
Todo P é M
Algum M é S
Todo M é P
Verifique a validade dos silogismos categóricos
Nenhum S é M
Todo P é M
Algum S é P
Falso
Todo S não é M
Todo M é P
Todo S não é P
Verdadeiro
Construa os diagramas de Venn dos seguintes silogismos categóricos
Algum S é M
Nenhum M não é P
Algum S é P
153 Lógica de Predicados
Todo S é M
Todo P não é M
Nenhum P é S
Gabarito
Identifique os termos sujeito, médio e predicado dos seguintes silogismos
categóricos
Termo sujeito: artistas
Termo médio: criadores
Termo predicado: homens
Termo sujeito: animais
Termo médio: mamíferos
Termo predicado: quadrúpedes
Formule a negação das sentenças abaixo:
Nenhum filósofo é grego.
Algum filósofo é grego.
Todo brasileiro é fanático por futebol.
Algum brasileiro não é fanático por futebol.
Existem mamíferos aquáticos.
Nenhum mamífero é aquático.
Filósofos são bons matemáticos.
Algum filósofo é mau matemático.
Algumas guerras são justas.
Nenhuma guerra é justa.
Determine os silogismos categóricos quantificando S em relaçao a P
Todo M não é S
Todo P é M
Todo S não é P
Algum M é S
Todo M é P
Algum S é P
Verifique a validade dos silogismos categóricos
Falso
Verdadeiro
154 Lógica de Predicados
Construa os diagramas de Venn dos seguintes silogismos categóricos
Algum S é M
Nenhum M não é P
Algum S é P
Todo S é M
Todo P não é M
Nenhum P é S
155 Lógica de Predicados
Tablês Semânticos
Agostinho Iaqchan Ryokiti Homa12
12 Bacharel em Matemática Aplicada a Informática e Mestre em Ensino de Ciências e Matemática pela
Universidade Luterana do Brasil. Professor dos Cursos de Ciência da Computação, Engenharias e
Licenciatura em Matemática da ULBRA.
156 Lógica de Predicados
Introdução
Estudamos o Sistema de dedução natural, a Lógica de predicados e Silogismos
categóricos sendo possível chegarmos a uma conclusão. Nos Tablôs semânticos
é possível verificar a veracidade do argumento mas para tal é necessário que
se tenha, além das premisas, a conclusão. Neste capítulo estudaremos como
construir os tablês semânticos para a Cálculo Proposicional Clássico (CPC), cujas
proposições não envolvem quantificadores e para o Cálculo Quantificacional
Clássico (CQC), que envolvem os quantificadores.
Tablô Semântico
Os tablôs semanticos ou árvores semântica foi desenvolvido por Evert Willem
Beth como um sistema de dedução formal de conhecimento como um modo
alternativo a verificação por tabelas verdade e o cálculo proposisional.
A verificação das tautologias em um argumento complexo pode ser demasiado
trabalhoso para ser realizado por tabelas verdade e os tablôs semânticos são
uma alternativa para o cálculo proposicional.
Os tablôs semânticos são um sistema de dedução que estabelece estruturas que
possibilitam a representação e a dedução formal de conhecimento. Para o
cálculo proposicional, através de tablôs semânticos, definem-se os seguintes
elementos básicos:
alfabeto da Lógica Proposicional;
conjunto das fórmulas da Lógica Proposicional
conjunto de regras de dedução.
O alfabeto e as fórmulas são as mesmas do cálculo proposicional clássico, o que
difere é como são apresentadas as regras de dedução que definem o mecanismo
de inferência, permitindo a dedução dos argumentos. São apresentados os
157 Lógica de Predicados
Como exemplo podemos verificar o argumento do silogismo disjuntivo.
¬B ∧ (A ∨ B) ⇒ A.
Temos que a validade de argumento pode ser verificada reescrevendo o mesmo
como uma implicação lógica de modo que, ¬B ∧ (A ∨ B) → A, seja uma
tautologia, logo o método do tablô semântico consiste em verificar a validade
do argumento por redução ao absurdo, ou seja, provar que a negação do
argumento é uma contradição.
