5 INTEGRAIS DEFINIDAS, INDEFINIDAS E SUAS APLICAÇÕES

O conceito de integral tem suas origens no Método da Exaustão, tendo Arquimedes como um de seus grandes desenvolvedores. A motivação deste método foi o cálculo de áreas e volumes de figuras e sólidos com fronteiras curvas.

Todo polígono tem um número associado denominado Área. A área de um retângulo, por exemplo, é definida como sendo o produto da medida da sua base pela da sua altura. Já a área do triângulo é determinada pela metade do produto da medida da sua base pela da altura relativa à base. Como todo polígono pode sempre ser decomposto em triângulos, sua área é a soma das áreas desses triângulos.

2

.hbA = hb

hbA .

2

..2 == ∑=

=3

1 2i

ii hbA

Já o círculo é um pouco mais complexo. Os gregos resolveram o problema de determinar sua área de uma maneira muito natural. Primeiro eles aproximaram essa área, inscrevendo no círculo um quadrado. Depois melhoraram a aproximação, passo a passo, dobrando e redobrando o número de lados, isto é inscrevendo um octógono regular depois um hexadecágono regular (polígono com 16 lados), e assim por diante. As áreas dos polígonos inscritos aproximam-se da área exata do círculo com uma precisão cada vez melhor.

Essa idéia leva à fórmula familiar para a área A de um círculo em termos de seu raio r:

²rA π=

Mas, para conseguir essa exatidão, considera-se que o círculo tenha inscrito nele um polígono regular com um número grande de lados. O qual é subdividido em triângulos isósceles com vértice no centro do círculo. A soma das áreas desses triângulos resulta numa aproximação da área do círculo.

Este é o Método da Exaustão, cujo nome fornece uma boa descrição desse processo, porque a área do círculo é exaurida pelas áreas dos polígonos inscritos.

5.1 O Problema da Área

Seja )(xfy = uma função não-negativa definida num intervalo fechado bxa ≤≤ . Calcular a área da região sob o gráfico de f, acima do eixo das

abscissas e entre as retas verticais ax = e bx = .

Sendo ],[ ba , como definido, um intervalo fechado e a função f contínua nesse intervalo, para cada ponto c pertencente ao intervalo ],[ ba , devemos ter

)()(lim cfxfcx

=→

Para determinar a área da região hachurada abaixo da curva, pode-se utilizar o método da exaustão como segue:

Método da exaustão para o problema da área sob a curva- Dividir o intervalo [a, b] em n subintervalos iguais; - Em cada subintervalo construir o retângulo mais alto que fica inteiramente sob o gráfico;- Anote a soma nS das áreas desses retângulos. Essa soma aproxima a área sob o gráfico e a aproximação é melhorada tomando-se valores cada vez maiores de n;- Calcule a área exata sob o gráfico achando o valor limite ao qual tendem as somas aproximadas nS quando n tende ao infinito

nn

AA+∞→

= lim

Exemplo: Usando o método da exaustão vamos calcular a área A sob a curva ²xy = no intervalo [0, 1].

É fácil perceber que 0 < A < 1, pois A está contida num quadrado de lado

Para aproximar melhor a área A, dividimos a região sob a curva em 4 faixas, utilizando para isto as retas

verticais 4

1=x , 2

1=x e 4

3=x .

Podemos aproximar cada faixa por um retângulo com base igual à largura da faixa e altura igual ao lado direito da faixa. As alturas desses retângulos são os valores da função

²)( xxf = nos extremos direitos dos subintervalos:

1,

4

3

4

3,

2

1,

2

1,

4

1,

4

1,0 e .

Chamando de R1 a soma das áreas desses retângulos, temos:

Como a área A é menor que R1

podemos afirmar que Podemos também aproximar A usando os retângulos menores, cujas alturas são os valores de f nos extremos esquerdos dos

Sendo assim, Podemos repetir esse procedimento para um número maior de

Com 8 faixas, obtemos as somas:

A

3984375,03 ≈R para os retângulos maiores.

2734375,04 ≈R para os retângulos menores.

Assim, melhoramos nossa aproximação da área A sob a curva para:

3984375,02734375,0 << A

Para obter melhores estimativas, basta aumentar o número de faixas.

A tabela ao lado mostra os resultados parao cálculo da área A usando n retângulos.

Observe que com 1000 retângulos obtivemos um bom estreitamento da desigualdade.

Uma estimativa adequada é obtida fazendo-se a média aritmética dos valores desse intervalo.

Portanto, 3

13333335,0 ≈≈A .

Há outra forma de comprovar que a soma das áreas dos retângulos é aproximadamente 1/3 : utilizando o limite da soma dos n retângulos, quando n tende ao infinito no sentido positivo. Veja:

Rn é a soma dos n retângulos superiores. Cada retângulo tem largura igual a 1/n e alturas determinadas pela função ²)( xxf = nos pontos 1/n , 2/n , 3/n , ...,

n/n. Isto é, as alturas são: 2222

,...,3

,2

,1

n

n

nnn.

Assim: 2222

1...

312111

++

+

+

=

n

n

nnnnnnnR

n

Fatorando temos: ( )²...²3²2²1.²

1.

1n

nnR

n++++=

Como a soma dos quadrados dos n primeiros números inteiros positivos é ( )( )

6

121²...²3²2²1

++=++++ nnnn

Obtemos: ( )( )

6

121

³

1 ++= nnn

nR

n

Ou seja: ( )( )

²6

121

n

nnR

n

++=

n Área10 0,2850000 < A < 0,385000050 0,3234000 < A < 0,3434000100 0,3283500 < A < 0,33835001000

0,3328335 < A < 0,3338335

Calculando o limite de Rn quando n tende ao infinito, temos:

( )( )3

12.1.

