LISTA DE EXERCÍCIOS MATEMÁTICA Q.03-(Ufrgs 2020 CÉSAR … · 2020-05-25 · LISTA DE EXERCÍCIOS...
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LISTA DE EXERCÍCIOS
MATEMÁTICA CÉSAR
Q.01-(Famema 2020) O triângulo ABC é isósceles com
AB AC 4 cm, e o triângulo DBC é isósceles com
DB DC 2 cm, conforme a figura.
Seja β a medida do ângulo interno ˆDBC do triângulo DBC. Sabendo-
se que 6
sen ( ) ,4
β a área, em 2cm , do quadrilátero ABDC é
A) 35
B) 6
C) 4
D) 5
E) 15
Q.02-(G1 - cp2 2020) Ao se aposentar, Marcos decide comprar um lote retangular em uma área rural para construir seu sítio. O terreno apresenta
60 m de comprimento por 32 m de largura. Marcos planeja construir
uma casa, uma horta e uma garagem, além de deixar espaço para uma área
de lazer com 2480 m . Observe a figura com a situação descrita:
Sabendo que o comprimento da casa (3x) é o triplo da largura da
garagem (x), com x em metros, conclui-se que o perímetro da parte
destinada para a horta é igual a
A) 48 m.
B) 56 m.
C) 64 m.
D) 72 m.
E) 80 m.
Q.03-(Ufrgs 2020) Considere o hexágono regular ABCDEF de lado 1.
Sobre o lado AF do hexágono, constrói-se o quadrado AGHF, como
mostra a figura abaixo. Sendo M o ponto médio de GH, constrói-se o
triângulo CDM.
A área do triângulo CDM é
A) 3 1.
B) 3 1
.2
C) 3 1.
2
D) 3
.4
E) 3
.2
Q.04- (Fuvest 2020) Um objeto é formado por 4 hastes rígidas conectadas em seus extremos por articulações, cujos centros são os vértices de um paralelogramo. As hastes movimentam‐se de tal forma que o paralelogramo permanece sempre no mesmo plano. A cada configuração
desse objeto, associa‐se ,θ a medida do menor ângulo interno do
paralelogramo. A área da região delimitada pelo paralelogramo quando
90θ é A.
Para que a área da região delimitada pelo paralelogramo seja A 2, o
valor de θ é, necessariamente, igual a
A) 15 .
B) 22,5 .
C) 30 .
D) 45 .
E) 60 .
LISTA DE EXERCÍCIOS
Q.05-(Uerj 2020) Um valor aproximado da área do círculo pode ser obtido
elevando-se ao quadrado 8
9 do seu diâmetro. Fazer esse cálculo
corresponde a substituir, na fórmula da área do círculo, o valor de π por
um número racional. Esse número é igual a:
A) 128
9
B) 256
9
C) 128
81
D) 256
81
E) 30
Q.06-(Espcex (Aman) 2020) Um trapézio ABCD, retângulo em A e D,
possui suas diagonais perpendiculares. Sabendo-se que os lados AB e
CD medem, respectivamente, 2 cm e 18 cm, então a área, em
2cm , desse trapézio mede
A) 120.
B) 60.
C) 180.
D) 30.
E) 240.
Q.07-(Ufrgs 2020) Considere dois círculos de centros A e C, raio 1 e
tangentes entre si. O segmento AC é
diagonal do quadrado ABCD. Os círculos de centros B e D são
tangentes aos círculos de
centros A e C, como mostra a figura abaixo.
O raio dos círculos de centros B e D é
A) 2 1.
B) 1.
C) 2.
D) 2 1.
E) 2 2.
Q.08-(Uece 2019) Considere um terreno com a forma de um triângulo
retângulo cuja medida dos dois menores lados são respectivamente 30 m
e 40 m. Deseja-se cercar um quadrado no interior do terreno com um dos
vértices sobre o maior lado e os demais sobre os outros lados do terreno.
Nessas condições, a medida da área do quadrado, em 2m , será,
aproximadamente, igual a
A) 294.
B) 302.
C) 290.
D) 298.
