Juros compostos 2

UNIVERSIDADE NOVE DE JULHO

MATEMÁTICAFINANCEIRA

Prof. OrtegaE-mail: [email protected]

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mailto:[email protected]

APRESENTAÇÃO DO DOCENTE

O Professor Ortega é bacharel em Administração de Empresas pela Faculdade Campos Salles, pós-graduado em Administração Contábil e Financeira pela Fundação Armando Álvares Penteado – FAAP, MBA em Gestão Empresarial pela Fundação Getulio Vargas – FGV e Mestrando em Administração com linha de pesquisa em finanças, pela Universidade de São Caetano do Sul – USCS.

Profissionalmente atuou por mais de 20 anos em empresas de médio e grande porte na gestão financeira. Atualmente dedica-se à docente da graduação e pós-graduação da Universidade Nove de Julho.

“Só sei que nada sei”Sócrates

“Faze o que tu queres, há de ser o todo da Lei.”Aleister Crowley

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FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA FINANCEIRA

INTRODUÇÃO

A matemática financeira tem como objetivo principal estudar o valor do dinheiro em função do tempo. Este conceito, aparentemente simples, tem vários detalhes quanto à forma de estudo do valor do dinheiro no tempo. Vejamos alguns conceitos para melhor compreendermos o objetivo da matemática financeira. Þ Risco: quando estamos concedendo crédito, estamos mesmo é analisando o risco contido nas operações de crédito. Os conceitos de matemática financeira serão importantes para medir o risco envolvido em várias operações de créditos.

Þ Prejuízo (ou despesa): Em qualquer operação financeira, normalmente, ocorre o pagamento de juros, taxas, impostos, etc., caracterizando-se para alguns como prejuízo e para outros como pagamento de despesas financeiras. A matemática financeira irá mostrar quanto se pagou de despesa ou medir o tamanho do prejuízo em uma operação financeira.

Þ Lucro (ou receita): Da mesma forma que alguém ou uma instituição paga juros e caracteriza-o como prejuízo ou despesa, quem recebe pode classificar estes juros como lucro ou receita ou simplesmente como a remuneração do capital emprestado. A matemática financeira nos ajuda a calcular este juro ou receita, bem como a remuneração do capital emprestado.

REGRA DE TRÊS

Chamamos de regra de três simples os problemas nos quais figuram uma grandeza que é direta ou inversamente proporcional a uma ou mais grandezas.

A regra de três simples trabalha com apenas duas grandezas.

Exemplos:

1) Comprei 6 m de tecidos por R$ 15,00. Quanto gastaria se tivesse comprado 8m?

Resolução: (grandezas diretamente proporcionais)Neste problema figuram duas grandezas: comprimento e preço do tecido.Chamamos de x o valor que desejamos conhecer.Então dispomos em duas colunas:

Comprimento(m) Preço(R$) 6 15 8 x

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Em seguida, colocamos uma seta vertical na coluna onde se encontra x, com a ponta voltada para ele. Se as grandezas forem diretamente proporcionais, como no nosso exemplo, colocaremos uma segunda seta vertical de mesmo sentido na coluna dos outros dados. Assim:

6 15 8 x

Armamos à proporção formada pelas razões que construímos, seguindo as setas:

6 = 15 8 x

e determinamos o valor de x:

x = 8 . 15 [ x = 120 [ x = 20 6 6

Logo, o preço procurado é: R$ 20,00

2) Se seis operários fazem certa obra em 10 dias, em quantos dias 20 operários fariam a mesma obra?

Resolução: (grandezas inversamente proporcionais)

Então dispomos em duas colunas: Operários Dias 6 10 20 x

A coluna que contém x é assinalada como no problema anterior e a outra coluna é assinalada com uma segunda seta vertical, de sentido contrário. Assim:

6 10 20 x

Em seguida, invertemos os valores da coluna do numero de operários (por ser uma grandeza inversamente proporcional à de número de dias): 20 10

6 x Daí:

20 = 10 6 x

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e determinamos o valor de x:

x = 6 . 10 [ x = 60 [ x = 3 20 20

Logo, serão necessários: 3 dias.

PERCENTAGEM (%)

Em nosso dia-a-dia é comum observarmos expressões como as relacionadas abaixo:

“Desconto de até 30% na grande liquidação de verão.”“Os jovens perfazem um total de 50% da população brasileira.”“A inflação registrada em dezembro foi de 1,93%.”“O rendimento da caderneta de poupança foi de 1,99% em maio.”

Todas essas expressões envolvem uma razão especial chamada percentagem.Percentagem é o valor que representa a quantidade tomada de outra, proporcionalmente a uma taxa.Taxa é o valor que representa a quantidade de unidades tomadas em cada 100.Principal é o valor da grandeza da qual se calcula a porcentagem.

No entanto, o principal, a percentagem e a taxa são elementos do cálculo percentual.

Representando:O principal por P;A porcentagem por p;A taxa por i;

Temos, genericamente:

3) Qual é a comissão de 10% sobre R$ 800,00?Resolução:

Neste caso teremos que:

p 10

800 100

100p = 800 . 10100p = 8000 p = 8000/100 p = 80 Logo, a comissão é de R$ 80,00

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OPERAÇÕES SOBRE MERCADORIAS

São problemas de percentagem ligados às operações de compra e venda de mercadorias (lucro ou prejuízo sobre os preços de custo e de venda de mercadorias).

Vendas com LUCRO

A venda de mercadorias pode oferecer um lucro e este lucro pode ser sobre o preço de custo ou sobre o preço de venda.

Sobre o Preço de Custo:

PV = (1 + i)PCOnde: PV é o Preço de Venda i é a taxa PC é o Preço de Custo

4) Um comerciante vendeu mercadorias com um lucro de 8% sobre o preço de custo. Determine o preço de venda, sabendo que essas mercadorias custaram R$ 500,00.

Resolução:PV = (1 + 0,08) . 500PV = (1,08) . 500 [ PV = R$ 540,00

Sobre o Preço de Venda:

5) Comprou-se um objeto por R$ 60,00 e deseja-se ganhar 25% sobre o preço de venda. Qual deve ser este preço?

Resolução:

PV = 60 . 1- 0,25

PV = 60 [ PV = R$ 80,00 0,75

Vendas com PREJUÍZO

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DEMONSTRANDO:(PV – i) x PV = PC(1 – 0,25)PV = 60 0,75PV = 60 PV = 60/0,75 PV = R$ 80,00

Analogamente ao que ocorre com o lucro, uma mercadoria pode ser vendida com prejuízo sobre o preço de custo ou sobre o preço de venda.

Sobre o Preço de Custo:

PV = (1 - i)PC

6) Um objeto foi vendido com um prejuízo de 40% sobre o preço de custo. Sabendo que esse objeto custou R$ 30,00, qual foi o preço de venda?

Resolução:PV = (1 - 0,4) . 30PV = (0,6) . 30 [ PV = R$ 18,00

Sobre o Preço de Venda:

7) Uma casa que custava R$ 96.000,00 foi vendida com prejuízo de 20% sobre o preço de venda. Calcule o preço de venda.

Resolução:PV = 96.0000 . 1+ 0,20

PV = 96.0000 [ PV = R$ 80.000,00 1,2

Abatimentos Sucessivos

Neste item, vamos aprender a calcular os abatimentos sucessivos sobre uma importância resultante de um negócio efetuado. Sendo que o Valor Líquido (VL) é dado por:

VL = P(1 – i1)(1- i2)(1 – i3) .... (1 – in) Onde i1, i2, i3, ...., in são as taxas sucessivas

NOTA:Para aumentos sucessivos, temos:

M = P(1 + i1)(1 + i2)(1 + i3) .... (1 + in)

8) Uma firma distribuidora oferece, sobre o valor de uma fatura, os descontos sucessivos de 10%, 4% e 5%. Sabendo que o valor da fatura é de R$ 48.000,00, qual o valor líquido da mesma?

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DEMONSTRANDO:(PV + i) x PV = PC(1 + 0,2)PV = 96000 1,2PV = 96000 PV = 96000/1,2 PV = R$ 80.000,00

Resolução:VL = P(1 – i1)(1- i2)(1 – i3) VL = 48.000(1 – 0,01)(1 - 0,04)(1 – 0,05) VL = 48.000(0,90)( 0,96)(0,95) VL = 48.000(0,802800) [ VL = R$ 39.398,40

9) Supomos que um objeto de R$ 800,00 incide 6%, 4% e 3% respectivamente a impostos federal, estadual e municipal. Qual o preço final do objeto?

Resolução:M = P(1 + i1)(1 + i2)(1 + i3)M = 800(1 + 0,06)(1 + 0,04)(1 + 0,03)M = 800(1,06)(1,04)(1,03)M = 800(1,135472) [ M = R$ 908,38

E X E R C I C I O S

REGRA DE TRÊS

1) Ao comprar 2 kg de pães paguei R$ 12,50. Quanto pagaria se tivesse comprado 6 kg? R. R$

2) Comprei 5 m de corda por R$ 4,00. Quanto pagarei por 14 m? R. R$

3) Um operário recebe R$ 836,00 por 20 dias de trabalho. Quanto receberá por 35 dias?R. R$

4) Uma roda dá 80 voltas em 20 minutos. Quantas voltas dará em 28 minutos? R. voltas

5) Uma fábrica engarrafa 3000 refrigerantes em 6 horas. Quantas horas levará para engarrafar 4000 refrigerantes? R. horas

6) Com 12 operários podemos construir um muro em 4 dias. Quantos dias levarão 8 operários para fazer o mesmo muro? R. dias

7) Um empreiteiro calculou terminar uma obra em 32 dias, empregando 15 operários. Tendo conseguido apenas 12 operários, em quantos dias terminará o mesmo trabalho? R. dias

8) Para se obterem 28 kg de farinha, são necessários 40 kg de trigo. Quantos quilogramas do mesmo trigo são necessários para se obterem 7 kg de farinha? R. kg9) Trinta operários constroem uma casa em 120 dias. Em quantos dias 40 operários construiriam essa casa? R. dias

8

10) Um ônibus, a uma velocidade medi de 60km/h, fez um percurso em 4 horas. Quanto levará, aumentando a velocidade média para 80 km/h? R. horas

11) Trabalhando 5 horas por dia um operário pode fazer um trabalho em 24 dias. Em quantos dias, nas mesmas condições, poderia fazê-lo, trabalhando 6 horas por dia? R. dias

12) Cinco máquinas impressoras, trabalhando simultaneamente executam um determinado serviço em 5 horas. Em quanto tempo o mesmo serviço seria executado se forem utilizadas apenas três máquinas impressoras? R. horas ou horas e minutos

PORCENTAGEM

13) Calcule as porcentagens:

a) 8% de R$ 700,00 R p = b) 5% de R$ 4.000,00 R. p = c) 12% de R$ 5.000,00 R. p = d) 1,2% de R$ 40,00 R. p =

14) Qual a taxa percentual que:

a) 125 representa de 250? R. i = %b) 112 representa de 320? R. i = %c) 28 representa de 80? R. i = %d) 352 representa de 1800? R. i = %

15) Francisco resolveu comprar um pacote de viagem que custava R$ 4.200,00, já incluídos R$ 120,00 correspondentes a taxas de embarque em aeroportos. Na agência de viagens, foi informado de que, se fizesse o pagamento à vista, teria um desconto de 10%, exceto no valor referente ás taxas de embarque, sobre o qual não haveria nenhum desconto. Decidiu, pois, pagar o pacote de viagem á vista. Então é CORRETO afirmar que Francisco pagou por esse pacote de viagem:

a) R$ 3.672,00 b) R$ 3.780,00 c) R$ 3.792,00 d) R$ 3.900,00

16) De 4000 funcionários, 120 faltaram ao serviço. Qual a taxa percentual dos funcionários ausentes? R. i = %

17) Para a venda de uma geladeira, o cartaz anuncia:

R$ 367,20 x 4 ou

R$ 1.080,00 à vista

9

Pergunta-se: Quem comprar a prazo, pagará a mais quantos por cento? R. %

18) Represente a taxa de porcentagem do ingrediente sabão do desinfetante PINHO CHEIRO:R. %

DESINFETANTE PINHO CHEIROÁgua 47g

Álcool 12gSabão 7g

Óleo pinho 34gTOTAL 100g

19) Numa pesquisa sobre a preferência de cores, foram entrevistadas 50 pessoas e o resultado obtido foi o seguinte:

PREFERENCIA NÚMERO DE PESSOASAzul 11

Branco 9Preto 1Verde 10

Amarelo 14Vermelho 5

Pergunta-se: Qual a taxa percentual de cada cor pesquisada ?R. %; %; %; %; %; %.

20) De 800 estudantes, 40 faltaram na escola num dia normal de aula. Qual a taxa percentual dos estudantes ausentes? R. i = %

OPERAÇÕES SOBRE MERCADORIAS

21) Uma pessoa aplicou R$ 13.000,00 e teve um rendimento de 18% sobre o valor aplicado. Qual foi o valor de seu rendimento? R. R$

22)Por quanto deverei vender um objeto que me custou R$ 7,20 para lucrar 30% ? R. R$

23) Uma caneta que custava R$ 0,60 sofreu um desconto de 5%. Quanto você pagará por essa caneta? R. R$

24) Ao ser paga com atraso, uma prestação de R$ 1.300,00 sofreu um acréscimo de 4%. Qual o novo valor dessa prestação? R. R$

10

25) Um comerciante comprou uma mercadoria por R$ 9.500,00. Querendo obter um lucro de 12%, qual o preço que deverá vender a mesma? R. R$

26) Sobre um ordenado de R$ 380,00 são descontados 8% para o INSS. De quanto é o total de descontos? R. R$

27) Um objeto que custou R$ 558,00 foi vendido com um prejuízo de 12% sobre o preço de venda. Qual o valor apurado na venda? R. R$

28) Vendi um objeto por R$ 276,00 e ganhei na venda 15% sobre o preço de custo. Quanto custou o objeto? R. R$

29) Comprei uma mercadoria por R$ 480,00. Sendo minha intenção vende-la com um lucro de 20% sobre o preço de venda, qual deve ser este último? R. R$

30) Um terreno foi comprado por R$ 5.000,00 e vendido por R$ 6.500,00. De quanto por cento foi o lucro sobre o preço de compra? R. %

31) Quanto custou um objeto vendido por R$ 248,00 com um prejuízo de 20% sobre o preço de custo? R. R$

32) Um terreno foi vendido por R$ 50.600,00, dando um prejuízo de 8% sobre o preço de venda. Quanto havia custado? R. R$

33) Um objeto comprado por R$ 80,00 foi vendido por R$ 104,00. Qual a taxa pela qual se calculou o lucro sobre o preço de custo? R. %

34) Uma mercadoria foi vendida, com prejuízo de 10%, pelo preço de R$ 36,00. Quanto havia custado? R. R$

35) Uma agência vendeu um carro por R$ 8.500,00. Sabendo que na verdade teve um prejuízo de 15% sobre o preço de venda, quanto custou esse carro? R. R$

36) Por quanto devo vender um objeto que me custou R$ 40,00 para ganhar 15% sobre o preço de custo? R. R$

37) Uma fatura de R$ 8.000,00 sofre dois abatimentos sucessivos de 10% e 8%. Qual o valor líquido a pagar? R. VL =R$

38) Uma fatura de R$ 5.000,00, por motivo de atraso em seu pagamento, sofre aumentos sucessivos de 10% e 15%. Qual o valor final dessa fatura? R. M = R$

39) Sobre uma fatura de R$ 150.000,00 foram feitos descontos sucessivos de 8%, 5% e 2%. Qual o valor líquido da fatura? R. VL = R$

11

40) Calcule o prejuízo de um comerciante que vendeu certas mercadorias por R$ 26.410,00, perdendo, nessa transação, a quantia equivalente a 5% sobre o preço de custo. R. R$

41) Sobre um objeto de R$ 12.000,00 incidi imposto federal de 8% e um estadual de 3%. Qual o preço final desse objeto? R. VL = R$

42) Baseado no exercício anterior, se os impostos fossem respectivamente de 9% e 3,5%. Qual seria o preço final desse objeto? R. VL = R$

43) Uma empresa oferece sobre o valor de uma fatura, os descontos sucessivos de 8,5% e 2,5%. Sabendo-se que o valor da fatura é de R$ 50.000,00, qual o valor líquido da mesma?R. VL = R$

44) Determine o preço final de um artigo de R$ 3.500,00 incidindo impostos de 8,5% e 5%. R. VL = R$

45) Uma nota promissória de R$ 3800,00, por motivo de atraso em seu pagamento sofreu aumentos sucessivos de 4% e 6%. Determine o valor a ser pago por essa nota promissória.R. M = R$ 4189,12

JUROS (J)

É a remuneração obtida a partir do capital de terceiros. Esta remuneração pode ocorrer a partir de dois pontos de vista:

- de quem paga: nesse caso, o juro pode ser chamado de despesa financeira, custo, prejuízo, etc.

- de quem recebe: podemos entender como sendo rendimento, receita financeira, ganho, etc.

Podemos concluir que os juros só existem se houver um capital empregado, seja este capital próprio ou de terceiros.

