Matematica Unidade 10 - Taxas Equivalentes a Juros Compostos

administraçãoamintas paiva afonso

Unidade 2.5Unidade 2.5

TAXAS TAXAS EQUIVALENTES A EQUIVALENTES A

JUROS COMPOSTOSJUROS COMPOSTOS

Amintas Paiva AfonsoAmintas Paiva Afonso

TAXAS EQUIVALENTES - ConceitoTAXAS EQUIVALENTES - Conceito

São aquelas que mesmo com períodos de capitalização diferentes, transformam um mesmo capital P (PV) em um mesmo montante S (FV) em um mesmo prazo (n).

Ex: Uma taxa de juros simples de 4% a.m. é equivalente a uma taxa de juros simples de 48% a.a?

Suponha n = 2 anos e P = R$ 100,00

FV = PV * (1 + i * n)

FV = 100 * (1 + 0,04 * 24)

FV = 100 * 1,96 = 196

FV = PV * (1 + i * n)

FV = 100 * (1 + 0,48 * 2)

FV = 100 * 1,96 = 196

TAXAS EQUIVALENTES - ExemplosTAXAS EQUIVALENTES - Exemplos

Ex 2: Uma taxa de juros compostos de 4% a.m. é equivalente a uma taxa de juros compostos de 48% a.a.?

Suponha n = 2 anos e PV = R$ 100,00

FV = PV * (1 + i )n

FV = 100 * (1 + 0,04)24

FV = 100 * 2,5633

FV = 256,33

FV = PV * (1 + i )n

FV = 100 * (1 + 0,48)2

FV = 100 * 2,1904

FV = 219,04Logo, uma taxa de juros compostos de 4% a.m. não é equivalente a uma taxa de juros compostos de 48% a.a. , pois não transforma um mesmo capital PV (R$ 100,00) em um mesmo montante FV em um mesmo prazo (2 anos).

TAXAS EQUIVALENTES - ExemplosTAXAS EQUIVALENTES - Exemplos

Ex 3: Uma taxa de juros compostos de 4% a.m. é equivalente a uma taxa de juros compostos de 60,103222% a.a. Vamos verificar!

Suponha n = 2 anos e P = 100,00

FV = PV * (1 + i )n

FV = 100 * (1 + 0,04)24

FV = 100 * 2,5633

FV = 256,33

FV = PV * (1 + i )n

FV = 100 * (1 + 0,60103222)2

FV = 100 * 2,5633

FV = 256,33

TAXAS EQUIVALENTES - Conversão de taxasTAXAS EQUIVALENTES - Conversão de taxas

Como descobrir qual taxa é equivalente a uma determinada taxa composta?

Ex: Qual taxa de juros compostos anual equivale a uma taxa de juros compostos de 5% ao mês?

Em um ano quanto rende um capital PV capitalizado mensalmente?

FV = PV * (1 + 0,05 )12 FV = PV * 1,7959

E capitalizado anualmente?

FV = PV * (1 + ianual)1 FV = PV * (1 + ianual)

Para que as taxas sejam equivalentes, os montantes devem ser iguais:

PV * (1 + ianual) = PV * 1,7959

(1 + ianual) = 1,7959

ianual = 1,7959 - 1

ianual = 0,7959

ianual 79,59%



Observe que da fórmula FV = PV (1 + i)n, para converter taxas não precisamos de FV ou PV, apenas nos interessa a potência (prazo n).

1 ano = 12 meses = 6 bimestres = 4 trimestres = 2 semestres = 360 dias

(1+ ianual) = (1+ imensal)12 = (1+ itrimestral)

4 = (1+ isemestral)2 = (1+

ibimestral)6 = (1+ idiária)

360

Ex: Converter uma taxa de juros compostos de Ex: Converter uma taxa de juros compostos de

5%5% ao trimestreao trimestre para para taxa mensaltaxa mensal..

