Lista-1-Vetores-1º-EM

Lista 1 - Vetores - 1º EM

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1111

1. O que é necessário para determinar (caracterizar) uma: a) grandeza escalar? b) grandeza vetorial?

2. Em que consiste a orientação espacial?

3. Classifique os itens abaixo em grandeza escalar (E) e grandeza vetorial (V).

a) ( ) tempo b) ( ) velocidade c) ( ) massa d) ( ) temperatura e) ( ) força f ) ( ) deslocamento

4. A figura a seguir representa diversos segmentos orientados. Quantos vetores estão nela representados?

5. A respeito dos vetores representados abaixo, assinale verdadeiro (V) ou falso (F).

a) ( ) A�

= 4

b) ( ) A�

tem direção para a direita e sentido horizontal

c) ( ) A�

= 4

d) ( ) A�

= B�

e) ( ) B = 4 f) ( )A = B

g) ( ) A�

e B�

têm o mesmo sentido

h) ( ) A�

= - B�

6. Os vetores a seguir referem-se as questões I, II e III.

I. Indique qual dos vetores abaixo corresponde a .+ +��

A B C

II. Tomando por base o exercício anterior, pode-se afirmar que:

a) + + = + +��

A B C C B A

( ) certo ( ) errado

b) + + = + +��

A B C C B A


III. Determine .+ +��

A B C Adote o lado do quadrado como

unidade. 7. Dados os vetores representados a seguir, determine seu vetor soma.

8. Determine o módulo do vetor soma de ��

A e B representados

abaixo.

Dados: 10 10= =��

A B

a) ��A

�

B

b)

120°

�

B

��

A

A

B

A

B

C

XY

W

Z

Q

A

BC

D


2

c)

�

B

��

A

9. Na figura, estão desenhados dois vetores ( ).��

X e Y Estes vetores

representam deslocamentos sucessivos de um corpo. Qual é o

módulo do vetor igual a ?+��

X Y

a) 4 cm b) 5 cm c) 8 cm d) 13 cm e) 25 cm

10. Três vetores de módulos iguais podem ser arranjados de forma a terem resultante nula? Justifique sua resposta.

Observação: Por “resultante”, entenda-se vetor soma.

11. Quando escrevemos ,−��

X o sinal ( – ) indica que o vetor é

negativo. ( ) certo ( ) errado

12. De maneira geral, + = +��

A B B A


13. De maneira geral, − = −��

A B B A


14. O produto de um vetor ��

A não nulo por um número real diferente

de zero é sempre um vetor que conserva a direção de .��

A ( ) certo ( ) errado

15. O produto de um vetor ��

A não nulo por um número real diferente

de zero é sempre um vetor que conserva o sentido de .��

A ( ) certo ( ) errado

16. Assinale a afirmativa correta.

a) Um vetor ,��

A de módulo 5, somado com um vetor ,�

B de

módulo 7, dá como resposta um vetor que tem sempre módulo 12.

b) A adição vetorial tem a propriedade comutativa, isto é,

.+ = +��

A B B A

c) Dois vetores horizontais têm como soma um vetor de módulo sempre maior que zero.

d) A soma de um vetor �

A de direção vertical ( )0≠��

A com

um vetor �

B de direção horizontal pode dar como soma um vetor nulo.

17. Na figura, �

a e �

b são vetores paralelos ao eixo y e, �

c e �

d ,

paralelos ao eixo x. Sabendo que os quatro vetores têm o mesmo módulo, assinale a alternativa incorreta.

a�

b�

c�

d�

a) = = =� � � �

a b c d

b) = −�

�

a b

c) 0+ =� �

�

a b

d) 2+ =� � �

a b a

e) 2+ =� � �

b c a

18. Dados dois vetores �

x e �

y de módulos respectivamente 3 e 5, é

correto afirmar sempre que:

a) 8+ =�

�

x y

b) 2− =� �

x y

c) >�

�

x y

d) 2 8≤ + ≤� �

x y

e) 3 5≤ + ≤� �

x y

19. Represente, no quadriculo a seguir, os vetores:

�

R = 3�

i �

S = 3−�

j �

T = 2�

i + 5�

j �

Q = 3�

i - 3�

j �

U = 5−�

i + 2�

j �

V = 5�

i - 2�

j

YX

1 cm


3

Lista Complementar:

1. Na figura a seguir estão representados

os vetores a e b,� �

com

a 5 e b 8.= =�

�

Determine o

módulo do vetor s�

tal que

s a b= +� � �

.

