Aula 3d- Juros Compostos

Fundamentos da Engenharia Econmica

Rogrio Itaborahy Tavares

Aula 3 Juros Compostos

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Frmula dos Juros Compostos No regime de juros compostos, a taxa de juros incide sobre o valor acumulado ao final do perodo anterior, ou seja, ocorrer a incidncia de juros sobre juros.

O regime de juros compostos mais comum do que o regime de juros simples, sendo utilizado nas principais operaes financeiras, tanto investimentos como financiamentos.

Supondo um Capital Inicial PV aplicado durante n perodos a uma taxa de juros i

por perodo, ao final do primeiro perodo os juros e o montante devidos seriam:

Juros1 = PV i

FV1 = PV + Juros1 = PV + PV i = PV (1 + i)

No final do segundo perodo, os juros incidiro sobre o valor acumulado no final do primeiro perodo (FV1). Os juros e o montante devidos no final do 2 perodo so:

Juros2 = FV1 i = PV (1 + i) i

FV2 = FV1 + Juros2 = PV (1 + i) + PV (1 + i) i = PV (1 + i)2




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Sucessivamente, o Valor Futuro (FV) de um principal (PV) aplicado a uma taxa de

juros compostos i, por um prazo n, dado por:

FV = PV (1 + i)n

Exemplo 3.1: Determinar os juros e o valor de resgate de um emprstimo de R$ 50.000,00, com taxa de juros compostos de 5% a.m., com prazo de 3 trimestres. Comparar os resultados com o do Exemplo 1.5.

Soluo : PV = 50.000,00

n = 3 trimestres = 9 meses

i = 5% a.m.

Juros = ?

FV = ?

FV = PV (1 + i)n = 50.000,00 (1 + 5%)9 = 77.566,41

Frmula dos Juros Compostos




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Exerccios Resolvidos

Ms PV Juros Mensais FV

1 50.000,00 5% 50.000,00 = 2.500,00 52.500,00

2 52.500,00 5% 52.500,00 = 2.625,00 55.125,00

3 55.125,00 5% 55.125,00 = 2.756,25 57.881,25

4 57.881,25 5% 57.881,25 = 2.894,06 60.775,31

5 60.775,31 5% 60.775,31 = 3.038,77 63.814,08

6 63.814,08 5% 63.814,08 = 3.190,70 67.004,78

7 67.004,78 5% 67.004,78 = 3.350,24 70.355,02

8 70.355,02 5% 70.355,02 = 3.517,75 73.872,77

9 73.872,77 5% 73.872,77 = 3.693,64 77.566,41

Exemplo 3.1 (continuao):

Crescimento do dinheiro a juros compostos




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Exemplo 3.1 (continuao): Crescimento linear dos juros simples e exponencial dos juros compostos.

50.000,00

55.000,00

60.000,00

65.000,00

70.000,00

75.000,00

80.000,00

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Meses

Va

lor

Fu

turo

(R

$)

Juros Compostos

Juros Simples





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Os clculos a juros compostos podem ser realizados facilmente atravs de calculadoras financeiras ou planilhas eletrnicas.

No presente curso ser usada a calculadora HP-12C e a planilha Microsoft Excel.

A calculadora HP-12C possui cinco funes financeiras bsicas:

Nesta aula, sero usadas as funes PV, n, i e FV. A funo PMT ser analisada

com detalhes na Aula 5. Por enquanto, ser assumido que o valor das prestaes (PMT) zero.


PV Valor Presente

n Tempo

i Taxa de Juros

FV Valor Futuro

PMT Prestaes




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Antes de resolver qualquer exerccio, importante limpar a memria da calculadora HP-12C, o que pode ser feito com o auxlio das funes:

importante tambm informar para a calculadora HP-12C o regime de capitalizao de juros a ser usado (simples ou composto).

Quando o C est ativado no visor, a calculadora faz os clculos a juros compostos, tanto na parcela fracionria como na inteira de tempo.

Quando o C est desativado no visor, a calculadora faz os clculos a juros simples na parcela fracionria e a juros compostos na parte inteira de tempo.