Deste modo o argumento é negado e, utilizando das regras de inferência,
constroe-se a árvore semântica (tablô semântico) buscando por inferências
contraditórias que permite concluir que a hipótese é inválida, ou que o
argumento, sem negar, é válido.
Para o exemplo, a primeira coisa a ser realizada é adotar que o argumento é
falso, a seguir aplica-se as regras de inferência. Neste caso aplicamos a regra
de inferência para a negação da implicação lógica que resulta nas linhas 2 e 3.
A seguir usa-se na linha 2 a inferência da conjunção que resulta nas linhas 4 e
5. Depois usamos na linha 5 a inferência da disjunção que nos leva a ramificação
em 6.
Verificamos então que o ramo da esquerda contradiz a linha 3 e o ramo da
direita contradiz a linha 4, logo os 2 ramos são uma contradição, logo a hipótese
inicial ¬(¬B ∧ (A ∨ B) → A) é falsa, o que leva ao argumento inicial
B ∧ (A ∨ B) → A como verdadeiro.
Argumento (¬B ∧ (A ∨ B)) → A
negação do argumento ¬ ((¬B ∧ (A ∨ B)) → A) ok
inferência de 1 ¬B ∧ (A ∨ B) ok
inferência de 1 ¬A
inferência de 2 ¬B
inferência de 2 A ∨ B ok
inferência de 5 / \
A B
Contradição com a linha 3
Contradição com a linha 4
Ressalta-se que as inferências não podem ser utilizadas mais de uma vez
(convém fazer uma marcação para indicar o uso da mesma, no material utilizou-
158 Lógica de Predicados
se um ok), e todos os ramos devem terminar em uma contradição para que o
argumento seja considerado uma tautologia. Caso um dos ramos não seja uma
contradição então o argumento é uma contingência, ou indeterminação.
Como próximo exemplo apresenta-se o método da afirmação resolvido pelo
tablô semântico. Neste caso o argumento é A ∧ (A → B) ⇒ B, logo a hipótese
pela redução ao absurdo e que deve ser provado como contradição é
¬ ((A ∧ (A → B)) → B).
Argumento A ∧ (A → B) → B
negação do argumento ¬(A ∧ (A → B) → B) ok
inferência de 1 A ∧ (A → B) ok
inferência de 1 ¬B
inferência de 2 A
inferência de 2 A → B ok
inferência de 5 / \
¬A B
Contradição com a linha 4
Contradição com a linha 3
Para o método da negação no tablô semântico, cujo o argumento é
¬B ∧ (A → B) → A, temos a hipótese pela redução ao absurdo que
¬(¬B ∧ (A → B) → A).
Argumento ¬B ∧ (A → B) → ¬A
negação do argumento ¬(¬B ∧ (A → B) → ¬A) ok
inferência de 1 ¬B ∧ (A → B) ok
inferência de 1 A
inferência de 2 ¬B
inferência de 2 A → B ok
inferência de 5 / \
¬A B
159 Lógica de Predicados
Contradição com a linha 3
Contradição com a linha 4
Para De Morgan no tablô semântico, cujo o argumento é
¬(A ∧ B) → (¬A ∨ ¬B), temos a hipótese pela redução ao absurdo que
¬(¬(A ∧ B) → (¬A ∨ ¬B)).
Argumento ¬(A ∧ B) → (¬A ∨ ¬B)
negação do argumento ¬(¬(A ∧ B) → (¬A ∨ ¬B)) ok
inferência de 1 ¬(A ∧ B) ok
inferência de 1 ¬(¬A ∨ ¬B) ok
inferência de 3 A
inferência de 3 B
inferência de 2 / \
¬A ¬B
Contradição com a linha 4
Contradição com a linha 5
Para o caso de uma contingência verificamos que não temos uma contradição
no fim da árvore. Para o argumento (¬(A ∧ B) ∧ ((A ∧ B) → C)) ⇒ ¬C temos o
seguinte tablô semântico.