6

112

11

6

1lim

121

6

1lim

²6

121limlim ==

+

+=

+

+=++=

+∞→+∞→+∞→+∞→ nnn

n

n

n

n

nnR

nnnn

n

O mesmo pode ser mostrado para as somas dos n retângulos inferiores.Assim, a área A da região sob a curva é definida pelo limite da soma das áreas

dos retângulos aproximantes. O que nos leva a concluir que 3

1=A .

5.2 A Antiderivada

A antidiferenciação é a operação contrária da diferenciação. Por exemplo, dada xxxf 212)( 2 += e 54)( 23 ++= xxxF , temos que

xxxF 212)(' 2 += , então, dizemos que F(x) é antiderivada de xxxf 212)( 2 += . Concluímos que uma função F será chamada de antiderivada de uma função f num intervalo I, se )()(' xfxF = para todo x no intervalo I. Observe que se 174)( 23 −+= xxxG possui derivada xxxG 212)(' 2 += , então G(x) também é antiderivada de f (x), embora )()( xFxG ≠ . A única diferença entre F(x) e G(x) é o valor da constante, +5 e -17. Concluímos então que toda função do tipo CxxxH ++= 234)( é antiderivada de f. Antidiferenciação é o processo de encontrar o conjunto de todas as antiderivadas de uma função. O símbolo ∫ denota a antidiferenciação e escrevemos ∫ += CxFdxxf )()( , onde )()(' xfxF = e também podemos dizer dxxfxFd )())(( = . Usamos

dxxf )( dentro de ∫ para dizer que a função f (x) é a derivada com relação a x de alguma função. Às antiderivadas também chamaremos de integrais.

Encontraremos as antiderivadas utilizando algumas regras:

I) A integral da derivada de x é igual a x mais uma constante arbitrária C.

Cxdx +=∫ .

II) Se n for um número racional, ∫ ++

=+

Cn

xdxx

nn

1

1

, 1−≠n .

A afirmação acima diz que a derivada de Cn

xn

++

+

1

1

é nx . Confira o resultado.

Exemplo: =∫ dxx2

Exemplo: ∫∫ == − dxxdxx

22

1

Exemplo: ∫∫ == dxxdxx 3

13

III) A integral da constante a vezes a função é igual a constante a vezes a integral da função.

( ) ( )dxxfadxxaf∫ ∫= .

Ex: ==∫ ∫ dxxdxx 33 44

IV) A integral da soma é a soma das integrais.Se f1 e f2 forem definidas no mesmo intervalo, então

( ) ( ) ( ) ( )∫∫ ∫ +=+ dxxfdxxfdxxfxf 2121 ][ .

Ex: ( ) ∫ ∫∫∫ =−++=−+ dxdxxdxxdxxx 174174 2323

Atividades

1. Faça a antidiferenciação e verifique o resultado calculando a derivada da sua resposta.

a) ∫ + dxx )53(

b) ∫ +−+− dxxxxx )72985( 234

c) ∫ + dxx

xx )1

(

d) ∫+

dt

t

t

3

4

2 75

e) ∫ dxx43

f) ∫ dxx72

g) ∫ dxx3

1

h) ∫ dxt 5

3

i) ∫ duu 2

3

5

j) ∫ dxx3 210

k) ∫ dxx3

2

l) ∫ dyy

3

m) ∫ dttt 326

n) ∫ dxxx37

o) ∫ + dxxx )4( 23

p) ∫ − duuu )23( 35

q) ∫ − dyyyy )32( 23

r) ∫ − dxxx )5( 24

s) ∫ +− dttt )23( 2

t) ∫ −+− dtxxx )1634( 23

u) ∫ +−−+ dxxxxx )54648( 234

v) ∫ −+ dxxx )832( 32

x) ∫ + dxxx )1(

y) ∫ ++ dxcbxax )( 23

z) ∫ − dxxx )( 2

3

a1) ∫

− dx

xx

1

b1) ∫

++ dx

xx5

3223

c1) ∫

+− dx

xx 24

113

d1) ∫

−+dx

x

xx 442

e1) ∫

−+dy

y

yy 12 24

f1) ∫

+ dx

xx

3

3 1

g1) ∫

−dt

t

t3

3 127

Observe que quando calculamos uma integral, por exemplo: ∫ += Cxdxx 23 ,

onde C é qualquer valor real. Para cada valor de C obtemos uma curva diferente, neste caso deslocamos a curva 2)( xxf = em C unidades para cima e para baixo na direção do eixo y. No mesmo plano cartesiano faça um esboço dos gráficos de Cxxf += 2)( para }5,2,0,3{−=C

A equação Cxxf += 2)( representa uma família de curvas. Para obtermos a curva específica que passa pelo ponto (2, 6), fazemos:

24626 2 =⇒=−⇒+= CCC . A equação procurada então é 2)( 2 += xxf que esboçamos no gráfico acima.

Atividades

2. Em qualquer ponto (x, y) de uma determinada curva, a reta tangente tem uma inclinação igual a 4x – 5. Se a curva contém o ponto (3, 7), ache a sua equação.Lembrete: A inclinação da reta tangente a uma curva em qualquer ponto (x, y) é a derivada nesse ponto.

3. O ponto (3, 2) está numa curva em qualquer ponto (x, y) sobre a curva a inclinação da reta tangente é igual a 2x – 3. Ache uma equação da curva.

4. A inclinação da reta tangente num ponto qualquer (x, y) de uma curva é x3 . Se o ponto (9, 4) está na curva, ache uma equação para ela.

5. Os pontos (-1, 3) e (0, 2) estão numa curva e em qualquer ponto (x, y) da

curva xdx

yd42

2

2

−= . Ache uma equação da curva.