E) 306. Q.09-(G1 - ifpe 2019) O professor Wagner desafiou sua turma de
Matemática a determinar a área A(d) do retângulo que representa sua
sala de aula de acordo com a medida d da diagonal. Sabendo que o
perímetro da sala tem 36 m, a resposta ao desafio do professor Wagner
é
A) 2A(d) 1296 d
B)
2dA(d) 324
2
C) 2A(d) 324 d
D)
2dA(d) 162
2
E)
2dA(d) 648
2
Q.10. (G1 - ifsc 2019) Uma escola pretende colocar lajotas para construir um pátio com o formato abaixo. A parte pintada vai ser onde deverá ser colocado as lajotas. Sabe-se que não será preciso cobrir dois quadrados de
lado b, onde se plantarão algumas flores. A área total a ser coberta é de
273 m e o comprimento do lado a menos 1m é igual ao triplo do
comprimento do lado b. Dessa forma, podemos afirmar que a área que
será destinada ao plantio das flores é:
A) 24 m
B) 28 m
C) 249 m
D) 281m
E) 298 m
LISTA DE EXERCÍCIOS
Respostas Resposta da questão 1: [E] Considere a figura.
Sabendo que os triângulos ABC e BDC são isósceles, podemos concluir
que A,D e M estão alinhados e, portanto, M é o ponto médio de BC.
Sendo BD 2cm, do triângulo BDM, vem
DM 6 DMsen
4 2BD
6DM cm
2
Ainda do triângulo BDM, pelo Teorema de Pitágoras, temos
22 2 2 2 6
BM BD DM BM 22
10BM cm.
2
Portanto, segue que BC 10 cm e, assim, a área do triângulo BCD
é igual a
2
1 1 6BC DM 10
2 2 2
15cm .
2
Por outro lado, do triângulo ABM, pelo Teorema de Pitágoras, vem
22 2 2 2 10
AM AB BM AM 42
3 6AM cm.
2
Em consequência, a área do triângulo ABC é
2
1 1 3 6BC AM 10
2 2 2
3 15cm .
2
A resposta é igual a
2
(ABDC) (ABC) (BCD)
3 15 15
2 2
15 cm .
Resposta da questão 2: [D] Calculando a área da área de lazer em função de x, obtemos:
2
2
(60 3x) (32 x) 480
3 (20 x) (32 x) 480
(20 x) (32 x) 160
640 20x 32x x 160
x 52x 480 0
52 784x x 40 (não convém) ou x 12
2
Portanto, o perímetro da horta será dado por:
2x 2 (60 3x) 24 2 (60 36) 72 m
Resposta da questão 3: [B]
Tomando o triângulo isósceles ABC, temos ABC 120 e
ACB 30 . Logo, pela Lei dos Senos, vem
AC AB AC 1
sen120 sen30senABC senACB
AC 1
1322
AC 3.
Em consequência, a altura do triângulo CDM é AC AG 3 1 e,
portanto, a resposta é
1 3 11 ( 3 1) .
2 2
Resposta da questão 4: [C]
Sejam b e h, respectivamente, as dimensões do paralelogramo quando
90 .θ Logo, temos A b h.
Quando varia no intervalo ]0 , 90 [, a altura do paralelogramo é dada
por hsen . Desse modo, para que a área seja A
,2
devemos ter
A b hb hsen b hsen
2 2
1sen
2
30 .
θ θ
θ
θ
Resposta da questão 5: [D]
Se d é o diâmetro do círculo, então sua área é dada por
LISTA DE EXERCÍCIOS
2 2d d.
2 4π π
Por outro lado, segundo o enunciado, a área pode ser aproximada por
228 64
d d .9 81
Desse modo, vem
64 256.
4 81 81
ππ
Resposta da questão 6: [B] Sabendo que a altura de todo trapézio retângulo de diagonais perpendiculares é dada pela média geométrica das bases, temos
h 2 18 6cm.
Portanto, segue que a resposta é igual a
21(ABCD) (2 18) 6 60cm .
2
Resposta da questão 7: [A]
Seja r a medida do raio dos círculos de centros B e D. Assim, o lado do
quadrado ABCD mede r 1 e, portanto, temos
AC 2 AB 2 2 (r 1)
r 2 1.
Resposta da questão 8: [A]
Considere a figura, em que AC 40 m e AB 30 m.
Desde que AEFD é um quadrado, podemos concluir que os triângulos
EBF e ABC são semelhantes por AA. Logo, temos
EF 30 AE3EF 120 4EF
40 30
120EF m.
