Lógica de Predicados

Conteúdo

� Correção Exercícios� Operações Lógicas sobre Predicados

� Condicional

� Quantificador de Unicidade (Rosen – 37)� Quantificadores com Restrição (Rosen – 38)� Tradução Português-Lógica (Rosen – 42)

N2� AED 1:

� Valor 1.0

� AED 2: � Valor 1.0

� AED 3: � Valor 1.0

� Participação� Valor 1.0

� AI: � Valor 1.0

5.0 + Prova 3 = 10.0

Cronograma� 20/11 Lógica de Predicados� 24/11 Lógica de Predicados� 27/11 Lógica de Predicados� 01/12 Regras de Inferência� 04/12 Regras de Inferência� 08/12 Regras de Inferência� 11/12 Revisão� 15/12 Prova 3� 18/12 Correção e Entrega da prova 3

Exercícios

� Determinar o conjunto verdade em N dos predicados.� P(x) = “2x = 6”� P(x) = “x – 1 < 4”� P(x) = “5x + 6 = 0”� P(x) =“x2-x-2”

Exercícios

� Determinar o conjunto verdade em N dos predicados.� P(x) = “2x = 6” CV={3}� P(x) = “x – 1 < 4”� P(x) = “5x + 6 = 0”� P(x) =“x2-x-2”

Exercícios

� Determinar o conjunto verdade em N dos predicados.� P(x) = “2x = 6” CV={3}� P(x) = “x – 1 < 4” CV={0,1,2,3,4}� P(x) = “5x + 6 = 0”� P(x) =“x2-x-2”

Exercícios

� Determinar o conjunto verdade em N dos predicados.� P(x) = “2x = 6” CV={3}� P(x) = “x – 1 < 4” CV={0,1,2,3,4}� P(x) = “5x + 6 = 0” CV={ }� P(x) =“x2-x-2”

Exercícios

� Determinar o conjunto verdade em N dos predicados.� P(x) = “2x = 6” CV={3}� P(x) = “x – 1 < 4” CV={0,1,2,3,4}� P(x) = “5x + 6 = 0” CV={ }� P(x) =“x2-x-2” CV={2}

Exercícios

� Dados os conjuntosA={ -2,0,1,2}B={-1,0,3}

Determinar o conjunto verdade de P(x,y)=“x+y < 1” x�A e y�B

Exercícios

� Dados os conjuntosA={ -2,0,1,2}B={-1,0,3}

Determinar o conjunto verdade de P(x,y)=“x+y < 1” x�A e y�B

CV = { (-2,-1), (-2,0), (0,-1), (0,0), (1,-1)}

Exercícios Rosen – pg 46

1) Considere P(x) como o predicado “x� 4”. Quais são os valores verdade das proposições abaixo?

a) P(0)b) P(4)c) P(6)


1) Considere P(x) como o predicado “x� 4”. Quais são os valores verdade das proposições abaixo?

a) P(0) é Verdadeb) P(4) é Verdadec) P(6) é Falso


2) Considere P(x) como o predicado “a palavra x contém a letra a”. Quais são os valores verdade das proposições abaixo?

a) P(orange)b) P(lemon)c) P(true)d) P(false)


2) Considere P(x) como o predicado “a palavra x contém a letra a”. Quais são os valores verdade das proposições abaixo?

a) P(orange) é Verdadeb) P(lemon) é Falsoc) P(true) é Falsod) P(false) é Verdade


2) Considere Q(x,y) como o predicado “x é a capital de y”. Quais são os valores verdade das proposições abaixo?

a) Q(Denver, Colorado)



a) Q(Denver, Colorado) é Verdadeb) Q(Detroir, Michigan)



a) Q(Denver, Colorado) é Verdadeb) Q(Detroir, Michigan) é Falso capital é Lansingc) Q(Massachusetts, Boston)



a) Q(Denver, Colorado) é Verdadeb) Q(Detroir, Michigan) é Falso capital é Lansingc) Q(Massachusetts, Boston) é Verdaded) Q(Nova York, Nova York)



a) Q(Denver, Colorado) é Verdadeb) Q(Detroir, Michigan) é Falso capital é Lansingc) Q(Massachusetts, Boston) é Verdaded) Q(Nova York, Nova York) é F capital é Albany