Capital (C) ou Valor Presente (PV) ou Principal (P)

É o recurso financeiro transacionado na data focal zero de uma determinada operação financeira. Podemos entender como data focal zero a data de inicio da operação financeira ou simplesmente podemos dizer que é o valor aplicado como base para cálculo dos juros.Taxa (i)

É o coeficiente obtido da relação dos juros (J) com o capital (C), que pode ser representado em forma percentual ou unitária. Os conceitos e tipos de taxas são bastante variados, como por exemplo:

- taxa de inflação;- taxa real de juros;

12

- taxa acumulada;- taxa unitária;- taxa percentual;- taxa over;- taxa equivalente;- taxa nominal, entre outras.

Prazo ou Tempo ou Períodos (n)

É o tempo necessário que um certo capital (C), aplicado a uma taxa (i), necessita para produzir um montante (M). Neste caso, o período pode ser inteiro ou fracionário, vejamos um exemplo:

- período inteiro:1 dia; 1 mês comercial (30 dias), 1 ano comercial (360 dias), etc.- período fracionário:3,5 meses, 15,8 dias, 5 anos e dois meses, etc.

Podemos também considerar como um período inteiro os períodos do tipo: um período de 15 dias, um período de 30 dias, etc., ou seja, a forma de entendimento dos períodos vai depender de como estão sendo tratados nos problemas.

Montante (M) ou Valor Futuro (FV) ou Soma ( S)

É a quantidade monetária acumulada resultante de uma operação comercial ou financeira após um determinado período de tempo, ou seja, é soma do capital (C) com os juros (J).

Assim temos: M = C + J

Partindo da fórmula acima, temos que: J = M – C e C = M - J

Exemplo 01:

Uma aplicação obteve um rendimento líquido de R$ 78,25 durante um determinado tempo, qual foi o valor resgatado, sabendo-se que a importância aplicada foi de R$ 1.568,78 ?

Solução algébrica:

J = 78,25 C= 1.568,78 M = ?M = C + JM = + M = R$

Exemplo 02:

13

Solução pela HP-12C

1568,78

78,25R$

ENTER

+

Qual o valor dos juros resultante de uma operação em que foi investido um capital de R$ 1.250,18 e que gerou um montante de R$ 1.380,75 ?


C = 1250,18 M= 1380,75 J= ?J = M - CJ = – J = R$

Exemplo 03:

Qual o valor do investimento que gerou um resgate de R$ 1500,00, sabendo-se que o rendimento deste investimento foi de R$ 378,25 ?


M= 1500,00 J=378,25 C= ?C = M - JC = – C = R$

Regimes de Capitalização

São os métodos pelos quais os capitais são remunerados. Os regimes utilizados em Matemática Financeira são SIMPLES e COMPOSTOS ou linear e exponencial, respectivamente.

Exemplo 04:

Seja um capital de R$ 1000,00, aplicado a uma taxa de 10% a.m. durante 3 meses. Qual o valor acumulado no final de cada período pelos regimes de capitalização simples e composta ?

Solução algébrica: 01Regime de Capitalização Simples

n Capital aplicado (R$)

Juros de cada período Valor acumulado ou montante

1 1000,00 1000 . 10% = 100 1000 + 100 = 1100

14


1380,75

1250,18

R$

ENTER

-


1500

378,25

R$

ENTER

-

2 1000,00 1000 . 10% = 100 1100 + 100 = 12003 1000,00 1000 . 10% = 100 1200 + 100 = R$ 1300,00

Solução algébrica: 02Regime de Capitalização Composta

n Capital aplicado (R$)

Juros de cada período Valor acumulado ou montante

1 1000,00 1000 . 10% = 100 1000 + 100 = 11002 1100,00 1100 . 10% = 110 1100 + 110 = 12103 1210,00 1210 . 10% = 121 1210 + 121 = R$ 1331,00

JUROS SIMPLES

Podemos entender juros simples como sendo o sistema de capitalização linear. O regime de juros será simples quando o percentual de juros incidir apenas sobre o valor do capital inicial, ou seja, sobre os juros gerados, a cada período, não incidirão novos juros.

Sendo assim, teremos a fórmula dos juros simples:

J= PV . i . n

Colocando o PV em evidência, teremos:

PV = J i.n

Colocando o n em evidência, teremos:

n = J PV.i

Colocando o i em evidência, teremos: i = J ou i = FV - 1 PV.n PV

Exemplo 05:Determine o juro obtido com um capital de R$ 1250,00 durante 5 meses com a taxa de 5,5% ao mês. Solução algébrica:

15


1250,00

0,055

5R$

J = 1250 . 0,055 . 5J = R$

Exemplo 06:

Qual foi o capital que gerou rendimento de R$ 342,96 durante 11 meses, a uma taxa de 2,5% ao mês ?

Solução algébrica: J= 342,96PV = 342,96 0,025 . 11

PV = 342,96 = R$ 0,275

Exemplo 07:

Pedro pagou ao Banco ECCOS S/A a importância de R$ 2,14 de juros por um dia de atraso sobre uma prestação de R$ 537,17. Qual o foi a taxa mensal de juros aplicada pelo banco ? Solução algébrica: i = 2,14 537,17 . 1i = 2,14 = 0,003984.... 537,17i = 0,003984 . 100i = 0,3984% ao diaimensal = 0,3984 . 30imensal = %

Exemplo 08:Durante quanto tempo foi aplicado um capital de R$ 967,74 que gerou rendimentos de R$ 226,45 com uma taxa de 1,5% ao mês ?Solução algébrica: n = ? PV = R$ 967,74 i = 1,5% ao mês J= R$ 226,45

16

ENTER

X

X

Solução pela HP-12C2,14

537,17

1

100 30% ao mês

ENTER

X

X

X

ENTER

¸


342,96

0,025

11

R$

ENTER

X

ENTER

¸

n = 226,45 = 226,45 967,74 . 0,015 14,52

n = meses ou meses e dias

OBSERVAÇÃO:

- A parte inteira 15 representa os 15 meses.-A parte decimal do número 15,6, ou seja, 0,6, representa os 18 dias. Neste caso, para calcularmos os dias, basta multiplicar a parte decimal por 30 ( 0,6 . 30 = 18).

Exemplo 09:André emprestou R$ 15,00 de Almir. Após 6 meses Almir resolveu cobrar sua dívida. André efetuou um pagamento de R$ 23,75 a Almir. Qual foi a taxa de juros acumulados nesta operação? Qual foi a taxa mensal de juros?Solução algébrica: PV = 15,00 FV = 23,75N = 6 mesesi(ac) = ?imensal = ?

Montante (M) ou Valor Futuro (FV)

Antes de apresentar a fórmula do montante ou valor futuro, devemos lembrar dos conceitos inicias, onde tenhamos que:

FV = PV + J e J = PV . i . nAssim teremos:

FV = PV ( 1 + i . n)

Exemplo 10:

17


226,45

967,74

0,015

meses

ENTER

X

ENTER

¸

i(ac) = 23,75 - 1 . 100 15

i(ac) = { 1,5833 – 1 } . 100

i(ac) = 0,5833 . 100i(ac) = % a. p. ou ao semestreimensal = / imensal = % ao mês


15

23,75

a. s.

6

% ao mês

ENTER

D%

¸

Qual o valor de resgate de uma aplicação de R$ 84.975,59 aplicados em um CDB pós-fixado de 90 dias, a uma taxa de 1,45% ao mês?

Solução algébrica: n = 90 dias ou (3meses) PV = R$ 84.975,59 i = 1,45% ao mês FV= ?FV = 84.975,59(1 + 0,0145 . 3)FV = 84.975,59(1 + 0,0435)FV = 84.975,59(1,0435)FV = R$

Capital (C) ou Valor Presente (PV)

A Fórmula do Capital ou Valor Presente pode ser deduzida a partir da fórmula do Montante ou Valor Futuro (FV).

Assim teremos: FV = PV(1 + i . n)Colocando PV em evidência:

PV = FV (1 + i . n)

Exemplo 11:Determine o valor da aplicação cujo valor de resgate bruto foi de R$ 84.248,00 por um período de 3 meses, sabendo-se que a taxa da aplicação foi de 1,77% ao mês.


PV = 84.248,00 (1 + 0,0177 . 3)

PV = 84.248,00 = 84.248,00 (1 + 0,0531 ) 1,0531

PV = R$

E X E R C Í C I O S

18


84975,59

1,45

3

R$

ENTER

%

X +


84248

1

0,0177

3R$

ENTER

ENTER

ENTER

X + ¸

1) Qual o valor dos juros correspondentes a um empréstimo de R$ 5000,00, pelo prazo de 5 meses, sabendo-se que a taxa cobrada é de 3,5 % ao mês ? R. J = R$

2) Um capital de R$ 12.250,25, aplicado durante 9 meses, rende juros de R$ 2.756,31. Determine a taxa correspondente. R. i = %

3) Uma aplicação de R$ 13.000,00 pelo prazo de 180 dias obteve um rendimento de R$ 1.147,25. Pergunta-se: Qual a taxa anual correspondente a essa aplicação? R. ianual = %

4) Sabe-se que os juros de R$ 7.800,00 foram obtidos com uma aplicação de R$ 9.750,00 à taxa de 5% ao trimestre, pede-se que calcule o prazo. R. n = % a. trim.

5) Qual o capital que aplicado, à taxa de 2,8% ao mês, rende juros de R$ 950,00 em 360 dias? R. PV = R$

6) Qual é o juro obtido através da aplicação de capital de R$ 2500,00 a 7% a.a. durante 3 anos ? R. J = R$

7) Determinar o valor futuro da aplicação de um capital de R$ 7.565,01, pelo prazo de 12 meses, à taxa de 2,5% ao mês. R. FV = R$

8) Um financiamento de R$ 21.749,41 é liquidado por R$ 27.612,29 no final de 141 dias. Calcular a taxa mensal de juros. R. i = a m.

9) Um capital de R$ 5.000,00 rendeu R$ 1.200,00 em 180 dias. Qual é a taxa simples anual ganha? R. i = % aa

10) Qual o valor do investimento que gerou um resgate de R$ 370,00, sabendo-se que o rendimento deste investimento foi de R$ 148,50 ? R. PV = R$

11) João pagou a uma financeira a importância de R$ 10,30 de juros por 2 dias de atraso sobre uma prestação de R$ 732,10. Qual foi a taxa mensal de juros aplicada pela financeira?R. i = % am.

12) Qual o capital que aplicado à taxa simples de 20% ao mês em 3 meses monta R$ 8.000,00 ?R. PV = R$

Mais ............ Exercícios

1) Determine o juro obtido com um capital de R$ 1250,00 durante 5 meses com a taxa de 5,5% ao mês.

19

2) Um capital de R$ R$ 5.000,00 foi aplicado a juros simples, durante 3 anos, à taxa de 12% a.a. Determine o juro obtido

3) Um Capital de R$ R$ 7.000,00 é aplicado à juros simples, durante 1 ano e meio, à taxa de 8% a.s. Obtenha os Juros e o Montante.

4) Qual o capital que rende juros simples de R$ 3.000,00 no prazo de 5 meses, se a taxa for de 2% a.m.?

5) Qual o valor dos juros correspondentes a um empréstimo de R$150.000,00, pelo prazo de 18 meses, sabendo-se que a taxa de juros simples cobrada é de 4% ao mês?

6) Qual o capital emprestado, que em 18 meses, produziu os juros de R$108.000,00, à taxa de juros simples de 4% ao mês?

7) Que montante receberá um aplicador que tenha investido R$280.000,00, durante 15 meses, à taxa de juros simples de 3% ao mês?

8) Qual o capital investido, para que possa resgatar R$23.600,00, no prazo de 6 meses, à taxa de juros simples de 3% ao mês?

9) Que tempo de aplicação foi necessário, para que R$20.000,00, se transforme à taxa de 3% ao mês, em R$23.600,00?

Cálculo dos juros simples para períodos não inteiros – Taxas equivalentes

Em algumas situações, o período de aplicação ou empréstimo não coincide com o período da taxa de juros. Nesses casos é necessário se trabalhar com a taxa equivalente .

20

Taxas Equivalentes são aquelas que, quando aplicadas a um mesmo capital, pelo mesmo período de tempo, produzem o mesmo juro ou rendimento.

Exemplo 12:Um banco oferece uma taxa de 28% ao ano pelo regime de juros simples. Quanto ganharia de rendimento um investidor que aplicasse R$ 15.000,00 durante 92 dias ? Solução algébrica:PV = 15.000,00i = 28% ao anon = 92 diasJ = ?

Juros Exato e Comercial

Quando falamos em juro exato, estamos na verdade, nos referindo aos dias do calendário, ou seja, devemos considerar a quantidade de dias existente em cada mês. Como, por exemplo: Janeiro (31 dias), fevereiro (28 ou 29 dias). Desta forma, um ano pode ter 365 ou 366 dias.

No caso do juro comercial devemos considerar sempre um Mês de 30 dias, e, sendo assim, um ano comercial vai ter sempre 360 dias.

Exemplo 13:

Uma prestação no valor de R$ 14.500,00 venceu em 01/02/03 sendo quitada em 15/03/03, com a taxa de 48% ao ano. Pede-se: a) Determinar os juros exato b) Determinar os juros comercial

Solução algébrica: PV = R$ 14.500i = 48% ao ano

21

Opção1: transformando a taxaJ = 15000 . 0,28 . 92 360J = 15000 . 0,000778 . 92J = R$ 1.073,33

Opção2: transformando o prazoJ = 15000 . 0,28 . 92 360J = 15000 . 0,28 . 0,255556J = R$ 1.073,33

Opção3: transformando o produtoJ = 15000 . 0,28 . 92 = 386.400,00 360 360J = R$

Solução pela HP – 12C

15000

0,28

92

360

R$

ENTER

X

X

¸

a) Jexato = 14500 . 0,48 . 42 = R$ 365

b) Jcomercial = 14500 . 0,48 . 42 = R$ 360

E X E R C Í C I O S - JUROS PERIODO NÃO INTEIRO/TAXA EQUIVALENTE e JUROS EXATO E COMERCIAL

Considerar o ano comercial (360 dias)

1) Calcular o rendimento de R$ 12.000,00 aplicados durante 8 meses e 3 dias à taxa de juros simples de 40% ao ano. Efetuar os cálculos considerando o ano comercial (360 dias) e o ano exato (365 dias). R. Jcom = R$ e Jex = R$

2) Uma prestação no valor de R$ 6.332,00 venceu em 01/04/00 sendo quitada em 17/05 do mesmo ano com a taxa de 25% ao ano. Determine os juros exato e comercial. R. Jex = R$ e Jcom = R$

3) Calcule as taxas equivalentes a 40% ao ano para:a) 7 dias; R. %b) 29 dias; R. %c) 1 mês; R. %

22


14500

0,48

42

365

R$

14500

0,48

42

360

R$

ENTER

X

X

X

¸

X

ENTER

¸

d) 32 dias; R. %e) 1 trimestre; R. %f) 45 dias; R. %g) 1 semestre; R. %

4) Calcular o valor dos juros de uma aplicação de R$ 21.150,00, feita de 3,64% ao mês, pelo prazo de 32 dias. R. J = R$

5) Calcular o rendimento de R$ 23.000,00 aplicados por 14 dias à taxa simples de 2,5% ao mês. R. J = R$

6) Determinar a taxa simples para 22 dias de aplicação, equivalente à taxa de 3,05% ao mês. R. i22dias = %

7) Calcule a taxa mensal proporcional a:

a) 9% ao trimestre b)24% ao semestre c) 0,04% ao dia d)30% ao ano. R. a) % ao mês; b) % ao mês; c) % ao mês; d) % ao mês

8) Um capital de R$2.400,00 é aplicado durante 10 meses, à taxa de 25% ao ano. Determine o juro obtido. R$

9) Calcule o juro correspondente a um capital de R$18.500, aplicado durante 2 anos, 4 meses e 10 dias, à taxa de 36% ao ano. R. R$

DESCONTOS

É a denominação dada a um abatimento que se faz quando um título de crédito é resgatado antes de seu vencimento. É uma operação tradicional no mercado financeiro e no

23

setor comercial, em que o portador de títulos de crédito, tais como letras de câmbio, notas promissórias etc., pode levantar fundos em um banco descontando o título antes do vencimento. O Banco naturalmente, libera uma quantia menor do que o valor inscrito no título, dito nominal.

Podemos classificar os tipos de descontos como Simples (método linear) e Composto( método exponencial).

Desconto Racional Simples ou “ por dentro”

O valor do desconto é a diferença entre o valor futuro ((VN) valor nominal ou de resgate) e o valor atual ((VL) valor líquido liberado na data do desconto) calculado a juros simples.

Vamos aplicar as seguintes fórmulas:

Para calcular o desconto racional simples:

DRS = VN – VL

O desconto racional simples (DRS) pode também ser encontrado diretamente pela seguinte fórmula:

DRS = VN . id . nd ( 1 + id . nd )

Para calcular o valor líquido:

VL = VN - DRS .

O Valor Líquido (VL) também pode ser encontrado pela seguinte fórmula:

VL = VN . ( 1 + id . nd )

Exemplo 01:

Um título de valor nominal de R$ 25.000,00 é descontado 2 meses antes do seu vencimento, à taxa de juros simples de 2,5% ao mês. Qual o desconto racional simples e o valor líquido?

Solução algébrica:Dados: VN = R$ 25.000,00; nd = 2 meses; id = 2,5% ao mês; DRS = ?

