Lista de Exercícios de Métodos Matemáticos para Engenharia Química
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Universidade Federal de Uberlndia Faculdade de Engenharia Qumica
Programa de Ps-Graduao em Engenharia Qumica
Mtodos Matemticos em Engenharia Qumica Prof. Adilson J. de Assis
Lista de exerccios n
o
3
1. Considere a EDO que descreve a perda de calor em anges de tubos: rd2T
dr2+dT
dr h6kr(TT1) = 0
(a) Mostre que a substituio de variveis y = T T1 e x = rh/6k leva equao modicada
de Bessel x2d2y
dx2+ x
dy
dx x2y = 0(b) Tente resolver a EDO do item (a) pelo Maxima com o comando ode2. O que acontece?
Agora tente com os comandos a seguir e interprete o resultado:
eq1:x^2*'diff(y,x,2)+x*'diff(y,x)-x^2*y=0;
load(contrib_ode);
sol2: contrib_ode(eq1,y,x);
(c) Compare a soluo obtida com o Maxima com a soluo padro da equao modicada de
Bessel: y(x) = c1I0(x) + c2K0(x)
(d) Se um tubo de 1 in de dimetro (externo) est conectado a anges de 4 in de dimetro e
1/2 in de espessura e os tubos carregam vapor a 250
o
C e sendo a condutividade trmica do
metal do ange igual a k = 220 Btu/h.ft2.oF.ft1, a vizinhana com T1 = 60oC, o coecientede transferncia de calor h = 2 Btu/h.ft2.oF, as condies de contorno apropriadas so: i)na superfcie do tubo: r = 1/2, T = 250; ii) na extremidade do ange, o calor que chegapor conduo (
pikr12
dTdr ) igual ao calor que dissipado por conveco (
2pirhr144 (T T1)) [noestado estacionrio] ou r = 2, k12
dTdr =
h144(T T1). Mostre que estas condies de contornoso equivalentes a: i) x=0,0195; y = 190; ii) x = 0,078; dy/dx = -0,0195y.
(e) Usando as condies de contorno apropriadas e a soluo padro da equao modicada
de Bessel, mostre que T = 60 + 186, 5I0(0, 039r) + 0, 8636K0(0, 039r) e tambm calcule atemperatura na extremidade do ange.
2. Em controle de processos, um sistema de 2
a
ordem aquele descrito por uma EDO de 2
a
ordem.
Se o sistema for linear:
a2d2y
dt2+ a1
dy
dt+ a0y = b.f(t)
(a) Divida todos os termos por a0 a m de se obter:
2d2y
dt2+ 2
dy
dt+ y = Kp.f(t)
onde: = a2a0 , 2 =a1a0,Kp =
ba0.
(b) Na forma de varivel desvio, as condies iniciais so: y(0) = 0 e y(0) = 0. Analise o tipode resposta qualitativa que ser encontrada para um sistema de 2
a
ordem para os casos: a)
> 1 [chamado de sistema superamortecido]; b) = 1 [chamado de sistema criticamenteamortecido]; < 1 [chamado de sistema subamortecido]; esboce num mesmo grco y tos 3 comportamentos;
1
1
Curiosidade: Em controle de processos as razes da equao caracterstica so chamadas de plos do sistema!
1
-
3. No projeto e anlise de reatores qumicos importante encontrar a relao para predizer o perl
de composio em um reator tubular com recheio de catalisador empacotado processando uma
reao isotrmica, com cintica linear e com difuso axial. Este tipo de reator, alm de ser
encontrado nas indstrias qumicas, amplamente utilizado no tratamento de euentes lquidos
e gasosos. O tubo empacotado, que um reator cataltico heterogneo, usado para converter
espcies B por meio da reao qumica:
B produtos; RB = kCB(mols
tempo.volume do leito
)em produtos sob condies (assumidas como sendo) isotrmicas. A difuso ao longo do compri-
mento axial controlada por uma expresso do tipo Lei de Fick, de tal modo que, em paralelo
com o transporte por conveco devido a velocidade supercial v0, h tambm um uxo do tipodifusivo representado pela relao Fickiana, atuando ao longo da direo axial (coordenada z):
JE = DE dCBdz
(mol
rea.tempo
)Para uma cintica linear, a aplicao da lei da conservao da massa (balano de massa) aplicada
espcie B, ao longo de um tubo com rea de seo transversal A, resulta em:
v0dCBdz dJE
dzRB = 0
Legenda: DE = difusividade; k = constante da taxa da reao; v0= velocidade axial.
(a) Mostre que a substituio do uxo e da expresso da taxa dados acima, na lei da conservao
da massa, resulta em:
DEd2CBdz2
v0dCBdz kCB = 0
(b) Classique adequadamente, quanto ao tipo, ordem, linearidade e ao tipo de coeciente,
a equao anterior.
(c) Mostre que a soluo desta equao dada por:
CB = exp(z)[A exp(z) +B exp(z)]na qual:
= v02DE , =
14
(v0DE
)2+(
kDE
)4. (a) Resolva, usando o mtodo dos coecientes indeterminados, a seguinte EDO:
d2y
dx 2 8dy
dx+ 16y 6xe4x = 0
(b) Mostre que as funes que compem a soluo complementar so linearmente independentes.
5. Resolva, usando o mtodo da variao dos parmetros, o seguinte PVI:
2d2y
dx 2 4dy
dx+ 2y = 2xex , y(0) = 0, e y(0) = 1.