4) Constate o valor de x depois que o comando if P(x) then x:=1 for executada, em que P(x) é a proposição “x>1”, se o valor de x, quando essa proposição for alcançada, for

a) x=0; Resp. 0b) x=1; Resp. 1c) x=2; Resp 1

Exercícios – Rosen(47)

11) Considere P(x) como o predicado “x =x2”. Se o domínio forem os números inteiros, quais serão os valores-verdade?

a) P(0)b) P(1)c) P(2)d)P(-1)e) �x P(x) f) �x P(x)

{...,-2,-1,0,1,2,...}



a) P(0) = “0 =02” é Verdadeb) P(1)c) P(2)d)P(-1)e) �x P(x) f) �x P(x)



a) P(0) = “0 =02” é Verdadeb) P(1) = “1 =12” é Verdadec) P(2)d)P(-1)e) �x P(x) f) �x P(x)



a) P(0) = “0 =02” é Verdadeb) P(1) = “1 =12” é Verdadec) P(2) = “2 =22” é Falsod)P(-1)e) �x P(x) f) �x P(x)



a) P(0) = “0 =02” é Verdadeb) P(1) = “1 =12” é Verdadec) P(2) = “2 =22” é Falsod)P(-1) = “-1 =-12” é Falsoe) �x P(x) f) �x P(x)



a) P(0) = “0 =02” é Verdadeb) P(1) = “1 =12” é Verdadec) P(2) = “2 =22” é Falsod)P(-1) = “-1 =-12” é Falsoe) �x P(x) a,b mostram que é Verdadef) �x P(x)



a) P(0) = “0 =02” é Verdadeb) P(1) = “1 =12” é Verdadec) P(2) = “2 =22” é Falsod)P(-1) = “-1 =-12” é Falsoe) �x P(x) a,b mostram que é Verdadef) �x P(x) c,d são contra exemplos,Falso


12) Considere Q(x) como o predicado “x+1>2x”. Se o domínio forem os números inteiros, quais serão os valores-verdade?

a) Q(0)b) Q(-1)c) Q(2)d) �x Q(x)e) �x Q(x) f) �x ~Q(x)g) �x ~Q(x)



a) Q(0) = “0 +1>2x0” é Verdadeb) Q(-1)c) Q(2) d) �x Q(x)e) �x Q(x) f) �x ~Q(x)g) �x ~Q(x)



a) Q(0) = “0 +1>2x0” é Verdadeb) Q(-1) = “-1+1>2x-1” é Verdadec) Q(2) d) �x Q(x)e) �x Q(x) f) �x ~Q(x)g) �x ~Q(x)



a) Q(0) = “0 +1>2x0” é Verdadeb) Q(-1) = “-1+1>2x-1” é Verdadec) Q(2) = “2+1>2x2” é Falsod) �x Q(x)e) �x Q(x) f) �x ~Q(x)g) �x ~Q(x)



a) Q(0) = “0 +1>2x0” é Verdadeb) Q(-1) = “-1+1>2x-1” é Verdadec) Q(2) = “2+1>2x2” é Falsod) �x Q(x) a,b mostram que é Verdadee) �x Q(x) f) �x ~Q(x)g) �x ~Q(x)



a) Q(0) = “0 +1>2x0” é Verdadeb) Q(-1) = “-1+1>2x-1” é Verdadec) Q(2) = “2+1>2x2” é Falsod) �x Q(x) a,b mostram que é Verdadee) �x Q(x) c é contra exemplo, é Falsof) �x ~Q(x)g) �x ~Q(x)



a) Q(0) = “0 +1>2x0” é Verdadeb) Q(-1) = “-1+1>2x-1” é Verdadec) Q(2) = “2+1>2x2” é Falsod) �x Q(x) a,b mostram que é Verdadee) �x Q(x) c é contra exemplo, é Falsof) �x ~Q(x) c mostra que é Verdadeg) �x ~Q(x)



a) Q(0) = “0 +1>2x0” é Verdadeb) Q(-1) = “-1+1>2x-1” é Verdadec) Q(2) = “2+1>2x2” é Falsod) �x Q(x) a,b mostram que é Verdadee) �x Q(x) c é contra exemplo, é Falsof) �x ~Q(x) c mostra que é Verdadeg) �x ~Q(x) a,b são contra exemplos, Falso