53º

a�

b�

2. Para a situação do exercício

anterior, determine o ângulo

formado entre os vetores a e s.� �

53ºa�

b�

s�

θA

B

C

3. Seja x�

a resultante dos vetores a e b� �

representados abaixo.

Determine x .�

Dados: a 4 e b 8.= =�

�

a�

b�

60º

4. Determine o módulo da resultante dos vetores representados

abaixo, sabendo que x 6 e y 8.= =� �

y�

x�

5. Determine o módulo da resultante s�

dos vetores dados.

| a | | b | | c | = 5= =�

� �

120º

120º120º

a�

b�

c�

6. No exercício abaixo, temos x 5 e y 2.= =� �

Determine o

vetor d�

tal que d x y.= −�

� �

y�

x�

7. No caso a seguir, considere x 6 e y 4.= =� �

Determine o

módulo do vetor d�

tal que d x y.= −�

� �

x� y

�

120º

8. Na figura abaixo considere que cada divisão do “quadriculado”

tem medida 1 e que os vetores i e j� �

são perpendiculares

entre si. Represente os vetores a, b, c, d e e,� � � � �

em função de

i e j� �

.

a�

d�

c�

b�

e�

j�

i�

9. Uma grandeza física vetorial fica perfeitamente definida quando se lhe conhecem: A. ( ) valor numérico, desvio e unidade. B. ( ) valor numérico, desvio, unidade e direção. C. ( ) valor numérico, desvio, unidade e sentido. D. ( ) valor numérico, unidade, direção e sentido. E. ( ) desvio, direção, sentido e unidade.

10. São dados os vetores A e B.� �

Qual dos diagramas a seguir

representa o vetor C,�

soma A e B?� �

B�

A�

A. ( )

B�

A�

C�

B. ( )

B�

A� C

�

C. ( )

B�

A� C�

D. ( )

B�

A�

C�

E. ( )

B�

A�

C�


4

11. Qual é a relação entre os vetores M, N, P e R� � � �

representados na figura?

P�� R

��

N��

M��

A. ( ) M N P R 0+ + + =��

B. ( ) P M R N+ = +��

C. ( ) P R M N+ = +��

D. ( ) P R M N− = −��

E. ( ) P R N M+ + =��

12. A figura mostra três vetores A, B e C.� ��

De acordo com a

figura podemos afirmar que:

A�

B�

C�

A. ( ) A B C 0+ + =��

B. ( ) A B C= −��

C. ( ) B A C− =��

D. ( ) A B C+ =��

E. ( ) A B C= +� ��

13. Na figura abaixo estão desenhados dois vetores ( )x e y .� �

Estes vetores representam deslocamentos sucessivos de um

corpo. Qual é o módulo do vetor igual a x y?+� �

(A escala da

figura é 1:1.)

y�

x�

1 cm

1 cm

A. ( ) 4 cm B. ( ) 5 cm C. ( ) 8 cm D. ( ) 13 cm E. ( ) 25 cm

14. A resultante dos três vetores 1 2 3F , F e F� � �

mostradas na figura

é:

1F�

2F�

3F�

1R��

2R��

3R��

4R��

5R��

A. ( ) 1R��

B. ( ) 2R��

C. ( ) 3R��

D. ( ) 4R��

E. ( ) 5R��

15. Nas figuras seguintes estão representados pares de vetores

( )x e y ,� �

nos quais cada segmento orientado está subdividido

em segmentos unitários.

90º

y�

x�

y�

x�

x�

y�

120º

90º

x�

y�

y�

x�

60º

1 2 3

4 5

Quais destes pares têm a mesma resultante?

A. ( ) 1 e 5 B. ( ) 2 e 4 C. ( ) 3 e 5 D. ( ) 2 e 3 E. ( ) 2 e 5

16. Dados os vetores U, V, X, Y e W��

de mesmo módulo,

qual das relações abaixo está correta?