Argumento (¬(A ∧ B) ∧ ((A ∧ B) → C)) → ¬C
negação do argumento
¬ ((¬(A ∧ B) ∧ ((A ∧ B) → C)) → ¬C) ok
inferência de 1 ¬(A ∧ B) ∧ ((A ∧ B) → C) ok
inferência de 1 ¬C
inferência de 2 ¬(A ∧ B) ok
inferência de 2 (A ∧ B) → C ok
inferência de 5 / \
¬(A ∧ B) C
160 Lógica de Predicados
inferência de 6 a esquerda
/ \ Contradição com a linha 3
¬A ¬B
inferência de 4 a esquerda
¬A ¬B
contigência contigência
Neste exemplo temos o ramo da direita terminando em contradição, mas os
dois ramos que derivam a esquerda em 5 não terminam em contradição, o que
define a hipótese como uma contigência, logo o argumento inicial não é uma
tautologia.
Esses exemplos apresentam a construção de tablôs semânticos para proposições
dentro do Cálculo Proposicional Clássico (CPC), cujas proposições não envolvem
quantificadores. Para o Cálculo Quantificacional Clássico (CQC) os tablôs
semânticos seguem as mesmas regras que no CPC com a adição de regras para
a identidade dentro da estrutura lógica com quantificadores. instanciação das
variáveis livre para a valoração da veracidade ou falsidade das premissas.
Como no CPC as regras são aos pares, uma inferência e negação da mesma, e
que agora se apresentam em conjunto com os quantificadores, Universal e
Existencial.
Deste modo em uma estrutura lógica U para a linguagem L do cálculo de
predicados pode-se definir se uma fórmula é verdadeira ou falsa ao se formar
L(U), ou seja, caracterizar cada um dos elementos do universo de U e verificar
a validade de U.
No CQC as regras que envolvem quantificadores e a instanciação são definidas
considerando a veracidade e falsidade das proposições de acordo com os
quantificadores universal e existencial, totalizando quatro regras.
Para ∀xA(x) V, tem-se A(x|t) V, para qualquer t do Universo
Para ∀𝑥𝐴(𝑥) F, tem-se 𝐴(𝑥|𝑡) F, para k novo no ramo
Para ∃xA(x) V, tem-se A(x|t) V, para k novo no ramo
Para ∃xA(x) F, tem-se A(x|t) F, para qualquer t do Universo
Verifica-se que a primeira regra é uma proposição universal, pois se é verdade
que todos os elementos do conjunto universo possuem a propriedade A, então
é verdade que um elemento qualquer nominado em A.
De modo similar temos que a quarta regra é uma proposição universal, pois
usando das equivalências lógicas para a negação de quantificadores temos que
161 Lógica de Predicados
a negação do existencial é um universal, ¬∃xA(x) ⇔ ∀x¬A(x), logo se não
existe pelo menos um elemento do conjunto universo que possua a propriedade
A, então todos não possuem a propriedade.
Para a segunda regra usando também a equivalência da negação de
quantificadores, temos que, apesar do quantificador universal a proposição é
existencial, pois ¬∀xA(x) ⇔ ∃x¬A(x).
Na segunda e terceira regra tem-se de tomar cuidados na instanciação dos
quantificadores para não cair em uma falácia. No processo de construção do
tablô semântico deve-se ter o cuidado de não instanciar proposições com
quantificadores existenciais com uma constante já utilizada, isso porque se uma
contantante t que satisfaz, em uma instanciação anterior, uma determinada
proposição, pode não satisfazer a proposição existencial.
Quando o argumento tiver uma proposição existencial e as demais universais,
convém, sempre que possível, iniciar as instanciações pela proposição
existencial, pois se algum t atende uma proposição existencial, é verdadeiro
que ele atende a proposição universal.
Quando houverem mais de uma proposição existêncial a cada instanciação
inclui-se uma nova constante que deve ser verificada nas demais proposições.