24

Solução pela HP-12C25000 ENTER0,025 X 2 X1 ENTER0,025 ENTER2 X + ¸CHS25000,00 +R$

DRS = 25000,00 . 0,025 . 2 ( 1 + 0,025 . 2 )DRS = 1250 1,05DRS = R$

VL = VN - DRSVL = 25000 – 1190,48VL = R$

Desconto Bancário ou Comercial ou “ por fora ”

O valor do desconto é obtido multiplicando-se o valor nominal do título pela taxa de desconto fornecida pelo banco pelo prazo a decorrer até o vencimento do título.

Vamos expressar esta situação através da seguinte fórmula:

DBS = VN . id . nd e VL = VN – DBS

OBS.: CASO A DÍVIDA SEJA PRORROGADA: VL = VN + DBS

Exemplo 02:

Um título de valor nominal de R$ 25.000,00 é descontado 2 meses antes do seu vencimento, à taxa de juros simples de 2,5% ao mês. Qual o desconto comercial (bancário) e o valor líquido?

Solução algébrica:Dados: VN = R$ 25.000,00; nd = 2 meses; i = 2,5% ao mês; DBS = ?DBS = 25000,00 . 0,025 . 2DBS = R$VL = 25000 – 1250,00VL = R$

Exemplo 03:Uma duplicata no valor de R$ 25.000,00 é descontada em um banco 2 meses antes do seu vencimento, à taxa de desconto de 2,5% ao mês. Sabendo-se que o banco cobra 1% a título de despesas administrativas e que o IOF (Imposto Sobre Operações Financeiras) é 0,0041%

25

Solução pela HP-12C25000 ENTER0,025 X 2 XCHS25000 +R$

ao dia sobre o valor do título, obter o valor recebido pelo portador do título. Uma outra alternativa seria tomar um empréstimo com a taxa líquida de 2,8% ao mês. Qual a melhor opção? Solução algébrica:Dados: VN = R$ 25.000,00; nd = 2 meses; id = 2,5% ao mês; iadm= 1%; iIOF = 0,0041%;i = 2,8% ao mês(empréstimo)VL = ? DBS = ? DIOF = ? Dadm = ?ONDE:D = despesasDIOF = despesas com IOFDadm = despesas administrativasVL = VN – DBS – DIOF - DadmDBS = VN . Id . ndDBS = 25000 . 0,025 . 2 = R$ 1250,00Dadm = 25000 . 0,01 = R$ 250,00DIOF = 25000 . 0,000041 . 60 = R$ 61,50VL = 25000 – 1250 – 250 – 61,50VL= R$Se considerarmos que o PV seja R$ 23.438,50 e FV = 25.000,00, então teremos que a taxa desta operação será:i = FV - PV PV . ndi = 25000 – 23.438,50 = 1561,50 = % ao mês 23.438,50 . 2 46.967,00A operação de empréstimo com a taxa de 2,8% ao mês, neste caso, será melhor opção.

Operações com um conjunto de títulos

Estudaremos nos próximos itens as situações em que haja mais de um título ou borderô de títulos ou duplicatas.

Exemplo 04:Uma empresa apresenta o borderô de duplicatas abaixo, para serem descontadas num banco à taxa de desconto bancário de 3% ao mês. Qual o valor líquido recebido pela empresa ?

Duplicata Valor(R$) Prazo(vencimento)A 2.500,00 25 diasB 3.500,00 57 diasC 6.500,00 72 dias

Neste exemplo, vamos aplicar inicialmente a metodologia de cálculo para um único título.Solução algébrica:a)Duplicata A:DBS = 2500 . 0,03 . 25 = R$ 30

26

b)Duplicata B:DBS = 3500 . 0,03 . 57 = R$ 30 c)Duplicata C:DBS = 6500 . 0,03 . 72 = R$ 30 Valor líquido = 12500 - 62,50 – 199,50 – 468,00 = R$

E X E R C Í C I O S1) Qual o valor do desconto comercial simples de um título de R$ 3.000,00, com vencimento para 90 dias, à taxa de 2,5% ao mês ? R. DBS = R$

2) Qual a taxa mensal simples de desconto utilizada numa operação a 120 dias cujo valor nominal é de R$ 1000,00 e cujo valor líquido é de R$ 880,00 ? R. i = %

3) Calcular o valor líquido de um conjunto de duplicatas descontadas a 2,4% ao mês, conforme o borderô a seguir:

a) 6.000 15 dias b) 3.500 25 dias c) 2.500 45 dias R. VL = R$

4) Uma duplicata de R$ 32.000,00, com 90 dias a decorrer até o vencimento, foi descontada por um banco à taxa de 2,70% ao mês. Calcular o valor líquido entregue ou creditado ao cliente.R. VL = R$5) Achar o valor líquido do borderô de cobrança a baixo, á taxa de desconto bancário é de 2% ao mês. R. VL = R$

Duplicatas Valor (R$) Prazo (vencimento)X 800,00 13 diasY 1350,00 29 diasZ 2430,00 53 dias

6) Um título com valor nominal de R$ 110.000,00 foi resgatado 2 meses antes do seu vencimento, sendo-lhe por isso concedido um desconto racional simples à taxa de 60% ao mês. Neste caso, de quanto foi o valor pago pelo título? R. VL = R$

7) Um título com valor nominal de R$ 3.836,00 foi resgatado 4 meses antes do seu vencimento, tendo sido concedido um DRS à taxa de 10% ao mês. De quanto foi o valor pago pelo título? R. VL = R$

8) Um título com valor nominal de R$ 7.420,00 foi resgatado 2 meses antes do seu vencimento, sendo-lhe por isso concedido um desconto racional simples à taxa de 20% ao mês. Neste caso, de quanto foi o valor pago pelo título? R. VL = R$

27

9) Uma pessoa pretende saldar uma dívida cujo o valor nominal é de R$ 2.040,00, 4 meses antes de seu vencimento. Qual o valor que deverá pagar pelo título, se a taxa racional simples usada no mercado é de 5% ao mês? R. VL = R$

10) João deve a um banco R$ 190.000,00 de um título, que vencem daqui a 30 dias. Por não dispor de numerário suficiente, propõe a prorrogação da dívida por mais 90 dias. Admitindo-se a data focal atual (zero) e que o banco adote a taxa de desconto comercial simples de 72% ao ano, o valor do novo título será de: R. VL = R$

11) Em uma operação de resgate de um título, a vencer em 4 meses, a taxa anual empregada dever ser de 18% ao ano. Se o desconto comercial simples é de R$ 180,00, qual o valor nominal do título? R. VN = R$

12) O DCS de um título 4 meses antes do seu vencimento é de R$ 800,00. Considerando uma taxa de 5% ao mês, obtenha o valor nominal. R. VN = R$

13) Você possui uma duplicata cujo o valor de face é de R$ 150,00. essa duplicata foi descontada 3 meses antes do vencimento, obtendo um DBS de R$ 9,50. Qual à taxa de desconto? R. id = %

14) Determinar quantos dias faltam para o vencimento de uma duplicata, no valor de R$ 9800,00, que sofreu um DCS de R$ 448,50, à taxa de 18% ao ano. R. nd = dias

JUROS COMPOSTOS

Podemos entender os juros compostos como sendo o que popularmente chamamos de juros sobre juros.

28

O regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro e, portanto, o mais útil para cálculos de problemas do dia-a-dia. Matematicamente, o cálculo a juros compostos é conhecido por cálculo exponencial de juros.

FÓRMULAS: Para calcular o Montante:

FV = PV( 1 + i )n

Para calcular o Capital:

PV = FV ( 1 + i )n

Para calcular a Taxa:

FV QQ/QT

i = - 1 . 100 PV

Onde: QQ = Quanto eu Quero ( o prazo da taxa a ser calculada) QT = Quanto eu Tenho ( o prazo da operação que foi informado)

Para calcular o prazo :

n = LN (FV/ PV) LN(1 + i)

Onde: LN = Logaritmo neperiano

Para calcular os juros :

J = PV[(1 + i )n – 1]

29

Exemplo 01:

Calcular o montante de um capital de R$ 5.000,00, aplicado à taxa de 4% ao mês, durante 5 meses.


FV = 5000(1 + 0,04)5

FV = 5000(1,04)5

FV = 5000(1,2166529)

FV = R$

Exemplo 02:

Qual o capital que, em 6 anos à taxa de juros compostos de 15% ao ano, monta R$ 14.000 ? Solução algébrica:PV = FV = 14000 ( 1 + i ) n (1,15)n

PV = 14000 = R$ 2,31306

Exemplo 03:

A loja “Leve Tudo” financia a venda de uma máquina no valor de R$ 10.210,72, sem entrada, para pagamento em uma única prestação de R$ 14.520,68 no final de 276 dias. Qual a taxa mensal cobrada pela loja ?Dados:i = ?

30


5000

4

5

R$

CHS PV

i

n

FV


14000

15

6

R$

CHS FV

in

PV


10210,72

14520,68

276

30

% ao mês

PV = R$ 10.210,72FV = R$ 14.520,68n = 276 diasSolução algébrica:

i = 14.520,68 30/276 - 1 . 100 10.210,72

i = {(1,422101...)0,108696... – 1} . 100

i = {0,039018...} . 100

i = % ao mês

Exemplo 04:Em que prazo um empréstimo de R$ 24.278,43 pode ser liquidado em um único pagamento de R$ 41.524,33, sabendo-se que a taxa contratada é de 3% ao mês ?Dados:n = ? i = 3% ao mêsPV = R$ 24.278,43 FV = R$ 41.524,33


LN 41.524,33 24278,43 n = LN ( 1 + 0,03)

n = LN(1,710338) LN(1,03) n = 0,536691... 0,029559... n = ... meses

Exemplo 05:

Calcular os juros de uma aplicação de capital de R$ 1000,00 pelo prazo de 5 meses à taxa de 10% ao mês. Dados:PV = R$ 1.000,00?i = 10% ao mês

31

CHS PV

i

n

FV

ENTER

¸

Solução1 pela HP-12C 6

41524,33

24278,43 LN

1,03 LN

.. meses

¸

g

g

ENTER

¸

f

Solução 2 pela HP-12C

41524,33

24278,43

1,03

meses

FV

PV

i n

CHS


1000

10

5

1.610,51

R$

PVCHS

n = 5 mesesJ = ?


J= 1000[(1 + 0,10)5 – 1] J= 1000[(1,10)5 – 1] J= 1000[1,61051 – 1] J= 1000[0,61051 ] J= R$

Cálculo dos Juros Compostos para Períodos não Inteiros

As operações de juros compostos para períodos não inteiros podem ser facilitadas se adotarmos a convenção do prazo para dias, vejamos a seguir:

1 ano exato = 365 ou 366 dias;1 ano = 360 dias;1 semestre = 180 dias;1 trimestre = 90 dias;1 mês comercial = 30 dias;1 mês exato = 29 ou 31 dias;1 quinzena = 15 dias.

Quando deparamos com este tipo de situação devemos considerar o prazo

n = Q (Quero) , sempre considerando o prazo em dias. T (Tenho)Sendo assim, teremos a seguinte fórmula do Valor Futuro(FV):

FV = PV (1 + i )Q/T

Exemplo 06:Determinar o montante de uma aplicação de R$ 13.500,00, negociada a uma taxa de 25% ao ano, para um período de 92 dias pelo regime de juros compostos. Dados:PV = R$ 13.500,00i =25% ao anon = 92 dias

32

FV

i

n

RCL PV +

OBS.: neste caso a taxa está ao ano e o prazo está em dias.As perguntas:Qual é o prazo que eu Quero?Qual é o prazo que eu Tenho ?

FV = ?


FV = 13500(1 + 0,25)92/360

FV = 13500(1,25)0,255556

FV = 13500(1,058683)FV = R$


1) Calcular o valor futuro ou montante de uma aplicação financeira de R$ 15.000,00, admitindo-se uma taxa de 2,5% ao mês para um período de 17 meses. R. FV = R$

2) Calcular o capital aplicado pelo prazo de 6 meses a uma taxa de 1,85% ao mês, cujo valor resgatado foi de R$ 98.562,25. R.PV =

3) Durante quanto tempo uma aplicação de R$ 26.564,85 produziu um montante de R$ 45.562,45 com uma taxa de 0,98% ao mês ? R. n = aprox. 56

4) Qual a taxa mensal de juros necessária para um capital R$ 2.500,00 produzir um montante de R$ 4.489,64 durante um ano? R. i = % am.

5) Determinar os juros obtidos através de uma aplicação de R$ 580,22 com uma taxa de 4,5% durante 7 meses. R. J = R$

6) A que taxa de juros um capital de R$ 13.200,00 pode transformar-se em R$ 35.112,26, considerando um período de aplicação de 7 meses ? R. i = %am

7) Determinar o valor de um investimento que foi realizado pelo regime de juros compostos, com uma taxa de 2,8% ao mês, produzindo um montante de R$ 2.500,00 ao final de 25 meses.R. PV = R$

8) Quanto rende um capital de R$ 4.000,00 aplicado por 10 meses a juros efetivos de 2% a.m. ?R. J = R$

9) Determinar o montante de uma aplicação de R$ 10.600,00, negociada a uma taxa de 25% ao ano, para um período de 119 dias pelo regime de juros compostos. R. FV = R$

33


13500

1 0,25

92 360

R$

ENTER

ENTER +

ENTER ¸

yx X

10) Determinar o capital que, aplicado por 7 meses a juros efetivos de 4% ao mês, rende R$ 10.000,00. R. PV = R$

11) Em que prazo um empréstimo de R$ 55.000,00 pode ser quitado por meio de um único pagamento de R$ 110.624,80 se a taxa de juros compostos cobrada for de 15% ao ano?R. n = anos

12) Tenho R$ 10.000,00 e aplico em uma caderneta de poupança 23% do valor, a uma taxa de 2,5% ao mês a juros compostos durante 4 bimestres. Qual o valor do resgate no final do período?R. FV = R$

13) André pretende aplicar R$ 30.000,00. Ele fez uma análise em três bancos diferentes. Veja a tabela abaixo com as condições oferecidas por cada banco.

BANCO X Y ZTaxa 2% ao mês 2% ao trim 2,5% ao mêsprazo 2 bimestre 2 trimestre 3,5 meses

a) Calcule o montante referente as condições oferecidas por cada banco R. FVx = R$ ; FVy = R$ e FVz = R$

b) Qual é a melhor opção?

Desconto Racional Composto

O desconto composto é aquele que a taxa de desconto incide sobre o montante (M), (FV) ou (VN). Utilizaremos todas as metodologias anteriores para os cálculos do desconto composto. DRC = VN – VL

VL = VN .…… (1 + id)nd

Exemplo 01:Determinar o desconto racional composto de um título de valor nominal de R$ 5000,00 considerando uma taxa de juros compostos de 3,5% ao mês, sendo descontado 3 meses antes do seu vencimento.Dados:VN = 5000; id = 3,5% ao mês; n = 3 meses; DRC ?; VL = ?Solução algébrica:

34

Solução pela HP-12C5000 FV3,5 i3 nPV 4509,715000 +R$

VL = 5000 .…… (1 + 0,035)3

VL = 5000 = 5000__ = R$ 4509,71 .…= … (1,035)3 1,10872DRC = 5000 – 4509,71 = R$

Desconto Bancário ou Comercial ( para descontos compostos)

Considere um título de Valor Nominal (VN), com vencimento em um período (n), e um Valor Líquido (VL), que produz um Valor Futuro (FV) igual a VN, quando aplicado por (n) períodos a uma taxa composta de descontos (id) por período. Vamos verificar:

DBC = VN – VL

Onde: DBC = Desconto Bancário Composto

VL = VN (1 + id)-nd

Exemplo 02:Uma duplicata no valor de R$ 25.000,00, 60 dias para o seu vencimento, é descontada a uma taxa de 2,5% ao mês, de acordo com o conceito de desconto composto. Calcular o valor líquido creditado na conta e o valor do desconto bancário concedido. Solução algébrica:Dados: VN = R$ 25.000,00; nd = 60dias (2 meses); id = 2,5% ao mês; VL = ? DBC = ? VL = 25000(1+ 0,025)-2

VL = 25000(1,025)-2

VL = 25000 . 0,9518144VL = R$ 23795,35DBC = 25000 – 23795,35 = R$


1) Um título no valor nominal de R$ 59.895,00 foi pago 3 meses antes do vencimento. Se a taxa mensal de desconto racional composto era 10%, de quanto era o valor líquido deste título? R. VL = R$

35


25000 CHS PV2,5 i -2 nFV 23795,3525000 -R$

2) Determinar o desconto racional composto de um título de valor nominal de R$ 3.000,00 considerando uma taxa de juros compostos de 1,8% ao mês, sendo descontado 4 meses antes do seu vencimento. R. DRC = R$

3) Uma duplicata de R$ 17.000,00, 90 dias para o seu vencimento, é descontada a uma taxa de 1,5% ao mês, de acordo com o conceito de desconto composto. Calcular o Valor Líquido creditado na conta e o valor do Desconto Bancário concedido.R. VL = R$ e DBC = R$

4) Determine o valor do DRC de um título de valor nominal de R$ 6.200,00, descontado 5 meses antes do vencimento, sendo à taxa de 3% ao mês. R. DRC = R$

5) Calcule o DRC obtido em um título de valor nominal R$ 3.800,00, resgatado 8 meses antes do vencimento, sendo à taxa de desconto de 30% ao ano. R. DRC =

6) Um título no valor nominal de R$ 25.000,00 é descontado 90 dias antes do vencimento à uma taxa de 1,5% ao mês. Qual o valor líquido e o DBC? R. VL = R$ e DBC = R$

7) Uma nota promissória de R$ 5.000,00 foi descontada comercialmente 60 dias antes do vencimento à taxa de juros de 3% ao mês. Calcular o valor líquido recebido e o DBC.R. VL = R$ e DBC = R$

OPERAÇÕES COM TAXAS DE JUROS

Conforme o Banco Central do Brasil S. A. , as taxas de juros de cada instituição financeira representam médias geométricas ponderadas pelas concessões observadas nos últimos cinco dias úteis, período esse apresentado no ranking de cada modalidade de operação de crédito.