U��

V��

X��

Y��

W��

60º 120º

A. ( ) U W Y+ =��

B. ( ) X W U+ =��

C. ( ) X Y U+ =��

D. ( ) X Y V U+ + =��

E. ( ) U V Y W+ + =��

17. Considere um relógio com mostrador circular de 10 cm de raio

e cujo ponteiro dos minutos tem comprimento igual ao raio do mostrador. Considere esse ponteiro como um vetor de origem no centro do relógio e direção variável. O módulo da soma dos três vetores determinados pela posição desse ponteiro quando o relógio marca exatamente 12 horas, 12 horas e 20 minutos e, por fim, 12 horas e 40 minutos é, em cm, igual a:

A. ( ) 30 B. ( ) ( )10 1 3+

C. ( ) 20 D. ( ) zero 18. O vetor representativo de uma certa grandeza física possui a

intensidade igual a 2. As componentes ortogonais desse vetor

medem 3 e 1. Qual o ângulo que o vetor forma com a sua

componente de maiôs intensidade?

19. No gráfico abaixo estão representados três vetores a, b e c.� � �

Os vetores i e j� �

são unitários. Analise as expressões:

a�

c�

b�

j�

i�


5

(I) a 2i 3j= +� ��

(II) b 2j=��

(III) b c 1i+ = +��

�

Podemos afirma que: A. ( ) são corretas apenas a (I) e a (II). B. ( ) são corretas apenas a (II) e a (III). C. ( ) são corretas apenas a (I) e a (III). D. ( ) são todas corretas. E. ( ) há apenas uma correta.

20. Represente o vetor soma dos seguintes vetores: A) B) C)Y

ZX M

PN N K

T

D)A

B

B

C

E)D E

E

F

F)

A

B C

D

E

G)

X

Y

Z

T

U

H)O

O

2V��

1V��

1V��

2V��

I)

21. Dados dois vetores a e b� �

de soma S�

e diferença

D a b,= −��

esboce, num só diagrama, as quatro grandezas

vetoriais citadas.

22. Dado o conjunto de vetores, marque V para as equações verdadeiras e F para as falsas.

y�

z�

v�

u�

w��

s�

x�

A. ( ) y z s+ =

��

B. ( ) ( )x w y z+ = − +� � � �

C. ( ) y w z x+ + = −� � � �

D. ( ) s x u v− = +� � � �

E. ( ) u v s x 0+ + + =� � � � �

F. ( ) u x y z v 0− + + + − =� � � � � �

23. São grandezas escalares:

A. ( ) tempo, deslocamento e força. B. ( ) força, velocidade e aceleração. C. ( ) tempo, temperatura e volume. D. ( ) temperatura, velocidade e volume.

24. Observe a figura. Ela nos informa que:

B�

C�

A�

A. ( ) A B C+ =��

B. ( ) C A B+ =��

C. ( ) 2 2 2

C A B 0+ − =��

D. ( ) B C A+ =��

E. ( ) 2 2 2

A B C+ =��

25. No esquema estão representados os vetores

1 2 3 4v , v , v e v .� � � �

A relação vetorial correta entre esses

vetores é:

4v�

3v�

1v�

2v�

A. ( ) 1 4 2 3v v v v+ = +� � � �

B. ( ) 1 2 3 4v v v v 0+ + + =� � � � �

C. ( ) 1 3 4 2v v v v+ + =� � � �

D. ( ) 1 4 2v v v+ =� � �

E. ( ) 1 3 4v v v+ =� � �

26. A soma de dois vetores ortogonais, isto é, perpendiculares

entre si, um de módulo 12 e outro de módulo 16, terá módulo igual a: A. ( ) 4 B. ( ) um valor compreendido entre 12 e 16 C. ( ) 20 D. ( ) 28 E. ( ) um valor maior que 28

27. Assinale a alternativa errada. Dado o número real k e o vetor

v,�

então:

A. ( ) o vetor u kv=� �

tem o mesmo sentido de

v se k 0.>�

B. ( ) o vetor w kv=� �

tem sentido contrário de

v se k 0.>�

C. ( ) a direção de g kv=� �

é sempre igual à direção de v�

qualquer que seja k ≠ 0.