Para melhor aplicação das regras de inferência envolvendo os quantificadores,
adota-se a notação:
∀xA(x)V → A(x|t)V ⇔ ∀xA(x) → A(t) Instanciação Universal (IU)
∀xA(x)F → A(x|t)F ⇔ ¬∀xA(x) → ¬A(t) Instanciação Existencial (IE)
∃xA(x)V → A(x|t)V ⇔ ∃xA(x) → A(t) Instanciação Existencial (IE)
∃xA(x)F → A(x|t)F ⇔ ¬∃xA(x) → ¬A(t) Instanciação Universal (IU)
Para as regras verdadeiras a troca é direta e de fácil compreensão, para
entender a notação utilizada nas proposições falsas exemplificamos com o
segundo caso onde temos que é falso que ∀xA(x), logo é verdade a negação da
mesma, ous eja, é verdadeiro que ¬∀xA(x).
Algumas literaturas trabalham indicando F ou V na frente das proposições, o
autor prefere o uso somente da notação com os operadores lógicos no cálculo
proposicional evitanto interpretações equivocadas durante as inferencias.
As regras de inferência com os operadores no CQC são as mesmas do CPC,
tomando o devido cuidado na ordem de aplicação das instanciações e das regras
de inferência.
162 Lógica de Predicados
Regra do CPC Certo Errado Primeiro se faz a instanciação
¬(A ∨ B)
¬A
¬B
¬(∀xA(x) ∨ ∀xB(x))
¬∀xA(x)
¬∀xB(x)
¬∀x(A(x) ∨ B(x))
¬∀xA(x)
¬∀xB(x)
¬(A(c) ∨ B(c))
¬A(c)
¬B(c)
Para exemplificar verificaremos uma tautologia somente com proposições
universais que torna fácil a construção do tablô semântico. Para a implicação
lógica ∀x (A(x) → B(x)) ⇒ (∀xA(x) → ∀xB(x)) e verificar-se-á se
∀x (A(x) → B(x)) → (∀xA(x) → ∀xB(x)) é uma tautologia.
argumento ∀x (A(x) → B(x)) → (∀xA(x) → ∀xB(x))
negação do argumento
¬ (∀x (A(x) → B(x)) → (∀xA(x) → ∀xB(x))) ok
inferência de 1 ∀x (A(x) → B(x)) ok
inferência de 1 ¬(∀xA(x) → ∀xB(x)) ok
inferência de 3 ∀xA(x) ok
inferência de 3 ¬∀xB(x) ok
IE de 5 ¬B(t)
IU de 4 A(t)
IU de 2 A(t) → B(t) ok
inferência de 8 / \
¬A(t) B(t)
inferência de 9 Contradição de 6 Contradição de 7
Verifica-se que todos os ramos terminam em contradição, logo a hipótese da
negação do argumento, é falsa que leva a ser verdadeiro o argumento. Observa-
se que na linha 2 primeiro é feita a instanciação universal para depois, em 8 ser
feita a inferência o condicional.
Ressalta-se que na linha 5 tem-se a primeira instanciação que é realizada para
a proposição existencial, neste caso a constante t pode ser utilizada nas demais
instanciações pois as mesmas são universais.
163 Lógica de Predicados
Agora apresenta-se uma falácia, ou seja, um argumento que não é uma
tautologia. Observamos que em linguagem natural a sentença se apresenta
como argumento aparentemente válido. São essas interpretações equivocadas
que facilmente acabam com a veracidade de um argumento complexo, por isso
as provas devem fazer uso dos instrumentos da lógica que validam de maneira
irrefutável um argumento.
Para exemplificar uma falácia, apresenta-se uma implicação lógica que não é
uma tautologia ∀x (A(x) ∨ B(x)) ⇒ (∀xA(x) ∨ ∀xB(x)).
