lista12

FURG - DMC - Resistência dos Materiais - Turmas A, B e C - 2001 Lista de Exercícios

http://www.dmc.furg.br/resistencia

58

Integração da Equação Diferencial da Linha Elástica Nos problemas que seguem considerar as vigas com rigidez à flexão constante a menos que mencionado expressamente em contrário. Resolver os problemas de 1 a 7 pelo método da integração direta da equação diferencial da linha elástica sem o emprego das funções singulares. Nos demais se necessário faça o emprego dessas funções. 1) Para o carregamento mostrado, determine (a) a equação da linha elástica para a viga AB, (b) o afundamento no extremo livre

e, (c) a rotação da elástica no extremo livre. Resp.: a) (P / 6EI)(x3 - 3Lx2), PL3 / EI, PL2 / 2EI; b) (M0 / 2EI)(x - L)2, M0L2 / 2EI, M0L / EI; c) (-w / 24EI)(x4 - 4L3x + 3L4), -wL4 / 8EI, wL3 / 6EI; d) (w0 / 120EIL)(-x5 + 10L2x3 - 20L3x2), -11w0L4 / 120EI, w0L3 / 8EI.

��

L

P

��

L

M0

�L

w

�L

w0

A

A

A

A

B

B

B

B

(a) (b)

(c) (d)

2) A viga AB suporta uma carga distribuída linearmente variável. Determine (a) a equação da linha elástica, (b) a flecha no meio

do vão, (c) a rotação no extremo A. Resolver as partes (b) e (c) admitindo que a viga AB seja construída em aço com um perfil W16 x 57, wo = 5 kips/ft , L = 20 ft e E = 30 x 106 psi. Resp.: y = (wo / 360EIL)(3x5 - 15Lx4 + 20L2x3 - 8L4x); -5woL4 / 768EI; woL3 / 45EI; -0,3958 in; 5,63x10-3 rad.

3) Para a viga e o carregamento mostrados na figura , determine (a) a equação da linha elástica para o trecho AB da viga, (b) a

rotação do extremo B, (c) a rotação em B. Resp.: (w/48EI)(-2x4 + 3Lx3 - L3x), wL3/48EI, 0.

��

L

wo

A B��

L/2L

AB

C

w

2 3

4) Para a viga em balanço e o carregamento mostrados, determine (a) a equação da linha elástica para o trecho AB, (b) a flecha em B, (c) a rotação em B. Resp.: (w/24EI)(-x4 + 3L2x2), -11wL4/384EI, 5wL3/48EI.

5) Sabendo que a viga AB é construída em aço com um perfil S 150 x 18,6 e que P = 35 kN, L = 2,2m e E = 200 GPa, determine

(a) a equação da linha elástica para trecho AC da viga, (b) a rotação da elástica em A, (c) o afundamento em C. Resp.: (a) (16,88x10-3)(x/L)3 - (12,66x10-3)(x/L); (b) 5,75x10-3 rad; (c) -4,22 mm.



59

A�� w

w

L/2 L/2

BC

��

P

A BC

L/2 L/2��

S

4 5 6) Para a viga e o carregamento mostrados, determine a flecha em C. Usar E = 200 GPa. Resp.: -3,3 mm. 7) Determine a intensidade e a localização da flecha máxima na viga mostrada abaixo. Resp.: 0,423 L e 0,0642 MoL2/EI.

��

P = 20 kN

A BC

0,8 m 1,6 m

��

W 150 x 13,5

��

M0

B

L

A

6 7

8) Sabendo que a viga AB é construída com um perfil laminado de aço S 8 x 18,4 e que wo = 4 kips/ft, L = 9 ft, e E = 30 x106 psi, determine (a) a rotação da elástica em A, (b) a flecha em C. Resp.: (a) 6,33x10-3 rad; (b) –0,219 in.

9) Sabendo que a viga AE é construída com um perfil laminado de aço W 10 x 30 e que P = 15 kips, a = 3 ft, e E = 29 x106 psi,

determine o afundamento da seção central C. Resp.: 0,0237 in. 10) Sabendo que a viga AE é construída com uma barra maciça de diâmetro d = 30 mm e que wo = 10 kN/m, a = 0,6 m, e E = 200

GPa, determine o afundamento da seção central C. Resp.: 6,79 mm.