Sugestão: faça dx

dy

dx

yd '2

2

= e obtenha uma equação envolvendo y’, x, e uma

constante arbitrária 1C . Dessa equação, obtenha uma outra envolvendo y, x,

1C e 2C . Usando as condições, calcule 1C e 2C .

Antiderivadas de Funções Trigonométricas

As integrais abaixo são consequencias diretas das derivadas das funções trigonométricas conhecidas.

I) Função Seno.

Se f (x) = sen(x) então ∫ +−= Cxdxsenx cos .

II) Função Cosseno.

Se f (x) = cos(x) então ∫ += Csenxdxxcos .

III) Função Secante ao quadrado.

Se f (x) = )(sec2 x então ∫ += Ctgxdxx2sec .

IV) Função Cossecante ao quadrado..

Se f (x) = )(cos 2 xec então ∫ +−= Cgxdxx cotseccos 2 .

V) Função Secante vezes a tangente.

Se f (x) = )()sec( xtgx então ∫ += Cxdxtgxx secsec .

VI) Função Cossecante vezes cotangente.

Se f (x) = )(cot)(cos xgxc então ∫ +−= Cecxdxgxecx coscotcos .

Exemplo: ( )∫ =− dxxectgxx 2cos5sec3

Algumas identidades trigonométricas frequentemente usadas no cálculo de antiderivadas trigonométricas:

1cos =ecxsenx

1seccos =xx

1cot =gxtgx

)cos(

)()(

x

xsenxtg =

)(

)cos()(cot

xsen

xxg =

)cos(

1)sec(

xx =

)(

1)(cos

xsenxc =

1)(cos)( 22 =+ xxsen

xxtg 22 sec 1)( =+xxg 22 cosec 1)(cot =+

( ))2cos(12

1)(2 ttsen −=

)cos()()cos()()( absenbasenbasen ±=±)()()cos()cos()cos( bsenasenbaba =±

)cos()(2)2( xxsenxsen =)()(cos)2cos( 22 xsenxx −=

Exemplo: ∫ =−dx

senx

xsengx 23cot2

Exemplo: ( )∫ =++ dxxgxtg 4cot 22

Atividades

6. Faça a antidiferenciação e verifique o resultado calculando a derivada da sua resposta.

a) ( )∫ =− dttsent cos23

b) ( )∫ =− dxsenxx 4cos5

c) ∫ =dxx

senx2cos

d) ∫ =dxxsen

x2

cos

e) ( )∫ =+ dxxgxecx 2sec2cotcos4

f) ( )∫ =− dttgtttec sec5cos3 2

g) ( )∫ =− θθθ dtgg 22 3cot2

h) ∫ =− θθ

θθd

tg

cos

cos43 2

Regra da Cadeia para a Antidiferenciação

Para calcular a derivada de 102 )1(10

1)( xxf += aplicamos a regra da cadeia, e

obtemos: )2()1()'1()1(10

10)´( 92292 xxxxxf ⋅+=+⋅+= . Para calcular

∫ + dxxx )2()1( 92 , vemos que fazendo )1()( 2xxg += e que xxg 2)(' = , temos

∫ dxxgxg )(')( 9 . Ainda fazendo g(x) = u, temos )1( 2xu += e

dxx

duxdxdu =⇒=

22 . Fazendo as substituições temos:

∫ ∫ ++=+== CxCu

duux

duxu 102

1099 )1(

102)2( .

Resultado: Se g for uma função diferenciável e se n for um número racional,

Cn

xgdxxgxg

nn +

+=

+

∫ 1

)]([])('[)]([

1

, para 1−≠n .

Note que fizemos uma substituição, )1( 2xu += e, na prática, é utilizado o termo “integral por substituição”, ao invés de regra da cadeia para integrais.

Exemplo: Calcule dxx∫ +43 .

Fazendo ( ) dxx∫ + 2

1

43 , utilizamos a substituição 43 += xu

Exemplo: Calcule dxxx∫ + 832 )25( .

Exemplo: Calcule dxxx∫ )cos( 2 .

Exemplo: Calcule dxxx∫ +12 . Fazemos 22 )1(11 −=⇒−=⇒+= uxuxxu , e

prosseguimos os cálculos.

Atividades

7. Calcule a integral por substituição, ou seja, utilizando a regra da cadeia:

a) dxx

xsen∫b) dyy∫ −41

c) dxx∫ −3 43

d) dxx∫ −3 26

e) drr∫ +15

f) dxxx∫ +92

g) dxxx∫ − 243

h) ( ) dxxx∫ − 1032 1

i) ( ) dxxx∫ + 62 12

j) dxxx∫ −3 22 )49(5

k) dxx

x∫ + 32 )1(

l) dyy

y∫ − 54

3

)21(

m) dss

s∫ +13 2

n) ( ) dxxx∫ +− 3

42 44

o) dxxx∫ −53 54

p) dxxx∫ +2

q) dtt

t∫ +3

r) ( ) drr

r∫ − 71

2

s) ( ) dxxx∫ − 1223 2

t) dxxx∫ −232

u) ( ) dxxx∫ + 4

135 3

v) θθd∫ 4cos

x) dxx

sen∫ 3

1

y) dxsenxx∫ 326

z) dttt∫ 24cos2

1

a1) dxx∫ 5sec2

b1) θθdec∫ 2cos 2

c1) dyygyecy∫ 22 3cot3cos

d1) drrr∫ 322 sec

e1) ( ) dxsenxx∫ + 52cos

f1) ( ) dxx

senx∫ + 2cos1

4

g1) 23

11

x

dx

x∫ +

h1) 2

11

t

dt

t∫ −

i1) dxxsenx∫ +3 cos12

j1) dxxxsen∫ − 2cos22

k1) dttsent∫ 2cos

l1) θθθ dsen∫ cos3

m1) ( ) dxxgxtg∫ + 22cot2

n1) dx

xsen

x

∫4

14

1cos

2

1

o1) dxxsen

x∫ − 321

3cos

p1) dtt

t∫ 3sec2

q1) ( )

dxxx

xx∫ ++

+13

223

2

r1) ( ) dxxxxx∫ −−+ 422 241

s1) ( ) dsss∫ ++ 213

t1) ( )