Para ativar ou desativar o C, deve-se teclar [STO] [EEX].

Conveno de sinais: entradas de caixa devem ser inseridas com sinal positivo, e sadas de caixa com sinal negativo.

A funo [CHS] permite mudar o sinal de uma varivel (de positivo para negativo e vice-versa).


[CLX] Limpa somente o visor da HP-12C

f [FIN] Limpa somente as memrias financeiras da HP-12C

f [REG] Limpa todas as memrias da HP-12C




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Exemplo 3.1 (continuao): O presente exemplo poderia ser facilmente resolvido utilizando as funes financeiras da HP-12C.

Soluo : PV = 50.000,00

n = 3 trimestres = 9 meses

i = 5% a.m.

Juros = ?

FV = ?

O valor de resgate do financiamento de R$ 77.566,41, valor idntico ao encontrado pela frmula algbrica dos juros compostos.

Vale destacar que o valor presente foi inserido com valor positivo (recebimento do emprstimo de R$ 50.000,00) e o valor futuro negativo, correspondente a um pagamento a ser feito para liquidar o financiamento no vencimento.


50.000,00 PV

9 n

5 i

0,00 PMT

FV - 77.566,41

Soluo na HP-12C




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O Microsoft Excel possui 5 funes financeiras bsicas, anlogas s da HP-12C:

Neste curso, os exerccios so ilustrados com o Microsoft Excel em portugus.

As funes VP, Nper, Taxa e VF so estudadas nesta aula, enquanto as funes PGTO e Tipo so analisadas na Aula 5.

As funes financeiras do Excel so acionadas atravs do menu Inserir Funo, e selecionando a categoria Financeira, conforme pode ser visto no prximo slide.


Descrio Funo

(Verso em Ingls)

Funo

(Verso em Portugus)

Valor Presente PV (Rate; Nper; PMT; FV; Type ) VP (Taxa; Nper; PGTO; VF; Tipo)

Tempo Nper (Rate; PMT; PV; FV; Type ) Nper (Taxa; PGTO; VP; VF; Tipo)

Taxa de Juros Rate (Nper; PMT; PV; FV; Type ) Taxa (Nper; PGTO; VP; VF; Tipo)

Valor Futuro FV (Rate; Nper; PMT; PV; Type ) VF (Taxa; Nper; PGTO; VP; Tipo)

Prestaes PMT (Rate; Nper; PV; FV; Type ) PGTO (Taxa; Nper; VP; VF; Tipo)




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Exerccios Resolvidos Menu de funes financeiras do Microsoft Excel

Boto para inserir funo na clula

marcada

Selecionada a categoria

Financeira

Selecionada a funo VF

(Valor Futuro)




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Exemplo 3.1 (continuao): O presente exemplo poderia ser facilmente resolvido no Microsoft Excel atravs da funo financeira VF (Taxa; Nper; PGTO; VP; Tipo), conforme pode ser visto abaixo:





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Exemplo 3.2: Determinar o valor de resgate de um emprstimo de R$ 50.000,00, com taxa de juros de 5% a.m. e prazo de 15 dias. Fazer os clculos no regime de juros simples e compostos. Obs.: Assumir o ms com 30 dias.

Soluo : PV = 50.000,00

n = 15 dias = 0,5 ms

i = 5% a.m.

FV = PV (1 + i n) = 50.000,00 (1 + 5% 0,5) = 51.250,00

FV = PV (1 + i)n = 50.000,00 (1 + 5%)0,5 = 51.234,75

possvel notar que, quando n fracionrio, o dinheiro a juros simples

(R$ 51.250,00) cresce mais rpido que a juros compostos (R$ 51.234,75).


Juros Simples

Juros Compostos




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Soluo na HP-12C : Nesse exemplo, como n fracionrio, preciso informar para a HP-12C o regime de capitalizao de juros a ser usado (simples ou composto). Para ativar ou desativar o C, deve-se teclar [STO] [EEX].