7
A resposta é
22 2120
EF 294 m .7
Resposta da questão 9: [D]
Considerando que x e y sejam as medidas dos lados do retângulo,
podemos escrever as seguintes relações:
2 2 2
2x 2y 36 x y 18
x y d
Área : A x y
Considerando, agora, do quadrado da soma das medidas dos lados do retângulo, temos:
2 2 2
2 2
2
2xy x y (x y)
2 A(d) d 18
dA(d) 162
2
Resposta da questão 10: [B] Calculando:
2 2 2 2
2 2 2 2 2
2
2
2 2
a 1 3b a 3b 1
a b 2b 73 a 2ab b 73
3b 1 2b 3b 1 b 73 9b 6b 1 6b 2b b 73
14b 8b 72 0
8 4 14 ( 72) 4096
72b (não convém)
8 4096 28b
562 14b 2 b 2 a 7
28
área com flores 2b 8 m
LISTA DE EXERCÍCIOS
HAWLEY Q.01- (Treinamento Vestibular UFU)Simplificando a expressão
y = )65)(27)(42)(42(
)2)(93)(9)(8(232
2223
xxxxxx
xxxxxx
obtém-se
A) y = 2
1x B) y =
3
1
x C) y =
3
2
x
x D) y =
2
x
Q.02- (Treinamento Vestibular UFU)Numa vinícola produziram-se 9080 litros de vinho, que foram colocados em 3400 garrafões, alguns de 2 litros, outros de 3 litros. Então a quantidade de garrafões de 3 litros excede a quantidade de garrafões de 2 litros em quantas unidades? A) 102 B) 840 C) 1160 D) 1420 Q.03- (Treinamento Vestibular UFU)
Sabendo-se que x + y = 7
15 e x – y =
14
1 , qual o valor da expressão
E = ))((
))(2(2222
3322
yxyxyx
yxyxyx
÷
x
xyx
2
)( 2 ?
A) 30 B) 7
30 C) 60 D)
7
60
Q.04- (Treinamento Vestibular UFU)Um criador de aves verificou que, após colocar n + 2 aves em cada um dos n viveiros disponíveis, sobraria apenas
uma ave. O números total de aves, para qualquer valor de n IN, é sempre A) um número par B) um número ímpar C) um quadrado perfeito D) um número divisível por três Q.05- (Treinamento Vestibular UFU)Operando 12 horas por dia, 20 máquinas produzem 6.000 peças em 6 dias. Com 4 horas a menos de trabalho diário, 15 daquelas máquinas produzirão 4.000 peças em A) 8 dias. B) 8 dias e 12 horas. C) 9 dias. D) 9 dias e 6 horas. Q.06- (Treinamento ENEM)Dois tropeiros A e B alugaram um pasto por R$350,00. O tropeiro A pôs ali 4 cavalos durante duas semanas. Já o tropeiro B teve lá 3 cavalos durante quatro semanas. Quanto deverão pagar A e B, respectivamente, em R$? A) 175,00 e 175,00 B) 140,00 e 210,00 C) 105,00 e 245,00 D) 245,00 e 105,00 E) 210,00 e 140,00 Q.07- (Treinamento ENEM)O litro de leite tipo A custa R$2,00 e o tipo B custa R$1,50. Misturando-se o tipo A com o tipo B consegue-se um terceiro tipo que custa R$1,80 o litro. Então, nessa mistura, a proporção do tipo mais caro para o tipo mais barato é igual a A) 1 : 2 B) 2 : 3 C) 3 : 2 D) 3 : 4 E) 1 : 3 Q.08- (Treinamento ENEM)Um negociante reuniu num tonel 50 litros de vinho a R$80,00 o litro, 80 litros ao preço de R$90,00 o litro e 70 litros a R$100,00 o litro. A quanto ele deve vender o litro da mistura, em reais, a fim de obter um lucro de 25% no preço do vinho? A) 91,00 B) 112,50 C) 113,75 D) 125,00 E) 127,00 Q.09- (Treinamento ENEM)Antônio, Benedito e Cremilda formaram uma sociedade e investiram, respectivamente, R$2.500,00 ; R$3.500,00 e R$4.000,00 num fundo de investimento. Após um ano, a aplicação estava com um saldo de R$ 12.500,00. Se os três investidores resgatarem somente o rendimento e dividirem-no em partes diretamente proporcionais aos valores investidos, a diferença entre os valores recebidos por Benedito e Antônio será igual a A) R$ 125,00 B) R$ 1.000,00 C) R$ 250,00 D) R$ 500,00 E) R$ 425,00
Q.10- (Treinamento ENEM)Em 05 de junho de 2004, foi inaugurada uma pizzaria que só abre aos sábados. No dia da inauguração, a pizzaria recebeu 40 fregueses. A partir daí, o número de fregueses que passaram a frequentar a pizzaria cresceu em progressão aritmética de razão 6, até que atingiu a cota máxima de 136 pessoas, a qual tem se mantido. O número de sábados que se passaram, excluindo-se o sábado de inauguração, para que a cota máxima de fregueses fosse atingida pela primeira vez, é igual a A)15 B)16 C)17 D)18 E)26 RESPOSTAS: Q.01-D Q.02-C Q.03-C Q.04-C Q.05-A Q.06-B Q.07-C Q.08-C Q.09-C Q.10-B
ZÉ MARIA Q.01- Na figura abaixo está representado um trecho do gráfico de uma
função real da forma y m sen (nx) k, com n 0.