13) Determine o valor verdade de cada uma destas proposições, se o domínio forem todos os números inteiros.

a) �n (n+1>n)b) �n (2n = 3n)c) �n (n = -n)d) �n (n2 �n)



a) �n (n+1>n) é Verdadeb) �n (2n = 3n)c) �n (n = -n)d) �n (n2 �n)



a) �n (n+1>n) é Verdadeb) �n (2n = 3n) é Verdade (Qual?)c) �n (n = -n)d) �n (n2 �n)



a) �n (n+1>n) é Verdadeb) �n (2n = 3n) é Verdade (Qual?)c) �n (n = -n) ????d) �n (n2 �n)



a) �n (n+1>n) é Verdadeb) �n (2n = 3n) é Verdade (Qual?)c) �n (n = -n) ????d) �n (n2 �n) é Verdade


14) Determine o valor verdade de cada uma destas proposições, se o domínio forem todos os números reais.

a) �x (x3 = -1)b) �x (x4 < x2)c) �x ((-x)2 = x2)d) �x (2x > x)



a) �x (x3 = -1) é Verdade. Qual?b) �x (x4 < x2) c) �x ((-x)2 = x2)d) �x (2x > x)



a) �x (x3 = -1) é Verdade. Qual?b) �x (x4 < x2) é Verdade.c) �x ((-x)2 = x2)d) �x (2x > x)



a) �x (x3 = -1) é Verdade. Qual?b) �x (x4 < x2) é Verdadec) �x ((-x)2 = x2) é Verdaded) �x (2x > x)



a) �x (x3 = -1) é Verdade. Qual?b) �x (x4 < x2) é Verdadec) �x ((-x)2 = x2) é Verdaded) �x (2x > x) é Falso. Qual o contra exemplo?



a) �x (x3 = -1) é Verdade.b) �x (x4 < x2) é Verdadec) �x ((-x)2 = x2) é Verdaded) �x (2x > x) é Falso.

No Futuro!!!! Para provar c) usaremos a contradição (negação).

Voltando às Operações

� Condicional� Temos:

P(x) = “x2 – 5x + 6 = 0”Q(x) = “x2 – 9 = 0”

P(x) � Q(x) Lê se: Se “x2 – 5x + 6 = 0” então “x2 – 9 = 0”

Condicional

Seja: P(x) = “x|12” “12 é divisível por x”

Quais são os valores verdades de P(x)?

Condicional

Seja: P(x) = “x|12” “12 é divisível por x”

Quais são os valores verdades de P(x)?12/1 = 12 12/2 = 612/3 = 4 12/4 = 312/6 = 2 12/12 = 1

Condicional

Seja: P(x) = “x|12” CV = {1,2,3,4,6,12}Q(x) = “x|45” “45 é divisível por x”

Quais são os valores verdades de Q(x)?

Condicional

Seja: P(x) = “x|12” CV = {1,2,3,4,6,12}Q(x) = “x|45” “45 é divisível por x”

Quais são os valores verdades de Q(x)?45/1 = 45 45/3 = 1545/5 = 9 45/9 = 545/15 = 3 45/45 = 1

Condicional

Seja: P(x) = “x|12” CV = {1,2,3,4,6,12}Q(x) = “x|45” CV = {1,3,5,9,15,45}

Qual valor verdade de P(1) � Q(1)?