Portanto, quando o C est ativado no visor, os clculos so sempre feitos a juros compostos (R$ 51.234,75), e quando o C est desativado, os clculos so feitos a juros simples na parcela fracionria de tempo (R$ 51.250,00).


[STO] [EEX] C Desativado

50.000,00 PV

0,5 n

5 i

0,00 PMT

FV - 51.250,00

[STO] [EEX] C Ativado

50.000,00 PV

0,5 n

5 i

0,00 PMT

FV - 51.234,75




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Exemplo 3.2 (continuao): Soluo no Microsoft Excel

As funes financeiras do Microsoft Excel sempre realizam os clculos a juros compostos, tanto na parcela fracionria como na inteira de tempo. Para o clculo do resultado a juros simples, deve ser usada a frmula algbrica.





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Exemplo 3.3: Mostrar a evoluo do valor de resgate de um emprstimo de R$ 50.000,00, com taxa de juros de 5% a.m. e prazos de 10, 20, 30, 40, 50 e 60 dias. Fazer os clculos no regime de juros simples e compostos. Obs.: Ms com 30 dias.

Soluo : PV = 50.000,00 ; i = 5% a.m. ;

FV = PV (1 + i n) = 50.000,00 (1 + 5% 0,3333) = 50.833,33

FV = PV (1 + i)n = 50.000,00 (1 + 5%)0,3333 = 50.819,82

Quando n fracionrio, o dinheiro a juros simples (R$ 50.833,33) cresce mais rpido do que a juros compostos (R$ 50.819,82).


ms 0,3333 30

10 dias 10 n


50.000,00 PV

10 [ENTER] 30 [ / ] n

5 i

0,00 PMT

FV - 50.833,33


50.000,00 PV

10 [ENTER] 30 [ / ] n

5 i

0,00 PMT

FV - 50.819,82




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PV = 50.000,00 ; i = 5% a.m. ;

FV = PV (1 + i n) = 50.000,00 (1 + 5% 0,6666) = 51.666,67

FV = PV (1 + i)n = 50.000,00 (1 + 5%)0,6666 = 51.653,08

Conforme esperado, uma vez que n fracionrio, o dinheiro a juros simples (R$ 51.666,67) cresce mais rpido do que a juros compostos (R$ 51.653,08).


ms 0,6666 30

20 dias 20 n


50.000,00 PV

20 [ENTER] 30 [ / ] n

5 i

0,00 PMT

FV - 51.666,67


50.000,00 PV

20 [ENTER] 30 [ / ] n

5 i

0,00 PMT

FV - 51.653,08




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PV = 50.000,00 ; i = 5% a.m. ;

FV = PV (1 + i n) = PV (1 + i ) = 50.000,00 (1 + 5% 1) = 52.500,00

FV = PV (1 + i)n = PV (1 + i ) = 50.000,00 (1 + 5%)1 = 52.500,00

Quando n igual a 1, o dinheiro a juros simples (R$ 52.500,00) coincide com o dinheiro a juros compostos (R$ 52.500,00).


ms 1 dias 30 n


50.000,00 PV

1 n

5 i

0,00 PMT

FV - 52.500,00


50.000,00 PV

1 n

5 i

0,00 PMT

FV - 52.500,00




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PV = 50.000,00 ; i = 5% a.m. ;

FV = PV (1 + i n) = 50.000,00 (1 + 5% 1,3333) = 53.333,33

FV = PV (1 + i)n = 50.000,00 (1 + 5%)1,3333 = 53.360,81

Nesse caso, com o C desativado, a calculadora faz os clculos a juros simples na parcela fracionria e a juros compostos na parte inteira do tempo, obtendo um valor (R$ 53.375,00) diferente do calculado pela frmula dos juros simples (R$ 53.333,33).