36

A taxa de juros total representa o custo da operação para o cliente, sendo obtida pela soma da taxa média e dos encargos fiscais e operacionais.

Taxas Equivalentes a Juros Compostos

Duas taxas são consideradas equivalentes, a juros compostos, quando aplicadas a um mesmo capital, por um período de tempo equivalente e gerem o mesmo rendimento.

ieq = ( 1 + ic)Q/T - 1. 100

Onde:ieq = taxa equivalenteic = taxa conhecidaQQ = Quanto eu QueroQT = Quanto eu Tenho

Exemplo 01:Calcular a equivalência entre as taxas:

Taxa Conhecida Taxa equivalente para:a) 79,5856% ao ano 1 mêsb) 28,59% ao trimestre 1 semestrec) 2,5% ao mês 105 diasd) 0,5 ao dia 1 anoe) 25% (ano comercial) 1 ano exato ( base 365 dias)

Solução algébrica: a)ieq = { ( 1 + ic)QQ/QT - 1 } . 100ieq = { ( 1 + 0,7958)30/360 - 1 } . 100ieq = { ( 1 + 0,7958)0,083333 - 1 } . 100ieq = { 1,049997 - 1 } . 100ieq = { 0,049997 } . 100ieq = % ao mês


37

Solução algébrica c) ieq = { ( 1 + 0,025)105/30 - 1 } . 100ieq = { ( 1, 025)3,5 - 1 } . 100ieq = { 1,090269 - 1 } . 100ieq = { 0,090269 } . 100ieq = %ao período

Solução algébricad)ieq = { ( 1 + 0,005)360/1 - 1 } . 100ieq = { ( 1,005)360 - 1 } . 100ieq = { 6,022575 - 1 } . 100ieq = { 5,022575 } . 100ieq = % ao ano

Solução algébricae)ieq = { ( 1 + 0,25)365/360 - 1 } . 100ieq = { ( 1, 25)1,013889 - 1 } . 100ieq = { 1,253880 - 1 } . 100ieq = { 0,253880 } . 100ieq = % ao período

Solução pela HP-12C - a)1,7958

30 360

1 100

% ao mês

ENTER

ENTER ¸ Yx

- XSolução algébrica: b)ieq = { ( 1 + 0,2859)180/90 - 1 } . 100ieq = { ( 1 + 0,2859)2 - 1 } . 100ieq = { 1,653539 - 1 } . 100ieq = { 0,653539 } . 100ieq = % ao semestre

Taxa Real, Taxa Aparente e Taxa de Inflação

Denominamos taxa aparente (i) aquela que vigora nas operações correntes (financeiras e comerciais).

Quando não há inflação (I), a taxa aparente (i) é igual à taxa real (R); porém, quando há inflação (I), a taxa aparente (i) é formada por dois componentes:

- Um correspondente ao “juro real” e outro correspondente a inflação. Sendo:C: capital inicialR: taxa real de jurosI: taxa de inflaçãoi: taxa aparente

Exemplo 01:Qual a taxa aparente, correspondente a um ganho real de 9% ao ano se a taxa de inflação do período for 11,9% ?Resolução:i = ? R = 9%ao ano I = 11,9%

(1 + i) = (1 + R) . (1 + I)(1 + i) = (1 + 0,09) . (1 + 0,119)(1 + i) = (1,09) . (1,119)(1 + i) = 1,22 i = 1,22 - 1 i = 0,22 . 100 → i = % ao ano

Exemplo 02:Qual a taxa real, correspondente a uma taxa aparente de 22% ao ano se a inflação do período for 11,9% ?

Resolução:i = 22% ao ano R = ? I = 11,9%

(1 + i) = (1 + R) . (1 + I)(1 + 0,22) = (1 + R) . (1+ 0,119)

38

Daí,

(1 + i) = (1 + R) . (1 + I)

Resolução pela HP 12C: 1,22 CHS FV 1,119 PV 1 n i

Resolução pela HP 12C: 1,09 ENTER 1,119 X 1 - 100 X

(1,22) = (1+ R) . (1,119) 1,22 = (1 + R) 1,119 1,09 = (1 + R) 1,09 – 1 = R 0,09 = R R = 0,09 . 100 → R = % ao anoExemplo 03:Qual a taxa de inflação, correspondente a uma taxa aparente de 22% ao ano se o rendimento real for no período 9% ?Resolução:I = ? R = 9%ao ano i = 22% ao ano

(1 + i) = (1 + R) . (1 + I)(1 + 0,22) = (1 + 0,09) . (1+ I) (1,22) = (1,09) . (1 + I) 1,22 = (1 + I) 1,09 1,119 = (1 + I) 1,119 – 1 = I 0,119 = I I = 0,119 . 100 → I = % ao ano

Taxa Nominal de juros

Freqüentemente, os juros são capitalizados mais de uma vez no período a que se refere a taxa de juros. A taxa nominal é aquela cujo o período de capitalização não coincide com aquela a que ela se refere. Veja as suas características a seguir:

- Aplica-se diretamente em operações de juros simples.- É suscetível de ser proporcionalizada (dividida ou multiplicada) “n” vezes em seu

período referencial de modo que possa ser expressa em outra unidade de tempo (caso dos juros simples) ou como unidade de medida para ser capitalizada em operações de juros compostos.

Exemplos de taxas nominais:

- 18% ao ano capitalizada mensalmente;- 5% ao mês capitalizada diariamente;- 8% ao semestre capitalizada mensalmente e etc...

Se a taxa de juros for nominal ao ano, capitalizada semestralmente (capitalizada duas vezes por ano), o montante ao fim de um ano será:

39

Resolução pela HP 12C: 1,22 CHS FV 1,09 PV 1 n i

FV = PV 1 + ij 2.1

2

Se a taxa de juros for nominal ao ano, capitalizada mensalmente (capitalizada 12 vezes por ano), o valor do montante ao final do terceiro ano será:

FV = PV 1 + ij 12.3

12

Em geral, podemos expressar do seguinte modo o montante de um capital aplicado pelo prazo “m” a uma taxa nominal “ij” com juros capitalizados “n” vezes durante o período referencial da taxa nominal: FV = PV 1 + ij n.m

n Para o cálculo do capital:

PV = FV 1 + ij n . m -1 n

Onde: ij = taxa de juros nominaln = número de vezes em que os juros são capitalizados no período a que se refere a taxa nominal;m = prazo da aplicação na mesma unidade de tempo da taxa nominal;PV = capital da aplicação;FV = montante

Exemplo 04:

Calcular o montante de um investimento de R$ 1200,00 aplicado por 3 anos a juros nominal de 16% ao ano, capitalizados mensalmente.

Solução algébrica:Dados:PV = 1200 m = 3 anos ij = 16%ao ano n = 12 FV = ?FV = 1200 1 + 0,16 12.3

12

FV = 1200 (1 + 0,01333)36

FV = 1200(1,01333)36

FV = 1200 . 1,61076

40

Solução pela HP-12C16 ENTER12 ¸ i36 n1200 CHS PVFV

FV = R$

Exemplo 05:

Qual o valor de resgate para um capital de R$ 200,00 aplicado por 27 dias a 9% ao mês capitalizados diariamente.

Solução algébrica:Dados:PV = 200 m = 27dias (período não inteiro) ij = 9%ao mês n = 30dias FV = ?

FV = 200 1 + 0,09 30 . (27/30)

30 FV = 200(1,00300)27

FV = 200 . 1,08424FV = R$

E X E R C I C I O S

1) Determinar a taxa:

a) anual equivalente a 2% ao mês R. %b) mensal equivalente a 60,103% ao ano R. %c) anual equivalente a 0,1612% ao dia R. %d) trimestral equivalente a 39, 46 % a 1 semestre R. %

2) Calcule a taxa aparente anual que deva cobrar uma financeira para que ganhe 8% ao ano de juros reais quando a inflação for de 5% ao ano. R. i = %aa

3) A taxa de juros para aplicações de curtos e médios prazos, em um banco é 40% ao ano. Que remuneração real recebe o cliente, se a inflação for de 38% ao ano? R. R = %aa

4) Que taxa de inflação anual deve ocorrer para que um aplicador ganhe 12% ao ano de juros reais, caso a taxa aparente seja de 25% ao ano ? R.I = %aa

5) Por um capital aplicado de R$ 6000,00, aplicado por dois anos, o investidor recebeu R$ 5. 179,35 de juros. Qual a taxa aparente ganha se a inflação for de 30% ao ano e o juro real for de 5% ao ano ? R. i = %aa

41

Solução pela HP-12C9 ENTER30 ¸ i27 n200 CHS PVFV

6) Emprestamos um dinheiro a 4,36% ao ano. Se a inflação foi de 1% no período, qual a taxa real da operação? R. R = %aa

7) Um gerente empresta um dinheiro à taxa de 8%. A inflação do mês foi de 0,80%. Quanto foi a taxa real? R. R = %

8) Calcular o montante resultante de um investimento de R$ 1300,00 aplicado por 3 anos a juros nominais de 16% ao ano, capitalizados mensalmente. R. FV = R$

9) Qual o valor de resgate para um capital de R$ 300,00 aplicado pelos seguintes prazos e taxas ?

a) 6 meses a 28% ao ano capitalizados mensalmente R. FV = R$b) 8 meses a 18% ao semestre capitalizados mensalmente R. FV = R$c) 27 meses a 12 % ao trimestre capitalizado mensalmente R. FV = R$d) 7 meses a 28% ao ano capitalizado trimestralmente R. FV = R$

10) Uma aplicação de R$ 1000,00 foi efetuada em 17/03/1995 para resgate em 24/06/1998. Para uma taxa de juros nominal de 12% ao mês com capitalização diária, calcular o valor do resgate (considerando ano civil). R. FV = R$

11) Em quantos meses um capital de R$ 5.000,00 aplicado a juros nominal de 120% ao ano capitalizado mensalmente, produz um montante de R$ 11.789,75? R. m = ano ou 9 meses

12) Um capital de R$ 15000,00 é aplicado por 180 dias à taxa nominal de 24% ao trimestre capitalizada mensalmente. Calcular o valor do resgate. R. FV = R$

SÉRIES UNIFORMES DE PAGAMENTOS

São aquelas em que os pagamentos ou recebimentos são constantes e ocorrem em intervalos iguais. Para classificar estes conceitos, vamos interpretar as palavras.

Séries – número de coisas ou eventos, semelhantes ou relacionados, dispostos ou ocorrendo em sucessão espacial ou temporal.

Uniformes – que tem uma só forma; igual, idêntico; muito semelhantes. Pagamentos – cumprimento efetivo da obrigação exigível.

Classificação das séries de pagamentos

a) Quanto ao tempo Temporária - quando tem um número limitado de pagamentos; Infinita – quando tem um número infinito de pagamentos.

b) Quanto à constância ou periodicidade

42

Periódicas – quando os pagamentos ocorrem em intervalos de tempos iguais; Não periódicas – quando os pagamentos ocorrem em intervalos de tempo

variáveis.

c) Quanto ao valor dos pagamentos Fixos ou Uniformes – quando todos os pagamentos são iguais; Variáveis – quando os valores dos pagamentos variam.

d) Quanto ao vencimento do primeiro pagamento Imediata – quando o primeiro pagamento ocorre exatamente no primeiro

período da série; Diferida – quando o primeiro pagamento não ocorre no primeiro período da

série, ou seja, ocorrerá em períodos seguintes.

e) Quanto ao momento dos pagamentos Antecipadas – quando o primeiro pagamento ocorre no momento “0”(zero) da

série de pagamentos; Postecipadas – quando os pagamentos ocorrem no final dos períodos.

Série Uniforme de Pagamento POSTECIPADA

São aquelas em que o primeiro pagamento ocorre no momento 1; este sistema é também chamado de sistema de pagamento ou recebimento sem entrada(0 + n).

Sendo informados uma taxa(i), um prazo(n) e o valor de um pagamento ou prestação (PMT) será possível calcular o valor presente(PV) de uma série de pagamentos postecipada através da seguinte fórmula:

(1 + i)n - 1 PV = PMT (1 + i)n . i

EXEMPLO 01:Calcular o valor de um financiamento a ser quitado através de seis pagamentos mensais de R$ 1500,00, vencendo a primeira parcela a 30 dias da liberação dos recursos, sendo de 3,5% ao mês a taxa de juros negociada na operação.Dados: PV = ? n = 6 meses i = 3,5% ao mês PMT = R$ 1500,00Resolução algébrica:

(1 + i)n - 1

43

PV = PMT (1 + i)n . i

(1 + 0,035)6 - 1PV = 1500

(1 + 0,035)6 . 0,035

(1,035)6 - 1PV = 1500

(1,035)6 . 0,035

1,229255 - 1PV = 1500

1,229255 . 0,035

0,229255PV = 1500

0,043024

PV = 1500[5,328553]

PV = R$

Dado o Valor Presente(PV), Achar a Prestação (PMT)

Sendo informados uma taxa(i), um prazo(n) e o valor presente(PV) de uma série de pagamentos postecipada, será possível calcular o valor das prestações (PMT) através da seguinte fórmula:

(1 + i)n . i PMT = PV (1 + i)n - 1

44

Resolução pela HP-12C f REG1500 CHS PMT

6 n3,5 i

PV

EXEMPLO 02:Um produto é comercializado à vista por R$ 500,00. Qual deve ser o valor da prestação se o comprador resolver financiar em cinco prestações mensais iguais e sem entrada, considerando que a taxa de juros cobrada pelo comerciante seja de 5% ao mês?Dados: PV = 500 n = 5 meses i = 5% ao mês PMT = ?Resolução algébrica:

(1 + 0,05)5 . 0,05PMT = 500

(1 + 0,05)5 - 1

(1,05)5 . 0,05PMT = 500

(1,05)5 - 1

1,276282 . 0,05PMT = 500

1,276282 - 1

0,063814PMT = 500

0,276282

PMT = 500[0,230975]

PMT = R$

Dado o Valor Futuro(FV), Achar a Prestação (PMT)

Sendo informados uma taxa(i), um prazo(n) e o valor futuro(FV) de uma série de pagamentos postecipada, será possível calcular o valor das prestações (PMT) através da seguinte fórmula:

i PMT = FV (1 + i)n - 1

EXEMPLO 03:

45

Resolução pela HP-12C f REG 500 CHS PV

5 n5 i

PMT

Determinar o valor dos depósitos mensais que, quando aplicado a uma taxa de 4% ao mês durante 7 meses, produz um montante de R$ 5000,00, pelo regime de juros compostos. Dados: FV = 5000 n = 7 meses i = 4% ao mês PMT = ?Resolução algébrica:

0,04PMT = 5000

(1 + 0,04)7 - 1

0,04PMT = 5000

(1,04)7 - 1

0,04PMT = 5000

1,315932 - 1

0,04PMT = 5000

0,315932

PMT = 5000[0,126610]

PMT = R$

Dado o Valor Presente(PV), Calcular o Prazo (n)

Sendo informados uma taxa(i), o valor presente(PV) e um pagamento ou prestação(PMT) em uma série uniforme de pagamentos postecipada, será possível calcular o número de pagamentos ou prazo(n), através da seguinte fórmula:

PV LN 1 - . i PMT

n = -

46

Resolução pela HP-12C f REG 5000 FV

7 n4 i

PMT

LN(1+ i)

EXEMPLO 04:Um produto é comercializado à vista por R$ 1750,00. Uma outra alternativa seria financiar este produto a uma taxa de 3% ao mês. Gerando uma prestação de R$ 175,81; considerando que o comprador escolha a segunda alternativa, determinar a quantidade de prestações deste financiamento. Dados: PV = 1750 n = ? i = 3% ao mês PMT = 175,81Resolução algébrica:

1750 LN 1 - . 0,03 175,81

n = - LN(1+ 0,03)

LN [1 – (9,953928) . 0,03 ] n = - LN(1,03)

LN [1 – (0,298618) ] n = - LN(1,03)

LN[0,701382 ] n = - LN(1,03)

-0,354702 n = - 0,02956

n = - - 12 Þ n = meses

47

Resolução pela HP-12Cf REG1750 PV3 i175,81 CHS PMT n

Dado o Valor Futuro(FV), Calcular o Prazo (n)

Sendo informados uma taxa(i), um valor futuro(FV) e a prestação(PMT) em uma série uniforme de pagamentos postecipada, será possível calcular o número de pagamentos ou prazo(n), através da seguinte fórmula:

EXEMPLO 05:Um poupador deposita R$ 150,00 por mês em uma caderneta de poupança; após um determinado tempo observou-se que o saldo da conta era de R$ 30.032,62. Considerando uma taxa média de poupança de 0,08% ao mês, determine a quantidade de depósito efetuado por este poupador.Dados: FV = 30.032,62 i = 0,08% ao mês PMT = 150,00 n = ?Resolução algébrica:

30032,62 . 0,0008

LN +1 150

n = - LN(1+ 0,0008)

24,026096 LN + 1

150

n = - LN(1,0008)

LN[ 0,160174 + 1] n = - LN(1,0008)

LN[ 1,160174 ] n = - LN(1,0008)

48

FV . i LN +1 PMT

n = - LN(1 + i)

Resolução pela HP-12Cf REG30032,62 CHS FV

150 PMT 0,08 i n meses

0,148570 n = - Þ n = 185,712500 Þ n = meses 0,000800 Dada a prestação (PMT), calcular o Valor Futuro (FV)

Sendo informados uma taxa (i), um prazo (n) e o valor do pagamento ou prestação (PMT) de uma série uniforme de pagamentos postecipados, será possível calcular o valor futuro (FV), através da seguinte fórmula:

FV = PMT (1 + i )n - 1 i

EXEMPLO 06:Uma pessoa realiza depósitos mensais no valor de R$ 100,00 em uma caderneta de poupança; considerando uma taxa de 0,8% ao mês, e um prazo de trinta anos, qual será o valor acumulado após este período?Dados: PMT = 100,00 n = 30 anos ou 360 meses i =0,8% ao mês FV = ?

