TIPOS DE GRANDEZAS

� Grandeza escalar – necessita apenas de uma informação para ser compreendida. Nesse caso, quando citamos apenas o MÓDULO da grandeza (intensidade + unidade) ela fica definida.

Exemplo: temperatura(30ºC), massa(200Kg), volume(3400 L), tempo(1 h), etc.

� Grandeza vetorial – Além do MÓDULO, ela

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� Grandeza vetorial – Além do MÓDULO, ela necessita de informações adicionais para ser definida. Existem grandezas que quando citamos o seu módulo ainda temos dificuldade em definí-la, ou seja, temos necessidade de informações adicionais para caracterizar a essa grandeza.Essas informações são: DIREÇÃO E O SENTIDO

Exemplo: Deslocamento, força, velocidade, aceleração, etc.

deslocamento de 5 m na vertical para cima.

ESCALARES VETORIAIS – (pra onde?)

comprimento Deslocamento

área / volume Aceleração

calor Velocidade

temperatura Força

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massa / densidade Impulso

tempo Quantidade de movimento

energia Campo elétrico

pressão Campo magnético

potência Torque (momento)

� Módulo ( intensidade + unidade) - seguindo uma escala pré-estabelecida, o tamanho do vetor nos indicará com precisão (dentro dos limites da régua) o módulo do vetor.

Módulo do vetor

Sentido

VETOR VETOR

REPRESENTAÇÃO DE UMA GRANDEZA VETORIAL

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vetor.� Direção – reta imaginária que

permite a orientação. Normalmente indicamos a direção do vetor fornecendo o ângulo entre o vetor e uma direção conhecida. As mais comuns são a direção horizontal (x) e a vertical (y).

� Sentido – é a orientação tomada na reta que define a direção.

Direção

� As grandezas vetoriais são chamadas dessa forma porque são representadas graficamente por um segmento de reta orientado denominado de VETOR

Módulo

Sentido

Direção da

ar

Resumindo ....

5

MóduloReta Suporte

� Veja alguns exemplos

VF d

uaavetordomóduloobs 3: ==r

Comparação entre vetores

� Vetores Iguais

a

b

r

s

6

Mesmo Módulo

Mesma Direção

Mesmo Sentido

a = b

O vetor a é igual ao vetor b.

� Vetores Opostos

a

b

r

s

ct

7

Sobre os vetores b e c podemos afirmar:

Têm o mesmo módulo, mesma direção mas sentidos opostos.

a = b = - c

O vetor c é oposto aos vetores a e b.

contextualizando

BC

Supondo que a correnteza

tenha velocidade de 4m/s e

que o barco

8A

que o barco tem

velocidade de 8m/s,

qual a direção e o sentido da velocidade resultante, bem como o seu módulo?

REPRESENTAÇÃO DOS VETORES VELOCIDADE DA CORRENTEZA E VELOCIDADE DO BARCO)( CV

r)( BV

r

CVr

escala

CVr

Sr

9

BVr

e

s

c

a

l

a

BVr

BVr

CVr

Sr

Sr

Operações com vetores

Soma Vetorial – Vetor Resultante ou Vetor Soma

� Através da soma vetorial encontramos o vetor resultante.

� O vetor resultante seria como se todos os

)(Sr

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� O vetor resultante seria como se todos os vetores envolvidos na soma fossem substituídos por um, e este tivesse o mesmo efeito.

� Existem duas regras para fazer a soma vetores.

Regra do Polígono� É utilizada na adição de qualquer quantidade de � vetores.

Exemplo 1 Determine o vetor soma dado por a + b + c

a b

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a b c

REGRA:devemos posicionar cada vetor junto ao outro de forma que a extremidade de um vetor colocaa extremidade de um vetor coloca--se junto à origem do se junto à origem do outrooutro.

E o vetor soma, ou também chamado vetor resultante, será o vetor que une a origem do primeiro com a extremidade do último, formando assim um polígono.

Vetor soma pela regra do polígono

a

b c

S

a

b

c

S

Não importa a ordem tomada

dos vetores para

representá-los. Observamos

que o resultado será sempre o mesmo vetor

soma. A

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a

b

cS

a bc

S

soma. A expressão que define a ordem

da soma dos vetores é

chamada de equação vetorial.

bcaSrrrr

++=

Regra do Paralelogramo� É utilizada para realizar a adição de apenas dois

vetores.