FV = 50.000,00 (1 + 5%)1 (1 + 5% 0,3333) = 53.375,00


ms 1,3333 dias 40 n


50.000,00 PV

40 [ENTER] 30 [ / ] n

5 i

0,00 PMT

FV - 53.375,00


50.000,00 PV

40 [ENTER] 30 [ / ] n

5 i

0,00 PMT

FV - 53.360,81




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PV = 50.000,00 ; i = 5% a.m. ;

FV = PV (1 + i n) = 50.000,00 (1 + 5% 1,6666) = 54.166,67

FV = PV (1 + i)n = 50.000,00 (1 + 5%)1,6666 = 54.235,73

Nesse caso, com o C desativado, a calculadora faz os clculos a juros simples na parcela fracionria e a juros compostos na parte inteira do tempo, obtendo um valor (R$ 54.250,00) diferente do calculado pela frmula dos juros simples (R$ 54.166,67).

FV = 50.000,00 (1 + 5%)1 (1 + 5% 0,6666) = 54.250,00


ms 1,6666 dias 50 n


50.000,00 PV

50 [ENTER] 30 [ / ] n

5 i

0,00 PMT

FV - 54.250,00


50.000,00 PV

50 [ENTER] 30 [ / ] n

5 i

0,00 PMT

FV - 54.235,73




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PV = 50.000,00 ; i = 5% a.m. ;

FV = PV (1 + i n) = 50.000,00 (1 + 5% 2) = 55.000,00

FV = PV (1 + i)n = 50.000,00 (1 + 5%)2 = 55.125,00

Uma vez que n s tem parte inteira (2 meses), com C ativado ou no, a calculadora gera o mesmo resultado, referente ao clculo a juros compostos.

No ocorre a capitalizao mista, decorrente do clculo com C desativado,

pois no existe parte fracionria do n.


meses 2 dias 60 n


50.000,00 PV

2 n

5 i

0,00 PMT

FV - 55.125,00


50.000,00 PV

2 n

5 i

0,00 PMT

FV - 55.125,00




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Exemplo 3.3 (continuao): A evoluo do valor de resgate do investimento vista abaixo.


Tempo (Dias)

Tempo (Meses)

FV a Juros Simples

FV a Juros Compostos

0 0,00 50.000,00 50.000,00

10 0,33 50.833,33 50.819,82

20 0,67 51.666,67 51.653,08

30 1,00 52.500,00 52.500,00

40 1,33 53.333,33 53.360,81

50 1,67 54.166,67 54.235,73

60 2,00 55.000,00 55.125,00




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Exemplo 3.3 (continuao): A evoluo mensal do investimento vista abaixo.


FV

n 0 1 n > 1 n < 1

Juros Compostos

Juros Simples




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Exemplo 3.4: Calcular o resgate de um investimento de R$ 1.000,00, com taxa de juros de 20% a.a. e prazo de 2,5 anos, nos regimes de juros simples, compostos e misto (juros simples na parte fracionria e juros compostos na parte inteira).

Soluo : PV = 1.000,00 ; i = 20% a.a. ; n = 2,5 anos ;

FV = PV (1 + i n) = 1.000,00 (1 + 20% 2,5) = 1.500,00

FV = PV (1 + i)n = 1.000,00 (1 + 20%)2,5 = 1.577,44

FV = 1.000,00 (1 + 20%)2 (1 + 20% 0,5) = 1.584,00

Nesse caso, com o C desativado, a calculadora faz os clculos a juros simples na parcela fracionria e a juros compostos na parte inteira do tempo, obtendo um valor de capitalizao mista.



1.000,00 CHS PV

2,5 n

20 i

0,00 PMT

FV 1.584,00


1.000,00 PV

2,5 n

20 i

0,00 PMT

FV 1.577,44




Slide 23 EEIMVR

Exemplo 3.4 (continuao): Soluo no Microsoft Excel

As funes financeiras do Microsoft Excel sempre utilizam juros compostos, tanto na parcela fracionria como na inteira de tempo. O clculo do resultado na capitalizao simples ou mista deve ser feito atravs das frmulas algbricas.





Slide 24 EEIMVR

Exemplo 3.5: Determinar o valor de resgate de um investimento de R$ 15.000,00, aplicado a uma taxa de juros de 1,8% a.m., por um prazo de 4 semestres.