( )dy

y

y∫

−

+

3

2

3

3

u1) ( ) dttt∫ + 33

12 12

v1) drr

r∫

+3 2

43

1

)2(

x1) dtt

t

tt

−

+∫ 2

22

3

11

y1) dx

x

x∫

+ 2

32

3

)4(

z1) dxx

x∫ − 2

3

21

a2) dxxsenxsen∫ )(cos

b2) dxxxtgx∫ )cos(secsec

Integral da Função Exponencial e Logarítmica

Função exponencial é toda a função cuja variável independente esteja no expoente, ou seja, uma função da forma xaxf =)( onde a > 0, 1≠a é uma função exponencial e o número real a é a base.

A integral de tal função é dada por Ca

adxa

xx +=∫ ln

, onde a

ea logln = , ou seja,

ln a é o logaritmo neperiano de a, que nada mais é que o logaritmo cuja base é o número de euler.

Exemplo: ∫∫ = dxdxx

x 2

33 1010 , fazendo a substituição

dxdu

dxdux

u =⇒=⇒=3

2

2

3

2

3, temos: Cdudu

uuu +⋅==∫ ∫ 10ln

10

3

210

3

2

3

210 .

Retornando a substituição, finalizamos: C

x

+⋅10ln

10

3

2 2

3

.

Quando a base da função exponencial é o número de euler e, temos a função exponencial natural xexf =)( . Utilizando a função acima, temos:

CeCe

Ce

edxe x

xxx +=+=+=∫ 1ln

.

Exemplo: =∫ dxex

2

3

, fazendo a substituição dxdu

dxdux

u =⇒=⇒=3

2

2

3

2

3,

temos: Ceduedue uuu +⋅==∫ ∫ 3

2

3

2

3

2. Retornando a substituição, finalizamos:

Cex

+⋅ 2

3

3

2.

Quando a base do logaritmo é o número de euler e temos aelog , que chamamos de lna. Tal função é conhecida como logarítmica natural ou logaritmo neperiano e obedece as mesmas regras de logaritmos. Se u for uma

função de x diferenciável, e uuf ln)( = , então duuu

dfuudu

df'

1'

1 =⇒= , aplicando

a antiderivada em ambos os lados da igualdade,

Cuufduuu

df +=⇒= ∫∫ ln)('1

.

Observação: Lembramos que o domínio da função logarítmica são os reais positivos excluindo o zero. Portanto, os valores considerados para as equações abaixo que estão nos logaritmos neperianos devem ser apenas as imagens reais e positivas. O sinal de valor absoluto que aparece nos livros de cálculo foi omitido.

Exemplo: Calcule ∫ +dx

x

x

13

2

.

Fazemos a seguinte substituição de variáveis: dxx

dudxxduxu =⇒=⇒+=

223

331 .

Então CxCuduux

du

u

xdx

x

x ++=+==⋅=+ ∫∫∫ )1ln(

3

1ln

3

11

3

1

313

2

2

3

2

.

Exemplo: Encontrar ∫ ++

dxx

x

1

22

Como 1

22

++

x

x é uma fração racional imprópria, pois temos duas raízes no

polinômio do numerador e uma raiz no polinômio do denominador (isso caracteriza a fração racional imprópria), dividimos o numerador pelo

denominador, 1

31

1

22

++−=

++

xx

x

x. Então:

∫∫ +++−=+

+−=++

Cxxxdxx

xdxx

x)1ln(3

2

1

1

31

1

2 22

.

Exemplo: Calcule ∫ dxx

xln

Faz-se a substituição: dxxdux

dxduxu =⇒=⇒= ln . Então temos:

∫ ∫∫ +=+=== CxCuuduxdux

udx

x

x2

12 )(ln

2

1

2

1ln.

A partir da integral do logaritmo neperiano, podemos obter a fórmula da integral de funções trigonométricas que não foram vistas até então:

I) Função tangente: dxx

senxdxtgx ∫∫ =

cos.

Fazendo a substituição de variáveis: dxsenx

dudxsenxduxu =

−⇒−=⇒= cos

temos:

∫ ∫∫ +−=+=−=−

⋅= CxCuu

du

senx

du

u

senxdx

x

senx)ln(cosln

)(cos, por propriedade

de logaritmo, fazemos

CxCx

CxCxxf +=+

=+=+−= − secln

cos

1ln)ln(cos)ln(cos)( 1 .

Exemplo: Calcule =∫ dxxtg3

II) Função Cotangente: dxsenx

xdxgx ∫∫ = cos

cot

Fazendo a substituição de variáveis: dxx

dudxxdusenxu =⇒=⇒=

coscos temos:

∫ ∫∫ +=+==⋅= CsenxCuu

du

x

du

u

xdx

senx

x)ln(ln

cos

coscos.

Exemplo: Calcule ∫ dxxg3cot

III) Função Secante: )ln(secsec tgxxdxx +=∫Multiplicamos e dividimos tal função por (secx + tgx).