Resolução algébrica:

FV = 100 (1 + 0,008) 360 - 1 0,008

FV =100 (1,008) 360 - 1 0,008

FV = 100 17,611306 - 1 0,008

FV = 100 16,611306 Þ FV = 100 (2076,4132) Þ FV = R$ 0,008


1) Determinar o valor futuro de um investimento mensal de R$ 1000,00, durante 5 meses, à taxa de 5% ao mês. R. FV = R$

2) Determine o valor do investimento necessário para garantir um recebimento anual de R$ 10.000,00, no final de cada um dos próximos 8 anos, sabendo-se que esse investimento é remunerado com uma taxa de 10% ao ano, no regime de juros compostos. R. PV = R$

49

Resolução pela HP-12Cf REG100 CHS PMT0,8 i360 nFV

3) Determinar o valor das prestações mensais de um financiamento realizado com a taxa efetiva de 2,5% ao mês, sabendo-se que o valor presente é de R$ 1000,00 e que o prazo é de 4 meses. R. PMT = R$

4) Um automóvel custa à vista o valor de R$ 14.480,00, e pode ser financiado em 48 parcelas mensais e iguais, com a taxa de 1,8% ao mês. Determinar o valor das prestações.R. PMT = R$

5) No exercício anterior, considere uma entrada de 20% e uma taxa de 1,5% ao mês para recalcular o valor da prestação. R. PMT = R$

6) Uma pessoa deposita em uma financeira, no final de cada mês, durante 5 meses, a quantia de $ 100.000,00. Calcule o Montante da renda, sabendo que a financeira paga juros compostos de 2% ao mês, capitalizados mensalmente. R. FV = R$

7) Qual o período financeiro necessário, para se aplicar $ 500,00 anualmente e se resgatar o montante da renda de $12. 099,00, se a financiadora me oferecer 25% ao ano de rendimento?R. n = aprox. anos

8) Quanto se deverá depositar mensalmente para que, ao fim de 5 anos, não se processando nenhuma retirada, se tenha $ 50.000,00? Considerar que a instituição paga 2,5% ao mês sobre o saldo credor. R. PMT = R$

9) Um bem cujo preço à vista é de $ 4.000 será pago em oito prestações mensais iguais pagas ao fim de cada mês. Considerando que o juro composto cobrado é de 5% ao mês, calcular o valor das prestações. R. PMT = R$

10) A juros nominais de 36% ao ano capitalizado mensalmente, determinar o tempo necessário para liquidar um financiamento de $ 842,36 por meio de prestações mensais postecipadas de $ 120. R. n = aproxima. meses

11) Uma pessoa deposita em uma financeira, no fim de cada mês, durante 2 anos, a quantia de R$ 200,00. Calcule o montante da renda, sabendo que essa financeira paga juros compostos de 2% ao mês. R. FV = R$

12) Quanto devo aplicar mensalmente, durante 3 anos, para que possa resgatar R$ 35.457,00 no final dos 36 meses, sabendo que a aplicação proporciona um rendimento de 1,5% ao mês?R. PMT = R$

13) Deposito em uma instituição financeira, no fim de cada mês, a importância de R$ 800, 00, a 0,5% ao mês. Quanto terei no fim de 1 ano? R. FV = R$

50

14) Uma pessoa deposita R$ 680,00 no final de cada mês. Sabendo que seu ganho é de

1,5% ao mês, quanto possuirá em 2 anos? R. FV = R$

15) Quanto se deve aplicar mensalmente, durante 20 meses, à taxa de 2,5% ao mês, para que se tenha R$ 60.000,00 no final do vigésimo mês, dentro do conceito de renda postecipada ?R. PMT = R$

16) Determine o número de aplicações bimestrais e iguais a R$ 900,00, necessárias para se ter um montante de R$ 11.863,00, considerando-se uma taxa de 6% ao bimestre. R. n = prestações 17) O vendedor da loja oferece um sistema de som em oito parcelas mensais, iguais e seguidas de R$ 1.000,00. sabendo-se que a primeira prestação vencerá um mês depois da compra. Calcule o valor do capital desse financiamento considerando a taxa de 3,5% ao mês. R. PV = R$

18) O financiamento de R$ 8.000,00 será devolvido em parcelas mensais, iguais seguidas de R$ 1.800,00, vencendo a primeira parcela um mês depois do recebimento do dinheiro. Considerando a taxa de juro de 4% ao mês, calcule o número de capitais desse financiamento. R. n = ou prestações 19) O financiamento será devolvido em 12 prestações mensais iguais e seguido de R$ 550,00, sendo o pagamento da primeira prestação realizado no final do primeiro mês depois do recebimento do dinheiro. Calcule o valor do financiamento considerando a taxa de juro de 2,85% ao mês.R. PV = R$ 20) Calcule o valor financiado sabendo que o devedor pagará dez parcelas mensais de R$ 1.200,00 num plano de amortização postecipado com taxa de juro de 3,65% ao mês. R. PV = R$

.

Série Uniforme de Pagamento ANTECIPADA

As séries uniformes de pagamentos antecipados são aqueles em que o primeiro pagamento ocorre na data focal 0 (zero). Este tipo de sistema de pagamento é também chamado de sistema de pagamento com entrada (1 + n).

Dada à prestação (PMT), calcular o valor presente (PV)

51

Sendo informados a taxa (i), um prazo (n) e valor da prestação (PMT) será possível calcular o valor presente (PV) de uma série de pagamento antecipada através da seguinte fórmula:

(1 + i)n –1 PV = PMT (1 + i )n-1 . i

EXEMPLO 01:Uma mercadoria é comercializada em 4 (quatro) pagamentos de R$ 185,00; sabendo-se que a taxa de financiamento é de 5% ao mês, e um dos pagamentos foi considerado como entrada, determine o preço à vista desta mercadoria.Resolução algébrica:Dados: n = 4 PMT = R$185,00 i=5%am PV= ?

(1 + 0,05)4 –1PV = 185 (1 + 0,05 )4-1 . 0,05

(1 ,05)4 –1PV = 185 (1,05 )3 . 0,05

1,215506 –1PV = 185 1,157625 . 0,05

0,215506 PV = 185 0,057881

PV = 185[ 3,723248 ]PV = R$

Dado o valor presente (PV), calcular a prestação (PMT)

52

Resolução pela HP-12C f REG g BEG185 CHS PMT5 i4 nP V

OBS. : PARA SÉRIE UNIFORME ANTECIPADA, ANTES DE FAZER A RESOLUÇÃO PELA HP12-C PRESSIONAR AS TECLAS: G BEG

Sendo informados uma taxa (i), um prazo (n) e o valor presente (PV) será possível calcular o valor dos pagamentos ou recebimentos (PMT) de uma série de pagamento antecipada através da seguinte fórmula:

(1 + i)n-1 . i PMT = PV (1 + i )n - 1

EXEMPLO 02:Um automóvel que custava à vista R$ 17.800,00 pode ser financiado em 36 pagamentos iguais; sabendo-se que a taxa de financiamento é de 1,99% ao mês, calcule o valor da prestação mensal deste financiamento.Resolução algébrica:Dados: n = 36meses PMT =? i = 1,99%am PV= R$ 17.800,00

(1 + 0,0199)36-1 . 0,0199PMT = 17800 (1 + 0,0199 )36 - 1

(1,993039)35 . 0,0199PMT = 17800 (1,0199 )36 - 1

0,039661PMT = 17800 2,032700 - 1

0,039661PMT = 17800 1,032700

PMT = 17800[ 0,038405 ]

PMT = R$

Dado o valor presente(PV), calcular o prazo(n)

Sendo informados uma taxa (i), a prestação (PMT) e o valor presente (PV) será possível calcular o prazo (n) em uma série de pagamento antecipada através da seguinte fórmula:

53

Resolução pela HP-12C f REG g BEG17800 CHS PV1,99 i36 nP MT

PV . i ln 1 - n = - PMT. (1 + i) ln(1 + i)

EXEMPLO 03:Um produto custa à vista R$ 1500,00, e foi adquirido a prazo, com uma prestação mensal de R$ 170,72, sendo que a primeira será paga no ato da compra. Sabendo-se que a taxa de juros contratada foi de 3% ao mês, qual a quantidade de prestações deste financiamento?Resolução algébrica:

Dados: n = ? PMT =R$ 170,72 i = 3%am PV= R$ 1.500,00

1500 . 0,03 ln 1 - n = - 170,72 . (1 + 0,03) ln(1 +0,03)

45 ln 1 - n = - 170,72 . (1,03) ln(1,03)

45 ln 1 - n = - 175,84 0,029559

ln [1 - 0,255972 ] n = - 0,029559

54

Resolução pela HP-12C f REG g BEG1500 PV3 i170,72 CHS PMT n meses

ln [ 0,744028 ] n = - 0,029559

- 0,295596 n = - 0,029559

n = - { - 10,000275 }

n = meses

Dada à prestação (PMT), calcular o valor futuro (FV)

Sendo informados uma taxa (i), a prestação (PMT) e o prazo (n), será possível calcular o valor futuro (FV) em uma série uniforme de pagamento antecipada através da seguinte fórmula:

(1 + i)n - 1 FV = PMT . (1+ i ) i

EXEMPLO 04:Um poupador necessita acumular nos próximos 5 anos a importância de R$ 37.500,00, e acredita que, se na data de hoje abrir uma caderneta de poupança no Banco Popular S/A, com depósitos mensais de R$ 500,00, ele terá o valor de que precisa. Considerando que a poupança paga, em média, uma taxa de 0,8% ao mês, pergunta-se: o poupador vai conseguir acumular o valor que precisa?Resolução algébrica:Dados: n = 5 anos(60meses) PMT =R$ 500,00? i = 0,8%am FV= ?

(1 + 0,008)60 - 1FV = 500 . (1 + 0,008) 0,008

55

Resolução pela HP-12C f REG g BEG500 CHS PMT0,8 i60 nFV

(1,008)60 - 1FV = 500 . (1,008) 0,008

1,612991 - 1FV = 500 . (1,008) 0,008

0,612991FV = 500 . ( 1,008) 0,008

FV = 500[ 76,623867 ] . (1,008)FV = 38.311,93 . (1,008) FV = R$ (ainda sobrará dinheiro)

Dado o valor futuro (FV), calcular a prestação (PMT)

Sendo informados uma taxa (i), o valor futuro (FV) e o prazo (n), será possível calcular o valor da prestação (PMT) em uma série uniforme de pagamento antecipada através da seguinte fórmula:

FV . i PMT = [(1 + i)n – 1] . ( 1 + i)

EXEMPLO 05:Considere o poupador do exemplo anterior, que se depositar R$ 500,00 na data de hoje, para resgatar no final de 5 anos a importância de R$ 37.500,00, deverá resgatar um pouco mais. Considerando a mesma taxa, ou seja, 0,8% ao mês, de quanto deverá ser o valor de cada depósito para que o poupador consiga acumular exatamente o valor de R$ 37.500,00? Resolução algébrica:Dados: n = 5 anos (60 meses) PMT= ? i = 0,8% FV = R$ 37.500,00

37.500,00 . 0,008 PMT = [(1 + 0,008)60 – 1] . ( 1 + 0,008)

300

56

Resolução pela HP-12C f REG g BEG37500 CHS FV0,8 i60 nPMT

PMT = [(1,008)60 – 1] . (1,008)

300 PMT = [1,612991 – 1] . (1,008)

300 PMT = [0,612991] . (1,008)

300 PMT = → PMT = R$ 0,617895

E X E R C I C I O S

1) Uma pessoa deposita em uma financeira no início de cada mês, durante 5 meses,a quantia de R$ 100.000,00. Calcule o montante da renda, sabendo que essa financeira paga juros compostos de 2% ao mês, capitalizados mensalmente. R. FV = R$

2) Qual o montante da renda, para aplicações mensais de R$ 120,00 cada, a taxa de juros compostos de 3% ao mês, durante o período financeiro de 6 meses, sendo que o primeiro depósito foi exigido no ato da abertura do contrato? R. FV = R$

3) Um terreno é vendido em 4 prestações mensais iguais de R$ 150.000,00 cada uma, sendo a primeira dada como entrada. Se a taxa do financiamento for 14% ao mês, qual o preço à vista? R. PV= R$

4) Uma geladeira é vendida em 5 prestações mensais de R$ 8000,00 cada uma, sendo a primeira dada como entrada. Qual o preço à vista, se a taxa de juros do financiamento for de 9% ao mês?R. PV = R$

5) Um automóvel usado é vendido à vista por R$ 300.000,00, mas pode ser vendido a prazo em 12 prestações mensais iguais(antes de serem corrigidas monetariamente), sendo a primeira no ato da compra. Sabendo-se que a taxa de juros do financiamento é 2% ao mês, obter o valor de cada prestação antes de serem corrigidos. R. PMT = R$

6) Uma mercadoria custa R$ 106.589,53 a vista, podendo ser vendida em 6 prestações mensais, à taxa de 5% ao mês, sendo a primeira paga no ato da compra. Qual será o valor de cada prestação? R. PMT = R$

57

7) Uma mercadoria custa R$ 106.589,53 a vista, podendo ser vendida em prestações mensais de R$ 20.000,00, à taxa de 5% ao mês, sendo a primeira paga no ato da compra. Quantas prestações deverão ser pagas? R. n = meses

8) Em quantos meses uma pessoa consegue liquidar um empréstimo de R$ 1.895.395,00 pagando prestações mensais antecipadas de R$ 500.000,00 a juros efetivos de 10% ao mês?R. n = meses

9) Quanto deverá ser depositado no início de cada período para obter um montante de R$ 305.200,00 no final de 30 períodos a uma taxa de 5% ao mês? R. PMT = R$

10) Calcule o montante de uma renda trimestral antecipada de 8 termos iguais a R$ 7.000,00, sendo de 2,5% ao trimestre a taxa de juros compostos. R. FV = R$

11) Uma pessoa deseja depositar bimestralmente uma mesma importância numa instituição financeira, à taxa de 1,5% ao bimestre, capitalizados bimestralmente, de modo que com 8 depósitos antecipados constitua o montante de R$ 150.000,00. Calcule a importância. R. PMT = R$

12) Uma máquina é vendida em 12 prestações mensais de $ 307. A juros efetivos de 10% ao mês, e um dos pagamentos foi considerado como entrada. Qual deveria ser seu valor à vista?R. PV = $

13) Um computador custa à vista $2500, 00, e foi adquirido a prazo, com uma prestação mensal de $168, 30, sendo que a 1a será paga no ato da compra. Sabendo-se que a taxa de juros contratado foi de 3% ao mês, qual a quantidade de prestações deste financiamento? R. n = meses

14) A compra de um conjunto de móveis será paga em 8 prestações de R$ 1.000,00, sendo a primeira no ato da compra. Calcule o valor dessa compra considerando a taxa de juro de 3,5% ao mês. R. PV = R$

15) O financiamento de R$ 8.000,00 será devolvido em parcelas mensais, iguais e seguido de, no máximo, R$ 1.800,00, vencendo a primeira parcela no ato do recebimento do dinheiro. Considerando a taxa de juro de 4% ao mês, calcule o número de capitais desse financiamento.R. n = ou meses

16) São financiados R$ 1.000,00 com a taxa de juro de 2,3% ao mês. Calcule o valor das quatro prestações mensais, iguais e seguidas, sabendo que a primeira prestação vencerá no ato de assinar o contrato. R. PMT = R$

17) Calcule o montante de uma renda bimestral antecipada de 4 termos iguais a R$ 6.500,00, sendo de 1,5% ao bimestre. R. FV = R$

58

18) A compra de roupas no valor de R$ 1.725,00 será financiada em seis prestações mensais iguais e antecipadas. Calcule o valor das prestações considerando a taxa de financiamento de 3% ao mês.R. PMT = R$

19) Calcule o valor do financiado em 12 parcelas antecipadas mensais, seguidas e iguais a R$ 256,00, considerando a taxa de juro de 3,35% ao mês. R. PV = R$

SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS E FINANCIAMENTO

Estudaremos as metodologias de sistemas de amortização de empréstimos e financiamentos, e ainda, a metodologia para calcular as prestações não uniformes, ou seja, as prestações que mudam a cada período do empréstimo ou financiamento.