Soluo : PV = 15.000,00

i = 1,8% a.m.

n = 4 semestres = 24 meses

FV = PV (1 + i)n = 15.000,00 (1 + 1,8%)24 = 23.016,43


15.000,00 CHS PV

1,8 i

24 n

0,00 PMT

FV 23.016,43

Soluo na HP-12C

Juros Compostos




Slide 25 EEIMVR

Exemplo 3.5 (continuao): O exemplo seria resolvido no Microsoft Excel atravs da funo financeira VF (Taxa; Nper; PGTO; VP; Tipo), como pode ser visto abaixo:





Slide 26 EEIMVR

Exemplo 3.6: Calcular o investimento necessrio para se produzir um montante de R$ 23.000,00, a uma taxa de juros de 18,2% a.a., daqui a 288 dias. Considerar o ano comercial.

Soluo : FV = 23.000,00 ; i = 18,2% a.a. ;

PV = ?

FV = 23.000,00 = PV (1 + 18,2%)0,80

PV = 20.120,27


23.000,00 FV

18,2 i

288 [ENTER] 360 [ / ] n

0,00 PMT

PV - 20.120,27

Soluo na HP-12C

ano 0,80 360

288dias 288 n




Slide 27 EEIMVR

Exemplo 3.6 (continuao): O exemplo seria resolvido no Microsoft Excel atravs da funo financeira VP (Taxa; Nper; PGTO; VF; Tipo), como pode ser visto abaixo:





Slide 28 EEIMVR

n = 6,12 anos

Exemplo 3.7: Determinar o prazo necessrio para um capital dobrar, a uma taxa de juros de 12% a.a..

Soluo : PV = 100,00 ; FV = 200,00 ; i = 12% a.a. ; n = ?

200,00 = 100,00 (1 + 12%)n


200,00 FV

100,00 CHS PV

12 i

0,00 PMT

n 7,0

Soluo na HP-12C Nesse caso, o valor de PV deve ser inserido na HP-12C com sinal negativo (investimento, sada de caixa), e o FV com sinal positivo (resgate no final, entrada de caixa).

A HP-12C no mostra o resultado de n

exato (6,12 anos), aproximando-o para o inteiro superior (7 anos).

12% 1 Ln 100

200Ln

n




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Exemplo 3.7 (continuao): O valor de PV tambm deve ser inserido no Excel com sinal negativo (investimento) e o FV com sinal positivo (resgate no final). O Excel

apresenta o resultado de n exato (6,12 anos), atravs da funo financeira Nper (Taxa; PGTO; VP; VF; Tipo), como pode ser visto abaixo:





Slide 30 EEIMVR

i = 5,30% a.a.

Exemplo 3.8: Qual a taxa anual de juros que produz um montante de R$ 68.000,00 a partir de um investimento de R$ 45.000,00 no fim de 8 anos?

Soluo : FV = 68.000,00 ; PV = 45.000,00 ; n = 8 anos ; i = ? ;

68.000,00 = 45.000,00 (1 + i )8


68.000,00 FV

45.000,00 CHS PV

8 n

0,00 PMT

i 5,30

Soluo na HP-12C

i 145.000,00

68.000,00

45.000,00

68.000,001/8

8




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Exemplo 3.8 (continuao): O Exemplo 3.8 seria resolvido no Microsoft Excel atravs da funo financeira Taxa (Nper; PGTO; VP; VF; Tipo), como pode ser visto abaixo:





Slide 32 EEIMVR

i = 39,75% a.a.

Exemplo 3.9: Qual a taxa anual de juros que faz com que um capital de R$ 100.000,00 se transforme num montante de R$ 125.000,00 no fim de 8 meses?

Soluo : FV = 125.000,00 ; PV = 100.000,00 ;

125.000,00 = 100.000,00 (1 + i )8/12


125.000,00 FV

100.000,00 CHS PV

8 [ENTER] 12 [ / ] n

0,00 PMT

i 39,75

Soluo na HP-12C

i 1 100.000,00

125.000,00

100.000,00

125.000,00

12/8

8/12

ano 0,67 128meses 8 n




Slide 33 EEIMVR

Exemplo 3.10: Um investidor resgatou R$ 65.000,00 aps aplicar R$ 50.000,00 a uma taxa de 1% a.m.. Qual foi o prazo da operao?