∫∫∫ ++=

++= dx

tgxx

xtgxxdx

tgxx

tgxxxdxx

sec

secsec

sec

secsecsec

2

. Fazendo a substituição

dxxxtgx

dudxxxtgxdutgxxu =

+⇒+=⇒+=

22

secsecsecsecsec , temos:

∫∫ ++=+==+

⋅+CtgxxCudu

uxtgxx

du

u

xtgxx)ln(secln

1

secsec

secsec2

2

.

IV) Função Cossecante: Cgxcxdxcx +−=∫ )cotln(coscos

Multiplicamos e dividimos tal função por (coscx - cotgx), de forma análoga a função trigonométrica anterior.

Exemplo: Calcule ∫ xsen

dx

2

Atividades

8. Calcule o valor das integrais abaixo:

a) ∫ − x

dx

23

b) ∫ +107x

dx

c) dxx

x∫ +4

32

d) dxx

x∫ − 22

e) dxx

x∫ −15

33

2

f) dxxx

x∫ −−

)1(

12

g) dtsent

t∫ +21

cos

h) dtt

tsen∫ −13cos

3

i) dxxecxg∫ + )5cos5(cot

j) dxxxtg∫ + )2sec2(

k) dxx

xsen∫ −2cos

232

l) dxxsen

x∫

+3

33cos

m) dxx

x∫ −4

22

3

n) dyy

y∫ +−

23

45

o) ∫ xx

dx

ln

p) ∫ + )1( xx

dx

q) dxx

x∫

3ln2

r) dxxx

x∫ −

+)ln1(

)ln2( 2

s) dxxxx

x∫ +

+]ln)[(ln

1ln22

t) dxx

xxx∫ +

−+−1

25233

235

u) dxx

xtg∫

)(ln

v) dtt

tg∫ cot

x) ∫ − dxe x52

y) ∫ +dxe x 12

z) ∫+

dxe

ex

x21

a1) ∫ dxee xx 23

b1) ∫ −dx

e

ex

x

23

3

)21(

c1) ∫ dxex x322

d1) ∫ +dx

e

ex

x

3

2

e1) ∫ + xe

dx

1

f1) ∫ dxx23

g1) ∫ dxanx

h1) ∫ dtea tt

i1) ∫ ++ dxxxx )12(5 324

j1) ∫ dxx x3

102

k1) ∫ + dzza zz )1(lnln

l1) ∫ dyeyy eey 32

m1) ∫ dxx

x)ln(4

n1)( )

( ) dxxx

xx∫ ++

+224

2

123

13

Integral por partes

Se tivermos uma função do tipo )()()( xgxfxh ⋅= , a sua derivada é dada pela regra do produto para derivadas: )(')()()('))'()(()(' xgxfxgxfxgxfxh ⋅+⋅=⋅= , donde temos, isolando )()(' xgxf ⋅ : )(')())'()(()()(' xgxfxgxfxgxf ⋅−⋅=⋅ . Aplicando integral em ambos os membros:

dxxgxfxgxfdxxgxf ])(')())'()([()()(' ∫∫ ⋅−⋅=⋅ . Como a integral da soma é a

soma das integrais: ∫∫∫ =⋅−⋅=⋅ dxxgxfdxxgxfdxxgxf )(')())'()(()()('

∫∫ ⋅−⋅=⋅ dxxgxfxgxfdxxgxf )(')()()()()(' . Se fizer )(')( xfdvxfv =⇒= e

também )(')( xgduxgu =⇒= , e assim a fórmula fica da forma:

∫∫ ⋅−⋅=⋅ duvvudvu . Então para usar tal fórmula, basta identificar na integral

quem será u e quem será dv.

Exemplo: ∫ xdxx ln

Fazemos x

dxduxu =⇒= ln e também

2

2xvxdxdv =⇒= , logo

∫∫ ⋅−=x

dxxx

xxdxx

2ln

2ln

22

e então é só utilizarmos o método de substituição

conhecido.

Exemplo: ∫ dxex x23

Exemplo: ∫ xdxx cos

Exemplo: ∫ dxex x2

Exemplo:∫ senxdxex

Atividades

9. Calcule a integral por partes:

a) ∫ dxxe x3

b) ∫ xdxx 2cos

c) ∫ xtgxdxx sec

d) ∫ dxx x3

e) ∫ xdxln

f) ∫ dxx 2)(ln

g) ∫ xdxx 2sec

h) ∫ xdxx ln2

i) ( )∫ +dx

x

xex

21

j) ∫ xdxsenx 32

k) ∫ dxxsenx )ln(cos

l) ∫ dxxsen )(ln

m) ∫ xdxex cos

n) ∫ dxex x25

o) ∫ −dx

x

x2

3

1

p) ∫ dxe

xsenx

2

q) ∫ senxdxx2

r) ∫ −dx

e

ex

x

1

2

s) ∫ dxxcos

Integração de Funções Racionais por Frações Parciais

Uma função racional é uma função da forma )(

)()(

xQ

xPxH = , onde P(x) e Q(x)

são polinômios. Quando o grau do numerador for maior ou igual ao grau do denominador, temos uma fração racional imprópria, então para realizar a integração, fazemos a divisão do numerador pelo denominador, até obter uma fração racional própria, ou seja, uma fração racional cujo grau do numerador é menor que o grau do numerador. É com frações racionais próprias que vamos

trabalhar. Por exemplo, em ∫ −++−

dxx

xxx

4

13102

24

efetuando a divisão temos:

∫ ∫ −−+− dx

x

xdxx

4

233)6(

22 . É com expressões como o integrando da segunda

parcela que vamos trabalhar. Preocuparemo-nos em escrever funções racionais próprias na forma de soma de frações parciais. Iniciamos fatorando o denominador em produto de fatores lineares e quadráticos. Então serão considerados os casos:

I) Em )(

)()(

xQ

xPxH = , os fatores de Q(x) são todos lineares e nenhum é

repetido. Então a soma de frações parciais é dada por:

nn

n

bxa

A

bxa

A

bxa

A

xQ

xP

+++

++

+= ...