argumento ∀x (A(x) ∨ B(x)) → (∀xA(x) ∨ ∀xB(x))
negação do argumento
¬ (∀x (A(x) ∨ B(x)) → (∀xA(x) ∨ ∀xB(x))) ok
inferência de 1 ∀x (A(x) ∨ B(x)) ok
inferência de 1 ¬ ((∀xA(x) ∨ ∀xB(x))) ok
inferência de 3 ¬∀xA(x) ok
inferência de 3 ¬∀xB(x) ok
IE de 4 para x|a ¬A(a)
IE de 5 para x|b ¬B(b)
IU de 2 para x|a A(a) ∨ B(a) ok
inferência de 8 / \
A(a) B(a)
inferência de 9 Contradição de 6
IU de 2 para x|a
/ \
A(b) B(b)
inferência de 9 Contingência Contradição de 7
Verifica-se que temos proposições existenciais nas linhas 4 e 5 que são
instanciadas em 6 e 7, a instanciação de 4 em 6 é realizada valorando a
proposição com a constante “a”, na instanciação de 5 em 7 usa-se “b” pois não
164 Lógica de Predicados
há a garantia de que a constante “a” atende a proposição B(x). Essas
instanciações exigem que a proposição universal 2 seja instanciada por “a” e
“b” e verificar a contradição em todas os ramos, fato que não ocorre nesse
argumento.
Agora verificaremos a tautologia do argumento anterior com quantificadores
existenciais, ∃x (A(x) ∨ B(x)) ⇒ (∃xA(x) ∨ ∃xB(x)).
argumento ∃x (A(x) ∨ B(x)) → (∃xA(x) ∨ ∃xB(x))
negação do argumento
¬ (∃x (A(x) ∨ B(x)) → (∃xA(x) ∨ ∃xB(x))) ok
inferência de 1 ∃x (A(x) ∨ B(x)) ok
inferência de 1 ¬ ((∃xA(x) ∨ ∃xB(x))) ok
inferência de 3 ¬∃xA(x) ok
inferência de 3 ¬∃xB(x) ok
IU de 2 para x|a A(a) ∨ B(a) ok
inferência de 8 / \
A(a) B(a)
IU de 4 e 5 para x|a ¬A(a) ¬B(a)
inferência de 9 Contradição de 7 Contradição de 7
Verifica-se que temos proposições com quantificadores existenciais nas linhas
2 e 3, mas depois de aplicar a inferência da negação da disjunção em 3 temos
que as proposições em 4 e 5 são universais. Deste modo inicia-se a instanciação
de 2 por ser a única proposição existencial valorando com a constante “a” que
depois é utilizada em 4 e 5 pois as mesmas são proposições universais mesmo
com os quantificadores existenciais. Deste modo todos os ramos do tablô geram
contradições, que com consequência leva o argumento a ser verdadeiro.
Outro exemplo de um silogismo é verificação da implicação lógica
∃x (A(x) → B(x)) ⇒ (∃xA(x) → ∃xB(x)) que não sera uma tautologia.
argumento ∃x (A(x) → B(x)) → (∃xA(x) → ∃xB(x))
165 Lógica de Predicados
negação do argumento
¬ (∃x (A(x) → B(x)) → (∃xA(x) → ∃xB(x))) ok
inferência de 1 ∃x (A(x) → B(x)) ok
inferência de 1 ¬(∃xA(x) → ∃xB(x)) ok
inferência de 3 ∃xA(x) ok
inferência de 3 ¬∃xB(x) ok
IE de 4 A(a)
IE de 2 A(b) → B(b) ok
inferência de 7 / \
¬A(b) B(b)
IU de 5 ¬B(a) ¬B(b)
inferência de 9 Contingência Contradição de 8
Verifica-se que as instanciações em 6, 8 e 9 não terminam em contradição, logo
o argumento não é uma tautologia. Note que a instanciação de 5 em 9 ocorre
para as duas variáveis “a” e “b” que foram indroduzinas nas instanciações das
duas proposições existenciais 6 e 7, ressalta-se que as mesmas por serem
existenciais exigem a introdução de duas constates diferentes.
Recapitulando
Os tablôs semânticos são uma poderosa ferramenta para o cálculo proposicional
clássico e cálculo quantificado clássico, por verificar somente as situações
verdadeiras, seu processo é mais otimizado e utilizado na computação para
verificação de algoritmos.
Diferente da dedução natural que é possível utilizar qualquer uma das
inferencias, durante o processo dedutivo, desde que todas as premissas tenha
sido utilizadas, nos tablôs semânticos trabalha-se com as premissas e a
conclusão, ou implicação lógica. Neste caso verifica-se se não há uma falha no
processo dedutivo e se a conclusão é verdadeira para as premissas dadas.