Empréstimo: recurso financeiro que, em tese, não necessita ser justificado quanto à sua finalidade, como por exemplo: cheque especial e CDC (Crédito Direto ao Consumidor), entre outros.

Financiamento: recurso financeiro que tem a necessidade de ser justificado quanto à sua finalidade, por exemplo: compra de automóvel, imóvel e crediário, entre outros.

No financiamento, existe sempre a aquisição de um bem ou serviço atrelado à liberação dos recursos financeiros financiados, enquanto no empréstimo exige-se apenas uma garantia de devolução dos recursos financeiros emprestados.

Considere as seguintes nomenclaturas que usaremos para desenvolver as tabelas ou planilhas de amortização.

Saldo Devedor : é o valor nominal do empréstimo ou financiamento, ou simplesmente Valor Presente (PV) na data focal 0 (zero), que é diminuído da parcela de amortização a cada período (n).

Amortização: parcela que é deduzida do saldo devedor a cada pagamento.

Juros compensatórios: é o valor calculado a partir do saldo devedor e posteriormente somado à parcela de amortização.

Prestação: é o pagamento efetuado a cada período (n), composto da parcela de amortização mais juros compensatórios.

Sistema Francês de Amortização (SFA)

Neste sistema, o financiamento (PV) é pago em prestações (PMT) iguais, constituídas de duas parcelas de amortização e juros compensatórios (J), que variam

59

inversamente, ou seja, enquanto as parcelas de amortização diminuem ao longo do tempo, os juros aumentam.

Este sistema é considerado o sistema de amortização mais utilizado pelas instituições financeiras e pelo comércio em geral, conhecido também com Sistema Price e tem como principais características:

a prestação é constante durante todo o período do financiamento; a parcela de amortização aumenta a cada período (n), ou seja, os pagamentos

são periódicos, constantes e sucessivos; os juros compensatórios diminuem a cada período (n).

OBS.: Seu cálculo, pela HP12C é feito na mesma forma da série de pagamentos uniformes postecipados.

Exemplo 01:Um banco empresta o valor de R$ 10.000,00, com taxa de 10% ao mês, para ser pago em 5 pagamentos mensais, sem prazo de carência, calculado pelo Sistema Francês de Amortização (SFA). Pede-se: Elaborar a planilha de financiamento.

Resolução algébricaDados: PV = R$ 10.000,00 n = 5 meses i = 10% ao mês PMT = ?

a) cálculo do valor da prestação do financiamento

(1 + i)n . i PMT = PV (1 + i)n - 1

(1 + 0,1)5 . 0,1PMT =10.000

(1 + 0,1)5 - 1

(1,1)5 . 0,1PMT =10000

(1,1)5 - 1

1,610510 . 0,1PMT =10000

1,610510 - 1

60

0,1610551PMT =10000

0,610510

PMT = 10000[0,263797]

PMT = R$

b) Cálculo dos juros (J)

J = PV . i . n

Juros para o 1o período: J1 = 10.000,00 . 0,1 . 1 = R$ 1.000,00Juros para o 2o período: J2 = 8.362,03 . 0,1 . 1 = R$ 836,20Juros para o 3o período: J3 = 6.560,26 . 0,1 . 1 = R$ 656,03Juros para o 4o período: J4 = 4.578,32 . 0,1 . 1 = R$ 457,83Juros para o 5o período: J5 = 2.398,18 . 0,1 . 1 = R$ 239,82

c) cálculo da parcela de amortização (PAn)

PAn = PMT - J

Parcela de amortização para o 1o período: PA = 2.637,97 - 1.000,00 = R$ 1.637,97Parcela de amortização para o 2o período: PA = 2.637,97 - 836,20 = R$ 1.801,77Parcela de amortização para o 3o período: PA = 2.637,97 - 656,03 = R$ 1.981,94Parcela de amortização para o 4o período: PA = 2.637,97 - 457,83 = R$ 2.180,14Parcela de amortização para o 5o período: PA = 2.637,97 - 239,82 = R$ 2.398,15

d) cálculo do saldo devedor (SD)

SDn = SD(anterior) - PAn

SD1 = 10.000,00 - 1.637,97 = R$ 8.362,03SD2 = 8.362,03 - 1.801,77 = R$ 6.560,26SD3 = 6.560,26 - 1.981,84 = R$ 4.578,32SD4 = 4.578,32 - 2.180,14 = R$ 2.398,18SD5 = 2.398,18 - 2.398,15 = R$ 0,03

Assim teremos nossa planilha de financiamentoN Saldo Devedor (SDn) Amortização (PAn) Juros (J) Prestação (PMT)

61

0 10.000,00 0,00 0,00 0,001 8.362,03 1.637,97 1.000,00 2.637,972 6.560,26 1.801,77 836,20 2.637,973 4.578,32 1.981,94 656,03 2.637,974 2.398,18 2.180,14 457,83 2.637,975 0,03 2.398,15 239,82 2.637,97

å

OBS.:A diferença de 0,03 é devido ao arredondamento.

Sistema Francês (carência + juros compensatórios)

Neste caso, não haverá a parcela de amortização durante o período da carência, apenas o pagamento dos juros compensatórios.

Exemplo 2:Um banco empresta o valor de R$ 10.000,00, com taxa de 10% ao mês, para ser pago em 5 pagamentos mensais, com 2 meses de carência, calculado pelo Sistema Francês de Amortização (SFA). Pede-se: Elaborar a planilha de financiamento.

Resolução algébricaDados: PV = R$ 10.000,00 n = 5 mesesc = 2 meses i = 10% ao mês PMT = ?

a) cálculo do valor da prestação do financiamento

62

Resolução pela HP-12C f [REG]10000 CHS PV 10 i 5 n PMT 2637,97 1 f [AMORT] 1000,00 X Y 1637,97 RCL PV – 8362,03

1 f [AMORT] 836,20 X Y 1801,77 RCL PV – 6560,26

1 f [AMORT] 656,03 X Y 1981,94 RCL PV – 4578,32

1 f [AMORT] 457,83 X Y 2180,14 RCL PV – 2398,18

1 f [AMORT] 239,82 X Y 2398,15 RCL PV – 0,03

(1 + i)n . i PMT = PV (1 + i)n - 1

(1 + 0,1)5 . 0,1PMT =10.000

(1 + 0,1)5 - 1

(1,1)5 . 0,1PMT =10000

(1,1)5 - 1

1,610510 . 0,1PMT =10000

1,610510 - 1

0,1610551PMT =10000

0,610510

PMT = 10000[0,263797]

PMT = R$

b) Cálculo dos juros compensatórios

J = PV . i . n

Juros para o 1o período: J1 = 10.000,00 . 0,1 . 1 = R$ 1.000,00Juros para o 2o período: J2 = 10.000,00 . 0,1 . 1 = R$ 1.000,00Os demais serão exatamente iguais ao exemplo anterior.

Juros para o 3o período: J3 = 10.000,00 . 0,1 . 1 = R$ 1.000,00Juros para o 4o período: J4 = 8.362,03 . 0,1 . 1 = R$ 836,20Juros para o 5o período: J5 = 6.560,26 . 0,1 . 1 = R$ 656,03Juros para o 6o período: J6 = 4.578,32 . 0,1 . 1 = R$ 457,83Juros para o 7o período: J7 = 2.398,18 . 0,1 . 1 = R$ 239,82

63


PAn = PMT - J

Parcela de amortização para o 1o período: PA = 0,00 - 0,00 = R$ 0,00Parcela de amortização para o 2o período: PA = 0,00 - 0,00 = R$ 0,00Parcela de amortização para o 3o período: PA = 2.637,97 - 1.000,00 = R$ 1.637,97Parcela de amortização para o 4o período: PA = 2.637,97 - 836,20 = R$ 1.801,77Parcela de amortização para o 5o período: PA = 2.637,97 - 656,03 = R$ 1.981,94Parcela de amortização para o 6o período: PA = 2.637,97 - 457,83 = R$ 2.180,14Parcela de amortização para o 7o período: PA = 2.637,97 - 239,82 = R$ 2.398,15



SD1 = 10.000,00 - 0,00 = R$ 10.000,00SD2 = 10.000,00 - 0,00 = R$ 10.000,00SD3 = 10.000,00 - 1.637,97 = R$ 8.362,03SD4 = 8.362,03 - 1.801,77 = R$ 6.560,26SD5 = 6.560,26 - 1.981,84 = R$ 4.578,32SD6 = 4.578,32 - 2.180,14 = R$ 2.398,18SD7 = 2.398,18 - 2.398,15 = R$ 0,03


0 10.000,00 0,00 0,00 0,001 10.000,00 0,00 1.000,00 1.000,002 10.000,00 0,00 1.000,00 1.000,003 8.362,03 1.637,97 1.000,00 2.637,974 6.560,26 1.801,77 836,20 2.637,975 4.578,32 1.981,94 656,03 2.637,976 2.398,18 2.180,14 457,83 2.637,977 0,03 2.398,15 239,82 2.637,97

å

64

Resolução pela HP-12C f [REG]10000 ENTER % 100010000 CHS PV 10 i 5 n PMT 2637,97 X Y 10 % 1000 10000 CHS PV 10 i 5 n PMT 2637,97

1 f [AMORT] 1000,00 X Y 1637,97 RCL PV – 8362,03

1 f [AMORT] 836,20 X Y 1801,77 RCL PV – 6560,26

1 f [AMORT] 656,03 X Y 1981,94 RCL PV – 4578,32

1 f [AMORT] 457,83 X Y 2180,14 RCL PV – 2398,18

1 f [AMORT] 239,82 X Y 2398,15 RCL PV – 0,03

Sistema Francês (carência + saldo devedor corrigido)

Neste caso, não se paga juros compensatórios, na verdade os juros serão acrescidos ao saldo devedor com base no regime de capitalização composta, e na seqüência, calcula-se a prestação com base no conceito de uma série uniforme de pagamento postecipada. Exemplo 3:Um banco empresta o valor de R$ 10.000,00, com taxa de 10% ao mês, para ser pago em 5 pagamentos mensais, com 2 meses de carência; porém, não haverá o respectivo pagamento de juros durante o período da carência, devendo, portanto, ser incorporado ao saldo devedor, calculado pelo Sistema Francês de Amortização (SFA). Pede-se: Elaborar a planilha de financiamento.

Resolução algébricaa) atualização do saldo devedor durante o período de carência

período 1:SD = 10000 . 1,1 = R$ 11.000,00Período 2:SD = 11.000 . 1,1 = R$ 12.100,00

Dados: PV = R$ 12.100,00 n = 5 mesesc = 2 meses i = 10% ao mês PMT = ?

b) cálculo do valor da prestação

(1 + i)n . i

65

PMT = PV (1 + i)n - 1

(1 + 0,1)5 . 0,1PMT =12.100

(1 + 0,1)5 - 1

(1,1)5 . 0,1PMT =12100

(1,1)5 - 1

1,610510 . 0,1PMT =12100

1,610510 - 1

0,1610551PMT =12100

0,610510

PMT = 12100[0,263797]

PMT = R$

c) Cálculo dos juros compensatórios

J = PV . i . n

Juros para o 1o período: J1 = 0,00Juros para o 2o período: J2 = 0,00Os demais serão exatamente iguais ao exemplo anterior.

Juros para o 3o período: J3 = 12.100,00 . 0,1 . 1 = R$ 1.210,00Juros para o 4o período: J4 = 10.118,05 . 0,1 . 1 = R$ 1.011,81Juros para o 5o período: J5 = 7.937,91 . 0,1 . 1 = R$ 793,79Juros para o 6o período: J6 = 5.539,75 . 0,1 . 1 = R$ 553,98Juros para o 7o período: J7 = 2.901,77 . 0,1 . 1 = R$ 290,18

66

d) cálculo da parcela de amortização (PAn)

PAn = PMT - J

Parcela de amortização para o 1o período: PA = 0,00 - 0,00 = R$ 0,00Parcela de amortização para o 2o período: PA = 0,00 - 0,00 = R$ 0,00Parcela de amortização para o 3o período: PA = 3.191,95 - 1.210,00 = R$ 1.981,95Parcela de amortização para o 4o período: PA = 3.191,95 - 1.011,81 = R$ 2.180,14Parcela de amortização para o 5o período: PA = 3.191,95 - 793,79 = R$ 2.398,16Parcela de amortização para o 6o período: PA = 3.191,95 - 553,98 = R$ 2.637,97Parcela de amortização para o 7o período: PA = 3.191,95 - 290,18 = R$ 2.901,77

e) cálculo do saldo devedor (SD)


SD1 = 11.000,00 - 0,00 = R$ 11.000,00SD2 = 12.100,00 - 0,00 = R$ 12.100,00SD3 = 12.100,00 - 1.981,95 = R$ 10.118.05SD4 = 10.118,05 - 2.180,14 = R$ 7.937,91SD5 = 7.937,91 - 2.398,16 = R$ 5.539,75SD6 = 5.539,75 - 2.637,97 = R$ 2.901,78SD7 = 2.901,78 - 2.901,77 = R$ 0,01

Assim teremos nossa planilha de financiamenton Saldo Devedor (SDn) Amortização (PAn) Juros (J) Prestação (PMT)

0 10.000,00 0,00 0,00 0,001 11.000,00 0,00 0,00 0,002 12.100,00 0,00 0,00 0,003 10.118,05 1.981,95 1.210,00 3.191,954 7.937,91 2.180,14 1.011,81 3.191,955 5.539,75 2.398,16 793,79 3.191,956 2.901,78 2.637,97 553,98 3.191,957 0,01 2.901,77 290,18 3.191,95

å

67

Resolução pela HP-12C f [REG]10000 ENTER 1,1 X 1,1 X 12100CHS PV 10 i 5 n PMT 3.191,95

1 f [AMORT] 1210,00 X Y 1981,94 RCL PV – 10.118,05

1 f [AMORT] 1011,80 X Y 2180,14 RCL PV – 7937,90

1 f [AMORT] 793,79 X Y 2398.15 RCL PV – 5539,74

1 f [AMORT] 553,97 X Y 2637,97 RCL PV – 2901,77

1 f [AMORT] 290,17 X Y 2901,77 RCL PV – 0,00

Sistema Price de Amortização ou (Tabela Price)

O Sistema Price de Amortização, ou simplesmente Tabela Price, é uma derivação do Sistema Francês de Amortização, diferenciando-se apenas nos seguintes pontos:

a) A taxa é apresentada em termos nominais e normalmente é apresentada ao ano.b) O período do financiamento normalmente é menor do que o tempo da taxa,

quase sempre é dado ao mês.c) Para transformar as taxas, usa-se o critério de proporcionalidade.

Exemplo 4:Um banco empresta o valor de R$ 10.000,00, com taxa de 12% ao ano, para ser pago em 7 pagamentos mensais sem prazo de carência, calculado pelo Sistema Price de Amortização. Pede-se: Elaborar a planilha de financiamento.

Resolução algébrica

Dados: PV = R$ 10.000,00 n = 7 meses i = 12% ao ano (12/12 = 1% ao mês) PMT = ?

a) cálculo do valor da prestação

(1 + i)n . i PMT = PV (1 + i)n - 1

(1 + 0,01)7 . 0,01PMT =10.000

68

(1 + 0,01)7 - 1

(1,01)7 . 0,01PMT =10000

(1,01)7 - 1

1,072135 . 0,01PMT =10000

1,072135 - 1

0,010721PMT =10000

0,072135

PMT = 10000[0,148628]

PMT = R$ 1.486,28

b) Cálculo dos juros

J = PV . i . nJuros para o 1o período: J1 = 10.000 . 0,01 = 100,00


PAn = PMT - J

Parcela de amortização para o 1o período: PA = 1.486,28 - 100,00 = R$ 1.386,28



SD1 = 10.000,00 - 1.386,28 = R$ 8.613,72


0 10.000,00 0,00 0,00 0,00

69

1 8.613,72 1.386,28 100,00 1.486,28 2 7.213,58 1.400,14 86,14 1.486,28 3 5.799,44 1.414,14 72,14 1.486,28 4 4.371,15 1.428,29 57,99 1.486,28 5 2.928,58 1.442,57 43,71 1.486,28 6 1.471,59 1.456,99 29,29 1.486,28 7 0,03 1.471,56 14,72 1.486,28

å

E X E R C Í C I O S ( SFA- Tabela Price)

70

Resolução pela HP-12C f [REG]10000 CHS PV 1 i 7 n PMT 1.486,28

1 f [AMORT] 100,00 X Y 1386,28 RCL PV – 8.613,72 1 f [AMORT] 86,14 X Y 1400,14 RCL PV – 7213,58

1 f [AMORT] 72,14 X Y 1414,14 RCL PV – 5799,44

1 f [AMORT] 57,99 X Y 1428,29 RCL PV – 4371,15

1 f [AMORT] 43,71 X Y 1442,57 RCL PV – 2928,58

1 f [AMORT] 29,29 X Y 1456,99 RCL PV – 1471,59

1 f [AMORT] 14,72 X Y 1471,56 RCL PV – 0,03

1) Um empréstimo de $ 200.000 será pago pela Tabela Price em quatro prestações mensais postecipadas. A juros efetivos de 10% ao mês. Construir a planilha de amortização.

n Saldo Devedor (SDn) Amortização (PAn) Juros (J) Prestação (PMT)

0 1 2 3 4 -------------------------

S

2) Para o exercício anterior, considerando agora um período de carência de 2 meses em que serão pagos unicamente os juros devidos, construir a planilha de amortização.