)(

)(

22

2

11

1

Exemplo: ∫ −−−

xxx

dxx

2

)1(23

II) Em )(

)()(

xQ

xPxH = , os fatores de Q(x) são todos lineares e alguns são

repetido. Supondo que )( ii bxa + seja repetido p vezes, então:

ii

p

ii

p

p

ii

p

ii bxa

A

bxa

A

bxa

A

bxa

A

++

+++

++

+−

− 2

1

121

)(...

)()(

Exemplo: ∫ −−

32

3

)2(

)1(

xx

dxx

III) Em )(

)()(

xQ

xPxH = , os fatores de Q(x) são quadráticos e nenhum fator é

repetido. Os fatores quadráticos permanecem porque não é possível obter raízes reais para eles, então eles devem permanecer como uma equação do segundo grau. A fração parcial que possui polinômio de segundo grau no

denominador fica da forma: cbxax

BAx

+++

2 .

Exemplo: ∫ ∫ −+

+++=

++−−−

122)22)(1(

)32(22

2

x

C

xx

BAxdx

xxx

xx

IV) Em )(

)()(

xQ

xPxH = , os fatores de Q(x) são quadráticos e nenhum, ou alguns

dos fatores são repetidos. Se um fator quadrático de Q(x), que pode ser ( )cbxax ++2 repetido p vezes, então teremos a soma de p frações parciais da forma:

( ) ( ) cbxax

BxA

cbxax

BxA

cbxax

BxA pp

pp +++

++++

++++

+− 212

22

2

11 ... .

Exemplo: ( )

( )∫ +−−

dxxxx

x22 54

2

Atividades

1. Calcule a integral:

a) ∫ −42x

dx

b) ∫ −+ 62

2

xx

dxx

c) dxx

x∫ −−

4

252

e) dxxxx

x∫ −−

−2

)24(23

f) ∫ −+−

dwww

w

472

1142

g) ∫ −−−−

dttt

tt

253

52692

2

h) ∫ −−−

dxxx

xx3

2

4

126

i) ∫ −++

dxx

xx

1

22

2

j) ∫ + 23 3xx

dx

k) ∫ −−+

dxxx

xx3

2 14

l) ∫ + 22 )1(xx

dx

m) ∫ −+−

dxxx

xx23

2 13

n) ∫ ++−−

dxxx

xx2

2

)1)(32(

73

o) ∫ ++ )1()2( 2 tt

dt

p) ∫ −+

dzz

z22 )4(

13

q) ∫ −+−+−

254

)5115(23

2

xxx

dxxx

r) ∫ +−++−−+

dxxxx

xxxx

35

1745323

234

s) ∫ −+−

dxxx

xx45

4

2

122

t) ∫ ++−−+++−

dxxxxx

xxx

441169

17523024234

23

u) ∫ +− 1816 24 xx

dx

v) ∫ + xx

dx32

x) ( )

∫ ++

)4(

42xx

dxx

z) ∫ −116 4x

dx

w) ( )

∫ −+−−−

842

4423

2

xxx

dxxx

a1) ( )

( )( )∫ ++++

112

12

2

tt

dttt

b1) ∫ +++

dwww

ww

4

41333

3

c1) ∫ −+−+

1

)(23

2

xxx

dxxx

d1) ∫ + 249 xx

dx

e1) ∫ ++ xxx

dx23

f1) ∫ +++

234 44

)3(

xxx

dxx

g1) ∫ +++−

xxx

dxxx35

2

2

)22(

h1) ∫ +−++

)32)(3(

)92(22

3

xxx

dxxx

i1) ∫ +−−+−

22

23

)52(

)10155(

zz

dzzzz

ji) ∫ + 3)1(t

dt

k1) ∫ −−+

127

)12(3

2

x

dxxx

l1) ∫ + 22

5

)1( x

x

e

dxe

m1) ∫ + 22 )94(

18

x

dx

n1) ∫ +++++

464

)232(23

2

xxx

dxxx

o1)

∫ ++++++

)3)(8(

)3224946(23

234

ww

dwwwww

A Integral Definida

Para que possamos compreender a integral definida, entenderemos primeiramente a soma de Riemann. Imagine uma função qualquer, por exemplo 210)( xxf −= . Para obtermos a área do gráfico de tal função com o eixo x no intervalo que vai de ¼ até 3, Riemann sugeriu o seguinte processo:

1) Observamos que f é definida no intervalo [ ¼ , 3], ou seja, todos os valores do intervalo tem valor real para a função dada, e portanto a função é contínua no intervalo. Podemos esboçar o gráfico para observar:

2) Dividimos o intervalo [ ¼ , 3] em n subintervalos. Para tal fazemos ax =0 e bxn = , e escolhemos qualquer um dos (n – 1) pontos intermediários entre ¼ e

3 de modo que nn xxxx <<<< −110 ... . Os pontos 0x , 1x , 2x , ..., 1−nx , nx não são necessariamente eqüidistantes. Podemos escolher por exemplo:

25,04

10 ==x , 11 =x , 5,1

2

3

2

112 ===x , 75,1

4

7

4

313 ===x , 25,2

4

9

4

124 ===x ,

35 =x . No gráfico temos:

3) O comprimento de cada subintervalo, será denotado por xiΔ , donde temos que 011 xxx −=Δ , 122 xxx −=Δ , ...., 1−−=Δ iii xxx . O conjunto desses subintervalos forma uma partição do intervalo que podemos chamar de partição

Δ. Para o exemplo, temos os valores de delta: 75,04

3

4

11011 ==−=−=Δ xxx ,

5,02

11

2

3122 ==−=−=Δ xxx , 25,0

4

1

2

3

4

7233 ==−=−=Δ xxx ,

5,02

1

4

2

4

7

4

9344 ===−=−=Δ xxx , 75,0

4

3

4

93455 ==−=−=Δ xxx . E assim, temos

que 75,24

11

4

13 ==−=Δ , que é o mesmo que obtemos fazendo

75,275,05,025,05,075,054321 =++++=Δ+Δ+Δ+Δ+Δ=Δ xxxxx . Ao comprimento de cada subintervalo calculado anteriormente chamamos norma e indicamos por |||| xiΔ .