11) Para a viga e o carregamento mostrados, determine (a) a equação da linha elástica para a parte BD, (b) o afundamento da



60

seção central C. Resp.: (a) EIy =(Pa / 6)(3x2 – 3L2 + a2); (b) (-Pa / 24EI)(3L2 - 4a2). 12) Idem problema anterior. Resp.: (a) EIy = Mo/2(x2 - Lx - a2); (b) (-Mo/8EI)(L2 - 4a2). 13) Para cada uma das vigas abaixo mostradas, determine a equação da linha elástica, a rotação da elástica em A e a flecha em

C. Resp.: a) EIy = (Pb / 6L) [ x3 – (L2 – b2)x – L / b < x – a >3 ]; -(Pb / 6EIL)(L2 – b2); - Pa2b2 / 3EIL. b) EIy = (Mo / 6L) [ x3 – 3L< x – a >2 + (3b2 – L2)x ]; (Mo / 6EIL) (3b2 – L2); - (Moab / 3EIL) (b – a). c) EIy = w / 384 [ 8Lx3 – 16< x – L/4 >4 – 7L3x ]; 7wL3 / 384EI; -5wL4 / 768EI. d) EIy = (wo / 5760L)[ 40L2x3 –96< x – L/2 >5 – 37L4x ]; 37woL3 / 5760EI; -3woL4 / 1280EI.

14) Para cada uma das vigas abaixo mostrada, determine o afundamento das seções B, C e D. Resp.: a) –5Pa3 / 2EI; -49Pa3 / 6EI;

-15Pa3 / EI; b) –9Pa3 / 4EI; -19Pa3 / 6EI; -9Pa3 / 4EI.

15) Para cada uma das vigas abaixo mostradas, determine a rotação da elástica em A, a flecha em B e a flecha no extremo D. Resp.: a) Moa / 4EI; Moa2 / 4EI; -5Moa2 / 4EI; b) Pa2 / 12EI; Pa3 / 12EI; -3Pa3 / 4EI.

16) Para cada uma das vigas abaixo mostradas, determine o afundamento da seção média C decorrente do carregamento indicado. Resp.: a) –19wa4/8EI; b) –3woL4/1280EI.



61

17) Dois perfis C 100 x 8 estão soldados lado a lado e carregados como mostrado na figura. Sabendo que E = 200 GPa, determine (a) a rotação da elástica em B, (b) o afundamento em A. Resp.: (a) 0,612x10-3 rad; (b) –0,536 mm.

18) Para a viga de madeira carregada como mostrado, determine (a) a rotação da elástica em A, (b) a flecha da seção média C.

Resp.: (a) 9,51 x 10-3 rad e (b) – 5,802 mm.

17 18

19) Para cada uma das vigas abaixo mostradas, determinar o afundamento da seção C. Resp.: a) –MoL2/128EI; b) –7PL3/768EI; c) –31Pa3/24EI; d) –wa4/EI.

20) Para as vigas e os carregamentos indicados, determine a reação em A e o afundamento em C. Usar E = 200 GPa para o caso

a) e E = 30 x 106 psi para o caso b). Resp.: a) 33,3 kN; -3,18 mm; b) 5,58 kips; -0,1030 in.

21) Para cada uma das vigas e caregamentos mostrados determine a reação em A , o afundamento em C e a rotação da elástica



62

em C. Resp.: a) -wL4 / 768EI; wL3 / 768EI; b) 0; MoL / 16EI.

.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-..-.-.-.-.-.-.

Leitura Recomendada : Resistência dos Materiais - Beer & Johnston - 2a. edição Capítulo 8 – Cálculo da deformação das vigas por Integração – pp. 433-482. Seções – 8.1, 8.2, 8.3, 8.4, 8.6 e 8.7. ou Resistência dos Materiais - Beer & Johnston - 3a. edição Capítulo 8 – Cálculo da deformação das vigas por Integração – pp. 815-899. Seções – 8.1, 8.2, 8.3, 8.5, 8.6, 8.7 e 8.8. Formulário

[ ] )x(tgyEI

)x(Myyy

EI)x(M

/ θ≅θ=′=′′′+

′′=

ρ=

ρ 232111



63

FUNÇÕES SINGULARES

lista12

Documents

Transcript of lista12