Condicional

Seja: P(x) = “x|12” CV = {1,2,3,4,6,12}Q(x) = “x|45” CV = {1,3,5,9,15,45}


P(1) = V P(1)�Q(1) = V �VQ(1) = V P(1)�Q(1) = V

Condicional

Seja: P(x) = “x|12” CV = {1,2,3,4,6,12}Q(x) = “x|45” CV = {1,3,5,9,15,45}


Condicional

Seja: P(x) = “x|12” CV = {1,2,3,4,6,12}Q(x) = “x|45” CV = {1,3,5,9,15,45}


P(5) = F P(5)�Q(5) = F �VQ(5) = V P(5)�Q(5) = V

Condicional

Seja: P(x) = “x|12” CV = {1,2,3,4,6,12}Q(x) = “x|45” CV = {1,3,5,9,15,45}


Condicional

Seja: P(x) = “x|12” CV = {1,2,3,4,6,12}Q(x) = “x|45” CV = {1,3,5,9,15,45}


P(7) = F P(7)�Q(7) = F �FQ(7) = F P(7)�Q(7) = V

Condicional

Seja: P(x) = “x|12” CV = {1,2,3,4,6,12}Q(x) = “x|45” CV = {1,3,5,9,15,45}


Condicional

Seja: P(x) = “x|12” CV = {1,2,3,4,6,12}Q(x) = “x|45” CV = {1,3,5,9,15,45}


P(2) = V P(2)�Q(2) = V �FQ(2) = F P(2)�Q(2) = F

Propriedade da Condicional

� Sabemos que:P(x) = “x|12” CV = {1,2,3,4,6,12}Q(x) = “x|45” CV = {1,3,5,9,15,45}

Qual o conjunto verdade de P(x) � Q(x) em N?

Propriedade da Condicional

� Sabemos que:P(x) = “x|12” CV = {1,2,3,4,6,12}Q(x) = “x|45” CV = {1,3,5,9,15,45}

Qual o conjunto verdade de P(x) � Q(x) em N?Dica: P(x) � Q(x) � ~P(x) v Q(x)

Condicional

P(x) = “x|12” CV = {1,2,3,4,6,12}Q(x) = “x|45” CV = {1,3,5,9,15,45}

Qual o conjunto verdade de P(x) � Q(x) em N?~P(x) Conjunto Verdade é o complemento do

Conjunto Verdade de P(x)

Condicional

P(x) = “x|12” CV = {1,2,3,4,6,12}Q(x) = “x|45” CV = {1,3,5,9,15,45}

Qual o conjunto verdade de P(x) � Q(x) em N?~P(x) Conjunto Verdade é o complemento do

Conjunto Verdade de P(x)

~P(x) CV= N – {1,2,3,4,6,12}

Condicional

P(x) = “x|12” CV = {1,2,3,4,6,12}Q(x) = “x|45” CV = {1,3,5,9,15,45}

Qual o conjunto verdade de P(x) � Q(x) em N?~P(x) CV= N – {1,2,3,4,6,12}Q(x) CV = {1,3,5,9,15,45}P(x) � Q(x) � ~P(x) v Q(x)O que podemos concluir?

Condicional

P(x) = “x|12” CV = {1,2,3,4,6,12}Q(x) = “x|45” CV = {1,3,5,9,15,45}

Qual o conjunto verdade de P(x) � Q(x) em N?~P(x) CV= N – {1,2,3,4,6,12}Q(x) CV = {1,3,5,9,15,45}P(x) � Q(x) � ~P(x) v Q(x)CV = N – {1,2,3,4,6,12} �{1,3,5,9,15,45}Resumindo ...

Condicional

P(x) = “x|12” CV = {1,2,3,4,6,12}Q(x) = “x|45” CV = {1,3,5,9,15,45}

Qual o conjunto verdade de P(x) � Q(x) em N?~P(x) CV= N – {1,2,3,4,6,12}Q(x) CV = {1,3,5,9,15,45}P(x) � Q(x) � ~P(x) v Q(x)CV = N – {1,2,3,4,6,12} �{1,3,5,9,15,45}CV = N – {2,4, 6,12}

Perguntas ????

Continuando...

� Já aprendemos dois quantificadores.

� Quais?

Quantificadores

� Porém existe um número não limitado de quantificadores que podemos definir tais como:� “existem exatamente dois” � “existem não mais de três”� “existe um único x tal que P(x) é verdadeiro”

Quantificadores

� Existe um número não limitado de quantificadores que podemos definir tais como� “existem exatamente dois” � “existem não mais de três”� “existe um único x tal que P(x) é verdadeiro”

Quantificador de Unicidade

Quantificadores

� Existe um número não limitado de quantificadores que podemos definir tais como� “existem exatamente dois” � “existem não mais de três”� “existe um único x tal que P(x) é verdadeiro”

Quantificador de Unicidade

��x P(x) ou x �1P(x)

Quantificadores com Restrição

� Uma notação abreviada é freqüentemente usada para restringir o domínio de um quantificador.