Exemplo 2Determinar o vetor soma dado por a + b.

a b

13

REGRA :devemos posicionar a origem dos dois vetores no mesmo ponto e traçar uma reta paralela a cada um passando pela extremidade do outro.

E o vetor soma, ou também chamado vetor resultante, será o vetor que une a origem dos dois vetores com o cruzamento das duas retas paralelas a cada vetor, formando assim um paralelogramo.

Fazendo a Soma através da Regra do Paralelogramo

Sa

α

Reta Paralela ao vetor b e que passa pela extremidade do vetor a.

Reta Paralela ao vetor a e que passa pela extremidade do

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b

αpassa pela extremidade do vetor b.

E o módulo, ou seja, o valor desse vetor resultante será dado pela lei dos cossenos:

S2 = a2+b2+2.a.b.cos αααα

Exemplo 3Determine o módulo, a direção e o sentido do vetor soma ou

resultante dos vetores abaixo:

ar

br

αar

br

α Sr

15

br

b

21120

120

u10b

u7a

////coscoscoscos −=°°=α

=

=r

r

uS

S

S

S

babaS

9

79²

7010049²

)2/1.(10.7.2²10²7²

cos...2²²²

≅=

−+=−++=

++= α

Casos Particulares

1º) α = 0º

S = a + b

2º) α = 180º

S = a - b

ar

br

ar

br

Sr

O vetor soma tem a mesma direção e o mesmo sentido dos vetores dados

ar

ar

br

r

Sr

O vetor soma tem a mesma direção

16

S = a - b

3º) α= 90ºS² = a² + b²

Sendo assim, qualquer que seja o ângulo entre os dois vetores o valor do vetor soma ou resultante será:

| a – b | ≤ S ≤ a + b

br O vetor soma tem a mesma direção

e o mesmo sentido do vetor de maior intensidade

ar

br

Sr Neste caso a direção e o sentido

determinamos por um dos dois métodos e o módulo pelo teorema de Pitágoras

Subtração de vetores - Vetor Diferença

� Considere os dois vetores a seguir:

ab

)(Dr

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Realizar a operação, a – b, é como somar a com um vetor de mesma intensidade, mesma direção mas de sentido oposto ao do vetor b originalmente representado.

Na realidade, estaremos fazendo a adição do vetor a com um vetor oposto ao vetor b ( a + (-b)).

Fazendo a Subtração de Vetores

- b

aDr

Método do polígono

a

bα

Dr

Sr

18

))))((((coscoscoscos móduloab2baD 222 α−+=

•Nos casos particulares devemos inverter as regras

Método do polígonoMétodo do paralelogramo (vetor que liga as setas)

Multiplicação de um vetor por um número real (escalar) – Vetor Produto( )p

r

19

AAASAnprrrrrr +++=== .....

Aprr

.3=

pr

Decomposição de um vetor em vetores ortogonais–componentes ortogonais de um vetor

y

ar

yar

yx aaarrr +=a

r

20

x

xar

α

αcos.aax

rr =

αsenaay .rr =2

y

2

x

2aaarrr +=

ar

VERSORES OU VETORES UNITÁRIOS

São vetores cujo módulo vale uma unidade. y

ar

yar

iax

rr.3=

ja y

rr.4=

yx aaarrr +=

21

jr

ir

xxa

r

y yx aaa +=

jiarrr

.4.3 +=Expressão vetorial com os versores

2

y

2

x

2aaarrr +=

EXEMPLO DA UTILIDADE DOS VERSORES

Dados os vetores abaixo representados, obtenha graficamente o vetor x dado por dbax

rrrr ++=

br

dr

22

jiarrr

.3.3 +=

dbaSxrrrrr ++==

u2550S17S 222

==→+=rr

jdrr

.4−=

ibrr.4=

jiSxrrrr −== .7

dSxrr =

jr

ir

Sxrr =

23

2

3º60

2

1º60cos

=

=

sen

x2Fr

y2Fr

y3Fr

X3Fr

Decompondo, temos:

N923

36F

N3321

36F

N1523

310F

N3521

310F

y

X

y

X

3

3

2

2

==

==

==

==

....

....

....

....

24

i.3i).322(S

j).324(F

i.2F

j.9i.33F

j.15i.35F

4

1

3

2

rrr

rr

rr

rrr

rrr

++=

−−=

=

+−=

+=

N)3819(S

)3()322(S 222

+=

++=

Sr