(1 + i(1 + imensalmensal))1212 = (1 + i = (1 + itrimestraltrimestral))

44

(1 + i(1 + imensalmensal))1212 = (1 + 0,05) = (1 + 0,05)44

(1 + i(1 + imensalmensal))1212 = 1,05 = 1,0544

(1 + i(1 + imensalmensal))1212 = = 1,21551,2155


(1+ ianual) = (1+ imensal)12 = (1+ itrimestral)

4 = (1+ isemestral)2 = =

(1+ ibimestral)6 = (1+ idiária)

360

(1 + i(1 + imensalmensal))1212 = = 1,21551,2155

1 + i1 + imensalmensal = 1,2155 = 1,21551/12 1/12

1 + i1 + imensalmensal = = 1,01641,0164

iimensalmensal = = 1,01641,0164 – 1 – 1

iimensalmensal = 0 = 0,0164,0164

iimensalmensal = = 11,,6464%%

Resposta: A taxa composta de Resposta: A taxa composta de 5%5% ao trimestreao trimestre é é

equivalente à taxa composta de equivalente à taxa composta de 1,64%1,64% ao mêsao mês..


Qual taxa de juros Qual taxa de juros anualanual equivalente à taxa de equivalente à taxa de 0,99%0,99% ao mêsao mês??

(1 + i(1 + ianualanual) = (1 + i) = (1 + imensalmensal))1212

(1 + i(1 + ianualanual) = (1 + 0,0099)) = (1 + 0,0099)1212

(1 + i(1 + ianualanual) = 1,12548) = 1,12548

iianualanual = = 1,1255 - 1 = 0,1255 = 12,55% a.a.1,1255 - 1 = 0,1255 = 12,55% a.a.

Assim, a taxa anual de inflação será de Assim, a taxa anual de inflação será de 12,55%12,55%, se , se for mantida a média do primeiro trimestre. for mantida a média do primeiro trimestre.

3,01% a.t. = 0,99% a.m. = 12,55%3,01% a.t. = 0,99% a.m. = 12,55% a.a.a.a.

TAXAS EQUIVALENTES - InflaçãoTAXAS EQUIVALENTES - Inflação

ii(eq)(eq) = Taxa Equivalente = Taxa Equivalente

iicc = Taxa Conhecida = Taxa Conhecida

QQQQ = Quanto eu Quero= Quanto eu Quero

QTQT = Quanto eu Tenho= Quanto eu Tenho

TAXAS EQUIVALENTES - FórmulaTAXAS EQUIVALENTES - Fórmula

100. 1)1()(

QQ QT

ceq ii

Calcular a equivalência entre as taxas.Calcular a equivalência entre as taxas.

TAXAS EQUIVALENTES - ExercíciosTAXAS EQUIVALENTES - Exercícios

Taxa ConhecidaTaxa Conhecida Taxa Equivalente para:Taxa Equivalente para:

a) 79,5856% ao anoa) 79,5856% ao ano 1 mês1 mês

b) 28,59% ao trimestreb) 28,59% ao trimestre 1 semestre1 semestre

c) 2,5% ao mêsc) 2,5% ao mês 105 dias105 dias

d) 0,5% ao diad) 0,5% ao dia 1 ano1 ano

e) 25% (ano comercial)e) 25% (ano comercial) 1 ano exato (base 365 dias1 ano exato (base 365 dias

Calcular a equivalência entre as taxas.Calcular a equivalência entre as taxas.

Taxa ConhecidaTaxa Conhecida Taxa Equivalente para:Taxa Equivalente para:

a) 79,5856% ao anoa) 79,5856% ao ano 1 mês1 mês

b) 28,59% ao trimestreb) 28,59% ao trimestre 1 semestre1 semestre

c) 2,5% ao mêsc) 2,5% ao mês 105 dias105 dias

d) 0,5% ao diad) 0,5% ao dia 1 ano1 ano

e) 25% (ano comercial)e) 25% (ano comercial) 1 ano exato (base 365 dias)1 ano exato (base 365 dias)