� Nessa notação, incluímos depois do quantificador uma condição que a variável deve satisfazer.


� Exemplo:� ��x<0 (x2 > 0) � Propriedade: o quadrado de todo

número negativo é positivo.


� Exemplo:� ��y 0(y3 0) � Propriedade: o cubo de um numero não

nulo é também não nulo


� Exemplo:� �z>0 (z2 = z) � Qual???


� Restrições reescritas de outra forma� �x<0 (x2 > 0)� �x (x<0 � x2 > 0)

� �y 0(y3 0) � �y(y 0 � y3 0)

� �z>0 (z2 = z) � �z(z>0 ^z2 = z)

Quantificador Universal equivale a Universal de Proposição Condicional

Quantificador Existencial equivale a Existencial de um Conjunção

Dúvidas!!!!!

� Perguntas antes de continuarmos?

Tradução Português - Lógica

� Na aula passada:� Todo estudante desta classe estudou lógica.

C(x) = “x estudou lógica”Domínio = {estudantes desta classe}�x C(x)


� Todo estudante desta classe estudou lógica.C(x) = “x estudou lógica”Vamos mudar nosso domínio para:Domínio = {todas as pessoas}


� Todo estudante desta classe estudou lógica.C(x) = “x estudou lógica”Domínio = {todas as pessoas}

Novo predicado:E(x) = “x é estudante desta classe”

Podemos expressar a sentença .......


� Todo estudante desta classe estudou lógica.C(x) = “x estudou lógica”E(x) = “x é estudante desta classe”Domínio = {todas as pessoas}

Podemos expressar a sentença .......

“Para cada pessoa x, se x é um estudante desta classe então x estudou lógica”



Podemos expressar a sentença�x(E(x)�C(x))

“Para cada pessoa x, se x é um estudante desta classe então x estudou lógica”



Não podemos expressar a sentença�x(E(x)^C(x)) ERRADO!!!

“Todas as pessoas são estudantes desta classe e já estudaram lógica”

Prioridade dos Quantificadores

� Os quantificadores �e � têm prioridade maior que todos os operadores lógicos do cálculo proposicional.

�x P(x) v Q(x) � (�x P(x)) v Q(x) �x P(x) v Q(x) � �x (P(x) v Q(x))




Isso nos mostra o conceito de variável ligada




E o conceito de escopo de uma variável

Variável Ligada

�x (x+y = 1)

x é ligada

� Quando um quantificador é usado na variável x, dizemos que essa ocorrência da variável é ligada.

Variável Livre

�x (x+y = 1)

x é ligada

� Uma ocorrência de uma variável que não é ligada por um quantificador ou não representa um conjunto de valores particulares é chamada de variável livre (y).

Variável Livre

�x (x+y = 1)

x é ligada

� Todas as variáveis que ocorrem em um função proposicional devem ser ligadas ou devem representar um conjunto de valores particulares para ser uma proposição.

Não é uma proposição, pois y é variável livre

Escopo

�x (P(x) ^ Q(x)) v �x R(x)

� É a parte da expressão lógica à qual um quantificador é aplicado.

Escopo Escopo

Escopo não se sobrepõe.

Escopo

�x (P(x) ^ Q(x)) v �y R(y)

� É a parte da expressão lógica à qual um quantificador é aplicado.

� Uma variável é livre se não está sob o escopo de algum quantificador.

Escopo Escopo

Escopo não se sobrepõe. Pode ser y ao invés de x.

Dúvidas!!!

� Dúvidas sobre Variável Livre, Variável Ligada e Escopo????

Predicados com duas variáveis

Para cada estudante desta classe, x estudou lógica.

C(x) = “x estudou lógica”S(x) = “x é estudante desta classe”

Q(x,y) = “estudante x estudou matéria y”

Agora vamos definir uma novo predicado !!!