Neste processo usa-se da redução ao absurdo, adotando a hipótese da conclusão
ser falsa e , se todos os ramos terminarem um uma contradição, então sendo
falsa a hipótese tem-se como verdadeira a conclusão inicial.
Referências bibliográficas do capítulo
166 Lógica de Predicados
MORTARI, Cezar A. Introdução à lógica. São Paulo: Unesp, 2001.
BOOLOS, George S.;BURGESS, John; JEFFREY, Richard C. Computabilidade e
Lógica. São Paulo: Unesp,2013
167 Lógica de Predicados
Atividade
Use tablôs semânticos no CPC e confirme as implicações lógicas
(A → (B → C)) ∧ (A → B) ∧ A ⇒ C
(A → B) ∧ ((A ∧ B) → C) ∧ ¬(A ∧ C) ⇒ ¬A
(A → B) ∧ (B→C) ∧ (D → F) ∧ (A ∧ D) ⇒ C ∧ F
Usando dos tablôs semânticos determine se os argumentos são válidos ou
não.
(∃xA(x) ∧ ∀xB(x)) ⇒ ∃x(A(x)∧B(x))
∃x(A(x)→B(x)) ∧ ∀xA(x) ⇒ ∃xB(x)
∃x(A(x)∧B(x)) ⇒ (∃xA(x) ∧ ∃xB(x))
168 Lógica de Predicados
Gabarito de Atividade
Use tablôs semânticos no CPC e confirme as implicações lógicas
(A → (B → C)) ∧ (A → B) ∧ A ⇒ C
Argumento ((A → (B → C)) ∧ (A → B) ∧ A) → C
1 ¬((A → (B → C) ∧ (A → B) ∧ A) → C) ok
2 (A → (B → C) ∧ (A → B) ∧ A) ok
3 ¬C ok
4 A ok
5 (A → B) ok
6 A → (B → C) ok
/ \
7 ¬A B ok
Contradição com 4
/ \
8 ¬A B → C ok
9 Contradição com 4
¬B C ok
Contradição com 7
Contradição com 3
169 Lógica de Predicados
(A → B) ∧ ((A ∧ B) → C) ∧ ¬(A ∧ C) ⇒ ¬A
Argumento (A → B) ∧ ((A ∧ B) → C) ∧ ¬(A ∧ C) → ¬A
1 ¬ ((A → B) ∧ ((A ∧ B) → C) ∧ ¬(A ∧ C) → ¬A ) ok
2 A ok
3 (A → B) ∧ ((A ∧ B) → C) ∧ ¬(A ∧ C) ok
4 (A → B) ok
5 ((A ∧ B) → C) ok
6 ¬(A ∧ C) ok
/ \
7 ¬A B ok
Contradição com 2 / \
8 ¬(A ∧ B) C ok
/ \ / \
9 ¬A ¬B ¬A ¬C ok
Contradição com 2
Contradição com 7
Contradição com 2
Contradição com 8
170 Lógica de Predicados
(A → B) ∧ (B→C) ∧ (D → F) ∧ (A ∧ D) ⇒ C ∧ F
Argumento (A → B) ∧ (B→C) ∧ (D → F) ∧ (A ∧ D) → C ∧ F
1 ¬ (((A → B) ∧ (B → C) ∧ (D → F) ∧ (A ∧ D))
→ C ∧ F)
OK
2 I 1 ¬(C ∧ F) OK
3 I 1 ((A → B) ∧ (B → C) ∧ (D → F) ∧ (A ∧ D)) OK
4 I 3 (A ∧ D) OK
5 I 3 (D → F) OK
6 I 3 (A → B) OK
7 I 3 (B → C) OK
8 I 4 A
9 I 4 D
/ \
10 I 5 ¬D F OK
Contradição com 9
/ \
11 I 2 ¬C ¬F OK
12 I 7 ¬B C Contradição com 10
¬A B Contradição com 11
Contradição com 8
Contradição com 12
171 Lógica de Predicados
Usando dos tablôs semânticos determine se os argumentos são válidos ou
não.