6. Para cada sentena abaixo, marque V se for Verdadeira e F se for Falsa.
(a) ( ) A EDO 2y 3y + y = 0 possui como razes da equao caracterstica r = 1, 1/2.(b) ( ) A soluo da EDO anterior y = c1e
x + c2x3/2ex
2
-
(c) ( ) A EDO y + 2y + y = 0 de 2a ordem, no homognea e de coecientes constantes.A funo y1(x) = c1xe
x soluo dessa EDO.
(d) ( ) Se W (y1,y2) 6= 0(W o wronskiano) ento y1 no possui dependncia linear com y2 ey1 + y2 pode ser soluo geral de uma EDO de 2a
ordem.
(e) ( ) Se o wronskiano w de f e g 3e4t e se f(t) = e2t, ento g(t) = 3t+ e2t.
7. Encontre o valor de A para que y(x) = [c1cos(2x)+c2sen(2x)]e3xseja soluo de y+Ay+13y =
0 .
8. Considere a EDO a seguir:
d2y
dx 2 2dy
dx+ y = 0
Assumindo que a srie de potncias seja soluo da referida EDO:
y =
n=0
anxn
(a) Mostre que a substituio de y, y' e y na EDO conduz a:
n=0
[an+2(n+ 2)(n+ 1) 2(n+ 1)an+1 + an]xn = 0
(b) Mostre que a relao de recorrncia dada por:
an = a0rn
n!
(c) Mostre, nalmente, que a soluo da EDO ento:
y(x) = a0
n=0
xn
n!+ b0x
n=0
xn
n!= a0 exp(x) + b0x exp(x)
(d) A soluo anterior poderia ter sido alcanada atravs de outro mtodo? Se sim, qual?
9. Considere a seguinte EDO de 2
a
ordem e as respectivas condies inicias:
y + 2xy + (1 + x2)y = 0, com , y(0) = 3 e y(0) = 1
Para cada sentena abaixo, marque V se for Verdadeira e F se for Falsa.
(a) ( ) Pode-se usar a srie de potncias y(x) =
n=0
anxn, cuja expanso em x0 = 0, para
resolver a EDO, pois o ponto de expanso considerado um ponto ordinrio.
(b) ( ) Substituindo a srie e suas respectivas derivadas na EDO, obtem-se:
n=0
(n+ 2)(n+ 1)an+2xn +
n=1
2nanxn +
n=0
anxn +
n=2
an2xn = 0
(c) ( ) Da relao anterior obtem-se: 2a2 +a0 = 0, 6a3 +3a1 = 0 e (n+2)(n+1)an+2 +(2n+1)an + an2 = 0 (para n > 2).(d) ( ) Da relao de recorrncia vlida para encontrar o termo genrico da soluo em sries,
tem-se: a4 =a08 ,a5 =
a18 ,a6 =
a048 ,a7 =
a148 ,...
(e) A soluo em sries de potncias para a EDO : y(x) = 3(1 12x2 +
1
8x4 1
48x6 +
1
384x8
...) 1(x 12x3 +
1
8x5 1
48x7 +
1
384x9 ...)
3
-
10. Considere a seguinte EDO: x2y 3xy + 4y = x2 lnx , x > 0(a) Verique que as funes dadas y1 e y2 satisfazem a equao homognea associada: y1(x) =
x2, y2(x) = x2 lnx;
(b) Mostre que as funes dadas y1 e y2 formam um conjunto fundamental de solues daequao homognea associada;
(c) Mostre que Y (x) = 16x2(lnx)3 pode ser uma soluo particular da equao no homogneadada;
(d) A soluo geral da EDO dada :
11. Considere o comportamento do sistema mostrado neste vdeo: http://www.youtube.com/watch?
v=T7fRGXc9SBI.
(a) Que tipo de equao diferencial modela matematicamente o comportamento deste sistema?
(b) Faa uma breve pesquisa e escreva a EDO que descreve este comportamento, destacando as
hipteses usadas no seu desenvolvimento;
(c) Em termos de EDO, qual a diferena entre o sistema mostrado no vdeo anterior e este outro
sistema? http://en.wikipedia.org/wiki/File:Oscillatory_motion_acceleration.ogv
12. Quais os objetivos dos comandos do Maxima a seguir?
eq1:x^2*'diff(y,x,2)+5*x*'diff(y,x)+4*y-x;
eq2:ode2(eq1,y,x);
eq3:ic2(eq2,x=0,y=0,'diff(y,x)=0.5);
eq3:ic2(eq2,x=1,y=0,'diff(y,x)=0.5);
eq4:rhs(eq3);
wxplot2d(eq4,[x,0.5,5],[ylabel,"y"]);
eq5:taylor(eq4,x,2,1);
eq6:taylor(eq4,x,2,2);
eq7:taylor(eq4,x,2,3);
eq8:taylor(eq4,x,2,4);
eq9:taylor(eq4,x,2,5);
wxplot2d([eq4,eq5,eq6,eq7,eq8,eq9],[x,0.5,5],[y,-0.5,1],[legend, false],[ylabel,"y"]);
13. Em que os sistemas de 2
a
ordem descritos nos slides 4 e seguintes diferem dos exemplos dos slides
anteriores? http://goo.gl/fGvOuD [link para arquivo do Moodle, na forma curta do Google]
4