D. ( ) se a direção de g kv=� �

é diferente da direção de

v, k 0.<�

28. Determine o vetor soma S�

em cada caso a seguir, calculando

o seu módulo e o ângulo formado com a horizontal:

a) 60o

5 U 8 U

5 U


6

b)

10 U

20 U

α

cosα= 0,8

senα= 0,6

1

10 U

29. Determine o vetor diferença D A B= −��

em cada caso a seguir, calculando seu módulo e o ângulo formado com a horizontal: a)

60o

A��

B��

|A| = 8 U��

|B| = 3 U��

b)

α α

B��

A��

sen α

cos α

| A | | B | 20N= =��

30. Determine o vetor X��

que satisfaz cada equação vetorial abaixo:

4.(5N 4M + X) = 0−��

30o

M��

N��

M = 2 = 1N

��

��

31. Qual das relações abaixo não é satisfeita pelos vetores a

seguir:

A B

CD

IH

GF

E

A. ( ) B + D = C��

B. ( ) A + C = H + I��

C. ( ) E + D H = G−��

D. ( ) A + B E + G = I−��

E. ( ) I G = H + F−� ��

32. Dados:

a = 13, b = 19 e a + b = 24,

calcular a b−

� � � �

� �

33. Quais condições devem satisfazer os vetores a e b� �

para que

se tenham as relações seguintes:

α

b�

a�

a) a + b = a b−� � � �

b) a + b > a - b� � � �

c) a + b < a b−� � � �

34. No esquema a seguir, as cargas positivas A e B repelem a carga C com forças de 15N e 7N, respectivamente. Determine o módulo da força resultante na carga + C.

++

+

7N 15N

7m

5m3m

A B

C

35. Define-se velocidade relativa de um de um móvel A em relação

a um móvel B pela equação vetorial

AB A BV = V V−��

ABV��

= velocidade de A em relação a B.

AV��

= velocidade de A em relação a Terra.

BV��

= velocidade de B em relação a Terra.

Determine ABV��

nos seguintes casos:


7

VA = 10 m/s

VB = 4 m/s

a)

AV��

BV��

VA = 2 m/s

VB = 3 m/s

b)

AV��

BV�� 60º

VB = 7 m/s

VA = 15 m/s

c)

d)

20 m/s

20 m/s

αα

cos α = 0,8

sen α = 0,6

AV��

BV��

36. Considere a figura abaixo. Determine os vetores (a)

P�

; (b) R��

; (c) S�

; (d) Q��

, em termos dos vetores A��

e B��

.

R��

Q��

A��

P��

S�

B��

37. Determine os módulos dos componentes da resultante e o módulo da resultante da soma de dois deslocamentos vetoriais

a�

e b�

. Suponha que os vetores¨ a�

e b�

possuam os

seguintes componentes em relação a um sistema cartesiano ortogonal:

ax = 4, bx = - 2; ay = 0, by = 5; az = 3, bz = - 1

38. Dois vetores são dados por: ˆ ˆ ˆa 3i 2 j k= − −�

e

ˆ ˆ ˆb 3i j 2k.= − −�

Determine:

a) a b+� �

b) a b−� �

c) a b− +� �

39. Dados dois vetores ˆ ˆa 2i j= −�

e ˆ ˆb i j= −�

, determine o

módulo e a direção de a�

, de b�

, de ( a b−� �

), de

( a b+� �

) e de ( b a−� �

).

40. Uma partícula sofre três deslocamentos sucessivos sobre um

plano: 2 m de Norte para Sul, 4 m de Oeste para Leste e 12 m de baixo para cima numa direção que forma um ângulo de 60º com a direção Oeste-Leste. Escolha o eixo Ox apontando no

sentido Oeste-Leste e o eixo Oy no sentido Sul-Norte. Faça a origem O coincidir com a origem dos deslocamentos. Determine: a) os componentes de cada deslocamento, b) os componentes do deslocamento R resultante, c) o módulo, a direção e o sentido do deslocamento

resultante.

41. Considere o problema 38. Determine o vetor 3a 2b−� �

.

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