(∃xA(x) ∧ ∀xB(x)) ⇒ ∃x(A(x)∧B(x))
Argumento (∃xA(x) ∧ ∀xB(x)) → ∃x(A(x) ∧ B(x))
1 ¬ ((∃xA(x) ∧ ∀xB(x)) → ∃x(A(x) ∧ B(x)))
2 I 1 (∃xA(x) ∧ ∀xB(x))
3 I 1 ¬∃x(A(x) ∧ B(x))
4 I 2 ∃xA(x)
5 I 2 ∀xB(x)
6 IE 4 A(a)
7 IU 5 B(a)
8 IU 3 ¬(A(a) ∧ B(a))
/ \
9 ¬A(a) ¬B(a)
Contradição de 6 Contradição de 7
172 Lógica de Predicados
∃x(A(x)→B(x)) ∧ ∀xA(x) ⇒ ∃xB(x)
Argumento ∃x(A(x) → B(x)) ∧ ∀xA(x) → ∃xB(x)
1 ¬ ((∃x(A(x) → B(x)) ∧ ∀xA(x)) → ∃xB(x))
ok
2 I 1 (∃x(A(x) → B(x)) ∧ ∀xA(x)) ok
3 I 1 ¬∃xB(x) ok
4 I 2 ∃x(A(x) → B(x)) ok
5 I 2 ∀xA(x) ok
6 IE 4 A(a) → B(a) ok
/ \
7 ¬A(a) B(a) ok
IU 5 A(a) |
IU 3 Contradição de 7 ¬B(a)
Contradição de 7
∃x(A(x)∧B(x)) ⇒ (∃xA(x) ∧ ∃xB(x))
Argumento ∃x(A(x) ∧ B(x)) → (∃xA(x) ∧ ∃xB(x))
1 ¬ (∃x(A(x) ∧ B(x)) → (∃xA(x) ∧ ∃xB(x))) ok
2 I 1 ∃x(A(x) ∧ B(x)) ok
3 I 1 ¬(∃xA(x) ∧ ∃xB(x)) ok
4 IE 2 A(a) ∧ B(a) ok
5 I 4 A(a) ok
6 I 4 B(a) ok
/ \
7 I 3 ¬∃xA(x) ¬∃xB(x) ok
8 IU 7 ¬A(a) ¬B(a)
Contradição de 5 Contradição de 6
173 Lógica de Predicados
174 Lógica de Predicados
175 Lógica de Predicados
Bom trabalho, professor-autor!
Ao finalizar a produção, envie este arquivo para o e-mail
conteú[email protected] com o nome da disciplina no assunto.
A entrega dos textos originais será aceita apenas se todos os capítulos estiverem
em um único arquivo com todas as seções preenchidas.
Caso tenha dúvidas sobre a produção do livro didático, entre em contato com
o LAC ou com a coordenação do seu curso.
LAC – Prédio 11, sala 123
Fone: 3462.9534 (direto) ou 3477.4000 Ramal: 9534 / 2844
Equipe LAC - EAD
Claudiane Furtado – Coordenadora
Luiz Specht – Coordenador Adjunto
Gerson Brisolara – Jornalista
Aline Guterres – Jornalista
Rafaele Caroline da Silva – Jornalista
Jeane Oliveira – Jornalista
Vanessa Ramos Furtado da Silva –
Jornalista
Cristiano Lopes – Animador 3D
Felipe Pereira – Programador
Ane Sefrin Arduim – Revisora de
Textos
Igor Campos Dutra – Revisor de
Textos
Jonatan Souza – Diagramador
Marcelo Ferreira – Diagramador
Rogério Lopes – Ilustrador
Joe Beck – Desenhista
Jeferson Nunes – Líder II
(responsável operações/edições)
Tiago Pereira – Operador de Câmera
176 Lógica de Predicados
Celso Rodrigues – Repórter
Cinematográfico
Jonas Pinheiro – Assistente de
Produção
Douglas Coutinho – Editor VT
Guilherme Oliveira – Editor de vídeo
Klaus Frantz – Editor de vídeo
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