Soluo : FV = 65.000,00

PV = 50.000,00

i = 1% a.m.

65.000,00 = 50.000,00 (1 + 1%)n

n = 26,37 meses


65.000,00 FV

50.000,00 CHS PV

1 i

0,00 PMT

n 27,00

Soluo na HP-12C

1% 1 Ln 50.000,00

65.000,00Ln

n

A HP-12C no mostra o resultado de n

exato (26,37 meses), aproximando-o para o

inteiro superior (27 meses).




Slide 34 EEIMVR

Exemplo 3.11: Um empresrio comprou um equipamento no valor de R$ 80.000,00. Ele pagou R$ 20.000,00 a vista e se comprometeu a pagar R$ 55.000,00 ao final de 4 meses. Sabendo que a taxa de juros de 2% a.m., determine o pagamento a ser feito ao final do 6 ms para liquidar a dvida.

Soluo : O empresrio financiou um valor de R$ 60.000,00 (R$ 80.000,00 R$ 20.000,00). O 1 passo calcular o valor presente dos R$ 55.000,00 a serem pagos daqui a 4 meses. O empresrio ainda precisa pagar, a valor presente, R$ 9.188,50 (R$ 60.000,00 R$ 50.811,50). Em seguida (2 passo), preciso calcular o valor futuro dos R$ 9.188,50 no ms 6 (R$ 10.347,75).


55.000,00 FV

4 n

2 i

0,00 PMT

PV - 50.811,50

1 Passo na HP-12C

9.188,50 PV

6 n

2 i

0,00 PMT

FV - 10.347,75

2 Passo na HP-12C




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Exemplo 3.12: Um clube de futebol possui uma dvida com um banco, cujos pagamentos de R$ 15.000,00 e R$ 20.000,00 vencem daqui a 3 e 6 meses, respectivamente. O clube procurou o banco e props liquidar a dvida com um pagamento nico de R$ 30.000,00. Determine a poca em que deve ser feito esse pagamento, se a taxa de juros for de 5% a.m..

Soluo : Primeiro preciso calcular o valor presente dos R$ 15.000,00 e R$ 20.000,00, que vencem daqui a 3 e 6 meses, respectivamente. Portanto o clube deve, a valor presente, R$ 27.881,87 (R$ 12.957,56 + R$ 14.924,31).

Em seguida, preciso determinar o n que transforma o PV de R$ 27.881,87 em

um FV de R$ 30.000,00: 30.000,00 = 27.881,87 (1 + 5%)n


15.000,00 CHS FV

3 n

5 i

0,00 PMT

PV 12.957,56

20.000,00 CHS FV

6 n

5 i

0,00 PMT

PV 14.924,31

n = 1,50 ms 5% 1 Ln 27.881,87

30.000,00Ln

n




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Exemplo 3.13: Calcular o montante de um emprstimo de R$ 500.000,00 com prazo de 150 dias, taxa de 12% a.a. (ano civil).

Soluo : Nesse caso, n e i devem ser colocados na mesma base de tempo.

Como n est em dias e i est em anos, uma opo seria colocar n em anos.

Exemplo 3.14: Um grande investidor pagou R$ 100.000,00 por um ttulo de renda fixa, com prazo de 60 meses e taxa de juros de 18% a.a.. Dois anos depois, precisando urgentemente de recursos, vendeu o ttulo no mercado. Determine o valor recebido pelo investidor, sabendo que, no momento da venda, a taxa de juros era 25% a.a..

Soluo : O 1 passo calcular o valor de resgate do ttulo no vencimento (5 anos).