TAXAS EQUIVALENTES - ExercíciosTAXAS EQUIVALENTES - Exercícios

ieq = 5% ao mêsieq = 5% ao mês

ieq = 65,35 ao semestreieq = 65,35 ao semestre

ieq = 9,03 ao períodoieq = 9,03 ao período

ieq = 502,26% ao anoieq = 502,26% ao ano

ieq = 25,39% ao anoieq = 25,39% ao ano

TAXA ACUMULADA DE JUROS - FórmulaTAXA ACUMULADA DE JUROS - Fórmula

A taxa acumulada de juros com taxas variáveis é A taxa acumulada de juros com taxas variáveis é

normalmente utilizada em situações de correções de normalmente utilizada em situações de correções de

contratos como, por exemplo, atualização de aluguéis, contratos como, por exemplo, atualização de aluguéis,

saldo devedor da casa própria e contratos em geral.saldo devedor da casa própria e contratos em geral.

nn = número de taxas analisadas = número de taxas analisadas

100. 11...1.1.1 321)( nac iiiii

TAXA ACUMULADA DE JUROS - FórmulaTAXA ACUMULADA DE JUROS - Fórmula

Com base na tabela de variação do IGPM Calcular a taxa Com base na tabela de variação do IGPM Calcular a taxa acumulada durante os meses de jan. a mai/2009.acumulada durante os meses de jan. a mai/2009.

Taxa ConhecidaTaxa Conhecida

IGPM-M/FGV (jan/2009) = 0,62%IGPM-M/FGV (jan/2009) = 0,62%

IGPM-M/FGV (fev/2009) = 0,23%IGPM-M/FGV (fev/2009) = 0,23%

IGPM-M/FGV (mar/2009) = IGPM-M/FGV (mar/2009) = 0,56%0,56%

IGPM-M/FGV (abr/2009) = 1,00%IGPM-M/FGV (abr/2009) = 1,00%

IGPM-M/FGV (mai/2009) = 0,86%IGPM-M/FGV (mai/2009) = 0,86%

iiacac = 3,31% ao período = 3,31% ao período

100. 11...1.1.1 321)( nac iiiii

TAXA MÉDIA DE JUROS - FórmulaTAXA MÉDIA DE JUROS - Fórmula

nn = número de taxas analisadas = número de taxas analisadas

Calcular a taxa média.Calcular a taxa média.

Taxa ConhecidaTaxa Conhecida

IGPM-M/FGV (jan/2009) = 0,62%IGPM-M/FGV (jan/2009) = 0,62%

IGPM-M/FGV (fev/2009) = 0,23%IGPM-M/FGV (fev/2009) = 0,23%

IGPM-M/FGV (mar/2009) = IGPM-M/FGV (mar/2009) = 0,56%0,56%

IGPM-M/FGV (abr/2009) = 1,00%IGPM-M/FGV (abr/2009) = 1,00%

IGPM-M/FGV (mai/2009) = 0,86%IGPM-M/FGV (mai/2009) = 0,86%

ii(média)(média) = 0,65% ao mês = 0,65% ao mês

100 . 11...1.1.1 321)( nnmédia iiiii

TAXA REAL DE JUROS - FórmulaTAXA REAL DE JUROS - Fórmula

A taxa real de juros é a apuração de ganho ou perda em A taxa real de juros é a apuração de ganho ou perda em

relação a uma taxa de inflação ou de um custo de relação a uma taxa de inflação ou de um custo de

oportunidade. Na verdade significa dizer que taxa real de oportunidade. Na verdade significa dizer que taxa real de

juros é o verdadeiro ganho financeiro.juros é o verdadeiro ganho financeiro.

10011

1.

inf

i

iir

ii = taxa de juros = taxa de jurosiiinfinf = taxa de inflação ou custo de oportunidade = taxa de inflação ou custo de oportunidade

iirr = taxa realde juros = taxa realde juros

TAXA REAL DE JUROS - FórmulaTAXA REAL DE JUROS - Fórmula

Uma aplicação durante o ano de 2008 rendeu 9,5% ao Uma aplicação durante o ano de 2008 rendeu 9,5% ao

ano, sabendo-se que a taxa de inflação do período foi de ano, sabendo-se que a taxa de inflação do período foi de

5,8% ao ano, determine a taxa real de juros.5,8% ao ano, determine a taxa real de juros.

10011

1.

inf

i

iir

iirr = 3,5% ao ano = 3,5% ao ano

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