Os valores de m, n e k, são, respectivamente
A) 3,3
π e 1.
B) 6,6
π e 1.
C) 3,6
π e 1.
D) 3,3
π e 1.
E) 3,6
π e 1.
Q.02- A figura indica os gráficos de uma reta r e uma senoide s, de
equações 5
y2
e y 1 3sen(2x), em um plano cartesiano de eixos
ortogonais.
LISTA DE EXERCÍCIOS
Sendo P um ponto de intersecção dos gráficos, conforme mostra a figura, sua abscissa, convertida para graus, é igual a
A) a) 275
B) b) 240
C) c) 225
D) d) 210
E) e) 195
Q.03- Seja a função 2 senx
f(x) ,2 cos x
definida para todo número real
x.
A) Mostre que f f f( )f .2 2 4
π π ππ
B) Seja θ um número real tal que f( ) 2.θ Determine os possíveis
valores para sen .θ
Q.04-O conjunto solução da inequação 22 cos x sen x 2, no
intervalo [0, ],π é
A) 0,6
π
B) 5
,6
ππ
C) 2
0, ,3 3
π ππ
D) 0,3
π
E) 5
0, ,6 6
π ππ
Q.05- Dentre as alternativas a seguir, aquela que apresenta uma função
trigonométrica de período 2 ,π cujo gráfico está representado na figura
abaixo é
A) f(x) 1 sen ( x).π
B) f(x) 1 cos ( x).π
C) f(x) 2 cos ( x).π
D) f(x) 2 sen ( x).π
E) f(x) 1 cos ( x).π
Q.06- Uma empresa de produtos alimentícios recebeu de seu contador uma planilha com os lucros mensais referentes ao ano de 2017. Ao analisar a planilha, a empresa constatou que, no mês 4 (abril), teve
R$ 50.000,00 de lucro e que, no mês 6 (junho), o lucro foi de
R$ 30.000,00.
Determine o lucro da empresa, em dezembro de 2017, sabendo que a
função que descreve o lucro L no mês t daquele ano é definida por
L(t) a cos t b3 2
π π
em que 1 t 12, a 0 e b 0.
Apresente os cálculos realizados na resolução da questão. Q.07-Considerando a função real de variável real definida por
f(x) (cosx sec x 2) cosx, onde x é tal que cosx 0, é
correto afirmar que a imagem de f (isto é, o conjunto de valores de f ) é
A) [0, 4] {1}.
B) [0, 2] {1}.
C) [ 2, 2] {1}.
D) [ 2, 4] {1}.
LISTA DE EXERCÍCIOS
Q.08- No plano cartesiano abaixo, estão representados os gráficos das
funções f : [0, 2 ] [ 1,1],π definida por f(x) cos(x), e
g : [0, 2 ] ,π definida por 3
g(x) .2
Os elementos do domínio dessas funções para os quais se tem
f(x) g(x) são
A) 11
,6 6
π π
B) 5
,3 3
π π
C) 3
0, , 22 2
π ππ
D) 5
0, , 23 3
π ππ
E) 11
0, , 26 6
π ππ
Q.09- Os valores de x, 0 x 2 ,π para os quais 1
| sen x |2
são
A) 5
x6 6
π π e
7 11x
6 6
π π
B) 7
x6 6
π π
C) 0 x π
D) 5 7
x6 6
π π
E) 2
x3 3
π π e
4 5x
3 3
π π
Q.10- Observe o gráfico de uma função trigonométrica cosseno, dada pela
expressão f(x) m ncos(2x), sendo m, n e p números reais, com
ponto de mínimo em x p, que é a abscissa do ponto Q.
O valor de mnp é igual a
A) 2
1
4π
B) 2
1
π
C)
2
4
π
D) 2π
E) 24π
Respostas Resposta da questão 1: [D]
Do gráfico, temos f(0) 1. Logo, vem
1 m sen(n 0) k k 1
Sabendo que a função seno é crescente no primeiro quadrante, podemos
concluir que m 0. Ademais, como 1 senx 1, temos
1 senx 1 1 sen(nx) 1
m msen(nx) m
m 1 msen(nx) 1 m 1.