500.000,00 PV

150 [ENTER] 365 [ / ] n

12 i

0,00 PMT

FV - 523.837,50




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Exemplo 3.14 (continuao): Se o investidor aguardasse os 5 anos, receberia R$ 228.775,78 no vencimento. Como vendeu o ttulo faltando 3 anos para o vencimento, ele receber o valor presente do ttulo, calculado pela taxa de mercado vigente no momento da venda (25% a.a.).

Dessa forma, o investidor comprou um ttulo por R$ 100.000,00 e o vendeu por R$ 117.133,20 ao final de 2 anos. A taxa de juros anual recebida pelo investidor nessa operao poderia ser calculada conforme mostrado na 3 tabela.

Deve-se notar que a taxa de juros recebida pelo investidor diminui de 18% a.a. para 8,23% a.a., pois ele no mantm o ttulo at o vencimento e decide vender o papel aps dois anos, quando a taxa vigente no mercado era maior (25% a.a.) do que quando adquiriu originalmente o ttulo.


100.000,00 CHS PV

5 n

18 i

0,00 PMT

FV 228.775,78

228.775,78 CHS FV

3 n

25 i

0,00 PMT

PV 117.133,20

100.000,00 CHS PV

2 n

0,00 PMT

117.133,20 FV

i 8,23




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Exerccios Propostos Juros Compostos 1: Determinar o valor de resgate de um investimento de R$ 20.000,00, aplicado a uma taxa de juros de 3,2% a.m., por um prazo de 4 semestres.

2: Calcular o investimento necessrio para se produzir um montante de R$ 43.000,00, a uma taxa de juros de 16,5% a.a., daqui a 187 dias. Fazer os clculos considerando o ano comercial e o ano civil.

3: Determinar o prazo necessrio para um capital triplicar, a uma taxa de 25% a.a..

4: Qual a taxa semestral de juros que produz um montante de R$ 79.000,00 a partir de um investimento de R$ 50.000,00 no fim de 10 anos?

5: Determinar o valor hoje das seguintes obrigaes: R$ 3.000,00 devidos hoje, R$ 5.000,00 devidos em 5 meses e R$ 9.000,00 devidos em 7 meses, com juros de 3,5% a.a..

6: Um estudante deseja investir uma quantia que lhe permita resgatar R$ 50.000,00 no final de 12 meses e R$ 75.000,00 no final de 24 meses. Determinar o valor do investimento, sabendo que o banco remunera a uma taxa de 6% a.t..

7: Um banco vendeu ttulos de sua emisso por R$ 98.500,00. O ttulo vence em 100 dias, com valor de resgate de R$ 100.000,00. Determinar a taxa anual da operao, considerando o ano civil.




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Exerccios Propostos Juros Compostos 8: Uma pequena empresa deseja reestruturar suas dvidas. Atualmente, ela tem trs obrigaes, nos valores de R$ 30.000,00, R$ 50.000,00 e R$ 80.000,00, com vencimentos em 50, 70 e 90 dias, respectivamente. Ela deseja trocar os trs pagamentos por um nico daqui a 120 dias. Determinar o valor desse pagamento, sabendo-se que a taxa de juros de mercado de 30% a.a. (ano comercial).

9: Um empresrio comprou um veculo no valor de R$ 30.000,00, dando uma entrada de R$ 5.000,00, ficando com uma prestao de R$ 15.000,00 para 3 meses e outra para 6 meses. Determinar o valor da ltima prestao, sabendo-se que a taxa de juros 3% a.b..

10: Um aposentado comprou um certificado de depsito bancrio (CDB) que paga R$ 100.000,00 daqui a 182 dias. Determinar o valor de emisso, para que a taxa de juros na operao seja 17% a.a. (ano comercial).

11: Uma empresa contraiu um financiamento que deve ser liquidado com um pagamento nico no final de 15 meses. A taxa de juros do banco 3,5% a.m., desdobrada em dois componentes: (a) uma taxa de 2,5% a.m. cobrada de forma postecipada; e (b) uma taxa antecipada (em percentagem do valor financiado), cobrada a vista e a ttulo de tarifa de abertura de crdito. Determinar o valor da taxa antecipada para que o custo total do financiamento seja 3,5% a.m..

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