0 1 2 3 456 ----------------------------

S

3) Para o exercício 01, considerando agora um período de carência de 2 meses em que os juros são capitalizados e incorporados ao capital (principal), construir a planilha de amortização.


0 1 2 3 456 ----------------------------

S

4) Um empréstimo de $ 200.000 será pago em três prestações mensais iguais consecutivas. Considerando uma taxa de juros nominal de 180% ao ano com capitalização mensal, construir a tabela de amortização.


71

0 1 2 3 -------------------------

S

5) Montar a planilha de amortização de um empréstimo com as seguintes características: valor do empréstimo de $ 1.000.000; reembolso pela Tabela Price em cinco pagamentos trimestrais com carência de dois trimestres; juros nominais de 28% ao ano capitalizado trimestralmente; e os juros serão capitalizados e incorporados ao capital durante o período de carência.


0 1 2 3 4567 ----------------------------

S

SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC)

É um sistema onde a principal característica é a da Amortização Constante. Conhecido como Método Hamburguês, sendo utilizado em financiamentos de DFH e

72

Financiamentos de empresas por parte de entidades governamentais, a amortização é igual ao valor do empréstimo dividido pelo número de prestações.

- As prestações são uniformemente decrescentes, diminuindo sempre de um determinado fator que é constante.

- O valor dos juros é decrescente .- Os pagamentos são periódicos e sucessivos.

Exemplo 01:Um banco empresta o valor de R$ 10.000,00, com taxa de 10% ao mês, para ser pago em 5 pagamentos mensais, sem prazo de carência, calculado pelo Sistema de Amortização Constante (SAC). Pede-se: Elaborar a planilha de financiamento.

Resolução algébricaDados: PV = R$ 10.000,00 n = 5 meses i = 10% ao mês PMT = ?a) cálculo da parcela de amortização(PAn)

PAn = PV ou SD n

PAn = 10.000 = R$ 2.000,00 5 b) Cálculo dos juros (J)

J = PV . i . nJuros para o 1o período: J1 = 10.000,00 . 0,1 . 1 = R$ 1.000,00Juros para o 2o período: J2 = 8.000,00 . 0,1 . 1 = R$ 800,00Juros para o 3o período: J3 = 6.000,00 . 0,1 . 1 = R$ 600,00Juros para o 4o período: J4 = 4.000,00 . 0,1 . 1 = R$ 400,00Juros para o 5o período: J5 = 2.000,00 . 0,1 . 1 = R$ 200,00

c) cálculo do saldo devedor (SD)


SD1 = 10.000,00 - 2.000,00 = R$ 8.000,00SD2 = 8.000,00 - 2.000,00 = R$ 6.000,00SD3 = 6.000,00 - 2.000,00 = R$ 4.000,00SD4 = 4.000,00 - 2.000,00 = R$ 2.000,00SD5 = 2.000,00 - 2.000,00 = R$ 0,00

d) cálculo da parcela de amortização (PAn)

PMTn = PA + Jn

73

PMT1 = 2.000,00 + 1.000,00 = R$ 3.000,00PMT2 = 2.000,00 + 800,00 = R$ 2.800,00

PMT3 = 2.000,00 + 600,00 = R$ 2.600,00PMT4 = 2.000,00 + 400,00 = R$ 2.400,00PMT5 = 2.000,00 + 200,00 = R$ 2.200,00

Assim teremos nossa planilha de financiamenton Saldo Devedor (SDn) Amortização (PAn) Juros (J) Prestação (PMT)

0 10.000,00 0,00 0,00 0,001 8.000,00 2.000,00 1.000,00 3.000,002 6.000,00 2.000,00 800,00 2.800,003 4.000,00 2.000,00 600,00 2.600,004 2.000,00 2.000,00 400,00 2.400,005 0,00 2.000,00 200,00 2.200,00

å

E X E R C I C I O S ( SAC)

1) Emprestei de uma financiadora “X”, o valor de $ 32.000, para ser amortizado em 10 meses, à taxa de juros 1,25% ao mês. Quanto pagarei ao mês?


012345678910

S

2) Uma composição de dívida de $ 8.000.000, a ser paga em quatro prestações anuais, com taxa de juros de 36% ao ano. Para elaborar a planilha de pagamentos sugerimos os seguintes procedimentos:

a) calcular a amortização;

74

b) calcular a parcela de juros;c) calcular o valor das prestações;d) apurar o saldo devedor do período.


01234

S3) Uma operação no valor de R$ 70.000,00 foi contratada para ser paga em 4 prestações anuais, com taxa de juros de 17% ao ano. Então como ficará a planilha de pagamento?


01234

S

4) Emprestei de uma financiadora o valor de $ 25.000 à taxa de juros de 2% ao ano para ser amortizada em 10 meses pelo SAC. Qual o valor da 3a prestação?


0123

S

5) Um cliente propôs pagar o saldo devedor de um empréstimo de R$ 120.000,00 em 4 parcelas, mas sugeriu que as prestações fossem decrescentes. Assim o ideal seria pelo SAC. Qual o valor da amortização?

E X E R C I C I O S S U P L E M E N T A R E S

PORCENTAGEM E RACIOCÍNIO LÓGICO

75

1) Se a empresa “W4W” vende três produtos: K, T e R. Supondo que ao longo de 4 meses os produtos apresentam o ítem de custo de acordo com a distribuição a seguir:

Produto Custo ( R$)K 20.000,00T 80.000,00R 70.000,00

Pergunta-se: De quantos por cento foi a mais o custo do produto T em relação ao produto R ? (R. C)

a) 21,69%b) 21,56%c) 14,28%d) 16,09%e) 12,05%

2) Dada a distribuição de freqüência referente as taxa e aos valores dos produtos:

10|-------30 4%30|------50 2,5%50|------70 1,5%70|-------90 2,5%

Supondo que em suas vendas a prazo, era cobrado de seus clientes uma taxa mensal conforme o valor da mercadoria vendida. De acordo com a distribuição acima, qual a taxa média percentual que a “W4W” está cobrando ? (R. E)

a) 3,02% ao mêsb) 2,92% ao mêsc) 2,33% ao mês.d) 1,77% ao mêse) 2,63% ao mês

3) Um vendedor tem 3% de comissão nos negócios que faz. Qual o valor da sua comissão numa venda de R$ 3.600,00? (R. R$ 108)

4) No departamento de contabilidade de uma empresa 26% dos funcionários são mulheres. Quantos funcionários possui a empresa, se elas são em número de 182? (R. 700)

5) Um automóvel foi adquirido por R$ 5.000,00 e vendido com um lucro de R$ 400,00. Qual a percentagem de lucro? (R. 8%)

6) Em uma liquidação, uma camisa que custava R$ 24 foi vendida com 25% de abatimento. De quanto foi o abatimento? (R. R$ 6,00)

7) Um corretor recebe R$ 2.800,00 pela venda de duas casas, tendo sido de 5% a taxa de comissão. Qual o valor de venda das propriedades? (R. R$ 56.000)

76

8) Uma pessoa devia R$ 20.000,00 e pagou R$ 7.400,00. Quantos por cento da dívida foram pagos? (R. R$ 37%)

9) Um comerciante vendeu um objeto por R$ 540,00 com lucro de 15% sobre esse valor. Quanto ganhou? (R. R$ 81,00)

10) Por quanto devo vender um objeto que me custou R$ 70,00 para obter um lucro de 30% ? (R. R$ 91,00)

11) Em São Paulo colhem-se 1.268.000,00 sacas de café. Se 25% desta produção destinam-se ao consumo interno, qual a quantidade de sacas para este consumo? (R. 317.000sacas)

12) Em quanto por cento aumentou a população de uma cidade que era de 67.200 habitantes e agora é de 92.400 habitantes? (R. R$ 37,5%)

13) Um vendedor recebe 3% de comissão sobre as vendas que efetua. Qual a quantia a receber pelas vendas de R$ 8.000,00, R$ 3.700,00 e R$ 9.500,00? (R. R$ 636,00)14) Em uma partida de futebol, um dos times obteve os seguintes resultados quanto aos chutes a gol:

- bolas chutadas fora:10;- bolas defendidas pelo goleiro adversário:6;- bolas na trave:2;- gols:2.

a) Qual a percentagem dos gols em relação às bolas chutadas a gol? (R. 10%)

b) Qual a percentagem das bolas chutadas fora?(R. 50%)

c) Qual a percentagem das bolas defendidas pelo goleiro adversário?(R. 30%)

JURO SIMPLES

1) Qual o capital aplicado por uma empresa que produziu R$ 300,00 a 20%a .t. durante 9 meses a juro simples?(R. PV =R$ 500,00)

2) Calcular os juros simples produzidos por uma aplicação feita por uma empresa de R$ 36.000,00 à taxa de 15% aa . , durante 3 anos. (R. J = R$ 16200,00)

3) Determine o tempo em que uma empresa aplicando o capital R$ 12.000,00 rendeu de juros R$ 240,00 à taxa de 0,2% a m. (R. n = 10 meses)

77

4) Tomou-se emprestada a importância de R$ 1.200,00, pelo prazo de 2 anos, à taxa de 30% ao ano.Qual será o valor do juro a ser pago pelo regime de capitalização simples? (R. R$ 720,00)

5) Aplicou-se a importância de R$ 3.000,00 pelo prazo de 3 meses, à taxa de 1,2% ao mês pelo sistema de capitalização simples. Qual o valor do juro a receber? (R. R$ 108,00)

6) Calcule o juro a ser pago por um empréstimo de R$ 9.200,00 à taxa de 5% ao trimestre, durante 3 trimestre pelo regime de capitalização simples.(R. R$ 1.380,00)

7) Um capital de R$ 56.800,00 foi empregado, à taxa de 0,75% ao mês, durante 2,5 meses. Calcule o juro produzido pelo regime de capitalização simples. (R. R$ 1.065,00)

8) Um capital de R$ 2.400,00 é aplicado durante 10 meses, à taxa de 25% ao ano. Determine o juro obtido. (R. R$ 500,00)

9) Calcule o juro correspondente a um capital de R$ 18.500,00 aplicado durante 2 anos, 4 meses e 10 dias, à taxa de 36% ao ano pelo regime de capitalização simples. (R. R$ 15.725,00)

10) Calcule o juro simples resultante de uma aplicação de R$ 32.500,00 à taxa de 18% ao ano, durante 3 meses.(R. R$ 1.462,50)

11) Calcule o juro de um capital de R$ 5.000,00 em regime de juro simples, durante 2 anos e 4 meses, à taxa de 24% ao ano. (R. R$ 2.800,00)

12) Um empréstimo de R$ 8.500,00 foi realizado em 20/07 e pago em 25/11 do mesmo ano. Sabendo que a taxa foi de 45% ao ano, qual o juro total a ser pago pelo regime de juro simples? (R. R$ 1.360,00)

13) Que quantia deve ser aplicada durante 3 meses, à taxa de 1,5% ao mês, para obtermos R$ 441,00 de juro?(R. R$ 9.800,00)

14) Qual o valor principal que, aplicado a juro simples durante 1 ano e 6 meses, à taxa de 1,2% ao mês, rendeu R$ 19.008,00? (R. R$ 88.000,00)

15)A que taxa foi empregado a juro simples o capital de R$ 12.000,00 que, no prazo de 2 anos, rendeu R$ 8.400,00 de juro? (R. 35% aa)

16) Uma aplicação de R$ 8.000,00 pelo prazo de 6 meses, obteve um rendimento de R$ 1.680,00. Qual a taxa anual correspondente? (R. 42% aa)

78

17) Determine o período financeiro relativo à aplicação do capital de R$ 12.800,00 que, à taxa de 1% ao mês, rendeu R$ 896,00 ao ser aplicado pelo regime de juro simples. (R. 7meses)

18) Durante quanto tempo devemos aplicar R$ 4.800,00 à taxa de 36% ao ano, para obtermos R$ 2.376,00 de juro através da capitalização simples? (R. 1,375anos ou 1 ano 4 meses e 15 dias)

19) Um capital de R$ 10.500,00 rendeu R$ 1.225,00 de juro. Sabendo que a taxa de juro simples contratada foi de 42% ao ano e que a aplicação foi feita no dia 20/01/88 qual o tempo de vencimento? (R. 0,278ano ou 100dias)

20) Qual o capital a ser aplicado no período de 05/06 a 30/11 do mesmo ano, à taxa de 36% ao ano, para render um juro de R$ 5.696,00 pelo regime simples de capitalização? (R. R$ 32.000,00)

21) A que taxa de juro simples foi aplicado um capital de R$ 6.000,00 que, durante 6 meses, rendeu R$ 1.320,00 de juro? (R. 3,66%ao mês)

22) Durante quanto tempo foram aplicados R$ 19.680,00 que à taxa de 33,6% ao ano, renderam R$ 9.368,00 de juro? (R. 1ano e 5 meses)

23) Calcule o montante de uma aplicação de R$ 5.000,00 à taxa de 2,5% ao mês, durante 2 anos. (R. R$ 8.000,00)

24) Uma pessoa aplicou R$ 90.000,00 no mercado financeiro e, após 5 anos, recebeu o montante de R$ 180.000,00. Qual foi a taxa anual cobrada pelo regime de capitalização simples? (R. 20%)

25) Um capital foi aplicado a juro simples à uma taxa de 45% ao ano. Efetuou-se o resgate no valor de R$ 107.800,00 após 3 anos. Qual o valor do capital inicial? (R. R$ 45.872,34)

26) Qual o prazo para que uma aplicação de R$ 200.000, 00 a 2,5% ao mês, renda um montante de R$ 240.000,00 pelo regime de juro simples? (R. 8 meses)

27) Por quanto tempo deve ser aplicado o capital de R$ 8.000,00 à taxa de juro simples de 16% ao ano, para obtermos um montante de R$ 8.320,00 ? (R. 0,25ano ou 3 meses)

28) Uma pessoa consegue um empréstimo de R$ 86.400,00 e promete pagar ao credor, após 10 meses a quantia de R$ 116.640,00. Determine a taxa de juro simples anual. (R. 42%aa)

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29) Que montante receberá um aplicador que tenha investido R$ 28.000,00 a juro simples durante 15 meses, à taxa de 3% ao mês ? (R. R$ 40.600,00)

30) Qual é o tempo em que um capital de R$ 96.480,00 a 25% ao ano, rende R$ 79.395,00 de juro, aplicado a juro simples? (R. 3,3 ano)

TAXA EQUIVALENTE A JURO SIMPLES

1) Calcular a taxa anual equivalente a:a) 6% ao mês; R. 72%b) 10% ao bimestre. R. 60%

2) Calcular a taxa de juros semestral proporcional a: a) 60% ao ano; R. 30% b) 9% ao trimestre. R. 18%

JURO EXATO e COMERCIAL -

1) Uma divida no valor de R$ 15.000,00 foi quitada 74 dias antes do vencimento, com a a taxa de 36% ao ano. Determine;

a) O juro exato; R. R$ 1.094,79 b) O juro bancário. R. R$ 1.110,00

2) Calcular os juros de R$ 18.000,00 aplicados durante 5 meses ( de 30 dias) e 14 dias a taxa de juros simples de 32% ao ano. Efetuar os cálculos para os anos comercial e exato . R. Jcom = R$ 2.624,00 e Jex = R$ 2.588,05

DESCONTO SIMPLES

1) Seja um título de valor nominal de $ 4.000,00 vencível em um ano, que está sendo liquidado 3 meses antes de seu vencimento. Sendo de 42% ao ano à taxa nominal de juros corrente, pede-se calcular:

a) O Desconto Racional Simples; R. $ 380,10b) O Valor descontado desta operação. R. $ 3.619,90

2) Calcular o valor atual de um conjunto de duplicatas descontadas num banco a 1,3% ao mês, conforme o borderô a seguir:

DUPLICATAS VALOR($) PRAZO (VENCIMENTO)

C 4.500,00 12 diasE 2.800,00 27 diasB 1.900,00 51 dias

80

TOTAL................. 9.200,00 ..................................