Domínio 1: {estudantes desta classe}�x Q(x,lógica)




Domínio 1: {estudantes desta classe}�x Q(x,lógica)

Domínio 2: {todas as pessoas}�x (S(x) � Q(x, lógica))

Exercício

� Algum estudante da classe visitou o México� Domínio: {estudantes da classe}

Exercício

� Algum estudante da classe visitou o México� Domínio: {estudantes da classe}� M(x) = “x visitou o México”

Exercício

� Algum estudante da classe visitou o México� Domínio: {estudantes da classe}� M(x) = “x visitou o México”� �x M(x)

Exercício

� Algum estudante da classe visitou o México� Domínio: {todas as pessoas}

Exercício

� Algum estudante da classe visitou o México� Domínio: {todas as pessoas}� M(x) = “x visitou o México”� E(x) = “x é estudante da classe”

Exercício

� Algum estudante da classe visitou o México� Domínio: {todas as pessoas}� M(x) = “x visitou o México”� E(x) = “x é estudante da classe”� Existe uma pessoa x que é estudante da

classe e que visitou o México.

Exercício


classe e que visitou o México.� �x(E(x) ^ M(x))

Exercício


classe e que visitou o México.� �x(E(x) � M(x)) ERRADO!!!

Porque é verdadeira para qualquer pessoa que não esteja na classe.

Exercício

� Todo estudante da classe visitou Canadá ou México.

� Domínio={estudantes da classe}� C(x) = “x visitou o Canadá”� M(x) = “x visitou o México”

?????

Exercício


� Domínio={estudantes da classe}� C(x) = “x visitou o Canadá”� M(x) = “x visitou o México”

�x(C(x) v M(x))

Exercício


� Domínio={todas as pessoas}� C(x) = “x visitou o Canadá”� M(x) = “x visitou o México”� E(x) = “x é estudante da classe”

??????

Exercício


� Domínio={todas as pessoas}� C(x) = “x visitou o Canadá”� M(x) = “x visitou o México”� E(x) = “x é estudante da classe”

�x(E(x) � (C(x)v(M(x))


Algum estudante da classe visitou Canadá ou México.

V(x,y) = “x visitou o país y”

�x (V(x,México) v V(x,Canadá))

Equivalências (S ��T)

� Sentenças que envolvem predicados e quantificadores são logicamente equivalentes se e somente se elas têm o mesmo valor verdade quaisquer que sejam os predicados substituídos nessas sentenças e qualquer que seja o domínio para as variáveis nessas funções proposicionais.

Equivalências

� �x(P(x) ^ Q(x)) ��x P(x) ^ �x Q(x)� �x(P(x) v Q(x)) ��x P(x) v �x Q(x)

Equivalências

� �x(P(x) ^ Q(x)) ��x P(x) ^ �x Q(x)� �x(P(x) v Q(x)) ��x P(x) v �x Q(x)

� �x(P(x) v Q(x)) � �x P(x) v �x Q(x)� �x(P(x) ^ Q(x)) � �x P(x) ^ �x Q(x)

CUIDADO!!!!

Negando Expressões Quantificadas

� Não é o caso de todos os estudantes desta classe terem feito aulas de lógica.

~�x P(x)



~�x P(x)

� Existe um estudante desta classe que não teve aula de lógica.

�x ~P(x)

Podemos reformular a frase para:



~�x P(x)� Existe um estudante desta classe que não

teve aula de lógica.�x ~P(x)

~�x P(x) ��x ~P(x)

Ilustramos que:


� Existe um estudante na classe que teve aulas de calculo.

�x P(x)� Não é o caso de existir um estudante na

classe que teve aulas de calculo.~�x P(x)


� Não é o caso de existir um estudante na classe que teve aulas de calculo.

~�x P(x)

� Todo os estudantes nesta classe não tiveram aulas de calculo.

�x ~P(x)

Podemos reformular a frase para:


� Não é o caso de existir um estudante na classe que teve aulas de calculo.

~�x P(x)Todo os estudantes nesta classe não tiveram

aulas de calculo.�x ~P(x)

~�x P(x) � �x ~P(x) Ilustramos que:


� As regras para negações de quantificadoressão chamadas de Leis de De Morgan para quantificadores.

~�x P(x) ��x ~P(x)~�x P(x) � �x ~P(x)

Exercício para a mente.

� Mostre que:~�x (P(x)�Q(x)) ��x (P(x) ^ ~Q(x))

� Rosen pg 47� Exercícios 6c, 6d, 6e, 6f, 8 e 9.

� Rosen pg 48 � Exercício 34

Lógica de Predicados -...

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