4) Em cada partição xiΔ escolhemos um ponto qualquer iξ , tal que

iii xx <<− ξ1 . Para o exemplo, podemos tomar 2

11 =ξ , pois 1

2

1

4

1 << , o que

quer dizer que 110 xx <<ξ . Satisfazendo a condição iii xx <<− ξ1 , podemos

escolher 25,14

5

4

112 ===ξ , 75,1

4

7

4

313 ===ξ , 24 =ξ e 75,2

4

11

4

325 ===ξ .

Calculamos o valor da função em cada um dos pontos iξ , fazendo

2)(10)( iif ξξ −= . Então temos: 4

39

2

110

2

12

=

−=

f , 16

78

4

510

4

52

=

−=

f ,

16

156

4

710

4

72

=

−=

f , ( ) ( ) 62102 2 =−=f e 16

72

4

1110

4

112

=

−=

f .

5) Observamos que o produto xf ii Δ⋅)(ξ é a área do retângulo de base xiΔ e altura )( if ξ . Somando as áreas dos retângulos formados por cada uma das partições podemos aproximar a área formada entre o gráfico de 210)( xxf −= e o eixo x, no intervalo [ ¼ , 3]. Então =Δ⋅+Δ⋅+Δ⋅+Δ⋅+Δ⋅ xfxfxfxfxf 5544332211 )()()()()( ξξξξξ

( ) 667,283

86

3

3218

4

3

16

72

2

16

4

1

16

156

2

1

16

78

4

3

4

39 ===

+

+

+

+

, que é a

área aproximada.

O somatório da área formada por cada partição, da forma

∑=

Δ⋅=Δ⋅++Δ⋅+Δ⋅n

i

iinn xfxfxfxf1

2211 )()(...)()( ξξξξ é denominada soma de

Riemann, por causa do matemático Georg Frederic Bernhard Riemann (1826 - 1866). O gráfico da função pode estar abaixo do eixo x, fazendo com que no somatório, a área de uma dada partição seja descontada e não somada, então não teríamos a área entre o gráfico e o eixo x, como podemos ver na figura abaixo:

No exemplo, )(,)(,)(,)(,)(,)( 1098543 ξξξξξξ ffffff são negativos gerando parcelas negativas. Por causa desses casos é que estamos interessados no

valor absoluto das parcelas e assim fazemos ∑=

Δ⋅n

i

ii xf1

)(ξ . Observe que

quanto maior o número de partições xiΔ , menor a norma dessas partições

|||| xiΔ , e mais o somatório ∑=

Δ⋅n

i

ii xf1

)(ξ se aproxima da área real entre o

gráfico e o eixo x. Então a área entre o gráfico e o eixo x no intervalo [a, b],

onde a função é definida pode ser aproximado por ∑=→Δ

Δ⋅n

i

iix

xfi 1

0||||max)(lim ξ .

Assim, consideramos que a norma da partição de maior comprimento tende a zero, logo o comprimento das demais partições também tenderá a zero, e os retângulos irão se ajustando entre o gráfico e o eixo x, de forma que o somatório de suas áreas seja uma boa aproximação da área entre o gráfico e o eixo x. O limite acima expressa a integral definida num intervalo.

Definição: Se f for uma função definida no intervalo fechado [a, b], então a

integral definida de f de a até b, denotada por ( )∫b

adxxf , será dada por

( ) ∑∫=→Δ

Δ⋅=n

i

iix

b

axfdxxf

i 10||||max

)(lim ξ , se o limite existir.

Na notação de integral definida ( )∫b

adxxf , ( )xf é chamada de integrando, a

de limite inferior e b de limite superior. O símbolo ∫ , utilizado para a

integração é o mesmo utilizado para o cálculo da antiderivada. Seu formato é parecido com S, que lembra soma, pois a integral definida é o limite de uma soma. Para calcular a integral definida, temos que na verdade calcular o limite de uma soma, o que nem sempre torna-se viável de se fazer. Podemos calcular a integral definida através da antiderivada, por isso também o sinal ser usado em ambos os casos. O segundo teorema fundamental do cálculo define o cálculo da integral definida pela antiderivação ou pelo cálculo da integral indefinida da seguinte forma:

Segundo Teorema Fundamental do Cálculo: Seja f uma função contínua no intervalo fechado [a, b] e seja g uma função tal que )()(' xfxg = para todo x

em [a, b]. Então ( ) )()( agbgdttfb

a−=∫ .

Ou seja, basta calcular a antiderivada, e fazer o valor da antiderivada no extremo superior menos a antiderivada no extremo inferior. Dessa forma a antiderivada fica conhecida também como integral indefinida.

Exemplo: Encontre o valor de dxx∫3

1

2 e interprete o resultado

geometricamente.

As mesmas propriedades da antiderivada, ou seja, da integral indefinida são válidas para a integral definida. Então, abaixo verificamos abaixo algumas propriedades da integral definida que são diferentes que a da antiderivada:

I) Se a > b, então ∫∫ −=a

b

b

adxxfdxxf )()( se ∫

a

bdxxf )( existir.