Mas sabemos que 2 msen(nx) 1 4 e, portanto, vem m 3.
Ainda do gráfico, podemos afirmar que o período da função é 6. Logo,
sendo n 0, temos
26 n .
| n | 3
π π
LISTA DE EXERCÍCIOS
Resposta da questão 2: [E] Tem-se que
5 11 3sen2x sen2x
2 2
sen2x sen6
2x 2k6
ou
2x 2k6
x k , k12
ou .
5x k , k
12
π
ππ
ππ π
ππ
ππ
Logo, sendo x12
π a menor raiz positiva da função e
2
| 2 |
ππ o seu
período, podemos concluir que a abscissa de P é 13
rad,12 12
π ππ
ou seja,
13 180
195 .12
Resposta da questão 3: a) Tem-se que
2 sen32f
2 22 cos
2
ππ
π
e
2 sen12
f .2 2
2 cos2
ππ
π
Daí, vem
3 1f f 2.
2 2 2 2
π π
Por outro lado, temos
2 senf( ) 2
2 cos
ππ
π
e
22 sen 2
4 2f 1.4 22 cos 2
4 2
ππ
π
Logo, segue que f( )f 2 1 2.4
ππ
A identidade é verdadeira.
b) Se f( ) 2,θ então
2 2
2 2
2 sen2 2cos sen 2
2 cos
4cos sen 4sen 4
4(1 sen ) sen 4sen 4
sen (5sen 4) 0
4sen 0 ou sen .
5
θθ θ
θ
θ θ θ
θ θ θ
θ θ
θ θ
Portanto, como os valores obtidos para sen produzem valores
compatíveis para cos ,θ segue o resultado.
Resposta da questão 4: [E]
Sabendo que 2 2cos x 1 sen x, temos
2 22cos x senx 2 2(1 sen x) senx 2
1senx senx 0
2
10 senx .
2
Assim, como os arcos da primeira volta que possuem seno igual a 1
2 são
6
π e
5,
6
π vem
5S 0, , .
6 6
π ππ
Resposta da questão 5: [E] Sabemos que π é uma raiz desta função, portanto:
[A] f( ) 1 sen ( ) 1 0 1π π π
[B] f( ) 1 cos ( ) 1 1 2π π π
[C] f( ) 2 cos ( ) 2 1 1π π π
[D] f( ) 2 sen ( ) 2 0 2π π π
[E] f( ) 1 cos ( ) 1 1 0π π π
Logo, a opção [E] é a correta. Resposta da questão 6: O período da função dada é:
2P 4
2
L(12) L(8) L(4) 50.000
π
π
Resposta: O lucro da empresa em Janeiro de 2017 será R$ 50.000,00.
LISTA DE EXERCÍCIOS
Resposta da questão 7: [A]
Como 1
sec x ,cosx
segue que (2k 1)
x ,2
π com k .
Ademais, temos
2
2
f(x) (cosx sec x 2) cosx
cos x 2cosx 1
(cosx 1) .
De acordo com a restrição, podemos concluir que (2k 1)
f 12
π
não
pertence ao conjunto imagem de f. Portanto, como 1 cosx 1,
segue que 0 cosx 1 2 e, assim, vem 20 (cosx 1) 4.
A imagem de f é [0, 4] {1}.
Resposta da questão 8: [E]
Em 6
π radianos (ou 30°),
3cos(x) .
2 Portanto no intervalo
0,6
π
tem-se f(x) g(x). De mesmo modo, em 11
6
π radianos (ou
330°), 3
cos(x) .2
Portanto no intervalo 11
, 26
ππ
tem-
se f(x) g(x). Assim os elementos do domínio dessas funções para os
quais se tem f(x) g(x) são 11
0, , 2 .6 6
π ππ
Resposta da questão 9: [A] Tem-se que
1 1 1| senx | senx ou senx .
2 2 2
Logo, sendo 7
6
π e
11
6
π os arcos cujo seno é igual a
1,
2 bem como
6
π
e 5
6
π os arcos cujo seno é igual a
1,
2 podemos afirmar que a resposta é
5x
6 6
π π ou
7 11x .
6 6
π π
Resposta da questão 10: [D] Calculando:
2p
2
f(0) 3 m n 3
m 2 n 1f 1 m n 1
2
ππ
π
Logo:
2 1mn 2p π π