R. DBSc = $ 23,40 DBSe = $ 32,76 DBSb = $ 41,99 VA = $ 9.101,85

3) Seja um título de valor nominal de $ 4.000,00 vencível em um ano, que está sendo liquidado 3 meses antes de seu vencimento. Sendo de 42% ao ano a taxa de desconto adotada, pede-se calcular o desconto comercial e o valor líquido desta operação. R. DBS = $ 420,00 e VL = $ 3.580,00

4) Um título no valor nominal de R$ 4.500,00 é descontado 90 dias antes de seu vencimento, à taxa de juros simples de 3,4% ao mês. Qual é o desconto racional? (R. e)

a) R$ 500,79b) R$ 200,43c) R$509,00d) R$308,00e) R$ 416,51

5) Qual o valor do desconto comercial simples de um título de R$ 23.000,00, com vencimento para 120 dias, à taxa de 2,4%a m?(R. a)

a) R$ 2.208,00b) R$ 2.356,00c) R$ 5.167,00d) R$ 3.000,00e) R$ 1.500,00

6) Um título de R$ 6.000 vai ser descontado à taxa de 2,1% ao mês. Faltando 45 dias para o vencimento do título, determine:

a) o valor do desconto comercial simples; (R. R$ 189,00)b) o valor atual (líquido) . (R. R$ 5.811,00)

7) Determine o valor do desconto racional simples e o valor atual de um título de R$ 50.000, disponível dentro de 40 dias, à taxa de 3% ao mês. (R. R$ 1.923,08 e 48.076,92)

8)Determine o desconto racional simples de uma promissória de R$ 3.000, à taxa de 40% ao ano, resgatada 75 dias antes do vencimento. (R. R$ 230,77)

JURO COMPOSTO

1) Se uma pessoa deseja obter $ 27.500,00 dentro de um ano, quanto deverá ela depositar hoje numa alternativa de poupança que rende 1,7% de juros compostos ao mês? (R. $ 22.463,70)

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2) Qual o valor de resgate de uma aplicação de $ 12.000,00 em um título pelo prazo de 8 meses à taxa de juros composta de 3,5% ao mês? (R. $ 15.801, 70)

3) Uma aplicação de $ 22.000,00 efetuada em certa data produz, à taxa composta de juros de 2,4% ao mês, um montante de $ 26.596,40 em certa data futura. Calcular o prazo da operação. (R. 8 meses)

4) Determinar o juro pago de um empréstimo de $ 88.000,00 pelo prazo de 5 meses à taxa composta de 4,5% ao mês. (R. $ 21.664,02)

5) Calcule o montante de R$ 20.000 a juros compostos de 3,5% ao mês, durante 35 meses. (R. R$ 66.671,80)

6) Calcule o montante de R$ 5.000, a juros compostos de 2,25% ao mês, no fim de 4 meses. (R. R$ 5.465,41)

7) Calcule o montante de uma aplicação de R$ 8.200, por um prazo de 8 meses, no regime de juro composto, à taxa de 1,5% ao mês. (R. R$ 9.237,23)

8) Calcule o montante do capital de R$ 75.000, colocado a juros compostos à taxa de 2

% ao mês, no fim de 6 meses. (R. R$ 82.008,22)

9) Qual o montante produzido por R$ 12.000, em regime de juros compostos, à taxa de 2% ao mês durante 40 meses? (R. R$ 26.496,47)

10) Calcule o capital inicial aplicado a juros compostos que, no prazo de 5 meses, a 3% ao mês, produziu o montante de R$ 4.058,00. (R. R$ 3.500,46)

11) Sabendo que um capital inicial, em regime de juro composto, à taxa de 2,5% ao mês, durante 4 meses, rendeu um montante de R$ 79.475, calcule esse capital. (R. R$ 72.000,42)

12) Uma loja financia um bem de consumo durável, no valor de R$ 3.200, sem entrada, para pagamento em uma única prestação de R$ 4.049 no final de 6 meses. Qual a taxa mensal cobrada pela loja pelo regime de juro composto? (R. 4%)

13) Calcule o montante produzido por R$ 2.000, aplicados em regime de juro composto a 5% ao mês, durante 2 meses. (R. R$ 2.205)

14) Uma pessoa toma R$ 3.000 emprestado, a juro de 3% ao mês, pelo prazo de 10 meses, com capitalização composta. Qual o montante a ser devolvido? (R. R$ 4.031,74)

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15) Determine em que prazo um empréstimo de R$ 11.000 pode ser quitado em um único pagamento de R$ 22.125, sabendo que a taxa contratada é de 15% ao semestre em regime de juro composto. (R. 5 semestre ou 2 anos e 6 meses)

16) Uma pessoa recebe uma proposta de investir, hoje uma quantia de R$ 12.000 para receber R$ 16.127 daqui a 10 meses. Qual a taxa de rentabilidade mensal do investimento proposto no regime de juro composto? (R. 3% )

17) O capital de R$ 8.700, colocado a juros compostos à taxa de 3,5% ao mês, elevou-se no fim de certo tempo a R$ 11.456. Calcule esse tempo. (R. 8meses)

18) Qual será o montante de R$ 3.000, a juros compostos de 47% ao ano, em 4 anos e 3 meses? (R. R$ 15.424,81)

19) Empreguei um capital de R$ 25.000, em regime de juros compostos, à taxa de 35% ao ano, durante 2 anos e 6 meses. Quanto recebi? (R. R$ 52.938,84)

20) Qual o montante de um capital de R$ 5.000, no fim de 2 anos, com juros de 24% ao ano capitalizados trimestralmente pelo regime de capitalização composta? (R. R$ 7.969,24)

21) Calcule o montante de uma aplicação de R$ 8.000, à taxa de 3% ao mês, num prazo de 14 meses pelo regime de juro composto. (R. R$ 12.101,71)

22) Determine o juro de uma aplicação de R$ 20.000, a 4,5% ao mês, capitalizado mensalmente durante 8 meses a juro composto. (R. R$ 8.442,01)

23) Qual o montante produzido pelo capital de R$ 6.800, em regime de juro composto, aplicado durante 4 meses, à taxa de 3,8% ao mês? (R. R$ 7.894,02)

24) Calcule o montante de R$ 8.500, a juros compostos de 2,5% ao mês, durante 40 meses. (R. R$ 22.823,04)

25) Determine o capital aplicado a juros compostos de 3,5% ao mês, sabendo que após 8 meses somou-se um montante de R$ 19.752. (R. R$ 15.000)26) Em que prazo uma aplicação de R$ 100.000 produzirá um montante de R$ 146.853, à taxa de 3% ao mês a juros compostos? (R. R$ 13meses)

27) Um capital de R$ 20.000 foi aplicado a juros compostos durante 7 meses, rendendo R$ 3.774 de juro. Determine a taxa de aplicação. (R. 2,5%ao mês)

28)O capital de R$ 12.000, colocado a juros compostos capitalizados mensalmente durante 8 meses, elevou-se no final desse prazo a R$ 15.559. Calcule a taxa de juro. (R.39,6% aa)

29) O capital de R$ 18.000 foi aplicado a juros compostos por 2 anos a 20% ao ano, capitalizados trimestralmente. Qual o montante? (R. R$ 26.594,19)

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30) Durante quanto tempo R$ 25.000 produzem R$ 14.846 de juro, a 24% ao ano, capitalizado trimestralmente a juros compostos? (R. 2,16anos)

DESCONTO COMPOSTO

1) Um título de valor nominal de $ 35.000,00 é negociado mediante uma operação de desconto bancário composto 3 meses antes de seu vencimento. A taxa de desconto adotada atinge 5% ao mês. Pede-se:

a) O valor atual; R. $ 30.243,31b) O desconto. R. $ 4.765,68

2) Determinar o valor atual e desconto racional composto de um título de valor nominal $ 3.500,00 adotando uma taxa de juros de composto de 2,8% ao mês, sendo descontado 4 meses antes do seu vencimento.R. VL = $ 3.133,97 e DRC = $ 366,03

3) Determine o valor atual de um título de R$ 800, saldado 4 meses antes de seu vencimento, à taxa de desconto racional composto de 2% ao mês. (R. R$ 739,07)

4) Calcule o valor atual de um título de valor nominal de R$ 1.120, com vencimento para 2 anos e 6 meses, à taxa de 36% ao ano, capitalizado semestralmente pelo regime de desconto bancário composto. (R. R$ 489,56)

5) Qual o desconto bancário composto que um título de R$ 5.000 sofre ao ser descontado 3 meses antes do seu vencimento, à taxa de 2,5% ao mês? (R. R$ 357,00)

6) Um título de valor nominal de R$ 1.500 foi resgatado 3 meses antes de seu vencimento, tendo sido contratado à taxa de 30% ao ano, capitalizados mensalmente. Qual foi o desconto comercial composto concedido? (R. R$ 107,10)

7) Em uma operação de desconto comercial composto, o portador do título recebeu R$ 36.954 como valor líquido. Sabendo que a antecipação foi de 4 meses e a taxa de juro mensal de 2%. Qual o valor nominal? (R. R$ 40.000,21)

8) Desejamos resgatar um título, cujo valor nominal é de 7.000, faltando ainda 3 meses para o seu vencimento. Calcule o valor atual, sabendo que a taxa de desconto bancário composto é de 3,5% ao mês. (R. R$ 6.313,59)

9) Calcule o valor atual de um título de R$ 40.000, resgatado 1 ano e 4 meses antes do seu vencimento, sendo a taxa de desconto comercial composto de 24% ao ano. (R. R$ 29.137,83)

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TAXA EQUIVALENTE A JURO COMPOSTO – TAXAS: REAL, APARENTE E DE INFLAÇÃO

1) Quais as taxas de juro composto mensal e trimestral equivalentes a 25% ao ano? (R. 1,87%am e 5,73% at)

2) Que taxa de inflação anual deve ocorrer para que um aplicador ganhe 9% ao ano de juros reais, caso a taxa aparente seja de 18% ao ano? (R. I = 8,25% aa)

3) Qual a taxa real de um empréstimo contratado a uma taxa aparente de 12%, considerando uma inflação para o mesmo período de 8% ? (R. R = 3,70%)

4) Qual a taxa aparente ganha se a Inflação for de 18% ao ano e o juro real for de 3,5% ao ano? (R. i = 22,13%)

SÉRIES UNIFORME DE PAGAMENTOS : POSTECIPADA e ANTECIPADA

1) Uma pessoa deposita em uma financeira, no fim de cada mês, durante 5 meses, a quantia de R$ 100,00. Calcule o montante da renda, sabendo que essa financeira paga juros compostos de 2% ao mês, capitalizados mensalmente. (R. FV = R$ 520,40)

2) Com o objetivo de formar um montante para compra de equipamentos, no final de cada mês uma empresa aplica $ 2.000,00. Quanto a empresa terá acumulado no final de sua sexta aplicação anual, sabendo-se que a taxa de juro é de 12% ao ano? (R. FV = $ 16.230,37) 3) Uma empresa necessita contratar um empréstimo de liquidez para equilibrar seu caixa de curto prazo. Após analisar seu fluxo de caixa, verificou que sua capacidade de pagamento é de seis parcelas mensais postecipadas de $ 3.000,00. Sabendo-se que a taxa de juro para essa modalidade de empréstimo é de 2,59% ao mês, determinar a valor do capital que a empresa pode tomar emprestado. (R. PV = $ 16.474,75)

4) Qual a importância constante a ser depositada em um banco, ao final de cada ano, à taxa de 6% ao ano, capitalizados anualmente, de tal modo que, ao fazer o décimo depósito, forme um montante de R$ 400.000,00? (R. PMT = R$ 30.347,18)

5) Calcule o depósito anual capaz de, em 6 anos, dar um montante de R$ 200.000,00 à taxa de 25% ao ano. (R. PMT = R$ 17.763,89)

6) Quantas prestações mensais de R$ 500,00 devem ser colocadas, à taxa de 2% ao mês, a fim de se construir o montante de R$ 6.706,00? (R. n = 12 prestações mensais)

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7) Qual é o preço a vista de uma mercadoria cuja prestação é de $ 200, 00, sem entrada se a taxa é de 2,5% am. em 18 meses. (R. PV= $ 2.870,67)

8) Calcular a prestação referente a uma mercadoria, cujo preço a vista é de $ 10.000,00 caso ocorra a seguinte hipótese sobre a taxa e respectivo prazo: taxa de juros 2,5% ao mês e prazo de 12 meses postecipado? (R. PMT = $ 974,87)

9) Em quantas prestações mensais de $ 1.004,62 sem entrada será pago um título de um clube de campo, se seu valor a vista for de $ 10.000,00 e a taxa contratada for de 3% am? (R. n = 12 meses)

10) Uma empresa negociou uma dívida de $ 10.000,00 junto a um banco, solicitando pagá-la em parcelas mensais postecipadas de $ 1.800,00. Sabendo-se que a taxa de juro para essa modalidade de empréstimo é de 2,24% ao mês, quantas parcelas serão necessárias para quitar o débito? (R. n = 6) 11) No início de cada mês uma empresa aplica $ 2.000,00 de sua sobra de caixa. Calcular o valor futuro formado ao final da sua sexta e última aplicação, sabendo que a taxa de juro é de 1,5% ao mês. (R. FV = $ 12.645,98)

12) Quanto se deverá depositar mensalmente para que, ao fim de 5 anos, não se processando nenhuma retirada, se tenha $ 50.000,00? Considerar que a instituição paga 2,5% ao mês sobre o saldo credor. (R. PMT = $ 367,67)

13) Uma pessoa tomou emprestada a quantia de $ 1.200,00 e vai devolvê-la em 15 prestações mensais iguais, a primeira a vencer um mês após a data do empréstimo. Se os juros são compostos, à taxa de 10% ao mês, determinar o valor de cada uma das prestações. (R. PMT = $ 157,76)

14) Um equipamento custa a vista $ 12.766,56, uma empresa que adquirir a prazo, com prestação mensal de $ 1.000,00, sendo que a primeira será pago no ato da compra. Sabendo-se que a taxa de juro cobrada será de 2% ao mês, qual a quantidade de parcelas? (R. n = 14,54 aprox. 15)

15) Um banco está negociando uma cessão de crédito, composta de cinco recebimentos mensais de $ 3.000,00 com o primeiro vencendo na data da operação. Calcular o capital que o banco deve pagar ao cedente, sabendo-se que a taxa de juro é de 1,4% ao mês. (R. PV = $ 14.591,47)

16) Se um poupador aplicar R$ 250,00 mensais a partir de hoje durante 3 anos, a uma taxa de 1,2% ao mês, quanto terá acumulado no final do prazo determinado? (R. FV = R$ 11.308,66)

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17) O preço a vista de um equipamento é de $ 16.000,00, pode ser pago em seis parcelas mensais iguais, com a primeira vencendo na data da assinatura do contrato. Se a taxa de juro é de 2,5% ao mês, qual o valor das parcelas? (R. PMT = $ 2.833,95)

SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO: SFA/PRICE e SAC

1) Montar a planilha de amortização pelo SFA, de uma dívida de $ 1.200,00 a ser paga em 4 parcelas mensais consecutivas, à taxa de 3% ao mês com 2 meses de carência.

N SD PAN JUROS PMT0 1200,00 ----- --------- --------1 1200,00 ----- 36,00 36,002 1200,00 ---- 36,00 36,003456

TOTAL

2) Uma financeira empresta o valor de $15.000,00, com taxa de 16% ao ano, para ser pago em 5 pagamentos mensais sem prazo de carência, calculado pelo Sistema Price de Amortização. Elabore a planilha de financiamento.

N SD PAN JUROS PMT0 15.000,00 ----- ------ -----12345

TOTAL

3) Um banco empresta a uma empresa R$ 180.000,00 pelo prazo de 5 anos, à taxa de 8% ao ano. Sabendo que será adotado o SFA, construa a planilha de amortização.

N SD PAN JUROS PMT0 180.000,00 ----- ----- -----1

87

2345

TOTAL

4) Uma financeira emprestou R$ 80.000,00, sem prazo de carência. Sendo a taxa de juro cobrada de 12% ao ano devendo a liquidação ser feita em 8 anos, construa a planilha de amortização pelo SFA.N SD PAN JUROS PMT0 80.000,00 ----- ----- -----12345678

TOTAL

5) Uma financeira faz um empréstimo de R$ 1000.000,00, para ser pago pelo SAC em 4 prestações anuais, à taxa de 15% ao ano. Monte a planilha de amortização.

N SD PAN JUROS PMT0 100.000,00 ----- ----- -----1234

TOTAL

6) Um empréstimo de R$ 200.000,00 será saldado em 8 prestações semestrais pelo SAC, tendo sido contratada a taxa de juro de 10% ao semestre. Confeccione a planilha de amortização.

N SD PAN JUROS PMT0 200.000,00 ----- ----- -----1234

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5678

TOTAL

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

ASSAF, Neto Alexandre – Matemática Financeira e suas Aplicações – 5a ed. – São Paulo: Atlas, 2000.ATHIAS, Washington Franco, José Maria Gomes – Matemática Financeira – 3a ed. – SãoPaulo: Atlas,2002.BRANCO, Anísio Costa Castelo – Matemática Financeira Aplicada: Método Algébrico, HP-12C, Microsoft Excel – São Paulo: Pioneira Thomson Learning.CRESPO, Antonio Arnot – Matemática Comercial e Financeira fácil – 13ª edição – São Paulo: Saraiva, 2002. FARO, Clovis de – Matemática Financeira – São Paulo : Atlas, 1982.HAZZAN, Samuel , José Nicolau Pompeo– Matemática Financeira – 4a ed. – São Paulo: Atual, 1993.SAMANEZ, Carlos Patrício – Matemática Financeira: Aplicações à Análise de Investimentos – 3a ed. – São Paulo : Prentice Hall, 2002.SILVA, Daniel Jorge e Valter dos Santos Fernandes – Matemática para o Ensino Médio- SãoPaulo: IBEP, 2000VIEIRA Sobrinho, José Gutra – Matemática Financeira – 7a ed. – São Paulo: Atlas, 2000.

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