Exemplo: Verifique que ∫∫ −=3

1

21

3

2 dxxdxx .

II) Se f(a) existe, então dxxfa

a∫ )( .

Exemplo: dxx∫1

1

2

III) Se a função f for integrável nos intervalos [a, b], [a, c] e [c, d], então

∫∫∫ +=b

c

c

a

b

adxxfdxxfdxxf )()()( , onde a < c < b.

Exemplo: Verifique que ∫ ∫∫ +=2

1

3

2

223

1

2 dxxdxxdxx

IV) Se a função f for integrável nos intervalos [a, b], [a, c] e [c, d], então

∫∫∫ +=b

c

c

a

b

adxxfdxxfdxxf )()()( , não importando a ordem de a, b e c.

Exemplo: Verifique que ∫ ∫∫ +=2

1

3

2

223

1

2 dxxdxxdxx

V) Se as funções f e g forem integráveis no intervalo fechado [a, b] e se )()( xgxf ≥ para todo x em [a, b], então:

∫∫ ≥b

a

b

adxxgdxxf )()(

Exemplo: Comprove o resultado para 1)( 2 += xxf e para 2)( xxg = no intervalo [1, 3] e faça o gráfico das funções.

Atividades

1. Calcule o valor da integral definida usando os resultados:

32

1

2 =∫− dxx 2

32

1=∫− dxx 2

0=∫ dxsenx

π 0cos

0=∫ dxx

π

ππ

2

10

2 =∫ dxxsen

a) dxxx∫− +−2

1

2 )542(

b) dxx∫− −2

1

2 )8(

c) dxxx∫− +−2

1

2 )2

152(

d) dxxx∫− −−2

1

2 )143(

e) dxx∫−

+1

2

2)12(

f) dxxx∫− −+2

1

2 )2

1

3

15(

g) dxxx∫− +−2

1)32)(1(

h) dxxx∫−

−1

2)4(3

i) dxxsenx∫ ++π

0)1cos32(

j) dxx∫π

0

2cos3

k) dxx∫ +π

0

2)4(cos

l) dxsenx∫ −0 2)2(π

2. Calcule as integrais definidas abaixo:

a) dx∫5

24

b) dx∫−4

37

c) dx∫−2

25

d) dx∫−1

56

e) dx∫−

−

10

5

f) dx∫3

3

g) dxx∫7

32

h) dxx∫5

23

i) dxx∫4

0

2

j) dxx∫−1

2

3

k) dxx∫− +6

33

l) dxx∫− +1

2

3

2

)1(

m) dxxx∫− +−0

4

24 )168(

n) dxxx∫− +−4

1

24 )168(

o) dxsenx∫3

6

π

π

p) dxx∫−3

2

3

cosπ

π

q) dxx∫ −4

1)2(

r) dxx∫− +2

1

2 5

s) dxx

x∫− +

2

1 2

t) dxx

x∫− −

+2

5 3

5

u) dxxx∫− −2

2

3 )cos9cos4(π

π

v) dxxsen∫−22

33π

π

x) dxxxx∫ ++−4

2

123 )196(

y) dxxx∫− +1

1

3

1

3

4

)4(

z) dxxx∫ +2

0

32 12

w) dxxx∫ +3

01

a1) dxxxsen∫ ⋅2

0

3 cosπ

b1) dxxx∫ +−3

0

2 )143(

c1) dxxx∫ +−4

0

23 )1(

d1) dxxx∫ −6

3

2 )2(

e1) dxxx∫− −+3

1

2 )153(

f1) dxx

x∫

+2

1 2

2 1

g1) dyyy∫− −5

3

3 )4(

h1) dzz

z∫ +

1

0 32 )1(

i1) dxxx∫ +4

1)2(

j1) dxx∫ −10

115

k1) dttt∫ +5

0

2 1

l1) dwww∫− −0

2

243

m1) ∫− +3

1 3)2( y

dy

n1) dxxsen∫2

02

π

o1) dxx∫π

0 2

1cos

p1) dttt∫ +2

1

32 1

q1) dxx

x∫ −

3

1 32 )13(

r1) dyyy

yy∫ ++

+1

0 3 23

2

43

)2(

s1) dww

ww∫

−4

2 3

4

t1) dxw

w∫ +

15

0 43)1(

u1) dxxx∫ −5

4

2 4

v1) dxxx∫ ++3

01)2(

x1) dxxx∫− ++1

23)1(

y1) dxx

x∫ +

+1

0

3

1

1

z1) dxe∫1

0

2

w1) ∫2

1

e

x

dx

a2) ∫3

1

e

x

dx

b2) ∫e

dxx

x

1

ln

c2) ∫2

2)(ln

e

e xx

dx

d2) ∫−+3

0 2

dxee xx

e2) ∫ −2

0

4 2

dxxe x

f2) ∫ +2

1 ee

dxex

x

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

ANTON, H. Cálculo: Um Novo Horizonte. 8 reimp. Porto Alegre: Bookman, 2007.GUIDORIZZI, H. L. Um Curso de Cálculo. Volume 1. 5 ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos Científicos, 2001.HUGHES-HALLETT, D. [et al.]. Cálculo Aplicado. Rio de Janeiro: LTC, 2005.STEWART, J. Cálculo. Volume 1, 6. ed. São Paulo: Pioneira, 2006.

Lista de SitesMatemática Essencial: Disponível emhttp://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/superior/superior.htm (acesso em março/2011).

e-Cálculo: Disponível em http://ecalculo.if.usp.br/ (acesso em março/2011).

Cálculo A. Disponível em http://www.pucrs.br/famat/silveira/calculoa/modulo1.htm (acesso em fev/2011).